myŚl matematyczna wyraŻona fotografią. inspiracje

RocznikPedagogiczny36/2013PLISSN0137-9585

MAŁGORZATAMAKIEWICZUniwersytetSzczeciński

MYŚLMATEMATYCZNAWYRAŻONAFOTOGRAFIą. INSPIRACJE EKSPERYMENTU PEDAGOGICZNEGO

WPROWADZENIE

Celemartykułujestzarysowaniedrogiwiodącejodhermeneutycznychbadaństrukturpoznawczychwyrażonychm.in.autorskimiopisamifotograficznychme-tafor(dual coding)wobrębiematematykidoideieksperymentupedagogicznegomającegozweryfikowaćhipotezęowpływiezastosowaniafotografiiwprocesienauczania matematyki na rozwój kultury matematycznej uczniów. Badania, które prowadzęwramachautorskiegoprojektu„Matematykawobiektywie1”realizo-wanegonaUniwersytecieSzczecińskimsąspełnieniemnaturalnejdrogirozwija-niamoichpasji:nauczaniamatematykiifotografii.ProjektprocedurybadawczejopracowałamdziękikonsultacjomZespołuSamokształceniowegoDoktorówKNPPANpracującegopodopiekąprof.drhab.MariiDudzikowej.PrzyopracowaniukonkretnychnarzędzibadawczychkorzystałamzpomocyprofesorówobecnychnakolejnychLetnichSzkołachMłodychPedagogów,awszczególnościprof.drhab.WiesławyLimontiprof.drhab.UrszuliSzuścik.Artykułzawieratezywy-stąpieniapt.:Codzienne iniecodziennewmatematyceza sprawą fotografii, zaktóreotrzymałamINagrodęwkategoriidoktorówpodczasXXVILetniejSzkołyMłodychPedagogówwSupraślu.Dla ilustracji krystalizowaniasięmyślima-tematycznejtowarzyszącejtwórczymmetaforomfotograficznymposłużyłamsięwybranymiprzykładamipochodzącymiz17-letniegoprzygotowawczegookre-subadawczegoobejmującegoanalizystrukturpojęciowychidrógpoznaniaorazzrozumieniamatematycznychpojęć,prawidłowościimetaforuosóbfotografu-jącychmatematyczneobiekty.Podjęcietychbadańzwiązanebyłozmojąosobi-stąfascynacjąfotografiąorazfotoedukacjąmatematyczną.Pierwszespostrzeże-niapojawiłysięjużpodczasprowadzonychprzezemnieprzezdziesięćlatlekcjiprzedmiotowych, zajęć kół zainteresowań (matematyczne, fotograficzne, foto-grafii cyfrowej) orazwewnątrzszkolnych konkursów fotograficznych.Do pod-jęciabadańhermeneutycznychrealizowanychzapomocąanalizydokumentów1 Konkurs ogólnopolski organizowany corocznie od roku 2010 pod patronatem J.M. Rektora

UniwersytetuSzczecińskiego,PrezydentaMiastaSzczeciniMarszałkaZachodniopomorskiegowww.mwo.univ.szczecin.pl

MAŁGORZATAMAKIEWICZ274

(podpisówiopisówzdjęć)orazanalizywytworów(czylisamychfotografii)pro-wadziły mnie systematycznie zbierane dane ujawniające oryginalne ujęcia te-matów,wysokąpłynność,giętkośćimetaforycznośćmyśleniaautorów,a takżepewnebłędyzwiązanezpoznawaniem,wyobrażanieminazywaniemprzeznichprzedstawianych obiektów2.

MYŚLMATEMATYCZNADOJRZAŁA ATWóRCZAMYŚLMATEMATYCZNADZIECKA

Myślmatematyczna–chłodna,abstrakcyjna,oderwanaodświata,któregodoświadczamy na co dzień, pierwotnaw stosunku do intelektualnej działalno-ści człowieka (platonizm), czymożewyrażająca świat konstruktów ludzkiegoumysłu zrealizowanychw konkretnych obiektach fizycznych (empiryzm)? Py-taniaorzeczywistośćopisywanąprzezmatematycznepojęciaiformułyprowo-kują do poważnych dyskusji3. Znane powszechnie zadziwienie: jak to się sta-ło, że matematyka – produkt myśli ludzkiej niezależny od doświadczenia – tak wspaniale pasuje do świata realnego4 znakomicie ilustrujedrogęobranąprzezAlberta Einsteina. Zygmunt Janiszewski niejako usprawiedliwia swoją życio-wąpasję:zajmuję się matematyką dlatego, aby przekonać się, jak daleko umysł ludzki może dojść samym rozumowaniem5. Znani popularyzatorzymyślimate-matycznejKrzysztofCiesielskiiZdzisławPogodaukazujądiamentymatematykitak,abyzachwycilisięnimirównieżniematematycy.Wskazują,jednak,żeurok tej nauki często głęboko ukryty za skomplikowanymi wzorami, tajemniczymi for-mułami, oznaczeniami, dostępny jest tylko nielicznym6.Swojądrogękupoznaniumatematycznemu wspomina Bernard Russel: wystąpiłem początkowo z mniej lub bardziej religijną wiarą w platoński wieczny świat, w którym matematyka lśniła takim pięknem, jak ostatnie canta „Raju”. Pod koniec mojej pracy doszedłem do wniosku, że świat wieczny jest trywialny i że matematyka jest tylko sztuką mówie-nia tego samego, co da się powiedzieć innym językiem7. Możezatemwartoposzu-kaćowegojęzyka,barwnegoizrozumiałegodlaogółu...możewartozrobićkrokwstronękulturymatematycznej.Jednymzjejskładników,rozumianymjakowar-tość,któranampozostanie,gdyjużzapomnimydefinicjepojęć,treśćtwierdzeńidowodówmatematycznychregułnauczanychwszkolejestzrozumienie ciągłego przejścia w poszczególnych dyscyplinach matematyki między matematyką-nauką

2 M. Makiewicz, Przykłady twórczych pomysłów uczniów fotografujących obiekty matematyczne, [w:]W.Limont,J.Dreszer,J.Cieślikowska(red.),Osobowościowe i środowiskowe uwarunko-wania rozwoju ucznia zdolnego,WNUMK,Toruń2010,s.133.

