5.1 khÁi ni m Ánh x tuy ntÍnh 5.1.1 Định ngh avàvíd · 3 chƯƠng 5: Ánh x Ạ tuyẾn...

1

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ánh xạ tuyến tính (phép biến đổi tuyến tính) từ một không gianvéc tơ vào không gian véc tơ là ánh xạ bảo toàn phép cộng véctơ và phép nhân một số với véc tơ

Nhà toán học Peano (Italia) là người đầu tiên đưa ra khái niệmánh xạ tuyến tính (1888)

Tương ứng giữa ánh xạ tuyến tính và ma trận của nó là một đẳngấ ốcấu bảo toàn phép cộng, phép nhân một số với ma trận và phép

nhân hai ma trận

Chính vì lý do này nên một bài toán về ma trận, hệ phương trìnhtuyến tính có thể giải quyết bằng phương pháp ánh xạ tuyến tínhvà ngược lại

Hạng của ánh xạ tuyến tính bằng hạng của ma trận của nó

23/09/2013 1

CHƯƠNG 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

5.1 KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH5.1.1 Định nghĩa và ví dụ

Ánh xạ f từ không gian véc tơ V vào không gian véc tơ W thoả

mãn với mọi u, v∈V, α∈R:

{ ( ) ( ) ( )f u v f u f v+ = +{ ( ) ( ) ( )( ) ( )

f u v f u f vf u f uα α+ = +

=

được gọi là ánh xạ tuyến tính (đồng cấu tuyến tính hay gọi tắt làđồng cấu) từ V vào W

Khi V =W thì f được gọi là tự đồng cấu

23/09/2013 2


Ví dụ 5.1

2) Ánh xạ đồng nhất Id :V V V→

Id ( )Vu u u=a

1) Ánh xạ không :V W→0

( ) 0u u =0a

3) Phép vị tự tỷ số ∈k VVf →:3) Phép vị tự tỷ số ∈k VVf →: kuufu =)(a

4) Giả sử VWW ⊂⊕ 21 , xét phép chiếu lên thành phần thứ nhất VWW →⊕ 211 :Pr

121 vvv a+

Ánh xạ 1), 2), 3), 4) là ánh xạ tuyến tính; 2), 3) là tự đồng cấu;

23/09/2013 3


6) Cho ma trận ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦

Do đó ánh xạ : n mT →R R

1 1 1 1' '

' 'n n n n

x x x xA A A

x x x xα β α β⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠

M M M M

Ta có thể kiểm tra được đẳng thức

),...,(),...,(),...,( 111 mnn yyxxTxx =a

1 1

ij

m n

y xa

y x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M M là một ánh xạ tuyến tính

Ngược lại ta có thể chứng minh được mọi ánh xạ tuyến tính từ Rn

vào Rm đều có dạng như trên

Xác định bới

23/09/2013 4

2


7) Phép quay góc θ

2 2:f →

( , ) ( , ) ( , )x y f x y X Y=aθ ( , )v x y=

( ) ( , )f v X Y=

( ) (cos sin )( )iX iY e x iy i x iyθ θ θ+ = + = + +

( cos sin ) ( sin cos )X iY x y i x yθ θ θ θ+ = − + +

( , ) ( cos sin , sin cos )f x y x y x yθ θ θ θ⇒ = − +

Vậy phép quay góc θ là một ánh xạ tuyến tính

23/09/2013 5


5.1.2. Tính chấtĐịnh lý 5.1 Nếu f : V → W là một ánh xạ tuyến tính thì

(i) 00 =)(f

(ii) với mọi Vv∈ : )()( vfvf −=−

(iii) ( )n n

f x v x f v⎛ ⎞

=⎜ ⎟∑ ∑ x x v v V∀ ∈ ∀ ∈R(iii)1 1

( )i i i ii i

f x v x f v= =

=⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ , 1 1,..., , ,...,n nx x v v V∀ ∈ ∀ ∈R .

Định lý 5.2Ánh xạ f : V → W là một ánh xạ tuyến tính khi và chỉ khi

với mọi u, v∈V, α∈R:

( ) ( ) ( )f u v f u f vα β α β+ = +

23/09/2013 6


Định lý 5.3 Mỗi ánh xạ tuyến tính V vào W hoàn toàn được xácđịnh bởi ảnh một cơ sở của V.

Tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính f : V → W sao cho

niuef 1)( ==

Nghĩa là với cơ sở B = {e1, … , en} cho trước của Vkhi đó với mỗi hệ véc tơ u1, … , un ∈ W

niuef ii ,...,1,)( ==Tồn tại:

Với mọi ,Vv∈ giả sử ),...,( 1 nxx là tọa độ của v trong cơ sở B , nghĩa là nnexexv ++= ...11 . Đặt Wuxuxvf nn ∈++= ...)( 11

f là ánh xạ tuyến tính thỏa mãn ,)( ii uef = với mọi ni ,...,1=

Duy nhất: Giả sử WVg →: là ánh xạ tuyến tính sao cho ,)( ii ueg = với mọi ni ,...,1= khi đó với bất kỳ nnexexvVv ++=∈ ..., 11

1 1 1 1 1 1( ) ( ... ) ( ) ... ( ) ... ( )n n n n n ng v g x e x e x g e x g e x u x u f v= + + = + + = + + =

Vậy fg =

23/09/2013 7


Hệ quả 5.4 f , g : V → W là hai ánh xạ tuyến tính

B = {e1, … , en} là một cơ sở của V

Khi đó ( ) ( ); 1,...,i if g f e g e i n= ⇔ = ∀ =

Giả sử f : V → W là đồng cấu tuyến tínhVí dụ 5.2

Chứng minh rằng f toàn cấu khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu g : W → V sao cho f οg(v) = v, ∀v∈W

Giả sử f toàn cấu, { }1,..., ne e=B là một cơ sở của W

Tồn tại 1,..., nu u V∈ sao cho ( )i if u e=

Xét ánh xạ tuyến tính VWg →: xác định bởi ( )i ig e u=

Vì ( ) ;i i if g e e e= ∀ ∈o B do đó IdWf g =o

23/09/2013 8

3


5.1.3 Các phép toán trên các ánh xạ tuyến tính5.1.3.1 Hom(V,W )

Tập các ánh xạ tuyến tính từ V vào W được ký hiệu là

Với mọi f g ∈ Hom(VW) với mọi k ∈R

Hom(V,W) hay L(V,W)

Với mọi f, g ∈ Hom(V,W), với mọi k ∈R

Ta định nghĩa phép cộng hai ánh xạ tuyến tính bởi công thức

( )( ) ( ) ( )f g v f v g v+ = +

( )( ) ( )kf v kf v=

Và phép nhân một số với ánh xạ tuyến tính bởi công thức

23/09/2013 9


Với hai phép toán này thì Hom(V,W) có cấu trúc không gian véc tơ

dim Hom dim dim( , )V W V W= ⋅

Ví dụ 5.3:

Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g: R3 → R2 có công thức xác định ảnh

( ) (3 5 2 4 6 )f + +( , , ) (3 5 2 ,4 6 )f x y z x y z x y z= − + + −

( , , ) (2 6 7 , 5 )g x y z x y z x z= + − −

3 ( , , ) (9 15 6 ,12 3 18 )f x y z x y z x y z⇒ = − + + −

2 ( , , ) (4 12 14 ,2 10 )g x y z x y z x z= + − −

(3 2 )( , , ) (5 27 20 ,10 3 8 )f g x y z x y z x y z⇒ − = − + + −

23/09/2013 10


5.1.3.2 EndV

Tập các tự đồng cấu của V, ký hiệu EndV

Với phép cộng hai ánh xạ tuyến tính và nhân một số với ánh

xạ tuyến tính thì EndV là một không gian véc tơ

Mặt khác hợp của hai ánh xạ tuyến tính cũng là một ánh xạ tuyến tính

( )2dim End dimV V=

23/09/2013 11


Cho f∈EndV và đa thức bậc n 0( ) nnp t a a t= + +L

ta ký hiệu 0( ) Id nV np f a a f= + +L

Trong đón

n

f f f= oLo14243

lÇn

0 IdVf = 1f f=

Ví dụ 5.4: ụCho ánh xạ tuyến tính f : R2 → R2 có công thức xác định ảnh

( , ) (3 5 ,4 )f x y x y x y= − +

( )2( , ) 3(3 5 ) 5(4 ),4(3 5 ) (4 ) ( 11 20 ,16 19 )f x y x y x y x y x y x y x y= − − + − + + = − − −

