Stochastycznemetodymatematykifinansowej

wzadaniach

UNIWERSYTETIM.ADAMAMICKIEWICZAWPOZNANIU

JolantaGrala‐Michalak

Stochastycznemetodymatematykifinansowej

wzadaniach

POZNAŃ2016

Recenzent:prof.drhab.AntoniLeonDawidowicz

WydziałNeofilologiiUniwersytetuim.AdamaMickiewicza

©JolantaGrala‐Michalak2014Thisedition©Uniwersytetim.AdamaMickiewiczawPoznaniu,

WydawnictwoNaukoweUAM,Poznań2014

Redaktor:KatarzynaMuziaRedaktortechniczny:DorotaBorowiak

Łamaniekomputerowe:EugeniuszStrykowskiProjektokładki:K.&S.Szurpit

ISBN978‐83‐232‐2793‐9

WYDAWNICTWONAUKOWEUNIWERSYTETUIM.ADAMAMICKIEWICZAWPOZNANIUUL.FREDRY10,61‐701POZNAŃ

www.press.amu.edu.plSekretariat:tel.618294646,faks618294647,e‐mail:wydnauk@amu.edu.pl

Działsprzedaży:tel.618294640,e‐mail:press@amu.edu.plWydanieIIpoprawione.Ark.wyd.9,00.Ark.druk.9,125.DRUKIOPRAWA:EXPOL,WŁOCŁAWEK,UL.BRZESKA4

5

Spistreści

Wprowadzenie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.Wstęp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.Początkistochastycznychmodelimatematykifinansowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2.Podziałmodelimatematykifinansowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.Rynekfinansowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.Podziałrynkufinansowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.Charakterystykadanychnarynkufinansowym. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Zadaniadorozdziału2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.Kapitalizacja,oprocentowanieidyskontowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.Zmiennośćpieniądzawczasie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2.Oprocentowanieidyskontowanie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.Zmiennystrumieńprzepływukapitału. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.4.Zasadastałejefektywnościkapitalizacjiorazstałegoprzyrostuwkapitalizacji . . 323.5.Odmodeluciągłegododyskretnego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.6.Ocenainwestycji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.7.Wycenaobligacji. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

Zadaniadorozdziału3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.Modelezlosowąstopązwrotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.1.Kapitalizacjaspełniającazasadęstałejefektywności. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.2.Kapitalizacjeostałymprzyroście. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.3.Kapitalizacjezzależnymistopamizwrotu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Zadaniadorozdziału4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.Analizaportfelowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.1.Miarydochodu,ryzykaizwiązkuliniowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.2.Średniaiwariancjaportfela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.3.Portfeleoptymalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.4.ModelCAPM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Zadaniadorozdziału5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.Wycenawmodelachdyskretnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.1.Własnościbłądzenialosowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.2.Podstawoweinformacjeoopcjach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6

6.3.ModelCRR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.4.Martyngałydyskretne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.5.ŁańcuchyMarkowa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Zadaniadorozdziału6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.Wycenawmodelachciągłych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.1.ProcesWienera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2.CałkaItȏ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1337.3.ModelBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1357.4.Parametry„greckie”. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Zadaniadorozdziału7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 

7

Wprowadzenie

Niniejszy podręcznik jest adresowany do studentów nauk ścisłych, przedewszystkimstudiującychnakierunkumatematyka,orazdoosóbprzygotowują‐cych się do egzaminu dla aktuariuszy. Zawiera przegląd najczęściej stosowa‐nychmodelimatematykifinansowej,wktórychużywasięzmiennychbądźpro‐cesów losowych. Oczywiście w siedmiu rozdziałach nie można przedstawićcałegobogactwairóżnorodnościtychzagadnień,toteżzachęcamdosięgnięciapoliteraturęfachową,którejspiszamieszczamnakońcu.

W celu zrozumienia treści książki czytelnik powinien znać rachunek róż‐niczkowyfunkcjijednejidwóchzmiennych,podstawyalgebryliniowej,metodrozwiązywania równań różniczkowych, statystyki, a przede wszystkim pod‐stawyrachunkuprawdopodobieństwaiprocesówstochastycznych.

Pierwszyrozdziałpoświęconyjestkrótkiemuopisowirozwojumatematykifinansowej,abyczytelnikposzukującydalszychinformacjiwiedział,podjakimihasłamiichszukać.Kolejnyrozdział jestwprowadzeniemdozagadnieńopisa‐nychwpublikacji.W rozdziale trzecimmożna zapoznać się z podstawowymiwłasnościami modeli deterministycznych matematyki finansowej. Następnerozdziałypoświęconesąmodelomlosowym,czylistochastycznym;wrozdzialeczwartymmodeletedotycząprzewidywaniawartościlokat,wpiątym–analizyportfeli. Rozdział szósty zawiera opis metod stosowanych przy dyskretnymmodelu czasu, a siódmy przy ciągłymmodelu. Każdy rozdział, poczynając oddrugiego, a skończywszy na siódmym, składa się z dwóch części. Pierwsząz nich stanowi skrócony opis teorii i jej zastosowanie do zadań podanychw formie rozwiązanych przykładów opatrzonych komentarzami. Część drugątworzą zadania przeznaczone do samodzielnego rozwiązania. Zamieszczonewniejodpowiedziiwskazówkidozadańmogąsłużyćdosprawdzeniapopraw‐ności rozwiązań.W celu ułatwienia odszukiwania potrzebnej teorii kolejnośćzadańodpowiadakolejnościomawianychwrozdzialezagadnień.

Zadania i przykłady ilustrujące teorię zostały wybrane nieprzypadkowo.Większośćznichstanowiązadaniazegzaminudlaaktuariuszyzlat2000–2013z działumatematyka finansowa. Opróczwspomnianego działu egzamin obej‐mujetakżezadaniazmatematykiubezpieczeńżyciowychiubezpieczeńmająt‐kowych, nieobjętych treścią niniejszego skryptu, oraz ze statystyki. Zadaniazegzaminudlaaktuariuszysąoznaczone literąE,poktórejzamieszczona jestdataegzaminu.Książkatamożebyćcennymzbioremzadańdlaosóbprzygoto‐

8

wującychsiędowspomnianegoegzaminu.Tymosobomgorącopolecampubli‐kacjęprof.dr.hab.WaldemaraWołyńskiegopt.Prawdopodobieństwoistatysty‐ka.Zadaniazegzaminówdlaaktuariuszyzrozwiązaniami(2003–2007),wydanąw roku 2008 w Poznaniu przez Wydawnictwo Naukowe UAM. Stanowi onadodatkowąpomocwnaucestatystykinietylkodlaprzyszłychaktuariuszy.

Mojezainteresowaniamatematykąfinansowąrozpoczęłysięw2000roku,gdypowierzonomiprowadzeniećwiczeńztegoprzedmiotu.W2001rokubra‐łam udział w Szkole z Matematyki Finansowej (Ośrodek Konferencyjny PANwBędlewie,2–10.07).

Książkataniepowstałaby,gdybymnieuczestniczyła,wlatach2000–2005,wwykładachprof.dr.hab.DobiesławaBobrowskiego,któryzapoczątkowałtętematykęnaWydzialeMatematykiiInformatykiUAM.

ŻyczęprzyjemnegostudiowaniaJolantaGrala‐Michalak

9

1.Wstęp

1.1.Początkistochastycznychmodelimatematykifinansowej

Nazwa„matematykafinansowa”wliteraturzepojawiłasięw1946roku,wtytu‐leksiążkiClarence’aRichardsonaFinancialMathematics.Pierwszymodelloso‐wy1(czylistochastyczny)wycenyinstrumentówfinansowychnagiełdziepary‐skiej został zaproponowany przez Louisa Bacheliera w pracy doktorskiejzatytułowanejThéoriede laspéculation,obronionej29marca1900roku.Byłoto przełomowe odkrycie; sądzono bowiem, że zmiany cen na giełdzie są takbardzonieprzewidywalne,iżniemożnaichopisaćmetodamimatematycznymi,ponieważpróbydokonania tegonieprzynosiłyefektów.DomodelowaniacenBachelierużył,znanegoodczasówCarlaGaussaiSimonadeLaplace’a,rozkładunormalnego.DzisiajtenmodelnazywasięruchemBrowna,odnazwiskaangiel‐skiegobotanikaRobertaBrowna,któryw1827rokuopisałruchziarenpyłkuroślinwwodzie.MatematycznyopistegozjawiskapodałAlbertEinsteindopie‐row1905roku,awynikipotwierdziłeksperymentalnieMarianSmoluchowskiw roku1906.Ostatecznykształt temuprocesowinadałNorbertWienerw la‐tach1918–1923.

ModelBachelierazakładałzerowąstopęprocentowąlokatipożyczekorazto,żecenyakcjimogąprzyjąćwartościujemne,jaktojestwrozkładzienormal‐nym. Dzisiaj zastosowany przez niego model nazywamy arytmetycznym ru‐chemBrowna.Mankamentytegomodelupoprawili,wlatach1955–1959,PaulSamuelson iMatthew Osborne, wprowadzając tak zwany geometryczny ruchBrowna. Założonow nim, że to logarytmy cenmają rozkłady normalne. PaulSamuelsonzostałlaureatemNagrodyNoblawdziedzinienaukekonomicznychw1970roku.

W 1963 roku Benoit Mandelbrot, badacz fraktali, zaproponował model,wktórymprzyrostycenmiałyniezależneiidentycznerozkładyzklasytakzwa‐nych rozkładówstabilnych,opisanychprzezPaulaLevy’egookoło1920 roku.Rozkłady te przeważnie nie mają skończonej wariancji i gęstości wyrażonej_________________ 

1Modelnazywamylosowym,jeżeliprzynajmniejjedenzczynnikówwnimwystępującychjestzmiennąlosową,którejwartościpojawiającesięzokreślonymprawdopodobieństwemznamy,aleniewiemy,któraznichsiępojawiwustalonejchwili.Wsensiematematycznymzmiennalosowajestfunkcjąmierzalnąokreślonąnapewnejprzestrzeniprobabilistycznej.

10

explicite,natomiastcharakteryzująsiętym,żekombinacjelinioweniezależnychzmiennych losowych owybranym rozkładzie stabilnymmają też ten rozkład(zdokładnościądostałej).

W latach pięćdziesiątych dwudziestego wieku Harry Markowitz zapropo‐nowałzastosowaniestatystycznegokryteriumoczekiwanejstopyzwrotuorazminimalnej wariancji do wyboru najlepszego portfela inwestycyjnego. JegoodkryciaorazpomysłWilliamaSharpe’adotyczącymiernikaatrakcyjnościfun‐duszyinwestycyjnychipraceMertonaMillerauhonorowanoprzyznaniemNa‐grodyNoblawdziedzinienaukekonomicznychw1990roku.

WłoskiekonomistaEugeneFama,w1965roku,zasugerowałużycierozkła‐dut‐Studentadomodelowaniacen,ponieważmaonrozmaitezalety:należydoklasy rozkładów stabilnych, ma gęstość i wariancję oraz charakteryzuje się„grubszymiogonami”wporównaniuzrozkłademnormalnym.

InnepodejściezaproponowałPeterClarkw1973roku.Twierdził,że„zegarniezawszetykazjednakowąszybkością”,czylizdarzająsiędni,wktórychpo‐jawia się więcej informacji niż przeciętnie, a wtedy giełda reaguje większązmiennością. Zatemproces logarytmów cen giełdowychpowinno sięmodelo‐waćzapomocąruchuBrowna,alewzględemupływuczasuzmodyfikowanegoprzezpewienproceskierujący.

Fischer Black i Myron Scholes, w 1973 roku, wykorzystali proces ruchuBrownadoopisurynkufinansowegowpostacidwóchrównań:deterministycz‐nego opisującego wartość obligacji w czasie oraz stochastycznego równaniaróżniczkowegowzględemruchuBrowna.ModeltenzostałwyróżnionyNagro‐dąNoblawdziedzinienaukekonomicznychw1997rokuwrazzpracamiRo‐bertaMertonanadwycenąinstrumentówpochodnych.

W1979rokuJohnCox,StephenRossiMarkRubinsteinprzedstawilianalo‐gicznymodeldlaczasudyskretnego,opartynabłądzeniulosowym,zwanymo‐delemCRR.Nazwapochodziodpierwszychliternazwisktwórcówmodelu.

DavidEasley,NicholasKieferiMaureenO’Haraprzedstawili,w1997roku,model EKO. Zaproponowali użycie teorii kolejekdo opisu zachowań inwesto‐rów.

Doopisuzjawisknarynkufinansowymużywanodyskretnychprocesówli‐niowych,czyliszeregówczasowychzzależnościamiocharakterzeliniowym.Donich zalicza się proces ruchomej średniej (movingaverage –MA) orazmodelautoregresji rzędun (zwanyAR(n)),w którym rozpatrywanawielkość zależyod jejwartościhistorycznychwnmomentachczasowychwprzeszłości.Połą‐czeniemtychmodelijestmodelARMA,charakteryzującysięszybkozanikającąfunkcjąautokorelacji,stosowanydoopisuzmiennościkrótkoterminowej.

