new fundamentos programación 2013 10 - academia cartagena99 · 2014. 7. 13. · la pila del...

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GradoenIngenieríaInformáticaGradoenIngenieríadelSoftware

GradoenIngenieríadeComputadores

LuisHernándezYáñez

FacultaddeInformáticaUniversidadComplutense

Fundamentos de la programación 2013‐2014

Luis Hernández Yáñez

Página 1Fundamentos de la programación: Introducción a la recursión

Concepto de recursión 2Algoritmos recursivos

Funciones recursivas 5Diseño de funciones recursivas 8

Modelo de ejecución 9La pila del sistema 10La pila y las llamadas a función 11Ejecución de la función factorial() 24

Tipos de recursiónRecursión simple 38recursión múltiple 39Recursión anidada 41Recursión cruzada 45

Código del subprograma recursivo 46Parámetros y recursión 51Ejemplos de algoritmos recursivos

Búsqueda binaria 54Torres de Hanoi 57

Recursión frente a iteración 62Estructuras de datos recursivas 64

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Recursión(recursividad,recurrencia)Sedicequealgosedefinedeformarecursivacuandoenladefiniciónapareceloqueseestádefiniendo.

Factorial(N)=Nx Factorial(N‐1) (N>0)

(wikipedia.org)(wikipedia.org)

Laimagendelpaqueteaparecedentrodelpropiopaquete,queasuvezcontieneotraimagendelpaquete...¡hastaelinfinito!

Laimagendelpaqueteaparecedentrodelpropiopaquete,queasuvezcontieneotraimagendelpaquete...¡hastaelinfinito!

(wikipedia.org)(wikipedia.org)

Cadatriánguloestáformadoporotros

triángulosmáspequeños.

Cadatriánguloestáformadoporotros

triángulosmáspequeños.

(http://farm1.static.flickr.com/83/229219543_edf740535b.jpg)

(http://farm1.static.flickr.com/83/229219543_edf740535b.jpg)

Lasmatrioskas rusasLasmatrioskas rusas

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RecursiónFactorial(N)=Nx Factorial(N‐1)

Elfactorialsedefineenfuncióndesímismo.

Losprogramasnopuedenmanejarlarecursióninfinita,quegeneraríaunbucleinfinitoenelprograma.

Ladefiniciónrecursivahadeiracompañadadeunoomáscasosbase.

Uncasobase esaquelenelquenoseutilizaladefiniciónrecursiva,sinoqueseproporcionaunpuntofinaldecálculo:

Cadavezqueseaplicaelcasorecursivo,elvalordeNsevaaproximandoalvalordelcasobase(0).

Nx Factorial(N‐1) siN>0 Casorecursivo(inducción)Factorial(N)=

1 siN=0 Casobase(odeparada)



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FuncionesrecursivasUnafunciónpuedeimplementarunalgoritmorecursivo:Lafunciónsellamaráasímismasinosehallegadoalcasobase.

long long int factorial(int n) {long long int resultado;if (n == 0) // Caso base

resultado = 1;else

resultado = n * factorial(n ‐ 1);

return resultado;}

Nx Factorial(N‐1) siN>0Factorial(N)=

1 siN=0



Funcionesrecursivaslong long int factorial(int n) {

long long int resultado;if (n == 0) // Caso base

resultado = 1;else


return resultado;}

factorial(5) 5x factorial(4) 5x 4x factorial(3)

5x 4x 3x factorial(2) 5x 4x 3x 2x factorial(1)

5x 4x 3x 2x 1x factorial(0) 5x 4x 3x 2x 1x 1

120 CasobaseCasobase

factorial.cpp

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DiseñodefuncionesrecursivasUnafunciónrecursivadebesatisfacertrescondicionesparaestarbiendiseñada:

Caso(s)base:Debehaberalmenosuncasobasedeparada.

Inducción:Pasorecursivoqueprovocaunallamadarecursiva.Sepodrádemostrarqueescorrectoparadistintosparámetrosdeentrada.

Convergencia:Cadapasorecursivodebeacercarsealcasobase.

Describimoselproblemaentérminosdeproblemasmássencillos.

Lafunciónfactorial() tienecasobase(N=0),siendocorrectaparaNescorrectaparaN+1(inducción)yseacercacadavezmásalcasobase(N‐1estámáscercade0queN).

Nx Factorial(N‐1) siN>0Factorial(N)=

1 siN=0



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Modelodeejecuciónlong long int factorial(int n) {


resultado = 1;else

resultado = n * factorial(n ‐ 1);return resultado;

}

Cadallamadarecursivafuerzaunanuevaejecucióndelafunción,quedandointerrumpidalaactual.

