Nizovi

• 1, 2, 3, …, n, …

• 7,6,5,4,3,2,1,0

Def.Ako su elementi nekog skupa pridruženi skupu prirodnihbrojeva, tako da znamo koji je element zadanog skupaprvi, koji drugi itd., kažemo da je taj skup niz.

Def.Konačnim nizom realnih brojeva nazivamo funkciju

koju zapisujemo uređenom listombrojeva:

gdje je . Pri tome je opći član.na

Rka →},...,2,1{:

,,...,,, 321 kaaaa

( ) { }knnaan ,...,2,1, ∈=

Def.Beskonačnim nizom realnih brojeva nazivamo funkciju

kojoj je domena skup N, a kodomena skup R.

Primjer:1. Ispišite prvih 5 članova niza zadanog općim članom

(rekurzivnom formulom)

a)

b) pri čemu je 21 −=a

RNa →:

( ) nn

na 21 ⋅−=

nn aa ⋅−=+

21

Aritmetički niz

Niz je aritmetički ako je razlika između svakog člana (osim prvog) i člana ispred njega stalna i iznosi d:

an - an-1 = d, n > 1.Broj d naziva se razlika (diferencija) aritmetičkog niza.

Primjer:

a) 7, 10, 13, 16, 19

b) 2, 0, -2 ,-4, -6

Opći član aritmetičkog niza:

Aritmetički niz dobio je naziv zato je što svaki njegov član, osim prvog i posljednjeg, aritmetička sredina dvaju njegovih susjednih članova.

Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza dan je formulom:

Primjer:

Zbrojite prvih 100 prirodnih brojeva.

( )dnaan 11 −+=

2

11 −++

= nnn

aaa

( )nn aan

S += 12

• Zadaci:

1. Odredite aritmetički niz ako je:

a)

b)

2. Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza je 165. Ako je

koliki je n?

3 ,2 4673 =−=+ aaaa

5 ,7 62753 =+=++ aaaaa

1 ,10 41 −=−= aa

Kamatni račun

• Kamate su naknada koju plaća dužnik za posuđenu glavnicu (iznos novca ili kakvog drugog dobra) na određeno vrijeme.

• Razdoblje ukamaćivanja je vremensko razdoblje za koje se obračunavaju kamate, npr. godišnji, polugodišnji, kvartalni...

• Obračun kamata može biti:– dekurzivni

– anticipativni

• Kamatnjak (godišnja kamatna stopa) je iznos kamata od 100 novčanih jedinica za neki vremenski interval.

• Kamate mogu biti: – jednostavne

– složene

Jednostavni dekurzivni kamatni

račun

• Kamate koje se izračunavaju za svako razdoblje kapitalizacije kroz vrijeme trajanja kapitalizacije od iste vrijednosti glavnice nazivaju se jednostavne kamate.

• Primjena: kratkoročni financijski poslovi (vrijednosni papiri, potrošački krediti…)

• Dekurzivni obračun kamata jest obračun kamata na kraju razdoblja ukamaćivanja od iste vrijednosti glavnice s početkom tog razdoblja.

• U jednostavnom kamatnom računu upotrebljavaju se oznake za slijedeće veličine:– C0 – glavnica

– p – godišnji dekurzivni kamatnjak (decimalni zapis)

– n – broj godina

– I – kamata

– Cn – konačna vrijednost glavnice (Cn = Co + I)

• Kamatu izračunavamo:

• Primjer:

1. Koliko iznose jednostavne kamate od glavnice 50.000,00kn za

razdoblje od tri godine i uz godišnji kamatnjak 8%? Obračun kamata

je dekurzivan.

2. Dužnik je vratio nakon jedne godine i šest mjeseci posuđeni iznos

6.000,00kn i jednostavne kamate 801,0 kn. Koliki je bio godišnji

kamatnjak? Obračun kamata je dekurzivan.

3. 25% neke glavnice uloženo je uz godišnji kamatnjak 5,2 na jedan kvartal, 30% uz godišnji kamatnjak 6 na 7 mjeseci, a ostatak uz godišnji kamatnjak 6,8 na jedan trimestar. Odredite iznos glavnice ako ukupne kamate na nju iznose 9.580,00 kn.

100

0npCI =

1. Za koje vrijeme glavnica od 6.000,00 ISK uložena uz godišnjikamatnjak 9 donese ukupne kamate u iznosu od:a) 1.080,00 kn (iskažite vrijeme u godinama); (2g)

b) 450,00 kn (iskažite vrijeme u mjesecima); (10 mjeseci)

2. Za koje se vrijeme glavnica od 7.500,00 kn uložena uz 8% godišnjihkamata uveća za 1.000,00 kn? Iskažite vrijeme u godinama,mjesecima i danima. (1 g 8 mj 0 d)

3. Za koje će vrijeme glavnica od 6.400,00kn uložena uz 7,5 godišnjukamatnu stopu donijeti isto toliko kamata kao i glavnica od4.000,00kn uložena uz kamatnjak 8 na 3 godine? (2)

4. Trećina neke glavnice uložena je na godinu dana uz godišnjukamatnu stopu 12%, šestina iste glavnice na jedno polugodište uzgodišnju kamatnu stopu 10%, a ostatak glavnice na jedan kvartaluz godišnju kamatnu stopu 8%. Odredite najmanji iznos uloženeglavnice tako da ukupan iznos kamata na nju bude najmanje5.000,00 kn. (85.714,29)

