nÖtron transport denklemİnİn ÇÖzÜmÜnde …acikarsiv.ankara.edu.tr/browse/23842/demet...
TRANSCRIPT
ANKARA ÜNİVERSİTESİ FEN BİLİMLERİ ENSTİTÜSÜ
DOKTORA TEZİ
NÖTRON TRANSPORT DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN YARI-ANALİTİK YÖNTEMLER VE UYGULAMALARI
Demet TÜRECİ
FİZİK ANABİLİM DALI
ANKARA 2010
Her hakkı saklıdır
i
ÖZET
Doktora Tezi
NÖTRON TRANSPORT DENKLEMİNİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN YARI-ANALİTİK YÖNTEMLER ve UYGULAMALARI
Demet TÜRECİ
Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Anabilim Dalı
Danışman: Yrd. Doç. Dr. Mustafa Ç. GÜLEÇYÜZ Bu tezde, nötron transport denkleminin çözümünde kullanılan Case yöntemi, CN yöntemi, Singüler özfonksiyonlar yöntemi, PL yöntemi, FN yöntemi ile HN yöntemi (Modifiye FN) incelenmiştir. Bu yöntemlerden Singüler özfonksiyonlar yöntemi ile kuadratik anizotropik saçılma için yarı uzay albedo problemi, PL yöntemi ile kuadratik anizotropik saçılma için 1c = durumunda Milne problemi, HN yöntemi ile kuadratik anizotropik ve triplet anizotropik saçılmalar için sabit kaynak albedo problemi, izotropik, lineer anizotropik ve kuadratik anizotropik saçılmalar için slab albedo problemi, lineer anizotropik ve kuadratik anizotropik saçılmalar için milne problemi ve izotropik, lineer anizotropik ile kuadratik anizotropik saçılmalar için kritiklik problemleri incelenmiştir. Analitik çalışmalar sonrasında problemlere uygun bilgisayar programları geliştirilerek sayısal değerler hesaplanmıştır. Genel olarak bu yöntemler, yöntemlerin yakınsaklıkları ve anizotropik saçılmaların ilgili fiziksel problemlere olan etkisi incelenmiştir. Şubat 2010, 107 sayfa Anahtar Kelimeler: Nötron Transport Denklemi, Case Yöntemi, Singüler Özfonksiyonlar Yöntemi, HN Yöntemi, PL yöntemi, İzotropik Saçılma, Anizotropik Saçılma, Kritiklik Problemi, Albedo Problemi, Milne Problemi.
ii
ABSTRACT
Ph. D. Thesis
THE SEMI-ANALITYCAL METHODS FOR THE NEUTRON TRANSPORT EQUATION AND ITS APPLICATIONS
Demet TÜRECİ
Ankara University Graduate School of Natural and Applied Sciences
Department of Physics
Supervisor: Assist. Prof. Dr. Mustafa Ç. GÜLEÇYÜZ In this thesis, the methods of Case, CN, Singular eigenfunction, PL, FN and HN (Modified FN method) which are used in solving the neutron transport equation have been studied. Here the half space albedo problem for quadratic anisotropic scattering with singular eigenfunction method, the Milne’s problem for quadratic anisotropic scattering in case 1c = with PL method, the constant source albedo problem for quadratic anisotropic and triplet scattering, the slab albedo problem for isotropic, linear anisotropic and quadratic anisotropic scattering, the Milne’ s problem for linear anisotropic and quadratic anisotropic scattering and the criticality problem for isotropic, linear anisotropic and quadratic anisotropic scattering with HN method have been solved. The numerical calculations corresponding to the analytical results were performed writing some computer programs. Generally the methods, their convergences and the effects of the anisotropic scatterings on the physical problems were examined. February 2010, 107 pages Key Words: Neutron Transport Equation, Case’s Method, the Singular Eigenfunctions method, HN method, PL method, the Isotropic Scattering, the Anisotropic Scattering, the Criticality Problem, the Albedo Problem, the Milne Problem.
iii
TEŞEKKÜR Çalışmalarımda manevi ve teknik alanda desteğini esirgemeyen, bireysel gelişimime
katkıda bulunan danışman hocam sayın Yrd. Doç. Dr. Mustafa Çetin GÜLEÇYÜZ’e
(Ankara Üniversitesi Fizik ABD), tez izleme komiteleri sırasında bilgilerini cömertçe
paylaşan sayın Prof. Dr. Ayşe KAŞKAŞ’a (Ankara Üniversitesi Fizik ABD), tezin
her aşamasında madden ve manen her zaman yanımda olan, öğreten, sabreden ve
beni yüreklendiren sevgili eşim R. Gökhan TÜRECİ’ ye ve biricik aileme tüm
kalbimle teşekkür ediyorum.
Demet Türeci
Ankara, Şubat 2010
iv
İÇİNDEKİLER
ÖZET............................................................................................................................i
ABSTRACT................................................................................................................ii
TEŞEKKÜR...............................................................................................................iv
SİMGELER DİZİNİ...................................................................................................v
ŞEKİLLER DİZİNİ...................................................................................................vi
ÇİZELGELER DİZİNİ............................................................................................vii
1. GİRİŞ.......................................................................................................................1
2. TRANSPORT DENKLEM………………............................................................4
2.1 Tanımlar…………………………………………………………........................4
2.2 Nötron Transport Denkleminin Türetilmesi…………......................................8
2.3 Transport Denkleminin Çözümü ve Kullanılan Yaklaşımlar........................11
3. CASE YÖNTEMİ.................................................................................................16
3.1 Özdeğer ve Özfonksiyonların Belirlenmesi......................................................16
3.2 Sonsuz Ortam Green Fonksiyonu.....................................................................31
3.3 Placzek Lemması………………….…………………..………………………..35
4. TRANSPORT DENKLEMİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN
YARI-ANALİTİK YÖNTEMLER...................................................................38
4.1 CN Yöntemi .........................................................................................................38
4.2 Singüler Özfonksiyonlar Yöntemi …………………...………………………40
4.2.1 Singüler Özfonksiyonlar Yöntemi ile Yarı-Uzay Albedo Probleminin
İncelenmesi……………….…………………….……………..……...…….40
4.3 PL Yöntemi….…………………..…………………………………………........54
4.3.1 PL Yöntemi ile Kuadratik Anizotropik Saçılma için Milne Problemi……56
4.4 FN Yöntemi…………………………………..…………………………………61
4.5 HN Yöntemi (Modifiye FN Yöntemi)………….……………..…………..…….63
4.5.1 Sabit Kaynak Abedo Probemi ……………………………………...………65
4.5.2 Slab Albedo Problemi……………………….………………..……………...71
4.5.3 Milne Problemi ……………………………………….………..…………….79
4.5.4 Kritiklik Problemi……………………………….…………………………...85
5. TARTIŞMA VE SONUÇ …………………………………………..………......93
KAYNAKLAR …………………………………………………………...………..96
EKLER………………………………………………………………..……………99
v
EK 1 Mathematica 5.0 paket programında, Modifiye FN yöntemi ile kuadratik
saçılma için extrapolasyon uzaklığını hesaplayan program………..….100
EK 2 Mathematica 5.0 paket programında, PL yöntemi ile kuadratik saçılma
için extrapolasyon uzaklığını hesaplayan program………………….…102
EK 3 Mathematica 5.0 paket programında, HN yöntemi ile lineer anizotropik
saçılma için sabit kaynak albedo değerini hesaplayan program……....103
EK 4 Mathematica 5.0 paket programında, Modifiye FN yöntemi ile lineer
anizotropik saçılma için slab albedo probleminde yansıma ve geçiş
katsayılarını hesaplayan program………………………………………105
ÖZGEÇMİŞ ……………………………………………………………...……....107
vi
SİMGELER DİZİNİ
( )r, , tυΨr r
Nötron açısal yoğunluğu
υr
Nötron hız vektörü
t Zaman değişkeni
r r=r
Üç boyutlu uzayda konum değişkeni
Ωur
Nötronların ilerleme doğrultusu
′Ωuur
Nötronların saçılma doğrultusu
cosµ θ= Düzlem geometride nötronların ilerleme doğrultusu
cosµ θ′ ′= Düzlem geometride nötronların saçılma doğrultusu
( )r, , tρ υr
Nötron yoğunluğu
( )j r, , tυr r r
Açısal akım
( )J , ,r tυr r
Toplam açısal akım
( )J ,r tr r
Toplam akım
( ),l r υr r
Ortalama serbest yol
( ),c r υr r
İkincil nötron sayısı.
( ),rσ υr r
Makroskobik tesir kesiti
( )iN rr
rr
noktasında , i türündeki çekirdek sayısı
( )i υΣr
i türündeki çekirdeklerin toplam mikroskobik tesir kesiti
( ), ,r tυΨr r
rr
konumunda, vr
hızına sahip nötronların t anındaki sayısı
( ). , ,f r υ′Ω Ωuur ur r
Ωur
doğrultusunda ilerleyen nötronların ′Ωuur
doğrultusunda
saçılma olasılığını tanımlayan saçılma fonksiyonu
( ),f µ µ′ Düzlem geometride nötronların saçılma olasılığını tanımlayan
saçılma fonksiyonu
( ).lP ′Ω Ωuur ur
Legendre polinomu
vii
( ),x µΨ Düzlem geometride x noktası ve µ doğrultusundaki nötron
sayısı
( ),q x µ x konumunda bulunan kaynak terimi
c Tek hızlı yaklaşımda ikincil nötron sayısı
0v Kesikli özdeğerler
ν Sürekli özdeğerler
( )0 ,ν µΦ ± Kesikli özfonksiyonlar
( ),ν µΦ Sürekli özfonksiyon
P Cauchy prensip değer sembolü
( )δ ν µ− Dirac delta sembolü
( )λ ν Sürekli özdeğerlerin dağılım fonksiyonu
( )0νΛ Kesikli özdeğerlerin dağılım fonksiyonu
( ) ( )0 ,A Aν ν± Genel çözümde yer alan keyfi katsayılar
( ) 0, ,Aα ξ ξ ν ν= Sayısal analizde kullanılan ara fonksiyonlar
( ) 0, ,Bα ξ ξ ν ν= Sayısal analizde kullanılan ara fonksiyonlar
( )0N ν Kesikli özdeğerlerin diklik tanımına ait fonksiyon
( )N ν Sürekli özdeğerlerin diklik tanımına ait fonksiyon
nf Saçılma katsayısı
( )0 0;G x x µ µ→ → 0x noktasında bulunan kaynak tarafından, 0µ doğrultusunda
yayınlanan nötronların, x noktasındaki ve µ doğrultusundaki
akısı
( )H x Basamak fonksiyonu
( )ν µ+ CN yönteminde ortama giren akı
( )ν µ− CN yönteminde ortamdan çıkan akı
κ Kuvvet serisi mertebesi
aκ Kuvvet serisi açılımının katsayısı
( )LQ µ 2. tip Legendre polinomları
0z Extrapolasyon uzaklığı
viii
S Sabit kaynak terimi
( ),a µΨ x=a yüzeyinden çıkan akı
( ),a µΨ − x=a yüzeyinden giren akı
( ),a µΨ − − x=-a yüzeyinden çıkan akı
( ),a µΨ − a=-a yüzeyinden giren akı
( )0,µΨ x=0 yüzeyinden giren akı
( )0, µΨ − x=0 yüzeyinden çıkan akı
*A Abedo katsayısı *B Geçiş katsayısı
β Albedo
τ Slab ortamın yarı kalınlığı
a Kritik yarı kalınlık
ix
ŞEKİLLER DİZİNİ
Şekil 2.1 dV hacim elemanı ve dΩur
katı açı ………………………………...……...4
Şekil 2.2 Boyu dtυr
ve taban alanı da dS olan silindir içinden geçen nötronlar…….6
Şekil 2.3 Saçılmadan önce ve sonra nötronun hareket doğrultusu…..…………….…8
Şekil 3.1 1c < için kökler…………………………………………………………...18
Şekil 3.2 1c > için kökler…………………………………………………………..19
Şekil 3.3 Bir yarı-uzay ve bir slab ortam için sonlu ortamın, sonsuz hale
dönüştürülmesi…………………………………………………………….35
Şekil 4.1 Albedonun hesaplanacağı yarı bölgeden oluşan ortam………………...…41
Şekil 4.2 Kuadratik saçılma için yarı-uzay albedo değerleri…………………...…...53
Şekil 4.3 Sonsuzdaki kaynağın ve yarı-uzay ortamın temsili gösterimi………….…57
Şekil 4.4 Extrapolasyon uzaklığının gösterimi…………………...…………………57
Şekil 4.5 [ ],x τ τ∈ − aralığında tanımlı ortam…………...………………………….71
Şekil 4.6 Kuadratik anizotropik saçılma için albedo ve geçiş katsayısının
0.8c = için saçılma açısına göre değişimi……………………………….79
Şekil 4.7 Çeşitli saçılmalar için extrapolasyon uzaklıklarının
ikincil nötron sayısı göre değişimi………………………………….…….82
Şekil 4.8 Farklı ikincil nötron sayıları için extrapolasyon uzaklıklarının
saçılma katsayısına göre değişimi…………………………………………84
Şekil 4.9 Reaktör kalınlığı ………………….…………………………………...….85
x
ÇİZELGELER DİZİNİ
Çizelge 3.1 İzotropik saçılma için kesikli özdeğerler………….……………………26
Çizelge 3.2 Lineer anizotropik saçılma için 1c < değerlerine karşı gelen
kesikli özdeğerler………..……………..……………………………….26
Çizelge 3.3 Lineer anizotropik saçılma için 1c > değerlerine karşı gelen
kesikli özdeğerler……………………………...………………………..27
Çizelge 3.4 Kuadratik anizotropik saçılma için 1c < değerlerine karşı gelen kesikli
özdeğerler………………………………………………………………..28
Çizelge 3.5 Kuadratik anizotropik saçılma için 1c > değerlerine karşı gelen kesikli
özdeğerler………………………………………………………………..29
Çizelge 3.6 Triplet anizotropik saçılma için c değerlerine karşı gelen kesikli
özdeğerler…………………………………………………………….….30
Çizelge 4.1 Kuadratik anizotropik saçılma için 0γ = durumunda
yarı-uzay albedo değerleri………………………………..……………..52
Çizelge 4.2 LP yöntemiyle kuadratik anizotropik saçılma durumu için
bulunan Milne değerleri…………………………………………………61
Çizelge 4.3 0.8c = ve 1S = için kuadratik anizotropik saçılmalı sabit kaynak
albedo değerleri………………………………………………………….70
Çizelge 4.4 0.8c = ve 1S = için triplet saçılmalı sabit kaynak
albedo değerleri…………………..………………………………….…..71
Çizelge 4.5 c=0.8 için izotropik saçılmalı albedo ve geçiş katsayıları……....…..…76
Çizelge 4.6 c=0.8 için lineer anizotropik saçılmalı albedo ve geçiş katsayıları…….77
Çizelge 4.7 0.8c = için kuadratik anizotropik saçılmalı albedo ve
geçiş katsayısı değerleri………………………………………………...78
Çizelge 4.8 1 0.1f = için lineer anizotropik saçılma durumunda
extrapolasyon uzaklıkları …………………………………….….……..81
Çizelge 4.9 2 0.02f = için kuadratik anizotropik saçılma durumunda
extrapolasyon uzaklıkları …………………………………….………...82
Çizelge 4.10 Kuadratik anizotropik saçılma için Milne değerleri………..…………83
Çizelge 4.11 İzotropik saçılma için bilinen ikincil nötron sayılarına
karşı gelen kritik kalınlık değerleri……….…………………………...89
xi
Çizelge 4.12 1.1c = ve 1 0.5f = için CN yönteminden elde edilen sonuçlar………..89
Çizelge 4.13 HN yöntemiyle çeşitli ikincil nötron sayıları ve saçılma katsayıları
için hesaplanmış olan kritik kalınlık değerleri…….………………..…90
Çizelge 4.14 Kuadratik anizotropik saçılma için çeşitli ikincil nötron sayılarına
karşı gelen Kritik kalınlık değerleri…………….…………………......91
Çizelge 4.15 Farklı yöntemler ile hesaplanmış kritik kalınlık değerleri…………….92
1
1. GİRİŞ
Artan nüfus ve buna bağlı olarak enerji ihtiyacı ile birlikte, var olan enerji kaynaklarının
zaman içerisinde tükenecek olması (fosil yakıtlar gibi), insanlığı çeşitli enerji
kaynaklarını üretmeye zorlamıştır. Bu ihtiyaca yönelik, ticari olarak 1950’li yıllarda
çalıştırılmaya başlanan nükleer reaktörlerin ve günümüzde sıkça sözü edilen
yenilenebilir enerji kaynaklarının kullanımı her gün daha fazla önem kazanmaktadır.
Nükleer enerji, atom çekirdeğinden elde edilen bir enerji türü olup, hafif radyoaktif
atomların birleşerek daha ağır atomları oluşturması yani füzyon ya da Uranyum,
Plutonyum gibi ağır radyoaktif atomların nötronlarla çarpıştırılması ile daha küçük
atomlara bölünmesi yani fisyon şeklinde olabilir. Güneşte görülen füzyon
tepkimesinden açığa çıkan enerji çok daha büyük olmasına rağmen, henüz dünya
üzerinde verimli bir şekilde füzyon enerjisinden faydalanabilme olanağı elde
edilememiştir. Günümüzde, fisyon tepkimelerinin gerçekleştirildiği reaktörler
çalıştırılmaktadır.
Nükleer enerjiyi zorlanmış olarak açığa çıkarma ve bu enerjiyi elektrik gibi farklı bir
enerjiye dönüştürme işi nükleer reaktörlerde gerçekleştirilmektedir.
Fisyon reaktörlerinde kullanılan ağır atomlar ya da diğer deyişle yakıt, genellikle
uranyum ve metan dioksittir. Atomların nötronlarla bombardıman edilmesi sonucunda
bazı radyoaktif atomlar, nötronlar ve enerji açığa çıkar. Üretilen nötronların yeni
radyoaktif elementlerle tekrar tekrar tepkimeye girmesi sonucunda zincirleme bir
reaksiyon oluşur. Bu zincirleme reaksiyon santrallerde kontrollü olarak
gerçekleştirilmekte, bunun için de nötron soğurma yeteneği yüksek olan bor ya da
kadminyumdan yapılan kontrol çubukları kullanılmaktadır. Bununla birlikte zincirleme
reaksiyonun kontrol altında tutulması için hızlı nötronların yavaşlatılmasına yönelik
olarak ağır su ya da karbondan yapılmış moderatörler kullanılmaktadır. İyi
moderatörler, amaca yönelik olarak, nötronları yavaşlatır ve fakat soğurmazlar. Bu olay
tezde ilgilenilen albedo problemi ile ilişkilidir. Albedo problemi, bir yüzeyden çıkan ve
bu yüzeyden giren net nötron akımlarının oranı olarak tanımlanır. İyi bir moderatörün
2
albedosunun 1 olması amaçlanır. Bu, moderatörün nötronu yutmadığı ve enerjisini
soğurarak nötronu yavaşlattığı ideal durumdur. Özetle, bir maddenin albedosuna
bakılarak, o maddenin yutuculuğu hakkında bilgi edinilebilir. Öte yandan albedo
problemine göre daha gerçekçi bir yaklaşım olan slab albedo probleminde ise bir
yüzeyden yansıyan ve bu yüzeyden içeri giren nötron akısı hesaplanarak, yüzeyin
yansıtıcılığı ve yine yutuculuğu belirlenir.
Nükleer reaktörlerde meydana gelen fisyon tepkimelerinin kontrollü bir şekilde
olabilmesi için, her fisyon sonunda bir nötronun açığa çıkması ve bu çıkan nötronun da
diğer fisyonu başlatması hedeflenir. Burada çoğalma çarpanından (multiplication factor)
bahsedilmelidir. Çoğalma çarpanı, herhangi bir nesilde meydana gelen fisyon sayısının,
hemen önceki nesilde meydana gelen fisyon sayısına oranını ifade eder. Eğer bu değer
bire eşit olursa, sistemin istenildiği üzere çalıştığı yani bir fisyonun sonrasında meydana
gelecek yalnızca bir fisyonu tetiklediği anlamına gelir. Bu durum kritik durum olarak
adlandırılır. Şayet çarpan birden büyükse, kritik üstü durum olur ve fisyon sayısının
zaman içerisinde arttığı anlaşılır. Çarpanın birden küçük olması ise, kritik altı durum
olup, reaksiyonun zaman içerisinde söndüğünü ifade eder. Reaktörlerin kritik durumda
çalışabilmesi için ortaya çıkan nötronların ya reaktör yüzeyinden sızması ya da reaktör
içerisinde yutulması gerekir. Bu da kritiklik problemi ile ilişkili olan durumdur.
Kritiklik probleminde, ortamın sınırlarından dışarı nötronun çıkmaması için, gerekli
olan ortam kalınlığı hesaplanmaktadır.
Reaktör içerisine dışarıdan nötron girişinin olmadığı kabul edildiğinde, reaktörün
dışının sonsuz büyüklükte bir vakumla sarmalandığı düşünülebilir. Bu durumda
reaktörden dışarı çıkan nötronların, bu ortamdan yansıyarak, reaktöre geri dönmeleri
beklenmez. İşte, reaktör yüzeyinden çıkan nötron akısının sıfır olduğu noktayı inceleyen
probleme de Milne problemi adı verilir.
Reaktör içerisindeki nötron akısının hesaplanmasında, ortam özellikleri ve sınır şartları
göz önünde bulundurularak nötron transport denklemi kullanılır. 1. tip nötron transport
denkleminin çözümünde kullanılan yöntemlerden Case, PL, FN, HN (Modifiye FN) ve
Singüler özfonksiyonlar yöntemi, bu tez çalışmasında incelenmiş ve bazı problemlere
3
uygulamaları yapılmıştır. Yukarıda bahsi geçen yöntemlerden Case yöntemi, tamamen
analitik bir yöntem olup diğer yöntemlerin de temelini teşkil etmektedir. Diğer
yöntemler yarı-analitik yöntemlerdir ve çeşitli problemlere uygulanmaları daha
kolaydır. Öte yandan yarı-analitik yöntemler ile ortamın herhangi bir noktasında çözüm
aranabilir. Fredholm denklemleri olarak da bilinen 3. tip nötron transport denklemi, CN
yöntemi ile çözülür ve tezde bu yöntem hakkında da kısaca bilgi verilmektedir. Yöntem
ortam sınırında çözüm arar ve yarı-analitik diğer yöntemlere göre yöntemin uygulaması
daha zordur. 2. tip nötron transport denklemi ise varyasyon yöntemi ile çözülür.
Tez çalışmasında, sırasıyla, nötron transport denklemi incelenmiş ve denklemin
çözümünde kullanılan Case, CN, Singüler özfonksiyonlar yöntemi, PL, FN, HN
yöntemleri incelenmiştir. Bu yöntemlerden Singüler özfonksiyonlar yöntemi ile yarı-
uzay albedo problemi, PL yöntemi ile Milne problemi, HN yöntemi ile de sabit kaynak
ve slab albedo problemleri ile Milne ve kritiklik problemleri çözülmüştür. Analitik
işlemleri yapılan problemlerin nümerik çözümleri de farklı saçılmalar için hesaplanarak,
çizelgeler halinde sunulmuştur. Tartışma ve sonuç bölümünde, çeşitli problemlerden
elde edilen sonuçlar ile bu sonuçların elde edildiği yöntemlerin yakınsaklıkları
incelenmiştir.
4
2. TRANSPORT DENKLEMİ 2.1 Tanımlar Nötron sayısı, nötron açısal yoğunluğu olarak adlandırılır ve
( )Açısal yoğunluk r, , tυ≡ Ψr r
(2.1)
ile gösterilir (Davison 1958, Case ve Zweifel 1967, Bell ve Glasstone 1970, Lewis ve
Miller 1984). Burada rr
uzaysal konum değişkeni, υ υ= Ωr ur
hız vektörü, Ωur
ise birim
vektördür. Bu durumda ( ) 3 3r, , t d rdυ υΨr r
, t anında, rr
noktası civarında 3cm birimiyle
belirlenen 3d r hacim elemanı içinde, υr
hızı civarındaki 3d υ hız uzayında beklenen
nötron sayısını verir.
