naloge iz diferencialnih enacb z re sitvami

Marko Razpet
NALOGE IZ
DIFERENCIALNIH ENACB
Z RESITVAMI
Studijsko gradivo
Predgovor
Za akademsko leto 2009/10 mi je bila na Pedagoski fakulteti v Ljubljani
zaupana izvedba izbranih poglavij iz analize v tretjem letniku. Ustrezna
zbirka iz polovice tega predmeta, to je iz kompleksne analize, je ze nastala,
sedaj pa so na vrsti se diferencialne enacbe. Predmet mi ni bil nov, saj
sem ga ze predaval davnega leta 1990/91. S podobnimi vsebinami pa sem
se sreceval ze na ljubljanski Fakulteti za strojnistvo, kjer so diferencialne
enacbe in kompleksna analiza del matematike v drugem letniku in pridobljeno
znanje inzenirji uporabljajo tudi pri nekaterih drugih predmetih, na primer v
mehaniki. Diferencialne enacbe in kompleksna analiza imajo v Sloveniji dolgo
tradicijo, ze vsaj od Plemljevih casov naprej. Kot studentu matematike mi
je diferencialne enacbe predaval prof. France Krizanic, kompleksno analizo
pa prof. Ivan Vidav in slednja mi je bila eden najljubsih predmetov.
Pred vami je zbirka resenih nalog, ki je nastajala zadnje leto, in ki naj
bi omogocala, da se student laze znajde med diferencialnimi enacbami in da
se nauci nekaj tipicnih prijemov na tem podrocju. Potek resevanja nalog ni
naveden povsod, pac pa je podanih nekaj napotkov, kako se resuje posamezen
tip enacb. Dodanih je vec primerov Pfaffovih diferencialnih enacb in kvazilin-
earnih parcialnih diferencialnih enacb, ki logicno sledijo sistemom navadnih
diferencialnih enacb. V veliko pomoc pri racunanju tezjih integralov, poenos-
tavljanju izrazov in preizkusih je bil racunalniski program derive. Zbirka se
bo po potrebi z leti, vsaj upam, se dopolnjevala. Uporabnike pa prosim, da
mi pridno sporocajo napake.
2
Kazalo
3
1. Diferencialna enacba z locljivima spremenljivkama je oblike
P (x) dx+Q(y) dy = 0
ali pa se na tako obliko lahko prevede. Pri tem upostevamo tudi posebne resitve.
Splosna resitev je ∫ P (x) dx+
∫ Q(y) dy = c.
2. Ce je izpolnjen pogoj ∂Q/∂x = ∂P/∂y, potem je
P (x, y) dx+Q(x, y) dy
totalni diferencial funkcije U(x, y), ki je resitev sistema enacb ∂U/∂x = P , ∂U/∂y =
Q. Tedaj je resitev enacbe
P (x, y) dx+Q(x, y) dy = 0
v implicitni obliki: U(x, y) = c.
3. Ce pa ni izpolnjen pogoj ∂Q/∂x = ∂P/∂y, potem se vcasih posreci najti
integrirajoci mnozitelj M(x, y) 6= 0, tako da je
M(x, y)P (x, y) dx+M(x, y)Q(x, y) dy
popolni ali totalni diferencial neke funkcije U(x, y). Resitev potem poiscemo po
prej opisanem postopku.
y′ = dy
dx = f
(y x
) ali pa se na tako obliko lahko prevede. S substitucijo y = xz, y′ = z + xz′ jo
prevedemo na enacbo z locljivima spremenljivkama in resimo z integriranjem. Na
koncu v resitev vstavimo z = y/x in uredimo.
4
6. Diferencialno enacbo oblike
) ,
a1 b1
a2 b2
6= 0,
prevedemo s substitucijo x = u+ α, y = v + β na obliko
dv
7. Diferencialno enacbo oblike
) ,
= 0,
prevedemo s substitucijo z = a1x+ b1y na obliko, ki ima locljivi spremenljivki, in
jo naprej resujemo po znani metodi.
