nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat ( bifurkáció )

Makai M: Neutrontranszport

1

Nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat (bifurkáció).Az elágazási pont az alábbi tulajdonságokkal bír. (Hopf, 1942)1. Tétel. Legyen G(,u) egy analitikus leképezése a redukált fázis-térnek és tegyük fel, hogy létezik egy ismert u() megoldása az alábbi egyenletnek:

uGut ,Tegyük fel továbbá, hogy u() instabillá válik, mert a Gu(,u) ope-rátor () sajátértéke nullává válik =0-nál Tegyük fel, hogy (0)=0 és ’(0)>0. Akkor létezik egy sima, nemtriviális megoldás (), u(), ami elágazik az u() megoldásból (0,u0)-nál.

Itt G(,u) egy nemlineáris operátor, benne a paraméter.Egy u(t) megoldás stabil, ha bármely >0-hoz létezik létezik>0 úgy, hogy

0)( utuesetén fennáll minden t-re:

0)0( uu


2

A mérés

Klasszikus rendszer: S-et kölcsönhatásba hozzuk egy B beren-dezéssel. Megvárjuk az egyensúly beállását, ebből meghatároz-zuk S kölcsönhatást leíró paraméterét. B-nek kontinuum sok állapota lehetséges. Nincs olyan kölcsönhatás, ahol a B berende-zés S egyedi részecskéivel hat kölcsön.

Követelmények:

•legyen kölcsönhatás S mérendő mennyiségéhez•B kevéssé változtassa meg S állapotát•az egyensúly elfogadható időn belül álljon be.Példa: hőmérsékletmérés

T1 S


3

A kölcsönhatások leírása

Extenzív és intenzív mennyiségek, az intenzív mennyiségek kiegyen-lítődnek.Az intenzív mennyiségek gradiensei áramot indítanak, pl.

cDJ

A gradiens azonban kereszteffektusokkal is jár: az anyagi állandókategy mátrix írja le:

i

ijij xMJ

a j.-extenzív mennyiség áramaaz i-ik extenzív mennyiséggradiense (Onsager)

Dufour-effektus (termodiffúzió), Peltier-effektus stb.

anyagi állandó


4

Kvantumos rendszer

Most a mérendő S rendszernek megszámlálhatóan sok lehetségesállapota van. B-nek viszont véges sok lehetséges állapota van.S lehet “tiszta állapotban” vagy “kevert állapotban”. Tiszta álla-potban S a mérendő fizikai mennyiség A operátrorának sajátálla-potában van:

kkk a A

Valamely k-ra és k S állapotfüggvénye. Ebben az állapotbanA mérésének eredménye ak lesz.Kevert állapotban S állapotfüggvénye legyen , ami kifejthető ak függvények szerint:

pppc


5

A mérés eredményeként valamelyik p-t kapjuk, a mért értéka p állapotban mérhető érték lesz. Állapotredukció.Yakir Aharonov (Univ. of South Carolina): Lehetséges kvantumos rendszeren mérést végezni anélkül, hogya szuperpozíciót a mérés lerombolná. Phys. Letters A, 301, p.130 (2002)Javaslata: weak measurement (kíméletes mérés)Aharonov elvégezte azt a mérést, amit Lucien Hardy írt le, mintgondolatkísérletet.A kísérletben egy elektron és egy pozitron(anti elektron) kölcsönhatását vizsgálják egy interferométerben.A kíméletes mérés eredménye: nagy hiba, sok mérés átlaga vi-szont pontos.


6

Tekintsük az alábbi kísérletet ld.ábra).