Cho đa thức 2( ) 50 9 2p t t t= − +

( )2( )( , ) 50Id 9 2 ( , ) ( 5 , 4 3 )Vp f x y f f x y x y x y⇒ = − + = + − +

23/09/2013 12

4


5.2 NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Định lý 5.5 Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính, khi đó:

a) Nếu V1 là không gian con của V thì f (V1) là không gian concủa WS là một hệ sinh của V1 thì f (S) là một hệ sinh của f (V1)Do đó 1 1dim ( ) dimf V V≤

1 2 1 1 1 1 1 1 2 2, ( ); , : ( ), ( )u u f V v v V u f v u f v∀ ∈ ∃ ∈ = =

1 2 1 2 1 2 1, : ( ) ( ) ( ) ( )u u f v f v f v v f Vα β α β α β α β∀ ∈ + = + = + ∈R

1 1( ); : ( )u f V v V u f v∀ ∈ ∃ ∈ = { }1 1 1 1span ,..., ...n n nV e e v x v x v= ⇒ = + +

{ }1 1 1 1 1 1( ) ( ... ) ( ) ... ( ) ( ) span ( ),..., ( )n n n n nu f v f x e x e x f e x f e f V f e f e⇒ = = + + = + + ⇒ =

23/09/2013 13


S là một hệ sinh của V thì f (S) là một hệ sinh của Im f

Đặc biệt nếu { }1,..., ne e=B là một cơ sở của V thì { }1( ),..., ( )nf e f e

là một hệ sinh của Im f

Do đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của { }1( ),..., ( )nf e f e là cơ sở của Im f

23/09/2013 14


b) Nếu W1 là không gian con của W thì f −1(W1) là không gian con của Vngoài ra nếu W1 ⊂ f (V) thì 1

1 1dim dim ( )W f W−≤

11 2 1, ( ); ,v v f W α β−∀ ∈ ∀ ∈R

11 2 1 2 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )f v v f v f v W v v f Wα β α β α β −+ ∈ + ∈ ⇒ + ∈

Giả sử { }1,..., nu u là một hệ độc lập tuyến tính của 1W 1

1 1 1( ) ,..., ( ): ( ) , 1,...,n i iW f V v v f W f v u i n−⊂ ⇒ ∃ ∈ = =

1 1 1 1( )n n n nv v f v vα α α α+ + = ⇒ + + =0 0L L

1 1 1 ... 0n n nu uα α α α⇒ + + = ⇒ = = =0L

Hệ véc tơ { }1,..., nv v độc lập tuyến tính của 11( )f W− 1

1 1dim dim ( )W f W−⇒ ≤

23/09/2013 15


Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính

Nhân của f { } { }1Ker ( )f f v V f v V−= = ∈ = ⊂0 0

: Ker ( )v V v f f v∀ ∈ ∈ ⇔ = 0

Ảnh của f { }Im ( ) ( )f f V f v v V W= = ∈ ⊂

: Im : ( )u W u f v V u f v∀ ∈ ∈ ⇔ ∃ ∈ =

Hạng của f ( ) dimImr f f=

23/09/2013 16

5


Với mọi ánh xạ tuyến tính f : V → W ta cóĐịnh lý 5.6

dim ( ) dimKerV r f f= +

Giả sử { }1,..., me e là một cơ sở của Ker f (khi { }Ker f = 0 thì m = 0) Ta có thể bổ sung để { }1 1,..., , ,...,m m m ke e e e+ + là một cơ sở của V

Ta sẽ chứng minh { }1( ),..., ( )m m kf e f e+ + là một hệ sinh, độc lập tuyến tính của Im f (do đó là một cơ sở)

1 1 1 1Im , : ( ); ... ...m m m m m k m ku f v V u f v v x e x e x e x e+ + + +∀ ∈ ∃ ∈ = = + + + + +

1 1 1 1( ) ( ) ... ( ) ( ) ... ( )m m m m m k m ku f v x f e x f e x f e x f e+ + + += = + + + + +

1 1( ) ... ( )m m m k m ku x f e x f e+ + + +⇒ = + +

1 1 1 1( ) ... ( ) ... Kerm k m k m k m ky f e y f e y e y e f+ + + ++ + = ⇒ + + ∈0

1 1 1 1... ...m k m k m my e y e z e z e+ +⇒ + + = + +1 1 1 1 1... ... ... 0m k m k m m ky e y e z e z e y y+ +⇒ + + − − − = ⇒ = = =0

23/09/2013 17


Ví dụ 5.5

Xét ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 có công thức xác định ảnh:

( )( , , , ) 2 3 5 ,3 2 3 4 , 3 6f x y z t x y z t x y z t x z t= − + + − + + + +

Tìm một cơ sở của Im f, Ker f.

Giải: 4( , , ) Im ( , , , ) : ( , , ) ( , , , )a b c f x y z t a b c f x y z t∈ ⇔∃ ∈ =R

Từ đó suy ra hạng r ( f )

Nói cách khác khi và chỉ khi hệ phương trình sau cónghiệm

( , , ) Ima b c f∈

2 3 53 2 3 4

3 6

x y z t ax y z t bx z t c

− + + =⎧⎪ − + + =⎨⎪ + + =⎩

23/09/2013 18


Sử dụng phương pháp khử Gauss ta được

2 1 3 5 1 0 3 6 1 0 3 63 2 3 4 0 1 3 7 2 0 1 3 7 21 0 3 6 0 1 3 7 0 0 0 0 2

a c cb a c a cc b a c b a c

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ↔ − − − − ↔ − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − − − − − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Hệ phương trình có nghiệm khi 2 0b a c− + =( , , ) Im ( ,2 , ) (1,2,0) (0, 1,1)u a b c f u a a c c a c= ∈ ⇔ = − = + −( ) ( ) ( ) ( )f

Vậy Im f có một cơ sở là { }(1,2,0), (0, 1,1)−

( , , , ) Kerv x y z t f= ∈ khi và chỉ khi (x,y,z,t) là nghiệm của hệ2 3 5 03 2 3 4 0

3 6 0

x y z tx y z tx z t

− + + =⎧⎪ − + + =⎨⎪ + + =⎩ { }( 3, 3,1,0), ( 6, 7,0,1)− − − −

Vậy Ker f có một cơ sở là

Hạng r ( f ) = 2

3 63 7

x z ty z t= − −⎧⇒ ⎨ = − −⎩

( 3 6 , 3 7 , , ) ( 3, 3,1,0) ( 6, 7,0,1)v z t z t z t z t= − − − − = − − + − −

23/09/2013 19


Nhận xét 5.1 Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính

B = {e1, … , en} là một cơ sở của VCó thể chứng minh được { f(e1), … , f(en)} là một hệ sinhcủa Im fdo đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của { f(e1), … , f(en)}là cơ sở của Im ffVí dụ trên có hạng r ( f ) = 2 Vì vậy ngoài cơ sở { }(1,2,0), (0, 1,1)−

hai véc tơ cột bất kỳ của ma trận2 1 3 53 2 3 41 0 3 6

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦đều là cơ sở của Im f

23/09/2013 20

6


5.3TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU5.3.1Toàn cấu

Ánh xạ tuyến tính và toàn ánh được gọi là toàn cấu.Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tínhBa mệnh đề sau tương đương

