silvia kolari c - fsb.unizg.hr filehiperrealni brojevni sustav hiperrealni pravac decimalna...

Hiperrealni brojevni sustavHiperrealni pravac

Decimalna reprezentacija

Hiperrealni pravac

Silvia Kolaric

3. veljace 2011.

Silvia Kolaric Hiperrealni pravac



Table of contents

1 Hiperrealni brojevni sustav

2 Hiperrealni pravac

3 Decimalna reprezentacija




Hiperrealni brojevni sustav

Definicija

Struktura S je hiperrealni brojevni sustav ako zadovoljava sljedecetvrdnje:

1 S sadrzi realne brojeve

2 S sadrzi infinitezimal.(∃} ∈ S takav da je } ≥ 0 i } ≤ r za svaki pozitivan realanbroj)

3 Ako je B recenica u L tada je B istinita u S ako i samo ako jeB istinita u R




Hiperrealni brojevni sustav HR

Definirat cemo brojevni sustav HR za koji cemo provjeriti daima svojstva iz prethodne definicije

Hiperrealne brojeve definiramo kao nizove realnih brojeva

Moze se dogoditi da dva ili vise razlicitih nizva predstavljajuisti hiperrealni broj

Definicija

Dva niza brojeva i(0), i(1), i(2), ... i k(0), k(1), k(2), ...predstavljaju isti realan broj ako je skup {n|i(n) = k(n)}kvazi-velik.





Definicija (Svojstva kvazi-velikih skupova)

1 Niti jedan konacan skup nije kvazi-velik.

2 Ako su A i b kvazi-veliki skupovi tada je i A ∩ B kvazi-velik.

3 Ako je A kvazi-velik i A ⊆ B, tada je i B kvazi-velik.

4 Neka je A bilo koji skup. Tada je ili A ili Ac kvazi-veliki skup.

Funkcije na HR definiramo na sljedeci nacin:Neka je j(0), j(1), j(2), ... neki niz hiperrealnih brojeva, definiramof (j) kao f (j(0)), f (j(1)), f (j(2)), ... sto je takoder hiperrealan broj.Lako se pokaze da ako j i k predstavljaju isti hiperreal da je if (j) = f (k)Relacije definiramo na sljedeci nacin:R(j) je istina ako i samo ako je skup {n|R(j(n)) je istina}kvazi-velik.





Tvrdimo: HR je hiperrealan brojevni sustav

1 r u HR definiramo kao niz r , r , r , ...

2 Ako } definiramo kao niz 1, 12 ,13 ,

14 , ... slijedi

} > 0 jer je svaki clan niza veci od 0} < r za svaki r ∈ R. Pogledajmo skup A = {n|} < r(n)}.Buduci da za svaki r mozemo pronaci k takav da je 1

k < r ,slijedi A je kvazi-velik. r je proizvoljan pa slijedi } jeinfinitezimal.

3 Da bismo provjerili svojstvo 3 potreban nam je Los-ov teorem:Ako je G recenica u L∗ G je istinita u HR ako i samo ako jeskup {n|Gn je istinita u R} kvazi-velik.




Hiperrealni pravac

Linearni uredaj na skupu realnih brojeva nam omogucuje smjestanjerealnih brojeva na pravac. Konkretno, bitna su nam svojstvatranzitivnost i usporedivost (svaka dva realna broja su usporediva).

Zadatak

Izmisli skup i uredaj koji zadovoljava svojstvo usporedivosti, ali ne itranzitivnostiRjesenje:Promatrajmo skup R i neka je relacija R dana sa ”a se razlikuje odb za manje od 2, tj. aRb ⇔ |a− b| < 2

1 ocito a i b su usporedivi za svaki a, b ∈ R2 5R4⇔ |5− 4| < 2

4R3⇔ |4− 3| < 2, ali|5− 3| ≮ 2⇒ a¬Rb




Hiperrealni pravac

Hiperrealni brojevi imaju svojstvo totalnog uredaja ( Los-ov teorem)jer se to svojstvo moze zapisati recenicama u L:

1 ∀x1,∀x2(x1 6= x2 → (x1 < x2 ∨ x2 < x1)∧ ∼ (x1 < x2 ∧ x2 <x1))

2 ∀x1∀x2∀x3((x1 < x2 ∧ x2 < x3)→ x1 < x3)

Definicija

Hiperrealan broj je nestandardni ako nije realan.

