neuloživi kvazi-rezidualni dizajni

Uvod - kvazi-rezidualni dizajni Uloivost Uvjeti neuloivosti Tehnike konstrukcije Hadamardovi i Menonovi dizajni

Neuloivi kvazi-rezidualni dizajni

Nina Mavrovic

Odjel za matematikuSveucilite u Rijeci

17.12.2010.


Literatura

Mohan S. SHRIKHANDE and Tariq A. ALRAQAD:

Recent results on families of symmetric designs andnon-embeddable quasi-residual designs


Sadraj

1 Uvod - kvazi-rezidualni dizajni

2 Uloivost

3 Uvjeti neuloivosti

4 Tehnike konstrukcije

5 Hadamardovi i Menonovi dizajni


Rezidualni dizajn simetricnog dizajna

Definicija 1.1Neka je S = (X ,B) simetricni (v , k , )-dizajn i B B.

Rezidualni dizajn od S je dizajnSB = (X \ B, {A \ B : A B,A 6= B}) dobiven iz Suklanjanjem svih tocaka iz B.

SB ima parametre (v k , v 1, k , k , ).


Derivirani dizajn simetricnog dizajna

Definicija 1.2Neka je S = (X ,B) simetricni (v , k , )-dizajn i B B.

Derivirani dizajn od S je dizajnSB = (B, {A B : A B,A 6= B}) dobiven iz S uklanjanjembloka B i svih tocaka izvan njega.

SB ima parametre (k , v 1, k 1, , 1), uz uvjet 2.


Rezidualni i derivirani dizajni simetricnog dizajna

S simetrican dizajn, B blok od S

P matrica incidencije od S ciji zadnji stupac odgovarabloku B

M matrica incidencije od SB, N matrica incidencije od SB

P =[M 0N j

]


Primjer 1

Neka je S simetrican (11,5,2)-dizajn i B = {1,3,4,5,9} njegov blok.

SB je 2 (6,3,2) dizajnSB je 2 (5,2,1) dizajnsvaki od preostalih 10blokova particioniran je u 2dijela, koji formiraju SB naskupu tocaka iz B te SB naX \ B

B 1 3 4 5 9

B1 4 5 2 6 10B2 3 5 6 7 0B3 1 4 6 7 8B4 5 9 2 7 8B5 3 9 6 8 10B6 4 9 0 7 10B7 1 5 0 8 10B8 1 9 2 6 0B9 1 3 2 7 10B10 3 4 0 2 8


Primjer 1

Neka je S simetrican (11,5,2)-dizajn i B = {1,3,4,5,9} njegov blok.

0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 01 0 0 1 0 0 0 1 1 1 01 1 1 0 1 0 0 1 0 0 00 1 1 1 0 1 0 0 1 0 00 0 1 1 1 0 1 0 0 1 01 0 0 0 1 1 1 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1 1 1 0 10 1 0 0 1 0 0 0 1 1 11 0 1 0 0 1 0 0 0 1 11 1 0 1 0 0 1 0 0 0 10 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1


Rezidualni i derivirani dizajn simetricnog dizajna

NapomenaRezidualni i derivirani dizajn simetricnog dizajna neodreduju jednoznacno taj simetricni dizajn.

Npr. postoje simetricni (25,9,3)-dizajni D i E te blokovi Aod D i B od E takvi da:

DA ' EB, DA ' EB, ali ne vrijedi D ' E .


Kvazi-rezidualan i kvazi-deriviran dizajn

Definicija 1.3Kvazi-rezidualan dizajn je (v ,b, r , k , ) dizajn za kojega jer = k + .

Kvazi-deriviran dizajn je (v ,b, r , k , ) dizajn za kojega jek = + 1.


Uloivost

Kada je kvazi-rezidualan (kvazi-deriviran) dizajn ujedno irezidualan (deriviran)?

Definicija 2.1Ako je kvazi-rezidualan(deriviran) dizajn ujedno i rezidualan(deriviran) dizajn simetricnog dizajna, kaemo da je uloiv.

Inace kaemo da je neuloiv.


Uloivost

Definicija 2.2.Komplementarni dizajn D dizajna D dobije se zamjenom svihblokova iz D njihovim komplementima.

