Định nghĩa và tính chất c a ánh x tuy n ... - moon.vnb - axtt...chuyên đề 3: Ánh xẠ...

Khóa TOÁN CAO CẤP 2016 - 2017 – GV: Nguyễn Đức Trung Facebook: Thay.Trung.Toan

Moon.vn - Học để khẳng định mình 1 Hotline: 0432 99 98 98

ĐẠI SỐ

Chuyên đề 3: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Định nghĩa và tính chất của ánh xạ tuyến tính

Bài 04.03.1.001

Cho A là ma trận cấp m n trên K. Ánh xạ : n mK K xác định bởi .x Ax

Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính.

Bài 04.03.1.002

Kiểm tra ánh xạ 2 2:

( ; ) (2 ; 2 )

h

x y x y x y

có phải là ánh xạ tuyến tính không?

Bài 04.03.1.003

Cho A là ma trận cấp n trên K. Ánh xạ : n nM K M K xác định bởi

,X XA AX với .nX M K Chứng minh rằng là ánh xạ tuyến tính

Bài 04.03.1.004

Ánh xạ 2 2f dưới đây có phải là tuyến tính không:

1) , 2 ,

3) , ,

5) , , 1

7) , ,

f x y x y

f x y y x

f x y x y

f x y y y

2

3 3

2) , ,

4) , 0,

6) , 2x ,

8) , ,

f x y x y

f x y y

f x y y x y

f x y x y

Bài 04.03.1.005

Ánh xạ 3 2:f dưới đây có phải là tuyến tính không:

1) , , ,

3) , , 1,1

f x y z x x y z

f x y z

2) , , 0,0

4) , , 2 ,3 4

f x y z

f x y z x y y z

http://moon.vn/Buy/ConfirmVideo/21434/-33/212/826



Bài 04.03.1.006

Ánh xạ 2:f M dưới đây có phải là tuyến tính không:

1)

3) 2 3

a bf a d

c d

a bf a b c d

c d

2 2

2) det

a4)

a b a bf

c d c d

bf a b

c d

Bài 04.03.1.007

Ánh xạ 2 2:f P P dưới đây có phải là tuyến tính không:

2 2

0 1 2 0 1 2 0 1

22

0 1 2 0 1 2

2

0 1 2

2 2

0 1 2 0 1 2

1) 2 3

2) 1 1

3) 0

4) 1

f a a x a x a a a x a a x

f a a x a x a a x a x

f a a x a x

f a a x a x a a x a x

Bài 04.03.1.008

Cho 2 2:f là ánh xạ biến mỗi điểm của mặt phẳng thành điểm đối xứng của

nó đối với trục y. Hãy tìm công thức cho f và chứng tỏ rằng nó là một toán tử tuyến

tính trong 2.

Bài 04.03.1.009

Gọi m nM là tập các ma trận cỡ .m n Cho B là một ma trận cỡ 2x3 hoàn toàn xác

định. Chứng minh rằng ánh xạ 2 2 2 3:T M M định nghĩa bởi T A AB là ánh

xạ tuyến tính.

Bài 04.03.1.010

Cho ánh xạ 3: WT là một phép chiếu trực giao các điểm của 3 lên mặt

phẳng .xy

a) Tìm công thức của T.

b) Tìm 2,7, 1T



Bài 04.03.1.011

S là một cơ sở trong không gian n chiều V

a) Chứng minh rằng nếu 1 2, ,..., rv v v là một họ độc lập tuyến tính trong V thì các

vecto tọa độ 1 2, ,..., rS S Sv v v cũng tạo thành một họ độc lập tuyến tính và

ngược lại.

b) 1{ ,..., }rv v sinh ra V thì 1{ ,..., rS Sv v cũng sinh ra nR và ngược lại.

Bài 04.03.1.012

Cho 3 3:f là ánh xạ tuyến tính sao cho

(1,1,2) (1,2,3), (2,1,1) (0,1,1), (2,2,3) (0, 1,0)f f f

Hãy xác định công thức của f , nghĩa là tìm 1 2 3( , , )f x x x .

Bài 04.03.1.013

Cho ánh xạ tuyến tính 2 2:f xác định bởi f (3, 1)=(2, -4) và f (1, 1) =(0, 2).

Xác định 1 2( , )f x x .

Bài 04.03.1.014

Cho ánh xạ tuyến tính 3 2:f và 3 2:g

xác định bởi 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , )f x x x x x x và 1 2 3 1 2 3( , , ) ( , )g x x x x x x

Hãy xác định các ánh xạ f + g; 3f; 2f – 5g.