8. Linearna diferencialna enacba prvega reda je oblike
y′ + p(x)y = f(x).
Ce je f(x) ≡ 0, je linearna enacba homogena. Tedaj njeno resitev poiscemo z
metodo locitve spremenljivk.
Nehomogeno enacbo resimo v dveh korakih. Priredimo ji homogeno enacbo
y′ + p(x)y = 0,
5
ki ima netrivialno resitev y(x) = η(x). Nehomogeno enacbo potem lahko resimo
z metodo variacije konstante. Zapisemo Y (x) = c(x)η(x), kar vstavimo v dano
nehomogeno enacbo in dobimo:
c′(x)η(x) = f(x).
To je enacba z locljivima spremenljivkama za c(x). Ko najdemo c(x) in s tem
Y (x), imamo splosno resitev zacetne nehomogene enacbe: y(x) = cη(x) + Y (x).
9. Bernoullijeva diferencialna enacba ima obliko
y′ + p(x)y = q(x)yn, n 6∈ {0, 1}.
Predelamo jo v obliko
y−ny′ + p(x)y1−n = q(x),
nato pa vpeljemo novo spremenljivko z = y1−n, z′ = (1 − n)y−ny′ in dobimo
linearno nehomogeno diferencialno enacbo
ki jo resujemo po znani metodi.
10. Riccatijeva diferencialna enacba je oblike
y′ = a(x)y2 + b(x)y + c(x).
Ce poznamo eno njeno resitev y1, potem enacbo s substitucijo
y = u+ y1
prevedemo na Bernoullijevo diferencialno enacbo za u. To pa znamo resiti.
11. Lagrangeva diferencialna enacba je oblike
y = x(y′) + ψ(y′).
y = x(t) + ψ(t),
dx .
Ce je stevilo t0 realna resitev navadne enacbe t = (t), potem je y = t0x + ψ(t0)
posebna resitev Lagrangeve enacbe. Diferencialno enacbo preoblikujemo v linear-
no: dx
t− (t) .
Njena resitev x = Φ(t, c) skupaj z y = (t)Φ(t, c) + ψ(t) sestavlja splosno resitev
dane Lagrangeve enacbe v parametricni obliki.
12. Poseben primer Lagrangeve diferencialne enacbe je Clairautova diferencialna
enacba:
y = cx+ (c),
posebna resitev pa ogrinjaca, ki jo dobimo z izlocitvijo konstante c iz sistema
y = cx+ (c) , 0 = x+ ′(c) .
13. Resitev diferencialne enacbe f(y′) = 0, v kateri ne nastopata x in y, ampak
samo odvod, ima resitev
) = 0.
14. Diferencialno enacbo f(x, y′) = 0, v kateri ne nastopa y, resujemo parametricno.
Ce lahko enacbo parametriziramo z
x = (t), y′ = ψ(t),
izracunamo
y =
7
x = (t), y = Φ(t) + c.
15. Diferencialno enacbo f(y, y′) = 0, v kateri ne nastopa x, prav tako resujemo
parametricno. Ce lahko enacbo parametriziramo z
y = (t), y′ = ψ(t),
x = Φ(t) + c, y = (t).
1. Resite diferencialno enacbo
Resitev
2 dy
dx = 3y1/3,
locimo spremenljivki
in integriramo:
Po preureditvi dobimo:
y2 = (x+ c)3.
Pri locevanju spremenljivk mora biti y 6= 0. Toda y = 0 je tudi resitev,
in sicer posebna resitev.
(yy′)3 = 27x(y2 − 2x2).
Resitev
V enacbo vpeljemo novo spremenljivko z = z(x) z relacijo y2 − 2x2 =
x2z3, 2yy′−4x = 3x2z2z′+ 2z3x. Korenimo, pomnozimo z 2 in dobimo
4x+ 3x2z2z′ + 2z3x = 6zx.
3xz2z′ = −2(z − 1)2(z + 2).
Enacba ima dve posebni resitvi: z = 1 in z = −2. Prva nam da
y2 = 3x2, druga pa y2 = −6x2, kar nam da samo tocko (0, 0).