3 J.Życiński,Świat matematyki i jej materialnych cieni,CopernicusCenterPress,Kraków2013,s. 23.

4 K.Skurzyński, O matematyce. Nie tylko poważnie.Nowik,Opole2010,s.13.5 Tamże,s.15.6 K. Ciesielski, Z. Pogoda, Diamenty matematyki,PrószyńskiiS-ka,Warszawa1997,s.7.7 B. Russell, Portrety z pamięci. Wartość wolnej myśli.przekł.A.Chmielewski,Wkolorachtęczy,

Wrocław1995,s.61.

MYŚLMATEMATYCZNAWYRAŻONAFOTOGRAFIą.INSPIRACJEEKSPERYMENTUPEDAGOGICZNEGO 275

i matematyką-przedmiotem nauczania8.Wydajesię,żebrakrozróżnieniaświatamyślimatematycznychdzieckaadojrzałegomatematykaprzezosobyzajmującesięnauczaniemmatematykiutrwalaspołecznąniechęć,obawęprzedmatematyką,przyczyniasiędoporażkimechanicznegorealizowaniapodstawprogramowychi oddalenia celu kształtowania elementarnej swobody w posługiwaniu się liczba-mi, ocenianiu prawdopodobieństwa9.Brakrefleksjinadmatematycznymmyśle-niemdzieckaprowadzido,niestetyjużodnotowanego,zjawiskaanalfabetyzmumatematycznego.Wliteraturzepojawiająsięopracowanianatematbezmyślnościmatematycznejuczniów(...inauczycieli)10.

Rozważającpojęciemyśleniamatematycznegoobejmującegozespółpodej-mowanychsamodzielnieczynnościumysłowychrealizowanychpoprzezposzu-kiwanie i rozwiązywanieproblemówmatematycznych11, opieramsięnapodej-ściuklasycznymL.Wygotskiego,któredoceniatzw.strefęnajbliższegorozwojuiwszczególnysposóbodróżniazagadnieniarozwojupojęćnaukowychwwie-kuszkolnymodkształtującychsięspontaniczniepojęćpotocznych.Korzystamzokreślonegoprzybadaniacheksperymentalnych(badaniaWygotskiegonadre-alnymrozwojemmyśleniadzieckawszkole12)narzędzia–metaforywizualnej,którapełnirolępomostupomiędzyposzczególnymirodzajamipojęć.

Twórczość jest związana z człowieczeństwem i przysługuje wszystkim lu-dziom bez względu na rodzaj ich działalności13.Odejścieodelitarnych tradycjirozumienia twórczościw stronę egalitarnej dostępności procesu – również dladzieciprzeciwstawiasięszkolnemu,niestetypowszechnemu,nauczaniupoprzezrealizację algorytmów i szablonów. Daje szansę odkrycia zdolności każdegodziecka(podejścieElissaP.Torrance’a),przeciwstawieniasięniszczącejtwórcząekspresjęsztampieszkolnejnarzeczkształceniauuczniówpostawiumiejętnościtwórczych14.Dlategowpracyopieramsięnaegalitarnychirozwojowychteoriachtwórczości.Człowiekjesttwórczy,gdynie ogranicza się do stwierdzania, powta-rzania, naśladowania, gdy daje coś od siebie, z siebie15. Kultura matematyczna, awtymfenomentwórczościnaukowejujawnia się podczas codziennych nawy-kowych zachowań, zwyczajności, odruchowym nadawaniu znaczeń otaczającej

8 F. Kurina, Kultura matematyczna nauczyciela matematyki, [w:]Matematyka.Społeczeństwo.Nauczanie,nr6/1991,s.30.

9 J.A. Paulos, Analfabetyzm matematyczny i jego skutki,przekł.J.Miękisz,GWO,Gdańsk2005,s.7.

10 Np. Myślenie i bezmyślność matematyczna, [w:]D.Klus-Stańska,A.Kalinowska,Rozwijanie myślenia matematycznego uczniów klas młodszych, Żak,Warszawa2004,s.17–35.

11 D.Klus-Stańska,A.Kalinowska,Rozwijanie myślenia matematycznego uczniów klas młodszych, Żak,Warszawa2004,s.19.

12 L. Wygotski, Myślenie i mowa,PWN,Warszawa1989,s,165.13 M.S.Szymański,Twórczość i style poznawcze uczniów,WSiP.Warszawa1987,s.51.14 K.J. Szmidt, Paula Torrance’a inkubacyjny model kształcenia uczniów zdolnych, [w:] W. Limont,

J.Cieślikowska(red.),Wybrane zagadnienia edukacji uczniów zdolnych,t.1.Impuls.Kraków2005,s.176.

15 W. Tatarkiewicz, Dzieje sześciu pojęć.PWN.Warszawa1986,s.306–307.


nas rzeczywistości16.Ponieważelementarnepoziomytwórczościstanowiąwaru-nekkoniecznytwórczościwyższychrzędów(poglądyC.Rogersa,A.J.Cropley-’a i J.C.Kaufmana17), badania twórczości uczniowskiej typumini-t odgrywająszczególnąrolęwpoznaniumechanizmówtowarzyszącychtwórczościdojrzałejiwybitnej.Wodniesieniudosubiektywnej, lokalnej twórczościrealizującejsięwszkoleograniczamsiędojejdwóchpodstawowychpoziomów:płynnego(obej-mującegoelementarneprocesypoznawcze,emocjonalneimotywacyjne)iskry-stalizowanego(dokonującegosiępoprzezdążeniedocelu,rozwiązanieproblemuprzy zrozumieniu jego struktury, znaczenia i kontekstu18).Dokonującanalizypracfotograficznych, jak i towarzyszących im komentarzy, stwierdziłam płynność,giętkość imetaforycznośćmyślenia ich autorów (czynniki twórczeGuliforda),przykładytwórczościtypumini-todnoszącesiędopoziomupłynnegoiskrysta-lizowanego.

