Non-linear fracture mechanics

き裂先端付近の塑性変形

塑性域R

Δ

破壊進行領域

応カ特異場Ω

RΔ ≈ ΩR ≈ Ω

Hutchinson, Rice and Rosengren

全ひずみ塑性理論に基づいた解析、現段階のひずみは、除荷がないとすると現段階の応力で一義的に決まる。単純引張り時の応カーひずみ関係(構成方程式)：

( ) ( )n

y y y

ε σ σαε σ σ

= + (1)

ここで、α,n定数， /y y Eε σ= 。

全ひずみ塑性理論とミーゼスの降伏条件を用いると、(1)式に帰着する応カーひずみ一般形は:

11 1 2 3 ( )3 2

neij ij pp ij ij

y

S SE E E

σμ μ αε σ σσ

−+ −= + + (2)

で表わされ、除荷はないものとする。ここで、σijフロネッカーデルタ： 1

3ij ij kk ijS σ σ σ= −

2 32e ij ijS Sσ =

偏差応力

相当応力(3)

平面ひずみでは、

平面応力では、2 2 2 3e r r rθ θ θσ σ σ σ σ σ= + − +2 2 23 ( ) 3

4e r rθ θσ σ σ σ= − +

物体力，慣性力，熱ひずみを無視する。

Airyの応カ関数 (r,θ)を用いると、χ1 2

r r rσ χ χ− −′= + ii

θσ χ′′=1( )r rθσ χ− ′= − i

(4)

で、応カが表わされるので、応カの釣合方程式：

1 1( ) 0r r rr rθ θσ σ σ σ− −′ + + − =i

1 12 0r rr rθ θ θσ σ σ− −′+ + =i(5)

を満たす、ここで: ( )r∂′ =∂

( )θ∂

=∂

i, 。

式(4)を式(2)、(3)に代入し、各ひずみ成分を の関数として表わし、ひずみ適合条件に代入する。

χ

1 2 1 2 1( ) 2 ( ) 0r r rr r r r rεθ θε ε ε− − − − −′′ ′+ − − =ii i

平面応力下では、

(6)

( )4 1 1 1 2 1 12 6 ( )2

n ne er r r r r rαχ σ χ χ χ σ χ

•− − − − − −⎧ ′′ ′⎡ ⎤′′ ′ ′⎡ ⎤∇ + − − +⎨ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩ii i

( )1 1 1 22 2ner r rσ χ χ χ− − − − ′⎡ ⎤′ ′′+ − − +⎣ ⎦

ii

( ) }2 1 1 22 2 0ner r rσ χ χ χ− − − −⎡ ⎤′′ ′+ − + + =⎣ ⎦

iiii (7)

2 2 2 24

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1( )( )r r r r r r r rθ θ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∇ = + + + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

(8)

をrで級数展開して、 としたとき、は次式で表わされ

るとする:χ 0r →

2 ( )K rχ σ χ θ= (9)

(9)式を(7)式に代入すると、 (7)式の第1項は微小量となるので、

無視できる。

{ }[ ] [ ]

[ ] ( )

21

2

1

1

( 2) ( 3) 2

( 2) 1 ( 2) (2 3)

6 ( 2) 1 ( 1) 0

ne

ne

ne

n s s s

n s n s s s

n s s

σ χ χθ

σ χ χ

σ χ

− ••

− ••

•− •

⎡ ⎤∂ ⎡ ⎤− − − − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦∂⎣ ⎦⎡ ⎤− + − − − +⎣ ⎦

− + − =

i

i i

i (10)

ここで、 は で表わしたときに現われる の

関数である。

eσ 2 ( )se eK rσσ σ θ−= θ

平面ひずみでは、

[ ] { }[ ]

21

2

1

( 2) ( 2) 2 (2 )

4( 1) ( 2) 1 ( ) 0

ne

ne

n s n s s s

s n s

σ χ χθ

σ χ

− ••

− • •

⎧ ⎫∂ ⎡ ⎤− − − + − + +⎨ ⎬ ⎣ ⎦∂⎩ ⎭− − + =

i

(11)

モードIを考え、き裂面に表面力が働いていないとすると、境界条

件、 は( 0 0, 0)r r rθ θ θθ σ σ θ π σ σ′= = = = = =で で

(0) (0) 0χ χ• = =iii

( ) ( ) 0χ π χ π= =i

(9)式を(2),(3),(4)式に代入することにより、

(12)

