notas de clase n_2 de matematicas ii 01-08-2014 (3) (1) (2)

8/19/2019 Notas de Clase N_2 de Matematicas II 01-08-2014 (3) (1) (2)

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UNIVERSIDAD DE CARTAGENAFACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS ECONOMICASPROGRAMA DE ADMINISTRACION INDUSTRIAL

NOTAS DE CLASES DE MATEMATICAS IUNIDAD 1: LIMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

14-12-2015

PROFESORA: LOURDES ESALAS PEREZ

1. LIMITE DE FUNCIONES REALES

1.1. INTRODUCCION

En este tema abordaremos el concepto de lımite de una funcion real de variable real cuandola variable independiente tiende ( o se aproxima) a un cierto numero a, o bien cuando tiendea infinito (−∞o + ∞), esto es, la variable se hace tan grande (positiva o negativa) comopodamos imaginar. Para una comprension y utilizacion del concepto, intentaremos abordarlo

de forma intuitiva y, posteriormente, entendiendo su definicion matematica y, muy importante,su interpretacion grafica. Resaltemos que no se debe intentar aprender los conceptos te orico,tales como definiciones o propiedades, sin haber comprendido previamente el concepto de unmodo intuitivo y saber trasladar este a una vision grafica.El Calculo, basicamente esta fundamentado en los lımites, por tanto este tema es trascendentalpara nuestro estudio. De hecho, la derivada y la integral definida son conceptos basados enlımites. Conceptualizar lımite determinando el comportamiento de una funcion e interpretarloen su grafica, ayudara bastante en el inicio del analisis de los lımites.

1.2. LIMITE EN UN PUNTO

La nocion de lımite de una funcion en un numero (un punto de la recta real) se presen-tara mediante el siguiente ejemplo: Supongamos que se nos pide dibujar la grafica de la funcion

f (x) = x3 − 1

x− 1 , x = 1

Para todo punto x = 1 podemos trazar la grafica por los metodos conocidos por todos nosotros.Ahora, para tener idea del comportamiento de la grafica de f cerca de x = 1, usamos dosconjuntos de valores x, uno que se aproxime al 1 por la izquierda y otro por la derecha. Lasiguiente tabla muestra los correspondientes valores de f (x).

Figura 1:

1



Figura 2:

Los valores de de la funcion se acercan a 3 conforme x se acerca a 1.

Figura 3:

La figura 2 es la grafica de la funcion f (x) = x3 − 1

x − 1 , x = 1,y como podemos observar, en

dicha grafica hay un salto en el punto (1; 3) esto se debe a que la funcion f no esta definidaen el numero 1. Es de notar que esta grafica es la de la funcion g(x) = x2 + x + 1 menosel punto (1; 3). La funcion g se obtiene a partir de la funcion f , factorizando el numerador ysimplificando.

1.3. DEFINICION INTUITIVA O INFORMAL DE LIMITE EN

UN PUNTO

La discusion anterior conduce a la siguiente descripcion informal: Si f (x) se aproxima arbi-trariamente a un numero L cuando x se aproxima a a por ambos lados, decimos que el lımitef (x) cuando x tiende a a es L, y escribimos lım

x→a

f (x) = L

1.4. DEFINICION RIGUROSA O FORMAL DE LIMITE

Sea f una funcion definida en todo numero de algun intervalo abierto I que contiene a aexcepto posiblemente en el numero a mismo. El lımite de f (x) cuando x se aproxima a a es L,lo cual se escribe como lım

x→af (x) = L, si para cualquier > 0, no importa que tan pequena sea,

existe una δ > 0 tal que si 0 < |x− a| < 0 entonces |f (x) − L| < .

En la definicion no se menciona nada acerca del valor de f (x) cuando x = a; recordemos

que la funcion no necesita estar definida en a para que lımx→a exista.

La definicion indica que para asegurar que una funcion tiene limite deberıamos estableceruna relacion entre δ y . Una manera de interpretar graficamente lo mencionado es:

2



Figura 4:

Con esta definicion, ya podemos realizar demostraciones formales.

Ejemplo 1. Utilicemos la definici´ on para demostrar que lımx→2

(4x − 5) = 3.