ZAMYSŁBADAWCZY

Analizymateriałubadawczegogromadzonegowlatach1992–2010posłuży-łydoprzygotowaniaprojektueksperymentalnegozbadaniawpływuzastosowa-niafotografiiwprocesienauczaniamatematykinarozwójkulturymatematycznejuczniów.Zuwaginamojezainteresowaniapoznawczeispołecznycharakteruzy-skanegomateriału,interpretacjifotograficznychmetaforwizualnychdokonałamuwzględniajączaleceniaGillianRose19,koncentrującsięnaobszarzewytwarza-nia.Zastosowanahermeneutykapodejrzeń20 pozwoliłaprowokowaćaktywnośćukierunkowanąorazumożliwiłapodążanie indukcyjnądrogąbudowania teorii.Początkowepróbybadawczeodnosiłysiędoniewielkichgrupuczniowskichipo-legałynaanalizowaniuodpowiedzinapozornieoczywistepytania,np.czym jest liczba, jak wygląda równoległość, co to jest liczba, jak wyobrażasz sobie nie-skończoność21 za pomocą odpowiedzi obrazowych (zdjęć) i tekstowych (pod-pisów).W celu pozyskania szerszych, nieograniczonych tematycznie, bardziejróżnorodnych metafor w toku kolejnych etapów badawczych zrezygnowałamzpytańokonkretnepojęcialubprawidłowościmatematyczne.Nazorganizowa-nyprzezemniepowszechnykonkursfotograficzny,przyktórymnieokreślałamkonkretnychpytańanizagadnień,wpłynęłoponadtysiącprac.Autoramifotogra-fiibyłydzieci,młodzież szkolna, studenci,osobydorosłezawodowozwiązane

16 D.Klus-Stańska,Dzień jak co dzień. O barierach zmiany kultury szkoły, [w:] M. Dudzikowa, M. Czerepaniak-Walczak, Wychowanie. Pojęcia. Procesy. Konteksty.Tom5,2010,s.302.

17 W. Limont, Uczeń zdolny. Jak go rozpoznać i jak z nim pracować.GWP.Sopot2012,s.176.18 E.Nęcka,Psychologia twórczości.GWP.Gdańsk2001,s.216–217.19 G. Rose, Interpretacja materiałów wizualnych. Krytyczna metodologia badań nad wizualnością,

przeł.E.Klekot.WNPWN.Warszawa2010,s.31–53.20 P.Sztompka,M.Bogunia-Borowska(red.),Socjologia codzienności.Znak.Kraków2008,s.30.21 M. Makiewicz, Sztuka (w) matematycznej fotografii, [w:] S. Jaskuła (red.)Sztuka w służbie

edukacji.ZeszytyNaukoweForumMłodychPedagogówprzyKNPPAN.Zeszyt14.Warszawa2010,s.239–241.


zmatematykąlubnie.Otrzymałamteżsporopracodemerytów.OpróczfotografiiwykonanychwPolscepewnaczęśćdotarładojuryzNiemiec,Norwegii,Francji,Czech, a nawet zAbu-Dhabi.Fotografiedotyczyły elementarnychpojęćmate-matycznych,takichjakprosta,koło,sześcian,alerównieżobiektówmatematykiwyższej–np.fraktale,grupycykliczne,rozmaitości,węzły.Niektórewykonanebyływwarunkachstudyjnych(np.Hiperbole, Zasada szufladkowa, Zbiór pusty, Cień kuli),innewplenerze(Uskrzydlona symetria, Tettigonia viridissima. Syme-tria oczu, Wielokąt wodny, Roślinne kąty, Twierdzenie o kącie środkowym i wpi-sanym, Naturalny łuk tęczy).Oryginalnąideąkonkursubyłopołączenieprzekazuwizualnego (fotografii) z przekazem tekstowymwyrażonym podpisem zdjęciaijegoopisem.UczestnicywysyłaliodbitkilubwydrukizdjęćwformacieA4orazwypełniali elektroniczny arkusz zgłoszeniowy, podając swoje dane osobowe,określając tytuł fotografii i jejopis.Analizamateriałubadawczegoprzebiegałaetapowoiskładałasięztrzechczęści:analizyobrazu,tytułuikontekstu.Bada-nie obrazów odgrywało szczególną rolęw tym procesie, jak podkreślił JakubBronowski,brytyjskimatematykpolskiegopochodzenia,zajmującysięfilozofiąnauki i sztuki, samo oko dokonuje wnioskowań o świecie22. Pracęrozpoczynałamod formalnej rekonstrukcji kompozycji, ododczytania elementównapoziomiekonkretnym,pozbawionymabstrakcyjnychnazw,metafor,bezujawnieniazwiąz-kówizależności23.Następnieinterpretowałammateriałpoprzezfiltrformalnychreprezentacjiobiektówmatematycznych(odszukiwałamnaukowychznaczeńele-mentów charakterystycznych obrazu, symboli, kompozycji i sposobu przedsta-wienia).Natychdwóchetapachstarałamsięłączyćprocesyopisanem.in.przezPiotraSztompkę:widzenie i patrzenie.Widzenie, tobierna rejestracja wrażeń wizualnych, które przepływają przed nami w niezwykłej mnogości i różnorodno-ści w toku życia codziennego. Patrzenie to intencjonalne, aktywne i selektyw-ne poszukiwanie znaczących, ważnych doświadczeń wizualnych24.Towarzyszącemojemu patrzeniukomentowanieukierunkowanebyłonauchwyceniezwiązkówi relacjimiędzypokazanymipojęciami.Czytanie fotografiimożnaprzyrównaćdo opisanego przez Johna Bergera czytania kardiogramów czy tropienia śladów. Język, którym posługuje się fotografia, to język wydarzeń25. Podążając tąmyśląstarałamsięwydobywaćtreścipoznawczezobrazów.

Badania tekstu składało się z analizy tytułu nadanego przez autora i ko-mentarzaukazującegokontekstpowstaniapomysłu lubwyjaśniającegoodległąmetaforę. Najpierw określałam formalną trafność przyporządkowanego tytułu,22 J. Bronowski, Źródła wiedzy i wyobraźni,przeł.S.Amsterdamski,PIW,Warszawa1984,s.134.23 Por. R. Bohnsack, Dokumentarna interpretacja obrazu – w stronę rekonstrukcji ikonicznych

zasobów wiedzy, [w:] S. Krzychała (red.), Społeczne przestrzenie doświadczenie – metoda interpretacji dokumentarnej,WydawnictwoNaukoweDSWE,Wrocław2004

24 P. Stompka, Wyobraźnia wizualna i socjologia, [w:] Fotospołeczeństwo. Antologia tekstów z socjologii wizualnej,red.M.Bogunia-Borowska,P.Stompka,Znak,Kraków2012,s.28.