7

Mind az elektron, mind a pozitron egy féligáteresztőtükörre esik. A tükör a részecskét két állapot szuper-pozíciójába viszi. A részecskék ebben az állapotbanhaladnak egy-egy csatornán. Az interferométer az útvégén újra összehozza a két részecskét. Az ütközéseredménye attól függ, milyen állapotban vannak arészecskék. Ha a részecske zavartalanul utazik, akkora C detektorba jut, ha viszont kölcsönhatásba lépettmás részecskével vagy térrel, akkor a D detektorbajut. Ha az interferométer két csatornáját úgy képezzükki, hogy azok találkoznak, akkor a találkozás helyén szétsugárzódnak. Ritkán, de előfordulhat, hogy mind-két részecske a D detektorba jut, azaz, találkoztak, denem sugárzódtak szét. Vagyis, a kölcsönhatás úgy isvizsgálható, hogy mindkét részecske megmarad az eredeti állapotában. (2xD „jel” a mérés eredménye)


8

Liouville-tétel

Amennyiben a részecskeszám megmarad, a fázistérbeli sűrűségnem változhat:

0),(),(),( qqpfpqpfqpf qpt

A mozgásegyenletekből pedig tudjuk:

ii qipi HpqpHq );,(

Amennyiben at S rendszer termodinamikai egyensúlyban van,bármely lehetséges állapota egyenlően valószínű. (Posztulátum)Ezért csak olyan állapotokkal foglalkozunk, ahol a fluktuációkkicsik.


9

Milyen mennyiségeket lehet megfigyelni?

A mérésekben makroszkopikus mérőberendezés lép kölcsönhatásbaa vizsgált S rendszerrel. A mért jel (VÁLASZ) a következő alakú:

B

vdtrddtvrBf 33),,(

a berendezés térfogata

a berendezés paramétere

S-re jellemző eloszlás fv.

Példa: 1,neutrongázban: reakciógyakoriság, ott B=neutron hkrm2, fémben vezetőképesség mérés: B-külső térerő, a válasz: elektro-mos áram


10

Lineáris válasz

)()( 0 tBBtB

Itt B0 az egyensúlyi érték. Ha F nem túl erős(az elektromos példa esetén j=E)Általában:

)()( tFtB

t

BA dttFtttB ')'()'()(

válaszfüggvény

A mérés úgy történik, hogy egy makroszkopikus gerjesztés hat az Srendszerre és mérjük annak válaszát. A gerjesztés annyit jelent, hogy a Hamilton-operátor H0H0+AF(t) módon megváltozik. Példa: Ha F(t) elektromos tér, akkor A a csatolást biztosító dipól-momentum (S egyik paramétere). A változás hatására S-ben is változások mennek végbe. Figyeljük meg a B mennyiség változását:


11

A transzportelmélet tárgya:

fotonok transzportja (sugárvédelem, orvosi vizsgálatok,csillagá- szat)neutronok transzportja (reaktorfizika, plazmafizika, anyagszerke-zet vizsgálata neutronokkal)elektrontranszport (különleges mikroelektronika tervezése)anyagáramlás (folyadékok és gázok áramlása extrém körülmények között)

Az előadásban többnyire csak általános kérdéseket érintünk, egyesmódszereket viszont a neutrontranszport keretében dolgoztak ki(pl. aszimptotikus elmélet).


12

Boltzmann-féle transzportegyenlet

Legyen N molekula V térfogatban, a hőmérséklet legyen kellőenmagas, a sűrűség pedig kellően alacsony ahhoz, hogy a molekulá-kat lokális hullámcsomagként lehessen kezelni. Ennek feltétele,hogy a molekulák közötti távolsághoz képest a de Brogli-félehullámhossz legyen kicsi:

12

3/1

V

N

mkT

Ebben a közelítésben a molekulát klasszikus részecskének lehettekinteni, tehát lehet pontosan meghatározott helye és impulzusa.A molekulák között csak az ütközések révén van kcshatás, ennekhkrm-e adott (). A molekulákat egyformának tekintjük. Az edényfaláról csak rugalmas visszaverődés lehetséges. A gázt sűrűség-függvénnyel írjuk le. N>>1, az infinitezimális térfogat d3r~10-10 cm3.


