números reales, propiedades y valor absoluto
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8/19/2019 Números Reales, propiedades y valor absoluto.
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UNIDAD 1NÚMEROS REALES
1.1
PRESENTACIÓN DE LOS SISTEMASNUMÉRICOS BÁSICOS.
Los números son utilizados en la actualidad y
también desde siempre, tanto como para contar comopara hacer diversos cálculos.
En este curso nos enfocaremos en el conjunto de los
números reales (denotado por ℝ), que está constituido
por diferentes clases de números que estudiaremos a
continuación.
1.1.1 Números Naturales
El conjunto de los números naturales (denotado por
ℕ) representa los números que utilizamos para contar,es decir, los números enteros positivos.
Históricamente, el uso del cero como numeral fue
introducido en Europa en el siglo XII con la conquista
musulmana de la península ibérica, pero no se
consideraba un número natural.
Sin embargo, con el desarrollo de la teoría de
conjuntos en el siglo XIX, el cero se incluyó en las
definiciones conjuntistas de los números naturales. Esta
convención prevalece en dicha disciplina, y otras, como
la teoría de la computación. Sin embargo, en la
actualidad ambos convenios conviven.
Para evitar confusiones, de aquí en adelante,
tomaremos como convenio de que el cero no pertenece
al conjunto de los números naturales, quedando éste
definido como el conjunto de los números enteros
positivos (ℕ= {1, 2, 3, 4…+).
1.1.2
Números enteros
Los números enteros (denotados por ℤ), son una
extensión de los números naturales.
Los números enteros extienden la utilidad de los
números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse
para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80
alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero
hay 100 alumnos de último curso que pasaron
a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20
alumnos menos; pero también puede decirse que dicho
número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
ℤ= *…-3,-2,-1, 0, 1, 2,3…+
1.1.3
Números Racionales
El conjunto de los números racionales (denotado por
Q
) se refiere a todos aquellos números que pueden
expresarse como cociente de dos números enteros,
digamos p/q, donde el denominador es distinto de cero.
De esta forma es claro que todo entero es racional, sin
embargo no todo racional es un entero.
Q * , ℤ, on no s 0+
1.1.4
Números Irracionales
Los números irracionales (denotados por ) son
aquellos que no pueden ser representados como
cociente de dos números enteros. Por ejemplo
√ 2,,,. Observación: un número irracional tiene decimales
infinitos, pero a diferencia de los racionales tiene la
característica de que no son periódicos.
Diagrama 1.1 Clasificación de los números Reales.
Ejercicio 1.1 Completa la siguiente tabla como se
muestra.
Número Natural Entero Racional Irracional
-5 No Sí Sí No
2.333...
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o 100
-4π
√ 2 1
3
24/(1/2)
5√ 3 4√ 3
1.2 Axiomas y propiedades de los números
reales.
1.2.1 Propiedades de la Adición:
A1. Cerradura:
Para todo a y b reales, se tiene que a + b es real.
A2. Conmutatividad:
Para todo a y b reales, se tiene que a + b = b + a.
A3. Asociativa:
Para todo a, b y c reales, se tiene que
(a + b) + c = a + (b + c).
A4. Existencia del elemento neutro aditivo:
Existe uno y sólo un elemento denotado por 0, tal que
a + 0 = a para todo real a.
A5. Existencia del elemento inverso aditivo o simétrico:
Para cada real a existe uno y sólo un elemento
denotado por -a, tal que a + (-a) = 0
1.2.2 Propiedades de la multiplicación:
M1. Cerradura:
Para todo a y b reales, se tiene que ab es real.M2. Conmutatividad:
Para todo a y b reales, se tiene que ab = ba
M3. Asociativa:
Para todo a, b y c reales, se tiene que (ab)c = a(bc)
M4.Existencia del elemento neutro multiplicativo:
Existe uno y sólo un elemento denotado por 1, tal que
(a)(1) = a para todo real a.
M5. Existencia del recíproco o inverso multiplicativo:
Para cada real a distinto de 0, existe uno y sólo un
elemento denotado por , tal que a() = 1.
DI. Ley distributiva:
Para todo a, b y c reales, se tiene que a(b + c) = ab + ac.
(Distributividad del producto respecto a la suma).
