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Hubert Schwetlicks Beitrage zur Numerik
Helmut Kleinmichel
email: [email protected]
Technische Universitat DresdenInstitut fur Numerische Mathematik
NM15. Februar 2002
Ehrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick
Der Student H. Schwetlick ( Oktober 1961 )
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 1
Graduierungsarbeiten
1960 – 1965: Studium der Mathematik an der TH / TU Dresden
1965: Diplomarbeit:
Zur Theorie und Anwendung der Halbordnung in der Nu-merischen Mathematik.
1967: Dissertation:
Spektraleigenschaften linearer positiver Operatoren und Feh-lerabschatzungen bei Operatorgleichungen.
TU Dresden
1976: Habilitation:
Uber die numerische Losung nichtlinearer Probleme.
TU Dresden
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 2
Wissenschaftliche Arbeiten (Ubersicht)
4 Mathematische Lehrbucher bzw. Monographien
46 Publikationen in mathematischen Journalen
16 Preprints
11 Beitrage zu wissenschaftlichen Konferenzen (Vortragsauszuge)
6 Beitrage zur Entwicklung von Software (Programmpakete)
7 Allgemeine Artikel (wissenschaftliche Ehrungen, Nachrufe, u.a.)
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 3
Lehrbucher und Monographien
• H. Schwetlick: Numerische Losung nichtlinearer Gleichungen. Mathema-tik fur Naturwissenschaft und Technik 17. 346 Seiten, Deut. Verlag d.Wiss., Berlin, 1979. Auch: R. Oldenbourg Verlag, Munchen-Wien, 1979.
• A. Kie lbasinski und H. Schwetlick: Numerische lineare Algebra. Einecomputerorientierte Einfuhrung. Mathematik fur Naturwissenschaft undTechnik 18. 472 Seiten, Deut. Verlag d. Wiss., Berlin, 1988. Auch: HarriDeutsch Verlag, Thun-Frankfurt, 1988.Polnische Ubersetzung: Numeryczna algebra liniowa. Wprowadzeniedo obliczen zautomatyzowanych. 502 Seiten, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa, 1992.
• H. Schwetlick und H. Kretzschmar: Numerische Verfahren fur Naturwis-senschaftler und Ingenieure. Eine computerorientierte Einfuhrung. Ma-thematik fur Ingenieure. 376 Seiten, Fachbuchverlag, Leipzig, 1991.
• H.-G. Roos und H. Schwetlick: Numerische Mathematik. Das Grundwis-sen fur jedermann. Mathematik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler.220 Seiten, Teubner, Stuttgart/Leipzig, 1999.
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Forschungsgebiete
• Numerische Verfahren fur nichtlineare Gleichungen(Newton-Typ-Verfahren fur regulare Losungen, Blockstrukturen, Ein-bettungsverfahren, Kurvenverfolgungsalgorithmen, Berechnung von sin-gularen Punkten, insbesondere von Ruckkehrpunkten)
• Numerische Verfahren fur Minimierungs- und Quadratmittelprobleme(Abstiegsverfahren, Trust Region Verfahren, Gauß-Newton-Verfahren)
• Nichtlineare Parameterschatzung(Modelle, Schatzkriterien, Numerische Algorithmen)
• Spline-Glattung(Splines mit freien Knoten)
• Eigenwert- und Singularwertberechnung(Verallgemeinerte Rayleigh-Quotienten- und Inverse Iteration)
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1. Nichtlineare Gleichungen
1.1 Newton-Typ-Verfahren fur regulare Losungen
F (x) = 0 , F : Rn→ Rn
• J. W. Schmidt und H. Schwetlick: Ableitungsfreie Verfahren mit hoherer Konvergenz-
geschwindigkeit. Computing, 3:215–226, 1968.
• H. Schwetlick: Asymptotische Einschließungen beim Newton-Verfahren. Z. Angew.
Math. Mech., 50:426–427, 1970.