W procesach nieliniowych błędy losowe (czyli „biały szum”) mnoży się,wprzeciwieństwiedoprocesówliniowych,wktórychsięjedodaje.Pierwszym,który do opisu zmienności charakteryzującej ceny giełdowe zastosował tegotypumodel, byłRobert Engle, laureatNagrodyNoblawdziedzinie nauk eko‐nomicznychw2003roku.Wroku1982zdefiniowałmodelARCH,czyliAutore‐

11

gressiveConditionalHeteroscedasticityModel (modelautoregresyjnywarunko‐wo jednorodny),codałopoczątekbadaniomnadtegotypumodelami.Znalazłonwielunaśladowców,m.in.:TimBollerslevw1986rokuuogólniłgodoposta‐ciGARCH(GeneralizedARCH),aUlrichMüllerzzespołemw1995rokuwpro‐wadzilimodelHARCH(HeterogeneousAuto‐RegressiveConditionalHeterosceda‐stic model). Model TARCH (Treshold ARCH – model progowy ARCH) zostałwprowadzony przez Howella Tonga w 1990 roku. Obecnie do modeli typuGARCHstosuje się funkcje łącznikoweAbeSklara, aprzykładyznaleźćmożnawksiążceRyszardaDomanaz2011roku.

Prace Michaela Harrisona i Stanleya Pliski z lat 1981–1983 zawierałytwierdzeniadotyczącewycenyinstrumentówfinansowychwjęzykumartynga‐łów.Metodaprzeznichzastosowanapozwalazredukowaćprocesstochastycz‐nydofunkcjonałuzależnegoodprocesuWieneraizatosowaćlematKiyoshiItȏ.

Wkład profesorów Eugene Famy, Larsa Hansena oraz Roberta ShillerawrozwójbadańnadanaliząiwycenąaktywówzostałdocenionyprzezKrólew‐skąSzwedzkąAkademięNauk,któraw2013rokuprzyznałaimNagrodęNoblawdziedzinienaukekonomicznych.Wuzasadnieniunapisano,żechociażniemasposobudokładnegoprzewidzeniacenakcjiczyobligacjizakilkadnilubtygo‐dni,todziękibadaniomlaureatówokazałosię,iżmożnaprzewidzieć,zdużymprawdopodobieństwem, szerokie spektrumcenwokresach rzędu3–5 lat. Jużw latachsześćdziesiątychdwudziestegowiekuEugeneFamawykazał,żecenyakcji są trudne do przewidzeniaw krótkim okresie, choćby dlatego, że noweinformacje sąprawienatychmiast stosowanedowyceny.Toodkrycie zaowo‐cowałorozwojemfunduszyopartychnaindeksachgiełdowych.NapoczątkulatosiemdziesiątychdwudziestegowiekuRobertShillerodkrył,iżstosunekwyce‐nydodywidendydążydospadku,kiedy jestwysokiorazmatendencjęwzro‐stową,gdy jestniski.Tenmechanizmsamoregulacjidziaładlaróżnychrodza‐jów aktywów, nie tylko akcji i obligacji. Trzeci z laureatów – Lars Hansenopracowałstatystycznąmetodę,któradobrze testujesposobyracjonalnejwy‐cenyaktywóworaz zauważył, że teorieFamy i Shilleradobrzewyjaśniają za‐gadnieniawycenyaktywów[18].

Szczegółowy wykaz literatury dotyczącej historii matematyki finansowejmożna znaleźć na przykład w książce [21] lub wmonografii [10] (w językuangielskim).

1.2.Podziałmodelimatematykifinansowej

Modelestosowanewmatematycefinansowejmożnapodzielićnadwiekatego‐rie:modeledeterministyczne,opisującezjawiskazapomocądeterministycz‐nych, tj. nielosowych równań różniczkowych zwyczajnych bądź cząstkowychorazindeterministyczne(losowe),wktórychwystępująrównaniazawierają‐cezmiennelosowezwanestochastycznymirównaniamiróżniczkowymi.

12

Ze względu na przyjęty sposób postrzegania czasu wyróżnia się modelezczasemdyskretnym, gdy zbiór rozpatrywanych chwil T jest przeliczalnymzbiorempostaci{0,1,2,…}orazzczasemciągłym,gdyTjestzbioremnieprze‐liczalnym–przedziałem[0,).

Ryc.1.2.1.Podziałmodelimatematykifinansowej

TadwoistośćstosowanegoopisuwynikazparadoksuZenonazEleiopisa‐negoprzezArystotelesawksiędzeVI„Fizyki”[6].

Załóżmy, żewystrzelona z łuku strzałapokonałaokreślonyodcinekdrogidotarczy.Wmomenciewystrzeleniaznajdowałasięnapoczątkutejtrasy,apodotarciudocelu–na jejkońcu.Wkażdejchwili lotuznajdowałasięw jakimśkonkretnympunkcietrasy,zatempozostawaławspoczynku.Jednocześniepo‐ruszałasię,boprzebyłatętrasęwpewnymczasie.MatematykGiovanniBene‐detti(1530–1590)wyjaśniłtęsprzeczność,twierdząc,że„zatrzymanie”obiek‐tów w ich ruchu to dostrzeganie jedynie części zjawiska, bowiem międzystatycznymiobrazamiznajdująsięnieskończeniekrótkieodcinkiczasu,wktó‐rychobiektprzebywaodpowiednieodcinkidrogi[7].Zatem,wniektórychsy‐tuacjachzakładamy,żeobserwujemyprocesstochastycznyzczasempłynącymwsposóbciągły.Winnychprzypadkachmożemyprzyjmować,żeobserwowanyproceszmieniasięskokowo,alezmianytemogąsiępojawiaćtylkowpewnych,ustalonychzgórymomentach(patrzpodrozdz.3.5).

Wartośćinstrumentufinansowegowogólnościmożebyćnieujemnąfunkcjąrzeczywistą, którejwartość jest określonaw każdej chwili czasu, reprezento‐wanejprzezpunktnieujemnejczęściosiliczbrzeczywistych[0,).Punktzerojestustalonąumownąchwilązapoczątkowaniaobserwacjiprocesu.

Jeżelirozpatrujemybankowąlokatęterminową,któraprzydopisaniuodse‐tek wymaga dotrzymania ustalonego okresu, to zakładamy, że kapitalizacjaodsetek dokonuje się w chwili kończącej ustalony okres (są to tzw. odsetkizdołu).Wystarczywięc rozpatrywać techwileczasu,wktórychdokonujesiękapitalizacja,zaniedbującdokładniejszyopis.Koncentrujemynaszepostrzega‐nietylkonatychpunktach{0,1,2,…}osiczasu,wktórychzmieniasięwartośćrozpatrywanejfunkcji,stosująctzw.modeldyskretnyczasu.

DETERMINISTYCZNE  INDETERMINISTYCZNE 

MODELE MATEMATYKI FINANSOWEJ 

Z CZASEM DYSKRETNYM 

Z CZASEM CIĄGŁYM 

Z CZASEM  DYSKRETNYM 

Z CZASEM CIĄGŁYM 

13

W przypadku instrumentów finansowych o ustalonym z góry momenciewygaśnięcia (takich jaknaprzykładobligacje,opcje)zakładasię, że rozpatry‐wanymodelmaskończonyhoryzontczasowyT*,czylizaprzestajemyobser‐wacjiprocesuwpewnejustalonejchwiliT* inierozważamypóźniejszychmo‐mentów. W przypadku modelu dyskretnego bierzemy pod uwagę wyłączniechwile{0,1,2,…,T*},aodpowiadającymumodelciągły jestzdefiniowanynaprzedziale[0,T*]liczbrzeczywistych.

14

2.Rynekfinansowy

2.1.Podziałrynkufinansowego

Rynek finansowy jest częściąkażdejgospodarki.Nanimzawieranesą trans‐akcjefinansowepolegającenazakupieisprzedażyinstrumentówfinansowych.Instrumenty finansowesądwustronnymiumowami regulującymizależnościfinansowelubmajątkowemiędzystronami.Rynekfinansowydzielisięna:ry‐nek pieniężny, rynek kapitałowy, rynek walutowy i rynek instrumentów po‐chodnych (derywatów). Uczestnikami rynku są inwestorzy indywidualni lubinstytucjonalni(banki,fundusze)orazmaklerzy/brokerzypracującywdomachmaklerskich.

Wwęższym znaczeniu rynek kapitałowy utożsamiany jest jedynie z ryn‐kiem papierówwartościowych, który dzieli się na rynek pierwotny (obrótnowo emitowanymi walorami) i rynek wtórny (obrót walorami będącymiwobiegu).Instytucjonalnąformąrynkuwtórnegojestgiełdapapierówwarto‐ściowych–miejsceobrotupapieramiwartościowymiprzynoszącymistałydo‐chód–obligacjami,waloramiprzynoszącymizmiennydochód–akcjami,bo‐namiskarbowymiorazinstrumentamipochodnymi.

Podstawowymikategoriamirynkukapitałowegopodlegającymianaliziesąstopy zwrotu z instrumentów finansowych. Do ich określenia niezbędne sąmetody wyceny, czyli określenia teraźniejszej wartości instrumentu. Temucelowisłużąstochastycznemodelewyceny.

Zachowanie się inwestorów na rynku kapitałowymwyjaśniają teoriema‐kroekonomicznezwanemodelamirównowagirynkukapitałowego.Donichnależy między innymi teoria portfela i teoria arbitrażu. Modele te wskazują,jakapowinnabyćstopazwrotu(lubrównoważniecena) instrumentufinanso‐wegowwarunkachrównowagirynkowej.

Podstawową obserwowaną wielkością na rynku finansowym jest jedno‐okresowastopazwrotuRzinstrumentufinansowego.Oznaczeniepochodziodfrancuskiego terminu rente reportable – stopa zwrotu (z inwestycji), użytegoprzezLouisaBachelieraw1900roku.

||||||||

||||||||

||||||||

||||||||

||||||

Definicja2.1.1.StopązwrotulubstopązyskuzinstrumentufinansowegoRtnazywamy względną zmianę ceny instrumentu finansowego w ustalonymokresiebazowym(odtdot+t),czyli

15

 

||||||||

||||||||

||||||||

||||||||

||||||||

|| ,

gdziePtjestcenątegoinstrumentuwchwilit,zuwzględnieniemdywidendy.

Okresembazowymdlastopyzwrotujestnajczęściejrok.Wmodeluciągłymmożna rozważać stopę zwrotu dla okresu od ti–1 do ti, gdy ciąg rosnący liczbrzeczywistych(ti)zt0=0określapodziałosiczasunakolejneokresy.Wmode‐lu dyskretnym natomiast najczęściej przyjmuje się, że taki podział na okresygenerujezbiórliczbnaturalnych.Częstozakładasię,żewszystkieokresymająjednakowądługośćrównąokresowibazowemu.

Model ciągły

Model dyskretny

Ryc.2.1.1.Porównaniemodeluzczasemciągłymidyskretnym

Stopęzwrotuzwyklewyrażasięwprocentach.Najmniejsząmożliwąwar‐tością,jakąmożeprzyjąćstopazysku,jest–1(czyli–100%),cooznaczautratęcałegopoczątkowegokapitału.Wartościujemneświadcząoutracieczęściwar‐tości kapitałupoczątkowego,dodatnie zaśowzrościewartościpoczątkowegokapitału.

Inwestor dysponujący wieloma walorami, czyli portfelem, może równieżobliczyćstopęzwrotuzcałegoposiadanegozespołuinstrumentów(patrzpod‐rozdz.5.2).

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definicja2.1.2.StopazwrotuwmomencietzportfelaskładającegosięzNwalorówoudziałachzapisanychzapomocąwektorakolumnowego

⋮

, … ,

tR4R3R2R1R0

543210

t1t0=0

R0 R1t

t4

R3

t3

R2

t2

16

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

(gdziewszystkiewspółczynniki ϵ 0, 1 oraz ⋯ 1), jestśred‐niąważoną stóp zwrotu dla poszczególnychwalorów i ( ϵ 1, 2, …, ),czyli

∑ · .

2.2.Charakterystykadanychnarynkufinansowym

Dane finansowe,wodróżnieniuod innych rodzajówdanych (biometrycznych,technicznych,środowiskowychitp.),charakteryzująsięnastępującymicechami:asymetrią, „grubymi” ogonami, częstym brakiem korelacji cząstkowej orazzmieniającymisięskupieniamiwartości[10].Przykład2.2.1.Rozważmyprzykładowecenywchwilizamknięciadziennychsesji giełdypewnego instrumentu finansowego, którego cenaw chwili rozpo‐częciaobserwacjiwynosi1ipo21okresach(dniach)wzrosłaprawiedo2.

Szczegółowewynikisąnastępujące:1 1,0512 1,092 1,1236 1,1548 1,1873 1,2091 1,22581,2316 1,2414 1,285 1,3433 1,4045 1,4793 1,5408 1,60091,6811 1,758 1,8322 1,9103 1,9918. Przedstawimyjenawykresie,abyłatwiejbyłozinterpretowaćzmiany(ryc.2.2.1).

