N ukleerFizikDersNotlarIsmail BoztosunErciyes UniversitesiAralk 2005iiErciyesUniversitesi Fen-Edebiyat Fak ultesi Fizik bol um unde tek donemde vermisoldugum N ukleer Fizik dersinin notlardr. Yararland gm ve derste takip edecegimizkaynaklar:K. S. Krane, ceviri: BasarSarer, N ukleerFizik, Cilt1ve2, Palmeyaynlar,Ankara2001Cottingam,IntroductorytoNuclearPhysics,ceviri: Y.SahinA.Beiser, ConceptsofmodernPhysics,Mcgraw-HillNY,1987: C eviri: G ulsenOneng utH.Enge,W.S.Williams,P.E.Hodgson,Ayrcaasa gdakitezlerdefaydalolacaktr:IsmailErmis,ArmaganOrhanBayrakGokhanKocak,MesutKarakocYaseminK uc ukIleriseviyedeolanbazeserler: G.R.Satchler,Istenilenler:IyiderecedeKuantummekanigiveFizikteMatematikmetodlardersleribilgisi.Ic.erik1 N ukleerFizigeGiris 91.1 Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 C ekireginTemelOzellikleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.1 Bilesenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2 Gosterim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.3 UzunlukveZaman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.4 Yarcap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.5 K utle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.6 Enerji . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 TemelEtkilesmeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Sorular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 KuantumFizigiTekrar 172.1 KuantumFizigiTekrar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.1.1 PlanckveKaracisimsmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.2 Fotoelektrikolay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3 ComptonOlay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.4 Dalga-Parcackikilemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.5 deBroglieHipotezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.6 BohrAtomModelI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 SchrodingerDalgaDenklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3 ZamandanBagimsizSchr odingerDenklemi . . . . . . . . . . . . . . . 242.4 MerkeziPotansiyeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.5IkiCisimProblemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.6Ornekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3012IC.ERIK2.6.1 FreeParticleSolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.6.2 InniteSquareWell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.6.3 FiniteSquareWell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6.4 DeltaWell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6.5 CoulombPotansiyeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443 TEMEL KAVRAMLAR ve REAKSIYONLARIN SINIFLANDIRIL-MASI 533.1 BazTemelKavramlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.1 C ekirdeginK utlesi,B uy ukl u g uveBaglanmaEnerjisi . . . . . 533.2 Spin,PariteveMomentler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.3 C ekirdekteUyarlmsDurumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.4 N ukleerKuvvetveOzellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.5 N ukleerReaksiyonlarnSnandrlmas . . . . . . . . . . . . . . . . 603.6 BilesikcekirdekReaksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.7 DirekReaksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 C ekirdekKuvvetleri 654.1 C ekirdekKuvvetleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.2 DoteronAtomu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.1 BaglanmaEnerjisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675 TEMELNUKLEERMODELLER 735.0.2 SvDamlasModeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735.0.3 3.2.2-KabukModeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.0.4 3.2.3-KolektifModel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786 N ukleerReaksiyonModelleri 836.1 NUKLEERREAKSIYONMODELLERI . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1.1 BORNYAKLASIMI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.1.2 BOZULMUSDALGABORNYAKLASIMI . . . . . . . . . . 856.1.3 BornYaklasmnnBazUygulamalar . . . . . . . . . . . . . . 876.1.4 OPTIKMODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.1.5 SpinliParcacklarIcinOptikModel . . . . . . . . . . . . . . . 90IC.ERIK 36.1.6 OptikPotansiyelinozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.1.7 EtkilesimPotansiyelininozellikleri . . . . . . . . . . . . . . . . 936.1.8 ReelPotansiyel(VV, VS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946.1.9 HacimIntegralleri(JV,JW): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.1.10 CoulomBariyeriCivarndakiReaksiyonlarveEsikAnormalligi 986.1.11 PotansiyellerArasndakiiliskiveG u cl uAbsorpsiyonUzaklg . 1006.1.12 OptikModelAnalizleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016.1.13 FOLDINGMODEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024IC.ERIKS.ekilListesi2.1 ElektronunBohrYor ungesindekiHareketi . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 SphericalBesselfunctionfordierentvaluesofl. . . . . . . . . . . . 322.3 SphericalNeumannfunctionfordierentvaluesofl. . . . . . . . . . . 322.4 EigenvaluesofInnitesquarewell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 The intersections of curves f(ka and g(ka) for l = 0(s state), 1(p state)and2(d state). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.6 Innitesquarepotentialwavefunctionsfordierentvaluesofn. . . . 372.7 Normalizedradial probabilitydensity, r2R2, for dierent nvalues(l = 0).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.8 Comparison of the Finite (solid line) and Innite (dotted line) squarewellkavaluesforl = 0(s state)and1(p state). . . . . . . . . . . . 412.9 Finitesquarewell: Intersections of curves f(kaandg(ka) for l =0(s state), 1(p state)and2(d state). . . . . . . . . . . . . . . . . 422.10 Plotofthefunctionsf(k)andg(k). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.1 C ekirdeginy ukyo gunlugununn ukleeryar capagoredegisimi. . . . . 543.2 Kararl cekirdeklericinn ukleonbasnabaglanmaenerjisininatomikk utleyegoredegisimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.3 Baz siddetlideformeolmuscekirdeklerin sekilleri. . . . . . . . . . . . 574.1 Doteronatomuicinkarekuyupotansiyeli. . . . . . . . . . . . . . . . 685.1 Y uzeydeki n ukleonlar, cekirdegin ic ksmndakilere gore daha az saydan ukleonlaetkilesir buy uzdenbaglanmaenerjisidahaazdr. cekirdekne kadar b uy ukse, y uzeydeki n ukleonlarn says o kadar azdr. (Mod-ernFiziginKavramlar,ArthurBeiser) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7556 S.EKILLISTESI5.2 Kabukmodelinegoren ukleonenerji d uzeylerininsralans (olceklidegil) Sagdaki s ut undaki saylar gozlenen sihirli saylara karslk gelir.(ModernFiziginKavramlar,ArthurBeiser) . . . . . . . . . . . . . . 795.3 cift-Z, cift Nli cekirdeklerin en d us uk 2+durumlarn enerjileri.Izotoplard uzcizgilerlebirlestirilmistir. (N ukleerFizik,K.S.Krane) . . . . . . 805.4 cift-Z, cift-N li cekirdeklerin en d us uk 2+ve 4+durumlarnn E(4+)/E(2+)oran k utle numarasna karslk gosterilmistir.Izotoplar d uz cizgilerlebirlestirilmistir. (N ukleerFizik,K.S.Krane) . . . . . . . . . . . . . . 816.1 Gelenvesaclandalgavekt orlerinintemsiligosterimi. . . . . . . . . . 856.2 Gelensnnbircokpotansiyeldensaclmasnntemsili sekli. . . . . . 876.3 C ekiciGaussyenpotansiyeliveonundiferansiyeltesirkesiti. . . . . . 876.4 Wood-Saxonformfaktor uveonunderivatif sekli. . . . . . . . . . . . 946.5 Wood-Saxon (WS)ve Wood-Saxon kare (WS2) form faktorlerinin karslastrmalsekli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.616O+16O sistemi icin Coulomb potansiyelinin iki y uk daglmna goredegisimi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.716O+208PbsistemininCoulobbariyericivarndakidavrans. . . . . . 996.8 Agriyonreaksiyonlarntanmlamadakullanlantipikpotansiyeller,12C+12C sistemi icin 79MeV de fenomonolojik ve mikroskobik potan-siyelleringor un us u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.916O+208Pb sistemi g ucl u absorpsiyon mesafesindeki etkilesimi srasndameydanagelenyo gunlukdaglmlar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.10 Koordinatlarkullanlaraka)tekfoldingveb)ciftfolding . . . . . . . 1036.11 cekirde ginyogunlukdaglm vefoldingmodeldeneldeedilenU(r)potansiyelininkarslastrlmas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105TabloListesi1.1 Proton,NotronveElektronunk utle,y uk,spin,manyetikmomentvegcarpandegerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Temel etkilesmelerinalankuantumlar vealankuantumlarnnspin,k utle,menzilve siddetdegerleri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.1 Valuesofthekn, lafordierentlandnvalues . . . . . . . . . . . . . 