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Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

NN ÚÚ MM EE RR OO SS Revista de Didáctica de las Matemáticas

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Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas

http://www.sinewton.org/numeros

ISSN: 1887-1984

Volumen 103, marzo de 2020, página 2

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil

hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de

interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,

aplicaciones de la investigación…

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,

Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.

Director

Israel García Alonso

Comité editorial

Hugo Afonso, Alicia Bruno, Miguel Domínguez, Yanira Duque, Josefa Perdomo Díaz, Melquíades Pérez

Pérez.

Consejo asesor

José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Alicia Bruno, Juan Manuel

Contreras, Juan Díaz, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez, Arnulfo Santo, José Carrillo,

Luis Rico y Xavier Vilella.

Portada.

Autor: Isaac Sánchez Herrera. Título: “Caballo de Troya”

(2º Premio. XXVI Concurso Fotografía y Matemáticas 2018)

Edita

Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas

Apartado 329.

38200 La Laguna (Tenerife). España

Email: [email protected]

Web: http://www.sinewton.org

Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas

Juan Agustín Noda Gómez (Presidente), Ana Rosa Díaz Rodríguez (Vicepresidenta), Jonay Hernández

Arteaga (Secretario), Sandra Díaz Bethencourt (Vicesecretaria), Sergio Alexánder Hernández Hernández (Tesorero), María Nila Pérez Francisco (Secretaria de Actas), Rosario Cano Pérez (Bibliotecaria).

Coordinadores insulares: Purificación Jurado Antúnez (El Hierro), Carmen Delia Clemente Rodríguez

(Fuerteventura), Arístides Ramírez Martel (Gran Canaria), Raquel Méndez Bolaños (La Gomera), Carmen Sonia Fernández Valdivia (Lanzarote), José Felipe Díaz Barrios (La Palma), Carmen Mª Tavío Alemán

(Tenerife).

NNúúmmeerrooss, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac

Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y

noviembre.

mailto:[email protected]


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ISSN: 1887-1984

Volumen 103, marzo de 2020, páginas 3-4

Índice

Editorial 5

Artículos

Grafos y su enseñanza 7

T. C. Braicovich

Experiencia de modelización matemática llevada a cabo con futuros profesores 13

M. F. Cruz, A. M. Mántica, M. A. Gallo

El estudio de las “funciones definidas a trozos”: modelizando el circuito del

alcohol en el cuerpo humano con estudiantes de la escuela secundaria. 29

M. A. Fanaro, M. A. Almaro

Importancia de la competencia lógico-matemática en los estudiantes del Grado

de Educación Infantil. 49

M. P. Suñé Vela

¿Evolucionan los libros de texto de matemáticas con los cambios curriculares? Estudio

de la regresión y la correlación lineal en la Educación Secundaria en España 65

L. J. Rodríguez-Muñiz, A. Corte, L. Muñiz-Rodríguez

El concepto de pendiente: estado de la investigación y prospectivas 81

R. Abreu Blaya, C. Dolores Flores, J. L. Sánchez, J. M. Sigarreta

Secciones

Experiencias de aula

Estudio en el uso de las factorizaciones simultáneas para el cálculo del MCD y

mcm 99

O. J. Falcón Ganfornina

Mundo Geogebra

Estrategia teórico-didáctica para formar el concepto de gráfica y función

lineal en el registro geométrico 113

A. Damián Mojica, A. Morales Carballo

Índice (continuación)

4 NNÚÚMMEERROOSS Vol. 103 mazo de 2020

5

Problemas

50 Aniversario en la Facultad de Matemáticas. Problemas comentados LIII 123

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Juegos

Juegos con letras y palabras, y matemáticas 147

J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)

Informaciones 171

Normas para los autores 175




ISSN: 1887-1984


E D

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Israel García, Director de Números

En estos días cualquier tipo de información que no esté relacionada con el virus ha pasado a un

segundo plano, y situándose la salud como tema de máxima preocupación para la ciudadanía, como no

podría ser de otro modo. Mucha información que recibimos en los últimos días acerca del avance el

virus se ofrece en términos matemáticos. En lo que sigue recogemos algunos datos de esta pandemia.

En estos momentos se conoce que el número de personas que en promedio se puede infectar por

el virus Covid-19 es de 2.5, que al estar por encima de 1 ha provocado que nos encontremos

actualmente en una pandemia, término que no hace mención a la gravedad de la enfermedad sino a la

distribución geográfica y al contagio en cada región. Por tanto, estamos ante una propagación que

sigue una función exponencial de base 2.5, que se sitúa por encima del índice de contagio de la gripe

común, que se encuentra en 1.3 personas por infectado. Más concretamente, la gripe H1N1 (gripe A)

tenía un índice de contagio de 1.5, y, aún así, no pudo ser contenida. En los primeros 50 días, el

número de infectados por Covid-19 es el triple comparado con el que tuvo en su momento la gripe

H1N1. Esto nos puede dar una idea del elevado índice de contagio de este nuevo virus. Pero, además,

hay otra variable a tener en cuenta cuando hablamos de contagios. Y es el tiempo promedio que

transcurre desde que una persona se infecta hasta que lo transmite a otra, que este tiempo se estima en

7 días.

Todos los países están tratando de “aplanar” la curva de la epidemia, de forma que el sistema de

saludo pueda atender a los que más necesiten de sus servicios. Esta información se ofrece mediante un

gráfico de dos funciones que explican la evolución de los casos de contagios según los meses que

transcurren desde el primer caso de contagiado con el virus. Un ejemplo es el ofrecido en el diario “El

País” en su versión online el pasado 11 de marzo:

Llegados a este punto, debemos recordar que la información que hemos indicado aquí no

proviene de una revista de investigación o de un estudio científico que busque modelizar el proceso de

propagación del virus. La información que hemos comentado antes proviene de los medios de


Editorial

6 NÚMEROS Vol. 103 marzo de 2020

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comunicación que, en los últimos días, nos han estado manteniendo al corriente sobre el avance del

virus así como de las medidas que se han ido tomando para su contención.

Con todo ello, lo que queremos destacar es que la interpretación de esta información requiere la

adquisición de conceptos matemáticos que no son elementales: índice de contagio, exponenciales,

lectura e interpretación de gráficas combinadas en un mismo eje, tendencias, comparaciones, … y más

conceptos que no hemos recogido aquí. Esto pone de manifiesto que el trabajo de formación

matemática que hacemos desde nuestras aulas tiene sus frutos y, observando cómo se presentan las

informaciones de estos días podemos tomar conciencia de ello. El esfuerzo de todos los profesores,

científicos, divulgadores y sociedades de matemáticas está consiguiendo ciudadanos críticos y

matemáticamente bien formadas. Estamos en el buen camino.

En este número de Números.

Comienza este volumen con un trabajo de la autora Braicovich acerca de la enseñanza de los

Grafos. Este trabajo fue una invitación para la publicación del volumen 100 que, por diversas

circunstancias, no llegó a tiempo. Aprovechamos para publicarlo en este volumen.

El segundo trabajo que se presenta en este volumen de los autores Cruz, Mántica y Gallo

consiste en el análisis de la modelización matemática desarrollada por estudiantes de profesorado y

cómo se ponen de manifiesto en ellos los subprocesos descritos en la literatura.

El trabajo de Fanaro y Almaro investiga acerca de las funciones definidas a trozos haciendo uso

de este tipo de funciones para analizar el proceso de metabolización del alcohol en el cuerpo humano.

Para ello proponen una Actividad de Estudio e Investigación entendida como una propuesta didáctica

cercana al entorno del estudiante que tiene por objetivo el aprendizaje intencional de un conocimiento

matemático.

Por su parte, Suñé nos presenta un análisis de errores cometidos por estudiantes del Grado de

Educación Infantil cuando plantean actividades lógico-matemáticas para niños de estas edades.

El siguiente trabajo de los autores Rodríguez-Muñiz, Corte y Muñiz-Rodírguez ofrece un

análisis de los conceptos de regresión y correlación lineal en diferentes libros de texto a lo largo de las

distintas leyes educativas que se han ido sucediendo en España.

Cerramos este apartado con el trabajo de los autores Abreu Blaya, Dolores, Sánches y Sigarreta,

con un análisis de las investigaciones realizadas en torno al concepto de pendiente en los últimos

veinte años, revisando la construcción del concepto y las dificultades en torno a su aprendizaje.

Contaremos con las secciones habituales de la revista: Experiencias de aula, Mundo Geogebra,

Juegos y Problemas.

Esperamos disfruten este nuevo volumen.


ISSN: 1887-1984




Grafos y su enseñanza1

Teresa Claudia Braicovich

(Universidad Nacional del Comahue. Argentina)

1. Introducción

En este trabajo, que surge en el marco del Proyecto de Investigación “Teoría de Grafos”, del cual

soy Directora, se presenta el recorrido de investigación realizado durante más de dos décadas a fin de analizar la factibilidad de incluir algunos conceptos del tema grafos en los currículos de los distintos

niveles educativos. Las tres líneas de investigación que coexisten en el proyecto mencionado son:

Algebrización de Grafos (se trabaja con las representacionales matriciales, el espectro y las energías de

los grafos), Aplicaciones de Grafos (se estudian redes relacionadas con salud y también con las

relaciones humanas) y Grafos y su enseñanza, siendo esta última la que da origen a esta presentación.

En un principio los grafos formaban parte de la Topología pero en la actualidad no hay duda que son

una rama dentro de la Matemática Discreta.

A pesar del gran auge que ha tenido la teoría de grafos en las últimas décadas, no se encuentra

demasiado material referido al tema como asunto de enseñanza y menos aún si esa enseñanza es llevada

a cabo mediante el apoyo de herramientas computacionales y es sumamente importante enseñar temas

de punta de la matemática, se cita en este sentido a Claudi Alsina (2013): “El camino de la educación

debe permitir una formación de calidad para todos y asegurar también la actualidad de todo lo que se

explica y aplica. No es posible que los currículos oficiales queden anclados en temas milenarios o de

hace siglos y que no sean permeables a temáticas que siendo formativas tratan problemas de la máxima

actualidad”.

2. Inclusión de conceptos de Teoría de Grafos en niveles primario y secundario

Hay muchas dificultades que pueden ser observadas en los estudiantes: les resulta difícil proponer

razonamientos propios y además en muchas ocasiones no logran resolver sencillos problemas que

pueden presentarse en la vida cotidiana y que tienen relación con la matemática. Probablemente, esta

situación esté relacionada con un modelo cultural que busca reproducir el conocimiento más que

producirlo, podemos tomar de Braicovich, Cognigni y Reyes (2008) las palabras de Moisés Coriat: “No

es tan importante saber muchas cosas como saber cómo aprender cosas nuevas”.

Frente a esta problemática identificada se realizaron investigaciones y creemos que los grafos

constituyen una buena herramienta para conceptualizar situaciones, para extraer pautas y entender

esquemas y lograr transferirlos a situaciones nuevas. Como no hay necesidad de ser un experto en el

tema para usarlos con cierta soltura, vemos que el introducir algunos conceptos de grafos resulta útil

1 Artículo solicitado a la autora por el Comité Editorial para su publicación en el Volumen 100 de la Revista

Números y que por diversos motivos ajenos a este Comité Editorial no pudo ser incluido en el citado volumen.


Grafos y su enseñanza T. C. Braicovich


para despertar el interés por la matemática, para ayudar al desarrollo lógico y a la visión espacial, por

otro lado, también actúa como formador de la intuición y sostén del razonamiento abstracto.

2.1. Nivel Primario

En este nivel se pueden trabajar las propiedades topológicas, con juegos y se pueden usar los

grafos para representar situaciones concretas. El pensamiento atomizado del niño de esta edad hace que

perciba cada problema individualmente, sin aún captar las regularidades, pero se sugiere enfrentarlos a

una gran variedad de situaciones diferentes y entretenidas, que irán desarrollando la intuición, base

“fértil” para futuras generalizaciones y comprensión de propiedades. Trabajar con grafos que

representen situaciones cotidianas, poniendo la mirada en clasificaciones sencillas y en la definición de

los elementos del grafo, para estimular la búsqueda de regularidades, discutir sus propias conjeturas y

obtener conclusiones. Se dan aquí los primeros pasos hacia la argumentación y formulación de hipótesis,

aunque luego la manera de verificarlas o refutarlas siga siendo la realización reiterada de la experiencia. También es interesante proponerles el trabajo con coloreo de grafos, de manera que ellos busquen sus

propias estrategias y/o algoritmos, se encuentran secuencias para el trabajo con coloreo en Braicovich y

Cognigni (2011)

2.2. Nivel Medio

En esta etapa se producen cambios cognitivos en los alumnos, ellos pueden acceder a un mejor

nivel de abstracción y representación que en los años anteriores. Por lo tanto, en este nivel, podrán

plantearse los problemas de grafos como tales, sin necesidad de estar ligados a un problema concreto,

realizando razonamientos propios de la matemática discreta. Se deben proponer actividades que les

permitan explorar, intuir, descubrir, plantear conjeturas, justificando las mismas de manera adecuada, e

incluso llegar, tal vez, a realizar demostraciones formales.

Los alumnos de este nivel están en condiciones de enunciar propiedades y trabajar con los

recorridos, por ejemplo, con una planificación previa del camino a seguir, descartando ya el ensayo y

error. En esta etapa se dan los primeros pasos hacia un pensamiento lógico-formal, de manera que

estimular la capacidad de conjeturar, hacer uso de las propiedades ya conocidas, realizar justificaciones,

descubrir algoritmos (como los necesarios para encontrar árboles minimales y maximales), enfrentarse

a un problema abierto (como el de los recorridos hamiltonianos), constituyen la riqueza de contenidos

apropiados para este nivel.

3. Inclusión de conceptos de Teoría de Grafos en algunas carreras de grado en el

Nivel Universitario

En este punto se presentan las carreras para las cuales se analizó la factibilidad de incluir algunos

conceptos de grafos y lo realizado en términos de investigación, haciendo especial hincapié en la

concienciación de la existencia de problemas abiertos, en las múltiples aplicaciones y en la búsqueda

permanente de nuevos modelos.

3.1. Profesorado en Matemática y Profesorado Universitario en Matemática

En la asignatura Modelos Matemáticos del actual Plan de Profesorado Universitario en Matemática

de la UNCo., vigente desde el año 2014, hay numerosos contenidos de Teoría de Grafos, entre ellos


9 Sociedad Canaria Isaac Newton

de Profesores de Matemáticas Vol. 103 marzo de 2020

recorridos eulerianos, recorridos hamiltonianos, árboles y planaridad y coloreo. Fue un logro del grupo

de investigación que se incluyan estos temas en el nuevo plan, en ocho de las dieciséis semanas que dura

el cursado se trabaja en la temática grafos.

Cabe aclarar que en el plan anterior de Profesorado en Matemática solo se daban algunas

definiciones y la representación matricial de grafos en la asignatura Matemática Discreta. Debido a esto

se ofrecía desde el equipo de investigación un curso de esta temática en el marco de la asignatura

Seminario de la Enseñanza, la que se aprobaba mediante obtención de créditos. El curso “Grafos y su enseñanza” fue dictado en varias oportunidades y siempre contó con una cantidad importante de

estudiantes que lo aprobaran. Los temas eran los que actualmente se dan en la cátedra de Modelos

Matemáticos.

3.2. Licenciatura en Matemática

En el plan de la Licenciatura en Matemática de la UNCo2 no se encuentra el tema grafos, por lo

que desde el equipo de investigación se ofrecen dos materias optativas, “Teoría de Grafos” y

“Aplicaciones de Grafos a temas de salud”, siendo requisito para cursar esta última tener aprobada la

primera. Ambas asignaturas tienen una carga semanal de seis horas y la duración es de dieciséis semanas.

3.3. Distintas orientaciones de Ingeniería

Es importante dar a los estudiantes herramientas para su futuro desarrollo profesional, de manera

que es fundamental mostrar algunas de las numerosas aplicaciones que la Teoría de Grafos tiene en

carreras de Ingeniería, se presentan a continuación en particular las referidas a las seis orientaciones que

se dictan en la Facultad de Ingeniería de la UNCo.:

• Ingeniería Química: Según J. M. Amigó et al. (2007) la Topología molecular es un capítulo que

interesa a la Química y que aplica Teoría de Grafos a la descripción de las estructuras de

moléculas orgánicas, esto se utiliza en investigación de nuevos fármacos.

• Ingeniería Civil: En diseño arquitectónico, en determinados problemas que tienen que ver con la

conectividad de locales y/o ambientes, por ejemplo, se utilizan grafos, ya que los mismos permiten

visualizar las conexiones espaciales, que pueden ser tanto de comunicación física como visual,

acústica o de adyacencias (Noguera Cuenca, 2009).

• Ingeniería en Petróleo: Las redes de proceso de las refinerías son complejas y el esquema de las

mismas es tratado con teoría de grafos para un mejor manejo de los datos. Benavidez Vázquez,

L. (2013)

• Ingeniería Mecánica: En Rodríguez Puente et al. (2012) se encuentran varios algoritmos de

reducción de grafos para dar solución a determinados problemas y se pueden encontrar

aplicaciones en lo que se refiere a redes de work-flow y en redes de computadoras.

• Ingeniería Eléctrica y Electrónica: En Piedra Hernández y Paternostro Movilla (2009) se

encuentran aplicaciones de grafos para el diseño de complejos circuitos y también en el ámbito

de las redes de comunicaciones móviles, desde las líneas telefónicas hasta registros de e-mails se

utiliza Teoría de Grafos.

Para concluir en la recomendación de la inclusión del tema grafos en carreras de Ingeniería se

mantuvieron encuentros de trabajo y se realizaron entrevistas y encuestas a docentes y estudiantes de

dichas carreras (Cognigni, Alfonso y Braicovich, 2017).

2 Universidad Nacional de Comahue



4. Formación de Recursos Humanos en la temática Grafos

“La teoría de grafos permite modelar de forma simple cualquier sistema en el cual exista una relación binaria entre ciertos objetos y por esto su ámbito de aplicación es muy general y cubre muchas

áreas diversas…” José Antonio Pacheco Gago (2003)

4.1. Docentes de Matemática

Muchos docentes de matemática desconocen el tema grafos, otros sólo tienen un mínimo

conocimiento del mismo e incluso algunos, aún cuando manejan más conceptos de esta temática, no

saben cómo presentarlo a sus alumnos. Debido a esto, el objetivo del dictado de cursos y talleres es

transferir el tema, haciendo hincapié en las actividades y metodología a utilizar de acuerdo con las

edades que tienen con quiénes se trabaje.

Por último, cabe agregar que además se busca generar en los asistentes la inquietud de profundizar

en el estudio de esta teoría en el futuro y movilizarlos a enseñar el mismo a sus alumnos. También se

trabaja con el software GeoGebra que en el paquete de Matemática Discreta hay varios temas de grafos,

en particular temas muy actuales y con numerosas aplicaciones, como son los grafos de Voronoi y de

Delaunay.

4.2. Profesionales de otras disciplinas

Se dictaron cursos y talleres a profesionales de la salud, de administración y de contabilidad, esto

fue realizado con el fin de mostrar las aplicaciones de la teoría de grafos en distintos ámbitos y por otro

lado, trabajar en forma conjunta en las cuestiones que pudieran surgir, para hallar de manera colaborativa

posibles soluciones que lleven a una mayor eficiencia, tal vez producto de una mejora en lo coordinación

y uso de los recursos, lo que puede reducir costos y mejorar la economía.

5. Conclusión y Proyección a Futuro

A modo de conclusión se puede transcribir textualmente el texto de Hernández Villanueva.

(2014): “La solución de problemas en la actualidad, requiere de la implementación de acciones al

menor costo y pérdida de tiempo posible. En este sentido, la Teoría de Grafos ha sido una de las

herramientas que ha contribuido a dar respuesta a las necesidades de la sociedad contemporánea”.

A esto se agrega la necesidad de formación continua, de la actualización de programas de los

distintos niveles educativos y de los planes de estudios de carreras universitarias. Como proyección a

futuro se seguirá la línea emprendida hace más de dos décadas, es decir, continuar con los trabajos de

investigación en todos los ámbitos educativos y de formación, ampliando a otros temas de grafos y

también a otras carreras universitarias.

Bibliografía

Amigó, J.; Falcó Montesinos, A.; Galvez, J.; Villar, V. (2007) La Topología Molecular. Dpto. de Físico

Qca. Universidad Politécnica de Valencia. Dpto. de Matemática Aplicada. Bol. Soc. Esp. Mat. Apl.

nº 39. Pag.135-149. Alsina, C. (2013) Mapas del metro y redes neuronales. Ed. Rodesa. Villatuerta, Navarra




Benavidez Vázquez, L.; Águeda Ríos Solís, Y. (2013) Detección de pérdidas en la industria petrolera.

Memorias arbitradas del VIII Congreso de Ingeniería Industrial y de Sistemas. Facultad de

Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Nueva León. México.

Braicovich, T.; Cognigni, R.; Reyes, C. (2008). Recorriendo grafos a lo largo de la educación general

básica. Revista de Educación Matemática de la Unión Matemática Argentina 23. 109-125.

Universidad Nacional de Córdoba.

Braicovich, T.; Cognigni, R.; (2011). Coloreando la geografía desde el plano al toroide. Revista Números. Vol 76. 135-148. Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemática.

Cognigni, R; Alfonso, L; Braicovich, T. (2017) Libro de actas: XX Encuentro Nacional y XII

Internacional de Educación Matemática en Carreras de Ingeniería. Vol I. pp. 225-230. Universidad

Nacional de Santiago del Estero. Santiago del Estero, Argentina.

Hernández Villanueva, G. (2014) FIME. Disponbile en:

http://www.fime.uanl.mx/noticia_planti.php?newId=541

Noguera Cuenca, I. (2009) Aplicaciones Arquitectónicas de la Teoría de Grafos. Valencia, España.

Pacheco Gago (2003) Evolución de indicadores asociados a la medición de la conectividad y utilidad de

las redes de transporte. Disponible en:

https://ccuc.csuc.cat/search~S23*cat?/apacheco+gago/apacheco+gago/1%2C1%2C3%2CB/

Paenza, A. (2008). Matemática…¿estás ahí? episodio 100. Siglo XXI Editores Argentina S.A. Buenos

Aires.

Piedra Hernández, V.; Paternostro Movilla, C. (2009). Aplicaciones de la Teoría de Grafos en la

Informática. Pontificia Universidad Javeriana. Bogotá, Colombia.

Rodríguez Puente, R.; Marrero Osorio, S.; Lazo Cortés, M. (2012) Aplicación de un algoritmo de

reducción de grafos al Método de los Grafos Dicromáticos. Revista electrónica: Ingeniería

Mecánica. Vol.15. N° 2. Pág. 158-168.

Teresa Claudia Braicovich. Docente del Departamento de Matemática, de la Facultad de Economía y

Administración de la Universidad Nacional del Comahue (UNCo.), Patagonia Argentina. Ingeniera Civil

(UNCo.) y Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas con Orientación en Matemática (UNCo.). Cuenta

con presentaciones en congresos nacionales e internacionales en modalidad conferencia, mesa redonda,

panel y comunicaciones científicas y en educación matemática. También cuenta con publicaciones y ha

dictado numerosos cursos y talleres. Email: [email protected]

https://ccuc.csuc.cat/search~S23*cat?/apacheco+gago/apacheco+gago/1%2C1%2C3%2CB/


http://www.fime.uanl.mx/noticia_planti.php?newId=541




ISSN: 1887-1984


Experiencia de modelización matemática

llevada a cabo con futuros profesores

María Florencia Cruz

Ana María Mántica

Matías Agustín Gallo

(Universidad Nacional del Litoral. Argentina)

Fecha de recepción: 30 de marzo de 2019

Fecha de aceptación: 13 de noviembre de 2019

Resumen Se presenta una investigación cualitativa en la que se pone especial atención en el modo

en que futuros profesores en matemática transitan un proceso de modelización

matemática al resolver una situación real. Particularmente se pone énfasis en los procesos

de formulación y validación de afirmaciones puestos en juego y en las interacciones que

se presentan. Del análisis se aprecia que los estudiantes atraviesan diferentes sub-procesos (Blomhøj y

Jensen, 2003) del proceso de modelización matemática, en algunos casos recurren, para

validar sus afirmaciones, a pruebas pragmáticas y en otros a intelectuales. Las

interacciones en la mayor parte de las situaciones del debate producen avances respecto a

la producción matemática realizada.

Palabras clave Modelización Matemática, Futuros Profesores, Validación, Interacciones.

Title Mathematical modelling experience carried out with future teachers

Abstract Here we present a qualitative research focused on the way of action of pre-service

teachers when carrying out a mathematical modeling process to address a real-life

situation. Particularly we emphasize the formulation and validation processes put into

play and their interactions.

From the analysis is evident that students go through different sub-processes (Blomhøj y

Jensen, 2003) of the mathematical modeling process. In some cases, they appeal to

pragmatic tests and other intellectual proofs in order to validate their statements. The

interaction in most of the debate situation results in progress regarding the performed

mathematical production.

Keywords Mathematical Modeling, Future Teachers, Validation, Interactions.

1. Introducción

En este trabajo se presentan resultados de una investigación en la que se analizan producciones

de Futuros Profesores en Matemática que cursan sus estudios en la Facultad de Humanidades y

Ciencias de la Universidad Nacional del Litoral, situada en la provincia de Santa Fe en Argentina.


Experiencia de modelización matemática llevada a cabo con futuros profesores Florencia Cruz, M., Mántica, A. M., Gallo, M. A.


Estas producciones se obtienen al proponer, en la asignatura taller de Geometría, una situación con el

fin de que los estudiantes1 atraviesen un proceso de modelización matemática.

Esta investigación tiene por objetivo analizar el modo en que estos estudiantes de Profesorado

en Matemática transitan los sub-procesos (Blomhøj y Jensen, 2003) del proceso de modelización al

resolver la situación propuesta. También se pretende estudiar el modo en que las interacciones

influyen en los procesos de formulación y validación de conjeturas que los futuros profesores realizan

en el marco de dicho proceso de modelización.

Tanto a nivel nacional como internacional se pueden mencionar diversas investigaciones que

ponen atención en los procesos de modelización matemática, por ejemplo Villarreal, Esteley y Mina

(2010); Gallart, Ferrando y García-Raffi (2015); Villarreal, Esteley, y Smith (2015); Trelles y Alsina

(2017); entre otras.

Así mismo, existen numerosas investigaciones en las que se pone especial atención en

interacciones que se presentan entre estudiantes o estudiantes y docentes en las clases de matemática,

por ejemplo, Cammisi, Kiener y Scaglia (2016) y Cruz, Mantica y Götte (2017). Respecto a la

formulación y validación se pueden mencionar Carnelli, Falsetti, Formica y Rodríguez (2008), Duarte

(2010), Gutiérrez y Jaime (2015), Ojeda, Saldivia y Maglione (2017), Cruz y Mántica (2017), entre

otras.

Las investigaciones mencionadas otorgan información acerca del estado actual en el campo

respecto a problemáticas vinculadas con modelización, interacciones y formulación y validación de

conjeturas. Esto muestra la importancia de profundizar e interrelacionar estas temáticas altamente

reconocidas en el campo de la Educación Matemática. A su vez, un aspecto a remarcar es que los

estándares propuestos por el consejo interuniversitario nacional en Argentina para la formación de

futuros profesores en matemática (2012), los Núcleos de Aprendizajes Prioritarios para la Educación

Secundaria (2011) y los Diseños Curriculares para la Educación Secundaria de la Provincia de Santa

Fe (2014) expresan la necesidad de que los estudiantes, de escuela secundaria y de formación docente,

trabajen con procesos de modelización matemática en su formación. Así mismo, señalan la

importancia de que los estudiantes formulen y validen conjeturas en interacción con pares. Lo

mencionado pone de manifiesto la importancia de que futuros profesores vivencien este tipo de

experiencias.

2. Marco de referencia

Como se menciona anteriormente, en este estudio se reflexiona acerca de la formulación y

validación de conjeturas en interacción entre pares en el marco de un proceso de modelización

matemática. Sadovsky (2005) distingue diferentes acciones que se realizan en el marco de un trabajo

de modelización matemática: recortar la situación problemática, identificar variables oportunas para la

situación problemática particular, establecer relaciones entre las variables que se ponen en juego,

elegir una teoría que permita operar sobre ellas y producir conocimiento nuevo sobre la situación. La

autora afirma que es necesario que los estudiantes tomen decisiones frente a los recursos utilizados y

que se responsabilicen de sus resultados validándolos y confrontándolos con sus pares.

Un proceso de modelización matemática se pone en juego al establecer una relación entre una

situación extra-matemática y una noción matemática determinada (Blomhøj, 2004). El autor señala

1 En este trabajo se emplea el término estudiantes cuando se hace referencia a futuros profesores.




que es interesante el trabajo con situaciones en contextos reales que posibiliten libertad de elección por

parte de los estudiantes y que movilicen conocimientos matemáticos disponibles.

Por su parte, Blomhøj y Jensen (2003) determinan sub-procesos del proceso de modelización

matemática. El primero de ellos es la formulación de la situación, lo que implica diseñar una situación

que guíe la identificación de las características de la realidad que será modelizada. El segundo es

sistematizar, es decir, aquí se seleccionan los objetos relevantes, las relaciones que se tendrán en

cuenta, entre otros, para lograr una representación matemática de la situación. El tercero es traducir los

objetos y relaciones seleccionados al lenguaje matemático. El cuarto es el empleo de métodos

matemáticos para alcanzar resultados de la situación en juego y establecer conclusiones. El quinto es

la interpretación de los resultados y conclusiones considerando el dominio de investigación inicial, es

decir, la situación particular que se está modelizando. El último es la evaluación de la validez del

modelo, que se puede realizar de diversos modos, entre ellos, comparando con datos disponibles, con

conocimiento teórico o por experiencia personal o compartida. Cabe destacar que estos sub-procesos

no siguen un desarrollo lineal, si no que se ejecutan en función de las decisiones de los sujetos que

llevan adelante el proceso de modelización.

Las nociones de modelización matemática abordadas tienen puntos de encuentro. Los sub-

procesos mencionados por Blomhøj y Jensen (2003) están en estrecha relación con los aspectos

descriptos por Sadovsky (2005). No obstante esta última autora señala la posibilidad de trabajar con

fenómenos tanto intra como extra-matemáticos, los autores referencian la modelización de fenómenos

del mundo real y no dejan explicito si dentro del mismo consideran la modelización intra-matemática.

A su vez, Sadovsky (2005) no concibe explícitamente como parte del proceso la formulación de la

situación a diferencia de Blomhøj y Jensen (2003).

En lo que respecta a validación, Balacheff (2000) afirma que se emplea “la palabra

razonamiento para designar la actividad intelectual no completamente explícita que se ocupa de la

manipulación de la información dada o adquirida, para producir una nueva información” (p.13). El

autor afirma que cuando se emplea dicha actividad con el propósito de establecer la validez de una

afirmación se utiliza la expresión “procesos de validación”. Un modo particular de validación

empleado en matemática es la prueba, al respecto, el autor distingue dos tipos de pruebas, pragmáticas

e intelectuales. En las pruebas pragmáticas los estudiantes recurren a una acción real o a la ostensión y

en las pruebas intelectuales apoyan sus afirmaciones en propiedades y relaciones geométricas. Se

destaca que los autores antes mencionados (Sadovsky, 2005; Blomhøj y Jensen, 2003) consideran la

validación como una parte sustancial del proceso de modelización matemática.

Finalmente, en lo que atañe a las interacciones entre pares en la clase de matemática Quaranta y

Wolman (2003) sostienen que los intercambios, las confrontaciones y las justificaciones entre alumnos

pueden producir progresos y permiten construir el camino para validar el trabajo matemático que se

hace. Las autoras manifiestan que el trabajo conjunto es positivo porque “facilita colaboraciones en el proceso de buscar juntos soluciones, mediante la coordinación de los procedimientos para alcanzar un

objetivo determinado” (p. 195). También señalan que pueden encontrarse limitaciones, por ejemplo

que alguno de ellos asuma la dirección de la solución y los otros acepten sin cuestionarlo, por

considerar que ese alumno es “bueno” en matemática, o que algún participante se oponga

sistemáticamente a las propuestas del resto sin emplear argumento de orden matemático. Cabe

destacar además que, estas autoras sostienen que en la puesta en común se producen intercambios

entre todos los estudiantes guiados por el docente.



3. Marco metodológico

La presente investigación es de naturaleza cualitativa (McMillan y Schumacher, 2005).

Particularmente se apela a un estudio de casos ateniendo a las consideraciones metodológicas

planteadas en Stake (1998). Según el autor en estos estudios no se pretende generalizar, sino que se

busca estudiar el caso en profundidad, se destacan diferencias sutiles, secuencias de acontecimientos y

la globalidad de situaciones.

Los sujetos de estudio son futuros profesores en matemática que cursan la asignatura Taller de

Geometría de la carrera Profesorado en Matemática de la Facultad de Humanidades y Ciencias

(FHUC) de la Universidad Nacional del Litoral. Esta materia corresponde al tercer año del plan de

estudio de la carrera y los estudiantes aprobaron previamente, entre otras asignaturas, Geometría

Euclídea Plana y Geometría Euclídea Espacial. Por lo mencionado se considera que los alumnos que

participaron de la experiencia disponen conocimientos básicos de Geometría Euclídea, por tanto la

muestra es no probabilística e intencional (Kazez, 2009).

Atendiendo a la necesidad de un trabajo de modelización matemática y a partir una

conversación entre investigadores y el dueño de un campo de Vera y Pintado (localidad de la

Provincia de Santa Fe) se diseñó una situación. El campesino planteó la necesidad de construir un

tanque de agua para su ganado vacuno estableciendo ciertas condiciones imprescindibles para el

mismo. En este contexto, se tomó la decisión de atender las condiciones propuestas y formular la

situación considerando los interrogantes que propone el campesino, por lo que el sub-proceso de

formulación (Blomhøj y Jensen, 2003) queda a cargo del grupo investigador.

La situación que se formuló se presenta a continuación: Ramón Atilio tiene un campo en el cual

trabaja diariamente en el pueblo Vera y Pintado, a 180 km. de la ciudad de Santa Fe capital. En los

últimos días decidió construir un nuevo tanque de agua para sus 106 vacas Holando argentino, cada

una de ellas toma en promedio 50 litros de agua por día. Necesita de la ayuda de técnicos para tomar

decisiones respecto al tamaño adecuado del mismo y a la cantidad de material necesario para su

construcción. Ramón dispone para la construcción del tanque de un sector cuadrangular de 49 m². Las

únicas condiciones que establece es que el tanque tenga una altura mínima de 1 metro y que su base

sea un octógono regular. El reservorio debe disponer de agua para 7 días atendiendo a la situación de

que el molino no gire por falta de viento. Ramón necesita un bosquejo dinámico de la situación y

respuesta a las siguientes preguntas: ¿Cuáles son las posibles dimensiones del tanque? ¿Qué cantidad

de material necesita para su construcción?

Las restricciones solicitadas por Ramón Atilio, se deben a que en el interior de la Provincia de

Santa Fe en Argentina se construyen tanques de tipo australiano, a pesar de que en otras regiones de

este país se construyen otros tipos de tanques con características que los diferencian. Particularmente, existen dos tipos de tanques australianos, los que se utilizan como reserva de agua o como bebedero.

Los primeros tienen en general 1 metro de altura o más y los segundos una altura de 60 cm

aproximadamente. Las figuras 1 y 2 presentan imágenes que representan a ambos tipos.

La puesta en aula se realiza en una sala de informática de la FHUC durante una clase de 3hs

reloj en la asignatura mencionada anteriormente, en la misma se encuentran presentes 10 futuros

profesores en matemática. Cabe señalar que dos grupos, de dos estudiantes cada uno, abordan la

situación presentada anteriormente, el resto de los participantes responden otra situación. Se propone

una primera instancia de trabajo en la que se presenta la situación diseñada a los grupos de dos

estudiantes, cada uno de ellos dispone de una computadora con acceso a internet. En la segunda

instancia cada grupo expone a la comunidad clase el trabajo realizado. Durante la puesta en juego de la

propuesta se registra la información a través de artefactos escritos y grabaciones en audio y video,




dado que la diversidad de registros potencia la fiabilidad y validez del estudio (Mc Knight, Magid,

Murphy y Mc Knigt, 2000). Cabe señalar que los participantes de la experiencia dieron su

conformidad para que sus producciones se utilicen ámbitos investigativos.

Figura 1: Tanque australiano – Bebedero Figura 2: Tanque australiano - Reservorio

4. Análisis de la experiencia

El análisis de datos se realiza en dos apartados. En el primero se estudian las interacciones de un

grupo de estudiantes que trabajan con la situación propuesta y en el segundo se analizan las

discusiones que se producen en instancias de debate colectivo. Cabe aclarar que se denota con P a la

profesora que interviene en los diálogos y con B y F a las estudiantes del grupo que se analiza en

profundidad en el presente trabajo con el fin de preservar el anonimato de los participantes.

4.1. Análisis de interacciones entre estudiantes del grupo B-F

Las alumnas leen la situación y analizan los datos presentados en la misma. Destacan la

importancia del número total de vacas, la cantidad de litros que toman cada una, la altura mínima del

reservorio, la cantidad de días que debe abastecer el tanque a las vacas del campo y las condiciones

climáticas que influyen en el contexto presentado. Se encuentran sistematizando, recortando la

situación problemática, identificando las variables, estableciendo relaciones entre las variables

seleccionadas, puesto que discuten sobre la elección de objetos relevantes (Sadovsky, 2005; Blomhøj

y Jensen, 2003). Realizan un análisis acerca de la distancia entre el campo y la ciudad de Santa Fe

capital que no retoman posteriormente, se estima que no lo consideran relevante para dar respuesta a la

situación. Se aprecia que la interacción entre las estudiantes permite avanzar en su resolución como se

muestra en el diálogo2 que se transcribe a continuación.

F: Eso de las vacas no sé si será importante, pero bueno.3 [Refiere al número de vacas]4

B: La distancia tampoco.

F: Las vacas calculo que sí. B: Sí, porque toman la cantidad de litros también, 106 vacas, que tenga una altura mínima.

F: Sí y la altura del bebedero. B: Pero mínima, o sea puede ser más grande. [Refiere a la altura del reservorio]

F: Sí, sí.

B: Pero el volumen de eso tiene que solventar 7 días de agua. F: Sí, capaz en 7 días consumen todo el volumen. Vos tenés que pensar que tenés que tener un

poco más, por si no hay viento y no gira el molino, entonces no genera agua.

B: Claro, o sea como, si o si tiene que tener capacidad para 7, más no.

2 Los diálogos se expresan en la variedad dialectal del español rioplatense.

3 Se presentan en itálica las transcripciones textuales de audio.

4 Las aclaraciones del investigador se presentan entre corchetes.



Continúan analizando la relevancia de datos, ponen especial atención en el sector disponible en

el campo para la construcción (cuadrangular y de 49 metros cuadrados de área) y en la forma de la

base del tanque (octógono). La alumna B pone de manifiesto una duda, si los 50 litros son por cada

vaca o por todas, su compañera responde que los 50 litros diarios son para abastecer las 106 vacas.

Esto hace que la estudiante B abandone la discusión aceptando lo que propone F. Se observa que la

interacción constituye una limitación, puesto que B duda en primera instancia, pero luego acata sin

cuestionar lo que propone F (Quaranta y Wolman, 2003).

Por otra parte presentan concepciones diferentes respecto a las nociones de volumen y de

capacidad. En este caso B no acepta “confiadamente” lo que plantea su par poniendo de manifiesto su

incertidumbre.

B: ¿50 litros de agua cada uno o todas? F: No, todas, si vos tenés en un día 50 litros, en 7 días, 350 litros necesitas.

B: O sea ¿ese va a ser el volumen? F: El volumen.

B: ¿El volumen?

F: Sí.

B: ¿Litros?

Una de las estudiantes considera que el material necesario para realizar la construcción es sólo

para las caras laterales del prisma, sin embargo, al debatir esta afirmación concluyen que se necesita

también material para la base. En este sentido se considera que la interacción en este momento

particular es un factor de progreso en la resolución de la situación. Tal como plantean Quaranta y

Wolman (2003), el trabajo conjunto entre alumnos es positivo porque “facilita colaboraciones en el

proceso de buscar juntos soluciones, mediante la coordinación de los procedimientos para alcanzar un

objetivo determinado” (p.195). Posteriormente una de las estudiantes expresa que se necesita un

bosquejo dinámico de la situación.

F: El material, la tierra ¿tiene esa área verdad? No sé de qué material me habla, no te tira

ningún dato.

B: Bueno pero por los metros cuadrado. F: Claro, la tierra es lo que necesitas.

B: No, los metros cuadrados, ¿qué cantidad de material necesita? El casquete, este es el tanque. [Refiere al área lateral del prisma]

F: Ah, el área.

B: El área, pero el área lateral sería, no de las bases. F: Y el piso.

B: Bueno el piso sí, porque no es de tierra. Entonces Ramón necesita un bosquejo dinámico de

la situación, podríamos poner acá.

Las estudiantes retoman la discusión acerca de la forma del tanque, una de ellas sostiene que es

un cilindro porque todos los tanques que conoce tienen esa forma. Su compañera afirma que es un

prisma. En este sentido se aprecia que de los sub-procesos de modelización planteados en Blomhøj y

Jensen (2003) se encuentran traduciendo al lenguaje matemático las posibles formas del tanque y a su

vez validándolas, en términos de Sadovsky (2005) eligen una teoría que permita abordar la situación y

validan su producción. La estudiante F aborda las cuestiones mencionadas a partir de su experiencia

personal y su conocimiento acerca de tanques y la alumna B basándose en los datos presentados en la

situación.

F: Es un cilindro con base, ¿un octógono? Un pedazo de un cilindro. B: Eso es un prisma de base octogonal.




F: Sí, tenés razón. Claro, como los bebederos siempre son cilíndricos es como que se me vino

eso a la cabeza.

La alumna B explica a su compañera una posible forma de determinar las dimensiones del

tanque, emplea métodos matemáticos para arribar a resultados (Blomhøj y Jensen, 2003). Hace

referencia, entre otros, a la fórmula del volumen a utilizar y la búsqueda de datos necesarios para

emplear dicha fórmula. Posteriormente, B expresa que se debe realizar el octógono de mayor área que

quepa en el sector cuadrangular, en este momento B lleva adelante la discusión y F se limita a acatar.

Las estudiantes emplean hasta este momento lo que Balacheff (2000) denomina prueba

pragmática para validar sus conjeturas, dado que toman decisiones a partir de cuestiones ostensivas y

atendiendo al contexto real que se encuentran modelizando.

B: Podríamos ir calculando, por ejemplo, si tenemos 1 metro [Hace referencia a fijar la altura

del tanque en 1 metro]. F: Sí.

B: No, el problema es que nosotras sabemos el volumen, hay que buscar el volumen de un prisma regular de base octogonal y de ahí sacar los otros datos.

F: Claro, porque vos ya sabés cuál es el volumen que necesitas.

B: Claro, lo único que conocemos es el volumen, y cuánto tenemos de área, o sea dibujar un octógono. Tenemos que buscar el octógono de mayor área que se pueda aplicar en el sector

rectangular [Es de destacar que B hace referencia a sector rectangular y no cuadrangular, no queda claro si considera al cuadrado como rectángulo o si confunde dichos conceptos], de

base octogonal regular, área octógono es igual a un lado y la apotema me parece. F: Cuatro por el lado por la apotema y la apotema hay que calcularla.

B: Es que con la apotema, conociendo un lado, después la apotema pasa por el punto medio del

lado. Hacés Pitágoras y la hallás, pero hay que saber el lado.

Indagan información en internet, por ejemplo diversas fórmulas para calcular volúmenes y

áreas. Por otra parte, la interacción permite que avancen en la situación, en particular consideran que

la altura es variable y deciden tomar la mínima para comenzar la resolución. Al respecto Quaranta y

Wolman (2003) sostienen que los momentos de discusión potencian la puesta en juego de reflexiones

y validaciones.

F: Vamos a buscar la fórmula.

B: Acá, conociendo el volumen del prisma octogonal, fórmula: área de la base por, no, área de la base por la altura. La altura ya la conocemos, 1.

F: Es 1 o más.

B: Claro, yo probaría con 1. F: Igual, ¿necesariamente tenés que maximizar esto? Con que cumpla el requisito ya está.

B: Obvio, yo probaría con 1.

F: Sí.

Las alumnas discuten acerca de las nociones de capacidad y volumen y consideran que existe

una relación entre ambas que no recuerdan y por tanto la buscan en Internet. Traducen a lenguaje

matemático sus consideraciones con el fin de emplear posteriormente métodos matemáticos que

potencien el avance de su producción (Blomhøj y Jensen, 2003)

En general es de destacar que B y F comienzan el proceso de resolución rápidamente, leen la

situación y automáticamente determinan un modo de proceder. No retoman el enunciado, esto hubiera

permitido determinar que no es posible que las 106 vacas necesiten sólo 50 litros de agua en un día, la

comparación con lo que necesita un ser humano (en promedio 2 litros por día) hubiera sido suficiente

para analizar esta situación, pues es impensado que una vaca, más aún lechera, tome menos agua que



una persona, en este sentido se destaca que hay una ausencia de validación respecto a la experiencia

personal (Blomhøj y Jensen, 2003; Balacheff, 2000). Se aprecia que las estudiantes comienzan a

resolver la situación y continúan dicha resolución sin volver al enunciado del mismo, al respecto

Schoenfeld (2001) sostiene que la diferencia entre un matemático y un novato es que este último no

vuelve constantemente a lo que solicita la situación como sí lo hace el matemático. Frente a esta

problemática la docente interviene con una pregunta con el fin de que se ponga de manifiesto esta

consideración.

B: Las unidades del volumen.

F: Altura es metro, el área es cuatro por, esto es metro por metro, es metro cuadrado. La altura

está en metros.

B: No, pero el volumen está en litros. ¿No influye eso?, ¿un metro cúbico cuanto tiene de litro? F: Ah bueno hay que buscar la equivalencia, tenés razón. Me parece que un metro cúbico es mil

litros. B: Miremos en internet.

F: Mil litros.

B: Pará, pasemos el volumen en metros cúbicos. […]

P: Lo que quiero saber es por qué está presente el dato 50 litros. B: ¿Cada vaca toma 50 litros? Nosotros pensábamos que todas.

P: No, cada una. B: ¿Cada vaca toma eso?

F: Y bueno pero como decía en promedio.

P: Claro en promedio cada vaca toma 50 litros.

B: Entonces hay que hacer 50 por 106.

Las estudiantes rehacen los cálculos luego de esta afirmación. Discuten si consideran la base de

mayor área que quepa en el cuadrado o no, B considera que “al ser tantas vacas” es mejor trabajar con

el área máxima porque pueden tomar agua más vacas al mismo tiempo, a su vez analizan que una base

de área pequeña exige una altura mayor, en este sentido se aprecia que hay una validación respecto a

la experiencia o una prueba pragmática (Blomhøj y Jensen, 2003; Balacheff, 2000). Es evidente que B

considera que el tanque a construir es para ser usado como bebedero aunque según las

especificaciones que figuran en la situación presentada el pedido realizado por Ramón Atilio está

pensado para reservorio, dado que se pide que tenga al menos 1 metro de alto y que el reservorio debe

disponer de agua para 7 días.

