november 21, 2013xpzhang.me/teach/cm18_fall/slide06.pdf · 6.1 newton-cotesl 6.1.3. newton-cotesl n...

数值计算方法第六章数值积分

张晓平

November 21, 2013

张晓平 () 数值计算方法 November 21, 2013 1 / 59

1 6.0 简介

2 6.1 Newton-Cotes公式6.1.1 数值积分的基本思想6.1.2 插值型求积公式6.1.3. Newton-Cotes公式

3 6.2 复化求积公式及龙贝格求积公式6.2.1 复化求积公式6.2.2 变步长求积公式6.2.3 龙贝格求积公式

4 6.3 高斯型求积公式6.3.1 代数精度6.3.2 高斯型求积公式6.3.3 勒让德多项式

1 6.0 简介

6.0 简介

定理 (Newton-Leibniz公式)

对于定积分I =∫ b

a f (x) dx，若 f (x)在[a, b]上连续，且 f (x)的原函数为F(x)，则∫ b

af (x) dx = F(b) − F(a).

6.0 简介

实际计算中，常遇到如下情况：

1 f (x)形式复杂，求原函数更为困难，如

f (x) =√

ax2 + bx + c

2 f (x)的原函数不能用初等函数形式表示，如

f (x) =1

ln x, e−x2

, sin x2,sin x

3 f (x)虽有初等函数表示的原函数，但其原函数表示形式相当复杂，如

f (x) =1

1 + x4

4 f (x)本身没有解析表达式，其函数关系由表格或图像给出，如实验或测量数据

以上情况都不能用牛顿－莱布尼兹公式直接计算定积分，因此有必要研究定积

分的数值计算问题。张晓平 () 数值计算方法 November 21, 2013 5 / 59

1 6.0 简介

3 6.2 复化求积公式及龙贝格求积公式

4 6.3 高斯型求积公式

6.1.1 数值积分的基本思想

定理 (积分中值定理)对于连续函数 f (x)，在[a, b]内存在点ξ有

I =∫ b

af (x) dx = (b − a) f (ξ), ξ ∈ [a, b].

ξ一般不知道，从而难以准确计算 f (ξ)的值。通常称 f (ξ)为 f (x)在[a, b]上的平均高度。若能对 f (ξ)提供一种近似，就能得到对应的数值积分公式。

I =∫ b

af (x) dx ≈ (b − a) f (a), ⇒左矩形公式 (1)

I =∫ b

af (x) dx ≈ (b − a) f (b), ⇒右矩形公式 (2)

I =∫ b

af (x) dx ≈ (b − a) f (

a + b2

) ⇒中矩形公式 (3)

6.1 Newton-Cotes公式6.1.1 数值积分的基本思想

By = f (x)

图: 左矩形公式

By = f (x)

图: 左矩形公式

By = f (x)

图: 右矩形公式

By = f (x)

图: 右矩形公式

By = f (x)

图: 中矩形公式

By = f (x)

图: 中矩形公式

6.1.1 数值积分的基本思想

更一般地， f (x)在[a, b]内n + 1个节点xi处的高度为 f (xi)(i = 0, 1, · · · , n)，通过加权平均的方法近似地得到平均高度 f (ξ)，这类公式一般形如

I =∫ b

af (x) dx ≈

n∑i=0

Ai f (xi), (4)

称xi为求积节点，Ai为求积系数。

Rn( f ) =∫ b

af (x) dx −

n∑i=0

Ai f (xi)

为求积公式(4)的截断误差。

1 6.0 简介

6.1 Newton-Cotes公式6.1.2 插值型求积公式

设[a, b]上的节点为 a = x0 < x1 < · · · < xn = b，则 f (x)的Lagrange插值多项式为

Ln(x) =n∑

li(x) f (xi), li(x) =n∏

j=0, j,i

x − x j

xi − x j.

用Ln(x)作为 f (x)的近似函数有

af (x) dx ≈

aLn(x) dx

n∑i=0

li(x) f (xi) dx =n∑

(∫ b

ali(x) dx

)f (xi).