Şekil 2.1 dV hacim elemanı ve dΩur
katı açı
Küresel koordinatlarda dΩur
katı açısı
sind d dθ θ ϕΩ = (2.2a)
şeklindedir. Burada cosµ θ= doğrultu elemanı tanımlanırsa, katı açı
5
d d dµ ϕΩ = (2.2b)
olur. Tüm doğrultular üzerinden nötron açısal yoğunluğunun integrali, nötron yoğunluğunu
verir:
( ) ( )4
Nötron yoğunluğu r, , r, ,t d tπ
υ ρ υ≡ Ψ Ω ≡∫r r r
(2.3)
Nötronlar hızları ile birlikte düşünüldüğünde açısal akım niceliği
( ) ( )Açısal akım j r, , r, ,t tυ υ υ≡ = Ψr r r r r r
(2.4)
ile verilir. Açısal akımı tanımladıktan sonra υr
hızı civarındaki 3d υ hız uzayı içinde,
yüzey normali $n olan dS yüzey alanından dt zamanında geçen nötron sayısı
( ) $ 3j r, , t ndSd dtυ υ⋅r r r
(2.5)
şeklinde verilir. Şekil 2.2’den daha detaylı görüleceği üzere, boyu dtυr
olan bir
silindirin taban alanı dS olmak üzere, tabanı dik olarak υr
hızıyla dt zamanında geçen
nötronların sayısı
$ ( ) ( ) $3 3r, , j r, ,n t d dtdS t nd dtdSυ υ υ υ υ⋅ Ψ = ⋅r r r r r r
(2.6)
olur. Ya da yukarıdaki ifade $dt ndSυ ⋅r
silindir hacmi ile hızları υr
civarında 3d υ
elemanı içindeki birim hacimdeki nötronların sayısı ( ) 3r, , t dυ υΨr r
’nin çarpımı olarak da
ifade edilebilir.
6
Şekil 2.2 Boyu dtυr
ve taban alanı da dS olan silindir içinden geçen nötronlar Açısal akımın tüm yönler üzerinden toplamı toplam açısal akımı verir:
( ) ( )4
Akım J , , j r, ,r t t dπ
υ υ≡ = Ω∫r r r r r ur
(2.7)
Tüm hızlar üzerinden toplamı da toplam akımı verir:
( ) ( ) 3Akım J , j r, ,r t t dυ υ≡ = ∫r r r r r
(2.8)
t ile t dt+ zaman aralığında υr
hızındaki 3d υ ve rr
noktasındaki 3d r içine giren
nötron sayısı ( ) 3 3, ,q r t d rd dtυ υr r
ile verilir. Bu terim kaynak terimine karşılık gelir. Bu
kaynak terimi, nötron çarpışmaları yani ( ), 2n n gibi fisyon tepkimelerinden ya da basit
nötron tepkimelerinden kaynaklanan nötronlar değildir. Kozmik ışın etkisi,
kendiliğinden olan fisyon tepkimeleri ya da ( ), nα ile gösterilen alfa parçacığı ile
nötron üretimi sağlayan tepkimelerden oluşan nötronları tanımlar (Lamarsh 1972).
υr
hızındaki nötronun bir başka nötron ile çarpışması arasındaki ortalama serbest yol
( )υrl ile gösterilir. Bu durumda birim zamanda yani saniyedeki çarpışma sayısı υ l
olur. rr
noktasındaki ve υr
hızındaki nötronlar göz önüne alındığında çarpışma oranı
( ) ( ) 3 3, ,,
r t d rdrυ υ υυ
Ψr r
r rl
(2.9)
7
olur. Ortalama serbest yolun tersi, makroskopik tesir kesiti olarak tanımlanır:
( ) ( ) ( ) ( )1 ,,
i i
ir N r
rσ υ υ
υ= = Σ∑
r r r rr r
l (2.10)
( ),rσ υr r
büyüklüğü, oluşan tüm çekirdeklerin tesir kesitlerinin toplamı olmak üzere;
( )iN rr
, rr
noktasında birim hacimde i türündeki çekirdeklerin sayısını, ( )i υΣr
ise i
türündeki çekirdeklerin toplam mikroskobik tesir kesitini ifade etmektedir.
rr
noktasında υr
hızındaki bir nötron tarafından çarpışma başına üretilen nötron sayısı,
ikincil nötron sayısı olup
( ) ( ) ( ) ( )( )
, , ,,
,s in fr r r
c rr
σ υ σ υ νσ υυ
σ υ
+ +=
r r r r r rr r
r r (2.11)
olarak tanımlanır. Burada ( ),s rσ υr r
saçılma tesir kesiti, ( ),in rσ υr r
inelastik çarpışma tesir
kesiti ve ν fisyon oranı olmak üzere ( ),f rσ υr r
fisyon tesir kesitidir. Eğer çarpışmalar
sonunda nötron üretimi yoksa 0f s inσ σ σ= = = , dolayısıyla 0c = olur.
( ) ( ) 3 3 3, , ; , ,t t r r t d d rd dtυ σ υ υ υ υ υ′ ′ ′ ′ ′→ Ψur r r r ur
terimi, υ′ hızı civarındaki 3d υ′ içindeki
nötronlar tarafından t′ anındaki çarpışmalar nedeniyle, t civarındaki dt anında υr
hızı
civarındaki 3d υ ve rr
noktasındaki 3d r hacim elemanı içine yayınlanan nötronların
olası sayısını tanımlar (Şekil 2.3).
8
Şekil 2.3 Saçılmadan önce ve sonra nötronun hareket doğrultusu
Daha önce yapılan tanımlar eşliğinde
( ) ( ) ( )3, , ,r d c r rσ υ υ υ υ σ υ′ ′ ′→ =∫ur r r r ur r ur
(2.12)
ifadesi yazılabilir. ( ), rσ υ υ′→ur r r
terimi normalize edilmiş ( )f υ υ′→ur r
fonksiyonu olarak
da düşünülebilir ki ( )f υ υ′→ur r
, nötronların saçılma olasılığını tanımlayan saçılma
fonksiyonu olarak adlandırılır.
2.2 Nötron Transport Denkleminin Türetilmesi rr
noktası civarında, S yüzeyine sahip küçük bir V hacmi içerisinde bulunan, υr
hızına
sahip 3d υ elemanındaki nötron sayısının dt zamanındaki değişimi dN ile gösterilir ve
( )3 3, ,
V
r tdN d dt d r
t
υυ
∂Ψ=
∂∫r r
(2.13)
ile verilir. Nötron sayısındaki dN değişimi
9
( )( )
( )
zamanında yüzeyinden çıkan net nötron sayısı
zamanında hacminde çarpışmalarla kaybedilen
nötron sayısı
çarpışmalar sonucu zamanında hacminde üretilen
hızına sahip ikincil nö
dN a dt S
b dt V
c dt V
υ
= −
−
+r
( )tron sayısı
kaynak tarafından zamanında hacminde üretilen
nötron sayısı
d dt V+
(2.14)
şeklinde de ifade edilebilir. Buradaki ( ) ( ) ( ) ( ), , ve a b c d terimleri sırasıyla şu
şekilde açıklanabilir. İlk terim hızında değişim olmaksızın giren ve çıkan nötronları,
ikinci terim konumunda değişim olmaksızın 3d υ hız uzayını terk eden nötronların
sayısını, üçüncü terim konumunda değişim olmaksızın 3d υ hız uzayına giren
nötronların sayısını ve son terim de kaynaklar tarafından ortama gönderilen nötron
sayısını tanımlar. Matematiksel olarak
( ) ( ) $3 3 3, ,S V
a d dt j r t n dS d dt j d rυ υ υ= ⋅ ≡ ∇⋅∫ ∫r r r ur r
(2.15a)
şeklindedir. Burada $n , dS yüzeyinin normalidir. Bu terim Gauss teoreminden
faydalanılarak hacim integraline dönüştürülmüştür. Benzer şekilde ikinci terim
( ) ( ) ( )3 3, ,,V
b d dt r t d rrυυ υυ
= Ψ∫r r
r rl
(2.15b)
olur. Üçüncü terim
( ) ( ) ( )3 3 3, , ,V
c d dt r t r d d rυ υ υ σ υ υ υ′ ′ ′ ′= Ψ →∫∫r ur ur r r
(2.15c)
ve son terim de
10
( ) ( )3 3, ,V
d d dt q r t d rυ υ= ∫r r
(2.15d)
ile verilir. Denklem (2.15a-2.15d), Denklem (2.14)’te kullanılır ve Denklem (2.13)’e
eşitlenirse;
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
, ,, ,
,
, , , , ,
V V V
V V
r td dt d r d dt jd r d dt r t d r
t r
d dt r t r d d r d dt q r t d r
υ υυ υ υ υυ
υ υ υ σ υ υ υ υ υ
∂Ψ= − ∇⋅ − Ψ
∂
′ ′ ′ ′+ Ψ → +
∫ ∫ ∫
∫∫ ∫
r rur r r r
r rl
r ur ur r r r r
ifadesi elde edilir. Bu son ifadedeki tüm integraller hacim üzerinden yazılarak
eşitlendiğinden, integral terimi olmadan da birbirlerine eşit olmalıdır. Bu durumda
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )3
, ,, ,
,
, , , , ,
r tj r t
t r
r r t d q r t
υ υ υυ
υ σ υ υ υ υ υ
∂Ψ= −∇⋅ − Ψ
∂
′ ′ ′ ′+ → Ψ +∫
r rur r r r
r rl
ur r r r ur r r
olur. Eşitliğin sağ tarafındaki ilk terimde nötron açısal akımını tanımlayan Denklem
(2.4), ikinci terim içinde Denklem (2.10) ve integral ifadesi için de Denklem (2.12)
kullanılır ve denklem düzenlenirse
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )3
, ,, , , , ,
, , , , ,
r tr t r r t
tr r t d q r t
υυ υ υσ υ υ
υ σ υ υ υ υ υ
∂Ψ+ ⋅∇Ψ + Ψ =
∂′ ′ ′ ′+ → Ψ +∫
r rr ur r r r r r r
ur r r r ur r r (2.16)
ile verilen nötron transport denklemi elde edilir. Bu denklemde hız vektörü için υ υ= Ωr ur
tanımı kullanılır ve küresel koordinatlarda
3 2 2sind d d d d dυ υ υ θ θ ϕ υ υ′ ′ ′ ′ ′= = Ω
11
alınarak düzenlenirse, bu denklem son şekli ile
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 2
, ,1 . , , , , ,
1 1, , , , ,
r tr t r r t
t
q r t r r t d d
υυ σ υ υ
υ
υ υ σ υ υ υ υ υυ υ
∂Ψ Ω+Ω∇Ψ Ω + Ω Ψ Ω
∂
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′= Ω + Ω → Ω Ψ Ω Ω∫
r urur ur r ur r ur r ur
r ur uur ur r r uur (2.17)
olacaktır. 2.3 Transport Denkleminin Çözümü ve Kullanılan Yaklaşımlar Transport denklemi, genel şekli ile Denklem (2.16) ile verilir. Bu denklemde üç tane
konum, üç tane hız ve zaman değişkeni olmak üzere toplam yedi değişken mevcuttur.
Bunun yanında denklem nötron çekirdek etkileşmelerini tanımlayan tesir kesitlerini de
içermektedir. Bu nedenle Denklem (2.16)’nın çözümü oldukça zordur. Son zamanlarda
tamamen nümerik yöntemler kullanılarak Denklem (2.16)’nın çözümü üzerine
çalışılmaktadır.
Bu tez kapsamında ise yarı-analitik yöntemler üzerine durulmuştur. Yarı-analitik
yöntemlerde, denklemin çözümü için bazı analitik hesaplamalar yapılır ve ardından elde
edilen bu analitik ifadelerin çözülmesi için sayısal yöntemlere başvurulur. Ancak
analitik hesaplamaların yapılabilmesi için Denklem (2.16)’ya bazı yaklaşımlarda
bulunulur.
Bu yaklaşımlardan ilki, nötron dağılımının dengede olduğunun düşünülmesidir. Söz
konusu bu denge nötron dağılımının, zaman içerisinde önemsenmeyecek küçük
dalgalanmaları dışında, değişmediği düşüncesidir. Böylece transport denklemindeki
zaman değişkeni doğal olarak da zaman türevi düşer. Bu olayın daha iyi açıklanması
için şu örnek üzerine durulabilir: Hacmi V olan bir kutunun tam ortasından bir bölme
ile kapatıldığı, bölmenin sağ tarafının bir gaz ile dolu ve sol tarafının da boş olduğu
düşünülsün. Sürgü kaldırıldıktan sonra sağ taraftaki gaz, sol tarafa yayılmaya
başlayacaktır. Eğer yeterince uzun süre beklenirse gaz molekülleri kutunun her yerine
eşit miktarda dağılacaktır. Böylece eskiden sürgünün bulunduğu bölgeden sola ya da
12
sağa doğru geçen gaz moleküllerinin sayısı eşit olacaktır. Yani gaz, zaman
değişkeninden bağımsız hale gelmiş ve dengeye ulaşmıştır.
İkinci yaklaşım, tüm nötronların eşit hız değerine sahip oldukları tek hızlı nötron
yaklaşımıdır. Bu yaklaşımda ortamdaki çekirdeklerle etkileşen ve fisyon tepkimeleri
sonucunda ortaya çıkan nötronların hızlarının aynı olduğu kabul edilir. Bu yaklaşım
gerçekteki durumdan çok da uzak olmayan geçerli bir yaklaşımdır. Böylece transport
denkleminden hızın değişkeni daha doğru bir ifade ile hızın büyüklüğü terimi çıkarılmış
olur. Daha ileri bir düşünce ile transport denklemi enerjiden bağımsız hale gelmiş olur.
Çünkü tüm nötronlar aynı enerjiye sahiptir. Bir hızlı yaklaşımda tesir kesiti
( ) ( ) ( )2, , ,r r
δ υ υσ υ υ σ υ
υ′−
′ ′→ = Ω ⋅Ωur r r uur ur r
(2.18)
şeklinde yazılır. Burada Denklem (2.12)’nin de kullanılmasıyla
( ) ( ) ( ) ( ), , , , , ,r c r d r d rσ υ υ σ υ σ υ′ ′ ′= Ω Ω ⋅Ω = Ω Ω ⋅Ω∫ ∫r r uur ur r uur ur r
(2.19)
olur. Bir önceki kesimde bahsedilen saçılma fonksiyonu için
( ) ( )( ) ( )
, ,, ,
, ,
rf r
c r r
σ υυ
υ σ υ
′Ω ⋅Ω′Ω ⋅Ω =
uur ur ruur ur r
r r
ifadesi yazılabilir. Sonuç olarak transport denklemi, zaman değişkeninin düşürülmesi ile
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
, , ,
, , , , , ,
r r r
q r r c r f r r d
υ υ υσ υ υ
υ υσ υ υ υ υ
Ω⋅∇Ψ Ω + Ψ Ω
′ ′ ′= Ω + Ω ⋅Ω Ψ Ω Ω∫
ur ur r ur r r ur
r ur r r uur ur r r uur (2.20)
şeklinde de yazılabilir.
13
Diğer yaklaşım, homojen uzay yaklaşımıdır. Bu yaklaşımda nötronların etkileştikleri
ortamın (ya da ortamı oluşturan çekirdeklerin) eş dağılım gösterdiği düşünülür. Bu
yaklaşım ikincil nötron sayısının sabit bir değer olmasını gerekli kılar ki
( ),c r cυ =r
olarak alınır. Nötron transport denklemi, reaktörün özelliğine göre düzlem, silindirik ve küresel
geometrilerde çözülebilir. Bu tez çalışmasında düzlem geometri için yazılan nötron
transport denkleminin çözümleri üzerinde durulmuştur. Bu geometride birbirine paralel
düzlemlerde çözümlerin aynı olduğu kabul edilir. Düzlem geometri için
ˆ,
ˆ,
z
zz
r zz
v v v
∂∇→
∂→
→ Ω = Ω
ur
r
r ur ur (2.21)
tanımları kullanılırsa
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
ˆ,ˆ ˆ ˆ. , ,
ˆ ˆ ˆ ˆ, , . , , ,
zzz zz zz
zq zz zz c f zz zz d
υσ υ υ
υ σ υ υ υ
∂Ψ ΩΩ + Ω Ψ Ω
∂′ ′ ′ ′ ′= Ω + Ω Ω Ω Ψ Ω Ω∫
urur ur ur
ur ur uur ur uur
ve ayrıca
[ ]ˆ. cos , 1,1z θ µ µΩ = = ∈ −ur
olduğu göz önüne alınırsa, bir hızlı yaklaşımın kullanılmasıyla
14
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )1
2
01
,, ,
, , ,
zz z
z
q z z c f z d dπ
µµ σ µ µ
µ σ µ µ µ ϕ−
∂Ψ+ Ψ
∂
′ ′ ′= + Ω →Ω Ψ∫ ∫uur ur
denklemi elde edilir. Burada z , cm biriminde konum değişkenidir. Transport
denkleminin birimsiz olması için optik yol tanımı
( )1
z
z
x z dzσ ′ ′= ∫
kullanılır, optik yol uzunluğu ortalama serbest yol birimindedir. Sonuç olarak transport
denklemi
( ) ( )
( ) ( ) ( )2 1
0 1
,,
, ,
xx
x
q x c d f x dπ
µµ µ
µ ϕ µ µ−
∂Ψ+Ψ
∂
′ ′ ′= + Ω →Ω Ψ∫ ∫uur ur
(2.22)
biçimine dönüşür. Burada saçılma fonksiyonu
( ) ( )0
2 1 .4 l l
l
lf f Pπ
∞
=
+′ ′Ω →Ω = Ω Ω∑uur ur uur ur
(2.23)
şeklinde tanımlıdır (Mika 1961). ( ).lP ′Ω Ωuur ur
, Legendre polinomlarının toplama kuralına
göre
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
1
!. 2 cos ( )
!
lm m
l l l l lm
l mP P P P P m
l mµ µ µ µ ϕ ϕ
=
−′ ′ ′ ′Ω Ω = + −
+∑uur ur
biçiminde yazılabilir. Denklem (2.22)’nin sağ tarafındaki integral terimi içerisinde bu
tanımın kullanılmasıyla
15
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
2 1
0 10 1
!2 1 2 cos ( ) ,4 !
lm m
l l l l ll m
l mld f P P P P m z dl m
π
ϕ µ µ µ µ ϕ ϕ µ µπ
∞
= =−
⎛ ⎞−+ ′ ′ ′ ′ ′+ − Ψ⎜ ⎟⎜ ⎟+⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫
ifadesine ulaşılır. Burada ϕ üzerindeki integralin
( )2
0
cos 0d mπ
ϕ ϕ ϕ′− =∫
olması göz önünde bulundurulursa,
( ) ( ) ( )1
01
2 1integral terimi 2 ,4 l l l
l
l f P P z dπ µ µ µ µπ
∞
=−
+ ′ ′ ′≡ Ψ∑∫ (2.24)
şekline dönüşür. Sonuç olarak
( ) ( ) ( ) ( )0
, 2 1 l l ll
f l f P Pµ µ µ µ∞
=
′ ′= +∑ (2.25)
olmak üzere Denklem (2.22)
( ) ( )
( ) ( ) ( )1
1
,,
, , ,2
xx
xcq x f x d
µµ µ
µ µ µ µ µ−
∂Ψ+Ψ
∂
′ ′ ′= + Ψ∫ (2.26)
biçiminde elde edilir.
16
3. CASE YÖNTEMİ 3.1 Özdeğer ve Özfonksiyonların Belirlenmesi Case yöntemi düzlem geometride, homojen bir uzay için yazılan, tek hızlı nötron
transport denkleminin çözümü için kullanılan bir yöntemdir. Yöntemin özelliği,
transport denklemi için bir genel çözüm ifadesinin elde edilmesidir (Case ve Zweifel
1963, 1967).
Homojen, kaynağın olmadığı durumda, zamandan bağımsız, tek hızlı nötronlar için
düzlem geometride nötron transport denklemi Denklem (2.26)’daki gibi yazılır. Case
yöntemi, basit olması açısından öncelikle izotropik saçılma durumu için incelenebilir.
Söz konusu izotropik saçılma Denklem (2.25)’deki toplam ifadesinin ilk terimine karşı
gelir.
( ) ( ) ( ) ( )0
00
, 2 1 l l ll
f l f P P fµ µ µ µ=
′ ′= + =∑ , 0, 1if i= ≥
İzotropik saçılma durumunda her yöne saçılma olasılığı eşit kabul edildiğinden 0 1f =
olur. Denklem izotropik saçılma için
( ) ( ) ( )1
1
,, ,
2x cx x dxµ
µ µ µ µ−
∂Ψ′ ′+Ψ = Ψ
∂ ∫ (3.1)
olur. Bu denklem, lineer ve homojen bir integro-diferansiyel denklem olduğu için
değişkenlerine ayırma yöntemi ile çözülebilir. Çözüm
( ) ( ) ( ),x A x Bµ µΨ = (3.2)
şeklinde önerilip Denklem (3.1)’de kullanılırsa
17
( )( )
( ) ( )1
1
1 1 12
A x c B dA x x B
µ µµ µ µ−
∂′ ′= −
∂ ∫ (3.3)
elde edilir. Bu denklemin her iki tarafı da bir sabite eşitlenerek çözülebilir.
( )1
1
1B dµ µ−
′ ′ =∫ (3.4)
keyfi normalizasyon şartının kullanılması ve ν bir sabit olmak üzere
( )( )
( )1 1 1 1
2A x c
A x x Bµ µ µ ν∂
= − = −∂
(3.5)
işlemi yapılırsa
( )x
A x e ν−
= (3.6a)
( ) 12cB νµ
ν µ=
− (3.6b)
olarak elde edilir. Buna göre önerilen çözüm
( ) 1,2
xcx e ννµν µ
−Ψ =
− (3.7)
şeklinde olur. Denklem (3.6b), Denklem (3.4) ile verilen normalizasyon şartını
sağlamalıdır. ( )νΛ dağınım fonksiyonu
1
1
( ) 1 02c dν µν
ν µ−
Λ = − =−∫ (3.8)
18
olarak verilir. Dağınım bağıntısı, ν sabitinin alacağı değerlere göre iki şekilde incelenir: Durum 1: [ ]1,1ν ∉ − olduğu durumda çözümler kesiklidir. µ ve ν ’nün değer aralıkları
farklı olduğu için integral alınabilir:
1
1
1 1 1 1( ) 1 0 1 ln 0 tanh( )2 2 1c cd Arc
cν ν νν µν µ ν ν ν−
+⎡ ⎤Λ = − = ⇒ − = ⇒ =⎢ ⎥− −⎣ ⎦∫ (3.9)
Burada
1 ycν
=
olarak alınırsa
tanhcy y= (3.10)
elde edilir. Denklem (3.10)’un grafiği çizildiğinde eğrilerin kesiştiği noktalar kökleri
verecektir.
Şekil 3.1 1c < için kökler
19
Şekil 3.2 1c > için kökler
1c < durumunda 0ν ν= ± şeklinde iki reel kökü vardır. Bu köklere, kesikli özdeğerler
adı verilir ve bu özdeğerlere karşılık gelen özfonksiyonlar
( ) 00
0
1,2
cνν µν µ
Φ ± = ±± −
(3.11)
şeklindedir. Denklem (3.11), 1c < için iki reel ve 1c > için ise 0iν ν= ± şeklinde
kompleks iki köke sahiptir.
Durum 2: [ ]1,1ν ∈ − durumunda çözümler süreklidir.
( ) ( ) ( )1,2c Pνν µ λ ν δ ν µ
ν µΦ = + −
− (3.12)
µ ve ν değer aralıkları çakışık olduğu için singüler nokta oluşur, prensip değer
kullanılmalıdır. Buradaki ( )λ ν terimi de sürekli özdeğerler için dağınım
fonksiyonudur. Denklem (3.12)’de normalizasyon şartını sağlamalıdır:
20
( ) ( ) ( )1 1 1
1 1 1
1, 12cd P dνν µ µ µ λ ν δ ν µ
ν µ− − −
Φ = + − =−∫ ∫ ∫ (3.13)
Denklem (3.13)’ten ( )λ ν çekilerek integral alınırsa ( )λ ν dağınımı için
( ) 11 tanhcλ ν ν ν−= − (3.14)
ifadesi elde edilir. Böylece artık Denklem (3.1)’in genel çözümü, yukarıda elde edilen
kesikli ve sürekli özfonksiyonların bir lineer birleşimi olarak
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
1
0 0 0 01
, , , , .x x x
x a e a e A e dν ν νµ ν µ ν µ ν ν µ ν− −
+ −−
Ψ = Φ + Φ − + Φ∫ (3.15)
şeklinde elde edilmiş olur. Burada 0a + , 0a − ve ( )A ν keyfi açılım katsayıları,
( )0 ,ν µΦ ± kesikli ve ( ),ν µΦ sürekli özfonksiyonlar olup Case’in özfonksiyonları
olarak bilinir.
Case özfonksiyonları kendi aralarında dik olan fonksiyonlardır. Kesikli ve sürekli
özfonksiyonlar için diklik bağıntıları
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0 0 0 01
1
01
1
1
, , , ,
, , 0
, , ,
d N N N
d
d N N N
µ ν µ ν µ µ ν ν ν
µ ν µ ν µ µ
µ ν µ ν µ µ ν ν ν
−
−
−
Φ ± Φ ± = ± = − −
Φ Φ ± =
Φ Φ = = − −
∫
∫
∫
(3.16)
ile verilir.