Ryc.2.2.1.Wykrescenzprzykładu2.2.1

Wydajesię,żecenywzrastająprawiewtymsamymtempie,od1do2,bowykres przypomina linię prostą. Wrażenie to jest jednak mylące; wystarczywyliczyćstopyzwrotudlajednodniowychokresów.

17

Stopyzwrotuwynoszą:5,120,987,69

4,084,367,42

3,165,837,81

3,126,128,15.

3,257,48

2,186,15

1,676,01

0,588,02

Wceluweryfikacjipostawionejhipotezysporządzimyodpowiedniwykreszmiandziennychstópzwrotu(ryc.2.2.2).Wprawdziezauważyćmożna,żecenastalerośnie,aledopołowybadanegookresutempowzrostu(czylistopazwro‐tu)malałood5%prawiedozera,późniejwzrastało,oscylując,dopoziomu8%.

Sporządźmyhistogramystópzwrotu(ryc.2.2.3).Są towykresysłupkowe,którychwysokośćodzwierciedlaliczbęwynikówznajdującychsięwprzedziale,dla którego sporządzono słupek. Można zauważyć, że wykres dość znacz‐nie odbiega od krzywej gęstości rozkładu normalnego, naszkicowanej liniąciągłą.Rozkładstópzwrotucharakteryzujesię„grubymi”ogonami, tzn.war‐tościskrajnepojawiająsięczęściej,niżgdybydanepodlegałyrozkładowinor‐malnemu. Stąd pomysły użycia rozkładów stabilnych oraz tych o „grubych”

Ryc.2.2.2.Wykresstópzwrotudladanychzprzykładu2.2.1

Ryc.2.2.3.Histogramstópzwrotudladanychzprzykładu2.2.1

18

lub„ciężkich”ogonach,rozkładówowiększymrozrzucieniżrozkładnormalny,domodelowaniadanych.

Zgodnie z twierdzeniami granicznymi rachunku prawdopodobieństwa,wrazzewzrostemliczbydanychichrozkładbardziejprzypominarozkładnor‐malny.Możnazakładać,żenotowaniadziennemająrozkładnormalny,ale jużdanezbieranetygodniowowykazująznaczneodstępstwaodniego.Najmniejsząmożliwą wartością, jaką może przyjąć stopa zysku, jest –1 (–100%), więcuwzględniaćnależyrozkładyobcięte.

Asymetria danych finansowych polega na tym, że ekstremalne ujemnewartości zdarzają się częściej niż bardzo duże wartości dodatnie. Ta ujemnaskośność,widocznanahistogramach,sugeruje,żetoniedanepodlegająrozkła‐dowi normalnemu, lecz raczej ich logarytmy. Na rycinie 2.2.4 przedstawionohistogramsporządzonydlalogarytmówcen.Wykressłupkowylogarytmówcenbardziejprzypominakrzywągęstościrozkładunormalnegoniżwykresdlasa‐mychcen(ryc.2.2.3).Wartozwrócićuwagęnaekstremalnewartościdodatnie,którepojawiałysięzbytczęsto,niżwynikałobytozprzyjętegomodelu.

Ryc.2.2.4.Histogramlogarytmówcendladanychzprzykładu2.2.1

W celu zbadania zależności pojawiania się poszczególnych wartości spo‐rządzimywykresywartościwspółczynnikaautokorelacjidladanychzprzykła‐du2.2.1.Współczynnik autokorelacji jest odpowiednikiemwspółczynnikako‐relacji liniowej z podrozdziału 5.1 i interpretuje się go w ten sam sposób.Obliczasięgodlawybranychdwóchpodciągówkolejnychobserwacjitejsamejdługości,przesuniętychwczasie.Toprzesunięcienazywasięopóźnieniemcza‐sowym.

19

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definicja 2.2.1. Współczynnikiem autokorelacji próbkowej dla dwóchciągówobserwacjidługościk , … , oraz , … , (zopóźnienieml),wybranych z ciągu (xi)wynikówobserwacji procesu losowego2X, nazywaćbędziemywyrażenie

∑ ̅ · ̅∑ ̅ ,

Gdzie ̅ ∑ jestśredniąarytmetycznąwyrazówciągów , … , .

Tabela2.2.1.Wartościautokorelacjidlaróżnychopóźnieńibłędystandardowesłużącedoosza‐ cowaniabiałegoszumu

Opóźnienie Autokorelacja Błądstandardowy12345678910

0,85060,69790,55500,41320,29300,15150,0292–0,0830–0,1943–0,2807

0,20780,20230,19660,19070,18460,17840,17190,16510,15810,1508

Wykreswspółczynnikówautokorelacjijestwykresemsłupkowym(imwyż‐sza wartość bezwzględna współczynnika, tymwyższy słupek).Współczynnikautokorelacji przyjmuje wartości z przedziału [–1, 1]. Im jego wartość bez‐względna jest bliższa 1, tym większa jest siła zależności liniowej pomiędzydwomaciągamiwartości.Ujemnewartościwspółczynnikaświadcząoujemnejzależności,wktórejwzrostwartościwjednymciąguwspółwystępujezespad‐kiemwartościwdrugimciągu.

Na rycinie 2.2.5 przedstawiono wartości współczynników autokorelacjiwpostacisłupkówdlaopóźnieńod1do10orazprzedziałyufności(granice),wewnątrz których znalazłyby się słupki, gdyby obserwowany proces był bia‐łymszumem(ciągiemniezależnychzmiennychlosowychorozkładachnormal‐nych N(0, 2)). Można zauważyć silną dodatnią zależność liniową pomiędzystopamizwrotuzbliskichsobiemomentówczasowych(opóźnieniaod1do5)orazpojawiającesięzależnościujemnedlaopóźnieńpocząwszyod8(bowtedyspada tempo wzrostu stóp zwrotu, które początkowo rosło silniej). Dlatego_________________ 

2Procesem losowym (albo stochastycznym) nazywamy ciąg zmiennych losowych określo‐nychnatejsamejprzestrzeniprobabilistycznej.

20

Ryc.2.2.5.Wykresautokorelacjidladanychzprzykładu2.2.1

należyodrzucićhipotezę,żestopyzwrotumająniezależnerozkładynormalneojednakowejwariancji.

Dużewartościwspółczynników autokorelacjimogąwynikać z rozmaitychprzyczyn.Trzebasprawdzić,czybadanyproceslosowyniejestprocesemauto‐regresji (patrz podrozdz. 4.3), w którym poszczególne zmienne losowemająwprawdzierozkładynormalneojednakowejwariancji,aleichkolejnewartościoczekiwanesązwiązaneliniowąrekurencyjnązależnością.Możeokazaćsię,żedanepodlegająrozkładowio„grubym”ogonie,znacznieróżniącymsięodroz‐kładunormalnego,dlategoprocesróżnisięodbiałegoszumu.Wreszcie,oscyla‐cjewartościwspółczynnikówmogąbyć spowodowanenieliniową zależnościąpomiędzy wartościami oczekiwanymi lub wariancjami zmiennych losowychtworzącychrozpatrywanyproces.

Poza danymi o dużej częstotliwości (na przykład notowania dziennezprzykł.2.2.1) testyzwykleniewykazują istotnejkorelacjicząstkowej. Jed‐nakkorelacjamiędzystopamizwrotuwzrastapodczasokresówodużejzmien‐ności (krachów). Pojawiające się wówczas ekstremalne dodatnie lub ekstre‐malne ujemne wartości zwykle utrzymują się przez dłuższy czas (w przykł.2.2.1staleutrzymujesięrosnącytrendcennotowań).Czasten jestpotrzebnyna to, aby rynek finansowywytrącony ze stanu równowagi ustabilizował sięwnowymjejpunkcie.

Powyższecechydanychfinansowychspowodowałyposzukiwanianowych,niegaussowskich lub nieliniowych modeli (wspomnianych w podrozdz. 1.1),którewkrótkimlubdługimhoryzoncieczasowymdobrzeokreślałybyzależno‐ścimiędzybadanymiwielkościami.Więcej informacjiotychmodelachi testo‐waniuichdopasowaniamożnaznaleźćwpozycji[10].

21

Zadaniadorozdziału2

1.Wubiegłymrokudilersamochodówsprzedał1egzemplarzza120000zł,ajegozyskwyniósł1%.Kioskarzsprzedającymiesięcznie1000gazetpo2,50złmiałpięciopro‐centowąmarżę.Sklepikarzsprzedawałżywnośćzdwuprocentowymzyskiem,ajegomiesięczneobrotywynosiłyśrednio6000zł.Któryznichuzyskałnajwiększąstopęzwrotuwciąguroku?

2.Napodstawieponiższychinformacjiwyznaczyćtygodniowestopyzwrotu,ichśredniąarytmetycznąiodchyleniestandardowe(patrzpodrozdz.5.1).

Tydzień 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Kursakcji 135,0 142,0 158,0 154,0 175,0 169,0 173,0 188,0 187,0 198,0Dywidenda 7,5 6,2 2,1 3,3 5,8 3,4 5,6 4,5 4,7 8,9

3.Dane są notowania dzienne akcji pewnej spółki. Sporządzić histogram dla tych da‐nych, zakładając, że przedziały klasowe są prawostronnie domknięte,mają długość1%,aśrodekpierwszegoznichleżywpunkcie2,5.Wykonaćwykresdziennychno‐towań,logarytmównotowańorazstópzwrotu. 3,3 4,6 2,2 3,0 4,1 5,1 6,2 7,3 8,2 9,1 2,6 3,2 4,4 5,3 2,3 3,1 4,2 5,2 6,1 7,5 2,8 3,3 4,5 5,8 2,4 3,2 4,3 5,3 6,7 2,2 3,1 4,2 5,2 6,0 7,3 8,7 3,7 4,8 2,9 3,3 4,6 5,7 3,5 4,7 2,5 3,2 4,5 5,7 3,9 4,9 3,8 3,7 3,6 3,6 3,5 3,7 4,9 2,7

Odpowiedzi1.R1=1200zł,R2=1500zł,R3=1440zł.2.Kolejno: 9,78%, 12,75%, –0,44%, 17,4%, –1,49%, 5,68%, 11,27%, 1,97%, 10,64%.Średniaarytmetyczna:7,5%,odchyleniestandardowe(napodstawieestymatoranie‐obciążonegowariancji):6,65%.

22

3.

Histogramczęstościdanych.Kształthistogramusugeruje,żedanemająrozkładlo‐

garytmiczno‐normalny.

Wykresynotowań(liniaciągła)iichlogarytmów(liniakropkowana).

Wykreswartościstópzwrotu.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

23

3.Kapitalizacja,oprocentowanieidyskontowanie

3.1.Zmiennośćpieniądzawczasie

Wszystkie modele matematyki finansowej zakładają, że wartość pieniądzazmieniasięwrazzupływemczasu.Zakładamy,żewustalonejchwilipoczątko‐wej(czyliwpunkcie0naosiczasu)mamykapitał ,którywyrażonyw(jakiś)jednostkachpieniężnych(np.weuro,dolarach,złotówkach)jestdodatniąlicz‐bąrzeczywistą.Funkcjawartościkapitału ,określonadlawszystkichchwiltT=[0,),opisujesposób,wjakinastępujezmianawartościpoczątkowegokapitału . O funkcji będziemy, przynajmniej, zakładali, iż jest ciągłairóżniczkowalnanaprzedziale[0,).Możemyprzyjąć,żejeślifunkcjaosiągniewartośćrównązeruwpewnejchwilit,topóźniejprzyjmiejużzawszewartościzerowe.

Do porównania inwestycji o różnym kapitale początkowym służy funkcjaakumulacji kapitału, wyrażająca zmianę wartości w czasie jednostki zainwe‐stowanegokapitału.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||Definicja3.1.1. Funkcją akumulacjikapitału nazywać będziemy funkcję

:[0,)określonąwzorem

0

dlawszystkicht[0,),gdzie jestwartościąkapitałuwchwilit,a 0 jegowartościąwchwilipoczątkowej.

Przykład3.1.1.PanAzainwestował1000złwroczną lokatębankową,któraprzyniosłamu12%zysku,apanBzakwotę500złzakupiłpamiątkowemonetywyemitowaneprzezNBP,któreporokusprzedałza600zł.Któraztychinwe‐stycjimiaławiększetempowzrostuwartości?

24

Rozwiązanie. Funkcja akumulacji kapitału pana A po roku wyniosła1 1,12,natomiastpanaBpodwóch latachwyniosła 1 1,2.JednostkakapitałuzainwestowanaprzezpanaAzwiększyławciąguroku

wartość o 0,12, czyli względny przyrost jednostki kapitału był równy 0,12. Inwestycja pana B miała tempo wzrostu 0,2.

PanBokazałsięlepszyminwestorem.

Zmianęwartościfunkcjirzeczywistejmożnaopisaćzapomocątempawzro‐stu,używającpojęciapochodnej,czyligranicyilorazuróżnicowegodlatejfunk‐cji.Należywtedyzałożyć,żefunkcjatajestróżniczkowalnawkażdympunkcieprzedziału[0,).