• H. Schwetlick: Algorithmus 12: Ein ableitungsfreies Verfahren zur Losung endlichdi-
mensionaler nichtlinearer Gleichungssysteme. Computing, 5:82–88, 1970.
• H. Schwetlick: Uber die Realisierung und Konvergenz von Mehrschrittverfahren zur
iterativen Losung nichtlinearer Gleichungen. Z. Angew. Math. Mech., 54:479–493,
1974.
• H. Schwetlick: Uber n2-Schritt-Verfahren zur Losung nichtlinearer Gleichungen. Z.
Angew. Math. Mech., 54:822–825, 1974.
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1.2 Blockstrukturen
• A. Hoy and H. Schwetlick: Modified matrix factorizations for solvingsystems of nonlinear equations. Z. Angew. Math. Mech., 66:257–264,1986.
• H. Schwetlick, G. Timmermann, and R. Losche: Path following for lar-ge nonlinear equations by implicit block elimination based on recursiveprojections. In J. Renegar, M. Shub, and S. Smale, editors, The Mathe-matics of Numerical Analysis. Proc. AMS-SIAM Summer Seminar ParkCity/Utah 1996, volume 32 of Lectures in Applied Mathematics, pages715–732. American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.
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1.3 Parameterabhangige nichtlineare Gleichungen
F(x, p) = 0 , F: Rn×R`→ Rn `=1−−−−→ F(x, t) = 0
x
t
(x0; t0)
(x�; t�)
L
L = {(x, t) : x = x(t)} ,
∂1F (x, t) regular
x
t
R1(�x1; �t1)
R2(�x2; �t2)
L
R1, R2 : Ruckkehrpunkte,
∂1F (x, t) singular und
rang(∂1F (x, t)|∂2F (x, t)) = n
H. Schwetlick: Zur numerischen Behandlung nichtlinearer parameterabhangiger Gleichun-
gen. Nova acta Leopoldina, Neue Folge 61, Nr. 267:107–136, 1989.
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1.3.1 Berechnung von Ruckkehrpunkten
• G. Ponisch and H. Schwetlick: Computing turning points of curves implicitly defined by
nonlinear equations depending on a parameter. Computing, 26:107–121, 1981.
• G. Ponisch und H. Schwetlick: Ein lokal uberlinear konvergentes Verfahren zur Bestim-
mung von Ruckkehrpunkten implizit definierter Raumkurven. Numer. Math., 38:455–
466, 1982.
• H. Schwetlick: Effective methods for computing turning points of curves implicitly
defined by nonlinear equations. In A. Wakulicz, editor, Computational Mathematics,
volume 13 of Banach Center Publications, pages 623–645. Warsaw, 1984.
• H. Schwetlick: Algorithms for finite-dimensional turning point problems from viewpoint
to relationships with constrained optimization methods. In: Numerical Methods for
Bifurcation Problems, volume 70 of ISNM, pages 459–479. Birkhauser, Basel, 1984.
• G. Ponisch, U. Schnabel, H. Schwetlick: Computing multiple turning points by using
simple extended systems and computational differentiation. OMS, 10:639–668, 1999.
F (x, t) = 0 , F : Rn × R→ Rn
u := (x, t), H(u) = F(x, t) , H : Rn+1 → Rn
Ruckkehrpunkt u ist Losung des unterbestimmten Systems H(u) = 0.Charakterisierung von u durch eine zusatzliche skalare Bedingung.