21
Şimdi Denklem (2.25) içerisinde verilen saçılma fonksiyonunun toplam ifadesindeki
ileri terimler kullanılarak, yüksek mertebeden saçılma terimleri için Case
özfonksiyonları üzerinde durulabilir.
( ) ( ) ( ) ( )0
, 2 1N
n n nn
f l f P Pµ µ µ µ=
′ ′= +∑ (3.17)
ifadesinde N saçılmanın mertebesini belirler. nf saçılma katsayısı ve ( )nP µ ile
( )nP µ′ , .n mertebeden Legendre polinomlarıdır. Bu açılımın Denklem (2.25)’te
kullanılması ve
( ) ( ) ( ) ( )0
, 2 1N
n n nn
M n f Pν µ µ φ ν=
= +∑ (3.18)
( ) ( ) ( )1
1,n nP dφ ν ν µ µ µ
−= Φ∫ (3.19)
tanımlarının yapılması ile Case özfonksiyonları
( ) ( ),,
2Mc ν µνν µν µ
Φ =−
(3.20)
şeklinde yazılabilir. Burada ( )nφ ν ile tanımlanan ifade
( ) ( ) ( ) ( )1 12 1 1
1 1n n n nn ncf
n nφ ν ν φ ν φ ν+ −
+= − −
+ + (3.21)
şeklinde verilen bir tekrarlama bağıntısını sağlar. Böylece daha ileri mertebeden
saçılmalar için gereken ifadeler, ilk iki terimin bilinmesiyle kolaylıkla elde edilebilir. İlk
iki terim
( )0 1φ ν =
( ) ( )1 1 cφ ν ν= −
22
şeklindedir. Saçılma fonksiyonun ilk terimi, izotropik saçılma durumudur. Sabit bir
sayıya eşittir ve herhangi bir açısal bağımlılığı yoktur. Saçılma fonksiyonun ikinci
terimi lineer anizotropik saçılma durumu olarak adlandırılır. Bu saçılma için nötronların
çarpışmadan sonraki saçılmaları, saçılma açısı ile orantılı olarak değişir. Saçılma
fonksiyonun üçüncü terimi kuadratik anizotropik saçılma durumu olarak adlandırılır. Bu
saçılma durumunda da nötronların etkileşmeden sonraki davranışları, saçılma açısının
ikinci mertebesi ile orantılı olarak değişir.
Sonuç olarak saçılmanın niteliği Case özfonksiyonlarının ve bunun sonucunda da diklik
bağıntılarında yer alan ( )0N ν ve ( )N ν terimlerinin farklı olmasına neden olur. Ancak
genel çözüm, yapısını korumaya devam edecektir. Sadece Case özfonksiyonlarının
yapısı, doğal olarak da kesikli ve sürekli özdeğerler için yazılan dağınım bağıntılarının
yapısı değişecektir. Bu nedenle ileri mertebeden saçılmalar için kesikli özdeğerlerin
belirlenmesi için dağılım bağıntılarının durumu ayrı ayrı incelenmelidir. Genel şekliyle
kesikli özdeğerler
( ) ( )1
0 011 , 0dν ν µ µ
−Λ = − Φ =∫
dağınım ifadesinden elde edilen denklemin çözümü ile belirlenir. İlk birkaç saçılma
durumu için Case özfonksiyonları ve bu özfonksiyonlar arasındaki ilişkiler aşağıda
sıralanmıştır. Yukarıda izotropik saçılma için yapılan işlemlere bir özet verilirse
izotropik saçılma durumu için saçılma fonksiyonu
( ), 1f µ µ′ = (3.22)
olmak üzere Case özfonksiyonları ve bu özfonksiyonların sağladığı diklik ve
normalizasyon ifadeleri;
( ) 00
0
1,2
cνν µν µ
Φ ± =m
(3.23a)
23
( ) ( ) ( )1,2cνν µ λ ν δ ν µ
ν µΦ = + −
− (3.23b)
( )3
00 2 2
0 0
12 1
c cN ννν ν⎡ ⎤
= −⎢ ⎥−⎣ ⎦ (3.23c)
( )2 2 2 311 ln
2 1 4c cN ν ν π νν ν
ν⎛ + ⎞⎡ ⎤= − +⎜ ⎟⎢ ⎥−⎣ ⎦⎝ ⎠
(3.23d)
( ) 11 tanhcλ ν ν ν−= − (3.23e)
( ) 00
0 0
1 12 ln 01 1c
ννν ν
⎡ ⎤+Λ = − =⎢ ⎥−⎣ ⎦
(3.23f)
ile verilir. Sırasıyla lineer anizotropik (McCormick ve Kuščer 1965, Kavenoky 1978,
Atalay 1996, Yıldız 1998, 1999, 2000, 2002, Türeci vd. 2005, Güleçyüz vd. 2006 ),
kuadratik anizotropik (Türeci ve Güleçyüz 2008) ve triplet anizotropik (Türeci 2008)
saçılmalar için gerekli bağıntılar, saçılma fonksiyonlar ile birlikte;
( ) ( ) ( ) [ ]1 1 1 1lineer anizotropi , 1 3 , 0.3,0.3f f P P fµ µ µ µ′ ′≡ = + ∈ − (3.24)
( ) ( )1 000
0
1 3 1,
2f cc ν µνν µν µ
± −Φ ± =
m (3.25a)
( ) ( ) ( ) ( )11 3 1,
2f cc νµνν µ λ ν δ ν µν µ
+ −Φ = + −
− (3.25b)
( ) ( ) ( )( )
( )( )( )
2 220 020
0 0 2 20 0 0 0
1 1 1 31
2 1 1
c ccNων ωννν ων
ν ν ν ων
⎡ ⎤+ − +⎢ ⎥= + −
− +⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.25c)
( ) ( )( ) ( ) ( )2 3 22 22 1 2 21 1 tanh 1 1
4cN c c ν πν ν ων ν ν ω ν ων−⎡ ⎤= + − − − + +⎣ ⎦ (3.25d)
( ) ( ) ( ) ( )2 1 21 tanh 1c cλ ν ν ων ν ων−= + − + (3.25e)
( )13 1f cω = − (3.25f)
( ) ( )( )
20 0
0 20 00
1 1 12 ln 01 11
cc
ων ννν νων
+ ⎡ ⎤+Λ = − =⎢ ⎥−+ ⎣ ⎦
(3.25g)
24
( ) ( ) ( ) [ ]22 2 2
5kuadratik anizotropik , 1 , 0.2,0.44ff P P fµ µ µ µ′ ′≡ = + ∈ − (3.26)
( ) ( )200
00
1 3 1,
2c α µνν µ
ν µ
+ −Φ ± =
m (3.27a)
( ) ( ) ( ) ( )21 3 1
,2
c α µνν µ λ ν δ ν µν µ
+ −Φ = + −
− (3.27b)
( ) ( ) ( )( )( )2 2 200 0 0 0 0 02
0
1 1 16 11 15 1 42 1
cN c c c cνν α ν α ν αν
⎡ ⎤= − + − + − + − +⎣ ⎦− (3.27c)
( ) ( ) ( ) ( )
( )
22 2 1
2 2 3 22
1 3 1 3 tanh
1 34
N c c c
c c
ν ν α ν ν α α ν ν
π ν α α ν
−⎡ ⎤= + − − +⎣ ⎦
+ − + (3.27d)
( ) ( ) ( ) ( )2 2 11 3 1 3 tanhc c cλ ν α ν ν α α ν ν−= + − − + (3.27e)
( )( )220 0
5 3 1 14f cα ν= − − (3.27f)
( )( )225 3 1 14f cα ν= − − (3.27g)
( )2
0 0 00 2
0 0 0 0 0
1 3 1 12 ln 01 3 1 1
cc
ν α ννν α α ν ν
⎡ ⎤+ +Λ = − =⎢ ⎥− + −⎣ ⎦
(3.27h)
( ) ( ) ( ) [ ]3 3 3 3triplet anizotropik , 1 7 , 1 7,1 7f f P P fµ µ µ µ′ ′≡ = + ∈ − (3.28)
( ) ( )300
00
1 5 3,
2c γ µ µνν µ
ν µ
−Φ ± =
m
m (3.29a)
( ) ( ) ( ) ( )31 5 3
,2c P
γ µ µνν µ λ ν δ ν µν µ
+ −Φ = + −
− (3.29b)
( )
( )
323 4 60
0 0 0 0 0 0 020
2 3 2 5 2 7 2 90 0 0 0 0 0 0 0
3 300 0 0 0 0 0 0 0
4 58 201 2 3 3
311 400 17546 3 2
41 9 35 1 52 3
cN
c c c
νν γ ν γ ν γ νν
γ ν γ ν γ ν γ ν
ν γ ν γ ν γ ν γ ν
⎡= + − +⎢− ⎣
⎤− + − + ⎥⎦⎛ ⎞− − + + −⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.29c)
25
( ) ( ) ( )
( )
23 3 1
2 2 3 23
41 5 1 5 3 tanh3
1 5 3 .4
N c c c
c
ν ν γ ν γ ν ν γν γν ν
π ν γν γν
−⎡ ⎤⎛ ⎞= + − − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ + −
(3.29d)
( ) ( ) ( )3 3 141 5 1 5 3 tanh3
c c cλ ν γν νγ ν γν νγ ν−⎛ ⎞= + − − + −⎜ ⎟⎝ ⎠
(3.29e)
( ) ( )30 3 0 0 0
7 5 5 21 12 2 6 3
f c cγ ν ν ν⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.29f)
( ) ( )33
7 5 5 21 12 2 6 3
f c cγ ν ν ν⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.29g)
( )3
0 0 0 00
0 30 0 0 0 0 0
41 51 1 2 3ln1 1 1 5 3
c c
c
γ ν ν γννν ν γ ν ν γ
+ −⎛ ⎞+Λ = −⎜ ⎟− + −⎝ ⎠
(3.29h)
şeklindedir. Sonuç olarak izotropik, lineer anizotropik, kuadratik anizotropik ve triplet anizotropik
saçılmalar için Case özfonksiyonları ve bunlar arasındaki bağıntılar bilindiğine göre,
sınır şartları belirli olan fiziksel problemler için nötron transport denkleminin genel
çözümü, Case özfonksiyonlarının kullanılmasını içeren FN yöntemi (Siewert ve Benoist
1979, Grandjean ve Siewert 1979, Güleçyüz ve Tezcan 1996, Kaşkaş ve Tezcan 1996)
Singüler özfonksiyonlar yöntemi (Tezcan 1996, Erdoğan vd. 1996, Tezcan vd. 1996,
Güleçyüz vd. 1999, Kaşkaş vd. 2000, Güleçyüz vd. 2001), HN (Modifiye FN) yöntemi
(Tezcan vd. 2003, Türeci vd. 2004, Tezcan vd. 2007, Türeci vd. 2007, Bulut ve
Güleçyüz 2008) gibi yöntemlerde kolaylıkla kullanılabilir.
Yukarıda sözü edilen izotropik ve anizotropik saçılmalar için kesikli özdeğerler
aşağıdaki çizelgelerde verilmiştir. Sırasıyla Çizelge 3.1 izotropik, Çizelge 3.2 ve
Çizelge 3.3 lineer anizotropik saçılma için, Çizelge 3.4 ve Çizelge 3.5 kuadratik
anizotropik ve Çizelge 3.6 da triplet anizotropik saçılmalar için verilmiştir.
26
Çizelge 3.1 İzotropik saçılma için kesikli özdeğerler
c 0ν± c 0iν±
0.1 1.000000004122308 1.1 1.756651966318387
0.2 1.000090886544381 1.2 1.198265001513300
0.3 1.002592888793223 1.3 0.946000224918223
0.4 1.014585815927429 1.4 0.793768296596219
0.5 1.044382033760833 1.5 0.689130503018409
0.6 1.102132021151094 1.6 0.611619827208478
0.7 1.206804253985286 1.7 0.551335211649361
0.8 1.407634309062772 1.8 0.502808798531837
0.9 1.903204856044849 1.9 0.462734740754404
0.99 5.796729451301999 2 0.428977908964179
Çizelge 3.2 Lineer anizotropik saçılma için 1c < değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler
c 1 0.3f = − 1 0.2f = − 1 0.1f = −
0.1 ----- ----- 1.0000000000052944
0.2 1.000000000000106 1.000000056362102 1.0000072600611658
0.3 1.000000901243355 1.000086711333304 1.0007390552262143
0.4 1.000397189852151 1.00250460988403 1.0072057212598695
0.5 1.007136504887469 1.016273570921470 1.0287971105482354
0.6 1.036282791203909 1.055031592336061 1.0769669537664186
0.7 1.109289888814329 1.138154471072232 1.1705065568818132
0.8 1.269768767428081 1.310724848328986 1.3563822819688678
0.9 1.690540198895285 1.753211078079760 1.8235378620829215
0.99 5.089992014185895 5.296113980147644 5.529495811150099
1 0.1f = 1 0.2f = 1 0.3f =
0.1 1.000000189272726 1.000002271401111 1.000012990049396
0.2 1.000429214558524 1.001233124810485 1.002661943680133
0.3 1.005989395255727 1.011009060033701 1.017619779435558
0.4 1.024479973567912 1.036727683501705 1.051235349191888
0.5 1.062874025813402 1.084265959649280 1.108674180120330
0.6 1.130727625711145 1.163099644693299 1.199748789421003
0.7 1.247664534665723 1.293906505489496 1.346620895981633
0.8 1.465646464380306 1.531969379239542 1.608715780405967
0.9 1.994466523283227 2.100422148791350 2.225471734681382
0.99 6.106878666610815 6.472814522357155 6.913553820581591
27
Çizelge 3.3 Lineer anizotropik saçılma için 1c > değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler
c 1 0.3f = − 1 0.2f = − 1 0.1f = −
i±
1.1 1.524498910298647 1.591307493432757 1.667823896677897
1.2 1.030696904559208 1.078361335385895 1.133490179545179
1.3 0.807565564935665 0.846522221539530 0.891982693749635
1.4 0.673202950442746 0.706801177350426 0.746322232132406
1.5 0.581151962830072 0.610977998591154 0.646311670602621
1.6 0.513226630898957 0.540189117801062 0.572332910924170
1.7 0.460610848393202 0.485293329072030 0.514885398336888
1.8 0.418429752183119 0.441236554098922 0.468718325003097
1.9 0.383734513677994 0.404961236252733 0.430655474113328
2.0 0.354620848455523 0.374492344649380 0.398644946880326
c 1 0.1f = 1 0.2f = 1 0.3f =
i±
1.1 1.861491041553824 1.987809869250818 2.144107986882710
1.2 1.275878459721450 1.371228962954667 1.492304270592570
1.3 1.011668885749424 1.093917403459249 1.201194710620086
1.4 0.852243367595035 0.926880578402194 1.026944880041439
1.5 0.742584597115743 0.812078897415476 0.907897423010392
1.6 0.661256188693043 0.726944584134059 0.820132483821992
1.7 0.597904445432058 0.660599240397576 0.752146644338894
1.8 0.546819329427350 0.607054915979427 0.697623176125482
1.9 0.504552443010925 0.562701847454737 0.652763934173041
2.0 0.468878524196585 0.525214472942383 0.615129008582514
28
Çizelge 3.4 Kuadratik anizotropik saçılma için 1c < değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler
c 2 0.2f = − 2 0.1f = − 2 0.1f =
0.1 1.000000000000000 1.000000000000014 1.000000656297107
0.2 1.000000000007322 1.000002094626781 1.000563217394159
0.3 1.000028754263822 1.000631178247949 1.006003984463886
0.4 1.003406622521945 1.008197317783858 1.022321209266778
0.5 1.025556220851916 1.034418934435164 1.055542695062725
0.6 1.080637370459445 1.090769477169046 1.114950198229319
0.7 1.186214753857308 1.195803895548873 1.219536479551976
0.8 1.390207425562280 1.39823373442551 1.418784755734729
0.9 1.890846083598302 1.896492646960539 1.911313421782177
c 2 0.2f = 2 0.3f = 2 0.4f =
0.1 1.000010174422728 1.000056730688558 .000184757003956
0.2 1.001675798908017 1.003507699679205 1.006039296393282
0.3 1.010689054535481 1.016485905544548 1.023288846313455
0.4 1.031294935616328 1.041486164786337 1.052932966785346
0.5 1.068040074655789 1.082057249932920 1.097828227044776
0.6 1.129506567625736 1.146160282843207 1.165374647476804
0.7 1.234422579181114 1.252028308695464 1.273128459757544
0.8 1.432207277194533 1.448647864382147 1.469206658939580
0.9 1.921300433769817 1.933896231805256 1.950260614878843
29
Çizelge 3.5 Kuadratik anizotropik saçılma için 1c > değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler
c 2 0.2f = − 2 0.1f = − 2 0.1f =
i±
1.1 1.2145131809082177 1.7631376540119783 1.7486769794257344
1.2 1.768514141638787 1.2071572681065512 1.187313055159835
1.3 0.9652039709133984 0.9565091561230515 0.9330790010662184
1.4 0.8151222573370516 0.8054440865739957 0.7794711017016298
1.5 0.7120958814414207 0.701669876117796 0.6738647758717351
1.6 0.6358078282149755 0.6248030235567803 1.1978078014764204
1.7 0.5764533843188728 0.5649967444418678 0.5349469768086428
1.8 0.5286313532557017 0.516821087800504 0.4861380460410281
1.9 0.48908420902653227 0.4769978740358452 0.4459097239768088
c 2 0.2f = 2 0.3f = 2 0.4f =
i±
1.1 1.7386383888416166 1.725627446760721 1.7081217335203884
1.2 1.1735205478159345 1.155680055438562 1.1318542312768416
1.3 0.9168791530605448 0.896127228652603 0.8689547596239873
1.4 0.7616890745156357 0.7392461959170769 0.7106358880954824
1.5 0.6550737265406884 0.631776031279146 0.6029388440277951
1.6 0.5762938411145394 0.552711655528983 0.5243676107513656
1.7 0.5152599564327622 0.4917741062604187 0.4643189124493216
1.8 0.46636807009025477 0.4432258770594101 0.4168530425167839
1.9 0.4262120618823889 0.403568355755906 0.3783506539019436
30
Çizelge 3.6 Triplet anizotropik saçılma için c değerlerine karşı gelen kesikli özdeğerler c
3 0.14f = − 3 0.1f = − 3 0.1f = 3 0.14f =
0.1 0.999999999999999 0.999999999999999 1.000001567885665 1.000005870810805
0.2 1.000000002868495 1.000000585481986 1.000647299046946 1.001061253112219
0.3 1.000235373244610 1.000630480441262 1.005742980516712 1.007277876223770
0.4 1.007766763356458 1.009554809822496 1.020408805870160 1.022966285177462
0.5 1.036524517532075 1.038622044075432 1.050994890805080 1.053916523287310
0.6 1.095723122146266 1.097403696422663 1.107773915061015 1.110342026015250
0.7 1.202557851016383 1.203658776953099 1.2106581544900492 1.212451675163638
0.8 1.405395985659015 1.405974205926319 1.4096871431638487 1.410650594658920
0.9 1.9024592062494272 1.902652095096323 1.9038865676618482 1.904205945603127
c 3 0.14f = − 3 0.1f = − 3 0.1f = 3 0.14f =
1.1 1.7560157031065589 1.7561818341918223 1.7572199641280613 1.757481716229376
1.2 1.1966184570361627 1.1970507426029502 1.199714696194323 1.200376581307316
1.3 0.9432403544673218 0.9439687178431196 0.9483990671634385 0.949485165839877
1.4 0.7898964510600733 0.790923040343512 0.7970960005393772 0.798592027319627
1.5 0.6842011901200887 0.685513349042233 0.6933274833197549 0.695203597240944
1.6 0.6057144922561901 0.607291570351747 0.6166102287128847 0.618831274811525
1.7 0.5445471988815336 0.546364621492547 0.5570387503565801 0.559569117628348
1.8 0.4952344473860524 0.497266247206836 0.5091468757042374 0.511952749136153
1.9 0.4544681509037468 0.456688541853143 0.4696334634756120 0.472683766231295
2.0 0.42010798293563 0.422492310164462 0.4363694090236136 0.439636083484455
31
3.2 Sonsuz Ortam Green Fonksiyonu Green fonksiyonları, diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmak, diferansiyel
denklemleri integral denklemlere dönüştürmek gibi pek çok uygulama alanı olan
matematiksel yapılardır. Nötron transport denklemi bir integro-diferansiyel denklem
olduğu için Green fonksiyonları, nötron transport denklemin çözümünde kullanılabilir.
İlerideki bölümlerde kısaca değinilecek olan CN yönteminde de transport denkleminin
çözümleri, Green fonksiyonunu içeren Fredholm tipi integral denklemlere
dönüştürülmektedir.
Sonsuz ortam Green fonksiyonu birim zamanda, birim alana, bir tek nötron yayınlayan
bir düzlem kaynağın varlığında transport denklemin çözümünü verir.
Bir kaynak teriminin varlığı durumunda nötron transport denklemi
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
1
,, , , ,
2x cx f x d S xxµ
µ µ µ µ µ µ µ−
∂Ψ′ ′ ′+ Ψ = Ψ +
∂ ∫ (3.30)
ile verilir. Bu kaynak terimi, birim zamanda birim alana bir tek nötron yayınlayan bir
düzlem kaynak olduğundan Dirac Delta fonksiyonları kullanılarak
( ) ( ) ( )0 0,S x x xµ δ δ µ µ= − − (3.31)
olarak tanımlanır. Artık nötron transport denkleminin çözümü Green fonksiyonu
olduğundan Denklem (3.30)’da Green fonksiyonunun kullanılmasıyla
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 00 0
1
0 0 0 01
;;
;2
G x xG x x
xc G x x d x x
µ µµ µ µ
µ µ µ δ δ µ µ−
∂ → →+ → →
∂
′ ′= → → + − −∫ (3.32)
32
denklemi yazılabilir. Burada ( )0 0;G x x µ µ→ → : 0x noktasında bulunan kaynak
tarafından, 0µ doğrultusunda yayınlanan nötronların, x noktasındaki ve µ
doğrultusundaki akısını ifade etmektedir.