Komplementarni dizajn kvazi-rezidualnog dizajna jekvazi-derivirani dizajn i obratno.

Kvazi-rezidualan(deriviran) dizajn je uloiv je njegovkomplementarni dizajn uloiv.


Primjer 2. Bhattacharya-in dizajn (1944)

(16,24,9,6,3) dizajn sa skupom tocaka X = {1,2, ...,16} iblokovima:

B1 = {1, 2, 7, 8, 14, 15} B9 = {3, 5, 7, 8, 11, 13} B17 = {2, 3, 8, 9, 13, 16}B2 = {3, 5, 8, 9, 12, 14} B10 = {1, 6, 7, 9, 12, 13} B18 = {2, 5, 7, 10, 13, 15}B3 = {3, 4, 7, 10, 12, 16} B11 = {3, 4, 6, 13, 14, 15} B19 = {4, 5, 7, 9, 12, 15}B4 = {2, 4, 9, 10, 11, 13} B12 = {3, 6, 7, 10, 11, 14} B20 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}B5 = {1, 4, 7, 8, 11, 16} B13 = {2, 4, 8, 10, 12, 14} B21 = {5, 6, 8, 10, 15, 16}B6 = {1, 6, 8, 10, 12, 13} B14 = {1, 2, 3, 12, 13, 15} B22 = {2, 6, 7, 9, 14, 16}B7 = {1, 4, 5, 13, 14, 15} B15 = {2, 5, 6, 11, 12, 16} B23 = {1, 3, 9, 10, 15, 16}B8 = {4, 6, 8, 9, 11, 15} B16 = {1, 5, 9, 10, 11, 14} B24 = {11, 12, 13, 14, 15, 16}

|B6 B10| = 4 ne moe se uloiti u sim. (25,9,3)-dizajn


Uloivost kvazi-rezidualnih dizajna

Neka je D kvazi-rezidualan 2 (v , k , ) dizajn. Ako je: = 1 = 2 D je rezidualan (Hall,Connor; 1954).

Teorem 2.3Kvazi-rezidualan 2 (v , k , ) dizajn sa 2 je uloiv ujedinstveni simetricni (v + k + , k + , ) dizajn.


Uloivost kvazi-rezidualnih dizajna za 3

Teorem 2.4 (Bose, S.Shrikhande, Singhi; 1976)Neka je 3 i g() definiran sa:

g() =

76, = 312 ( 1)(4 22 + + 2), 4 9(1)2(2)

2 [1 + ( 1)( 2)] + 1++ (1)(2)2

( 1)2[1 + ( 1)( 2)]2 + 4( 1) > 9

Tada je svaki kvazi-rezidualan 2 (v , k , ) dizajn sa 3 ik > g() uloiv u jedinstveni simetricni (v + k + , k + , )dizajn.


Uloivost kvazi-rezidualnih dizajna za 3

Teorem 2.5 (Neumaier, 1982)Kvazi-rezidualan 2 (v , k , ) dizajn je uloiv ako je ili:

= 3 i k > 76;

ili 6= 3 i k > 12(2 1)(3 2 + 2).

Teorem 2.6. (Metsch, 1995)Kvazi-rezidualan 2 (v , k , ) dizajn je uloiv ako je:

k > (83+ + 5)( 1)2.


Uvjeti neuloivosti

Razlozi neuloivosti kvazi-rezidualnog dizajna:

1 trivijalan tip uvjeta;2 uvjeti koji ovise o presjecima blokova;

m - blokovni uvjet neuloivosti

3 uvjeti nejednakosnog tipa i uvjeti djeljivosti;

4 uvjeti dobiveni koritenjem kodova i grafova.


1) Trivijalan tip uvjeta neuloivosti

kvazi-rezidualan dizajn je neuloiv ako pridruenisimetricni dizajn ne postoji

to se dokazuje B R C teoremom

Teorem 3.1.Neka su v , k , cijeli brojevi takvi da je (v 1) = k(k 1), zakoje postoji simetricni (v , k , ) dizajn. Tada ako je:

1 v paran k kvadrat;2 v neparan jednadba z2 = (k )x2 + (1) v12 y2

ima za rjeenje x , y , z Z koji nisu svi jednaki 0.