25 J. Berger, Zrozumieć fotografię, przeł. K. Olechnicki, [w:] M. Frąckowiak, M. Krajewski,K. Olechowski, Badania wizualne w działaniu. Antologia tekstów,FundacjaNowejKulturyBęcZmiana,Warszawa2011,s.206.


anastępnieadekwatnośćwstosunkudoobrazu,pomysłowośćimetaforyczność.Przyhermeneutycznejanalizietekstowegomateriałubadawczegopochodzącegozkomentarzy iopisówstarałamsiępoznaćkontekst tworzeniaobrazuorazsu-biektywnenastawienia i intencje osoby fotografującej.Celem tychbadańbyłozbliżeniesiędopoprawnejrekonstrukcjimodelimyślowych,jakimiposługująsięautorzyfotografiiipoznanieichwłasnychmappoznawczychrejestrowanychlubniewświadomości(EdmundHusserl).Analizadotyczyłarysującegosiępomostumiędzymateriałemwizualnym,jakispołecznymkontekstemujawnionympodpi-sem,opisem,kategoriąwiekowąautorapracy.Chciałamzrozumieć i poprawnie zinterpretować26autorskiepodpisyiopisyfotografii.Dostarczałyoneinformacjinatematautoraijegorolispołecznej,pomysłu,sposoburozumieniapojęcia,traf-nościspostrzeganejprawidłowości,intencji,fascynacji,emocjitowarzyszących.

Piotr Sztompka za Rolandem Barthersem podaje sugestie interpretacyjne tek-sutowarzyszącego.Wyróżniadwiefunkcjeprzekazulingwistycznego:zakotwi-czenieznaczeniaiłączeniepewnejliczbyzdjęćwserietematyczne.Wprzedsta-wianychbadaniachwszczególnysposóbujawniasięfunkcjapierwsza,gdyżtensamobrazmożebyćinterpretowanynawielesposobów.Zakotwiczeniepozwalazbliżyćsiędoustaleniapunktuwidzeniaautora.Wprzypadkuanalizytreściob-razówitekstówuwzględniłamrównieżdanezawartewarkuszuzgłoszeniowym(np.wiek,miejscezamieszkania,liczbazgłaszanychprac).

SarahPhink,podkreślającznaczeniefotografiiwprocesietworzeniawiedzyskłaniasięwkierunkułączeniaobrazufotograficznegozpodpisemlubnarracją.Zarówno etnograficzne tworzenie obrazów, jak i ich opis odnoszą się do lokalnych i naukowych kultur wizualnych. [...] Kluczem do udanego badania z zastosowa-niem fotografii jest rozumienie relacji społecznych i subiektywnych celów, po-przez które zostały stworzone oraz dyskursu, za którego pośrednictwem stają się znaczące27.Dlategoanalizowałamcałośćtekstuopisów,jakrównieżposzczegól-neichczęści28orazwypowiedzitowarzyszące–np.podczasuroczystegopodsu-mowaniakonkursufotograficznego„Matematykawobiektywie”.Starałamsięza-temzrozumiećczęść przez całość, zrozumieć całość poprzez szczegóły, zrozumieć świat przez zanurzenie się w nim, odkrywanie prawdy o innych pokazuje prawdę o nas29.Uwzględniajączasadniczeregułypostępowaniahermeneutycznego,wy-brałamstudiumprzypadkujakonajodpowiedniejsząmetodębadawczą.Chciałambowiemskupićsięnanietypowychiniepowtarzalnychpomysłachuczniówpod-czasichmatematycznejprzygodyzaparatemfotograficznym.Wwiększościprac

26 K. Duraj-Nowakowa, Metodologia systemową ofertą dla ewolucji tożsamości pedagogiki, [w:] T.Lewowicki(red.), Dylematy metodologiczne pedagogiki.MateriałyzobradSekcjiI„Dylematymetodologicznepedagogiki”IZjazduPedagogicznego.Warszawa–Cieszyn1995,s.102.

27 S. Phink, Etnografia wizualna. Obrazy, media i przedstawienie w badaniach. WUJ, Kraków 2007,s.122.

28 K. Ablewicz, Hermeneutyka i fenomenologia w badaniach pedagogicznych,[w:]S.Palka(red.),Orientacje w metodologii badań pedagogicznych. WUJ, Kraków.

29 M. Sawicki, Hermeneutyka pedagogiczna,Semper.Warszawa1996,s.18.


ujawniono wysoki stopień płynności myślenia (produkowanie fotograficznychserii tematycznych),jednakwarunkikonkursuniepozwalałynaprzedstawieniewięcejniższeściuzdjęćprzezjednegoautora.Giętkośćmyśleniaujawnionazo-stałapoprzezprzedstawieniekilkuistotnieróżnychwizualizacjitegosamegopo-jęcia.

WYBRANEPRZYKŁADY

Dokonując wyboru przykładów, kierowałam się indywidualnością i doj-rzałościąmyślipoznawczychniezależnieodwiekutwórcówiichdoświadczeń,chciałabymoddaćichmetaforycznośćioryginalnośćmyślenia.Wielepracmożeświadczyćointeligencjiformalno-operacyjnejautorów(wgJeanaPiageta),po-sługiwaniusię reprezentacjami ikonicznymi i symbolicznymi (wgJeromeBru-nera) i logicznym stopniu rozumienia pojęćmatematycznych (wg teorii PierreM. van Hiele). Ze względu na ograniczone możliwości prezentacji wybrałamjedyniekilkaprzykładów ilustrującychdwiedrogipoznawczeautorówpracnadrodze: eksterioryzacja związanazilustracją,unaocznieniem,interpretowaniemrzeczywistościzgodniezposiadanymi(wcześniej)znaczeniamiorazinteriory-zacjaoddającapierwszeństwodziałań konkretnych (manipulacji) na przedmio-tach materialnych lub ich reprezentacjach obrazowych i symbolicznych nad dzia-łaniami w płaszczyźnie wyobrażeniowej30orazpozwalającychnazmianę struktur poznawczych w wyniku dopływu nowych informacji31.

