1

Mehanika II

9. Dinamika

2

Veli�ine u mehanici

1. Skalari

2. Vektori

3. Tenzori II. reda

4. Tenzori IV. reda

3

1. Skalari: 30= 1 podatak + mjerna jedinica(tenzori nultog reda)

2. Vektori: 31= 3 podatka + mjerna jedinica(tenzori prvog reda)

3. Tenzori drugog reda 32= 9 podataka + mjerna jedinica

4. Tenzori �etvrtog reda 34= 81 podatak + mjerna jedinica

4

Me�unarodni sustav mjere (SI)

Veli�ina: Mjera:Naziv Oznaka Jedinica Nazivduljina l m metarvrijema t s sekundamasa m kg kilogram

5

1. Skalari1. dužina l (m)2. masa m (kg)3. vrijeme t (s)4. površina A (m2)5. obujam V (m3)6. gusto�a ρ (kg/m3)7. kut α (°) (rad)8. temperatura T (°C) (K)9. rad A (J = Nm)10. snaga P (W = Nm/s)11. energija E (J= Nm)12. pritisak p (Pa = N/m2)

6

2. Vektori - po�etak

1. radijus vektor (m)

2. vektor pomaka (m)

3. brzina (m/s)

4. ubrzanje (m/s2)

5. koli�ina gibanja (kgm/s=Ns)

6. sila (N=kgm/s2)

→r→s→v→a

→→⋅= am F

→→⋅= vm K

7

Vektori - nastavak

7. stati�ki moment sile

obzirom na neki pol O (Nm)

8. moment koli�ine gibanja (Nms)

9. impuls sile (Ns)

→→→×= F rMo

→→→⋅×= vmr L

→→⋅= tF I

8

Mehanika

Zadatak mehanike je prou�avanje op�ih zakona mehani�kog gibanja.

Mehani�ko gibanje je najjednostavniji oblik gibanja materije koje se prikazuje kao premještanje materijalnih tijela u prostoru i vremenu.

9

Materijalno tijelo

Pod materijalnim tijelom podrazumijevamo ograni�eni prostor ispunjen materijom.

Glavna svojstva materijalnih tijela su:• oblik• obujam• položaj

i ona �ine prostorno stanje tijela.

10

Promjenu oblika i obujma tijela nazivamodeformacijom.

Promjenu položaja tijela nazivamogibanjem.

Uzrok gibanju tijela je djelovanje jednog tijela na drugo - sila.

11

Podjela mehanike

12

Idealizacija realnog �vrstog tijela u mehanici

13

Dinamika

Dinamika je grana mehanike koja prou�ava zakone gibanja materijalnih tijela pod djelovanjem sila.

U dinamici se utvr�uju uzro�ne veze izme�u sila i gibanja materijalnih to�aka ili tijela.

Uzima u obzir:- masu tijela m i - silu F koja uzrokuje gibanje.

14

Kinematika - ponavljanje

Kinematika je grana mehanike koja prou�ava gibanja materijalnih tijela i povezuje položaje tijela s vremenom.

Geometrija gibanja

Ne uzima u obzir:- masu tijela m i - silu F koja uzrokuje gibanje.

15

Masa m (kg)

Prvi Newtonov aksiom: Zakon inercijeSila koja se suprotstavlja promjeni stanjamirovanja ili jednolikog gibanja po pravcu je sila tromosti ili sila inercije.

Masa m mjera je tromosti ili inertnosti u odnosu prema sili koja na tijelo djeluje.

16

Sila vlastite težine G jednaka je produktumase m i ubrzanja zemljine sile teže g.

Masa materijalne to�ke m jednaka je omjeru njegove težine G i ubrzanjazemljine sile teže g.

gG

m gmG

gmG

=�⋅=

⋅=→→

17

Masa materijalnog tijela m zavisi o koli�ini materije tijela.

V – obujam (volumen) tijelaρ – gusto�a (obujamska masa)

( )kg Vm ρ⋅=

18

Gusto�a

Gusto�a materijalnog tijela ρρρρ je masa tijelasadržana u jedinici obujma.

��

���

�= 3m

kg

Vmρ

19

Gusto�a

Drvo Pb

Al Fe

��

���

�= 3m

kg

Vmρ

20

Silaa) aktivne sileb) reaktivne sile (sile veza)

1. Sile konstantnog djelovanja F = konst. Statika: smjer, pravac i intenzitet sile konstantni sutijekom vremena

2. Sile promjenljivog djelovanja F = f (t)Dinamika: smjer, pravac i intenzitet mijenja setijekom vremena

→F

21

Sile promjenljivog karaktera

Sile mogu biti zavisne o:- vremenu F = f (t)- položaju tijelu F = f (x,y,z)- brzini gibanja F = f (v)

22

Ostale skalarne veli�ine:1. dužina l (m)2. masa m (kg)3. vrijeme t (s)4. površina A (m2)5. obujam V (m3)6. gusto�a ρ (kg/m3)7. kut α (°) (rad)8. temperatura T (°C) (K)9. rad A (J = Nm)10. snaga P (W = Nm/s)11. energija E (J= Nm)12. pritisak p (Pa = N/m2)

23

Rad A (J = Nm)