13

A gáz leírására f(r,v,t)-t használjuk, a független változókat -térelemeinek nevezzük. Az (r és v) változókat egyenlő cellákra osztjuk, az integrált összeggel helyettesítjük. f normálását így választjuk:

Nvrddtvrf 33),,(

V

Nvdtvrf 3),,(

Ha a molekulák egyenletesen vannak elosztva V-ben, akkor

Feladat: meghatározni f(r,v,t)-t adott kcshatás esetén. Mivel t→esetén f(r,v,t) meghatározza S minden egyensúlyi paraméterét, akinetikus elmélet nem független a termodinamikai leírástól.Első lépésként vizsgáljuk meg, milyen egyenletből határozhatómeg az eloszlásfüggvény!


14

Kezdjük a kcshatás mentes esettel. Ekkor dt idő alatt:

vrddtvrfvdrddttdtm

Fvvdtrf 3333 ,,'',,

Az ütközések leírására bevezetjük a ütkt fütközési sebességet, amivel

ütktvrt tvrftvrfm

Fv ),,(),,(

kibeütkt RRf

0),,(

tfmt r vrF

v v


15

Az ütközési integrálok kiszámítása

v1

v2

v1’

v2’

)vv(;vv2

11221 uV + ugyanez a ‘ sebességekre is

V=V’ és |u|=|u’|. Továbbá, d3v1d3v2=d3v1’d3v2-ből következik:d3Vd3u=d3V’d3u’.


16

A reakciógyakoriság kiszámítása

A reakciógyakoriság |u|-tól függ, V-től nem. Legyen u=u|,ekkor az 1 sec alatt (,+d) térszögbe szóródott moleku-lák számát

dI )(Adja meg, itt I-az 1 cm2-en 1 sec alatt beeső molekulák száma,() a differenciális hkrm, mérhető mennyiség. Legyen

21212121 ,','',', vvvvvvvv

A hkrm rendelkezik az alábbi szimmetriákkal:

A v2-v1 és v2’-v1’vektorok által bezárt szög

a Időtükrözés:

21212121 '~,'~~,~',', vvvvvvvv b Térbeli forgatás:

2121 ',', vvvv


17

c Fordított ütközés: 21212121 ,|','',', vvvvvvvv

Az ütközési integrál kiszámításához az alábbi feltevésekkelélünk:•csak bináris ütközéseket veszünk figyelembe•az edény falának hatását elhagyjuk•feltesszük: a szórási folyamatra külső erők nem hatnak•a molekula sebessége nem függ a térbeli helyétől

Az utolsó feltevés rögzíti a molekuláris káoszt.Az r körüli d3r-ben található (v1,v1+d3v1) sebességű ésaz r körüli d3r-ben található (v2,v2+d3v2) sebességű molekula-párok száma

233

2133

1 ),,(),,( vrvrvrvr ddtfddtf


18

Határozzuk meg, a v1 sebességű molekulákra eső v2 sebességűmolekulák áramát:

dtddtftfRbe 23

1221 ''''),',(),',( vvvvrvr

A dt idő alatti ütközések száma:

2123

2 ),,( vvvvr dtfI

Az Rkid3v1 tagot ebből úgy kapjuk, hogy integrálunk v2-re ésmegszorozzuk f(r,v1,t)-vel:

dtddtfdtdI 2123

2 ),,( vvvvr

Az Rbed3v1 tagot analóg módon állíthatjuk elő:

dtddtftfRki 23

2121 ),,(),,( vvvvrvr


19

A c szimmetria miatt ’=, b miatt 2121 '' vvvv

A Liouville-tétel miatt az infinitezimális térfogatok azonosak.Ezért:

dtddffffdtf ütkt 23

212121 '')( vvv

Az ütközési integrál Rbe-Rki,ezért

dtddtftfRbe 23

2121 '),',(),',( vvvvrvr

),',(');,,( 1111 tfftff vrvr stb.


20

Ezzel a sűrűségfüggvényre vonatkozó Botzmann-egyenlet:

23

212121

11

''

1

vvv

Fv v

ddffff

fmrt

nem-lineáris rendszerek esetében a pálya elágazhat ( bifurkáció )

Documents