non-stationary signal analysis methods for vision defect...
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Journal of Institute of Control, Robotics and Systems (20xx) xx (xx): xxx-xxx
DOI:10.5302/J.ICROS. 20xx.xx.xx.xxx ISSN:1976-5622
비젼 결함 검사를 위한 비정상 신호의 순간 주파수 결정 기법
Non-stationary signal analysis Methods For Vision Defect Inspection
정 창 도, 이 승 훈, 주 영 복, 허 경 무* (Chang-do Jung, Seung-hoon Lee, Young-bok Joo1, Kyung-moo Huh2)
1Korea University of Education and Technology, 2Dankook University
Abstract: 비선형적인 위상 변화를 지닌 비정상 신호(non-stationary)신호는 머신 비전, 레이더. 통신(telecommunication),
생체공학, 지질탐사, 음향 등 여러 분야에서 쉽게 접하는 신호이다. 비정상신호는 일반적으로 시간에 따라 신호의
물리적 특성이 변화하는 신호를 의미하며, 머신 비전에서는 결함 후보군의 탐지를 위해 유용하게 활용될 수 있다.
이를 위하여 본 논문에서는 웨이브렛 모듈러스를 이용한 Ridge 결정 방법을 사용하였으며 이 방법의 장점은 페이즈
의 미분 없이 직접 웨이브렛 에너지의 최대점을 추출하는 방법으로서 정상 및 비정상 신호(Non-stationary signal) 또
는 멀티스케일 신호의 시간에 따른 주파수 변화 특성을 표현하는 순간 주파수를 결정할 수 있다. 이 논문에서는 이
러한 순간 주파수를 결정하기 위한 방법으로서 연속 웨이브렛 변환을 적용하였으며 실험결과 신호에 여러 개의 주
파수 성분이 중첩되거나 또는 노이즈에 의해 신호가 간섭을 받는 경우에도 웨이브렛 Ridge를 통해 정확하게 신호의
중심 성분 및 노이즈의 주파수 변화를 표현할 수 있음을 보였다.
Keywords: Inspection, analysis methods, Non-stationary signal
Ⅰ. 서 론
웨이브렛 변환은 스케일에 따라 크기가 변화하는 웨
이브렛의 특성을 이용하여 임의의 신호 ( )f t 의 “시간
-스케일”종속관계를“시간-스케일”공간에 표현하는
도구이며, 신호가 비정상 상태(non-stationary)인 경우,
즉 시간에 따라 신호의 물리적 특성이 변화하는 경우
웨이브렛 변환은 신호의 부분적인 또는 전체적인 스케
일 특성을“시간-스케일”공간에 정확하게 표현한다.
이와 같은 웨이브렛 변환의“시간-스케일”성분 분리
특성으로부터 순간 주파수를 결정할 수 있으며, 이를
이용하여 주파수 변조 신호(FM signal)에 대한 구체적
인 분석이 가능하다. 다음 그림은 코사인 함수로 구성
된 LFM(Low frequency Modulation)신호의 순간주파수를
그림으로 표현한 것이다.
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
f(t2)f(t
1)
f(t)
t ft1 : 시간t1에서의 주파수, ft2 : 시간t2에서의 주파수
( ) cos(2 ln(1 ))sf t t t
그림 1. LFM(Low frequency Modulation) 신호
Fig 1. LFM signal
순간 주파수는 FM신호의 시간에 따른 주파수를 의미
하며, FM신호와 관련된 부분에서 신호의 특성을 파악
하기 위한 중요한 파라미터이다. 이 논문은 웨이브렛
변환을 이용하여 한 순간 주파수 결정 방법에 대하여
논하며, 기존의 힐버트(Hilbert)변환을 이용한 방법과
비교하여 그 특성을 논하였다. 이 논문의 2장은 힐버
트 변환을 이용한 LFM신호의 순간 주파수 방법과 노
이즈 및 물리적 특성이 다른 성분이 중첩된 경우의 힐
버트 변환을 이용한 순간 주파수 결정의 한계에 대해
서 논하였으며, 3장은 웨이브렛 변환의 모듈러스와 페
이즈에 대하여 논하였고 4장은 이를 이용한 순간 주파
수 결정 방법에 대하여 논하였다.