Bài 04.03.1.015

Trong 3 cho cơ sở chính tắc 1 2 3{ (1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)}e e e , trong 2 cho

3 vectơ 1 2 3(1,1); (2,3); (4,5)v v v . Hãy xác định ánh xạ 3 2:f thỏa tính

chất ( ) , 1,2,3i if e v i .

Bài 04.03.1.016

Xét cơ sở 1 2 3{ , , }S v v v trong 3, trong đó 1 2 31,2,3 ; 2,5,3 ; 1,0,10v v v

Tìm công thức biểu diễn ánh xạ tuyến tính 3 2:T xác định bởi

1 2 31,0 , 1,0 , 0,1T v T v T v

Tính 1,1,1T trong các cơ sở chính tắc của 3 2, .



Bài 04.03.1.017

Tìm ánh xạ tuyến tính 2 2:T P P xác định bởi

2 2 21 1 , 3 , 4 2 3 .T x T x x T x x x Tính 22 2 3T x x

Bài 04.03.1.018

Trong 3 cho hai hệ vectơ 1 2 3{ (1,1,0); (0,1,1); (1,0,1)}u u u

và 1 2 3{ (1,1,1); (0,0,1); (1,2,1)}v v v . Hỏi có tồn tại một phép biến đổi tuyến

tính 3 3:f thỏa ( ) , 1,2,3i if u v i không? Nếu có hãy xác định công thức

của f

Bài 04.03.1.019

Cho : 'f V V là một ánh xạ tuyến tính và hệ vecto 1 2, ,...., r của V. Chứng

minh rằng nếu hệ vecto 1 2, ,...., rf f f độc lập tuyến tính trong V’ thì hệ

vecto đã cho cũng độc lập tuyến tính.

Bài 04.03.1.020

Cho V và V’ là hai không gian vecto trên trường K với số chiều của V’ hữu hạn,

: 'f V V là một toàn cấu. Chứng minh rằng tồn tại một ánh xạ tuyến tính

: 'g V V sao cho fg là ánh xạ đồng nhất trên V’. Ánh xạ g có duy nhất không?

Bài 04.03.1.021

Giả sử E K X là không gian vecto đa thức ẩn X trên trường K, và p là một số

tự nhiên. Xét tự đồng cấu :f E E

21 X 'P f P p P X P

Trong đó P’ là đạo hàm của đa thức P. Chứng minh f là đơn cấu, nhưng không phải

toàn cấu.

Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính.

Bài 04.03.1.022

Cho toán tử tuyến tính 3 3:f

xác định bởi ( , , ) ( ,2 3 ,4 5 )f x y z x y z x y z x y z

Hãy tìm Kerf và Imf.




Bài 04.03.1.023

Cho 2 2:T là ánh xạ nhân với ma trận

2 1

8 4

1) Hỏi vecto nào dưới đây Im ?T

) 1, 4 b) 5,0 c) 3,12a

2) Vecto nào dưới đây ?Ker T

) 5,10 b) 3,2 c) 1,1a

Bài 04.03.1.024

1) Cho ánh xạ tuyến tính 2 3:T P P xác định bởi .T p x xp x Hỏi phần tử

nào dưới đây thuộc :Ker T

2) b)0 c)1a x x

2) Hỏi phần tử nào dưới đây thuộc Im :T

2 2) b)1 c)3a x x x x

Bài 04.03.1.025

V là không gian n chiều. Tìm hạng của ánh xạ tuyến tính :T V V xác định bởi:

) ) ) 3a T x x b T x c T x x

Bài 04.03.1.026

V là một không gian vecto cho :T V V xác định bởi 3 .T v v

a) Tìm Ker(T)

b) Tìm Im(T)

Bài 04.03.1.027

Tìm số chiều của Ker(T) và Im(T) với:

a) 2 2:T là ánh xạ nhân với ma trận

2 1

8 4

b) :T V V xác định bởi .T p x xp x



Bài 04.03.1.028

Tính dim Ker T trong đó:

a) 5 7:T có hạng 3

b) 4 3:T P P có hạng 1

c) Im của 6 3:T là 3

d) 2 2:T M M có hạng 3

Bài 04.03.1.029

A là ma trận cỡ 5x7 có hạng bằng 4.

a) Hãy tìm số chiều của không gian nghiệm của .Ax

b) Hỏi Ax b có tương thích với mọi 5b không? Lí do.