342.2 Valuesofthekn, lafordierentlandnvalues . . . . . . . . . . . . . 402.3 Hidrojenatomuicinenerjiseviyelerivedejeneredegerleri . . . . . . . 503.1 Farklmetotlarlabulunann ukleeryarcaptaki(R = r0A13)r0degerleri. 5578 TABLOLISTESIBol um1N ukleerFizigeGiris1.1 GirisN ukleer zik, atomu meydana getiren cekirde gin ozellikleri ve birbirleri ile yaptklaretkilesmeler ile ilgilenir. Bunedenle n ukleer zigi cekirede ginstatikozelleikleri(n ukleer yap) ve dinamik ozellikleri (bozunma ve n ukleer reaksiyonlar) olmak uzereiki ana ksma ayrabiliriz. N ukleer zik teknolojik yeniliklerin itici kuvvetini saplayanbir alandr ve g un um uzde pek cok kullanm alanna sahiptir. Bu alanlardan bazlarksaca su sekildeacklanabilir:1. Tp: Bualandahemteshishemdetedavi amacl kullanlmaktadr. N ukleerziksayesindeyaplanhzlandrclarlav ucuttakidokular,kemiklerveorgan-lar test edilmekte ve teshiste yardmc olmaktadr. Proton, notron veyaagr iyonlar kullanlarakkanserli h ucrelerinold ur ulmesi yoluyladatedaviyeyardmcolmaktadr.2. End ustri: Bualandaozellikle, basncborular, kaynatclar vediger b uy ukmetal dokme kalplarn icindeki catlak ve yarklarn arastrlmas yoluyla kon-trolalanndakullanlmaktadr.3. Temel bilimler: Biyolojide; Radyogra, Akskany uzeylerde kompleks biy-omolek ullerin yapsnn incelenmesi. Kimyada; elektron spektroskopisi ile kimyasalanaliz,Polimerikyaplarnincelenmesi,izelementianalizi. Fizikte; Katlarnelektron yaps, Y uzeylerin ve ara y uzeylerin incelenmesi gibi kullanm alanlarvardr. N ukleeryapnniyi anlaslmas veinsanv ucudundayaptg etkilerin910 BOLUM1. NUKLEERFIZIGEGIRISanlaslmas yukarda ki insanlk yararna olan kullanm alanlarnn yannda in-sanneslinins ureklitehditaltndaolmasnasebepolankitleimhasilahlarnnyaplmasnadaolanaksaglamstr.1.2 C ekireginTemelOzellikleri1.2.1 BilesenleriAtomunkimyasal ozellikleri elektronyapsnabagldr, oysaziksel ozellikleri, di-namik ve kinetik davrans k utlesine bagldr. Bir atomun cekirde gi, cekirdek icindekipozitif y uklerintoplam vetoplamk utlesays iletanmlanr. Atomunk utlesininhemenhementamam cekirdektenileri gelir. C ekirdek y uk uderkenkastedilen+Zeprotonsaysnaesitolanatomnumaras Zileelektronuny uk uolanedegerlerinincarpmdr. C ekirdektekipozitify ukl utemelparcackprotondur. Pro-tonenbasit atomolanHidrojenincekirde gidir. Elektrikcenotr olanbir atomdaelektriky uklerininesitolacag d us un ul urseprotonsays kadardaelektronvardryani Z tane de elektron bulunur. Elektronlarn k utlesi protonlarn k utlesine oranlabaz durumlar icin ihmal edilebilecek kadar k uc ukt ur ve bu oran mp/me 2000 gibibiresitlikleverilir. C ekirdegintanmlanmasndakullanlanbirdigerkemiyetiseAilegosterilenk utlesaysdr. K utlesays,n ukleerk utleiletemelk utlebirimiarasoranaenyaknbirtamsaydr. C unk uprotonyaklaskbirbirimk utleyesahiptir.Hemenhemenb ut uncekirdeklerdek utlesays atomnumarasndaniki veyadahafazla kat kadar b uy ukt ur. Bu da bize cekirdek icinde protondan baska agr k utlelerinvarl gngosterir. 1932ylnakadar cekirdek icinde Ataneprotonve cekirde ginnety uk uZeolacaksekildeA-Ztanen ukleerelektronunoldugud us un ul uyordu. Fakatasagdayazlanlarbud us unceninyanlsoldugunuortayakoyar:1. Elektronlarn protonlara Coulomb cekim kuvvetinden daha g ucl u bir kuvvetlebaglanmalar gerekir. Oysaki protonlarlaatomelektronlar aras boylebirkuvveterastlanmamstr.2. Elektronlarncekirdekb uy ukl u g undebiryerdeoldugunud us un ursek,belirsi-zlikilkesinegorenormaldesahipolduklarndancokdahafazlaenerjiyesahipolmalargerekir. Belirsizlikilkesinegorehesapyapacakolursakx1014m1.2. C EKIREGINTEMELOZELLIKLERI 11alrz. x.p h olduguna gore p h /x=20MeV/c bulunur. Radyoak-tifbozunumundacekirdektenyaynlananelektronlarnenerjilergenellikle1MeVdandahadak u c ukt ur vebut ur bozunmalardaenerjisi 20MeVolanelektronlargozlenmemistir.3. A-Zsi tekolancekirdeklerintoplamozg unacsal momentumlar (spin) in-celendiginde, cekirdekicindeAtaneprotonveA-Ztanedeelektronbulun-masnn imkansz oldugu deneylerle gozlenmistir. ornegin; Doteryum cekirdeginde(A=2, Z=1) proton-elektron hipotezine gore 2 proton ve 1 elektron bulunmasgerekir. Protonveelektronunozg unacsal momentumlar12dir. Kuantummekani gi kurallarnagore2protonve1elektronuntoplamspinleri12veya32olmaldr. OysaDoteryumcekirdeginingozlenenspini1dir.4. C iftlenmemiselektronicerencekirdeklerin, gozlenendegerlerindencokdahab uy ukmanyetikdipol momente sahipolmalar gerekir. Eger Doteryumunicinde tekbir elektronbulunsayd, cekirdeginmanyetikdipol momentinin,bir elektronunmanyetikdipol momenti ile ayn olmasn beklerdik. FakatDoteryumungozlenenmanyetikmomenti, elektronunmanyetikmomentininyaklask1/2000ikadardr.Bu dort madde goz on une alnrsa elektronlarn cekirde gin icinde bulunmas cokzorhattaimkanszdr. Chadwickin1932ylndanotronukesfetmesiyledecekirdekicindeki protonharici parcannelektrondegil notronolduguanlaslmstr. Notronelektrikbakmndannotrd urvek utlesi protonunk utlesinden%0,1dahab uy ukt urki bufarkazbirfarkoldugundanprotonvenotronunk utlesini birbirineyaklaskesit alnr. Bunun sonucunda cekirdekte elektron bulunmasna ihtiyac olmakszn, Zproton ve A-Z notronu olan bir cekirdek uygun bir toplam k utleye ve y uke sahiptir.Tablo1.1daproton,notronveelektronunbazozellikleriverilmistir.1.2.2 GosterimC ekirdegi tanmlarken o cekirdegin simgesinin sol ust kosesine k utle says olan A, solaltkosesineprotonsaysnadaesitolanatomnumaras,sagaltkosesineysenotronsaysn belirtenveN=A-Zileverilendegeryazlr. Ancakyalnzcak utlesaysnn12 BOLUM1. NUKLEERFIZIGEGIRISK utle Y uk Spin Man. mom. gcarpanNotron 1,008982u 012-1,9135N-3,83Proton 1,00759u +1e12+2,7927N5,59Elektron (1/1837)u -1e12-1,0021B2Tablo1.1: Proton, NotronveElektronunk utle, y uk, spin, manyetikmomentvegcarpandegerleri.yazlmasdayeterlidir. GosterimAPXNseklindedir.Ornegin;126C6yadaksaca12C,56Fegibi.Proton ve notrona ortak ad olarak n ukleon denir. Bu nedenle, k utle says olarakkullandgmzAaynzamandan ukleonsaysndaverir.Biratomunkimyasal ozellikleri cekirde gindeki pozitif elektriky uk unebagldr.C unk ubuy uk,cekirdekdsndakielektronsaysnbellieder. C ekirdeklerindeaynsaydaprotonicerenatomlarkimyasal olarakayn ozelliktedir. Atomnumaralaraynfakatk utlesaylarfarklcekirdeklereizotopdenir. Dolaysylaizotopatom-lar ayn kimyasal ozelliktedir.Izotopcekirdekler n ukleer reaksiyonlar yardmylayapayolarakolusturulabilir. Notronsays ayn protonsays farkl elementlerdeolabilir, bunlaradaizotondenir. Birdek utlenumaralar ayn atomnumarasfarkl cekirdeklervardr, bunlaraysaizobardenir. Ayn cekirde ginuzunom url uuyarlmsdurumu,tabandurumundakihalininbirizomeri seklindeadlandrlr.Simdiye kadar bulunan 108 farkl atom numarasna sahip cekirdek vardr. Toplamcekirdeksays1000denfazladr.1.2.3 UzunlukveZamanN ukleer zikte cok kullanlan birim femtometre olup 1015m mertebesine tekab uleder. N ukleerb uy ukl ukler(yarcap)tekbirn ukleonicinyaklaskolarak1fmden,agr cekirdekler icin yaklask 7 fmye kadar degisir. Atomik boyutlar ile karslastrld gzaman(1A0=1010m),cekirdekileelektronarasndakiboslukdikkatedegerdir.N ukleer olaylarn zaman olce gi cok genis bir aralga sahiptir. ornegin, 4 k utle nu-maral He atomunun (42He2) izotopu52He3gibi baz cekirdekler 1020s gibi bir zamanicindeparcalanrlar. Bircokn ukleerreaksiyonbuzamanolce gi icindegerceklesir.1.2. C EKIREGINTEMELOZELLIKLERI 13Buzamanolcegi genel olarak reaksiyona giren cekirdeklerdenbirinin, digerininn ukleer kuvvet menzilinde kalma s uresidir. C ekirdeklerin elektromanyetik snmlargenellikle 109s ile 1012s kadar bir yar om ur arasndameydanagelir. Fakat,bozunmalarnbircogudahaksaveyadahauzunbir zamanicindegerceklesir. vebozunmalarysadahauzuns uredeolusur,bubazendakikaveyesaatbazendebinlercehattamilyonlarcayldevamedebilir.1.2.4 YarcapC ekirdekyarcap R=R0A1/3ileverilir. R0spesikyar cap R0=1,41015myada1,4fmileverilir. BuaradAiseoncedensoyledi gimiz uzerek utlesaysdr.1.2.5 K utleN ukleer k utleler atomik k utle birimi cinsinden olc ul ur, ksaca akb yada u olarakgosterilir. Atomikk utlebirimi notrbirkarbonatomunuk utlesini 12debiri (112)olaraktanmlanr. Karbonda12n ukleonbulunmasndandolay birn ukleonununk utlesi de yaklaskolarak1uolur. N ukleer bozunma ve reaksiyonlarnincelen-mesindeco gunluklak utleleryerinek utleenerjileri kullanlr. 