Ⅱ. 해석 신호(Analytic Signal) 및 순간 위상
(Instantaneous phase)
해석신호(Analytic Signal) )(tZ 는 실수부(Real Part)와
허수부(Imaginary Part)로 구성된 합성신호이며,
)()()( tjxtrtz 로 표시한다. 이는 다시 극좌표 형태
로 ( ) A(t)exp[j (t)]z t 로 나타낼 수 있고, 여기서
)(t 를 시간의 함수로서 )](/)([tan)( 1 txtrt 로 주어지
는 순간 위상(instantaneous phase)라 정의한다. 순간 위
상의 미분을 통해 순간 주파수(Instantaneous frequency)
가 정의된다. 일반적으로 LFM(Low frequency
Modulation) 신호 등 관찰되는 실수신호(Real Signal)로
부터 순간 주파수를 구하기 위해서 힐버트 변환(Hilbert
Transform)이 이용하여 신호 ( )f t 의 해석신호 )(tZ 를
구한 후 이로부터 순간주파수를 결정한다. 이 방법은
신호의 순간 주파수를 구하는 쉬운 방법이기는 하지만
주파수 변조가 중첩되거나 노이즈(noise)등의 영향을
받을 경우에는 정확한 순간 주파수의 결정이 어렵게
된다. 이 장에서는 힐버트 변환을 이용한 순간주파수
결정 방법과 웨이브렛을 이용한 순간 주파수 결정 방
Copyright(C) ICROS 2010
* 책임저자(Corresponding Author)
논문접수: 20xx. xx . xx., 수정: 20 xx. xx. xx., 채택확정: 20 xx. xx. xx.
주영복 : 한국기술교육대학교 컴퓨터공학부
허경무 : 단국대학교 전자공학과
정 장 도, 이 승 훈, 주 영 복, 허 경 무
2
법에 대하여 논한다. 다음은 진폭과 위상이 시간의 함
수로 표현되는 신호를 나타낸 것이다.
tttA
ttAtf
],2,0[)(,0)(
),(cos)()(
(1)
만일 신호가 진폭 ( )A t 에 의한 시간 변화보다 위상 변
화( ( )t )에 의한 영향을 더 많이 받고, 위 신호에 대
응하는 복소수 신호가 eti
tAtZ)(
)()(
와 같이 주어질
때 위 신호를 Asymptotic신호라 한다. 예를 들어 다음
의 함수를 보자.
))1ln(2cos()( ttftf s
(2)
다음 그림은 위식 (2)를 이용한 함수 및 이에 대한 퓨
리에 변환을 나타낸 것이다.
0 2 4 6 8 10 12
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
f(t)
t (a) LFM (Low frequency Modulation) 신호
-30 -20 -10 0 10 20 30
0
10
20
30
40
50
60
F(f)
f (b)퓨리에 변환
그림 2. asymptotic 신호 및 퓨리에 변환
Fig 2. Asymptotic signal and fourier transform
위 그림에서 신호는 ( ) 1A t 이며, ( )t 에 의한 변
화에 의해 신호의 주파수가 변화한다. 이와 같은 신호
는 LFM(Linear Frequency Modulation)신호의 일종이며
시간에 따라 주파수가 변화한다. 위 신호는 진폭의 변
화보다는 코사인함수의 시간에 의한 변화에 의존하며
따라서 전형적인 asymptotic신호이다. Asymptotic신호에
대해 실수 부분 ( )f t 에 대응하는 허수 부분 ( )f t
로 구성된 analytic함수 ( ) fZ t 는 다음과 같이 정의 된
다.
)()(
)()()()()(
tftf
tfitftAtZ eti
f
(3)
위 식에서 허수 부분은 해석함수의 정의에 의해 힐
버트(Hilbert) 변환을 통해 실수부분과 같아진다. 힐버
트 변환은 다음과 같이 정의 된다.
d
t
ftfHth
)(1)}({)( (4)
퓨리에 영역에서 위식은 다음과 같이 된다
)()sgn()}({)( FjFHth (5)
여기서 sgn( ) 는 다음 식으로 정의된다.
0,1
,0
0,1
)sgn(
(6)
따라서 analytic함수 ( ) fZ t 는 다음과 같이 정의 된다.
)}({)()( tfjHtftZ f (7)
위 식의 퓨리에 변환은 다음과 같이 주어진다.
00
0)(2
)()sgn()()(
F
FFZ f
(8)
따라서 Asymptotic 신호에 대한 해석 신호는 음의 주
파수 대역의 스펙트럼은 0이 되고 양의 주파수 대역의
스펙트럼은 2배가 된다. 다음 그림은 식(2)의 신호에
대한 analytic함수의 스펙트럼 변화를 나타낸 것이다.