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Parametrisierung der Losungskurve
Voraussetzungen:
H(u) = 0, rang(H ′(u)) = n,
H ′(u)v = 0, ‖v‖ = 1, eTn+1v = 0
eTn+1
(
H ′(u)vT
)−1(H ′′(u)vv
0
)
6= 0
Seien uk ≈ u, r ∈ Rn+1, ‖r‖ = 1,
vk ≈ v : H ′(uk)vk = 0 ,
rTvk = 1
r
ru
vv(uk, r)
uk
{u : H(u) = 0}{u : H(u) = H(uk)}
Definition:
B(u, r) :=
(
H ′(u)rT
)
, v(u, r) := B(u, r)−1en+1
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Fur den Ruckkehrpunkt u gilt:
B(u, r)v :=
(
0rTv
)
, B(u, r)v(u, r) = en+1 ⇒ v(u, r) =v
rTv(i)
eTn+1v = 0 =⇒ eT
n+1v(u, r) =eTn+1v
rTv= 0(ii)
Charakterisierung des Ruckkehrpunktes u als Losung der skalaren Gleichung
ϕ(u, r) := eTn+1v(u, r) = eT
n+1B(u, r)−1en+1 = 0 .
Ein Ruckkehrpunkt u ist also eine Losung des erweiterten Systems
[
H(u)ϕ(u, r)
]
= 0 .
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Losung von[
H(u)ϕ(u, r)
]
= 0 .
mittels Newton-Verfahrens:
H(uk) +H ′(uk)(uk+1 − uk) = 0
ϕ(uk, rk) + ∂1ϕ(uk, rk)(uk+1 − uk) = 0
Diskretisierung der Richtungsableitungen H ′′(u)pv in ∂1ϕ(u, r)p gemaß:
H ′′(u)pv≈ 1λ2[H(u+λp)−H(u+λp−λv)+H(u−λv)−H(u)]
Unter geeigneten Voraussetzungen (insbesondere an die Diskretisierungspa-rameter λ) ist das Verfahren lokal Q-uberlinear (Q-quadratisch) konvergent.
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 12
1.3.2 Berechnung weiterer singularer Punkte
• R. Menzel und H. Schwetlick: Zur Losung parameterabhangiger nicht-linearer Gleichungen mit singularen Jacobi-Matrizen. Numer. Math.,30:65–79, 1978.
• A. Hoy and H. Schwetlick: Some superlinearly convergent methods forsolving singular nonlinear equations. In E. L. Allgower and K. Georg,editors, Computational Solution of Nonlinear Systems of Equations.Proc. SIAM-AMS Summer Seminar Ft. Collins/CO 1988, volume 26 ofLectures in Applied Mathematics, pages 285–300, 1990.
• S. Schleiff and H. Schwetlick: Characterization and computation of perioddoubling points by minimally extended systems. OMS, 8:1–24, 1997.
• G. Ponisch, U. Schnabel, and H. Schwetlick: Computing multiple pitch-fork bifurcation points. Computing, 59:209–222, 1997.
• E. L. Allgower and H. Schwetlick: A general view of minimally extendedsystems for simple bifurcation points. Z. Angew. Math. Mech., 77:83–97,1997.
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 13
1.3.3 Kurvenverfolgungsalgorithmen
• H. Schwetlick: On the choice of steplength in path following methods.Z. Angew. Math. Mech., 64:391–396, 1984.
• R. Menzel and H. Schwetlick: Parametrization via secant length andapplication to path following. Numer. Math., 47:401–412, 1985.
• H. Schwetlick and J. Cleve: Higher order predictors and adaptive stepsizecontrol in path following algorithms. SIAM J. Numer. Anal., 24:1382–1393, 1987.
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1.3.4 Einbettungsverfahren
F (x) = 0 , F : Rn→ Rn
H(x, t) := F (x)− (1− t)F (x0) , x0 ∈ Rn
Regulare Einbettung: rang∂1H(x, t) = n ∀ (x, t) ∈ Rn × [0, 1]
=⇒ x(0) = x0, x(1) = x∗
Fortsetzungsverfahren: 0 = t0 < t1 < · · · < t` = 1
Naherungen: xk ≈ x(tk) fur x∗
• H. Schwetlick: Ein neues Prinzip zur Konstruktion implementierbarer, global konver-
genter Einbettungsalgorithmen. Beitrage Numer. Math., 4:215–228, 1975.