Za splosno resitev pa locimo spremenljivki:
3z2 dz
x .
− 3
oziroma
pri cemer je
3.
Resitev
Ocitno je dobro vpeljati novo spremenljivko z = x2+y2, z′ = 2(x+yy′).
Enacba s tem preide v
z′ = z2/x2,
x + c.
Po preureditvi imamo resitev v implicitni obliki: x = (1 + cx)(x2 + y2).
10
Resitev
Vpeljali bomo novo spremenljivko z = 3x + y3 − 1, z′ = 3(y2y′ + 1).
Enacba se s tem transformira v
z′ − 3 = 3z2,
arc tg z = 3x+ c.
Po preureditvi imamo resitev v implicitni obliki: 3x+y3−1 = tg(3x+c).
(y′ + 1)3 = 27(x+ y) .
Navodilo. Vpeljite novo spremenljivko z = z(x) = x+ y(x).
(R: x+ y = (x+ c)3, y = −x.)
Ali ima enacba posebno resitev?
Navodilo. Vpeljite novo spremenljivko z = z(x) = y(x)− x.
(R: ln |(x− 1)/(x+ 1)| − 2/(y − x) = c, y = x.)
11
Navodilo. Vpeljite novo spremenljivko z = z(x) = y(x)/x.
(R: y = ±x ch(x+ c), y = ±x.)
Resitev
Vzemimo: P (x, y) = x(2−9xy2) = 2x−9x2y2, Q(x, y) = y(4y2−6x3) =
4y3 − 6x3y. Ker je ∂Q/∂x = −18x2y = ∂P/∂y, je leva stran dane
enacbe totalni diferencial neke funkcije U(x, y):
∂U
∂U
Z integracijo najdemo
U(x, y) = x2 − 3x3y2 + (y),
kjer je (y) poljubna odvedljiva funkcija. Druga enacba pa nam da:
∂U
∂y (x, y) = −6x3y + ′(y) = 4y3 − 6x3y.
Zato mora veljati ′(y) = 4y3, iz cesar dobimo (y) = y4 + c1 in
U(x, y) = x2− 3x3y2 + y4 + c1. Resitev dane enacbe v implicitni obliki
je torej x2 − 3x3y2 + y4 = c.
12
y + 1 dy = 0 .
Resitev
Vzemimo: P (x, y) = 2x − ln(y + 1), Q(x, y) = −(x + y)/(y + 1). Ker
je ∂Q/∂x = −1/(y + 1) = ∂P/∂y, je leva stran dane enacbe totalni
diferencial neke funkcije U(x, y):
∂U
∂U
y + 1 .
U(x, y) = x2 − x ln(y + 1) + (y),
kjer je (y) poljubna odvedljiva funkcija. Druga enacba pa nam da:
∂U
y + 1 − y
y + 1 .
Zato mora veljati ′(y) = −y/(y + 1), iz cesar dobimo (y) = −y +
ln(y + 1) in s tem U(x, y) = x2 − x ln(y + 1) − y + ln(y + 1). Resitev
dane enacbe v implicitni obliki je torej x2 − (x+ 1) ln(y + 1)− y = c.
Resitev
Ocitno ima enacba posebno resitev y = 0. Da bi nasli splosno resitev,
dano enacbo delimo z y4:
6x5
13
Izraz na levi strani je totalni diferencial in nalogo resimo do konca tako
kot prejsnji dve. Nazadnje dobimo resitev: y3(y ln y − y + c) + x6 = 0.
Resitev
V enacbo vpeljemo parameter t z relacijo y = tg t. Enacba se poenos-
tavi v
(x+ cos t) dx− x sin t dt = 0.
Opazimo, da je na njeni levi strani totalni diferencial, in sicer lahko
zapisemo
x dx+ d(x cos t) = 0,
zato je resitev x2 + 2x cos t = c. Preidemo na prvotni spremenljivki in
dobimo: (c− x2) √ y2 + 1 = 2x.