Cadallamadaalafunciónutilizasuspropiosparámetrosporvaloryvariableslocales(n yresultado enestecaso).

Enlasllamadasalafunciónseutilizalapiladelsistemaparamantenerlosdatoslocalesyladireccióndevuelta.



Lapiladelsistema(stack)ElSOdisponeenlamemoriadelacomputadoravariasregionescondiferentespropósitos:

Pila (Stack)

Montón (Heap)

Datos del programa

Código del programa

S.O.

LlamadasafuncionesLlamadasafunciones

Memoriadinámica(Tema9)Memoriadinámica(Tema9)

MemoriaprincipalMemoriaprincipal

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Lapiladelsistema(stack)Lapilaseutilizaparaguardarencadallamadaafunciónlosdatoslocalesdelafunciónyladireccióndevuelta.

Esunaestructuradetipopila:listaLIFO(last‐infirst‐out)

Elúltimoqueentraeselprimeroquesale:

PilaPila

Entra4

Entra4

4

PilaPila

Entra7

Entra7

7

4

PilaPila

Entra2

Entra2

2

7

4

PilaPila

Sale2

Sale2

7

4

PilaPila



LapilaylasllamadasafunciónCadavezqueseproduceunallamadaaunafunciónsealojanenlapilasusdatoslocalesyladireccióndevuelta.

...int funcB(int x) {

...return x;

}

int funcA(int a) {int b;...b = funcB(a);... return b;

}

int main() {...cout << funcA(4);...

PilaPila<DIR1><DIR1>

<DIR2><DIR2>

Llamadaafunción:SeguardaladireccióndevueltaLlamadaafunción:Seguardaladireccióndevuelta

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...return x;

}


}


<DIR1>


<DIR2><DIR2>

Entradaenlafunción:SealojanlosdatoslocalesEntradaenlafunción:Sealojanlosdatoslocales





...return x;

}


}


b

a

<DIR1>


<DIR2><DIR2> Llamadaafunción:SeguardaladireccióndevueltaLlamadaafunción:Seguardaladireccióndevuelta

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...return x;

}


}


<DIR2>

b

a

<DIR1>


<DIR2><DIR2>

Entradaenlafunción:SealojanlosdatoslocalesEntradaenlafunción:Sealojanlosdatoslocales



LapilaylasllamadasafunciónCadavezquesevuelvedeunallamadaaunafunciónserecuperadelapilaladireccióndevueltadelafunciónanterior.


...return x;

}


}


x

<DIR2>

b

a

<DIR1>


<DIR2><DIR2>

Vueltadelafunción:SeeliminanlosdatoslocalesVueltadelafunción:Seeliminanlosdatoslocales

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...return x;

}


}


<DIR2>

b

a

<DIR1>


<DIR2><DIR2>

Vueltadelafunción:SeobtieneladireccióndevueltaVueltadelafunción:Seobtieneladireccióndevuelta





...return x;

}


}


b

a

<DIR1>


<DIR2><DIR2>LaejecucióncontinúaenesadirecciónLaejecucióncontinúaenesadirección

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...return x;

}


}


b

a

<DIR1>


<DIR2><DIR2>

Vueltadelafunción:SeeliminanlosdatoslocalesVueltadelafunción:Seeliminanlosdatoslocales





...return x;

}


}


<DIR1>


<DIR2><DIR2>

Vueltadelafunción:SeobtieneladireccióndevueltaVueltadelafunción:Seobtieneladireccióndevuelta

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...return x;

}


}



<DIR2><DIR2>

LaejecucióncontinúaenesadirecciónLaejecucióncontinúaenesadirección



Mecanismodepilaadecuadoparallamadasafuncionesanidadas:

Lasllamadasterminanenelordencontrarioacomosellaman...int funcC(...) {...

}

int funcB(...) {...... funcC(...)

}

int funcA(...) {...... funcB(...)

}

int main() {...cout << funcA(...);...

funcC

funcB

funcA

PilaPila

LLAMADAS

LLAMADASV

UELTAS

VUELTAS

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Ejecucióndelafunciónfactorial()long long int factorial(int n) {


resultado = 1;else


return resultado;}

Cadavezqueserealizaunallamadarecursivaseguardanenlapilalosdatoslocales(n yresultado)yladireccióndevuelta.