• H. Schwetlick: Ein neues Prinzip zur Konstruktion implementierbarer, global konvergen-
ter Einbettungsalgorithmen (Testbeispiele). Beitrage Numer. Math., 5:201–206, 1976.
• R. Menzel und H. Schwetlick: Uber einen Ordnungsbegriff bei Einbettungsalgorithmen
zur Losung nichtlinearer Gleichungen. Computing, 16:187–199, 1976.
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 15
2. Minimierungs- und Quadratmittelprobleme
(a) min{f(x) : x ∈ Rn}, f : Rn→ R
(b) min{12‖F (x)‖2
2 : x ∈ Rn}, F : Rn→ Rm, n ≤ m,
also speziell f(x) = 12‖F (x)‖2
2 = 12F (x)TF (x) = 1
2
m∑
i=1[fi(x)]2
(z. B. Losung eines uberbestimmten nichtlinearen Gleichungssystems)
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 16
2.1 Abstiegsverfahren
xk+1 := xk + αk dk,
dk Abstiegsrichtung: (gk)Tdk < 0, gk := ∇f(xk),
αk Schrittweite, z. B. nach Goldstein-Armijo:
f(xk + αk dk) ≤ f(xk) + αk δ (gk)Tdk, δ ∈ (0, 1)
• S. Dietze und H. Schwetlick: Uber die Schrittweitenwahl bei Abstiegsverfahren zur
Minimierung konvexer Funktionen. Z. Angew. Math. Mech., 51:451–454, 1971.
• H. Schwetlick: Zur Minimierung von Funktionen mehrerer Veranderlicher mittels ab-
leitungsfreier Verfahren vom Newton-Typ. Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz., 14:278–291,
1974. English translation: Minimization of functions of several variables by derivative-
free methods of Newton type, U.S.S.R. Comput. Math. and Math. Phys. 14 (1974),
No. 2, 3–16 (1975).
• H. Schwetlick: Minimizing nonlinear functions by descent methods. In J. Rosenfeld, edi-
tor, Information Processing 1974. Proceedings of the IFIP Congress 1974 at Stockholm,
pages 562–568. North-Holland, Amsterdam, 1974.
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 17
2.2 Trust Region Verfahren
• H. Schwetlick and V. Tiller: Nonstandard scaling matrices for trust region Gauss-Newton
methods. SIAM J. Sci. Statist. Comput., 10:654–670, 1989.
• H. Schwetlick: Nonstandard scaling matrices in trust region methods. In E. L. Allgower
and K. Georg, editors, Computational Solution of Nonlinear Systems of Equations.
Proc. SIAM-AMS Summer Seminar Ft. Collins/CO 1988, volume 26 of Lectures in
Applied Mathematics, pages 587–604, 1990.
min{f(x) : x ∈ Rn}, f : Rn→ R
g := ∇f(x), B ≈ ∇2f(x), B = BT ∈ Rn×n
=⇒ m(d) := f(x) + gTd+ 12 d
TB d
Neue Naherung x+ := x+ d+, wobei d+ Losung von
min{m(d) : ‖Dd‖2 ≤ r}
mit D ∈ Rn×n nichtsingulare Skalierungsmatrix,r ∈ R Trust Region Radius
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Akzeptanzbedingung fur eine Losung d+ von min{m(d) : ‖Dd‖2 ≤ r} :
f(x+ d+)− f(x) ≤ δ [m(d+)−m(0)] < 0 , δ ∈ (0, 1)
(a) B positiv definit: d+ mit B d+ = −g akzeptiert, wenn
‖Dd+‖2 ≤ r und f(x+ d+)− f(x) ≤ −δ
2(d+)TB d+ .
(b) B nicht positiv definit:
1) Wahle λ mit B + λDTD positiv definit.
2) d+ mit[
B + λDTD]
d+ = −g akzeptiert, wenn ‖Dd+‖2 = r,
f(x+ d+)− f(x) ≤ −δ
2
(
(d+)T[
B + λDTD]
d+ + λ r2) .