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definicja3.1.2. Chwilową stopą zwrotu (inaczej: chwilową stopą zysku)zpojedynczejinwestycjikapitałuwwysokości 0 wchwili0nazywaćbę‐dziemyilorazpochodnejfunkcjiwartościkapitałuoraztej funkcji,czyliwy‐rażenie

dlawszystkich ∈ 0,min : 0 ,gdzie jestwartościąkapitałuwchwilit.

Przyjmijmy,żezmianawartościkapitałujestproporcjonalnadojegowyso‐kości, awspółczynnikproporcjonalności r(t) jest pewną funkcją czasu, całko‐walnąwdowolnymprzedziale[0,s]zawartymw 0,min : 0 .Wtedyfunkcja musispełniaćrównanieróżniczkoweozmiennychrozdzielonych

∙

zwarunkiempoczątkowym 0 .

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Twierdzenie3.1.1.Jeżeliwartośćkapitałuwchwilitokreślarównanieróż‐niczkowe

∙ ,

25

|||||||||||||||||||||||||||||||||

torozwiązanietegorównaniaokreślonejestwzorem∙ .

Dowód.Zapiszmyrównaniewpostaci.

Całkujemyobustronnierównaniewprzedziale[0,t],dostająckolejno

,

ln ln 0 .

Ostatecznie otrzymujemy rozwiązanie w postaci 0 ∙ dlawszystkich ∈ 0,min : 0 .Łatwosprawdzić,żechwilowastopazwrotuwyrażazmianęwartościjednostkizainwestowanegokapitału,czyli

dlawszystkich ∈ 0,min : 0 .

Przykład3.1.2.[E17.05.2003]Oznaczmyprzez stanśrodkówwpewnymfunduszu X. Natężenie oprocentowania w tym funduszu dane jest wzorem ∙ ∙ .Dofunduszuwchwilit=0jestdokonywanawpłatawwy‐sokości1.Wiadomo,że

(i) 1 , ,(ii) 3 , ,(iii) 5 , .

Wyznacz 7 .Rozwiązanie. Przyoprocentowaniulokatpieniężnychchwilowąstopęzwro‐tur(t)nazywasięnatężeniemoprocentowania ioznaczasię (ją) symbolemtlub(t).Stądmamy

.

26

Zwarunkówzadaniawynika,żeln 1 0,04 2 3 ,ln 3 0,42 3 92 9 ,ln 5 1,6 5 252

1253 .

Dostajemynastępującyukładrównańliniowychzniewiadomymia,bic:6 3 2 0,246 9 18 0,8430 75 250 9,6

,

któregorozwiązaniemjest 0,02, 0,02i 0,03.Ostateczniemamy7 , · , ∙ , , 58.

Szczególnymprzypadkiemmodeluchwilowejstopyzwrotujesttzw.kapita‐lizacja ciągła. Zakładamy wówczas, że tempo wzrostu wartości kapitału jeststałewczasie.

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Twierdzenie3.1.2. Jeżeli chwilowa stopa zwrotu (inaczej: chwilowa stopazysku) z inwestycjima stałąwysokośćw pewnym przedziale [0, s], to dlawszystkicht[0,s]zachodząwzory:

∙ ,.

Dowód.Załóżmy,żer(t)=r0dlawszystkicht[0,s].Ponieważ ,więc 0 ∙ , .

3.2.Oprocentowanieidyskontowanie

Stopaprocentowa jestmiernikiem zysku (przychodu), jaki przysługuje posia‐daczowikapitałuzracjiudostępnieniagoinnympodmiotom(naprzykładban‐kowinatzw.umowęlokaty)naokreślonyczas.Stopazyskuzinwestycji,zwanateż stopązwrotuz inwestycji,pozwalawyliczyćprzyszłąoczekiwanąwartośćkapitałunapodstawiejegowartościobecnejwedługwzoru ∙ .

27

Stopęprocentowąodseteknajczęściejpodajesięwstosunkurocznym(peranno,p.a.).Odsetkisąkwotamipieniężnymipłaconymizaudostępnieniekapi‐tału. Wysokość tych kwot wylicza się na podstawie stopy procentowej. Zewzględu na to, czy po upływie pierwszego ustalonego okresu odsetkowegodoliczanesąonedokapitałuczyteżnie,odsetkinazywamyskładanymi(złożo‐nymi) lub, odpowiednio, prostymi. Warto zauważyć, że jeśli oprocentowanieliczone jest metodą składaną, to w następnych okresach odsetki z okresówwcześniejszych są również oprocentowane.W drugim przypadku odsetki wewcześniejszych okresach nie są później oprocentowane, zatem sumują sięw sposóbprosty, stądnazwa: odsetki proste.Odsetki zewzględunamomentwypłacaniadzielimynawypłacanezgóry(wzaliczce,napoczątkuustalonegookresupowierzeniakapitału)lubnawypłacanezdołu(nakońcutegookresu).Proces dopisywania odsetek do kapitału z zastosowaniem formuły odsetekzłożonychnazywasiękapitalizacjąodsetek.Wtabeli3.4.2.zamieszczonowzoryokreślającewartość kapitału i funkcję akumulacji kapitałudla podstawowychmodelikapitalizacjiodsetek.

Dyskontowaniemnazywamymetodęobliczaniawartościobecnejkapitałunapodstawie jego oczekiwanejwartości przyszłej. Inaczejmówiąc, dyskonto‐wanie polega na pomniejszaniu wartości przyszłej kapitału o kwotę zwanąkwotądyskonta,reprezentującązmianęwartościpieniądzawczasie.Takwięc,funkcjadyskontajestodwrotnością(aleniefunkcjąodwrotną!)funkcjiakumu‐lacjikapitału,gdyż ∙ .

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definicja3.2.1.Funkcjądyskontanazywamyfunkcję ∶ 0,min : 0 0,

określonąwzorem

1 , gdy 01, gdy 0

dlawszystkich ∈ 0,min : 0 , gdziea(t) jest funkcją akumulacjikapitału.

Wprzypadku,gdy : 0 ∅,przyjmujemy,żemin : 0 .

Przykład3.2.1.[E25.01.2003]Danajestfunkcjaakumulacjikapitałupostaciln 5 ln 3

ln 5 ln 3 .Wyznaczobecnąwartośćrentypłatnejzdołu |.

28

Rozwiązanie . Symbol | oznacza obecną, tzn. w chwili 0, wartość renty,czyli ciągu wypłat w wysokości 1, dokonywanychwmomentach 1, 2, …, 10.Obecnawartośćwypłatyjednostkowejwchwilik(k{1,2,…,10})wynosiK0k==[a(k)]–1.Należyobliczyćsumęobecnychwartościwszystkich10wypłatrenty,czyli

1

ln 5 ln 3ln 5 ln 3

1ln 53

ln 53

ln 212ln 53

2,3513750,510826 4,60.

Stopęprocentowąużytądoobliczaniakwotydyskontaokreślasięmianemstopy dyskontowej. Jeśli do wyznaczenia kwoty dyskonta używa się formułyodsetekprostych, todyskontonazywamyprostym (lubhandlowym), jeśli zaśprocentuskładanego–tozłożonym.

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definicja3.2.2.Chwilową funkcjądyskonta (dyskontemchwilowym)na‐zywaćbędziemywyrażenie

11 ,

gdziea(t)jestfunkcjąakumulacjikapitału.

Definicjatajestanalogicznadodefinicjichwilowejstopyprocentowej.Znak„minus”wewzorzezostałumieszczonypoto,bydyskontoprzyjmowałowarto‐ścidodatnie.Okazujesię,żepojęcietojestrównoważnechwilowejstopiezwro‐tu w modelu opisanym w podrozdziale 3.1, gdyż prawdziwe jest poniższetwierdzenie:

|||||||||||||||||||

Twierdzenie3.2.1. .

29

Dowód.Korzystajączdefinicjichwilowegodyskonta,mamy

11 .

Ponieważobiewielkości są równecodowartości, zatemposługujemysię

tylkopojęciemchwilowejstopyzwrotu.

3.3.Zmiennystrumieńprzepływukapitału

Wpodrozdziale3.1zakładaliśmy,żejedynymwpływempodczasinwestycjijestkapitałpoczątkowy ,ajegowartośćkońcowajestzależnaodtempawzrostujegowartości,wyrażonegoprzezilorazpochodnej iwartościfunkcji .Załóżmyteraz,żewkażdympunkcieodcinka[0,s]osiczasudoinwestycjido‐pływanowykapitałwwysokościokreślonejprzezwartośćpewnejnieujemnejfunkcji . Chcemy znaleźć wzór opisujący wartość kapitału końcowegowchwilitsumywpływówwczasie[0,s].Przyjmijmy,żechwilowastopazwro‐tu mastałądodatniąwartośćdlat[0,s].

Wmatematyce finansowej zewzględu na założenie, żewartość pieniądzajest zmienna, należy, opróczwartości nominalnej kapitału (wyrażonejw jed‐nostkachpieniężnych),podać,wjakimmomencie jestonaobliczonalub jakiejchwilidotyczy.Najczęściej tymwybranymmomentem jest zakończenie inwe‐stycji (naprzykładkoniecokresuważności lokatypieniężnej,momentwygaś‐nięciaopcji,sprzedażportfelaposiadanychwalorówitp.),bowtedypodsumo‐wujesięzyski istratyzwiązaneztąinwestycjąioceniasię, jakąstopęzwrotukapitałuprzyniosłaonainwestorowi.Wmatematyceaktuarialnej(ubezpiecze‐niowej)natomiastpodstawowymproblememjestwycenaświadczenia(wubez‐pieczeniach życiowych) lub ochrony ubezpieczeniowej (w ubezpieczeniach in‐nych, na przykładmajątkowych)w chwili 0, czyli cena (netto) ubezpieczeniawmomenciejegozakupu.Przykład 3.3.1. [E11.10.2003] Inwestor rozważa nabycie 20‐letniej rentypewnej,ciągłej,płatnejnatychmiast,ointensywnościwypłat(forceofpayment)zadanejwzorem .Wiadomo, żew całym rozpatrywanymokresie in‐tensywność oprocentowania jest stała i wynosi = 7,00% (force of interest).O ilemniejzapłaciłby inwestor,gdybyzrezygnowałzotrzymywaniapłatnościwostatnim5‐letnimokresiewypłaty,aintensywnośćoprocentowaniazostała‐bypodwyższonaiwynosiłaby=10,00%?Cenarentywkażdymrozpatrywa‐nymprzypadkujestrównawartościobecnejtejrenty(netpresentvalue).

30

Rozwiązanie. Rozpocznijmyodkilkuniezbędnychwyjaśnień.Wodniesieniudo odsetek, zamiast symbolu używa się oznaczenia , natomiast gdyfunkcjataniezmieniasięwczasie–.

Rentą nazywamy ciąg płatnościwypłacanychw określonejwysokości iwokreślonychpunktachczasowych.Rentapewna jestwypłacanazawsze,nieza‐leżnieodtego,czyrentobiorcażyje,wprzeciwieństwiedotzw.rentyżyciowej.Ciągłośćrentywymagaużyciamodeluciągłegodlaokreśleniaczasu(patrzpod‐rozdz.1.2).Wrozpatrywanymproblemiezakładamy,żewkażdejchwili(punk‐cie) odcinka [0, 20] na osi czasu następuje wypłata w wysokości określonejprzezfunkcję .Naprzykład,wchwili 5następujewypłata 25jed‐nostek.Obecnawartośćwypłaty(zwanawartościąaktuarialną) jestwartościąwypłatyrentyprzeliczonąnachwilę0.

Wartośćwypłaty wchwili należyzdyskontowaćnachwilę0,czyliobli‐czyć, jakawielkość kapitałuw chwili 0 będzie równa po upływie czasu .Będzietooczywiście ∙ ,gdzie jestchwilowąfunkcjądyskontapostaci

.Następnienależyzsumowaćobecnewartościwszystkichwypłatpo(nieprzeli‐czalnym)przedziale[0,20],otrzymującwzór

20 .Wyznaczymyterazróżnicęobecnychwartościoburent

20 20 , , , , 589.

Wostatnimwierszuwykorzystanowzór .

Rozumującanalogiczniemożnawnioskować,żewartośćkońcowakapitałuwchwilis,gdydopływaondoinwestycjiwchwilit(0,s]wwysokości ,wyniesie

.Udowodnimyteraz,żewzórtenjestrozwiązaniemrównaniaróżniczkowe‐

goliniowegoniejednorodnegoIrzędu.

31

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Twierdzenie3.3.1.Jeżeliwartośćkapitałuwchwilitokreślarównanieróż‐niczkowe

∙ ,torozwiązanietegorównaniapodanejestwzorem

∙ ∙ .

Dowód. Rozwiązujemynajpierw równanie jednorodne ∙ 0metodąrozdziałuzmiennych(patrzdowódtwierdzenia3.1.1).Całkujemyobu‐stronnierównanie

,otrzymując

,stąd

ln .Ostateczniemamy

∙ .Uzmienniając stałą, otrzymujemy końcową postać rozwiązania naszego

równania∙ .

Zatem 0 .Różniczkujemywzględemczasut,dlat[0,s],∙ ∙ ∙ .

Otrzymanewyrażeniepodstawiamydorównanianiejednorodnego∙ ∙ ∙ – ∙ ∙ ,

astąd ∙ .