• konstantne sile pri pravocrtnom gibanju

- sila na putu

• Rad pri rotacijskom gibanju

- moment na kutu

sFA ⋅=

ϕ⋅= MA

24

25

sFcossFsFA h ⋅=α⋅⋅=⋅=

26

cos α < 0α

cos α =1

cos α = 0

cos α = −1

27

Rad sile teže(vlastite težine) a) Spuštanje tereta

hGsin

hsinGhGA ⋅=

α⋅α⋅=⋅=

→→

→→

→→

=

=

hs

GF

28

b) Dizanje tereta:

hG 180 coshGhGA ⋅−=⋅⋅=⋅=→→

�

Sila F vrši rad A = F. h Sila G troši rad A = - G . h

29

• Rad sile trenja:

sRA

RR

t

nt

⋅−=⋅µ=

α⋅α⋅⋅⋅µ−=

⋅−=

sinh

cosgmA

sRA t

30

Rada) konstantna sila b) promjenljiva sila

� ⋅=2

1

s

ss dsFAα⋅⋅=⋅= cossFsFA

skF opruge Sila

s ⋅=

31

• Rad sile elasti�ne opruge

- za s1=0 i s2=s(nenapeta opruga)

( )21

22

s

s

s

ss

ss2k

A

dsskdsFA

skF2

1

2

1

−=

� ⋅⋅=� ⋅=

⋅=

2s2k

A ⋅=

k – krutost opruge

32

Rad pri rotacijskom gibanju

ϕ⋅=

ϕ⋅⋅=⋅=

⋅=ϕ⋅=

MA

rFAsFA

FrM rs

33

Snaga P (W = J/s=Nm/s)• Izvršeni rad u jedinici vremena

• Translacija

• Rotacija

dtdA

P =

vFdtdsF

dtdA

P ⋅=⋅==

ω⋅=ϕ⋅== Mdt

dMdtdA

P

34

Energija E (J= Nm)

• Kineti�ka energija (energija gibanja)

• Potencijalna energija(energija položaja)

2

2vmEk

⋅=

h g m Ep ⋅⋅=

35

Na materijalnu to�ku djeluje sila konstantnog intenziteta F = m . a

ta21

s

tav

0 s i 0 vza:gibanje ubrzano Jednoliko

Kinematika

2

00

⋅⋅=

⋅===

2vm

EA

2tam

ta21

amA

sFA

:Rad

2

k

222

⋅==

⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=

⋅=

Kineti�ka energija Ek pri translaciji

36

Kineti�ka energija Ek pri rotaciji

2

21 ω⋅⋅= IEk

( )2nn

222

211

2

k

22nn

2222

2211

k

nn2211

2nn

222

211

k

rm.....rmrm2

E

2rm

.....2rm

2rm

E

rv rv rv

2vm

.....2

vm2

vmE

⋅∆++⋅∆+⋅∆ω=

ω⋅⋅∆++ω⋅⋅∆+ω⋅⋅∆=

ω⋅=ω⋅=ω⋅=

⋅∆++⋅∆+⋅∆=

Dinami�ki moment tromosti tijela: ⋅∆==

n

iii rmI

1

2

37

Potencijalna energija:

hgmEp ⋅⋅=

0Ep =

38

Ostale vektorske veli�ine:

• sila (N) • stati�ki moment sile

obzirom na pol O (Nm)

• koli�ina gibanja (kgm/s=Ns)

• moment koli�ine gibanja (Nms)

• impuls sile (Ns)

→→⋅= vm K

→→→×= F rMo

→→→⋅×= vmr L

→→⋅= tF I

→→⋅= am F

39

40

Zadaci dinamike:

Prvi zadatak dinamike:Poznat je zakon gibanja materijalne to�ke potrebno je odrediti silu koja djeluje na materijalnu to�ku (F=?).

Drugi zadatak dinamike:Poznate su sile koje djeluju na materijalnu to�ku, potrebno je odrediti zakon gibanja materijalne to�ke [s=f(t) =?].

41

Prvi zadatak dinamike

• Traženu silu odre�ujemo iz osnovnog zakona dinamike

(II. Newtonovog aksioma)

• je tzv. glavni zadatak dinamike = ?

→→⋅= amF

→F

→F

42

Dinamika

Dinamika materijalne

to�ke

Dinamika krutog tijela

43

Dinamika materijalne to�ke

• Slobodna materijalna to�ka

Neslobodna materijalna to�ka - gibanje to�ke ograni�eno

je vezom

44

Dinamika slobodne materijalne to�ke

a

iiFamF =⋅=

→→→

a

iiF

→- Suma aktivnih sila kojedjeluju na materijalnu to�ku

45

Dinamika neslobodne materijalne to�ke:

- Suma aktivnih sila kojedjeluju na materijalnu to�ku

a

iiF

→

→→→→+=⋅= RFamF

a

ii

→R - Reakcija veze

46

Drugi zadatak dinamike (teži)

Poznate su sile koje djeluju na materijalnu to�ku i potrebno je odrediti: zakon gibanja.

• Slobodna materijalna to�kaPotrebno je integrirati diferencijalne jednadžbe gibanja što zna�i da nam moraju biti zadani po�etni uvjeti.

• Neslobodna materijalna to�kaPoznate su aktivne sile koje djeluju na neslobodnu materijalnu to�ku, potrebno je odrediti: a) zakon gibanja

b) reakcije veza

47

Gibanje slobodne materijalne to�ke M a) Krivocrtno gibanje - II. zakon dinamike

Diferencijalne jednadžbe krivocrtnog gibanja

=⋅=⋅=⋅ xi2

2x

x Fdt

xdm

dtdv

mam

=⋅=⋅=⋅ yi2

2y

y Fdt

ydm

dt

dvmam

=⋅=⋅=⋅ zi2

2z

z Fdt

zdm

dtdv

mam

48

Gibanje slobodne materijalne to�ke M b) Pravocrtno gibanje - II. zakon dinamike

iXi2

2x

x XFdt

xdm

dtdv

mam ==⋅=⋅=⋅

Diferencijalna jednadžba pravocrtnog gibanja