Veamoscómoseejecutafactorial(5),obviandolasdireccionesdevuelta,quesondatosdebajonivelynoafectanalaexplicación.



Ejecucióndelafunciónfactorial()factorial(5)

resultado = ?

n = 5

PilaPila

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factorial(4)

resultado = ?

n = 4

resultado = ?

n = 5

PilaPila




factorial(4)

factorial(3)

resultado = ?

n = 3

resultado = ?

n = 4

resultado = ?

n = 5

PilaPila

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factorial(4)

factorial(3)

factorial(2)

resultado = ?

n = 2

resultado = ?

n = 3

resultado = ?

n = 4

resultado = ?

n = 5

PilaPila




factorial(4)

factorial(3)

factorial(2)

factorial(1) resultado = ?

n = 1

resultado = ?

n = 2

resultado = ?

n = 3

resultado = ?

n = 4

resultado = ?

n = 5

PilaPila

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factorial(4)

factorial(3)

factorial(2)

factorial(1)

factorial(0)

resultado = 1

n = 0

resultado = ?

n = 1

resultado = ?

n = 2

resultado = ?

n = 3

resultado = ?

n = 4

resultado = ?

n = 5

PilaPila




factorial(4)

factorial(3)

factorial(2)

factorial(1)

factorial(0)

resultado = 1

n = 1

resultado = ?

n = 2

resultado = ?

n = 3

resultado = ?

n = 4

resultado = ?

n = 5

PilaPila

11

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factorial(4)

factorial(3)

factorial(2)

factorial(1)

factorial(0)resultado = 2

n = 2

resultado = ?

n = 3

resultado = ?

n = 4

resultado = ?

n = 5

PilaPila

11

11




factorial(4)

factorial(3)

factorial(2)

factorial(1)

factorial(0)

resultado = 6

n = 3

resultado = ?

n = 4

resultado = ?

n = 5

PilaPila

11

11

22

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factorial(4)

factorial(3)

factorial(2)

factorial(1)

factorial(0)

resultado = 24

n = 4

resultado = ?

n = 5

PilaPila

11

11

22

66




factorial(4)

factorial(3)

factorial(2)

factorial(1)

factorial(0)

resultado = 120

n = 5

PilaPila

11

11

22

66

2424

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factorial(4)

factorial(3)

factorial(2)

factorial(1)

factorial(0)

PilaPila

11

11

22

66

2424

120120



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RecursiónsimpleDecimosquelarecursiónessimplecuandoenlafunciónsólohayunallamadarecursiva.

Porejemplo,elcálculodelfactorialdeunnúmeroenteropositivo:

long long int factorial(int n) {long long int resultado;if (n == 0) // Caso base

resultado = 1;else


return resultado;} UnallamadarecursivaUnallamadarecursiva



RecursiónmúltipleCuandoenlafunciónhayvariasllamadasrecursivasalapropiafunción,decimosquetenemosrecursiónmúltiple.

Porejemplo,elcálculodelosnúmerosdeFibonacci:

1 sin=1Fib(n)=

0 sin=0

Fib(n‐1)+Fib(n‐2) sin>1

DosllamadasrecursivasDosllamadasrecursivas

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Recursiónmúltiple:losnúmerosdeFibonacci...int fibonacci(int n) {

int resultado;if (n == 0)

resultado = 0;else if (n == 1)

resultado = 1;else

resultado = fibonacci(n ‐ 1) + fibonacci(n ‐ 2);

return resultado;}

int main() {for (int i = 0; i < 20; i++)

cout << fibonacci(i) << endl;

return 0;}

1 sin=1Fib(n)=

0 sin=0

Fib(n‐1)+Fib(n‐2) sin>1

fibonacci.cpp



RecursiónanidadaLarecursiónanidadalatenemoscuandoenunallamadarecursivaalgunodelosargumentosconsisteenotrallamadarecursiva.

