nÚmeros complejos ( definiciÓn de la unidad...

NÚMEROS COMPLEJOS (ℂ)

DEFINICIÓN DE LA UNIDAD IMAGINARIA

• El cuadrado de un número real siempre es no negativo. Por ejemplo, no existe ningún

número real x para el cual x2 = -1.

• Para remediar esta situación, introducimos un número llamado unidad imaginaria, que

denotamos con i y cuyo cuadrado es igual a -1:

POTENCIAS DE i

Si calculamos los valores de las potencias de i, encontramos que:

i1 = i i5 = i i9 = i

i2 = -1 i6 = -1 i10 = -1

i3 = i2 · i= -1 · i= -i i7 = -i i11 = -i

i4 = i2 · i2 = -1 · -1 = 1 i8 = 1 i12 = 1

Se tiene que i4n = 1, con n ∈ ℕ+, entonces i4n + p = i4n · ip = 1 · ip = ip, por tanto

con n ∈ ℕ+ y 0 ≤ p < 4

OBSERVACIÓN:

• i0 = 1

• La suma de cuatro potencias consecutivas de i es 0.

• El producto de cuatro potencias consecutivas de i es -1.

RAÍZ CUADRADA DE NÚMEROS NEGATIVOS

Para todo S ∈ lR+ se tiene: √−𝑆 = √(−1) ∙ 𝑆 = √(−1) ∙ √𝑆 = 𝑖√𝑆

Ej: √−16 = √16 ∙ −1 = √16 ∙ √−1 = 4𝑖

NÚMERO COMPLEJO (C)

Un número de la forma z = a + bi, se llama número complejo, en donde a y b son números

reales. Esta forma de representar al número complejo se le denomina forma binomial o

algebraica.

Además

a: se llama parte real del complejo z y se denota como Re(z).

b: se llama parte imaginaria del complejo z y se denota como Im(z).

Ejemplo: En el número complejo z = 2 + 3i se tiene:

Re(z) = 2 (parte real de z).

Im(z)= 3 (parte imaginaria de z).

OBSERVACIÓN

En el complejo z = a + bi

• Si sólo b = 0, entonces z = a (Complejo Real Puro)

• Si sólo a = 0, entonces z = bi (Complejo Imaginario Puro)

A la expresión binomial, también se le denomina “forma canónica” del número complejo.

IGUALDAD DE NÚMEROS COMPLEJOS

Dos complejos son iguales cuando son iguales sus partes reales y también sus partes

imaginarias, respectivamente.

Si z1= a + bi y z2 = c + di, con z1 = z2, entonces se cumple que a = c y b = d.

EXPRESION BINOMIAL Y CARTESIANA DE UN NÚMERO COMPLEJO

Cualquier número complejo a + bi también se puede considerar como un par ordenado

(a, b) de números reales, donde la segunda componente del par ordenado corresponde al

coeficiente de la unidad imaginaria i, entonces:

Expresión cartesiana: (a, b)

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS

El complejo z = (a, b) puede ser representado en un gráfico de Argand, mediante un vector

flecha, de origen O (0, 0) y punto final P de coordenadas (a, b).

ADICIÓN DE COMPLEJOS

Sean z1 = a + bi y z2 = c + di.

Entonces,

SUSTRACCIÓN DE COMPLEJOS

Sean z1 = a + bi y z2 = c + di.

Entonces,

REPRESENTACIÓN DE LA ADICIÓN O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS

COMPLEJOS

Dados dos números complejos z1 y z2:

a) La adición z1 + z2 queda representada en un plano de Argand por la diagonal del

paralelogramo cuyos lados son los vectores z1 y z2.

b) La sustracción (resta) z1 – z2, queda representada por la suma de z1 con el opuesto del

vector z2, z1 + (-z2)

OBSERVACIÓN

• El neutro aditivo es el complejo (0, 0) = 0 + 0i.

• El inverso aditivo de z es -z. Si z = a + bi, entonces -z = -a – bi.

MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

Si z = a + bi, entonces el módulo de z es |𝑧|, tal que |𝑧| = √𝑎2 + 𝑏2

El módulo o valor absoluto de un complejo equivale a la longitud o magnitud del vector

que representa al número complejo en el plano de Argand.

OBSERVACIÓN

El módulo de todo complejo distinto de cero es positivo.

CONJUGADO DE UN COMPLEJO

Dos números complejos se dicen conjugados sí solo tienen distinto el signo de la parte

imaginaria. Si z = a + bi, entonces el conjugado de z es 𝑧, tal que 𝑧 = a – bi.

Gráficamente, todo número complejo z y su conjugado 𝑧 son simétricos respecto del eje

real.

OBSERVACIÓN

• El conjugado del conjugado de un complejo es el mismo complejo (𝑧 = z)

• Los módulos o valores absolutos de z, 𝑧, -z y −𝑧 son iguales.

MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS

Si z1 = a + bi y z2 = c + di, entonces

z1 · z2 = (a + bi)(c + di) multiplicando los binomios

z1 · z2 = ac + adi + bci + bdi2 reordenando y reemplazando i2 por (-1)

z1 · z2 = ac + bd(-1) + adi + bci factorizando por i

z1 · z2 = (ac – bd) + (ad + bc)i Notación binomial para la multiplicación de dos

números complejos.

z1 · z2 = (ac – bd, ad + bc) Notación cartesiana para la multiplicación de dos

números complejos.

OBSERVACIÓN

El neutro multiplicativo es el complejo (1, 0) ó 1 + 0i = 1.

RECÍPROCO DE UN COMPLEJO

Sea z = a + bi, entonces el recíproco de z es z-1 = 1

𝑧 o z-1 =

1

𝑎+𝑏𝑖

Para escribir el recíproco de un complejo, debe amplificarse por su conjugado:

OBSERVACIÓN

El elemento (0, 0) no tiene inverso multiplicativo

DIVISIÓN DE COMPLEJOS

Si z1 = a + bi y z2 = c + di, con z2 distinto de cero, entonces el resultado de la división 𝑧1

𝑧2 se

obtiene amplificando por el conjugado de z2:

GUÍA PSU MATEMÁTICA

NÚMEROS COMPLEJOS

1.- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en los números reales?

A) 𝑥2 − 9 = 0

B) −8 + 𝑥2 = 0

C) 𝑥2 + 5 = 0

D) 𝑥2 − √3 = 0

E) −1

2+ 𝑥2 = 0

2.- ¿Qué proposición(es) es(son) verdadera(s) acerca de los números imaginarios?

I. Permite extraer raíces cuadradas a números negativos.

II. Incluyen al cero.

III. Permiten ordenar el conjunto de los números complejos.

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I y II

E) I y III

3.- √−12 se puede representar como:

A) 6i

B) 2√3𝑖 C) 12i

D) 3√2𝑖 E) 4 + 3i

4.- Si el complejo 3 + 5i es igual a (x – 1) + (y + 2)i, ¿Cuál es el valor de xy?

A) -12

B) -2

C) 7

D) 12

E) 15

5.- ¿Cuál de los siguientes números complejos tiene el mayor módulo?

A) -5 – 6i

B) 4 + √8𝑖 C) 2 + i

D) 3

4 + 7i

E) 3 – 5i

6.- Al desarrollar la expresión 2i + i13 – (2i)6 se obtiene:

A) -3 + 64i

B) 64 + 3i

C) 64 – i

D) 12 – i

E) -64 + 3i

7.- Si a = 2 – 4i y b = 5 + 6i, entonces el valor de a - �� es:

A) 7 + 2i

B) 7 – 2i

C) 3 – 10i D) -3 + 2i

E) -3 – 10i

8.- Dados los complejos z1, z2, z3 y z4 en el plano, ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones

es(son) verdadera(s)?