Resitev
Uvedemo novo spremenljivko z = x2 + y2, dz = 2(x dx+ y dy). Enacbo
transformiramo najprej v
nato pa v obliko
14
ki nam po integraciji da rezultat (z+1)2−4x2 = c in koncno v prvotnih
spremenljivkah (x2 + y2 + 1)2 − 4x2 = c.
(R: 3x2 + 6xy + 6x− 2y3 + 18y = c.)
(R: 6x2 + 5xy + y2 − 9x− 3y = c.)
Resitev
4z dx− (z − 1)(3 dx− dz) = 0.
Po preureditvi ta preide v diferencialno enacbo z locljivima spremenljivkama
(z + 3) dx+ (z − 1) dz = 0,
ki ima splosno resitev x+ z − ln |z + 3| = ln c1. Po preurejanju imamo
koncno resitev v implicitni obliki: 3x− 4y + 1 = cex−y.
15
(R: x2 + 2xy − y2 − 6x− 2y = c.)
(R: 4x+ 8y + 5 = ce4x−8y.)
y′ = 2x− y + 1
x− y − 1 + (y − x+ 2)y′ = 0.
Navodilo. Vpeljite novo spremenljivko z = y−x+2. Za katero resitev
je y(0) = 0?
(R: (y − x+ 2)2 + 2x = c, (y − x+ 2)2 + 2x = 4.)
16
y′ = x− y + 1
(R: x2 − 2xy − y2 + 2x+ 6y = c.)
(R: (y − x− 1)3(3x+ y + 7) = c.)
Resitev
Z zamenjavo spremenljivk x = u + α, y = v + β dosezemo, da ni
konstantnih clenov v izrazih 2x − y + 5 in 2y − x − 4. V ta namen
17
morata α in β biti resitev sistema 2α − β + 5 = 0, 2β − α − 4 =
0. Edina resitev je α = −2, β = 1. S tem predelamo diferencialno
enacbo v homogeno: (2u− v) dv = (2v−u) du. Z uvedbo nove odvisne
spremenljivke w(u) = v(u)/u dobimo najprej enacbo
(2u− v)(w du+ u dv) = (2v − u) du,
nato pa po preuredtivi, locitvi spremenljivk in razvojem na parcialna
ulomka se
Z integracijo in antilogaritmiranjem dobimo u2(w + 1)3 = c(w − 1), s
prehodom na stari spremenljivki pa nazadnje (x+y+1)3 = c(x−y+3).
Ni tezko videti, da obstaja se posebna resitev y = x+ 3.
(R: (x+ y)(x2 − 4xy + y2) = c.)
xy′ = y + √ x2 − y2 .
18
Uvedemo novo spremenljivko z z relacijo z = y/x, iz katere je y′ =
xz′+ z in enacba se poenostavi v enacbo z locljivima spremenljivkama:
xz′ = √
= dx
x .
x + 1 .
V enacbo vpeljemo novo spremenljivko v = v(x) = y(x)/x, za katero
je y = vx, y′ = v′x+ v. Enacba se transformira v
(x4 − x2)v′2 = 1− v2.
Potem vpeljemo se novo spremenljivko u = 1/x, s katero dobimo:
dv
du
1
x2 .
Enacba se poenostavi v (1− u2)dv2 = (1− v2)du2. Njeni ocitni resitvi
sta v = ± 1, kar da resitvi zacetne enacbe: y = ±x. Preostale resitve
dobimo, ko resimo enacbe:
√ u2 − 1 dv = ±
Najprej dobimo:
arc cosu± arc cos v = c (|u| < 1, |v| < 1),
archu± arch v = c (|u| > 1, |v| > 1).
S prehodom na stari spremenljivki x in y pa:
arc cos(1/x)± arc cos(y/x) = c (|x| > 1, |y| < |x|),
arch(1/x)± arch(y/x) = c (|x| < 1, |y| > |x|).
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... ...............
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
.......
......................
...............
......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......... .... ......
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......... ....
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
.....
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
......
.......
.....