2) Uvjeti koji ovise o presjecima blokova

pokae se da kvazi-rezidualan dizajn sadri kolekcijublokova sa specificnim velicinama presjeka po dva bloka,koje sprjecavaju da dizajn bude uloiv

Pr.: Dizajn Bhattacharya-inog tipa nije uloiv jer ima parblokova koji se sijeku u vie od tocaka


2) Primjer: 2 (25,10,6) dizajn, X = {1, ...,25}, B = {B1, ...,B40}

B1 = {1, 3, 4, 7, 10, 13, 14, 18, 19, 21} B21 = {1, 3, 4, 6, 8, 9, 21, 22, 25, 11}B2 = {2, 4, 5, 8, 6, 14, 15, 19, 20, 22} B22 = {2, 4, 5, 7, 9, 10, 22, 23, 21, 12}B3 = {3, 5, 1, 9, 7, 15, 11, 20, 16, 23} B23 = {3, 5, 1, 8, 10, 6, 23, 24, 22, 13}B4 = {4, 1, 2, 10, 8, 11, 16, 17, 24} B24 = {4, 1, 2, 9, 6, 7, 24, 25, 23, 14}B5 = {5, 2, 3, 6, 9, 12, 13, 17, 18, 25} B25 = {5, 2, 3, 10, 7, 8, 25, 21, 24, 15}B6 = {6, 7, 10, 12, 15, 18, 19, 22, 25, 1} B26 = {11, 13, 14, 3, 4, 6, 7, 10, 17, 20}B7 = {7, 8, 6, 13, 11, 19, 20, 23, 21, 2} B27 = {12, 14, 15, 4, 5, 7, 6, 8, 18, 16}B8 = {8, 9, 7, 14, 12, 20, 16, 24, 22, 3} B28 = {13, 15, 11, 5, 1, 8, 9, 7, 19, 17}B9 = {9, 10, 8, 15, 13, 16, 17, 25, 23, 4} B29 = {14, 11, 12, 1, 2, 9, 10, 8, 20, 18}B10 = {10, 6, 9, 11, 14, 17, 18, 21, 24, 5} B30 = {15, 12, 13, 2, 3, 10, 6, 9, 16, 19}B11 = {21, 23, 24, 3, 4, 12, 15, 17, 20, 6} :B12 = {22, 24, 25, 4, 5, 13, 11, 18, 16, 7} B37 = {12, 14, 15, 4, 5, 7, 6, 8, 18, 16}: B38 = {13, 14, 12, 25, 21, 3, 5, 1, 20, 16}B19 = {20, 16, 17, 18, 1, 2, 6, 7, 25, 23} B39 = {14, 15, 13, 21, 22, 4, 1, 2, 16, 17}B20 = {16, 17, 18, 19, 2, 3, 7, 8, 21, 24} B40 = {15, 11, 14, 22, 23, 5, 2, 3, 17, 18}



Definicija 3.2 (m - blokovni uvjet neuloivosti)Neka je Pm skup svih polinoma

f = a+ a0x0 +mi=1

mj=1

aijxij , a0,aij Z, a {0,1}.

Neka je F Pm.

Kaemo da 2 (v , k , ) dizajn D zadovoljavanejednakost F > 0 ako D ima m razlicitih blokova B1, ...,Bm t.d. ako jex0 = i xij = |Bi Bj | (i , j = 1, ...,m) tada je vrijednost svakogpolinoma f F pozitivna.Skup F se zove m blokovni uvjet neuloivosti ako je svaki

kvazi-rezidualni dizajn koji zadovoljava F > 0 neuloiv.




f = a+ a0x0 +mi=1

mj=1


Neka je F Pm. Kaemo da 2 (v , k , ) dizajn D zadovoljavanejednakost F > 0 ako D ima m razlicitih blokova B1, ...,Bm t.d. ako jex0 = i xij = |Bi Bj | (i , j = 1, ...,m) tada je vrijednost svakogpolinoma f F pozitivna.