-30 -20 -10 0 10 20 30
-60
-40
-20
0
20
40
60
F(f
)
f
-30 -20 -10 0 10 20 30
-60
-40
-20
0
20
40
60
F(f
)
f
-30 -20 -10 0 10 20 30
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
sg
n(f
)
f
-30 -20 -10 0 10 20 30
-100
-50
0
50
100
F(f
)
f
(a) asymptotic 신호의 스펙트럼
(b) asymptotic 신호의 허수부분의 힐버트 변환
후 스펙트럼
(c) sgn( )f 의 그래프
비젼 결함 검사를 위한 비정상 신호의 순간 주파수 결정 기법
3
(d) 해석함수(analytic signal) ( ) fZ t 의 스펙트럼
그림 3. Asymptotic 신호에서 해석 신호(analytic signal)로의 스
펙트럼 변화과정
Fig 3. Spectrum transformation process to the output signal from
the input signal
해석 신호가 실수부분과 허수부분으로 구성되어
있으며, 다음과 같이 실수부와 허수부의 극좌표
형태로 표현될 수 있다.
etZj
fff
tZtZ)(arg
)()( (9)
22 )()()( tZtZtZ fff (10)
)(
)(tan)()(arg 1
tZ
tZttZ
f
f
zf
(11)
순간 주파수(instantaneous frequency)는 다음과 같이
위상의 시간에 대한 미분으로 정의된다.
0)(
2
1)(
dt
tdt z
i
(12)
다음 그림은 식 (2)의 asymptotic 신호에 대하여 힐
버트 변환을 이용한 순간 주파수 결정과정을 표현한
것이다.
0 2 4 6 8 10 12
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
f(t)
t (a) Asymptotic signal
0 2 4 6 8 10 12
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(t)
t (b) 힐버트 변환 에서 구해진 순간 위상
(Instantaneous phase)
0 2 4 6 8 10 12
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
i(t)
t (c) 순차적으로 2를 더하여 변곡점을 제한 순간 위상
(unwrapped phase)
0 2 4 6 8 10 12
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
f i(t)
t
(d) 순간 주파수(Instantaneous frequency) 위상의 시간
변화에 따른 기울기- 미분
그림 4. Asymptotic 신호의 순간주파수 결정
Fig 4. Instantaneous frequency determination of Asymptotic
signal
힐버트 변환을 이용한 순간 주파수 결정방법은 직접
적이면서도 간단하지만, 신호의 주파수가 급격히 변하
거나, 또는 노이즈에 의해 영향을 받을 경우 직접적인
연산으로는 순간주파수의 정확한 추출이 거의 불가능
하다. 다음 그림은 이 같은 신호에 대한 힐버트 변환
을 이용한 순간주파수 추출을 나타낸 것이다.
0 1 2 3 4 5
-2
-1
0
1
2
f(t)
t
0 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(t i)
t
0 1 2 3 4 5
0
50
100
150
200
(t i)
t
0 1 2 3 4 5
-50
0
50
100
150
f(t i)
t
그림 5. Non-stationary 신호에 대한 순간 주파수
Fig 5. Instantaneous frequency determination of Non-
stationary signal
위 신호는 주어진 시간에서 여러 개의 주파수가 중
첩되어 형성된 비정상 신호(Non-stationary signal)에 대
하여 힐버트 변환을 이용한 순간 주파수 결정을 나타
낸 것이다. 이와 같은 경우 순간 주파수는 신호의 주
파수 중첩으로 인하여 아무런 물리적 의미를 나타내지
못 한다. 다음 LFM 신호에 백색 노이즈를 부여한 경
우이다. 신호가 노이즈에 영향을 받은 경우 또한 페이
즈의 미분이 순간주파수에 민감한 영향을 미치며 노이
즈가 증가하게 되면 순간 주파수에 대한 정보를 제대
로 추출하기 어려워진다.
0 2 4 6 8 10
-2
-1
0
1
2
f(t)
t
0 2 4 6 8 10
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
(t)i
t
0 2 4 6 8 10
0
100
200
300
400
500
(t) i
t
0 2 4 6 8 10
-150
-100
-50
0
50
100
150
f(t i)
t 그림 6. Noise의 간섭을 받은 LFM신호에 대한 순
간 주파수 추출
Fig 6. Instantaneous frequency determination of LFM signal
received interference noise
힐버트 변환을 이용한 순간주파수 결정방법은 신호
의 주파수가 중첩되거나 노이즈에 영향을 받은 경우에
는 위 그림과 같이 정확하게 시간에 따른 주파수의 변
화를 읽을 수 없다. 반면에 웨이브렛 변환을 이용한
정 장 도, 이 승 훈, 주 영 복, 허 경 무
4
순간주파수 결정 방법은 위에서 논한 문제점에 영향을
받지 않고 정확하게 순간 주파수를 결정할 수 있다.
웨이브렛을 이용한 순간주파수 결정은 Ridge라 정의되
는 “시간-스케일”공간에서의 stationary point에서부터
결정된다. Ridge는 직역하면 능선 또는 융기 등으로
표현되며 웨이브렛 변환의 경우“시간 – 스케일”공
간에서의 주어진 시간에서의 최대 에너지를 나타내는
지점을 의미한다. Ridge를 이용하면 위에서 논한 힐버
트 변환을 이용한 직접적인 방법에서 구할 수 어려운
순간주파수를 정확하게 추출할 수 있으며, 적용 가능
한 신호가 Asymptotic에 국한된 것이 아니라 모든 신호
의 순간 주파수 결정에 유효한 방법이다. 다음 그림은
웨이브렛 변환을 이용한 Ridge를 나타낸 것이다.