2 ( 2)( ), ( )s n sij ijO r O rσ ε− −= =

J積分の径路独立性を利用すると、1( )ij ij O rσ ε −=

であることがわかる、

( 2) ( 2) 1s n s− + − = −2 1

1nsn+

=+

(13)

は(10)又は(11)を(12)の境界条件のもとで数値的に解くことによって得られる。従って、き裂先端付近(r/a<<1)の応カ、ひずみ、変位は(HRR)解

( )χ θ

11

11

1

11

( )

( )

( )

( )

nij ij

ne e

nn

ij ij

ni i

K r

K r

K r

u K r u

σ

σ

ε

ε

σ σ θ

σ σ θ

ε ε θ

θ

−+

−+

−+

+

=

=

=

=

(14)

は塑性応力拡大係数、Kσ は塑性ひずみ拡大係数。Kε

半径rの小円でき裂先端に中心がある

2Γ

r(15)

J積分が有限であるためにはrに関して、

と同じオーダでij ijσ ε1( )ij ij O rσ ε −=

Wはひずみエネルギー密度であり0

ij

ij ijW dεσ ε= ∫

および は表面力および変位であり、それぞれ応力 およびひずみ と次の関係がある。

iT iu ijσ

ijε

, ,( ) / 2i ij j

ij i j j i

T n

u u

σ

ε

=

= +

(16)

は曲線 の外向き単位法線の 方向成分であり、( ,j)= を示す。

O

jn Γ jX / jX∂ ∂

(17)

21

( )ii

uJ WdX T dXΓ

∂= − Γ

∂∫

J積分の積分経路独立性

J積分の積分経路独立性

1Γ2Γ x

y

A1

A2

C2

C1

1 2(1) (2) 2 2

1 1

( ) ( )i ii i

u uJ J WdX T d WdX T dX XΓ Γ

∂ ∂− = − Γ − − Γ

∂ ∂∫ ∫

1 22

1

( )ii

uWdX T dXΓ −Γ

∂= − Γ

∂∫

き裂面上では、dX2=0であり、かつ仮定により

Ti=0であるから、 は閉曲線を形

づくるので、Gaussの発散定理を用いて線積分を

面積分に変更すると、

1 2 1 2C CΓ −Γ + +

(18)

1 2(1) (2)

1 1 1

( )ij ij iijA A

j

uWJ J dAX X X X

ε σσ

−

∂ ∂ ∂∂− = − −

∂ ∂ ∂ ∂∫∫ (19)

ここで、 および式(17)を用いた。式(16)より2 1dX n d= Γ ijij

Wσε∂

=∂

材料はX1方向には均質で、1 1 1

ij ijij

ij

W WX X X

ε εσ

ε∂ ∂∂ ∂

= =∂ ∂ ∂ ∂

(20)

物体力および慣性力を無視して、 0ij

jXσ∂

=∂

、式(19)より (1) (2) 0J J− =

J積分とき裂先端付近の力学量の関係

半径rの小円でき裂先端に中心がある

2Γ

r1

( cos )ii

uJ r W T dx

π

πθ θ

−

∂= −

∂∫ (21)

J積分が有限であるためにはrに関して、

と同じオーダでij ijσ ε1( )ij ij O rσ ε −=

O

いま、 上でHRR解が成立しているとすると、2Γ

(22)1( )nY Y

Y

KJ Inσαε σσ

+=1

( )nn

Y YY

K Inεαε σασ

+

=

KσとKεをJで表わすことにして、式(2)をJで表示する：

(HRR)解 (23)

1 11 1

1 1

1[ ] ( ) ( )

1[ ] ( ) ( )

n nij Y ij

Y Yn n

n nij Y ij

Y Y

JIn r

JIn r

σ σ σ θαε σ

ε αε ε θαε σ

+ +

+ +

=

=

弾性域にむける、K支配領域内に円形の積分径路 をとり、1Γ

1Γ 2Γ

弾性域

塑性域

11

22

33

31 sin sin2 2

3cos 1 sin sin2 2 22

3sin sin2 2

Kr

θ θ

σθ θ θσ

πσ θ θ

⎧ ⎫−⎪ ⎪⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= +⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

を(1)式に代入すると、モードＩに対して

22

2

1I

I

g KE

KgE

J

J

ν−= =

= =

平面ひずみ

平面応力

(25)

(24)

（25）式を(1)式に代入すると、モードⅡに対して2

2

2

1II

II

g KE

Kg

J

EJ

ν−= =

= = 平面応力

平面ひずみ

(26)

21IIIJ K

Eν+

=モードⅢに対して

各モードが重ね合わさっている場合には、

(27)