Yazılan son denklem 0x x= noktasında homojen değil, ancak 0x x≠ noktalarında ise
homojendir. Denklem (3.32)’nin homojen kısmı
( ) ( )
( )
0 00 0
1
0 01
;;
;2
G x xG x x
xc G x x d
µ µµ µ µ
µ µ µ−
∂ → →+ → →
∂
′ ′= → →∫ (3.33)
ile verilir. Transport denkleminin genel çözümü gibi Green fonksiyonu da
( )0 0lim ; 0x
G x x µ µ→∞
→ → = (3.34)
şartını sağlamalıdır. Homojen denklemin çözümleri için Case yönteminden elde edilen
sonuçlara göre 0x > ve 0x < durumları için
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1
0 0 00
0
0 0 01
; , , , 0,
; , , , 0
G x x A x A x d x
G x x A x A x d x
ν ν
ν ν
µ µ ν µ ν µ ν
µ µ ν µ ν µ ν−−
→ → = Ψ + Ψ >
→ → = − − Ψ − Ψ <
∫
∫ (3.35)
eşitlikleri yazılabilir. Burada ( ) ( ), , xx e ξξ µ φ ξ µ −Ψ = ile verilir. Şimdi homojen
olmayan denklemin incelenmesine geçilebilir. 0x x= noktasında süreksizlik olduğu için
Denklem (3.32)’nin 0x ε− ’dan 0x ε+ ’a kadar integrali alınırsa
33
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 0
0 0
0 0
0 00 0
1
0 0 0 01
;;
;2
x x
x x
x x
x x
G x xdx G x x dx
x
c d G x x dx x x dx
ε ε
ε ε
ε ε
ε ε
µ µµ µ µ
µ µ µ δ µ µ δ
+ +
− −
+ +
− − −
∂ → →+ → →
∂
′ ′= → → + − −
∫ ∫
∫ ∫ ∫ (3.36)
ifadesi elde edilir. Bunun amacı, 0ε → limiti göz önüne alındığında yani 0x noktası
civarına yaklaşıldığında, 0x x= noktasındaki süreksizliği oluşturan kaynak teriminden
dolayı bir sıçrama şartı (jump condition) elde etmektir. Eşitliğin sol tarafındaki ikinci
terim ve sağ tarafındaki ilk terim sıfır olacaktır. Böylece
( ) ( ) ( )00 0 0 0 0 0; ;G x x G x x
δ µ µµ µ µ µ
µ+ − −
→ → − → → = (3.37)
elde edilir. Bu bağıntı 0x noktasında bulunan kaynaktan dolayı sıçrama şartı (jump
condition) ifadesidir. Denklem (3.35)’te, 0x x ±→ alındığında
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
0
0
0 0 0
1
0 0 00
0 0 0
0
0 0 01
;
, , , 0
;
, , , 0
G x x
A x A x d x
G x x
A x A x d x
ν ν
ν ν
µ µ
ν µ ν µ ν
µ µ
ν µ ν µ ν
+
+ +
−
− −−
−
→ →
= Ψ + Ψ >
→ →
= − − Ψ − Ψ <
∫
∫
(3.38)
ifadelerine ulaşılır. Burada 0x + , 0x noktasına sağdan yaklaşıldığı ve 0x − , 0x noktasına
soldan yaklaşıldığı anlamına gelir. Bu iki Green fonksiyonunun farkı alındığında elde
edilecek ifade denklem (3.37)’yi sağlamalıdır. Bu durumda
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
0
1
0 0 00
00
0 0 01
, ,
, ,
A x A x d
A x A x d
ν ν
ν ν
ν µ ν µ ν
δ µ µν µ ν µ ν
µ
+ +
− −−
−
Ψ + Ψ
−+ − Ψ + Ψ =
∫
∫ (3.39)
34
ifadesi elde edilir. Denklem (3.39)’da açılım katsayıları bilinmemektedir. Eğer bu
katsayılar belirlenirse Case’in özfonksiyonları cinsinden Green fonksiyonu belirlenmiş
olur. Denklem (3.39), Case özfonksiyonlarını içerdiğinden sırasıyla
( ) ( )0 0
, , , ,x xν νµ µ µ µ−Ψ Ψ ( ),xνµ µΨ ile çarpılıp µ üzerinden [ ]1,1µ∈ − aralığında
integre edilerek bilinmeyen katsayılar belirlenebilir:
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
0
0
00
0
00
0
0
,
,
,
xA
N
xA
N
xA
N
ν
ν
ν
µν
ν
µν
ν
µν
ν
−
Ψ=
Ψ− =
−
Ψ=
(3.40)
Bu katsayılar, Denklem (3.38)’de kullanılırsa, sonsuz ortam Green fonksiyonu,
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
0
0
0
10 0
0 0 0 0 0 00 0
00 0
0 0 0 0 0 00 1
, ,; , , , ,
, ,; , , ,
x xG x x x x d x x
N N
x xG x x x x d x x
N N
ν υν ν
ν νν ν
µ µµ µ µ µ ν
ν ν
µ µµ µ µ µ ν
ν ν
+ + +
−− − −−
−
Ψ Ψ→ → = Ψ + Ψ >
Ψ Ψ→ → = Ψ − Ψ <
∫
∫
(3.41)
olarak elde edilir. Açık şekliyle sonsuz ortam Green fonksiyonu
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
0 0
0
0 0
0
0 0 0
10 0 0 0
00 0
0 0 0
00 0 0 0
00 1
;
, , , ,, ,
;
, , , ,,
x x x x
x x x x
G x x
e e d x xN N
G x x
e e d x xN N
ν ν
ν ν
µ µ
ν µ ν µ ν µ ν µν
ν ν
µ µ
ν µ ν µ ν µ ν µν
ν ν
+
− −− −
−
− −− −
−
→ →
Φ Φ Φ Φ= + >
→ →
Φ − Φ − Φ − Φ −= + <
∫
∫
(3.42)
biçiminde elde edilmiş olur.
35
Burada Legendre polinomları cinsinden seriye açılan saçılma fonksiyonu için Case’in
özfonksiyonları anizotropik saçılma durumu göz önüne alınarak denklem (3.42)’de
kullanılır.
3.3 Placzek Lemması Placzek lemması, sonlu bir ortamın sonsuz bir ortama dönüştürülmesini sağlayan bir
öngörüdür. Lemmanın mantığını anlayabilmek için Şekil 3.3’te verilen bir yarı-uzay ve
bir slab ile çevrelenmiş ortam üzerinden düşünülebilir. Bu ortamların dışı boşluktur.
Şekil 3.3 Bir yarı-uzay ve bir slab ortam için sonlu ortamın, sonsuz hale dönüştürülmesi
Bir önceki başlıkta incelenen sonsuz ortam Green fonksiyonu, yukarıda verilen yarı
uzay ve slab için kullanılamaz. Kullanılabilmesi için sonlu ortamı sonsuz ortama
çeviren bu lemma geliştirilmiştir. Ortamın dışı boşluk olduğu için boşluktan ortam
olarak adlandırılan bölgeye nötron girişi yoktur.
36
Placzek lemmasına göre sınırlara yerleştirilecek olan bir kaynak, ortama dışarıdan
girecek nötron akısını sıfırlayacak şekilde seçilmelidir. Bu seçimle, sonlu ortam sonsuz
ortammış gibi düşünülebilir. Bu durumda bu kaynak terimi Denklem (3.30) ile verilen
transport denklemine eklenmelidir. Eklenen bu terim sınıra yerleştirilen kaynağı
tanımladığı için Dirac delta fonksiyonu biçiminde yazılabilir. Yanı sıra problemin
özelliğine bağlı olarak sonlu ortamın içindeki kaynak teriminin durumu da
düşünülmelidir. Kaynağın sadece sonlu ortam içinde tanımlı olma durumunda basamak
fonksiyonu kullanılmalıdır. Denklem (3.30)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
11
1
1 01
,,
, ' ' , 0,2
xx
xc x d S x H x x x
µµ µ
µ µ µ µ µ δ−
∂Ψ+Ψ
∂
= Ψ + + Ψ −∫ (3.43)
şeklini alır ve artık bu denklemin çözümü ( )1 ,x µΨ ’dür. Burada ( ) ( )00, x xµ µ δΨ −
terimi, ortama girecek nötronları yok edecek olan kaynağı ve ( )H x ise
( )1,
0,
ortamın içindeH x
ortamın dışında
⎧⎪= ⎨⎪⎩
(3.44)
ile tanımlı olan Basamak (Heaviside) fonksiyonudur. ( )1 ,x µΨ ,
( ) ( ) ( )1 , ,x H x xµ µΨ = Ψ (3.45)
ile verilen özelliği sağlar. Denklem (3.45) göz önünde alınır ve basamak fonksiyonunun
özelliği düşünülürse, birinci durumda ortamın içindeki çözüm ( ) ( )1 , ,x xµ µΨ = Ψ
olacaktır. Ortamın dışındaki bölge için basamak fonksiyonu sıfır olduğundan çözüm de
sıfır olacaktır.
Artık Denklem (3.43)’ün çözümü
37
( ) ( )
( )
1
1 0 0 0 0 0 0 01 01
0 0 0 0 0 01
, ( ; ) ( , )
( ; ) ,
x d dx G x x H x S x
d G x x x
µ µ µ µ µ
µ µ µ µ µ
∞
−
−
Ψ = → →
+ → → Ψ
∫ ∫
∫ (3.46)
olarak yazılabilir. Denklem (3.44)’ün kullanılmasıyla ortam içerisindeki çözüm 0x ≥
için
( )
( )
1
0 0 0 0 0 01 0
1
0 0 0 0 0 01
, ( ; ) ( , )
( ; ) ,
x d dx G x x S x
d G x x x
µ µ µ µ µ
µ µ µ µ µ
∞
−
−
Ψ = → →
+ → → Ψ
∫ ∫
∫ (3.47)
olarak tanımlanır.
38
4. TRANSPORT DENKLEMİN ÇÖZÜMÜNDE KULLANILAN YARI
ANALİTİK YÖNTEMLER
4.1 CN Yöntemi Bu yöntem, III. tip nötron transport denklemine Fourier dönüşüm tekniğinin
uygulanmasıyla elde edilen Green fonksiyonunun kullanılmasına dayanır. III. tip nötron
transport denklemi, I. tip nötron transport denklemine özdeş olan bir integral
denklemdir. Yöntem Kavenoky (1973) ve Kavenoky (1978) tarafından geliştirilmiştir
ve Placzek lemmasının kullanılması ile sonlu ortamın sonsuz ortama
dönüştürülmesinden faydalanılır. Placzek lemmasının kullanılmasıyla sınıra yerleştirilen
kaynak terimi son terim olmak üzere r noktasındaki ve Ωr
doğrultusundaki çözüm
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4
2
2
, ' ', ' , , ', ' '
ˆ', ' , , ', ' '. '
ˆ', ' , , ', ' '. '
M
sS
sS
r dr s r G r r d
dS r G r r nd
dS r G r r nd
π
π
π
ν
ν
ν
+
−
+
−
Ω = Ω Ω Ω Ω
+ Ω Ω Ω Ω Ω
+ Ω Ω Ω Ω Ω
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
r r r rr r r r%
r r rr r r%
r r rr r r%
(4.1)
ile verilir. Burada 2π + ve 2π − sırasıyla, ˆ. 0nΩ ≥r
ve ˆ. 0nΩ <r
durumlarına karşı
gelir. Yüzey sınırına dış ve iç bölgeden yaklaşırken çözümler sırasıyla
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4
2
2
, ' ', ' , , ', ' '
ˆ', ' , , ', ' '. '
ˆ', ' , , ', ' '. ', 2
sM
sS
sS
r dr s r G r r d
dS r G r r nd
dS r G r r nd
π
π
π
ν
ν
ν π
+
−
+
+
− +
Ω = Ω Ω Ω Ω
+ Ω Ω Ω Ω Ω
+ Ω Ω Ω Ω Ω Ω∈
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
r r r rr r r r%
r r rr r r%
r r r rr r r%
(4.2)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4
2
2
, ' ', ' , , ', ' '
ˆ', ' , , ', ' '. '
ˆ', ' , , ', ' '. ', 2
sM
sS
sS
r dr s r G r r d
dS r G r r nd
dS r G r r nd
π
π
π
ν
ν
ν π
+
−
−
+
− −
Ω = Ω Ω Ω Ω
+ Ω Ω Ω Ω Ω
+ Ω Ω Ω Ω Ω Ω∈
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
r r r rr r r r%
r r rr r r%
r r r rr r r%
(4.3)
39
şeklindedir. Bu denklemler, CN denklemleri olarak adlandırılır. İzotropik saçılma durumu için nötron transport denklemine Fourier dönüşüm tekniğinin
uygulanmasıyla elde edilen Green fonksiyonu
( )( )( )
G x, ,arctan4 1 1 1
ikxc e dkc kik ik
k
µ µπ µ µ
∞ −
−∞
′ =⎛ ⎞′− − −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ (4.4)
ile verilmiştir ve bu Green fonksiyonu CN denklemlerinde kullanılarak çözüm aranır.
Düzlem geometride, CN denklemleri sırasıyla
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0 00 1
1 0
0 0 0 0 0 0 0 00 1
' ', 0, ; ',
, , , 0
dx S x G x d
G d G d
ν µ µ µ µ µ
ν µ µ µ µ µ ν µ µ µ µ µ µ
∞−
−
+ −
−
=
+ + <
∫ ∫
∫ ∫ (4.5)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
0 0 00 1
1 0
0 0 0 0 0 0 0 00 1
0 ' ', 0, ; ',
, , , 0
dx S x G x d
G d G d
µ µ µ µ
ν µ µ µ µ µ ν µ µ µ µ µ µ
∞
−
+ −
−
=
+ + >
∫ ∫
∫ ∫ (4.6)
ile verilir. Kaynağın bulunmadığı durumda bu denklemler sırasıyla
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0
0 0 0 0 0 0 0 00 1
, , , 0G d G dν µ ν µ µ µ µ µ ν µ µ µ µ µ µ− + −
−
= + <∫ ∫ (4.7)
( ) ( ) ( ) ( )1 0
0 0 0 0 0 0 0 00 1
0 , , , 0G d G dν µ µ µ µ µ ν µ µ µ µ µ µ+ −
−
= + >∫ ∫ (4.8)
olur. Burada ( )ν µ− ortamın yüzeyinden çıkan akıya ve ( )ν µ+ ’de ortamın yüzeyinden
giren akıya karşı gelmektedir. Yüzeyden giren ve çıkan akılar için önerilen çözümlerin
40
ışığı altında, yukarıda verilen CN denklemleri kullanılarak ilgilenilen fiziksel problem
için çözümler aranır.
4.2 Singüler Özfonksiyonlar Yöntemi Singüler özfonksiyonlar yöntemi CN ve Case yöntemlerinin birleşimi şeklinde olup
Tezcan (1996) tarafından geliştirilmiştir. Yöntem, Denklem (4.7) ve Denklem (4.8) ile
verilen CN denklemlerinde, Case tarafından tanımlanmış olan ve Denklem (3.42) ile
daha önce verilen sonsuz ortam Green fonksiyonunun kullanılmasına dayanır.
Bu yöntemde yine, ortamın sınırındaki çözüm aranır. Yüzeyden giren ve çıkan akılar
için önerilen çözümler ve probleme ait sınır şartlarının kullanılmasıyla elde edilen
denklem sistemi sayısal olarak çözülür. Bu yöntemde CN yönteminden farklı olarak
Case’in özfonksiyonlarını içeren sonsuz ortam Green fonksiyonu kullanıldığından
matematiksel işlemler CN yöntemine göre oldukça basitleşir. Yöntemin daha iyi
anlaşılması için bir uygulama olarak yarı-uzay albedo problemi incelenmiştir.
4.2.1 Singüler özfonksiyonlar yöntemi ile yarı-uzay Albedo probleminin
incelenmesi Albedo, bir yüzeyden içeri giren parçacıklar için, bu yüzeyden yansıyan ve bu yüzeyden
içeri giren net nötron akımlarının oranı olarak tanımlanır. Albedonun belirlenmesi ile
yüzeyin geçirgenliği ya da yansıtıcılığı hakkında bilgi edinilir.
Bu uygulamada düzlem geometride yarı uzaydan oluşan ortam yüzeyi üzerindeki
albedonun hesaplanması üzerine durulacaktır. İlgilenilen problemde 0x = ’da yarı
uzayın sınırının olduğu ve bu sınırın sağ tarafının ortam, sol tarafının ise boşluk olduğu
varsayılmaktadır (Şekil 4.1).
41
Şekil 4.1 Albedonun hesaplanacağı yarı bölgeden oluşan ortam
Nükleer reaktör mühendisliğinde albedo, fisyon tepkimesi sonucunda ortaya çıkan ve
büyük enerjilere sahip nötronların enerjilerinin soğurulması aşamasında önem kazanır.
Öyle ki nötronların sadece enerjilerini aktarmaları ve fakat ortamı oluşturan madde ile
etkileşmeye girmemeleri istenir. Böylece ideal durumda albedo “1 (bir)” olmalıdır yani
yüzeye çarpan nötronlar soğrulmaksızın yüzeyden yansımalıdır.
Şimdi Singüler özfonksiyonlar yöntemi ile çeşitli ikincil nötron sayıları için albedonun
hesaplanması üzerine durulabilir. Şekil 4.1’de verilen geometri için ortamın sınırından
içeri giren nötron akısı ( )ν µ+ ve ortamın sınırından yansıyan nötron akısı da ( )ν µ− ile
gösterilsin. İçeri giren nötron akısı;
( ) , Zγν µ µ γ+ += ∈ (4.9)
ve ortam duvarından yansıyan nötron akısı da
( )0
, 0,N
a κκ
κ
ν µ µ µ−
=
= >∑ (4.10)
şeklinde seçilir. Verilen bu son çözüm önerisi bir kuvvet serisi tanımıdır ve yakınsaktır.
Albedo tanımında, yüzey üzerindeki nötron akılarının yukarıdaki tanımları kullanılırsa
42
( )
( )( ) ( )
0
11
0
0
12
2
Nd
ad
κ
κκ
µν µ µβ γ
κµν µ µ
−
−
=+
−= = +
+
∫∑
∫ (4.11)
ifadesi elde edilir. Burada κ , kuvvet serisinin mertebesidir ve tek bilinmeyen ise kuvvet
serisinin aκ sabitleridir. Eğer bu sabitler bulunur ve albedo ifadesinde kullanılır ise o
zaman albedo hesaplanabilir. aκ sabitleri, Singüler özfonksiyonlar yöntemi kullanılarak
hesaplanacaktır. Yukarıda verilen akı ifadeleri CN denklemlerinden ilki olan Denklem
(4.7)’de üst işaretine göre Denklem (3.42)’de verilen sonsuz ortam Green fonksiyonu ve
ortam sınırı üzerindeki akı tanımları, 0 0x x= = olduğu göz önüne alınarak kullanılırsa;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0
0 0 0 0 0 0 0 00 1
, , , 0G d G dν µ ν µ µ µ µ µ ν µ µ µ µ µ µ− + ± − +
−
= + <∫ ∫
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
1 00 0 0 0
0 0 000 1
0 10 0 0 0
0 0 001 0
, , , ,
, , , ,, 0
d dN N
d dN N
ν µ ν µ ν µ ν µν µ ν µ ν µ µ
ν ν
ν µ ν µ ν µ ν µν µ ν µ µ µ
ν ν
− +
−
−
−
⎡ ⎤Φ Φ Φ Φ= +⎢ ⎥
⎣ ⎦⎡ ⎤Φ Φ Φ Φ
+ + <⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫ (4.12)
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
10
0 0 0 0 00 0
0 1
0 0 0 01 0
00
0 0 0 0 00 1
1 0
0 0 0 00 1
,,
,,
,,
,,
dN
d dN
dN
d dN
ν µν µ ν µ ν µ µ µ
ν
ν µν ν µ ν µ µ µ
ν
ν µν µ ν µ µ µ
ν
ν µν ν µ ν µ µ µ
ν
− +
+
−
−
−
−
−
Φ −= Φ
Φ+ Φ
Φ+ Φ
Φ+ Φ
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫
(4.13)
olur. Burada 0µ üzerindeki integraller hesaplanabilir integrallerdir. Tanım olarak
43
( ) ( )1
10
0
2 , , ,mmB d
cξ µ ξ µ µ ξ ν ν
ξ+= Φ =∫ (4.14a)
ve
( ) ( )1
10
0
2 , , ,mmA d
cξ µ ξ µ µ ξ ν ν
ξ+= Φ − =∫ (4.14b)
şeklinde tanımlanır. Burada hemen vurgulanmalıdır ki, çalışılan saçılma fonksiyonuna
göre bu integrallerin değerleri değişecektir ve m pozitif bir tamsayıdır. Dahası
özdeğerin fonksiyonu olarak yazılan bu fonksiyonlar m ’nin ilerleyen değerleri için bir
tekrarlama bağıntısını sağlarlar. 2. Bölümde değinilen saçılmalar için bu fonksiyonlar
sırasıyla aşağıdaki gibi tanımlıdır.
İzotropik saçılma için;
( ) ( )1 1 1
00 0 0
0 0 0 00 0 0
2 2 1 1,2
cB d d dc c
νν µ ν µ µ µ µ µ µν ν ν µ ν µ
= Φ = =− −∫ ∫ ∫
burada
0
0 0
1 1νµν µ ν µ
= −− −
alınırsa
( )1 1
00 0 0
0 0 00 0
1 11 ln 1 1B d dνν µ µ µ νν µ ν µ ν
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
elde edilir. Logaritma ifadesi için Denklem (3.9) kullanılarak
44
( ) ( )0 00 0
0 0
0 0 0
1 1 21 ln ln 1 1 ln 1 12 1 1
1 1 2ln 1 ln 1
cc
c
ν ν ν νν ν
ν ν ν
⎡ ⎤+= ⇒ = + − − ⇒⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
alınırsa
( )0 0 0 00 0 0
00
1 1 2ln 1 1 ln 1 1
1 2ln 1 1
Bc
c
ν ν νν ν ν
νν
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − = − + − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞= − + + −⎜ ⎟
⎝ ⎠
( ) ( )
( )
1 1 11 1 0
0 00 0 00 0 0
1 1
000 0
0 1 0
2 1, 1
11
m m mm
mm
m
B d d dc
d d
Bm
νν µ ν µ µ µ µ µ µν ν µ ν µ
µν µ µ µν µ
ν ν
+ +
−
⎛ ⎞= Φ = = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= −−
= −+
∫ ∫ ∫
∫ ∫
sonuçları elde edilir. Benzer işlemler yapılarak ( )0A ξ ve ( )mA ξ integralleri de
hesaplanabilir:
( ) ( )1 1 1
00 0 0
0 0 0 00 0 0
2 2 1 1,2
cA d d dc c
νν µ ν µ µ µ µ µ µν ν ν µ ν µ
= Φ − = =+ +∫ ∫ ∫
burada
0
0 0
1 1 νµν µ ν µ
= −+ +
alınırsa
45
( )1 1
00 0 0
0 0 00 0
1 11 1 ln 1A d dνν µ µ µ νν µ ν µ ν
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = − = − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫
elde edilir. Tekrarlama bağıntısı da;
( ) ( )
( )
1 1 11 1 0
0 00 0 00 0 0
1 1
000 0
0 1 0
2 1, 1
11
m m mm
mm
m
A d d dc
d d
Am
νν µ ν µ µ µ µ µ µν ν µ ν µ
µµ µ ν µν µ
ν ν
+ +
−
⎛ ⎞= Φ − = = −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
= −+
= −+
∫ ∫ ∫
∫ ∫
olarak elde edilir.