Definicija

Hiperrealan broj je infinitezimalan ako nije jednak nuli, ali jemanji od svakog pozitivnog reaalnog broja i veci od svakognegativnog realnog broja.




Hiperrealni pravac

Teorem

Ako su }1 i }2 inifinitezimali i r 6= 0 realan brojtada vrijedi:

1 }1 · r je infinitezimal

2 }1 ·}2 je infinitezimal

3 ako je }1 + }2 6= 0, tada je }1 + }2 infinitezimal

Dokaz:1. i 2. vrijedi jer ∀a, b 6= 0⇒ a · b 6= 0 i to mozemo zapisatirecenicom ∀x ,∀y(x 6= 0 ∧ y 6= 0→ xy 6= 0). Buduci da je tarecenica istinita za realne brojeve, istinita je i za hiperrealne.

1 }1 <s|r | ⇒ |}1 | · |r | = |}1 ·r | < s, ∀s

2 |}1 | < s ∧ |}2 | < 1⇒ |}1 ·}2 | < s,∀s

3 Uzmimo }1 <s2 i }2 <

s2 .

|}1 + }2 | ≤ |}1 |+ |}2 | < s2 + s

2 = s




Hiperrealni pravac

Teorem

Ako je r realna u h nestandardan, tada je r + h nestandardan.Dokaz:Pretpostavimo suprotno, tj. r + h je realan. Uzmimo s = r + h.Slijedi h = s − r . No, s − r je realan, pa slijedi da je h realan, a toje kontradikcija.

Prethodna dva teorema nam govore da ima beskonacno mnogoinfinitezimala i da je svaki realan broj okruzen maglicomnestandardnih brojeva koji su mu infinitezimalno blizu. Hiperrealnipravac mozemo zamisljati na sljedeci nacin:




Hiperrealni pravac

Definicija

Dva hiperrealna broja s i t su infinitezimalno blizu ako je s − tinfinitzimal ili 0. Oznaka: s ≈ t

Zadatak

1 Dokazite da je } + } nestandardanDokaz: } + } je inifinitezimal po tm.1. pa je dakle inestandardan.

2 Dokazite da je }2 nestandardanDokaz: Takoder po tm.1. Stavimo |} | <

√s, a odatle slijedi

}2 < s, tj }2 je infinitezimal, dakle nestandardan.

3 Dokazite za r 6= 0 realan vrijedi: }r inifinitezimal

Dokaz: Za proizvoljne r , s uzmimo |} | < |r · s|, a odatleslijedi:

∣∣}r

∣∣ < |s|Silvia Kolaric Hiperrealni pravac



Hiperrealni pravac

Zadatak

1 Dokazite da ako je a < b < c i a ≈ c, tada je a ≈ bDokaz: Mozemo nejednakost zapisati i na ovaj nacin:0 < b − a < c − a0 < b − a < }, a odatle slijedi da je b − a infinitezimal,tj.a ≈ b

2 Dokazite da su 4 i 4 + } infninitno blizuDokaz: 4 + }− 4 = }⇒ 4 + } ≈ 4

3 Dokazite da ako a ≈ b i b ≈ c, tada je a ≈ cDokaz: Stavimo: a− b = }1 i b − c = }2

a− c = a− b + b − c = }1 + }2 = } Slijedi a ≈ c poTeoremu 1.




Hiperrealni pravac

Zadatak

1 Dokazite da ako je a ≈ b i a 6= b tada je barem jedan od njihnestandardan.Dokaz: a− b = }⇒ a = b + } uz uvjet a 6= b povlaci da jebarem a nestandardan.