Probleme: Numerischer Aufwand, Wahl von λ, Wahl von D
Skalierungsmatrix D:
• Standard: D = diag (d1, . . . , dn) , di > 0
• Nichtstandard:→ unvollstandige Cholesky Faktorisierung von B
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 19
2.3 Gauß-Newton-Verfahren
• H. Schwetlick: Zur Konvergenz regularisierter Gauß-Newton-Verfahren.Zh. Vychisl. Mat. i Mat. Fiz., 13:1371–1382, 1973. English translation:Convergence of a regularized Gauss-Newton method, U.S.S.R. Comput.Math. and Math. Phys. 13 (1973), No. 6, 1–15 ( 1975).
• G.-P. Ehle and H. Schwetlick: Rapidly convergent methods for minimizinga sum of squares. Beitrage Numer. Math., 6:49–59, 1977.
min{f(x) : x ∈ R}
f(x) = 12 F (x)TF (x) , F : Rn→ Rm, n ≤ m
∇f(x) = F ′(x)TF (x)
∇2f(x) = F ′(x)TF ′(x) + F ′′(x)◦F (x)
=m∑
j=1
[
∇fj(x)∇fj(x)T +∇2fj(x)fj(x)]
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 20
Gauß-Newton-Verfahren [ rang(F ′(xk)) = n ]:
xk+1 := xk − [F ′(xk)TF ′(xk)]−1F ′(xk)TF (xk)
Regularisiertes Gauß-Newton-Verfahren [ rang(F ′(xk)) < n ]:
xk+1 := xk − [%kI + F ′(xk)TF ′(xk)]−1F ′(xk)TF (xk) , %k > 0
Transformation: % =1− λλ
, λ ∈ (0, 1)
xk+1 := xk − λk[(1− λk)I + λkF′(xk)TF ′(xk)]−1F ′(xk)TF (xk)
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Schritt k des regularisierten Gauß-Newton-Verfahrens:
xk+1 := xk + λk d(λk, xk)
mit der Abstiegsrichtung d = d(λk, xk) als Losung von
[
(1− λk)I + λk F′(xk)TF (xk)
]
d = −F ′(xk)TF (xk)(
= −∇f(xk))
und dem Parameter λk z. B. nach Goldstein-Armijo gemaß
f(xk + λk d(λk, xk)) ≤ f(xk) + λk δ∇f(xk)Td(λk, xk) ,
wobei
δ ∈ (0, 1/2) , µ ∈ (0, 1) , λk = λk µj , λk = min
{
1 ,λk−1
µ
}
.
Es gilt: a) limk→∞
∇f(xk) = 0
b) Falls limxk = x∗ und F (x∗) = 0 , rang (F ′(x∗)) = n ,
dann existiert ein Index k1 : λk = 1 fur k ≥ k1 und
{xk} konvergiert quadratisch gegen x∗.
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3. Nichtlineare Parameterschatzung
Modellgleichung fur einen realen Prozess: f(u, c, t, p) = 0t : Zeitu : Vektor der Zustandsgroßenc : Vektor der Steuerungenp : Parametervektor, spezifisch fur den betrachteten Prozess
• A. Kirsten, H. Schwetlick, und G. Liebmann: Ein Regressionsmodell zur Beschreibung
von Sattigungskonzentrationen. Chemische Technik, 35:636–639, 1983.
• H. Schwetlick and V. Tiller: Numerical methods for estimating parameters in nonlinear
models with errors in the variables. Technometrics, 27:17–24, 1985.
• H. Schwetlick, W. Schellong, and V. Tiller: Gauss-Newton-like methods for nonlinear
least squares with equality constraints – local convergence and applications to parameter
estimation in implicit models. Statistics, 16:167–178, 1985.
• R. Wolke and H. Schwetlick: Iteratively reweighted least squares: Algorithms, conver-
gence, and numerical comparisons. SIAM J. Sci. Statist. Comput., 9:907–921, 1988.