1u=1,66051027kgyada931,502MeV/c2olarakalnr. Busekilde n ukleonlar yaklaskolarak1000MeVkadark utleenerjisinesahipolurlar. K utleninenerjiyedon us um ugoreceligintemel sonucuolanE=mc2kullanlarakyaplr. K utleveyaenerjininkullanlmasolupbubirimlerdec2=931,502MeV/ualnr.Bir cekirdegin k utlesinin onu meydana getiren parcacklarn serbest haldeki k utleleritoplamna esit olmas gerekir gibi gor unse de gercekte cekirdegin k utlesi yap taslarnnserbest haldeki k utlelerinintoplamndandaha k uc ukt ur. Bufarknk u c ukveyab uy ukolusunagorecekirdekazveyacoksaglamdr. EinsteinnE=mc2form ul unegore bu k utle farkn c2ile carpar ve enerji olarak degerini bulursak, baglanma ener-jisinibulmusoluruz. Baglanmaenerjisibircekirde ginbilesenlerinibiraradatutanenerjidir. Dolaysylabircekirdegi parcalamakicingerekli enerjidir. Buenerji susekildeverilir:B=_Zmp +NmnM(AX)c2(1.1)14 BOLUM1. NUKLEERFIZIGEGIRISBurada Z atom numaras, N notron says, M(AX) cekirdegin k utlesidir. A k utlesays yani n ukleonsays oldugunagoren ukleonbasnabaglanmaenerjisi B/Aileverilir.1.2.6 EnerjiN ukleer enerji milyon elektron-volt (MeV) birimi ile olc ul ur. 1 eV ise tek bir elektriky uk un unbirvoltlukpotansiyelfarkaltndaivmelendirilmesiylekazand generjidirvedegeri1eV=1,6021019Jd ur. Tipikvebozunmalarnnenerjileri1MeVlukbir enerji aralgna sahiptir. D us uk enerjili reaksiyonlar 10 MeVluk kinetik enerji ileolusturulur. Bu tip enerjiler n ukleer durgun k utle enerjilerinden cok daha k uc ukt ur.Bunedenle n ukleonlarnenerji ve momentumlarndagoreceli olmayanbagntlarkullanlr,fakatbozunmaelektronlaricingorecelibagntlarkullanlr.1.3 TemelEtkilesmelerTabiatta 4 temel etkilesme gor ul ur. Bunlar gravitasyonel, elektromanyetik, kuvvetlive zayf etkilesmelerdir. 2 parcack aras etkilesme bu iki parcack aras etkilesmeyeozg ubirparcacgndegis-tokusedilisiylem umk unolurki buparcacgaalankuan-tumuyadatasycdenir.Budort temel etkilesmeninalankuantumlar vebunlarnspin, k utle, menzil,siddetdegerleriasagdakitablodaverilmektedir.Etkilesme Tasyc Spin K utle(GeV) Menzil(m) SiddetGravitasyonel Graviton 2 0 1039Elektromanyetik Foton 1 0 Kuvvetli Gluon 1 0 10151Zayf W,Z01 80.2,91.2 1018105Tablo 1.2: Temel etkilesmelerin alan kuantumlar ve alan kuantumlarnn spin, k utle,menzilve siddetdegerleri.Par cacklar ilk basta 2ye ayrabiliriz. Bunlarn ilki Fermiyon ikincisi Bozongrubudur. Fermiyonlar Fermi-Dirac istatistigine uyan, bucuklu spinli parcacklardr.1.4. SORULAR 15Elektron, proton, notrongibi parcacklarfermiyongrubunadahildir. BozonlariseBose-Einsteinistatistigineuyan, tamsay spinli parcacklardr, tasyclarbugrubagirerler.Par cacklarayrcaLeptonveHadronseklindeikiyeayrlr. Leptonlarbozun-mas ve zayf etkilesmelerde gor ul ur. Bir ic yapya sahip olmadklarndan elementerparcackolarakd us un ul ur. Leptonlarnspinleri12olupfermiyongrubunadahildir.Herbirininbiranti-parcac g vardr. Elektron, m uon, tau, notrinogibi parcacklarleptondur.Hadronlar ise kuvvetli ve zayf etkilesmelerde etkilesmeye katlan agr parcacklardrvespinlerinintamsayyadayarmolusunagorebaryonlarvemezonlarolmak uzereikiye ayrlr. Baryonlar yarm spinli olan gruptur ve proton, notron gibi agr parcacklarbirer baryondur. Mezonlar ise tamsay spinlidirler. Mezondegis-tokusun ukleerpotansiyeliolusturur. +,,0,+,,0,,birermezondur.Kuarklarisemaddeninenelementerparcacklar olarakkabul edilirve12spindegerine sahiptirler. Yukar (top) ve asag (bottom) seklinde adlandrlrlar ve yukarolannelektriky ukdegeri +23e ve asa g olanny ukdegeri ise 13edir. 3kuarkbirleserekbaryon,kuark-antikuarkbirleserekmezonolusturur.1.4 Sorular1. N ukleerziktegenelolaraknicingoreceliolmayanbagntlarkullanlr?2. N ukleermaddeyogunlu gunuherhangibircekirdekicinhesaplaynz?3. C ekirdegi 5cm capnda bir elma olarak d us un urseniz,cekirde ge en yakn elek-tronunuzaklgneolur?4. Kuarklarn elektrik y uklerini d us unerek proton ve notronu olusturan yukar veasa gkuarksaylarnbulunuz?5. Herhangi bir cekirdek icin, baglanma enerjisini ve yogunlu gunu n umerik olarakhesaplayanbirprogramyaznz?(orneginfortranprogramlamadilinde)16 BOLUM1. NUKLEERFIZIGEGIRISBol um2KuantumFizigiTekrar2.1 KuantumFizigiTekrarG unl ukhayatmzdatanecikvedalgakavramlars upheyeyerbrakmayacakkesin-liktetamamenfarkl kavramlarolarakkarsmzackar. Gerektaneciklermekani gi(yaninoktamekani gi)vegereksedalgalaroptigi, herbiri kendinehasvarsaymlar,teoriler ve deneyler zincirini kapsayan iki ayr inceleme konusu olarak gelismislerdir.Bir b uy ukl uksadece baz kesikli degerler alabiliyorsakuantalanms demektir.20.yyn ilk ceyreginde elektromagnetik smann kuantalanms oldugu anlasld.Belirlibir frekansta yaylan s gn tasd g enerji s urekli bir degisken olmayp, temel bir en-erji kuantumununkatlar olabilir. Ayrcaelektromagnetikdalgannk uc ukenerjipaketlerinden olustu gu, bu paketlerin momentum da tasyabildi gi, diger parcacklarnbir cok ozelli gine sahip ama k utlelerinin sfr oldugu anlasld. Bu paketlere veya skkuantumunafotonadverildi.K utlenin ve elektrik y uk un un kuantalanms olmas klasik zigin temel ilkeleriylecelismiyordu. Ama s gnkuantalanms olmas klasik elektromagnetik teorisiylecelisiyordu. C unk ubuteoriye gore sma enerjisi s urekli degerler alabilmeliydi.Boyleces gnkuantalanmsolmasyenibirteoriyigerekliklyordu.Is gnparcackkarakterindeoldugunusoyleyendeneyleriinceleyelim.1718 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRAR2.1.1 PlanckveKaracisimsmasElektromagnetik smann kuantalanms olmas gerektigini ilk one s uren kisi karacisimsmasn inceleyen Alman zikci oldu (1900). Tanm olarak karacisim , ideal bir snsogurucudur; boylebircisimstldgndayaynladg smayadakaracisimsmasadverilir. Klasikelektromanyetikteorikullanlarak,verilenbirfrekanstanekadarenerji sdgn hesaplamak m umk und ur. Bu hesabn sonucu Rayleigh-Jeans form ul uolarak ifade edilir. Bu form ul alcak frekanslarda deneysel gozlemlerle uyusuyor, an-caky uksekfrekanslardayanlssonucveriyordu.Ustelik Rayleigh-Jeans form ul une gore, t um frekanslardaki sma enerjileri toplamnnsonsuzolmasgerektigi(morotesifelaket)gibiyanlsbirsonucckyordu.Planck, bu yanlslg d uzeltebilmek icin karacisim smasnn kuantalanms oldugunuvarsaymak gerektigine inanyordu. Planck, varsaymna gore frekans folan bir sn,hfkadarbirenerjikuantasnntamkatlarolaraksalnabilir.E= 0, hf, 2hf, 3hf... (h = plancksabiti) (2.1)Planck, smannnedenhfnintamkatlar olarakkuantalandgn acklamad.Buldugusonucungecicibirvarsaymoldugunainanyordu. Oysabusonuc,elektro-manyetiksmanntemelveevrenselbirozelligiolarakkalacakt.2.1.2 FotoelektrikolayEinstein, Planckn gor uslerini bir adm ilerleterek s oyle bir varsaym ileri s urd u; Birsk demetindeki enerji, uzayda s urekli daglms olmayp sonlu sayda noktasal enerjikuantumlarndanolusur; bol unemeyenbuenerji kuantumlar tamolaraksalnrvesogurulur. Einstein,buskkuantumunuyanifotonunenerjisinihfolarakald.Einsteinagore, iki fotonunayn andabirelektronacarpmaolaslg cokzayfoldugundanbirelektronkendisinecarpantekfotonunhfenerjisinialarakkopar.Einsteinvarsaymnagore, sgnsiddeti arttrldgndafotonsays artarancakbir fotonun hfenerjisi degismez. Daha cok foton gonderildi ginde daha cok elektronkoparlr ama her bir fotonun enerjisi ayn kald gndan elektronlarn kinetik enerjileri,dolaysylaKmaxdegeridegismez.Verilen bir metalden elektron koparlmas icin minimum bir enerjiye gerek vardr.2.1. KUANTUMFIZIGITEKRAR 19Buminimumenerjiyeometalinisfonksiyonudenir, ilegosterilir. Fotonunhfenerjisiden k uc ukse elektron koparmaya yeterli olmaz. = hfo (f0= kritikfrekans)Einsteinbud us uncesini dahaileri got ur up, fotonfrekans ileelektronenerjisiarasndabir bagnt gelistirdi.ffrekans kritikf0degerindenb uy ukse, bir fotonuncarptg elektron hfkadar enerji alacak, ama kadar enerji kaybederek metalde kopa-bilecektir.O halde, ckan elektronun kinetik enerjisi hf kadar veya daha k uc uk olabilir.Kmax= hf (2.2)Diger bir deyisle, koparlanelektronunmaksimumenerjisi skfrekansnnli-neerbirfonksiyonuolup,bufonksiyonunegimiPlancksabitihaesitolmaldr. Buong or un undeneyselkantlanmas1916daMillikantarafndangerceklestirildi.2.1.3 ComptonOlayIsgntaneciksibirozelli ginesahipolabildigininbirkantndabizeComptonolaysoylemektedir. Bu olay fotonlarn elektronlarla carpsmalar, sogurulmalaryla sonuclanmad ghallerde, tpk bilardo toplarnn carpsmalarnda oldugu gibi esnek carpsmalara yolactgnortayakoymaktadr,Eger fotonla elektron arasndaki carpsma gercektende, iki kat k urenin carpsmasndaoldugu gibi esnek bir carpsma ise boyle bir carpsmada kinetik enerji ve impuls ko-runumkanunlargecerliolacaktr.Foton-elektron sisteminde enerji korunumunun gecerli oldugunu kabul edersek vesaysalislemleryaplrsa;