Porejemplo,elcálculodelosnúmerosdeAckermann:

Ack(m‐1,1) sim>0yn=0Ack(m,n)=

n+1 sim=0

Ack(m‐1,Ack(m,n‐1)) sim>0yn>0

ArgumentoqueesunallamadarecursivaArgumentoqueesunallamadarecursiva

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Recursiónanidada:losnúmerosdeAckermann...int ackermann(int m, int n) {

int resultado;if (m == 0)

resultado = n + 1;else if (n == 0)

resultado = ackermann(m ‐ 1, 1);else

resultado = ackermann(m ‐ 1, ackermann(m, n ‐ 1));return resultado;

}

int main() {int m, n;cout << "M = "; cin >> m;cout << "N = "; cin >> n;cout << ackermann(m, n) << endl;return 0;

}

Ack(m‐1,1) sim>0yn=0Ack(m,n)=

n+1 sim=0


ackermann.cpp

Pruébaloconnúmerosmuybajos:

SegeneranMUCHASllamadasrecursivas



Recursiónanidada:losnúmerosdeAckermann

Ack(m‐1,1) sim>0yn=0

n+1 sim=0


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ackermann(1, 1)

ackermann(0, ackermann(1, 0))

ackermann(0, 1)

ackermann(0, 2)

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Recursiónanidada:losnúmerosdeAckermann

Ack(m‐1,1) sim>0yn=0

n+1 sim=0


55

4455

ackermann(2, 1)


ackermann(1, 1)

ackermann(1, 3)



ackermann(0, 3)

ackermann(0, 4)

2233


ackermann(0, 1)

ackermann(0, 2)

2233


ackermann(0, 1)

ackermann(0, 2)



RecursióncruzadaoindirectaLarecursióncruzadaoindirectasedacuandounafunciónllamaaotrayéstaasuvezllamaalaprimera.Porejemplo,sabersiunnúmeroesparoimpar:bool par(int n) {

if (n == 0) return true;else return impar(n – 1);

}

bool impar(int n) {if (n == 0) return false;else return par(n – 1);

}

int main() {int x;cout << "Num: "; cin >> x;if (par(x)) cout << "Es par";else cout << "Es impar";...

par.cpp

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CódigoanterioryposterioralallamadarecursivaEngeneral,enunsubprogramarecursivotendremosuncódigoanterioralallamadarecursivayuncódigoposterior:

{CódigoanteriorLlamadarecursivaCódigoposterior

}

Elcódigoanterior seejecutarárepetidasvecesparalasdistintasentradasantesdequesellegueaejecutarcualquiercódigoposterior.Ésteseejecutarárepetidasvecesparalasdistintasentradastrasllegaralcasobase.Sinohaycódigoanterior,tenemosrecursiónpordelante.

Elcódigoanteriorseejecutaenordendirectoparalasdistintasentradas,mientrasqueelcódigoposteriorlohaceenordeninverso.Sinohaycódigoposterior,tenemosrecursiónpordetrás.

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Códigoanterioryposterioralallamadarecursivavoid func(int n) {

if (n > 0) {cout << "Entrando (" << n << ")" << endl; // Código anteriorfunc(n ‐ 1); // Llamada recursivacout << "Saliendo (" << n << ")" << endl; // Código posterior

}}

Sillamamosalafunciónconelargumento5,lasalidaserá:

Elcódigoanterioralallamadaseejecutaparalosdistintosvaloresquevatomandon.Elcódigoposterioralallamada,alrevés.



Recorridodeloselementosdeunalista(directo)Conelcódigoanterioralallamadaprocesamosloselementosenelmismoordenenqueseencuentran:...void mostrar(tLista lista, int pos);

int main() {tLista lista;lista.cont = 0;// Carga del array...mostrar(lista, 0);

return 0;}

void mostrar(tLista lista, int pos) {if (pos < lista.cont) {

cout << lista.elementos[pos] << endl;mostrar(lista, pos + 1);

}}

directo.cpp

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Recorridodeloselementosdeunalista(inverso)Conelcódigoposterioralallamadaprocesamosloselementosenelordeninversoenqueseencuentran:...void mostrar(tLista lista, int pos);

int main() {tLista lista;lista.cont = 0;// Carga del array...mostrar(lista, 0);

return 0;}

void mostrar(tLista lista, int pos) {if (pos < lista.cont) {

mostrar(lista, pos + 1);cout << lista.elementos[pos] << endl;

}}

inverso.cpp



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ParámetrosporvaloryporreferenciaEnlossubprogramasrecursivoslosparámetrosporvalorsondatosqueelsubprogramanecesitapararealizarsusoperaciones.(Encadallamadarecursivapuedenserdistintos.)Losparámetrosporreferenciasonresultadosquesevanconstruyendoalolargodelasdistintasllamadas(mismavariableenlasllamadas):

void factorial(int n, int &fact) {if (n == 0) fact = 1;else {

factorial(n ‐ 1, fact);fact = n * fact;

}}

Enlallamadaafactorial(0),fact tomaelvalor1.Alavuelta,selemultiplicaporeln delallamadaanterior(1).Yalavuelta,poreln delallamadaanterior(2).Yasísucesivamente...