32

Całkującstronamiwzględemzmiennejt,wyznaczamyc1postaci0 ∙ .

Następnieokreślamy ∙ .

Poprzekształceniuprawejstronywzoruotrzymujemy ∙ ∙ .

W rozwiązaniu równania różniczkowego z twierdzenia 3.3.1 pierwszy

składnik sumy jest całką z wartości kapitału inwestowanego w chwili tizakumulowanegonamoments.Drugiskładniksumystanowidodatkowykapi‐tałK0 inwestowanywchwili0,zakumulowanynamomentkońcainwestycjis.Zapiszmy za pomocą funkcji akumulacji kapitału zdefiniowanejwpodrozdziale3.1ifunkcjidyskontazpodrozdziału3.2.

∙ ∙

∙ ∙ ∙ .

Wyrażenie ∙

jestwielkościąkapitału,którywmomenciesosiągawartość .Wjegoskładwchodzi „prawdziwy” kapitał początkowy zainwestowanyw chwili 0 orazdalszeinwestycje wchwilacht(0,s)dokonywanezintensywnością ,zdyskontowanenamoment0orazzsumowanezapomocącałki ∙ .Chwilowastopazwrotuzpojedynczejinwestycji wynosi

.

3.4.Zasadastałejefektywnościkapitalizacjiorazstałegoprzyrostuwkapitalizacji

Wniektórychrodzajachkapitalizacjitempowzrostuwartościkapitałujeststałew czasie, czyli efekt kapitalizacji zależy od czasu trwania inwestycji, a nie odchwilijejrozpoczęcia.

33

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definicja3.4.1.Mówimy,żekapitalizacjaspełniazasadęstałejefektywno‐ści, jeśli dlawszystkich0 akumulacja kapitału początkowegowokresieod do jestrównaakumulacjitegokapitałuzainwestowanegowokresieod do iponowniezainwestowanegonatychsamychwarun‐kachod do .

Zbadamy,jakierodzajekapitalizacjicharakteryzująsięstałąefektywnością.Załóżmy,żedlawszystkichw>u0funkcjaakumulacjikapitałuspełniazależ‐ność rekurencyjną ∙ . Wiemy też, że 0 1. Chcemywyznaczyćwzór,zapomocąktóregomożnabędzieznaleźćwartośćwchwilitzainwestowanej jednostkikapitału,czyli .Wtymceluoszacujmynajpierwtempozmianwartościfunkcji .Granicailorazuróżnicowegojestrówna

lim

lim

∙ lim

1

∙ lim

0 ∙ 0 .Otrzymaliśmy równanie różniczkowe ∙ 0 o zmiennych

rozdzielonych,bo 0 jeststałą.Całkujemyobustronnierównaniewprzedzia‐le[0,t],otrzymując

0 .

Rozwiązanie ogólne przyjmuje postać ln ln 0 0 ∙ , z którejwynika,że

.Wykresyrozwiązańrównanianależądorodzinykrzywychy=ect.

Wzależnościodwybranegowarunkupoczątkowegomożemyotrzymaćin‐ny rodzaj kapitalizacji. Uwzględnijmy warunek początkowy 0 .Wtedyotrzymamy,że ,atenrodzajwzrostukapitałunazywasiękapitaliza‐cjąciągłązestopą wokresiebazowym.

Wybórwarunku 1 1 ,gdzieR>0,prowadzidowzoruokreślają‐cegokapitalizacjęzłożoną,zfunkcjąakumulacjikapitałupostaci

∙ 1 .Biorąc 1 ,gdzie0<R<1,otrzymujemywzór 1 definiującykapitalizacjęzgóry,zwanąteżkapitalizacjąwzaliczce.Wreszcie,jeśli 1 1 ,gdzie0<d<1,towzór 1 określadyskontozłożone.

34

Tabela3.4.1.PrzeglądnajważniejszychmodelikapitalizacjiM o d e l e z c z a s em d y s k r e t n ym

RodzajkapitalizacjiWartośćkapitałuponokresach(n=1,2,…)

Funkcja(czynnik)akumulacjikapitałudlanokresów(n=1,2,…)

Funkcja(czynnik)dyskontadlanokresów(n=1,2,…)

KapitalizacjaprostazestopąR>–1wewszystkichokresach

1 1 11

Dyskontoprostezestopądyskontowąd(0,1) 1 1

11

KapitalizacjazłożonazestopąR>–1wewszystkichokresach

1 1 11

Dyskontozłożonezestopądyskontowąd(0,1) 1 1

11

Kapitalizacjazgóryzesto‐pąRwewszystkichokresach,|R|<1

11

11 1

M o d e l e z c z a s em c i ą g ł ym

RodzajkapitalizacjiWartośćkapitału

wchwilit,t[0,)

Funkcjaakumulacjikapitałuwchwilit,

t[0,)Funkcjadyskonta

wchwilit,t[0,)

Kapitalizacjaciągłazchwilo‐wąstopąr(t)=r0stałąwczasie,kapitałpojedynczy

Kapitalizacjazchwilowąsto‐pąr(t)zmiennąwczasię,ka‐pitałpojedynczywchwili0

Kapitalizacjazchwilowąsto‐pąr(t),zmiennąwczasię,kapitałinwestowanyzinten‐sywnościąwpłat(t)

Winnympodejściuzakładamy,żefunkcjaakumulacjikapitałucharaktery‐zuje się stałym przyrostem kapitału w jednostce czasu. Załóżmy, że dlawszystkich argumentóww>u 0 funkcja akumulacji kapitału spełnia zależ‐ność 1 (odjęcie jedynki jestkonieczne,aby funkcjaosiągnęławartość1wpunkcie0).Wpodobnysposóbwyznaczamypochodnąfunkcjiakumulacjikapitału

lim

lim

1

lim

1 lim

0 0 .

35

Otrzymujemy równanie różniczkowe 0 z rozwiązaniem0 ,prowadzącymdowzoru 1 .

Wtymprzypadku,jeśli >0,jesttokapitalizacjaprostazestopązwro‐tu wewszystkichokresachbazowych,a jeśli i0 1, to funkcja

określadyskontoproste.Z powyższych rozważań wynika, że kapitalizacja złożona, ciągła, z góry,

dyskontozłożoneikapitalizacjazchwilowąstopą (zewzględunawłasno‐ścicałkiwwykładnikuwzoru)spełniajązasadęstałejefektywności,natomiastkapitalizacja prosta i dyskonto proste charakteryzują się stałym przyrostembezwzględnymkapitałuwjednostceczasu.

Podstawowemodelekapitalizacji,zarównowmodelachzczasemciągłym,jak idyskretnym,możnaznaleźćw tabeli3.4.1.Domyślniewmodelachzcza‐semdyskretnymstosujesięzasadękapitalizacjizłożonej,wmodelachzczasemciągłym zaś kapitalizację ciągłą. Przeglądając rubryki tabeli, należy zwrócićuwagę,żedyskontojestwartością,októrąnależypomniejszyćprzyszłąwartośćkapitału w celu uzyskania wartości początkowej kapitału 0 . Dlategowzorydlakapitalizacjiprostejidyskontaprostegoorazdlakapitalizacjizłożo‐nejidyskontazłożonegoróżniąsięznakiemwyrażeniawnawiasie.Dyskonto‐waniejestdziałaniemodwrotnymdokapitalizacjiodsetek,dlategofunkcjadys‐kontajestodwrotnościąfunkcjiakumulacjikapitału .

StopadyskontowadistopazwrotuRsąrównoważne,jeżeliwtymsamymokresiewartośćdyskontaiodsetekjestjednakowa.Wprzypadkuodsetekpro‐stych,dlarównoważnychstóp,zachodzizależność1 .Stądwynika‐ją równości i .Dlaodsetek złożonych, zewzoru 1

, mamy zależności i , w których nie pojawia się nzuwaginastałąwczasieefektywność.

3.5.Odmodeluciągłegododyskretnego

Wróćmy do twierdzenia 3.3.1. Wzór opisujący wartość kapitału końcowegowchwilitdlasumywpływówwczasie[0,s],określonychfunkcją ,możnazapisaćnastępująco:

∙ .

W interpretacjiwzoru znalezieniewartości łącznego kapitału zgromadzo‐negowczasie [0, s]wymagazakumulowania, czylipomnożeniaprzez funkcjęakumulacji .Wyrażeniewnawiasieoznaczapojedynczykapitałpoczątkowy orazwartośćaktuarialnąwpłat dokonywanychwróżnychmomentach t przedziału [0, s], zdyskontowaną na chwilę 0, czyli pomnożoną

36

przez funkcję dyskonta . Jest tometoda retrospektywna, bo„sięgamywstecz”dochwili0.

Tensamwzórmożnazapisaćrównoważniewpostaciwyrażenia

∙ ∙

interpretowanego jakometodaprospektywna, czyli „sięganiewprzód”.W tejmetodzieakumulujemynamomentspojedynczykapitałpoczątkowy (mno‐żącprzez )orazwpłaty dokonywanewróżnychmomen‐tach t (mnożąc przez funkcję akumulacji kapitału dla czasu pozostałego dochwilis,czyliprzez ).Przypomnijmy,żekapitalizacjazchwilowąstopązwrotuspełniazasadęstałejefektywnościkapitalizacji.

Omawianywzórmożeprzybraćróżnewarianty.1.Gdyby 0,byłbytomodelzczasemciągłymizchwilowąstopązwro‐tu z kapitalizacji , zamieszczony w ostatnim wierszu tabeli 3.4.1wpoprzednimpodrozdziale.

2.Model z przedostatniegowiersza tabeli 3.4.1 otrzymamy, zakładając, że 0 dla wszystkich 0, . Będzie to wówczas model z pojedyn‐czymkapitałempoczątkowym , inwestowanymwchwili0. Interesujenas dopiero jegowartośćw chwili .W tej sytuacjimożnaposłużyć sięznacznieprostszymprzypadkiemdyskretnym,zkapitalizacjąprostą lubzłożoną (w jednymokresiemamy tensamwzór) ze stopązwrotu dlaokresu[0,s],traktowanegojakookresbazowy.Obasposobykapitalizacjimuszą powodować taki sam efekt jednostki kapitału, czyli 1

.Wynikastąd,żestopazwrotuwmodeludyskretnym,odpo‐wiadającachwilowejstopiezwrotuzkapitalizacji wmodeluciągłym,musibyćrówna 1.Stosującją,otrzymujemywzórwyra‐żającywartośćzainwestowanegokapitałuwchwilis

0 ∙ 1 ,zgodnyzmodelemzczasemdyskretnymistopąkapitalizacji wjednymokresie.

3.Załóżmy, że funkcje i określone na przedziale 0, są funkcjamischodkowymi, tzn. ∑ ∙ , oraz ∑ ∙∙ , ,gdziesymbol , oznaczafunkcjęcharakterystycznąprze‐działu , .Wartośćfunkcjioraz wpunkcie0niemaznaczenia.Skokitychfunkcjiznajdująsięwpunktach , , … , (gdzie0=t0t1<t2<…<tk=s)przedziału 0, .Chcemyzbudowaćdyskretnymodelka‐

37

pitalizacji, podobny do powyższego, alew którymkapitalizacja odsetekdokonuje się tylko w punktach , , … , . Dlatego naturalnymwydajesięprzyjęcieformuły

∙ : .Wówczasmamy

.

Załóżmyponadto,że1

dla 0, 1, … , – 1,wówczas

· · 1 .

Biorąc , otrzymujemy wzór pozwalający wyznaczyć wartość koń‐cowąsumyzainwestowanychkapitałówwmomencies=k,

1 .

Wartość aktuarialna (tj. zdyskontowana namoment 0) sumy kapitałówbędzierówna

0 ,

gdzie .

3.6.Ocenainwestycji

Wariant trzecimodeluzpodrozdziału3.5 jeststosowanydowycenyobligacji,rentorazróżnychstrumieniprzepływówpieniężnych,wktórychokreślonesąmomenty,kierunek iwielkośćprzepływu.Wielkość 0 ,wostatnimwzorze,zwana jest bieżącą wartością netto inwestycji i oznaczana skrótem NPV (netpresentvalue).

38

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definicja3.6.1.Bieżącawartośćnetto inwestycji (NPV) jest sumą zdys‐kontowanychnamoment0nakładów idochodówz inwestycjiprzyustalo‐nymmodelukapitalizacjiiustalonejstopiezwrotu.

Wartośćta,przykonkretnymmodelukapitalizacji,służydoocenyiporów‐nywania różnych inwestycji, ponieważ jest jednoznacznie określona. Bardziejopłacalnabędzieinwestycjaowiększejwartościbieżącejnetto.Przykład3.6.1.[E24.03.2001]InwestorpostanowiłzainwestowaćkapitałPnadwalata.Przedstawionomudwieoferty:

(i) w ofercie I zagwarantowano efektywną roczną stopę zwrotu 15%wkażdymrokutrwaniainwestycji,

(ii) w ofercie II zagwarantowano, że natężenie oprocentowania będziedanewzorem 0,1 ∙ wciągucałegookresutrwaniainwestycji.