22 2 21 1( )

2 2I II IIIJ K K Kνμ μ−

= + +

J積分と結合力モデル:

(28)

22 2 2 101 1

( )ii

uJ T d u u dXX X

ξσ + −

Γ

∂ ∂= − Γ = − −

∂ ∂∫ ∫

101

dXX

ξ δσ ∂= −

∂∫0

10 0 01

[ ( ) ] ( )J d dX dX

ξ δ δσ δ δ σ δ δ∂

= − =∂∫ ∫ ∫ (29)

Dugdaleモデル 0YJ σ δ=

平面応力 0YJ mσ δ=

(30)

(31)

J積分の評価方法(Riceの方法)

物体

き裂の形状一寸法

外荷重

FEM

三点曲げ試験片：非線形弾性体に対して、J積分はエネルギー解放率であると、考える。

0

1 ( )PJ dB a

Δ ∂= − Δ

∂∫ 0

1 ( )P

PJ dPB a

∂Δ= −

∂∫or

曲げ試験片に対して、変位角に置き換えて

0

1 ( )M

MJ dMB b

θ∂= −

∂∫

2( )crackMf

b Bθ =

(32)

(33)

nocrack crackθ θ θ= + 、

A

M P

θ Δ

3 2

2 2( ) ( ) ( ) ( )crack crackM M b

M M Mfb b b B b B b M

θ θθ ∂ ∂∂ ′− = − = =∂ ∂ ∂

0 0

2 2 2crack crack

crack crackAJ Md Pd

bB bB bBθ

θΔ

= = Δ =∫ ∫

(34)

(35)

Δ

ψ

荷重Pによってリガメント部にモーメントが生じる場合

J積分の簡便評価式

破壊開始条件

破壊進行領域の大きさrproがHRR解の支配的

な領域の大きさrHRRに比べて非常に小さい場

合、すなわち

pro HRRr r

が成立する場合には、小規模破壊進行領域

を考えて、破壊進行領域内の微視過程はHRRの特異応力場の強さによって規定されると考

えられる。

Ｊ積分の値が一定の臨界値に達すると破壊

が開始する。モードⅠの破壊開始条件は

式(25)から、

IcJ J=

221

Ic IcJ KEν−

= (38)

(37)

(36)

鈍化を考慮にいれたき裂先端付近の強変形域の大きさを仮にrproと等しい、

02ror δ≅ (39)

塑性変形が進行した状態では、HRR解の支配的な領域の大きさrHRRは、き裂長さaやリガメント長さbなどに比例する。式(36)は

,Ic

flow

JM a bσ

< (40)

塑性拘束の小さい中央き裂引張試験片は三点曲げ試験片よりrHRRもが

小さい。

き裂の安定成長と不安定破壊

ひずみの変化はJの変化dJとaの変化daによって生じる 、式(23)より

1 11 1 1 1

1

( ) [ ( )]1

n nn n n n

ij n ij n ijnd k J dJr k J da r

n Xε ε θ ε θ

− − −+ + + +∂

= −+ ∂

ここで、/( 1)/ ( )n n

n Y Y Y nk a a Iε ε σ

(41)

+=

1

sincos ( ) ( )( )X r r

θθθ

∂ ∂ ∂= −

∂ ∂ ∂

/( 1)

( ) [ ( ) ( )]1

n n

ij n ij ijJ n dJ dad kr n J r

ε ε θ β θ+

= ++

(43)

(42)

ここで、

( ) ( / ( 1)) cos ( ) sin ( ( ) / )ij ij ijn nβ θ θε θ θ ε θ θ= + + ∂ ∂ (44)

比例負荷によるひずみの変化が支配的となる、HRR解が良い近似解となるため

の必要条件は da dJr J

塑性変形が進行した状態では、HRR解の支配する領域の大きさrHRRは、き裂

長さaやリガメント長さbなどに比例する、上式のrをbに置き換える、

1ω b dJJ da

ω =ただし、

(45)

(46)

( , ) ( )matJ a p J a= Δ (47)

有限なコンプライアンスを

もつ荷重機構とき裂材

(48)mat

r

mat

r

dJJa da

dJJa da

Δ

Δ

∂⎛ ⎞ <⎜ ⎟∂⎝ ⎠∂⎛ ⎞ >⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(49)不安定

安定

mat

mat

T TT T<

> 不安定

安定

(50)

2

2

TY

matmat

TY

E JTa

JETa

σ

σ

Δ

Δ

∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠∂⎛ ⎞= ⎜ ⎟∂⎝ ⎠

(51)