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
0
1
0
1
2 11 ln 1
11
11 ln 1
11
m m
m m
Bc
B Bm
A
A Am
ξ ξξ
ξ ξ ξ
ξ ξξ
ξ ξ ξ
−
−
⎡ ⎤⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
= −+
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟
⎝ ⎠
= −+
(4.15)
şeklinde verilir. Aynı integraller lineer anizotropik saçılma durumu için ( )13 1f cω = −
olmak üzere;
( ) ( )1 1 1 2
0 0 00 0 0
0 0 0 0 00 0 0
12 2,2
cB d d dc c
ν ων µ ων µµν µ ν µ µ µ µ µν ν ν µ ν µ ν µ
⎛ ⎞+= Φ = = +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
şeklindedir. Burada ilk integral terimi için
0
0 0
1 1νµν µ ν µ
= −− −
46
ve ikinci integral terimi için de
22
0 0 00 0
0 0 0 0
1ν µ ν νµ µ µ ν µ νν µ ν µ ν µ ν µ
⎛ ⎞= − + = − + − = − + −⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠
alınırsa
( )
( )
( )
( )
1 12 20 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0
1 1 1 13 20
0 0 0 0 00 00 0 0 0
3 200 0 0 0 0
0 0
30 0 0
1
1
1 1ln 1 1 ln 12
(
B d d
dB d d d
B
B
ων µ ν νµν µ ων µ ν µν µ ν µ ν µ ν µ
ν µν µ ων µ µ ων ων µν µ ν µ
ωνν ν ων ωνν ν
ν ων
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + = − + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − − −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞= − − + −⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − − − − − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= −
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
200 0
0
1) ln 1 12
ωνν ωνν
⎛ ⎞+ − − − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
elde edilir. Logoritma ifadesi için Denklem (3.9) kullanılarak
( ) ( )0 00 0
0 0
0 0 0
1 1 21 ln ln 1 1 ln 1 12 1 1
1 1 2ln 1 ln 1
cc
c
ν ν ν νν ν
ν ν ν
⎡ ⎤+= ⇒ = + − − ⇒⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
alınırsa
( )
( ) ( ) ( )
3 200 0 0 0 0
0 0
2 2 00 0 0 0 0
0
1 2( ) ln 1 12
2 11 1 1 ln 12
Bc
Bc
ωνν ων ν ωνν ν
ωνν ν ω ων νν
⎛ ⎞⎛ ⎞= − + + − − − −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞= + − + + + −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
olarak bulunur. Tekrarlama bağıntısı ise
47
( ) ( )
( )
1 1 21 1 0
0 00 0 00 0
1 21 0
00 00
1 1 12
0 00 00 0 0
00 1 0
2 ,
1
11 2
m mm
m
mm m
m
B d dc
d
d d d
Bm m
ων µµν µ ν µ µ µ µν ν µ ν µ
ν µµ ων µν µ ν µ
µ µν µ µ µ ων µ µν µ ν µ
ωνν ν
+ +
+
+
−
⎛ ⎞= Φ = +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎛ ⎞= − +⎜ ⎟− −⎝ ⎠
⎛ ⎞= − + ⎜ ⎟− −⎝ ⎠
= − −+ +
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
sonuçları elde edilir. Benzer işlemler yapılarak ( )0A ξ ve ( )mA ξ integralleri de
hesaplanabilir:
( ) ( )1 1 1 2
0 00 0 0
0 0 0 0 00 0 0
12 2,A d d dc c
ων µ ων µµν µ ν µ µ µ µ µν ν ν µ ν µ ν µ
⎛ ⎞−= Φ − = = −⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠
∫ ∫ ∫
Burada integralin ilk terimi için
0
0 0
1 1 νµν µ ν µ
= −+ +
ve ikinci terimi için de
22
0 0 00 0
0 0 0 0
1ν µ ν νµ µ µ ν µ νν µ ν µ ν µ ν µ
⎛ ⎞= − = − − = + −⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠
alınırsa
( )
( )
1 12 20 0 0
0 0 0 00 0 0 00 0
1 1 1 1220 0
0 0 0 0 00 00 0 0 0
1
1
A d d
A d d d d
ων µ ν νµν µ ων µ ν µν µ ν µ ν µ ν µ
ν νν µ ων µ µ ων µ ων µν µ ν µ
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − = − − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞= − − − +⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
48
( )
( ) ( )
3 200 0 0 0 0
0 0
2 00 0 0 0
0
1 11 ln 1 ln 12
11 1 ln 12
A
A
ωνν ν ων ωνν ν
ωνν ων νν
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎡ ⎤⎛ ⎞
= + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎣ ⎦
elde edilir. Tekrarlama bağıntısı da;
( ) ( )
( )
1 11 1 0
0 00 00 0
1 11 1
00 00 0
1 11 1 0
00 00 0
00 1 0
12 ,
1
1 1
11 2
m mm
m m
m m
m
A d dc
d d
d d
Am m
ων µν µ ν µ µ µ µν ν µ
µµ µ ων µ µν µ ν µ
νµ µ ων µ µν µ ν µ
ων ν ν
+ +
+ +
+ +
−
−= Φ − =
+
= −+ +
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟+ +⎝ ⎠
= − −+ +
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
olarak elde edilir. İntegraller
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 20
1
20
1
2 11 1 1 ln 12
11 2
11 1 ln 12
11 2
m m
m m
B cc
B Bm m
A
A Am m
ωξξ ξ ω ωξ ξξ
ωξξ ξ ξ
ωξξ ωξ ξξ
ωξξ ξ ξ
−
−
⎡ ⎤⎛ ⎞= + − + + + −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
= − −+ +
⎡ ⎤⎛ ⎞= + − + −⎢ ⎥⎜ ⎟
⎝ ⎠⎣ ⎦
= − −+ +
(4.16)
şeklindedir. Diğer saçılmalar için integraller benzer şekillerde belirlenir. Buna göre
kuadratik anizotropik saçılma için ( )( )225 3 1 14f cα ξ= − − olmak üzere;
49
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 20
1
2 20
1
1 2 31 3 ln 1 1 32
1 31 3
1 31 3 1 3 ln 12
1 31 3
m m
m m
Bc
B Bm m
A
A Am m
ξ ξ α αξ αξ αξξ
α αξ ξ ξ
αξξ αξ ξ α αξξ
α αξ ξ ξ
−
−
⎛ ⎞= − − + + + − − +⎜ ⎟
⎝ ⎠−
= − −+ +
⎛ ⎞= + − − + + −⎜ ⎟
⎝ ⎠−
= + −+ +
(4.17)
şeklindedir ve triplet anizotropik saçılma için ( ) ( )33
7 5 5 21 12 2 6 3
f c cγ ξ ξ ξ⎡ ⎤= − − − −⎢ ⎥⎣ ⎦
olmak üzere
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 2 20
1
3 2 20
1
2 5 4 11 5 1 5 3 ln 12 3 4
1 5 31 4 2
5 4 11 5 1 5 3 ln 12 3 4
1 5 31 4 2
Bc
B B
A
A A
κ κ
κ κ
γξ γξ γξ γξ ξ γξ γξξ
γ γξ ξ ξκ κ κ
γξ γξ γξ γξ ξ γξ γξξ
γ γξ ξ ξκ κ κ
−
−
⎡ ⎤= − + + − − + − + − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − − ++ + +
⎡ ⎤= + − − + − + − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
= − + −+ + +
(4.18)
şeklinde tanımlıdır. Anizotropik saçılmalar için yazılan yukarıdaki ifadelerin tümü,
anizotropik saçılma katsayısının sıfır olması durumunda izotropik saçılma için yazılan
ifadelere dönüşür. İlgilenilen anizotropik saçılma için uygun özfonksiyonların ve bu
özfonksiyonlara ait integral tanımlarının kullanılmasıyla, Denklem (4.13)
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
10 0
00 0 0
10 0
00 0 0
, ,2 2
, ,1 , 0
2 2
N
N
c ca B B dN N
c ca A A dN N
κκ γ γ
κ
κκ κ κ
κ
ν µ ν µν νµ ν ν νν ν
ν µ ν µν νν ν ν µν ν
=
=
Φ Φ= +
⎡ ⎤Φ Φ+ − + <⎢ ⎥
⎣ ⎦
∑ ∫
∑ ∫ (4.19)
olarak elde edilir. Son olarak lineer denklem sistemi elde edebilmek için bu ifade 1mµ +
ile çarpılıp [ ]1,0µ∈ − aralığında integre edilirse;
50
0
N
m ma T Qκ κ γκ =
=∑ (4.20)
elde edilir. Burada
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 2 10 0 20
0 0
112 2 2
m mm
A B A Bc cT dm N N
κ κ κκ
ν ν ν νν ν νκ ν ν
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫
ve
( ) ( )( )
( ) ( )( )
2 2 10 0 20
0 0
.2 2
m mm
A B A Bc cQ dN N
γ γγ
ν ν ν νν ν νν ν
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ∫
şeklindedir. Yukarıda elde edilen toplamda mTκ , kuvvet serisinin mertebesi olan N için
düşünülürse ( ) ( )1 1N N+ × + boyutlu bir kare matris oluşturur. Benzer şekilde mQ γ ,
( )1m + tane satırdan oluşan bir sütun matrisi ve yine aκ sabitleri de ( )1κ + boyutlu bir
sütun matrisi oluşturur. Yaklaşımlar için sırasıyla
0N = ⇒ 0 00 0a T Q γ=
1N = ⇒ 0 00 1 10 0
0 01 1 11 1
a T a T Q
a T a T Qγ
γ
+ =
+ =
2N = ⇒ 0 00 1 10 2 20 0
0 01 1 11 2 21 1
0 02 1 12 2 22 2
a T a T a T Qa T a T a T Qa T a T a T Q
γ
γ
γ
+ + =
+ + =
+ + =
ifadeleri yazılabilir. Genel şekliyle .N yaklaşım için 1N + tane denklem elde edilir. Bu
denklem sistemi matris formunda
51
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
00 01 0 1 0 0
10 11 1 11 1
1 11 0 1 1
N
N
N NN N N
T T T a QT T T a Q
a QT T
γ
γ
γ
+
+
+ ++ + +
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
L
L
M MM M M M
L L
şeklinde yazılabilir. Böylece
T A Q⋅ =
ifadesi elde edilir ki aranan aκ sabitleri bu matris işlemi ile
1A T Q−= ⋅
denkleminden belirlenir. Böylece aκ sabitleri belirlenerek albedo ifadesinde kullanılır
ve albedo değerlerine ulaşılır.
Seçilmiş bazı değerler için elde edilen albedo değerleri Çizelge 4.1’de verilmiştir.
Çizelgede verilen değerlerin hesaplanmasında içeri giren nötron sayısının 1 olduğu yani
0γ = olduğu düşünülmüştür. Ayrıca ilk 7 yaklaşım için hesaplama yapılmıştır. Birinci
yaklaşım 0N = durumudur. İkinci yaklaşım 1N = durumudur ve 2 2× ’lik matris
işlemi yapılmıştır. Benzer şekilde yedinci yaklaşıma kadar hesaplama yapılmıştır ve
yedinci yaklaşımda 7 7× ’lik matris işlemi yapılmıştır.
52
Çizelge 4.1 Kuadratik anizotropik saçılma için 0γ = durumunda yarı-uzay albedo değerleri
0.3c =
N 2 0.2f = − 2 0.1f = − 2 0.1f = 2 0.2f = 2 0.3f = 2 0.4f =
0 0.07279987 0.07361917 0.07536838 0.07630391 0.07728431 0.07831323
1 0.07277402 0.07359535 0.07534992 0.07628860 0.07727233 0.07830459
2 0.07277296 0.07359409 0.07534813 0.07628650 0.07726987 0.07830173
3 0.07277286 0.07359396 0.07534795 0.07628629 0.07726963 0.07830146
4 0.07277285 0.07359394 0.07534793 0.07628626 0.07726960 0.07830142
5 0.07277284 0.07359394 0.07534792 0.07628626 0.07726959 0.07830141
6 0.07277284 0.07359394 0.07534792 0.07628626 0.07726959 0.07830141
0.5c =
N 2 0.2f = − 2 0.1f = − 2 0.1f = 2 0.2f = 2 0.3f = 2 0.4f =
0 0.14450974 0.14555735 0.14789856 0.14921422 0.15064490 0.15220797
1 0.14435906 0.14541546 0.14778104 0.14911219 0.15056031 0.15214230
2 0.14435377 0.14540909 0.14777198 0.14910144 0.15054759 0.15212727
3 0.14435332 0.14540854 0.14777120 0.14910053 0.15054652 0.15212603
4 0.14435327 0.14540847 0.14777110 0.14910041 0.15054638 0.15212586
5 0.14435326 0.14540846 0.14777108 0.14910039 0.15054636 0.15212583
6 0.14435325 0.14540846 0.14777108 0.14910038 0.15054635 0.15212583
0.8c =
N 2 0.2f = − 2 0.1f = − 2 0.1f = 2 0.2f = 2 0.3f = 2 0.4f =
0 0.34112415 0.34189609 0.34374902 0.34487907 0.34619246 0.34774311
1 0.34022121 0.34100719 0.34291366 0.34408750 0.34545973 0.34708769
2 0.34020170 0.34098366 0.34287959 0.34404643 0.34541001 0.34702710
3 0.34020061 0.34098231 0.34287762 0.34404408 0.34540724 0.34702383
4 0.34020049 0.34098217 0.34287741 0.34404383 0.34540694 0.34702348
5 0.34020047 0.34098214 0.34287737 0.34404378 0.34540688 0.34702342
6 0.34020047 0.34098214 0.34287736 0.34404377 0.34540687 0.34702340
53
Farklı ikincil nötron sayıları ve aynı değerdeki saçılma katsayıları için hesaplanan
albedo değerleri göz önüne alınırsa, albedo değeri artan ikincil nötron sayıları için artış
göstermektedir. Bununla birlikte artan saçılma katsayısı için belirli bir değerdeki ikincil
nötron sayısı için albedo değerinin yine artış gösterdiği Şekil 4.2’den de görülmektedir.
Şekil 4.2 Kuadratik saçılma için yarı-uzay albedo değerleri
54
4.3 PL Yöntemi Daha önceki kesimlerde açısal akı, Case’in özfonksiyonlarını içeren bir genel çözüm
şeklinde yazılmıştı. İncelenen fiziksel probleme uygun sınır şartları ve Case
özfonksiyonlarının diklik bağıntıları kullanılarak sayısal sonuçlar elde edilebilir. Buna
bir örnek olarak bir önceki kesimde Singüler özfonksiyonlar yöntemiyle incelenen yarı-
uzay albedo problemi verilebilir. Açısal akı konum, açısal değişkenin kosinüsünün bir
fonksiyonudur. Açısal akı, uzaysal değişkeni içeren bir fonksiyon ile açısal değişkeni
içeren bir başka fonksiyonun çarpımı olarak yazılabilir. Bu durumda açısal kısım
[ ]1,1µ∈ − aralığında değiştiğinden açısal değişkeni içeren fonksiyon, bu aralıkta dik
olan Legendre polinomları cinsinden seriye açılabilir. Benzer biçimde küresel
harmonikler, Chebysheff polinomlarının kullanıldığı çalışmalar da yapılmıştır. Burada
sadece Legendre polinomlarının kullanıldığı durum incelenmiştir.
Legendre polinomları, Legendre diferansiyel denkleminin çözümlerinden elde edilir ve
bu diferansiyel denklem 2. mertebeden bir diferansiyel denklem olduğundan iki tane
lineer bağımsız çözümü vardır. Bu çözümler 1. tip Legendre ve 2. tip Legendre
polinomları olarak adlandırılır ve buradaki notasyona uygun yazılırsa ( )LP µ ve ( )LQ µ
olarak gösterilir. Ancak 1. tip Legendre polinomları [ ]1,1µ∈ − aralığında sonlu
değerler alırken, 2. tip Legendre polinomları 1µ = ± değerlerinde sonsuza ıraksar. Bu
nedenle bu yöntemde 1. tip Legendre polinomları kullanılır ve yöntemin adı da buradan
gelir.
PL yöntemi (Marshak 1947), açısal dağılım fonksiyonunun Legendre polinomları
cinsinden seriye açılmasına dayalı, yarı analitik bir yöntemdir.
Düzlem geometride tek hızlı, zamandan bağımsız transport denklemi Denklem (2.26) ile
verilir. Denklemde yer alan açısal akı terimi ( ),x µΨ ve benzer olarak kaynak terimi
( ),q x µ Legendre polinomları cinsinden yazılabilir. Saçılma fonksiyonu daha önce
Denklem (2.25)’te Legendre polinomları cinsinden verilmiştir.
55
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0
0
0
2 1,4
2 1,42 1,
4
m mm
m mm
mx x P
mq x q x P
mf f P P
µ µπ
µ µπ
µ µ µ µπ
∞
=
∞
=
∞
=
+Ψ = Ψ
+=
+′ ′=
∑
∑
∑ l l ll
(4.21)
Bu ifadelerin Denklem (2.26)’da kullanılmasıyla
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0 0
0
2 1 2 14 4
2 12 12 4
2 14
mm m m
m m
m m mm
m mm
xm mP P xz
c ml f P x P P d
m q x P
µ µ µπ π
µ µ µ µπ
µπ
∞ ∞
= =
∞ ∞
= =
∞
=
∂Ψ+ +⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ Ψ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠+⎛ ⎞ ′ ′+ Ψ⎜ ⎟
⎝ ⎠+⎛ ⎞+ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑ ∑
∑ ∑ ∫
∑
l ll
(4.22)
denklemine ulaşılır. Burada Legendre polinomları için geçerli olan ve sırasıyla
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1
1
1 1
22 1
1 12 1
m m
m m m
P P dm
P m P mPm
µ µ µ δ
µ µ µ µ
−
+ −
=+
= + +⎡ ⎤⎣ ⎦+
∫ l l
(4.23)
ile verilen diklik ve tekrarlama bağıntılarının kullanılmasıyla
( )
( ) ( )
1
1
12 1
(1 ) , 0,1,2....2 1
k
kk k k
d xkk dx
d xk cf x q kk dx
+
−
Ψ+⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠
Ψ⎛ ⎞+ + − Ψ = =⎜ ⎟+⎝ ⎠
(4.24)
56
denklemi elde edilir. Bu denklem LP denklemi olarak adlandırılır ve ( )1k x+Ψ ile
( )1k x−Ψ şeklinde çiftlenimli terimlerden oluşan sonsuz bir denklem kümesini ifade
etmektedir. Sonsuz sayıda çözümün olmaması için ( )1 0kd x dx+Ψ = kabul edilir.
Burada L yaklaşım sayısı olup 0,1,2....,k L= değerlerini alabilir. Yaklaşım sayısına
bağlı olarak elde edilen denklem takımında, fonksiyonlar birbirleri cinsinden yazılabilir.
Bu şekilde tek bilinmeyenli yüksek dereceden bir diferansiyel denklem elde edilir.
Denklemin çözülmesi ile tüm akı ifadelerine de ulaşılmış olur.
Terimlerin birbirleri cinsinden yazılması sırasında işlemlere dahil olan integral sabiti
gibi yeni terimlerin elde edilmesinde ise Marshak sınır koşullarından yararlanılır:
1
0
(0, ) 0, 1,3,5....d Lµ ψ µ µ = =∫ l l (4.25)
Bilinmeyen terim sayısı ile Marshak koşulları ile elde edilen denklem sayısı birbirine
eşittir. Marshak koşulları ile bulunan terimlerin de kullanılmasıyla herhangi bir z
noktasındaki nötron akısı belirlenmiş olur. Yöntemin daha iyi anlaşılması için Milne
problemine uygulaması bir sonraki kesimde verilmiştir.
4.3.1 LP yöntemi ile kuadratik anizotropik saçılma için Milne problemi
Milne problemi astrofizik, deniz bilimleri ve nötron transport teoride çalışılan klasik,
yarı-uzay problemlerinden birisidir. Problemde, Şekil 4.3’te görüldüğü üzere, ortam
sınırından sonsuz uzaklıkta bulunan bir kaynak olduğu, ortamın dışının da boşluk
olduğu düşünülmektedir:
57
Şekil 4.3 Sonsuzdaki kaynağı ve yarı-uzay ortamın temsili gösterimi
Buna bağlı olarak 0x = noktasından içeri giren nötron akısı olmadığı düşünülmektedir:
( )0, 0, 0µ µΨ = > (4.26)
Problemde, ortamdan boşluğa çıkan nötron akısının Şekil 4.4’te gösterildiği gibi sıfır
olduğu nokta aranmaktadır ve bu noktaya extrapolasyon uzaklığı adı verilir, 0z ile
gösterilir (Bell ve Glasstone 1970).
Şekil 4.4 Extrapolasyon uzaklığının gösterimi (Bell ve Glasstone 1970).
58
1P yaklaşımı:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 0
01 1
0 1 0
1 3 1 0
d xk cf x
dxd x
k cf xdx
Ψ= + − Ψ =
Ψ= + − Ψ =
1k = için yazılan denklemin bir kere türevi alınırsa;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2
0 01 1 12 2
1
13 1 03 1
d x d xd dcf x xdx dx dx cf dxΨ Ψ−
+ − Ψ = ⇒ Ψ =−
elde edilen ifade 0k = için elde edilen ifade de kullanılırsa;
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
21 0
0 0 0 021
11 0 13 1
d x d xcf x cf x
dx cf dxΨ Ψ−
+ − Ψ = ⇒ = − − Ψ−
ifadesi elde edilir. Bu ifade düzenlenirse;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
0 20 1 0 0 0 12 1 3 1 , 1 3 1
d xcf cf x x cf cf
dxε ε
Ψ= − − Ψ = Ψ = − −
diferansiyel denklemi elde edilir. Bu denklem lineer anizotropik saçılma için difüzyon
denklemidir.
3P yaklaşımı:
Bu yaklaşımda 0,1,2,3k = değerlerini alır ve Denklem (4.24)’ten
59
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
10 0
0 21 1
1 32 2
23 3
0 1 0
1 2 3 1 0
2 2 3 5 1 0
3 3 7 1 0
d xk cf x
dxd x d x
k cf xdx dx
d x d xk cf x
dx dxd x
k cf xdx
Ψ= + − Ψ =
Ψ Ψ= + + − Ψ =
Ψ Ψ= + + − Ψ =
Ψ= + − Ψ =
(4.27)
şeklinde dört bilinmeyenli dört denklem elde edilir. Burada Case özfonksiyonlarını
içeren diğer yarı-analitik yöntemlerle çözülemeyen ve özel bir durum olan 1c = durumu
için Milne problemi kuadratik anizotropik saçılma için incelenmiştir. Kuadratik
anizotropik saçılma için 0 1 3 20, 0f f f f= = = ≠ olur. Buna göre
( )10 0d x
kdxΨ
= = (4.28a)
( ) ( ) ( )0 211 2 3 0
d x d xk x
dx dxΨ Ψ
= + + Ψ = (4.28b)
( ) ( ) ( ) ( )1 32 22 2 3 5 1 0
d x d xk f x
dx dxΨ Ψ
= + + − Ψ = (4.28c)
( ) ( )233 3 7 0
d xk x
dxΨ
= + Ψ = (4.28d)
denklem takımı elde edilir. Denklem (4.28a)’dan ( )1 xΨ fonksiyonunun bir sabit
olduğu görülür ve
( )1 1xΨ = − (4.29)
keyfi seçimi yapılabilir. Denklem (4.28d)’den
60
( ) ( )23
37
d xx
dxΨ
Ψ = − (4.30)
şeklinde elde edilen ( )3 xΨ fonksiyonu ve Denklem (4.29), Denklem (4.28c)’de
kullanılırsa 2. dereceden diferansiyel bir denklem elde edilir:
( ) ( ) ( )22 2
33 5 1 07
d xd f xdx dx
Ψ⎛ ⎞− + − Ψ =⎜ ⎟⎝ ⎠
( ) ( ) ( )
( ) ( )
22
2 22
22 2
22
9 5 1 07
d xf x
dx
d xx
dxα
Ψ− + − Ψ = ⇒
Ψ= Ψ
Denklemin çözümü 235 (1 )9
fα = − olmak üzere
( )2xx ke α−Ψ = (4.31)
olur. Denklem (4.31)’in sırasıyla Denklem (4.30)’da ve Denklem (4.28b)’de
kullanılması ile
( )337
xx ke αα −Ψ =
( )0 2 3xx ke x kα− ′Ψ = − + +
ifadelerine ulaşılır. k ve k ′ bilinmeyenlerinin bulunmasında Denklem (4.25)
kullanılırsa
1 5( 2 ) 1 02 81 3 5 6( 2 ) 04 5 8 35
k k k
k k k kα
′− − + =
′ − − + + =
61
şeklinde elde edilen denklem takımının çözülmesi ile elde edilen k ve k ′ terimleri
0 ( ) 2 3xx ke x kα− ′Ψ = − + +
denkleminde kullanılır, Denklem (4.26)’da uygulanırsa ekstrapolasyon uzaklığına
ulaşılır. Çizelge 4.2’de LP yöntemiyle elde edilmiş olan Milne değerleri Case
yönteminden elde edilen değerler ile karşılaştırmalı olarak verilmiştir.
Çizelge 4.2 LP yöntemiyle kuadratik anizotropik saçılma durumu için bulunan Milne
değerleri
25 f 3P ( )3 Case 1967P
0 0.705095 0.7051
0.1 0.705297 0.7053
0.2 0.705503 0.7055
0.3 0.705713 0.7057
1 0.707326 0.7074
İlerleyen kesimlerde 1c < ve 1c > değerleri için hesaplanan Milne değerleri farklı bir
yöntemle hesaplanarak 1c = değerine, lineer interpolasyon yapılarak buradaki
değerlerle karşılaştırılmıştır.
4.4 FN Yöntemi FN yöntemi (Siewert ve Benoist 1979, Grandjean ve Siewert 1979), Case’in Singüler
özfonksiyonları cinsinden yazılan Green fonksiyonu ve sonlu ortamı sonsuz ortama
dönüştüren Placzek lemmasının kullanıldığı yarı-analitik bir yöntemdir. Case yöntemi,
yarı-uzay gibi sonlu uzay problemleri için yöntemin yarı-uzay diklik bağıntılarının
kullanıldığı ve bu nedenle de matematiksel yapısı gittikçe karmaşıklaşan bir yöntemdir.
Daha önce incelenen CN (Kavenoky 1978) yöntemi de Fourier dönüşümlerinin
kullanılması ile karmaşık olan bir yöntemdir. FN yöntemi, Case’in genel çözümünü
62
Placzek lemması ile kullanarak sonlu uzay problemleri için de tam bölge diklik
bağıntılarının kullanılmasını sağlayan bir yöntemdir.
İlgilenilen problem için yazılan genel çözümde, sınır şartları ve akı için önerilen
çözümler kullanılır. Case’in diklik bağıntılarından yararlanılarak elde edilen denklem ya
da denklemlerde, yalnızca genel çözümde yer alan katsayılar bilinmemektedir. Genel
çözümde yer alan bu katsayıların bulunmasına yönelik olarak lineer denklem takımları
oluşturulur. FN yönteminde bu denklem takımları, açısal değişkenin tanımlı olduğu
[ ]0,1 aralığının yaklaşım sayısının bir fazlasına bölünmesiyle oluşturulur. Örneğin
birinci yaklaşımda yani 0N = için 0ξ ν= olmak üzere tek kök ve tek denklem için
sayısal hesap yapılır. İkinci yaklaşımda yani 1N = için 0 , 0ξ ν= olmak üzere iki tane
kök ve bu iki köke karşı gelen iki tane denklemden oluşan bir denklem sistemi elde
edilir. Üçüncü yaklaşımda yani 2N = için 0 , 0, 1ξ ν= olmak üzere üç kök ve üç
denklem; dördüncü yaklaşımda, 3N = için 0 , 0, 1 2, 1ξ ν= kökleri için 4 tane
denklemden oluşan bir denklem sistemi elde edilir. İleri yaklaşımlar benzer şekilde
[ ]0,1 aralığının eşit aralıklara bölünmesiyle bulunur.
Bu denklem takımlarının ortak çözümüyle elde edilen katsayılar, problemin çözümünde
kullanılır.
63
4.5 HN Yöntemi (Modifiye FN Yöntemi) Yöntem ismini, Türkçe’de melez anlamına gelen ve İngilizce karşılığı Hybrid olan
kelimeden alır. Bu adı almasının nedeni HN yönteminin (Tezcan vd. 2003) daha önce
geliştirilen ve önceki kesimlerde de değinilen yöntemlerin bir araya getirilerek
geliştirilmesidir.