Inwestorzdecydował,żeczęść Pkapitałuzainwestuje,korzystajączofer‐ty Iorazresztę(1–) P–korzystajączoferty II.Podwóch latach inwestorposiadałkwotę(kapitałPorazodsetki)200000zł.Wiadomo,żegdybyinwe‐stor zainwestował2 P, korzystając z oferty I oraz (1 –2) P, korzystającz oferty II, to po dwóch latach miałby kwotę 205 000 zł. Oblicz wysokośćkapitałuP.Rozwiązanie. Dla oferty I mamy: 2 1 0,15 , dla II: 2

, , .Korzystajączwarunkówzadania,dostajemyukładrównań 1,15 1 , 2000002 1,15 1 2 , 205000.

Poodjęciupierwszegorównaniaoddrugiegołatwootrzymujemy

50001,15 , 49457,33,

apodstawiającdopierwszego,mamyP160000zł.Wprzykładzie3.6.1wwynikustrategiipierwszejmamykwotę200000zł,

astrategiidrugiejkwotę205000zł.Zatem,drugainwestycjaokazałasiębar‐dziejopłacalna.Tensamwniosekotrzymalibyśmy,porównującbieżącewarto‐ścinettoobustrategii,przynaprzykładkapitalizacjizłożonejzrocznąstopąR.Mamy NPV(I) = 200000 (1 +R)–2 oraz NPV(II) = 205000 (1 +R)–2, stądNPV(I)<NPV(II).

39

Z bieżącąwartością netto związana jest wewnętrzna stopa zwrotu, ozna‐czanaskrótemIRR(internalrateofreturn).

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Definicja3.6.2.Wewnętrzna stopa zwrotu inwestycji (IRR) to dodatniastopa zwrotuR (wmodeludyskretnym), przyktórejwartośćobecna (war‐tośćaktuarialna)inwestycjiwynosi0podwarunkiem,żeistniejeijestjedno‐znaczniewyznaczona.

Okazujesięniestety,żewewnętrznastopazwrotumożenieistniećlubniebyćjednoznaczniewyznaczona,copokażemynaponiższymprzykładzie.Przykład 3.6.2. [E25.01.2003] Rozważmy inwestycję, o której wiadomo, żewchwilit=0otrzymujesiękwotę(k–0,5)2,poośmiulatach,czyliwchwilit=8otrzymujesiękwotę(k–1),anakońcuszesnastegoroku,czyliwchwilit=16kwotę 1. Sformułować warunek konieczny i wystarczający nieistnienia we‐wnętrznejstopyzwrotudlatejinwestycji.Rozwiązanie. Skorzystamyzewzorukońcowegozpodrozdziału3.5,zpunktu3:

0 .

Zakładamy,żewczasie trwania inwestycji rocznastopazwrotuRma jed‐nakowąwartość w każdym roku, stąd dla wszystkich j = 1, …, 16.Zatem

0 1112 1

11 1

11 0.

Podstawiając ,otrzymujemyrównaniekwadratowe

1 12 0,któreniemajednoznacznegorozwiązaniawtedyitylkowtedy,gdyjegowyróż‐nik jest różny od zera, czyli gdy 1 4 0, tzn. gdy k0lubk2/3.

Załóżmy dla uproszczenia, że nakłady i/lub dochody (j) mają miejscewrównoodległychodsiebiemomentach josiczasu.Wówczaspunktytidzielą

40

odcinek [0, s] nak części o równej długości. Zastępujemy chwilę ti liczbami i(wtedys=k).

Zgodniezdefinicją,wewnętrznąstopęzwrotuR (dodatnią, jednakowądlawszystkichokresów(j–1,j),j{1,…,k})wyznaczamyzrównania

1 0.

Podstawiającnowązmienną (x(0,1)),otrzymujemyrównanie,któ‐regolewastronajestwielomianemstopniakpostaci

0.

Wewnętrznastopazwrotudlatej inwestycji istniejewprzypadku,gdytenwielomianmatylkojedendodatnipierwiastek(boR>0).Rozstrzygnięcie,czyinwestycjamawewnętrznąstopęzwrotu,przynosiregułaKartezjusza[17].

RegułaKartezjusza.Liczbadodatnichpierwiastkówwielomianuowspół‐czynnikach rzeczywistychnie jestwiększaod liczby zmianznakuwciągujegoniezerowychwspółczynnikówiróżnisięodniejoliczbęparzystą.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Twierdzenie3.6.1.Dlainwestycjiopisanejciągiempłatności(j)dlaj{0,1,…,n},w którym znakwyrazów ciągu zmienia się dokładnie raz, istniejewprzedziale(0,1)dokładniejedendodatnipierwiastekwielomianu,gdy

– ::

.

Dowód. Na podstawie reguły Kartezjusza wnioskujemy, że wielomian∑ ma co najwyżej jedno dodatnie miejsce zerowe. Należy

rozważyćdwaprzypadki.1.Załóżmy,że 0dlaj{0,1,…,m}jestciągiemnakładówi 0

dlaj{m,m+1,…,n}jestciągiemdochodówzpewnejinwestycji.Załóżmy teraz, że 0 0,wtedydlax=0wielomianprzyjmujewartość

ujemną,bojegowyrazwolny(0)jestujemny.Ponadto 1 ∑ 0.Zatem,namocywłasnościDarbouxfunkcjiciągłych, mapierwiastekwprze‐dziale(0,1).

Przyjmijmy,że 0 ⋯ 1 0oraz 0dlapewnego 1.Wówczas ∑ .Ponieważ funkcja jestdodatnia

41

na (0,), więc wystarczy pokazać, że wielomian ∑ mapierwiastek leżącywprzedziale (0,1).O funkcji wiemy, że 0 0i 1 ∑ 0.StądnamocywłasnościDarbouxfunkcjiciągłych mapierwiastekwprzedziale(0,1).

2. W przypadku drugim, kiedy najpierw następują dochody z inwestycji,apotemnakłady(naprzykładprzyotrzymaniukredytu)przebiegrozumowa‐niajestpodobny.

Przykład3.6.3. [E10.10.2005] Które spośród podanych stwierdzeń są praw‐dziwe?

1. | ∑ wmodeluoprocentowaniaprostego.2.Jeżelicisąpłatnościamiwchwilach 1, 2, … , ,todla

̅ ∑∑ prawdziwejeststwierdzenie

∑ ∑

̅

(dlaczynnikadyskontującego0<<1).3.Dlakażdegociąguprzepływówpieniężnych

, , …, , , , … , ,gdzie ,wewnętrznastopazwrotu IRR istnieje i jest jednoznacznieokre‐ślonaw przypadku, gdy przepływy są tylko ujemne dla 1,a tylkododatniedla .Rozwiązanie 1. Symbol | oznacza wartość, w momencie n, wypłat rentywwysokości1,dokonywanychwchwilach1,2,…,n.

| 1 2 ⋯ 1 0 1 ∙ 1 12 .

Podanywzórnie jestprawdziwy,gdyżgórny indekssumowaniapowinienbyćrównyn–1.

2.Wzór ̅ ∑∑ określa średni czas trwania (duration) instrumentuprzynoszącego stały dochód. Jest to średniaważona długości okresów, po ja‐

42

kichpojawiająsięprzepływypieniężne.Wiemy,żejeślifjestfunkcjąściślewy‐pukłą,to

∙ ⋯ ∙ ∙ ⋯ ∙ dla 0 oraz takich, że ⋯ 1. Podstawiając ∑ , ,

,otrzymujemypodanestwierdzenie.3.Stwierdzeniejestprawdziwe,patrztwierdzenie3.6.1.

3.7.Wycenaobligacji

Jakwspomnieliśmy,model3.zpodrozdziału3.5postaci

0

możeposłużyćdowycenyobligacjiprzyzałożeniu,żepunkty dzieląodcinek[0,s]na(k+1)częściorównejdługości.Zastąpmychwile liczbamii.Załóżmyteż,że dlawszystkichj=1,…,k.Wtedy

0 1

oznaczabieżącącenęobligacji(tj.wartośćobligacjiwchwili0).Wielkości (dlai=1,…,k–1)mająjednakoweznakiiokreślająwypłatyzkuponów,a jestsumąwypłatyzostatniegokuponuikwotyzawykupobligacjiwterminiejejzapadalnościk.Przykład3.7.1.[E15.01.2000]Danesątrzyrodzajeobligacjiotejsamejwarto‐ściwykupuitesameterminypłatnościkuponów.

(i) pierwszaobligacjazkuponemwwysokości40macenęP,(ii) drugaobligacjazkuponemwwysokości30macenęQ,(iii) trzeciaobligacjazkuponemwwysokości80macenęS.

WyznaczcenęStrzeciejobligacji.Rozwiązanie . Mamy

∑ 40 1 1 ,∑ 30 1 1 ,∑ 80 1 1 .

43

Zauważmy, że 40 5 – 30 4 = 80. Mnożąc pierwsze równanie przez 5,adrugieprzez(–4)iodejmującstronami,otrzymujemy5P–4Q=S.

Przykład 3.7.2. [E05.12.2005] Zakład ubezpieczeń majątkowych emituje10‐letniąobligacjękatastroficznązrocznymkuponemXinominałem1200zł.W momencie wystąpienia pierwszej katastrofy wszystkie przyszłe płatnościztytułuobligacjizostająumorzone.Ilewynosikupontejobligacji,jeżeli:

(i) prawdopodobieństwaconajmniejjednejkatastrofywkażdymrokusąrównep=5%isąniezależne,

(ii) druga i kolejne katastrofy w dowolnym czasie nie mają wpływu napłatnościzobligacji,

(iii) inwestorzydyskontująwszystkiepłatnościzobligacjiprzystopiei=8%wskaliroku,

(iv) rynkowacenaobligacjiwynosi850.Rozwiązanie. NiechzmiennalosowaZoznaczasumęwartościwypłatzobli‐gacjizdyskontowanychnachwilę0.RozkładzmiennejlosowejZprzedstawionoponiżej.

Obecnawartość 0 … ⋯ ⋯ 1200

Prawdopodo‐bieństwo 0,05 0,05 0,95 0,05 0,952 … 0,05 0,959 0,9510

Funkcja dyskonta dla jednego okresuwynosi , . Jeżeli rynek dobrzewycenił tęobligację, to cena rynkowa jest równabieżącej cenieobligacji, a tajestwartościąoczekiwanązmiennejlosowejZ

850 0,05 ∙ 0,95 0,95 1200 .

Korzystajączewzorunasumękwyrazówciągugeometrycznego,mamy

850 0,05

1 1 ∙ 0,95

0,95 1 1200 .

44

Dalejrównanieprzekształcamydopostaci

850 0,05 1

1 ∙ 0,95

0,95 1

1 1200 .

Powykonaniuobliczeńotrzymujemy 98. 

45

Zadaniadorozdziału3

1. Potrzebujemy5kgproszkudoprania.Wjakimprzypadkuzapłacimynajniższącenęzakilogram,jeślimamydowyborunastępującemożliwości:–kupić w najbliższym sklepiku 5 opakowań kilogramowych w cenie detalicznej12złzajedno,

–wziąć„nazeszyt”wosiedlowymsklepikuopakowaniepięciokilogramoweza57zł,azapłacićpomiesiącuzpięcioprocentowymiodsetkamizaodroczeniezapłaty.

2. Zamierzamynabyćtelewizorza4999,99zł.Mamydowyborutrzysposobyzapłaty:a)zapłacićodrazu,b)wpłacić10%ceny,wnieśćopłatę50zł,aresztęspłacićw12ratachmiesięcznychzdołu,po400zł,

c) kupićdwatakietelewizorywpromocji„drugizapółceny”,apomiesiącusprze‐daćtenzbędnyza3300zł,płacąc19‐procentowypodatekodtejtransakcji.

Którysposóbjestdlanasnajkorzystniejszy,jeśliprzyjmiemy,żerocznainflacjajestnapoziomie6%?

3. Chcemyzainwestowaćkapitałpoczątkowy1000USDnadwalata.Mamydowyborutrzyofertybanku:a)rocznalokatazrocznąkapitalizacją(złożoną)inominalnąstopąprocentowąod‐setekwynoszącą4%,

b)lokatapółrocznaznominalnąstopąprocentowąwwysokości3%przyodsetkachkapitalizowanychmiesięczniewsposóbskładany,

c)lokatapółrocznazestopąprocentowąwynoszącą3,1%wkapitalizacjiciągłej.Z każdej z ofertmożemy skorzystać tylko raz.W jakiej kolejności należywybraćoferty,abywartośćkapitałupodwóchlatachbyłanajwiększa?

4. Wykazać,żechwilowastopazwrotuspełniarównanieróżniczkowe1 0.

5. Wykazać, że czynnikdyskontawkapitalizacji z chwilowąstopązwrotuwokresie[a,b],gdzie0<a<b,wyrażasięwzorem

, .6. Wykazać,żewkapitalizacjizłożonej,ciągłejorazzgóryspełnionajestzasadastałejefektywności.