(a) 노이즈의 영향을 받은 LFM신호에 대한 Ridge
(b) Non-stationary 신호에 대한 Ridge )(ba r 결정
그림 7. 웨이브렛 변환을 이용한 Ridge결정
Fig 7. Ridge decided Using Wavelet Transform
Ridge는 “시간-스케일”공간에서 에너지가 집중되는
지점이며, Ridge가 발생하는 지점에서의 스케일의 역수
가 순간주파수가 된다. 즉 다음과 같이 순간주파수가
결정 된다.
)(
1)(
batf
ri (13)
Ⅲ. 웨이브렛의 특성 및 연속 웨이브렛 변환의
정의 – 웨이브렛 모듈러스 및 페이즈 특성
웨이브렛 변환은 비정상 신호 ( )f t 의 시간-스케일 종
속관계를 가시화하는 유용한 도구이며, 이를 통해 비
정상 신호 ( )f t 의 ‘시간-스케일” 종속관계를 나타내는
순간 주파수 ( )if t 가 결정될 수 있다. 웨이브렛 변환
을 이용한 순간 주파수의 결정 방법은 신호의 물리적
인 상태에 관계없이 즉 정상 상태 또는 비정상 상태
모든 신호에 적용될 수 있으며, 웨이브렛 변환의 페이
즈와 모듈러스를 이용하는 방법이 있다. 예를 들어 웨
이브렛 변환이 asymptotic 신호 ( )f t 의 순간 주파수를
결정할 수 있는 이유는 웨이브렛이 지니는 asymptotic
특성과 asymptotic 신호의 특성이 웨이브렛의 스케일과
신호의 부분적인 또는 전체적인 스케일이 일치하거나
근접하는 영역에서 일치하기 때문이다.
Asymptotic 신호 ( )f t 에 대하여 복소수 웨이브렛을 사
용하여 웨이브렛 변환을 실행할 경우 다음과 같이 웨
이브렛 변환 모듈러스와 페이즈를 정의할 수 있다.
))(
)(()(
)(exp)()(*1
)()(
,
,1
,
,,,
tW
tWtgt
titWa
t
atfxW
f
ab
f
abf
ab
f
ab
f
ab
f
ab
(14)
웨이브렛 모듈러스 )(, tW f
ab는 “시간-스케일” 공간에
서 웨이브렛의 크기와 신호의 부분적인 또는 전체적인
크기가 일치하는 지점에서 최대값을 형성하며, 이를
스칼로그램(scalogram)이라 정의한다.
0 5 10 15 20
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
f(t)
t (a) 음향신호 (N=2048, dx=0.01)
(b) 웨이브렛 모듈 |)(| , tWf
ab: 스칼로 그램
그림 8. 음향신호에 대한 웨이브렛 변환의 모듈러스
Fig 8. Modulus of the wavelet transform of the acoustic signals
웨이브렛 페이즈는 복소수 웨이브렛을 사용하였을 경
우 정의되는 신호 ( )f t 의 순간 페이즈 (instantaneous
phase)를 표현하는 “시간-스케일” 공간이다. 웨이브렛
모듈이 신호의 스케일 정보를 표현하는 반면에 웨이브
렛 페이즈는 신호의 변곡점(Peaks, valleys)을 따라서 -
에서 +까지 변화한다. 신호의 순간 페이즈 )(ti 는 순
간 주파수를 결정하는데 필요한 파라미터이며 일반적
으로 신호 ( )f t 의 순간페이즈를 결정하기 위해서는 힐
버트(Hilbert) 변환을 이용해야 하지만 웨이브렛 변환의
경우 복소수 웨이브렛의 페이즈에 의해 연산과정에서
쉽게 구해진다. 전체 시간-스케일 공간에 대한 페이즈
를 표현한 공간을 페이조그램(Phasogram)이라 한다. 페
이조그램은 웨이브렛에 의해 각 스케일에서 분해된 신
호의 순간 페이즈를 표현하며, 웨이브렛에 의해 분해
된 신호의 변곡점에 따라 페이즈가 변화하며 이에 따
라서 신호의 변곡점의 분포를 관찰할 수 있다.