B: Sabes lo que tenemos que hacer acá en el cuadrado este, para inscribir el octógono de

mayor área. F: ¿Necesariamente el de mayor área?

B: Y no, pero el de mayor área es mejor porque si tiene 106 vacas, si fuera el de menor área, yo

hago uno chiquitito, y lo hago re alto, las vacas no van a llegar a tomar, y encima son 106 como que se van a pelear, en cambio si vos haces el de mayor área va a ser más playito,

porque viste que las vacas tienen…

F: Sí, sí.

B: Viste que los tanques son bajitos y bastantes grandes.

F: Sí, sí.

B: Entonces el de mayor área para mí, o sea que tomen todas las vacas.

B y F para encontrar el octógono de mayor área utilizan una fórmula construida anteriormente

en esta asignatura, si no la dispondrían, la obtención de esta fórmula podría haber llevado a la

producción de un nuevo conocimiento matemático por parte de las estudiantes en el marco del

presente proceso de modelización (Sadovsky, 20005). Continúan usando métodos matemáticos, dado




que recurren a lo realizado en otra clase para encontrar la expresión que determina la longitud del lado

del octógono inscripto en el terreno disponible (Blomhøj y Jensen, 2003). Ponen en juego conceptos

matemáticos como el teorema de Pitágoras, el concepto de apotema, fórmulas de áreas, entre otros. En

este sentido, se aprecia que las estudiantes emplean propiedades geométricas para fundamentar sus

afirmaciones y avanzar en la resolución de la situación, es decir apelan a pruebas intelectuales

(Balacheff, 2000).

F: ¿Cómo maximiza? B: ¿No lo hicimos anteriormente en el Taller a esto?

F: Estoy pensando en algo de eso. Pero no sé si igual con maximizar podría cortar el

cuadrado para obtener un octógono. Pero no era de maximizar, era de cortar un

cuadrado mediante un octógono [Refieren a la situación realizada anteriormente].

B: Y bueno. […]

F: Es 𝑙

(2+√2) [Hacen referencia a la medida del lado del octógono, donde l representa la

longitud del lado del cuadrado].

B: El área de la base sería: (√2 𝑥[(2 + √2) × 37,1) ÷ 28

F: O sea el área del octógono ya está. El volumen está y el área lateral también. Está

todo ya, tenemos que ver si funciona.

Diferente a lo explicitado anteriormente, en este caso, las alumnas se comportan en forma

similar a la de un matemático, dado que realizan exploraciones a partir de un análisis cuidadoso de la

situación y retoman frecuentemente el enunciado de la situación (Schoenfeld, 2001). Se visualiza que

manifiestan la necesidad de interpretar y validar la producción realizada en relación con el contexto

determinado, cuestión necesaria en el trabajo con situaciones del mundo real (Blomhøj y Jensen,

2003).

En particular, en instancias de validación determinan que uno de los datos obtenidos es

inconsistente con la situación que ellas se encuentran modelizando. Emplean métodos matemáticos

para realizar la afirmación mencionada, dado que consideran la definición de apotema, esto les permite

descartar su conjetura inicial, nuevamente se aprecia el empleo de pruebas intelectuales (Balacheff,

2000).

F: Ahí está bueno, nosotros llegamos a esa hay que probar si funciona. B: ¿Cuáles son las dimensiones posibles del tanque? Nosotros lo que necesitamos saber

es el volumen, las dimensiones del tanque.

F: Altura, ¿cuál es el ancho y el largo? B: Siete y siete.

F: No, porque esta parte de tierra no la vas a usar en los costados. B: No, no por eso esta distancia es siete y esta es la apotema, a ver cuánto nos da la

apotema, porque por dos nos tendría que dar siete. Si no da 7 no funciona. O sea, la

apotema es desde el punto medio de uno de los lados al centro. Pero a lo que voy es que

la apotema nos da 6,39 y el doble de la apotema nos tiene que dar 7.

Las estudiantes toman posición respecto a la respuesta obtenida y validan considerando los

conceptos empleados, en esta validación solicitan la intervención docente. Realizan un bosquejo en

lápiz y papel y avanzan en la búsqueda de argumentos que validen sus afirmaciones (Balacheff, 2000).

Para determinar la existencia de distintas soluciones relacionan la altura del tanque con el lado del

octógono base, lo que les permite articular ciertas propiedades que exceden la experiencia de dibujar.

B: Profe, no nos da la apotema, al hacer el doble de la apotema, ¿nos tendría que dar esto no?



P: No sé qué están haciendo. B: Un cuadrado y buscamos el octógono de mayor área.

P: ¿Por qué el de mayor área? F: Para no tener tanta altura ahí.

B: Para que las vacas puedan estar alrededor para tomar agua.

F: El lado del octógono es este: 𝑙

(2+√2)

B: Cuando calculamos la apotema y la multiplicamos por dos, porque la apotema es

desde el punto medio de uno de los lados al centro, no nos da 7.

Interpretan resultados, consideran el dominio inicial de investigación y a su vez evalúan los

resultados obtenidos hasta el momento empleando conocimientos teóricos (propiedades geométricas) y

la experiencia personal. Tienen en cuenta que lo más provechoso es que el número de vacas que puedan tomar agua simultáneamente sea el mayor posible y que la altura les permita a las mismas

tomar agua directamente del tanque.

F: Si no consideras el de área máxima vas a tener que aumentar la altura y la vaca no va

a poder tomar el agua.

B: Además también para que tengan mayor cantidad de vacas alrededor del octógono.

Al escuchar la discusión de las estudiantes la docente interviene a fin de potenciar la búsqueda

de razones por las que se produce este error al obtener el valor de la apotema. Ellas afirman haber

buscado la fórmula en internet sin realizar un análisis de los datos ofrecidos por una página que puede

no tener sustento académico. La docente no explicita la razón del error con el fin de que ellas lo

determinen. Es de destacar que el mismo se produce por un error en la fórmula obtenida de internet,

las alumnas disponen de la fórmula en el material de cátedra al que pueden recurrir, pero no lo

emplean.

P: ¿De dónde sacaron esa fórmula?

B: De internet. ¿Qué?, ¿está mal?, 6.39 y revisamos los cálculos.

P: Si vos me decís 6.93, bueno yo te diría, pero fuiste trabajando con raíces. B: Sí, pero o sea no pasamos a decimales nada y quedó así, no sé.

F: O sea en el GeoGebra yo lo probé y todo y nos dió. [Hacen referencia que en la construcción realizada en GeoGebra les da un valor adecuado al contexto, distinto al

obtenido analíticamente].

P: Puede haber algún error ahí de cálculo.

B: Bueno, seguimos así.

En este caso las estudiantes emplean el software de geometría dinámica GeoGebra para

establecer una conjetura y de este modo determinar que el resultado obtenido en el procedimiento

realizado analíticamente es correcto. Continúan realizando cálculos matemáticos, sin revisar lo

anterior para calcular las dimensiones del tanque. Nuevamente emplean una teoría matemática para

operar sobre las variables, es decir traducen objetos y relaciones al lenguaje matemático al observar y

relacionar las dimensiones del tanque, entre ellas base y altura (Sadovsky, 2005; Blomhøj y Jensen,

2003).

B: Bueno, igual, cuales son las posibles dimensiones del tanque. 7 × 7 𝑒𝑠 49 ¿Cuáles son

las posibles dimensiones del tanque? F: Siete, siete, uno.

B: No, las dimensiones del tanque son: la base octogonal, del lado que calculamos y

altura 1.

F: Y, pero tenés que dar el ancho, el largo y el alto.




No logran convencerse de las dimensiones obtenidas. Para ello recurren nuevamente a la

docente y concluyen que como la base tiene forma de octógono regular, basta tener la altura y el lado

del octógono para determinar el volumen del tanque, es decir con esas dos longitudes el campesino

puede construir el tanque de agua para su ganado vacuno. Atendiendo a lo mencionado calculan las

longitudes para aplicar la fórmula del volumen del prisma y resolver una de las consignas de la

situación. Las estudiantes dudan respecto a la cantidad de material a emplear en la construcción e

interactúan con la docente.

B: ¡Profe!

P: ¿Qué pasó?

F: Acá lo del material no es el material, si no, los metros cuadrados que va a tener que

hacer, digamos.

P: ¿Qué sería el material? B: Para tantos metros cuadrados, necesita X material.

P: Claro. B: Bueno entonces ponemos es la cantidad de material.

P: O sea, se refiere al área.

F: Claro, si por eso.

En esta instancia retoman el enunciado de la situación y consideran que deben bosquejarla,

realizan una exploración a través de un análisis cuidadoso de la situación y retoman frecuentemente el

enunciado de la situación, es decir en términos de Schoenfeld (2001) las estudiantes se comportan

como un matemático.

Observan que deben hacer un bosquejo dinámico de la situación y consideran que no es una

tarea fácil, y por esto deciden realizarlo de manera aproximada. Destacamos que las alumnas en

ningún momento consideran representar el tanque empleando GeoGebra, a pesar de que es de uso

habitual en distintas cátedras, en particular las de geometría y de haberlo empleado anteriormente para

verificar el valor de la apotema.

F: Falta el bosquejo, la base ya la tenemos.

[…]

F: Hacé el prisma y pone las medidas del bebedero, B: No entiendo cómo hacer el bosquejo del tanque.

F: Bueno hacé la base del prisma, que ya la tenés de antes y ahora la parte lateral del prisma, ¿entendés?

B: Sí.

F: Cuando hagamos el dibujo en perspectiva no vas a poder hacerla con todos los detalles y todas las medidas.

B: Bueno, más o menos le hago, es un bosquejo.

Las estudiantes relacionan la situación con experiencias personales ocurridas en otras

situaciones de su vida. Posteriormente, evalúan la validez del modelo a partir de la comparación con

los datos disponibles, con el conocimiento teórico y con la experiencia personal (Blomhøj y Jensen,

2003). Relacionan la altura determinada del tanque con la de una de ellas y con la altura promedio de

una vaca Holando argentino, para poder concluir que las medidas dispuestas posiblemente son

correctas y tienen sentido para la situación. B nuevamente deja evidencia de considerar al tanque como

bebedero.

B: Ahora le ponemos las medidas.

F: ¿Está bien la altura?, ¿no le podíamos poner 2? B: Y uno ya es mucho.

F: No, yo mido 1,6 metros, el tanque que está en mi casa es así.

Figura 3. Bosquejo del tanque

realizada por las estudiantes.



B: Pero las vacas no llegan.

F: El ternero no llega, la vaca sí.

Las alumnas a partir de la producción realizada hasta el momento dan por finalizado el debate.

Posteriormente se inicia la puesta en común en la que interaccionan todos los estudiantes presentes en

la clase guiados por la docente.

4.2. Análisis de debate colectivo

En este apartado se utilizan las mismas referencias que en el anterior, es decir, P, B y F. En

caso de apelar a un extracto que involucre voces de otros estudiantes que se encuentran en esta

instancia se emplearán otras letras. Cabe destacar que en el debate colectivo participan los dos grupos

de dos estudiantes que respondieron la situación que en este texto se presenta, dos grupos de tres

estudiantes que responden otra consigna y la profesora de la asignatura.

Las estudiantes B y F explicitan los procedimientos sin aportar mayor información que la

presentada en el análisis anterior. Frente a esto la profesora las interpela con preguntas referidas a

relaciones e interpretaciones que pudieron apreciarse en el debate al interior del grupo, es decir

modera sus interacciones. Al respecto Quaranta y Wolman (2003) afirman que en los momentos de

discusión se generan confrontaciones, reflexiones y argumentaciones, no se trata sólo de dar a conocer

los resultados obtenidos, sino argumentar y buscar razones para defender respuestas.

En esta instancia la docente plantea el siguiente interrogante con el propósito de generar una

discusión respecto a la posible altura del tanque: Si hubiese querido que la base sea muy pequeña,

¿hubiera podido hacerlo? Es decir menor el área y por ende mayor altura, por ejemplo si quiere un tanque de 3 metros de alto. Las estudiantes manifiestan que tres metros no es posible debido a la altura

de las vacas Holando argentino, pues en este caso no podrían acceder a tomar agua. Los dos grupos

que responden esta situación sostienen que la altura de las vacas rondan los 1,3 metros según

información recabada de internet. El grupo que responde a la situación que se presenta en este trabajo

y no se analiza en el apartado 4.1. manifiesta que la altura de la vaca deber ser mayor a la del tanque,

para que las vacas puedan inclinar la cabeza para beber, por tanto deberían considerar una altura

menor a 1,3 m., decisión que las lleva a elegir 1,29 metros (C es una de las estudiantes que participa en

este grupo), B explicita que la altura debería ser menor que 1,29 m. Se pone de manifiesto que en

ningún momento las estudiantes se plantearon que el tanque podría tener el carácter de reservorio y

consideran que las vacas deben tomar el agua directamente del tanque, es decir lo toman como

bebedero.

B: Es que con 3 metros de altura no podes porque las vacas no van a poder tomar.

C: Buscamos en internet que la altura de las vacas era 1,30 metros y las vacas son Holando argentino.

B: Claro pero ahí también hay que ver si el tanque está lleno, si está medio vacío las

vacas no van a poder llegar a tomar.

C: Es que nosotros siempre estamos trabajando con el máximo volumen, entonces

habíamos elegido el 1,29 m.

Posteriormente debaten acerca del modo de determinar las dimensiones del tanque ateniendo a

la decisión tomada por B y F, es decir construir un tanque de 1 metro de altura. Para encontrar el área

de la base del prisma, es decir la del octógono regular, manifiestan necesitar la longitud del lado del

mismo. Al respecto, B y F afirman que en clases anteriores de esta asignatura abordan una situación en

la que encuentran la fórmula que necesitan para obtener el lado de un octógono regular inscripto en un

cuadrado. La validación propuesta por las alumnas obedece a trabajos previos realizados en la cátedra




aceptados por la docente, por lo que lleva la “huella de su autoridad” (Balacheff, 2000, p.47); es decir,

influenciadas por el trabajo previo descartan cualquier otro procedimiento de construcción del

octógono inscripto en el cuadrado.

Otra cuestión que plantea la docente es acerca de la posibilidad de utilizar el software de

geometría dinámica (SGD) GeoGebra para realizar la construcción, dado que lo emplean

habitualmente en clase. En particular, se referencia la expresión “Ramón necesita un bosquejo

dinámico de la situación”, una de las estudiantes contesta que supuso que debía presentar el dibujo en

lápiz y papel, pero que también hubiera sido posible realizar la construcción del tanque en el SGD

empleando un deslizador para observar como varía la altura del tanque. El uso del SGD les hubiera

permitido realizar una construcción, tal como lo señalan utilizando un deslizador y apelando a

definiciones y propiedades geométricas. Es decir, las alumnas pueden producir una construcción

robusta (Healy, 2000) y de esta manera obtener pluralidad de soluciones correctas que le permitan a

Ramón elegir la más conveniente, puesto que al “arrastrar o mover” un punto se modifica la

construcción total obteniendo diversas representaciones semejantes. Interesa resaltar que B y F

deciden fijar la altura y resolver la situación en torno a esta decisión, a pesar de considerar que este

valor puede no ser factible.

B: O sea la altura mínima del tanque podía ser 1 metro, dijimos bueno vamos a probar

con 1 metro y si no nos da, bueno probamos con otra altura.

Finalmente, otra cuestión que la docente propone abordar en la puesta en común es una

reflexión acerca de las nociones de volumen y capacidad, dado que es un conocimiento que se discute

en instancias de resolución de la situación por parte de B y F y les genera desconcierto. Es decir,

emerge un problema matemático en el grupo analizado anteriormente en torno a las posibles relaciones

que se presentan entre dichas nociones, tal como señala Sadovsky (2005) es una característica del

proceso de modelización matemática la emergencia de problemas o cuestiones matemáticas que no se

prevén antes del inicio de dicho proceso. El trabajarlo con todos los estudiantes permite que se

explicite, se analice y reflexione esta cuestión matemática por parte de toda la comunidad clase.

F: Lo que buscamos es la conversión de metros cúbicos a litros porque no sabíamos bien la

diferencia. También buscamos en internet la fórmula de volumen, prisma, área porque no

nos acordábamos nada y bueno es ahí donde nos surgió lo de la conversión, porque con lo

que hicimos queríamos sabemos el volumen del tanque.

5. Reflexiones finales

Se aprecia en el debate colectivo que el empleo de la modelización matemática resulta en esta

experiencia útil para potenciar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de la matemática tal como

lo plantea Blomhøj (2004). En particular, el trabajo con una situación real permite a los estudiantes

movilizar conocimientos previos, tomar decisiones y por lo tanto asumir una postura crítica frente a la

situación que están modelizando y construir conocimientos.

Respecto al trabajo del grupo formado por B y F se observa que transitan por todos los sub-

procesos del proceso de modelización matemática de Blomhøj y Jensen (2003), a excepción del

primero, formular la situación, que fue realizado por los investigadores. En reiteradas ocasiones a

medida que avanzan en la resolución, retoman y vuelven a sub-procesos anteriores lo cual se relaciona

con la no linealidad propia de este tipo particular de trabajo matemático. Se destaca que la situación

les permite reflexionar sobre situaciones de la vida cotidiana, por ejemplo la cantidad de agua que

consume diariamente una vaca comparado con la que consume una persona en promedio y les posibilita analizar que existen otros tipos de bebederos que desconocen, no obstante es de destacar que

el grupo clase en general, no considera que Ramón Atilio solicita la construcción de un reservorio. En



este sentido, se evidencia una dualidad entre conocimientos cotidianos de los alumnos y

conocimientos propios de la matemática formal.

Cabe destacar que la discusión en torno a las nociones de capacidad y volumen son

conocimientos emergentes en el marco del proceso de modelización matemática inesperados por el

docente, coincidente con lo planteado en Sadovsky (2005) respecto a la producción de conocimiento

que en este caso particular se consideraron y abordaron con la comunidad clase.

En la resolución de la situación las estudiantes generan discusiones, formulan ideas, conjeturan

y validan. En ocasiones las interacciones potencian el debate y en otras lo debilitan (Quaranta y

Wolman, 2003). Se aprecia que las mismas se involucran en la resolución, interactúan, debaten,

indagan información en internet, sin usar libros de textos y apuntes disponibles.

Respecto a validación, en momentos, las estudiantes emplean pruebas pragmáticas en el sentido de Balacheff (2000), este modo de proceder particular es el esperado en el marco de trabajo en torno a

situaciones de la realidad y se encuentra ligado al modo de validación mencionado en el sub-proceso

de validación propuesto por Blomhøj y Jensen (2003). Así mismo, cabe destacar que en diversas

instancias las estudiantes acuden a propiedades geométricas para fundamentar sus afirmaciones,

empleando así, lo que Balacheff (2000) denomina pruebas intelectuales.

En cuanto al uso del SGD, las alumnas consideran que una “construcción dinámica” hace

referencia a un bosquejo en lápiz y papel, no tienen presente que se refiere a la utilización del SGD.

Sin embargo, si bien no utilizan el software, no descartan en instancias de debate colectivo el potencial

de este recurso, como se aprecia en el análisis. Es importante que sean las estudiantes quienes decidan

qué tecnología utilizar, digital o tradicional. Sin embargo, en este caso, evaluar el potencial del empleo

del SGD redunda en beneficios para presentar diversos modelos con una única construcción y esto

hubiera permitido a Ramón Atilio elegir el que considera más conveniente.

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http://www.cin.edu.ar/comisiones/asuntos-academicos-%20material-en-%20tratamiento/subcomision-de-profesorados/



María Florencia Cruz. Profesora en matemática en la Facultad de Humanidades y Ciencias de la

Universidad Nacional del Litoral (UNL). Especialista docente de nivel superior en enseñanza de la

matemática en la educación secundaria. Becaria doctoral por la UNL. Ha participado como expositora en

congresos y jornadas nacionales e internacionales sobre enseñanza de la matemática. Ha realizado

publicaciones sobre la temática en revistas especializadas nacionales e internacionales.


Matías Agustín Gallo. Profesor en matemática egresado de la Facultad de Humanidades y Ciencias de la

Universidad Nacional del Litoral (UNL). Actualmente desempeña en diversas escuelas de la provincia de

Santa Fe en Argentina. Ha participado como expositor en congresos y jornadas nacionales sobre enseñanza

de la matemática.


Ana María Mántica. Profesora en la Facultad de Humanidades y Ciencias de la Universidad Nacional

del Litoral. Argentina. Magister en Didácticas Específicas, mención en matemática. Docente

investigadora en temas referidos a la enseñanza de la matemática en distintos niveles del sistema

educativo que ha realizado publicaciones sobre la temática en distintas revistas especializadas nacionales

e internacionales y ha participado como expositora en congresos y jornadas nacionales e internacionales

sobre enseñanza de la matemática.






ISSN: 1887-1984




El estudio de las “funciones definidas a trozos”: modelizando el

circuito del alcohol en el cuerpo humano

con estudiantes de la escuela secundaria

María de los Ángeles Fanaro

(Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires. Argentina)

María Andrea Almaro

(Escuela de Educación Técnica Nº2 - Tandil, Argentina)

Fecha de recepción: 30 de mayo de 2019

Fecha de aceptación: 26 de noviembre de 2019

Resumen En este trabajo se presenta la descripción de la implementación de una Actividad de

Estudio e Investigación en un curso de una escuela secundaria argentina en el contexto

del circuito del alcohol en el cuerpo humano, de cuyo estudio emergió la noción de

“funciones definidas a trozos”. La descripción se centra en las preguntas formuladas y

las respuestas construidas por los estudiantes, destacando las nociones matemáticas que

este proceso permitió construir. La cuestión generatriz del estudio fue ¿Cómo la

Matemática nos permite modelizar el circuito del alcohol en el cuerpo humano?, ya que

esta temática constituye una problemática social muy actual, que afecta de manera

marcada a los adolescentes. Con esta actividad, los estudiantes lograron reencontrar

nociones matemáticas relativas a función lineal (antes estudiadas), y abordar las

funciones lineales definidas a trozos.

Palabras clave Funciones lineales definidas a trozos; circuito del alcohol, Actividad de Estudio e

Investigación

Title The study of the piecewise function: modeling the alcohol circuit in the human body

with high school students

Abstract The aim of this paper is to describe the implementation of a Study and Research Activity

in a course of an Argentine secondary school in the context of the study of alcohol circuit

in the human body. From this process the students got the notions about the piecewise

functions. The description focuses on the questions raised and the answers constructed

by the students, highlighting the mathematical notions that this process allowed to build.

The main question of the study was: How does Mathematic allow us to model the alcohol

circuit in the human body? since this topic constitutes a very current social issue, which

is very close to the teenager’s problems. With this activity, the students managed to

review some mathematical notions related to linear function (previously studied), and

address the linear piecewise functions, which were new for them.

Keywords Lineal piecewise functions; alcohol circuit; Study and Research Activity


El estudio de las “funciones definidas a trozos”: modelizando el consumo del alcohol

en el cuerpo humano con estudiantes de la escuela secundaria M. A. Fanaro, M. A. Almaro


1. Introducción

En Matemática se admite que las funciones a trozos están definidas mediante varias expresiones

algebraicas, actuando cada una de ellas en un intervalo diferente. Se puede establecer que una función

definida a trozos en los intervalos disjuntos I1,I2, . . . , Ik, es una función de la forma

𝑓: 𝐼1 ∪ 𝐼2 ∪ … ∪ 𝐼𝑘 → ℝ

𝑓(𝑥) = {

𝑓1(𝑥), 𝑠𝑖 𝑥𝜖𝐼1

𝑓2(𝑥), 𝑠𝑖 𝑥𝜖𝐼2

…𝑓𝑘(𝑥), 𝑠𝑖 𝑥𝜖𝐼𝑘

donde 𝑓1: 𝐼1 → ℝ, 𝑓2: 𝐼2 → ℝ, …, 𝑓𝑘: 𝐼𝑘 → ℝ son funciones obtenidas por operación o composición de

funciones elementales. Con esta definición se supone que cada una de las funciones fk está definida en

todos los puntos del intervalo Ik. El dominio de una función definida a trozos será por tanto la unión de

los intervalos I1, I2 y Ik. Usualmente se dice que un punto x0 es un punto de cambio de definición cuando

dicho punto es el extremo final de uno de los intervalos Ik y al mismo tiempo el extremo inicial del

siguiente intervalo. Justo en esos puntos se produce un cambio en la función algebraica para la función

de manera que a la izquierda del punto tenemos una expresión algebraica, y a la derecha otra distinta.

El estudio de los puntos de cambio de definición es esencial para analizar las propiedades de una función

definida a trozos. Las funciones a trozos, como todas las funciones matemáticas, son esenciales para la

modelización, y en este caso se destaca su potencial para el estudio de la continuidad de funciones.

Se encontraron pocos estudios de investigación acerca de la enseñanza de las funciones definidas

a trozos en la escuela secundaria, pero por ejemplo se puede citar el trabajo de Leguizamón y Caidedo

(1999) donde las autoras se centran en el aspecto algebraico de las funciones a trozos, exponiendo una

estrategia didáctica para ayudar en la comprensión y manipulación de este tipo de funciones, enfatizando

el carácter activo de toda función, aunque lo hacen sin utilizarlas para modelizar situaciones. También

Vernaza y Tapia (2013) proponen la enseñanza de la función por tramos usando el periódico y el

software libre GeoGebra. En ese trabajo, parten de los diferentes registros de representación semiótica

de las funciones definidas a trozos, al integrar el periódico y GeoGebra como contextos matemáticos

para el diseño e implementación de una secuencia didáctica. Por otra parte, el trabajo de Tesis de

Maestría de Caro Acevedo (2013) presenta una propuesta de enseñanza sobre la modelación de

funciones por tramos en el último año de la escuela secundaria colombiana, desde el marco del

aprendizaje significativo. En esta última propuesta se buscaba que cuando los estudiantes se encontraran

un problema de funciones donde se le presentaban condiciones, identificaran el modelo que representa

el problema como una expresión algebraica, siguiendo los pasos propuestos por George Pólya para

solucionar problemas (comprender el problema, pensar en un plan, ejecutar el plan y mirar hacia atrás).

Los resultados de las pruebas con los estudiantes se compararon estadísticamente, mostrando así la

pertinencia de las actividades implementadas. A nivel universitario, estudios como los de Gatica et al.

(2010) dan cuenta de la relevancia del estudio de las funciones definidas a trozos para la comprensión

del concepto de continuidad de funciones. Mediante un estudio exploratorio y descriptivo, los autores

detallan las dificultades que presentan alumnos universitarios de Ciencias Económicas ante la tarea de

determinar la continuidad de una función, cuando ésta se encuentra definida a trozos.





En la educación secundaria argentina, se propone enseñar las funciones definidas a trozos en los

documentos curriculares correspondientes al cuarto año (antepenúltimo año de la escuela secundaria)

en el contexto del eje “Algebra y estudio de funciones”. Allí, luego de la presentación del concepto de

función y la presentación de algunos ejemplos se expresa que “En el caso de trabajar con funciones que

modelizan problemas, se debe distinguir entre el dominio natural (matemático de la fórmula) y el

dominio propio de la situación que modeliza. Es conveniente proponer la discusión sobre funciones con

dominio discreto y también funciones definidas a trozos” (Diseño curricular para la educación

secundaria. Matemática ciclo superior. 4to. Año, 2010, pág. 20). Es decir, se percibe que no se hace

énfasis en las funciones definidas a trozos, ni se proponen orientaciones para su tratamiento escolar. Sin

embargo, estas funciones son sumamente importantes para la modelización: la población de una cierta

ciudad en la función del tiempo, el costo de un viaje en taxi como función de la distancia recorrida, el

consumo de electricidad en un mes, etc. pueden ser estudiadas con las funciones definidas a trozos. En

particular, gran cantidad de fenómenos admiten una modelación local por medio de una función lineal

(Hitt, 2002, p.89).

El rol de la modelización en la enseñanza de las matemáticas constituye actualmente una de las

cuestiones primordiales en la investigación en Educación Matemática y en la formación inicial de

profesores (véase por ejemplo el trabajo de Huincahué et al., 2018). Desde un punto de vista general es

posible aceptar que un modelo matemático constituye un conjunto de relaciones funcionales que

permiten describir las características de un sistema o proceso real en términos matemáticos. Entonces,

la modelización matemática resulta fundamental para la enseñanza, dado su potencial para describir

situaciones y fenómenos tanto de la vida cotidiana como de nivel más abstracto y complejo. Tal como

señala Hitt (1996) los conceptos matemáticos surgen en ciertos contextos, y el proceso de formalización

de la matemática los descontextualiza. Así una de las tareas del profesor es la recontextualización de los

contenidos matemáticos que se encuentran en los libros de texto, para su presentación en el aula; otra

tarea es la de repersonalizar los problemas tratados; en otras palabras, el profesor intenta que el alumno

tome como suyo el problema. (Op. cit, p. 258).

Por lo tanto, el propósito de este trabajo es indagar la potencialidad de enseñar las funciones

definidas a trozos en la escuela secundaria, desde un contexto que permita a los estudiantes estudiar

estas funciones con sentido, es decir apreciando su utilidad. Para conseguir esto, se debe atender al

potencial de estas funciones como modeladora de situaciones, lo cual refuerza su razón de ser en el

contexto escolar.

2. Marco teórico

Este trabajo, a diferencia de las investigaciones antes referenciadas, se aborda desde la Teoría

Antropológica de lo Didáctico (TAD), la cual sitúa la actividad matemática y, en consecuencia, la

actividad del estudio en matemática, en el conjunto de actividades humanas y de instituciones sociales

(Chevallard, 1999). Esta teoría plantea una redefinición del modelo de enseñanza tradicional y de la

pedagogía dominante en la cual la matemática se presenta como un conjunto de saberes terminados y

cerrados, incuestionables, a las que a lo sumo se puede visitar, produciéndose un fenómeno que se

denomina monumentalización del saber (Chevallard 2006, 2013).

Como consecuencia de este paradigma tradicional, aplicacionista y monumentalista, se produce

el fenómeno denominado: “pérdida de sentido” de las cuestiones matemáticas que se estudian o se

proponen explícita o implícitamente en una institución. Para enfrentar estos fenómenos la TAD propone

la utilización de varios dispositivos, entre ellos, las Actividades de Estudio e Investigación (AEI). Las

AEI plantean una cuestión generatriz Q cuyo estudio produzca la elaboración de una respuesta que no

es inmediata, sino que requiere un proceso de “estudio e investigación” y en este proceso se encuentran




o reencuentran determinados saberes matemáticos, previamente determinados y conocidos de antemano

por la institución escolar.

Con esta base, ya se han realizado varias investigaciones diseñando e implementado distintas AEI,

como por ejemplo las de Llanos, Otero y Gazzola (2011); Marin (2012); Farías (2015); Berenguel

(2017), Corica (2016), Corica y Marín (2014), Bonacina, Teti, Haidar, Bortolato y Philippe (2014)

Fonseca, Gascón y Oliveira (2014), entre otros trabajos de esa misma línea, con resultados alentadores

para la enseñanza de la Matemática.

Este trabajo es parte de un trabajo más amplio donde se diseñó una AEI con el foco en la

modelización del circuito del alcohol en el cuerpo humano cuya pregunta generatriz fue Q0: ¿Cómo la

Matemática nos permite modelizar el circuito del alcohol en el cuerpo humano? Se buscaba promover

en los estudiantes una actividad matemática que se acerque en la medida de lo posible, a la actividad

matemática genuina: explorar, conjeturar, formular preguntas, debatir, crear nuevos problemas, etc. De

esta manera se pretende que los estudiantes logren concebir a la matemática como un saber funcional,

útil y a la actividad matemática mucho más que la resolución de problemas: se trata de formular y

responder preguntas, desarrollar diferentes técnicas, realizar conjeturas, validar soluciones, interactuar

con otros miembros del grupo de estudio, cotejar resultados, técnicas, validaciones, etc. Aquí cobra

relevancia la idea de Chevallard (2017) acerca de que el saber matemático resulte “útil” en el sentido de

la necesidad que tiene la sociedad de conocimientos matemáticos. Dicho de otra manera, los estudiantes

podrían sacar provecho de una difusión más amplia de conocimientos matemáticos, más apropiados a

sus necesidades, ya que no se trata de un público especializado en Matemática (futuros matemáticos o

ingenieros) sino de estudiantes que están siendo formados en una amplia gama de disciplinas. Por su

parte, esto tiene la ventaja de ofrecer la posibilidad de revocar la aversión común por la matemática,

aceptándola como una construcción beneficiosa a la hora de resolver problemas cotidianos.

La TAD permite caracterizar la modelación en términos de praxeologías y sus relaciones (García,

Gascón, Ruiz-Higueras y Bosch, 2006), entendiéndolas como la integración de dos bloques: el técnico-

práctico con el tecnológico teórico. El primero, es relativo al saber-hacer (compuesto por una tarea y

una técnica que representa una determinada manera de realizar un tipo de tareas), mientras que el

segundo implica una tecnología que justifica racionalmente la técnica; y una teoría (enunciados

abstractos que justifican el discurso tecnológico). Precisamente los trabajos de García (2005) y

Barquero, Bosch y Gascón (2011), proponen la modelación matemática como procesos de

reconstrucción y articulación de las praxeologías de complejidad creciente. Estas praxeologías se

refieren tanto a varios tipos de tareas matemáticas cuya realización requiere técnicas matemáticas que,

a su vez, se justifican en tecnologías y teorías matemáticas específicas (organizaciones matemáticas)

como a la manera de organizar el estudio matemático que se lleva a cabo en una institución (organización

didáctica).

Aunque la caracterización que ofrece la TAD para el trabajo con los modelos se presenta muy

rica e interesante, en este trabajo sólo se presenta la AEI, para mostrar cómo partiendo de un problema

que plantea una realidad cercana al entorno de los estudiantes (adolescentes en este caso) y que les

permita involucrarse, genera una construcción de saberes matemáticos muy valiosa. Algunos de estos

saberes ya fueron estudiados en otros años, pero ahora resultan resignificados porque tienen su sentido

propio para esta situación, pero también se encontraron con saberes nuevos, relativos a las funciones

definidas a trozos, propias de este año escolar. Se describe entonces el proceso de estudio e

investigación, presentando las cuestiones y conjeturas planteadas por los estudiantes, las construcciones

principales, y los saberes matemáticos que fueron puestos en juego.





3. Metodología

La investigación es de tipo cualitativa, buscamos describir el proceso de implementación de la

AEI en un curso de una escuela secundaria de la ciudad de Tandil (Argentina) en términos de las

preguntas que la actividad propuesta inicialmente permitió plantear, y las nociones que los estudiantes

lograron construir en el proceso de resolverla. La AEI tiene como pregunta generatriz:

Q0: ¿Cómo la Matemática nos permite modelizar el circuito del alcohol en el cuerpo humano?

Aunque su planteo se realizó en el contexto de un problema potencialmente real para los

estudiantes, como se muestra en la siguiente sección. Se seleccionó la temática del consumo de alcohol

dado que se consideró que constituye una problemática actual entre los adolescentes. El consumo de

alcohol muchas veces se realiza desconociendo sus consecuencias: tanto secuelas irreversibles en el

organismo, o de adicción al alcohol, hasta la responsabilidad de producción de un accidente en la vía a

pública que puede terminar con la vida misma de quien lo consume y de otras personas ajenas a la

situación.

La implementación se llevó a cabo en un curso de quinto año del nivel superior de una escuela

secundaria técnica con orientación en Química, integrado por 17 estudiantes de edades entre 16 y 17

años, donde una de las investigadoras es docente de esa institución. El curso fue seleccionado

intencionalmente porque se buscaba que la profesora fuera la que implementara la AEI que habíamos

diseñado previamente, evitando así la variable profesor en el análisis. Se seleccionó la modalidad de

Química, entre otras modalidades que ofrece la institución, debido a que se considera que los estudiantes

tienen una formación afín a la temática a tratar, en lo referido a la composición química del alcohol, etc.

Durante la implementación de la AEI, que empleó 15 clases de dos horas reloj, el grupo se

organizó en sub grupos, de entre 4 y 6 integrantes cada uno, para así favorecer la interacción entre los

estudiantes. Las clases se desarrollaron en el aula cotidiana, si bien en principio se pensó que sería

necesario y propicio utilizar la sala de informática de la escuela, esto no fue posible por restricciones

institucionales ajenas a la investigación y los estudiantes utilizaron como herramienta de investigación

sus teléfonos celulares o bien traían información desde la casa. Finalmente se solicitó a los estudiantes

la realización de una reflexión final, para conocer qué es lo que ellos expresan haber aprendido al

resolver las situaciones planteadas, que no es presentada en este trabajo.

Se recolectaron todas las producciones de los estudiantes en lápiz y papel, realizadas clase a clase,

que luego fueron digitalizadas y se registró un audio general de cada clase. Se tomaron notas de campo

del docente-investigador, pero tanto éstas como el audio general, se utilizaron como un apoyo a las

interpretaciones de las resoluciones, pero no son analizados en este trabajo. La descripción de la

implementación se basó en el análisis de las repuestas de Q0 que determinaron los distintos recorridos

realizados por los estudiantes, generados por las preguntas derivadas de Q0 y a su vez concatenadas entre

sí, a las que llamaremos Qi.

4. Descripción de la AEI en términos de las preguntas y respuestas de los estudiantes




La profesora planteó la siguiente situación inicial, una problemática disparadora que permitiera a

los estudiantes realizar un proceso de investigación y estudio, recuperando tanto sus conocimientos

previos matemáticos, como los de otras ciencias (química, biología y física).

“Un grupo de amigos van a un restaurante, en el cual comieron y bebieron más de lo normal.

Luego de un tiempo de la última copa se fueron en auto, y colisionaron con otro auto estacionado, sin

sufrir lesiones mayores. Producto del susto y los nervios por el hecho, sin prestar atención a testigos

oculares del hecho, se refugiaron en una de las casas, para evitar el control de alcoholemia, y así ser

multados por la policía ante el hecho de conducir luego de beber. Un tiempo posterior, efectivamente

fueron encontrados y se les practicó el test de alcoholemia. ¿Cómo se puede saber si la colisión fue

consecuencia exclusiva del alcohol ingerido o no?”

Como parte del análisis didáctico previo, formulamos un conjunto de posibles preguntas que se

desprenden de esta problemática inicial, y que su formulación y búsqueda de respuestas para dar origen

a distintas nociones matemáticas a encontrar o reencontrar:

• ¿Cómo conocer el contenido de alcohol en la sangre? ¿De qué factores depende?

• ¿Qué es la graduación alcohólica de una bebida y cómo conocerla?

• ¿Cómo estimar la concentración de alcohol?

• ¿Cómo se puede describir la evolución de la concentración de alcohol en el cuerpo a medida

que pasa el tiempo? ¿De qué factores depende?

• ¿Cómo impacta la comida en el estómago en la concentración de alcohol?

• ¿Cuál es la cantidad de alcohol permitido para conducir? ¿Cómo lo podemos calcular analítica

y gráficamente?

• ¿Cómo predecir efectos de la concentración de alcohol en sangre a medida que pasa el tiempo?

¿Se puede realizar un gráfico que represente de esta situación?

• ¿Cómo interpretar la velocidad de absorción y eliminación de alcohol en el cuerpo?

• Realizar un análisis de varias etapas de absorción y eliminación hasta lograr una concentración

del alcohol cero. ¿Se puede realizar un gráfico que represente de esta situación?

• ¿Cómo hacer retrospecciones sobre la cantidad de alcohol ingerida a partir de mediciones

actuales?

• ¿Cómo se sabe cuánto fue el alcohol ingerido a partir de los resultados de las pruebas corrientes

de alcoholimetría?

• ¿Cómo interpretar los resultados de los test de alcoholemia?

• ¿Después de cuánto tiempo ya no hay alcohol en el cuerpo? ¿De qué factores depende?

El estudio de la pregunta generatriz, lleva al estudio de las siguientes nociones y técnicas

matemáticas:

• Unidades (Volumen, peso, densidad)

• Operaciones con números racionales

• Regla de tres simple. Porcentaje

• Función Lineal

• Estudio de funciones (Dominio, imagen, Máximo o mínimo, ceros, ordenada al origen,

intervalo de crecimiento y de decrecimiento)





• Sistemas de ecuaciones

• Ecuaciones lineales

• Función lineal definida por tramos

• Función “serrucho” o “diente de sierra”

• Intervalos de la variable dependiente y la independiente

Al presentarles el problema inicial, los estudiantes se plantearon las siguientes preguntas: ¿cómo

se mide el alcohol en una bebida alcohólica? ¿Es el mismo tiempo para todas las bebidas? ¿Qué tipo de

alcohol se utiliza? ¿La graduación alcohólica de las bebidas, es lo mismo que los gramos absolutos de

alcohol en una bebida?, ¿Cuánto tarda el alcohol en ir a la sangre? ¿De qué depende ese tiempo? ¿Cuánto

tarda en irse del organismo totalmente? ¿De qué factores depende esta eliminación?

La profesora propuso comenzar por la primera cuestión:

Q1: ¿Cómo se mide el alcohol en las bebidas alcohólicas?

Así, los estudiantes, previa búsqueda en internet de la graduación alcohólica de cada bebida, y de

la densidad del alcohol (0,8 g/ml.) calcularon la proporción de alcohol puro o gramos de alcohol

absoluto, relacionando las unidades (volumen, masa y capacidad). Luego, consensuaron que la selección

de distintos volúmenes de bebida incidía en los gramos de alcohol absoluto, dado que la graduación

alcohólica de cada bebida es característica de la misma, depende de su composición química de la

bebida. Se confeccionó una tabla como la presentada en la Figura 1, que describe cada bebida, con su

volumen, grado y gramos absolutos de alcohol.

Figura 1: Tabla construida por los estudiantes, donde seleccionaron algunas bebidas alcohólicas,

buscaron su graduación alcohólica, y para cierto volumen de la misma, calcularon cuántos gramos de alcohol se

encuentra en ese volumen de bebida.

Como se puede apreciar, los estudiantes reencontraron las siguientes nociones (y técnicas)

matemáticas: números racionales, relaciones entre volumen, masa y capacidad, y las técnicas de cálculo

de porcentaje, y regla de tres simple.

Luego los estudiantes tenían gran curiosidad por conocer cómo saber cuánto alcohol se encuentra

en la sangre de una persona al ingerir una bebida alcohólica, con lo cual se abordó




Q2: ¿Cómo conocer el alcohol que hay en la sangre?

A partir del problema inicial, cada grupo debía suponer características del conductor del

automóvil, (y sus acompañantes) y las bebidas consumidas (cuales y que cantidad) para comenzar a

realizar los cálculos a partir de esos valores. Por ejemplo, uno de los grupos consideró que en el vehículo

iban tres personas y describieron de cada uno lo que había consumido, el peso, la edad, la altura y el

sexo de cada integrante, como se presenta en la Figura 2 (izquierda). En otros casos, en lugar de la altura

o la edad de las personas, consideraron como factor relevante, la ingesta de comidas previa a la toma de

las bebidas alcohólica, como se presenta en la Figura 2 (derecha).

Figura 2: Arriba: Resolución de un grupo de estudiantes que consideró que en el vehículo iban tres

personas y describieron lo que habían consumido cada uno. Abajo: otros estudiantes consideraron la ingesta de

comida previa a la toma de las bebidas alcohólicas.

Otro de los grupos, fue más preciso aún y consideró los tiempos (que tampoco estaban fijados en

el problema), como se presenta en la Figura 3:





Figura 3: Datos de los integrantes del problema inicial elegidos por el G4.

Antes de poder abordar la respuesta a Q2, se planteó a los estudiantes dos preguntas más

elementales:

Q2.1: ¿Que es la alcoholemia?

Q2.2: ¿Cómo se calcula la concentración de alcohol máxima alcanzada en una persona?

Ambas preguntas por su parte, hicieron que los estudiantes se interesen en la cuestión acerca de

los efectos de la alcoholemia en el organismo humano, encontrando la respuesta en varios sitios de

internet. Luego, se consensuó que la concentración de alcohol máxima que alcanzará una persona luego

de haber consumido alcohol puede obtenerse mediante la expresión1:

𝐶 =𝑑

𝑚·𝑟

donde C representa la concentración de alcohol máxima en el cuerpo [g/l]; d la dosis de alcohol ingerido

[gramos], m el peso de la persona [kg], y r la constante de distribución del alcohol en el cuerpo, medido

en l/kg. Luego de realizar un análisis que justifique esta expresión, se consensuó que la expresión

representa que el valor de concentración alcohólica es directamente proporcional a la dosis de alcohol

ingerido, e inversamente proporcional al peso corporal y al sexo de la persona, representada por r. Así

se representa que las mujeres tienden a tener mayor concentración de grasa corporal que de agua, con

respecto a los hombres, lo cual se representa como: r= 0,7 l/kg (hombre) y r= 0,6 l/kg (mujer). En la

Figura 4 (izquierda) se pueden apreciar los cálculos realizados por uno de los grupos y en la Figura 4

(derecha) se muestra como, además de realizar el cálculo de la concentración de alcohol de cada persona,

los estudiantes supusieron lo que cada persona había comido (mucho, poco o nada), aunque en este

momento no supieron como ingresar esta información en sus cálculos.

1 Fue Widmark, químico sueco quien en 1932 enunció que el metabolismo del alcohol transcurre orgánicamente a una

velocidad constante, pero lenta. Para poder averiguar el grado de alcohol máximo en sangre que se alcanzará luego de

ingerir alcohol, propuso una fórmula con la que fue posible poder saber la cantidad de alcohol en la sangre y seguir su

evolución. Es por eso por lo que la curva que modeliza el circuito de alcohol en sangre también se denomina “curva de

Widmark”.




Figura 4: Cálculos de alcoholemia máxima que alcanzarían los integrantes. En la figura de arriba se

puede apreciar que los estudiantes sabían que el hecho de beber con el estómago lleno o vacío tiene influencia,

aunque esto no pudo ser considerado en este momento de cálculo.

Estos cálculos permitieron a los estudiantes concluir acerca de si el conductor llegaría o no a la

alcoholemia máxima permitida actualmente en Argentina (0,5g/l) y despertó la curiosidad de saber en

qué momento esta concentración en sangre disminuiría hasta llegar al valor permitido para conducir sin

riesgos, o incluso a cero. Es decir, debido a la formación de los estudiantes en la orientación química

sabían que el alcohol es metabolizado por el hígado, y entonces en algún momento el alcohol

desaparecería totalmente de la sangre. De esta manera, se planteó el siguiente interrogante:

Q2.3: ¿Cómo se describe la alcoholemia a través del tiempo?

Gestándose así la idea de modelización funcional para describir la distribución de alcohol, en función

del tiempo.