= =hm0c (1 cos ) (2.3)elde edilir. Burada

=saclan dalga =gelen dalgay temsil etmektedir. Bu form uldekihm0cye Compton dalga boyu denir. Fotonun carptg tanecik ne kadar b uy uk k utleliolursaComptondalgaboyudaokadarksadr.Compton, saclan dalga boyunu dort farkl acsyla olct u ve =hm0c (1 cos )form ullem ukemmelbiruyumbuldu.20 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRAR2.1.4 Dalga-ParcackikilemiBug unt umzikciler fotoelektrikolay, Comptonolay ve diger bir cokdeneyselgozlemlere dayanarak, s gn parcack karakterine kuskusuz inanmaktadrlar. Ancaksgn dalga karakterli oldugunu dogrulayan deneylerde vardr. Bu durum bir celiskigibi gor unsedeaslndaheriki ifadededogrudur. Iskhemdalgahemdeparcackozelliklerinesahiptir. Isgnbuikiliyaps subagntlarlaozetlenebilir;E= hf p =h(2.4)Esitliklerin sol tarafndaki E enerjisi ve pmomentumu fotonun parcack ozelligini,sagtaraftaki ffrekans vedalgaboyudalgayapsn belirtmektedir. Elektronveproton gibi parcacklarda bu dalga-parcack ikilemini sergilerler. Kuantum teorisininbaslca gorevi temel parcacklarn ilk baksta celiskili gor unen bu ozelliklerin acklamakolmaldr.1923 ylnda Fransz doktora o grencisi de Broglie s gn hem madde hem de dalgaozelli gi gosterdiginegoredogannsimetrikolacagn umitederek, maddenindebuikili karakteri gostermesi gerektigini ileri s urd u. Oyllardamaddeninhicbirdalgaozelli gi gozlenmis degildi. Ancakde Broglie buvarsaymlaBohr yor ungelerininhidrojenatomuicindekararl dalgalarolarakacklanabilecegini gosterdi. Budal-galaramaddedalgalaradverildi.De Broglienin madde-dalga ikileminin fotonlar gibi elektronlarada uygulanabilecegid us uncesi bir cok zikcide ilgi uyandrd. Bu d us unceyi gelistiren Avusturyal zikciSchrodinger 1926da yaynladg dort makaleyle dalga mekani gi (kuantum mekani gi)nindogusunum ujdeledi. 1927dedeBrogliemaddedalgalarndeneyselolarakgozledi.Elektronlar (dalgalarn temel bir ozelli gi olan) girisim sacaklar olusturabiliyorlard.2.1.5 deBroglieHipoteziYukardafotonlarnhemdalgahemdeparcackozelli ginigosterdi giniincelemistik.Buikiozellik s oyleydi;E= hf p =h(2.5)de Broglie elektrongibi maddesel parcacklarndabumadde-dalgaikili ozelligini2.1. KUANTUMFIZIGITEKRAR 21gosterebilece gini one s urd u. Bu madde dalgalarnn nasl bir sey oldugunu bilmiy-ordu, amabunlarndaskdalgalar gibi yukardaki bagntlarauymas gerektiginisoyledi. BunedenlebubagntlaradeBrogliebagntlaradverilir.de Broglie bagntlarn kabul edersek, elektronun E enerjisinin kuantalanmas demekffrekansnnkuantalanmas demektir. Klasikzikte bilinenbir sonucagore, birbolgedeyerellesmisdalgalar, sadecebelirli frekanslardatitresebilirler. Bud us unceatom icindeki elektron dalgalarnn belirli frekanslarda olmas, yani kuantalanmasnayolacar.Yukardakibagntlarnsaglayanelektrondalgalarnn,Bohrunhidrojenatom-unda elektron acsal momentumunun hn tam katlar olarak kuantalandg varsaymnadauyaca gngostermeyibasard.S.ekil2.1: ElektronunBohrYor ungesindekiHareketiSekil 6.1 deki gibi bir Bohr yor ungesinde donenelektronunbuyol uzerindedalgal bir sekilde gittigini varsayalm. Budairesel yor ungeye tamdalgaboylarsgdrabilmekicin2r = n (n = 1, 2, 3, ...)olmaldr. (1.1.2)(4.3)egore =hpve2r =nhpolur. Buradanrp =nh2bulunur.Daireselbiryor ungeicinrpcarpmLacsalmomentumudur. OhaldeL =nh2= n h (n = 1, 2, 3, ...) (2.6)Bu,Bohrkuantalanmakosuludur.22 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRAR2.1.6 BohrAtomModelIAtomSpektrumlar19.y uzylnortalarnda atomspektrumlarnngozlenmesiyle, mikroskobiksistem-lerde klasik mekanik teorisinin yetersiz kaldg gor uld u. Atom spektrumlarnn dogrubir acklamas 1913 ylnda Danimarkal zikci Niels Bohr tarafndan yapld ve klasikmekani ginkokl ubirdegisimgecirmesigeregiortayakondu.Bohr teorisi karakteristikspektrumlar t um uyle farkl bir sekilde acklar.Ilkolarak, bir atomun f, f...gibi karakteristik frekanslarda sk yaynlamas, o atomunenerjileri hf, hf..olanfotonlarsalmas demektir(Frekansveenerji arasndaki builiski 19.y uzylda hen uz bilinmiyordu). Bu karakteristik enerjiler, atomdaki elektron-larntoplamenerjisininE1, E2, E3.. gibi kesikli degerlerdekuantalanmsolmasylaacklanr. Atom bu enerji d uzeylerinin birinden digerine scrad gnda sk salar veyasogurur.E2)E1oldugunuvarsayalm;atomE2denE1d uzeyinegectiginde,E2E1kadarbir enerji fazlasn salmas gerekir. Budaenerjisi hf =E2 E1olanbir fotonseklindesnr. Benzer sekilde,atomunE1denE2d uzeyinegecebilmesiicinE2E1kadarlk enerji eksigini gidermesi gerekir.Bu da enerjisi hf= E2E1 olan bir fotonunsogurulmasylaolur.BohrunAtomSpektrumuAcklamasAtomik denge problemini c ozebilmek icin Bohr, klasik mekanik yasalarnn degistirilmesigerektigini one s urd u. Klasik mekani ginone s urd ug usnrsz saydaki elektronyor ungeleri arasnda sadece kesikli bir yor ungeler k umesinin kararl dengede oldugunusoyledi. Bunlarakararl yor ungeler adn verdi. Yor ungeler kesikli degerler ala-bildigi icinbunlarnenerjileri dekesikli olmal, yani atomdaki elektronenerjilerikuantalanmsoluyordu. BiratomunsahipolabilecegienerjilerE1, E2, E3..seklindesaylabilir bir k ume olusturuyordu. Eger bu dogruysa, klasik elektromagnetik teorisininong ord u g u sekildeatomuns ureklienerjikaybetmesionlenmisoluyordu.Bohrunpost ulat s oyleydi; kararl biryor ungedeki elektron, dsetki olmadgs urece,hicbirenerjismadanaynyor ungedekalr.Bohr kararl yor ungedeki elektronlarnnicinenerji smad gn acklamyordu.2.2. SCHRODINGERDALGADENKLEMI 23BirbakmaBohrunatomdengesiniacklayabildi gisoylenemez. Fakatbuvarsaymgercege cok yaknd; ozellikle kararl yor unge kavramnn cok yerinde oldugu dahasonra anlasld. Kuantum teorisinde bildigimiz gibi,elektronlarn klasik anlamda biryor ungeleri yoktur, atomicindedaglmss urekli biry ukbulutugibi d us un ulebilir.Atomunkararl durumlar (ki Bohrunkararl yor ungelerinekarslkgelir)buy ukbulutununkararlolupenerjismadgdurumlardr2.2 SchrodingerDalgaDenklemideBrogliedalgasicin;(x, t) = Aeiw(txv)(2.7)Boylesaf yani bir dalgapaketi degil detekbir dalgadanmeydanagelendal-gasal birhareketlemk utleli vepimpulslu(dolaysylaK=p22mkinetikenerjili)birtaneciginbagntsnyapmakicin;w = 2fE= hf =hpv= f=hfp(2.8)(4.11)denklemini(4.4)deyerinekoyarsak;(x, t) = Ae2ih(Etpx)seklinedon us ur(1.2.3)Egertanecikbirkuvvetalanndaise, tanecigintoplamEenerjisi enerjininko-runumuilkesi uyarncazamanabagl olmaypbualan doguranpotansiyeli V ilegostererek Etanecigin Kkinetik enerjisiyle V potansiyel enerjisinin toplamnaesittir.E= T (x) + V(x)(2.9)E=p22m+V(x) (2.10)ote yandan (4.20) den x e gore ikinci t urevi ve sonra da t ye gore birinci t urevialarak;24 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARp2 = h2422x2(2.11)E = h2it. (2.12)(4.12)denklemininherikiyanndailecarptktansonra(4.14)ve(4.15)den-klemleridegozon undebulundurarak;h2it=h282m2x2 V(x) (2.13)Boylecezamanabaglschr odingerdenklemieldeedilmisoldu.2.3 ZamandanBagimsizSchr odingerDenklemiTaneci gekarslkgelendeBrogliedalgasn(x, t) = Ae2ih(Etpx)= Ae2ipxh e2iEth(2.14)(x, t) = (x) e2iEth(2.15)Bu ifade (x, t)nin yalnz xe bagl bir fonksiyon ile yalnz tye bagl bir fonksiy-onuncarpm olarakyazlabildi gini gostermektedir. Bunagoretaneciginxi icerendxaralgndatanndabulunmasihtimali;(x,t) (x,t)dx = (x)e2iEth (x)e2iEthdx (2.16)= (x)(x)(2.17)Bu sonu c goz on une alnan ihtimalin zamana bagl olmadgn gostermektedir. Buihtimalibulmakicin(x, t)yibulmakyerine(x)ibulmakyeterlidir. Eenerjisi,enerjininkorunumuilkesinegoresabittir. V potansiyelfonksiyonuisesadeceyerinfonksiyonudur. (1.4.1)i(1.3.7)deyerinekoyarsak;2(x)x2+82mh2[E V(x)] (x) = 0 (2.18)Boylecezamandanbagmszschr odingerdenklemieldeedilmisoldu.2.4. MERKEZIPOTANSIYELLER 252.4 MerkeziPotansiyeller2.5IkiCisimProblemiK utleleri m1ve m2olan iki parcacgn konum ve momentumlarn srasylar1,r2ve p1, p2ilegosterelim. Busisteminhamiltonyeni;H= p212m1+ p222m2+ V(r1 r2) (2.19)BuradaV potansiyeli, k uresel simetridendolay, sadeceparcacklararasndakiuzaklgnbirfonksiyonudur. But urpotansiyelleremerkezipotansiyellerdenir.MomentumoperatorleriP= i hveP2= h22(4.3)denklemindeyerineyazlrsa; h22m121 h22m222 + V(r) = E _ h22m121 h22m222 + V(r)_ = E(2.20)Dalga fonksiyonu; = (x1, y1, z1, x2, y2, z2) (2.1.2) Buradaki x1, y1, z1, x2, y2, z2busisteminbulundugu3boyutluuzaydakikoordinatlardr._ h22m121 h22m222 + V(r)_ = E (2.21)Budenklemdekik utlemerkezikoordinatlarX,Y,Zleribaglhareketinkoordi-natlarolanx,y,zcinsindenasa gdaki sekildeyazmalyz.X =m1x1 + m2x2m1 + m2Y =m1y1 + m2y2m1 + m2Z =m1z1 + m2z2m1 + m2(2.22)x = x2x1y= y2y1z= z2z1(2.23)Boylecetoplamkinetikenerji;T=12m1_ x21 + y21 + z21_+12m2_ x22 + y22 + z22_(2.24)M= m1 + m2seklindetanmlanrsa;Denklem(4.11)ve(4.12)denMX = m1x1 + m2x226 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARx2= x + x1(4.12)denklemi(4.11)deyerineyazlrsa;MX = m1x1 + m2 (x + x1) = m1x1 + m2x1 + m2x (2.25)= (m1 +m2) x1 + m2x (2.26)=Mx1 + m2xx1= X m2(m1 + m2) m1m1 x (2.27)Ayrcaher iki k utleninyerineindirgenmis k utleyi kullanabiliriz.Indirgenmisk utlenintanmgeregi: =m1 m2m1 + m2(2.28)Digerislemlerdebenzer sekildeyaplrsa;x1= X m1x y1= Y m1y z1= Z m1z (2.29)x2= X +m2x y2= Y +m2y z2= Z +m2z (2.30)denklem(4.15),(4.14)dayerineyazlrsa;T=12 (m1 + m2)_X2+Y2+Z2_+12_ x2+ y2+ z2_(2.31)(4.17)denklemimomentumoperatorlericinsindenyazlrsa;Px= MX Py= MY Pz= MZ (2.32)py= y pz= z (2.33)boylece(4.17)denklemi;T=12M_P2x+P2y+P2z_+12_ p2x + p2y + p2z_(2.34)2.5.IKICISIMPROBLEMI 27E= T+V ve momentum operatorleri kullanlrsa,hidrojen atomu icin schrodingerdenklemi;_ h22M2km h222+V(r)_ = E (2.35)(X, Y, Z, x, y, z) = km (X, Y, Z) (x, y, z) (2.36)(2.36)denkleminin(4.20)deyerineyazlmasyla h22M2kmkm= Ekmkm(2.37)_ h222+ V(r)_ = E (2.38)Ekmk utle merkezinin oteleme hareket enerjisini, E ise bagl hareketin enerjisidir.K utlemerkezininhareketi potansiyel enerjidenbagmszolduguicinbudenklemin(2.37) c oz um umerkezi potansiyel icinenerji ozde ger veozvekt orleri bulmamazayardmcolmaz. Bunedenle(2.38)denkleminiileilgileniriz.Once 2.38 ile verilen denklemi k uresel koordinatlarda yazp, merkezi potansiyeldehareketedenk utleli spiinsizbirparcackicinengenel hareketdenklemini verenSchrodingerdenkleminiasagdaki sekildeeldeedilir: h22_2r2+2rr+1r2_1sin _sin _+1sin222_+ V (r)_(r, , ) = E(r, , )(2.39)Koseliparantezlericindekiterimlerinnegatiacsalmomentumoperator un unkare-sidir, L2. Bu operator un ozfonksiyonlar dejeneredir ve k uresel harmonikler (Ylm(, ))ile su sekildetanmlanabilirler:L2Ylm(, ) = l(l + 1) h2Ylm(, )LzYlm(, ) = m hYlm(, ) (2.40)K ureselkoordinatlarda (r, , )degiskenlerineayrlarak soyleyazlr.(r, , ) = R(r) f () g () (2.41)28 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARDenklem (2.39) deki sadece ye bagl olan denklemi m2

ye esitlersek (c unk uboyle bir sistemin 0 aralgnda her an dogru olabilmesi icin denklemin birsabiteesitolmas gerekir. Osabit m2

seklindebirkuantumsays olaraksecilir)denklem;2g2+ m2

g= 0 (2.42)seklinialr.Budenklemisebasitharmonikhareketdenklemidir. c oz um uise;g () = Aeim(2.43)olur.Aybulmakicinisenormalizasyon sartkullanlr;2_0g()g () d = 1 A22_0d = 1 A =12(2.44)Boyleceg ()coz um u;gm=12eim(2.45)m

= 0, 1, 2, 3...kuantumsays2.39esitliginin0r , 0, ve 0 2aralgndayani t umuzaydaherandogruolabilmesi icindenkleminbirsabiteesitolmas gerektigi be-lirtilmisti. Buradasececegimizsabitisedenklem2.40dangor uld u g ugibi( + 1)dir. Yukardaki denklemler acsal momentumunkaresinin h2yebol um uboyutuolduklarndanm

vekuantumsaylar acsal momentumkuantumsaylar olmakzorundadrlar. Boylece denklemin sol ve sag taraar( + 1) e esit olduklarndandolay schrodinger denkleminink uresel koordinatlarda her u c degiskene ayrlmssekli;2g2+ m2

g= 0 (2.46)1sin _sin f_+_ ( + 1) m2

sin2_f= 0 (2.47)2.5.IKICISIMPROBLEMI 291r2r_r2Rr_+2 h2_E V(r) h22 ( + 1)r2_R = 0 (2.48)(2.46)denkleminincoz um un ungm=12eimoldugunugostermistik.Denklem(2.47) uncoz um uicinLegendrepolinomlar veRodriguesform ullerikullanlarakc oz umegidilir. Budurumdayabaglc oz umfonksiyonu;f () = Nm

Pml (cos ) (2.49)seklindeolupnormalizasyonsabiti;Nm

= (1)(m

+|m

|)22 + 12( [m

[)!( +[ml[)!(2.50)Pm

(cos ) =_1 cos2m

2mlP

(cos )ml(2.51)ifadeleriilebelirlidir. Burada(cos = dersek)Pl()ise;P

() =12

!