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
20
Integralske krivulje so algebrske, ker se da funkciji arc cos in arch z
uporabo adicijskih izrekov za funkciji cos in ch izlociti. Najprej dobimo
(x2 − 1)(x2 − y2) = (Cx2 − y)2,
nato pa po krajsanju z x2 celo stoznice:
x2(1− C2)− y2 + 2Cy − 1 = 0.
y′ = 3x+ √ y − x2 .
Resitev
Vpeljemo novo spremenljivko z z relacijo y = x2 + z2, y′ = 2x + 2zz′.
Dobimo enacbo 2zz′ = x+ z oziroma 2zz′ = x− z, ki jo preoblikujemo
v homogeno:
2z/x .
Nato vpeljemo se spremenljivko w = z/x, z′ = w′x + w in dobimo
enacbo z locljivima spremenljivkama:
w′x = 1 + w
2w dw
(1− w)2(1 + 2w) = c
Na koncu dobimo resitev v implicitni obliki v starih spremenljivkah:
(y − 2x √ y − x2)(2
√ y − x2 + x) = c.
Resitev
Vpeljemo novi spremenljivki u in v z relacijama x = v2, y = u3 in
dobimo 3u2 du
2v dv = v
3u2 du = (v2 + 2uv) dv.
Ce uvedemo se spremenljivko w = u/v, dobimo zarade zveze u = vw
po krajsanju z v2 enacbo
3w2(v dw + w dv) = (1 + 2w) dv,
ki ima locljivi spremenljivki:
3w2 dw + (3w3 − 2w − 1) dv = 0.
Ocitno je posebna resitev te enacbe w = 1 oziroma u = v, kar nam
da v prvotnih spremenljivkah y2 = x3. Splosno resitev pa dobimo z
razcepom in locitvijo spremenljivk:
v = 0.
2
3 arc tg( √
in s prehodom na spremenljivki u in v splosno resitev:
ln(c(u− v)3(3u2 + 3uv + v2)2) = 2 √
3 arc tg( √
√ y.
31. Kateremu pogoju morata zadoscati parametra λ in µ, da postane izraz
(x2 + 2λxy + µy) dx+ (µx2 + λx+ y) dy
totalni diferencial neke funkcije U(x, y)? Poiscite to funkcijo in tisto
krivuljo U(x, y) = c, ki poteka skozi tocko T (1, 0) in pri tem preseka os
x pod kotom π/4.
(R: λ = µ, F (x, y) = x3/3+λx2y+λxy+y2/2, c = 1/3, λ = −1/2, 2x3− 3x2y − 3xy + 3y2 = 2.)
32. Diferencialna enacba
y(x+ y) dx+ (xy + 1) dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen le od y. Poiscite ga in resite
dano diferencialno enacbo. Ali ima enacba posebno resitev?
Resitev
Hitro se vidi, da izraz na levi strani enacbe ni totalni diferencial. Naj
bo M(y) iskani integrirajoci mnozitelj, za katerega je
M(y)y(x+ y) dx+M(y)(xy + 1) dy
23
∂
M(y)y = M ′(y)y(x+ y) +M(y)(x+ 2y),
ki se poenostavi v enacbo yM ′(y)+M(y) = 0 s splosno resitvijo M(y) =
C/y. Za C = 1 je M(y) = 1/y in izraz
1
y · (xy + 1) dy = (x+ y) dx+ (x+ 1/y) dy
je totalni diferencial, kar pomeni, da obstaja taka funkcija U(x, y), za
katero je ∂U
∂U
y , ′(y) =
Torej je
2 + xy + ln |y|+ c1.
Iskana resitev je x2 + 2xy + 2 ln |y| = c, posebna pa y = 0.
xy dx− (y3 + x2y + x2) dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen le od y. Poiscite ga in resite
dano diferencialno enacbo. Ali ima enacba kaksno posebno resitev?
(R: ln(x2/y2 + 1) = c+ 2y, y = 0.)