Solucion 1. Como la funci´ on est´ a definida en todo intervalo abierto que contiene a 2, entonces

podemos utilizar la definici´ on para hacer la demostraci´ on. Se debe demostrar que para cualquier > 0 existe una δ > 0 tal que si 0 < |x − 2| < δ entonces |(4x − 5) − 3| < .(A) En efecto, si 0 < |x− 2| < δ , entonces |4x− 8| < .si 0 < |x− 2| < δ , entonces 4|x− 2| < .

si 0 < |x− 2| < δ , entonces |x− 2| <

4.

Entonces, si tomamos δ =

4 se cumple la proposici´ on (A). Esto demuestra que lım

x→2(4x − 5) = 3.

Ejemplo 2. Demostrar formalmente que: lımx→1

x2 + 5x− 6

x − 1 = 7.

Solucion 2. Debemos asegurar que y = x2 + 5x − 6

x − 1 se aproxima cada vez m´ as al valor de 7

cada vez que x este m as pr´ oximo de 1.

Es decir, que debemos poder estar tan cerca de 7 con y = x2 + 5x − 6

x − 1 tanto como quisieramos

estar (para todo ).Si esto es posible deber´ a poderse definir el correspondiente intervalo (existe δ ) en el cual tomar x que garantice aquello, es decir:

Para todo > 0, existe una δ > 0 tal que si 0 < |x − 1| < δ entonces

x2 + 5x− 6

x − 1 − 7

< .

Vamos a transformar el antecedente hasta llevarlo a la forma del consecuente. La forma algebraica del consecuente nos guiar´ a.

0 < |x− 1| < δ

Se suma y resta 7 (debido a que aparece -7 en el consecuente)

0 < |x − 1 + 7 − 7| < δ

0 < |(x + 6) − 7| < δ

Agrupando x + 6 y dividiendolo y multiplic´ andolo por (x− 1) debido a que el primer termino

del consecuente aparece dividido por esta expresion.

0 <

(x + 6)(x− 1)

(x − 1) − 7

< δ

3



0 <

x2 + 5x − 6

(x − 1) − 7

< δ

Con = δ , nos permite asegurar lo propuesto; es decir, tomando 1− < x < 1 + .

Ejemplo 3. Demostrar formalmente que lımx→2

x2 = 4.

Solucion 3. Debemos garantizar que para todo > 0, existe δ > 0 tal que 0 < |x − 2| < δ ,entonces 0 < |x2 − 4| < .En efecto,

0 < |x− 2| < δ

Multiplicando por |x + 2| (debido a que el consecuente tiene una diferencia de cuadrados per- fectos), se tiene:

0 < |x − 2| |x + 2| < δ |x + 2|Ahora por propiedades del valor absoluto, se tiene que

0 < x2

− 4 < δ

Tomando δ =

|x + 2| . Pero ahora existe un inconveniente, la relaci´ on es funci´ on de x. Esto lo

podemos salvar acotando a x. supongamos que a x se la toma a una distancia no mayor de 1, en torno a 2, entonces 1 < x < 3, que si tuvieramos que escoger un valor para x, el id´ oneo seria 3,

para que satisfaga el hecho de que δ debe ser una cantidad peque˜ na. Por tanto, δ =

|3 + 2| =

5.

Es decir, tomando a x en el intervalo 2 −

5 < x < 2 +

5 asegura lo que se quiere demostrar.

1.5. EJERCICIOS

1. Demostrar formalmente los siguientes lımites

a ) lımx→3

x2 − 9

x − 3 = 6

b) lımx→2

2x− 5 = −1

c ) lımx→2

√ 2x = 2

2. TEOREMA DE UNICIDAD DE LIMITE

Sea f una funcion de una variable real. Si f tiene lımite en x = a, entonces este es unico.Es decir,

si lımx→a

f (x) = L y lımx→a

f (x) = M , entonces L = M

3. LIMITES LATERALES

Existen funciones que por la derecha de un punto tienen un comportamiento y por laizquierda del punto tienen otro comportamiento. Esto ocurre frecuentemente en funciones que

tienen regla de correspondencia definida en intervalos y que su grafica presenta un salto en unpunto. Para expresar formalmente este comportamiento se hace necesario definir lımites en unpunto por una sola direccion.