Öncelikle bu yöntemde Case yöntemi esas alınmaktadır. Tek hızlı yaklaşım için
homojen uzayda nötron transport denkleminin genel çözümü bilinmektedir. İlgilenilen
fiziksel problemin çözümlenmesi için genel çözümde yer alan ve keyfi olarak nitelenen
katsayıların belirlenmesi gerekir. Bu aşamada FN yöntemi önem kazanır. FN yöntemi,
Placzek lemması kullanılarak sonlu problemleri sonsuz problem gibi ele alan bir
yöntemdir. Bu özelliği, yarı uzay problemlerini tam uzay gibi düşünebilmeyi ve bunun
sonucu olarak da tam uzay diklik bağıntılarının kullanılmasını sağlar. Yanı sıra, FN
yönteminde genel çözümde geçen katsayıların bulunması için lineer denklem
takımlarının oluşturulduğu üzerinde durulmuştu. Bahsi geçen bu lineer denklem
takımlarının, özdeğerlerin tanımlı olduğu [0,1] aralığının yaklaşım sayısının bir
fazlasına bölünmesiyle meydana getirildiği açıklanmıştı. HN yöntemi ya da diğer adıyla
modifiye FN yönteminde lineer denklem sistemi oluşturmak için genel çözüm mµ ile
çarpılarak [ ]0,1µ∈ aralığında integrali alınmaktadır. Böylece modifiye FN yöntemini,
FN yönteminden ayıran temel fark, lineer denklem takımlarının oluşturulma şekli olduğu
söylenebilir.
HN yönteminin iki türlü uygulaması mevcuttur. Bunlardan ilki, transport denklemin
çözümünde yer alan açılım katsayılarının, Case’in özfonksiyonları ve bu özfonksiyonlar
cinsinden yazılan Green fonksiyonunun kullanılmasıyla sınır şartlarına bağlı olarak
belirlenip, ilgili problemde kullanılması şeklindedir. Yöntem bu yönüyle Singüler
özfonksiyonlar yöntemi ile de bağdaşır. Diğer uygulaması ise problemin çözüm
önerilerine bağlı olarak tespit edilen açılım katsayılarının, genel çözümde kullanılması
şeklindedir. Yöntemin bu şekilde kullanılışı modifiye FN yöntemi olarak
adlandırılmıştır.
64
Sözel olarak ifade edilen bu açıklamaları matematiksel olarak şu şekilde özetleyebiliriz.
Homojen bir uzayda ve tek hızlı yaklaşımda nötron transport denklemi;
( ) ( ) ( ) ( )1
1
,, , ,
2x cx f x dxµ
µ µ µ µ µ µ−
∂Ψ′ ′ ′+ Ψ = Ψ
∂ ∫ (4.65)
ile verilir. Bu denklemin genel çözümü de
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]
0 00 0 0 0
1
1
, , ,
, , 1,1
x x
x
x A e A e
A e d
ν ν
ν
µ ν φ ν µ ν φ ν µ
ν φ ν µ ν µ
−
−
−
Ψ = + − −
+ ∈ −∫ (4.66)
şeklindedir. Bu çözüm yazılırken FN yönteminin yararlandığı Placzek lemmasından
faydalanılmıştır. Eğer ortamın sınırındaki nötron akısı biliniyorsa o zaman genel
çözümdeki katsayılar, Case’in diklik bağıntıları faydalanılarak belirlenebilir.
Bu diklik bağıntıları saçılma fonksiyonunun türüne göre Denklem (3.22) ile Denklem
(3.29) aralığında verilmiştir. Katsayılar diklik şartından belirlendiğinden ve bu işlemde
açısal değişken üzerinden integral alındığından katsayılar
( ) ( ) 0, , , ,A g cξ ξ τ ξ ν ν= = (4.67)
şeklinde belirlenir. Yani sadece ikincil nötron sayısı, özdeğer ve uzaysal değişkenin
fonksiyonudur. Böylece katsayılar belirlenmiş olur. Çözüm tek olduğundan bu
katsayılar, genel çözümde yüzey üzerindeki akıyı, genel çözümün terimleri cinsinden
yazarken de geçerlidir. x τ= ’daki açısal akı ifadesi, genel çözümün terimleri cinsinden
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]
0 00 0 0 0
1
1
, , , , , , ,
, , , , 0,1
f g c e g c e
g c e d
τ ν τ ν
τ ν
τ µ µ ν τ φ ν µ ν τ φ ν µ
ν τ φ ν µ ν µ
−
−
−
Ψ = = + − −
+ ∈∫ (4.68)
65
şeklinde yazılabilir. Açıkça görülebilir ki ( )f µ biliniyorsa, ( ), ,g c ξ τ de biliniyor
demektir. Son olarak bu ifade 1mµ + ile çarpılarak bir lineer denklem sistemi elde edilir.
Bu lineer denklem sistemi ilgilenilen fiziksel probleme göre çözülerek sonuca
ulaşılmaya çalışılır. Ya da, sağ taraf bilinen terimler içerdiğinde, eğer ( )f µ ’de
bilinmeyen terimler varsa o zaman elde edilen lineer denklem sistemi bu bilinmeyen
terimlerin belirlenmesini sağlar.
Yöntemin daha iyi anlaşılması için çeşitli problemlere uygulaması yapılmıştır. 4.5.1 Sabit kaynak Albedo problemi Burada [ ]0,x∈ ∞ aralığında uzanan bir ortamın 0x = ’daki yüzeyi üzerinde birim
zamanda birim alana bir tek nötron yayınlayan ( )1S = kaynağın varlığında aynı yüzey
üzerindeki albedo değerleri araştırılmaktadır. Bu problem daha önce farklı yöntemlerle
Kaşkaş ve Tezcan (1996) ve Tezcan (2007) tarafından incelenmiştir.
Düzlem geometride, tek hızlı nötron transport denklemi sabit kaynak varlığında
( ) ( ) ( )1
1
,, , ( , )
xx c x f d S
xµ
µ µ µ µ µ µ−
∂Ψ′ ′ ′+ Ψ = Ψ +
∂ ∫ (4.32)
şeklindedir. Denklemin homojen hale getirilmesi için
( ) ( ), ,x x kµ µΨ = Φ + (4.33)
dönüşümü yapılır. Burada
1Sk
c=
−
olup
66
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 00 0 0 0
1
1
, , ,
,
x x
x
x A e A e
A e d
ν ν
ν
µ ν φ ν µ ν φ ν µ
ν φ ν µ ν
−
−
−
Φ = + − −
+ ∫ (4.34)
ile verilir ve homojen denkleminin çözümüdür. Homojen olmayan denklemin çözümü,
homojen denklemin çözümü ile sabit kaynağı da içeren k sabitinin toplamı olarak
Denklem (4.33)’de verildiği şekliyle yazılmış olur:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]
0 00 0 0 0
1
1
, , ,
, , 1,11
x x
x
x A e A e
SA e dc
ν ν
ν
µ ν φ ν µ ν φ ν µ
ν φ ν µ ν µ
−
−
−
Ψ = + − −
+ + ∈ −−∫
(4.35)
Denklem (4.35)’deki integral terimi [ ]0,1µ∈ aralığında yazılırsa
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
0 00 0 0 0
1 1
0 0
, , ,
, ,
, 1,11
x x
x x
x A e A e
A e d A e d
Sc
ν ν
ν ν
µ ν φ ν µ ν φ ν µ
ν φ ν µ ν ν φ ν µ ν
µ
−
−
Ψ = + − −
+ + − −
+ ∈ −−
∫ ∫ (4.36)
denklemin sağ tarafındaki 2. ve 4. terimler x →∞ durumunda, ıraksadığından
( ) ( )0 0A Aν ν− = − =
olmalıdır. Buna göre denklemin son hali
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]0
1
0 00
, , , , 1,11
x x Sx A e A e dc
ν νµ ν φ ν µ ν φ ν µ ν µ− −Ψ = + + ∈ −−∫ (4.37)
67
şeklini alır. ( )0A ν açılım katsayılarını bulmak için denklem 0( , )µφ ν µ ile çarpılarak
[ 1,1]µ∈ − aralığında integre edilir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) [ ]
0
1 1
0 0 0 01 1
1 1
00 1
1
01
, , , ,
, ,
, , 1,11
x
x
x d A e d
A e d d
S dc
ν
ν
µ µφ ν µ µ ν µφ ν µ φ ν µ µ
ν ν µφ ν µ φ ν µ µ
µφ ν µ µ µ
−
− −
−
−
−
Ψ =
+
+ ∈ −−
∫ ∫
∫ ∫
∫
(4.38)
Denklemin sağ tarafındaki ikinci terim diklik şartından ötürü sıfır olur ve denklem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ]
0
1 1
0 0 0 01 1
1
01
, , , ,
, , 1,11
xx d A e d
S dc
νµ µφ ν µ µ ν µφ ν µ φ ν µ µ
µφ ν µ µ µ
−
− −
−
Ψ =
+ ∈ −−
∫ ∫
∫
biçimine ulaşır. 0x = noktası için bu denklem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ]
1 1
0 0 0 01 1
1
01
0, , , ,
, , 1,11
d A d
S dc
µ µφ ν µ µ ν µφ ν µ φ ν µ µ
µφ ν µ µ µ
− −
−
Ψ =
+ ∈ −−
∫ ∫
∫
şeklinde olup diklik şartı tanımı kullanılırsa
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1 1
0 0 0 01 1
( ) 0, , , , 1,11
SA N d dc
ν ν µ µφ ν µ µ µφ ν µ µ µ− −
= Ψ − ∈ −−∫ ∫ (4.39)
ifadesine ulaşır. İntegral sınırları düzenlenirse
68
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) [ ]
1 1
0 0 0 00 0
1
01
( ) 0, , 0, ,
, , 1,11
A N d d
S dc
ν ν µ µφ ν µ µ µ µφ ν µ µ
µφ ν µ µ µ−
= Ψ − Ψ − −
− ∈ −−
∫ ∫
∫
olur. Burada 0x = noktasındaki yüzey üzerindeki akılar için
0
(0, )
(0, ) , 0N
ll
la
γµ µ
µ µ µ=
Ψ =
Ψ − = >∑ (4.40)
önerileri yapıldığında denklem
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 0 00 0 0 0 0 0 0 0
02 2 1 2
N
l ll
c c cSA N B a A B Acγ
ν ν νν ν ν ν ν ν=
= − − −−∑ (4.41)
biçimini alır. ( )A ν açılım katsayısının bulunması için ise denklem ( , )µφ ν µ ile
çarpılarak [ 1,1]µ∈ − aralığında integre edilir ve benzer işlemler yapılırsa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0 002 2 1 2
N
l ll
c c S cA N B a A B Acγ
ν ν νν ν ν ν ν ν=
= − − −−∑ (4.42)
ifadesine ulaşılır. Bulunan ( )0A ν ve ( )A ν açılım katsayıları, Denklem (4.37) ile
verilen genel çözüm ifadesinde kullanılır ve saçılmanın durumuna göre Denklem (4.15)
– Denklem (4.18)’de verilen integral tanımlarından faydalanılırsa, giren akı için
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
0 0 00 0 0 0 0 0 0
00
1
0 000
1 ( , )( ) 2 2 1 2
1 ( , )( ) 2 2 1 2
1
N
l ll
N
l ll
c c cSB a A B AN c
c c S cB a A B A dN cS
c
γγ
γ
ν ν νµ ν ν ν ν φ ν µν
ν ν νν ν ν ν φ ν µ νν
=
=
⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥−⎣ ⎦
⎡ ⎤+ − − −⎢ ⎥−⎣ ⎦
+−
∑
∑∫ (4.43)
69
denklemine ulaşılır. Lineer bir denklem sistemi elde edebilmek için bu denklem 1mµ +
ile çarpılarak [ 1,1]µ∈ − üzerinden integre edilir ve ifade düzenlenirse
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
2 2 10 0 20
0 0 0
2 2 10 0 20
0 0
120 20
0 0
2 2
12 2 2
12 2 1 2
Ql m l m
ll
m m
m m
A B A Bc ca dN N
B B B Bc c dm N N
B Bc c SS S dN N c m
γ γ
ν ν ν νν ν νν ν
ν ν ν νν ν νγ ν ν
ν νν ν νν ν
=
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠
− − +− +
∑ ∫
∫
∫
(4.44)
denklemine ulaşılır. Bu denklemde la katsayıları dışındaki tüm terimler bilinmektedir.
Denklem (4.44)’te
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )( )
2 2 10 0 20
0 0
2 2 10 0 20
0 0
120 20
0 0
2 2
12 2 2
12 2 1 2
l m l mml
m mm
m m
A B A Bc cT dN N
B B B Bc cR dm N N
B Bc c SS S dN N c m
γ γβ
ν ν ν νν ν νν ν
ν ν ν νν ν νγ ν ν
ν νν ν νν ν
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
− ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠
− − +− +
∫
∫
∫
tanımları yapılırsa
0
N
l ml ml
a T R γ=
=∑
olarak yeniden yazılabilir. Eğer ikincil nötron sayısının değeri ve kuvvet serisinin
mertebesi biliniyor ise ki kuvvet serisinin mertebesi burada yaklaşım sayısına karşı
gelecektir, mlT ve mR γ biliniyor demektir ve sonuç olarak la katsayıları olağan matris
işlemleri ile hesaplanabilir. Belirlenen katsayılar ile albedo hesabı yapılabilir:
70
yüzeyden çıkan net nötron akımı
yüzeyden giren net nötron akımıAlbedo β= = (4.45)
( )
( )
1 1
00 01 1
0 0
0 0
0,2 ( 2)2 2
0,
Nl
l N Nl l
l
d a daAlbedo a
l ld d α αβ
µ µ µ µµ µγ γ
µ µ µ µµ µ
=
= =
Ψ −+
= = = = ++ +
Ψ
∑∫ ∫∑ ∑
∫ ∫ (4.46)
β , giren akının seçilen değeri olup, yaklaşım sayısına göre bulunan la terimlerinin de
yerine yazılmasıyla, albedo hesaplanır. Çizelge 4.3 kuadratik anizotropik saçılma için
ve Çizelge 4.4 triplet anizotropik saçılma için sabit kaynak albedo değerlerini
göstermektedir.
Çizelge 4.3 0.8c = ve 1S = için kuadratik anizotropik saçılmalı sabit kaynak albedo değerleri
N 2 0.2f = − 2 0.1f = − 2 0f = 2 0.1f = 2 0.2f = 2 0.3f = 2 0.4f =
1 3.51147 3.49394 3.47327 3.44865 3.41899 3.38280 3.33804
2 3.52793 3.51100 3.49091 3.4668 3.43753 3.40155 3.35670
3 3.52715 3.51009 3.48985 3.46556 3.43609 3.39986 3.35470
4 3.52721 3.51016 3.48993 3.46566 3.43619 3.39997 3.35483
5 3.52720 3.51015 3.48992 3.46565 3.43618 3.39996 3.35481
6 3.52720 3.51015 3.48992 3.46565 3.43618 3.39996 3.35481
71
Çizelge 4.4 0.8c = ve 1S = için triplet anizotropik saçılmalı sabit kaynak albedo değerleri
N 3 0.14f = − 3 0.1f = − 3 0.05f = − 3 0.05f = 3 0.1f = 3 0.14f =
1 3.62849926 3.6306879 3.6310946 3.6241709 3.6166087 3.6083727
2 3.63302810 3.6348476 3.6348736 3.6273810 3.6196001 3.6112096
3 3.63310127 3.6349332 3.6349735 3.6275070 3.6197390 3.6113596
4 3.63310818 3.6349399 3.6349801 3.6275135 3.6197455 3.6113661
5 3.63310900 3.6349407 3.6349809 3.6275142 3.6197462 3.6113668
6 3.63310914 3.6349409 3.6349810 3.6275143 3.6197463 3.6113669
4.5.2 Slab Albedo problemi Burada iki yanı boşluk olan ve [ ],x τ τ∈ − olan bir slab ortam düşünülmektedir (Şekil
4.5). Ortamın sol yüzeyinden nötron girişinin olduğu ve sol yüzeyden giren bu
nötronların, ortam ile etkileştikten sonra bir kısmının aynı yüzeyden yansıdığı bir
kısmının da sağ taraftaki yüzeyden çıktığı göz önüne alınmaktadır. Böylece burada sol
yüzeydeki albedo ve sağ yüzeydeki geçiş oranını araştırılmaktadır. NF yöntemi, iki
şekilde uygulanır. Bunlardan ilki bir önceki kesimde açılım katsayılarının belirlenip
genel çözümde kullanılması şeklindedir. Diğer uygulama ise Green fonksiyonun
kullanılmasıdır. Bu kesimde incelenecek olan slab albedo probleminde Green
fonksiyonu kullanılarak modifiye NF yönteminin kullanılmasına değinilmiştir.
Şekil 4.5 [ ],x τ τ∈ − aralığında tanımlı ortam
72
NF yönteminde, sonlu slab için transport denklemi
( ) ( ) ( )
( )
11
1 11
1
,, , ( , ) ( , ) ( )
, [ ( ) ( )]
xx c x f d s x H x
xx x x
µµ µ µ µ µ µ µ
µ µ δ τ δ τ
∗
−
∂Ψ′ ′ ′+ Ψ = Ψ +
∂
+ Ψ + − −
∫ (4.47)
biçiminde tanımlıdır. Burada adım fonksiyonu tanımı
( ) ( )1
1 ( , )( )
0 diğer durumlar
, ( ) ,
xH x
x H x x
τ τ
µ µ
∗
∗
⎧ ∈ −⎪= ⎨⎪⎩
Ψ = Ψ
(4.48)
şeklindedir. Denklemi sağlayan ( )1 ,x µΨ ,
( )
( )( )
1
1 0 0 0 0 0 01
0 0 0
0 0 0
( , ) ; ( , )
; ( , )
; ( , )
x d dx G x x s x
G x
G x
τ
τ
µ µ µ µ µ
τ µ µ µ τ µ
τ µ µ µ τ µ
− −
Ψ = → →
+ − → → Ψ −
− → → Ψ
∫ ∫
biçiminde tanımlı olup x τ= ± noktalarındaki çıkan akı dağılımları
( )
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
1
0 0 0 00
1
0 0 0 00
1
0 0 0 00
( , ) ; ( , )
; ( , )
; ( , )
; ( , ), 0
d G
d G
d G
d G
τ µ µ τ τ µ µ µ τ µ
µ τ τ µ µ µ τ µ
µ τ τ µ µ µ τ µ
µ τ τ µ µ µ τ µ µ
+
+
+
Ψ − − = − − → − − → − Ψ − −
+ − → − → − Ψ −
+ → − − → − Ψ −
− → − → − Ψ ⟩
∫
∫
∫
∫
(4.49)
73
( )
( )
( )
( )
1
0 0 0 00
1
0 0 0 00
1
0 0 0 00
1
0 0 0 00
( , ) ; ( , )
; ( , )
; ( , )
; ( , ), 0
d G
d G
d G
d G
τ µ µ τ τ µ µ µ τ µ
µ τ τ µ µ µ τ µ
µ τ τ µ µ µ τ µ
µ τ τ µ µ µ τ µ µ
−
−
−
−
Ψ = − − → − → Ψ − −
+ − → → Ψ −
+ → − → Ψ −
− → → Ψ ⟩
∫
∫
∫
∫
(4.50)
şeklindedir. Burada
0 0
0 0
( , ) 0
( , ) , ( , ) 0, 0
( , ) , ( , ) , 0N N
l ll l
l l
s x
a b
γ
µ
τ µ µ τ µ µ
τ µ µ τ µ µ µ= =
=
Ψ − = Ψ − = >
Ψ − − = Ψ = >∑ ∑
(4.51)
çözüm önerileri ve sınır şartları kullanılarak, albedo probleminde yapılan işlemlerin
benzerleri gerçekleştirilirse
( )
( ) ( )
11
0 0 00 0 0
1 11 1
0 0 0 0 0 000 0
,
, ,
N Nl l
l ll l
Nl
ll
a a d G
d G b d Gβ
µ µ µ µ µ
µ µ µ µ µ µ µ µ
+ +
= =
+ + + −
=
= − − −
+ − − −
∑ ∑ ∫
∑∫ ∫
( )
( ) ( )
11
0 0 00 0 0
1 11 1
0 0 0 0 0 000 0
,
, ,
N Nl l
l ll l
Nl
ll
b a d G
d G b d Gβ
µ µ µ µ µ
µ µ µ µ µ µ µ µ
+ +
= =
+ + + −
=
= − −
+ −
∑ ∑ ∫
∑∫ ∫
ifadeleri yazılır. Bu ifadelerin 1mµ + ile çarpılıp µ üzerinden [ ]0,1µ∈ aralığında integre
edilmesi ile
74
0
2 2 120 0 0
0 0 0
2 2 12 220 0 0
0 0 0
20 00
0
( ) ( ) ( ) ( )12 2 ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) 2 ( )
( ) ( )2 ( ) 2
Nl m l m
ll
Nl m l m
ll
m
c A A A Aca dm l N N
c A B A Bcb e e dN N
A Bc cN
τ τν ν
β
ν ν ν ν νν νν ν
ν ν ν ν νν νν ν
ν ννν
=
− −
=
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛= +⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∫
∑ ∫2 1
2
0
( ) ( )( )
mA Bd
Nβν ν
ν νν
⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫
(4.52)
0
2 2 12 220 0 0
0 0 0
2 2 120 0 0
0 0 0
2 20 00
0
( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )12 2 ( ) 2 ( )
( ) ( )2 ( )
Nl m l m
ll
Nl m l m
ll
m
c A B A Bca e e dN N
c A A A Acb dm l N N
B Bc eN
τ τν ν
τβ
ν ν ν ν νν νν ν
ν ν ν ν νν νν ν
ν ννν
− −
=
=
−
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∫
∑ ∫
0
2 122
0
( ) ( )2 ( )
mB Bc e dN
τβν νν ν
ν νν
−⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ∫
(4.53)
ifadeleri elde edilir. Böylece iki denklemden iki ayrı denklem sistemi elde edilmiş olur:
0 0
0 0
N N
l ml l ml ml l
N N
l ml l ml ml l
a T b H S
a H bT R
β
β
= =
= =
+ =
+ =
∑ ∑
∑ ∑
(4.54)
Burada
0
2 2 120 0 0
0 0
2 2 12 220 0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( )12 2 ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) 2 ( )
l m l mml
l m l mml
c A A A AcT dm l N N
c A B A BcH e e dN N
τ τν ν
ν ν ν ν νν νν ν
ν ν ν ν νν νν ν
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + ⎜ ⎟⎜ ⎟+ + ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫
∫
75
0
2 2 12 20 0 20
0 0
2 2 10 0 20
0 0
( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) 2 ( )
( ) ( ) ( ) ( )2 ( ) 2 ( )
m mm
m mm
B B B Bc cS e e dN N
A B A Bc cR dN N
τ τβ βν νβ
β ββ
ν ν ν νν ν νν ν
ν ν ν νν ν νν ν
− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
∫
∫
olmak üzere; bu denklem sisteminin ortak çözümü şu şekilde ifade edilebilir:
1 11 11 1
1 1
1 11 11 1
1
. . . .. . . . . . . .. . . . . .
.. . . .
. . . . . . .
. . . . .
ml mll m l m l m
ml mll m l m l
a T H S
T H
b H T R
H T
β
× × × ×
× × ×
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1
.
.m
β
×
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
11 12 1 11 12 1 11
21 21 22
1 1
11 12 1 11 12 11
212
1 ( 1) 1 ( 1)
. .. . . . . .
. . . . . . . . ... . . .
. .. . . . . . .
. . . . . . . ... .
l l
m ml m ml ml
l l
m m l ml m m l mll
T T T H H H SaT H Sa
T T H H SaH H H T T T RbHb
H H H T T Tb
β
β
β
− −
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1
2
.
m
R
R
β
β
β
⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
T ve H matrislerinin birleştirilmesi ile elde edilen matrisin tersinin alınarak soldan
kendisi ile çarpılması ile la ve lb katsayıları elde edilebilir. Matrisin 1’den l ’ye kadar
olan terimleri la katsayılarını, 1l + ’den 2l ’ye kadar olan terimleri de lb katsayılarını
verir. Slab için albedo ve geçiş katsayısı sırası ile şu ifadelerden hesaplanır:
76
1
00
1
00
( 2) ( , ) ( 2)2
( 2) ( , ) ( 2)2
Nl
l
Nl
l
aA dl
bB dl
γ τ µ µ µ γ
γ τ µ µ µ λ
∗
=
∗
=
= + Ψ − − = ++
= + Ψ = ++
∑∫
∑∫
(4.55)
Denklem (4.55)’te la ve lb katsayılarının kullanılmasıyla izotropik saçılma için Çizelge
4.5, lineer anizotropik saçılma için Çizelge 4.6 ve kuadratik anizotropik saçılma için
Çizelge 4.7’de verilen değerler hesaplanmıştır.
