\ 0 Á/ị,^ o

I o2* I o ---------------------------------------------------------------------------------------------

y í i r i a i B ộ S Á C H C A O H Ọ C V I Ệ N T O Á N H Ọ C

NGUYỄN T ự CƯỜNG

GIÁO TRÌNHẠ l S Ổ ' H I Ệ N Đ Ạ

C õ ;i ĩH à N ộ i NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

BỘ SÁCH CAO HỌC - VIỆN TOÁN HỌC

N G U Y Ễ N T ự CƯỜNG

Viện Toán học

Trung tủm Khoa học Tự nhiên và Cônạ lìíỊlìệ Qitổc íỊÍư

GIÁO TRÌNH

ĐẠI SÔ HIỆN ĐẠI• • •

Phần I: Đại sô trừu tượng

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

HỘI ĐỒNG BIÊN TẬP

GS TRẦ N ĐỨC VÂN {Chú tịch)

PG S PH A N H U Y K HẢI {T hư ký)

G S H À H U Y KHO Á I

GS PH Ạ M H Ữ U SÁCH

GS N G Ô V IỆ T T R Ư N G

G S H O À N G TỤY

G S ĐỖ LO N G VÂN

MỤC LỤCTrang

M Ờ Đ A U ....................................................................................................................... 5

C h ư ơ n g I. S ơ L Ư Ợ C V Ê L Ý T H U Y Ế T T Ậ P H Ợ P ................................ 9

§1. T ập hợp và các phép toán trên tập hợp ................................................ 9

§2 . Ánh xạ ............................................................................................................. 11

§3. Quan hệ .......................................................................................................... 12

§4. T ập hợp tương đương .............................................................................. 15

§5. Tiên đề chọn và các mệnh đề tương đương ...................................... 17

Bài tập .....................................................................................................................20

C h ư ơ n g I I . N H Ó M 22

§1. Định nghĩa và ví dụ về nhóm ..................................................................22

§2. Nhóm con, Định lý Lagrange ..................................................................25

§3. Nhóm con chuẩn tắc ....................................................................................29

§4. Đồng cấu n h ó m ..............................................................................................31

§5. Phạm trù và hàm t ừ ....................................................................................36

§6 . Nhóm Abel hữu hạn sinh ..........................................................................47

Bài tập ..................................................................................................................... 58

C h ư ơ n g I I I . V À N H , T R Ư Ờ N G V À V À N H Đ A T H Ứ C 63

§1. Các định nghĩa và ví dụ ............................................................................ 63

§2. Iđêan và đồng cấu vành ............................................................................ 67

§3. Vành giao h o á n .............................................................................................. 72

§4. Vành các phân thức .................................................................................... 78

§5. Vành đa thức ................................................................................................. 83

§6 . Vành G a u ß ......................................................................................................... 87

Bài tập ...................................................................................................................... 92

i Giáo trình đ ạ i s ố h iện đạ iI * *

C h ư ơ n g IV . M Ô Đ U N 97

§1. Các định nghĩa và ví dụ ............................................................................. 97

§2. Đồng c ấ u ......................................................................................................... 102

§3. Tổng và tích trực tiếp .......... .................................................................. 105

§4. Dãy hợp thành, Định lý Jo rdan-H ölder-Schneider.......................... I l l

§5. Tích ten x ơ ..................................................................................................... 116

§6 . Dãy khớp ....................................................................................................... 122

Bài tập .................................................................................................................... 129

C h ư ơ n g V . M Ô Đ U N T R Ê N V À N H G I A O H O Á N 133

§1. M ôđun nội xạ ................................................................................................ 133

§2. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ ............................ ................................. 140

§3. Môđun xạ ảnh ............................................................................................. 146

§4. Môđun N o e t h e r ............................................................................................. 153

§5. Môđun A r t i n .................................................................................................. 159

§6 . Phân tích m ôđun nội xạ ........................................................................... 165

Bài tập .................................................................................................................... 169