4



3.1. LIMITE LATERAL DERECHO

Se dice que lımx→a+

f (x) = L1 si y solo si para cada > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < x− a < δ

entonces |f (x) − L1| < L es el lımite por la derecha de f (x) en a.

Figura 5:

La funcion es creciente en el intervalo (x0,∞).

Observe que no hay barras de valor absoluto alrededor de x − x0, pues x − x0 es mayor quecero ya que x > a.

Figura 6:

Una funcion decreciente en a,∞).

3.2. LIMITE LATERAL IZQUIERDO

Se dice que lımx→a−

f (x) = L2 si y solo si para cada > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < a− x < δ

entonces |f (x) − L2| < L es el lımite por la derecha de f (x) en a.

5



Figura 7:

Una funcion decreciente en (−∞, x0).Note que la expresion a

−x es mayor que cero, pues x

→a− por lo que x < a.

Figura 8:

Una funcion creciente en (−∞, a).

De las definiciones anteriores y por el Teorema de Unicidad de Lımite surge el siguienteteorema.

3.3. TEOREMA DE EXISTENCIA DE LIMITE

] Si f es una funcion con lımite en x0,entonces se cumple que tanto por izquierda como porderecha f tiende a tomar el mismo valor. Es decir:

lımx→x−

0

f (x) = lımx→x+

0

f (x) = lımx→x0

f (x) = L

Si se da que lımx→x−

0

f (x) = lımx→x+

0

f (x), se dice que lımx→x0

f (x) no existe

Ejemplo 4. Consideremos la funci´ on

g(x) =

2x si 0 ≤ x < 14 si x = 15− 3x si 1 < x ≤ 2

6



Solucion 4. La gr´ afica de la funci´ on es la siguiente.

Figura 9:

Para determinar el lımite de g(x) cuando x tiende a 1 primero investigaremos la conducta de g(x) para valores muy cerca de 1, pero mayores de 1, es decir, calculamos el limite por la derecha de 1:

lımx→1+

g(x) = lımx→1+

(5 − 3x) = 5− 3(1) = 5− 3 = 2

De la misma manera nos acercamos al 1 con valores menores que 1 y por consiguiente los valores de g(x) los calculamos con la expresi´ on g(x) = 2x. Esto es, calculamos el limite por la izquierda de 1:

lımx→1−

g(x) = lımx→1−

2x = 2(1) = 2

En conclusi´ on, puesto que lımx→1+

g(x) = lımx→1−

g(x) = 2,

decimos que lımx→1

g(x) existe y es igual a 2

Ejemplo 5. Observe la gr´ afica de la funci´ on f dada

Figura 10:

1. Encuentra los siguientes limites:

a) lımx→−2−

f (x)

b) lımx→−2+

f (x)

c) lımx→−2

f (x)

d) lımx→2−

f (x)

e) lımx→2+

f (x)

f ) lımx→2

f (x)

g) lımx→0

f (x)

h) lımx→3

f (x)

Solucion 5. a) Al observar la gr´ afica vemos que a medida que nos acercamos a -2 por la izquierda, el valor de la funci´ on f (x) se acerca a 2, es decir,

lımx→−2−

f (x) = 2

7



b) observando la gr´ afica vemos que a medida que nos acercamos a -2 por la derecha, el valor de la funci´ on f (x) se acerca a 4, es decir,

lımx→−2+

f (x) = 4

c) El teorema de unicidad de los limites nos dice que lımx→−2f (x) no existe, puesto que

lımx→−2+

f (x) = lımx→−2−

f (x)

3.4. PROPIEDADES DE LOS LIMITES

Sean f y g funciones con limites en x0; es decir, lımx→x0

f (x) = L y lımx→x0

g(x) = M ; Entonces:

1. lımx→x0

k = k, para todo numero real k

2. lımx→x0x = x0

3. lımx→x0

kf (x) = k lımx→x0

f (x) = kL, para todo numero real k

4. lımx→x0

[f (x) + g(x)] = lımx→x0

f (x) + lımx→x0

g(x) = L + M

5. lımx→x0

[f (x) − g(x)] = lımx→x0

f (x)− lımx→x0

g(x) = L −M

6. lımx→x0

[f (x)g(x)] = lımx→x0

f (x) lımx→x0

g(x) = LM

7. lımx→x0

[f (x)g(x)