Ejercicio 1.2 Identifica las propiedades de adición
o multiplicación en las siguientes operaciones.
a) 5+3=8 _____________________________________
b) 50x-2=-2+50x ________________________________
c) 3x-9=3(x-3) __________________________________
d)
√ √ √ = √
_________________________________
e) (2) = 1 ___________________________________
f) 6(6)=36 _____________________________________
g) (5x-1)-(5x-1)=0_______________________________
h) 2(5*3)=3(2*5) _______________________________
i) 5x-3+2x= (5x+2x)-3 ____________________________
j) 2x+ (3-3)=2x _________________________________
k) 4x(x-1)=(x-1) (4x) _____________________________
1.3 Propiedades de orden de los números reales.
Interpretación gráfica:
Un número es mayor que otro si se encuentra más a la
derecha en la recta numérica.
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Ley de Tricotomía:
Sean a y b dos números reales, entonces se cumple uno
y sólo uno de los siguientes casos:
a<b
a=b
a>b
Propiedad transitiva:
Si a≤b y b≤c, entonces a≤c. ó
Si a=b y b=c entonces a=c. para todo a,b,c reales.
Propiedad recíproca o simétrica:
Si a=b entonces b=a. para todo a, b reales.
Propiedad anti simétrica:
Si a≤b y a≥b, entonces a=b. para todo a,b reales.
Ordenar números se puede hacer de dos formas:
o
Forma creciente: De menor a mayor, se utiliza el
signo <. Ejemplo: -2<0<5.
o
Forma decreciente: De mayor a menor, se
utiliza el signo >. Ejemplo: 5>0>-2.
*Propiedades básicas de las desigualdades
Ejercicio 1.3 Ordena los siguientes números deforma creciente y decreciente. Agrega lainterpretación en una recta numérica.
a) -10, 7, π, -0.79, 123, 52/2.
__________________________________________
__________________________________________
PROBLEMAS SECCIÓN 1.1
1. Resuelve los siguientes problemas.
a)
María es 2 años menor que Jorge, Pedro es 5años mayor que Jorge y Lupe es menor que
Pedro por 3 años. Ordénalos de forma creciente
con respecto a sus edades._________________
_______________________________________
b) Entre un grupo de 4 alumnos quieren
determinar quién obtuvo la mayor calificación.
Únicamente saben que el obtuvo 2
puntos más que el , que el
obtuvo 1 punto más que el y que el
obtuvo 5 puntos menos que el. Ordénalos de forma decreciente con
respecto a sus calificaciones: _______________
_______________________________________
_
2.
Identifica las propiedades y axiomas de losnúmeros reales.
a)
3x-2+5x-6=0
(3x+5x)+(-2-6)=0 _________________________
8x+(-8+8)=0+8 ___________________________8x+0=8 _________________________________
(8x)/8=8/8 ______________________________
x=1 ___________________________________
b)
5+7=12 ________________________________
12 =1 _______________________________
1+5=1+5 _______________________________
6≥6 y 6≤6 entonces 6=6 __________________ _
c)
Operación Propiedad
3π=6.1415… 5(1/3)=1.666…
6+0=6
(x+2)=x+2
5x+7-x=(5x-x)+7
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50x-25=25(2x-1)
(2)((3)(5))=((2)(5))(3)
(20)(20)=1
(30a-13)+(-30a+13)=0
1.2 APLICACIONES DEL VALOR ABSOLUTO
1.2.1 El valor absoluto de un número
El valor absoluto de un número real es el valor
numérico del mismo, es decir, sin importar el signo. El
valor absoluto de un número “a” se utiliza expresa
como “|a|”.
Interpretación gráfica:
Gráficamente podemos expresar el valor absoluto de un
número “a” como la distancia en la recta numérica
entre dicho número “a” y el origen.
1.2.2 Propiedades del valor absoluto
Sean a y b números reales:
|a|≥0
|a|=0, entonces a=0
|ab|=|a||b|
|| =
con b distinto de 0
|-a|=|a|
|a-b|=0, entonces a=b
√ = |a-b|=|b-a|
=
Si a≥0…..
|x|≤a es equivalente a: -a≤x≤a
|x|≥a es equivalente a: x≥a ó -x≥a
|x|=a es equivalente a: x=a ó x=-a
1.2.3 El valor absoluto como la distancia entredos números.
La distancia entre 2 números reales a, b está dada
por |a-b|. Por ejemplo la distancia entre -2 y 3 es:
|-2-(3)|=|-5|=5 .