T À I L IỆ U T H A M K H Ả O ................................................................................ 173

C H Ỉ D Ẫ N T R A C Ứ U T Ừ K H Ó A .............................................................. 175

MỜ ĐẦU

Có thể nói lằng mọi ngành toán học hiện đại ngày nay trong quá trình

phát triển đều cần tới các cấu trúc đại số và tấ t nhiên cả những hiểu biết

sâu sắc về các cấu trúc này. Điều nàv củng dễ hiểu, vì ta biết lằng hai đặc

trưng cơ bản nhất của toán học là tính trừu tượng và tính tổng quát, mà

hai đặc tính này lại biểu hiện một cách rõ ràng nhấ t trong đại số. Đã có rất

nhiều sách về đại số của các tác giả Việt Nam hoặc dịch từ tiếng nước ngoài

đưực xuất bàn ờ Việt Nam, trong số đó có nhiều quyển đ ã trở thành kinh

điển và được sử dụng làm giáo trình giảng dạy, tham khảo cho sinh viên học

toán trên khắp thế giới. Vì vậy, viết một giáo trình mới về đại số là một việc

làm rất khó khàn, nhấ t là khi tác giả không muốn rập khuôn hay sao chép lại

từng phần các giáo tr ình đ ã có. Cuốn sách này được viết dựa trên các bài

giảng về đại số cùa tác giả trong vòng 10 năm trờ lại đâv cho học viên cao

học và nghiên cứu sinh tạ i Viện Toán học và một số trường đại học trong nước, cũng như các bài giảng trong 4 năm gần đây cho các lớp cử nhân tài

năng thuộc Trường Đại học Khoa học T ự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội.

Nó được viết hướng tới hai mục tiêu:

Mục tiêu đầu tiên, giống như mọi giáo trình về đại số, là nhằm cung cấp

các cấu trúc đại số cơ bản nhấ t m à không đòi hỏi người đọc phải có bất

cứ kiến thức chuẩn bị về đại số nào trước đó. ngoại t rừ một chút yêu thích

toán học.

Mục tiêu th ứ hai cùa cuốn sách là tr ình bày các khái niệm, cấu trúc đại

số dưới một ngôn ngữ tông quát, thống nhất với sự chú trọng nhiều hơn các'

tính phô dụng của các khái niệm. Nói cách khác, tác giả muốn người đọc

nhận thấy các mối quan hệ qua lại giữa các khái niệm, cấu trúc đại số khác

nhau và khuyến khích cho những tư duy tổng quát, t rừ u tượng hơn nữa.

Do đó, giáo tr ình này được viết theo phương pháp đi từ t rừ u tượng đến

cụ thè, là một việc làm trái với hầu hết các cuốn sách đại số trước đây. Bù

lại, phương pháp này cho phép ta có một cách nhìn tổng thể hơn, rú t ngắn

đáng kế cách tr ình bày vì dễ đàng đư a các cấu trúc khác nhau vào trong một

khái niệm và giúp người đọc làm quen với phương pháp tư duy hình thức

6 Giáo trình đai sổ hiên đai

là phương pháp quan trọng nhất trong đại số. Tuy nhiên đẽ giảm hớt tính

hình thức, sau mỗi khái niệm trừ u tượng chúng tôi cố gắng đư a ra nhióu ví

dụ khác nhau nhằm giúp cho người đọc dễ hình dung và tiếp nhận ill rực khái niệm này.