I.- z3 = z2 + z4

II.- z1 – z2 = z3

III.- z2 – z3 = z1

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I y II

E) I y III

9.- La expresión (5 + 2i) ∙ (2 – 3i) es equivalente a:

A) 16 + 11i

B) 10 – 6i

C) 16 – 11i

D) 16 + 6i

E) 6 – 10i

10.- Al simplificar la expresión 3+2𝑖

1−2𝑖 se obtiene:

A) 1

5−

8

5𝑖

B) 1

2−

3

2𝑖

C) −2

5+

3

5𝑖

D) −1

5+

8

5𝑖

E) −1

3+

1

2

11.- ¿Cuál es el valor de 𝑖36?

A) -1

B) 1

C) I D) –i

E) 0

12.- Si z1 = -1 + 2i y z2 = 1 – 2i, el valor de z2 + 2 ∙ z1 es:

A) 0

B) 1

C) 2i

D) -1 + 2i

E) 1 – 2i

13.- El valor de (5 – 3i) + (3 – i) – 2(-3 – i) es:

A) 2

B) 14

C) 11 – 3i

D) 14 + 4i

E) 14 – 2i

14.- El valor de |2 + 3𝑖| es:

A) 0

B) 1

C) i

D) √13 E) 13

15.- El valor de (𝑖

𝑖125 + 𝑖37)3

es:

A) -2

B) -1

C) -2i

D) -2 + 2i

E) -2i – 2

16.- ¿Cuál es el inverso multiplicativo de z = 3 + i?

A) 0

B) 1

C) -3 – i

D) 3

10−

𝑖

10

E) Ninguna de las anteriores.

17.- Si 𝑧 = −𝑧, entonces z es un número tal que:

A) z = 2 + 2i

B) z es un numero imaginario

C) z no es un numero complejo

D) z es un numero complejo con la parte real y la parte imaginaria distinta

E) la parte imaginaria de z es el doble de su parte real

18.- El valor de 3−4𝑖

3+2𝑖 es:

A) 1

13(1 − 18𝑖)

B) 13(1 − 18𝑖)

C) 1 – 18i

D) 18i

E) 1

19.- El valor de (𝑖

5−𝑖)

corresponde a:

A) −1

26+

5

26𝑖

B) −1

26−

5

26𝑖

C) 1

26−

5

26𝑖

D) 1

26+

5

26𝑖

E) 1

20.- Si |𝑧1 + 𝑧2| = |𝑧1 − 𝑧2|, entonces 𝑧1

𝑧2 es siempre un número:

A) Imaginario

B) Real

C) Igual a 1

D) Igual al producto entre z1 y z2

E) Ninguna de las anteriores

21.- Si 6𝑎+𝑏𝑖

2+𝑖 es un número imaginario, entonces:

A) a = b

B) a = -b

C) 12a = -b

D) –a = 3b

E) 6a = b

22.- Si p y q son números reales tales que p < 0 y q > 0, entonces, ¿Cuáles de los siguientes

números no es real?

A) √𝑝2 + 𝑞

B) √−𝑝 + 𝑞

C) √−𝑝 + 𝑞2

D) √(𝑝 − 𝑞)2

E) √𝑝𝑞 − 𝑞2

23.- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución en ℝ?

A) 3x – 1 = 0

B) 2x – 8 = 0

C) x2 – 9 = 0

D) x2 + 3 = 0

E) x2 – 8 = 0

24.- Si t = 5, ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) un numero complejo?

I.- (3 − 𝑡)−1

II.- (3 − 𝑡)−1

2

III.- (3 − 𝑡)−1

3

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I y III

E) I, II y III

25.- ¿Para qué valor o valores de t, la expresión √𝑡 − 1 + √1 − 𝑡 −1

𝑡−1 es un número

complejo?