비젼 결함 검사를 위한 비정상 신호의 순간 주파수 결정 기법
5
(c) 웨이브렛 페이즈 )(, tf
ab : 페이조그램
(d) 웨이브렛 페이즈 )(, tf
ab : 페이조그램 - shrinkage
적용
그림 9. 음향신호에 대한 페이조그램 (가버 웨이브렛 =1)
Fig 9. Phasegram of the sound signal
웨이브렛 페이즈는 가시적으로는 신호 ( )f t 의 순간 페
이즈 정보를 표현하며, 페이즈의 기울기는 신호의 특
성을 분석하기 위한 실적인 물리적 정보를 지니고 있
다. 신호 ( )f t 의 주파수와 페이즈가 단일주파수이며, 웨
이브렛의 주파수와 페이즈가 이와 일치할 경우 웨이브
렛 페이즈의 기울기 즉 시간에 따른 페이즈의 변화는
일정하다. 다음 그림은 단일주파수를 지닌 사인함수의
웨이브렛 페이즈를 나타낸 것이다.
(a) 페이즈그램 ( Morlet 웨이브렛 , =1, f0=1)
(b) a=1에서의 웨이브렛 페이즈
0 5 10 15 20
-20
0
20
40
60
80
100
120
140
unwrap
ed pha
se
t
(c) unwrapped phase
0 5 10 15 20
0.0
0.2
0.4
d w/dt
t
(d) 페이즈의 시간 미분
그림 10. 사인함수에 대한 웨이브렛 페이즈 추출
Fig 10. Wavelet phase extraction for the sine function
위 그림은 웨이브렛 페이즈에 2를 순차적으로 더하
여 페이즈의 불연속선을 제하여 페이즈를 나타낸 것이
다. 시간에 대한 기울기의 변화는 시간에 대한 페이즈
의 미분으로 표시될 수 있다. 기울기의 변화가 없는
경우에는 페이즈의 미분 )'(, tf
ab 은 시간에 대하여 일정
한 값을 유지한다. 위 그림은 직선으로 표시된 페이즈
에 대한 시간 미분을 나타낸 것이다. 위 그림에서 미
분 양끝의 값은 웨이브렛 페이즈의 edge 효과에 기인
한 것이며 실제 사인함수의 페이즈에 대한 기울기는
일정함을 나타낸다. 따라서 웨이브렛 페이즈의 기울기
변화는 웨이브렛 모듈의 에너지가 상대적으로 크게 존
재하는 영역에서는 변하지않는다. 일반적으로 신호
( )f t 의 순간 페이즈에서 기울기 변화가 없는 구간을
정적인 지점(stationary point)라하며 결국 웨이브렛 페이
즈는 신호 ( )f t 의 정적 지점을 표현하며, 이를 통해서
다음 장에서 논할 주파수 변조신호의 순간 주파수가
결정된다. 이 같은 특성은 복소수 웨이브렛이 지니고
있는 모듈과 페이즈에 의한 것이다. 웨이브렛의 페이
즈는 모듈이 존재하는 영역에서 일정한 기울기를 지니
며, 이 대역에서의 주파수에 대한 페이즈의 미분 즉
기울기는 일정하다. 복소수 웨이브렛을 이용하여 웨이
브렛 변환을 연산하면 모듈은 신호 ( )f t 와 스케일의
크기가 일치하거나 근접하는 영역에서 최대값을 지니
며, 이때의 웨이브렛 변환의 페이즈 )(, tf
ab 의 기울기
는 일정하게 유지된다. 대표적인 복소수 웨이브렛인
가버 웨이브렛은 다음과 같이 정의된다.
eetfi
t
t02
2
22
4/12 )(
1)(
(15)
위 식은 오일러 정의에 의해 다음과 같이 모듈과 페
이즈로 정의된다.
)(
)(tan)(
,)()()(
1
)(22
t
tt
ttt etj
(16)
웨이브렛은 다음과 같은 허용 가능 조건 (admissibility
condition)을 만족해야 한다. 이 조건은 웨이브렛이 반
드시 만족해야 하는 엄격한 조건이며 다음과 같이 표
현된다.
dCg
2)( (17)
위 식은 주파수와 사간상에서 각각 다음과 같이 웨이
브렛의 기하학적 특성(wave, regularity)을 나타낸다.
0)( 02
,
0)( dtt (18)
다음 그림은 가버 웨이브렛과 극좌표 형태로 표현된
웨이브렛의 모듈러스와 페이즈를 나타낸 것이다.
0 5 10 15 20
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
w(t)
t
정 장 도, 이 승 훈, 주 영 복, 허 경 무
6
40 45 50 55 60
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
(t
)
t
0 1 2 3 4 5
-0.002
0.000
0.002
0.004
0.006
0.008
0.010
0.012
0.014
B
|(f
)|(V
rms)
f (a) 가버 웨이브렛 (b) 가버 웨이브렛의 모듈
0 1 2 3 4 5
0
100
200
300
400
500
B
(f
)(ra
d)
f
(c) 가버 웨이브렛의 페이즈
그림 11. 가버 웨이브렛의 모듈 및 페이즈
Fig 11. Modules and phases of Gabor wavelet
복소수 웨이브렛의 페이즈는 모듈러스의 에너지가 존
재하는 영역에서 일정한 기울기를 지니며, 이 대역에
서의 주파수에 대한 페이즈의 미분 즉 기울기 변화는
일정하다.