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BúsquedabinariaLabúsquedabinariaesunejemplodealgoritmoquetrabajapartiendoelproblemaensubproblemasmáspequeñosyaplicandoelmismoprocesoacadasubproblema.

Esarepetición delprocesoparacadasubproblemamuestraunanaturalezarecursivaquenospermiteimplementarlaasí.Partimosdelalistacompletaenlaquehayquebuscar.Sinoquedalista...terminar(listavacía:noencontrado)Encasocontrario...

Comprobarsielelementoenlamitadeselbuscado.Sieselbuscado...terminar(encontrado).Sino...

Sielbuscadoesmenorqueelelementomitad...Quedarseconlaprimeramitaddelalistayrepetirelproceso

Sielbuscadoesmayorqueelelementomitad...Quedarseconlasegundamitaddelalistayrepetirelproceso



BúsquedabinariaAcadaejecucióndelafunciónselepasandosíndicesqueindiquenlasposicionesinicialyfinaldelasublistaaprocesardentrodelalista:

int buscar(tLista lista, int buscado, int ini, int fin)// Devuelve la posición donde está (0, ...) o ‐1 si no está

¿Cuálessonloscasosbase?

Queyanoquedesublista(ini > fin) Noencontrado

Queseencuentreelelemento

RepasacómofuncionaycómoseimplementólabúsquedabinariaenelTema7(implementacióniterativa).

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Búsquedabinaria

int buscar(tLista lista, int buscado, int ini, int fin) {int pos = ‐1;if (ini <= fin) {

int mitad = (ini + fin) / 2;if (buscado == lista.elementos[mitad])

pos = mitad;else

if (buscado < lista.elementos[mitad])pos = buscar(lista, buscado, ini, mitad ‐ 1);

elsepos = buscar(lista, buscado, mitad + 1, fin);

}return pos;

}

1ªllamada:pos = buscar(lista, buscado, 0, lista.cont ‐ 1);

binaria.cpp



Búsquedabinaria:implementaciónconparámetrosdesalida

void buscar(tLista lista, int buscado, int ini, int fin,bool & encontrado, int & pos) {

if (ini > fin) encontrado = false; else {

int mitad = (ini + fin) / 2;if (buscado == lista.elementos[mitad]) {

encontrado= true; pos = mitad;

}//ifelse {

if (buscado < lista.elementos[mitad])buscar(lista, buscado, ini, mitad ‐ 1, encontrado, pos);

elsebuscar(lista, buscado, mitad + 1, fin, encontrado, pos);

}//else}//else

}

1ªllamada:buscar(lista, buscado, 0, lista.cont ‐ 1, enc, i);

Pedro J. M

artín de la Calle

Pedro J. M

artín de la Calle

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LastorresdeHanoiCuentaunaleyendaqueenuntemplodeHanoisedispusierontrespilaresdediamanteyenunodeellos64discosdeoro,dedistintosradiosycolocadosporordendetamañoconelmayordebajo.

Cadamonje,ensuturno,debíamoverunúnicodiscodeunpilaraotro,deformaqueentretodosconsiganconeltiempollevarlatorredelpilarinicialaunodelosotrosdos.Debíanrespetarunaregla:nuncaponerundiscosobreotrodemenortamaño.Cuandolohayanconseguido,seacabaráelmundo.

[Serequierenalmenos264‐1movimientos;sisehicieraunoporsegundo,seterminaríaenmásde500milmillonesdeaños.]

Torredeochodiscos(wikipedia.org)Torredeochodiscos(wikipedia.org)



LastorresdeHanoiQueremosintentarresolvereljuego enelmenornúmerodemovimientosposible.

¿Quédiscohayquemoverencadapasoyadóndehayquemoverlo?

Primero,identifiquemosloselementos(torredecuatrodiscos):

Cadapilarseidentificaconunaletra.

MoverdelpilarXalpilarYsignificarácogereldiscosuperiordeXyponerloencimadelosquehayaenY.

AA BB CC

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LastorresdeHanoiDebemosenfocarlaresolucióndelproblemaenbaseaproblemasmáspequeños.