5. Neka osoba uložila je u dvije banke ukupno 14.000,00kn. Jednabanka koristi 7, a druga 7,5 kamatnjak. Koliko je uloženo u jednu, akoliko u drugu banku, ako su ukupne kamate 1.025,00kn?(5.000,00kn i 9.000,00kn)

6. Četvrtina glavnice uložena je uz 16% na 2 godine, trećina glavniceuz 10% na 6 mjeseci, a ostatak na 8 mjeseci uz 12%. Kolika jeglavnica ako su ukupne jednostavne kamate iznosile 3.900,00kn?(30.000,00kn)

7. Odredite konačnu vrijednost glavnice od 4.000,00 kn ukamaćenena:a) jedno polugodište uz godišnji kamatnjak 7; (4.140,00 kn)

b) tri kvartala uz godišnji kamatnjak 10; (4.300,00 kn)

c) sedam mjeseci uz godišnji kamatnjak 7,2; (4.168,00 kn)

d) 80 dana uz godišnji kamatnjak 10,95. (4.096,00 kn)

8. Odredite konačnu vrijednost glavnice od 10.000,00 USD uloženena dvije godine ako je godišnja kamatna stopa u prvoj godini 8%,a u drugoj 8,5%. (11.650,00 USD)

9. Mata je 13.05. posudio iznos od 15.000,00kn uz obračunjednostavnih dekurzivnih kamata i promjenjivu mjesečnukamatnu stopu. Dug treba vratiti 15.09. Mjesečni kamatnjak usvibnju je 1, u lipnju 1,5, u srpnju 2, u kolovozu 1,75 i u rujnu 2,2.Izračunajte veličinu duga na dan 15.09. (16.039,60kn)

10. Dvije glavnice su oročene istoga dana, ali na različito vrijemetrajanja kapitalizacije. Prva glavnica je za 20% manja od druge, aoročena je uz 10% veći godišnji kamatnjak. Kako se odnosevremena trajanja kapitalizacije tih glavnica ako:

a) obje glavnice donesu isti iznos kamata; (100:88)

b) prva glavnica donese 5% više kamata od druge; (119,32:100)

c) druga glavnica donese 5% više kamata od prve? (100:92,4)

Ordinirano i egzaktno vrijeme

• Ordinirano vrijeme (eng. ordinary time) – svaki mjesec ima točno 30 dana

• Egzaktno vrijeme (eng. exact time) – kalendarski broj dana

Primjer: Ako je kredit odobren na 6 mjeseci i pušten u tečaj 25. ožujka, odredite kolika je ročnost ovog kredita, mjereno u broju dana, ako se koristi ordinirano vrijeme, a koliko ako se koristi egzaktno vrijeme?

• Ordinirana kamata – obračun kamata na vrijeme jedne godine od 360 dana

• Egzaktna kamata – obračun kamata na vrijeme jedne godine od 365 (366) dana

• Za obračun i izračunavanje jednostavnih kamata za dane upotrebljavaju se tri (četiri) metode:

a) francuska metoda (bankarsko pravilo) – godina ima 360 dana, dani u mjesecu obračunavaju se prema kalendaru (egzaktno vrijeme/ordinirana kamata)

b) njemačka metoda – godina ima 360 dana, svaki mjesec 30 dana (ordinirano vrijeme/ordinirana kamata)

c) engleska metoda – godina ima 365 dana (prijestupna 366), dani u mjesecu obračunavaju se prema kalendaru (egzaktno vrijeme/egzaktna kamata)

d) egzaktno vrijeme/ordinirana kamata

Primjer: Kredit od 10.000,00kn odobren je na 8 mjeseci i pušten u tečaj 20. travnja 2011. godine uz 10% godišnjih kamata i dekurzivni obračun. Izračunajte kamatu na taj kredit primjenom:

a) francuske metode (675,00kn)

b) njemačke metode (666,67kn)

c) engleske metode. (665,75kn)

1. Tvrtka ''Rojs-gradnja'' podigla je kratkoročni zajam za obrtna sredstva u iznosu od 1.500.000,00 kn uz 7,5% godišnjih kamata za vrijeme od 10.01.20011 do 07.09.20011. Obračunajte kamate:a) engleskom metodom ; (73.972,60kn)

b) francuskom metodom; (75.000,00kn)

c) njemačkom metodom. (74.062,50kn)

2. Tvrtka ''Čačić–gradnja'' podigla je kratkoročni zajam za nabavu obrtnih sredstava u vremenu od 29.01.20011. do 24.09.20011. Iznos kredita je 900.000,00 kn, a stalan godišnji kamatnjak 8,5. Odredite ukupan iznos koji će tvrtka morati vratiti banci ako se kamate obračunavaju:a) engleskom metodom; (949.882,19kn)

b) francuskom metodom; (950.575,00kn)

c) njemačkom metodom. (949.937,50kn)

3. Tri nominalno jednake glavnice uložene su 17.04.2008. uz istigodišnji kamatnjak 7,32 u tri različite banke. Prva banka obračunavakamate engleskom metodom, druga francuskom, a trećanjemačkom. Odredite omjer konačnih vrijednosti tih glavnica23.12.2008. (1 : 1,0007937 : 1,000019)