(i) f toàn cấu

(iii) r( f ) = dimW(ii) Ảnh của hệ sinh của V là hệ sinh của W

(i) ⇒ (ii): S là hệ sinh của V thì f(S) là một hệ sinh của f(V) và f(V) = W do đó f(S) là một hệ sinh của W(ii) ⇒ (i): Giả sử { }1,..., ne e là một cơ sở của V thì { }1( ),..., ( )nf e f e là

hệ sinh của { }1span ( ),..., ( ) ( )nW W f e f e f V f⇒ = = ⇒ toàn cấu

( ) ( ) : ( ) dim ( ) dim ( ) dimi iii f V W f V W r f W⇔ = ⇔ = ⇔ =

23/09/2013 21


Ánh xạ tuyến tính đơn ánh được gọi là đơn cấu

5.3.2 Đơn cấu


Bốn mệnh đề sau tương đương

(i) f đ ấ(i) f đơn cấu

(vi) r( f ) = dimV

(ii) Ker f = {0}

(iii) Ảnh của hệ độc lập tuyến tính của V là hệ độc lậptuyến tính của W

23/09/2013 22


(i) ⇒ (ii): Hiển nhiên

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ii i f v f v f v f v f v v v v v v⇒ = ⇒ = − = − ⇒ − = ⇒ =0 0

( ) ( )ii iii⇒ : Giả sử { }1,..., mv v độc lập

{ }1 1 1 1 1,..., : ( ) ... ( ) ... Kerm m m m mx x x f v x f v x v x v f∀ ∈ + + = ⇒ + + ∈ =0 0

1 1 1... ... 0m m mx v x v x x⇒ + + = ⇒ = = =01 1 1m m m

Do đó { }1( ),..., ( )mf v f v độc lập

( ) ( )iii iv⇒ : Giả sử { }1,..., ne e là một cơ sở của V thì { }1( ),..., ( )nf e f e là hệ sinh độc lập tuyến tính của ( )f V . Do đó dim( )r f V=

{ }( ) Ker

Ker 0 Ker( )

dim dimdim

dim( ) ( ) : V r f f

f fV r f

iv ii = + ⎫⇒ = ⇒ =⎬= ⎭

⇒ 0

23/09/2013 23


5.3.3 Đẳng cấu

Ánh xạ tuyến tính vừa đơn cấu vừa toàn cấu được gọi là đẳng cấu

Hai không gian V, W được gọi là đẳng cấu nếu có ánh xạ tuyến

tính đẳng cấu f : V → W

Định lý 5 8Định lý 5.8

Hai không gian V, W là đẳng cấu khi và chỉ khi dimV = dimW

Định lý 5.9 Giả sử f : V → W là ánh xạ tuyến tính và dimV = dimWKhi đó f đơn cấu khi và chỉ khi f toàn cấu, do đó đẳng cấu

23/09/2013 24

7


Ví dụ 5.6 Ánh xạ tuyến tính 2 2:f → xác định bởi

( )( , ) 2 ,f x y x y x y= − +là một đơn cấu vì

( ) ( )( , ) (0,0) 2 , (0,0) , (0,0)f x y x y x y x y= ⇔ − + = ⇒ =

do đó f là một đẳng cấu

Ví d 5 7 Á h t ế tí h ác định bởi3:f →PVí dụ 5.7 Ánh xạ tuyến tính xác định bởi32:f →P

2( , , ) ( 2 3 ) (2 5 6 ) ( 8 )f x y z x y z x y z t x z t= + + + + + + +

Hệ phương trình2 3 0

2 5 3 08 0

x y zx y zx z

+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + =⎩

chỉ có nghiệm tầm thường

do đó f là một đẳng cấu

23/09/2013 25


5.4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN5.4.1 Ma trận của ánh xạ tuyến tính


B = {e1, … , en} là một cơ sở của VB’ = {ω1, … , ω n} là một cơ sở của W

’Ma trận của hệ véc tơ { f (e1), … , f (en)} trong cơ sở B’Được gọi là ma trận của f trong cơ sở B và B’Ký hiệu [ ] 'A f= B

B

ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦

1( ) ; 1,...,

m

j ij ii

f e a j n=

= ω =∑Xác định như sau

23/09/2013 26


Trường hợp tự đồng cấu f của không gian véc tơ VMa trận của f trong cùng một cơ sở B = {e1, … , en} của Vđược ký hiệu [ ]A f= B

Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cơ sở chính tắc được gọi là ma trận chính tắcma trận chính tắc

Ví dụ 5.8 Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 → R2 xác định bởi( , , ) (2 4 ,3 5 )f x y z x y z x z= + − +

(1,0,0) (2,3) 2(1,0) 3(0,1)f = = +(0,1,0) (1,0) 1(1,0) 0(0,1)f = = +(0,0,1) ( 4,5) 4(1,0) 5(0,1)f = − = − +

2 1 43 0 5

A−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 27


Nhận xét 5.2 Bằng cách tính toán như ví dụ trên ta có thể kiểm tra được rằng

: m nf →Ánh xạ tuyến tính với công thức xác định ảnh

1 11 1 1 1 1( ,..., ) ( ,..., )m m m n nm mf x x a x a x a x a x= + + + +L L

Có ma trận chính tắc 11 1ma a⎡ ⎤⎢ ⎥

L

1n nm

Aa a

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

L L L

LVí dụ 5.9

Ánh xạ tuyến tính f : R3 → R3 xác định bởi

( , , ) ( 2 2 ,3 5 , )f x y z x y z x y z x y z= + + + + − +

ma trận chính tắc1 2 23 1 51 1 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

23/09/2013 28

8


Ví dụ 5.10

Toán tử đạo hàm D : P3 → P2 là một ánh xạ tuyến tính thỏa mãn

2 3 2(1) 0, ( ) 1, ( ) 2 , ( ) 3D D t D t t D t t= = = =

Do đó có ma trận trong cơ sở chính tắc của P3 và P2 làg 3 2

0 1 0 00 0 2 00 0 0 3

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 29


B = {e1, … , en} là một cơ sở của không gian véc tơ VB’ = {ω1, … , ω n} là một cơ sở của không gian véc tơ W

Định lý 5.10 Tương ứng Hom( , ) m nV W ×→ M[ ] 'f A f=a

BB

là một song ánh thỏa mãn các tính chất:là một song ánh thỏa mãn các tính chất:

[ ] [ ] [ ]' ' 'f g f g+ = +B B BB B B

[ ] [ ]' ': f fλ λ λ∀ ∈ =R B BB B

[ ] '( ) ( )r f r f= BB

23/09/2013 30


[ ] 'f g+ BB là ma trận của hệ véc tơ cột { }1( )( ),..., ( )( )nf g e f g e+ +

[ ] 'f BB là ma trận của hệ véc tơ cột { }1( ),..., ( )nf e f e

[ ] 'g BB là ma trận của hệ véc tơ cột { }1( ),..., ( )ng e g e

[ ] 'fλ B là t ậ ủ hệ é t ột { }( ) ( )f fλ λ

Do đó [ ] [ ] [ ]' ' 'f g f g+ = +B B BB B B

[ ]fλ BB là ma trận của hệ véc tơ cột { }1( ),..., ( )nf e f eλ λ

Do đó [ ] [ ]' 'f fλ = λB BB B

Hạng của ma trận [ ] 'f BB là hạng của hệ các véc tơ cột { }1( ),..., ( )nf e f e

Mặt khác { }1( ) span ( ),..., ( )nf V f e f e=

Do đó ( ) dim ( ) ( )r A f V r f= =

23/09/2013 31


B = {e1, … , en}, B’ = {e’1, … , e’m}, B” = {e”1, … , e”l} lầnlượt là các cơ sở của không gian véc tơ V, V’, V”

Cho hai ánh xạ tuyến tính f, g : ' "f gV V V⎯⎯→ ⎯⎯→

Giả sử [ ] 'A f= BB

"B

ij m nA a

×⎡ ⎤= ⎣ ⎦

1( ) ' ; 1,...,

m

j ij ii

f e a e j n=

= =∑l[ ] "