MoverNdiscosdelpilarAalpilarC:

MoverN‐1discosdelpilarAalpilarB

MovereldiscodelpilarAalpilarC

MoverN‐1discosdelpilarBalpilarC

ParallevarNdiscosdeunpilarorigenaotropilardestino seutilizaeltercerpilarcomoauxiliar:

MoverN‐1discosdelorigen alauxiliar

Movereldiscodelorigen aldestino

MoverN‐1discosdelauxiliar aldestino

AA BB CC

AA BB CC

AA BB CC

AA BB CC

Mover4discosdeAa CMover4discosdeAa C



LastorresdeHanoiMoverN‐1discosdeunpilaraotroserealizadelamismaforma,peroutilizandoahoraotrospilarescomoorigenydestino.

MoverN‐1discosdelpilarAalpilarB:

MoverN‐2discosdelpilarAalpilarC

MovereldiscodelpilarAalpilarB

MoverN‐2discosdelpilarCalpilarB

Claramentesepuederesolverfácilmenteconunaimplementaciónrecursiva.

AA BB CC

AA BB CC

AA BB CC

AA BB CC

Simulaciónpara4discos(wikipedia.org)Simulaciónpara4discos(wikipedia.org)

Mover3discosdeAa BMover3discosdeAa B

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LastorresdeHanoiCasobase:noquedandiscosquemover....void hanoi(int n, char origen, char destino, char auxiliar) {

if (n == 0) return;else {

hanoi(n ‐ 1, origen, auxiliar, destino);cout << origen << " ‐‐> " << destino << endl;hanoi(n ‐ 1, auxiliar, destino, origen);

}}

int main() {int n;cout << "N. torres: "; cin >> n;hanoi(n, 'A', 'B', 'C');

return 0;}

hanoi.cpp



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¿Quéespreferible?Cualquieralgoritmorecursivosepuedetraduciraunalgoritmoiterativoquerealiceelmismotrabajo.

Losalgoritmosrecursivossonmenoseficientesquesusalternativasiterativas:sobrecargadelasllamadasalossubprogramas.

Siemprequeresultesencillodesarrollarunaversióniterativa,éstaserápreferibleasuversiónrecursiva.

Peroenocasionesnoresultasencilloobteneresaversióniterativaequivalente,siendolaversiónrecursivamuchomássimple.Enestoscasosserápreferiblelaversiónrecursiva(sielrendimientonoesunfactorclave).

DesarrollaversionesiterativasdelfactorialodelosnúmerosdeFibonacci.¿YquétalconlosnúmerosdeAckermann?



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DefiniciónrecursivadelistasYahemosdefinidodeformarecursivaalgunaestructuradedatos:

Laslistastambiénsepuedendefinirdeformasimilar:

Lalista1,2,3consisteenelelemento1seguidodelalista2,3,que,asuvez,consisteenelelemento2seguidodelalista3,que,asuvez,consisteenelelemento3seguidodelalistavacía(casobase).Hayotrasestructurasconnaturalezarecursiva(comolosárboles)queestudiarásenposteriorescursos.

secuenciavacía(ningúnelemento)Secuencia=

elementoseguidodeunasecuencia

listavacía(ningúnelemento) (Casobase)Lista=

elementoseguidodeunalista



ProcesamientodeestructurasrecursivasLanaturalezarecursivadealgunasestructurasdedatosllevadeformanaturalaunprocesamientorecursivodelasmismas:

Procesar(lista):

Silistanovacía(casobase):

Procesarelprimerelementodelalista//Códigoanterior

Procesar(resto(lista))

Procesarelprimerelementodelalista//Códigoposterior

Donderesto(lista) devuelveunalistaigualalaqueseproporcionasinsuprimerelemento.

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C++:An Introduction to Computing (2ªedición)J.Adams,S.Leestma,L.Nyhoff.Prentice Hall,1998

EllenguajedeprogramaciónC++ (Ediciónespecial)B.Stroustrup.Addison‐Wesley,2002

ProgramaciónenC++paraingenierosF.Xhafa etal.Thomson,2006

Fundamentos de la programación: Introducción a la recursión Página 68


LicenciaCC(Creative Commons)Estetipodelicenciasofrecenalgunosderechosaterceraspersonasbajociertascondiciones.

Estedocumentotieneestablecidaslassiguientes:

Pulsaenlaimagendearribaaladerechaparasabermás.

Fundamentos de la programación: Introducción a la recursión Página 69

Reconocimiento(Attribution):Encualquierexplotacióndelaobraautorizadaporlalicenciaharáfaltareconocerlaautoría.

Nocomercial(Noncommercial):Laexplotacióndelaobraquedalimitadaausosnocomerciales.

Compartirigual(Sharealike):Laexplotaciónautorizadaincluyelacreacióndeobrasderivadassiemprequemantenganlamismalicenciaalserdivulgadas.

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