• H. Schwetlick: Nichtlineare Parameterschatzung: Modelle, Schatzkriterien und numeri-
sche Algorithmen. Mitteil. der GAMM, 2/91:13–51, 1991.
• H. Schwetlick: Nonlinear parameter estimation: Models, criteria and algorithms. In:
Proceedings of the 14th Dundee Conference on Numerical Analysis, pages 164–193.
Longman Scientific & Technical, Harlow, Essex, 1992.
Ehrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 23
Modellgleichung: f(z, p) = 0 (z :=(u, c, t) Vektor aller Prozessvariablen)
Zustandsmannigfaltigkeit: Sp := {z : f(z, p) = 0} fur festes p
Prozess-Simulation: Berechnung von Sp fur gegebenes p
(Voraussage moglicher Zustande bei bekanntem p)
Parameterschatzprobleme (Inverse Probleme):
Geg.: Naherungen zi fur die exakten Zustande z∗i zu unbekanntem p∗,
d. h. zi = z∗i + δzi mit f(z∗i, p∗) = 0 (i = 1, . . . ,m)
Ges.: Schatzungen p fur p∗ und zi fur z∗i sodass ‖zi − zi‖”klein“
und f(zi, p) = 0 (i = 1, . . . ,m)
Bezeichnungen:
Z :=
−(z1)T−···
−(zm)T−
, Z :=
−(z1)T−···
−(zm)T−
, G(Z, p) :=
f(z1, p)···
f(zm, p)
Ehrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 24
min{ψ(Z) := 12‖Z − Z‖
2F : (Z, p) bei G(Z, p) = 0} (∗)
oder
min{ψ(p) := 12
m∑
i=1‖f(zi, p)‖2
2 : p}
Implizite Modelle: f(z, p) = 0 , dim z > dim f
Explizite Modelle: z=(x, y), dim y=dim f :f(z, p)=0⇔ y=r(x, p)
Wegen ‖zi − zi‖22 = ‖xi − xi‖2
2 + ‖yi − yi‖22 wird (∗) zu
min{ψ(x, p) : (x, p)}mit
ψ(x, p) := 12{‖X
i −X‖2F + ‖Y −R(x, p)‖2
F} .
Fur fehlerfrei beobachtbares x gilt das Regressionsmodell:
min{
ψ(p) := 12
∥
∥
∥Y −R(X, p)∥
∥
∥
2
F: p}
Ehrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 25
4. Spline-Glattung
Geg.: Daten {xi, yi} (i = 1, . . . ,m) : a ≤ x1 < x2 < · · · < xm ≤ b
Ges.: Spline s ∈ Sk,t mitϕ(s) := 12
m∑
i=1[yi − s(xi)]2 → min (m� n)
Bezeichnung:
Sk,t = {Polynom-Splines der Ordnung k≥1 mit Knotenmenge t :={tj}}mit t1 = · · · = tk = a < tk+1 ≤ · · · ≤ tn < b = tn+1 = · · · = tn+k
• H. Schwetlick and V. Kunert: Spline smoothing under constraints onderivatives. BIT, 33:512–528, 1993.
• H. Schwetlick and T. Schutze: Least squares approximation by splineswith free knots. BIT, 35:361–384, 1995.
• T. Schutze and H. Schwetlick: Constrained approximation by splines withfree knots. BIT, 37:105–137, 1997.
• T. Schutze and H. Schwetlick: Bivariate free knot splines. Preprint MATH-
NM-13-01, Techn. Univ. Dresden, 2001.