'B g= BB [ ]ki l mB b ×=

1( ' ) " ; 1,...,

l

i ki kk

g e b e i m=

= =∑

[ ] [ ] [ ]" " ''g f BA g f= =o

B B BB B B

Vậy

1 1 1 1 1 1( ) ' ( ' ) " "

m m m l l m

j ij i ij i ij ki k ki ij ki i i k k i

g f e g a e a g e a b e b a e= = = = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑o

23/09/2013 32

9


Khi V = V’ = V” và ta chọn cố định một cơ sở của V thì có tương ứng 1-1 giữa các tự đồng cấu của V và các ma trận vuông cấp n

Định lý 5.11 Tương ứng End( ) nV → M[ ]f A f=a B

là một song ánh thỏa mãn các tính chất:

[ ] [ ] [ ]f g f g+ = +B B B

[ ] [ ]: f fλ λ λ∀ ∈ =B BR

[ ]( ) ( )r f r f= B

[ ] [ ] [ ]f g f g=o B B B

23/09/2013 33


Hệ quả 5.12 Cho f ∈ End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A = [ f ]B

f là tự đẳng cấu khi và chỉ khi A khả nghịch

Ma trận của f −1 trong cơ sở B có dạng [f −1]B = A−1

Hệ quả 5.13 Giả sử 0( ) n

np t a a t= + +L là một đa thức bậc n

Ma trận của 0( ) Id nV np f a a f= + +L trong cơ sở B là

0( ) nnp A a I a A= + +L

23/09/2013 34


Ví dụ 5.13 Xét ánh xạ tuyến tính 3 3:f → xác định bởi( , , ) ( 2 2 ,3 5 , )f x y z x y z x y z x y z= + + + + − +

Ma trận chính tắc của f là1 2 23 1 51 1 1

A⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦

có 16 4 8

1 2 1 12

4 3 5A−

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

Do đó f là một đẳng cấu và ánh xạ ngược xác định như sauDo đó f là một đẳng cấu và ánh xạ ngược xác định như sau1 1( , , ) (6 4 8 ,2 , 4 3 5 )

2f x y z x y z x y z x y z− = − + − + − + −

Cho đa thức 2( ) 2 4 3p t t t= − +

Ma trận chính tắc của p( f ) là

225 2 34

( ) 2 4 3 21 4 287 4 8

p A I A A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= − + = ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 35


5.4.2 Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau

Giả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính1

1'ijT t⎡ ⎤= ⎣ ⎦

BB

là ma trận

chuyển cơ sở

{ }1 1,..., ne e=B sang { }nee ',...,'' 11=B của V

[ ] 2

2'kiP p= BB { }2 1,..., mω ω=B { }m',...,'' 12 ωω=B của W

B[ ] 2

1A f= B

B là ma trận của f

trong cơ sở[ ] 2

1

'''A f= B

B

1 2,B B

1 2' , 'B B

[ ] [ ] [ ] 12 2 2

1 12 1

''' 'ki ijp f f t⎡ ⎤= ⎣ ⎦

BB B BB BB B

Hoặc 'PA AT= 1'A P AT−=

23/09/2013 36

10


[ ] 2

2' 1'

m

ki i ki ki

P p p=

= ⇒ω = ω∑BB

1

1' 1'

n

ij j ij ii

T t e t e=

⎡ ⎤= ⇒ =⎣ ⎦ ∑BB

⎞⎛⎞⎛

[ ] [ ]2

1 1( )

m

ki i ki km ni

A f a f e a×=

= = ⇒ = ω∑BB

[ ] 2

1

''

1' ' ( ' ) ' '

m

ij j ij im ni

A f a f e a×

=

⎡ ⎤= = ⇒ = ω⎣ ⎦ ∑BB

∑ ∑ ∑∑∑= = ===

ω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ω=ω=

m

i

m

kk

m

iijki

m

kkkiij

m

iiijj appaaef

1 1 111'''')'(

1 1 1 1 1 1( ' ) ( )

n n n m m n

j ij i ij i ij ki k ki ij ki i i k k i

f e f t e t f e t a a t= = = = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ω = ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑

suy ra1 1

' ; 1,..., ; 1,...,m n

ki ij ki iji i

p a a t j n k m= =

= ∀ = =∑ ∑ 'PA AT=

23/09/2013 37


Đặc biệt nếu f là tự đồng cấu của không gian véc tơ VGọi A, A’ là ma trận của f trong hai cơ sở B, B ’ và T là ma trận

chuyển từ cơ sở B sang B ’ thì ATTA 1' −=

[ ] [ ] [ ]1 '

' ' ' 'ij ij ij ijf t f t t f t−

⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠B B B B

B B BB B B BH i t ậ A B đ i là đồ d ế tồ t i t ậ khôHai ma trận A, B được gọi là đồng dạng nếu tồn tại ma trận không suy biến T sao cho B = T−1ATHai ma trận của một tự đồng cấu bất kỳ trong hai cơ sở khác nhaulà đồng dạngNếu A, B đồng dạng thì detA = det B . Vì vậy ta có thể định nghĩa định thức của một tự đồng cấu f là

[ ]det detf f= B

23/09/2013 38


Ví dụ 5.14

Tự đồng cấu tuyến tính f có ma trận trong cơ sở B = {e1, e2, e3, e4}

1 2 0 13 0 1 22 5 3 11 2 1 3

A

⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Ta tìm ma trận A’ của f trong cơ sở B’ = {e1, e3, e2, e4}Đặt 1 1 2 3 3 2 4 4' , ' , ' , 'e e e e e e e e= = = =Đặt 1 1 2 3 3 2 4 4, , ,

1 1 1 2 3 4 1 2 3 4( ' ) ( ) 3 2 ' 2 ' 3 ' 'f e f e e e e e e e e e= = + + + = + + +

2 3 2 3 4 2 3 4( ' ) ( ) 3 3 ' ' 'f e f e e e e e e e= = − + + = − +

3 2 1 3 4 1 2 4( ' ) ( ) 2 5 2 2 ' 5 ' 2 'f e f e e e e e e e= = + + = + +

4 4 1 2 3 4 1 2 3 4( ' ) ( ) 2 3 ' ' 2 ' 3 'f e f e e e e e e e e e= = + + + = + + +

1 0 2 12 3 5 1

'3 1 0 21 1 2 3

A

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 39


Hoặc áp dụng công thức

Gọi T là ma trận chuyển cơ sở B = {e1, e2, e3, e4}sang cơ sở B’ = {e1, e3, e2, e4}

1 0 0 00 0 1 00 1 0 0

T

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥

1'A T AT−=

1

1 0 0 00 0 1 00 1 0 0

T −

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 00 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0

→

1 2 0 1 1 0 0 0 1 0 2 13 0 1 2 0 0 1 0 3 1 0 22 5 3 1 0 1 0 0 2 3 5 11 2 1 3 0 0 0 1 1 1 2 3

AT

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 0 0 0 1 2 0 1 1 0 0 00 0 1 0 3 0 1 2 0 0 1 00 1 0 0 2 5 3 1 0 1 0 00 0 0 1 1 2 1 3 0 0 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 0 2 12 3 5 13 1 0 21 1 2 3

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=

−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 1 0 00 0 0 1⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 1 0 00 0 0 1⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1

1'A T AT−=

23/09/2013 40

11


Ví dụ 5.15 Hai ánh xạ tuyến tính 2 3:f →R R 3 2:g →R R

( , ) ( 2 , , 3 4 )f x y x y x x y= − − + ( , , ) ( 2 5 ,3 4 )g x y z x y z x y= − − +

Ma trận chính tắc của f và g:1 21 03 4

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

1 2 53 4 0

B− −⎡ ⎤

= ⎢ ⎥⎣ ⎦

3 4−⎢ ⎥⎣ ⎦

Ma trận chính tắc của g◦ f : 14 227 6

BA−⎡ ⎤

= ⎢ ⎥−⎣ ⎦

Định thức14 22

det( ) 707 6

g f−

= =−

o

23/09/2013 41


5.4.3 Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tínhGiả sử f : V → W là một ánh xạ tuyến tính