_21_

(2.52)ileverilir.BuradaPm

()AsosiyeLegendrepolinomu, P

()iseLegendrepolinomudur.Buradaki vem

kuantumsaylar icin m

vem

0kosullar, yinemerkezcilolanc oz umlerindeortayackacaktr.Denklem 2.48 ile verilen Schr odinger denkleminin radyal ksm icin ise asa gdakidegiskendegisiklikleri c oz um uoldukcakolaylastrr.Oncet urevifadesini acarakdenklemitekraryazalm:_d2dr2+2rddr_Rnl(r) 2 h2_V (r) +l(l + 1) h22r2_Rnl(r) +2E h2Rnl(r) = 0 (2.53)Rnl(r)asagdaki sekildeyazarsakRnl(r) =unl(r)r(2.54)ve_d2dr2+2rddr_ unl(r)r=1rd2dr2unl(r) (2.55)30 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARseklinde ifade edebilecegimiz icin, 2.48ile verilenradyal Schr odinger denkleminiasagdakioldukcabasitvekompakt sekledon ust ur ur uz:d2unl(r)dr2+2 h2_E V (r) l(l + 1) h22r2_unl(r) = 0 (2.56)Insteadof solvingthepartial dierential equation2.39inthethreevariablesr, and, wenowsolveadierential equationinvolvingonlythevariabler, butdependent onthe angular momentumparameter l, whichmakes the eigenvaluesandeigenfunctionsdierentforeachvalueof l. Therefore, theeigenfunctionsandeigenvaluesare2l+1degenerate.2.6Ornekler2.6.1 FreeParticleSolutionIn classical mechanics, a free particle of mass moves along a uniform linear trajec-tory. Its momentum P, its energy E= P2/2 and its angular momentum L = rPrelativetotheoriginofcoordinatesystemareconstantsofmotion.Inquantumphysics,theobservablesPandL = r Pdonotcommute. Hence,they represent incompatible quantities: It is not possible to measure the momentumandtheangularmomentumofaparticlesimultaneously.Conceptually,the simplest scattering state is the free particle where potential iszeroeverywhere. Wenowlookforsolutionsofthefreeparticleradial Schr odingerequation 2.56 that is, simultaneous eigenfunctions of H, L2and Lzcorresponding todenitevaluesofE,landm. TheradialSchr odingerequationforafreeparticleisnotunderanyinuenceof potential V (r)andfreelytravelsfrom-to+. theradialSchr odingerequation:_d2dr2+2rddr_Rnl(r) +_k2l(l + 1) h2r2_Rnl(r) = 0 (2.57)wherek2=2Eh2. Theenergycanonlybepositiveinthecaseoffreemotion. Ifwechangevariablesinequation2.57to=krandwriteRnl=Rl(), weobtainforRl()theequation:_d2d2+2dd_Rl() +_k2l(l + 1) h2r2_Rl() = 0 (2.58)2.6.ORNEKLER 31WhichiscalledsphericalBesseldierentialequationwhoseparticularsolutionsareJl+12()andnl+12(). Itispossibletowritethemintermsof thespherical Besselfunctions:Jl() =_ 2_1/2Jl+12() (2.59)andsphericalNeumannfunctionsnl() = (1)l+1_ 2_1/2Jl12() (2.60)whereJvisanordinaryBesselfunctionoforderv.ThegeneralformofthefunctionsJl()andnl()aregivenbyJl() = ()l_1dd_lsin (2.61)andnl() = ()l_1dd_lcos (2.62)Theasymptoticvaluesof thespherical Bessel functionforsmall andlargehavethefollowingformsJl() =___l135...(2l+1)for l1 cos_ 2(l + 1)for l(2.63)TheasymptoticvaluesofthesphericalNeumannfunctionforsmallandlargearenl() =___135...(2l1)l+1for l1 sin_ 2(l + 1)for l(2.64)Thegeneralsolutionofequation2.58correspondingtoawell-denedenergy(E= h2k2/2)andawell-denedorbitalangularmomentumlisoftheformRnl(r) = AJl(kr) + Bnl(kr) (2.65)HeretheconstantBmustbezerobecauseofthenitenessofthewavefunctionintheoriginsincethespherical Neumannfunctionnl()hasapoleoforderl + 1atorigin and is therefore an irregular solution of 2.58. On the other hand, the sphericalBessel function Jl() is nite at the origin and is thus a regular solution. Therefore,32 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARSpherical Bessel FunctionsJ(2,kr)J(1,kr)J(0,kr)00.51J(l,kr)5 10 15 20krS.ekil2.2: SphericalBesselfunctionfordierentvaluesofl.Spherical Neuman Functionsn(2,kr)n(1,kr)n(0,kr)10.500.5J(l,kr)S.ekil2.3: SphericalNeumannfunctionfordierentvaluesofl.the radial radial and total wave functions of the Schrodinger equation 2.58 for a freeparticleareREl(r) = AJl(kr) (2.66)El(r) = AJl(kr)Ylm(, ) (2.67)TheconstantAisdeterminedfromtheboundaryconditionandthenormalisa-tion. The spherical Bessel and Neumann functions are shown in gures 2.2 and 2.3.Remarks:1. Theeigenvaluesk2cantakeonanyvalueintheintervalof(0, )sothatthe2.6.ORNEKLER 33energyE=h2k22canassumeanyvalueinthisinterval andthespectrumiscontinuous.2. Everyfreeparticleeigenfunctioncanthusbelabelledbythetwodiscretein-decesl andmandbycontinuousindexE(ork). Soeachenergyeigenvalueis innitelydegenerate, sincefor axedvalueof E, theeigenfunctions arelabelledbythetwoquantumnumbersl andmsuchthatl =0, 1, 2 . . . andm = l, l + 1 . . . , l2.6.2 InniteSquareWellTodetermine the energylevels for aparticle inainnitelydeeppotential well,considerthemotionofaparticleofmassinthefollowingsphericallysymmetricinnitelydeeppotentialwell:V (r) =___0 for0 < r a otherwise(2.68)Aparticlecouldneverscatterfromthewellbecauseitisinnitelydeep. Itsabitlikeablackhole. Onceyoufall inyoucannevergetout. Whenr a, insidethewell, theparticlemovesfreelyandthestatesofmotionwithawell-denedorbitalangular momentum are given by the the solution of the radial Schrodinger equation:_d2d2+2dd_Rl() +_k2l(l + 1) h2r2_Rl() = 0 (2.69)where k2=2Eh2and = kr. The solutions of this equation are given by the sphericalBesselandneumannfunctionsRnl(r) = AJl(kr) + Bnl(kr) (2.70)The wave function of the particle vanishes for r a as the particle cannot penetrateinto a region where the potential innite. In order to satisfy this boundary condition,wemustsetB=0. Therefore, theradial andtotal wavefunctionsoftheparticleareRnl(r) = AJl(kr) (2.71)Elm(r) = AJl(kr)Ylm(, ) (2.72)34 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARTondtheenergyeigenvalues,weapplythecontinuityconditionatr = ajl(ka) = 0 (2.73)Since, foragivenl, theBessel functionhasaninniteumberofzeros, wendaninnitenumber of values kn,landof energylevels, that is, theenergylevels aredegenerate.En,l= h22k2n,l(2.74)Fortheloewslvalues,thesphericalBesselfunctionsarej0(kr) =sin krkr; (2.75)j1(kr) =sin krkrcos kr; (2.76)j2(kr) = cos krkr+_3(kr)2 1_sin kr (2.77)andforhighervaluesof l theymaybeeasilybeconstructedfromtherecurrencerelationjl(kr) =lkrjl1(kr) j

l1(kr) (2.78)Theirzerosmaybedeterminedfromsimpletranscendentalequations:j0(ka) = 0 ifsin ka=0orka = n (2.79)j1(ka) = 0 iftan ka=ka (2.80)j2(ka) = 0 iftan ka =3ka3(ka)2(2.81)For (l = 0, 1and2), the eigenvalues are shown in table 2.74 for dierent n values.Wecaneasilyevaluatetheenergiesof thestationarystatesbysubstitutingthesevaluesinequation2.74.Tablo2.1: Valuesofthekn, lafordierentlandnvaluesl n=1 n=2 n=3 n=40(s) 3.14159 6.28319 9.42478 12.56641(p) 4.49341 7.72525 10.9041 14.06622(d) 5.76346 9.09501 12.3229 15.51462.6.ORNEKLER 35Energy Levels of Infinite Square Wellall states n=3 n=3 n = 1 n = 20246810121416kaS.ekil2.4: EigenvaluesofInnitesquarewellTheeigenvaluesasshownintable2.1arealsodisplayedingure2.4.It is alsopossibletoobtainagraphical solutiontoeigenvalueproblem. Theintersectionofthecurvesf(ka) = sin kaandG(ka) = 0determinestheeigenvaluesofthel =0state. Thesameholdforl =1andl =2andsoon. Thesegraphicsandintersectionsoftwocurvesareshowningure2.5.Intheremainingpartof thissection, wewill examinethes-state(l=0)wavefunctionandprobabilitydensity. Thegeneralsolutiongivenby2.72forl = 0isE00(r) = Rn0(r)Y00(, ) (2.82)whereRn0isgivenbyJ0(kr).Rn0(r) = Asin(kr)r(2.83)TheboundaryconditionREl(a)=0requiresthatsin(ka) = 0 (2.84)orka = n (2.85)36 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARl = 0 f(ka) = sin(ka)10.500.512 4 6 8 10 12 14kag(ka) = kaf(ka) = tan(ka)l = 1g(ka)=3ka/(3-(ka)^2)151050510152 4 6 8 10 12 14xS.ekil 2.5: Theintersectionsof curvesf(kaandg(ka)for l =0(s state), 1(p state)and2(d state).2.6.ORNEKLER 37n=1n=2n=3Legend01R(r)1 2 3 4rS.ekil2.6: Innitesquarepotentialwavefunctionsfordierentvaluesofn.ThereforeEn0= h2k22=n22 h22a2n=1,2,3,. . . (2.86)Therefore,thenormalizedwavefunctionisRn0(r) =_2asin(nr/a)r(2.87)andn00(r) = Rn0(r)Y00(, ) =_2asin(nr/a)r_14(2.88)n00(r) =_12asin(nr/a)r(2.89)The radial component of the full wave function is shown in gure 2.6 for dierent nvalues. Figure2.7showstheradialprobabilitydensity,whichgivestheprobabilitytondtheparticlebetweenrandr + dr.2.6.3 FiniteSquareWellLet us consider the motion of a particle of mass in a spherically symmetric potentialwell:V (r) =___V0forr a0 r > a(2.90)38 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARn=1n=2n=3Legend00.20.4P(r)1 2 3 4rS.ekil 2.7: Normalized radial probability density, r2R2, for dierent n values (l = 0).The states of motion with a well-dened orbital angular momentum are characterisedbytheradialSchrodingerequation. Therearetwopossiblecasesforthesolutionofthis equation. In the case where E> 0 is called continuum solutions and E< 0 arecalledboundstatesolutions.BoundStatesd2Rnl(r)dr2+_2l(l + 1)r2_Rnl(r) = 0 r > a (2.91)d2Rnl(r)dr2+_k2l(l + 1)r2_Rnl(r) = 0 r a (2.92)Where2= 2 h2E (2.93)k2=2 h2[E + V0] (2.94)k20=2 h2V0(2.95)For r < a, if we change variable to = kr and write Rl() Rnl(r), we nd thattheradial functionRl()satisesthespherical Bessel dierential equation. Asin2.6.ORNEKLER 39the case of free particle, the condition that Rl() must be zero at the origin restrictsustothesphericalBesselfunctions. Therefore,insidethewell,wehaveRnl(r) = Ajl(kr)r a (2.96)whereAisaconstant.For r >a, the equationis identical tothe free particle equation, but Ea, thedomainof doesnotextenddowntozero, sothatthereisnoreasontolimitourchoicetothespherical Bessel functions, whichisregularattheorigin. Instead, alinearcombinationofthespherical Bessel andNeumannfunctions(orHankel functions)isperfectlyadmissible. So,thesolutionisRnl(r) = Ah1l(ir) (2.97)Rnl(r) = B(jl (ir) + inir) r > a (2.98)whereBisaconstant. Firstthreefunctionsh1l(ir)areh10(r) = ieir(2.99)h11(r) =_ir 1_eir(2.100)h12(r) =_3r 3i2r2+ i_eir(2.101)Therecurrencerelationcanbeusedtondhighervaluesofl:h1l+1(r) =2l + 1krh1l(r) h1l1(r) (2.102)From the continuity and normalization relations, we can determine the constants Aand Bin equation 2.98. Their ration may be eliminated from the continuity relationofthelogaritmicderivativeatthewellsurface,r = a,iah1