Bài 04.03.1.030

T là một ánh xạ ma trận

1 1 3

5 6 4

7 4 2

. Hãy tìm:

a) Số chiều của Im T và .Ker T

b) Một cơ sở cho Im .T

c) Một cơ sở cho .Ker T

Bài 04.03.1.031


2 0 1

4 0 2

0 0 0

. Hãy tìm:






Bài 04.03.1.032

T là một ánh xạ ma trận4 1 5 2

1 2 3 0A

. Hãy tìm:




Bài 04.03.1.033


1 4 5 0 9

3 2 1 0 1

1 0 1 0 1

2 3 5 1 8

A

. Hãy tìm:




Bài 04.03.1.034

Gọi 3 2:D P P là ánh xạ đạo hàm '.D p p Hãy mô tả .Ker D

Bài 04.03.1.035

Gọi 1:J P là ánh xạ tích phân 1

1

J p p x dx

Hãy mô tả .Ker J

Bài 04.03.1.036

Cho ánh xạ tuyến tính 4 3:f

xác định bởi ( , , , ) ( 2 ,3 ,4 3 )f x y z t x y t x y z x y z t

a) Lập ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc.

b) Tìm Kerf và Imf.

c) f có phải là đơn cấu, toàn cấu không?



Bài 04.03.1.037

Cho toán tử tuyến tính f trên 3 xác định như sau

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3( , , ) (( 1) ; ( 1) ; ( 1) )f x x x a x x x x a x x x x a x

Với a là một số thực nào đó.

a) Tìm a sao cho rank( f ) = 3, rank(f ) <3

b) Khi rank(f ) <3, tìm Kerf và Imf, f có phải đơn cấu, toàn cấu không?

Bài 04.03.1.038

Cho ánh xạ tuyến tính 3 2:f xác định bởi ( , , ) ( , )f x y z x y y z .

a. Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f .

b. Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của . f ..

Bài 04.03.1.039

Cho ánh xạ tuyến tính 3 3:f xác định bởi

( , , ) ( 2 , , 2 )f x y z x y z y z x y z

a. Tìm một cơ sở và chiều của tập ảnh của f .

b. Tìm một cơ sở và chiều của hạt nhân của f

Bài 04.03.1.040

Cho 3 4:f là một ánh xạ tuyến tính cho bởi

1 1 2 2 3 3( ) (1,1,2,2); ( ) (2,3,5,6); ( ) (4,5,9,10)f e u f e u f e u trong đó

1 2 3 4{ , , , }B e e e e là cơ sở chính tắc của 3 .

Hỏi ánh xạ f có là đơn cấu không? Tại sao?

Bài 04.03.1.041

Cho 3 2:f là ánh xạ tuyến tính xác định bởi

1 1 2 2 3 3( ) (1,1); ( ) (1,2); ( ) (0,0)f e u f e u f e u .

Chứng minh rằng f là một toàn cấu.



Bài 04.03.1.042

Cho 3 3:f là ánh xạ tuyến tính cho bởi

1 1 2 2 3 3( ) (1,1,1); ( ) (1,1,0); ( ) (1,0,0)f e u f e u f e u . Ánh xạ f có phải là

một đẳng cấu không?

Bài 04.03.1.043

Xác định các ánh xạ tuyến tính nào dưới đây là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu.

a. 2 2:f xác định bởi ( , ) ( , 2 )f x y x y x y .

b. 2 2:f xác định bởi ( , ) (2 4 ,3 6 )f x y x y x y .

Ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính.

Bài 04.03.1.044

Tìm ma trận chính tắc của mỗi ánh xạ tuyến tính sau:

1 2 2 1 1 2 1 2

1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1

1 2 3

1 2 3 4 4 1 3 2 1 3

) , , , 3 ,

) , , , 7 2 , ,

) , , 0,0,0,0,0

) , , , , , , ,

a T x x x x x x x x

b T x x x x x x x x x x x

c T x x x

d T x x x x x x x x x x

Bài 04.03.1.045

Tìm ma trận của ánh xạ tuyến tính 2 1:T P P xác định bởi:

2

0 1 2 0 1 1 22 3T a a x a x a a a a x

Đối với các cơ sở chính tắc trong 2 1, .P P

Bài 04.03.1.046

Cho 2 3:T xác định bởi 1 2 1 2 1, 2 , ,0T x x x x x

a) Tìm ma trận của T đối với các cơ sở 1 2{ , }B u u trong 2 và 1 2 3' { , , }B v v v

trong 3 : 1 21,3 2,4u u

1 2 31,1,1 2,2,0 3,0,0v v v

b) Dùng ma trận thu được ở ý a) để tính 8,3T




Bài 04.03.1.047

Cho 2 4:T P P là ánh xạ tuyến tính xác định bởi 2 .T p x x p x

a) Tìm ma trận của T đối với các cơ sở 1 2 3{ , , }B p p p trong 2P và các cơ sở chính

tắc B’ trong 4P 2 2 2

1 2 31 , 1 2 3 , 4 5p x p x x p x x

b) Dùng ma trận thu được ở ý a) hãy tính 23 5 2T x x

Bài 04.03.1.048

Cho

3 2 1 0

1 6 2 1

3 0 7 1

A

là ma trận của ánh xạ 4 3:T đối với các cơ sở

1 2 3 4{ , , , }B v v v v trong 4 và

1 2 3' { , , }B w w w trong 3.