2 Dokazite da ako je a ≈ b i c ≈ d, tada je a + c ≈ b + dDokaz:Stavimo a− b = }1 i c − d = }2. Tada jea + c − (b + d) = }1 + }2 = } odnosno a + c ≈ b + d

3 Dokazite da ako a ≈ b i c ≈ d, tada je ac ≈ bdDokaz:Stavimo a− b = }1 i c − d = }2. Sada imamo

}1 ·}2 = (a− b) · (c − d) = ac − bc − ad + bd

= ac − bc + bd − ad + bd − bd

= ac − b }2 −d }1 −bd




Hiperrealni pravac

Zadatak

1 Dokazite da ako je ab infinitezimal, tada je ili a ili binfinitezimal.Dokaz:Pretpostavimo da a i b nisu infinitezimali. Tada vrijedi|a| > r1 > 0 i |b| > r2 > 0 Vidimo da je|a| · |b| = |a · b| > r1 · r2 > 0⇒ |a · b| > } a to jekontradikcija.

2 Dokazite da je√} inifnitezimal

Dokaz:Pretpostavimo suprotno. Neka je s ∈ R, s > 0 i nekaje√} = s > 0⇒ } = s2, a to je kontradikcija sa s ∈ R.




Hiperrealni pravac

Definicija

Hiperrealan broj je infinitan ako je ili veci ili manji od svih realnihbrojeva. Ako hiperrealan broj nije infninitan tada je finitan.

Teorem1} je infinitan hiperrealan broj

Dokaz: Buduci da je } > 0, 1} > 0 i 1

} veci od svih negativnih

realnih brojeva. Ako je r > 0 realan broj, tada zbog } < 1r slijedi

da je 1} > r te je 1

} infinitan.

Sada sliku hiperrealnog pravca zamisljamo ovako:




Hiperrealni pravac

Teorem

HR sadrzi infinitne cijele brojeveDokaz: Znamo da u skupu realnih brojeva vrijedi: za svaki realnibroj a postoji cijeli broj n koji je veci od a.Buduci da to mozemo zapisati pomocu recenice u L:∀x1,∃x2(x1 < x2 ∧ I (x2)), gdje je I relacija koja oznacava ”x jecijeli broj”. Tada je ta tvrdnja istinita i u HR.To znaci da mora postojati hiperrealan broj N veci od 1

} takav da

je I (N) istina. N mora biti nestandardan buduci da je 1} veci od

svih realnih brojeva. Stoga je N infinitan cijeli broj.




Hiperrealni pravac

Zadatak

1 Postoje li infinitini iracionalni brojevi?Dokaz:Da. Definiramo relaciju Ir(x) sa ”x je iracionalan broj”i slijedimo prethodni dokaz.

2 Postoje li infinitni prosti brojevi?Dokaz:Da. Definiramo relaciju P(x) sa ”x je prost broj” islijedimo prethodni dokaz.

3 Postoji li najmanji infinitni cijeli broj?Dokaz:Ne. U skupu realnih brojeva vrijedi da ne postojinajmanji cijeli broj, odnosno da za svaki cijeli broj postoji cijelibroj koji je od njega manji. Tu tvrdnju mozemo zapisatirecenicom: ∀x1∃x2(I (x1) ∧ I (x2) ∧ x2 < x1). Ta tvrdnja je potm. 4 istinita i u HR Znaci da za svaki infinitni broj postojibroj manji od njega, tj. ne postoji najmanji infinitni broj.




Hiperrealni pravac

Zadatak

1 Ako su N1 i N2 infinitni cijeli brojevi, je li N1 + N2 infinitancijeli broj?Dokaz:Da. Ponovno po analogij s R

2 Ako su N1 i N2 infinitni cijeli brojevi, je li i njihov najvecizajednicki djelitelj infinitan cijeli broj?Dokaz:Da. Neka je unkcija f (x1, x2) funkcija NZM.Recenica ∀x1,∀x2(I (x1) ∧ I (x2)→ I (f (x1, x2)) je istinita u R,pa vrijedi i u HR.