l(ir)h1l(ir)= kaj

l(ka)jl(ka)(2.103)whereprimedenotesthedierentiontorespectivearguments. Since2.103relateswithk,itxestheeigenvaluesoftheenergyinanygivenwell.40 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRAREquation2.103afterelementarybutlengthycalculationleadsaneigenvaluere-lationwhichmaybewritten:tan(ka) = kl = 0 (2.104)tan(ka) =2akk2a + k2+2(2.105)tan(ka) =_k02k2_akk2a_k02k2+k02l = 1 (2.106)For(l=0and1), theeigenvaluesareshownintable2.95fordierentnvalues.Wecaneasilyevaluatetheenergiesof thestationarystatesbysubstitutingthesevaluesinequation2.95.Tablo2.2: Valuesofthekn, lafordierentlandnvaluesl n=1 n=2 n=30(s) 2.85234 5.67921 8.423201(p) 4.07500 6.95885 9.62405Theeigenvaluesasshownintable2.2arealsodisplayedingure2.8.Forl=2, thetranscendental equationisevendiculttosolveandwearenotgoingtodoitinthispart.Anotherwaytodeterminetheeigenvaluesisbyndingtheintersectionoftwocurvesf(k)andg(k)inequations2.106byusingtheparameters: k0a2=2V0a2h2=100. As it is seen from gure ?? that two curves f(k) and g(k) exactly intersects atthesepoints.Intheinterior region, weseefromequation??that uis sinefunction. Theminimumrequirementtohaveatleastoneboundstateisthereforetosatisfythecondition given by equation ??. In order to satisfy this, the ka must advance beyond2inregionr a(2.108)TheSchr odingerequationforl=0withB Ebecomesd2uE0(r)dr2+2 h2[V0(r a) B] uE0(r) = 0 forr a (2.109)d2uE0(r)dr22 h2BuE0(r) = 0 forr > a (2.110)Thedeltafunctionhasthefollowingproperties:(r a) =___0 forr ,= a1 forr = a(2.111)Forr ,= athepotentialV (r)iszero,thereforetheequation2.110becomes:d2uE0(r)dr2k2uE0(r) = 0inwholeregionexceptr = a (2.112)wherek2=2h2B. Thesolutionforr < aisu1E0(r) = Aekr+ Bekr(2.113)42 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARg(ka)f(ka)=cot(ka)10864202468102 4 6 8 10kal = 1g(ka)f(ka)420242 4 6 8 10xS.ekil 2.9: Finitesquarewell: Intersectionsofcurvesf(kaandg(ka)forl=0(s state), 1(p state)and2(d state).2.6.ORNEKLER 43Thesolutionforr > aisu2E0(r) = Cekr(2.114)Theinteriorsolutionmustsatisfytheboundaryconditionatr = 0,u1E0(0),thatis,A = B. Hence,thesolutionforr < abecomesu1E0(r) = A(ekrekr) or (2.115)u1E0(r) = 2Asinh kr (2.116)Thecontinuityofwavefunctionatr = arequiresthat2Asinh ka = Ceka(2.117)Tomaththederivativesatr=aaswell, weneedtoapplylim0_aadrtobothsidesoftheequation2.112. Usingfollowingpropertieslim0_aau(r)(r a)dr = u(a) and (2.118)lim0_aau(r)dr = 0 (2.119)Wegetlim0_u

2E0(a + ) u

1E0(a )_ 2 h2V0u(a) = 0 or (2.120)kCeka2kAcosh ka +2 h2V0Ceka= 0 (2.121)takingCeka= 2Asinh kafromequation2.117kAsinh ka kAcosh ka +2 h2V0 sinh ka = 0 (2.122)hencek coth ka =2 h2V0k (2.123)Theintersectsofthecurvesf(k)=k coth kaandg(k)=2h2V0 kgivestheeigen-values. Inorderthemtointersect,theconditionis2 h2V0> k (2.124)Thisistheminimumrequirementtohaveatleastoneboundstate. Asshowningure2.10, byusingfollowingparameters: a=4.0, h=1, =1, wendkvalueas:k1=0.999664. As it is seen from this gure that two curves f(k) and g(k) exactlyintersectsatthispoint.44 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARg(k) = 2-kf(k) = kcoth(ka)21012340.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4kS.ekil2.10: Plotofthefunctionsf(k)andg(k).2.6.5 CoulombPotansiyeliIndirgenmismk utlelibirparcacgn u cboyutluuzaydaV(r) = Ze2rpotansiyelin-dekihareketiicinradyalSchrodingerdenklemi;r_r2Rr_+_2 h2_140Ze2r+ E_ ( + 1)r2_R(r) = 0 (2.125)Denklemidahabasithalegetirmekicin; =_8E h =Ze240 h_2E(2.126) = rdon us um uyaplrsa;r=r2r2=22_r_2(2.127)r= 2r2= 222(2.128)Buifadeleri(2.3.1)denklemindeyerineyazarsak;22R2+ 2R+_2 h2_14oZe2+ E_ ( + 1)22_R = 0 (2.129)denklem2yebol un urse;2.6.ORNEKLER 452R2+2R+_2 h2_140Ze2+E2_ ( + 1)2_R = 0 (2.130)nnyukardakidegeriyerineyazlrsa,2R2+2R +__2 h2 140Ze2_h8E_+2E h2_ h28E_ ( + 1)2__R = 0 (2.131)Denklemdegereklisadelestirmeleryaplrsa;2R2+2R+__1 h140Ze2_428E14 ( + 1)2__R() = 0 (2.132)2R2+2R+_1Ze240 h_428E_14 ( + 1)2_R() = 0 (2.133)2R2+2R+_ 14 ( + 1)2_R() = 0 (2.134)Elde edilen bu denklem Bessel diferansiyel denklemidir ve kuvvet serisi metodu ilecoz ul ur. Ancakc oz umegecmedenonce,denkleminasimtotikdavransnabakalm.Radyalfonksiyonunungenelozelliklerinden,k uc ukdegerleriicin;limr0R(r)= rl(2.135)seklinde olacag bilinmektedir. B uy uk degerleri icin ( ) denklemdeki14terimidigerlerinibastracagicin,yaklaskolarak;_2 R_14R= 0alnabilir. (2.2.4)Bunun genel c oz um u; R() = Ae2 +Be2olur. c oz um un raksak olmamas icinB=0olmasgerekmektedir(c unk u ,e2 olur).Ohaldecoz umR() = Ae2dir. (2.2.5)B ut unlaricingecerlicoz umise;R() = Ae2f (g)(2.2.6)Budurumda(2.2.6)denkleminincoz um u(2.134)denklemidir. (2.2.6),(2.134)deyerineyazlrsa;2f2+_2 1_ f+_ 1 ( + 1)2_f= 0 (2.136)46 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRAR(2.136) denf () ninbulunmas ile R() bulunmus olur. (2.136) denklemikuvvetserisimetoduilec oz ul ur.f () = a0 + a1 + a22+ = s

i=0aii(2.137)a0 ,= 0 s 0gibibirserialnrDenklem(2.137),(2.136)deyerineyazlrsa;

i=0_[(s + i) (s + i + 1) ( + 1)] ais+i2(s + i + 1 ) aies+i1_ = 0(2.138)Dahabasitolarakyazlrsa;[s (s + 1) ( + 1)] a0s2+

j=1[ (s + j + 1) (s + j + 2) ( + 1)aj+1(s + j + 1 ) aj] s+j+1= 0(2.139)BudurumdadenkleminI. ve II. terimi ayr ayr sfraesit olmaldr. onceI.terimidikkatealrsak;s (s + 1) ( + 1) = 0 s (s + 1) =( + 1) (2.140)s = ves = ( + 1)II.terimidikkatealdgmzdaise;aj+1=s +j + 1 (s + j + 1) (s + j + 2) ( + 1)aj(2.141)=0da(+1)=1(+1) olduguicins= ( + 1)c oz um uzikselolarakkabuledilemez. s = kabuledilebilirc oz umd ur. (2.2.11)(2.2.11)denklemi,(2.141)dayerineyazlrsa;aj+1=j ++ 1 (j + l + 1) (j + l + 2) ( + 1)aj(2.142)Buradaserininyaknsakolupolmadgnabaklmaldr.limjaj+1aj=jjj=1j(2.143)2.6.ORNEKLER 47Budurume2ninseriaclmileayndr.e= 1 +1!+22!+33!+ =

ij!(2.144)Orantestiuygulanrsa;limjaj+1aj=j!(j + 1)!=j!j! (j + 1ihmal) 1j(2.145) daeoldugundanf ()raksakolur.Bu sorunu asmann yolu seri c oz um un un sonlu sayda bitmesini saglamaktr. Buise tekrarlama bagntsnda payn sfr olmasyla m umk und ur. Payn sfr olabilmesiicin=n(2.2.13)sart yeterlidir. n= + 1,+ 2,+ 3(buradan=temel kuan-tumsays,=yor ungekuantumsaysdr). Boylecef () veR() raksamadankurtarlmsoldu.(2.2.6),(2.137)ve(2.2.11)denklemlerindenR() = Ae22

i=0aii(2.146)L() =

i=0aii(2.147)tanmlanrsa,denklemingenel sekli;R() = Ae22

L()halinialr. (2.2.16)(2.137),(2.2.11)ve(2.147)denklemlerindenf () =

L()yazlr. (2.2.17)(2.2.17)ve(2.2.13),denklem(2.136)deyerlerineyazlrsa;2L2+[2 ( + 1) ]L +[n ( + 1)] L = 0Bagl laguerre diferansiyel denklemi(2.2.18)P= 2 + 1veq= n +(2.2.19) seklindetanmlanrsa,denklem;2 2L2+ (p + 1 )Lpq+ (q p) Lpq= 0denklemineindirgenir(2.2.20)Budenklembagl laguerrediferansiyel denklemidir. coz umleri iseLpqbagl la-guerrepolinomlardr.BoyleceR()radyaldalgafonksiyonu;Rn () = An

e2L2+1n+1()eldeedildi(2.2.21)48 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARSimdi ise(2.2.21) denklemindeki An yi bulalm. Buisenormalizasyonsartkullanlarakbulunur;_0RnRnr2dr = 1 (2.148) = r (2.149)d = dr dr =d(2.150)r2=22(2.151)(2.2.21),(2.148)deyerineyazlrsa;A2n3_0e2_L2+1n+22d = 1 (2.152)diklikbagntsndan_0e2_L2+1n+22d =2n[(n+1)!]3(n1)!yazlabilir.An=3(n 1)!2n[(n + )!]3(2.153) =_8En h2(2.154)2= 8En h2= 8 h2_140_2Z2e42 h21n2(2.155)2= 4_1(40)22e4 h4_. .1a0