1 2 3 4

1 2 3

0,1,1,1 , 2,1, 1, 1 , 1,4, 1,2 , 6,9,4,2

0,8,8 , 7,8,1 , 6,9,1

v v v v

w w w

Tìm 1 2 3 4' ' '', , ,

B B BBT v T v T v T v

Tìm 1 2 3 4, , , T v T v T v T v

c) Tìm 2,2,0,0T

Bài 04.03.1.049

Cho ánh xạ tuyến tính : n mK K xác định bởi

1 2 11 1 1 21 1 2 1 1( , , , ) ( , , , )n n n n n m mn nx x x a x a x a x a x a x a x

Chứng tỏ rằng ma trận biểu diễn của theo cặp cơ sở tự nhiên ( )n và ( )m là

11 12 1

21 22 2

( ( ), ( ))

1 2

n

n

n m

m m mn

a a a

a a a

a a a



Bài 04.03.1.050

Cho ánh xạ tuyến tính 3 2: xác định bởi

( , , ) (3 2 4 , 5 3 )x y z x y z x y z

a. Tìm ma trận biểu diễn của theo cặp cơ sở (3) và (2) .

b. Tìm ma trận biểu diễn của theo cặp cơ sở S và T , trong đó

{(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)} và {(1,3),(2,5)}.S T

c. Chứng minh rằng ( , )

[ ( )] ·[ ]T SS Tv v với mọi

3v .

Bài 04.03.1.051

Cho hai ánh xạ tuyến tính 3 2:f và 2 3:g xác định như sau:

3

2

( , , ) (2 , 2 3 ), ( , , )

( ', ') ( ' ', ' 2 ', ' '), ( ', ')

f x y z x y z x y z x y z

g x y x y x y x y x y

Hãy xác định ma trận của ánh xạ f, g, gf trong cặp cơ sở chính tắc của các

không gian tương ứng

Toán tử tuyến tính

Bài 04.03.1.052

Cho toán tử tuyến tính 2 2:f xác định như sau:

2( , ) ( 2 ,2 ), ( , )f x y x y x y x y

Tìm ma trận của f đối với cơ sở 1 2{ (2,1); (3,2)}B u u

Bài 04.03.1.053

Cho toán tử tuyến tính 3 3:f xác định bởi

1 2 3 2 3 1 2 1( , , ) (2 , 4 ,3 )f x x x x x x x x

Tìm ma trận của f đối với cơ sở 1 2 3{ (1,1,1); (1,1,0); (1,0,0)}B e e e

Bài 04.03.1.054

Cho toán tử tuyến tính tuyến tính 2 2: xác định bởi ( , ) (2 ,3 )x y y x y .



a. Tìm ma trận (2)

của theo cơ sở (2) .

b. Tìm ma trận S

của theo cơ sở {(1,3),(2,5)}S .

c. Chứng minh rằng [ ( )] ·[ ]S SSv v với mọi

2v .

Bài 04.03.1.055

Cho ánh xạ tuyến tính 2 2:f xác định bởi

3( , , ) ( , ), ( , , )f x y z x y z x y z x y z

Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở (B, B’) biết

1 2 3{ (1,1,0); (0,1,1); (1,0,1)}B u u u và ' '

1 2' { (2,1); (1,1)}B u u

Bài 04.03.1.056

Cho các toán tử tuyến tính và có ma trận biểu diễn theo cơ sở S lần lượt

là

1 2 3 1 1 3

0 4 1 , 2 0 1

2 1 5 3 1 2S S

Tìm ma trận biểu diễn của , 2 ,3 5 , · và · theo cơ sở S .

Bài 04.03.1.057

Cho và là các toán tử tuyến tính trên 2 xác định bởi 1 2 2 1( , ) ( , )x x x x và

1 2 1 2 1 2( , ) ( , )x x x x x x . Hãy xác định các ánh xạ 2 2· , · , , .