I.- t = 0

II.- t = 1

III.- t > 1

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) I y III

E) I, II y III

26.- Para que la expresión √𝑥2 − 9 sea un número complejo se debe cumplir que:

A) x ≥ 4

B) x ≤ -4 o x ≥ 4

C) x > 3

D) x > -3 y x < 3

E) x ≥ -3 o x ≤ 3

27.- Si a = -i, entonces la expresión 3a + a(3 + 5i) – a + 4a, es igual a:

A) 5 – 9i

B) -5 + 9i

C) 14i

D) -14i

E) 14

28.- 𝑖2 + 𝑖−2 equivale a:

A) -2

B) -1

C) 0

D) 1

E) 2

29.- El valor de 6𝑖25 + (2𝑖)6 + 𝑖−3 es:

A) 65 – 6i

B) 5 – 64i

C) -64 + 5i

D) -64 + 7i

E) -65 + 6i

30.- 𝑧 ∙ 𝑧 es siempre:

A) Un número real

B) Un número imaginario puro C) Igual a z2

D) (1 , 0)

E) Depende del valor de z

31.- Si z1 = 1 + i y z2 = 1 – i, luego 𝑧1

𝑧2 es:

A) 1

2+

1

2𝑖

B) 0 + 0𝑖

C) 1

2−

1

2𝑖

D) −1

2+

1

2𝑖

E) 0 + i

32.- El valor de 𝑖(1 − 𝑖)(1 + 𝑖) es:

A) 2(1 + i)

B) 2(1 – i)

C) 2 – i

D) 2 + 0i

E) 0 + 2i

33.- Si z1 = 3 – 2i, z2 = 3i y z3 = 1 + i, el valor de 𝑧1 ∙ 𝑧2 + 𝑧3 es:

A) -5 + 10i

B) 7 + 10i C) 1 + 6i

D) 10 – 5i

E) Ninguna de las anteriores

34.- ¿Qué igualdad es falsa?

A) i523 = -i

B) i234 = -1

C) i65 = i

D) i72 = i

E) i122 = -1

35.- Al resolver x2 + 75 = 0, ¿Cuáles son las soluciones?

A) x1 = 5i, x2 = -5i

B) x1 = 5√3i, x2 = -5√3i

C) x1 = 5√3, x2 = -5√3i

D) x1 = 5√3, x2 = -5√3

E) x1 = 5√3i, x2 = -5√3

36.- ¿Cuál es el resultado de la expresión 5𝑖45−15𝑖13

5𝑖114 ?

A) 2

B) 2i

C) 5i

D) -2

E) -2i

37.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. −√6 ∈ ℝ

II. 𝑖345 = 𝑖

III. x2 + 24 = 0 ⇒ x = ± 2√6

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

38.- Respecto de los números complejos z1 = 3 – i√20 y z2 = 6 – i√5, ¿Qué afirmación es

falsa?

A) Re(z2) = 6

B) Im(z1) = 2√5

C) Re(z1) = 3

D) Im(z2) = −√5

E) Re(z1) + Re(z2) = 9

39.- Si w ∈ ℂ, Im(w) = -5 y Re(w) = 15, ¿Cuál es el numero complejo w?

A) -5 + 15i

B) 15 + 5i

C) 15 – 5i

D) 5 – 15i

E) -15 – 5i

40.- Considerando z1 = 3 + (y + 5) i, z2 = (3 – x) + 12i, para que z1 = z2, ¿Cuáles deben ser

los valores de x e y?

A) x = 3, y = 7

B) x = 6, y = 17

C) x = 3, y = 17

D) x = 0, y = 7

E) x = 0 y = 17

41.- ¿Cuál es el conjugado del número complejo que se representa en el gráfico?

A) 4 + 2i

B) 4 – 2i

C) -4 + 2i

D) -4 – 2i

E) -2 – 4i

42.- Considerando el grafico de la pregunta 41, ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es

(son) verdadera(s)?