2Z2n2(2.156)2=4Z2a20n2(2.157) =2Za0n(a: bohryarcap)(2.2.25)(2.2.25),(2.153)deyerineyazlrsa;2.6.ORNEKLER 49An=_2Za0n_3(n 1)!2n[(n + )!]3(2.158)BoyleceHatomunundalgafonksiyonununradyalfaktor u;Rn=_2Za0n_3(n 1)!2n[(n +)!]3e2

L2+1n+1() (2.159)Hidrojenatomuicindalgafonksiyonlarn,,m

(r, , ) = Rn (r) f,m

() gm

() = Rn (r) m

(, ) (2.160)n,,m

(r, , ) =_2Za0n_3(n 1)!2n[(n +)!]3e2

L2+1n+1()2 + 12( m

)!( + m

)!Pm

(cos )_12eim(2.161)(3.1)olur ve buna k uresel harmonikler denir. Dikkat edilirse ,m

(, ) ler sabit yarcaplbir k ure uzerindeveninperiyodikdegisimlerini temsil etmektedir. K ureselharmonikleradnbuzikselanlamdanalrlar.Hidrojenatomuicinenerjiseviyeleri =_8Enh2, =Ze240h_2E, = rve = ntanmlanmst. =n sartnkullanrsak;n2= Z2e4 h2(40)22E(2.162)En= Z2e4(40)2 h212n2(2.163)En= _140_2Z2e42 h21n2= Z2Rn2= 13, 6eVn2(2.164)Rydbergsabiti R=_140_2e42 h2=13, 6eV cinsindenyazlrsa, enerji denklemiEn= Z2Rn2= 13,6eVn2.KuantumseviyelerininenerjileriEn= 13,6eVn2form ul undenbulunur.50 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARHidrojen atomunda elektron,enerjisi en d us uk olan n=1 seviyesinde kalr. Uyarlmsseviyelerinomr u108snseviyesi mertebesindeikentabanseviyesininomr uson-suzdur. BoyleceHidrojenatomununenerji seviyelerini verendenklemeldeedilmisoldu.Simdin=1,2,3,,,degerlerinekarslkgelenenerjiseviyelerinigosterelim.EnSeviyelerwE4=E1164s (1) 4p (3) 4d (5) 4f (7) 16E3=E193s (1) 3p (3) 3d (5) 9E2=E142s (1) 2p (3) 4E1= 13, 6eV 1s (1) 1Tablo2.3: HidrojenatomuicinenerjiseviyelerivedejeneredegerleriSimdi,hidrojenatomuicinbuldugumuzdalgafonksiyonlarnatekrardonelim.Hidrojenatomuicindalgafonksiyonun,,m

(r, , ) = Rn (r) f,m

() gm

() = Rn (r) m

(, ) (2.165)seklindeydi.Ilkbol umdedebelirttigimgibibulunanb ut unbusonuclarhidrojende(Z=1)oldugugibidigeratomlardada(Z1)gecerlidir.Asa gdahidrojenvebenzer atomlarnn=1,2ve3icindalgafonksiyonlar yeralmaktadr.100=12_Za0_32eZra0(2.166)200=142_Za0_32_2 Zra0_eZr2a0(2.167)210=142_Za0_32Zra0eZr2a0cos (2.168)211=182_Za0_32Zra0eZr2a0sin ei(2.169)300=1813_Za0_32_27 18Zra0+2Z2r2a20_eZr3a0(2.170)2.6.ORNEKLER 51310=2813_Za0_32_6 Zra0_ Zra0eZr3a0cos (2.171)311=1813_Za0_32_6 Zra0_ Zra0eZr3a0sin ei(2.172)320=1816_Za0_32Z2r2a20eZr3a0_3 cos2 1_(2.173)321=181_Za0_32Z2r2a20eZr3a0sin cos ei(2.174)322=1162_Za0_32Z2r2a20eZr3a0sin2e2i(2.175)52 BOLUM2. KUANTUMFIZIGITEKRARBol um3TEMELKAVRAMLARveREAKSIYONLARINSINIFLANDIRILMASI3.1 BazTemelKavramlar3.1.1 C ekirdeginK utlesi,B uy ukl u g uveBaglanmaEnerjisiC ekirdegink utlesi atomikk utlebirimi cinsindenifadeedilir. Atomikk utlebirimi(akbyadau),12Catomununk utlesinin112sineesitolank utledir.1akb = 1u = 1.66.1024gr = 931.502MeVc2(3.1)Protonvenotronunk utlesi,mp= 1.00759uvemn= 1.008982u (3.2)seklindedir. Gor uld u g u gibi protonun k utlesi notronun k utlesine yaklask esittir.cekirdek,AZXNseklinde sembolize edilir. Burada A, Zve Nsrasyla cekirdegin k utlenumaras, atom numaras veya proton says ve notron saysdr. K utle numaras A =Z +Nseklindedir. cekirdekler A, Zve Nsaylarna gore ozel isimler alr; Atom nu-maras (Z)ayn, k utlenumaras (A)farkl olancekirdeklereizotopcekirdek denir.orne gin1H,2Hve3Hgibi. cekirdeklerink utlesi dogadaki izotoplarnnagrlk cay uzde oranlar ile belirlenir. Notron says ayn (N), proton says farkl olan cekirdeklere5354BOLUM3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARINSINIFLANDIRILMASIizotondenir. ornegin4Heve3Hgibi. K utlenumarasayn(A)olancekirdekleriseizobarcekirdeklerdir.C ekirdeginb uy ukl u g un ukleer metotlarla(saclmas, hzl notronsaclmasgibi)veyaelektromanyetikmetotlarla(elektronsaclmas, aynacekirdekler, izotopetkisiv.s.) belirlenir. cekirdeginyarcap R= 1015m = 1fmmertebesindedirkiatomunyar capndan105defak uc ukt ur(Ratom =1010=1A0). Elektronsaclmadeneylerininsonuclar gosterirki, n ukleeryo gunlukcekirdekicindeyaklasksabit,y uzeydeisehzlbir sekildesfragitmektedir(Sekil2.1).S.ekil3.1: C ekirdeginy ukyogunlu gununn ukleeryarcapagoredegisimi.N ukleeryarcapR A13seklindedegismektedir. Deneysel calsmalarsonundan ukleeryar capnR=r0A13seklindedegisti gi gor ul ur. Buradar0sabiti deneyselolarakbulunabilir. Deneysely ukyo gunlugu,(r) =01 + exp(rRa)(3.3)ifadesine uyar. Burada 0 cekirdegin merkez yogunlu gu, R cekirde gin yo gunlugununyaryad ust u g umesafeveaisecekirdekkabukkalnl gnnbirol c us ud ur. tkabukkalnl g olmak uzere t = 4.4a dr. Kabuk kalnlg t, n ukleer yogunlu gun %90ndan%10unad ust u g uuzaklkolaraktanmlanr. Yaplandeneyler t umcekirdeklerinmerkez yo gunluklarnn ayn oldugunu ve yarcapn A13ile degisti gini gostermektedir.3.1. BAZITEMELKAVRAMLAR 55N ukleer b uy ukl u g undegeri baz deneysel metotlarla bulunabilir. Budeney-leri iki gurupta toplayabiliriz: a) N ukleer metotlar b) Elektromagnetik metod-lar. cekirdeginilkmetotlaeldeedilenyarcapnan ukleer yarcapdenir. N ukleeryarcap cekirde gin merkezi ile gelen mermi cekirdegin n ukleer kuvvetten etkilenmeyebasladg uzaklkolaraktanmlanabilir. Bumetotlarlaeldeedilenyarcaplarbirazdaha b uy uk olacaktr. c unk u n ukleer kuvvet bir cekirdegin gercek ziki b uy ukl u g undenbirazdahab uy ukuzaklklaraetkiyecektir. AsagdakiTablo2.1den ukleerkuvvetinyarcap ve y ukyar cap farkl metotlarlabulunandegerleri gosterilmektedir [7].Gor uld u g ugibin ukleerkuvvetinyarcapy ukyarcapndandahab uy ukt ur.Metot r0(fm)A.KuvvetYarcap1. Alfasaclmas 1.4142. Alfabozulmas 1.483. Hzlnotronlarnsaclmas 1.37B.Y ukyarcap1. Elektronsaclmas 1.262. Mezonikatom 1.23. Aynacekirdekler 1.280.054. Protonsaclmas 1.250.055.Izotopikkayma 1.20Tablo3.1: Farklmetotlarlabulunann ukleeryarcaptaki(R = r0A13)r0degerleri.C ekirdekte proton ve notronlar bir arada tutan kuvvet n ukleer kuvvettir. N ukleonlarbir araya gelerek cekirde gi olusturduklarnda olusan cekirdegin k utlesi bunu olusturann ukleonlarnk utlesindenk uc ukt ur. Farkk utle, k utlekayb olarakadlandrlr veE= Mc2seklinde enerjikarsl gvardr. Aslndan ukleonlarnbiraraya gelmesisrasnda acga ckan bu enerji kayb baglanma enerjisidir. Ksaca baglanma enerjisin ukleonlarbirarayagetirmekicingerekliolanenerjidir. Baglanmaenerjisi,Eb= (Zmp + Nmnmc)c2(3.4)56BOLUM3. TEMEL KAVRAMLAR VE REAKSIYONLARINSINIFLANDIRILMASIseklindeifadeedilir. cekirdeklerinn ukleonbasnabaglanmaenerjilerininbir sis-tematigiyapld gzamanSekil6.2dekinebenzeroldugugor ul ur.S.ekil 3.2: Kararl cekirdekler icin n ukleon basna baglanma enerjisinin atomikk utleyegoredegisimi.Bu sekildenckarlabilecekbazsonuclar:1.) C ekirdeklerinn ukleonbasna baglanma enerjileri yaklasksabittir; A=60icinBA= 8.7MeVmaksimum degerini alrken, A = 240 icin,BA= 7.5MeVdegerinialr. BuradaBcekirde ginbaglanmaenerjisiveAiseatomikk utlesidir.2.)K uc uk k utleli cekirdeklerin bazlarnda (sihirli saylar) egri komsu cekirdekleregore pik yapar;42He,126C,168Ogibi cekirdeklerin baglanma enerjisi cok b uy ukt ur. Buozelli gisvdamlasmodeliacklayamaz,bununicinkabukmodeligelistirilmistir.3.)Egri, f uzyon ve syonun olabilirligini dogrulamaktadr; k utle numaras b uy ukolan cekirdekler kararszdr. Kararl olabilmesi icin daha k u c uk cekirdeklere bol un urler.Bu srada acga ckan enerji cok b uy ukt ur. orne gin238Uin n ukleon basna baglanmaenerjisi 7.5MeV, ikiye bol und ug unde olusan parcacklarn baglanma enerjisi 8.5MeVolduguicinacgackanenerji 1MeVdir. 200n ukleonicin200MeVgibi devasabir enerji acgackar. Benzersekildeiki haf cekirdekhzlandrclar araclgylacarpstrld gnda daha b uy uk k utleli kararl cekirdek olusur. Bu srada yine dsaryaenerjisalnr.3.2. SPIN,PARITEVEMOMENTLER 574.) cekirdeklerinn ukleonbasnabaglanmaenerjisininsabitolusun ukleonlarnyalnzkomsun ukleonlarlaetkilesti gini dogrulamaktadr. Buisen ukleerkuvvetinmenzilininnedencokksaoldugunuacklar.3.2 Spin,PariteveMomentlerC ekirdeklerin toplam acsal momentumu, yor unge acsal momentumu ile spin acsalmomentumlarnntoplamdr (