Przykładypomysłówpowstałychnadrodzeeksterioryzacji:Fotografia1przedstawiakroplewiszącenałodydzerośliny,wktórychodbija

sięobrazwidocznywtle.

Fot.1.Jednokładnośćnaprzykładzieodbiciawkropli, autor:BartłomiejNieroda

30 M. Przetacznik-Gierowska, Świat dziecka. Aktywność – Poznanie – Środowisko, UJ, Kraków 1993.

31 D. Klus-Stańska, Światy dziecięcych znaczeń – poszukiwanie kontekstów teoretycznych, [w:] D.Klus-Stańska(red.),Światy dziecięcych znaczeń,Żak,Warszawa2004,s.27.


Autor fotografiiukazał swojewłasne rozumieniehomotetii.Obrazyodbitew soczewkach z kropli wody są pomniejszone i odwrócone32,zachowująjednakswójkształt,azatemtrafnieilustrująprzekształceniegeometryczne(jednokład-ność)nauczanewszkole.

DoskojarzeniaznakówukrytychwmetaloplastyceozdabiającejdrzwijednejzbibliotekBerlina(fot.2)potrzebanietylkoestetycznejwrażliwości,aleprzedewszystkimuporządkowanej,głębokiejwiedzy.Autoremzdjęciajestprofesorma-tematyki, dlatego przypuszczenie o intencji zwrócenia uwagi na pięknomyślimatematycznejjestuzasadnione.Analizaformalnapracywskazujenaczteryele-mentygraficzne,zktórychobrazumieszczonywczęścilewejdolnejjestprzed-miotemszczególnegozainteresowaniaautora fotografii.Zopisuzdjęciamożnawnioskować,żeautordoskonaleznałdedukcyjnytokmyśleniauzasadniającytw.Pitagorasapochodzącywprostz Elementów Euklidesa33.

Fot. 2. Symbolika matematyczna, autor: Werner Schmidt

Kolejne dwie fotografie mówią o wrażliwości estetycznej autorów połą-czonejzwyjątkowymizdolnościamiinterpretacyjnymi.Umiejętnośćdostrzega-nia problemówmatematyki, trafne komentarza i poprawnie wykonane zdjęciaprzypominają spełnienie słynnej triady (rozum, serce, ręka) JohannaHeinricha

32 Fragmentkomentarzaautorafotografii.33 Euklides, Euklidesa początków geometryi ksiąg ośmioro, to iest sześć pierwszych, iedenasta

i dwunasta z dodanemi przypisami dla pożytku młodzi akademickiey wytłumaczone przez Józefa Czecha,JózefZawadzki,Wilno1817,s.50.


Pestalozziego.Wobuprzykładachchronologiazaistnieniaposzczególnychskład-nikówtriadyukazujedrogęodzachwyceniasiępięknemświataodległego–pod-czas podróży (ze sporą dawką emocji, oczarowaniem, zadziwieniem) poprzezdziałanie–wykonanienienagannejfotografii,pointerpretację,wktórejujawniają się funkcje duchowo-intelektualne, które wiodą do poznania świata i formułowa-nia rozumnych sądów o rzeczach34.

Fot.3.IntarsjawkościeleSantaMariawWeronie, autor: Peter Schreiber

Taniezwykleoryginalnafotografia(fot.3)wykonanazostaławewnątrzko-ściołaSantaMariawWeronie.Sfotografowanądrewnianąintarsjęwykonałokołoroku1510GiovannidaVerona.Zaskakującejestto,żepracapłaskaoddajezłu-dzenieprzestrzenności poprzez liczne elementywyróżnione–np.wielościany,modeleżeberkowe,ukazanewperspektywieotwierającesiędrzwi.Zautorskiegokomentarzadowiadujemy się, żedziełooddajeponadto jeszczedwaówczesne

34 A.Brühlmeier,Kształtowanie człowieka. 27 kamyczków jednej mozaiki. Impulsy do kształtowania modelu edukacji zgodne z zasadami sformułowanymi przez Johanna Heinricha Pestalozziego, Impuls,Kraków2011,s.70.


kierunki w sztukach plastycznych zorientowanych matematycznie: fascynacjęwielościanami regularnymi ipółregularnymi rozpiętyminakulinawiązującymidowydanejwroku1509książki„Dedivinaproportione”LucaPaccioliorazza-stosowanieprawidłowejperspektywycentralnej.

Z opisu kolejnego zdjęcia (fot. 4), które przedstawia ornamenty zdobiącejedną ze ścianwewnętrznychpomieszczeniadowiadujemy się, że takwyglądajedenzwzorów ludowychużywanychdodekoracjidomówlokalnychplemionna Borneo.

Fot.4.Symetriawśródłowcówgłów,autor:MirosławMajewski

Wzór ten charakteryzuje się symetrią lustrzaną i wieloma spiralami, w które wplecione są kwiaty, rośliny, ośmiornice, ludzie i zwierzęta. Sam wzór ma kształt drzewa fraktalnego35.

Przykładypomysłówpowstałychnadrodzeinterioryzacji:Wkolejnychprzykładachmożnadostrzeczaskakująceasocjacjeujawniają-

cesymptomytworzeniasięwiedzywłasnejautora,negocjowaniaznaczeńpojęćiprawidłowościmatematycznych.

Fotografia5przedstawiatrzypomarańczowelitery„C”naciemnymtle.

Fot.5.Trzysta,autor:JerzyKubis

35 OpisMirosławaMajewskiego,[w:]M.Makiewicz,Matematyka w...op.cit.,s.59.


Pracazostałazaopatrzonatytułem„trzysta”oraznastępującymopisem:„na-zwępewnegosklepuskojarzyłemzrzymskąliczbątrzysta”.Sensprzekazucałko-wiciezmieniaswojeznaczeniewmomenciepołączeniaobrazuzpodpisem–dlaniektórychstajesięzagadką,uinnychpojawiasięokrzyk„notak,rzeczywiście”!Przedstawionametaforapoznawczama swoje źródłow reklamie.Mamy tudoczynienia z procesem dual coding,którypoleganawspółdziałaniudwóchauto-nomicznychsystemów:werbalnychinformacjijęzykowych(tytuł„trzysta”)iwi-zualnych(kodCCC),któreodnosząsiędokonkretnychwyobrażeńiwiedzy36.