I. |𝑧| = 2√5

II. z = (-4 , 2)

III. Re(z) = -4, Im(z) = 2

A) Solo II

B) Solo III

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

43.- ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I. Si z1 = 7 – 5i ⇒ Im(z1) = -5

II. Si Re(z2) = -2, Im(z2) = 4 ⇒ z2 = -2 + 4i

III. Si z1 = z2 , z1 = a + 2i, z2 = 3 – bi, entonces a = 3 y b = 2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

44.- Se definen los números complejos z1 y z2 como z1 = -10 – 5i y z2 = 8 + 4i. ¿Cuánto es

z1 + z2?

A) -2 – i

B) 2 – i

C) -2 + i

D) 2 + i

E) -8 – i

45.- En el plano de Argand se han representado los números complejos z1 y z2. ¿Cuánto es

z1 + z2?

A) 6 + 3i

B) -6 + 3i

C) -6 – 3i

D) 3 + 6i

E) -2 + 3i

46.- Considerando z = -1 + 2i, ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son)

verdadera(s)?

I. z + 𝑧 = -2

II. |𝑧 + 𝑧| = 2√5

III. z + 𝑧 = 𝑧 + z

A) Solo I

B) Solo III

C) Solo II y III

D) Solo I y III

E) I, II y III

47.- Si 4 – 5i + z = 9 + 8i, ¿Cuál debe ser el numero complejo z?

A) 5 – 3i

B) 5 + 13i

C) 5 + 3i

D) 5 – 13i

E) 5i + 13

48.- Si z = 4 – 8i, ¿Cuánto es el resultado de z - 𝑧?

A) 0

B) -4i

C) -8i

D) -16i

E) 8 – 16i

49.- En el plano de Argand se han representado los números complejos z1 y z2. ¿Cuál es el

resultado de z2 – z1?

A) 5 + i

B) 1 + 5i

C) -5 + 5i

D) -5 – i

E) 5 – i

50.- Si 5 – 3i – w = 7 + 3i, ¿Cuál es el numero complejo w?

A) 2 – 6i

B) -2 – 6i

C) -2 + 6i

D) 2 + 6i

E) 2i – 6

51.- Considerando z = 7 – 2i, ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I. z - 𝑧 = -4i

II. |𝑧| − |𝑧| = √53

III. z - 𝑧 = 𝑧 - z

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) Solo I y III

52.- Si z = 2 – i, w = 1 + i, ¿Cuál es el resultado de z ∙ w?

A) 3 + i

B) 3 – i

C) 3

D) -3 + 3i

E) -3 – 3i

53.- Si z = 7 – 4i, ¿Qué numero representa a z-1?

A) 4

65+

7

65𝑖

B) 7

65−

4

65𝑖

C) 7

65+

4

65𝑖

D) −7

65−

4

65𝑖

E) 4

65−

7

65𝑖

54.- En el plano de Argand se han representado los números complejos z1 y z2. ¿Cuál(es) de

las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I. 𝑧1−1 = -0,4 – 0,2i

II. z1 ∙ z2 = -8 – i

III. z1 ∙ 𝑧2 = |𝑧1|

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo I y II

D) Solo II y III

E) I, II y III

55.- Si z = 3 – 5i, w = 6 + 2i, ¿Cuál es el resultado de z : w?

A) 1

5−

9

10𝑖

B) 8

10−

36

40𝑖

C) 1

5−

9

5𝑖

D) 2

10−

9

40𝑖

E) 4

10−

9

10𝑖

56.- Se define 𝑧 =3+2𝑖

4+3𝑖. ¿Cuánto es |𝑧|?

A) √13

B) √324

25

C) √323

25

D) √13

5

E) √13

25

57.- En la igualdad z(1 – i) = 2, ¿a cuánto equivale z-1?

A) 1 + i

B) 1

2−

1

2𝑖

C) 1 – i

D) 1

2+

1

2𝑖

E) −1

2−

1

2𝑖

58.- El cociente entre un número complejo z = 2 + bi y su conjugado es −5−12𝑖

13, ¿Cuál es el

valor de b?

A) 1

B) 3

C) -3

D) -1

E) -2

59.- Si z = 12 + 5i, w = 6 – 4i, ¿Cuánto es |𝑧| ∙ ��?