복소수 웨이브렛을 이용하여 웨이브렛 변환을 할 경우
구해지는 웨이브렛 페이즈로부터 기울기의 변화 즉 시
간에 대한 웨이브렛 변환의 페이즈의 미분 dttd f
ab /)(,
이 0이 되는 지점을 Ridge로 정의하며 )(ba r 로 나타내
고, 순간 주파수는 다음과 같이 정의된다.
0)(
2
1)(
,
dt
tdtf
fab
i
(19)
따라서 웨이브렛 변환의 모듈러스는 그림12의 웨이브
렛 스펙트럼 대역에 의해 신호의 스케일 성분을 추출
하며, 웨이브렛 변환 페이즈는 웨이브렛의 페이즈와
신호의 순간 페이즈가 동일한 영역을 나타낸다.
Ⅳ 연속 웨이브렛 변환을 이용한 Ridge 결정
연속 웨이브렛 변환을 이용한 asymtotic 신호의 순간
주파수(Instantaneous Frequency)를 결정하는 방법은 두
가지 방법이 있다. 하나는 마르세이 방법(Marseille
method)라 불리 우는 연속 웨이브렛 변환의 위상을 이
용한 방법이며, 1992년 Deplart[2,7]에 의해 발표되었다.
다른 하나는 “Carmona metod”[1]라 불리 우는 웨이브렛
모듈을 이용한 순간 주파수 결정방법이다. 이 방법은
Carmona에 의해 1997년에 발표되었다. 먼저 위상을 이
용한 Ridge결정에 대해서 논한다.
Asymptotic 신호 및 이에 대응하는 해석 신호(analytic
signal)는 다음과 같이 정의된다.
)(cos)()( ttAtf ff (20)
etj
fff
AtZ)(
)(
: 해석 신호 (21)
복소수 웨이브렛의 경우도 Asymptotic 신호이며 따라
서 다음과 같이 표현된다.
etj
tAt)(
)()(
(22)
따라서 연속 웨이브렛 변환은 다음과 같다.
dt
a
btAtA
aabW e
tj
ff
fab )(),(
)()(2
1),(
(23)
여기서 위상은 다음과 같다
)()()(),(a
bttt f
fab
(24)
위 식에서 )(),( tf
ab 는 신호 ( )f t 의 웨이브렛 변환
),( abW f 의 위상이다. 만일 시간 0tt 에서 신호가
stationary phase 상태라면 다음의 식이 성립한다.
0)(1
)()(' 0'0
'0),(
a
bt
att fab (25)
위 식은 위상 변화가 일정한 부분 즉 stationary phase
지점에서는 신호 ( )f t 의 위상 시간변화율과 웨이브렛
위상의 시간변화율이 같다는 것을 의미한다. 즉 웨이
브렛 변환을 이용한 stationary phase point 검색은 웨이
브렛 위상은 주어진 스케일에서 고정되어 있고 따라서
이를 이용하여 웨이브렛의 스케일과 일치하는 신호의
위상을 검색하는 것과 동일하다.
Ridge는 웨이브렛 위상 공간 )(),( tfab 에서의 모든
stationary point를 의미하며, 위의 조건을 만족하는 모든
점의 집합을 의미한다. 즉 다음과 같이 표현된다.
babt ),(0 (26)
Ridge를 )(bar로 정의하고, stationary point를 bt 0 ,
)(baa r 그리고 )()()( 00' btt fff 로 놓으면 식(25)
는 다음과 같이 주어진다.
0)(
)0()(
'
ba
br
f
(27)
Morlet Wavelet의 경우 0
' )0( 이며 따라서 식 (27)
는 다음과 같이 주어진다.
)()( 0
bab
rf
(28)
Ridge )(bar 가 결정이 되면 함수 ( )f t 의 순간 주파수
)(bf 는 위 식에 의해 결정된다. 웨이브렛 변환에서
비젼 결함 검사를 위한 비정상 신호의 순간 주파수 결정 기법
7
Ridge는 웨이브렛 모듈 ),( abW f 과 위상 )(),( tfab 를 통해
구해진다. 먼저 웨이브렛 위상 )(),( tfab 을
0tt 인 지점
즉 stationary point에서 스케일 a 관하여 미분하면 다음
과 같다.