记 Ai =

ali(x) dx，则有插值型求积公式

I =∫ b

af (x) dx ≈

n∑i=0

Ai f (xi)

其中Ai只与插值节点xi有关，而与被积函数 f (x)无关张晓平 () 数值计算方法 November 21, 2013 14 / 59

6.1 Newton-Cotes公式6.1.2 插值型求积公式

上述求积公式的截断误差为

Rn( f ) =

a[ f (x) − Ln(x)] dx

(n + 1)!

af (n+1)(ξ)ωn+1(x) dx

其中

ωn+1(x) =n∏

(x − xi), ξ ∈ (a, b)

1 6.0 简介

6.1 Newton-Cotes公式6.1.3. Newton-Cotes公式

在插值型求积公式中，取等距节点，即将[a, b]作n等分，记节点

为xi = a + ih(i = 0, 1, · · · , n), h =b − a

n。作变量替换x = a + th，则

n∏j=0, j,i

x − x j

xi − x jdx = h

n∏j=0, j,i

t − ji − j

=b − a

(−1)n−i

i!(n − i)!

n∏j=0, j,i

(t − j) dt

C(n)i =

(−1)n−i

i!(n − i)!

n∏j=0, j,i

(t − j) dt ⇒ Ai = (b − a)C(n)i

于是得到Newton-Cotes求积公式

I =∫ b

af (x) dx ≈ (b − a)

n∑i=0

C(n)i f (xi)

C(n)i 成为柯特斯系数。

为xi = a + ih(i = 0, 1, · · · , n), h =b − a

n∏j=0, j,i

x − x j

xi − x jdx = h

n∏j=0, j,i

t − ji − j

=b − a

(−1)n−i

i!(n − i)!

n∏j=0, j,i

(t − j) dt

C(n)i =

(−1)n−i

i!(n − i)!

n∏j=0, j,i

(t − j) dt ⇒ Ai = (b − a)C(n)i

I =∫ b

af (x) dx ≈ (b − a)

n∑i=0

C(n)i f (xi)

为xi = a + ih(i = 0, 1, · · · , n), h =b − a

n∏j=0, j,i

x − x j

xi − x jdx = h

n∏j=0, j,i

t − ji − j

=b − a

(−1)n−i

i!(n − i)!

n∏j=0, j,i

(t − j) dt

C(n)i =

(−1)n−i

i!(n − i)!

n∏j=0, j,i

(t − j) dt ⇒ Ai = (b − a)C(n)i

I =∫ b

af (x) dx ≈ (b − a)

n∑i=0

C(n)i f (xi)

为xi = a + ih(i = 0, 1, · · · , n), h =b − a

n∏j=0, j,i

x − x j

xi − x jdx = h

n∏j=0, j,i

t − ji − j

=b − a

(−1)n−i

i!(n − i)!

n∏j=0, j,i

(t − j) dt

C(n)i =

(−1)n−i

i!(n − i)!

n∏j=0, j,i

(t − j) dt ⇒ Ai = (b − a)C(n)i

I =∫ b

af (x) dx ≈ (b − a)

n∑i=0

C(n)i f (xi)

性质 (柯特斯系数C(n)i )

1 对称性：C(n)

i = C(n)n−i

2 权性：n∑

C(n)i = 1

n = 1（梯形(Trapezoidal)公式）

C(1)0 = C(1)

0t dt =

I =∫ b

af (x) dx ≈

b − a2

[ f (a) + f (b)]

By = f (x)

n = 1（梯形(Trapezoidal)公式）

C(1)0 = C(1)

0t dt =

I =∫ b

af (x) dx ≈

b − a2

[ f (a) + f (b)]

By = f (x)

n = 2（辛普森(Simpson)公式）

C(2)0 = C(2)

0t(t − 1) dt =

16, C(2)

0t(t − 2) dt =

I =∫ b

af (x) dx ≈

b − a6

[f (a) + 4 f

(a + b

)+ f (b)

]n = 3（辛普森(Simpson)3/8公式）

I =∫ b

af (x) dx ≈

b − a8

[f (x0) + 3 f (x1) + 3 f (x2) + f (x3)

]n = 4（柯特斯(Cotes)公式）

I =∫ b

af (x) dx ≈

b − a90

[7 f (x0) + 32 f (x1) + 12 f (x2) + 32 f (x3) + 7 f (x4)