En este punto, era clave que los estudiantes recuperaran los elementos básicos del análisis de

funciones. Para esto, se les propuso analizar un conjunto de datos obtenidos de un estudio real de una





persona de 75kg que había consumido 15ml de alcohol (extraído de Ludwin (2011)), presentando una

tabla con tiempos y concentraciones de alcohol, como se muestra en la parte superior de la Figura 5.

Los estudiantes representaron los pares ordenados ofrecidos en un sistema de coordenadas,

uniendo los puntos y concluyeron que: se parte de un tiempo y concentración cero, y luego a medida

que aumenta el tiempo se produce un incremento en la concentración, llegado al punto máximo. Luego

la curva comienza a descender debido a la metabolización del alcohol en el cuerpo humano. Los

estudiantes recuperaron la idea de que como la función primero crece y luego decrece es natural la

presencia de un punto máximo (asumiendo así la continuidad de la función). Notaron que éste se

producía en el tiempo de 20 minutos y llega a una concentración máxima de 200 mg / litro, como se

puede notar en el gráfico de la Figura 5 realizado por uno de los grupos:

Figura 5: Construcción del gráfico a partir de los datos proporcionados por la profesora, realizado por

uno de los grupos

Según Flanagan (2003) la farmacocinética del alcohol etílico se define como el comportamiento

del alcohol en el organismo, desde su ingreso (etapa ascendente) hasta su eliminación (etapa

descendente) y comprende cuatro etapas o fases: fase de absorción, fase de distribución, fase de

metabolismo y fase de eliminación. En el contexto escolar, luego de interpretar la forma de la función,

identificando el dominio, la imagen y las coordenadas del punto máximo de la función con el par

ordenado (tiempo; concentración de alcohol en sangre), la profesora les propuso identificar la “fase

ascendente” es decir la fase en la cual la función es creciente, y va desde el (0;0) hasta el punto máximo

(30min; 200mg/l) y la fase descendente, o decreciente, considerada desde el punto máximo hasta casi el

cero del eje de abscisas.

Luego se instaló la duda de cuál es el tiempo donde la alcoholemia resulta ser cercana a cero,

respuesta que fue fácilmente encontrada en internet: aproximadamente es 90 minutos, pero los




estudiantes sospechaban que ese valor sería distinto si la persona había consumido bebida alcohólica

con estómago lleno o vacío. Concluyeron, tras la búsqueda en distintos medios, que el tiempo varía entre

60 a 90 minutos (consumida comida previamente) y 30 a 45 minutos (ingestión con el estómago vacío),

concluyendo que este valor es aproximado, dado lo complejo del sistema metabólico del ser humano.

Se propuso entonces, aproximar la curva obtenida como dos trozos de funciones lineales, para

comenzar la modelización de esta situación, ya que estas son funciones son conocidas por los

estudiantes, puesto que ya fueron estudiadas en años anteriores. Para esto, los estudiantes utilizaron los

datos inventados por ellos, y así en la Figura 6 podemos apreciar sus cálculos para dos personas de

distinto sexo y sus conclusiones acerca de la modificación de la concentración máxima, dando que la

mujer tiene una concentración de 0,12 g/l y el hombre de 0,10g/l. Con relación a la función lineal en la

fase ascendente los estudiantes concluyeron que cambiar sólo el sexo dejando fija la cantidad de alcohol

consumido, mantiene invariante el dominio de la función, y se modifica la imagen. En la parte central

de la misma Figura 6, los mismos estudiantes realizaron el análisis de dos personas del mismo sexo pero

de pesos diferentes y llegaron a la conclusión que nuevamente se modificaba la imagen: así la persona

que pesa más tiene una concentración máxima de 2,57 g/l y la persona que tiene menos peso la

concentración máxima alcanzada es de 3,22 g/l.

Por último en la parte inferior de la Figura 6 se puede apreciar cómo los estudiantes realizaron el

análisis para una hipotética situación en el cual una persona había consumido alcohol en un caso con el

estómago vacío y en el otro, lleno. Así concluyeron que en este caso sí se modificaba el dominio, ya que

la que no había comido llegaba más rápido a la concentración máxima: a los 45 minutos llegó a una

concentración de 3,62 g/l, mientras que si había comido antes de consumir alcohol el tiempo para llegar

a la concentración máxima fue a los 90 minutos con la misma concentración alcohólica.

Luego, el grupo de clase abordó el proceso fisiológico de la eliminación del alcohol, resaltando

el tiempo que tarda el alcohol en eliminarse completamente del cuerpo. Los estudiantes plantearon sin

dificultades que debía tratarse de una función decreciente, que si se aproximaba a una función lineal, su

pendiente debe ser negativa.

La profesora sugirió comenzar el análisis colocando el tiempo en cero, y no a continuación del

análisis precedente, por una cuestión de construcción de la función a tramos, que ellos no conocían aún,

y se planeaba realizar a partir de las funciones por separado. La cuestión a responder ahora es:

Q2.3.1: ¿En qué tiempo se llega a la concentración mínima de alcohol en sangre?

Como estaba planteada la situación, los estudiantes no sabían cómo hallar la pendiente de dicha

función lineal decreciente, ya que sólo conocían un punto perteneciente a la recta. Por eso, para no

desviar el foco de la cuestión la profesora intervino proponiendo aceptar que ésta viene dada por el

llamado coeficiente “β” que al igual que el coeficiente r, éste también depende del sexo, siendo 0,0025

g/l.min. para el varón toma el valor y 0,0026 g/l.min. si es mujer. El argumento que se sostuvo fue a que

biológicamente se sabe que el ritmo de eliminación se puede considerar constante, representando la

cantidad de alcohol eliminado por minuto y por kg peso (aproximado e independiente de lo que haya

bebido la persona).





Figura 6: En la parte superior de la Figura se presenta el análisis realizado por los estudiantes para dos personas

de distinto sexo, y en la parte del medio el análisis de la misma persona con distinto peso. En la parte inferior se

puede observar el análisis que ellos realizaron de una misma persona suponiendo que había ingerido alimentos

antes de consumir (tramo de recta color verde), o no (tramo de recta color azul).

Así, con este valor de pendiente de la función lineal descendiente, los estudiantes lograron realizar

el cálculo del tiempo en el que todo el alcohol se metabolizaría en el cuerpo, llegando a cero de

concentración alcohólica, recuperando la noción de raíz de la función como se puede observar en la

Figura 7. En la parte superior de la Figura 7 se aprecian sus cálculos para cada persona. Los estudiantes

podían así notar que la inclinación no variaba, ya que la pendiente era la misma, porque ellos habían

analizado para tres personas del sexo femenino.

También en la misma Figura 7, se nota como los estudiantes señalaron el tiempo en la que en que

las personas involucradas llegaron a la cantidad permitida de alcohol para conducir, en la intersección

de las funciones lineales decrecientes (fase descendente) con la función constante y=0,5.




Figura 7: Representación gráfica de la fase descendente realizada por los estudiantes

Finalmente, la profesora les propuso construir la función (expresada en una única forma

algebraica y en un mismo par de ejes cartesianos) que involucre ambas etapas, modelizando así el

recorrido desde que una persona comienza a tomar hasta la eliminación total del alcohol en el cuerpo.

Así se dio el encuentro con la noción de función definida a trozos.

En la Figura 8 se puede apreciar el análisis de los estudiantes al representar las funciones gráficas

y algebraicamente, analizando el caso de que la persona hubiera ingerido o no comida antes de la bebida,

y también propusieron analizar dos personas de distintos sexo y peso (las cuales denominaron “Marta”

y “Marto”), indicando el cambio en la expresión algebraica de la función.

Con el objetivo de afianzar el concepto de función definida a trozos, se propuso a los estudiantes

analizar el caso de la ingesta continua de alcohol, invitándolos así a modelizar un caso más general que

permita abordar a la función conocida como “función serrucho”. Para acotar la forma de la función

“serrucho” o función “diente de sierra”, y delimitar el problema, se propuso la construcción de, como

máximo dos etapas de absorción y dos de eliminación, hasta que su concentración llegara a cero. En la

Figura 9 se nota como los estudiantes trasladaron a esta situación todas las construcciones anteriores.

Así se aprecia que en la parte superior copiaron todo lo que ya había construido para “Lisa” en la función

en tramos, y en la parte inferior agregaron otra función donde vuelve a tomar pasada las dos horas un

vaso de whisky, por lo tanto, pasado los 120 minutos la concentración bajo a 2,88 g/l y luego pasada





una hora vuelve a subir debido a lo que había consumido (3,1 g/l) y luego pasado los 240 minutos

comienza a descender hasta pasar casi un día para la concentración alcohólica sea nula.

Figura 8: Reconstrucción de la expresión y la gráfica para las fases ascendente y descendente, por dos

estudiantes

Figura 9: Función “serrucho” elaborada por los estudiantes para representar la ingesta continuada de

alcohol

Como cierre de la actividad se propuso retornar a la actividad inicial, que entra en la categoría de

problemas conocidos en casos judiciales y legales como “cálculos retrospectivos”. En estos casos, como

primer paso, se realiza una extracción de sangre, se mide la alcoholemia en ese momento y luego en

base a éste, se calcula la alcoholemia en el momento del accidente (de ahí el nombre de retrospectivo).




La diferencia entre la situación donde los estudiantes hipotetizaban valores de bebidas, y hacían

una descripción del modelo del circuito del alcohol con esta situación, es que en una situación real, aún

desconociendo la cantidad de alcohol ingerida, se puede, a partir de una muestra de sangre (conociendo

el tiempo transcurrido desde la última ingesta), y asegurándose de tomar la muestra en la fase

descendente, realizar una retrospección y determinar el máximo valor de alcoholemia alcanzado en el

organismo. Así, se planteó retomar la expresión de la función lineal de la concentración alcohólica en

función del tiempo en la fase de eliminación, para conocer el valor de concentración máxima alcanzada

en el tiempo t, a partir de la concentración que ofrece el análisis realizado:

Cmáx =Cmuestra + β. t

En la Figura 10 se presenta la resolución de un grupo que, con las condiciones iniciales propuestas

por ellos: ser una mujer la conductora (coeficiente β= 0,0026 g/l.min) haber ingerido ciertas bebidas

alcohólicas con la comida (con lo cual, el tiempo en que llega a la concentración máxima es de 60 min).

Con estas condiciones, habían obtenido inicialmente que la concentración máxima sería de

3,22g/l. Además, supusieron que la policía había interceptado el auto para hacerle el test de alcoholemia

4 horas después del accidente, y a su vez éste había ocurrido 3 hs. después de la última ingesta. Se puede

apreciar cómo a partir de todas estas condiciones, realizaron los cálculos, y establecieron la

concentración alcohólica en el momento del accidente, obteniendo un valor de 2,59 g/l. Con esto

llegaron a la conclusión que el conductor tenía un valor superior al permitido en sangre ( mayor a 0,5),

no solamente en el momento de la extracción de la muestra de sangre, sino también dado el alto valor

en el momento del accidente, fuera muy posible que éste hubiese sido provocado por éste. Como se

puede notar en el gráfico de la función en tramos que ellos modelizaron, ubicaron los pares ordenados:

(1; 3,22), que corresponde al máximo, el tiempo en que llegaba a su concentración máxima, también el

momento que había sido el accidente (240; 2,59) y también la hora de la multa (8; 1,9), corroborando

gráficamente sus cálculos. Luego calcularon el momento en donde la CA=0 concluyendo que, alrededor

de 20 horas recién el cuerpo estaría libre de alcohol. Además de los cálculos, los estudiantes pudieron

reflexionar acerca de cómo se ve afectado el organismo ante esta ingesta de alcohol, advirtiendo que

para la alcoholemia lograda la persona mostraría severos signos de intoxicación alcohólica. En ese caso,

la persona inclusive podría caer en un estado de coma, considerando que ya un valor de entre 0,5g/l y

0,6g/l produce una disminución del tiempo de reacción y de la coordinación.

5. Conclusiones

En este trabajo se muestra que fue posible partir de un problema con sentido para los estudiantes,

dada su cercanía a la problemática del consumo del alcohol, con el planteo de un problema cuya pregunta

generatriz tiene suficiente potencial para hacer surgir preguntas derivadas. Esta Actividad de Estudio e

Investigación, que supuso un cambio de lugares y papeles tanto del profesor como de los estudiantes,

dio lugar un proceso en el cual emergieron las nociones relativas a la función definida a trozos, que era

nueva para los estudiantes, aunque también permitió a los estudiantes reencontrar y resignificar otras

nociones matemáticas como función lineal. Una ganancia que también se suma a partir de este proceso

de estudio, y que no es menor considerando que en las clases de Matemática buscamos formar

ciudadanos críticos, fue la concientización acerca del consumo de alcohol, ya que los cálculos obtenidos

de fuentes reales sensibilizaron a los estudiantes sobre los efectos de su consumo excesivo.





Figura 10: Representación gráfica y cálculos retrospectivos realizados por los estudiantes. En la parte

inferior de la imagen se aprecia el análisis realizado por los estudiantes: para la parte ascendente (izquierda)

calcularon la pendiente; para la parte descendente colocaron la expresión de la recta, e igualando la

concentración igual a cero, hallaron el tiempo. De forma análoga, reemplazaron la alcoholemia detectada al

momento de la multa, concluyendo que ésta había ocurrido 8 horas posteriores al final de la ingesta de alcohol

Los resultados obtenidos se consideran muy alentadores, ya que se trata de una implementación

en un curso regular de una escuela secundaria cuyos actores, habituados a un sistema tradicional de

enseñanza-aprendizaje, que aceptaron el nuevo rol: preguntarse, cuestionar e investigar hasta dar con

una respuesta que los convenza. Esta aceptación, naturalmente fue gradual, ya que este nuevo rol del

docente y de los propios estudiantes se fue afianzando a medida que ellos se sentían confiados en sus

suposiciones y lograban corroborarlas matemáticamente. Por su parte, el rol del docente también se fue

adaptando de a poco, para hacerse a un lado del rol de otorgar respuesta inmediata a las preguntas de los

estudiantes, proceso que se fue naturalizando con el avance de sus estudiantes.

Quedan muchas cuestiones pendientes para seguir investigando, en especial relativas a la

posibilidad de organizar la mayor parte posible del currículo de forma de Actividades de estudio e

Investigación, con los potenciales problemas y beneficios que esta forma de abordar la enseñanza

produce.




6. Referencias bibliográficas

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Tecnología, de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad Nacional del Centro de la Provincia de

Buenos Aires. (UNCPBA) Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET).

Título: Doctora en Enseñanza de las Ciencias por la Universidad de Burgos (España), Profesora de

Matemática y Física por la UNCPBA. Trabaja en el área de Enseñanza de la Matemática y Enseñanza de

la Física. Email: [email protected]

María Andrea Almada. Lugar de trabajo: Escuela de Educación Técnica Nº2 de la ciudad de Tandil.

Títulos: Licenciada en educación Matemática, Profesora de Matemática por el ISFD Nº10. Email:

[email protected]


http://bibliotecadigital.univalle.edu.co/bitstream/10893/6774/1/CD-0395402.pdf



ISSN: 1887-1984




Importancia de la competencia lógico-matemática en los estudiantes del

Grado en Educación Infantil

Mª del Portal Suñé Vela

(Centro de Enseñanza Superior Alberta Giménez, España)

Fecha de recepción: 05 de mayo de 2019

Fecha de aceptación: 01 de diciembre de 2019

Resumen En este trabajo se analizan los errores cometidos por estudiantes de Magisterio de la

titulación de Grado en Educación Infantil en el planteamiento de actividades para

desarrollar el pensamiento lógico matemático en niños de esta etapa, que ponen de

manifiesto faltas de rigor, así como deficiencias en su pensamiento lógico. Esto puede

tener repercusiones en su futura profesión ya que su paso por la Universidad no consigue

solventarlas, y se considera un hecho grave porque es en la primera etapa de la vida de

los niños cuando se consolidan las bases cognitivas que deberán servir de soporte a los

conocimientos posteriores. Hace ya muchos años que se viene constatando que muchos

de los estudiantes que cursan los Grados en Educación presentan lagunas en la

organización de su pensamiento que se manifiestan cuando escriben textos o cuando

organizan la información o preparan un examen. La novedad de este trabajo es

evidenciarlas de forma clara en sus propuestas de actividades para niños.

Palabras clave Competencias maestros Educación Infantil, Habilidades de pensamiento, Lógica-

matemática

Title Importance of the logical mathematical competence in students of the Degree in

Early Childhood Education

Abstract This paper analyzes the mistakes made by Teaching students of the Degree in Early

Childhood Education in the planning of activities to develop logical mathematical

thinking in children of this stage, which reveal faults of rigor, as well as deficiencies in

their logical thinking. This can have repercussions on their future work with children

since their passage through the University does not solve them and it is considered a

serious fact because it is at the first stage of children’s lives when the cognitive bases that

should support subsequent children’s knowledge are consolidated. For some time now it

has been found that many of the students of the Degree in Early Childhood Education

present deficiencies in the organization of their thinking, which become evident when

they write texts, when they organize information, or an exam. The novelty of this work

is to show them up clearly in their proposals for children activities.

Keywords Competences in Early Childhood Education teachers, Thinking skills, Logical-

mathematical


Importancia de la competencia lógico-matemática en los estudiantes

del Grado en Educación Infantil M.P Suñé Vela


1. Introducción

Los cambios cada vez más rápidos que experimenta la sociedad actual, y que inciden en los

estudiantes, ponen de manifiesto que la educación necesita actualizarse. Los maestros de hoy en día

deben acceder a los niños de forma diferente a épocas anteriores, de lo contrario no nos deberá extrañar

el desinterés y la desidia con que los alumnos afrontan sus actividades escolares.

Actualmente los niños tienen fácil acceso a internet hasta el punto de que ya desde pequeños están

permanentemente conectados. Si la escuela sigue manteniendo un ritmo y, en muchas ocasiones, unas

metodologías que difícilmente pueden competir con los estímulos de la sociedad actual y con las ofertas

virtuales, y no se adapta a esta nueva realidad, lo único que va a conseguir es que los alumnos

progresivamente se vayan desmotivando y perdiendo el interés por los aprendizajes que en ella se les

proponen. Pero ellos necesitan ser acompañados en su desarrollo cognitivo para que, en el futuro, sean

capaces de pensar por sí mismos y ser críticos con la abundante información con la que se van a

encontrar.

En este trabajo nos vamos a centrar en este cambio necesario para la escuela, pero desde el punto

de vista de los maestros. Por mucha innovación que se lleve a cabo, por muchas metodologías que se

implementen, por mucho esfuerzo que haga la escuela para acercarse a estos niños que disponen de

tantos estímulos y están inmersos en tanta tecnología, el éxito final va a depender de ellos, de sus

competencias personales y profesionales, y de su compromiso con la tarea que van a realizar.

Especialmente nos vamos a centrar en las competencias relacionadas con la lógica matemática de

los estudiantes del Grado en Educación Infantil, que les deben capacitar en destrezas de pensamiento

para que puedan guiar a los niños desde los primeros años en su evolución de cara a sentar las bases de

su futuro desarrollo competencial.

2. Competencias y actitudes de los estudiantes de Grado en Educación Infantil en

referencia a las matemáticas

Se ha analizado y publicado mucho sobre las competencias que supuestamente deben poseer los

maestros para ejercer su profesión. Se ha insistido en la idea de que “para enseñar cualquier saber

concreto lo primero de todo es tenerlo” (Sáenz, 2007, p.356). Esto es lo que posiblemente nos ha llevado

a ser excesivamente tolerantes con los niveles de conocimientos que constatamos en los estudiantes de

Educación ya que damos por supuesto que cuando han llegado a unos estudios universitarios dominan

necesariamente los contenidos que deberán transmitir a los niños de Educación Infantil (0-6 años) o de

Educación Primaria (6-12 años).

Hace tiempo que los profesores que imparten asignaturas como Matemáticas, o Lenguas en estas

titulaciones se vienen quejando de que les deben enseñar la didáctica de estas materias cuando les falta

mucha base en ellas. Los niveles de conocimientos de los estudiantes que optan por cursar las

titulaciones de Educación, al menos en España, han ido bajando a medida que han ido pasando los años,





y cada vez es más frecuente leer textos escritos por ellos en los que se nota una mala planificación a la

hora de exponer sus ideas, una mala asimilación de las normas gramaticales, poco rigor en su

vocabulario y errores ortográficos. Muchos de los estudiantes que se acercan a los estudios de maestro

suelen acceder a ellos con las notas mínimas que se requieren (no muy superiores al 5). Por otra parte,

los informes PISA constatan que la puntuación que indica el nivel de las competencias matemáticas ha

descendido en España en la última evaluación de la que tenemos constancia (INEE, 2018). Debemos

tener en cuenta que el pensamiento matemático ordena y estructura la mente.

El tema no es nuevo. De Sánchez, hace ya muchos años (1996), destacó los datos de una

investigación que había puesto de manifiesto que el nivel de los estudiantes que ingresaban en los centros

de formación de maestros iba descendiendo a medida que pasaban los años (Arons, 1979, citado por De

Sánchez, 1996, pp.2-3). Se comprobó que muchos estudiantes que llegaban a la universidad seguían en

el estadio de pensamiento concreto de Piaget, y que resolvían problemas siguiendo patrones de este tipo

de pensamiento en lugar del pensamiento formal requerido a su edad.

Las consecuencias que remarcó el estudio anterior (Arons, 1979, citado por De Sánchez, 1996,

pp.3-4) son previsibles, y las seguimos observando actualmente en muchos de nuestros estudiantes:

• El nivel de profundización en contenidos y procesos es bajo ya que les falta la estructura lógica

que les favorecería la comprensión y transferencia de conocimientos.

• Tienen los conceptos aprendidos desorganizados por lo que les cuesta ubicarlos es una

estructura o mapa conceptual. Esta situación les genera problemas a la hora de almacenar y

recuperar la información y para ubicar conocimientos afines relacionados entre sí.

• Es poco probable que generen nuevos conocimientos y procesos reorganizando los que

obtienen en las diferentes disciplinas. Esto incide negativamente en el desarrollo de la

creatividad y del pensamiento crítico, estimula la repetición y provoca que tiendan a utilizar

la descripción como medio preferente para comunicar o captar conocimientos.

• Se muestran pasivos y tienden a aceptar conocimientos o puntos de vista sin cuestionar.

Muestran dificultades a la hora de afrontar retos y situaciones ambiguas, y para definir y

resolver problemas ya que les cuesta cambiar los enfoques, considerar alternativas, o definir

estrategias.

• Todo ello les hace desarrollar progresivamente esquemas de pensamiento pobres, rígidos y

estereotipados, que les conducen al estancamiento, a la rutina y a una elaboración intelectual

superficial y de bajo nivel cognitivo.

Por otra parte, se puso de manifiesto que los estudiantes no superan estas dificultades a lo largo

de sus estudios universitarios, por lo que es imposible que logren el desempeño intelectual deseado en

un titulado universitario. Es previsible, por tanto, que las arrastren hasta su profesión futura.

Los profesores que impartimos docencia en centros de formación de maestros podemos aportar

muchos ejemplos, a modo de anécdotas, de que esto no ha mejorado en los últimos años.




Las deficiencias de razonamiento que describe este estudio (Arons, 1979) interfieren en el

desarrollo de habilidades intelectuales y en la aplicación de estas a la resolución de problemas de la vida

diaria y académica. Asimismo, el estudio destacó que la mayoría de estas deficiencias provienen de una

formación anterior en que se había enfatizado el aprendizaje memorístico de conocimientos aislados,

carentes de significado y transcendencia y susceptibles de olvidarse con facilidad.

Actualmente, otros autores como Arteaga y Macías (2016) lo siguen corroborando:

La percepción, concepción y aplicación que cada sujeto tiene de las nociones

matemáticas dependen del tipo de aprendizaje que haya recibido, bien sea un

aprendizaje de tipo memorístico, algorítmico, en el que el alumno aprende únicamente

lo que se le explica en el aula, o, por el contrario, un aprendizaje que requiera del

pensamiento creativo, la investigación, el descubrimiento y, en general, la

construcción del conocimiento de manera más autónoma (p.24).

En los últimos años, al menos en España, se viene observando algo más de inquietud con relación

a los estudiantes de Grado en Educación. En Cataluña, por ejemplo, se vienen implantando pruebas de

aptitud personal para controlar el nivel de entrada a estos estudios desde el año 2017, exigiendo a los

futuros estudiantes determinados niveles en el dominio de diferentes lenguas e introduciendo

progresivamente otras pruebas de lógica matemática. Otras comunidades autónomas, como Baleares, se

plantean ir por el mismo camino.

Se percibe cierta preocupación por los niveles de conocimiento de estos estudiantes, dando por

supuesto que es difícil enseñar lo que no se sabe. Esto sucede especialmente en los que se preparan para

impartir su docencia en Educación Primaria, pero quedan excluidos los que se preparan para Educación

Infantil (0-6 años), como si para esta etapa no fuese lo más importante dominar a fondo las materias.

Los empleadores suelen priorizar aspectos afectivos y es frecuente escuchar de ellos comentarios

como que para ser maestro de los más pequeños es más importante ser cariñoso que sacar buenas

notas. Incluso muchos estudiantes (y a veces, empleadores) creen que es suficiente con un nivel mínimo

de conocimientos de las diferentes materias para ejercer de maestro.

Teniendo claro que la primera etapa de la vida de los seres humanos supone un momento que no

se debe desperdiciar a nivel neurológico, deberíamos ser más exigentes con la formación de maestros

de esta etapa, especialmente en lo que se refiere al perfil de ingreso y a su formación inicial.

Si nos referimos a las matemáticas, si bien es cierto que un estudiante que llega a la Universidad

domina los contenidos de los niños de 0 a 6 años, no está tan claro que todos sean capaces de guiarles

para sentar una buena base de pensamiento que sostenga una materia tan compleja como esta. Los niños

son especialmente sensibles a la estimulación cognitiva, que no debe reducirse a pasarles unos bits de

inteligencia, o a que hagan series con gomets. En todo caso, el maestro debe saber hacia dónde conducen

este tipo de actividades.





Destacamos, con Arteaga y Macías (2016), la importancia del pensamiento matemático y del

papel del maestro en su desarrollo:

El ser humano necesita poseer una cultura matemática básica que se debe adquirir a

lo largo de toda la vida, y muy destacadamente en etapa escolar, siendo importante,

en esos primeros pasos que se dan hacia su descubrimiento en Educación Infantil, la

manera en que el docente la transmite (p.20).

Además de controlar el nivel competencial de los estudiantes que ingresan en los estudios de

Educación, que a veces no se garantiza solo con buenas calificaciones, la formación que reciben para

alcanzar esta titulación debería contemplar aspectos que Holgado (2014) echa en falta en su revisión

sobre las titulaciones de Grado en Educación Infantil y Educación Primaria “Echamos de menos unos

estudios fundamentados en una racionalidad práctica y crítica, referentes de una capacitación acorde con

el papel del maestro en una escuela y en una sociedad complejas” (p.102).

La tarea que van a realizar los maestros tiene, por una parte, algo de programada, técnica, prevista,

por lo que deben dominar las herramientas didácticas de las programaciones, secuencias de

aprendizaje…, pero, especialmente en la primera etapa, tiene mucho de improvisada, de observar para

captar las oportunidades que ofrecen los niños cuando están en disposición de atender. Los maestros

deben saber aprovechar los momentos que surgen en las dinámicas del día a día, en los contextos

cotidianos, para enlazar los conceptos espontáneos que los alumnos van adquiriendo en su interacción

espontánea con el entorno, y convertirlos en conceptos científicos, logrando que tomen conciencia de su

significado en relación con una estructura o sistema conceptual de conjunto en el que adquirirán sentido

(Moll, 1990).

Los aspectos programados de la enseñanza sí se pueden aprender ya que hay asignaturas en el

plan de estudios dedicadas a ello. Pero la parte más espontánea, por lo que se refiere a desarrollar el

pensamiento matemático en los niños, resulta difícil mediante las asignaturas del currículum de

formación inicial puesto que los maestros deben ser capaces de matematizar el entorno, de aprovechar

situaciones del día a día para fomentar el descubrimiento de sus aspectos matemáticos. Y para ello deben

haber tomado conciencia e interiorizado estos aspectos para que formen parte de su bagaje personal.

En la mayoría de los planes de estudio, los estudiantes del Grado en Educación Infantil tienen una

única asignatura que contempla los contenidos matemáticos referentes a esta etapa, que suele

denominarse Desarrollo del pensamiento matemático y su didáctica. Mi experiencia con ella me ha

hecho constatar que su nivel de conocimientos y actitudes va empeorando con el paso de los años. Mi

tarea es hacerles conscientes de su importancia y transcendencia y conseguir que la vayan descubriendo

con gusto mediante actividades y propuestas didácticas.

Desde que empecé a impartirla, al iniciar las clases con un nuevo grupo, les propongo que

reflexionen sobre su experiencia escolar con las Matemáticas en su formación anterior. Son muy pocos

los que reconocen haber disfrutado y, casi siempre son los que las abandonaron temprano por lo que

intuyo que, más que a un auténtico disfrute, se refieren a que no sufrieron como vieron sufrir a algunos




de sus compañeros que seguían cursándolas y no les acababan de ir bien. La mayoría reconoce que no

les han gustado, que les han representado una gran dificultad hasta el punto de necesitar refuerzo o tener

que abandonarlas en cuanto se les ha presentado la ocasión. Comentan que han llegado a sentir miedo

ante ellas, o aburrimiento (cosa extraña, las Matemáticas deben siempre plantear retos, y eso no puede

dejar indiferente a nadie). Casi ninguno comenta que les hayan generado satisfacción, alegría…

Casi todos tienen, por tanto, algo en común: han pasado por un sistema educativo que difícilmente

les ha despertado un mínimo entusiasmo hacia ellas. Al contrario, a muchos les han hecho sentir torpes

e incapaces de comprender, aunque solo sea superficialmente, muchos de los problemas que se les

planteaba. En general, ya desde que inician sus estudios de maestro es fácil escuchar de ellos lamentos

por tener que cursar de nuevo Matemáticas. Sus actitudes hacia ellas son, por tanto, negativas.

Algunos estudios destacan que las actitudes negativas hacia esta materia inciden en las estrategias

cognitivas y metacognitivas (Suarez y Fernández, 2013, citado por Mato-Vázquez, Soneira y Muñoz,

2018, p.7).

Otros estudios corroboran que las actitudes negativas hacia esta materia son frecuentes en

estudiantes de Grado en Magisterio (Bates, Latham y Kim; 2011, Çatlıoğlu Gürbüz y Birgin, 2014,

citados por Mato-Vázquez, et al., 2018, p.8). Y consideran este hecho más grave si tenemos en cuenta

que el grado de ansiedad que les provoca esta materia se puede transferir a los niños.

Entienden las actitudes como “manifestaciones de la conducta que tienen su origen en creencias,

emociones, hábitos y experiencias anteriores” (Castelló, Codina y López, 2010, citado en Mato-Vázquez

et al., 2018, p.9) y destacan que “los docentes con actitudes negativas utilizan con sus alumnos métodos

de enseñanza que fomentan sentimientos semejantes a los suyos de inseguridad, desmotivación,

ansiedad, falta de conocimientos o disgusto hacia la materia” (Bates, Latham y Kim, 2011, citado en

Mato-Vázquez et al., 2018, p.9).

Sáenz (2007), en la misma línea, afirma que “no es posible ayudar a los alumnos a desarrollar

actitudes más positivas y estrategias de aprendizaje más eficaces para las matemáticas si el profesor no

tiene esas actitudes y esas estrategias” (p.357).

El bajo autoconcepto y la elevada ansiedad favorecen la escasez de éxitos en

matemáticas y esta ausencia de recompensa refuerza actitudes de desánimo y de

fracaso previo al abordar tareas matemáticas. Si los profesores no se sienten atraídos

en absoluto por la actividad matemática será difícil que ayuden a sus alumnos a

descubrir el placer y la utilidad de las matemáticas para comprender el mundo. (Sáenz,

2007, p.357)

En referencia a un estudio en el que evaluaron las competencias matemáticas, que las pruebas

PISA plantean para los alumnos de 15 años, en los alumnos de Magisterio, Sáenz (2007) afirmó que:





…hemos encontrado que los estudiantes de magisterio no poseen en grado suficiente

ni las competencias matemáticas ni las positivas actitudes ante la matemática

identificadas en PISA. Estos resultados avisan de las posibles dificultades que van a

tener los sujetos de la misma, futuros maestros, para dirigir un proceso de aprendizaje

de sus alumnos encaminado al dominio funcional de las matemáticas, cuando ellos

mismos no tienen esa competencia (p.361).

3. Material y método

Los datos que se aportan a continuación suponen la constatación de los errores que cometieron

los estudiantes de 3.º del Grado en Educación Infantil realizando actividades para el desarrollo del

pensamiento lógico-matemático que previamente habían planificado para niños de esta etapa, y que

pusieron de manifiesto sus carencias en lógica y en habilidades de pensamiento.

Se trataba de un grupo de 24 estudiantes de la asignatura Desarrollo del pensamiento matemático

y su didáctica, todas mujeres excepto un varón, a los que se les propuso organizar dinámicas de grupo a

través de las cuales debían conducir a los niños a pensar, partiendo de sus percepciones, e ir avanzando

en aspectos lógicos. Para ello se les proporcionaron las directrices que propone Fernández Bravo (2013)

en su libro Didáctica de la matemática en la Educación Infantil. Las dinámicas se debían generar entre

ellos mismos, en que se repartían los roles de maestros y alumnos, lo que suponía un doble ejercicio de

planificar actividades, como maestros, e imaginar las reacciones y respuestas de los niños ante ellas. Los

grupos que prepararon las actividades fueron 6, 3 de ellos estaban constituidos por 3 estudiantes y los

otros 3 por 5. La dinámica consistió en que un estudiante (o dos) se preparaban para actuar como

maestros y el resto, con el apoyo de los miembros de otro grupo, formaban un grupo de niños.

Dada la dimensión de este trabajo, se van a describir y analizar solo las tres primeras,

reflexionando sobre los errores relacionados con aspectos lógicos que los estudiantes cometieron.

La primera actividad consistía en que la maestra presentaba un objeto en referencia al cual los

niños debían construir frases utilizando atributos. Se trataba de escucharlos y de anotar las frases que

decían. La actividad consistía, por tanto, en promover la construcción de enunciados, proposiciones en

base a aspectos percibidos del objeto. Debían ser afirmaciones de las cuales se pudiese aseverar si eran

verdaderas o falsas. Este es el inicio de la lógica, no en vano las proposiciones son los elementos

constitutivos de los argumentos. Una vez construida la proposición, la aceptaban como verdadera

cuando no se podía objetar nada sobre ella de forma que todos estaban de acuerdo en que lo era ya que

enunciaba algo objetivo y no refutable, y falsa cuando no estaban todos de acuerdo ya que refería algo

subjetivo (para eso estaba el maestro entre los niños, para objetar algo en contra, si se podía).

Esta actividad era la más sencilla de todas las que debían realizar ya que estaban ordenadas por

nivel de dificultad que iba aumentando a medida que se iba asentando lo que se trabajaba en cada una

para poder avanzar en la siguiente, pero la forma en que la plantearon hacía intuir que no acabaron de

comprender claramente qué es lo que debían hacer.




A pesar de haber dedicado varias tutorías a aclarar dudas, no habían preguntado, lo que mostró

algo más grave, que no eran conscientes de ello. Esto es muy frecuente entre nuestros estudiantes, no

suelen cuestionarse nada y se lanzan a hacer lo que se les pide en base a lo que interpretan que deben

hacer.

Como profesora, no me preocupó demasiado su falta de interés por preguntar porque, a diferencia

de otros cursos, este era un grupo con un rendimiento académico bueno, lo cual resultó todavía más

sorprendente.

La dinámica planteada se centró en tres fases. En la primera, a pesar de proponer la actividad para

niños de cuatro años, que se supone que ya tienen un bagaje experiencial suficiente para poder emitir

proposiciones construidas sobre atributos de objetos fácilmente perceptibles, les aportaron parejas de

atributos supuestamente opuestos representados por objetos que tenían el atributo que querían mostrar

al niño (por ejemplo, duro-piedra, blando-esponja). Lo que plantearon realmente era que los niños

repitiesen el atributo que les nombraba la maestra y lo asociasen a un objeto, objetivo alejado de lo que

proponían las directrices (que los niños construyesen proposiciones, frases).

En una segunda fase, las maestras mostraron algunas piezas de fruta a los niños, y estos debían

reconocer los atributos trabajados en la actividad anterior en ellas, lo que suponía un nivel avanzado de

generalización. El objetivo seguía alejado de lo que debían hacer. Aunque aquí ya hubiesen podido

construir frases (proposiciones), cosa que no hicieron, en ningún momento se plantearon que estas frases

podían ser verdaderas o falsas. Y en una tercera fase trataron de que los niños dijesen mentiras sobre las

frutas.

El hecho de gradar el objetivo (que, por otra parte, mostraron que no tenían claro), en niveles de

adquisición, de entrada, era adecuado si hubiesen contemplado diferentes momentos evolutivos, cosa

que no hicieron, pero el enfoque que tomó esta gradación, como partía de una base que no se sostenía,

también fracasó.

Si la primera fase (el conocimiento experiencial de atributos), se mostró poco activa y adecuada

a la edad de los niños ya que simplemente se debían pasar el objeto y decir la palabra que les decía la

maestra referida al atributo que representaba, la segunda fue totalmente caótica. Como los atributos no

estaban bien definidos, eran difícilmente reconocibles en algunas frutas. Además, la falta de

sistematización y las ideas poco claras hicieron que las maestras planteasen actividades que se salían

totalmente de lo establecido, como ordenar frutas por atributos poco definidos (el melón es más grande

que la pera, y ésta más que la uva). Aunque está bien aprovechar situaciones espontáneas para mostrar

conceptos, en este caso se desviaron del objetivo de la actividad: construir frases verdaderas o falsas en

base a atributos percibidos.

A la tercera fase llegaron con la tímida intención de hacer que los niños dijesen mentiras. Era

como si les diese miedo hacer eso, como si estuviese mal hecho. Daba la impresión de que nunca les

habían hecho tomar conciencia de que las proposiciones podían ser verdadera o falsas, y asociaban a





estos conceptos connotaciones morales (solo se puede decir la verdad, no deben decirse mentiras). Esto

se confirmó plenamente al ver las actuaciones del resto de los grupos.

Además, el enfoque de la actividad fue tan compartimentado en sus fases que hacía pensar que

fallaba algo fundamental en un futuro maestro, la conciencia de la globalización, de las interacciones

entre las diferentes partes del todo. Se trata de otro aspecto en el que insistimos todos sus profesores,

pero su procesamiento superficial no permitió que lo implementasen en actividades propuestas por ellos

mismos.

El inicio de la actividad mediante lo que ellos llamaban experiencias mostraba que no entendían

la diferencia entre simplemente tocar (experiencia física) o experimentar. Como remarca Fernández

Bravo (2007), “en el camino de la experimentación es donde necesariamente se registran ideas que

pertenecen al pensamiento matemático cuando se establecen como actividad mental separándose del

objeto o conjunto de objetos que las ha generado” (p.3).

Ellos simplemente pretendían asociar un objeto a una palabra (adjetivo, atributo) que estaba ligada

a un objeto concreto.

Por otra parte, sabemos que, en un momento evolutivo del desarrollo del lenguaje de los niños se

produce un fenómeno denominado prégnance, que consiste en atribuir las cualidades accidentales de un

objeto a su misma esencia (una pelota-roja, cuando puede ser también de otros colores sin perder por

ello su esencia conceptual). Este fenómeno dificulta las clasificaciones, y la diferenciación del concepto.

Es un fenómeno pasajero, que se supera a medida que se va enriqueciendo el vocabulario, pero una

actividad planteada como lo hicieron no tenía sentido para niños de cuatro años. Aparte de ser totalmente

inútil, reforzaba lo contrario de lo que tenían que haber generado, (reforzaba la subgeneralización o

restricción del concepto).

A pesar de tener la seguridad de que conocían los aspectos cognitivos y de lenguaje comentados

anteriormente ya que yo misma se los había explicado en cursos anteriores, no los movilizaron, lo que

sugiere que muchos estudiantes aprueban exámenes, pero en absoluto podemos decir que van

desarrollando competencias. Su bajo nivel de comprensión les había conducido a no transferir

conocimientos.

Además, el hecho de proponer la actividad como una asociación objeto-atributo puso de

manifiesto que tampoco comprendían qué significaba realmente mantener al niño activo, de forma que

fuese él quien descubriese los conceptos y no el maestro el que se los mostrase de forma evidente. A

pesar de que se les ha insistido en la importancia de la actividad mental que necesariamente debe realizar

el niño, de implementar metodologías que promuevan el descubrimiento, de una innovación que plantee

nuevas formas de afrontar los procesos de enseñanza aprendizaje, actuaron como si nunca lo hubiesen

escuchado. Sorprendentemente, son capaces de criticar con crueldad actuaciones de los maestros en sus

prácticas si observan que generan pasividad en los niños, pero ellos caen en errores parecidos o peores

que no perciben como tales.




Analizando los atributos que plantearon para que los niños descubriesen, simplemente tocando

los objetos, se puso de manifiesto que no tenían conciencia del rigor que exige la Matemática.

Aceptaron, incluso reforzando con un muy bien, que uno de ellos denominase pirámide a un triángulo,

o propusieron una pelota (esfera) como ejemplo de redondo en contraposición a un cilindro como

alargado. En ningún momento mostraron conciencia de que trataban con cuerpos geométricos, y de que

debían manejar los conceptos matemáticos con rigor, como se les había explicado.

Entre los atributos que mostraron había algunos referentes a sabores, concretamente dulce-azúcar,

ácido-vinagre. No mostraron conciencia que era inadecuado utilizar solo dos atributos relacionados con

el sabor como contrapuestos, cuando los sabores primarios son más de dos, y no son contrapuestos,

simplemente son diferentes. Una vez más manifestaron carencias básicas importantes y poco rigor.

Las ideas matemáticas deben ser siempre precisas y rigurosas, distinguiendo perfectamente lo

esencial, de lo accidental. Fernández Bravo (2007) apunta que “precisión implica expresarse con el

mínimo discurso a partir del cual se puedan establecer las necesarias relaciones que, mediante el

razonamiento, completen el conocimiento deseado” (p.4), y que “se suele confundir rigor con

formalización; rigor es, ante todo, claridad mental” (p.5). Quedó muy claro que fracasaron en este

sentido.

El segundo grupo, en la segunda actividad, debía romper con la tendencia, natural en los niños,

de sostener que las frases afirmativas son verdaderas y las negativas falsas. Para ello, una vez más

basándose en proposiciones construidas sobre percepciones claras, debían promover la construcción de

proposiciones afirmativas (verdaderas o falsas) y negativas (verdaderas o falsas). Utilizaron como

soporte material los bloques lógicos de Dienes, lo que resultaba adecuado por la claridad perceptiva de

atributos que presenta este material, pero iniciaron la actividad partiendo de que los niños lo

desconocían, cuando siempre se les ha insistido en que deben garantizar una evaluación inicial, y otra

vez cometieron errores relacionados con la lógica.

La actividad se planteó muy lenta y dirigida, generando una vez más pasividad en los alumnos, y

totalmente desordenada y caótica (cuando un niño decía, por ejemplo, que una pieza era roja no se

planteaban en ningún momento de qué otros colores podía ser y no era, sino que saltaban de un atributo

a otro, forma, grosor, tamaño, sin ningún orden). Igualmente, en las proposiciones negativas (no es

roja…ni azul, ni amarilla). En ningún momento plantearon que las proposiciones podían ser falsas, lo

que seguía confirmando las sospechas anteriores.

Cuando les indiqué que solo habían hecho la mitad de la actividad porque no habían planteado

proposiciones falsas, comentaron que era demasiado difícil para niños tan pequeños, que eso les liaría.

Más bien daba la impresión de que mostraban reticencia debido al miedo que les ocasionaba a ellos

mismos.

El tercer grupo, en la tercera actividad, debía avanzar hacia los atributos de colecciones de objetos,

consiguiendo que los niños manejasen los cuantificadores todos, alguno y ninguno sustentados por





proposiciones que podían ser verdaderas o falsas (todas son rojas, alguna es pequeña, ninguna es azul,

por ejemplo). La dinámica funcionó algo mejor, empezó con ellos mismos como material (todos visten

vaqueros, ninguno, falda, alguno, deportivas blancas…), pero cometiendo una vez más faltas de rigor.

Cuando alguno de los compañeros, en el papel de niño, dijo que una zapatilla era roja (porque

tenía dibujos de este color), la maestra insistía en que era blanca, o cuando se referían a vaqueros como

pantalones, cuando algunos no lo eran, y siguieron construyendo solo proposiciones verdaderas,

manteniéndose reticentes a expresar proposiciones falsas. Posteriormente realizaron las actividades con

un material que eran plumas y bolitas de colores de dos tamaños. Aquí cometieron errores como

comparar una sola pluma (blanca) con un grupo de plumas (no todas blancas). Mostraron no tener

conciencia de que en este momento trabajaban con atributos de colecciones, no de objetos. Acabaron

comparando subconjuntos con elementos aislados (en un grupo de plumas había una pequeña que la

compararon con una pequeña que estaba sola, fuera del grupo). La actividad acabó resultando poco

clara.

4. Discusión

Estas formas de actuar que manifestaron estudiantes del Grado en Educación Infantil reflejan

lagunas en su pensamiento lógico y en habilidades de pensamiento. Suponen evidencias de algo que

vemos en sus actividades del día a día que nos hace intuir que algo pasa, pero que difícilmente

percibimos con tanta claridad.

De todo lo que se pudo observar, impacta especialmente su falta de rigor en el manejo de

conceptos, el desorden con el que realizaban las actividades, las actuaciones contrarias a la forma en que

se les había enseñado, no movilizando conocimientos, la poca conciencia que mostraron de que estaban

actuando incorrectamente, y las reticencias que pusieron a construir proposiciones falsas.

En referencia a esto último, en la cumbre mundial de educación (WISE) de 2017 se destacó que

es absolutamente necesario, en un mundo con tanta información, disponer de herramientas para

encontrar la verdad objetiva entre tantas verdades alternativas. Observar la reticencia que tuvieron todos

los grupos a explicitar el concepto de falsedad nos lleva a pensar que la escuela no suele tratar estos

aspectos lógicos, que se suele limitar a transmitir verdades que los niños deben memorizar sin plantearles

ningún cuestionamiento. Sin embargo, sin la capacidad de discernir somos vulnerables, no podemos

desarrollar el pensamiento crítico tan necesario para la libertad de la persona ante el entorno social,

económico y político, especialmente para superar el relativismo que impera en el mundo actual, que

constata que no hay una verdad absoluta, sino múltiples realidades igualmente válidas. Esto va

conduciendo progresivamente a la postverdad, la distorsión deliberada de una realidad con el fin de crear

y modelar opinión pública e influir en las actitudes sociales, en la que los hechos objetivos tienen menos

influencia que las apelaciones a las emociones y a las creencias personales.