Fot. 6. Elipsa cieniem kuli, autor: Daniel Wójcik

Fotografia6ukazujeszklanąkulęwrazzrzucanymprzezniącieniem.Od-krycieautoratejfotografiipolegałonaodnalezieniuwłasnościogniskowejelipsy.Rzeczywiście,zdjęcieilustrujeciekawezależnościdotyczącecieniakuli–kuladotykaswojegocienia(elipsy)dokładniewjejognisku37.

Wartopostawićpytanie:czyfotografiamożeodgrywaćrolęformalnegodo-wodu?PrzyjmujączałożeniaempiryzmuzapewnemożnazgodzićsięzmyśląAl-lanaSekuli,któryinformatywnąfunkcjęfotografiiopieranametonimiizastępu-jącejdanewydarzenie,przedmiotlubobiektobrazemuchwyconymwswoistymkontekście.Owązamianęrozpatrywaćmożemywodniesieniuspołecznym.Funk-cjadydaktycznazakładajednakpewnąostrożnośćpoznawcząwdoświadczaniufotografiiizalecaodbiorcypostawęsceptyczno-krytyczną.Pewneobrazymogąbowiemprezentowaćproblemy,którychakuratniejesteśmywstaniepoprawniezrozumiećaniinterpretować38.Takąwłaśniesytuacjędoskonaleilustrujekolejnafotografia(fot.7).

36 D. Draaisma, Machina metafor. Historia pamięci, przeł. R. Pucek. WydawnictwoAletheia.Warszawa2009,s.31.

37 M. Makiewicz, Mathematical photography in developing creativity of students, [w:] M. Chraska, M.Klement,C.Serafin(red.),Trendy ve vzdelavani.Olomouc2006,s.112–116.

38 M. Makiewicz, Matematyka w obiektywie. Kultura matematyczna dla nauczycieli, WN US, Szczecin2010,s.31.


Fot.7.Cieńkulijakotrójkąt,autorka:GrażynaMaciejewska

Zdjęciewykonanonabałtyckiejplaży.Przedstawiapiłkęrzucającąnietypo-wy– trójkątnycień. Interpretacjaznaczeniapoznawczegoprzedstawionej foto-grafiisięgapopojęciaspozatradycyjnejgeometriieuklidesowej.Uucznia–na-stępujekorzystnykonfliktpomiędzyempiryczną(cieńmusibyćelipsą)wiedzązastanąaobrazem,któryjejprzeczy.Konfliktten,wsensiedydaktycznym,jestszczególnieprzydatny,gdyżwywołujerodzinępytańtypu:Czy to możliwe, aby kula rzucała cień trójkątny? Czy źródło światła było jednorodne? Czy powierzch-nia rzutni była doskonale plaska? Czy można dowolnie wymodelować powierzch-nię tak, żeby uzyskać zakładany kształt cienia? i wiele innych39.

Kolejnąfotografię(fot.8)nadesłałnakonkursuczeńklasypiątejszkołypod-stawowej.Przedstawiłczterykobiałkiwypełnionegrzybamileśnymi.Komentarz:„Suma zborów=wysiłek taty +wysiłekmamy+wysiłek dziecka” uzupełniapodpis„sumazbiorów”ipodkreśladualneznaczeniemetafory.

Fot.8.Sumazbiorów,autor:JanŁachiński39 M. Makiewicz, Matematyka w... op.cit., s. 33.


Mamytudoczynieniazwizualnąmetaforąontologicznąukierunkowanąnarozpoznawanieaspektówpojęcia40.„Sumazbiorów”topojęcieelementarne.Jed-nakczyzawszepotrafimysensownieposłużyćsięjegodefinicją?RomanSikorski(wybitnypolskigeometra)powiedziałkiedyś„dobrzeznaćpojęcietopoprawniejestosowaćwkażdejsytuacji,nawetwtedy,gdyjużzapomnimyjegodefinicji”.Niewiem,czyautorfotografiiwiedział,żedosumyzbiorównależąelementy,któ-renależądoprzynajmniejjednegoztychzbiorów,alezpewnościąmiałwłaściweintuicjeteoriomnogościowe.

Operator alternatywy jakowbityw piasek patyk i jego cień symbolicznieuchwyconywznakugraficznym.Tytułkolejnejfotografii(fot.9)wskazujedrogęodczytaniaautorskiegoprzekazu.Metaforazostała„odkryta”przezautorapod-czasprzeglądaniajegopamiątekzwakacji.Pomysłnaopispozostawałjakiśczaswspoczynku,abyolśnićnasspektakularnymtytułem.Komentarz:czy widziałeś kiedyś spójniki – na plaży? utwierdza w przekonaniu asocjacyjnej drogi poznania.

Fot.9.Lub,autor:WojciechSkrzypek

OstatniaprezentowanafotografiapochodzizkonkursuMatematykawobiek-tywie.PodczaswystąpienianaXXVILetniejSzkoleMłodychPedagogówwSu-praśluwykorzystałamfragmenttegozdjęcia,abyprzeprowadzićwśródsłuchaczytreningwyobraźni.Okazałosię,żejednazuczestniczek–MałgorzataKozakbez-błędnieprzeprowadziładoświadczeniemyślowewirtualnie,„rozcinającósemkę”wzdłużosisymetriiposzczególnychpasków.

40 G.Lakoff,M.Johnson,Metafory w naszym życiu,przeł.T.Krzeszowski.PIW.Warszawa1988,s.57.


Fot.10.Paskipapieru,autor:TadeuszDoroziński

Fotografia (fot. 10) została celowo zaaranżowana i skomponowana. Dlabadaczaprzedstawionymateriałwizualnymaszczególneznaczenie,gdyżzmu-szaodbiorcędowysiłkupoznawczegoorazuaktywnieniawyższychpoziomówwyobraźniprzestrzennej41.Celtakiegoujęciawrazzpostawieniemproblemutodoskonalenarzędziećwiczenia,alerównieżdiagnozypoziomuwyobraźniprze-strzennej42.