Çizelge 4.5 c=0.8 için izotropik saçılmalı albedo ve geçiş katsayıları
*A
1 0f = Kavenoky (CN) HN FN Modifiye FN
N System 1 System 2 System 3 System 4
0 0.2892706 0.2793962 0.2873693 0.2813541 0.279396 0.2557 0.2793961
1 0.2796293 0.2801729 0.2795152 0.2801869 0.280192 0.2896 0.2801728
2 0.2801753 0.2801538 0.2801763 0.2801528 0.280154 0.2813 0.2801537
3 0.2801477 0.2801518 0.2801477 0.2801517 0.280152 0.2803 0.2801517
4 0.2801536 0.2801517 0.2801536 0.2801517 0.280152 0.2803 0.2801517
Exact 0.2801517
*B
1 0f = Kavenoky (CN) HN FN Modifiye FN
N System 1 System 2 System 3 System 4
0 0.4017275 0.4157486 0.4145334 0.4029029 0.415749 0.4502 0.4157486
1 0.4164388 0.4182515 0.4162274 0.4164632 0.416252 0.4142 0.4162515
2 0.4163307 0.4162492 0.4162489 0.4163310 0.416250 0.4189 0.4162491
3 0.4162383 0.4162455 0.4162455 0.4162383 0.416246 0.4161 0.4162455
4 0.4162427 0.4162450 0.4162450 0.4162427 0.216245 0.4161 0.4162449
Exact 0.4162450
77
Çizelge 4.6 c=0.8 için lineer anizotropik saçılmalı albedo ve geçiş katsayıları
*A
1 0.5f =
Kavenoky (CN) HN Modifiye FN
N System 1 System 2 System 3 System 4
0 0.1984936 0.1701866 0.1945580 0.1743417 0.173187 0.1701865
1 0.1523526 0.1731119 0.1523467 0.1731442 0.173112 0.1731118
2 0.1730421 0.1731086 0.1730436 0.1731071 0.173109 0.1731085
3 0.1731102 0.1731060 0.1731102 0.1731060 0.173106 0.1731060
4 0.1731038 0.1731060 0.1731038 0.1731060 0.173106 0.1731060
Exact 0.1731060
*B
1 0.5f =
Kavenoky (CN) HN Modifiye FN
N System 1 System 2 System 3 System 4
0 0.4812977 0.5197920 0.5169656 0.4839626 0.519792 0.5197919
1 0.5291366 0.5187837 0.5187356 0.5291303 0.518784 0.5187836
2 0.5185144 0.5187596 0.5187591 0.5185149 0.518760 0.5187596
3 0.5187674 0.5187560 0.5187560 0.5187674 0.518756 0.5187559
4 0.5187579 0.5187554 0.5187554 0.5187579 0.518755 0.5187553
Exact 0.5187554
78
Çizelge 4.7 0.8c = için kuadratik anizotropik saçılmalı albedo ve geçiş katsayısı değerleri
*A
2N f 0.2− 0.1− 0.1 0.2 0.3 0.4
1 0.278173076 0.278753203 0.280114323 0.280923853 0.281846365 0.282911594
2 0.279321680 0.279729731 0.280656259 0.281186169 0.281770303 0.282418240
3 0.279308628 0.279713809 0.280633605 0.281159543 0.281739190 0.282381993
4 0.279307252 0.279712148 0.280631175 0.281156604 0.281735633 0.282377684
5 0.279307254 0.279712134 0.280631109 0.281156498 0.281735480 0.282377471
6 0.279307243 0.279712119 0.280631082 0.281156466 0.281735440 0.282377424
7 0.279307232 0.279712105 0.280631064 0.281156444 0.281735416 0.282377398
*B
2N f 0.2− 0.1− 0.1 0.2 0.3 0.4
1 0.415750249 0.415744336 0.415766962 0.415804922 0.415870608 0.41597623
2 0.415770863 0.415997256 0.416538432 0.416863829 0.417235029 0.41766127
3 0.415770496 0.415996160 0.416534182 0.416856724 0.417223772 0.41764403
4 0.415767644 0.415992916 0.416530051 0.416852077 0.417218539 0.41763812
5 0.415767203 0.415992413 0.416529421 0.416851380 0.417217771 0.41763728
6 0.415767197 0.415992406 0.416529412 0.416851370 0.417217759 0.41763726
7 0.415767217 0.415992430 0.416529442 0.416851402 0.417217794 0.41763730
79
Şekil 4.6 Kuadratik anizotropik saçılma için Albedo ve Geçiş katsayısının
0.8c = için saçılma açısına göre değişimi
4.5.3 Milne problemi
Burada, daha önce PL yöntemi ile incelenen Milne problemi incelenecektir. Milne
probleminde, sonsuz uzaklıkta kabul edilen bir kaynaktan kaynaklanan nötron akısının
sıfırlandığı yer belirlenmeye çalışılır.
Milne problemi için transport denkleminin çözümü;
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
1
0 0 00
, , , ,x x xx e A e A e dν ν νµ ν µ ν ν µ ν ν µ ν− −Ψ = Φ − + Φ + Φ∫ (4.56)
ile verilir. 0x = ’da Denklem (4.56) ile verilen çözüm;
80
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]1
0 0 00
0, , , , 1,1A A dµ ν µ ν ν µ ν ν µ ν µΨ = Φ − + Φ + Φ ∈ −∫ (4.57)
şekline dönüşür. Problemin sınır şartı ortama nötron girişinin olmamasıdır ve
( )0, 0µΨ = (4.58)
ile verilir. Yüzeyden çıkan akı için ise kuvvet serisi tanımı olarak
( )0
0, , 0N
ll
l
aµ µ µ=
Ψ − = >∑ (4.59)
çözüm önerisi yapılır. Case tarafından verilen diklik bağıntılarının kullanılmasıyla
Denklem (4.57)’deki açılım katsayıları
( ) ( ) ( ) 0, ,2l l
l
cA a ANξξ ξ ξ ν νξ
= − =∑ (4.60)
olarak bulunur. Denklem (4.60) ile verilen katsayının Denklem (4.57)’de kullanılması
ve ardından 1mµ + ile çarpılarak µ üzerinden [ ]0,1µ∈ aralığında integre edilmesiyle
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
2 210 00 0
00 02 2 2
l m l ml m
l
A B A Bc cca d AN Nν ν ν νν νν ν ν
ν ν
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∫ (4.61)
ifadesi elde edilir. Bu ifade
0
N
l lm ml
a T Q=
=∑ (4.62)
şeklinde yeniden yazılabilir. Matris formunda Denklem (4.62) yeniden yazılırsa;
81
1T A Q A T Q−⋅ = ⇒ = ⋅ (4.63)
işlemi yapılarak her yaklaşım için la katsayıları belirlenir. Extrapolasyon uzaklığı
( )00 0ln
2z Aν ν= −⎡ ⎤⎣ ⎦ (4.64)
ifadesi ile belirlenir. Bu durumda Denklem (4.63)’ten bulunan katsayılar, Denklem
(4.60) ile verilen ( )0A ν ifadesinde kullanılır ve bu ifadeden belirlenen katsayılar
Denklem (4.64)’te kullanılır.
Çizelge 4.8 1 0.1f = için lineer anizotropik saçılma durumunda extrapolasyon uzaklıkları
c 0z c 0z
0.8 0.968731 0.99 0.796739
0.82 0.947136 0.999 0.790114
0.85 0.916527 1.2 0.666498
0.87 0.897218 1.3 0.618395
0.9 0.869759 1.4 0.576755
0.92 0.852382 1.5 0.540345
0.95 0.827599 1.6 0.508227
0.97 0.811873 1.7 0.479681
Çizelge 4.8 ile verilen extrapolasyon uzunlukları 1c < ve 1c > için belirlenmiş olup
1c = ’de belirsizlik olduğu için hesaplanamamıştır. Bunun yerine eldeki veriler ile
interpolasyon yöntemi kullanılarak 1c = ’deki extrapolasyon değeri 0 0.789385 z =
olarak bulunmuştur.
82
Çizelge 4.9 2 0.02f = için kuadratik anizotropik saçılma durumunda extrapolasyon uzaklıkları
c 0z c 0z
0.8 0.890428 0.99 0.717875
0.82 0.868458 0.999 0.712065
0.85 0.837461 1.2 0.591275
0.87 0.817995 1.3 0.545503
0.9 0.790436 1.4 0.506335
0.92 0.773071 1.5 0.472441
0.95 0.748409 1.6 0.442823
0.97 0.732824 1.7 0.416721
Benzer şekilde Çizelge 4.9’da verilen extrapolasyon değerlerinden, interpolasyon
yöntemi ile elde edilen değer 0 0.710627 z = şeklindedir. Çeşitli ikincil nötron sayıları
için hesaplanan extrapolasyon uzunlukları Şekil 4.7’de grafik üzerinde gösterilmiştir.
Şekil 4.7 Çeşitli saçılmalar için extrapolasyon uzaklıklarının
ikincil nötron sayısı göre değişimi
83
Çizelge 4.10’da farklı ikincil nötron sayıları ve ayrıca farklı kuadratik anizotropik
saçılma katsayıları için extrapolasyon uzunlukları ve Şekil 4.8’de de Çizelge 4.10’da
5N = yani altıncı yaklaşım için hesaplanmış değerler kullanılarak extrapolasyon
uzunluklarının kuadratik anizotropik saçılma katsayısına göre değişimi grafik üzerinde
gösterilmiştir.
Çizelge 4.10 Kuadratik anizotropik saçılma için Milne değerleri
0.5c = 2N f 0.2− 0.1− 0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 1.48536 1.46571 1.45286 1.44452 1.43939 1.43666 1.43583 1 1.52052 0.68473 1.44122 1.41119 1.38303 1.35620 1.33016 2 1.51765 1.47602 1.44086 1.40973 1.38103 1.35381 1.32746 3 1.51763 1.47598 1.44085 1.40968 1.38097 1.35375 1.32740 4 1.51763 1.47598 1.44085 1.40968 1.38097 1.35375 1.32740 5 1.51763 1.47601 1.44085 1.40968 1.38097 1.35375 1.32740
0.8c = 2N f 0.2− 0.1− 0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 0.87411 0.88298 0.89333 0.90557 0.92022 0.93806 0.96016 1 0.87694 0.88247 0.88908 0.89631 0.90434 0.91327 0.92316 2 0.87680 0.88261 0.88905 0.89622 0.90419 0.91305 0.92283 3 0.87680 0.88261 0.88905 0.89622 0.90419 0.91305 0.92283 4 0.87680 0.88261 0.88905 0.89622 0.90419 0.91305 0.92283 5 0.87680 0.88261 0.88905 0.89622 0.90419 0.91305 0.92283
0.9c = 2N f 0.2− 0.1− 0 0.1 0.2 0.3 0.4
0 0.96163 0.96705 0.97347 0.98120 0.99072 1.00271 1.01831 1 0.98359 0.98140 0.98787 0.99418 1.00136 1.00987 1.02017 2 0.97952 0.98412 0.98900 0.99509 1.00219 1.01067 1.02099 3 0.97950 0.98400 0.98917 0.99518 1.00227 1.01075 1.02108 4 0.97950 0.98400 0.98917 0.99518 1.00227 1.01075 1.02109 5 0.97950 0.98400 0.98919 0.99519 1.00228 1.01076 1.02109
84
Şekil 4.8 Farklı ikincil nötron sayıları için extrapolasyon uzaklıklarının saçılma katsayısına göre değişimi
85
4.5.4 Kritiklik problemi
Kritiklik problemi, reaktör mühendisliğinin en önemli problemlerinden birisidir.
Problemin esası fisyon tepkimesi sonucu açığa çıkan ikincil nötronlar ile reaktör
kalınlığı arasında bir ilişki kurmaktır. Böylece reaktör tasarımında reaktör duvar
kalınlığının ne olması gerektiği belirlenir. Burada dışı vakum olan bir slab
düşünülmektedir (Şekil 4.9). Slabın içi ortamdır ve bu ortamın özelliği ikincil nötron
sayısının 1 değerinden büyük olmasıdır. Amaç ise ikincil nötron sayısını duvar
kalınlığına bağlayan matematiksel bir ifade bulmaktır.
Şekil 4.9 Reaktör kalınlığı
[ ],x a a∈ − aralığı ortamdır ve fisyon tepkimeleri burada oluşur. Bu nedenle ortam sınırı
olan x a= ve x a= − noktalarından boşluğa nötron çıkışı vardır.
Problemin çözümünde çeşitli sınır şartları kullanılır. Örneğin ortama nötron girişinin
olmadığı düşünülür ya da çıkan nötronların yüzeyden ortama tekrar geri yansıdığı
düşünülebilir. Burada, yansımanın ve ortama nötron girişinin olmadığı düşünülmüştür.
Fisyon tepkimeleri Şekil 4.9 ile gösterilmiş olan [ ],x a a∈ − aralığında
gerçekleşmektedir. Bu nedenle ortam sınırı olan x a= ve x a= − noktalarından boşluğa
nötron çıkışı vardır. Çıkan nötron akısı için
86
( )
( )
, , 0
, , 0
N
N
a a
a a
αα
α
αα
α
µ µ µ
µ µ µ
Ψ = >
Ψ − − = >
∑
∑
(4.69)
şeklinde kuvvet serisi tanımları yapılabilir. Burada
( ) ( ), , , 0a aµ µ µΨ = Ψ − − > (4.70)
ile simetrik sınır şartı göz önüne alınmıştır. Yani reaktörün her iki yüzeyinden çıkan
nötron akısı da birbirine eşittir. Ortamın dışında kalan bölüm yutucu ortam olduğu için,
bu noktalardan ortam içerisine nötron girişi olmamalıdır. Bu duruma yönelik sınır şartı
ise
( ), 0, 0a µ µΨ − = > (4.71)
( ), 0, 0a µ µΨ − = >
şeklindedir. Nötron transport denkleminin genel çözümünde yer alan integral terimi
[ ]0,1 aralığında yazılırsa
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
0 00 0 0 0
1 1
0 0
, , ,
, , , 1,1
a a
a a
a A e A e
A e d A e d
ν ν
ν ν
µ ν ν µ ν ν µ
ν ν µ ν ν ν µ ν µ
−
− −
Ψ = Φ + − Φ −
+ Φ + − Φ − ∈ −∫ ∫ (4.72)
ifadesi elde edilir. Denklem (4.70) ile verilen simetrik sınır şartı tanımının
kullanılmasıyla
87
( ) ( )0 0A Aν ν= − ve ( ) ( )A Aν ν= − (4.73)
olduğu görülür. Denklem (4.72) ile verilen çözüm, x a= yüzeyi ve µ µ→ − için yani
x a= yüzeyinden giren akı için yazılır ve Denklem (4.73)’te verilen özellik kullanılırsa
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) [ ]
0 00 0 0
1
0
, , ,
, , , 1,1
a a
a a
a A e e
A e e d
ν ν
ν ν
µ ν ν µ ν µ
ν ν µ ν µ ν µ
−
− −
⎛ ⎞Ψ − = Φ − +Φ − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎛ ⎞
+ Φ − +Φ − − ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠
∫ (4.74)
ifadesine ulaşılır.
Katsayıları bulmak için Case’in diklik bağıntıları kullanılırsa
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
0 0
, , , ,
a
eA a d a dN
ξ
ξ µ ξ µ µ µ µ ξ µ µ µξ
−⎡ ⎤
= − Φ − Ψ + Φ Ψ −⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ (4.75)
ifadeleri elde edilir. Denklem (4.75)’de, Denklem (4.69) ile verilen çözüm önerileri ve
Denklem (4.71) ile verilen simetrik sınır şartının kullanılmasıyla katsayılar
( ) ( ) ( ) 00
, ,2
a
c eA a AN
ξ
α αα
ξξ ξ ξ ν νξ
−
=
= − =∑ (4.76)
olarak elde edilir. Denklem (4.74)’te, Denklem (4.76) ile verilen katsayılar kullanılır,
elde edilen denklem 1mµ + ile çarpılıp [ ]0,1µ∈ aralığında integre edilirse
88
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
0
22 20 0 0 00 0
0 0 0
2 21 122 2
0 0
02 2
2 2
aNm m
am m
A A A Bc ca eN N
A A A Bc ce d dN N
να αα
α
α αν
ν ν ν νν νν ν
ν ν ν νν ν ν ν
ν ν
−
=
−
⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎩
⎫⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭
∑
∫ ∫ (4.77)
denklemine ulaşılır. Burada m pozitif tam sayıdır ve yaklaşım sayısına kadar değişen
değerler alır. Denklem (4.77)
0
0N
ma Tα αα=
=∑ (4.78)
biçiminde ifade edilirse burada mTα
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
0
22 20 0 0 00 0
0 0
2 21 122 2
0 0
2 2
2 2
am m
m
am m
A A A Bc cT eN N
A A A Bc ce d dN N
να αα
α αν
ν ν ν νν νν ν
ν ν ν νν ν ν ν
ν ν
−
−
⎧⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎨⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪⎩
⎫⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭
∫ ∫ (4.79)
şeklindedir. Giren akı, kuvvet serisi açılımı olarak ifade edildiğinden aα katsayıları
daima sıfırdan farklı olmalıdır. Burada mTα , ( ) ( )1 1N x N+ + boyutlu bir denklem
sistemi tanımlar.
det 0T = (4.80)
olmalıdır. Denklem (4.80) ikincil nötron sayısını reaktör kalınlığına bağlayan
matematiksel ifadedir ve bu nedenle kritiklik denklemi olarak tanımlanır. Kritiklik
probleminde 1c > olduğu için özdeğerler kompleks sayılardır. Çizelge 4.11’de
izotropik saçılma için, Çizelge 4.12’de CN yöntemiyle elde edilmiş lineer anizotropik
saçılmalı durum için, Çizelge 4.13 lineer anizotropik saçılma için HN yöntemi, Çizelge
89
4.14 Modifiye FN yöntemiyle kuadratik anizotropik saçılma için kritik kalınlık
değerlerini göstermektedir. Çizelge 4.15, Çizelge 4.14’te elde edilen değerlerden
kuadratik anizotropik saçılmalı durum için hesaplanan kritik kalınlık değerlerinin
2 0f → limitinde ara değer hesaplama (interpolasyon) tekniği kullanılarak elde edilmiş
değerler ile litreratürdeki izotropik saçılmalı değerlerin bir karşılaştırmasını
vermektedir. Matematiksel olarak 2 0f → limitinde, kuadratik saçılmalı durumlar
izotropik saçılmalı durumlara yaklaşmalıdır. Bu düşünce Çizelge 4.15’de verilen
değerlerin uyuşması ile görülmektedir. Buna ek olarak yapılan kuadratik anizotropik
saçılmalı kritik kalınlık hesaplarının da literatürdeki sonuçlar ile tutarlı olduğu
görülmektedir.
Çizelge 4.11 İzotropik saçılma için bilinen ikincil nötron sayılarına karşı gelen kritik kalınlık değerleri
N c 1.1 1.3 1.5 1.7 2.0
0 4.22483362 1.87534578 1.21008642 0.88492151 0.62187837
1 4.22661176 1.87544531 1.21012124 0.88508766 0.62205449
2 4.22661933 1.87546231 1.21011080 0.88507093 0.62204923
3 4.22661933 1.87545111 1.21011304 0.88507356 0.62205185
4 4.22661933 1.87545111 1.21011304 0.88507355 0.62205180
Atalay 4.22653 1.87504 1.20928 0.88389 0.62047
Aranson (1984) 0.62160
Exact (tam) 0.62206
Çizelge 4.12 1.1c = ve 1 0.5f = için CN yönteminden elde edilen sonuçlar
Yaklaşım Birinci tür denklem
0C 5.46297251
1C 5.46770182
2C 5.46771197
3C 5.46771198
4C 5.46771198
8C 5.46771198
90
Çizelge 4.13 HN yöntemiyle çeşitli ikincil nötron sayıları ve saçılma katsayıları için hesaplanmış olan kritik kalınlık değerleri
1N f 0.1 0.2 0.3 0.5
1.1c = 0 4.40040342 4.60231106 4.83818984 5.46297244
1 4.40246646 4.60474585 4.84112771 5.46770185
2 4.40247413 4.60475374 4.84113601 5.46771196
3 4.40247414 4.60475375 4.84113602 5.46771198
4 4.40247413 4.60475375 4.84113602 5.46771198
5 4.40247413 4.60475375 4.84113602 5.46771198
1.3c = 0 1.93868522 2.01010445 2.09161114 -
1 1.93882097 2.01028884 2.09186370 -
2 1.93882095 2.01028856 2.09186367 -
3 1.93882438 2.01029125 2.09186778 -
4 1.93882438 2.01029125 2.09186778 -
5 1.93882438 2.01029125 2.09186778 -
1.5c = 0 1.24540426 1.28469125 1.32881571 -
1 1.24542957 1.28471426 1.32884736 -
2 1.24540967 1.28468769 1.32882180 -
3 1.24541203 1.28469035 1.32882499 -
4 1.24541203 1.28469034 1.32882498 -
5 1.24541204 1.28469034 1.32882498 -
1.7c = 0 0.90792533 0.93320896 0.96116253 -
1 0.90805387 0.93334601 0.96141401 -
2 0.90802133 0.93330149 0.96137363 -
3 0.90802439 0.93330516 0.96137825 -
4 0.90802438 0.93330514 0.96137821 -
5 0.90802439 0.93330516 0.96137824 -
1.9c = 0 0.70806718 0.72587452 0.74517582 -
1 0.70814976 0.72592800 0.74544560 -
2 0.70811952 0.72587944 0.74541895 -
3 0.70812279 0.72588350 0.74542428 -
4 0.70812276 0.72588328 0.74542414 -
5 0.70812276 0.72588347 0.74542425 -
2.0c = 0 0.63607081 0.65140274 0.66782490 -
1 0.63607148 0.65120529 0.66795555 -
2 0.63603224 0.65125950 0.66794688 -
3 0.63603545 0.65126353 0.66795228 -
4 0.63603537 0.65126349 0.66795195 -
5 0.63603539 0.65126348 0.66795222 -
91
Çizelge 4.14 Kuadratik anizotropik saçılma için çeşitli ikincil nötron sayılarına karşı gelen kritik kalınlık değerleri
2 0.2f = −
N c 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9
0 4.255639 1.910158 1.244453 0.917870 0.722934
1 4.256121 1.910035 1.244279 0.917475 0.722226
2 4.256073 1.910269 1.244365 0.917505 0.722231
3 4.256073 1.910269 1.244365 0.917506 0.722232
2 0.1f = −
0 4.241547 1.894271 1.228803 0.902891 0.708745
1 4.242654 1.894473 1.229091 0.902510 0.708235
2 4.242649 1.894400 1.228708 0.902625 0.708247
3 4.242649 1.894401 1.228709 0.902627 0.708249
2 0.1f =
0 4.204666 1.852377 1.187243 0.862856 0.670547
1 4.207102 1.852394 1.187686 0.864138 0.672552
2 4.207122 1.852448 1.187733 0.864162 0.672556
3 4.207122 1.852449 1.187735 0.864166 0.672562
2 0.2f =
0 4.179806 1.823850 1.158643 0.834799 0.643103
1 4.182832 1.823882 1.160376 0.838988 0.649695
2 4.182869 1.823996 1.160481 0.839040 0.649705
3 4.182869 1.823998 1.160484 0.839040 0.649712
2 0.3f =
0 4.148332 1.787324 1.121257 0.796901 0.603794
1 4.151778 1.787815 1.126521 0.808641 0.622673
2 4.151843 1.788022 1.126702 0.808723 0.622688
3 4.151843 1.788024 1.126707 0.808730 0.622601
2 0.4f =
0 4.107071 1.738580 1.069074 0.738620 0.532918
1 4.110590 1.741090 1.084262 0.771979 0.590974
2 4.110700 1.741449 1.084548 0.772091 0.590990
3 4.110700 1.741452 1.084556 0.772096 0.590990
92
Çizelge 4.15 Farklı yöntemler ile hesaplanmış kritik kalınlık değerleri
c 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9 HN yöntemiyle lineer interpolasyon
yapılmış değerler 4.22664 1.87545 1.21006 0.88508 0.691863
Carlson ve Bell (1958) 2.11340¹ - - - -
Case (1967) 4.2266 1.8776 1.2152 0.8928 0.7016
Siewert (1979) 4.2776 1.8810 1.1911 0.8520 0.6507
Kavenoky (1978) 4.22662 1.87546 1.21012 - 0.69188
Kaşkaş vd (2000) 4.226619 1.87545 1.21011 - 0.69187
Atalay (2004) 2.11337¹ - - - -
93
5. TARTIŞMA VE SONUÇ
Bu tez çalışmasında farklı yöntemler ile farklı nötron transport teorisi problemleri
incelenmiştir. İncelenen problemler transport teorisinin en çok ilgilenilen yarı-uzay
albedo, slab albedo problemleri, sabit kaynak albedo problemi, Milne problemi ve
kritiklik problemidir.