3 Postoje li parni i neparni infinitni cijeli broj?Dokaz:Da. Kao i u prethodnim zadacima definiramo relacijeR(x) koja oznacava ”x je paran” i S(x) ”x je neparan” ipostupimo na slican nacin.




Hiperrealni pravac

Zadatak

1 Dokazi da nema nestandardnih cijelih brojeva izmedu 13 i 15Dokaz:Doista ih nema jer su svi finitni cijeli brojevi realni.Pretpostavimo da je n finitan cijeli broj. Neka je r realni brojtakav da je −r < n < r . Neka su n1, n2, ..., nk realni cijelibrjevi izmedu −r i r .U R je istinita sljedeca recenica: ”Za sve brojeve x1, ako je x1cijeli broj izmedu −r i r , tada je x1 jedan od brojevan1, n2, ..., nk”. Buduci da je to istina u R, mora biti istina i uHR. Dakle, n je realan.




Hiperrealni pravac

Definicija

ako vrijedi 0 < a < b i ba je infinitan tada kazemo da je a infinitno

manji od b i b infinitno veci od a.

Zadatak

1 Dokazi da je } inifnitno manji od 1.Dokaz: 0 < } < 11} je infinitan, pa po definiciji slijedi } inifnitno manji od 1

2 Dokazi da je }2 inifnitno manji od } .Dokaz: 0 < }2 < }}}2 = 1

} je infinitan, pa po definiciji slijedi da je }2 inifnitnomanji od }.

3 Dokazi da je }3 inifnitno manji od }2 .Dokaz:Analogno kao u prethodna dva zadatka.




Hiperrealni pravac

Zadatak

1 Dokazi da je 1}2 inifnitno veci od 1

} .

Dokaz: 0 < 1} < 1

}2

1}2

1}

= 1} je infinitan, pa po definiciji slijedi da je 1

}2 inifnitno

veci od 1}

2 Dokazi da je√} inifnitno veci od } ( } > 0) .

Dokaz: 0 < } <√}√

}} =

√}√

}·√}

= 1√}

je infinitan, pa po definiciji slijedi da je√} inifnitno veci od }.

3 Dokazi da ako je a > 0, tada postoji broj b infinitno veci od a.Dokaz:Neka je } > 0. Tada postoji b takav da je b ≤ a ·} Iztoga slijedi b

a ≤ }, odnosno b je infinitno veci od a.




Hiperrealni pravac

Zadatak

1 Postoji li najmanji pozitivan infinitan broj?Ne, kao i u skupu realnih brojeva.

2 Postoji li najveci infinitezimal?Ne

3 Postoji li najmanji pozitivan neinfinitezimal?Ne, jer ne postoji najmanji pozitivan realan broj.

4 Postoji li najveci pozitivan neinfinitan broj?Ne





Korisno je razmisljati o realnim i hiperrealnim brojevima uterminima njihovih decimalnih reprezentacija. U tu svrhudefinirajmo dvije funkcije:i(r) = cjelobrojni dio danog realnog brojad(r , n) = n.-ta znamenka decimalnog dijela danog realnog brojaZa N infinitan cijeli broj N > 0 takoder postoji d(r ,N)

Zadatak

Znamo da je d(13 , 1) = 3, d(13 , 2) = 3, ... Ako je N infinitan cijelibroj, koliko je d(13 ,N)?Rjesenje:Sljedeca recenica je istinita u skupu realnih brojeva, pa je i u skupuhiperrealnih: ∀x1((x1 > 0 ∧ I (x1))→ d(13 , x1) = 3). Zakljucujemoda je d(13 ,N) = 3





Zadatak

Znamo da jed( 3

11 , 1) = 2, d( 311 , 2) = 7, d( 3

11 , 3) = 2, d( 311 , 4) = 7, ..., odnosno

311 = 0.272727 Ako je N infinitan cijeli broj, koliko je d( 3

11 ,N)?Rjesenje:U R vrijedi:∀x1((x1 > 0 ∧ E (x1))→ d( 3

11 , x1) = 7),E (X ) oznacava ”x jeparan”∀x1((x1 > 0 ∧ O(x1))→ d( 3

11 , x1) = 2),O(X ) oznacava ”x jeneparan”Zakljucujemo da je d( 3

11 ,N) = 2 za O(x) istina, 7 inace.