7. Kwotę1000PLNinwestorulokowałwbankunaroknalokacieoprocentowanej4%wstosunkurocznym,późniejnalokaciekwartalnejoprocentowanejzgóryznomi‐

46

nalnymoprocentowaniem3,25%itrzykrotnienalokatykwartalnezoprocentowa‐niemciągłymna5%,4%i3%odpowiednio.Ilewyniosłakońcowawartośćjegoka‐pitału?Zapisaćwzórfunkcjiakumulacjikapitałudlatejinwestycji.

8. Funkcjaakumulacjikapitałumapostać0,5 1dla 0lub1

4 6dla 2lub3ln dla 4, 5, 6

.Wktórymokresieintensywnośćakumulacjibyłanajwiększa?

9. Chwilową stopę zwrotu określa wzór r(t) = 1/(1 + t), t (0,). Znaleźć postaćfunkcjiakumulacjikapitału.Jakitorodzajkapitalizacji?

10. Znaleźćwzórokreślającyfunkcjęakumulacjikapitałuiokreślićrodzajkapitalizacjiwnastępującychprzypadkach:– Wartośćjednostkikapitałuzainwestowanegona(t+s)okresówjestrównasumiewartościjednostkikapitałuzainwestowanejnatokresówiwartościjednostkika‐pitałuzainwestowanejnanastępnychsokresówpomniejszonejojejwartośćpo‐czątkową.

– Wartość jednostki kapitału zainwestowanegona (t+ s) okresów jest równa ilo‐czynowiwartościjednostkikapitałuzainwestowanejnatokresówiwartościjed‐nostkikapitałuzainwestowanejnanastępnychsokresów.

11. Zakładając, że stopawkażdymokresiekapitalizacjiwynosiR (R>0), ocenićbez‐względnyiwzględnyprzyrostwokresie[n–1,n]funkcjiakumulacjikapitałuzpo‐przedniegozadania(gdzien=1,2,...).

12. [E02.06.2001] Dla funduszu A natężenie oprocentowania wynosi r(t) = (1 + t)–1,natomiastdlafunduszuBr(t)=2t · (1+t2)–1.Wchwilit=0inwestujemy100000złw każdy z funduszy. Jeżeli A(t) oznacza kwotę zgromadzonąw chwili tw fundu‐szuA,natomiastB(t)wfunduszuB,znajdźt,dlaktóregofunkcjaC(t)=A(t)–B(t)osiągamaksimum.

13. [E06.12.2003]Natężenieoprocentowaniazadanejestwzorem1

1 2 ∙ 2

1 3 ∙

dla t>0.Wyznaczefektywnąrocznąstopęzwrotuwciągu trzeciegoroku trwaniainwestycji,tj.wokresiepomiędzyt=2at=3.

14. [E09.10.2006]Funkcjaintensywnościoprocentowaniawchwilitdlakwotyzainwe‐stowanejwchwilis,0st,wynosi(s,t)=(1+s+t)–1.Funkcjaa(s,t)jestfunkcjąakumulacji w chwili t kwoty zainwestowanej w chwili s. Wyznacz różnicęa(1,4)–[a(1,2)a(2,4)]międzyakumulacjąbezreinwestycjiizreinwestycją.

15. [E12.10.2002]Opewnejinwestycjiwiadomo,żewchwilit=0orazwchwilit=2należywpłacićodpowiednioP0=504orazP2=2400,natomiastwchwilit=1oraz

47

wchwilit=3otrzymujesięodpowiednioB1=1910orazB3=1000.Którezponiż‐szychsformułowańsąprawdziwe:(i) istnieją dokładnie dwie wewnętrzne stopy zwrotu, z których jedna wynosi

25%,(ii) wartośćobecnatejinwestycjijestfunkcjąrosnącastopyzwrotuRdlaR[0,25,

0,3],(iii) dla [0,6; 0,91] wartość obecna tej inwestycji jest minimalizowana dla

1=0,6,amaksymalizowanadla2=0,91.16. Uzupełnijtabelę.

Równanieróżniczkowezmiankapitału

Funkcjaakumulacjikapitału

Dopływkapitałudoinwestycji

Rozwiązanierównania

różniczkowego

0,

rosnącawykładni‐czood1do

0

∙ 2 sin 0, ,

cos malejeod1do0

2 sin rosnącaod0do2

∙

0,

a>0–kapitalizacjaciągłazestopąa,

a<0–funkcjadyskon‐tazestopą–a

0

1 ∙

0, malejącawykład‐

niczood1do – /

0 1∙

Odpowiedzi1.Wpierwszymprzypadkuzapłacimy(5∙12)/5=12zł/kg,wdrugim(57∙1,05)/5=11,97zł/kg.

2.Obecnacena telewizoraprzypierwszymsposobiezapłatywynosi4999,99zł,przydrugim500+50+400 (+2+3+…+12)=550+400 (1–12)/(1–)=5548zł,gdzieczynnikdyskontazaokresmiesięcznywynosi=(1+0,06/12)–1/120,9996,120,995.Wtrzecimprzypadkupłacimyzadwatelewizory7499,99zł,zwracasiękwota33000,81 =2671,93zł.Wartośćobecnatelewizorawyniesie4828,06zł.

3.W dowolnej. Funkcja akumulacji kapitału jest iloczynem (przemienność!) trzechczynników:1,04;1,00125i1,0156,bowszystkiekapitalizacjespełniajązasadęstałejefektywności.

4.Wystarczyzróżniczkowaćwzórpodanywdefinicji3.1.2.

48

5.Wykorzystaćtwierdzenie3.1.1orazdefinicję3.2.1.6.Użyjdefinicji3.4.1dowzorówztabeli3.4.1.7.1080,45PLN,a(5)=1,04(1–0,0325/4)–1e0,04 1/4e0,041/4e0,031/4.8.[0,1]i[2,3].9.a(t)=1+t,kapitalizacjaprosta.10.Skorzystaćzpodrozdziału3.4.Kapitalizacjaprostaa(t+s)=a(t)+a(s)–1,kapitali‐

zacjazłożonaa(t+s)=a(t)a(s).11.Stałe są: przyrost bezwzględny w kapitalizacji prostej i względny w kapitalizacji

złożonej.Wkapitalizacjiprostejprzyrostywzględnemalejązupływemczasu.Wka‐pitalizacjizłożonejbezwzględneprzyrostywzrastajązupływemczasu.

12.t=1/2.13. 0,048=4,8%.14.a(s,t)=(1+s+t)/(1+2s),odp.2/15.15.(i) Niejestprawdziwe,sątrzy.Pierwiastkamirównaniasą0,8,0,9i0,7.Odpowia‐

dająimnastępującestopyzwrotu:1/4,1/9i3/7.(ii) Tak,pochodnajestdodatniadlaR[0,16;0,35].(iii)Nie,podaneliczbyniesąmiejscamizerowymipochodnej,niejestspełnionywa‐

runekkoniecznyistnieniaekstremum.16.Wiersz pierwszy: kapitalizacja ciągła ze stopą 1, wiersz drugi:

,wiersz trzeci: dlaa>0– rosnącawykładniczood1do ,dlaa<0–malejącawykładniczood1do ,wierszczwarty: — .

49

4.Modelezlosowąstopązwrotu

4.1.Kapitalizacjaspełniającazasadęstałejefektywności

Rzadko zdarza się, że stopy zwrotumają identycznewartości wewszystkichrozważanych okresach.Dlategow tym rozdziale zakładać będziemy, że stopyzwrotu zzainwestowanegokapitałuw i‐tymokresie(i=1,2,…,n)(lubichrównoważne odpowiedniki) są zmiennymi losowymi. Niech i będą do‐datnimi liczbami rzeczywistymi. Zmienna losowa ,oznaczającą wartośćkapitałupoczątkowego wchwili ,wyrażasięzapomocą jako

∙ .Podobnie możemy rozpatrywać zmienną losową 0 ∙ , ozna‐

czającąwartość kapitałuwchwili ,zdyskontowanąnachwilę0.Założeniaorozkładachstópzwrotusąwyrazemnaszychprzewidywańco

doprzyszłychichwartości.Naprzykład,jeśliobecniestopazwrotukapitału jestznanaiwynosi5%wokresiebazowymorazprzypuszczamy,żewnastęp‐nymokresieznajdziesiępomiędzy2i8%,tomożemyzałożyć,że marozkładjednostajnynaprzedziale [2%, 8%]o gęstości dla x [2, 8], co oznaczymysymbolemJ[2,8].Wtedyzmiennalosowa 1 ,wyrażonawprocentach,marozkład jednostajny J [102, 108] o dystrybuancie dlat[102,108].Wtedyfunkcjadyskonta marozkładodystrybuan‐cie 108 dla , .

Dobórodpowiedniegorozkładujestuwarunkowanypostulatemonieujem‐nościzmiennych losowych , cosięprzekładananieujemnośćzmiennych lo‐sowych , , i 0 .Dlategowiększośćmodeliopierasięnarozkła‐dzie logarytmiczno‐normalnym, a jeśli wybiera się rozkład normalny, tozzastrzeżeniem,żewpraktycezmienne losowe niemogąprzyjąćwartościmniejszej niż –1 (czyli –100%). Osiągnięcie wartości –1 przez losową stopęzwrotuoznaczautratęcałegozainwestowanegokapitału.

Rozważmynajczęściejstosowanymodelkapitalizacjidyskretnej,spełniają‐cejzasadęstałejefektywności.Przykapitalizacjizłożonejzczasemdyskretnymfunkcja akumulacji kapitału ma postać 1 1 … 1 dla każdej liczby naturalnej n 1, jest więc iloczynem czynników postaci

50

1 ,zwanychstopamibrutto.Funkcjadyskontajestrówna

1 1

1 .

Jako iloczyn zmiennych losowych 1 lub ich odwrotności funkcje oraz sązmiennymi losowymi (jako funkcjeborelowskiezmiennych lo‐sowych).

Wmodelach kapitalizacji spełniających zasadę stałej efektywności wyko‐rzystuje się rozkłady, dla których rozkład iloczynu lub ilorazu daje się łatwowyznaczyć.Innyproblemstanowiopiszależnościstopyzwrotuwi‐tymokresieodwartości stópw poprzedzających okresach.Wówczas albo zakłada się, żetakiejzależnościniema,albostosujesięzaawansowanemodele–modeleMar‐kowa,procesyautoregresjilubfunkcjełącznikowe(patrz[3]).

Wiele twierdzeń rachunkuprawdopodobieństwapozwalawyznaczać cha‐rakterystyki funkcji akumulacji kapitału i funkcji dyskonta, takie jak rozkładprawdopodobieństwa,momentyzwykłeicentralne(oileistnieją).

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Twierdzenie4.1.1. Jeżeli stopy zwrotu z inwestycji w kolejnych okresachtworząciąg ( =1,2,…,n)niezależnychzmiennych losowycho jedna‐kowym rozkładzie z wartością oczekiwaną 1 i skończoną wariancją 2 > 0, wówczas wartość oczekiwana jednostki pieniężnej po n okresachkapitalizacjijestrówna

1 ,a wariancja wartości jednostki pieniężnej po n okresach kapitalizacji jestrówna

1 1 .

Dowód.Ciąg tworząniezależnezmiennelosoweojednakowymrozkładzie.Ichwartośćoczekiwana , awariancja 0,stąd

1 1 … 1 1 1 ,1 1 … 1

1 1 R … 1 R 1 Var 1 1

1 , 1 1 .

51

Dodatkowy warunek – 1 zapewnia nieujemność wyrażenia ,gdynjestnieparzyste.

Przykład4.1.1. [E05.06.2006] Inwestor dokonuje w banku lokaty w kwocie1000PLNna10lat.Rocznestopyzwrotuwposzczególnychlatachsąniezależ‐ne imają rozkład jednostajny na przedziale [–10%, 25%]. Ilewynosiwspół‐czynnik ⁄ dlatejlokaty?Rozwiązanie. Z własności rozkładu jednostajnego wynika, że

, , 0,075 oraz σ , , 0,0102. Korzystającztwierdzenia4.1.1,mamy:

1000 ∙ 10 1000 ∙ 1 0,075 2061,03,1000 ∙ 10 0,0102 1,075 1,075 390180.

Współczynnik ⁄ wynosiokoło3,3.

Warto zwrócić uwagę, że dla dowolnego rodzaju kapitalizacji zmienne lo‐sowe i , będące swoimi odwrotnościami, nie muszą mieć wartościoczekiwanych,któresąliczbamiodwrotnymi.

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Twierdzenie4.1.2.Wartośćoczekiwanalosowejfunkcjidyskontajestrów‐na odwrotności wartości oczekiwanej funkcji akumulacji kapitału tylkowprzypadkurozkładuzdegenerowanego.

Dowód.Załóżmy,żeobiewartościoczekiwaneistniejąisąskończone.Powyż‐szetwierdzeniewynikawprostznierównościJensena.Jeślifjestfunkcjąściślewypukłą, to dla niezdegenerowanej zmiennej losowej .Weźmyfunkcjęściślewypukłą dla 0.Możnawtedyzapisać:

1 1 .

Jeślinatomiastprawdopodobieństwo 1dlapewnejliczbyrzeczywi‐stej ,wówczas .