Milne problemi quadratik saçılmalı durum için incelenmiştir. Literatürdeki tek sayısal
veri Case tarafından Case yöntemiyle hesaplanmış olup sadece 1c = durumu için
inceleme yapılmıştır. Bu tez çalışmasında PL yöntemiyle 1c = durumu için quadratik
anizotropik saçılmalı durum için Milne problemi incelenmiştir. Tez çalışmasında,
Case’in analitik olarak yapmış olduğu hesaplamalar için, Mathematica 5.0 paket
programında geliştirilen bir program kullanılmıştır. Elde edilen değerler Çizelge 4.2’de
gösterilmiştir ve Case tarafından hesaplanmış olan değerlerle tutarlıdır. Ayrıca modifiye
FN yöntemiyle yine quadratik anizotropik saçılmalı durum için inceleme yapılmıştır.
Modifiye FN yöntemi 1c = durumu için kullanılamadığından bu değere alttan ve üstten
yaklaşılarak interpolasyon yolu ile 1c = için interpole edilmiş bir değer hesaplanmıştır.
Elde edilen değer, PL yöntemi ile bulunan değerle ancak virgülden sonra bir hane
tutarlıdır. Bu farklılığın, interpolasyonda seçilen değerlerin yeterli hassaslıkta
olmamasından kaynaklandığı düşünülmektedir. Ayrıca, 1c = için transport denklemine
önerilen genel çözümün elde edilmesinde kullanılan yaklaşımın etkisi olduğu da
düşünülebilir. Ayrıca literatürde karşılaştırılabilecek başka bir verinin olmaması da,
çıkan sonuçların değerlendirilmesini zorlaştırmaktadır. Çizelgeler 4.8-4.10 farklı
saçılmalar için Milne değerlerini göstermektedir.
Sabit kaynak albedo problemi kuadratik ve triplet anizotropik saçılmalar için incelenmiş
ve elde edilen değerler Çizelge 4.3 ile Çizelge 4.4’te listelenmiştir. Modifiye FN
yöntemiyle incelenen slab albedo probleminde Çizelge 4.5 ve Çizelge 4.6’da verilen
değerler elde edilmiştir ki sonuçlar çizelgelerde de yer verilen literatürdeki değerler ile
tutarlı olarak elde edilmiştir. Gerek HN gerekse Modifiye FN yöntemlerinin, uygulaması
zor fakat yakınsak bir yöntem olan CN yöntemi ile aynı yakınsaklıkta oldukları
görülmektedir. Aynı problem kuadratik anizotropik saçılma için de yapılmıştır.
94
Lineer anizotropik ve kuadratik anizotropik saçılmalar için kritiklik problemi yine
Modifiye FN yöntemiyle incelenmiştir. Lineer anizotropik saçılmalı durum için
literatürde hesaplanmış değerler mevcuttur ve Çizelge 4.12 ile Çizelge 4.13
karşılaştırıldığında, Modifiye FN yönteminin yine CN yöntemi kadar yakınsak bir
yöntem olduğu söylenebilir. Elde edilen sonuçlar literatürdeki değerler ile tutarlıdır.
Ancak kuadratik anizotropik saçılmalı durum için literatürde hesaplanmış kritik kalınlık
değeri yoktur. Bu nedenle kuadratik anizotropik saçılma katsayısına göre ara değer
hesaplama (interpolasyon) yapılmış ve bu katsayının sıfıra gittiği durumda yani
izotropik saçılmaya karşılık gelen durumda kritik kalınlık değeri ara değer hesaplama
(interpolasyon) yoluyla hesaplanmıştır. Çizelge 4.15 bu değerleri içermektedir ve
literatürdeki değerler ile kıyaslandığında oldukça iyi sonuçlar elde edilmiştir.
Sonuç olarak, üç farklı yöntemle çeşitli transport problemlerine uygulamalar
yapılmıştır. Önemli olan yarı-analitik olan bu yöntemlerin kullanılmasıyla, en çabuk
yakınsayan sonuçları elde etmekti. Singüler özfonksiyonlar, Modifiye FN (HN)
yöntemleri literatürdeki diğer yöntemlerle kıyaslandığında, FN yönteminden daha çabuk
ve CN yöntemi kadar yakınsak sonuçlara ulaşıldığı görülmüştür. Bu tez kapsamında ele
alınan ileri mertebeden saçılmalar (kuadratik anizotropik ve triplet anizotropik) için
literatürde incelenmiş ( 1c ≠ durumu için) herhangi bir çalışma yoktur. Karşılaştırma
yapılabilecek değer olmadığı için ara değer hesaplama (interpolasyon) yolu ile bu
saçılmalar, izotropik saçılma durumuna yaklaştırılmıştır. Temel düşünce, ileri
mertebeden bu saçılmalar için elde edilen sayısal değerler doğru ise, ara değer
hesaplama (interpolasyon) sonucunda izotropik saçılmaya yaklaştırılan değerlerin daha
önce literatüre girmiş pek çok çalışma değerleri ile tutarlı olmasıdır. Bu düşüncemiz,
yukarıda verilen tablolardan da görüleceği üzere oldukça başarılı bir şekilde
sağlanmıştır. Litertürde kuadratik saçılma için yapılan tek çalışma, Case tarafından PL
yöntemi ile yapılan çalışmadır. Bu çalışmada 1c = durumunda extrapolasyon uzaklığı
bulunmuştur. Modifiye FN yöntemi ile 1c < ve 1c > için extrapolasyon uzaklıkları
bulunmuş ve ara değer hesabı (interpolasyon) yapılmış, elde edilen sayısal sonuçta
virgülden sonra tek basamağın tuttuğu görülmüştür. Diğer problemler için ara değer
hesaplama (interpolasyon) yaklaşımı çok güzel sonuçlar verirken, bu durum için
95
vermemesinin nedeni problemin 3P yaklaşımı ile incelenmesi ve ayrıca 1c = durumu
için transport denklemine önerilen çözümünden kaynaklandığı düşünülmektedir.
96
KAYNAKLAR Aranson, R. 1984. Critical Problems for Bare and Reflected Slabs and Spheres, Nucl.
Sci. Eng. 86; 150-156.
Atalay, M.A. 1996. The Reflected Slab and Sphere Criticality Problem with Anisotropic
Scattering In One Speed Neutron Transport Theory, Progr. Nucl. En. 31 (3);
229-252.
Bell, G.I. and Glastone, S. 1970. Nuclear Reactor Theory. Van Nostrand Reinhold Co.,
New York.
Bulut, S. and Güleçyüz, M.Ç. 2008 Application of the H-N method to radiative heat transfer for a non-conservative slab. Kerntechnik, 73(4); 149-156.
Case, K.M. and Zweifel, P.F. 1963. Existence and Uniques Theorems for the Neutron
Transport Equation. Journal of Mathematical Physics, 4 (11); 1376-1385.
Case, K.M. and Zweifel, P.F. 1967. Linear Transport Theory. Addison-Wesley
Publishing Co., Massachusetts.
Davison, B. 1958. Neutron Transport Theory. Oxford University Press, London.
Erdoğan, F., Güleçyüz, M.Ç., Kaşkaş, A. and Tezcan, C. 1996. Solution of The CN
Equations Singular Eigenfunctions and Applications, Ann. Nucl. Energy, 23 (6),
533-541.
Grandjean, P. and Siewert, C.E. 1979. The FN method in Neutron Transport Theory. Part II: Applications and Numerical Results. Nuclear Science and Engineering, 69; 161-168.
Güleçyüz, M.Ç. and Tezcan, C. 1996. The FN method for anisotropic Scattering in
Neutron Transport Theory: The Critical Slab Problem. J. Quant. Spectrosc.
Radiat. Transfer, 56, 309-313.
Güleçyüz, M.Ç., Kaşkaş, A. and Tezcan, C. 2001. The Singular Eigenfunction analysis
of the third form transport equation using half-range orthogonality relations:the
half-space problems. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 70, 55.
Güleçyüz, M.Ç., Kaşkaş, A. and Tezcan, C. 1999. Slab Albedo Problem For
Anisotropic Scattering using Singular Eigenfunction Solution of the CN
Equations, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 61, 329.
Güleçyüz, M.Ç., Türeci, R.G. and Tezcan, C. 2006. The Critical Slab Problem for
Linearly Anisotropic Scattering and Reflecting Boundary Conditions with HN
Method. Kerntechnik, 71(1-2); 149-154.
97
Kaşkaş, A. and Tezcan, C. 1996. The FN Method for Anisotropic Scattering in Neutron
Transport Theory: The Half-Space Problems, J. Quant. Spectrosc. Radiat.
Transfer, 55 (1); 41-46.
Kaşkaş, A., Tezcan, C. and Güleçyüz, M.Ç. 2000. The solution of the third form
transport equation using singular eigenfunctions: the slab and the sphere
criticality problems, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 66, 519.
Kavenoky, A. 1978. The CN Method of Solving the Transport Equation: Application to
Plane Geometry, Nucl. Sci. Eng. 65; 209-225.
Lamarsh, J.R. 1972. Introduction to Nuclear Reactor Theory. Addison-Wesley
Publishing Co., Massachusetts.
Lewis, E.E. and Miller, W.F.Jr. 1984. Computational Methods of Neutron Transport.
John Wiley&Sons, New York.
Marshak, R.E. 1947. Note on the spherical harmonic method as applied to the milne problem for a sphere. Phys. Rev. 71; 443-446.
McCormick, N.J. and Kuščer, I. 1965. Half-Space Neutron Transport with Linearly
Anisotropic Scattering, 6 (12); 1939-1945.
Mika, J. 1961. Neutron Transport with Anisotropic Scattering. Nuclear Science and
Engineering,11; 415-427.
Siewert, C.E. and Benoist, P. 1979. The FN method in Neutron Transport Theory. Part I: Theory and Applications. Nuclear Science and Engineering, 69; 156-160
Tezcan, C. 1996. Third Form of The Transport Equation for Extremely Anisotropic
Scattering Kernel, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 55 (1), 33-40.
Tezcan, C., Güleçyüz, M.Ç. and Erdoğan, F. 1996. A New Approach of Solving The
Third Form of The Transport Equation in Plane Geometry: Half-Space Albedo
Problem, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 55 (2), 251-258
Tezcan, C., Güleçyüz, M.Ç., Türeci, R.G. and Kaşkaş, A. 2007. The HN method for half-space Albedo and constant source problems for isotropic and anisotropic scattering kernels. J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 103(3); 611-619
Tezcan, C., Kaşkaş, A. and Güleçyüz, M.Ç. 2003. The HN method for solving linear
transport equation: theory and applications, J. Quant. Spectrosc. Radiat.
Transfer, 78, 243.
Türeci, R.G. 2007. The albedo problem for pure-triplet scattering Kerntechnik, 72; 290-298.
Türeci, R.G. and Güleçyüz, M.Ç. 2008.The Slab Albedo and Criticality Problem for the
Quadratic Scattering Kernel with HN Method. Kerntechnik, 73(4) 171-175.
98
Türeci, R.G., Güleçyüz, M.Ç., Kaşkaş, A. and Tezcan, C. 2004. Application of The HN
Method to The Critical Slab Problem For Refecting Boundary Conditions, J.
Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 88, 499-517.
Türeci, R.G., Güleçyüz, M.Ç., Kaşkaş, A. and Tezcan, C. 2005. The Singular
Eigenfunction Method: The Critical Slab Problem for Linearly Anisotropic
Scattering, Kerntechnik, 70 (4); 230-232.
Türeci, R.G., Güleçyüz, M.Ç. and Tezcan, C. 2007. HN Solutions of the time dependent linear neutron transport equation for a slab and a sphere. Kerntechnik, 72 (1-2); 66-73.
Yıldız, C. 1998. Variation of the Critical Slab Thickness with the degree of Strongly
anisotropic Scattering in One-Speed Neutron Transport Theory. Ann. Nucl.
Energy, 25; 529.
Yıldız, C. 1999. Influence of Anisotropic Scattering on the Size of time-dependent
systems in Monoenergetic Neutron Transport, J. Phys. D: Appl. Phys., 33; 317-
325.
Yıldız, C. 2000. PN Solutions of the Time-Dependent Neutron Transport Equation with
Anisotropic Scattering in a Homogenous Sphere, J. Phys. D: Appl. Phys., 33;
704-710.
Yıldız, C. 2002. The FN solution of the Time-dependent neutron Transport Equation for
a sphere with forward scattering, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 74; 521-
529.
99
EKLER
EK 1 Mathematica 5.0 paket programında, Modifiye FN yöntemi ile kuadratik saçılma
için extrapolasyon uzaklığını hesaplayan program
EK 2 Mathematica 5.0 paket programında, PL yöntemi ile kuadratik saçılma için
extrapolasyon uzaklığını hesaplayan program
EK 3 Mathematica 5.0 paket programında, HN yöntemi ile lineer anizotropik saçılma
için sabit kaynak albedo değerini hesaplayan program
EK 4 Mathematica 5.0 paket programında, Modifiye FN yöntemi ile lineer anizotropik
saçılma için slab albedo probleminde yansıma ve geçiş katsayılarını hesaplayan
program
100
EK 1 Mathematica 5.0 paket programında, Modifiye FN yöntemi ile kuadratik saçılma
için extrapolasyon uzaklığını hesaplayan program
c:= 1.01;f2 := 0.02;
g :=5* f2
4* I3* vo2 *H1 - cL- 1M;
FindRootATanhA1c* vo
*1+ 3* c* vo2 * g1 - g + 3* g * vo2
E-1
voŠ 0,8vo, 1.7 ä<E
mm = - vo.%;vo= SetPrecision@mm, 60D;Print@"no=", voDa := 3;s := a;
no:=cvoH1 - g +vo2H- 1+ c+H16 - 11c+ 15H- 1+cLvo2Lg + 4cg2LL
2H- 1+vo2L ;
A0@0D:= 1- vo* I1+ g * I3* vo2 - 1MM* LogA1+1
voE+3 * g * vo2 - 3* g *
vo2
;
A0@p_D:= IfAp> 10,1 - gp+ 1
+3* gp+3
- vo* A0@p - 1DE;B0@0D:= - vo* I1 - g + g * 3* vo2M* LogA1+
1voE+
2c
- 1+ 3* g * vo2 - 3* g *vo2
;
B0@r_D:= IfAr> 10, vo* B0@r - 1D- 1 - gr+ 1
-3* gr+ 3E;
w :=5* f2
4 I3* v2*H1- cL- 1M;
n:= v* IH1+3 * w * c* v^2L- c* v* I1 - w+ 3* v2* wM* ArcTanh@vDM2+
c2 p2 v3
4* I1 - w +3 * v2* wM2
A@0D:= 1- v*H1+ w *H3* v^2 - 1LL* LogA1+1vE+ 3* w * v^2 - 3* w *
v2
;
A@p_D:= IfAp> 10,1 - wp+1
+3* wp+3
- v* A@p - 1DEB@0D:= - v*H1 - w + w * 3* v^2L* LogA1+
1vE+
2c
- 1+ 3* w * v^2 - 3* w *v2
;
B@g_D:= IfAg> 10, v* B@g - 1D- 1 - wg+1
-3* wg+ 3E;
t= TableAH- 1Lp- 1 *JJc* vo2N2 *
A0@r - 1D* B0@p - 1Dno
+Jc2N2 NIntegrateAv^2*
A@r - 1D* B@p- 1Dn
,8v, 0, 1<EN,8r, h<,8p, a<E;MatrixForm@tD;
101
s= Table@vo* A0@r - 1D,8r, a<D;MatrixForm@sD;tt= Inverse@tD;u= MatrixForm@[email protected]= %;
FN:=c* vo2* no
*âi=1
a H- 1Li * A0@i - 1D mydata@@iDD;FS:=
2c
;
zo:= -vo2
*JNALogA- FNFSEEN;
c* zoPrint@"z0=", zoD
102
EK 2 Mathematica 5.0 paket programında, PL yöntemi ile kuadratik saçılma için
extrapolasyon uzaklığını hesaplayan program
SetAttributes@a1, ConstantD; SetAttributes@a2, ConstantD;SetAttributes@a3, ConstantD; SetAttributes@a1, ConstantD;SetAttributes@a2, ConstantD; SetAttributes@a3, ConstantD;SetAttributes@b, ConstantD;SetAttributes@d, ConstantD;SetAttributes@d, ConstantD;SetAttributes@a, ConstantD;SetAttributes@a, ConstantD;f2 := 0.04;l:= 3;
g2 = SumAai * Exp@- ai * xD,9i, 1,l - 1
2, 1=E;
g3 = -37
* Dt@g2, xD;g1 := - 1;g0 := - Integrate@Hg1* 3+ 2* Dt@g2, xDL, xD+ d;Print@"g0 =", g0DClear@g0D;x:= 0;h:= Function@x, d+3x - 2ã- xa1 a1D@0D;g0 := h;
DoAcyki = IntegrateAzi * SumA2 i+ 12
* LegendreP@i, zD* gi,8i, 0, l, 1<E,8z, 0, 1<E,8i, 1, l, 2<E;cyk1
cyk3
a1 := 1.9321835661585918;eqns=8cyk1 Š 0, cyk3 Š 0<;Solve@eqns,8a1, d<D%@@1DDd= d. %;a1 = a1. %%;Clear@g0D;Clear@xD;g2 = SumAai * Exp@- ai * xD,9i, 1,
l - 12
, 1=E;g3 = -
37
* Dt@g2, xD;g1 := - 1; g0 := Integrate@H- g1* 3 - 2* Dt@g2, xDL, xD+ d;
DoAmlk= SumA2 i+ 12
* LegendreP@i, xD* gi,8i, 0, l, 1<EE;Print@"integral sabiti=", dDPrint@"katsayı=", a1DPrint@"mlk=", mlkD
103
EK 3 Mathematica 5.0 paket programında, HN yöntemi ile lineer anizotropik saçılma
için sabit kaynak albedo değerini hesaplayan program
c:= 0.3;ss:= 1;b := 2;f1 := 0.1;w := 3* f1*H1- cL;a := 5;g := a;
FindRootATanhA1c* voo
*1+ c* w * voo2
1+ w* voo2E-
1voo
Š 0,8voo, 1.4<E;mm = voo. %;vo= SetPrecision@mm, 60D;Print@"no=", voDno:=
c* vo2
2* I1+ w * vo2M*ikjjc*H1+ w* vo2L
vo*Hvo2 - 1L-H1- cL
vo*
1+ 3* w* vo2
1+ w * vo2yzz;
A0@0D:=I1+ w * vo2M*J1 - vo* LogA1+1
voEN-
w* vo2
;
A0@p_D:= IfAp> 10,1
p+ 1-
w * vop+ 2
- vo* A0@p- 1DE;B0@0D:=
2c
* I1+ w * c* vo2M- I1+ w * vo2M*J1+ vo* LogA1+1
voEN- w * vo
2;
B0@r_D:= IfAr> 10, vo* B0@r - 1D- 1r+1
-w * vor+ 2E;
n:= v* II1+ w * v2M*H1 - c* v* ArcTanh@vDL- w *H1 - cL* v2M2 +c2 p2 v3
4* I1+ w * v2M2
A@0D:=I1+ w* v2M*J1 - v* LogA1+1vEN-
w * v2
;
A@p_D:= IfAp> 10,1
p+ 1-
w * vp+2
- v* A@p - 1DE;B@0D:=
2c
* I1+ w * c* v2M- I1+ w * v2M*J1+ v* LogA1+1vEN- w * v
2;
B@r_D:= IfAr> 10, v* B@r - 1D- 1r+1
-w * vr+ 2E;
t= TableAikjj1r+ pyzz+Jc* vo
2N2*
A0@r - 1D* A0@p - 1Dno
+Jc2N2 NIntegrateAv^2*
A@r - 1D* A@p- 1Dn
,8v, 0, 1<E,8r, g<,8p, a<E;
MatrixForm@tD;
104
s= TableAJc* vo2N2 *
A0@p - 1D* B0@bDno
+Jc2N2* NIntegrateAv^2*
A@p - 1D* B@gDn
,8v, 0, 1<E- ss*
c2
*Jvo2 *A0@p - 1D
no+ NIntegrateAv^2*
A@p - 1Dn
,8v, 0, 1<EN+
ss1 - c
1
p+1,8p, h<E;
MatrixForm@sD;tt= Inverse@tD;Print@"tnin tersi", MatrixForm@ttDDu= MatrixForm@Inverse@[email protected]@sDDmydata= %;
PrintA"albedo=",Hb +2L*âi=1
a mydata@@iDDi+ 1
E
105
EK 4 Mathematica 5.0 paket programında, Modifiye FN yöntemi ile lineer anizotropik
saçılma için slab albedo probleminde yansıma ve geçiş katsayılarını hesaplayan
program
<<LinearAlgebra`MatrixManipulation` c:= 0.8;t := 0.05;b := 0;f1 := 0.1;w := 3* f1*H1- cL;a := 2;g := a;
FindRootATanhA1c* voo
*1+ c* w * voo2
1+ w * voo2E-
1voo
Š 0,8voo, 1.4<E;mm = voo. %vo= mm;
no:=c* vo2
2* I1+ w * vo2M*ikjjc*H1+ w * vo2L
vo*Hvo2 - 1L-H1- cL
vo*
1+ 3* w * vo2
1+ w * vo2yzz;
A0@0D:=I1+ w * vo2M*J1 - vo* LogA1+1
voEN-
w * vo2
;
A0@p_D:= IfAp> 10,1
p+ 1-
w * vop+ 2
- vo* A0@p- 1DE;B0@0D:=
2c
* I1+ w * c* vo2M- I1+ w * vo2M*J1+ vo* LogA1+1
voEN- w * vo
2;
B0@r_D:= IfAr> 10, vo* B0@r - 1D- 1r+1
-w * vor+ 2E;
n:= v* II1+ w * v2M*H1 - c* v* ArcTanh@vDL- w *H1 - cL* v2M2 +c2 p2 v3
4* I1+ w * v2M2
A@0D:=I1+ w * v2M*J1 - v* LogA1+1vEN-
w * v2
;
A@p_D:= IfAp> 10,1
p+ 1-
w * vp+2
- v* A@p - 1DE;B@0D:=
2c
* I1+ w * c* v2M- I1+ w * v2M*J1+ v* LogA1+1vEN- w * v
2;
B@r_D:= IfAr> 10, v* B@r - 1D- 1r+1
-w * vr+ 2E;
Tml=
TableAJc* vo2N2 *
A0@r - 1D* A0@p - 1Dno
* ExpA- 2* tvoE+Jc
2N2 NIntegrateAv^2*
A@r - 1D* A@p - 1Dn
* ExpA- 2* tvE,8v, 0, 1<E,8r, g<,8p, a<E;
106
Hml= TableAJc* vo2N2 *
A0@r - 1D* B0@p - 1Dno
+Jc2N2 NIntegrateAv^2*
A@r - 1D* B@p- 1Dn
,8v, 0, 1<E,8r, g<,8p, a<E;Smb= TableAJc* vo
2N2 *
A0@r - 1D* B0@bDno
* ExpA- 2 * tvoE
+Jc2N2 NIntegrateAv^2*
A@r - 1D* B@bDn
ExpA- 2* tvE,8v, 0, 1<E,8r, g<E;
Rmb= TableA- 1r+b + 1
+Jc* vo2N2*
B0@r - 1D* B0@bDno
+Jc2N2 NIntegrateAv^2*
B@r - 1D* B@bDn
,8v, 0, 1<E,8r, g<E;MatrixForm@TmlDMatrixForm@HmlDMatrixForm@SmbDMatrixForm@RmbDAppendRows@Tml, HmlD;MatrixForm@%DAppendRows@Hml, TmlD;AppendColumns@%%%, %D;W = %MatrixForm@WDMatrixForm@SmbDMatrixForm@RmbDy= Table@8Smb@@iDD<,8i, a<Dq= Table@8Rmb@@iDD<,8i, a<DMatrixForm@%DU= %;rr= MatrixForm@[email protected]"A* = ",Hb +2L*
i
k
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjãi=1
arr@@1, iDD
i+ 1
y
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzE
PrintA"B* = ",Hb +2L*i
k
jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjãi=1
arr@@1, i+ aDD
i+ 1
y
zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzE
107
ÖZGEÇMİŞ
Adı Soyadı : Demet TÜRECİ
Doğum Yeri : Gülşehir
Doğum Tarihi : 12/04/1976
Medeni Hali : Evli
Yabancı Dili : İngilizce
Eğitim Durumu (Kurum ve Yıl)
Lise : Niğde Anadolu Lisesi (1994)
Lisans : Hacettepe Üniversitesi Eğitim Fakültesi
Fizik Öğretmenliği Bölümü (2000)
Yüksek Lisans : Ankara Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü
Fizik Mühendisliği Anabilim Dalı (2003)
Çalıştığı Kurum/Kurumlar ve Yıl
Milli Eğitim Bakanlığı 2002 - halen
Yayınları (SCI ve diğer)
1. Türeci R.G. and Türeci D. (2007), Time Dependent Albedo Problem for
Quadratic Anisotropic Scattering, Kerntechnik, 70 (1-2), 59-65
2. Türeci D. and Güleçyüz M.Ç. (2008), Solution of Half Space and Slab
Abedo Problems for Linearly Anisotropic Scattering with the Modified FN
Method, Kerntechnik, 73 (5-6), 277-283