Skup F se zove m blokovni uvjet neuloivosti ako je svaki





f = a+ a0x0 +mi=1

mj=1


Neka je F Pm. Kaemo da 2 (v , k , ) dizajn D zadovoljavanejednakost F > 0 ako D ima m razlicitih blokova B1, ...,Bm t.d. ako jex0 = i xij = |Bi Bj | (i , j = 1, ...,m) tada je vrijednost svakogpolinoma f F pozitivna.Skup F se zove m blokovni uvjet neuloivosti ako je svaki




Primjerdizajn Bhattacharya-inog tipa zadovoljava 2-blokovni uvjetneuloivosti za F = {x0 + x12}

Teorem 3.3Skup F = {x0 x11 + x12 + x13 + x23} je 3 - blokovni uvjetneuloivosti.


2) Primjer 3.

2-(12,6,5) dizajn D, X = {1, ...,12}, B = {B1, ...,B22}B1 = {3, 5, 6, 8, 10, 11} B2 = {1, 2, 6, 8, 10, 11} B3 = {2, 3, 6, 8, 11, 12}B4 = {1, 2, 3, 7, 8, 9} B5 = {4, 5, 6, 7, 8, 12} B6 = {1, 2, 4, 7, 8, 10}B7 = {1, 2, 5, 7, 11, 12} B8 = {3, 4, 6, 7, 8, 9} B9 = {3, 4, 5, 7, 10, 11}B10 = {1, 3, 4, 9, 10, 11} B11 = {2, 5, 6, 7, 9, 10} B12 = {1, 3, 5, 8, 9, 12}B13 = {2, 4, 6, 9, 10, 12} B14 = {1, 3, 6, 7, 10, 12} B15 = {2, 4, 5, 8, 9, 11}B16 = {1, 4, 5, 8, 10, 12} B17 = {1, 4, 6, 9, 11, 12} B18 = {2, 3, 5, 9, 10, 12}B19 = {1, 5, 6, 7, 9, 11} B20 = {2, 3, 4, 7, 11, 12} B21 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}B22 = {7, 8, 9, 10, 11, 12}

B1, B2 i B3 zadovoljavaju nejednakost iz teorema 3.3. D je neuloiv



Teorem 3.4Skup F = {x12 x13 x23} je 3 - blokovni uvjet neuloivosti.

Primjer 4. 2-(21,9,6) dizajn, X = {1, ...,21}, B = {B1, ...,B35}B1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 14, 15} B2 = {1, 2, 5, 9, 11, 13, 14, 16, 18}B3 = {3, 7, 8, 11, 12, 16, 17, 19, 20} B4 = {1, 2, 3, 4, 8, 13, 19, 20, 21}B5 = {1, 2, 4, 7, 10, 12, 13, 15, 17} B6 = {1, 2, 3, 9, 10, 12, 18, 19, 20}B7 = {1, 3, 6, 7, 11, 12, 13, 18, 21} B8 = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 19}B9 = {1, 6, 7, 9, 10, 14, 17, 20, 21} B10 = {1, 4, 5, 6, 8, 16, 17, 18, 20}...


Uvjeti neuloivosti

Napomena - neuloivost kvazi-rezidualnog dizajna

za k v2 vecinom se koriste uvjeti temeljeni na presjecimablokova

za k > v2 se koriste B R C teorem, kodovi i grafovi, teuvjeti nejednakosnog tipa i djeljivosti


Tehnike konstrukcije kvazi-rezidualnih dizajna

van Trung je koristio grupe automorfizama za konstrukciju2 (25,10,6) i 2 (36,16,12) kvazi-rezidualnih dizajna;

Tonchev je koristio kodove i grafovekrece se od matrice incidencije A kvazi-rezidualnog dizajnazatim se izbriu neki redovi od A te ih se popunjavakoritenjem kodova i grafovaucinkovita metoda za male parametre



neke metode konstrukcije koriste i rjeive dizajne

Definicija 4.1.Neka je D = (X ,B) 2 (v , k , ) dizajn. Paralelna klasa u D jepodskup disjunktnih blokova iz B cija unija je X . Kaemo da jedizajn D rjeiv ako se B moe particionirati u r paralelnih klasa.

Svaka paralelna klasa sadri v/k blokova.

Zato D moe imati paralelnu klasu samo ako jev 0(mod k).