De ello se deriva la necesidad de ejercitar razonamientos lógicos desde la escuela infantil. Se debe

seguir investigando a fondo este tema por las consecuencias que se puedan derivar de ello, tanto en lo

https://es.wikipedia.org/wiki/Opini%C3%B3n_p%C3%BAblica

https://es.wikipedia.org/wiki/Apelar_a_las_emociones




que se refiere a los niños ya que la escuela no debe apagar su impulso innato de pensar, como en lo

referente a los maestros, que son los que suelen apagar estos impulsos. De lo contrario, estamos

generando ciudadanos acríticos y vulnerables, expuestos a un mundo cambiante del que deberían tomar

conciencia.

Por otra parte, en el nuevo escenario que plantea internet no hay distinción entre lo que es cierto

y lo que es falso, y cualquier información (verdadera o falsa) se puede expandir (viralizar),

independientemente del hecho que la sustente, hasta el punto de que llega a muchísima gente. Es

necesario que seamos capaces de analizarla y filtrarla, pero es frecuente que no ocurra así.

Constatamos en todo ello la necesidad, más apremiante incluso que en épocas anteriores, de

desarrollar competencias de pensamiento y competencias lógico-matemáticas desde las primeras edades,

basadas en las primeras percepciones ya que la lógica supone una herramienta imprescindible para ser

capaz de analizar, clasificar, y ordenar el exceso de información que tenemos en el mundo actual, de

forma que sea accesible cuando se necesita.

Sáenz (2007) sugirió que se debería apoyar el desarrollo del pensamiento matemático en los

estudiantes al tiempo que aprenden a ser maestros. En el caso que ha movido la observación que

presentamos, la solución está en no quedarse en proporcionarles unas directrices y esperar a que

pregunten si tienen dudas, sino en explicárselas más cuidadosamente e insistir en que las hagan, si es

posible incluso con niños, para que vayan aprendiendo sobre la práctica.

Los maestros deben poseer un pensamiento ordenado para que puedan guiar a los niños en su

desarrollo desde muy temprano. Debemos ser conscientes, por tanto, de que no podemos confiar en que

los estudiantes que inician sus estudios van a ser capaces de hacerlo, sino que es necesario ayudarles.

Especialmente es necesario que desarrollen el pensamiento crítico, entendido como un conjunto

de habilidades cognitivas esenciales para la interpretación, análisis, evaluación, inferencia, explicación

y la autorregulación (Facione, 2007, citado por Moreno-Pinado, Velázquez, 2017) ya que “es a partir

del actuar del maestro en su contexto de aula como se puede incidir en el desarrollo del pensamiento

crítico en los estudiantes” (Tamayo, Zona y Loaiza 2015, p.114).

Algunas estrategias para desarrollar este tipo de pensamiento insisten en practicar la

argumentación, la solución de problemas y la metacognición (Tamayo et al., 2015), que podrían

trabajarse desde diferentes asignaturas del plan de estudios.

Se insiste especialmente en la metacognición como “la habilidad más importante del pensador

crítico, caracterizada por el monitoreo, control y evaluación de nuestros propios procesos de

pensamiento” (Ennis, 1985; Facione, 2007, citados por Tamayo et al, 2015, p.126).

La metacognición es “una de las dimensiones en las cuales los maestros deben mostrar sus

fortalezas, de tal manera que las acciones de enseñanza que despliegan en sus aulas de clase estén





mediadas por el conocimiento detallado de los procesos mediante los cuales los estudiantes aprenden lo

que los profesores enseñan” (Tamayo et al., 2015, p.113).

En referencia a la falta de rigor que manifestaron en el manejo de conceptos, mostraron que ellos

mismos no los tenían claros, lo que supone un peligro cuando deben manejarlos con los niños. Enseñar

algo que no se sabe correctamente es uno de los problemas serios ya que la comprensión de conceptos

le debe servir al niño para establecer relaciones y transferirlos a otras situaciones, por lo que se debe ser

sumamente estricto en este sentido (Fernández Bravo, 2007).

Por otra parte, los maestros deben adquirir destrezas y conocimientos de matematización

horizontal y vertical (Rico, 2006). Esto supone desarrollar su capacidad de observación para que puedan

captar aspectos matemáticos en su entorno de forma que sean capaces de conducir a los niños en sus

descubrimientos y, al mismo tiempo, que se esfuercen en buscar relaciones entre conocimientos

anteriores y posteriores ya que el pensamiento matemático se construye mediante procesos lógicos de

secuenciación. Los estudiantes que realizaron las actividades descritas no mostraron este tipo de destreza

ya que sus actividades eran excesivamente compartimentadas, sin relación de unas con otras.

Como apunta Fernández Bravo (2007), la enseñanza de la Matemática tiene, entre otras tareas,

una fundamental, conseguir en el que aprende “claridad de conceptos, razonamiento correcto y

capacidad para establecer relaciones” (p.5). Si los estudiantes manifiestan falta de rigor en su bagaje

conceptual y conocimientos muy compartimentados habrá que insistir tanto en los contenidos como en

su profundización.

Afortunadamente, pensar es una habilidad que puede desarrollarse. “Es un intento para clasificar

la percepción y dirigir la atención, pero la práctica debe ejercitarse hasta que surja una actuación

espontánea y natural” (De Sánchez, 1995, p.12).

Se debe insistir, por tanto, en que practiquen habilidades de pensamiento no dando por supuesto

que las activarán de forma espontánea. Con la práctica, se debe conseguir que sean capaces de organizar

o reorganizar la información y la experiencia con el objetivo de lograr visiones más claras de problemas

y situaciones.

“Las economías modernas recompensan a los individuos no por lo que saben, sino con lo que

hacen con lo que saben” (De Armas et al., 2018, p.135) y para ello se considera esencial que desarrollen

también el pensamiento científico.

5. Conclusiones

Los centros de formación de maestros tenemos una gran responsabilidad que, si no asumimos,

seremos cómplices de una situación con consecuencias sociales graves. No toda la responsabilidad es

nuestra ya que se debería mejorar el sistema educativo básico, y se deberían revisar los criterios de

acceso a la profesión docente, pero es necesario que nos impliquemos más en tomar conciencia de ello

y en buscar soluciones.




En referencia al planteamiento inicial de este trabajo, a menudo observamos que nuestros

estudiantes redactan mal sus textos, nos preguntan cosas que deberían ya saber sin avergonzarse de ello,

y no son conscientes de lo que no saben, por lo que no preguntan lo que deberían preguntar. Somos

conscientes de que algo pasa, algo se va degradando, pero a veces no sabemos realmente qué.

Este trabajo aporta algunas evidencias de esta degradación, por lo que tomar conciencia de ello

nos debe mover a actuar. La forma de actuar de los estudiantes que realizaron estas actividades no es

nueva, ni va asociada al grupo concreto del curso en que cometieron estos errores. Al contrario, la

novedad está en que este grupo, a diferencia de grupos de cursos anteriores, funcionaba bien a nivel

académico, y esto me llevó a confiar en exceso en ellos, lo que supone todavía algo más grave: el sistema

educativo no filtra ni detecta este tipo de cuestiones.

Sabemos que el desarrollo de habilidades intelectuales para el desempeño efectivo no ocurre de

forma espontánea por lo que es necesario insistir, a través de las diferentes asignaturas, en desarrollar

los procesos básicos de pensamiento humano. De Sánchez (1996) propone los siguientes: observación,

comparación, relación, clasificación, ordenamiento, clasificación jerárquica, análisis, síntesis y

evaluación. La relación entre estos procesos básicos debe dar lugar a procesos de razonamiento más

complejos: razonamiento inductivo-deductivo, analítico sintético, hipotético analógico, y estos, a la vez,

deben generar procesos de pensamiento superiores: procesos directivos y ejecutivos para el manejo de

información, de adquisición de conocimiento y discernimiento, para llegar a productos de pensamiento:

pensamiento crítico, toma de decisiones, solución de problemas, creatividad e inventiva (p.9).

Algunos de estos procesos figuran en los planes de estudio en forma de competencias, otros son

tan básicos que se les suponen a los estudiantes universitarios. Necesitamos una coordinación entre el

profesorado para conseguir mejorar estos aspectos.

Por otra parte, el ser humano tiende naturalmente a dejarse llevar por sus sentimientos antes de

usar su pensamiento. Siente, decide y luego razona para sustentar su decisión, producto muchas veces

de reacciones emocionales (De Sánchez, 1996). Por este motivo, se debe tratar de mejorar los factores

afectivos y actitudinales que pueden interferir en su trabajo futuro como maestros.

En el momento actual “la neuroeducación afirma que las emociones son consideradas como el

ingrediente secreto para quien aprende y que el binomio emoción-cognición es indisoluble, intrínseco

al diseño anatómico y funcional del cerebro” (Morales, 2014, citado por Moreno-Pinado, Velázquez,

2017, p.59).

Resulta sorprendente la cantidad ingente de investigación que la psicología educativa y de la

instrucción aporta en relación con el desarrollo de las habilidades cognitivas y del pensamiento crítico

en los estudiantes, y el poco uso que se hace de ella en todos los niveles educativos. Es como si la

investigación en educación no tuviese su correlato en la práctica. Esto sería impensable en otros campos

como la medicina o la ingeniería.





Se debería mejorar también la pereza mental que tienen muchos estudiantes, fruto posiblemente

de sus actitudes, que los lleva a no esforzarse en comprender, a no cuestionarse nada, a afrontar su

formación como una simple memorización. En general, salvo pocas excepciones, ponen de manifiesto

que se ha hecho poco en su formación básica para que se muestren activos y autorregulen su aprendizaje

y esto se ve reflejado en la calidad de sus actividades.

Concebir la educación como una formación integral de personas críticas, que actúen de manera

consciente y no se dejen llevar como veletas por la información con la que se encuentren, sin analizarla

ni procesarla, debe suponer un reto que la sociedad actual no puede eludir.

Como afirman Moreno-Pinado y Velázquez

Esta concepción plantea la necesidad de que los docentes apliquen métodos de

enseñanza que faciliten la problematización, la interacción, la colaboración, la

socialización, el diálogo para intercambiar ideas, asumir postura, puntos de vista,

opiniones y actitudes en la construcción del conocimiento con responsabilidad social

(2017, p.58).

No afrontar estos retos va a suponer perjudicar a los niños del futuro y la a sociedad en general.

Si el sistema educativo se retroalimenta de sus propios errores, va a resultar difícil avanzar hacia

un mundo en que todos los seres humanos (no solo unos pocos) afronten sus responsabilidades, sean

capaces de convivir sana y democráticamente en paz, disfrutando de la vida, colaborando en el bien

común y respetando y cuidando la naturaleza en un marco de valores morales.

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Mª del Portal Suñé Vela. CESAG (centro adscrito a la UP Comillas), Palma de Mallorca (Islas Baleares)

nacida en Mora d’Ebre (Tarragona) el 11 de agosto de 1957. Licenciada en Filosofía y Ciencias de la

Educación por la Universidad de Barcelona (1980) y Doctora en Psicología por la Universidad Autónoma

de Barcelona (1995), profesora del CESAG en los estudios de Educación (Magisterio, diplomatura y Grado)

desde 1994. Lleva impartiendo desde este año la asignatura El desarrollo del pensamiento matemático, así

como Psicología del desarrollo y otras de diferentes planes de estudio y especialidades (Intervención

educativa en alumnos superdotados, Desarrollo de la cognición y el lenguaje, Aprendizaje y lenguaje y

otras). Ha sido profesora asociada de la Universitat de les Illes Balears (2000-2003) impartiendo Psicología

de la Instrucción. Ha participado en congresos (UNED, ACISE, Blanquerna, UIC y otros) presentando

comunicaciones relacionadas con la formación de maestros. Email: [email protected]

http://www.educacionyfp.gob.es/inee/evaluacionesinternacionales/pisa/pisa-2018.html

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ISSN: 1887-1984




¿Evolucionan los libros de texto de matemáticas con los cambios

curriculares? Estudio de la regresión y la correlación lineal

en la Educación Secundaria en España

Luis J. Rodríguez-Muñiz

Ángela Corte

Laura Muñiz-Rodríguez

(Universidad de Oviedo. España)

Fecha de recepción: 14 de septiembre de 2019

Fecha de aceptación: 16 de diciembre de 2019

Resumen En este artículo se presentan los resultados de una investigación cuyo objetivo es analizar

si los libros de texto recogen los cambios curriculares de las diferentes leyes educativas

españolas, estudiando el caso de la regresión y correlación lineal. Las categorías de

análisis empleadas se definen atendiendo a una triple vertiente: análisis de los libros de

texto a partir de las dimensiones conceptual, didáctico-cognitiva y fenomenológica;

clasificación de los ejercicios y problemas; y uso de las TIC. Los resultados indican que,

con el cambio de las leyes educativas, se han eliminado algunas demostraciones y se ha

reducido la componente formal propia de la matemática moderna. La exposición

deductiva sigue primando frente al fomento de la indagación como herramienta de

construcción del conocimiento. Los ejercicios son mayoritariamente algorítmicos y la

presencia de situaciones problemáticas es testimonial.

Palabras clave Correlación; Currículum; Educación Secundaria; Estadística; Libros de texto; Regresión.

Title Do mathematics textbooks evolve with curricular changes? Study on linear

regression and correlation in secondary education in Spain

Abstract This paper presents the results of a research that aims at analysing if textbooks undergo

the curricular changes of the subsequent education laws in Spain, in the case of linear

regression and correlation. The categories of analysis are defined according to a threefold

approach: analysis of the textbooks based on three dimensions: conceptual, didactic-

cognitive and phenomenological; classification of the exercises and problems; use of ICT

for their resolution. Results show that, with the evolution of the educational laws, certain

proofs have been removed from textbooks and the formal component inherited from

modern mathematics has been reduced. The deductive explanation prevails over the

inquiry or intuitive approach. Exercises are still mainly algorithmic and problematic

situations are barely present.

Keywords Correlation; Curriculum; Secondary Education; Statistics; Regression; Textbooks.


¿Evolucionan los libros de texto de matemáticas con los cambios curriculares? Estudio de la

regresión y la correlación lineal en la Educación Secundaria en España L. J. Rodríguez-Muñiz, A. Corte, L. Muñiz-Rodríguez


1. Introducción

El libro de texto es un recurso didáctico utilizado tanto por el profesorado como por el alumnado

en el proceso de enseñanza y aprendizaje, y continúa siendo una herramienta muy importante, siendo

incluso de uso obligado en muchos centros educativos españoles. Evidentemente, la autonomía del

profesorado permite diferentes niveles de uso, incluso dentro de un mismo centro, pero el impacto que

produce el libro de texto sigue siendo notable (Fernández-Palop, Caballero-García y Fernández-Bravo,

2013) y depende, según Lowe y Pimm (1996), no sólo del libro en sí mismo, sino también del lector,

del empleo que le dé el profesorado y de las interacciones que determinen su uso en el aula (Gea,

Batanero, Arteaga, Cañadas y Contreras, 2014).

La regresión y la correlación lineal son contenidos de estadística que forman parte del currículo

de Educación Secundaria. En las sucesivas reformas curriculares acontecidas en España, el estudio de

la regresión lineal ha ido ganando importancia dentro del bloque de estadística y probabilidad. Ahora

bien, ¿aparece esta tendencia en los correspondientes libros de texto españoles? Aunque no son tan

numerosos como en otros campos de la estadística y la probabilidad (García-Alonso, 2011), existen en

la literatura científica diversos trabajos que analizan la representación de la regresión y la correlación

lineal en los libros de texto españoles o del ámbito hispano. En Rodríguez-Muñiz y Díaz (2018) se puede

encontrar una reciente revisión del estado del arte.

Citaremos en primer lugar el trabajo de Sánchez-Cobo (1999), en el que se analizan once libros

de texto de Bachillerato, estudiando los contextos, el contenido matemático, los tipos de ejercicios y

también el tipo e intensidad de la dependencia entre las variables. Sánchez-Cobo (1999) concluye que

existe una tendencia hacia el formalismo en la presentación del tema. Además, aprecia una prevalencia

hacia la representación gráfica de variables con correlación positiva.

En Lavalle, Micheli y Rubio (2006) se analiza la regresión y la correlación lineal en siete libros

de texto de Bachillerato argentinos. La conclusión obtenida fue que el enfoque de los libros era socio-

constructivista, además de constatarse un sesgo hacia la correlación positiva en los ejemplos utilizados.

Agnelli, Konic, Peparelli, Zón y Flores (2009) analizan la dificultad que supone el concepto de la

función lineal en el estudio de la recta de regresión lineal a partir de un caso planteado en un libro de

texto argentino, señalando que los enfoques suelen incidir en los aspectos relativos al cálculo, obviando

el estudio de la variabilidad.

En Gea, Batanero, Arteaga y Cañadas (2013) se realiza un estudio de dieciséis libros de texto de

Bachillerato españoles y se concluye que la justificación de los conceptos es más informal que en etapas

anteriores, utilizándose ejemplos y contraejemplos como medio explicativo, acompañados de

argumentaciones verbales o gráficas.

En Gea et al. (2014) se estudia la regresión y la correlación en ocho libros de texto del Bachillerato

de Ciencias Sociales, prestando atención al lenguaje utilizado. Se concluye que hay una tendencia hacia

el registro gráfico. Gea, Batanero, López-Martín y Contreras (2015) tratan los recursos tecnológicos

vinculados a la regresión y la correlación en los libros de texto.

Díaz y Rodríguez-Muñiz (2014) estudian la representación de la regresión lineal en cinco textos

de Bachillerato científico LOE, comprobando la predominancia de los procedimientos de cálculo sobre

la interpretación estadística y constatando la escasa presencia de datos reales. En Díaz (2017) se amplía

la muestra a 30 libros de ambas modalidades de Bachillerato, corroborando que el enfoque formal prima





frente al interpretativo al calcular rectas de regresión, estimaciones o coeficientes de correlación, y

advirtiendo de una escasísima presencia de herramientas TIC (tanto de cálculo como de representación

gráfica).

En las publicaciones anteriores se analiza la regresión y la correlación lineal en los libros de texto

de manera sincrónica, excepto en Díaz (2017), que estudia libros adaptados a la LOE y a la LOMCE.

No existen, en conocimiento de los autores, otros trabajos que analicen la regresión y la correlación de

manera diacrónica en periodos más amplios. Por ello, el objetivo de este trabajo es realizar un estudio

diacrónico sobre la regresión y la correlación lineal en los libros de texto de Educación Secundaria

correspondientes a las sucesivas leyes educativas. La hipótesis de investigación que se plantea es que

los libros de texto han evolucionado conforme a las directrices que emanan del currículo correspondiente

a las distintas leyes educativas.

Para el tipo de trabajo que se pretende realizar en el presente estudio, es imprescindible utilizar un marco de análisis de libros de texto, pero sin perder de vista el enfoque de la investigación histórica

en educación matemática. Por ello, este trabajo parte del impacto que supuso la introducción en España

de las teorías englobadas bajo el nombre de matemáticas modernas, y la evolución de la legislación en

materia de educación en España y sus particularizaciones al ámbito de los libros de texto y la regresión

lineal. A continuación, se describe el marco teórico de la investigación, explicando diferentes

clasificaciones de análisis de contenido en libros de texto. Posteriormente, se presenta el proceso

metodológico y los resultados del análisis de los libros de texto seleccionados. Finalmente, se exponen

las conclusiones del estudio.

2. Los libros de texto y la regresión lineal

2.1. La matemática moderna y su influencia en los libros de texto

En los años 30 del siglo XX, bajo el pseudónimo colectivo de Bourbaki, un grupo de matemáticos

franceses se planteó la tarea de realizar una construcción formal y global de la matemática. Sus trabajos

se caracterizan por centrarse en la forma y alejarse de la ejemplificación o de la contextualización. Es

decir, la matemática se fija en sí misma y se despreocupa del exterior. A este desarrollo de la matemática

formal y deductiva se le llamó matemática moderna.

A pesar del empuje que Bourbaki logró, frente a esta visión formal y abstracta de la matemática,

fueron surgiendo objeciones a medida que se iba implantando en los currículos y en las aulas,

especialmente en la educación no universitaria. A partir de los años 70, surgen autores que desplazan el

foco de los contenidos formales a la comprensión de las matemáticas en el entorno cultural y social en

el que se desenvuelven. Kline (1976) considera importante estructurar el currículo alrededor de la

resolución de problemas reales, para fomentar creatividad y espíritu crítico en el alumnado. Además, de

forma paralela al desarrollo de las teorías constructivistas sobre el aprendizaje, se postula un desarrollo

inductivo de las matemáticas desde la escuela, en el cual no se desdeñen las intuiciones o los

razonamientos heurísticos. Surgen así otras teorías como la Educación Matemática Realista de

Freudenthal.

Los libros de texto son elaborados por personas que viven en un contexto científico, social y

cultural. En la formación matemática de este profesorado, teniendo en cuenta los años considerados, las

teorías del grupo Bourbaki han tenido una fuerte influencia. Pero, al tiempo, los autores de los libros de




texto han ido considerando las nuevas ideas surgidas de las reformas curriculares y de documentos de

importancia crucial en la educación matemática, como fueron los estándares del NCTM (1989).

Por consiguiente, los libros de texto y los procesos de enseñanza y aprendizaje que se dan en las

aulas conviven buscando un equilibrio que difiere de unos profesores a otros, de unos libros a otros, y

de unos contextos a otros. Así, algunos autores señalan el rol del libro de texto de matemáticas «como

objeto de estudio, como material de consulta, como registro de las actividades del alumno, como

colección de ejercicios propuestos y problemas a resolver» (González Astudillo y Sierra, 2004, p. 389).

Aunque no se puede olvidar que «la presencia del libro de texto en el aula va siempre unida a la labor

profesional del profesorado» (Monterrubio y Ortega, 2011, p. 107).

2.2. La evolución del currículo sobre regresión lineal en la Educación Secundaria en las diferentes

leyes educativas

Cuatro han sido las leyes que, desde el año 1970 hasta la actualidad, han regulado el sistema

educativo español: la Ley General de Educación (LGE, de 1970), la Ley de Ordenación General del

Sistema Educativo (LOGSE, de 1990), la Ley Orgánica de Educación (LOE, de 2006), y la actualmente

vigente Ley Orgánica para la Mejora de la Calidad Educativa (LOMCE, de 2013).

La LGE fue implementada en 1970 y supuso el comienzo de la modernización de los estamentos

educativos. Estableció la enseñanza obligatoria hasta los 14 años y distinguió la postobligatoria entre la

Formación Profesional (FP) y el Bachillerato Unificado Polivalente (BUP), de los 14 a los 17 años,

seguido del Curso de Orientación Universitaria (COU), de un año de duración. El estudio de las

matemáticas era de naturaleza obligatoria durante los tres cursos de BUP, si bien el currículo

diferenciaba en el último curso entre la opción de ciencias y la de letras. El currículo se diseña en 1975,

y permanece en vigor hasta el curso 1999-2000. Este currículo está muy influido por las matemáticas

modernas. El contenido relativo a la regresión y la correlación lineal aparece por primera vez en las

matemáticas de 3º de BUP con el siguiente descriptor: “Distribuciones bidimensionales. Rectas de

regresión. Correlación” (MEC, 1975, p. 8065).

La LOGSE aprueba la escolaridad obligatoria hasta los 16 años y divide esta etapa entre la

Educación Primaria, de los 6 a los 12 años, y la Educación Secundaria Obligatoria (ESO), de los 12 a

los 16 años. A su término, el alumnado tenía la opción de cursar Bachillerato, de dos años de duración,

o FP. El Bachillerato ofrecía las modalidades de Artes, Ciencias y Tecnología, y Humanidades y

Ciencias Sociales. Esta ley se implanta paulatinamente desde el curso 1991-1992 y, así, 1º de

Bachillerato no se implanta hasta el curso 2000-2001. La LOGSE supone la entrada de nuevas ideas

metodológicas y la necesidad de resolver problemas reales (Sierra, González Astudillo y López, 1999).

El estudio de la regresión lineal aparece en el Bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales y en el

de Ciencias y Tecnología. Nos centraremos en el primer caso, por estar más desarrollado

curricularmente. Así, en la asignatura de primer curso Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I los contenidos aparecen mucho más detallados que bajo la LGE: “Distribuciones bidimensionales.

Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que intervengan dos variables a partir de la

representación gráfica de una nube de puntos. Estudio del grado de relación entre dos variables.

Correlación y regresión lineal” (MEC, 1992, p. 114). Además, se propone el siguiente criterio de

evaluación: «Interpretar, utilizando el coeficiente de correlación y la recta de regresión, situaciones

reales definidas mediante una distribución bidimensional y la posible relación entre sus variables»

(MEC, 1992, p. 114).





La LOE, implantada desde 2008-2009 en 2º y 4º de ESO y 1º de Bachillerato, y desde 2009-2010

en 2º de Bachillerato, apuesta por una orientación de la enseñanza obligatoria basada en el desarrollo de

ocho competencias básicas, punto de inflexión en el sistema educativo español. Una de ellas es la

competencia matemática, que ejerce una influencia notable en el conjunto del currículo, especialmente

en la educación obligatoria. Sin embargo, en cuestión de objetivos, contenidos, y criterios de evaluación,

el nuevo currículo aporta pocas novedades respecto al anterior. En la asignatura de Matemáticas

Aplicadas a las Ciencias Sociales I, establece los siguientes contenidos en relación a la regresión lineal:

«Distribuciones bidimensionales. Interpretación de fenómenos sociales y económicos en los que

intervienen dos variables a partir de la representación gráfica de una nube de puntos. Grado de relación

entre dos variables. Regresión lineal. Extrapolación de resultados» (MEC, 2007, p. 45475). Aunque sí

se matiza más en el nuevo criterio de evaluación: “Distinguir si la relación entre los elementos de un

conjunto de datos de una distribución bidimensional es de carácter funcional o aleatorio e interpretar la

posible relación entre variables utilizando el coeficiente de correlación y la recta de regresión” (MEC,

2007, p. 45475).

Por último, la vigente LOMCE se implanta durante los cursos 2015-2016 y 2016-2017 en ESO y

Bachillerato. El currículo de esta nueva ley realiza algunas modificaciones tanto en los contenidos como

en los criterios de evaluación, pero, sobre todo, introduce el concepto de estándares de aprendizaje

evaluables, como referentes de la concreción curricular. Además, destacan otros cambios en relación a

las competencias básicas, a la tipología de las asignaturas, y a las pruebas externas, que omitiremos por

cuestión de espacio. En la LOMCE, los contenidos vinculados a la regresión lineal para Matemáticas

Aplicadas a las Ciencias Sociales I son: “Regresión lineal. Predicciones estadísticas y fiabilidad de las

mismas. Coeficiente de determinación” (MECD, 2015, p. 385). El criterio de evaluación pasa a ser:

“Interpretar la posible relación entre dos variables y cuantificar la relación

lineal entre ellas mediante el coeficiente de correlación, valorando la

pertinencia de ajustar una recta de regresión y de realizar predicciones a partir

de ella, evaluando la fiabilidad de las mismas en un contexto de resolución de

problemas relacionados con fenómenos económicos y sociales” (MECD, 2015,

p. 385).

Además, se concretan los siguientes estándares de aprendizaje evaluables:

“Cuantifica el grado y sentido de la dependencia lineal entre dos variables

mediante el cálculo e interpretación del coeficiente de correlación lineal para

poder obtener conclusiones. Calcula las rectas de regresión de dos variables y

obtiene predicciones a partir de ellas. Evalúa la fiabilidad de las predicciones

obtenidas a partir de la recta de regresión mediante el coeficiente de

determinación lineal en contextos relacionados con fenómenos económicos y

sociales” (MECD, 2015, p. 385).

Estas especificaciones curriculares servirán de referencia para realizar el análisis de contenidos

de los libros de texto y para comprobar si la evolución de planteamientos que en ellas se observa se

transmite igualmente a los libros.

3. Marco teórico

Durante los últimos años se han realizado en España estudios en historia de la educación

matemática en los que los libros de texto son el objeto principal de la investigación (véase Azcárate y




Serradó, 2006; Gómez-Alfonso, 2019) y en los que se utilizan distintos marcos de análisis. A este

respecto, Sierra (2011) propone utilizar una triple vertiente: conceptual, didáctico-cognitiva y

fenomenológica (véase Figura 1). El análisis conceptual se refiere a la secuenciación de los contenidos

y su organización en el libro, junto con el tipo de representaciones y gráficas que acompañan, las

actividades propuestas y otros aspectos materiales. El análisis didáctico-cognitivo se focaliza sobre la

forma en la que los autores hacen explícitos sus objetivos de aprendizaje y sobre cómo intentan

desarrollar las capacidades cognitivas del alumnado. Finalmente, el análisis fenomenológico estudia los

fenómenos que acompañan a los conceptos en los libros de texto, y su caracterización en el campo

meramente matemático, en el de otras disciplinas, en la vida cotidiana, o en el contexto próximo al

alumnado.

Figura 1. Dimensiones del análisis de un libro de texto (Sierra, 2011, p.191).

Otra clasificación que utilizaremos es la de Butts (1990), que señala cinco categorías para los

problemas y ejercicios:

• De reconocimiento: consisten en recodar, reconocer o identificar un concepto matemático

conocido en un contexto poco elaborado.

• Algorítmicos: requieren para su resolución de la aplicación de un algoritmo.

Realmente, como señala Blanco (1993), los ejercicios planteados en estos dos primeros niveles

no pueden ser considerados como problemas, ya que se limitan a la identificación de conceptos

o la mera aplicación de un procedimiento.

• De aplicación: en ellos, es necesario aplicar una matemática más o menos compleja para

encontrar la solución a la situación planteada. Aquí sí podemos hablar ya de situaciones

problemáticas, ya que la aplicación puede exigir una mayor complejidad en la elaboración del

modelo matemático necesario para resolver la situación planteada.

• De búsqueda abierta: requieren de un mayor nivel de competencia matemática, que puede

suponer realizar una búsqueda exhaustiva, ordenada o incluso heurística, entre un conjunto de

posibles soluciones que puede ser desconocido a priori.

• Reales: suponen el nivel más alto de competencia matemática ya que presentan un contexto

más o menos verosímil en una situación real, y requieren a menudo el diseño de un modelo

matemático para, posteriormente, aplicarlo al problema, encontrar su solución y validarla.

A partir de los dos marcos anteriores, a los efectos del análisis se añade en el presente trabajo la

comprobación del uso de las TIC y, en caso afirmativo, qué herramientas se usan, para lo cual

introduciremos unos identificadores específicos.





4. Metodología

4.1. Muestra

Los libros se seleccionaron mediante un muestro por conveniencia, teniendo en cuenta las

editoriales de las cuales se podía disponer de la serie completa de ejemplares en el periodo considerado.

De este modo, se consiguió acceder a la serie completa de las editoriales Santillana y Edelvives. Ambas

series incluyen los ejemplares correspondientes a los cursos 3º de BUP (LGE) y 1º de Bachillerato de

Ciencias Sociales bajo LOGSE, LOE y LOMCE. Se analizó también el periodo previo a la LGE, sin

embargo, finalmente se desechó ya que la regresión y la correlación no formaban parte del currículo. En

la Tabla 1 se recogen los códigos utilizados para identificar cada libro, teniendo en cuenta que la E

representa Edelvives y la S Santillana, seguidos del año de publicación de cada uno de ellos. En el Anexo

I se incluyen las referencias completas.

Ley Código

LGE E1985

S1991

LOGSE E2002

S2000

LOE E2008

S2011

LOMCE E2015

S2015

Tabla 1. Libros de texto que conforman la muestra.

4.2. Recogida y análisis de la información

Para recoger los datos de modo que la información de ambas series de libros sea comparable, se

ha utilizado un sistema de indicadores y tendencias, sintetizando los utilizados en González Astudillo y

Sierra (2003) y Azcárate y Serradó (2006), adaptándolo al caso que estamos evaluando y teniendo en

cuenta las dimensiones propuestas por Sierra (2011). Esta metodología ha sido utilizada y validada en

investigaciones previas enfocadas al análisis de libros textos de matemáticas (Barrantes, López, y

Fernández, 2015; Herrera, Velasco, y Ruiz-Hidalgo, 2017). A partir de este sistema, se elaboró un

formulario, que se muestra en la Tabla 2. Además, se utilizaron las cinco categorías de la clasificación

de Butts (1980) para recoger la información relativa a los ejercicios y problemas. Mientras que para la

determinación del uso de las TIC hemos usado los identificadores: no consta, utiliza calculadora, utiliza

programa informático (indicando cuál).

Dimensión Indicador Tendencia

Tradicional Innovadora Investigativa

Análisis conceptual Presentación Organización

fragmentada,

Organización

escalonada y

rígida

Construcción del

conocimiento




acumulada y

lineal

Metodología Explicación Aplicación

Plan de

actividades

flexible

Motivación No se considera Constante Continua

Demostración Siempre Con imágenes Propuestas

Estructura del

discurso

Modelo

deductivo

Modelo

inductivo

Modelo

transductivo

Análisis didáctico-

cognitivo

Descripción

teórica Formal Formal-Intuitiva Intuitiva

Objetivo del

discurso

Transmisión de

contenidos Ensayo y error

Problemas

relavantes

Análisis

fenomenológico Fenómenos Matemáticos Realistas Reales

Tabla 2. Formulario de recogida de datos.

5. Resultados

5.1. Análisis conceptual

A partir de los indicadores de la Tabla 2 para la dimensión de análisis conceptual, se clasifica

cada libro de texto analizado, mostrando los resultados en la Tabla 3.

Libro Presentación Metodología Motivación Demostración Discurso

S1991

Organización

fragmentada,

acumulada y

lineal

Explicativa

Constante Siempre Deductivo

E1985 No se

considera Siempre

Deductivo

S2000 Constante Con imágenes Inductivo

E2002 No se

considera Con imágenes

Deductivo

S2011 Constante Con imágenes Deductivo

E2008 Constante Con imágenes Deductivo

S2015 Constante Con imágenes Deductivo

E2015 No se

considera Con imágenes

Deductivo

Tabla 3. Análisis conceptual de los libros.

Podemos afirmar que, en relación con la presentación del contenido, predomina la organización

fragmentada y acumulada en los textos, es decir, la secuenciación de los contenidos sigue un orden lineal

y jerarquizado. Cada unidad se divide en secciones que, casi siempre, se vuelven a fragmentar en





apartados, cada uno introduciendo un único contenido conceptual. La organización es enormemente

lineal, siguiendo el desarrollo matemático de los contenidos.

Todos los libros analizados siguen una metodología explicativa, ajustándose a una tendencia

tradicional que deja poco margen de libertad a la actuación del profesorado si utiliza como referencia el

libro de texto.

Por otro lado, la mayoría de los libros examinados intentan motivar al alumnado exponiendo

algunas aplicaciones, pero solo puntualmente al comienzo de algunas unidades didácticas. En S2000 se

intenta estimular al alumnado con un ejemplo introductorio y, posteriormente, en cada apartado, se ligan

los conceptos teóricos con este problema; así, a pesar de que sigue predominando el enfoque deductivo,

se intenta mantener una referencia constante a un problema real.

También hemos de mencionar que las imágenes y gráficas abundan en todos los libros. En unos

casos su función es la de servir de apoyo a la demostración o incluso la de sustituir la propia

demostración formal por una justificación gráfica. En otros, solo se representan las rectas de regresión

involucradas en los ejercicios resueltos. Curiosamente, en E2002 y E2008, solamente aparece una

gráfica en toda la explicación y desarrollo de los ejemplos. Sin embargo, esta carencia se ve mejorada

en E2015, en el cual hay una gran variedad de gráficas ilustrativas. En todos los casos se constata una

tendencia mayoritaria a representar la correlación positiva en los ejemplos y ejercicios.

Prestando atención al desarrollo de las demostraciones, se aprecia una notable diferencia entre los

libros correspondientes a la LGE y los de la LOGSE y leyes posteriores. Se observa en ambas series un

salto cualitativo significativo, puesto que prácticamente desaparece (o queda reducida a un mero

comentario) la obtención de la recta de regresión a través del método de mínimos cuadrados,

sustituyéndola por una gráfica explicativa. Este aspecto evidencia el abandono de la formalidad de las

matemáticas modernas.

Por último, respecto a la estructura del discurso, todos los libros de texto examinados parten de

los conceptos generales para, posteriormente, presentar ejemplos resueltos o actividades. Es decir, la

argumentación deductiva es prácticamente la única utilizada, en consonancia con lo advertido respecto

a la metodología explicativa. La única excepción es la del libro S2000, el cual parte de un problema

planteado al inicio de la unidad didáctica para terminar induciendo la expresión de la recta de regresión.

5.2. Análisis didáctico-cognitivo

A partir de los indicadores de la Tabla 2, se examina el enfoque empleado por los autores de los

libros de texto según la naturaleza de la descripción teórica y la explicitación de los objetivos.

En los dos libros de texto correspondientes a la LGE el desarrollo es secuencial y formal, si bien

en el libro S1991 la demostración de la recta de regresión por mínimos cuadrados ordinarios aporta

algunos componentes intuitivos, mientras que en el libro E1985 se mantiene una demostración

formalista. La idea que subyace es la de una matemática ya hecha, que el alumno debe memorizar y

después practicar resolviendo ejercicios. De ello inferimos que el objetivo del discurso es la transmisión

de los contenidos conceptuales para ser memorizados. Por otra parte, debe mencionarse que en los

prólogos los autores expresan sus intenciones de que predomine el rigor, aunque sin excesivos

formalismos.




Respecto a los libros de texto de la LOGSE, en S2000 se va produciendo un alejamiento de la

influencia de las matemáticas modernas, puesto que el enfoque es menos dogmático. Esta transición se

aprecia en la recomendación de partir de ideas intuitivas y distintas situaciones en las que se manifiestan

las matemáticas consideradas para llegar a la formalización del concepto. Sin embargo, en E2002 el

enfoque sigue siendo predominantemente formal.

En los libros LOE y LOMCE se advierte una fragmentación notable entre las distintas unidades

didácticas. Se puede considerar que la tendencia discursiva sigue con inercia tradicional, aunque se

advierte cierta evolución hacia el modelo innovador, puesto que incorporan actividades que necesitan

de la actuación activa del alumnado y el uso de recursos tecnológicos para realizarlas.

Esta tendencia hacia el modelo innovador se refleja con mayor claridad en el libro S2011, ya que

en la presentación de cada unidad didáctica se repasan los conocimientos previos del alumnado. No

obstante, posteriormente no sigue este esquema en el desarrollo de la unidad, por lo que podemos seguir

considerándolo dentro de la tendencia tradicional.

Un detalle que resulta curioso es que la mayoría de los libros de texto, excepto los dos

correspondientes a la LGE, carecen de prólogos en donde los autores expresen sus ideas acerca de la

enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas, lo que obliga a una observación indirecta de la intención

de los autores.

5.3. Análisis fenomenológico

Esta dimensión consiste en observar los fenómenos se utilizan para presentar los conceptos, es

decir, si son ejemplos basados en situaciones matemáticas, si se presentan en relación con otras materias,

si están contextualizados en la vida diaria, etc.

En general, el contexto donde se presentan los conceptos es la vida diaria de los alumnos, es decir,

la tendencia predominante es la innovadora, porque se proponen y resuelven actividades realistas, o con

pretensión de serlo. Algunos ejemplos son los siguientes: temperatura de una ciudad y gasto en

calefacción, gastos y beneficios de una empresa, altura y peso del alumnado, goles a favor y en contra

en la liga de fútbol, nota obtenida en el Bachillerato y en la Prueba de Acceso a la Universidad.

Por otro lado, los libros de texto apenas tienen ejemplos basados en otras situaciones matemáticas

que no sean la propia regresión, y hay varios ejemplos que ni siquiera están contextualizados.

Respecto a los problemas relacionados con otras materias, en la mayoría de los libros no aparecen

este tipo de ejemplos, a pesar de la relativa facilidad de encontrar situaciones relacionadas con el tema

de la regresión y la correlación. La excepción es el libro E2015, el cual destina un apartado a ejercicios

para calcular estimaciones en el ámbito de la biología, en un contexto deportivo y en uno empresarial,

que está directamente relacionado con la modalidad que cursa el alumnado.

5.4. Análisis de los problemas y ejercicios

A partir de los datos recogidos podemos afirmar, sin ninguna duda, que la inmensa mayoría de

los problemas y ejercicios que se plantean en los libros de texto son del tipo algorítmico de la

clasificación de Butts. En este contexto, se calcula paso a paso la recta de regresión y se obtiene su





expresión o una predicción. Incluso se podría decir que, a fuerza de ser repetitivos, acaban por

convertirse en problemas de reconocimiento, ya que el esquema es siempre similar.

Como excepción, ha de indicarse que S2002 y S2008 tienen un pequeño apartado con problemas

de búsqueda abierta, en los que los alumnos deberán utilizar técnicas no algorítmicas para llegar a la

solución del problema. También hay que subrayar que E2015 incluye varios problemas en los que se

pide hacer pequeñas demostraciones. El resto de libros no tienen ni siquiera una pequeña sección

dedicada a este tipo de problemas de ampliación de conocimientos, o problemas abiertos o reales.

Respecto al uso de las TIC, se aprecia una clara evolución, introduciéndose conforme avanzan las

distintas leyes educativas. En principio, los dos libros correspondientes a la LGE no proponen ni siquiera

el uso de la calculadora. En los libros que corresponden a la LOGSE y la LOE se fomenta el uso de la

calculadora en S2000 y S2011, mientras que en E2002 y E2008 se utilizan Excel y Derive. Finalmente,

con la LOMCE, ambas editoriales dan un salto cualitativo, y coinciden proponiendo el uso de GeoGebra.

Además, en S2015 se propone también Excel y en E2015 Wiris.

6. Discusión y conclusiones

El cambio que se produce en la educación con las distintas leyes desde mediados del siglo XX en

España se advierte con el análisis de los libros de texto de la presente investigación, puesto que se

aprecian cambios tanto en la forma de presentar los conceptos como en los tipos de problemas

propuestos. Sin embargo, estos cambios no son todo lo ajustados a los cambios curriculares que deberían

ser.

Así, en cuanto al análisis conceptual, podemos concluir que la organización de los libros apenas

presenta evolución, predominando el fraccionamiento en unidades casi autocontenidas y los desarrollos

lineales. El modelo deductivo para presentar los contenidos sigue imperando, sin que se aprecie

evolución hacia la inducción más propia del constructivismo. Donde sí se aprecia evolución es en la

desaparición de las demostraciones formales y su sustitución por explicaciones gráficas. En este sentido,

nuestro estudio es consistente con los resultados de investigaciones anteriores (Conejo, Arce y Ortega,

2019; Gea et al., 2013) y permite apreciar avance respecto al exceso de formalismo señalado en Sánchez-

Cobo (1999), aunque en las representaciones gráficas sigue predominando mayoritariamente la

representación de la correlación positiva, matiz ya expuesto en Lavalle, Micheli y Rubio (2006).

Asimismo, se constata una predominancia del cálculo frente a la interpretación estocástica de las

situaciones planteadas, algo ya indicado por Agnelli et al. (2009) y que corrobora la ausencia de

evolución apreciada en Díaz y Rodríguez-Muñiz (2014) y Díaz (2017).

Respecto al análisis didáctico-cognitivo, se aprecia un movimiento hacia posiciones más

innovadoras, pero aún insuficiente, puesto que se incorporan actividades, pero sigue predominando la

exposición de contenidos, con un enfoque basado en la transmisión de los mismos. En línea con

investigaciones anteriores (González Astudillo y Sierra, 2004) la mayoría de los libros de texto impulsa

a un aprendizaje memorístico donde la estructura pesa más que la comprensión.

En cuanto al análisis fenomenológico, concluimos que hay muy poca evolución en los libros, pues

son minoría los contextos próximos al alumnado, de conexión con otras disciplinas o contextos reales,

siendo mayoritarios los contenidos matemáticos desprovistos de contexto, a pesar de que la regresión

lineal es un tema con muchas conexiones y aplicaciones reales. No se aprecia evolución en los manuales

LOMCE respecto a lo señalado para manuales LOE en Gea et al. (2014) y Díaz y Rodríguez-Muñiz




(2014) a pesar del estándar de aprendizaje que la ley formula sobre la evaluación de la regresión en

contextos económicos y sociales. Algunos autores afirman que la realidad fenomenológica en los libros

de texto demanda una mayor atención, no solo en el caso de la regresión y correlación lineal, sino

también en relación a otros conceptos matemáticos (Quispe, Gallardo, y González, 2010).

Finalmente, respecto a los ejercicios y problemas, apenas se aprecia evolución, puesto que la

inmensa mayoría son ejercicios algorítmicos y son muy escasos o nulos los problemas abiertos o de

indagación en los que el alumnado tenga que desarrollar más competencias que la de reproducción,

obviando la conexión, el análisis o la interpretación.

Las TIC van haciendo acto de presencia de manera progresiva con la implantación de las sucesivas

leyes educativas, pero en un tema como este y con la evolución que ha tenido lugar en los años

considerados, no podría ser de otra manera. Este aspecto había sido analizado en Gea et al. (2015) y

nuestro trabajo constata que, analizando diacrónicamente la evolución de los manuales, tampoco la

entrada en vigor de la LOMCE ha supuesto una mejora sustancial en la incorporación de TIC.

En consecuencia, consideramos que hay argumentos suficientes para rechazar la hipótesis de

investigación y, por lo tanto, concluir que los libros de texto de matemáticas en Educación Secundaria,

en cuanto a la regresión lineal, no evolucionan conforme a los planteamientos educativos en el periodo

comprendido entre la LGE y la LOMCE, puesto que los avances son muy incipientes y no constituyen

aún una evolución paralela a la que marcan los contenidos curriculares y los planteamientos educativos

en vigor, en los que la resolución de problemas debe jugar el papel vertebrador de la adquisición de la

competencia matemática. El resultado amplía la conclusión obtenida en Díaz (2017), donde se señala

que los cambios al pasar de la LOE a la LOMCE han sido prácticamente nulos. El presente estudio

permite afirmar que, aunque se aprecia evolución al considerarse un periodo más largo, los estándares

fijados por la LOMCE para la regresión y la correlación son difíciles de conseguir con la evolución que

han sufrido los materiales en los últimos años.

Estos resultados son consistentes con otros análisis llevados a cabo en las Pruebas de Acceso a la

Universidad de esta misma materia (Rodríguez-Muñiz, Díaz, Mier, Alonso, 2016) que evidencian una

infrarrepresentación de la resolución de problemas o la toma de decisiones.

Finalmente, señalaremos que la principal limitación del presente estudio es el tamaño de la

muestra, consistente en dos series de cuatro libros correspondientes a sendas editoriales. Evidentemente,

supondría una mejora del trabajo ampliar el análisis a otras editoriales de las que se contara con la serie

temporal de libros completa. De todos modos, los resultados de Díaz (2017) nos permiten acotar el

alcance de esta limitación, ya que en la tesis doctoral de esta autora se señalan muchas características

comunes que comparten los libros de texto de LOE y LOMCE de una colección más completa de editoriales que las analizados aquí. A partir de esta primera limitación, establecemos también la primera

línea de trabajo futuro que tenemos intención de abordar: ampliar el estudio diacrónico a otras series de

libros de texto y, también, a otros aspectos del currículo de estadística y probabilidad. Además, resulta

pertinente no ceñir este análisis a bloques curriculares de contenidos específicos (álgebra, cálculo,

geometría, estadística y probabilidad) sino, prestar una atención específica a los procesos, métodos y

actitudes en matemáticas expuestos en el actual primer bloque del currículo de matemáticas, algo que,

en ocasiones, por su transversalidad, corre el riesgo de diluirse entre los bloques de contenidos.