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 26
Darstellung von s ∈ Sk,t in der Form s(x) =n∑
j=1Bkj(x)αj
Bezeichnung:
{Bkj} Folge der normalisierten B-Splines der Ordnungk zur Knotenmenge t
B = (Bkj(xi)) ∈ Rm×n (i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n)
α = (α1, . . . , αn)T ∈ Rn , y = (y1, . . . , ym)T ∈ Rm
Splines mit vorgegebener Knotenmenge t:
• rangB = n: min{ϕ(α) := 12‖y −Bα‖
22 : α ∈ Rn} eindeutig losbar
• rangB < n ( Regularisierung ): min{ϕ(α) + µ%(α) : α ∈ Rn}
mit z. B. %(α) :=1
2
∫ b
a
s(r)(x) dx , r ∈ {0, 1, . . . , k − 1} fest
Splines mit freier Knotenmenge t:
• min{ψ(t, α) := 12‖y−B(t)α‖2
2 : C t ≥ h, t ∈ R`, α ∈ Rn}
• min{ψ(t, α) := 12‖y−B(t)α‖2
2+µ2‖S(t)α‖2
2 : Ct≥h, t∈R`, α∈Rn}
Ehrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 27
5. Eigenwertberechnung• R. Losche, H. Schwetlick, and G. Timmermann: A modified block Newton iteration
for approximating an invariant subspace of a symmetric matrix. Linear Algebra Appl.,
275/276:381–400, 1998.
• H. Schwetlick and R. Losche: A generalized Rayleigh quotient iteration for computing
simple eigenvalues of nonnormal matrices. Z. Angew. Math. Mech., 80:9–25, 2000.
• H. Schwetlick and U. Schnabel: Iterative computation of the smallest singular value
and the corresponding singular vectors of a matrix. Preprint IOKOMO-06-97, 1997.
A ∈ Rn×n symmetrisch:
Spektraldarst.: A U = U Λ , U ∈Rn×n orthogonal, Λ=diag(λ1,..., λn)
Splitting: U = [U1 |U2 ] , U1 ∈ Rn×p, U2 ∈ Rn×q, p+ q = n
Λ =(
Λ1 00 Λ2
)
=⇒ AU1 = U1 Λ1 , AU2 = U2 Λ2
Sei W ∈ Rn×q mit rang(W ) = q fest gewahlt.
Bestimme Z∗ ∈ Rn×q und M∗ ∈ Rq×q als Losung von
F (Z,M) :=(
AZ − ZMW TZ − I
)
=(
00
)
Ehrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 28
Unger (1950): F (z, λ) =(
Az − λzzTz − 1
)
=(
00
)
−→ λ ∈ R , z ∈ Rn
Newton-Verfahren zur Losung von: F (Z,M) :=(
AZ − ZMW TZ − I
)
=(
00
)
Z(k+1) :=Z(k)−∆Z(k),M (k+1) :=M (k)−∆M (k) mit ∆Z(k), ∆M (k)
aus:
A∆Z(k) −∆Z(k)M (k) − Z(k) ∆M (k) = AZ(k) − Z(k)M (k)
W T ∆Z(k) = W TZk − I
Modifizierte Block Newton Methode:
M (k) = diag(m(k)1 , . . . ,m(k)
q ) , Z(k) orthogonal, W = W (k) = Z(k)
→ Gram-Schmidt Orthogonalisierung und Rayleigh-Ritz-Verfahren:
(
A−m(k)i I Z(k)
Z(k)T 0
)(
∆z(k)i
−∆m(k)i
)
=
(
AZ(k) − Z(k)M (k)
0
)
ei
(i = 1, . . . , q)
Ehrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 29
Entwicklung von Software (Programmpakete)
• H. Schwetlick: Einige Folgerungen fur den Aufbau von Algorithmenim Zusammenhang mit der Herstellung von Programmpaketen. Schrif-tenreihe des WBZ Math. Kybernetik und Rechentechnik, Techn. Univ.Dresden, 8:129–133, 1974.
• D. Leder, C. Schmidt, H. Schwetlick: Programmpaket Nichtlineare Glei-chungen. Schriftenreihe des WBZ Math. Kybernetik und Rechentechnik,Techn. Univ. Dresden, 20:17–23, 1976.
• R. Menzel, G. Ponisch, H. Schwetlick: Zur numerischen Losung pa-rameterabhangiger nichtlinearer Gleichungssysteme. Nachrichtentechnik-Elektronik, 28:19–20, 1978.