)( 0'
2
0),(
a
bt
a
bt
a
fab
(29)
시간상에서의 stationary point인 t0가 b와 일치하기 때
문에 위 식은 다음과 같이 축약된다.
0
)(
),(
baa
fab
r
a (30)
따라서 Ridge )(bar 는 위상 공간에서 주어진 시간 b
에서 위의 조건을 만족하는 점을 의미한다. 동일한 방
법으로 웨이브렛 위상 )(),( tfab 를 b에 대하여 미분하
면 Ridge에서는 다음의 식이 성립한다.
ab
ab
babt
f )0(),('
),(0
(31)
Morlet 웨이브렛의 경우에는 위식은 다음과 같이 주
어진다.
)(
),( 0
),(0
bab
ab
rbabt
f
(32)
따라서 asymptotic 신호 ( )f t 에 대한 Ridge는 신호 ( )f t
의 웨이브렛 위상 )(),( tfab 를 스케일에 대하여 미분해
서 0를 만족하는 점을 찾는 방법과 시간 b에 대하여
미분해서 기울기가 주어진 스케일에 최대한 근접한 점
을 찾는 방법이 있다. 이 두 방법은 다 미분을 이용한
다.
그림13은 asymptotic 신호 ( )f t 에 대한 웨이브렛 위상
)(),( tfab 를 나타낸 것이다. 웨이브렛 위상은 미세한 노
이즈에도 민감하게 반응하며 따라서 실제 정보와 관련
없는 부분은 0으로 대치한다.
그림 12. asymptotic 신호에 대한 웨이브렛 변환결과 – 페이
조그램
Fig 12. Wavelet transform results for asymptotic signal
위 그림에서 0 을 지나거나 가장 근접한 지점이 시간
b=5 에서의 Ridge 이다. 다음 그림은 전체 시간에 걸쳐
연산한 Ridge 를 나타낸 것이다.
그림 13. asymptotic 신호의 Ridge 연산 (가버 웨이브렛, =1,
f0=1)
Fig 13. Ridge operation of asymptotic signal
위상의 미분을 이용한 순간주파수 결정방법은 미분
항에 의해 때로는 불안정한 연산이 되는 불편함이 따
른다. 즉 위상이 존재하는 영역과 존재하지 않는 영역
에서의 불연속선에 따른 문제 외에도 실제 신호가 지
니는 노이즈나 기타 특이점에 의해 미분의 불안정이
발생한다. 따라서 실제연산에서는 위상을 이용하는 방
법이외에 웨이브렛 모듈러스를 이용하는 방법을 사용
하는 것이 더 편리하다. 이 방법은 LFM, Non-stationary,
Periodic, Random 신호 등 모든 신호에 대해서 웨이브
렛 페이즈를 이용한 방법보다 실용적이다[5].
Asymptotic 신호의 웨이브렛 변환은 다음과 같이 정의
된다.
daZ
dtttfabW
ebi
f
abf
)()(2
1
2
1
)()(),(
*
*),(
(33)
Asymptotic 신호의 경우 스펙트럼은 좁은 대역폭을 지
니고 있으며 , 스펙트럼의 중심은 )()( ' bbf 근
방에 위치한다. 따라서 웨이브렛 변환은 다음과 같다.
))('()(2
1
)(2
1))('(
2
1),(
*)(
*
babA
dZbaabW
e
ebi
bi
ff
(34)
웨이브렛의 중심 스펙트럼이 0 에 위치하며 따
라서 에너지 밀도 ))('(*)()(
babA ebi
또한 스케일
축을 따라 0)(' ba 에 위치하며, 이는 웨이브렛 변
환의 Ridge 와 일치하게 된다. 즉
)()(')( 00
bbba
fr
(35)
결국 웨이브렛 모듈을 이용한 Ridge 는 시간 b 를 따라
서 스케일 축을 따라 웨이브렛 변환값의 최대값을 따
라 결정된다. 이 방법은 위상을 이용한 방법에 비해
간단하며 전체 위상에 의해 결정된 Ridge 에 비해 신호
전체에 대해 어떠한 현상이 발생하는지를 보다 쉽게
정 장 도, 이 승 훈, 주 영 복, 허 경 무
8
관찰할 수 있다. 다음 그림은 웨이브렛 모듈로부터 결
정된 Ridge 를 나타낸 것이다.
그림 14. asymptotic 신호의 Ridge 연산 (가버 웨이브렛, =1,
f0=1)
Fig 14. Ridge operation of asymptotic signal
Ridge 가 결정되면 주어진 시간에서 주파수
(Instantaneous frequency)가 다음 식으로 결정된다.