Actualmente ya hemos comenzado un nuevo trabajo en el que intentamos determinar cuál es el uso de

los libros de texto que hace el profesorado en el aula cuando se tratan los temas de estadística y

probabilidad. Por último, nos parece crucial ser capaces de transferir los resultados de esta y otras

investigaciones sobre libros de texto y currículo al ámbito de la industria editorial.





Agradecimientos

Financiado por el proyecto TIN2017-87600 del Ministerio de Economía y Competitividad del

Gobierno de España.

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E1985: López, J. (1985). Matemáticas BUP 3. Zaragoza: Edelvives.

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Santillana.

E2015: Cardona, S. y Rey, J. (2015). Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales 1. Zaragoza:

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(2015). Matemáticas aplicadas a las ciencias sociales 1. Proyecto Saber Hacer. Madrid:

Santillana.

Luis J. Rodríguez-Muñiz. Departamento de Estadística e I.O. y Didáctica de la Matemática, Facultad de

Geología, Calle Jesús Arias de Velasco, s/n, 33005 Oviedo, Asturias. Profesor Titular de Universidad, es

autor de más de 50 artículos y capítulos de libro. Su investigación reciente se focaliza en la educación

estadística y la formación de profesorado de Primaria y Secundaria. Ha participado en numerosos proyectos

de investigación y también en contratos con administraciones públicas sobre evaluación del sistema

educativo. Preside, desde 2018, la Comisión de Educación de la Real Sociedad Matemática Española

(RSME), de cuya Junta Directiva es miembro desde 2020. También es socio de la Sociedad Española de

Investigación en Educación Matemática (SEIEM). Además es miembro, como experto de reconocido

prestigio, del Consejo de Asturias de la Formación Profesional, y de la Comisión Asesora de Evaluación

de Enseñanzas e Instituciones de ANECA. Email: [email protected]

Ángela Corte González. Instituto de Educación Secundaria Candás, Carretera Faro, 17, 33430 Candás.

Graduada en Matemáticas, Máster Interuniversitario en Modelización e Investigación Matemática,

Estadística y Computación y Máster Universitario en Formación del Profesorado de Educación Secundaria

Obligatoria, Bachillerato y Formación Profesional por la Universidad de Oviedo. Actualmente alumna del

Programa de Doctorado en Matemáticas y Estadística de dicha universidad. Su investigación se centra en

el análisis de libros de texto de matemáticas en Educación Secundaria. Email: [email protected]

Laura Muñiz-Rodríguez. Departamento de Estadística e I.O. y Didáctica de la Matemática, Facultad de

Geología, Calle Jesús Arias de Velasco, s/n, 33005 Oviedo, Asturias. Licenciada en Matemáticas y Doctora

en el Programa de Matemáticas y Estadística por la Universidad de Oviedo y Doctora en Ciencias de la

Educación por la Universidad de Gante (Bélgica). Profesora Ayudante Doctora en el Departamento de

Estadística e I.O. y Didáctica de la Matemática de la Universidad de Oviedo. Sus publicaciones se han

centrado en el campo de la formación inicial del futuro profesorado de matemáticas en Educación Primaria

y Secundaria, el uso de juegos como recurso didáctico para la enseñanza y el aprendizaje de las

matemáticas, y el proceso de retroalimentación en el aula. Email: [email protected]





ISSN: 1887-1984




El concepto de pendiente: estado de la investigación y prospectivas

Ricardo Abreu Blaya

Crisólogo Dolores Flores

José L. Sánchez

José M. Sigarreta

(Universidad Autónoma de Guerrero. México)

Fecha de recepción: 3 de noviembre de 2019

Fecha de aceptación: 27 de enero de 2020

Resumen En las últimas dos décadas han proliferado las investigaciones sobre el concepto de

pendiente que, si bien en su mayoría atendían al estudio teórico de las

conceptualizaciones, a través de ellas abordaban también la estructuración del contenido

y los obstáculos asociados al proceso de enseñanza-aprendizaje de dicho concepto. En

este trabajo se analizan y sintetizan las principales investigaciones que tratan la

pendiente, así como se da noticia de alguno de sus resultados. Finalmente, se plantean

posibles prospectivas para las investigaciones sobre el concepto de pendiente.

Palabras clave Palabras claves: Epistemología, Pendiente, Conceptualizaciones, Educación Matemática,

Enseñanza, Aprendizaje.

Title The concept of slope: state of research and prospects

Abstract In the last two decades there has been a proliferation of research on the concept of slope

which, while mostly concerned with the theoretical study of conceptualizations, through them also addressed the structuring of content and the obstacles associated with the

teaching-learning process of this concept. In this paper, the main research studies dealing

with the slope are analyzed and synthesized, as well as some of their results are reported.

Finally, possible prospects for research on the concept of slope are raised.

Keywords Epistemology, Slope, conceptualizations, mathematical education, Teaching, Learning.

1. Introducción

La pendiente es un concepto matemático, de naturaleza geométrica, ya en la antigüedad el hombre

recurría, de alguna manera, a la noción de pendiente para resolver problemas prácticos. Muchos de estos

problemas estaban relacionados con la elevación de las montañas, la construcción de edificaciones,

rampas y caminos. Un problema concreto que enfrentaron los antiguos fue la construcción de pirámides,

cuya dificultad consistía en mantener una inclinación uniforme en cada cara y a su vez la misma en todas

sus caras. Según (Boyer, 1989) esta necesidad es lo que llevó a los egipcios a utilizar lo que denominaron

“seqt (relación avance versus subida)”, equivalente a lo que hoy conocemos como pendiente de una

superficie plana.

Desde el punto de vista teórico, matemáticos griegos como: Euclides (325 a. C., 265 a. C.) y

Apolonio (262 a. C., 190 a. C.); utilizaron diferentes técnicas y métodos para obtener la tangente a una

curva; el concepto de tangente que poseían los griegos era estático; consideraban a la tangente como la


El concepto de pendiente: estado de la investigación y prospectivas R. Abreu Blaya, C. Dolores Flores, J. L. Sánchez, J. M. Sigarreta


recta que toca a la curva sin cortarla. El primero estudió el comportamiento de una recta trazada a una

circunferencia y el segundo elaboró técnicas puramente geométricas para la construir rectas tangentes a

las cónicas. Las técnicas encontradas solo eran aplicables a curvas particulares, por lo cual se hizo

necesario buscar nuevos métodos para encontrar la recta tangente a una curva. Con la introducción de

la Geometría de Descartes en 1637, se desarrollaron métodos algebraicos para el trazado de tangentes a

cónicas y a otras curvas. Con el Método de las Fluxiones de Newton (1665-1666) y el de las diferenciales

de Leibniz (1646-1716) encuentran métodos generales para el trazado de tangentes. Los matemáticos

del siglo XVII intuitivamente asumían la idea de la recta tangente a una curva como la posición límite

de una secante. En 1823, Cauchy (1789- 1857) resolvió el problema, dando una definición precisa de la

derivada en términos del concepto de límite. Para más información sobre el tema ver (Martínez de la

Rosa, 2009).

El concepto de pendiente se considera esencial en la formación matemática de los estudiantes,

fundamentalmente, porque es base de otros conceptos importantes dentro de la matemática elemental y

superior. Este concepto, está presente en los currículos de matemáticas de la enseñanza media y superior

de todos los países y es objeto de estudio, de manera formal, a partir del nivel de secundaria (Teuscher

y Reys, 2010, 2012; Nagle, Moore-Russo, Viglietti y Martín, 2013; Hoffman, 2015; Rivera y Dolores,

2017; Deniz y Kabael, 2017; Beyerley y Thompson, 2017). Las variantes más utilizadas para introducir

el concepto de pendiente en la escuela la asocian o bien con el comportamiento de la recta o bien con la

idea de razón de cambio. En el primer caso, se trabaja simultáneamente con las funciones lineales o a

partir de situaciones del mundo real (Carlson et al., 2002; Teuscher y Reys, 2010, 2012; Birgin, 2012)

y, en el segundo, relacionándola con los elementos básicos de las razones y las relaciones proporcionales

(Turner, Wilhelm y Confrey, 2000). En cualquier caso, Leinhardt, Zaslavsky y Stein, 1990 consideran

que la pendiente es un “concepto de enlace poderoso” porque ayuda a los estudiantes a comprender las

funciones y sus gráficas.

Otro elemento que pone de manifiesto la importancia del concepto de pendiente es que permite

explorar con mayor facilidad las funciones de dos variables (𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘) con covariación no constante

al compararlas con la característica de pendiente constante de las funciones lineales (Stanton y Moore–

Russo, 2012). El concepto de pendiente se aplica en muchos campos de las ciencias en general y, en

particular, es relevante para el desarrollo de temas de matemática avanzada; es fundamental para

describir el comportamiento de una curva y juega un papel central en el desarrollo del cálculo (Carlson,

Oehrtman y Engelke, 2010; Confrey y Smith, 1995; Noble, Nemirovsky, Wright y Tierney, 2001). El

cálculo marca una transición significativa en la comprensión matemática de la pendiente por parte de

los estudiantes, pasando de funciones lineales a funciones no lineales y de razón de cambio medio a

razón de cambio instantáneo (Dolores, 2007; Teuscher y Reys, 2012; McGee, Moore-Russo y Martínez,

2015).

El concepto de pendiente, al ser tratado como objeto en el proceso enseñanza–aprendizaje encierra

una gran complejidad debido a la variedad de significados que se le asocian y que van desde el uso

cotidiano o común, pasando por sus aplicaciones, hasta las conceptualizaciones que se han determinado

en el proceso de enseñanza–aprendizaje de dicho concepto (Stump, 1999; Zaslavsky, Sela y Leron,

2002; Moore-Russo, Conner, y Rugg, 2011a; Nagle y Moore-Russo, 2013).

El paso de un análisis global (general) a un análisis local (puntual) en el problema del estudio de

una función es esencial para comprender que, en una vecindad muy próxima de un punto, la función se

comporta como su recta tangente en ese punto, es decir, las variaciones que tiene una función a partir

de un valor determinado, son proporcionales a las de su variable independiente cuando éstas son muy

pequeñas. En ese sentido, los trabajos de Asiala et al., 1997; y de Sofronas et al., 2011, contemplan la

aproximación lineal como un elemento funcional para el estudio de la pendiente. Además, Sofronas et

al., (2011), recogen que la tercera parte de los expertos en cálculo participantes en su estudio, identifican




la comprensión de los estudiantes sobre la aproximación lineal como algo fundamental para una

comprensión profunda del cálculo de primer año.

A partir de la revisión de la literatura sobre el tema de la pendiente, se puede observar que la

producción científica en los últimos años ha crecido de manera significativa y se ha concentrado en tres

direcciones principales: estudio de las conceptualizaciones en estudiantes y profesores; los obstáculos y

errores que presentan tanto estudiantes como profesores y el proceso de enseñanza–aprendizaje del

concepto de pendiente (Deniz y Kabael, 2017, p. 140); sin embargo, no se ha encontrado ningún estudio

general que aglutine las investigaciones sobre dicho tema y marque futuras direcciones en este campo

de estudio. La amplitud de tal estudio motiva que este artículo pretenda sólo reseñar los trabajos más

relevantes sobre el concepto de pendiente asociados con las conceptualizaciones en estudiantes y

profesores.

Como punto de partida para lograr el objetivo de analizar, sintetizar y clasificar la investigación

sobre el estudio de las conceptualizaciones en estudiantes y profesores, nos proponemos las siguientes

preguntas:

1. ¿Cuáles son las principales investigaciones y resultados relativos a la pendiente?

2. ¿Qué perspectivas se pueden establecer para las futuras investigaciones sobre la pendiente?

2. Método.

El estudio de la literatura publicada sobre la pendiente se realizó utilizando como base el método

de análisis bibliográfico clásico sugerido por Gómez, Fernando, Aponte y Betancourt (2014). Mismo

que consta de las siguientes etapas:

1. Búsqueda de la información. “Para el proceso de investigación bibliográfica se debe contar

con material informativo como libros, revistas de divulgación o de investigación científica,

sitios Web y demás información necesaria para iniciar la búsqueda. Una búsqueda

bibliográfica debe hacerse desde una perspectiva estructurada y profesional. El material que

se emplee debe ser reconocido, es decir, aquellos que han sido revisados cuidadosamente por

expertos antes de ser publicados”.

2. Organización de la información. “Esta fase consiste en organizar de manera sistemática la

documentación encontrada. Se puede realizar tanto de manera básica o detallada. Una manera

de organizar la información es por relevancia, distinguiendo los principales documentos de

los secundarios. Así se obtiene una estructura o diagrama que permite identificar los pilares

del tema bajo estudio. Es necesario definir una estructura para organizar la información de

forma jerárquica y la cantidad de datos que se van a incluir en esta (autores, año, resumen,

idea principal, etc.)”.

3. Análisis de la información. “La tercera fase es analizar la información ya organizada,

indagando sobre cuáles son los documentos más útiles para la temática en estudio. El análisis

de la información es la tarea que toma más tiempo en la investigación bibliográfica, ya que

con ella se espera identificar el aporte a realizar”. Gómez, et al. (2014, 159–160).

En una primera etapa se realizó una búsqueda en bases de datos importantes como: (Web of

Science, JCR, SCOPUS, ERIC) con la finalidad de identificar la literatura correspondiente al tema. Para

ello utilizamos como términos de búsqueda: “Pendiente”; “Conceptualizaciones de pendiente”;

“Concepciones sobre pendiente”; “Enseñanza–aprendizaje de pendiente”; “Dificultades en el proceso

de enseñanza–aprendizaje de la pendiente”; “Obstáculos y errores en el proceso de enseñanza–



aprendizaje de la pendiente”. En el mismo sentido se realizó una búsqueda general orientada en las bases

de datos antes mencionadas e Internet (actas de congresos sobre Matemática Educativa y a las tesis de

posgrado); utilizando en este caso los términos de búsqueda tales como “Conexiones entre

conceptualizaciones”, “El concepto de pendiente en el currículo”, “Las conceptualizaciones de

pendiente en el currículo”, “Estructuración del contenido sobre pendiente”.

A partir de un proceso de análisis y síntesis de los hallazgos recogidos en la literatura obtenida,

la segunda etapa consistió en la organización e identificación de las investigaciones y resultados más

representativos así como de los autores más relevantes en dicha temática (ver Tabla 1).

En una tercera etapa se seleccionó la literatura científica más relevantes para nuestra investigación

a partir de los resultados del proceso anterior. De esta forma, el cuerpo principal de las investigaciones

seleccionadas para la elaboración de este artículo está conformado por 35 artículos de investigación, en

su mayoría en idioma inglés. Cabe destacar que dichas investigaciones son mayoritariamente de índole

cualitativa.

Autor(Año) Título Objetivo Marco teórico

fundamental Hallazgos Fundamentales

Stump, S.

(1999)

Secondary

Mathematics

Teachers'

Knowledge of

Slope.

Investigar las

definiciones del

concepto de

pendiente y la

comprensión que

poseen los

profesores de

secundaria sobre

dicho concepto; así

como su

conocimiento para la

enseñanza.

La teoría de las

imágenes

conceptuales

desarrolla por (Tall y

Vinner, 1981).

La teoría sobre la

comprensión

matemática (MKT por

sus siglas en Inglés)

desarrollado por

Shulman (1986).

Las siguientes conceptualizaciones

del concepto de pendiente:

1. Razón geométrica.

2. Razón algebraica.

3. Propiedad física.

4. Propiedad funcional.

5. Coeficiente paramétrico.

6. Trigonométrica.

7. Cálculo.

8. Situación del mundo real.

Zaslavsky,

Sela y Leron

(2002)

Being sloppy

about slope:

the effect of

changing the

scale.

Investigar el efecto

en los estudiantes y

profesores cuando

enfrentan

situaciones o tareas sobre la pendiente,

analizada bajo un

cambio de escala no

homogéneo.

Teoría de la

interpretación-

información gráfica

(representativa e

iconográfica) desarrollada por

(Pimm, 1995).

Uso de las TIC´S

asociadas a las

representaciones

analíticas y

geométricas de

funciones

(Yerushalmy, 1991).

La identificación de dos

perspectivas sobre la pendiente

(Analítica y Visual).

Analítica: La pendiente es una propiedad de la función (Ecuación

Lineal) y es invariante bajo un

cambio de escala no homogéneo

Visual: La pendiente es una

propiedad de la gráfica de una

función lineal y varía bajo un

cambio de escala no homogéneo.




Moore-

Russo, D.,

Conner, A.,

Rugg, K.

(2011).

Can slope be

negative in 3-

space?

Studying

concept image

of slope

through

collective

definition

construction.

Explorar la

argumentación,

factores del entorno

de aprendizaje y las

conceptualizaciones

de pendiente.

La teoría de las

imágenes

conceptuales

desarrolla por (Tall y

Vinner, 1981; Vinner

& Dreyfus, 1989).

La teoría del co-

constructivismo

(Valsiner, 1994).

Elementos de la

argumentación de

Krummheuer (1995) y

de Yackel (2002).

Refina y amplia las ocho

conceptualizaciones de pendiente

dadas por Stump (1999, 2001),

añadiendo las conceptualizaciones

siguientes:

9. Determinación de la propiedad.

10. Indicador de comportamiento.

11. Constante lineal.

Existe preferencia de los

estudiantes por el pensamiento

algebraico formal por encima del

pensamiento geométrico.

Nagle, C. y

Moore-

Russo, D.

(2014)

Slope Across

the

Curriculum:

Principles and

Standards for

School

Mathematics

and Common

Core State

Standards.

Investigar cómo se

manifiesta el

concepto de

pendiente y su

estructuración en el

currículo de la

enseñanza básica.

Conceptualizaciones

de pendiente descritas

por Stump (1999,

2001) y Moore-Russo,

Connor y Rugg

(2011).

El número total de referencias, a la

pendiente, en ambos currículos de

primaria y secundaria fue similar,

para PSSM (57) y CCSSM (53).

Las conceptualizaciones

predominantes, encontrada en los

estándares PSSM y CCSSM sobre

pendiente son: Propiedad

Funcional, Constante Lineal y

Situación del Mundo Real.

CCSSM describe la creación de

razonamiento covariacional junto

con el razonamiento proporcional

en el grado 6, por su parte PSSM se

propone construir una base de

razonamiento covariacional en los

grados 3-5 para comprender las

relaciones proporcionales en el

grado 6.

Cho, P. y

Nagle, C.

(2017).

An Analysis of

Students’

Mistakes on

Routine Slope

Tasks.

Investigar los

errores que

presentan los

estudiantes

universitarios en

tareas rutinarias que

involucran la

pendiente.

Conceptualizaciones

de pendiente descritas

por Moore-Russo,

Connor y Rugg

(2011).

Teoría sobre las etapas

del razonamiento

covariacional

propuesta por Carlson

et al. (2002).

Identifican 18 errores que cometen

los estudiantes en tareas rutinarias

sobre la pendiente. Entre ellos

destacan los aritméticos y aseveran

que son los más generalizados y

que fueron trasmitidos a la

manipulación algebraica por la

mayoría de los estudiantes.

Explicitan los elementos

procedimentales y conceptuales

que pueden vincularse con los

errores identificados.



Beyerley, C.

y Thompson,

P. (2017)

Secondary

mathematics

teachers’

meanings for

measure,

slope, and rate

of change.

Investigar los

significados que

poseen los

profesores de

matemáticas de

secundaria sobre los

conceptos de

pendiente, medida y

tasa de cambio.

Teoría sobre las etapas

del razonamiento

covariacional

propuesta por Carlson

et al. (2002).

Teoría de los

significados

desarrollada por

Thompson, P. et al.

(2014) y Thompson,

P. (2016).

Revela que los significados que

poseen los profesores de

secundaria sobre la pendiente son

limitados y poco productivos.

Se presentan evidencias de que los

profesores no saben el por qué se

usa la división en la fórmula de la

pendiente.

Tabla 1. Investigaciones más relevantes y significativas sobre la pendiente.

3. Sobre las conceptualizaciones-concepciones

Antes de entrar en lo hallado en la literatura, y puesto que los autores investigados no siempre

definen los términos que utilizan o les atribuyen sentidos algo diferentes, conviene que se establezca

qué significado se asumen en relación con los términos que se emplea en este apartado. Según esto,

usará “concepto” para designar la idea de un objeto matemático y por “conceptualización” la

representación mental que un individuo posee de un concepto matemático y que irremediablemente

estará ligada o condicionada a su formación y experiencia.

Las teorías de Tall y Vinner (1981) y Vinner (1994) sobre imágenes conceptuales y definición de

conceptos distinguen entre cómo se define formalmente un concepto en Matemática y el proceso

cognitivo que permite concebir el concepto. Estos autores emplean el término “concept definition” en

el proceso cognitivo (no formal) para referirse a la definición del concepto asumida por el estudiante,

por lo que la definición del concepto tiene un carácter personal. El término “concept image” se refiere

a todas las representaciones mentales, procesos y propiedades que conoce el estudiante asociadas a un

determinado concepto. La imagen del concepto se construye a lo largo del tiempo, es producto de las

experiencias y evoluciona a medida que el individuo se enfrenta a nuevas situaciones y es capaz de

resolverlas.

Debe hacerse notar que ni en los trabajos sobre conceptualizaciones desarrollados por Stump

(1999, 2001a) ni en los ampliados y refinados por Moore-Russo, Conner y Rugg (2011a) se define el

término conceptualización de manera explícita. Cada una de las conceptualizaciones que los autores

refieren se basa en alguna representación particular del concepto de pendiente asociada a un contexto

específico y toma en consideración una cualidad esencial del concepto. Por ejemplo, cuando se

conceptualiza la pendiente como la medida de la inclinación de la recta en relación con la parte positiva

del eje horizontal se hace referencia a una representación geométrica (contexto) del concepto de

pendiente y dicha inclinación se toma como característica esencial del concepto. En ese mismo sentido,

Hoffman (2015) asevera que una conceptualización se refiere a una representación específica del

concepto (asociada a una característica esencial), mientras que la imagen del concepto es el número total

de conceptualizaciones que los profesores han asociado con dicho concepto.

Thompson, (1992, p. 130) considera las concepciones como "una estructura mental más general,

que abarca creencias, significados, conceptos, proposiciones, reglas, imágenes mentales, preferencias,

y gustos". Remesal, (2006) y Moreano, Amad, Cruz y Cuglievan, (2008) consideran las concepciones

como un sistema organizado de creencias que se originan y desarrollan a través de las experiencias e

interacciones en las que el individuo participa, repercutiendo en las interacciones subsiguientes con el

mundo que le rodea y, según añaden Moreno y Azcárate (2003) en lo que se percibe y en los procesos




de razonamiento que realiza. En ese sentido, el término “concepción” proporciona un marco para

describir la percepción global y el conocimiento de la evaluación de los docentes.

Para Leong (2014) una concepción es un punto de partida inclusivo que tiene en cuenta las formas

de conocer, las creencias de los profesores, actitudes, perspectivas, valores y otras construcciones

posibles que ellos estimen útiles para describir sus prácticas en el aula. Según Brown (2004), mediante

las concepciones un individuo entiende, responde e interactúa con un fenómeno y las experimenta dentro

de una cultura (Brown, Hui, Yu & Kennedy, 2011). A los efectos del presente trabajo entenderemos las

concepciones en el sentido de Leong (2014).

A partir de lo anteriormente expuesto y a modo de conclusión de esta sección podemos establecer

que la concepción es un concepto más amplio y general que el de conceptualización, ya que la

conceptualización se entiende como una representación específica asociada a una determinada

característica esencial de un concepto en un contexto particular; en tanto que la concepción se considera

como un conjunto de elementos asociados con la esfera cognitiva–conceptual (significados, conceptos,

proposiciones, reglas, imágenes mentales, etcétera) que favorecen la estructuración del razonamiento y

la toma de decisiones.

4. Los primeros estudios sobre la pendiente

Dentro de los estudios relacionados con la pendiente, la tesis doctoral de Janvier (1978) puede

considerarse como pionera. Aunque está dedicada fundamentalmente al análisis de gráficas de funciones

y sus relaciones e interpretaciones, dicha investigación realiza un estudio de algunas dificultades sobre

la comprensión del concepto de función, basado en sus gráficas, y pone de manifiesto errores

relacionados con el concepto de pendiente. En particular, se explicita el error conocido como pendiente–

altura. En el mismo sentido, en la investigación sobre gráficas y sus relaciones de Barr (1980,1981)

analiza la comprensión de los estudiantes del concepto de pendiente y describe un estudio para

identificar y cuantificar sus dificultades.

McDermott, Rosenquist y van Zee (1983) encuentran la confusión asociada al error conceptual

pendiente–altura en las respuestas de los estudiantes universitarios a los que les propusieron tareas en

las que había que manejar gráficas de tiempo y velocidad. Estos autores atribuyen el error a múltiples

causas con lo que hacen patente la gran complejidad del concepto de pendiente. También Preece (1983)

corrobora los hallazgos de Janvier (1978) y McDermott, et a1. (1983) sobre dicho error conceptual,

utilizando para su investigación elementos dinámicos. Respecto al trabajo de McDermott, et al. (1983),

Clement (1985) identifica como causa del error el uso indebido que los estudiantes hacen de la

característica gráfica de la altura en lugar de utilizar la pendiente para representar la velocidad.

A partir de los estudios realizados sobre gráficas y sus interpretaciones, Clement (1985) estructura

y propone una clasificación de los errores que cometen los estudiantes en la resolución de problemas

relativos a estas tareas. Así mismo, este autor propone algunas explicaciones cognitivas para los errores

detectados. Dicho estudio se sustenta en un modelo por competencias asociadas a los conocimientos

básicos para elaborar e interpretar gráficas. Este trabajo ratifica los hallazgos de Janvier (1978) pues

encuentra en los estudiantes el error pendiente-altura pero, además, evidencia otro error al que denomina

pendiente-curvatura. En su clasificación de conceptos erróneos en el estudio de gráficas, Clement (1985)

da una gran importancia a los errores conceptuales relacionados con la pendiente y las características

incorrectas de una gráfica.



En la tesis doctoral de Zaslavsky (1987), se exponen algunos obstáculos y errores teórico–

conceptuales referentes a la pendiente. Por ejemplo, al proponer a los alumnos encontrar una ecuación

para la gráfica de una parábola dados tres puntos, algunos estudiantes, equivocadamente, tienen en

cuenta sólo dos puntos para buscar la ecuación. Ello permite suponer que está operando una mentalidad

o pensamiento lineal, esto es, que se toman dos puntos porque son suficientes para calcular la pendiente

de la recta que los contiene. A continuación, ese “valor de pendiente” hallado lo toman como coeficiente

principal de la ecuación de la parábola. Esencialmente esta conducta, es una manifestación de la

tendencia a la ejecución procedimental y puede estar provocada, por el abuso de tareas que exigen

determinar la ecuación de una recta o función lineal conocidos dos puntos.

El elemento fundamental de la investigación realizada por Leinhardt, Zaslavsky y Stein (1990)

que pretendemos resaltar, es su estudio sobre la naturaleza del aprendizaje en términos de intuiciones y

conceptos erróneos y sobre los enfoques plausibles de la enseñanza a través de secuencias, explicaciones

y ejemplos (contraejemplos). Como venimos diciendo, las investigaciones realizadas contienen tareas

que sacan a la luz dificultades y conceptos erróneos de los estudiantes en relación con el aprendizaje de

las gráficas en general o de parte de ellas. Los autores han agrupado dichas dificultades en tres categorías

principales: Confusión de intervalo-punto, Confusión de pendiente-altura e Interpretación icónica.

Nótese que la segunda categoría está relacionada con la pendiente y ha sido objeto de estudio en

investigaciones precedentes (Janvier, 1978; Bell y Janvier, 1981; Preece, 1983; Clement, 1985;

McDermott et al., 1987). Leinhardt, Zaslavsky y Stein (1990) sostienen que si los estudiantes consideran

la gráfica como fraccionada o en trozos, están poniendo de manifiesto una tendencia general a interpretar

las gráficas puntualmente, lo que en definitiva se deriva de la confusión pendiente/altura.

Las repercusiones cognitivas de una escasa comprensión del concepto de pendiente y de la tasa

de cambio han despertado también el interés de algunos investigadores motivando varios estudios. Los

trabajos de Thompson (1994b), Patrick Thompson y Alba Thompson (1994), señalan las deficiencias

detectadas al entrevistar a estudiantes de enseñanza media sobre la comprensión de la tasa constante.

Por otra parte, Hauger (1997), utilizando gráficas distancia-tiempo y situaciones tanto de aceleración

como de frenado, hace un estudio de casos y encuentra que los estudiantes descubren sus errores y

refinan sus conocimientos cuando trabajan con la tasa de cambio.

La investigación desarrollada por Hauger (1997) implica consecuencias para la instrucción pues

recomienda a los profesores de cálculo y precálculo que brinden oportunidades a los estudiantes para

que usen sus conocimientos y la relación entre pendiente y cambio en intervalos, con lo que favorecerán

la comprensión de la tasa de cambio. De manera más general, los profesores deben analizar y sintetizar

el conocimiento que los estudiantes utilizan para que determinadas situaciones se doten de sentido y

para propiciar que usen sus conocimientos en la construcción de nuevas relaciones y conceptos

matemáticos.

Por lo expuesto hasta ahora, se puede asegurar que las investigaciones anteriores a Stump (1999)

no trataban específicamente el concepto de pendiente sino que éste subyacía en los estudios sobre

funciones, gráficas o tasa de cambio. La investigación de Stump (1999) rompe esa tendencia y examina

la forma en que los profesores presentan el concepto de pendiente a sus alumnos, observando que este

concepto se definía de diferentes maneras, atendiendo al contexto y a una característica particular del

concepto en correspondencia con dicho contexto. En la Tabla 2 figura el conjunto de

conceptualizaciones de la pendiente confeccionada por esta autora tras examinar las herramientas

utilizadas en un gran número de investigaciones sobre la pendiente.

5. Las conceptualizaciones de pendiente en estudiantes y profesores




Las investigaciones que pueden considerarse precedentes al estudio de las conceptualizaciones

centradas en la pendiente son las desarrolladas por Barr (1980, 1981) y Azcárate (1992). Barr (1980,

1981) exploró el conocimiento de los estudiantes sobre la pendiente y reportó las dificultades o

confusiones encontradas. Azcárate (1992) investigó los esquemas conceptuales y perfiles de estudiantes

preuniversitarios sobre la base de los “concept image” y “concept definition” de Tall y Vinner (1981),

definiendo tres perfiles: el geométrico, el operativo y el funcional. El perfil geométrico se caracteriza

por la asociación de la pendiente con el término “inclinación”, con la gráfica de la recta, con el ángulo

de inclinación, con la distancia o con un punto del plano cartesiano; el perfil operativo es el relacionado

con el algoritmo para calcular la pendiente; y el perfil funcional hace referencia a la correspondencia

entre los incrementos de las variables.

Stump (1999) prosigue esta línea pero le da mayor precisión y lo centra en la comprensión

matemática de los profesores sobre la pendiente y en el dominio que éstos poseen sobre el contenido de

la enseñanza. Al igual que Azcárate (1992), investiga el conocimiento del contenido desde la teoría de

las imágenes y las definiciones conceptuales de Tall & Vinner (1981), el conocimiento del contenido

pedagógico desde la posición de Shulman (1986) y la comprensión desde la perspectiva de las

conexiones de McDiarmid, Ball y Anderson, (1989, p. 193) y del conocimiento conceptual y el

procedimental de Hiebert y Lefevre, (1986). Identificó siete categorías relativas a las definiciones de

pendiente: razón geométrica (G), razón algebraica (A), propiedad física (P), propiedad funcional (F),

coeficiente paramétrico (PC), trigonométrica (T) y cálculo (C). En 2001(a), la propia Stump propuso

una octava categoría, la denominada, situaciones del mundo real (R). Posteriormente, Moore-Russo

(2011a) aún añadió tres conceptualizaciones más: propiedad determinante (D), constante lineal (L) e

indicador de comportamiento (B). (Véase Tabla 2).

Categoría Pendiente como Código

Razón geométrica

Rise over run, razón entre los desplazamientos vertical y

horizontal en la gráfica de una recta (cuyas representaciones

dan pequeños triángulos rectángulos con la recta).

G

Razón Algebraica Cambio en 𝑦 entre cambio en 𝑥, expresado en la razón

algebraica 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 ó

Δ𝑦

Δ𝑥.

A

Propiedad física Propiedad de una recta descrita con expresiones como: grado,

inclinación, tendencia, ladeo, declive, etc. P

Propiedad

funcional

Razón de cambio constante entre dos variables o cantidades,

bien encontrada en representaciones como tablas,

descripciones verbales, etc. (v. gr. cuando 𝑥 aumenta 2, 𝑦

aumenta 3); o bien observada en situaciones que implican

razones de proporcionalidad constante, donde la razón

referida a la unidad es la pendiente.

F

Coeficiente

Paramétrico

Coeficiente 𝑚 (o su valor numérico) en 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 o 𝑦 −𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

PC

Trigonométrica Propiedad relacionada con el ángulo que forma una recta con

la horizontal (eje 𝑥); tangente del ángulo de inclinación. T

Cálculo

Medida relacionada con la derivada como la tangente a la

curva en un punto, o cómo razón de cambio instantánea para

cualquier función (incluso una no lineal).

C



Situación del

mundo real

Situación física (estática): rampas, escaleras, montañas,

cimas.

Situación funcional (dinámica): relación entre dos variables

en otros contextos, v. gr., distancia versus tiempo, velocidad

versus tiempo.

R

Propiedad

determinante

Propiedad que determina si las rectas son paralelas o

perpendiculares; propiedad con la que una recta puede ser

determinada si se conoce un punto de ella.

D

Constante lineal

“Recta” o “plana” que denota ausencia de curvatura y que

permanece inalterable cualquiera que sea el desplazamiento

que se haga en una determinada dirección de traslación;

propiedad única para la “rectitud” de figuras, (lo que hace

que una línea sea "recta" o la "rectitud" de una línea); la

constante o pendiente se obtiene con cualquier par de puntos

de la recta

L

Indicador de

comportamiento

Número real con signo que indica crecimiento (+),

decrecimiento (−), tendencia horizontal de la línea (0). Si no

es cero, indica la existencia de intersección con el eje 𝑥.

B

Tabla 2. Conceptualizaciones de la Pendiente. Adaptado de Nagle y Moore-Russo (2014)

Stump (2001b) prosigue la investigación sobre comprensión de la pendiente pero ahora como

medida y en estudiantes de precálculo. Para ello los estudiantes respondieron a preguntas acerca de

situaciones del mundo real, como situaciones físicas que involucraban la pendiente como una medida

de inclinación (T) y de situaciones funcionales que involucraban la pendiente como una medida de la

razón de cambio (F). Para las situaciones físicas, los estudiantes midieron la inclinación con ángulos en

lugar de utilizar las razones. En general, demostraron una mejor comprensión de la pendiente en

situaciones funcionales, pero muchos tuvieron problemas para interpretar la pendiente como una medida

de la razón de cambio.

Recuperando los estudios sobre profesores pero en un contexto diferente del de USA, Mudaly y

Moore–Russo (2011) analizaron el concepto de pendiente de un grupo de 251 profesores de matemáticas

de secundaria, sudafricanos, que enseñaban en poblaciones consideradas históricamente desfavorecidas.

Sin haberles impartido ninguna instrucción previa, se les aplicó un cuestionario y se obtuvo que algunos

de los encuestados tenían una comprensión muy escasa o nula del concepto, mientras que otros

evidenciaban un buen entendimiento de la pendiente al ser capaces de conceptualizarla de muchas

maneras diferentes. Las conceptualizaciones mayoritariamente evocadas por los profesores fueron

coeficiente paramétrico (PC), trigonométrica (T) e indicador de comportamiento (B); contrariamente, la

propiedad funcional (F), la situación del mundo real (R) y la propiedad física (P) fueron evocadas con

muy escasa frecuencia.

Nagle, et al. (2013a) estudiaron las conceptualizaciones de pendiente en un curso introductorio

de cálculo, esto es, en nivel universitario, examinando tanto a alumnos como a profesores. Encontraron

que los estudiantes confían en conceptualizaciones de pendiente basadas en procedimientos, mostrando

poca evidencia de razonamiento covariacional. En contraste, los profesores demostraron una

comprensión multidimensional de la pendiente como una propiedad funcional, que se aplica a

situaciones del mundo real y desempeña un papel integral en el desarrollo de conceptos clave del

Cálculo. No resultó frecuente que los profesores utilizaran la determinación creciente / decreciente utilizando la pendiente, al contrario de lo que sucedió en el caso de los alumnos. En estos últimos se

identificó la influencia cultural (académica y geográfica) en la conceptualización de pendiente tal y




como se había encontrado en investigaciones anteriores, en las que se detectaba la repercusión del plan

de estudios de matemáticas de secundaria en la preferencia por el uso de una u otra conceptualización.

Aun volviendo a trabajar con estudiantes y profesores, Nagle, Moore–Russo y Styers (2013b) dan

un giro a sus observaciones pues estudian lo que los profesores creen que piensan los alumnos sobre la

pendiente una vez que examinan sus declaraciones circunscritas al plan de estudios. Las respuestas de

los profesores proporcionaron información sobre su Conocimiento de Contenido y Estudiantes (KCS) y

Conocimiento de Contenido y Currículo (KCC). Los resultados sugieren que los profesores valoran la

terminología académica relacionada con la pendiente, tienen perspectivas limitadas sobre la pendiente

en contextos del mundo real e intentan extender la noción de pendiente al cálculo previo. Los profesores

no mostraron seguridad sobre cómo interpretar la conceptualización constante lineal (L) que se refiere

a la “rectitud de la recta”, particularmente al pasar de relaciones lineales a no lineales y comprender la

tasa de cambio variable. Además, tendían a proporcionar interpretaciones algebraicas de la pendiente

(A), incluso cuando las declaraciones estaban abiertas a interpretaciones más trigonométricas (T) o

geométricas (G). Este trabajo hace patente la necesidad de que los profesores deben tener un

conocimiento suficiente del plan de estudios (KCC) y de las repercusiones del mismo en los estudios

posteriores si quieren preparar a sus alumnos para estudios superiores. Ese es el caso del concepto de

pendiente que, al resultar fundamental para conceptos más avanzados como la derivada (HCK), debe

interpretarse de la forma más amplia posible.

Stanton y Moore–Russo (2012) examinan los currículos de la enseñanza primaria, secundaria y

bachillerato de los 50 estados de USA para determinar cómo tratan el concepto de pendiente. Encuentran

que la conceptualización más frecuente en estos documentos es la razón geométrica (G) (aparece en 45

estados), seguida muy de cerca por las de indicador de comportamiento (B), propiedad determinante

(D), propiedad funcional (F) y la razón algebraica (A) (cada una encontrada en 43 estados). Las

conceptualizaciones menos frecuentes fueron la de pendiente como una propiedad física (P) (encontrada

en seis estados) y trigonométrica (T) (encontrada en 10 estados). Sin embargo, los currículos de la

Escuela Primaria y Secundaria incluyen diferencias que reflejan enfoques alternativos para cubrir las

nociones y prerrequisitos claves relacionadas con la pendiente y para extender las ideas de pendiente a

funciones no lineales.

Hasta 2013 los estudios de las conceptualizaciones de la pendiente se centran en una descripción

aislada entre ellas. Ese año, Nagle et al. (2013a) cambian su enfoque y pasan a estudiarlas como una

Red de Componentes Conectados, aportando nuevos elementos teóricos. En particular, combinan la

investigación sobre la comprensión, procesal versus conceptual, con la investigación sobre las

interpretaciones, visuales y analíticas, de la pendiente para así establecer nuevas conexiones entre las

conceptualizaciones. La pendiente es un concepto crítico en la educación matemática y sus limitaciones

en la comprensión de los estudiantes provienen de la falta de conexiones que hacen entre los diversos

componentes y subcomponentes de la pendiente. Esta nueva orientación de la investigación es relevante porque puede ayudar a estudiantes y profesores a desarrollar una mejor compresión del concepto en

cuestión.

Nagle, Casey y Moore–Russo (2017), aplicando la teoría de la transferencia del conocimiento de

Royer, Mestre, y Dufresne (2005), dirigen su atención a investigar si los alumnos utilizan sus

conceptualizaciones de la pendiente cuando, en estadística, partiendo de una recta imprecisa deben

encontrar la recta de mejor ajuste. Tanto el contexto situacional de las tareas planteadas (el precio del

boleto versus la asistencia al teatro) como el matemático (los puntos alternos dados como datos)

influyeron en el conocimiento previo que los estudiantes transfirieron a la nueva tarea. Cabe deducir por

ello que la comprensión conceptual de la pendiente no garantiza necesariamente la transferencia a un

nuevo contexto problemático y que no resulta superflua la contextualización al mundo real. Afirman



que los estudiantes transfirieron las conceptualizaciones de la propiedad funcional (F) y del mundo real

(R) de la pendiente mientras empleaban el razonamiento covariacional. En la búsqueda de la línea de

mejor ajuste tampoco bastó la conceptualización indicador de comportamiento (B) sino que hubo de

concurrir al razonamiento covariacional y la acción mental 2 que, según Carlson et al., 2002, tiene en

cuenta el sentido del cambio; ello avala la conjetura de que estas nociones están estructuralmente

relacionadas.

Deniz y Kabael (2017) retoman las conceptualizaciones como objetos de estudio pero desde el

punto de vista de la teoría APOS (Acción, Proceso, Objeto y Esquema) propuesta por Dubinsky (1991).

Investigaron los procesos de construcción y matematización de la pendiente en estudiantes que cursaban

8º grado, centrándose en las conceptualizaciones razón geométrica (G) y razón algebraica (A).

Observaron que los estudiantes que podían construir el concepto de pendiente a nivel de acción no

podían construirlo como una razón. Podían calcular la pendiente con el “rise over run” o con la fórmula,

sin embargo, no podían conceptualizar la invariabilidad de la pendiente en todos los tramos de la recta

(L), ni interrelacionar esta interpretación con la razón algebraica (A) y la interpretación de la razón

geométrica (G). Notaron tendencia hacia la interiorización (etapa de proceso) cuando la invariancia de

la pendiente entre dos puntos cualesquiera de la recta quedaba justificada por la relación algebraica.

Otro indicador que demuestra la construcción de la pendiente en la etapa del proceso es el uso de la

relación algebraica 𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 asociada a la interpretación geométrica de la pendiente. Afirma que la etapa

de objeto ocurrirá durante el aprendizaje de conceptos como la derivada donde el concepto de pendiente

es un requisito previo y que en 8º grado los indicadores de la etapa de objeto no se pueden observar

explícitamente.

Siguiendo la misma línea, en un estudio más reciente Nagle et al. (2018) extienden la

investigación sobre la pendiente conectando las 11 conceptualizaciones de la pendiente con la Teoría

APOS. En esencia plantean que el concepto de pendiente puede construirse interrelacionando las

“formas de pensar la pendiente” y los “usos de la pendiente”. Son formas de pensar la pendiente como

acción, proceso u objeto, las conceptualizaciones: razón algebraica (A), razón geométrica (G) y

propiedad funcional (F); la fusión de estas da origen a la conceptualización constante lineal (L), que

representaría el objeto pendiente. Los usos de la pendiente estarían en las otras siete

conceptualizaciones: coeficiente paramétrico (PC), indicador de comportamiento (B), propiedad física

(P), propiedad determinante (D), situación del mundo real (R) y, cuando sea apropiado, trigonométrica

(T) y cálculo (C). Esta propuesta puede ayudar a los profesores a elaborar actividades matemáticas para

desvelar las etapas de comprensión del concepto de pendiente en los estudiantes, o podría usarse en el

diseño de materiales para la enseñanza que tengan en cuenta las formas de facilitar la reformulación de

las ideas de los estudiantes sobre la pendiente para transitar hacia etapas más avanzadas.

6. Conclusiones

Los estudios primarios de la pendiente tienen como objetivo explorar el conocimiento de los

estudiantes (Barr, 1980, 1981) y de sus esquemas conceptuales (Azcárate, 1992). La teoría de Tall y

Vinner (1981) sobre concept image y concept definition, constituyó una base importante para conocer

la estructura cognitiva de los individuos acerca del concepto de pendiente. Sobre esta base y la de la

Teoría sobre el Conocimiento Pedagógico del Contenido introducida por Shulman (1981) Stump

identificó lo que a la postre los investigadores denominaron conceptualizaciones de la pendiente.

Utilizando las conceptualizaciones de pendiente, se han realizado múltiples estudios que

consideran la pendiente en secundaria, bachillerato y universidad, en profesores, en estudiantes y en

documentos curriculares. Nagle et al. (2013a) dan un viraje proponiendo la Red de Componentes

Conectados combinada con las comprensiones, procesal y conceptual, y las interpretaciones, visuales y




analíticas, sugerida por Stump (2001a). Carpenter, 1986; Hiebert y Carpenter, 1992; Hiebert y Lefevre,

1986, consideran la comprensión matemática como derivada del establecimiento de amplias redes de

conexión entre conceptos y procedimientos. De aquí devienen lo que se denomina conocimiento

procedimental y el conocimiento conceptual que juegan un papel importante en las conexiones

matemáticas, ya que ambos están correlacionados positivamente como lo señalan Rittle-Johnson y

Koedinger, (2009); Rittle-Johnson y Schneider (2015); Rittle–Johnson, Siegler y Alibali, (2001). El

conocimiento o comprensión conceptual y procesal están fuertemente ligados a las conexiones, sin

embargo, constituyen un reto para profesores e investigadores, ya que varios investigadores, como

Birgin (2012), Deniz y Kabael (2017), Nagle. Moore–Russo y Styers (2013b) y Wagener (2009), han

reportado que los estudiantes desarrollan más el conocimiento procedimental que el conceptual.

El estudio de las conceptualizaciones proviene del interés por desentrañar tanto el Conocimiento

Pedagógico del Contenido, introducido por Shulman (1981)1, como las imágenes conceptuales de Tall

y Vinner (1981). Sin embargo, recientemente, Beyerley y Thompson (2017) marcan una prospectiva

diferente; proponen atender al Significado Matemático para la Enseñanza en vez del Conocimiento

Matemático para la Enseñanza de Ball et al. (2008), ya que argumentan que el significado connota algo

personal y los significados de una persona están entrelazados, mientras que el conocimiento es menos

personal y más declarativo, permaneciendo separado del conocedor. Un profesor que posee significados

productivos podrá transmitir y desarrollar significados productivos en sus estudiantes. En virtud de que

este enfoque se prioriza el significado sobre el conocimiento de contenidos matemáticos del profesor,

mismo que puede generar cambios sustanciales tanto en la investigación como en la docencia en general

y del concepto de pendiente en particular.