Sách bao gồm 5 chương. Chương I trình bày vắn tắ t ve lý rhuyết tậ p

hợp, ánh xạ, các quan hê nhằm thống nhấ t các ký hiệu tiện cho các chirưng

tiếp theo. Trong chương II vé lý thuyết nhóm, chúng tòi bỏ qua như ng cấu

trúc nửa nhóm, tiền nhóm mà đi ngay vào định nghĩa nhóm. C húng tỏi củng

bỏ qua phần lý thu vết nhóm hữu hạn mà (lành trình bày kỹ liưn vê cấu trúc

nhóm Abel hữu han sinh. Khái niêm phạm trù và hàrn tư cũn» đưưc đ ư a vào

chương này nhằm phục vụ ngay cho cho việc định nghĩa các khái niệm quan

trọng mang tính phố dụng của đại số trong suốt, giáo tr inh một cách nhất

quán. Trong chương III về lý thuyết vành, có một chú ý là trono đ ịnh nghĩa

một vành ta đòi hỏi sự tồn tại phần tử đơn vị. đây cũng là đ iều mà nhiều

giáo trình đại số khác không (lòi hổi. Lý do giải thích cho việc này là vì giáo

trình đươc viết thiên nhiều hơn về vành giao hoán. Chương IV trình bày

các định nghĩa và các khái niệm cơ bàn của lý thuyết m ôđun. cấu trúc quan

trọng n h ấ t của đại số. Hai hàm từ quan trọng n h ấ t của lý thuyế t moduli là

hàm từ Hom và ten xơ cũng như tính chất đơn giản đầu tiên của chúng cũng

được xét đến trong chương này. Chương cuối cùng dành cho việc tr ình bày

cấu trúc một số lớp m ôđun đặc biệt quan trọng như m ôđun nội xạ. m óđun

xạ ảnh, m ỏđun Noether và A rtin trên vành giao hoán. Như vậy. hai chương

cuối của giáo tr ình cỏ thể xom nliư là một sir chuấn bị kiến thức khời (Táu

cho những đọc giả có Ý đ ịnh tiếp tục đi sâu vào nghiên cứu các ngành quan

trọng cùa đại số như Lý thuyế t m ôđun trên vành kết hợp. Đại số đồng điều

hay Đại số giao hoán.

Cuối mỏi chương cùa cuốn sách đều có phần bài tậ p được chọn lọc. Các

bài tập này không chỉ đò’ người đọc giải nhằm tự kiêm tra sự tiếp thu những

điều đã học, m à nhiên bài tậ p là những bô sung hay mờ lộng kiến thức

chưa có trong sách. Vì vậy. sẽ thực sự có ích nếu người đọc giải được nhiều

bài tập.

Cuốn sách này được viết ra với mục đích có thè dùng làm giáo tr ình đại

số cho cho các lớp cao học hoặc dùng làm sách tham khảo cho những sinh

viên học về các ngành toán lý thuyết và nghiên cứu sinh. Tuy Ìiliiõn. vì các

Mờ đầu 7

khái niệm đều được định nghĩa từ đầu, nên nó cũng có thể bô ích cho những

ai muốn học thêm vồ đại số.

Với mong muốn giúp cho đọc giả nhận được nhiều kiến thức về đại số

đại cương bằng một ngón ngữ hiện đại trong một cuốn sách nhỏ là một việc

làm khó tránh khỏi có nhiều th iếu sót. Vì vậy, tác già mong muốn nhận được

những nhận xét, góp ý của các đồng nghiệp và đọc giả về những th iếu sót

của cuốn sách này.Tác giả xin chân thành cảm ƠI1 PGS. TSKH. Lê Tuấn Hoa đ ã đọc kỹ

toàn bộ bản thảo và đóng góp nhi'éu V kiến quý báu để cuốn sách được

tố t hơn.

Tác giả xin chân thành cảm ơn GS. vs Nguyễn Văn Đạo đ ã quan tâm

đến hộ sách cao học của Viện Toán học, cám ơn Hội đồng Khoa học T ự nhién

và Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội đã giúp đỡ đê' cuốn sách được

xuất bản.

T á c g iả

s ơ LƯỢC v'Ẻ l ý t h u y ế t t ậ p h ợ p • • •

Troiif> cliinnif* 111Ữ (lầu này. (húng ta sò trình bày một cách sơ lưực về tập

hợp. ánh xạ và quan hẹ. nhàm mục đích llumg nliất các ký liiộu và thuật ngữ

(lược (lùm; troiifi, suốt hài J>iãii}ỉ, này. Phần cuối cua chương hàn về các dạng t i r a n t (hrưii" khác nhau n ia t it'll đe chọn. Vì chưa tìm thấy tài liệu tiens

Yii'l nào có rliứiiu, minh đầy dù cho các tương (lương này. nôn chúng ta sẽ dưa ra mọt clnrnti, minh đè bạn đọc tham kliào thêm.

