n n n n l n δ dl ea p p p e a l -...
TRANSCRIPT
Wyznaczanie przemieszcze ń w kratownicy
∑∫=
⋅⋅=⋅=
n
P PP
PpP
L AE
NLNdL
EA
NN
1
δ
Całkujemy siły normalne na poszczególnych prętachi sumujemy dla całej konstrukcji
Zadanie: Wyznacz przemieszczenie pionowe węzła A z zasady prac wirtualnych, EA=const
3
18kN
16kNA
4
3
Wyznaczenie sił w prętach od obciążenia zewnętrznego
18kN
16kNA
4
3 3
V =4kN1
H =18kN1
12
V =20kN2
34
D1 D2
G1
S1 S2K1 K2
Wykres sił normalnych w kratownicy
18kN
16kNA
4
3
V =4kN1
H =18kN1
12
V =20kN2
34
18
4
15
15
20525
N
[kN]
3
Wyznaczenie sił od obciążenia wirtualnego
1A
4
3 3
V =1/21
H =01
12
V =1/22
4 3
S1
S2
D1
D2
G1
K1
K2
Wyznaczenie przemieszczenia
1A
4
3 3
V =1/21
H =01
12
V =1/22
34
1/2
3/8
3/8
1/25/85/8
N
18kN
16kNA
4
3
V =4kN1
H =18kN1
12
V =20kN2
34
18
4
15
15
20525
N
[kN]
3
( )
EA
EA
EA
EAvA
4
513
58
5255
8
55
1
38
3153
8
3153180
1
45,0204)5,0(41
=
⋅⋅−⋅⋅−+
⋅
−⋅−⋅⋅+⋅⋅+
⋅⋅+⋅−⋅=
Metoda Sił
• Metoda rozwiązywania układów statycznie niewyznaczalnych
• Układy statycznie niewyznaczalne –układy mające więcej reakcji niż liczba równań równowagi
• Liczba niewiadomych reakcji określa stopień statycznej niewyznaczalności
Stopień statycznej niewyznaczalności dla belek i ram bez obwodu zamkniętego:
3−−= Prs lln
lr – liczba reakcji w układzie
lP – liczba przegubów z uwzględnieniem ich krotności
3 – liczba równań równowagi na płaszczyźnie
Metoda Sił – tok postępowania
• Wyznaczamy stopień statycznej niewyznaczalności układu
2305 =−−=sn
Układ dwukrotnie statycznie niewyznaczalny
Metoda Sił – tok postępowania
• Konstrukcję pozbawiamy więzów, tak aby powstałukład statycznie wyznaczalny i geometrycznie niezmienny
Metoda Sił – tok postępowania• W miejscu usuniętych więzów wprowadzamy nadliczbowe
niewiadome – uogólnione siły,zamiast blokady przesuwu – siły skupionezamiast blokady obrotu - moment
X1 X2
Metoda Sił – tok postępowania• Obciążamy schemat podstawowy pierwszą nadliczbową
X1=1
X =11
1121
d11
– wartość przemieszczenia na kierunku działania X1, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X1 =1
d21
– wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X1 =1
Metoda Sił – tok postępowania• Obciążamy schemat podstawowy drugą nadliczbową X2=1
X =12
1222
d22
– wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1
d12
– wartość przemieszczenia na kierunku działania X1, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1
d22
– wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1
d12
–
d22
– wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1
wartość przemieszczenia na kierunku działania X1, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1
d12
–
d22
– wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegosiłą X2 =1
Metoda Sił – tok postępowania• Wyznaczenie d22 i d12
X =11
M1
X =12
M2
2
X =12
122
X =11
1121
∫=s
dsEI
MM 2222δ
∫=s
dsEI
MM 2112δ
Metoda Sił – tok postępowania• Wpływ obciążenia zewnętrznego - d10 i d20
X =11
M1
X =12
M2
X =12
1222
X =11
1121
M0
wartość przemieszczenia na kierunku działania X2, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegoobciążeniem zewnętrznym
d20
–
d10
– wartość przemieszczenia na kierunku działania X1, pod wpływem obciążeniaukładu podstawowegoobciążeniem zewnętrznym
Metoda Sił – tok postępowania• Wpływ obciążenia zewnętrznego - d10 i d20
X =11
M1
X =12
M2
X =12
1222
X =11
1121
M0
∫=s
dsEI
MM 0110δ
∫=s
dsEI
MM 0220δ
Metoda Sił – tok postępowania• Ogólnie – w przypadku belek i ram pod obciążeniem
statycznym
X =11
M1
X =12
M2
X =12
1222
X =11
1121
M0
∫=s
kjjk ds
EI
MMδ
∫=s
jj ds
EI
MM 00δ
Metoda Sił – tok postępowaniaW rzeczywistym schemacie statycznie niewyznaczalnym
przemieszczenia w miejsce podpór są równe 0, stąd
X =11
M1
X =12
M2
X =12
1222
X =11
1121
M0
Przemieszczenie na podporze 1
0102121111 =+⋅+⋅= δδδδ XX
Przemieszczenie na podporze 2
0202221212 =+⋅+⋅= δδδδ XX
Układ równań kanonicznych metody siłdla schematu dwukrotnie statycznie niewyznaczalnego:
X =11
M1
X =12
M2
X =12
1222
X =11
1121
M0
2120222121
10212111 ,0
0XX
XX
XX⇒
=+⋅+⋅=+⋅+⋅
δδδδδδ
Wyznaczenie wartości momentu w punkcie „i”od obciążenia zewnętrznego dla układu statycznie niewyznaczalnego:
02211 iiii MXMXMM +⋅+⋅=
Metoda sił – tok postępowania, podsumowanie:
=+⋅++⋅+⋅
=+⋅++⋅+⋅=+⋅++⋅+⋅
0...
.................................................................
0...
0...
02211
202222121
101212111
nnnnnn
nn
nn
XXX
XXX
XXX
δδδδ
δδδδδδδδ
• Obliczenie stopnia statycznej niewyznaczalności,• Przyjęcie schematu podstawowego statycznie wyznaczalnego• Wrysowane wykresów od nadliczbowych X1,, X2 ,…, Xn• Wyznaczenie współczynników układu równań
• Rozwiązanie równań i obliczenie nadliczbowych X1, X2, …,X3• Wyznaczenie wartości momentów w charakterystycznych punktach na podstawie wzoru:
02211 iiii MXMXMM +⋅+⋅=
• Wyznaczenie wykresów sił T i N na podstawie wykresów momentów