Teorem 4.2. (van Trung, 1990)Ako postoji rjeivi (v ,b, r , k , ) dizajn R i ne nuno izomorfni(v1,b1, r1, k1, 1) dizajni D1, ...,Dr , gdje je v1 = vk , tada postoji2-dizajn D s parametrima (v , rb1, rr1, kk1, r1+ (r )1).

Nadalje, ako jer k

=k1

r1 1 , tada je D kvazi-rezidualan.



Ionin i Mackenzie-Fleming su uveli metodu koja koristi BGW matrice iGH matrice.

Teorem 4.3. (Ionin, 2001)

Neka je r neparna prim potencija i D (r + 1,2r , r , r+12 ,r1

2 ) dizajn kojizadovoljava m-blokovni uvjet neuloivosti.Tada za svaki n N postoji kvazi-rezidualan dizajn koji zadovoljavam-blokovni uvjet neuloivosti s parametrima

((r + 1)(rn 1)

r 1 ,2r(rn 1)

r 1 , rn,

(r + 1)rn1

2,(r 1)rn1

2).


Kvazi-rezidualni Hadamardovi dizajni

Primjer

1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1

Hadamardova matrica reda 8

,

1 1 1 0 0 0 01 0 0 1 1 0 01 0 0 0 0 1 10 1 0 1 0 1 00 1 0 0 1 0 10 0 1 1 0 0 10 0 1 0 1 1 0

matrica incid. sim.(7,3,1)-dizajna



Teorem 5.1.Neka je m > 1. Hadamardova matrica reda 4m postojipostoji simetrican (4m 1,2m 1,m 1)-dizajn.

Definicija 5.2.Neka je k > 1. Simetricni (4k 1,2k 1, k 1)-dizajn senaziva Hadamardov dizajn.

Kvazi-rezidualan dizajn Hadamardovog dizajna naziva sekvazi-rezidualan Hadamardov dizajn.

On ima parametre: 2 (2k , k , k 1).


Uloivost kvazi-rezidualnih Hadamardovih dizajna

2 (2k , k , k 1) dizajni za k 5 su uloivi (van Lint, vanTilborg, Wiekema; 1977).

Za k > 5 konstruirani su neki neuloivi kvazi-rezidualniHad. dizajni s parametrima:

2 (12,6,5), 2 (16,8,7), 2 (20,10,9)(Mackenzie-Fleming);2 (14,7,6), 2 (18,9,8) (Alraqad).Svi oni zadovoljavaju 3-blokovni uvjet iz teorema 3.2.



Alraqad i Shrikhande su 2009. koristili GH matrice zakonstrukciju nekih beskonacnih familija neuloivihkvazi-rezidualnih Hadamardovih dizajna.

Teorem 5.3.Neka je D kvazi-rezidualan 2-(2k , k , k 1) dizajn kojizadovoljava 3-blokovni uvjet neuloivostiF = {x0 x11 + x12 + x13 + x23} > 0. Ako postojiHadamardova matrica reda n, tada postoji kvazi-rezidualan2 (2nk ,nk ,nk 1) dizajn E koji zadovoljava isti uvjetneuloivosti.


Kvazi-rezidualni Menonovi dizajni

Definicija 5.4.

Menonov dizajn reda h2 je simetricni(4h2,2h2 h,h2 h)-dizajn.Kvazi-rezidualan/deriviran dizajn Menonovog dizajna redah2 naziva se kvazi-rezidualan/deriviran Menonov dizajnreda h2.

Prvi ima parametre 2 (2h2 + h,h2,h2 h).Drugi ima parametre 2 (2h2 h,h2 h,h2 h 1).



Definicija 5.5.Hadamardova matrica H je regularna ako ima konstantnu sumuredaka.

Teorem 5.6. (Alraqad, Shrikhande; 2008)Neka su h i n pozitivni cijeli brojevi i H regularna Hadamardovamatrica reda 4h2. Pretpostavimo da postoje kvazi-rezidualni ikvazi-derivirani Menonovi dizajni D i E reda n2.Tada postoje kvazi-rezidualni i kvazi-derivirani Menonovi dizajniD1 i E1 reda (2nh)2.