] =lımx→x0

f (x)

lımx→x0

g(x) = L

M , siempre que lım

x→x0g(x) = 0

8. lımx→x0

[f (x)]n = [ lımx→x0

f (x)]n = Ln, para todo numero natural n

9. lımx→x0

n

f (x) = n

lımx→x0

f (x) = n

√ L ; siempre que lım

x→x0f (x) ≥ 0 cuando n es par

Ejemplo 6. Calcular el siguiente limite lımx→2

(x2 + 3x − 2)

Solucion 6. Aplicando el teorema de las propiedades de los lımites, tenemos:

lımx→2

(x2 + 3x− 2)

= lımx→2

x2 + lımx→2

3x − lımx→2

(2)

= [lımx→2

x]2 + 3lımx→2

x− lımx→2

2

= 22 + 3 · 2− 2 = 4 + 6 − 2 = 8

Este ultimo ejemplo nos permite concluir que con una sustitucion basta para resolver unlimite.

8



3.5. TEOREMA DE SUSTITUCION

Sea F una funcion polinomial o una funcion racional, entonces lımx→x0

f (x) = f (x0) siempre

que f (x0) este definida y que el denominador no sea cero para el caso de una funcion racional.

Ejemplo 7. Calcular el siguiente limite.

lımx→2(x2

+ 3x− 2)

Solucion 7. Aplicando el teorema de sustituci´ on, tenemos:lımx→2

(x2 + 3x− 2) = 22 + 3(2)− 2 = 4 + 6− 2 = 8.

3.6. TEOREMA DEL EMPAREDADO

Sean f, g y h funciones tales que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x) para toda x proxima a a con la posibleexcepcion de a. Si lım

x→a

g(x) y lımx→a

h(x) = L entonces lımx→a

f (x) = L

Este teorema (llamado tambien teorema de encaje, teorema de intercalacion, teorema de

restriccion, teorema de los policıas, teorema de compresion, teorema de las funciones mayorantey minorante, criterio del emparedado o teorema del enclaustramiento) es un teorema usado enla determinacion del lımite de una funcion. Este teorema enuncia que si dos funciones tienden al mismo lımite en un punto, cualquier otra funci´ on que pueda ser acotada entre las dos anteriores tendr´ a el mismo lımite en el mismo punto.

4. LIMITES INFINITOS

Definicion 1. Se dir´ a que +∞ es lımite de una funci´ on en el punto a y se escribir´ a lımx→a

f (x) =

+

∞ si, a medida que nos acercamos al punto a los valores de la funci´ on se hacen tan grandes

como queramos, es decir: lımx→a

f (x) = +∞ significa que para todo k > 0, existe δ > 0 tal que si

0 < |x− a| < δ entonces f (x) > k

Ejemplo 8. Determinemos el lımx→0

1

x2

Solucion 8. observemos la gr´ afica de la funci´ on f (x) = 1

x2

Figura 11:

Notese que a medida que nos acercamos a cero tanto por la izquierda como por la derecha el valor de la funci´ on crece sin limite. Por lo tanto podemos decir que

lımx→0

1

x2 = +∞

9



Definicion 2. Se dir´ a que −∞ es lımite de una funci´ on en el punto a y se escribir´ a lımx→a

f (x) =

−∞ si, a medida que nos acercamos al punto a los valores de la funci´ on se hacen tan peque˜ nos como queramos, es decir: lım

x→af (x) = −∞ significa que para todo k > 0, existe δ > 0 tal que si

0 < |x− a| < δ entonces f (x) < −k

Ejemplo 9. Determinemos el lımx→0(− 1

x2 )

Solucion 9. observemos la gr´ afica de la funci´ on f (x) = (− 1

x2)

Figura 12:

Notese que a medida que nos acercamos a cero tanto por la izquierda como por la derecha el valor de la funci´ on decrece sin limite. Por lo tanto podemos decir que

lımx→0

(− 1

x2) = −∞

En general se dir´ a que ∞ es lımite de una funci´ on en el punto a y se escribir´ a lımx→a

f (x) = ∞si, a medida que nos acercamos al punto a si los valores absolutos de la funci´ on se hacen tan grandes como queramos, es decir lım

x→af (x) = ∞ significa que para todo k > 0, existe δ > 0 tal

que si 0 < |x− a| < δ entonces |f (x)| > k

5. LIMITES EN EL INFINITOS

Anteriormente aparecieron lımites de la forma 0/0, los cuales forman un caso particular delos llamados lımites indeterminados, pues su resultado no se puede obtener en forma directa.Otros casos de indeterminacion en los lımites se presentan al considerar valores infinitos. Estoscasos de indeterminacion son

∞−∞, 0 · ∞, ∞/∞, 00, ∞0, 1∞.