En los dos últimos años, la teoría APOS, surgida en la década de los 90, ha cobrado nuevo impulso

al utilizarse como base teórica para sustentar las conceptualizaciones de la pendiente. APOS es un marco

teórico que permite estudiar tanto el desarrollo de estructuras cognitivas o etapas de comprensión, como

el proceso mismo de aprendizaje de un concepto. APOS se basa en la teoría piagetiana de la abstracción

reflexiva, que describe las ocurrencias cognitivas en la mente en el proceso de aprendizaje de un

concepto (Dubinsky, 1991), y, por tanto, sirve para mostrar cómo se aprenden los conceptos

matemáticos (Oktaç y Çetin, 2016, p. 164).

Según APOS, la construcción del concepto comienza con acciones, progresa luego a procesos

dinámicos mediante la interiorización de las acciones y, finalmente, evoluciona de procesos dinámicos

a objetos encapsulados (Tall, 1999). Deniz y Kabael (2017) refieren que los estudiantes de 8º dan

muestras de construir el concepto de pendiente como una fórmula o una serie de operaciones sin darle

sentido en la etapa de acción. En la etapa de proceso encuentran ciertas dificultades en la interiorización

de la pendiente como razón constante en todos los tramos de la recta y afirman que la etapa de objeto

ocurrirá hasta el aprendizaje de la derivada. Nagle et al. (2018), sobre la base de misma teoría, plantean

una sistematización de las conceptualizaciones más integradora, que consideramos tiene potencialidades para seguirse desarrollando tanto en la investigación como en la docencia. Las formas de pensar versus

los usos de la pendiente que incluyen todas las conceptualizaciones marca una dirección específica en

la investigación que puede ser desarrollada en un futuro.

Por otro lado, la mayoría de los estudios sobre pendiente se han efectuado a pequeña escala por

lo que sus hallazgos son limitados y parciales; lo que implica que, a partir del desarrollo teórico actual,

se debe seguir investigando sobre las causas que provocan las dificultades y los obstáculos y sobre el



diseño y/o uso de alternativas didácticas que favorezcan el proceso de enseñanza–aprendizaje del

concepto de pendiente en la escuela.

En tal sentido somos del criterio que algunas de las futuras investigaciones en este ámbito pueden

orientase hacia:

1. Estudiar los obstáculos y/o errores que manifiestan los estudiantes en el proceso de

resolución de tareas sobre la pendiente.

2. ¿Cuáles son las causas que provocan los errores que manifiestan los estudiantes en la

resolución de tareas sobre la pendiente?

3. ¿Cómo utilizar los obstáculos y/o errores sobre la pendiente para diseñar estrategias

metodológicas para favorecer su proceso de enseñanza–aprendizaje?

4. Establecer las conexiones y/o relaciones entre las diferentes conceptualizaciones del

concepto de pendiente en función de favorecer el proceso de enseñanza–aprendizaje de la

pendiente

5. ¿Qué implicaciones tienen las conceptualizaciones de la pendiente en el proceso de

formación y desarrollo de conceptos matemáticos superiores?

6. ¿Qué instrumentos elaborar y/o utilizar para investigar los significados que poseen los

profesores sobre la pendiente en un determinado contexto sociocultural (léase país, estado,

región)?

7. ¿Qué significados sobre la pendiente promueve o estimula el profesor en el aula? Y ¿cómo

aprenden los estudiantes estos significados?

8. Extender el estudio desarrollado sobre las conceptualizaciones a otros conceptos básicos de

la matemática escolar.

8. Bibliografía

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Ricardo Abreu Blaya. Es Catedrático de Matemática en la Universidad Autónoma de Guerrero,

México. Doctor en Ciencias Matemáticas (Cuba) y Doctor en Ciencias (segundo grado de doctor,

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Crisólogo Dolores Flores. Es Catedrático de Matemática en la Universidad Autónoma de

Guerrero, México. Doctor en Ciencias Pedagógicas (Metodología de la Matemática) (Cuba). Ha

publicado más de 50 artículos de investigación. Email: [email protected]

José L. Sánchez. Es Máster en Metodología de la Matemática (Cuba) y Máster en Matemáticas

(México). En la actualidad es Candidato a Doctor en Matemática Educativa por la Universidad

Autónoma de Guerrero. Ha publicado 6 artículos en Matemática y Matemática Educativa. Email:

[email protected]

José M. Sigarreta. Es Catedrático de Matemática en la Universidad Autónoma de Guerrero,

México. Doctor en Ciencias Pedagógicas (Metodología de la Matemática) (Cuba), Doctor en

Matemáticas (México) y Doctor en Ingeniería Matemática (España). Ha publicado más de 100

artículos de investigación. Email: [email protected]








ISSN: 1887-1984


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Estudio en el uso de las factorizaciones simultáneas

para el cálculo del MCD y el mcm

Óscar Jesús Falcón Ganfornina

(Instituto de Educación Secundaria Chaves Nogales. España)


Fecha de aceptación: 09 de enero de 2020

Resumen Una de las primeras unidades didácticas en el currículo de Matemáticas en 1º y 2º de la

Educación Secundaria Obligatoria en España es el de divisibilidad. Esta unidad incluye

como objetivo el cálculo del máximo común divisor y mínimo común múltiplo. Es

corriente trabajar en estos cálculos con el método de factorizaciones por separado. En

este artículo se propone otro método de factorizaciones simultáneas, el cual analizará sus

ventajas y finalizará con un estudio de dicho método en función de una encuesta

facilitada al alumnado.

Palabras clave Divisibilidad, común, divisor, múltiplo, factorización, educación secundaria.

Title Study of simultaneous factorization method to obtain the value of HCF and LCM

Abstract The Maths curriculum usually starts with divisibility in 1st and 2nd year of secondary

school education in Spain. This topic includes the concept of Highest Common Factor

(H.C.F.) and Least Common Multiple (L.C.M.). A common process is the method of

separate prime factorizations. This research proposes another method of simultaneous

factorizations which main aim is to analyze and study its benefits through a survey

provided to students.

Keywords divisibility, common, divisor, multiple, factorizations, secondary school education.

1. Introducción

La dificultad en la comprensión de los conceptos de Máximo Común Divisor (MCD) y de

mínimo común múltiplo (mcm) ha sido y está siendo objeto de estudio en múltiples investigaciones

didácticas. Estos dos conceptos no aparecen en el currículo de manera aislada, sino que engloban otros

muchos como la divisibilidad, los números primos, o la factorización, los cuales ya pueden suponer de

por sí una determinada dificultad para el estudiante.

Según Bodí (2006), una de las causas que provocan en la comprensión esa dificultad es la

enseñanza mecánica del cálculo del MCD y el mcm. El método de la factorización por separado es el

más usual en la enseñanza de estos cálculos. Sin embargo, esto parece conllevar más desventajas que

beneficios. Un alumno es capaz de obtener el MCD y el mcm, pero no entiende qué significado tienen

estos resultados. Incluso es usual descubrir que un alumno se equivoca en los cálculos cuando toma

factores que no son los convenientes.


Estudio en el uso de las factorizaciones simultáneas para el cálculo del MCD y el mcm O. J. Falcón Ganfornina


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El objetivo de este artículo es mostrar un método alternativo, que denominaremos de

factorizaciones simultáneas, descubrir qué ventajas e inconvenientes puede tener, y, finalmente, testar

al alumnado sobre qué opinión tienen de su uso. El trabajo está realizado en un grupo de 1º de ESO y

otro de 2º de ESO. Las características de estos alumnos, sin entrar en demasiados detalles al

considerarse no demasiado importante en el estudio, se resumen en indicar que se tratan de dos grupos

heterogéneos, sin necesidades específicas, con alumnado que en su mayoría proviene de un barrio de

clase media-baja. Esto contribuye a encontrarnos, en muchas de los casos, con alumnos poco

motivados en sus estudios. De hecho, en los test realizados, que más adelante se detallarán, se tuvieron

que descartar muchos de ellos al no aportar información relevante al análisis.

2. Diferentes métodos de obtención

Gómez, en su blog web, explica en su artículo tres métodos de cálculo del MCD. Para

ilustrarlos, a continuación, se acompañará a cada método un ejemplo obtenido a partir del applet de

GeoGebra que se encuentra en la web Matematicaula, cuyo enlace es:

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=calculoMCDmcm1

• Enumeración de todos los divisores y búsqueda del divisor mayor común. Suele ser el método

utilizado en niveles de primaria. Tiene la ventaja de visualizar bien qué significa el MCD,

pero se convierte en un método demasiado laborioso si los números requeridos tienen muchos

divisores.

Figura 1. Primer método de obtención del MCD

• Factorización de los números por separado y cálculo del producto de los factores comunes al

menor exponente. Se trata del método habitual en el cálculo del MCD en los libros de texto en

Secundaria. Como comenta Gómez, se suele enseñar el método sin entrar en ningún

razonamiento intermedio ni explicación de la relación entre los divisores y la factorización. Se

puede decir que es una especie de recetario para que el alumno siga los pasos. Ese es el

principal problema de este método. Consigue que el alumnado realice unos pasos de

factorización sencillos, en principio, que les ofrecen una falsa seguridad. Esto se debe a que

justo en el momento de decidir qué factores han de tomar para el cálculo final del MCD, al no

haber una comprensión previa de la relación entre divisores y factores, el alumno suele errar

en su decisión final.

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=calculoMCDmcm1




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Figura 2. Segundo método de obtención del MCD

• Uso del algoritmo de Euclides. Gómez defiende el uso del algoritmo de Euclides a partir de 2º

de ESO como una extensión natural de los dos métodos anteriores, así como ser la antesala a

otros conceptos matemáticos como son, por ejemplo, las ecuaciones diofánticas. Para trabajar

este método, se puede utilizar el applet de GeoGebra cuyo enlace es:

http://matematicaula.com.es/nejercicio.php?ejercicio=algoritmoeuclides

Figura 3. Tercer método de obtención del MCD

No obstante, el algoritmo de Euclides es únicamente útil cuando se quiere calcular el MCD de

dos números. Si se desea hallar el mcm de esos números, tenemos que realizar operaciones aritméticas

(pues debemos multiplicar los dos números y dividirlos por el MCD). Pero lo que realmente lo hace

ineficaz es que, si se desea obtener el MCD de más de dos números, el método de Euclides requiere

encadenar varias veces el algoritmo.

En este artículo vamos a proponer un método intermedio. Este procedimiento permitirá obtener

el MCD y el mcm mediante la factorización simultánea de los valores, tal como se explica en el

siguiente apartado.

3. Método de factorización simultánea

Pues bien, supongamos que necesitamos calcular MCD(48,168). Colocamos ambos números

uno al lado del otro, trazamos un segmento vertical a la derecha de ambos y comenzamos el algoritmo.

Al igual que en el proceso de factorización por separado, comenzamos preguntándonos si es posible

dividir las cifras entre 2, el primer número primo. En caso de que ambos puedan dividirse, colocamos

el 2 a la derecha del segmento y procedemos a la división. Se repite este paso hasta que uno de ellos

no permita la división por ese número primo, y probemos con el siguiente. El método finaliza cuando

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ya no es posible dividir ambas cantidades por un mismo número primo. A continuación, se refleja un

ejemplo.

Figura 4. Algoritmo inicial de factorizaciones simultáneas

Observemos que el producto de los números de la derecha del segmento será el MCD buscado.

Figura 5. Cálculo final del MCD del ejemplo anterior

Finalmente, el producto del MCD por los dos números que nos han quedado en la parte inferior

de la izquierda del segmento resultará el mcm.

Figura 6. Cálculo final del mcm del ejemplo anterior




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Con este ejemplo realizado, debemos hacer dos observaciones antes de pasar al algoritmo del

método de factorizaciones simultáneas con más de dos números.

• El alumno debe entender bien cuándo se finaliza el método, ya que, al contrario de la

factorización por separado, no se termina siempre cuando aparece el 1 al final. Observemos

que así ocurre en el ejemplo mostrado. Se hará hincapié que el método además puede finalizar

cuando aparezca un número primo y el otro valor no sea divisible por dicho primo. Además,

de esta forma se puede reforzar el concepto de números primos entre sí, pues así son los dos

últimos números que aparecen en la parte izquierda del algoritmo.

• Es inmediato observar que el procedimiento que estamos llevando a cabo es exactamente el

mismo que se sigue en la simplificación de fracciones. Lo cual es lógico, ya que en dicha

simplificación se utiliza el MCD para obtener la fracción irreducible en un único paso.

No obstante, mientras que podríamos seguir el mismo algoritmo para obtener el MCD de más

de dos números, este procedimiento no es, por norma general, válido si queremos obtener el mcm en

dicho caso. Se detalla a continuación cómo se deben variar los pasos finales del algoritmo.

Veamos un ejemplo. Se pretende obtener el MCD y mcm de 72, 168 y 252. Para el cálculo del

MCD, el algoritmo, como se acaba de indicar, no varía. Buscamos divisores comunes a los tres

números dados, hasta que no haya ningún número primo con el que podamos dividir los tres

simultáneamente.

Figura 7. Cálculo final del mcm del ejemplo anterior

Una vez que se ha obtenido el MCD se reinicia la búsqueda de divisores desde el primer número

primo. Si alguno de ellos se puede dividir por 2, se coloca este primo a la derecha del segmento y se

realizan las divisiones exactas posibles. Si uno de ellos no permite la división, ese número se arrastra a

la fila inferior sin modificarlo. Cuando ya ningún número sea divisible por 2, se repite el proceso con

los restantes números primos. Ahora sí, el proceso si debe finalizar cuando en todas las columnas

hayamos obtenido el valor 1. El producto de todos los números colocados a la derecha del segmento se

corresponde con el mcm.

Figura 8. Cálculo del mcm con más de dos números



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2. Valoraciones del trabajo realizado

La sensación final, tras proporcionarle al alumnado distintos métodos de cálculo del MCD y

mcm, es positiva. Aquellos alumnos con una competencia matemática aceptable, están abiertos al uso

de las factorizaciones simultáneas. Sin embargo, los alumnos con más dificultades en nuestra materia,

tienen más seguridad utilizando las factorizaciones separadas.

A continuación, podemos apreciar un examen en el que un alumno utiliza ambos métodos de

factorización en dos problemas continuos. Ambos lo realizan de forma correcta. Desafortunadamente

no suele ser lo habitual.

Figura 9. Ejemplo de examen resuelto con ambos métodos

En los siguientes apartados del artículo se estudiarán los resultados de una encuesta realizada

posteriormente al alumnado. Con esos datos se pueden sacar algunas conclusiones. En cualquier caso,

debemos conseguir que cada alumno pueda decidir qué método de resolución utilizar, dependiendo de

los datos o el problema.

3. Primeras valoraciones del método en alumnos de 2º de ESO

Tal como se ha mencionado en los apartados anteriores, cada uno de los métodos tienen sus

ventajas y desventajas. Para valorarlos, se decidió realizar un pequeño cuestionario al alumnado. El

grupo de 2º de ESO está compuesto por 19 alumnos que, al tratarse de un desdoble, proceden de tres

grupos distintos. Los desdobles se compusieron para que cada uno de ellos fuese similar, formando así

agrupaciones heterogéneas.

El cuestionario consta de dos partes. La primera de ella muestra los tres métodos trabajados (no

aparece el algoritmo de Euclides, pues solo se ha mencionado de pasada en clase).




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Figura 10. Primera parte del cuestionario entregado

Observamos que el primer método, consistente en la obtención de todos los divisores, viene

desarrollado y resuelto el MCD. Los otros dos métodos, que utilizan la factorización por separado y

simultánea, solo aparecen desarrollados, pero sin la solución.

A continuación, se les pedía que respondiesen a cuatro cuestiones.

Figura 11. Segunda parte del cuestionario entregado



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Al ser un grupo heterogéneo, algunos de ellos aún son incapaces de comprender cómo rellenar

el cuestionario de manera adecuada, o, por supuesto, de realizar los cálculos correctos. Esto es debido

a la falta de motivación en cuanto a completar unas preguntas que no van a ser contadas para nota, o

directamente por no haber adquirido los conocimientos mínimos de la unidad trabajada. Algunos

ejemplos son:

Figura 12. Cuestionarios rellenos en 2º de ESO

Antes de mostrar los resultados obtenidos, nos vamos a detener en cómo el alumnado resuelve

el cálculo del MCD y mcm en cada uno de los métodos. Se han elegido dos respuestas de alumnos que

sí han podido responder de forma acertada.

Figura 13. Respuestas con el método de factorizaciones separadas

Figura 14. Respuestas con el método de factorizaciones simultáneas




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Por último, resumimos los resultados obtenidos al recopilar la información proporcionada por

los cuestionarios mediante una batería de gráficos. En cuanto a la primera de las preguntas, se muestra

la preferencia del método utilizado a la hora de los cálculos del MCD y el mcm.

Figura 15. Elección del método preferido en 2º de ESO

La gráfica nos indica como ninguno de los alumnos ha elegido el primer método. Además, a

pesar de haber sido un método explicado por primera vez, y habiéndose habituado en cursos anteriores

al segundo método, un 62,5% de los alumnos elige el método nuevo.

Para la segunda pregunta, se muestra el porcentaje de alumnos que decide el nivel de dificultad

de cada uno de los métodos:

Figura 16. Elección del método más complejo para el MCD en 2º de ESO

Este gráfico nos muestra que el alumnado considera el método primero como el más sencillo

para calcular el MCD. Se debe tener en cuenta que, en el cuestionario, los divisores de ambos números

vienen dados, incluyendo la respuesta del MCD. Ellos no han tenido que obtener los divisores, sino

que basta ver directamente cuál es el mayor divisor común e interpretar la respuesta que aparece. En

cuanto a los otros dos métodos, se observa claramente que lo alumnos consideran más complicado

utilizar el método de las factorizaciones simultáneas.



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Figura 17. Elección del método más complejo para el mcm en 2º de ESO

Y en las respuestas sobre la dificultad en el cálculo del mcm, se observa que los porcentajes

varían respecto a los resultados del MCD. Ocurre que, revisando todos los cuestionarios, realmente

ningún alumno calcula el mcm en el ejemplo del primer método. Esto hace que por la inercia de la

pregunta anterior elijan de nuevo como método más sencillo el primero. Dejando el primer método a

un lado, ellos vuelven a elegir como método más complejo el de las factorizaciones simultáneas.

Debido a que esto no se corresponde con las respuestas de la primera pregunta del cuestionario,

se duda de la comprensión real de las preguntas por parte del grupo. Es por ello que se modifica la

estructura del mismo, y se repite el estudio en 1º de ESO.

4. Segundas valoraciones del método en alumnos de 1º de ESO

En esta nueva ronda, el cuestionario se cambia ligeramente para ayudar tanto a su realización,

como a la recogida y muestra de los resultados. El grupo de 1º de ESO al que está dirigido está

compuesto por 20 alumnos. No se trata de un desdoble, como en 2º de ESO, pero igualmente es un

grupo heterogéneo en el que aparece alumnado con distintos niveles de competencia matemática.

Las modificaciones del cuestionario son varias. En primer lugar, se incluyen dos casillas

donde indicar el MCD y el mcm en cada uno de los métodos. Se consigue con esto que el alumnado

sea consciente que se están pidiendo esos dos valores, y encuentran un lugar donde colocar las

respuestas.




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Figura 18. Nueva primera parte del cuestionario

La segunda parte del cuestionario se modifica para que el alumnado no se pierda a la hora de

indicar los métodos que consideran más sencillos o más complejos. Aun así, se debe explicar con

claridad a muchos de los alumnos qué se debe hacer en los pequeños círculos de cada una de las

preguntas.

Figura 19. Nueva segunda parte del cuestionario

De nuevo, algunos ejemplos de encuestas rellenas son las que aparecen a continuación. Se observa cómo la resolución de cada uno de los métodos es más estructurada, que las respuestas son



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más fáciles de entender, y que, efectivamente, no queda claro aún qué deben hacer en esos pequeños

círculos.

Figura 20. Cuestionarios rellenos en 1º de ESO

Los resultados en cuanto a la preferencia del método a utilizar vienen dados por el

siguiente gráfico:

Figura 21. Elección del método preferido en 1º de ESO

Son resultados similares a los obtenidos en 2º de ESO. En esta ocasión, el método de las

factorizaciones separadas ha sido más veces elegido. Se les pregunta qué causa esto, y responden que

no llegan a entender del todo bien el método de las factorizaciones simultáneas, que no les da

suficiente confianza como para elegirlo.

En cuanto al método preferido para los cálculos del MCD se obtienen los siguientes

resultados:




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Figura 22. Elección del método más complejo para el MCD en 1º de ESO

Al cambiar la encuesta, el gráfico utilizado se simplifica. Revisando aquellos cuestionarios

que responden como método más sencillo el primero de ellos, nos hace plantearnos si hubiesen

respondido lo mismo en el caso de que la resolución no apareciese, o realmente piensan que es el

mejor método para ello. Si nos centramos en los otros dos métodos, comprobamos que se repite esa

preferencia a utilizar el método de las factorizaciones separadas.

Para finalizar las valoraciones, observamos los resultados para el cálculo del mcm.

Figura 22. Elección del método más complejo para el mcm en 1º de ESO

Enlazando con lo indicado antes, es interesante ver en este último gráfico como ningún

alumno elige el primer método como el más sencillo, pero sí el más complicado. Al igual que ocurría

antes, el método considerado más fácil de aplicar es el método de las factorizaciones separadas, siendo

el método nuevo poco elegido en ambos sentidos.



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5. Conclusiones

Siempre ha de ser interesante tener información retroactiva del alumnado. En algunas

actividades concretas, un método siempre será mejor que otro. Pero lo que realmente es importante es

conseguir que sea el alumno el que decida con cuál de ellos se siente más cómodo.

El objetivo de nuestra materia no puede ser únicamente la realización de cálculos, sino

plantearles retos e inquietudes. Los resultados del cuestionario muestran que el alumnado se suele

inclinar al uso del primer método efectivo que se les enseña (en este caso, el de las factorizaciones

separadas). Pero mientras que haya algunos alumnos que nos permiten ahondar en su competencia

matemática y adentrarles en nuevos algoritmos de cálculo, no debemos estancarnos en métodos

tradicionales. Son estos casos los que nos deben animar a introducir esas nuevas herramientas, que, en

el caso de este artículo, han sido las factorizaciones simultáneas.

Bibliografía

Bodí, S. (2006). Análisis de la comprensión de divisibilidad en el conjunto de los números naturales.

Tesis doctoral. Departamento de Innovación y Formación Didáctica. Universidad de Alicante.

Gómez, P. (blog web). Del máximo común divisor y su enseñanza.

http://www.webpgomez.com/ciencias/matematicas/357-del-maximo-comun-divisor-y-su-

ensenanza

Martínez, S., González‐Calero, J.A., Sotos, M.A. (2015). Resultados preliminares de una

investigación para el estudio de las dificultades en problemas de M.C.D. y M.C.M. ENSAYOS,

Revista de la Facultad de Educación de Albacete, 30(1).

Óscar Jesús Falcón Ganfornina. Nací en Sevilla el 20 de diciembre de 1986. Licenciado en

Matemáticas por la Universidad de Sevilla y Doctorado en la misma universidad. Profesor de Educación

Secundaria en el IES Chaves Nogales, de Sevilla, en el curso 2019-20. El estudio de este artículo se

realizó el curso anterior en el IES San Pablo, de Sevilla. Autor de la web Matematicaula.


http://www.webpgomez.com/ciencias/matematicas/357-del-maximo-comun-divisor-y-su-ensenanza

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Estrategia teórico-didáctica para formar el concepto de gráfica

y función lineal en el registro geométrico

Angie Damián Mojica (Colegio México, Guerrero, México)

Armando Morales Carballo (Universidad Autónoma de Guerrero, México)


Fecha de aceptación: 20 de febrero de 2020

Resumen Se presenta una estrategia teórico-didáctica con enfoque variacional que favorece la

formación del concepto de función lineal y que rompe con la presentación clásica tratada

en los textos y otros recursos de apoyo que habitualmente acompañan los procesos de

enseñanza y aprendizaje del concepto, en el nivel preuniversitario. Se inicia el tratamiento

en el registro geométrico para evitar que influyan las nociones previas que se tengan del

sistema cartesiano y de las representaciones.

Palabras clave Estrategia didáctica, gráfica, trayectoria, razonamiento covariacional, función lineal.

Title Theoretical-didactic strategy to form the concept of graph and linear function in the

geometric register

Abstract A theoretical-didactic strategy is presented with a variational approach that favors the

formation of the concept of linear function and that breaks with the classic presentation

treated in the texts and other support resources that usually accompany the teaching and

learning processes of the concept, in the pre-university level. The treatment begins in the

geometric register to avoid the influence of notions related to the cartesian system and

the representations.

Keywords Didactic strategy, graph, trajectory, covariational reasoning, linear function.

1. Introducción

Formar el concepto de función lineal se desprende de un proyecto mucho más amplio que está en

desarrollo, denominado Propuesta de Ingeniería Didáctica (PID) para el estudio del sentido de variación

de una función. En el desarrollo del análisis preliminar de la PID, en el análisis cognitivo, diversas investigaciones orientadas hacia el estudio de la problemática de la enseñanza y aprendizaje del Cálculo

(Reséndiz, 2006; Zúñiga, 2009; Castillo, 2009; Díaz, 2009; Salinas y Alanís, 2009; Rubí, Moreno, Pou

y Jordán, 2010; Pineda, 2013, Delgado, 2013; Ruiz, Hernández y Gutiérrez, 2015; Cuevas y Delgado,

2016) ponen de manifiesto que tanto en profesores como alumnos del preuniversitario se identifican

problemas sobre la comprensión de los conceptos básicos del cálculo, tales como el concepto de función

y de los tipos de funciones, gráfica, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, entre otros.

En relación al tratamiento sugerido en los libros de texto de Cálculo (Apóstol, 1967; Swokowsky,

1982; Leithold, 1992; Ortiz, 2009; Stewart, 2007; Granville, 2007; Ibañez y García, 2007; Cuéllar, 2007;

Ortiz, Ortiz y Ortiz, 201; Sántalo y Carbonell, 2011; Arteaga y Espinoza 2014; Contreras, 2014; Garza,

2015; Ayres, 1971; Ayres y Mendelson, 2001; Valdés, 1983) sobre el concepto de función, y de manera


y función lineal en el registro geométrico A. Damián Mojica y A. Morales Carballo


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particular del de función lineal, se identifica la presentación algebraica. Este enfoque estático de

proponer el tratamiento influye tanto en el profesor como en los alumnos, ya que pueden llegar a

concebir una función lineal como aquella expresión de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, para luego describir

el papel de los parámetros, su efecto en la gráfica, y el estudio de las propiedades, y no identificar otros

comportamientos esenciales que favorecen su comprensión a partir del estudio de la gráfica con enfoque

dinámico.

En un estudio sobre estabilidad y cambio de concepciones alternativas acerca del análisis de

funciones en situación escolar (Dolores y Valero, 2004), se han reportado las dificultades que los

estudiantes universitarios tienen al ser enfrentados a actividades de análisis de funciones elementales.

Entre estas dificultades se menciona específicamente que cuando se pide responder cuáles son las zonas

de crecimiento o decrecimiento de una función, el obstáculo principal es que los estudiantes no son

capaces de entender el comportamiento covariacional de las variables involucradas; dando como

resultado un gran número de respuestas equivocadas.

Las situaciones descritas que han arrojado las investigaciones referidas, y las identificadas en los

textos acerca de la función lineal y su comportamiento gráfico, nos han motivado hacia la búsqueda de

definiciones y tratamiento, y al respecto se ha encontrado que hay dos formas de definir gráfica de una

función, según el punto de vista que se adopte: estático y dinámico. Desde el punto de vista estático, la

gráfica de una función puede definirse como un conjunto de puntos en un espacio determinado que

tienen una determinada propiedad; desde el punto de vista dinámico, la gráfica de una función describe

el comportamiento de una de las variables en dependencia de otra (haciendo referencia a los casos más

simples). Aun cuando ambas formas de referirse a la gráfica de una función son correctas, consideramos

que la concepción estática da idea de inmovilidad; mientras que la concepción dinámica recoge la idea

acerca del cambio de una variable con respecto de otra (una de las dimensiones de estudio de la relación

covariacional).

La idea de covariación es necesaria para dar respuestas correctas a preguntas como ¿cuáles son

las zonas de crecimiento, decrecimiento y de estabilidad de una función? Así como otras interrogantes

en el campo del análisis de funciones. Sin embargo, la acción de ubicar puntos de la gráfica mediante la

tabulación constituye en la práctica una preferencia por la concepción estática sobre la concepción

dinámica de gráfica de una función y, por tanto, de su definición.

Con el propósito de incidir en una propuesta didáctica para la formación del concepto de gráfica

de una función y función lineal bajo un enfoque dinámico, se determinó por empezar estudiando

mediante el software GeoGebra la representación ortogonal de dos magnitudes que mantienen una

dependencia, de manera que esta situación represente un fenómeno variacional.

Se elige el registro geométrico como registro inicial para representar dicho fenómeno variacional.

Hablando con mayor especificidad, se trataría del mismo concepto, pero sin involucrar el sistema

cartesiano; en lugar de las variables 𝑥, 𝑦 aparecen otras 𝑝, 𝑞 que son segmentos de rectas variables; pero

éstas últimas ligadas ortogonalmente durante todo el proceso de variación. El hecho de ligar estas dos

últimas variables ortogonalmente puede hacer que los estudiantes atiendan principalmente a la

covariación entre ellas.

La propuesta la conforman actividades de tipo variacional en las cuales se busca la relación entre

segmentos ortogonales a través de la dependencia que guardan las dos variables que los representan.





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Finalmente se orienta a la generalización necesaria para reconocer los efectos que los parámetros 𝐷, 𝑑

tienen sobre la gráfica de la relación 𝑝 = 𝐷𝑞 + 𝑑; logrando en estos casos predecir la posición de la

trayectoria a medida que varía la relación ortogonal de las magnitudes. Hecho el trabajo anterior

mediante el uso del software GeoGebra se continúa el tratamiento, ya en el sistema cartesiano.

2. Fundamento teórico y metodológico

2.1. Razonamiento covariacional

Carlson y Jacobs (2003) definen razonamiento covariacional como las actividades cognitivas en la coordinación de dos cantidades que varían mientras se atienden a las formas en que cada una de

ellas cambia con respecto a la otra. En tal definición, se asume que el concepto de imagen es la fuente y el vínculo de operaciones mentales y tiene un carácter evolutivo; por tanto, las imágenes de

covariación se pueden definir por niveles. Las acciones mentales en este marco conceptual proporcionan

un medio para clasificar los comportamientos que se pueden identificar cuando los estudiantes realizan

este tipo de actividades. Este trabajo se interesa por el desarrollo de los siguientes niveles:

Acción Mental 1 (AM1). Coordinación del valor de una variable con los cambios en las otras. Dado el

enfoque dinámico que se asume en el trabajo, en un primer momento se busca la relación entre

magnitudes que cambian ortogonalmente; en este nivel no se considera la designación de los ejes con

indicaciones verbales de coordinación de variables (𝑦 cambia con cambios en 𝑥). Sin embargo, la

búsqueda de la relación de dichas magnitudes prepara las condiciones para la transición del registro

geométrico al gráfico de la situación, y en este último, se establece como tal la relación de las

variables dependiente e independiente, en términos de los cambios en ambas, y la búsqueda interna

de la condición del proceso.

Acción Mental 2 (AM2). Coordinación de la dirección del cambio de una variable con los cambios en

la otra variable. El enfoque dinámico potencia la identificación de las condiciones de un punto que

recorre cierta trayectoria: aquí, la identificación se favorece a medida que se identifica la relación

entre las magnitudes que varían ortogonalmente. En esa relación, se pueden identificar las

condiciones del cambio y la dirección del cambio, lo que permite conocer la naturaleza de la

trayectoria recorrida.

Acción Mental 3 (AM3). Coordinación de la cantidad de cambio de una variable con los cambios de la

otra variable. La relación de las magnitudes que cambian ortogonalmente se puede representar en

términos de una trayectoria; esta última en el registro geométrico ayudará a identificar la naturaleza

de ese comportamiento (creciente, decreciente o estable), y de ese modo se sabrá que el cambio en las magnitudes de salida, obedecen al cambio de la magnitud de entrada. Ya en un sistema de

coordenadas, se puede enriquecer el significado de las trayectorias (rectas).

2.2. Registros y representaciones semióticas

Duval (2004) asume que la enseñanza y el aprendizaje de la matemática es un campo de estudio

propicio para el análisis de actividades cognitivas importantes como la conceptualización, el

razonamiento, la resolución de problemas y la comprensión de textos. Enseñar y aprender matemática

conlleva que estas actividades cognitivas requieran, además del lenguaje natural o el de las imágenes,

la utilización de distintos registros de representación para su tratamiento. El investigador establece que




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los registros de representación deben ser semióticos, es decir, deben permitir las tres acciones cognitivas

fundamentales ligadas a la semiosis, a saber: Formación de un conjunto de signos que sean

identificables: Se trata de la representación de un objeto matemático. Por ejemplo: una frase, una

fórmula, una figura geométrica, etc. Esta formación implica una selección de rasgos y datos del objeto

a representar. Tratamiento de la representación: Esto es, la transformación de la representación

realizada en el mismo registro en que ha sido formulada. El tratamiento es una transformación interna a

un registro. Conversión de la representación: Es la transformación de la representación en una

representación de otro registro, conservando la totalidad o una parte solamente del contenido de la

representación inicial.

La conversión es una transformación externa a un registro, ésta no debe ser confundida con la

codificación que sería una especie de representación “puntual” que no tendría en cuenta al contenido

representado. El cambio de un sistema de representación a otro o la puesta en juego simultánea de varios

sistemas de representación en el desarrollo de una clase no resulta, para nada, evidente o espontáneo

para los alumnos. En general les cuesta reconocer el mismo objeto a través de sus representaciones en

distintos registros semióticos.

Los conceptos matemáticos no son objetos reales y por consiguiente se debe recurrir a distintas

representaciones para su estudio, y para llevarlo a cabo resulta importante tener en cuenta que las mismas

no son el objeto matemático en sí, sino que ayudan a su comprensión. Si no se distingue el objeto

matemático (números, funciones, rectas, triángulos, entre otros) de sus representaciones (escritura

decimal o fraccionaria, gráficos, trazados de figuras, entre otros) no puede haber comprensión en

matemática.

2.3. El software GeoGebra y la visualización

El software favorece el desarrollo de actividades dinámicas y ofrece un recurso heurístico en los

procesos de la resolución de problemas, y en la búsqueda y desarrollo del conocimiento, mientras que

la visualización, entendida esta como la asociación de imágenes-ideas, favorece la identificación de

patrones de comportamiento y el establecimiento de relaciones lógicas que posibilitan la comprensión

matemática.

3. Estrategia teórico-didáctica

3.1. Descripción y análisis

El objetivo principal de la propuesta es que tanto profesores como alumnos del preuniversitario

(los cuales llamamos actores) aprendan a bosquejar la gráfica de la relación entre dos variables que

cambian en un fenómeno variacional. En otras palabras, se trata de que, a partir del conocimiento de la

relación 𝑝 = 𝐷𝑞 + 𝑑 (donde 𝐷, 𝑑 son magnitudes constantes) entre dos variables 𝑝, 𝑞 (segmentos de

recta ligados ortogonalmente), los profesores o alumnos bosquejen la gráfica que representa dicha

relación después de descubrir los efectos que los parámetros 𝐷, 𝑑 tienen sobre la gráfica de la relación

𝑝 = 𝐷𝑞 + 𝑑.

Nivel 0. Nivel inicial. Se preparan previamente a los actores en el uso de la regla y el compás utilizando

el software GeoGebra hasta que logren realizar operaciones como las que se muestran en la Figura

1.





M U

N D

O G

E O

G E

B R

A

Figura 1

También se promueven actividades que consisten en solicitar a los actores que proporcionen una

representación geométrica que describa la relación entre segmentos 𝑝, 𝑞 ligados ortogonalmente, para

un valor inicial de 𝑞, apoyándose en el uso de la regla y el compás, y aceptando las siguientes reglas: 1.

Se debe determinar un punto como origen (0), 2. Se debe designar de antemano la unidad de medida,

3. El segmento 𝑞 debe ser siempre horizontal partiendo de (0); a la derecha si es positivo; a la izquierda

si es negativo, 4. El segmento 𝑝 debe ser ligado ortogonalmente al extremo final de 𝑞; hacia arriba si es

positivo; hacia abajo si es negativo. En la Figura 2 se muestran dos casos particulares de la construcción

indicada.

Figura 2

Nivel 1. Un ejemplo particular del tratamiento de la relación objetivo. Dada la relación 𝑝 = 2𝑞 + 1 y

una representación particular de la misma, imagine que el segmento 𝑞 cambia de valores entre

positivos, (en la Figura 3 se muestra el caso en que 𝑞 = 2.18, por lo que 𝑝 = 2(2.18) + 1 =5.36).

Figura 3




M

U

N

D

O

G E

O

G

E

B

R

A

Aquí, el impulso didáctico refiere a la pregunta: ¿Qué cambia cuando cambia 𝑞? Se espera que

los actores identifiquen que si 𝑞 cambia, el segmento ortogonal 𝑝 también cambia, y aumenta o

disminuye según la variación de valores de 𝑞. De la evidencia de que el segmento ortogonal 𝑝 = 𝐵𝐾

cambia a medida que 𝑞 lo hace, se impulsa la cuestión ¿Qué forma adquiere la trayectoria de 𝐾a medida

que 𝑞 cambia? En la Figura 4 se muestra el caso de la trayectoria del punto a medida que 𝑞 adquiere

valores positivos; se puede observar que el punto recorre una trayectoria lineal.

Figura 4

Nivel 2. Principio de generalización. En esta etapa los actores consideran los comportamientos

anteriores cada vez que 𝑞 toma valores positivos (partiendo de (0) a la derecha) y valores negativos

(partiendo de (0) a la izquierda). En la Figura 5 puede identificarse que 𝑝 cambia condicionado por

el cambio de 𝑞. Al variar 𝑞 entre valores negativos y positivos, 𝐾 hace el recorrido en una trayectoria

lineal, siempre creciente cuando 𝑞 se desplaza de izquierda a derecha, y siempre decreciente cuando

𝑞 se desplaza de derecha a izquierda.

Figura 5

Con las actividades realizadas en el registro geométrico se han creado las condiciones para

continuar el tratamiento en el sistema de coordenadas. La Figura 6 representa la situación anterior en el

sistema cartesiano.





M U

N D

O G

E O

G E

B R

A

Figura 6

Puesta la situación en este registro, se analiza el comportamiento del punto 𝐾, de igual modo se

identifica que la trayectoria que recorre este punto depende del punto 𝑞. Si 𝑞 toma valores mayores o

iguales a (−1/2), el punto 𝐾 se posiciona por encima del eje horizontal (en los cuadrantes I y II), si 𝑞

toma valores menores que (−1/2) el punto 𝐾 se posiciona por debajo del eje horizontal (en el cuadrante

III).

Nivel 3. Relación funcional de las magnitudes que varían ortogonalmente. Se ha observado que los

cambios de 𝑝 dependen del cambio de 𝑞. Al llevar este comportamiento a un sistema coordenado,

puede notarse la relación funcional 𝑦 = 2𝑥 + 1, y esto se posibilita de manera natural en el proceso

dinámico que se ha venido anticipando. En la Figura 7 se muestra la recta asociada a la función lineal;

dicha recta representa el lugar geométrico del punto 𝐾 a medida que 𝑞 se mueve y recorre valores

positivos y negativos. De inmediato se redescubre que dicho comportamiento también se adquiere al

graficar la función lineal 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1.

Figura 7

Nivel 4. Análisis de la relación funcional 𝑝 = 𝐷𝑞 + 𝑑 y 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏: Definición de la función

lineal y de su gráfica. Considerando el caso particular estudiado, los actores analizan ahora qué

efectos producen sobre el punto 𝐾 los parámetros 𝐷 y 𝑑, y finalmente en el sistema coordenado

analizan el comportamiento de la relación funcional 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 y establecen su definición.




M

U

N

D

O

G E

O

G

E

B

R

A

A partir de aquí se está en condiciones suficientes para resignificar gráficamente los conceptos

creciente, decreciente y estable, toda vez que el comportamiento de 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, si bien

representado mediante una recta, se puede entender como la variación que ya se ha descrito hasta ahora,

en dependencia de su pendiente, de un punto (𝑥, 𝑓(𝑥)) que se desplaza suavemente, y que puede ser

creciente, decreciente o estable, introduciendo con ello los conceptos adicionales de máximos, mínimos,

y puntos de inflexión, aspectos que caracterizan mejor las curvas de grado mayor que uno.

4. Conclusiones

Como se describió antes, en el diseño de las actividades para la formación del concepto de gráfica

y función lineal, es notorio que se trató de un fenómeno variacional; la elección del registro puramente

geométrico evita el uso de la calculadora y promueve el uso de la regla y el compás; en lugar de la

gráfica de la relación entre las variables 𝑥, 𝑦 se pregunta por su equivalente en este fenómeno

variacional, es decir la trayectoria de 𝐾 a medida que 𝑞 cambia. Son estos rasgos del diseño los que

hacen que en esta propuesta didáctica prevalezca la posibilidad de atender por parte de los actores

(profesores y estudiantes) a la covariación entre las variables en juego. El diseño de las secuencias

propias del proceso de formación del concepto de gráfica y función lineal involucró el uso de

representaciones dinámicas elaboradas con el software GeoGebra, pues éste tiene una potente capacidad

gráfica con opciones dinámicas.

Con esta propuesta se contribuye en la formación del concepto de gráfica y de función lineal

desde un enfoque dinámico, en donde se potencian algunas acciones mentales dentro del razonamiento

covariacional que posibilitan determinar las condiciones, dirección y representación del cambio entre la

relación de magnitudes que varían ortogonalmente. Una vez que se generan las condiciones indicadas

se tiene la posibilidad de una presentación formal del concepto de gráfica y de función lineal, además

del tratamiento de sus propiedades.

Finalmente, con esta elaboración se contribuye a una propuesta de enseñanza-aprendizaje en el

tratamiento de la función lineal y su gráfica que rompe con el esquema clásico de su presentación en los

textos y planes y programas de estudio del nivel preuniversitario. El enfoque dinámico que se describió,

desde la visión de los autores, influye de manera natural en el estudio del sentido de variación de una

función, y presenta las bases para el tratamiento de recursos formales del cálculo: el uso de la derivada.

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N D

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Armando Morales Carballo. Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Guerrero

(UAGro), México. Nacido en Hueycantenango, Guerrero, México. Doctor en Ciencias con Especialidad en

Matemática Educativa por la UAGro. Autor de varios capítulos de libro y de artículos de investigación en

didáctica de la matemática, la mayoría de los trabajos están publicados en revistas internacionales, en

distintos niveles educativos y áreas de la disciplina. Email: [email protected]

Angie Damián Mojica. Colegio México. Nacida en Tanganhuato, Guerrero, México. Maestra en Ciencias

en el Área de Matemática Educativa por la UAGro. Autora de varios capítulos de libro y de artículos de

investigación en didáctica de la matemática, la mayoría de los trabajos están publicados en revistas

internacionales, en distintos niveles educativos y áreas de la disciplina. Email: [email protected]




ISSN: 1887-1984


P R

O B

L E

M A

S

50 Aniversario en la Facultad de Matemáticas (Problemas Comentados LIII)

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Los problemas y ejercicios presentados se desarrollan teniendo en cuenta las diversas

estrategias existentes para la resolución de problemas, constituyendo una muestra de las

mismas. En su resolución se emplean diversos materiales como las regletas de

Cuisenaire y asistentes de geometría dinámica. Se presentan dos problemas provenientes

de las Olimpiadas de Albacete y Asturias. Hacemos una reseña sobre el 50º aniversario

de la creación de la carrera de Matemáticas en la Universidad de La Laguna y los

diversos actos conmemorativos.

Palabras clave Métodos de resolución de problemas. Uso de regletas de Cuisenaire y asistentes

geométricos. Olimpiadas matemáticas. 50 años Matemáticas en la Universidad de La

Laguna (Tenerife)

Resumen The problems and exercises presented are developed taking into account the various

existing strategies for solving problems, constituting a sample of them. Various materials

such as Cuisenaire strips and dynamic geometry assistants are used in its resolution.

There are two problems from the Albacete and Asturias Olympics. We review the 50th

anniversary of the creation of Mathematics studies at the University of La Laguna and

the various commemorative events.

Palabras clave Problem solving methods. Use of Cuisenaire strips and geometric assistants.

Mathematical Olympics 50 years Mathematics at the University of La Laguna (Tenerife)

1. RETOS ANTERIORES

Vamos, para comenzar, a dar unas posibles respuestas a los problemas pendientes que se

denominan INTERVENCIÓN QUIRÚRGICA y LA PARCELA TRIANGULAR.

El primero procede de una lectura de Thomas Byrne y Tom Cassidy, “Cómo ganar a la ruleta rusa y otros problemas endiablados de lógica”, Alianza Editorial, 2013. El enunciado del problema es

muy artificial, evidente a partir de la masa corporal no grasa de la persona. No intentamos adaptarlo ya

que el objetivo era hacer ver como pequeñas variaciones en los porcentajes pueden resultar muy

potentes en los valores a manejar. Sólo hicimos una variación en una palabra porque nos parecía

“políticamente incorrecta”, donde dice “persona” en origen decía “señora”.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García

Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de

Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]




50 Aniversario en la Facultad de Matemáticas. Problemas comentados LIII J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz


P

R

O

B

L

E

M

A

S

INTERVENCIÓN QUIRÚRGICA

Una persona pesa 300 kg, con un 99 % de grasa. Se somete a una intervención para resolver su

problema. En la primera revisión seguía teniendo una cantidad total de grasa del 98 %.

¿Podríamos decir que fue un fracaso la intervención?

Razona tu respuesta.

Proceso de Resolución.

COMPRENDER Datos Una persona pesaba 300 kg, con un 99 % de grasa. Ahora tiene una

cantidad total de grasa del 98 %. Objetivo Fue o no un fracaso la intervención. Relación Una persona

pesa 300 kg, con un 99 % de grasa. Se somete a una intervención para resolver su problema. En la

primera revisión seguía teniendo una cantidad total de grasa del 98 %. Diagrama Modelo.

PENSAR Estrategias Modelización. Organización de la información.

EJECUTAR Podemos hacer una modelización de los pesos tomando como modelo de 10 kg

un cubito de 1 cm3 de volumen (centicubo) en las cantidades necesarias para representar los pesos

antes y después de la intervención quirúrgica.

Para saber si es un éxito o un fracaso debemos saber cuánto peso perdió. Al principio tenía un

99% de grasa. O sea, que el 1% restante se corresponde con la masa de huesos, músculos, órganos, etc.

De los 300 kg que pesaba en esos momentos, había 3 kg de materia no grasa (1%) y 297 kg de grasa

(99%).