Konstruując narzędzia badawcze na potrzeby eksperymentu, wielokrotnieodwoływałam się do fotografii ukazujących obraz niepełny, perspektywiczny,jednostronny.

Takieobrazygenerującałe seriezadań,do rozwiązaniaktórychniezbędnejestangażowanienajwyższychpoziomówwyobraźnipolegającychnaumiejętno-ściwytwarzaniaimanipulowaniawumyśleobrazamifigur,którychwcałościsięnigdywcześniejniewidziało.Podczasplanowaniaeksperymentalnegobadaniawpływuzastosowaniafotografiiwnauczaniumatematykinakształtowaniejęzy-ka,postrzeganiematematycznychpojęć,wyobraźnię,twórczośćielegancjęmy-śleniaposłużyłamsiębadaniaminaturyjakościowej.Działanietakiemiałonaceluprzedewszystkimpoznanie różnychmożliwości ujawniania swoich pomysłówna drodze ilustracji obiektów matematycznych lub matematycznej interpretacji otaczającegoświata.

ZAKOńCZENIE

Rozwijającesiępowiązaniamatematykizesztukamiwizualnymizrodziłysięnagrunciearchitektury,rękodzieła igrafikiużytkowej43,wyrosłyznaturalnych

41 A. Pardała,Wyobraźnia przestrzenna uczniów w warunkach nauczania szkolnej matematyki. Teoria, problemy, propozycje. FOSZE,Rzeszów1995,s.66.

42 M. Makiewicz, Elementy kultury matematycznej w fotografii,KMDMUS,Szczecin2011,s.179.43 P. Schreiber, Mathematik in der bildenden Kunst des 20. Jahrhunderts, [w:] Mitteilungen der

MathematischenGesellschaftinHamburg.BandXXXII2012,G.Tischel(red.),s.11.


potrzeb człowieka.Rozłącznośćobszarumatematyki i sztukiodchodzidziśdolamusa zarówno za sprawą matematyków, jak i psychologów, filozofów spo-łecznych44, artystów. Potrzeba odejścia od izolowania sztuki oraz rozszerzeniapola estetycznego kontekstu sygnalizowana przez Arnolda Berleanta45 otwiera noweprzestrzeniepoznawczerównieżdlanauczaniamatematyki.Człowiekżyjewświeciematematycznym,asztukamożetenświatpolubić,oswoić,pomóczro-zumieć.

Przedstawiona egzemplifikacjawybranychmetaformyślimatematycznychwyrażonych fotografiamimiałana celuukazaniupomysłów,które zdarzają sięwcodziennościszkolnejipozaszkolnej.Tegorodzajuaktywności(mini-t)mającharakterpropedeutycznywstosunkudopóźniejszegorozwiązywaniaproblemówiprzypuszczalnegoprocesutwórczego.Fotografowaniematematycznychprawi-dłowości,pojęć,sytuacjiprowokującychdopostawieniaproblemuwzmacnia roz-wój procesu widzenia i wyobrażania obiektów matematycznych46. Jednocześniestanowidoskonałymateriałdostworzenianarzędzibadawczychweryfikującychwybrane składniki kulturymatematycznej ucznia.Narzędzia tewykorzystałamwsygnalizowanymwcześniejeksperymencie.

Włączeniefotografiidonarzędzipoznawczychwobszarzecodziennejma-tematykiszkolnejzachęcadonowejorientacjiprocesunauczania.Odświadomejpercepcjidziełsztukiikontemplacjiwmetaforycznymmuzeumwyobraźni47 mo-żemybowiempójśćdalej–dosamodzielnejekspresjiartystycznej,którapozwalanałagodneieleganckieprzybliżeniesiędochłodnejiwzniosłejmyślimatema-tycznej, a w dalszych krokach – do samodzielnego konstruowania interpretowa-niaznaczeń.

BIBLIOGRAFIA

Ablewicz K., Hermeneutyka i fenomenologia w badaniach pedagogicznych, [w:] Orientacje w metodologii badań pedagogicznych, red.S.Palka,WUJ,Kraków1998.

Berger J., Zrozumieć fotografię, przeł. OlechnickiK., [w:] FrąckowiakM., KrajewskiM.,Olechowski K., Badania wizualne w działaniu. Antologia tekstów,FundacjaNowejKulturyBęcZmiana,Warszawa2011.

Berleant A., Prze-myśleć estetykę,przeł.M.Korusiewicz,T.Markiewka,Universitas,Kraków2007.

Berleant A., Wrażliowść i zmysły. Estetyczna przemiana świata człowieka,przeł.S.Stankie-wicz,Universitas,Kraków2011.

44 A. Berleant, Prze-myśleć estetykę,Universitas,przeł.M.Korusiewicz,T.Markiewka,Kraków2007.

45 A. Berleant, Wrażliwość i zmysły. Estetyczna przemiana świata człowieka,przeł.S.Stankiewicz,Universitas,Kraków2011,s.18.

46 M. Makiewicz, Postrzeganie obrazów matematycznych a wyobraźnia przestrzenna uczniów, [w:] M.Makiewicz(red.),Kulturotwórcze konteksty nauczania matematyki.WNUS.Szczecin2007,s. 66.

47 I. Wojnar, Estetyka i wychowanie.PWN,Warszawa1971,s.307.


Bohnsack R., Dokumentarna interpretacja obrazu – w stronę rekonstrukcji ikonicznych zaso-bów wiedzy,[w:]KrzychałaS.(red.),Społeczne przestrzenie doświadczenie – metoda interpretacji dokumentarnej,WydawnictwoNaukoweDSW,Wrocław2004.

Bronowski J., Źródła wiedzy i wyobraźni,przeł.S.Amsterdamski,PIW,Warszawa1984.BrühlmeierA.,Kształtowanie człowieka. 27 kamyczków jednej mozaiki. Impulsy do kształto-

wania modelu edukacji zgodne z zasadami sformułowanymi przez Johanna Heinricha Pestalozzie-go,Impuls,Kraków2011.