Considere la funcion cuya grafica se muestra en el recuadro.Observese que a medida que elvalor de x crece ilimitadamente el valor de f (x) se aproxima al valor de 1

10



Figura 13:

En estas circunstancias, decimos que 1 es el lımite de f (x) cuando xtiende mas infinito, estose denota por el siguiente simbolismo: lım

x→+∞f (x) = 1

De igual manera observa la funcion cuya grafica se muestra a la derecha. A medida que la xtoma valores grandes y negativos, los valores de f (x) se acercan al valor de y = −2.

Figura 14:

En este caso decimos que el limite de f(x) cuando x tiende a menos infinito es igual a -2, ensımbolos esto se expresa de la siguiente manera: lım

x→−∞

f (x) = −2.

Definicion 3. Sea f una funci´ on definida en un intervalo I de n´ umeros reales. Se dice que el lımite de la funci´ on f (x) cuando x tiende a +∞ es L y se escribe

lımx→+∞

f (x) = L

si para todo > 0 existe un k ∈ R tal que para todo x ∈ I , que sea mayor que k(x > k),entonces se cumple que |f (x) − L| <

Los valores de f (x) se acercan al valor L tanto como se quiera sin m´ as que

tomar valores de la variable x tan grandes como se necesite.

Definicion 4. Sea f una funci´ on definida en un intervalo I de n´ umeros reales. Se dice que el lımite de la funci´ on f (x) cuando x tiende a +∞ es +∞ y se escribe

lımx→+∞

f (x) = +∞

si para todo h ∈ R existe un k ∈ R tal que para todo x ∈ I , que sea mayor que k(x > k),entonces se cumple que f (x) > h

El valor de la funci´ on tiende a hacerse tan grande como se quiera cuando la

variable toma valores cada vez m´ as grandes tambien

Definicion 5. Sea f una funci´ on definida en un intervalo I de n´ umeros reales. Se dice que el

lımite de la funci´ on f (x) cuando x tiende a +∞ es −∞ y se escribe

lımx→+∞

f (x) = −∞

11



si para todo h ∈ R existe un k ∈ R tal que para todo x ∈ I , que sea mayor que k(x > k),entonces se cumple que f (x) < h

El valor de la funci´ on tiende a hacerse tan peque˜ no como se quiera cuando la

variable toma valores cada vez m´ as grandes tambien

Para las tres definiciones de lımite que daremos a continuacion se supone que el dominio de

la funcion f es un conjunto de numeros reales no acotado inferiormente ( la variable x puedehacerse tan pequena como se quiera).

Definicion 6. Sea f una funci´ on definida en un intervalo I de n´ umeros reales. Se dice que el lımite de la funci´ on f (x) cuando x tiende a −∞ es L y se escribe

lımx→−∞

f (x) = L

si para todo > 0 existe un k ∈ R tal que para todo x ∈ I , que sea menor que k(x < k),entonces se cumple que |f (x) − L| <

En este caso cuando la variable toma valores muy peque˜ nos la funci´ on se

aproxima cada vez m´ as a L

Definicion 7. Sea f una funci´ on definida en un intervalo I de n´ umeros reales. Se dice que el lımite de la funci´ on f (x) cuando x tiende a −∞ es +∞ y se escribe

lımx→−∞

f (x) = +∞

si para todo h ∈ R existe un k ∈ R tal que para todo x ∈ I , que sea menor que k(x < k),entonces se cumple que f (x) > h