24
(x+ y)(1− xy) dx+ (x+ 2y) dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen le od x. Poiscite ga in resite
dano diferencialno enacbo.
y2 dx+ (xy + tg(xy)) dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od xy. Poiscite ga in resite
(3xy + x+ y)y dx+ (4xy + x+ 2y)x dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od xy2. Poiscite ga in resite
(x− 1)y2 dx+ (2y − x− xy)x dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od xy − y2. Poiscite ga in
resite dano diferencialno enacbo.
(R: ln |(x− y)/y|+ 1/y + (1− y)/(x− y) = c, x = 0, y = 0.y = x.)
25
x dx+ y dy + (x2 + y2)x2 dx = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od x2 + y2. Poiscite ga in
(x− y) dx+ (x+ y) dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od x2 + y2. Poiscite ga in
(x2y2 + x) dy + y dx = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od xy. Poiscite ga in resite
dano diferencialno enacbo. Katera resitev poteka skozi tocko (−1, 1)?
(R: y − 1/(xy) = c, y − 1/(xy) = 2.)
y2 dx− (xy + x3) dy = 0
y(2x− y + 2) dx+ 2(x− y) dy = 0
(x2 + x2y + 2xy − y2 − y3) dx+ (y2 + xy2 + 2xy − x2 − x3) dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od x+ y. Poiscite ga in resite
(x+ 2y) dx+ y dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od x+ y. Poiscite ga in resite
(x+ xy + y2) dx+ (y − x2 − xy) dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od x− y. Poiscite ga in resite
27
(x2y − 1) dy − (xy2 − 1) dx = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od x− y. Poiscite ga in resite
x(y − x2) dx+ y dy = 0
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od y+x2. Poiscite ga in resite
48. S primernim predhodnim preoblikovanjem resite diferencialno enacbo
(2x3y − 1)y dx+ (2xy3 − 1)x dy = 0.
Ali ima enacba posebne resitve?
(R: xy(c− x2 − y2) = 1, x = 0, y = 0.)
(x3 − 2xy2) dx+ 3x2y dy = x dy − y dx
ima integrirajoci mnozitelj, ki je odvisen od (x2 + y2)/x3. Poiscite ga
in resite dano diferencialno enacbo.
(R: 15x(x2 + y2)3 − 30x4y − 20x2y3 − 6y5 = cx5, x = 0.)
28
x dy − 2y dx+ xy2(2x dy + y dx) = 0.
Resitev
dy
Opazimo, da je drugi del totalni diferencial:
dy
ln |y| − 2 ln |x|+ xy2 = c
in na koncu resitev xy2 − ln |x2/y| = c. Posebni resitvi sta ocitno
x = 0, y = 0.
y′ = 1
52. Poiscite splosno resitev diferencialne enacbe
y′ = 2(y − 1) ctg x.
(R: y = c sin2 x+ 1.)
29
y′ shx− y chx = −1.
Resitev
Enacba je nehomogena linearna. Pripadajoca homogena enacba je
y′ shx− y chx = 0, ki jo resimo po locitvi spremenljivk in integraciji:
dy
y =
chx
Po antilogaritmiranju imamo y = c shx. Partikularno resitev nehomo-
gene enacbe dobimo z variacijo konstante: Y = c(x) shx. Enacba za
c(x) je preprosta:
c′(x) sh2 x = −1.
Njena resitev je c(x) = cthx, zato je Y = chx. Splosna resitev dane
enacbe je torej
Resitev
V enacbo vpeljemo z = z(x) = √ y2 + 1, iz cesar dobimo najprej
relacijo yy′ = zz′, enacba pa se transformira v
xzz′ − x2z = (x+ 1)z2.
xz′ − (x+ 1)z = x2.
Njena splosna resitev je z = x(cex − 1), tako da je implicitna oblika
resitve zacetne enacbe: √ y2 + 1 = x(cex − 1).
Resitev
V enacbo vpeljemo z = z(x) = 1/ cos y, kar nam da najprej relacijo
y′ = (cos2 y/ sin y)z′, enacba pa se transformira v nehomogeno linearno
diferencialno enacbo
z′ − 2xz = −4x3.
Njena splosna resitev je z = cex 2 + 2 + 2x2, tako da je implicitna oblika
resitve zacetne enacbe: (cex 2
+ 2 + 2x2) cos y = 1.