]张晓平 () 数值计算方法 November 21, 2013 20 / 59

n C(n)i

5 19288

6 41840

216840

272840

216840

7 75117280

357717280

132317280

298917280

132317280

357717280

75117280

8 98928350

588828350

−92828350

1049628350

−454028350

1049628350

−92828350

588828350

98928350

由表可看出，当n较大时，柯特斯西系数变得复杂，且出现负项，计算过程的稳定性没有保证。梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式是最基本、最常用的

求积公式。张晓平 () 数值计算方法 November 21, 2013 21 / 59

定理 (截断误差)

1 若 f ′′(x)在[a, b]上连续，则梯形公式的截断误差为

R1( f ) = −(b − a)3

12f ′′(ξ), ξ ∈ [a, b]

2 若 f (4)(x)在[a, b]上连续，则辛普森公式的截断误差为

R2( f ) = −(b − a)5

2880f (4)(ξ) = −

(b − a

f (4)(ξ), ξ ∈ [a, b]

3 若 f (6)(x)在[a, b]上连续，则柯特斯公式的截断误差为

R4( f ) = −(b − a)7

1013760f (4)(ξ) = −

(b − a

f (6)(ξ), ξ ∈ [a, b]

试分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算I =∫ 1

√x dx，并与精确解

进行比较。

精确解为I = 23

∣∣∣∣∣10.5= 0.42096441

1 梯形公式： I ≈0.52

0.5 + 1) ≈ 0.4267767

2 辛普森公式： I ≈0.56

0.5 + 4√

0.75 + 1) ≈ 0.43093403

3 柯特斯公式：

I ≈0.590

0.5 + 32√

0.625 + 12√

0.75 + 32√

0.875 + 7) ≈ 0.43096407

试分别用梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式计算I =∫ 1

√x dx，并与精确解

进行比较。

精确解为I = 23

∣∣∣∣∣10.5= 0.42096441

1 梯形公式： I ≈0.52

0.5 + 1) ≈ 0.4267767

2 辛普森公式： I ≈0.56

0.5 + 4√

0.75 + 1) ≈ 0.43093403

3 柯特斯公式：

I ≈0.590

0.5 + 32√

0.625 + 12√

0.75 + 32√

0.875 + 7) ≈ 0.43096407

1 6.0 简介

2 6.1 Newton-Cotes公式

6.2.1 复化求积公式

定义 (复化求积公式)为提高数值积分的精度，将[a, b]等分为n个子区间，在每个区间上用基本求积公式，然后再累加成新的求积公式，这样既可提高结果的精度，又可使算法简便易于实现。这种求积公式成为复化求积公式。