El valor de la funci´ on tiende a hacerse tan grande como se quiera cuando la

variable toma valores cada vez m´ as peque˜ nos

Definicion 8. Sea f una funci´ on definida en un intervalo I de n´ umeros reales. Se dice que el lımite de la funci´ on f (x) cuando x tiende a −∞ es −∞ y se escribe

lımx→−∞

f (x) = −∞

si para todo h ∈ R existe un k ∈ R tal que para todo x ∈ I , que sea menor que k(x < k),entonces se cumple que f (x) < h

Aquı la funci´ on tiende a hacerse tan peque˜ na como se quiera sin m´ as que

tomar valores para la variable cada vez m´ as peque˜ nos

para resolverlos los anteriores casos de indeterminacion procedemos a seguir las siguientesreglas:

1. Si la funcion es algebraica (solo aparecen operaciones algebraicas y no trigonometricas) yel lımite tiene la forma ∞/∞, se comparan los grados del numerador y denominador.

a ) Si el grado del numerador es mayor que el del denominador, el resultado del lımitees ∞

b) Si el grado del denominador es mayor que el del numerador, el resultado es cero.

c ) Si ambos tienen el mismo grado, el resultado es el cociente de los coeficientes de losterminos de mayor grado. En resumen, en el caso ∞/∞ los terminos que intervienenen el lımite son los de mayor grado; el resto se puede desechar.

12



2. Para las otras formas de indeterminacion, es posible transformarlas en alguna de lasconocidas y utilizar las tecnicas expuestas para ellas. Por ejemplo, en las indeterminacionescon exponenciales (en particular de la forma 1∞) se puede utilizar la formula f (x)g(x) =eg(x)lnf (x), y el exponente presenta ahora una indeterminacion del tipo 0 · ∞.

Como aplicacion de los lımites infinitos se pueden definir las asıntotas:

Definicion 9. ASINTOTAS VERTICALES

La recta x = a es asıntota vertical de la funci´ on y = f (x) cuando

lımx→a

f (x) = ∞o

lımx→a

f (x) = −∞.

Definicion 10. ASINTOTAS HORIZONTALES

La recta y = k es asıntota horizontal de la funci´ on y = f (x) cuando

lımx→∞

f (x) = k

o bien,lım

x→−∞

f (x) = k

Definicion 11. ASINTOTAS OBLICUAS

La recta y = mx + b es asıntota oblicua de la funci´ on y = f (x) cuando existen los lımites que definen las constantes m y b ası:

m = lımx→∞

f (x)

x , b = lım

x→∞

[f (x)− mx].

O bien,

m = lımx→−∞

f (x)

x , b = lım

x→−∞

[f (x)− mx]

.

6. LIMITES TRIGONOMETRICOS ESPECIALES

Otros lımites se calculan empleando la expresion

1.lımx→0

senx

x = 1

que en forma generalizada serıa:

lımu→0

senu

u = 1; u = u(x)

2.

lımx→0

1− cosx

x = 0

que en forma generalizada serıa:

lımu→0

1− cosu

u = 0; u = u(x)

13



Ejemplo 10. Calcular lımx→0

senkx

x

Solucion 10. Aplicando el Teorema de Sustituci´ on, tenemos: lımx→0

senk0

0 =

0

0(Indeterminaci´ on)

Para encontrar el valor de esta indeterminaci´ on, multiplicamos y dividimos por k , y luego

aplicamos el teorema principal de lımites:

lımx→0

ksenkx

kx = k lım

x→0

senkx

kx 1

= k(1) = k.

Se podrıa decir que lımu→0

senku

u = k; k ∈ R


sen3x

sen5x

Solucion 11. Aplicando el Teorema de Sustituci´ on, tenemos:

lımx→0

sen3(0)

sen5(0) =

sen0

sen0 =

0

0(Indeterminaci´ on)

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminaci´ on dividimos el numerador y el denomi-nador entre x , y luego aplicamos el teorema principal de lımites y la formula anterior:

lımx→0

sen3x

sen5x = lımx→0

sen3x

xsen5x

x=

3 lımx→0

sen3x

x

lımx→0

sen5xx 5

=

3

5


1 − cosx

x2

Solucion 12. Aplicando el Teorema de Sustituci´ on, tenemos

lımx→0

1 − cos0

02 =

1− 1

0 =

0

0

(Indeterminaci´ on)

Ahora, para encontrar el valor de la indeterminaci´ on hacemos lo siguiente:Multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado de 1− cosx, que es 1 + cosx.