B = {e1, … , en} là một cơ sở của V

B’ = {ω1, … , ω m} là một cơ sở của W

( ) ( ) là t độ ủ V t ở B(x1, … , xn) = (v)B là tọa độ của v∈V trong cơ sở B

(y1, … , ym) = ( f (v))B ’ là tọa độ của f (v)∈W trong cơ sở B’

1

n

i ii

v x e=

= ∑1

( )m

k kk

f v y=

= ω∑1

( )m

i ki kk

f e a=

= ω∑

[ ] 'ij m n

f a×

⎡ ⎤= ⎣ ⎦BB là ma trận của f trong cơ sở B , B’

23/09/2013 42


Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính f trong cơ sở B và B’

1

n

i ii

v x e=

= ∑1

( )m

k kk

f v y=

= ω∑1

( )m

i ki kk

f e a=

= ω∑

1 1 1 1 1( ) ( )

n n m m n

i i i ki k ki i ki i k k i

f v x f e x a a x= = = = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = ω = ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑ ∑

[ ] [ ] [ ]''( )f v f v= B

B B B

1 1

ij m n

m n

y xa

y x×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤⇒ = ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M M1

n

k ki ii

y a x=

⇒ =∑

23/09/2013 43


5.4.4 Ánh xạ tuyến tính và hệ phương trình tuyến tính

Đẳng thức1 1

ij m n

m n

y xa

y x×

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤= ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M M

y a x a x= + +⎧có thể viết dưới dạng hệ phương trình tuyến tính

1 11 1 1

1 1

.......................................

...

n n

m m mn n

y a x a x

y a x a x

= + +⎧⎪⎨⎪ = + +⎩

Điều này cho phép giải quyết các bài toán về ánh xạ tuyến tínhthông qua hệ phương trình tuyến tính

23/09/2013 44

12



B = {e1, … , en} là một cơ sở của VB’ = {ω1, … , ω m} là một cơ sở của W

Tìm Im f : 1 1, m mb W b b b∈ = ω + + ωL

11 1 1 1... n na x a x b+ + =⎧⎪

1 1

Im .....................................m mn n m

b fa x a x b

⎪∈ ⇔ ⎨⎪ + + =⎩

có nghiệm

Tìm Ker f : 1 1 n nv x e x e V= + + ∈L

11 1 1

1 1

... 0Ker .................................

... 0

n n

m mn n

a x a xv f

a x a x

+ + =⎧⎪∈ ⇔ ⎨⎪ + + =⎩

Hệ phương trình

23/09/2013 45


Ví dụ 5.16 Cho ánh xạ tuyến tính 3 2:f →P P xác định bởi

2 30 1 2 3 0 1 2 3 0 1 2 3

20 1 2 3

( ) (5 2 3 ) (4 2 3 )

( 2 )

f a a t a t a t a a a a a a a a t

a a a a t

+ + + = + − + + + − +

+ + − −

Đặt 2 3 20 1 2 3 0 1 2( )f a a t a t a t b b t b t+ + + = + +

Biểu thức tọa độ của f trong cơ sở chính tắc có dạng ma trận

00

11

22

3

5 2 3 14 1 2 31 1 1 2

ab

ab

ab

a

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

Dạng phương

trình

0 0 1 2 3

1 0 1 2 3

2 0 1 2 3

5 2 34 2 3

2

b a a a ab a a a ab a a a a

= + − +⎧⎪ = + − +⎨⎪ = + − −⎩

23/09/2013 46


2 2 30 1 2 0 1 2 3Im : ( )q b b t b t f p a a t a t a t f p q= + + ∈ ⇔∃ = + + + =

Điều này tương đương hệ phương trình sau có

nghiệm

0 1 2 3 0

0 1 2 3 1

0 1 2 3 2

5 2 34 2 3

2

a a a a ba a a a ba a a a b

+ − + =⎧⎪ + − + =⎨⎪ + − − =⎩

0 2 2 15 2 3 1 1 1 1 2 2 1 0 7 2b b b b− − − − − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

00

11

22

3

5 2 3 14 1 2 31 1 1 2

ab

ab

ab

a

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

0 2 2 1

1 1 2 1 2

2 2 1 0 2 1 0

4 1 2 3 3 0 1 5 3 0 1 51 1 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0

b b b b bb b b b b b b

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ↔ − − ↔ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − + − + −⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi 2 1 0 0b b b+ − =2 2 2

0 1 2 1 2 1 2 1 2Im ( ) (1 ) (1 )q b b t b t f q b b b t b t b t b t= + + ∈ ⇔ = + + + = + + +

Vậy Im f có một cơ sở là { }21 21 , 1q t q t= + = +

23/09/2013 47


B = {1, t, t2, t3} là cơ sở chính tắc của P3Ta đã chứng minh được { f (1), f (t) , f (t2), f (t3)}là một hệ sinh của Im fDo đó mọi hệ con độc lập tuyến tính tối đại của{f (1), f (t), f (t2), f (t3) } là có sở của Im f

Ma trận chính tắc của f có hạng bằng 2, do đó hai véc tơ cột

5 2 3 14 1 2 31 1 1 2

−⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

Vậy Im f có các cơ sở là

Ma trận chính tắc của f có hạng bằng 2, do đó hai véc tơ cột độc lập bất kỳ của ma trận này đều là cơ sở của Im f

{ } { } { } { } { } { }1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4, , , , , , , , , , ,r r r r r r r r r r r rtrong đó

{ }2 2 2 21 2 3 45 4 , 2 , 3 2 , 1 3 2r t t r t t r t t r t t= + + = + + = − − − = + −

23/09/2013 48

13


Tương tự 2 30 1 2 3 Kerp a a t a t a t f= + + + ∈ khi và chỉ khi

0 1 2 3, , ,a a a a là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất:

0 1 2 30 1 3 1 0 3

0 1 2 30 2 3 2 0 3

0 1 2 3

5 2 3 02 7 0 2 7

4 2 3 03 5 0 3 5

2 0

a a a aa a a a a a

a a a aa a a a a a

a a a a

+ − + =⎧− + − = = +⎧ ⎧⎪ + − + = ↔ ↔⎨ ⎨ ⎨− + = = +⎩ ⎩⎪ + − − =⎩⎩

2 3 2 30 1 2 3 0 0 3 0 3 3Ker (2 7 ) (3 5 )p a a t a t a t f p a a a t a a t a t= + + + ∈ ⇔ = + + + + +

2 2 30 3(1 2 3 ) (7 5 )p a t t a t t t⇔ = + + + + +

Vậy Ker f có một cơ sở là { }2 2 31 21 2 3 ; 7 5p t t p t t t= + + = + +

23/09/2013 49


Nhận xét 5.3: Từ hai định lý 6.11, 6.12, hệ quả và các ví dụ trên ta thấy rằngmột bài toán về ánh xạ tuyến tính có thể chuyển sang bài toánma trận, bài toán hệ phương trình tuyến tính và ngược lại

Chẳng hạn để chứng minh định thức của ma trận A khác 0 tachỉ cần chứng minh tự đồng cấu tuyến tính f với A = [ f ]B là đơncấu hoặc toàn cấu hoặc hệ phương trình tuyến tính tương ứngcấu hoặc toàn cấu, hoặc hệ phương trình tuyến tính tương ứngcó duy nhất nghiệmdimKer f là chiều của không gian nghiệm của hệ phương trìnhthuần nhất có hạng của ma trận hệ số bằng hạng của f

dim ( ) dimKerV r f f= +

Áp dụng định lý chiều của không gian nghiệm hệ phương trìnhthuần nhất ta nhận được đẳng thức đã biết

23/09/2013 50


5.5 CHÉO HOÁ MA TRẬN

Trong phần này ta giải quyết bài toán:

Với tự đồng cấu tuyến tính f của không gian V, hãy tìm một cơsở của V để ma trận của f trong cơ sở này có dạng chéo

1λ⎡ ⎤1

n

λ

λ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

O

Bài toán trên cũng tương đương với bài toán: Cho ma trận A tìmma trận không suy biến T sao cho T −1AT có dạng chéo