将[a, b]进行n等分，记节点为xi = a + ih(i = 0, 1, · · · , n)，h = b−an 称为步长，子

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

1 复化梯形公式

在每个子区间[xi−1, xi]应用梯形公式，有∫ xi

xi−1

f (x) dx ≈h2

[ f (xi−1) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

累加得复化梯形公式

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h2

f (a) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ Tn

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h2

[ f (xi−1) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h2

f (a) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ Tn

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h2

[ f (xi−1) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h2

f (a) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ Tn

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h2

[ f (xi−1) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h2

f (a) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ Tn

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h2

[ f (xi−1) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h2

f (a) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ Tn

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h2

[ f (xi−1) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h2

f (a) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ Tn

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h2

[ f (xi−1) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h2

f (a) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ Tn

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h2

[ f (xi−1) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h2

f (a) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ Tn

1 11 12 2 2 2 2

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

1 复化Simpson公式

在每个子区间[xi−1, xi]应用Simpson公式，有∫ xi

xi−1

f (x) dx ≈h6

[ f (xi−1) + 4 f (xi− 12) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

累加得复化Simpson公式

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h6

f (a) + 4n−1∑i=0

f (xi+ 12) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ S n

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h6

[ f (xi−1) + 4 f (xi− 12) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h6

f (a) + 4n−1∑i=0

f (xi+ 12) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ S n

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h6

[ f (xi−1) + 4 f (xi− 12) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h6

f (a) + 4n−1∑i=0

f (xi+ 12) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ S n

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h6

[ f (xi−1) + 4 f (xi− 12) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h6

f (a) + 4n−1∑i=0

f (xi+ 12) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ S n

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h6

[ f (xi−1) + 4 f (xi− 12) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h6

f (a) + 4n−1∑i=0

f (xi+ 12) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ S n

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h6

[ f (xi−1) + 4 f (xi− 12) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h6

f (a) + 4n−1∑i=0

f (xi+ 12) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ S n

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h6

[ f (xi−1) + 4 f (xi− 12) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h6

f (a) + 4n−1∑i=0

f (xi+ 12) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ S n

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h6

[ f (xi−1) + 4 f (xi− 12) + f (xi)], i = 1, 2, · · · , n

af (x) dx =

n∑i=1

∫ xi

xi−1

f (x) dx

n∑i=1

[ f (xi−1) + f (xi)] =h6

f (a) + 4n−1∑i=0

f (xi+ 12) + 2

n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

≡ S n

1 141 12 2 2 2 24 4 4 4 4 4

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

1 复化柯特斯公式

在每个子区间[xi−1, xi]应用柯特斯公式，有∫ xi

xi−1

f (x) dx ≈h

90[7 f (xi−1) + 32 f (xi− 1

4) + 12 f (xi− 1

2) + 32 f (xi− 3

4) + 7 f (xi)],

累加得复化柯特斯公式

I ≈h

7 f (a) + 32n−1∑i=0

f (xi+ 14) + 12

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

+32n−1∑i=0

f (xi+ 34) + 14

n−1∑i=1

f (xi) + 7 f (b)

≡ Cn

7 732 12 32

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h

90[7 f (xi−1) + 32 f (xi− 1

4) + 12 f (xi− 1

2) + 32 f (xi− 3

4) + 7 f (xi)],

I ≈h

7 f (a) + 32n−1∑i=0

f (xi+ 14) + 12

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

+32n−1∑i=0

f (xi+ 34) + 14

n−1∑i=1

f (xi) + 7 f (b)

≡ Cn

7 732 12 32

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h

90[7 f (xi−1) + 32 f (xi− 1

4) + 12 f (xi− 1

2) + 32 f (xi− 3

4) + 7 f (xi)],

I ≈h

7 f (a) + 32n−1∑i=0

f (xi+ 14) + 12

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

+32n−1∑i=0

f (xi+ 34) + 14

n−1∑i=1

f (xi) + 7 f (b)

≡ Cn

7 732 12 32

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h

90[7 f (xi−1) + 32 f (xi− 1

4) + 12 f (xi− 1

2) + 32 f (xi− 3

4) + 7 f (xi)],

I ≈h

7 f (a) + 32n−1∑i=0

f (xi+ 14) + 12

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

+32n−1∑i=0

f (xi+ 34) + 14

n−1∑i=1

f (xi) + 7 f (b)

≡ Cn

7 732 12 32

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h

90[7 f (xi−1) + 32 f (xi− 1

4) + 12 f (xi− 1

2) + 32 f (xi− 3

4) + 7 f (xi)],

I ≈h

7 f (a) + 32n−1∑i=0

f (xi+ 14) + 12

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

+32n−1∑i=0

f (xi+ 34) + 14

n−1∑i=1

f (xi) + 7 f (b)

≡ Cn

7 732 12 32

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h

90[7 f (xi−1) + 32 f (xi− 1

4) + 12 f (xi− 1

2) + 32 f (xi− 3

4) + 7 f (xi)],

I ≈h

7 f (a) + 32n−1∑i=0

f (xi+ 14) + 12

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

+32n−1∑i=0

f (xi+ 34) + 14

n−1∑i=1

f (xi) + 7 f (b)

≡ Cn

7 732 12 32

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h

90[7 f (xi−1) + 32 f (xi− 1

4) + 12 f (xi− 1

2) + 32 f (xi− 3

4) + 7 f (xi)],

I ≈h

7 f (a) + 32n−1∑i=0

f (xi+ 14) + 12

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

+32n−1∑i=0

f (xi+ 34) + 14

n−1∑i=1

f (xi) + 7 f (b)

≡ Cn

7 732 12 32

区间为[xi−1, xi](i = 1, 2, · · · , n)。

xi−1

f (x) dx ≈h

90[7 f (xi−1) + 32 f (xi− 1

4) + 12 f (xi− 1

2) + 32 f (xi− 3

4) + 7 f (xi)],

I ≈h

7 f (a) + 32n−1∑i=0

f (xi+ 14) + 12

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

+32n−1∑i=0

f (xi+ 34) + 14

n−1∑i=1

f (xi) + 7 f (b)

≡ Cn

7 732 12 32

7 732 12 327 714 14 14 14 1432 12 32 32 12 32 32 12 32 32 12 32 32 12 32 32 12 32

定理

设 f (x)在[a, b]上有连续的二阶导数，则复化梯形公式的截断误差为

RT ( f ) = −b − a

12h2 f ′′(ξ), ξ ∈ (a, b).