La materia no grasa no se elimina en la intervención quirúrgica. La bajada de peso se

corresponde con lo eliminado en la intervención más lo perdido en la dieta posoperatoria. Es decir, el

porcentaje de materia no grasa aumenta a medida que desciende el porcentaje de grasa. Con un 98%

de grasa, la componente no grasa es ahora de un 2% para un peso de 3 kg.

El razonamiento ahora es bien simple. Como hay proporcionalidad, construimos una tabla.

% Materia no grasa Peso total

1

2 100

3 ¿?

4

5

Bastará con buscar unas parejas de valores. Utilizaremos, de manera sencilla, un razonamiento que

incorpore las propiedades de la proporcionalidad con respecto al producto y a la suma.

Materia no grasa Peso total

1 50

2 100

2 + 1 = 3 100 + 50 = 150

3 150

4 200

O razonar como de costumbre en las proporciones:




P

R

O

B

L

E

M

A

S

PESO PORCENTAJE

GRASA

PESO GRASA PORCENTAJE NO

GRASA

PESO NO

GRASA

300 99% 0.99·300 = 297 1% = 0.01·300 3

X 98% 0.98·X = X - 3 2% = 0.02·X 3

Luego 0.02·X = 3 y despejando la X, X = 3/0.02 = 150 kg.

O también de 0.98·X = X – 3 obtenemos la misma expresión: 0.02·X = 3.

Así que el peso de esta persona ha bajado desde los 300 kg hasta los 150 kg. Ha perdido la

mitad del peso que tenía. El médico que realizó la intervención quirúrgica debe estar satisfecho,

aunque aún el paciente tiene un buen problema por delante, seguir bajando de peso y no recuperar la

grasa eliminada.

Solución: Fue un éxito.

RESPONDER Comprobación 98% de grasa 2% de 150 = 2 x 150 / 100 = 3 kg materia no

grasa; 3 kg/ 300 kg = 0,01 = 1% 99% de materia grasa. Análisis Solución única.

Respuesta: La intervención quirúrgica no fue un fracaso; al contrario, fue un éxito

rotundo.

El segundo había sido tomado de Carlo Frabetti, “El diablillo de Einstein y otros enigmas

perturbadores”, Alianza Editorial.

LA PARCELA TRIANGULAR

En una parcela limitada por tres tramos rectilíneos de carretera de la misma longitud, y con la

misma densidad de tráfico, ¿dónde tenemos que construir una casa para que la suma de las

distancias a las tres carreteras sea la máxima?

Justifica tu respuesta.

Proceso de Resolución

COMPRENDER Datos Una parcela limitada por tres tramos rectilíneos de carretera de la

misma longitud, y con la misma densidad de tráfico. Objetivo: Dónde tenemos que construir una casa.

Relación: La suma de las distancias a las tres carreteras debe ser máxima. Diagrama Dibujo del

triángulo. Geoplano isométrico. Geogebra.

PENSAR Estrategias Modelización. Organización

de la información.

EJECUTAR La parcela tiene forma de triángulo

equilátero. Podemos usar el geoplano isométrico para

construir el triángulo equilátero y elegir un punto

cualquiera en su interior para calcular las tres distancias a

los lados. Variar la posición del punto y estudiar qué

ocurre con esas tres distancias (perpendiculares a los

lados).



P

R

O

B

L

E

M

A

S

O mejor, hacer una construcción dinámica con Geogebra y realizar el mismo estudio. También

podemos utilizar un dibujo del triángulo realizado con regla y compás. Sobre él elegimos un punto y

trazamos las tres distancias a los lados.

Si unimos ese mismo punto a los tres vértices del triángulo, obtenemos tres triángulos. Cada uno

de esos triángulos tiene como base uno de los lados y como altura la distancia correspondiente a dicho

lado.

El área (S) del triángulo equilátero de la figura es la suma de los tres triángulos que

obtendríamos al unir un punto cualquiera (P) con los tres vértices.

Si llamamos l al lado del triángulo y r1, r2 y r3 a las distancias (alturas) de P a los tres lados,

𝑆 =𝑙 · 𝑟1

2+

𝑙 · 𝑟2

2+

𝑙 · 𝑟3

2=

𝑙(𝑟1 + 𝑟2 + 𝑟3)

2

por lo que la suma de las distancias (r1 + r2 + r3) es constante e igual a la altura del triángulo, h,

ya que 𝑆 = 𝑙·ℎ

2.

Resulta entonces que no importa dónde se coloca el punto, la suma de las distancias a los tres

lados es igual para cualquier punto elegido.

Solución: Cualquier punto.

RESPONDER

Comprobación La mejor comprobación sería la empírica, es decir, colocar tres puntos en

diferentes partes de la parcela y hacer las tres mediciones correspondientes a las distancias a los lados

desde dicho punto; la suma de las tres deberá dar la misma cantidad en los tres casos y, además, ser

igual a la altura del triángulo.

Análisis Este resultado constituye el teorema de Viviani. Debe su nombre al matemático

italiano Vincenzo Viviani (1622-1703) nacido en Florencia. Fue colaborador de Galileo Galilei.

El teorema se puede generalizar a cualquier polígono equiángulo o equilátero. Es un teorema

con abundancia de demostraciones diferentes del mismo. También hay consecuencias interesantes

sobre los segmentos determinados sobre los lados y sobre las áreas de los triángulos que se forman.

Hay una versión diferente de este problema que se ha hecho famosa después de su publicación

por Clifford Pickover y dice así: Un surfista se encuentra viviendo en una isla con forma de triángulo




P

R

O

B

L

E

M

A

S

equilátero. Quiere construir una cabaña de tal manera que las distancias a cada una de las costas sean

mínimas, ya que le gusta surfear en las tres costas por igual.

Respuesta: Cualquier punto del interior de la parcela cumpliría con la condición del

problema.

2. ÚLTIMOS RETOS

Y, naturalmente, las soluciones de los retos con problemas de Paenza que propusimos en el

anterior artículo. Recordamos que dichos problemas fueron ligeramente adaptados en su enunciado

con respecto a los originales. Las soluciones son del propio Paenza. Nosotros hemos añadido la

estructura del proceso de resolución, así como algunas estrategias complementarias y unas pocas

observaciones. No para enmendar la plana al maestro (¡Dios nos libre!) sino para dar continuidad a la

intención con la que son escritos estos artículos. Esperamos que don Adrián Paenza y nuestros lectores

nos disculpen por la licencia.

LAS GUARDIAS DE RECREO

Un centro escolar a principios de los años setenta del siglo pasado. Un grupo de cuatro

profesores, a quienes voy a llamar A, B, C y D, decidieron encargarse de las guardias en los recreos

del colegio. El encargo se hacía de manera semanal, pero con algunas condiciones que establecieron

entre ellos.

Estas son las cuatro condiciones que decidieron cumplir:

• Los días en los que hacía guardia A, no la hacía B.

• Los días en los que hacía guardia B también la hacía D, pero no la hacía C.

• Los días en los que hacía guardia D, también la hacían A o B (o incluso los dos).

• Nunca hubo dos días iguales, es decir en donde se repitieran los profesores que salieron al

patio de recreo para hacer la guardia.

En los siete días de la semana, ¿cuántos días estuvo de guardia D y con quién (o quienes)?


COMPRENDER Datos Un centro escolar a principios de los años setenta del siglo pasado. Un

grupo de cuatro profesores (A, B, C y D) se encargan de las guardias en los recreos del colegio. Una

semana. Objetivo: En los siete días de la semana, cuántos días estuvo de guardia D y con quién o

quiénes. Relación: Los días en los que hacía guardia A, no la hacía B. Los días en los que hacía

guardia B también la hacía D, pero no la hacía C. Los días en los que hacía guardia D, también la

hacían A o B (o incluso los dos). Nunca hubo dos días iguales, es decir en donde se repitieran los

profesores que salieron al patio de recreo para hacer la guardia. Diagrama Tabla.

PENSAR Estrategias Organizar la información de manera sistemática, Eliminar.

EJECUTAR Construiremos una tabla con todas de todas las maneras posibles de realizar las

guardias por parte de los cuatro profesores. Puede haber guardias con los cuatro profesores juntos, con

sólo tres de ellos, con sólo dos, con sólo uno o, incluso, con ninguno.

Para facilitar la creación de la tabla (con filas denominadas A, B, C, D, en ese orden, donde A,

B, C y D son los profesores) usaremos una simbología eminentemente lógica, con el uso del 1 y el 0

(lenguaje binario), para representar la presencia o la ausencia de un profesor determinado.



P

R

O

B

L

E

M

A

S

Días 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª 15ª 16ª P

rofe

sore

s A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Si en una columnas aparece, por ejemplo, (1, 0, 0, 1), esto significa que ese día estaban de

guardia los profesores A y D, mientras que B y C libraron. De igual manera, la columna 16ª (1,1,1,1),

significaría que, ese día, los cuatro profesores estaban de guardia simultáneamente; asimismo, la

columna 1ª (0,0,0,0) expresa que ese día ninguno de los cuatro profesores hizo guardia de recreo.

Como en total hay cuatro profesores (A, B, C y D) que cada día pudieron (o no) haber hecho la

guardia de recreo, entonces hay 2x2x2x2 = 24 = 16 permutaciones con repetición posibles. Ahora

examinaremos, una a una, las diferentes relaciones del problema.

• Los días en los que hacía guardia A, no la hacía B.

Esta primera relación dice que las columnas que empiecen con un 1 en la primera fila (aquellas

en las que A estaba de guardia) deben tener un cero en la segunda fila ya que si estaba de guardia A

entonces no estaba B. Esto elimina las columnas empiezan con un uno y tienen un uno en la segunda

fila, pero no asegura nada de las que empiezan por cero. Se eliminan así las columnas 13, 14, 15 y 16.

Días 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª 15ª 16ª

Pro

feso

res A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

• Los días en los que hacía guardia B también la hacía D, pero no la hacía C.

Esta segunda relación dice que las columnas que resuelvan el problema que contengan un

número 1 en la posición de B (o sea, si B estaba de guardia) tienen que tener un uno en B, un cero en

C y un uno en D, pero no asegura nada de las que tienen un cero en B. Por lo tanto, se eliminan las

columnas 5ª, 7ª y 8ª.

Días 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª 15ª 16ª

Pro

feso

res A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

• Los días en los que hacía guardia D, también la hacían A o B (o incluso los dos).

En la última relación se dice que los días en los que hay un uno en la última fila (los que

corresponden a que ese día D estaba de guardia), tienen que tener, al menos, un 1 en las dos primeras

filas ya que los días que hacía guardia D también debían hacerla A o B o incluso los dos, además del 1

en la última fila. Esto hace que haya que eliminar las columnas 2ª y 4ª.




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Días 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª 15ª 16ª P

rofe

sore

s A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Después de estas eliminaciones, las únicas columnas que quedan con información correcta del

problema son las columnas: 4ª, 7ª, 8ª, 9ª, 12ª, 14ª y 16ª.

Es decir, las guardias de recreo se distribuyeron así:

Días 1ª 3ª 6ª 9ª 10ª 11ª 12ª

Pro

feso

res A 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 0 0 0 0

C 0 1 0 0 0 1 1

D 0 0 1 0 1 0 1

Esto corresponde exactamente a siete días distintos en los que se cumplen todas las condiciones.

Y no hay más. Por lo tanto, ahora podemos contestar a la pregunta del problema.

Solución El profesor D estuvo de guardia tres días. Una vez con A solamente, otra vez con B

solamente y, una tercera vez, hizo la guardia acompañado por A y por C.

RESPONDER Comprobación Bastará con comprobar las siete columnas, una por una, para

comprobar que se cumplen en cada una de ellas las tres relaciones del problema.

Días 1 2 3 4 5 6 7 Total

Pro

feso

res A 0 0 0 1 1 1 1 4

B 0 0 1 0 0 0 0 1

C 0 1 0 0 0 1 1 3

D 0 0 1 0 1 0 1 3

Por ejemplo:

La última columna, la 7ª, dice que ese día estaban de guardia A, C y D.

Ese día hizo guardia A, pero no la hizo B. Ese día en el que hizo guardia D, también la hizo A.

Repetir la verificación para cada una de las restantes filas.

Análisis Solución única. No es posible encontrar ninguna otra permutación de los cuatro

profesores de guardia que respete las relaciones sin repetir alguna de estas siete filas.

Es interesante notar que en uno de los días de la semana ninguno de los profesores estaba de

guardia. Naturalmente, eso debió acontecer el domingo, día en que en ningún colegio es día lectivo.

También aparecen, curiosamente seis días de guardia y, por tanto, lectivos. Y hoy sabemos que,

en España, los sábados no son lectivos. La duda se aclara cuando se lee con atención el problema y se

1 0 1 1



P

R

O

B

L

E

M

A

S

ve que el centro escolar corresponde a principios de los años setenta del siglo pasado. En esa época sí

se trabajaba los sábados en los colegios.

Respuesta: El profesor D estuvo de guardia tres días. Una vez con A solamente, otra vez

con B solamente y, una tercera vez, hizo la guardia acompañado por A y por C.

INICIO DE CURSO

Existe la costumbre al principio de curso de pedir al alumnado que aporte el material suficiente

para trabajar durante el curso. Se deposita en la clase y, a medida que se va gastando, se surten

de él los alumnos que lo han aportado. El profesor a veces, previendo que habrá alumnos que no

puedan aportar todo el necesario, pone de su bolsillo o del presupuesto escolar de aula una cierta

cantidad de material básico. Supongamos que usted, profesor entró en un kiosco y compró tres

tipos de materiales: lápices, bolígrafos y gomas de borrar. Juntando todo lo que compró, se llevó 30 cajas por las que pagó 30 euros. Se sabe, además, que compró por lo menos una caja de cada

producto.

Cada uno de los productos venía envasado en su propio paquete y los precios por unidad

estaban distribuidos de la siguiente forma:

a) Cada caja de bolígrafos costaba tres euros,

b) Cada caja de lápices costaba dos euros, y finalmente,

c) Cada caja de gomas de borrar costaba 50 céntimos.

¿Es posible determinar cuál fue la distribución de lo que compró? Es decir, ¿es posible

determinar cuántas cajas de cada producto se llevó a su aula?


COMPRENDER Datos Se compran lápices, bolígrafos y gomas de borrar. Todo junto son 30

cajas por las que se pagan 30 euros. Cada caja de bolígrafos cuesta 3 euros. Cada caja de lápices

cuesta 2 euros. Cada caja de gomas de borrar cuesta 50 céntimos. Objetivo Cuántas cajas de cada

producto se compran. Relación Se compra por lo menos una caja de cada producto. Cada uno de los

productos viene envasado en su propio paquete. Diagrama Modelo, Tabla, Partes/Todo.

PENSAR Estrategias Modelización, Ensayo y Error, Organizar la información de manera

algebraica.

EJECUTAR

Mediante Modelización:

Usaremos como modelo las regletas. Con ellas

representaremos el dinero gastado en comprar cada tipo de caja.

La regleta blanca (1) para representar el coste de dos cajas de

gomas de borrar, ya que han de ser siempre un número para al no

haber decimales en el total final de euros. La regleta verde (3)

para representar el coste de una caja de lápices. La regleta

amarilla (5) para representar el coste de una caja de bolígrafos.

Como el coste total de la compra es de 30 euros, podemos utilizar una configuración plana de 5

x 6 cubitos (o cualquier otra descomposición en dos factores, 10 x 3 o 15 x 2, pero parece más útil la

indicada).




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Si pensamos en las cajas de bolígrafos y lápices, emparejadas, cada dos de ellas (una de cada) cuestan

3 + 2 = 5 euros. Repitiendo seis veces esa configuración, obtenemos el rectángulo de área 30.

Pero no nos serviría esta solución ya que así no se pueden comprar cajas de gomas de borrar.

Tampoco se cumpliría con el número correcto de cajas compradas que ha de ser de 30. Sólo

compramos 6 x 2 = 12.

Es necesario comprar menos cajas de bolígrafos y lápices para poder comprar cajas de gomas de

borrar.

Por cada pareja amarilla-verde que eliminemos (5 euros),

podremos comprar 10 cajas (10 x 0,50) de gomas de borrar, o

sea, cinco regletas blancas.

Si eliminamos una pareja:

La cantidad total de cajas ahora es de 5 + 5 + 2 x 5 = 10 +

10 = 20. Insuficiente todavía.

Eliminamos otra pareja:


20 = 28. Casi, pero insuficiente aún.

Eliminamos otra pareja:


30 = 36. Se ha pasado. Por tanto, hemos de volver a la situación

anterior y tener en cuenta que no podemos eliminar la pareja,

sino uno solo de los componentes.

Hay dos opciones: cambiar la regleta verde por regletas

más pequeñas o cambiar la regleta amarilla por regletas más

pequeñas.

Si cambiamos la verde no hay más que una opción: habrá

una caja de lápices menos y cuatro cajas de gomas de borrar

más. Eso aumenta en tres la cantidad total de cajas, es decir,

ahora hay 28 + 3 = 31

cajas. No es bueno.

Si cambiamos la amarilla hay dos opciones.

La primera, como la anterior, consistirá en cambiar una

regleta amarilla por seis blancas, o sea, una caja de bolígrafos

menos y doce cajas de gomas de borrar más. Un total de 28 + 11

= 39. La situación empeora.



P

R

O

B

L

E

M

A

S

La segunda consistirá en cambiar la regleta amarilla por una verde y una blanca, es decir, una

caja de bolígrafos menos, una caja de lápices más y dos cajas de gomas de borrar más. Eso hace un

total de 28 + 2 = 30. Correcto.

Recontando las regletas encontramos: 3 amarillas, 5 verdes y 11 blancas

Estos se traduce en términos de cajas a: 3 cajas de bolígrafos, 5 cajas de lápices y 22 cajas de

gomas de borrar

Mediante Ensayo y Error:

Primero crearemos una tabla que nos estructure las informaciones del problema.

Gomas de borrar Lápices Bolígrafos Costo Total 30 euros

x 0,50 x 2 x 3 +

Los 30 euros se completan con sólo 10 cajas de bolígrafos, o con 20 cajas de lápices o con 60

cajas de gomas de borrar. Pero ha de comprarse una caja, al menos, de cada tipo. Por lo tanto, la

cantidad mayor de cajas ha de ir por el lado de las cajas de gomas de borrar. La cantidad de cajas de

gomas de borrar ha de ser par, porque en el total no aparecen céntimos de euro. Cada 10 cajas de

gomas de borrar se podrán convertir en una caja de bolígrafos y otra de lápices.

Gomas de borrar Lápices Bolígrafos Costo Total 30 euros Total cajas

x 0,50 x 2 x 3 x y + +

50 1 1 25 + 2 + 3 = 30 euros 50 + 1 + 1 = 52

Aunque se satisface la cantidad de euros de coste, resulta una cantidad de cajas demasiado

elevada. Probemos otra conversión de cajas de gomas de borrar en cajas de bolígrafos y de lápices.


x 0,50 x 2 x 3 x y + +

50 1 1 25 + 2 + 3 = 30 euros 50 + 1 + 1 = 52

40 2 2 20 + 4 + 6 = 30 euros 40 + 2 + 2 = 44

30 3 3 15 + 6 + 9 = 30 euros 30 + 3 + 3 = 36

En ambos casos se vuelve a satisfacer la cantidad de euros de coste, pero, aunque se ha reducido

bastante, aún debe disminuir más.

Pero ahora no se puede repetir una conversión similar a las anteriores, porque se quedaría por

debajo del número correcto de cajas.




P

R

O

B

L

E

M

A

S


x 0,50 x 2 x 3 x y + +

50 1 1 25 + 2 + 3 = 30 euros 50 + 1 + 1 = 52

40 2 2 20 + 4 + 6 = 30 euros 40 + 2 + 2 = 44

30 3 3 15 + 6 + 9 = 30 euros 30 + 3 + 3 = 36

20 4 4 10 + 8 + 12 = 30 euros 20 + 4 + 4 = 28

Por lo tanto, la conversión sólo se deberá realizar con uno de los dos tipos de cajas.

Convirtiendo 6 cajas de gomas de borrar en una caja de bolígrafos:


x 0,50 x 2 x 3 x y + +

50 1 1 25 + 2 + 3 = 30 euros 50 + 1 + 1 = 52

40 2 2 20 + 4 + 6 = 30 euros 40 + 2 + 2 = 44

30 3 3 15 + 6 + 9 = 30 euros 30 + 3 + 3 = 36

24 3 4 12 + 6 + 12 = 30 euros 24 + 3 + 4 = 31

Convirtiendo 4 cajas de gomas de borrar en una caja de lápices:


x 0,50 x 2 x 3 x y + +

50 1 1 25 + 2 + 3 = 30 euros 50 + 1 + 1 = 52

40 2 2 20 + 4 + 6 = 30 euros 40 + 2 + 2 = 44

30 3 3 15 + 6 + 9 = 30 euros 30 + 3 + 3 = 36

26 4 3 13 + 8 + 9 = 30 euros 26 + 4 + 3 = 33

En ambos casos se supera la cantidad de cajas. Habría que buscar una manera de realizar esta

conversión sin que se produzca este exceso de cajas. La única forma será aumentando un tipo de caja y

disminuyendo el otro. Es decir, quitamos 4 cajas de gomas de borrar y las convertimos en 1 de lápices.


x 0,50 x 2 x 3 x y + +

50 1 1 25 + 2 + 3 = 30 euros 50 + 1 + 1 = 52

40 2 2 20 + 4 + 6 = 30 euros 40 + 2 + 2 = 44

30 3 3 15 + 6 + 9 = 30 euros 30 + 3 + 3 = 36

26 4 3 13 + 8 + 9 = 30 euros 26 + 4 + 3 = 33

22 5 3 11 + 10 + 9 = 30 euros 22 + 5 + 3 = 30

Con lo que volvemos a obtener la solución del problema.

Este ensayo y error podría hacerse de muchas maneras diferentes, mediante el uso de otros

razonamientos. Uno muy eficaz también podría ser de tipo sistemático.

Mediante Organizar la Información:

Representaremos B, L y G a la cantidad de cajas que hay de bolígrafos, lápices y gomas,

respectivamente.

Los datos referidos a la cantidad de cajas, nos permite escribir: B + L + G = 30.



P

R

O

B

L

E

M

A

S

Por otro lado, los datos referidos a las cantidades de euros pagadas por las cajas, nos permite

escribir también: (3·B) + (2·L) + (0,50·G) = 30.

Disponemos de un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Es necesario realizar una

composición de ambas igualdades a fin de tener únicamente una ecuación.

Multiplicando por 2 la segunda igualdad, obtenemos: 6 B + 4 L + G = 60, y restando de ésta la

primera igualdad, obtendremos: 5 B + 3 L = 30.

De esta ecuación con dos incógnitas sabemos que los valores de las mismas han de ser números

naturales, de lo cual deducimos que nos encontramos ante una ecuación diofántica.

Despejamos, por ejemplo, la incógnita L que representa a los lápices.

𝐿 = 10 − 5

3 𝐵

Podemos utilizar una tabla para calcular el valor de L, dando sucesivos valores a B.

No olvidemos que hay al menos una caja de cada artículo, por tanto, B no puede ser cero. Para

que se cumpla la condición anterior, B ha de ser múltiplo de 3, es decir, valdrá 3, 6, 9, 12, …

Para B = 3: 𝐿 = 10 − 5

3· 3 = 10 − 5 = 5

Para B = 6: 𝐿 = 10 − 5

3· 6 = 10 − 10 = 0

Para B = 9: 𝐿 = 10 − 5

3· 9 = 10 − 15 = −5

Para B= 12: 𝐿 = 10 − 5

3· 12 = 10 − 20 = ⋯

No es necesario seguir probando valores. No pueden resultar valores negativos. Por

consiguiente, sólo hay una solución: hay 3 cajas de bolígrafos y 5 cajas de lápices.

De la ecuación B + L + G = 30 deducimos: G = 30 – 3 – 5 = 30 – 8 = 22 cajas de gomas de

borrar.

Solución 3 cajas de bolígrafos, 5 cajas de lápices y 22 cajas de gomas de borrar.

RESPONDER Comprobación 3 + 5 + 22 = 30 cajas en total; 3·3 + 5·2 + 22·0,50 = 9 + 10 + 11

= 30 euros. Análisis La solución es única.

Respuesta: Ha sido perfectamente posible determinar la distribución de la compra. Se

compran 3 cajas de bolígrafos, 5 cajas de lápices y 22 cajas de gomas de

borrar.

TORRES DE TELEFONÍA CELULAR

Suponga usted que hay dos torres de telefonía

celular. Estas torres se erigen en forma vertical.

No importa la distancia que hay entre una y otra,




P

R

O

B

L

E

M

A

S

pero lo que sí se sabe es que una mide seis metros y la otra cuatro.

Del extremo superior de cada una, sale un cable que llega hasta la base de la otra. Obviamente,

esos cables tienen que cruzarse en alguna parte (ver Figura 1):

¿Puede deducir usted a qué altura del piso se cruzan? Mirando la figura, el problema consiste

en determinar cuánto mide “Z”.


COMPRENDER Datos Dos postes verticales. No sabemos la distancia que hay entre uno y

otro. Uno mide seis metros y el otro cuatro. Del extremo superior de cada una, sale un cable que llega

hasta la base de la otra. Objetivo: Deducir a qué altura del piso se cruzan. Relación Los cables se

cruzan en alguna parte. Cada cable junto con el poste y la distancia entre ambos forman un triángulo

rectángulo. Diagrama Geoplano. Geogebra. Dibujo geométrico (el que acompaña el problema).

PENSAR Estrategias Modelización, Organizar la Información con técnica geométrica.

EJECUTAR Hay muchas formas de abordar el problema. La modelización puede resolver el

problema perfectamente o, cuando menos, ayudar a entenderlo. Podemos utilizar un geoplano y

representar en él la situación, colocando los postes a diferentes distancias entre sí. O realizar una

representación en Geogebra, haciendo variables las alturas de los postes y la distancia entre ellos.

En cualquiera de los casos, habría que

extraer conclusiones de lo observado para después

conseguir encontrar la solución exacta.

Una forma es partir del dibujo que

acompaña al problema y usar la semejanza de

triángulos. Si observamos la Figura, a la que se ha

añadido algunas letras para representar puntos (A,

B, C, O, P, Q) y otras para representar segmentos

(x, y), veremos unos cuantos triángulos en ella.

La letra A indica el lugar donde se cortan los cables, C es el extremo superior de la torre más

baja, P es la base de la torre más alta y Q es el extremo superior de esa torre. La letra z, que ya

aparecía en el dibujo original, sirve para medir la distancia desde A hasta el piso y es justamente la

altura que queremos medir. Las letras x e y señalan, respectivamente, la distancia OB y la distancia

BP, que conjuntamente indican la distancia entre las dos torres.

Desde la torre de la izquierda hasta la base de la torre de la derecha se forman los triángulos

COP y ABP que son semejantes porque tienen los mismos ángulos, un lado superpuesto y el otro

paralelo, CO y AB. Desde la torre de la derecha hacia la base de la torre de la izquierda también

aparecen otros dos triángulos: OBA y OPQ, que también son semejantes por las mismas razones que

los anteriores.

Con estos cuatro triángulos y las propiedades de semejanza, se deducen estas igualdades:

𝑦

𝑧=

(𝑥+𝑦)

4

𝑥

𝑧=

(𝑥+𝑦)

6

Un sistema de dos ecuaciones con tres incógnitas. Pero podemos hacer un cambio de variable:

llamemos s = (x + y) y reemplazamos en las ecuaciones anteriores:



P

R

O

B

L

E

M

A

S

𝑦

𝑧=

𝑠

4

𝑥

𝑧=

𝑠

6

Despejando x e y en estas dos igualdades tendremos:

𝑦 = 𝑠·𝑧

4 𝑥 =

𝑠·𝑧

6

Pero como s = (x + y), usando esta igualdad y las anteriores:

𝑠 = 𝑥 + 𝑦 = 𝑠 · 𝑧

4+

𝑠 · 𝑧

6

Es decir: usando esta igualdad y las anteriores:

𝑠 = 𝑠·𝑧

4+

𝑠·𝑧

6= 𝑠 · 𝑧 {

1

4+

1

6}

Que simplificada nos da 𝑠 = 5𝑠·𝑧

12, o mejor: 1 =

5𝑧

12

Despejando la z resulta ser z = 12/5 = 2,4 m

Sorprendentemente, la altura a la que se cortan los dos cables es de 2,4 metros.

El sistema de ecuaciones también podía haber sido resuelto sin el cambio de variable.

{

𝑥

𝑧=

𝑥 + 𝑦

6𝑦

𝑧=

𝑥 + 𝑦

4

Despejando en la segunda x+ y = 4𝑌

𝑍 x=

4y

z- y

Sustituyendo en la primera:

x+ y = 6x

z ;

4y

z- y + y=6

4y

z-y

z; 4y=

24y

z- 6y; 10𝑦 =

24𝑦

𝑧 ;

𝑧 = 24𝑦

10𝑦 ; z = 2,4

Volvemos, pues, a la misma solución. Solución: 2,4 metros

RESPONDER Comprobación Si tomamos las proporciones iniciales y sustituimos en ellas el

valor de z, obtendremos:

y / 2,4 = (x + y) /4 x /2,4z = (x + y) /6

Despejando y = 2,4 (x + y) / 4 x = 2,4 (x + y) / 6

Sumando x + y = 0,6 (x + y) + 0,4 (x + y) = x + y




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Una auténtica tautología.

Análisis La altura a la que se cortan los cables ha sido totalmente independiente de la distancia

que separa ambas torres. Si tenemos en cuenta que la figura que ilustra el problema representa un

trapecio rectángulo al que le falta el cuarto lado, el oblicuo no paralelo, es curioso el hecho de que los

cables son las diagonales del trapecio. Por lo tanto, la solución que acabamos de descubrir es una

propiedad del punto de corte de las diagonales de un trapecio rectángulo.

Respuesta: Los cables que anclan las torres se cruzan a 2,4 metros de altura.

Hemos hablado abundantemente de MODELIZACIÓN como estrategia útil, ya sea para

comprender, o bien, para resolver muchos problemas. En su día hicimos una descripción de esa

estrategia y de su forma de aplicación. Pueden buscar en los NÚMEROS anteriores si quieren

refrescar ideas.

Nosotros queremos poner un ejemplo de modelización para resolver de manera sencilla un

problema aparentemente complicado: EL PAQUETE DE CARAMELOS. Este problema fue tratado

en su día también, pero no mediante esta estrategia. Nos parece singular afrontar este problema por

chicos.

EL PAQUETE DE CARAMELOS

En un paquete de caramelos, algunos son azules, otros son rojos y otros son verdes.

28 caramelos no son rojos.

39 caramelos no son azules. 31 caramelos no son verdes.

¿Cuántos caramelos de cada color hay en el paquete?

Explicad cómo habéis encontrado la respuesta.


COMPRENDER Datos: Un paquete de caramelos, azules, rojos y verdes. Objetivo: Cuántos

caramelos de cada color hay en el paquete. Relación 28 caramelos no son rojos. 39 caramelos no son

azules. 31 caramelos no son verdes. Diagrama: Un modelo de los

caramelos de la bolsa.

PENSAR Estrategias Modelización, Ejecutar

Utilizaremos como MODELO unos elementos que representen

a los caramelos y unas tarjetas que representen a las ETIQUETAS de

las distintas colecciones que se mencionan en el problema.

La mejor opción para los caramelos parecen ser las REGLETAS para evitar el manejo de mucho

material.

Para las etiquetas de las colecciones usaremos tarjetas con NOMBRES de los

colores o los propios colores que caracterizan a cada colección.

Las regletas del 1 al 10



P

R

O

B

L

E

M

A

S

Las etiquetas de las colecciones de caramelos:

Estas tres etiquetas representan el contenido de la bolsa de caramelos.

28 caramelos no son rojos.

Equivalente a decir: Hay 28 caramelos de los cuales unos son azules y otros son verdes.

39 caramelos no son azules.

Equivalente a decir: Hay 39 caramelos de los cuales unos son rojos y otros son verdes.

31 caramelos no son verdes.




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Equivalente a decir: Hay 31 caramelos de los cuales unos son azules y otros son rojos.

Si juntamos las tres colecciones correspondientes a las tres relaciones del problema, obtenemos:

Si reorganizamos las regletas y ordenamos las etiquetas, obtenemos:

Es decir, hay 98 caramelos en esta nueva colección que no es la bolsa de caramelos.

Pero, curiosamente, observamos que las etiquetas de los colores están ¡duplicadas!

Eso significa que la colección original, la bolsa de caramelos, vale la mitad de la cantidad

obtenida.



P

R

O

B

L

E

M

A

S

O sea, la bolsa original contiene 49 caramelos de los tres colores.

Ahora podemos volver a revisar las tres relaciones, una por una, y deducir la cantidad de

caramelos de cada color.

28 caramelos no son rojos Hay 28 caramelos de los cuales unos son azules y otros son

verdes.

Si tomamos el total de caramelos de la bolsa y separamos los 28 que son azules o verdes, nos

quedan los caramelos rojos:

Seguimos con la segunda relación.

39 caramelos no son azules Hay 39 caramelos de los cuales unos son rojos y otros son

verdes.

Si tomamos el total de caramelos de la bolsa y separamos los 39 que son rojos o verdes, nos

quedan los caramelos azules:




P

R

O

B

L

E

M

A

S

Terminamos con la tercera relación.

31 caramelos no son verdes Hay 31 caramelos de los cuales unos son azules y otros son

rojos.

Si tomamos el total de caramelos de la bolsa y separamos los 31 que son azules o rojos, nos

quedan los caramelos verdes:

Solución

Hay 21 caramelos rojos, 10 caramelos azules y 18 caramelos verdes.

RESPONDER

Comprobación



P

R

O

B

L

E

M

A

S

Uniendo las tres colecciones de nuevo, obtenemos el total de caramelos de la bolsa y, además

podremos ver que se cumplen las tres relaciones del problema.

Análisis La solución es única.

Respuesta: En el paquete hay 10 caramelos azules, 18 caramelos verdes y 21 caramelos

rojos.

Queremos hacer unos comentarios sobre otras maneras de solucionar este problema.

Mediante ENSAYO Y ERROR:

Un alumno de 6º del CEIP Emeterio Gutiérrez Albelo encontró la solución mediante el uso de

esta estrategia.

Lo razonó así:

28 caramelos no son rojos 28 = 10 + 18

39 caramelos no son azules 39 = 18 + 21

31 caramelos no son verdes 31 = 21 + 10




P

R

O

B

L

E

M

A

S

¡Es sorprendente!

A veces la intuición es un arma poderosa para resolver problemas. Gardner lo llamaba

inspiración ¡Ajá! De Bono lo llamaba pensamiento lateral. Pero no deja de ser también una buena

comprensión de la descomposición de números a partir de la manipulación de las regletas.

Mediante ORGANIZAR LA INFORMACIÓN:

Ya sabemos que esta estrategia, con diferentes técnicas permiten resolver el problema.

A) Mediante una técnica aritmética

Plantear un razonamiento aritmético.

39 + 28 + 31 dos veces el total de caramelos

98 : 2 = 49 caramelos en la bolsa; 49 – 39 = 10; 49 – 28 = 21; 49 – 31 = 18.

También se puede llegar a la misma situación de la siguiente manera:

N – 28 rojos, N – 39 azules, N – 31 verdes N – 28 + N – 39 + N – 31 = N

De donde, 2N = 28 + 39 + 31 N = 98/2 N = 49 caramelos tiene la bolsa.

B) Mediante una técnica algebraica

Plantear un sistema de ecuaciones: {28 = 𝐴 + 𝑉39 = 𝑅 + 𝑉31 = 𝐴 + 𝑅

De donde: A = 10 V = 18 R = 21

3. ANIVERSARIO DE LA FACULTAD

En el curso 1969–1970 se pusieron en marcha los estudios de la Licenciatura de

MATEMÁTICAS en la Universidad de La Laguna. Se cumplen 50 años de los comienzos de estos

estudios en esta Universidad. Es éste un buen momento para conmemorar dicha iniciativa y, como

dice el propio Comité Organizador del evento, “poner en valor los logros conseguidos en este campo en nuestra región, poner de manifiesto las innumerables salidas profesionales que aporta a los

egresados y reflexionar sobre lo que se debe hacer en el futuro para seguir creciendo en rigor y

prestigio”.

La ULL y el Comité organizador de los Actos para la celebración del 50 aniversario de los

estudios de matemáticas en la Universidad de La Laguna, han unidos sus fuerzas para crear un

programa de actos a lo largo de todo el curso 2019-2020 para conmemorar tan esperada celebración.

El día 14 de octubre arrancó el programa con un espléndido acto inaugural.



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Es de destacar que, como no podía ser menos, nuestra Sociedad Canaria “Isaac Newton” de

Profesores de Matemáticas participa en el mencionado Comité en la persona de Luis Balbuena,

miembro fundador de la Sociedad y activo dinamizador de la educación matemática. También hay

participación de la Sociedad en muchas de las actividades programadas, con personas que intervienen

en las actividades, creando actividades o cediendo espacios para celebrar algunas de ellas.

Mencionaremos ahora, sin extendernos en demasía, algunas de las actividades celebradas hasta

ahora.

El 3 de octubre se celebró, de

manera abierta a todos los públicos, una

entrega especial de los Fisquitos

Matemáticos con una selección de cuatro

de ellos en El Ateneo de La Laguna.

La actual temporada de Fisquitos

ha sido cerrada por Raúl Ibáñez, quien

también ha dado una conferencia en La

Orotava y presentado su último libro en

la Casa Museo de la Matemática Educativa.

Durante el mes de octubre

de 2019 se han expuesto en

guaguas y tranvías 50

problemas matemáticos. Ha sido

fundamental la colaboración de

Metro Tenerife y Titsa para

hacer posible que en el trayecto

de ambos medios de

desplazamiento los viajeros

pensaran en la solución de

dichos problemas.

Aunque ya se acabó la

actividad, todos aquellos que

quieran ver los problemas

pueden obtener los enunciados y

pistas para resolverlos en el

siguiente sitio:

https://matdivu.webs.ull.es/50-problemas/

También en el periódico El Día y durante unas 32 semanas

están apareciendo unas páginas dedicadas a la divulgación de las

matemáticas. Entre otros artículos, aparecen semanalmente unos

RETOS matemáticos en forma de problemas en una sección

llamada EL RINCÓN DE PENSAR. Este y otros eventos pueden

verse en esta dirección:

https://matdivu.webs.ull.es/50-problemas/




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http://eventos.ull.es/36486/section/21853/50-aniversario-de-

matematicas-en-la-ull.html

Asimismo ha habido actividades encuadradas bajo el nombre

de MATEMAGIA. Para ello se contado con personal propio de la

ULL que han atendido los diversos talleres impartidos y, además,

se ha contado con la presencia de los dos máximos exponentes de

esta materia en la Universidad española: Pedro Alegría y Fernando

Blasco.

Además de sus

intervenciones con alumnos en el

Aula Magna de Matemáticas y

Física, ofrecieron un espectáculo

en el Convento de Santo Domingo,

acompañados de José Antonio

Rupérez.

Habrá muchas cosas más a

lo largo del curso. Informaremos de ellas en nuestro próximo artículo, seguro.

Pero ahora toca plantear a nuestros lectores nuevos retos que atiendan su deseo de resolver

problemas y mandarnos sus soluciones para ser publicadas en esta sección de la revista.

El primero procede de la XXVIII Olimpiada Matemática de Albacete. Lo tomamos prestado.

El segundo lo recogemos de la XVI Olimpiada Matemática Asturiana.

Vale la pena recordar que las Olimpiadas Matemáticas o Torneos se realizan por toda España,

siempre a cargo de las diferentes Sociedades de Profesores que existen.

http://eventos.ull.es/36486/section/21853/50-aniversario-de-matematicas-en-la-ull.html

http://eventos.ull.es/36486/section/21853/50-aniversario-de-matematicas-en-la-ull.html



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.

Un tercer ejercicio adaptado de un libro que ya tiene unas cuantas décadas.

DESPACHANDO PEDIDOS.

Un trabajador de Amatón, a tiempo parcial, recibe cada día una cantidad de pedidos (P) que

debe despachar lo antes posible (D). Pero está en prácticas y a veces se lía. El lunes despachó

solamente alguno de los pedidos del día. El martes tuvo tantos pedidos como no había

despachado el lunes, y despachó diez. El miércoles recibió doce pedidos más que el lunes, y

despachó tantos como ese día. El jueves empeoró la cosa: recibió el triple de pedidos de los que

había despachado el miércoles, y despachó solo ocho. El viernes llegaron seis pedidos y pudo

despachar doce menos de los pedidos que recibió el miércoles. Tuvo que trabajar otro turno el

sábado para despachar los catorce pedidos pendientes. ¿Cuántos pedidos le llegaron el lunes?

¿Cuántos despachó a lo largo de la semana? (De “Estrategias de pensamiento. Ejercicios de agilidad mental”; de Larry E. Wood; Ed. Labor S. A. 1987.)

Y hasta aquí llegamos. Terminamos con nuestro mantra particular: resuelvan los problemas,

singulares y alejados de los cotidianos; utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus

comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo

sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Queremos pensar que nuestras

propuestas tienen uso en el aula. Eso nos alegraría mucho y también al resto de lectores. Nos

repetimos: vamos, anímense… ¡Si es divertido!

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista .

Un saludo afectuoso del Club Matemático.

Como siempre, aguardamos sus noticias a la espera de la próxima edición de la revista.

Un saludo afectuoso del Club Matemático.


ISSN: 1887-1984




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Juegos con letras y palabras, y matemáticas

José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)

Resumen Se presentan y analizan, proponiendo aplicaciones didácticas de los mismos, juegos

y actividades donde intervienen letras palabras y matemáticas. Tal es el caso del

Scrabble y otros juegos de tablero, el Boggle, Juegos de lápiz y papel como

crucigramas y sus variantes, acrósticos, acertijos y adivinanzas, laberintos y

cuadrados mágicos, palabras pentavocálicas, jeroglíficos, ludogematría, tests de

legibilidad …

Palabras clave Juegos con letras y palabras. Actividades para el aula relacionando palabras y

matemáticas. Scrabble, Boggle, Words of wonders, legibilidad, ludogematría.

Abstract They are presented and analyzed, proposing their educational applications, games

and activities where words and mathematics are involved. Such is the case of

Scrabble and other board games, the Boggle, Pencil and paper games such as

crosswords and their variants, acrostics, riddles, mazes and magic squares,

pentavocalic words, hieroglyphics, ludogematry, legibility tests ...

Keywords Games with letters and words. Classroom activities relating words and

mathematics. Scrabble, Boggle, Words of wonders, readability, ludogematry..

1. Introducción

La Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de

Matemáticas lleva celebradas unas cuantas sesiones de su

Ciclo de Literatura y Matemáticas, en una apuesta por

superar las concepciones compartimentadas de las artes y

las ciencias.

(http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades

-mainmenu-28/literatura-y-matematicas)

La Biblia dice: “Y en el principio era el Verbo”

En consonancia con esta actividad nos ha parecido

adecuado el dedicar algún artículo al tema de Juegos con

letras y palabras.

1 El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel

García Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte

(Santa Cruz de Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]


http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades-mainmenu-28/literatura-y-matematicas


http://www.sinewton.org/web/index.php/actividades-mainmenu-28/literatura-y-matematicas


Juegos con letras y palabras, y matemáticas J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz

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NÚMEROS Vol. 103 marzo de 2020

JUEGOS DE PALABRAS Y JUEGOS CON PALABRAS.

Cuando se habla de Juegos de Palabras es una cosa y cuando hablamos de Juegos con

Palabras, es otra. En el segundo caso las palabras son los objetos con los que se realiza el juego;

en el primero, las palabras son el juego. Nosotros vamos a exponer algunos Juegos con Letras y

Palabras entendiendo que los Juegos con Letras son aquellos que su objetivo es formar palabras.

Podemos encontrar alrededor de 500 juegos con estos contenidos descritos en esta dirección:

http://www.gtoal.com/wordgames/

De alguna manera, se relacionan con conceptos matemáticos y tienen su uso en la clase (y

fuera de ella) como actividad lúdica. Al fin y al cabo, en el quehacer diario nos encontramos y

manejamos diferentes variantes de juegos de palabras, las interpretamos, las manipulamos, las

asumimos, las regalamos, jugamos con ellas…

Entre estas actividades lúdicas hay juegos de mesa o de tablero, juegos de lápiz y papel,

de investigación, de preguntas y respuestas, de combinatoria, probabilidades, criptográficos, …

Posiblemente, la exposición más exhaustiva de juegos de palabras está desplegada en la

obra “Verbalia”, subtitulada “Juegos de palabras y esfuerzos del ingenio literario” de Màrius

Serra, narrador y enigmista, como el mismo se retrata. Màrius Serra habla de “Artificios”: de

combinación, de adición, de sustracción, de multiplicación y de sustitución. Como podemos

apreciar, aparecen los términos matemáticos en esta primera y más amplia clasificación que

hace, luego podemos encontrar dentro de cada “artificio” otras expresiones con reminiscencias

matemáticas: Poemas múltiples, Laberintos, Cuadrados mágicos, Textos crecientes,

Pentavocalismos, Monovocalismos, Isomorfismos, Contrarios, Criptogramas, Aritmogramas,…

Aquí aparecerán algunos de estos “artificios”.

SCRABBLE Y OTROS JUEGOS DE TABLERO.

El juego de tablero más conocido, con letras, es SCRABBLE, publicado en español como

INTELECT. El arquitecto desempleado Alfred Mosher Butts, en 1938, fue el creador del juego

basándose en otro juego suyo de escaso éxito: Lexiko.

El Lexiko se jugaba sin tablero, sobre una mesa, y

los puntos anotados estaban en función de la longitud de

las palabras que se formaban, con puntos adicionales por

utilizar las letras B, F, H, M, P, V, W e Y, poco

comunes en inglés, y más puntos adicionales por incluir

las letras J, K, Q, X y Z todavía menos frecuentes.

Butts calculó la

frecuencia de aparición de las

letras en su lengua y el

consiguiente valor de cada

una de ellas mediante un

análisis de las portadas del

New York Times. En España

se han realizado estudios

semejantes con, por ejemplo,

una semana de publicaciones

http://www.gtoal.com/wordgames/


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del diario El País2. En ambos casos, se incluyen palabras y siglas características de un

periódico, por lo que se pueden considerar poco representativos.

Este es uno de los aspectos que nos puede interesar para tratarlo con los alumnos. Existen

programas on-line para analizar textos y extraer las frecuencias de las palabras o las letras, así

que podemos introducir un texto, hallar las frecuencias absolutas de sus palabras o de sus letras

y realizar luego su estudio estadístico, calculando los valores de moda, mediana, y

representando gráficamente los valores. Es una experiencia práctica muy motivadora.

Asimismo se puede comparar los resultados de la experiencia en el aula con los

resultados aplicados al juego del Scrable. Por ejemplo, las ediciones del idioma castellano fuera

de Norteamérica usan las siguientes 100 piezas:

La K y la W no se utilizan por ser poco corrientes en el idioma (no se pueden usar

comodines, fichas en blanco, en su lugar). No se incluyen vocales con tilde.