A) 78 + 52i

B) √17(6 + 4𝑖)

C) 78 – 52i

D) √17(6 − 4𝑖)

E) √119(6 − 4𝑖)

60.- ¿Cuál es el resultado de 4𝑖62−2𝑖52

6𝑖200 ?

A) 1

B) -1

C) −1

3

D) 1

3

E) −𝑖

3

61.- Si el número complejo z = 8 – 7i es igual a (x – 2) + (y – 3)i, ¿Cuál es el valor de xy?

A) 4

B) -4

C) 14

D) 40

E) -40

62.- Considerando los números complejos z1 y z2, ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones

es (son) verdadera(s)?

I. |𝑧2| = 3√3

II. 𝑧1 = −2 + 2𝑖

III. |𝑧1| = 2√2

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo II y III

E) I, II y III

63.- En el plano se han representado los números z1, z2 y z3. ¿Cuáles de las siguientes

igualdades es (son) verdadera(s)?

I. z1 = z3 – z2

II. z3 = z2 + z1

III. z2 = z3 – z1

A) Solo I

B) Solo II

C) Solo III

D) Solo I y II

E) I, II y III

64.- Si z1 = 3 – 2i y z2 = -5 + 3i, ¿Cuánto es el producto entre z1 y z2?

A) 9 + 19i

B) -9 + 19i

C) 21 + 19i

D) -21 + 19i

E) -9 – 19i

65.- Se define z1 = 4 – i y z2 = 3 + i. ¿Cuánto es 𝑧1

𝑧2?

A) 11

10−

7

10𝑖

B) 11

10+

7

10𝑖

C) 13

10−

7

10𝑖

D) 11

8−

7

8𝑖

E) 11

8+

7

8𝑖

66.- ¿Cuánto es (2 – 3i)4?

A) 16 + 81i

B) 16 – 81i

C) 119 + 120i

D) -119 – 120i

E) -119 + 120i

67.- Respecto del número complejo z = a + 4i, se puede determinar el valor de a si:

(1) z - 𝑧 = 8i

(2) z + 𝑧 = 6

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) (1) y (2), ambas juntas

D) (1) o (2), cada una por sí sola

E) Se requiere información adicional

68.- Se tiene el número complejo z = a + bi. Se puede determinar los valores de a y b si:

(1) Re(z) = Im(z) y z se ubica en el tercer cuadrante del plano de Argand.

(2) |𝑧| = √2

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




69.- Para que 5𝑖𝑛 y 𝑏𝑖13, con n entero y b un número real o imaginario, sean iguales se

debe(n) cumplir la(s) siguientes condición(es)

(1) b = 5 y n = 7

(2) b = -5 y n = 3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




70.- Se puede determinar la parte imaginaria del complejo z, dado:

(1) El valor de su módulo y su parte real

(2) El opuesto aditivo de 𝑧

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola




71.- Se puede determinar el valor de z = a + bi, si:

(1) z pertenece al primer cuadrante y |𝑧| = 5

(2) Re(z) = 3

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) o (2)


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Nº

EJER

CLAVE Nº

EJER

CLAVE Nº

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EJER

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EJER

CLAVE

1 C 17 B 33 B 49 A 65 A

2 D 18 A 34 D 50 B 66 E

3 B 19 B 35 B 51 A 67 B

4 D 20 A 36 B 52 A 68 C

5 A 21 C 37 D 53 C 69 B

6 B 22 E 38 B 54 C 70 D

7 D 23 D 39 C 55 A 71 C

8 E 24 B 40 D 56 D

9 C 25 D 41 D 57 B

10 D 26 D 42 E 58 C

11 B 27 A 43 C 59 A

12 D 28 A 44 A 60 B

13 E 29 D 45 B 61 E

14 D 30 A 46 D 62 C

15 D 31 E 47 B 63 E

16 D 32 E 48 D 64 B

nÚmeros complejos ( definiciÓn de la unidad...

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