RS ( f ) = −b − a2880

h4 f (4)(ξ), ξ ∈ (a, b).

RC( f ) = −2(b − a)

f (6)(ξ), ξ ∈ (a, b).

定理

RT ( f ) = −b − a

12h2 f ′′(ξ), ξ ∈ (a, b).

RS ( f ) = −b − a2880

h4 f (4)(ξ), ξ ∈ (a, b).

RC( f ) = −2(b − a)

f (6)(ξ), ξ ∈ (a, b).

定理

RT ( f ) = −b − a

12h2 f ′′(ξ), ξ ∈ (a, b).

RS ( f ) = −b − a2880

h4 f (4)(ξ), ξ ∈ (a, b).

RC( f ) = −2(b − a)

f (6)(ξ), ξ ∈ (a, b).

计算I =∫ 1

0 ex dx，若要求误差不超过 12 × 10−4，分别用复化梯形公式和复

化Simpson公式计算，问至少需要多少个节点？

由 f (x) = f ′′(x) = f (4)(x) = ex得

maxx∈[0,1]

| f ′′(x)| = maxx∈[0,1]

| f (4)(x)| = e

由复化梯形公式的截断误差知

|RT ( f )| ≤e

12n2 ≤12× 10−4 ⇒ n > 67.3

故用复化梯形公式n至少取68，即需69个节点。由复化Simpson公式的截断误差知

|RS ( f )| ≤e

2880n4 ≤12× 10−4 ⇒ n > 2.1

故用复化Simpson公式n至少取3，即需7个节点。张晓平 () 数值计算方法 November 21, 2013 31 / 59

计算I =∫ 1

由 f (x) = f ′′(x) = f (4)(x) = ex得

maxx∈[0,1]

| f ′′(x)| = maxx∈[0,1]

| f (4)(x)| = e

|RT ( f )| ≤e

12n2 ≤12× 10−4 ⇒ n > 67.3

|RS ( f )| ≤e

2880n4 ≤12× 10−4 ⇒ n > 2.1

计算I =∫ 1

由 f (x) = f ′′(x) = f (4)(x) = ex得

maxx∈[0,1]

| f ′′(x)| = maxx∈[0,1]

| f (4)(x)| = e

|RT ( f )| ≤e

12n2 ≤12× 10−4 ⇒ n > 67.3

|RS ( f )| ≤e

2880n4 ≤12× 10−4 ⇒ n > 2.1

计算I =∫ 1

由 f (x) = f ′′(x) = f (4)(x) = ex得

maxx∈[0,1]

| f ′′(x)| = maxx∈[0,1]

| f (4)(x)| = e

|RT ( f )| ≤e

12n2 ≤12× 10−4 ⇒ n > 67.3

|RS ( f )| ≤e

2880n4 ≤12× 10−4 ⇒ n > 2.1

计算I =∫ 1

由 f (x) = f ′′(x) = f (4)(x) = ex得

maxx∈[0,1]

| f ′′(x)| = maxx∈[0,1]

| f (4)(x)| = e

|RT ( f )| ≤e

12n2 ≤12× 10−4 ⇒ n > 67.3

|RS ( f )| ≤e

2880n4 ≤12× 10−4 ⇒ n > 2.1

计算I =∫ 1

由 f (x) = f ′′(x) = f (4)(x) = ex得

maxx∈[0,1]

| f ′′(x)| = maxx∈[0,1]

| f (4)(x)| = e

|RT ( f )| ≤e

12n2 ≤12× 10−4 ⇒ n > 67.3

|RS ( f )| ≤e

2880n4 ≤12× 10−4 ⇒ n > 2.1

1 6.0 简介

6.2.2 变步长求积公式

将[a, b]n等分，共n + 1个节点，复化梯形公式为

Tn =h2

f (a) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

将[a, b]2n等分，共2n + 1个节点。为讨论二分前后两个积分值的关系，考察一

个子区间[xi, xi+1]，其中点为xi+ 12，该子区间上二分前后两个积分值为

T1 =h2

[f (xi) + f (xi+1)