52

Przykład4.1.2.[E14.05.2007]Efektywnastopazwrotuwokresieodt–1dotwynosi dla t=1,2,…,n.Zakładamy,że sąniezależnymizmiennymi loso‐wymiojednakowychrozkładachześredniąiorazwariancją .Rozważamy:

A.Zakumulowaną wartość kwoty 1 na koniec okresu n, oznaczaną przez.

B.Obecną wartość płatności 1, wykonanej w chwili n, oznaczanej przez.

C.Przyszłą wartość (na moment n) jednostkowej renty pewnej, n‐letniej,płatnejnapoczątkurokut,t=1,2,…,n,oznaczanejprzez |.

Którestwierdzeniasąprawdziwe?A.Wariancjęzmiennejlosowej opisujewzór

1 2 – 1 .B.Wartość oczekiwaną zmiennej losowej | opisuje wzór |

1 .C.Wartośćoczekiwanązmiennejlosowej – opisujewzór –

1 – .Rozwiązanie. StwierdzenieAjestprawdziwenamocytwierdzenia4.1.1.

Mamy: | 1 1 … 1 1 … 1 . . . 1 lubkrótko | ∑ ∏ 1 ,stąd

| 1 1

1 – 1 – 1 1 .

WzórwB jestprawdziwy. StwierdzenieC jest fałszywezewzględuna twier‐dzenie4.1.2.

Rozważmynajczęściejstosowanymodelkapitalizacjidyskretnej,spełniają‐cejzasadęstałejefektywności.

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Twierdzenie4.1.3.Zakładamy,żestopyzwrotubruttozinwestycji 1 tworzą,wkolejnychokresach,ciągniezależnychzmiennychlosowychoroz‐kładachlogarytmiczno‐normalnychLN , ,gdzie 0dlai=1,2,…,n.

53

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Wówczas funkcja akumulacji kapitału ma rozkład LN , , funkcjadyskonta ma rozkład LN – , , zmienna losowa ma rozkładLN ln , oraz zmienna losowa 0 ma rozkład LN ln, ,gdzie . . . i . . . (przyjmujemy,żeb 0).

Dowód. Zmienna losowa X ma rozkład LN , wtedy i tylko wtedy, gdyln ma rozkład N , . Rozważmy zmienną losową ln ln 1 ⋯ ln 1 .Jakosumanniezależnychzmiennychlosowych

o rozkładach normalnych ma rozkład normalny N ⋯ , ⋯ . Stąd ma rozkład LN ⋯ , . . . . Dalej, jest iloczynem dodatniej stałej i funkcji ,

więc ten iloczyn będzie miał taki sam rozkład i drugi parametr, jak funkcjaakumulacjikapitału,zmianieulegnie jedyniepierwszyparametr.Stądwynika,że marozkładLN ln . . . , . . . .

Dalej dowodzimy w podobny sposób, że ln – ln 1 –…– ln 1 jest sumą n niezależnych zmiennych losowych o rozkładach– , ,mawięc rozkładnormalnyN – – –…– , ⋯ .

Zatem,funkcjadyskonta marozkładlogarytmiczno‐normalnyLN – – –…– , ⋯ , a zmienna losowa 0 ma rozkład LN ln – –– – . . . – , . . . .

Przykład 4.1.3. Na roczną, odnawialną co kwartał lokatę wpłacono kwotę10 tys. zł. Przyjmijmy, że w kolejnych czterech kwartałach kwartalne stopyoprocentowania brutto dla tej lokaty będą miały niezależne rozkłady loga‐rytmiczno‐normalne: LN 0,04, 0,0004 , LN 0,02, 0,0001 , LN 0,03, 0,0002 iLN 0,03, 0,0001 .Podaćprognozęwartościlokatyporokunapodstawiewar‐tości oczekiwanej i mediany oraz porównać te wielkości. Wyznaczyć najbar‐dziej prawdopodobną wartość lokaty po roku. Oszacować prawdopodobień‐stwo,żewartośćlokatyporokubędziewiększaniżjejwartośćoczekiwana.Rozwiązanie. Przyjmujesię,żejeśliwzadaniunieokreślonorodzajukapita‐lizacji,tozakładamy,żejesttokapitalizacjazłożona.Wdalszejczęścirozdziałuuzasadnimyprzyczynytakiegopodejścia.Załóżmywięc,żekapitalizacjaodby‐wasiętylkonakońcukażdegokwartału,awysokośćkwartalnejstopyzwrotubrutto w tym momencie określa odpowiedni rozkład prawdopodobieństwapodanywtreścizadania.Zmiennalosowa reprezentującawartośćwyrażonejwzłotychlokatyporokubędziepodlegałarozkładowiLN(ln(103) + 0,04 + 0,02 ++ 0,03 + 0,03, 0,0004 + 0,0001 + 0,0002 + 0,0001), czyli LN(3 ∙ ln(10) + 0,12,0,0008).

54

Tabela4.1.1.Wzoryokreślającewybranecharakterystykizmiennejlosowej podlegającejroz‐ kładowilogarytmiczno‐normalnemuLN , ,gdzie , ∈ , 0[17]

Nazwa Wartośćoczekiwana Dominanta Mediana WariancjaWspółczynnikzmienności

Wzór

1

Korzystajączewzorówpodanychwtabeli4.1.1,wykonujemyobliczenia.Prog‐nozaobliczonawedługwartościoczekiwanejwynosi , 1127,95zł,natomiastwedługmediany , 1127,50zł.

Różnicewwartościachprognozsąnieistotnewporównaniuzkwotą10tys.zł.Najbardziej prawdopodobną wartość lokaty określa dominanta wynoszącawtymrozkładzie , 1126,60zł.Ponadto,możnaobli‐czyć, że odchylenie standardowewartości lokaty, będące pierwiastkiemkwa‐dratowymzwariancji, jest równe31,91zł;niewielkiewporównaniuzkwotąlokaty.Współczynnikzmiennościtakżeprzyjmujeniewielkąwartość(2,8%).

Prawdopodobieństwo, że wartość lokaty po roku będzie większa niżjej wartość oczekiwana, jest równe 1 1127,95 1 , ,√ , 1 0,0135 0,4946, gdzie funkcja jestdystrybuantąrozkładunormalnegostandaryzowanego.

Rozważmyprzypadekkapitalizacjizwanejciągłą.Przyjmijmy,żeridlai=1,2,…,noznaczająchwilowestopyzwrotuzzainwestowanegowchwili0kapita‐łuwkolejnychokresachiżezmianaichwysokościmożenastąpićtylkonakoń‐cuokresu.Oczywiściewewnątrzokresuutrzymująsięonenatymsamympo‐ziomie, a kapitalizacja jest dokonywanaw każdej chwili (punkcie) przedziału[0,T*],podzielonegonaokresy (niekoniecznie równejdługości).Funkcjaaku‐mulacji kapitału przyjmuje więc postać ∙ ∙ … ∙ . Jest więciloczynemczynnikówpostaci ,gdzie jestinnymzapisemwyraże‐nia . Jako iloczyn zmiennych losowych funkcja jest zmienną losową.Ponadto, czynnik dyskonta, jako jej odwrotność, wyraża się wzorem

– ∙ ∙ … ∙ .Możemy dopuścić, że zmienna losowa przybie‐rzeujemnąwartośćdlapewnych ,cooznaczałobydeflacjęwtychokresach.

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Twierdzenie4.1.4.Załóżmy,żewkażdymokresieobowiązujekapitalizacjaciągłazestałąstopąprocentową (wi‐tymokresie), któramarozkładnor‐malnyN , zdodatniąwariancją (i=1,2,…,n),niezależnyodroz‐kładówwpozostałychokresach.Wówczasfunkcjaakumulacjikapitału marozkładLN , ,funkcjadyskonta marozkładLN – , ,zmien‐

55

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

na losowa ma rozkład LN ln , oraz zmienna losowa 0 ma rozkład LN ln , , gdzie ⋯ i . . . (przyjmujemy,że 0).

Dowód. Zastąpmy zmianę wartości jednostki kapitału w i‐tym okresiewmodelu ciągłym kapitalizacją dyskretną ze stopą , dokonywanąw chwilikońcoweji‐tegookresu.Wielkościtebędąpowiązanezależnością1 .Korzystającztwierdzenia4.1.3,otrzymujemynatychmiasttezę.

Ztwierdzeń4.1.3i4.1.4wynika,iżmodelewnichrozpatrywanesąrówno‐ważne w tym sensie, że prowadzą do takich samych wniosków. Wymaga tojednakwyborukapitalizacjispełniającejzasadęstałejefektywności iodpowied‐niegorozkładustópzwrotu,powiązanegozrozkłademlogarytmiczno‐normal‐nym.Możnanaprzykładsformułowaćanalogicznetwierdzeniedlakapitalizacjizgóry,zakładając,iżzmiennalosowa marozkładLN , (zparametrem 0 ogęstości

1

√2 ∙ 1 ∙ 1

ln

dla ∈ 0, ,gdzie jestgęstościąrozkładunormalnegoN 0, 1 .Jesttorów‐noważnestwierdzeniu,żegęstośćzmiennejlosowej jestrówna

1√2 ∙

11 ∙

1 1

ln 1

dla ∈ –, 1 .

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Twierdzenie4.1.5.Zakładamy,żestopyzwrotubruttozinwestycji przykapitalizacji zgóry tworzą,wkolejnychokresach, ciągniezależnychzmien‐nych losowych o rozkładach logarytmiczno‐normalnych LN , , gdzie

0dla i=1,2,…,n.Wówczasfunkcjaakumulacjikapitału maroz‐kład LN , , funkcja dyskonta ma rozkład LN – , , zmiennalosowa ma rozkład LN ln , oraz zmienna losowa 0 ma rozkład LN ln , , gdzie . . . i . . . (przyjmujemy,żeb 0).

56

.

Ryc. 4.1.1. Gęstości rozkładów logarytmiczno‐normalnych; od lewej: LN 0, 1 , LN 0, ,

LN 1, 14

Ryc.4.1.2.Gęstości zmiennej losowej dlaparametrów 1, (największemaksimum), 0, i 0, 1(najmniejszemaksimum)

Zpowyższychrozważańwynika,żemożnaprzyjąć,iżpodstawowymrodza‐jemkapitalizacjispełniającymzasadęstałejefektywnościjestkapitalizacjazło‐

5 3,752,51,25 0 

1,5 

1 

0,5 

0  x 

f(x)

0,50–0,5–1

5

3,75

2,5

1,25

0 x 

f(x)

–1,5

57

żona,doktórejmożnasprowadzićpozostałeprzypadki.Mniejszeznaczenieniżwybórzasadyprzyrostukapitałumawybórkonkretnegorozkładustopyzwrotu.

W długim okresie inwestowania lub gdy inwestujemy w wiele drobnychprzedsięwzięć,możemyoszacowaćrezultatprzyrostukapitałuzapomocąroz‐kładugranicznego, jakimjestnajczęściejrozkładnormalny.Wtymprzypadkudoosiągnięciaprzybliżonegowynikuwystarczają ogólne założeniaomomen‐tach i niezależności rozważanych zmiennych losowych. Stosujemywtedy od‐powiednietwierdzeniegraniczne.

||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

Twierdzenie 4.1.6. (Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga) NiechciągX1,X2,…będzieciągiemniezależnychzmiennychlosowychzeskończo‐nymi momentami drugiego rzędu. Niech i oraz

∑ .Niech będziedystrybuantązmiennej losowejXkdlak==1,2,…,azbiór :| |∑ }.Załóżmy,żespełniony jest,dla każdego dodatniego , następującywarunek (zwanywarunkiem Linde‐berga):

1∑

0przy .

Wówczaswyrażenie dąży,przy ,wedługrozkładudozmiennejlosowejXorozkładzienormalnymstandaryzowanym.

Przykład 4.1.4. [E09.10.2006] Inwestor równomiernie inwestuje w ciągu5latswojeśrodkiowartości1mlnPLNwgrupęNfirmopodwyższonymstop‐niu ryzyka. Prawdopodobieństwo podwojenia wartości każdej z inwestycjiwciągudowolnegorokuwynosi60%,abankructwainwestycjijestrówne40%.Wyniki inwestycji są niezależnew kolejnych latach i w tym samym roku dlaróżnychfirm.IlemusiwynosićN,abyinwestormiał99%pewnościosiągnięciapo5 latach50%zyskunominalnegoodcałościwłożonegokapitałupoczątko‐wego?Użyjfaktu,żewartośćdystrybuantystandardowegorozkładunormalne‐godlaargumentu2,326wynosi 2,326 0,99.

Rozwiązanie. Niech zmienna losowa oznacza wartość inwestycji w i‐tąfirmę po 5 latach. Dla każdego i {1, 2,…, N} zmienna losowa przyjmujewartość25(1/N)zprawdopodobieństwem0,65orazwartość0zprawdopodo‐bieństwem1–0,65.Wartośćoczekiwanatejzmiennejjestrówna , ,a wariancja , , . Z faktu, że suma wartości oczekiwanychN zmiennych losowychwynosi 1,252, a suma ichwariancji jest równa , ,wynika,iżspełnionyjestwarunekLindeberga.Prawdopodobieństwoosiągnię‐