23/09/2013 51


Không gian con W của không gian V được gọi là bất biến đối vớitự đồng cấu f của V nếu f(W) ⊂W

5.5.1 Không gian con bất biến

Giả sử dimW = k, ta có thể chọn cơ sở của V sao cho ma trậncủa f trong cơ sở này có dạng

Nếu V = W1 ⊕ W2, W1, W2 bất biến đối với f thìcó thể chọn cơ sở để ma trận của f có dạng

23/09/2013 52

14


5.5.2 Véc tơ riêng, giá trị riêngλ được gọi là giá trị riêng của ma trận A=[aij]n×n nếu tồn tại x1, … , xn không đồng thời bằng 0 sao cho

1 1x xA

x xλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M M hay ( )1 0

0

xA I

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− λ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

M M (6.30)

n nx x⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦Khi đó v=(x1, … , xn)∈Rn được gọi là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của ma trận A

0nx⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Như vậy các véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ là các nghiệm khác không của phương trình thuần nhất (6.30). Không gian nghiệm của (6.30) được gọi là không gian riêng ứng với giá trị riêng λ

23/09/2013 53


λ được gọi là một giá trị riêng của tự đồng cấu f nếu tồn tạivéc tơ v∈V, v≠0 sao cho f (v) = λvv là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ

Ví dụ 5.17

a) Xét ánh xạ đồng nhất IdV: V → V. Với mọi v∈V, IdV(v) =vVậy 1 là một giá trị riêng của IdV

b) f : R2 → R2 xác định bởi: f (x,y) = (3x − y, −2x + 4y)Dễ dàng thấy f (x,x) = 2(x,x)Vậy 2 là một giá trị riêng và mọi véc tơ v = (x,x); x ≠ 0 là véc tơ riêng tương ứng

23/09/2013 54


c) Phép quay góc θ2 2:fθ →R R

( , ) ( , ) ( cos sin , sin cos )x y f x y x y x yθ θ θ θ θ= − +a

v( )f v

θ

• Khi 0θ = , fθ là ánh xạ đồng nhất 2Id : chỉ có giá trị riêng là 1.

• Khi θ = π, fθ: chỉ có giá trị riêng là 1− .

• Khi 0,θ ≠ π, fθ không có giá trị riêng.

23/09/2013 55


Cho tự đồng cấu f của V. Với mỗi λ∈R, ký hiệu

{ } ( )( ) Ker IdVV v V f v v fλ λ λ= ∈ = = −

Định lý 5.14

1) λ là giá trị riêng của f khi và chỉ khi Vλ ≠ {0}

2) Nếu λ là giá trị riêng của f thì mọi véc tơ v ≠ 0 của Vλđều là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ

3) Với mọi λ, không gian con Vλ bất biến đối với f

( ) ( ( )) ( ) ( ) ( )v V f v v f f v f v f v f v Vλ λ∀ ∈ ⇒ = λ ⇒ = λ = λ ⇒ ∈

23/09/2013 56

15


Nhận xét 5.4

Cho f ∈ End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A = [ f ]B

Khi đó v∈V là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của f khi và

chỉ khi (v )B là véc tơ riêng ứng với giá trị riêng λ của A

Nghĩa là

( ) ( )1

1

0; ( ,..., ), : ( )

0n

n

xv V v x x v f v v A I

x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥∈ = ≠ = λ ⇔ −λ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

0 M MB

23/09/2013 57


5.5.3 Đa thức đặc trưng

A là một ma trận vuông cấp n. Định thức

( ) det( )A Iλ λ= −Plà một đa thức bậc n của λ được gọi là đa thức đặc trưng của A

C f E d(V) B ở ủ V A [ f ]Cho f ∈ End(V), B là một cơ sở của V. Đăt A = [ f ]B

Khi đó định thức

( )( ) det Id det( )Vf A Iλ λ λ= − = −Pkhông phụ thuộc vào cơ sở của V, cũng được gọi là đa thứcđặc trưng của f

23/09/2013 58


Định lý 5.15

λ0 là giá trị riêng của A (tương ứng của f ) khi và chỉ khi λ0 lànghiệm của đa thức đặc trưng của A (tương ứng của f )

0λ là giá trị riêng khi và chỉ khi { }0

Vλ ≠ 0 Điều này tương đương với các điều sau:

a) Ánh xạ 0 IdVf λ− không đơn cấu

b) Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất ( )1

0

0

0n

xA I

xλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

M M có nghiệmkhông tầm thường

Vậy 0λ là giá trị riêng khi và chỉ khi ( )0 IdVr f nλ− <

do đó ( )0det Id 0Vf λ− = hoặc ( )0det 0A Iλ− = Nghĩa là 0( ) 0λ =P

23/09/2013 59


Ví dụ 5.18

Tìm véc tơ riêng và giá trị riêng của tự đồng cấu của khônggian R2 (ví dụ 6.13)

ó t ậ hí h tắ3 1

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥

f : R2 → R2 xác định bởi: f (x,y) = (3x − y, −2x + 4y)

Đa thức đặc trưng

3 1 2 1 2 1( ) (2 )(5 )

2 4 2 4 0 5− λ − − λ − − λ −

λ = = = = − λ − λ− − λ − λ − λ − λ

P

có ma trận chính tắc 2 4

A = ⎢ ⎥−⎣ ⎦

23/09/2013 60

16


Véc tơ riêng v = (x,y) ứng với giá trị riêng λ1 = 2 là nghiệm của hệ

( )100

xA I

yλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦hay

3 2 1 02 4 2 0

xy

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Hệ phương trình tương đương với phương trình 0x y y x− = ⇒ =

Vậy v = (x,x) = x (1,1) , x ≠ 0

Véc tơ riêng v = (x,y) ứng với giá trị riêng λ2 = 5 là nghiệm của hệ

( )200

xA I

yλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦hay

2 1 02 1 0

xy

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Hệ phương trình tương đương với phương trình

Vậy v = (x, − 2x) = x (1, − 2) , x ≠ 02 0 2x y y x+ = ⇒ = −

23/09/2013 61


Ví dụ 5.19 Phép quay góc θ có công thức xác định ảnh

( , ) ( cos sin , sin cos )f x y x y x yθ θ θ θ θ= − +


( ) 2 2cos sin( ) det Id (cos ) sin

sin cosVfθ λ θ

λ λ θ λ θθ θ λ− −

= − = = − +−

P

Do đó fθ chỉ có giá trị riêng khi

2

0cos 1

sin 01

θλ θ λ

θ πθλ

⎡ =⎧⎨⎢= =⎧ ⎩⎢⇒⎨ ⎢ == ⎧⎩ ⎢⎨ = −⎢⎩⎣

23/09/2013 62


Định lý 5.15

Mọi tự đồng cấu f trong không gian thực n chiều (n ≥ 1) đều cóít nhất một không gian con bất biến một chiều hoặc hai chiều

i. Nếu đa thức đặc trưng có nghiệm thực λ0 do đó tồn tại véc tơ riêng v0 ≠ 0Khô i ột hiề i h bởi { } bất biế đối ới fKhông gian con một chiều sinh bởi {v0} bất biến đối với f

ii. Nếu đa thức đặc trưng có nghiệm phức λ1= a + ib

Suy ra tồn tại hệ hai véc tơ {v,u} độc lập thỏa mãn

( )( )

f v av buf u bv au

= −⎧⎨ = +⎩

W = span{v, u} là không gian con hai chiều bất biến đối với f

23/09/2013 63


Trường hợp phương trình ( ) 0λ =P không có nghiệm thực thì có ít nhất một nghiệm phức 1 a ibλ = +

Xét hệ phương trình tuyến tính phức [ ]1

1

0

0n

zA I

zλ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

M M

Vì ( )1det 0A I− λ = nên hệ phương trình tồn tại nghiệm 1, ..., nz z không đồng thời bằng 0