], T2 =

[f (xi) + 2 f (xi+ 1

2) + f (xi+1)

]两者关系为

T2 =12

T1 +h2

f (xi+ 12)

累加得

T2n =12

Tn +h2

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

将[a, b]n等分，共n + 1个节点，复化梯形公式为

Tn =h2

f (a) + 2n−1∑i=1

f (xi) + f (b)

将[a, b]2n等分，共2n + 1个节点。为讨论二分前后两个积分值的关系，考察一

个子区间[xi, xi+1]，其中点为xi+ 12，该子区间上二分前后两个积分值为

T1 =h2

[f (xi) + f (xi+1)

], T2 =

[f (xi) + 2 f (xi+ 1

2) + f (xi+1)

]两者关系为

T2 =12

T1 +h2

f (xi+ 12)

累加得

T2n =12

Tn +h2

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

T2n =12

Tn +h2

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

实际计算T2n时，Tn为已知数据，只需累加新增节点xi+ 12的函数值 f (xi+ 1

2)，这可

使计算量节约一半。

常用T2n − Tn < ε是否满足作为控制计算精度的条件：

1 若满足，则取T2n为I的近似值

2 若不满足，则再将区间分半，直到满足精度为止。

T2n =12

Tn +h2

n−1∑i=0

f (xi+ 12)

实际计算T2n时，Tn为已知数据，只需累加新增节点xi+ 12的函数值 f (xi+ 1

2)，这可

使计算量节约一半。

常用T2n − Tn < ε是否满足作为控制计算精度的条件：

1 若满足，则取T2n为I的近似值

2 若不满足，则再将区间分半，直到满足精度为止。

1 6.0 简介

6.2.3 龙贝格求积公式

由复化梯形公式的截断误差可得

I − T2n

I − Tn=

f ′′(η1)f ′′(η2)

若 f ′′在[a, b]上变化不大，即有 f ′′(η1) ≈ f ′′(η2)，则在二分之后的误差是原先误差的 1

4倍，即I − T2n

I − Tn=

14⇒ I ≈

T2n −14

Tn ≡ T̄

T̄应当比T2n更接近I。易验证S n = T̄

I − T2n

I − Tn=

f ′′(η1)f ′′(η2)

4倍，即I − T2n

I − Tn=

14⇒ I ≈

T2n −14

Tn ≡ T̄

I − T2n

I − Tn=

f ′′(η1)f ′′(η2)

4倍，即I − T2n

I − Tn=

14⇒ I ≈

T2n −14

Tn ≡ T̄

由复化Simpson公式逐步二分，有

I − S 2n

I − S n=

116⇒ I ≈

S 2n −1

15S n ≡ S̄

易验证Cn = S̄

由复化Simpson公式逐步二分，有

I − S 2n

I − S n=

116⇒ I ≈

S 2n −1

15S n ≡ S̄

易验证Cn = S̄

由复化柯特斯公式逐步二分，有

I −C2n

I −Cn=

164⇒ I ≈

C2n −163

Cn ≡ Rn

该公式称为龙贝格公式

由复化柯特斯公式逐步二分，有

I −C2n

I −Cn=

164⇒ I ≈

C2n −163

Cn ≡ Rn

该公式称为龙贝格公式

如此进行三次，便将粗糙的梯形公式逐步加工成精度较高的龙贝格公式，这种加速方法成为龙贝格算法，计算步骤如下：

T1↓ ↘

T2 −→ S 1↓ ↘ ↘

T4 −→ S 2 −→ C1↓ ↘ ↘ ↘

T8 −→ S 3 −→ C2 −→ R1↓ ↘ ↘ ↘

T16 −→ S 4 −→ C3 −→ R2

用龙贝格算法计算I =∫ 1

41 + x2 dx，要求误差不超过 1

2 × 10−5

k n = 2k T2k S 2k−1 C2k−2 R2k−3

0 1 31 2 3.1 3.1333332 4 3.131177 3.141569 3.1421183 8 3.138989 3.141593 3.141595 3.1415864 16 3.140942 3.141593 3.141593 3.1415935 32 3.141430 3.141593 3.141593 3.141593