)()( 0
bab
ri
(36)
신호가 노이즈를 포함하고 있을 경우 웨이브렛 변환
(모듈, 위상) 또한 노이즈에 의해 영향을 받지만 신호
대 잡음 비(signal-to noise ratio)는 웨이브렛 변환 공간에
서 Ridge부근에서 최대가 된다. 따라서 노이즈에 영향
을 받지 않고 정확하게 순간 주파수를 결정할 수 있으
며, 이 때문에 웨이브렛 변환을 이용한 순간주파수 결
정 방법을 이용하며 Hilbert변환을 이용한 순간주파수
방법에 비해 더욱 정확한 값을 추출할 수 있다. 다음
멀티 스케일 신호에 대한 웨이브렛 모듈러스 및
Ridge를 나타낸 것이다.
(a) 웨이브렛 모듈 (Morlet 웨이브렛)
(b) Ridge- )(bar
그림 15. 멀티 스케일 신호에 대한 Ridge 검출
Fig 15. Ridge detection for multi-scale signal
다음 그림은 여러 개의 주파수의 중첩으로 이루어진
비정상 신호에 대한 Ridge 검출을 나타낸 것이다.
그림 16. 프랙탈(Fractal) 신호에 대한 Ridge 결정
Fig 16. Ridge determination of fractal signals
Ⅴ. 결론
이 논문에서 웨이브렛 변환을 이용한 비정상 신호
(Non-stationary) 신호 및 멀티 스케일 신호의 순간 주파
수 ( )if t 결정에 대하여 논하였다. 웨이브렛 변환은 신
호 ( )f t 에 대한 “시간-스케일” 종속관계를 스칼로그램
과 페이조 그램에 가시화하며, 이 두개의 “시간-스케
일” 공간은 비정상신호의 정적 위치(stationary point) 정
보를 포함하고 있다. 웨이브렛 페이조 그램은 페이즈
의 기울기가 부분적으로 일정한 구간이 이에 해당하며,
페이즈가 0이 되거나 근접하는 부분이 웨이브렛 Ridge
가 발생하는 부분이며, 따라서 순간 주파수를 결정할
수 있다. 웨이브렛 페이조 그램을 이용한 순간 주파수
결정은 페이즈의 미분으로 인해 신호의 물리적 특성이
복잡해지는 경우에는 연산의 에러가 발생하며 정확한
Ridge의 위치를 결정하기도 어렵다. 반면에 웨이브렛
모듈러스를 이용한 Ridge결정 방법은 페이즈의 미분
없이 직접 웨이브렛 에너지의 최대점을 추출하는 방법
으로 비정상 신호(Non-stationary signal) 또는 정상 신호
(Stationary-signal), 멀티스케일 신호의 시간에 따른 주
파수 변화 특성을 표현하는 순간 주파수를 결정할 수
있다.
웨이브렛 변환을 이용한 순간 주파수 결정 방법은 신
호에 여러 개의 주파수 성분이 중첩되거나 또는 노이
즈에 의해 신호가 간섭을 받는 경우에도 웨이브렛
Ridge )(ba r 를 통해 정확하게 신호의 중심 성분 및 노
이즈의 주파수 변화를 표현할 수 있다.
참고문헌 [1] R.Carmona, W.L Hwang,B.Torresani, “Practical
Time/Frequency Analysis: Wavelets and Gabor Transform
with an Implementation in S.(Book under review,1996).
Available at
http://soil.princeton.edu/rcarmona/Publocations
[2] N.Delprat, B.Escudie, P.Guilleman, R.Kroland-Martinet,
Ph.Tchamithian,B.Torresani,”Asymptotic wavelets and
Gabor analysis; extraction of Instantaneous Frequency”,
IEEE Trans. Inf. Th.38, pp.641-664,1992
[3] B. Boashash, “Extrqction and Interpreting the
Instantaneous Frequency of Signal”, Proc.IEEE 80,Part I ,
pp.540-538, Part II, pp.540-568, 1992.
[4] John.Shadowsky,”Investigating Signal Charactristics
Using the Continuous Wavelets Transform”, JOHNS
비젼 결함 검사를 위한 비정상 신호의 순간 주파수 결정 기법
9
HOPKINS APL TECHNICAL DIGEST VOLUME 17,
No.3 pp.258-269, 1996
[5] W.J.Staszewski, “Identification of Non-linear system using
multi-scale ridges and skeletons of wavelet Trnaform”, J.of
Sound and Vibration, 214, No.4 pp.639-658, 1998
[6] David E. Newland, “Practical Signal analysis:Do wavelets
makes and differences?”, Proceeding of DETC 97-Vib
4135,1997 ASME Design Engineering Technical
Conferences, September,14-17,Sacramento,California.
[7] B.Torresani, “Time-Frequency and Time-scale Analysis”
Signal Processing for Multi-media, Ed. J.S Byrness, IOS
Press, pp.55-70, 1999