Otra interpretación que podemos darle al valor
absoluto es en ejercicios como los siguientes.
I.
Augusto, emperador romano, nació en el
año 63 a.C. y murió en el 14 d.C. ¿Cuántos
años vivió?
Notemos que este ejercicio se resuelve como valor
absoluto porque los años d.C. son “positivos” mientras
que los años a.C. los consideraremos negativos. Por lo
tanto la solución es: |-63-(14)|=|-77|=77 años.
II.
Escribe la siguiente expresión utilizando la
definición de valor absoluto como distanciaEl punto “a” está a más de 2 unidades de -1.
La distancia entre a y -1 está dada por: |a-(-1)|=|a+1|,
para expresar que ésta distancia es mayor que 2
utilizamos el símbolo “>” como sigue: |a+1|>2.
PROBLEMAS SECCIÓN 1.2
1. Halla la distancia entre los siguientesnúmeros.
a) -7 y 4
b) -5 y 17
c)
2 y -10
2. Halla lo que se pide utilizando ladefinición de valor absoluto comodistancia.
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a) A media noche el termómetro marcaba 4
grados bajo cero, al medio día siguiente la
temperatura llegó a 13°C. ¿cuál fue el
incremento en la temperatura?_____________
b)
Herodes nació en el año 58 a.C. y murió en el
año 13 d.C. ¿cuántos años vivió?_____________
3.
Escribe las expresiones utilizando el valorabsoluto como distancia.
a)
El punto “x” está a al menos a 3 unidades de -5
_______________________________________
b)
Una máquina “a” produce 80 focos al día,
mientras que la máquina “b” produce x focos tal
que la producción de focos entre “a” y “b” no
difiere en más de 5._______________________
c)
El número de horas que un alumno de Actuaría
asiste a clases difiere de 6 en menos de dos
horas__________________________________d)
El punto “x” está a menos de 4 unidades del
origen _________________________________
e) Un barco echó un ancla por la borda. El ancla
estaba a 2 metros sobre el nivel del mar y al
tirarla bajó 6.5 metros. ¿cuál es su ubicación
ahora con respecto al nivel del mar?_________
1.3 OPERACIÓN CON CONJUNTOS ACOTADOSE INFINITOS.
Un conjunto es una colección de objetos o
elementos, claramente especificados de tal forma que
podemos determinar si un objeto pertenece o no al
conjunto. Los conjuntos se denotan con letras
mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas.
En general se consideran dos clases de conjuntos, los
conjuntos finitos, por ejemplo: A={a,b,c}. y los conjuntos
infinitos, por ejemplo: ℕ.
Para expresar que un elemento forma parte de unconjunto se utiliza el símbolo “ϵ” y para denotar un
subconjunto se utiliza “⊆”. Por ejemplo 1 ϵ ℕ y {1} ⊆ ℕ.
Observación: se dice que dos conjuntos son iguales
cuando contienen los mismos elementos, sin importar
que estén repetidos o no. {1,2}={1,2,1,2}
Forma de enunciar los conjuntos:
1.
Extensión. Se enumeran uno a uno todos los
elementos del conjunto.
2. Compresión. Se expresa la característica o regla
de formación del conjunto.
3. Descripción verbal.
Por ejemplo:Sea A el conjunto de los números pares positivos
(descripción verbal).
A=2, 4, 6, 8, …- (Extensión).
A={2k|kϵ ℕ} (Compresión).
1.3.1 Intervalos.
Conjunto universo. Es el conjunto formado por todos
los objetos de estudio en un contexto dado. En caso de
no especificar, tomaremos al conjunto de los números
reales como conjunto universo.
La notación de intervalos se usa para subconjuntos
de los números reales, expresan el conjunto de
números entre 2 valores.
Sean a,b números reales tales que a<b.
Para denotar que a ó b pertenecen al intervalo se usan
corchetes “*+” y para denotar que no pertenecen se
usan paréntesis “()”.
1.3.2 Operaciones con conjuntos de números
reales.
Sean A y B subconjuntos de X.
Unión: (AUB) todos los conjuntos que hay en A y B.
Intersección: (A ∩ B) Elementos comunes de A Y B.
Diferencia: (A-B) Elementos de A que no están en B.
Complemento: () Elementos que están en X pero no
están en A.