用龙贝格算法计算I =∫ 1

41 + x2 dx，要求误差不超过 1

2 × 10−5

k n = 2k T2k S 2k−1 C2k−2 R2k−3

0 1 31 2 3.1 3.1333332 4 3.131177 3.141569 3.1421183 8 3.138989 3.141593 3.141595 3.1415864 16 3.140942 3.141593 3.141593 3.1415935 32 3.141430 3.141593 3.141593 3.141593

1 6.0 简介

6.3.1 代数精度

定义

若求积公式 ∫ b

af (x) dx ≈

n∑i=0

Ak f (xk)

对任意次数不高于m次的代数多项式都准确成立，但对于m + 1次多项式不精确成立，则该求积公式具有m次代数精度。

由该定义可看出：求积公式∫ b

af (x) dx ≈

n∑i=0

Ak f (xk)

具有m次代数精度的充要条件是该公式对 f (x) = 1, x, · · · , xm能准确成立，但

对 f (x) = xm+1不能准确成立。

6.3.1 代数精度

定义

若求积公式 ∫ b

af (x) dx ≈

n∑i=0

Ak f (xk)

对任意次数不高于m次的代数多项式都准确成立，但对于m + 1次多项式不精确成立，则该求积公式具有m次代数精度。

由该定义可看出：求积公式∫ b

af (x) dx ≈

n∑i=0

Ak f (xk)

具有m次代数精度的充要条件是该公式对 f (x) = 1, x, · · · , xm能准确成立，但

对 f (x) = xm+1不能准确成立。

6.3.1 代数精度

定理

含n + 1个节点xi(i = 0, 1, · · · , n)的插值型求积公式的代数精度至少为n

6.3.1 代数精度

定理

牛顿-科特斯公式的代数精度至少为n。特别地，当n为偶数时，牛顿-科特斯公式的代数精度可以达到n + 1。

证明.以下验证当n = 2k时，公式对 f (x) = xn+1精确成立。由误差

f (n+1)(ξ)(n + 1)!

ω(x) dx

x=a+ih======= hn+2

0t(t − 1) · · · (t − n) dt

n=2k====== hn+2

∫ 2k

0t(t − 1) · · · (t − k)(t − k − 1) · · · (t − 2k − 1)(t − 2k) dt

u=t−k====== hn+2

−k(u + k)(u + k − 1) · · · u(u − 1) · · · (u − k + 1)(u − k) dt

�张晓平 () 数值计算方法 November 21, 2013 45 / 59

6.3.1 代数精度

定理

牛顿-科特斯公式的代数精度至少为n。特别地，当n为偶数时，牛顿-科特斯公式的代数精度可以达到n + 1。

证明.以下验证当n = 2k时，公式对 f (x) = xn+1精确成立。由误差

f (n+1)(ξ)(n + 1)!

ω(x) dx

x=a+ih======= hn+2

0t(t − 1) · · · (t − n) dt

n=2k====== hn+2

∫ 2k

0t(t − 1) · · · (t − k)(t − k − 1) · · · (t − 2k − 1)(t − 2k) dt

u=t−k====== hn+2

−k(u + k)(u + k − 1) · · · u(u − 1) · · · (u − k + 1)(u − k) dt

�张晓平 () 数值计算方法 November 21, 2013 45 / 59

1 6.0 简介

6.3.2 高斯型求积公式

当节点等距时，插值型求积公式的代数精度为n或n + 1。若对节点适当选择，可提高插值型求积公式的代数精度。对具有n + 1个节点的插值型求积公式，其代数精度最高可达2n + 1。

定义

将n + 1个节点的具有2n + 1次代数精度的插值型求积公式为∫ b

af (x) dx ≈

n∑k=0

Ak f (xk)