(¡1. Tâp hơp và các phép toán trên tâp hơp

1 .1 . Đ in h n g h ĩa . Tập hợp là một khái niệm cơ bản cùa toán học. nhưng

lại là một khái niệm khỏng được (lịnh nghĩa. Một cách trực quail, ta có t lie

liiru một tạp hợp như là sự tụ tập những vật. những đối tượng hay những

kliiíi Ìiiẹm toán học ... được xác định bùi một hay nhiều tính chất chung.

Ta thườn» sư (lụng các chữ cái La tinh .4. 13. c ........V. Y. z hoặc chữ

cái Hy Lạp co nlnr I . n . A . ... đè chi một tập liựp.

Các vạt cùa một tạp hợp X gọi là các phần tư của tập hợp đó. Một phần

từ ./• cùa tạp lìcrp A' (linrc ký hiệu là .(• G A’.

Nốu tất cà các Ị)hần tư cùa một tập hơp X đéu là phần tư cùa mọt tập

litrp V t 111 ta nói tạp lu/Ị) A’ là một tạp hợp con của tập hạp y và ký hiệu là

A ç V hay V D -V. Tnrờng hạp X ç V và )' ç X thì ta nói rầiiíị tập hợp X

hàn» tập lurp V và ký hiệu là -V = V. Nếu X ç V và X Ỷ till -V được gọi

là tập hợp coil thực sự cua )' và ký hiệu là A' c V.

Xác định một tạp hạp là xác clịnh tất cà các phần từ cùa 11Ó. Có nhiêu

cách đổ xác (lịnh một tạp hợp. Đơn giàn nhất là liệt kè tấ t cà các phần tứ

cùi» tạp hợp đó và (le trong liai (làu 111ÓC Cách thõng dụng thứ liai là

mo là một tập hạp qua các tính chất (lặc tnrug của các phần tử của tậ p hợp

đó. Chảng hạn ta viết À' = {.;■ I P{.v)} dể nói rằng X là tập hợp gồm tấ t cả các phần từ .r tlioà màn mệnh (Tó P(.r).

C hư ơng I

10 Giáo trình đại s ổ hiện đại

T ập hợp không chứa một phần tử nào được gọi là tập hợp ròng và ký hiẽu là 0 .

1.2. C á c p h é p t o á n t r ê n t â p h ơ p

1) Hợp. Hợp của hai tậ p hợp X và Y. ký hiệu A' u 1 . là tậ p h ạ p đuực

xác định bởi

X u y = {x I X € X hoặc X € Y ) .

2) Giao. Giao của hai tập hợp X và Y. ký hiệu X n Y. là tậ p hợp được

xác định bời

X n Y = {x \ X e X và x e Y } .

3) Tích Descartes. Tích Descartes của hai tập hợp X và Y. ký hiệu X X

là tập hợp được xác đ ịnh bời

X x Y = { z = ( x , y ) \ x e X , y e Y } .

4) Hiệu. Hiệu của hai tậ p hựp X và Y. ký hiệu X \ Y. là tậ p hợp dược

xác định bờiX \ Y = {x \ X £ X và X ị Y } .

1 .3 ệ C h ú ý . Các phép toán hợp, giao, tích Descartes hoàn toàn có thố 111Ờ

rộng cho một họ tù y ý các tậ p hợp {(X ,) I i £ /} . ờ đây I là một tậ p chi số

nào đó. Khi đó ta xác định:

Ị J X i = {.r I 3 i e L x e X i} .iei

f ] x t = {x I X e Xi. Vi € /} . ie ĩ

= {c = {Xi)i£i I ẽ X i. Vi € /} .i€7

Đặc biệt, t a hay viết x n để ký hiệu cho tích Descartes của n - lần

tập hợp X .