31
Resitev
Enacba ima ocitno resitev x = 0. Sicer pa enacbo delimo z x2:
(1− x−2) dx+ (y2 + x+ x−1) dy = 0.
Vpeljemo z = x + x−1, kar nam da najprej relacijo dz = (1− x−2) dx,
enacba pa se transformira v nehomogeno linearno diferencialno enacbo
dz + (y2 + z) dy = 0
oziroma dz
dy + z = −y2.
Njena splosna resitev je z = ce−y − y2 + 2y − 2, tako da je implicitna
oblika resitve zacetne enacbe:
Navodilo. Vpeljite z = tg y, y′ = z′ cos2 y, da dobite linearno enacbo
za z.
(R: tg y = cx+ x2, y = (2k + 1)π/2, k = 0,± 1,± 2, . . .)
32
xy2y′ = x2 + y3.
xy′ = x2e−y + 2.
Resitev
Vpeljemo novo spremenljivko u z relacijo u = ey, u′ = ey y′ = uy′. S
tem dobimo linearno diferencialno enacbo xu′ = 2u+x2, ki ima splosno
resitev u = x2(c+ ln |x|). Splosna resitev zacetne enacbe je implicitno:
ey = x2(c+ ln |x|).
y′ + y = xy3.
Resitev
Enacba je Bernoullijeva. Prepisemo jo v obliko y−3y′ + y−2 = x, nakar
uvedemo novo spremenljivko z = 1/y2, z′ = −2y−3y′. S tem dobimo
nehomogeno linearno enacbo z′ − 2z = −2x. Pripadajoca homogena
enacba je z′−2z = 0, ki jo resimo po locitvi spremenljivk in integraciji:
dz
33
Po antilogaritmiranju imamo y = ce2x. Partikularno resitev nehomo-
gene enacbe dobimo z variacijo konstante: Y = c(x)e2x. Enacba za c(x)
se glasi: c′(x)e2x = −2x. Njena resitev je c(x) = e−2x(2x+1)/2, zato je
Y = x+1/2. Splosna resitev linearne enacbe je zato z = ce2x+x+1/2,
resitev dane enacbe pa je dana z relacijo y2 = 1/(ce2x + x + 1/2).
Posebna resitev je y = 0.
y′ = y2 − x
(R: y2 = c(x+ 1)− 1 + (x+ 1) ln |x+ 1|.)
xy2(xy′ + y) = 1.
√ 1− x2.)
66. Z uvedbo nove spremenljivke z = xy resite diferencialno enacbo
y′ = y2(3xy + 1)
34
.
(R: √ y = (x2 − 1)(c+ ln(x2 − 1)2), y = 0.)
2xy′ + 1 = y + x2
y − 1 .
Navodilo. V enacbo vpeljite novo spremenljivko z = y−1 in jo resujte
kot Bernoullijevo.
35
dx
Ali ima enacba posebno resitev? Katero?
Navodilo. Vpeljite v enacbo novo spremenljivko z = y + 1, da dobite
enacbo
dx
(R: y + 1 = x(c+ ln |y + 1|), y = −1.)
xy′ − 3y + x4y2 = 0.
36
(R: y = x2/(cx− c+ 1), y = 0.)
(x2 − y4)y′ − xy = 0.
y′ = 2x− y x− 2y
.
y′ = x3 + 2xy2 − y3
79. Resite zacetni problem:
(R: y = 2 sin x(1− sinx).)
37
81. Resite zacetni problem:
(R: y = (1− cosx)/x2.)
x3y′ + 2x2y = 3x3 + 1.
85. Za katero resitev diferencialne enacbe
xy′ − (2x2 + 1)y = x2
(R: y = −xex2 ∫∞ x e−u
2 du, limx→∞ y(x) = −1/2.)
38
x(x− 1)y′ + y3 = xy.
(R: (x− 1)2 = y2(2x+ c− 2 ln |x|), y = 0.)
39

naloge iz diferencialnih enacb z re sitvami

Documents