lımx→0

[1− cosx

x2 · 1 + cosx

1 + cosx] = lım

x→0[

1− cos2x

x2(1 + cosx)] = lım

x→0[

sen2x

x2(1 + cosx)]

= lımx→0

senx

x · lım

x→0

senx

x · lım

x→0

1

1 + cosx = 1 · 1 · 1

1 + 11 · 1

2 =

1

2

14



6.1. EJERCICIOS RESUELTOS Y PROPUESTO

Ejercicio 1. Obtener el valor de lımx→1

x − 1

x2 − 1

Solucion 13. N´ otese que la funci´ on f (x) = x − 1

x2 − 1 no est´ a definida cuando x = 1, lo cual no

importa ya que la definici´ on lımx→af (x) dice que se consideren valores de a cercanos a a pero noiguales a a. En la tabla siguiente se proporcionan valores de f (x) para valores de x que tienden a 1 (pero distintos de 1)

Figura 15:

Observa que a medida que nos acercamos a 1 por la izquierda (x < 1), f (x) toma valores muy cercanos a 0.5.Por otro lado, cuando nos acercamos cada vez m´ as a 1 por la derecha (x > 1), f (x) se acerca cada vez mas a 0.5.

La gr´ afica de la funci´ on f (x) = x − 1

x2 − 1 se muestra a continuaci´ on.

Figura 16:

Con base en los valores de la tabla, suponemos que lımx→1

x − 1

x2 − 1 =

1

2

Ejercicio 2. Sea

t(x) = 4 − x2 si x < 12 + x2 si x > 1

encontrar cada uno de los siguientes limites, si existen:

a. lımx→1−

t(x)

15



b. lımx→1+

t(x)

c. lımx→1

t(x)

Solucion 14. observe la gr´ afica de funci´ on

t(x) = 4

−x2 si x < 1

2 + x2 si x > 1

Figura 17:

Observe que la funci´ on no est´ a definida en x = 1.

Determinemos los limites laterales.

lımx→1−

t(x) = lımx→1−

4 − x2 = 4 − 12 = 4− 1 = 3

Y,lımx→1+

t(x) = lımx→1+

2 + x2 = 2 + 12 = 2 + 1 = 3.

Puesto que lımx→1−

t(x) = lımx→1+

t(x) = 3, entonces concluimos que lımx→1

t(x) existe y es igual a 3

Ejercicio 3. Consideremos la funci´ on f (x) = x − 2

2|x − 2| Encontrar el lım

x→2f (x), realizar el gr´ afico

Ejercicio 4. Consideremos la funci´ on

s(x) =

4− x si x < 14x − x2 si x > 1

Encontrar el lımx→1

s(x) Realizar el gr´ afico

Ejercicio 5. Sea f (t) = t2 − 3t

t − 1 . Encontrar el lım

t→1f (t) si existe.

Ejercicio 6. Sea r(z ) = z 2 + z + 2

z 2

−2z −

3. Encontrar el lım

z→3r(z ) si existe.

Ejercicio 7. Sea m(z ) = 6z + 3 Encontrar el lımz→∞

m(z )

Solucion 15. lımz→∞

m(z ) = lımz→∞

(6z + 3) = 6(∞) + 3 = ∞ + 3 = ∞

16



Nota 1. 6.1.1. Operaciones con infinito

Sea k un n´ umero real, Luego:

1. ∞+ ∞ = ∞, k + ∞ = ∞, k −∞ = −∞

2. Si k > 0 entonces c· ∞

=∞

, ∞

k =

∞, c

·(−∞

) =−∞

, −∞

k =

−∞3. Si k < 0 entonces c · ∞ = −∞,

∞k

= −∞, c · (−∞) = ∞, −∞

k = ∞

4. k

∞ = 0

5. ∞−∞ y ∞∞ son INDETERMINACIONES

Ejercicio 8. Sea L(x) = 4

(x

−3)5

. Encontrar el lımx→∞

L(x)

Solucion 16.

lımx→∞

4

(x− 3)5 =

4

(∞− 3)5 =

4

(∞)5 = 0

notas de clase n_2 de matematicas ii 01-08-2014 (3) (1) (2)

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