El uso de una C y una H en lugar de la CH, dos L para la LL, o dos R para la RR no está

permitido en el Scrabble en castellano. Posiblemente, en versiones actuales, se empiece a usar

C y H separadas, y lo mismo con la L en LL y la R en RR.

Los sets en castellano vendidos en Norteamérica (conocidos como Scrabble - Edición en

Español) usan 103 piezas, con otra distribución. El idioma con más fichas es el italiano.

En esta dirección pueden ver una tabla con la distribución de las fichas para los distintos

idiomas.

http://www.gtoal.com/wordgames/langdist.html

El elemento innovador en el desarrollo del juego: las

palabras cruzadas, fue lo que marcó el camino del éxito del

juego inventado por Butts. A lo largo de los años, la

mecánica del juego ha cambiado. Por ejemplo, en un

momento dado, la primera palabra del juego debía colocarse

en la esquina superior izquierda del tablero. Sin embargo,

muchas de las características del juego original de Butts se

han conservado hasta nuestros días, tal es el caso del tablero

de 15 x 15 casillas o el atril de 7 fichas, así como el número

de fichas de cada letra y los valores de las mismas, que se

han mantenido igual desde 1938 hasta hoy. Actualmente se celebran campeonatos nacionales e

internacionales (Inglés, francés y español)

2 Fontanillo Merino, Enrique; Estudio lexicométrico del diario “El País”

Juego de fichas para la versión inglesa

http://www.gtoal.com/wordgames/langdist.html


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El record mundial de puntos en un juego de Scrabble está establecido por el

estadounidense Michael Cresta que obtuvo 830 puntos en un juego donde el otro contrincante

obtuvo 490 puntos.

Más información sobre el juego se puede ver en

https://es.wikipedia.org/wiki/Scrabble

y otros enlaces de la WEB.

Aparte de las distintas versiones para cada idioma, existen muchos juegos parecidos en

formatos distintos al de tablero, (Scrabble con cartas por ejemplo).

Kan-U-Go es prácticamente Scrabble sin el tablero. Hay 60 cartas que incluyen los dos

comodines "Kan-u-go". Se distribuyen así:

Y también es fácil encontrar imitaciones y falsificaciones.

Existen modificaciones usando un tablero hexagonal o

en tres dimensiones. Tal es el caso del Combi Letras y del Up

& Down mostrados en las imágenes. La característica

principal, y su aportación como variante, consiste en el uso de

fichas hexagonales y la formación de palabras en cuatro

direcciones. En el Up & Down se pueden formar torres con las

fichas de letras creando palabras en vertical.

Existe también la variable aritmética del Scrabble: el Mathable, Un juego ya tratado en

un anterior artículo nuestro, allá por el año 2012 (se puede consultar en

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/80/Juegos_01.pdf)

En las imágenes siguientes podemos ver algunas variaciones del juego.

https://es.wikipedia.org/wiki/Scrabble

http://www.sinewton.org/numeros/numeros/80/Juegos_01.pdf


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JUEGOS CON LETRAS

Boggle

El Boggle es un juego de mesa diseñado por Allan

Turoff y fabricado por la casa Hasbro y Parker Brothers.

Está formado por un tablero cuadrado que contiene

dieciséis dados con letras en sus caras. Al mezclarlos, queda una combinación única de letras.

Los participantes tienen tres minutos (medidos por un reloj de arena que viene con el juego)

para formar el máximo de palabras posible. Cada palabra

tiene que estar formada por dados adyacentes. No se

permiten prefijos, argot ni siglas pero sí cualquier forma

verbal o plurales. Las palabras repetidas entre los

diversos jugadores no puntúan. Cuanto más larga es una

palabra, más puntos. Al principio del juego se resuelve

cuántas rondas se harán para decidir al ganador. No hay límite de jugadores posibles.

Otra versión comercial es el denominado Script-O-

Gram, con 13 dados con letras y sus valores dibujados en

sus caras. El juego consiste en lanzar los dados sobre una

mesa y cada jugador intenta componer una palabra en un

tiempo establecido previamente y medido por un reloj de

arena. El que consigue la mayor puntuación en su palabra

es el ganador del turno y recibe una recompensa. El juego

plantea diversas reglas como variantes, por ejemplo, se

puede pactar que no valgan plurales

o tiempo verbales distintos del

infinitivo. Está fabricado por

DISET, de Barcelona y viene

recomendado para 2 o más

jugadores mayores de 9 años.

Son muchísimas las

variantes que incluyen dados con letras en sus caras y que cambian en

cuanto al número de dados, tipo de dados (D8, D12, D20), el uso de

tableros (4x4, 5x5,…), la distribución de las letras en los dados, los

puntos asignados a cada letra y en las reglas del juego: formar palabras,

robar las palabras de uno de los jugadores añadiendo letras, cruzar una

nueva palabra con otra ya colocada, usando letras comunes, etc.

JUEGOS CON IMÁGENES QUE GENERAN LITERATURA.

Rory's Story Cubes

Rory´s y Asmodee’s Story Cubes están formados por nueve

dados de seis caras cada uno, en ellas vienen dibujados diferentes

símbolos tales como un móvil, un ábaco, un árbol, etc., eso hace un

total de cincuenta y cuatro imágenes diferentes lo que supone un

potencial más de diez millones de combinaciones posibles, y que

viene a ser una cantidad interminable de posibilidades para crear


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historias imaginativas. Así que para desarrollar el lenguaje, la

imaginación, la creatividad y la elaboración de cuentos, se han de

enlazar las imágenes obtenidas con los dados, al lanzarlos, y crear la

historia en un orden elegido por el actuante. No es un juego normal,

ni se gana ni se pierde, aunque siempre se puede emitir una

puntuación por el resto de los jugadores a la historia contada.

Existen varias presentaciones del juego, que pueden irse

coleccionando para enriquecer sus posibilidades: Clásico, acciones,

viajes, misterio, prehistórico, astro, héroes, emergencia y fantasía son

las variantes a la venta.

Se recomienda para jugadores de 8 años en adelante. En las otras versiones encontramos

Story Cubes Actions en donde los cubos ilustran imágenes de verbos del diario vivir o Story Cubes Vogage que inspira historias de aventura épica. Es publicado por Gamewright. En la

serie Amodee Story Cubes las historias tratan sobre diversos personajes: Batman, Scooby Doo,

Terror, etc.

LÁPIZ Y PAPEL (CRUCIGRAMAS, TALLER DE SASTRE, ETC.)

Otro de los entretenimientos más conocido y popular que usa

palabras es el crucigrama. El origen del formato actualmente más

difundido del crucigrama está en el publicado por Arthur Wynne el 21 de

diciembre de 1913 en el periódico New York World (Estados Unidos)

inicialmente como un rompecabezas llamado «word-cross». Así que se

considera a Wynne como el inventor de este juego.

Dos son sus antecedentes conocidos: el «Double Diamond Puzzles»

publicado en 1873, en la revista St. Nicholas por un tal Hyperion, y el

publicado en la revista italiana Il Sécolo Illustrato della Doménica por

Giuseppe Airoldi en 1890 y basado en el cuadrado sator y titulado «Per il

tempo passare». No tuvo éxito, y no volvió a publicarse ninguna nueva

versión.

Hoy tenemos multitud de variantes:

• Crucigrama blanco

• Temático

• Encadenado

• Completagramas

• Mixto

• Silábico

• Encadenados

• Cifrados

• La Ameba

• Crucisopa

• Cábala literaria

• Fotograma

• Dameros

• Columnas movedizas

• Etc.


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Y existe un gran número de publicaciones con estos entretenimientos para pasar el

tiempo, como decía Airoldi en 1873. En casi todas las variantes, como en el original, se dan

definiciones para escribir la palabra en las cuadrículas de un tablero generalmente cuadrado, de

manera que las letras usadas se emplean en la palabra vertical y la

horizontal que se cruzan.

Entre los Temáticos están, como no, los dedicados a

aspectos matemáticos. Sirvan de ejemplos los mostrados en la

figuras; uno como “Cruzada matemática” y publicado en

www.retomania.blogspot.com

el otro, el mostrado en la

segunda ilustración, del que es

autor Jorge la Chira. El

primero no es propiamente un

Juego con Palabras, pero el segundo sí lo podemos

considerar dentro de esta categoría.

JUEGOS CON PALABRAS E INTERNET.

Es enorme la cantidad y variedad de juegos con palabras y letras

que podemos encontrar en la WEB y disponibles para tabletas y móviles,

tanto en Android como en IOS o Windows Phone. Basta con acudir a las

tiendas de cada sistema. Por ello nos parece que no merece entrar en su

mención o clasificación, pero hay un juego que tiene millones de

seguidores y que viene a colación con los que hemos mencionado

anteriormente. Se Trata de WORDS OF WONDERS. Es una

combinación de crucigrama y juego de letras, pues sobre una disposición

de cuadros que cambia para cada juego, se han de colocar entre 3 y 9

(suponemos) letras formando palabras de diversa longitud, que se cruzan

y enlazan. No hay definiciones de las palabras: se han de deducir por las

letras que se van colocando en casillas comunes.

Y este juego nos lleva al siguiente apartado.

ANAGRAMAS

En los anagramas partimos de una frase o una palabra que

debemos, reordenando todas sus letras, convertir en otra de la misma

longitud. Pueden obtenerse distintas soluciones. Los espacios no se

tienen en cuenta para la longitud.

La palabra griega ana (ἀνα), aparte de significar 'hacia arriba',

también significa 'en secuencia', 'cada'. En Anagrama se toma como

movimiento, reorganización. De grama, que proviene del griego

antiguo γράμμα (escrito) proviene la segunda parte de la palabra. La palabra inicial del

anagrama se conoce como sujeto, y el objetivo es derivar otras palabras o frases que tengan

sentido.

https://es.wiktionary.org/wiki/escrito

http://www.retomania.blogspot.com/

https://es.wiktionary.org/wiki/%CE%B3%CF%81%CE%AC%CE%BC%CE%BC%CE%B1#Griego_antiguo


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Griegos y judíos utilizaban los diagramas para ocultar mensajes que se podían leer

deshaciendo el anagrama, es decir, usando como sujeto el objetico y viceversa. Escritores,

filósofos y políticos también han hecho uso de los anagramas para ocultar sus nombres.

Pero ahora lo examinamos como un entretenimiento, que es su uso actual. Esta

actualidad ha dado lugar también al desarrollo de ayudas para la consecución de los objetivos

posibles partiendo de una frase o palabra sujeto. Es lo que se llama un “Anagramador”, una

herramienta que te ayuda a encontrar una cantidad exhaustiva de anagramas a partir de una

palabra. Otro tipo de ayuda son los “Anagram Solver”, resolutores de anagramas, que partiendo

de un conjunto de letras (formando una palabra con sentido o no), buscan en una amplísima

base de datos las que derivan del sujeto que se facilita. Vienen a ser un Generador de

Anagramas, ideal como ayuda para el Scrabble, el WOW y juegos semejantes.

Dos ejemplos sencillos de anagramas:

• AMOR

• MARO

• ARMO

• MORA

• RAMO

• ROMA

• La calma

• Acalmar

• Aclamar

• Alcamar

• Calamar

• Calmara

• Clamara

En Internet es posible encontrar muchas páginas

dedicadas al tema, y que pueden servir de ayuda para

profundizar en él. Por ejemplo, en la página:

https://www.centroestudioscervantinos.es/anagra

ma/

encontrarán una información inicial sobre ello.

En la página WEB:

https://es.worder.cat/buscarpalabras

encontramos un programa que busca los anagramas de un conjunto de letras y también todas las derivadas de ese

conjunto.

Hemos buscado la palabra “MATEMÁTICAS” y encontramos una palabra de once letras,

otra de diez y otra de nueve, 44 de ocho letras, 112 de siete, 214 de seis, 234 de cinco, 190 de

cuatro, 76 de tres y 26 de dos. En total 899 palabras.

Lo que representado gráficamente queda así (Fig.1).

Hablemos ahora de alguna de las aplicaciones que puede tener en el

aula estas actividades y las expuestas en el siguiente apartado.

Amén del enriquecimiento lingüístico, el aspecto estadístico en el que más jugo nos da

con estas actividades. Partiendo de textos conocidos, de letras de canciones por ejemplo,

0

50

100

150

200

250

Nº de letras

Palabras por número de letras

Nº de palabras

Figura 1

https://www.centroestudioscervantinos.es/anagrama/

https://www.centroestudioscervantinos.es/anagrama/

https://es.worder.cat/buscarpalabras


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podemos hacer análisis del vocabulario que se utiliza, las frecuencias de las palabras que se

usan, comparar los resultados de los análisis para los textos de un autor con los de otros. En

colaboración con los seminarios de Lengua, Historia o Filosofía, podemos analizar

estadísticamente textos de los autores que estén estudiando en esas materias.

Luego vienen prácticas tan formativas como la realización de gráficas, el análisis de los

datos, la comparación de resultados, etc.

ACRÓSTICOS

Una manera sencilla de ocultar una palabra o frase consiste en hacer que la primera letra

de cada uno de los versos de un poema sea una letra de la expresión oculta, y este poema es el

que se llama Acróstico. Por ejemplo, en el siguiente poema se oculta el texto “La Celestina”

Acróstico de "La celestina"

Liras con pies de plomo, seductores exóticos,

algún mejor tendido a cuenta de teatros, ciertas marcas desde los efectos,

esculturas y abortos diarios. Líneas junto con romances sonoros,

echando espumitas de humo sus últimos restos,

señoritos y comités pedagógicos,

tampoco tendremos derecho a reclamarnos.

Inalcanzables por todos los progresos, neutrinos y polos favoritos,

al calor de los planos gustan aceites inciertos

Existen aplicaciones para la fabricación de acrósticos, aunque dejan mucho que desear los

versos que solucionan el reto; una está en la siguiente dirección:

https://www.acrosticos.org/index.php

Texto para transformar en acróstico: la celestina

Escribe un texto, por ejemplo 'te quiero', 'Geraldine',

etc. Recomendamos no utilizar acentos, "ñ", "ç",

etc., ya que reduce el número de frases.

Nuevo acróstico >>

Letras finales: os

Escribe sólo el final de la palabra, recomendamos las

dos últimas letras. Las que ofrecen más resultados,

en este orden, son "nte", "ado", "dad", "dos", "ida" y

utilizando sílabas que acaben en "os", "as", "es",

"do", "da", "te", "ra"..

https://www.acrosticos.org/index.php


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Texto para transformar en acróstico: la celestina

Escribe un texto, por ejemplo 'te quiero', 'Geraldine',

etc. Recomendamos no utilizar acentos, "ñ", "ç",

etc., ya que reduce el número de frases.

número de sílabas:

Tan sólo con de 10 a 15 sílabas (por defecto).

Puedes escoger el número de sílabas.

Recomendamos poner rangos, por ejemplo de 10 a

15 sílabas, ya que de lo contrario provoca que se

repitan frases o que el acróstico quede incompleto..

de la que hemos tomado la imagen.

Lo que sigue es un ejemplo de lo que se obtiene cuando pedimos unos poemas acrósticos con

las palabras “CLUB MATEMÁTICO” y “NÚMEROS”

Acróstico de "CLUB MATEMATICO"

Cabezas con memorias fotográficas,

lecciones y revisiones trágicas,

universal estabilidad mística,

batería de cosechas numéricas.

Modelos y xerografias cronológicas,

ancestral madurez estratégica,

tras los malestares madura

estratégica, una existencia

Más allá llega, hasta América!

Adquisición de experiencia sociológica,

tras la orilla enumera ritual litúrgica,

indultos y homilía sintáctica.

Con orquestas para tocar música,

objeto con carácter de reciprocidad teórica.

Acróstico de "NÚMEROS"

No vaya a terminar yo hablando de política,

último saber de la sapiencia,

mareas de la procesión atlántica

empujones y zurcidora topográfica.

Refuerzos y confusión polémica,

orilla de puerta en puerta, senda médica,

sabores y confianza trágica.


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Se puede apreciar la “calidad” de los poemas creados con la aplicación facilitada por la

siguiente página: en esta dirección encontramos un “Creador de poesía automático” donde

ensayar alguna de estas propuestas de juegos de palabras.

https://www.rimador.net/index-poesia-automatica.php

Esta página, además de un generador de versos [poesía automática], contiene enlaces

para [buscador de rimas] [separador de sílabas], [historia del Hip Hop], [vocabulario Hip

Hop] y un [conjugador verbal].

Si acudimos al separador de sílabas, nos llevamos la sorpresa de la gran cantidad de datos

analizados por el programa, pues además de la separación en sílabas, calcula las frecuencias de

aparición de las palabras, de las sílabas y de los caracteres. Pero también realiza gráficos de

barras de estas frecuencias, de las longitudes de las palabras y algún otro análisis.

Y también nos ejecuta un ANÁLISIS DE LEGIBILIDAD, del que hablamos más

adelante. Aplicando el estudio a nuestro “poema acróstico” de números, nos devuelve los

siguientes resultados:

Índice Flesch-Huerta (1959): 60.24

Facilidad para leer según FH: Texto dificil de entender (55-65).

Índice Flesch-Huerta-Winzeler (2011): 60.25

Facilidad para leer según FHW: Texto dificil de entender (50-65).

Índice Flesch-Szigriszt-Pazos (2011)(ISFZ): 55.72

Grado en la escala Inflesz (Szigrsizt): Nivel algo difícil (40-60).

Nivel de estudios necesario: Bachillerato. Similar a publicaciones divulgativas.

Índice de Nebulosidad (IN): 13.89 (A=18.5, B=16.22) Facilidad para leer según IN: Texto un poco difícil de entender (13-15).

Nivel de estudios mínimos necesario según IN: Educación secundaria (13-15).

Índice de legibilidad automático (ARI): 13.41 Entienden el texto las personas con 13 años o

más.

Índice Flesch-Vacca-Franchina (1972): 48.54 Índice Flesch-Vacca-Franchina (1986): 69.91

Facilidad para leer según FVF1986: Texto bastante difícil de entender (60-70).

Prueba de nivel GULPEASE (1988): 99.54 Facilidad para leer según Gulpease: Texto muy fácil de entender (80-100).

Los test aplicados nos indican que el texto es de difícil lectura y entendimiento.

Podemos acceder directamente a la página en:

https://www.separarensilabas.com/index.php

en lugar del enlace a través de:


Unos instrumentos como estos también nos permiten jugar con otro artificio lingüístico:

el Sesquipedalismo. Consiste en buscar, y encontrar, la palabra con más sílabas, y por tanto la

más larga de una familia lingüística, por ejemplo. Teniendo en cuenta que no siempre la palabra

con más letras es la que tiene más sílabas, tenemos un nuevo motivo para la investigación y el

juego con palabras, aunque limitado. Por cierto, podría ser el momento para explicar que el



https://www.separarensilabas.com/index.php


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prefijo sesqui significa “una unidad y media”. Podemos definir el coeficiente “sesqui” como el

cociente entre el número de sílabas y el de palabras que forman una frase.

¿Cuánto vale el coeficiente sesqui de esta frase?

Por tanto el coeficiente “sesqui” vale 2,125. ¿Qué aplicación tiene? Por ahora es un

simple entretenimiento, pero puede que intervenga en los criterios de legibilidad aplicados y

explicados en otros de los apartados

ACERTIJOS Y ADIVINANZAS

“Primero fue el acertijo y, cuando éste se arropó con el verso, nació la adivinanza.

Acertijo y adivinanza coinciden en formular una pregunta ingeniosa…” (Gárfel y Fernández)

Los problemas llamados de ingenio son considerados entre los acertijos, ayudan a

desarrollar el pensamiento lateral que luego interviene en la resolución de problemas donde el

ataque directo no conduce, o lo hace con mucho esfuerzo, a la solución. Así, encontramos en la

misma categoría los ejemplos siguientes:

San Marino tiene una, Italia ninguna. España tiene una, Francia ninguna. Guinea

Ecuatorial no tiene, pero Guinea Bissau sí, dos. Canadá no tiene ninguna, pero Estados

Unidos tiene tres, igual que las Islas Marshall. Israel, y Brasil tienen una cada una, Jordania y Argentina ninguna. Tailandia tampoco tiene ninguna, pero antes, cuando se llamaba Siam, sí

tenía. ¿Qué estamos contando?

El hermano de Teresa tiene un hermano más que hermanas, ¿cuántos hermanos más que

hermanas tiene Teresa?

¿Qué es más barato, invitar a un amigo al cine dos veces o a dos amigos a la vez?

Un caracol sube por una pared de diez metros de altura. Todos los días sube tres metros

y por la noche baja dos, ¿Cuántos días tarda en llegar a lo alto de la pared?

Se saca en la mesa, no se come ni se bebe, pero se corta y se sirve. ¿Qué es?

Cuando no trabaja no sirve.

O poéticamente

Blanco fue mi nacimiento,

me vistieron de colores,


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por mí se pierden los hombres

y se quitan los honores.

(La baraja)

LABERINTOS Y CUADRADOS MÁGICOS.

Nos referimos ahora a cuadros de letras donde hemos de encontrar palabras o el resultado

de una definición o el nombre de algo que se representa gráficamente. Tal es el caso de las

conocidísimas Sopas de Letras. Se trata de hallar en una tabla aparentemente llena con letras

desordenadas, una serie de palabras. En este ejemplo hemos de encontrar las siguientes

palabras: (al menos)

ALGEBRA, CALCULO, DERIVADA, DIVISION, GEOMETRIA, INTEGRAL,

MATEMAGIA, MULTIPLICACIÓN, POTENCIA, RAIZ, RESTA, SUMA, TOPOLOGIA.

C R E V I S T A D E D I D Á C T I C A A

A D R E M A T I E M Á T I C A S W N T C

L A C A T T N I A S F U M W E H Ó S F G

C O L N I T A I G O L O P O T I E P A B

U J O G E Z R E K N U S K Z C R I Q D I

L E X G E T N D R Z U B P A M Z B T A R

O T R G E B Z A E B P B C O A O P G V S

M A H M T C R M Y V X I E S T K V U I U

L Z O J X R F A I H L Z E B E E K A R M

H E L M Q F K H Z P W N G N M J N G E A

G Q Y P A A A W I D F Z P G A C R C D Q

X A R R F R R T E U K A U F G J M U I I

C R K E Q R L K G J Z N R M I X K J C A

C A D E Z U G D O E A Z P O A M Z R F H

Q S I N M G C S S W N O I S I V I D Z G

Además de las Sopas de letras, otros juegos de palabras como son: Palabras cruzadas,

Anagramas, Aritgramas, Laberintos, Criptogramas y algunos otros, se pueden crear e imprimir

desde la página

http://puzzlemaker.discoveryeducation.com/

lo que nos facilita el preparar actividades para la clase con cualquiera de estas modalidades.

TEXTOS CRECIENTES Y DECRECIENTES.

Los textos compuestos por palabras cuyo número de letras crece o decrece

ordenadamente, son conocidos como textos crecientes o decrecientes.

Normalmente el número de letras de cada palabra se diferencia de la anterior en una letra,

es lo que llamamos “factor de crecimiento”, pero puede ser de dos o más letras, o contabilizarse

en sílabas. O incluso se puede hablar de poemas crecientes o decrecientes, donde la cantidad de

palabras de cada verso tiene una palabra de diferencia con el anterior. Si son versos que

http://puzzlemaker.discoveryeducation.com/


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incrementa o disminuyen leras de uno al siguiente, se llaman versos ropálicos. Veamos unos

ejemplos proveniente, alguno, de Màrius Serra.

Por ejemplo con una letra más:

A la una para comer juntos. (1-6)

A tu can dale pasta salada. (1-6)

Y te vas como nunca detrás. (1-6) Y le doy doce cajas gratis pagando cuarenta botsuanas, intendente Fontanarosa. (1-11)

Por ejemplo con dos letras más a cada paso:

Y tus manos parecen golosinas, Encarnación. (1-11, +2)

Por ejemplo con una sílaba más:

Tú sabes, amigo Casimiro, establecerte agradablemente. (1-6)

La hija pequeña, Carolina, tarareaba despreocupada. (1-6)

Quizá menos conocidos son los textos PI en prosa y verso. Consiste en que el número de

letras de cada palabra sigue una secuencia que en este ejemplo son las primeras cifras de PI.

Soy y seré a todos definible,

mi nombre tengo que daros,

cociente diametral siempre inmedible

soy de los redondos aros

PENTAVOCALICAS

Las palabras pentavocálicas son aquellas que contienen las cinco vocales, sin que se

repita ninguna de ellas. No se conoce en castellano una pentavocálica que tenga sus vocales

ordenadas alfabéticamente.

Como ejemplo, estas son palabras pentavocálicas que comienzan con “a” extraídas del

DRAE en julio de 1997

abaniqueo adulterio aludiendo aquietadora audiómetro

abaniquero aeronáutica alunamiento aquileño auditores

abluciones aeronáutico alusiones aquilífero aumentación

abrenuncio aguaviento amiguero arequipeño aumentativo

abuhamiento aguavientos amugamiento ariqueño aunamiento

abusionera aguerrido anfineuro arqueología auquénido

abusionero aguiero anfineuros arqueozoico auranciáceo

aceitunado aguijeño anguilero arquetípico aureomicina

aceitunero aguijonea angurriento arquetipo aurífero

aceitunillo aguijonear anquiseco arquíptero aurígero

aceituno aguijones antejuicio arquitecto auténtico

acentuación aguileño antequino arquitector auténticos

acequiero agujerillos antetítulo arquitectos autocine

achaquiento agujeritos anticuerpo arseniuro autogestión


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acoquinarse aguzamiento anticuerpos arundíneo automóviles

actuaciones ahuizote antioquena asecución autorice

acudidero ajicuervo antioqueno aseguración autoridades

acudiendo ajipuerro antioqueña asubiadero autorizable

acudimiento alambiquero antioqueño asumiendo autorizarse

acuífero albaricoque anudamiento atenuación autrigones

acusaciones albericoque anumeración atestiguado averiguado

acusamiento albugíneo anzoátegui atriaquero averiguador

adecuación albuminoide añudamiento atribuyendo Averiguando

adoquier aliquebrado aperturismo atribuyeron Averiguarlo

adoquiera almaciguero aponeurosis atufamiento ayudamiento

adoquines almizqueño apuramiento aucténtico Azoguería

adquiriendo almudelio aquenio audienciero Aztequismo

adulonería alucinógena aquenios audímetro Azufeifo

adulterino alucinógeno aquietador audiometría

Y esta otra lista una muestra de pentavocálicas que tienen sus vocales en distintos

órdenes, con variada permutación.

aguiero

aquenio

euboica

eubolia

eufonía

euforia

aceituno

acuífero

adoquier

aguijeño

aguileño

ahuizote

amiguero

aquenios

aquileño

ariqueño aurífero

aurígero autocine

autorice

azufeifo

cauterio

coquería

cuajiote

doquiera

duenario

ecuación

equipado

equivoca

equívoca

estuario

eufónica

eufórica

eufótida

eutrofia

faleucio

guineano

guionaje

iroquesa

latigueo

laudemio

lauríneo

leguario

letuario

loquería

maniqueo neumonía

obsequia orihuela

orquídea

pecuario

raquídeo

rubiáceo

saquerío

soguería

toquería

useñoría

vaqueiro

baniqueo

acequiero

acudidero

acudiendo

adoquiera

adoquines

adulterio

aguerrido

aguijonea

aguijones

ajicuervo

ajipuerro

albugíneo

almudelio

aludiendo

alusiones

anfineuro

anguilero anquiseco

antequino arquetipo

arseniuro

arundíneo

asecución

asumiendo

audímetro

auditores

auquénido

auténtico

azoguería

bisabuelo

bisagüelo

boquiseca

botijuela

bucelario

bufonería

buhonería

buñolería

burielado

butadieno

cañihueco

carguerío

caulífero

cauterios

cedulario

celulario

censuario

cigoñuela cigüeñato

coguilera coliquera

comiquear

conseguía

coquinera

criaduelo

cuajicote

cuajilote

cuñaderío

curiosear

decuriato

delusoria

desahucio

diaquenio

droguería

duodécima

duomesina

educación

educativo

elocutiva

emulación

enluciado

ensuciado

enunciado

equitador

equivocar

equívocas

eruginosa

erutación escuálido

esguízaro esquiador

esquilado

esquinado

esquinazo

esquizado

estatuido

estuación

estuarios

estudiado

estudiosa

eucalipto

eucariota


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eucrático

eupatorio

europeíza

eustaquio

eutrófica

evolutiva

excautivo

exudación

filautero

freudiano

funerario

gatuperio

guadijeño

guaridero guitarreo

guitonear

hieródula

hociquear

impetuosa

ineducado

jaquimero

latiguero

laurífero

lectuario

longuería

loriguera

manigüero

manipuleo

maniqueos

manuelino

maquilero

marisqueo

matihuelo moquitear

narigueto

neumático

neumónica

neuroglia

neurótica

niquelado

nucleario

numerario

obsequian

obsequiar

obsequias

ojienjuta

ojituerta

olisquear

opulencia

orquídeas

palitoque

pañizuelo patizuelo

peliagudo

peruviano

piragüero

piruétano

porquería

proseguía

punicáceo

quejicosa

quietador

quijotesa

quinceavo

quinolear

quiroteca

reasumido

refugiado

repudiado

reumático

riachuelo rumeliota

sahumerio

sanguíneo

secutoria

seguidora

seudónima

subitáneo

sucesoria

superiora

tabiquero

taquinero

tenutario

teutónica

tiracuero

topiquera

tosiguera

triaquero

urticáceo

vaqueiros vaquerizo

venusiano

vestuario

yeguarizo

zatiquero


ISSN: 1887-1984




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También localizamos números pentavocálicos:

31 Treinta y uno

52 Cincuenta y dos

91 000 Noventa y un mil.

4 003 Cuatro mil tres.

3 004 Tres mil cuatro.

……….

MONOVOCALISMO.

Abarrajada, berebere, bermejecer, vivir, bochornoso, acarambanada, descendente, congorocho,

efervescente, cuscús, frufrú, son ejemplos de monovocalismos, palabras donde se utiliza únicamente

una vocal. Buscar otras palabras con esta característica. ¿Quién encuentra la palabra más larga?

¿Con más oes?

CRIPTOGRAFÍA.

La criptografía, es el arte de escribir mensajes en clave secreta o enigmáticamente. Es un tema

que se presta a muchas actividades y juegos para los alumnos, desde las sencillas claves de sustitución

monoalfabética podemos iniciar el tema (Clave César), y que podemos conectar con el análisis

estadístico de textos, frecuencias de aparición de las letras, y con ello el criptoanálisis y los cifrados

polialfabéticos u otros más complicados.

Los alumnos se “enfrascan” fácilmente en este tipo de actividades, y el juego se puede llevar a

cabo formando equipos de 3 o 4 alumnos que se envían mensajes encriptados que han de analizar y

desencriptar. Para ello existen páginas sonde nos brindan programas que analizan el texto encriptado

y nos lo descifran, por ejemplo en:

http://superpatanegra.com/texto/index.php

Usa su programa para descifrar el siguiente texto en clave César.:

Hvwh duwlfxor ixh hvfulwr sru Foxe Pdwhpdwlfr

Otro tipo sencillo de codificación de mensajes consiste en sustituir cada letra por un símbolo, un

dibujo, un número o la letra de un alfabeto no latino. Los alumnos pueden inventar estos símbolos con

los que van a cifrar los mensajes y luego utilizarlos en el juego que hemos propuesto.

Unas figuras que pueden utilizar son las usadas por los antiguos egipcios para su escritura,

origen del nombre que viene a continuación,

JEROGLÍFICOS

El diccionario de la Lengua Española, lo define, en su acepción 5ª, como “Pasatiempo o juego

de ingenio consistente en descifrar un mensaje que aparece expresado mediante un conjunto de signos

y figuras.” La siguiente tabla, tomada de Wikipedia, muestra una parte del alfabeto egipcio que se

puede usar para cifrar mensajes mediante signos o figuras, como decíamos en el apartado anterior.


http://superpatanegra.com/texto/index.php


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O

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Signo Trans. Pron. Descripción

ȝ a "A"

española, aleph semítica

Buitre egipcio

ỉ i "I"

española, yod semítica.

Junco

y y "Y" española de "yo",

yod doble

Pareja de

juncos o Trazos

ˁ a "A" corta, ayin semítica

Brazo

t

w u "U" española

Codorniz joven o

su abreviatura

hierática

b b "B" española

Parte inferior de la

pierna

p p "P" española

Estera de

juncos o Taburete

f f "F" española

Víbora cornuda

Pero de acuerdo con la definición escrita anteriormente, el jeroglífico, entendido como

pasatiempo o juego de ingenio, consiste en un cuadro que contiene unas figuras, letras o definiciones,

y con su interpretación se ha de contestar o completar un texto que acompaña al cuadro. Constituyen

un buen ejercicio para el entrenamiento del pensamiento lateral. Inténtenlo con estos ejemplos.

Soluciones al finali


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LEGIBILIDAD

Venimos hablando en páginas anteriores de LEGIBILIDAD. Profundicemos un poco en este

término.

La legibilidad es considerada como el conjunto de las características de un texto que favorece o

dificulta la comunicación eficaz entre los autores y los lectores, considerando las competencias de los

mismos y en qué condiciones se realizan las lecturas. Para algún autor (Tinker, 1963) la legibilidad

solo se refiere a las cualidades tipográficas del texto, de tal manera que una letra Times New Roman

de tamaño 12, tiene mejor legibilidad que una letra Lucida Sans 8, por ejemplo. En contraste, la

lecturabilidad es un índice que nos da información sobre el grado de entendimiento que un texto tiene

para un tipo de lector determinado (Rodríguez, 1994). (Miguel Muñoz Baquedano, 2006).

Otros medidores de estos aspectos de un texto son los siguientes:

La lecturabilidad viene a ser la legibilidad lingüística del texto, es decir, si es fácil o difícil de

entender:

L=206.84−0.60P−1,02F

L es la lecturabilidad; P, el promedio de sílabas por palabra; F, la media de palabras por frase.

La comprensibilidad de un texto Se calcula así:

C=95,2−9,7LP−0,35PF

C es la comprensibilidad del texto; L, el número de letras; P, el de palabras; F, el de frases.

La perspicuidad es la cualidad de perspicuo, es decir, escrito con estilo inteligible (que puede

ser entendido). Se calcula así:

P=206.835−62.3

SP−PF

P es la

perspicuidad; S, el total

de sílabas; P, la

cantidad de

palabras; F, el número

de frases

En la página

WEB

htpps://legible.es,

encontramos estas

diversas fórmulas para

medir la legibilidad de

un texto en español.


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G

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Legibilidad de Word

El programa de tratamiento de textos WORD contiene,

además de la capacidad de extraer datos de frecuencias de palabras,

la posibilidad de realizar el cálculo de índices de legibilidad. Para

ello hemos de acudir a la corrección ortográfica y gramatical, y

después de realizarla obtenemos un cuadro con valores de los

totales de caracteres, palabras, oraciones y párrafos, así como los

promedios de caracteres por palabra, palabras por oración y de

oraciones por párrafo, lo que nos permite calcular la legibilidad del

texto según los diferentes tests.

Se obtienen los valores de puntuación de legibilidad según

la prueba de nivel de grado de Flesch-Kincaid y la prueba de

facilidad de lectura de Flesch.

Ley de Zipf

Fue George Kingsley Zipf, de la Universidad de Harvard, quien en la década de 1940 formuló

esta ley empírica, según la cual la frecuencia de aparición de distintas palabras sigue

una distribución, para una determinada lengua, que puede aproximarse por Pn ≈ 1/na, donde Pn es la

frecuencia de la n-ésima palabra más frecuente y el exponente a es un número ligeramente superior a

1.

Veamos un ejemplo:

Análisis del artículo 41 Juegos de alineamiento: variantes del tres en raya publicado en la

revista NÚMEROS 102:

Legibilidad del texto

letras 32812

sílabas 14024

palabras 7039

frases 537

párrafos 209

letras por palabra 4.66

sílabas por palabra 1.99

palabras por frase 13.08

índice valor dificultad

Fernández Huerta 74.1 algo fácil

Gutiérrez 44.9 normal

Szigriszt-Pazos 69.63 bastante fácil

INFLESZ 69.63 bastante fácil

legibilidad µ 60.37 un poco difícil

https://support.office.com/es-es/article/obtener-la-legibilidad-del-documento-y-las-estad%C3%ADsticas-de-nivel-85b4969e-e80a-4777-8dd3-f7fc3c8b3fd2#__toc342546557

https://support.office.com/es-es/article/obtener-la-legibilidad-del-documento-y-las-estad%C3%ADsticas-de-nivel-85b4969e-e80a-4777-8dd3-f7fc3c8b3fd2#__toc342546557


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Frecuencias de aparición de las palabras:

Más cálculos:

Nivel de grado (Crawford): 4.8 (años de escuela necesarios para entenderlo).

Tiempo estimado de lectura: 35.2 minuto(s)

1611 palabras diferentes “entendibles” analizadas, más 245 nombres propios de personas o

juegos, palabras en otro idioma, raras o mal escritas. Todas ellas ordenadas por frecuencias.

Flesch Reading Ease

Esta prueba califica el texto en una escala de 100 puntos. Cuanto más alto sea el puntaje, más

fácil será comprender el documento. Para la mayoría de los archivos estándar, lo ideal es que la

puntuación esté entre 60 y 70.

La fórmula para el puntaje Flesch Reading Ease es:

206.835 - (1.015·ASL) - (84.6·ASW)

orden palabra frecuencia

1 que 134

2 o 98

3 del 81

4 juego 81

5 jugador 79

6 tablero 76

7 fichas 70

8 piezas 54

9 sus 43

10 jugadores 38

11 línea 32

12 sobre 30

13 color 29

14 con 28

15 para 28

16 ficha 27

17 de 24

18 diagonal 22

19 pieza 21

20 colocar 20

21 partida 20

24 vertical 19

25 cubo 19

26 cualquier 18

27 ser 18

28 cartas 17

29 horizontal 17

30 ha 15

31 x 15

32 objetivo 13

33 mismo 13

34 al 13

35 vez 13

36 pequeñas 13

37 dos 12

38 tarjetas 12

39 son 11

40 muy 11

41 primer 11

42 casillas 11

43 fila 11

44 todas 11

45 adversario 11

46 su 10

47 está 10

48 jugar 10

49 hacer 10

50 grandes 10

51 casilla 9

52 manera 9

53 boca 9


168

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E

G

O

S

J U

E

G

O

S


donde:

ASL = longitud promedio de la oración (la cantidad de palabras divididas por la cantidad de

oraciones)

ASW = número promedio de sílabas por palabra (el número de sílabas dividido por el número

de palabras)

Esta prueba califica el texto en un grado escolar de los Estados Unidos. Por ejemplo, un puntaje

de 8.0 significa que un alumno de octavo grado puede entender el documento. Para la mayoría de los

documentos, se obtiene una puntuación de aproximadamente 7.0 a 8.0.

Flesch-Kincaid Grade Level

La fórmula para el puntaje de Flesch-Kincaid Grade Level es:

(0.39·ASL) + (11.8·ASW) - 15.59

Donde ASL y ASW tienen los mismos significados que en la formula anterior.

Para otro momento dejamos apartados tales como:

EULOLOGÍAS, PALINDROMOS, CLASES DE NÚMEROS, ARITMOGRAMAS.

Y otras CURIOSIDADES LINGÜÍSTICAS.

Antes de despedirnos, aportamos otro tema que relaciona números, cálculo y palabras.

LUDOGEMATRÍA.

Curiosa correspondencia entre letras y números:

Asignamos a cada letra un valor entero, sin que se repitan, concretamente los siguientes:

A = -10 C = 22 D = 7 E = 8 H = 14 I = -20 N = –5

O = -14 R = -16 S = 9 T = 2 U = 20 V = -22 Z = 15

Con ellos, al sustituir en el nombre de cada número el valor de sus letras, obtenemos el número.

(Desde cero hasta quince, menos el doce y el trece).

Con estos otros valores sí conseguimos resolverlo para valores desde cero hasta quince.

A C D E H I N O Q R S T U V Z

-1 12 0 5 6 -13 -1 -5 5 -12 7 3 7 -7 18


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Pero si usamos números fraccionarios, no enteros, ampliamos la cantidad de números que

podemos poner en correspondencia, logrando veinte números. No parece haber solución para una

cantidad mayor de números en castellano.

Hasta el próximo

pues, y esperando como siempre sus

comentarios: un saludo.

Club Matemático

Bibliografía

Bermejo Meléndez, Belén; Las mejores adivinanzas; Ed. Libsa; Madrid, 2003

Caballero, Pino; Introducción a la criptografía; RA-MA Editorial; Madrid 1996.

Garfel, José L.; Fernández, Concha; Acertijero antológico español; Ed. Del Prado; Madrid, 1955.

Pelegrín, Ana; Cada cual que atienda a su juego; Ed. Cincel; Madrid, 1984.

Serra, Marius; Verbalia; Ed. Península; Barcelona, 2000.

i A: ¡Afloja¡ (A floja); B: Besola (B sola); C: Una cancha (Una C ancha)

N Ú M E R O S Revista de Didáctica de las Matemáticas

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A C D E H I N O Q R S T U V Z

139/13 80/13 114/13 84/13 268/13 -74/13 101/13 -122/13 -30/13 -42/13 34/13 -37/13 34/13 -186/13 6/13 SUMAS

0 C E R O 80/13 84/13 -122/13 -42/13 0

1 U N O 101/13 -122/13 34/13 1

2 D O S 114/13 -122/13 34/13 2

3 T R E S 84/13 -42/13 34/13 -37/13 3

4 C U A T R O 139/13 80/13 -122/13 -42/13 -37/13 34/13 4

5 C I N C O 160/13 -74/13 101/13 -122/13 5

6 S E I S 84/13 -74/13 68/13 6

7 S I E T E 168/13 -74/13 34/13 -37/13 7

8 O C H O 80/13 268/13 -244/13 8

9 N U E V E 168/13 101/13 34/13 -186/13 9

10 D I E Z 114/13 84/13 -74/13 6/13 10

11 O N C E 80/13 84/13 101/13 -122/13 11

12 D O C E 80/13 114/13 84/13 -122/13 12

13 T R E C E 80/13 168/13 -42/13 -37/13 13

14 C A T O R C E 139/13 160/13 84/13 -122/13 -42/13 -37/13 14

15 Q U I N C E 80/13 84/13 -74/13 101/13 -30/13 34/13 15

16 D I E C I S E I S 80/13 114/13 168/13 -222/13 68/13 16

17 D I E C I S I E T E 80/13 114/13 252/13 -222/13 34/13 -37/13 17

18 D I E C I O C H O 160/13 114/13 84/13 268/13 -148/13 -244/13 18

19 D I E C I N U E V E 80/13 114/13 252/13 -148/13 101/13 34/13 -186/13 19

Valores de las letras


ISSN: 1887-1984




I N F

O R

M A

C I O

N E

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Congresos

Nota: Algunos congresos pueden sufrir cancelaciones debido a las medidas que se están tomando

para contener la epidemia de Covid-19

Fecha: 12 al 19 de julio de 2020.

Lugar: Shanghai, China

Organiza: East China Normal University

Convoca: International Commission on Mathematical Instruction (ICMI)

Información: https://www.icme14.org/static/en/index.html



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Fecha: 29 y 30 de julio de 2020

Lugar: Universidad Autónoma de Madrid

Convoca: Sociedad Española de Investigación en Educación Matemática (SEIEM)

Sociedade Portuguesa de Invstigação em Educação Matemática (SPIEM)

Información: http://www.seiem.es

The 8th European

Congress of Mathematics

Fecha: Del 5 al 11 d Julio del 2020.

Lugar: Eslovenia. Convoca: European Mathematical Society.

Información: https://www.8ecm.si/



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Fecha: Del 20 al 24 de Julio de 2020.

Lugar: Montevideo. Uruguay.

Convoca: Unión Matemática de América Latina y el Caribe.

Información: https://www.clam2020.cmat.edu.uy/

Fecha: Del 7 al 9 de Julio de 2021.

Lugar: Cracovia. Polonia.

Convoca: Red de Investigación de Aprendizaje.

Información: https://sobreaprendizaje.com/congreso-2021


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Fecha: 8 al 12 de Julio de 2021.

Lugar: Faculdade de Ciências Exatas e Tecnologias da Pontifícia Universidade Católica de Sao

Paulo (PUC-SP). Brasil.

Organiza: Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM)

Convoca: Federación Iberoamericana de Sociedades de Educación Matemática (FISEM)

Información: https://www.pucsp.br/es.cibem2021/


ISSN: 1887-1984




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1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité editorial y los

de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.

2. Los trabajos se enviarán por correo electrónico a la dirección: [email protected]

3. Los trabajos presentados para su posible publicación deben ser originales y no estar en proceso de revisión

o publicación en ninguna otra revista.

4. Se presentarán dos versiones del artículo. Una versión con toda la información y otra “versión ciega”, en la

que se hayan eliminado todas las referencias a los autores del trabajo. Tanto en el cuerpo como en la

bibliografía.

5. Los artículos remitidos para publicar deben tener las siguientes características:

• Se enviarán en el formato de la plantilla que se encuentra en la página web de la revista.

• Tendrán un máximo de 25 páginas incluidas notas, tablas, gráficas, figuras y bibliografía.

• Los datos de identificación de los autores deben figurar en la última página: nombre, dirección electrónica,

dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de evaluación, esos datos

sólo estarán en esta última página.

• Al final del artículo se incluirá una breve nota biográfica (no más de cinco líneas) de cada uno de los

autores, en la que se puede incluir lugar de residencia, centro de trabajo, lugar y fecha de nacimiento,

títulos, publicaciones... Se indicarán las instituciones a las que pertenecen.

• Hay que incluir un Resumende no más de diez líneas y una relación de palabras clave; también, en inglés,

un Abstract y un conjunto de keywords.

• Se hará figurar las fechas de recepción y aceptación de los artículos.

• Tipo de letra Times New Roman, tamaño 11 e interlineado sencillo. Es importante no cambiar el juego de

caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.

• Para las expresiones matemáticas debe usarse el editor de ecuaciones.

• Las figuras, tablas e ilustraciones contenidas en el texto deberán ir incluidas en el archivo de texto (no

enviarlas por separado).

• Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el autor, año de

la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).

• Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto, ordenadas

alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:

o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y científicos en los

niños. Madrid: Morata.

o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on whole number

addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on Mathematics Teaching and

Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New York.

o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a conceptual domain.

Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.

o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008). Estímulo del

talento precoz en matemáticas.Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de febrero de 2009, de

http://www.sinewton.org/numeros/

6. Los artículos recibidos se someterán a un proceso de evaluación anónimo por parte de colaboradores de la

Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo se publique, con

modificaciones o sin ellas, o que no se publique.

7. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial. Si a

juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor con las

observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios propuestos,

comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en un periodo no

mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado que el autor ha

desistido de su intención de publicar en la Revista.