称为高斯型求积公式，节点xk为高斯点，Ak为高斯系数。

以∫ 1−1 f (x) dx为例，一点高斯公式为中矩形公式∫ 1

−1f (x) dx ≈ 2 f (0),

高斯点为x0 = 0，系数为A0 = 2。

以∫ 1−1 f (x) dx为例，两点高斯公式∫ 1

−1f (x) dx ≈ A0 f (x0) + A1 f (x1),

具有三次代数精度，即要求对 f (x) = 1, x, x2, x3准确成立，有

A0 + A1 = 2,

A0x0 + A1x1 = 0,

A0x20 + A1x2

1 =23 ,

A0x30 + A1x3

可解得x0 = −x1 = −1√

3, A0 = A1 = 1，公式为

−1f (x) dx ≈ f

af (x) dx =

b − a2

−1f(

b − a2

t +a + b

对应的两点高斯型求积公式为∫ b

af (x) dx ≈

b − a2

a − b

a + b2

(b − a

a + b2

定理

节点xk(k = 0, 1, · · · , n)为高斯点的充分必要条件是以这些点为零点的多项式ωn+1(x) =

∏ni=0(x − xi)与任意次数不超过n的多项式P(x)在[a, b]上正交，即∫ b

aP(x)ωn+1(x) dx = 0.

证明

⇒ 设xk(k = 0, 1, · · · , n)为插值型求积公式的高斯点，P(x)为次数不超过n的多项式，则P(x)ωn+1(x)为次数不超过2n + 1的多项式。由高斯点定义知∫ b

aP(x)ωn+1(x) dx =

n∑k=0

AkP(xk)ωn+1(xk) = 0

证明.

⇐ 设ωn+1(x)与任意的次数不超过n的多项式正交，设 f (x)是任一次数不超过2n + 1的多项式，则必存在次数不超过n的多项式P(x),Q(x)，使得

f (x) = P(x)ωn+1(x) + Q(x)

由插值型求积公式至少具有n次代数精度，知∫ b

af (x) dx =

aP(x)ωn+1(x) dx +

aQ(x) dx

= 0 +∫ b

aQ(x) dx = 0 +

n∑k=0

AkQ(xk)

n∑k=0

Ak[P(xk)ωn+1(xk) + Q(xk)] =n∑

Ak f (xk)

证明.

⇐ 设ωn+1(x)与任意的次数不超过n的多项式正交，设 f (x)是任一次数不超过2n + 1的多项式，则必存在次数不超过n的多项式P(x),Q(x)，使得

f (x) = P(x)ωn+1(x) + Q(x)

由插值型求积公式至少具有n次代数精度，知∫ b

af (x) dx =

aP(x)ωn+1(x) dx +

aQ(x) dx

= 0 +∫ b

aQ(x) dx = 0 +

n∑k=0

AkQ(xk)

n∑k=0

Ak[P(xk)ωn+1(xk) + Q(xk)] =n∑

Ak f (xk)

证明.于是，求积公式至少具有2n + 1次代数精度，而对于2n + 2次多项

式 f (x) = ω2n+1(x)，有

n+1(x) dx > 0。所以，求积公式的代数精度

为2n + 1，xk(k = 0, 1, · · · , n)为高斯点。 �

1 具有n + 1个节点的插值型求积公式的代数精度最高可达到2n + 1，因此高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式。

2 定理给出了求高斯点的方法：找与任意的次数不超过n的多项式P(x)在[a, b]上正交的多项式

ωn+1(x) =n∏

(x − xk)

其零点xk(k = 0, 1, · · · , n)即为高斯点。

证明求积公式 ∫ 1

−1f (x) dx ≈

[5 f (−√

0.6) + 8 f (0) + 5 f (√

对于不高于5次的多项式准确成立，并计算I =∫ 1

sin x1 + x

dx（取5位有效数字）

1 6.0 简介

6.3.3 勒让德多项式

定义

以高斯点xk(k = 1, 2, · · · , n)为零点的n次多项式

Pn(x) = ωn(x) =n∏

(x − xk)

在[−1, 1]上，勒让德多项式为

Pn(x) =1

2nn!dn

dxn [(x2 − 1)n]

如：P1(x) = x,

P2(x) = x2 −13,

P3(x) = x3 −35

P4(x) = x4 −3035

这样，可先求勒让德多项式的零点即可求得高斯点xk，进而求出求积系数Ak，如三点高斯型求积公式为∫ 1

−1f (x) dx ≈

−√35

f (0) +59

november 21, 2013xpzhang.me/teach/cm18_fall/slide06.pdf · 6.1 newton-cotesl 6.1.3. newton-cotesl n...

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