Hệ h t ì h à khô thể ó hiệ th ì ế thHệ phương trình này không thể có nghiệm thực vì nếu 1, ..., nz z thực

thì1

n

zA

z

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M thực nhưng 1

( )

n

za ib

z

⎡ ⎤⎢ ⎥+ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

M phức, vô lý

Giả sử 1 1 1, ... , n n nz x iy z x iy= + = + thì

nxx ,...,1 không thể đồng thời bằng 0 (vì nếu 1 ... 0nx x= = = thì

nyy ,...,1 là nghiệm thực của phương trình)

23/09/2013 64

17


nyy ,...,1 không thể đồng thời bằng 0 (vì nếu 1 ... 0ny y= = = thì

nxx ,...,1 là nghiệm thực của phương trình) nxx ,...,1 và nyy ,...,1 không tỉ lệ

Nếu 1 1, ... , n nx ky x ky= = thì 1 1( ,... , ) ( )( ,..., )n nz z k i y y= +

[ ] [ ]( ) [ ]1 1 1

1 1 1

0 0

0 0n n n

z y yA I A I k i A I

z y yλ λ λ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − + = ⇒ − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

M M M M M

Đặt 1 1 1 1... , ...n n n nv x e x e u y e y e= + + = + +vì 1,..., nx x và 1,..., ny y không đồng thời bằng 0 và không tỉ lệ nên hệ hai véc

tơ { },v u độc lập

1 1 1 1 1 1 1 1

( )

n n n n n n n n

x y x y x y x yA i a ib i a b i b a

x y x y x y x y

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ = + + = − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

M M M M M M M M

( )( )

f v av buf u bv au

= −⎧⇒ ⎨ = +⎩

Do đó { }span ,W v u= là không gian con hai chiều bất biến đối với f

23/09/2013 65


5.5.4 Tự đồng cấu chéo hoá được

Tự đồng cấu f của không gian véc tơ V chéo hoá được nếutồn tại một cơ sở của V để ma trận của f trong cơ sở này códạng chéo

Như vậy f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở củaNhư vậy f chéo hoá được khi và chỉ khi tồn tại một cơ sở của

V gồm các véc tơ riêng của f

Ma trận vuông A chéo hoá được nếu tồn tại ma trận không

suy biến T sao cho T −1AT là ma trận chéo

23/09/2013 66


Định lý 5.16 Giả sử v1, … , vm là các véc tơ riêng ứng với các giá trị riêngphân biệt λ1, … , λm của tự đồng cấu f (hoặc ma trận A) thì hệvéc tơ {v1, … , vm} độc lập tuyến tính

Ta chứng minh quy nạp theo k rằng hệ { }1,..., kv v độc lập tuyến tính với 1 k m≤ ≤

Giả sử hệ { }1,..., kv v với 1 1k m≤ ≤ − độc lập tuyến tính

1 1 1 1... k k k kx v x v x v+ ++ + + = 0 (*)

1 1 1 1 1 1 1 ! 1 1( ... ) ...k k k k k k k k k kf x v x v x v x v x v x v+ + + + +⇒ + + + = ⇒ λ + + λ + λ =0 0 (**)

Nhân 1k+λ vào (*) rồi trừ cho (**) ta được

1 1 1 1 1( ) ... ( )k k k k kx v x v+ +λ − λ + + λ −λ = 0

Vì { }1,..., kv v độc lập và các 1,..., mλ λ khác nhau từng đôi một suy ra

1 1... 0 0k kx x x += = = ⇒ =

23/09/2013 67


Hệ quả 5.17Nếu đa thức đặc trưng của tự đồng cấu f trong không gian nchiều V (hoặc ma trận A vuông cấp n) có đúng n nghiệm thựcphân biệt thì f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được

Vì đa thức đặc trưng có đủ n nghiệm thực phân biệt nên n véc tơ riêng tươngứng với n giá trị riêng này là một hệ độc lập, do đó là một cơ sở của V gồm

Hệ quả 5.18 Giả sử 11( ) ( 1) ( ) ...( ) kmmn

kλ λ λ λ λ= − − −Pm1 +… + mk = n và các giá trị λ1, … , λk khác nhau từng đôi một

Khi đó f (tương ứng ma trận A) chéo hoá được khi và chỉ khi

dim ; 1,...,i iV m i kλ = ∀ =

g g ị g y ộ ệ ộ ập, ộ gcác véc tơ riêng của f. Vậy f chéo hoá được

23/09/2013 68

18


( ) :⇐ Trong mỗi i

Vλ ta chọn một cơ sở gồm im véc tơ

Hệ n véc tơ gộp lại từ các véc tơ của các cơ sở vừa chọn là một hệ độc lậptuyến tính, do đó hệ này là một cơ sở của V gồm các véc tơ riêng của fVậy f chéo hoá được

( )⇒ : Giả sử f chéo hoá được, khi đó tồn tại cơ sở gồm các véc tơ riêng để ma trận f có dạng chéo

1μ⎡ ⎤1

n

μ

μ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

O 1( ) ( 1) ( )...( )nnλ λ μ λ μ⇒ = − − −P

Do đó các giá trị riêng 1,..., nμ μ phải trùng với 1,..., kλ λ

Vì vậy trong các giá trị riêng 1 , ..., nμ μ có đúng im giá trị bằng iλ , với 1, ...,i k= và có đúng im véc tơ riêng độc lập ứng với giá trị riêng iλ

Nói cách khác dimi iV mλ =

23/09/2013 69


5.5.5 Thuật toán chéo hoá

Bước 1: Viết đa thức đặc trưng dạng

11( ) ( ) ...( ) ( )kmm

k Qλ λ λ λ λ λ= − −Ptrong đó Q(λ) là đa thức không có nghiệm thực

Nếu 1 km m n+ + <L (khi bậc của ( )Q λ 2≥ ): không chéo hóađược

Nếu 1 km m n+ + =L thì chéo hóa được. 1,..., kλ λ là các giátrị riêng; tiếp tục bước 2

23/09/2013 70


Bước 2: Với mỗi giá trị riêng λi tìm một cơ sở của không gianriêng Vλi

là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất

Các véc tơ riêng có1 1 ... n nv x e x e= + + ( )1 ,..., nx x

1 0x⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥[ ]

0i

n

A Ix

λ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

M M ( )dimi i iV d n r A Iλ λ= = − −

Nếu ii md < với i nào đó, ki ≤≤1 thì f không hoá chéo được

Nếu ii md = , :1i i k∀ ≤ ≤ . Tiếp tục bước 3

23/09/2013 71


Bước 3: Với mỗi giá trị riêng λi ; i = 1, … , k ta đã chọn được

mi véc tơ riêng độc lập tuyến tính

Gộp tất cả các véc tơ này ta được hệ gồm m1 +… + mk = n véctơ riêng độc lập, đó là cơ sở B’ cần tìm

Ma trận T có các cột là tọa độ của hệ véc tơ B’

Ví dụ 5.21

Chéo hóa ma trận2 1 09 4 68 0 3

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= ⎢ ⎥− −⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 72

19


2 1 0 3 3 3( ) 9 4 6 9 4 6

8 0 3 8 0 3

λ λ λ λλ λ λ

λ λ

− − − − −= − = −

− − − − − −P

1 0 0

Đa thức đặc trưng của A

1 0 05 3

(3 ) 9 5 3 (3 )8 5

8 8 5

λλ λ λ

λλ

+ −= − − − − = −

−− −

Do đó A có các giá trị riêng 1 2 31, 1, 3λ λ λ= − = =

( )2(3 ) ( 25) 24 ( 1)( 1)(3 )λ λ λ λ λ= − − + = + − −

23/09/2013 73


Giá trị riêng λ = − 1 có véc tơ riêng v = (x,y,z) là nghiệm củahệ phương trình

3 1 0 09 5 6 08 0 2 0

xyz

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Ta có

3 1 0 3 1 0 3 1 0− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥9 5 6 0 0 0 0 0 0

8 0 2 8 0 2 4 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥↔ ↔⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ

3 0 34 0 4

x y y xx z z x− = =⎧ ⎧

⇒⎨ ⎨+ = = −⎩ ⎩

( ) )4,3,1(4,3, −=−= xxxxvchọn )4,3,1('1 −=e

23/09/2013 74


Giá trị riêng λ = 1 có véc tơ riêng v = (x,y,z) là nghiệm của hệphương trình

Ta có

1 1 0 09 3 6 08 0 4 0

xyz

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 0 1 1 0 1 1 0− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ

9 3 6 9 3 6 0 0 08 0 4 2 0 1 2 0 1

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥↔ ↔⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

02 0 2x y x y

x z z x− = =⎧ ⎧

⇒⎨ ⎨+ = = −⎩ ⎩

( ) )2,1,1(2,, −=−= xxxxvchọn )2,1,1('2 −=e

23/09/2013 75



Ta cóVậy hệ phương trình trên

1 1 0 09 1 6 08 0 6 0

xyz

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ1 1 0 1 1 0

9 1 6 0 0 08 0 6 4 0 3

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥↔⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0 44 3 0

3

x yx yx z z x

= −⎧+ =⎧ ⎪⇒⎨ ⎨ −+ = =⎩ ⎪⎩4, , (3, 3, 4)3 3

xv x x x−⎛ ⎞= − = − −⎜ ⎟⎝ ⎠

chọn 3' (3, 3, 4)e = − −

23/09/2013 76

20


Cơ sở mới gồm các véc tơ riêng { }1 2 3' , ' , '' e e e=B

Ma trận chuyển cơ sở

1 1 33 1 3T

⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥

)4,3,1('1 −=e )2,1,1('2 −=e 3' (3, 3, 4)e = − −

ậ y 3 1 34 2 4

T ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥⎣ ⎦

Ma trận chéo 11 0 0

0 1 00 0 3

T AT−−⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

23/09/2013 77


Ví dụ 5.22 Xét tự đồng cấu 3 3:f → xác định bởi

( )( , , ) 3 2 , 2 3 ,f x y z x y x y z= − − +

Ma trận chính tắc 3 2 02 3 0

0 0 1A

−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦Đa thức đặc trưngặ g

3 2 0 1 2 0( ) 2 3 0 1 3 0

0 0 1 0 0 1

λ λλ λ λ λ

λ λ

− − − −= − − = − −

− −P

21 2 0

0 5 0 (5 )( 1)0 0 1

λλ λ λ

λ

− −= − = − −

−

23/09/2013 78



Vậ hệ h t ì h t ê t đ ới hệ

2 2 0 02 2 0 0

0 0 4 0

xyz

− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦Vậy hệ phương trình trên tương đương với hệ

0

0 0x y x y

z z+ = = −⎧ ⎧

⇒⎨ ⎨= =⎩ ⎩

( ) )0,1,1(0,, −=−= yyyv chọn )0,1,1('1 −=e

23/09/2013 79



Vậy hệ phương trình trên tương đương với phương trình

2 2 0 02 2 0 0

0 0 0 0

xyz

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

0;x y− =z tuỳ ý

( ) (1 1 0) (0 0 1)v x x z x z= = +( ), , (1,1,0) (0,0,1)v x x z x z= = +

chọn 2' (1,1,0)e = 3' (0,0,1)e = Chọn cơ sở { }1 2 3' ' , ' , 'e e e=B

1 1 2 2 3 3( ' ) 5 ' , ( ' ) ' , ( ' ) 'f e e f e e f e e= = =

Ma trận của f trong cơ sở B ’ có dạng [ ] '

5 0 0' 0 1 0

0 0 1A f

⎡ ⎤⎢ ⎥= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

B

23/09/2013 80

21


Ví dụ 5.23 Cho tự đồng cấu 2 2:f →P P có công thức xác định ảnh2 2

0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 1 2( ) ( ) ( ) ( )f a a t a t a a a a a a t a a a t+ + = − + + + − + + + −Ma trận chính tắc

1 1 11 1 1A−⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥


21 1 11 1 1 (1 )( 2)λ

λ λ λ− −

− − = − +1 1 1−⎢ ⎥⎣ ⎦ 1 1 1 λ− −

Véc tơ riêng 20 1 2p a a t a t= + + ≠ 0 ứng với giá trị riêng 1 1λ = là

nghiệm khác không của hệ phương trình thuần nhất

0

1

2

2 1 1 01 2 1 01 0 2 0

aaa

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 1 1 2 1 1 1 0 11 2 1 3 3 0 1 1 01 1 2 0 0 0 0 0 0

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

↔ ↔

23/09/2013 81


Vậy hệ phương trình trên tương đương với 0 2 0 2

0 1 0 1

0

0a a a a

a a a a− + = =⎧ ⎧

⇒⎨ ⎨− = =⎩ ⎩

12 2

0 0 0 0(1 )p V p a a t a t a t tλ∈ ⇔ = + + = + + chọn 21' 1p t t= + +

Véc tơ riêng 20 1 2p a a t a t= + + ≠ 0 ứng với giá trị riêng 2 2λ = − là

nghiệm khác không của hệ phương trình thuần nhất

01 1 1 0a⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤0

1

2

1 1 1 01 1 1 01 1 1 0

aaa

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Hệ phương trình trên tương đương với phương trình: 0 1 2 0a a a+ + =

22 2

1 2 1 2 1 2( 1 ) ( 1 )p V p a a a t a t a t a tλ∈ ⇔ = − − + + = − + + − +

chọn 22 3' 1 , ' 1p t p t= − + = − +

23/09/2013 82


Gồm các véc tơ riêng2

1' 1p t t= + + 2' 1p t= − + 23' 1p t= − +

Xét cơ sở { }1 2 3' ' , ' , 'p p p=B

1 1( ' ) 'f p p=Thỏa mãn

2 2( ' ) 2 'f p p= − 3 3( ' ) 2 'f p p= −1 1( )f p p

[ ] '

1 0 0' 0 2 0

0 0 2A f

⎡ ⎤⎢ ⎥= = −⎢ ⎥

−⎢ ⎥⎣ ⎦B

2 2( ) 2f p p 3 3( ) 2f p p

Ma trận của f trong cơ sở B ’ có dạng

23/09/2013 83


Ví dụ 5.24Xét ma trận

1 3 44 7 86 7 7

A−⎡ ⎤

⎢ ⎥= −⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦

Đa thức đặc trưng1 3 4 1 3 4 5 3 4

( ) 4 7 8 2 2 1 0 (1 ) 0 1 0λ λ λ

λ λ λ λ λ− − − − − − −

= − − = + − − = + −P

Đa thức đặc trưng có nghiệm λ1 = − 1 (kép) và λ2 = 3

( ) ( )6 7 7 6 7 7 8 7 7λ λ λ− − − − − − −

21 3 4 1 3 4

(1 ) 0 1 0 (1 ) 0 1 0 (3 )( 1)1 7 7 0 4 3

λ λλ λ λ λ

λ λ λ

− − − − − −= + − = + − = − +

− − − − − −

23/09/2013 84

22


Đa thức đặc trưng có nghiệm λ1 = − 1 (kép) và λ2 = 3

Giá trị riêng λ = − 1 có véc tơ riêng v = (x,y,z) là nghiệm của hệphương trình

2 3 4 04 6 8 06 7 8 0

xy

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 3 4 2 3 4 2 0 24 6 8 0 0 0 0 0 06 7 8 0 2 4 0 1 2

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ↔ ↔⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦6 7 8 0z−⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ),2 , (1,2,1)v z z z z⇒ = =

Không gian riêng { }1 1

(1,2,1) , dim 1 2V z z Vλ λ= ∈ = <R

Vì vậy ma trận không chéo hoá đượcBÀI TẬP

hệ có nghiệm2y z

x z=⎧

⎨ =⎩

6 7 8 0 2 4 0 1 2⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

23/09/2013 85

5.1 khÁi ni m Ánh x tuy ntÍnh 5.1.1 Định ngh avàvíd · 3 chƯƠng 5: Ánh x Ạ tuyẾn...

Documents