• R. Menzel, G. Ponisch, H. Schwetlick: Programmpaket zur Losung nicht-linearer Probleme. rechentechnik/datenverarbeitung, 16:28–29, 1979.
• R. Menzel, G. Ponisch, H. Schwetlick: PARSYS – Programmpaket furparameterabhangige nichtlineare Gleichungssysteme großer Dimension.Anwenderdokumentation, Techn. Univ. Dresden, 1980.
• H. Schwetlick, L. Knauff, V. Tiller: Ein Programmpaket zur Parame-terschatzung in nichtlinearen Modellen. Wiss. Beitrage Martin-Luther-Univ. Halle-Wittenberg, 1982/33 (M28):102–111, 1982.
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 30
Betreute Promotionen
1. Jeromin, Bernd: Glattung mittels Spline-Funktionen. 1972
2. Leder, Dieter: Zur Losung nichtlinearer Gleichungssysteme mittels dis-kreter Einbettungsmethoden. 1975
3. Schmidt, Christian: Ableitungsfreie Verfahren zur Minimierung einerFunktion mehrerer Veranderlicher ohne Nebenbedingungen. 1977
4. Ehle, Gerd-Peter: Mit zweiten Ableitungen arbeitende iterative Verfahrenzur Losung nichtlinearer Gleichungen und zur Quadratmittelapproximati-on. 1977
5. Espig, Gunter: Untersuchungen uber global konvergente Abstiegsverfah-ren zur Losung nichtlinearer Gleichungssysteme. 1977
6. Menzel, Reinhard: Uber die Losung nichtlinearer Gleichungssysteme beiregularer und schwach singularer Einbettung. 1978
7. Ponisch, Gerd: Verfahren zur numerischen Bestimmung von Ruckkehr-punkten implizit definierter Raumkurven. 1980
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 31
Betreute Promotionen
8. Schellong, Wolfgang: Parameterschatzung in impliziten Modellen derchemischen Reaktionskinetik. 1983
9. Knoth, Oswald: Markquardt-ahnliche Verfahren zur Minimierung nichtli-nearer Funktionen. 1983
10. Tiller, Volker: Numerische Methoden zur Parameterschatzung in explizi-ten und impliziten nichtlinearen Modellen mit Fehlern in den Variablen.1983
11. Bockmann, Christine: Ein ableitungsfreies Verfahren vom Gauß-Newton-Typ zur Losung von nichtlinearen Quadratmittelproblemen mit separier-ten Variablen. 1984
12. Kirsten, Annegret: Modifizierte Matrixfaktorisierungen zur Losung nicht-linearer Gleichungssysteme. 1985
13. Wolke, Ralf: Iterative Verfahren zur numerischen Berechnung von M -Schatzungen. 1986
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 32
Betreute Promotionen
14. Cleve, Jurgen: Pradiktoren hoherer Ordnung und Schrittweitensteuerungbei Kurvenverfolgungsalgorithmen. 1986
15. Liebert, Michael: Zur numerischen Berechnung von Parametern in parti-ellen Differentialgleichungen. 1987
16. Gersonde, Jorg: Effektiv implementierbare Modifikationen von Trust-Region-Verfahren. 1990
17. Schleiff, Stefan: Parameterabschatzung in nichtlinearen Modellen unterbesonderer Berucksichtigung kritischer Punkte. 1995
18. Schutze, Torsten: Diskrete Quadratmittelapproximation durch Splinesmit freien Knoten. 1998
19. Timmermann, Gisela: Cascadic Algorithms for Two Classes of NonlinearElliptic Boundary Value Problems. 1999
20. Schnabel, Uwe: Berechnung singularer Punkte nichtlinearer Gleichungs-systeme. 2000
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Rostock, Februar 1968
NMEhrenkolloquium aus Anlass des 60. Geburtstages von Hubert Schwetlick 34