Teorem 5.7. (Alraqad, Shrikhande; 2008)Neka su h i n pozitivni cijeli brojevi, te D,E ,D1,E1 i H kao uteoremu 5.6. Pretpostavimo da D zadovoljava F > 0 i dakomplementarni dizajn od E zadovoljava F 0.Tada D1 ikomplementarni dizajn od E1 zadovoljavaju F > 0.


Primjer 5

E 2-(15,6,5) dizajn, X = {1, ...,15}, B = {B1, ...,B35}B1 = {2, 4, 6, 9, 12, 15} B2 = {2, 4, 6, 8, 11, 14} B3 = {1, 3, 5, 7, 10, 13}B4 = {1, 3, 5, 8, 11, 14} B5 = {1, 3, 5, 9, 12, 15} B6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}...

BC1 = {1, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 13, 14} BC2 = {1, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 13, 15}BC3 = {2, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15}

|BC1 BC2 | |BC1 BC3 | |BC2 BC3 | = 6 3 3 = 0 E zadovoljava F 0 za F = {x12 x13 x23}


Primjer 4.

D 2-(21,9,6) dizajn, X = {1, ...,21}, B = {B1, ...,B35}B1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 14, 15} B2 = {1, 2, 5, 9, 11, 13, 14, 16, 18}B3 = {3, 7, 8, 11, 12, 16, 17, 19, 20} B4 = {1, 2, 3, 4, 8, 13, 19, 20, 21}B5 = {1, 2, 4, 7, 10, 12, 13, 15, 17} B6 = {1, 2, 3, 9, 10, 12, 18, 19, 20}B7 = {1, 3, 6, 7, 11, 12, 13, 18, 21} B8 = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 13, 19}B9 = {1, 6, 7, 9, 10, 14, 17, 20, 21} B10 = {1, 4, 5, 6, 8, 16, 17, 18, 20}...

D zadovoljava F = {x12 x13 x23} > 0



Primjenom teorema 5.6. i 5.7., te koritenjem dizajna izprimjera 4 i 5 dobivamo sljedeci korolar.

Korolar 5.8.Neka je h pozitivan cijeli broj. Ako postoji regularnaHadamardova matrica reda 4h2, tada postoje neuloivikvazi-rezidualni i kvazi-derivirani Menonovi dizajni saparametrima 2 (72h2 + 6h,36h2,36h2 6h) i2 (72h2 6h,36h2 6h,36h2 6h 1) redom.



Uz druge pocetne dizajne D i E Shrikhande i Alraqad su dobili isljedeci korolar.

Korolar 5.9.Neka je h pozitivan cijeli broj. Ako postoji regularnaHadamardova matrica reda 4h2, tada postoje neuloivikvazi-rezidualni i kvazi-derivirani Menonovi dizajni saparametrima 2 (128h2 + 8h,64h2,64h2 8h) i2 (128h2 8h,64h2 8h,64h2 8h 1) redom.



Teorem 5.10.Postoje neuloivi kvazi-rezidualni i kvazi-derivirani Menonovidizajni redova 36h2 i 64h2, gdje je:

1 h = 2 3m, m poz. cijeli broj;2 2 t2, t neparan cijeli broj;3 h 1 i h + 1 prim potencije;4 h = 4qm, q = 8m2 1 prim potencija, te postoji Hadam.

matrica reda 4m;

5 h poz. cijeli broj i h ili 2h ili 3h ili 6h kvadrat.



Teorem 5.10.Postoje neuloivi kvazi-rezidualni i kvazi-derivirani Menonovidizajni redova 36h2 i 64h2, gdje je:

1 h = 2 3m, m poz. cijeli broj;2 2 t2, t neparan cijeli broj;3 h 1 i h + 1 prim potencije;4 h = 4qm, q = 8m2 1 prim potencija, te postoji Hadam.

matrica reda 4m;

5 h poz. cijeli broj i h ili 2h ili 3h ili 6h kvadrat.

Uvod - kvazi-rezidualni dizajni

Uloivost

Uvjeti neuloivosti

Tehnike konstrukcije

Hadamardovi i Menonovi dizajni

neuloživi kvazi-rezidualni dizajni

Documents