Bài 04.03.1.058

Cho ánh xạ 2 2: ( ) ( ) M M cho bởi 1 2

( )3 4

X X

.

a. Chứng minh rằng là một toán tử tuyến tính.

b. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở tự nhiên

1 2 3 4

1 0 0 1 0 0 0 0, , ,

0 0 0 0 1 0 0 1E E E E



c. Tìm ma trận biểu diễn của theo cơ sở

1 2 3 4

1 2 1 3 2 6 4 11, , ,

3 4 5 7 9 13 17 25X X X X

Bài 04.03.1.059

Hãy tìm ma trận chính tắc của mỗi toán tử tuyến tính sau:

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

) , 2 ,

) , ,

) , , 2 , 5 ,

) , , 4 ,7 , 8

a T x x x x x x

b T x x x x

c T x x x x x x x x x

d T x x x x x x

Bài 04.03.1.060

Hãy tìm ma trận chính tắc của toán tử tuyến tính 2 2:T biến ,v x y thành

đối xứng của nó đối với

a) Trục .x

b) Đường phân giác .y x

c) Gốc tọa độ

Hãy tính 2,1T trong mỗi trường hợp

Bài 04.03.1.061

Cho toán tử tuyến tính 3 3:T xác định bởi

1 2 3 1 2 2 1 1 3, , , ,T x x x x x x x x x

a) Hãy tìm ma trận của T đối với cơ sở 1 2 3{ , , }B v v v với:

1 2 31,0,1 , 0,1,1 , 1,1,0v v v

c) Dùng ma trận thu được ở ý a) để tính 2,0,0T



Bài 04.03.1.062

Cho 1 2

1 31,3 , 1,4 ,

2 5v v A

là ma trận của ánh xạ

2 2:T đối

với cơ sở 1 2{ , }B v v

a) Tìm 1 BT v và 2 'B

T v

b) Tìm 1T v và 2T v

c) Tìm 1,1T

Bài 04.03.1.063

Cho

1 3 1

2 0 5

6 2 4

A

là ma trận của ánh xạ 2 2:T P P đối với cơ sở

1 2 3{ , , }B v v v với: 2 2 2

1 2 33 3 , 1 3 2 , 3 7 2v x x v x x v x x

a) Tìm 1 2 3' ' ', ,

B B BT v T v T v

b) Tìm 1 2 3, , T v T v T v

c) Tìm 21T x

Bài 04.03.1.064

Cho 2 2:D P P là toán tử đạo hàm '.D p p Tìm ma trận của D đối với mỗi cơ

sở 1 2 3{ , , }B p p p dưới đây:

a) 2

1 2 31, , p p x p x

b) 2

1 2 32, 2 3 , 2 3 8p p x p x x

c) Dùng ma trận thu được ở a) để tính 26 6 24D x x

d) Làm lại phần c) đối với ma trận ở b)



Bài 04.03.1.065

Hãy tìm ma trận của T đối với cơ sở B rồi suy ra ma trận của T đối với cơ sở B’.

2 2:T xác định bởi 1 2 1 2 2, 2 ,T x x x x x

1 2 1 2 1 2 1 2{ , }, 1,0 , 0,1 ; ' { , }, 2,1 , 3,4B u u u u B v v v v

Bài 04.03.1.066


2 2:T xác định bởi 1 2 1 2 1 2, 7 ,3 4T x x x x x x

1 2 1 2 1 2 1 2{ , }, 2,3 , 4, 1 , ' { , }, 1,3 , 1, 1B u u u u B v v v v

Bài 04.03.1.067


3 3:T xác định bởi 1 2 3 1 2 3 2 1 3, , 2 , , 7T x x x x x x x x x B là cơ sở

chuẩn tắc trong 3, 1 2 3' { , , }B v v v với 1 2 31,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1v v v

Bài 04.03.1.068


3 3:T là phép chiếu trực giao lên mặt phẳng xy, B là cơ sở chuẩn tắc trong 3,

1 2 3' { , , }B v v v với 1 2 31,0,0 , 1,1,0 , 1,1,1v v v

Bài 04.03.1.069

Hãy tìm ma trận của T đối với cơ sở B rồi suy ra ma trận của T đối với cơ sở

B’.2 2:T xác định bởi 5T x x , 1 2 1 2{ , }, 2,3 , 4, 1 , B u u u u

1 2 1 2' { , }, 1,3 , 1, 1B v v v v

Bài 04.03.1.070


1 1:T P P xác định bởi 0 1 0 1 1T a a x a a x

1 2 1 2 1 2 1 2{ , }, 6 3 , 10 2 , ' { , }, 2, 3 2B p p p x p x B q q q q x

Định nghĩa và tính chất c a ánh x tuy n ... - moon.vnb - axtt...chuyên đề 3: Ánh xẠ...

Documents