Ciesielski K., Pogoda Z., Diamenty matematyki,PrószyńskiiS-ka,Warszawa1997.Draaisma D., Machina metafor. Historia pamięci,przeł.R.Pucek,Aletheia,Warszawa2009.Duraj-Nowakowa K., Metodologia systemową ofertą dla ewolucji tożsamości pedagogiki, [w]:

Lewowicki T. red., Dylematy metodologiczne pedagogiki.MateriałyzobradSekcji I „Dylematymetodologicznepedagogiki”IZjazduPedagogicznego.Warszawa–Cieszyn1995.

Euklides, Euklidesa początków geometryi ksiąg ośmioro, to iest sześć pierwszych, iedenasta i dwunasta z dodanemi przypisami dla pożytku młodzi akademickiey wytłumaczone przez Józefa Czecha,JózefZawadzki,Wilno1817.

Klus-StańskaD.,Dzień jak co dzień. O barierach zmiany kultury szkoły, [w:] Wychowanie. Pojęcia. Procesy. Konteksty.red.M.Dudzikowa,M.Czerepaniak-Walczak,Tom5.GWP,Gdańsk2010.

Klus-StańskaD.,KalinowskaA.,Rozwijanie myślenia matematycznego uczniów klas młod-szych, Żak,Warszawa2004.

Klus-StańskaD.,Światy dziecięcych znaczeń – poszukiwanie kontekstów teoretycznych, [w:] Klus-StańskaD.(red.),Światy dziecięcych znaczeń,Żak,Warszawa2004.

LakoffG.,JohnsonM.,Metafory w naszym życiu,przeł.T.Krzeszowski,PIW,Warszawa1988.Kurina F., Kultura matematyczna nauczyciela matematyki,[w:]Matematyka.Społeczeństwo.

Nauczanie,nr6/1991.Limont W., Uczeń zdolny. Jak go rozpoznać i jak z nim pracować,GWP,Sopot2012.Makiewicz M., Elementy kultury matematycznej w fotografii,KMDMUS,Szczecin2011.Makiewicz M., Matematyka w obiektywie. Kultura matematyczna dla nauczycieli, WN US,

Szczecin2010.Makiewicz M., Mathematical photography in developing creativity of student, [w:] Trendy ve

vzdelavani, red. M.Chraska,M.Klement,C.Serafin,Olomouc2006.Makiewicz M., Postrzeganie obrazów matematycznych a wyobraźnia przestrzenna uczniów,

[w:] Kulturotwórcze konteksty nauczania matematyki,red.M.Makiewicz,WNUS,Szczecin2007.Makiewicz M., Przykłady twórczych pomysłów uczniów fotografujących obiekty matematycz-

ne, [w:] Osobowościowe i środowiskowe uwarunkowania rozwoju ucznia zdolnego, red. W. Limont, J.Dreszer,J.Cieślikowska,WNUMK,Toruń2010.

Makiewicz M., Sztuka (w) matematycznej fotografii, [w:] Sztuka w służbie edukacji. Zeszyty NaukoweForumMłodychPedagogówprzyKNPPAN.Zeszyt14,red.S.Jaskuła,Warszawa2010.

NęckaE.,Psychologia twórczości,GWP,Gdańsk2001.PardałaA.,Wyobraźnia przestrzenna uczniów w warunkach nauczania szkolnej matematyki.

Teoria, problemy, propozycje, FOSZE,Rzeszów1995.Paulos J.A., Analfabetyzm matematyczny i jego skutki,przekł.J.Miękisz,GWO,Gdańsk2005.Phink S., Etnografia wizualna. Obrazy, media i przedstawienie w badaniach. WUJ, Kraków

2007.Przetacznik-Gierowska M., Świat dziecka. Aktywność – Poznanie – Środowisko, UJ, Kraków

1993.Rose G., Interpretacja materiałów wizualnych. Krytyczna metodologia badań nad wizualno-

ścią,przeł.E.Klekot,WNPWN,Warszawa2012.Russel B., Portrety z pamięci. Wartość wolnej myśli, przekł.A.Chmielewski,W kolorach

tęczy, Wrocław1995.Sawicki M., Hermeneutyka pedagogiczna,Semper.Warszawa1996.


Schreiber P., Mathematik in der bildenden Kunst des 20. Jahrhunderts, [w:] Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft in Hamburg,red.G.Tischel,BandXXXII2012.

SkurzyńskiK., O matematyce. Nie tylko poważnie.Nowik,Opole2010.Szmidt K.J., Paula Torrance’a inkubacyjny model kształcenia uczniów zdolnych, [w:] Wybra-

ne zagadnienia edukacji uczniów zdolnych,t.1.red.W.Limont,J.Cieślikowska,Impuls,Kraków2005.

SztompkaP.,Bogunia-BorowskaM.(red.),Socjologia codzienności,Znak,Kraków2008.Stompka P., Wyobraźnia wizualna i socjologia, [w:] Bogunia-Borowska M., Stompka P. red.,

Fotospołeczeństwo. Antologia tekstów z socjologii wizualnej,Znak,Kraków2012.SzymańskiM.S.,Twórczość i style poznawcze uczniów,WSiP,Warszawa1987.Tatarkiewicz W., Dzieje sześciu pojęć,PWN,Warszawa1986.Wojnar I., Estetyka i wychowanie,PWN,Warszawa1971.Wygotski L., Myślenie i mowa,PWN,Warszawa1989.ŻycińskiJ.,Świat matematyki i jej materialnych cieni,CopernicusCenterPress,Kraków2013.

Author:MałgorzataMakiewicz

Title: Mathematical thought expressed in photography. Inspirations forapedagogicalexperiment.

Keywords: teaching mathematics, mathematical culture, cognitive photog-raphy, mathematical photoeducation.

Discipline:PedagogicsLanguage:PolishDocumenttype:Article

AbstractThearticlesetsaroadmapforanexperimentalresearchontheimpactofthe

useofphotographicimagesinteachingmathematicsonthemathematicalculturedevelopmentofstudents.Theincludedtitlesanddescriptionsarematchedwithvisual(photo)metaphorswhichhelpsinreconstructingthecognitiveprocessoftheauthors.Thiscreatesafoundationforimplementingnewmethodsinteachingmathematics based on photographic education.

myŚl matematyczna wyraŻona fotografią. inspiracje

Documents