Zadatak

Sto je d(}, 1), d(}, 2), ...?Rjesenje:0 < } < 1

10 ⇒ d(}, 1) = 00 < } < 1

100 ⇒ d(}, 2) = 0...0 < } < 1

10k⇒ d(}, k) = 0





Teorem

Neka je h proizvoljan finitan hiperrealan broj, tada postojistandardni realni broj infinitno blizu h.Dokaz:Neka je h prizvoljan finitan hiperreal. Buduci da je h finitan nalazise izmedu dva standardna cijela broja. Tada je cjelobrojni dio od hjednak n. Pogledajmo decimalnu reprezentaciju:h = n.d(h, 1)d(h, 2)d(h, 3)......d(h,N)... Ako zadrzimo realni dioh = n.d(h, 1)d(h, 2)d(h, 3)... imamo realan broj r .Tvrdimo da je r ≈ h. Pogledajmo cemu je jednako h − r . Buducida h i r imaju jednake realne dijelovem decimalni prikaz od h − rce poceti s nulama. to znaci da je h − r infinitezimal ili 0. odatleslijedi r ≈ h.





Definicija

Ako je h finitan hiperrealan broj sa h oznacavamo jedinstvenirealan broj infinitno blizu h

Zadatak

1 Ako je h konacan i nestandardan dokazi da postojiinfinitezimal } takav da je h + } = h.Rjesenje:Koristimo konstrukciju iz prethodnog teorema. Definramo} := h − h , gdje h odgovara r-u iz prethodnog teorema.

2 Dokazi da ako je r realan i } infinitezimal tada jeboxedr + } = r .Rjesenje:r +} = h = h +} = r + } +}. Vidimo da je r + } = r





Zadatak

1 Dokazi da je h1 + h2 = h1 + h2 .Rjesenje:h1 + h2 +} = h1+h2 = h1 +}1+ h2 +}2 = h1 + h2 +}.

Slijedi tvrdnja.

2 Dokazi da je h1 · h2 = h1 · h2 .Rjesenje:h1 · h2 +} = h1 ·h2 = ( h1 +}1)·( h2 +}2) = h1 · h2 +}

3 Dokazi da je h1 − h2 = h1 − h2 .Rjesenje:Analogno 1. zadatku





Zadatak

1 Dokazi da ako je h1 ≤ h2 tada je h1 ≤ h2 .Rjesenje:h1 ≤ h2, h1 = h1 + }1, h2 = h2 + }2.

Sada imamo: h1 + }1 ≤ h2 + }2 Buduci da su}1,}2 < r , ∀r ∈ R uzmimo } = max{}1,}2}. Odatle

slijedi: h1 + } ≤ h2 + }, odnosno: h1 ≤ h2 .

2 Dokazi da ako je h ∈ [a, b],∀a, b ∈ R tada je h ∈ [a, b].Rjesenje:Vrijedi i jaca tvrdnja koju iskazujemo i dokazujemo usljedecem teoremu.





Teorem

Neka su a < b realni brojevi. Ako je p bilo koji hiperrealni brojp ∈ [a, b] tada je i p ∈ [a, b] .Dokaz:Buduci da je p ∈ [a, b] slijedi a ≤ p ≤ b. Kada p ne bi bilo u

[a, b] tada bi bilo p < a ili b < p .

Recimo da je b < p . Buduci da je p ≤ b < p i p ≈ p slijedi

b ≈ p

Ali b i p su razliciti realni brojevi, pa ne mogu biti infninitno blizu

ili jednaki. Zato je pretpostavka b ≈ p bila pogresna.

Slicno se pokaze i za p < a.

Zato mora biti a ≤ p ≤ b.


silvia kolari c - fsb.unizg.hr filehiperrealni brojevni sustav hiperrealni pravac decimalna...

Documents