I =

L +

S). N ukleonlarnspini12dir. cift Nvecift Zye sahip olan cekirdeklerin spinleri ise sfrdr. Ayrca k utle numaras (A) tekise cekirdegin spini bucuklu, cift ise tamsay degerler aldg deneylerle kantlanmstr.I 1 ise cekirdegin statik elektrik kuadropol momenti (Q) vardr. Elektrik kuadropolmomentcekirde ginseklini belirler. Egerstatikelektrikkuadropol momenti Q>0ise cekirdek simetri ekseni boyunca yandan bask yani paroloidtir. Ayrca de-formasyonparametresi >0dr (Sekil 2.3deki24Mgcekirdegi). Eger Q R icin V(r) = 0S.ekil4.1: DoteronatomuicinkarekuyupotansiyeliBurada r proton ve notron arasndaki uzaklg gosterir. R ise doteronun capdr.Doteronunend us ukenerji durumunun, hidrojenatomununend us ukenerji duru-mundakigibi = 0degerinesahipoldugunukabuledelim.Radyalschr odingerdenkleminin; h22m_d2Rdr2+2rdRdr_+_V(r) + ( + 1) h22mr2_R = ER (4.2)oldugunubiliyoruz.BolgelereayrdgmzpotansiyelkuyuyuI. bolgedenbaslayarakc ozersek;1r2ddr_r2dRdr_+_k21 ( + 1)r2_R(r) = 0_k21=2m h2(E +V0))0_(4.3)IIbolgeicinse sudenklemiyazabiliriz;1r2ddr_r2dRdr_+_k22 ( + 1)r2_R(r) = 0_k22=2mE h20_(4.4)4.2. DOTERONATOMU 69I.denkleminc oz um u; = k1r (k1sabit) (4.5)don us um uyaplrsa;d = k1drd2 = k21dr2(4.6)Buikidenklem(4.3)denklemindeyerlerineyazlrsa;2d2Rd2+ 2dRdr+_2 ( + 1)R = 0 (4.7)denklemineulasrz.BudenklemBesseldiferansiyeldenklemidirvekuvvetserisimetoduilec oz ul ur.Budenkleminbirbirindenbagmszikic oz um uvardr;1. 0da

olarak sonlu davranan ve j

ile gosterilen k uresel bessel fonksiyonu2. 0da(+1)olarakraksayanc oz umler.Buc oz umlern

()ilegosterilirvek ureselneumanfonksiyonudiyeadlandrlr.J

() =_2J+12() Jyartektamsayl Besseln

() =_2N+12() Nyartektamsayl NeumanAsa gdailkikik ureselbesselveneumanfonksiyonlaryeralmaktadr.J

() n

() (4.8)J0 () =sin n0 () = cos (4.9)J1 () =sin cos n1 () = cos sin (4.10)J

()ven

()ninlineerbilesimleri dec oz umd ur. Boylece(3.2.4)denkleminin(Besseldenkleminin)engenelc oz um u;RI

= A

J

() + B

n

() (4.11)70 BOLUM4. C EKIRDEKKUVVETLERIAncakburada (r) 0icinn

desonluolmaldr. BununicinB=0olmaldr(c unk ur 0dan

sonsuzoluyor).Yanigenelc oz um;R

= A

J

(k1r) (4.12)IIbolgededeayndegisimiuyguladgmzdadenklem;2d2Rd2+ 2dRdr+_2 ( + 1)R = 0 (4.13)Budenkleminc oz um udedigerdenklemin(Ibolgedenkleminin)c oz um uylecokbenzerdir.RII

(r) = C

J

(k2r) + D

n

(k2r) (4.14)(4.14) genel c oz um un ubasitlestirmekicinC

=C

cos

ve D

= C

sin

yazacagz.Budenklemler(4.14)denklemindeyerlerineyazlrsa;RII

(r) = C

[cos

J

(k2r) sin

n

(k2r)]halinialr. = 0icinc oz umleryaplrsa;RI0 (r) = A0sin k1rk1r(4.15)RII0(r) = C0_cos osin k2rk2r+ sin 0cos k2rk2r_(4.16)RII0(r) =C0k2r sin (k2r + 0) (4.17)(4.15) ve(4.17) denklemlerinevebirinci t urevlerinesnrsartn (r=R) uygu-larsak;RI0 (r) [r=R= RII0(r) [r=RvedIR0(r)dr[r=R=dIIR0(r)dr[r=RA0k2 sin k1R = C0k1 sin (k2R + 0) (4.18)Digersnr sartndan;4.2. DOTERONATOMU 71A0k2k1Rcos k1R A0k2 sin k1R = k1 [k2Rcos (k2R + 0) sin (k2R +0)] (4.19)(4.18),(4.19)denklemindeyerineyazlrsa;A0 cos k1R = C0 cos (k2R + 0) (4.20)(4.20)denklemini,(4.19)denkleminebolersek;k1 cot k1R = k2 cot (k2R + 0) (4.21)Budenklem =0, r, E0dadoteronunenerji seviyesini verir. BudenklemV0veRarasndaki iliskiyi verir. Budenkleminc oz um uancakn umerikolarakyaplabilir.Doteronunkuyununtepesinenekadaryaknoldugu sekildengor ulebilir.Egern ukleon-n ukleonkuvvetibirazdahazayfolsayddoteronunbagldurumumevcut olmayacakt. Doteron, g unes enerjisinin meydana gelmesini saglayan proton-protonf uzyoncevrimininilkbasamagdr.72 BOLUM4. C EKIRDEKKUVVETLERIBol um5TEMELNUKLEERMODELLERNotronun1932ylndaChadwicktarafndankesndensonraHeisenbergcekirde ginicinde protonve notronlarnbulundugunuve bunlarnbir n ukleer kuvvetle bir-birinebagloldugunusoyledi. Otuzluyllardapekcokn ukleerk utleAston(Ingilizzikci Francis Williams Aston, 1877-1945) tarafndanolc uld uve n ukleonbasnabaglanma enerjisinin yaklask olarak sabit oldugunu gord u. Yllar yl arastrlmasnaragmen cekirdek kuvveti elektromanyetik kuvvet kadar iyi anlaslamams ve cekirdekyapsnn kuram, atom yapsnn kuramna gore hen uz tamamlanmamstr. C ekirdekkuvveti tam olarak anlaslmasa bile cekirdek ozelliklerinin ve davransnn belli baslyonlerini acklayacakcekirdekmodelleriningelistirilmesindeilerlemesaglanmstr.Asagdabumodellerinbazlaracklanacaktr.5.0.2 SvDamlasModeliBu model cekirde gin ozelliklerini acklamak icin kullanlan ilk modeldir. (Von Weiz-sacker1935)1. C ekirdegink ureselolmas,2. N ukleon basna d usen baglanma enerjisinin Periyodik tablonun b uy uk birbol um undesabitolmasnn,3. N ukleer maddenin k utle yo gunlu gunun Periyodik tablonun b uy uk bir bol um undesabitolmas,7374 BOLUM5. TEMELNUKLEERMODELLERozelliklerinin sv damlasnn ozelliklerine benzemesinden yola cklarak bu modelgelistirilmistir. Bumodelinongord ug uyar deneysel baglanmaenerjisi bagntscesitlidegisikliklerdensonra suhalialmstr:Eb= Eh +Ey + Ec + Ea +Ec(5.1)= a1A a2A2/3a3Z(Z 1)A1/3a4(A 2Z)2Aa5A3/4(5.2)Denklemde yer alankatsaylar: a1=14.1MeV, a2=13.0MeV, a3=0.59MeV,a4=19.0MeV,a5=33.5MeV.Buifadeninterimlerini su sekildeacklayabiliriz.Ehhacim terimi: Bu terim her bir n ukleonun t um etrafnn n ukleonlarla cevriliolduguvarsaymnadayanlarakyazlmstr.Ikin ukleonarasndakibaglanmaener-jisi U olarak d us un uld u g unde n ukleon basna d usen baglanma enerjisi12Uolarak bu-lunur. Bir n ukleon enk uc uk hacmikaplayacak sekilde paketlendi ginde 12 n ukleonatemas edeceginden sahip oldugu baglanma enerjisi 6U olarak elde edilir. Bir cekirdektekiAtanen ukleonunhepsininicteolmasdurumunda,cekirde ginbaglanmaenerjisi:Eh= 6AUolacakt. EhenerjisihacimenerjisiolarakanlrAiledogruorantldrvebasitceEh= a1AUseklindeifadeedilir.EYY uzeyterimi: Bu terim n ukleonlarn t um un un ortada olmamasndan yanibir ksmnn y uzeyde olmasndan dolay hacim terimi icin eklenen d uzeltme terimidir.Gercekte, cekirdeginbaz n ukleonlar sekilde gor uld ug ugibi 12 dendaha azkomsuyasahiptir.Bu t ur n ukleonlarn says, cekirdek y uzeyinin b uy ukl u g une bagldr. R yarcaplbircekirdeginy uzolc um u4R2=4R20A2/3dir. Dolaysyla, bagsays enb uy ukdegerdenazolann ukleonlarnsays,A2/3ileorantlolupbu,baglanmaenerjisiniEy= a2A2/3kadarazaltr. Negatif Eyenerjisi bircekirde giny uzeyenerjisi diyeanlr. Buencok, haf cekirdeklerde onemlidir; c unk ubunlardan ukleonlarndahab uy ukbir75S.ekil 5.1: Y uzeydeki n ukleonlar, cekirde ginicksmndakileregoredahaazsaydan ukleonla etkilesir buy uzdenbaglanma enerjisi daha azdr. cekirdekne kadarb uy ukse, y uzeydeki n ukleonlarnsays okadar azdr. (ModernFiziginKavram-lar,ArthurBeiser)kesri y uzeydedir. Dogal sistemler her zaman en d us uk potansiyel enerjili yerlesimleredogru gittiklerinden, cekirdekler en b uy uk baglanma enerjili yerlesimlere dogru gider-ler. Dolaysyla, bir cekirdek, bir sv damlasyla ayn y uzey gerilimi etkilerinigosterecek ve diger etkilerin yoklu gunda k uresel olacaktr, c unk u, verilmis bir hacimicinend us uky uzolc um unesahiptir.EcCoulomterimi: Buterimpotansiyelenerjidendolaybaglanmaenerjisinegelen katky gosterir. Bir cekirdekteki her proton cifti arasndaki elektriksel itmedebaglanma enerjisini azaltmaya katkda bulunur. Bir cekirde gin EcCoulomb enerjisi,Ztaneprotonusonsuzdancekirdekb uy ukl u g undebirk uresel toplulugagetirmekicin yaplmas gereken istir. Birbirinden ruzaklgndaki bir cift protonun potansiyelenerjisi s oyledir:V= e240rZ(Z-1)/2taneprotonciftioldugundanEc=Z(Z 1)2V= Z(Z 1)e280_1r_ortbulunur. Burada (1/r)ort , 1/r nin b ut un proton ciftleri uzerinden ortalamas alnmsdegeridir. Protonlar Ryarcapl bir cekirdek icine d uzg unolarak daglmslarsa(1/r)ort1/Ryedolayisiyla1/A1/3ileorantldr:Ec= a3Z(Z1)A1/376 BOLUM5. TEMELNUKLEERMODELLERCoulombenerjisi, negatiftir. C unk ucekirdek kararll gna karst bir etkidendolayortayackmstr.EaAsimetri terimi: Bu terim Z,=N durumunda baglanma enerjisinde meydanagelen azalmay gosterir. Z,=N durumunda ikisinin esit oldugu durumdakinden farklolarakdahay uksekteki enerji durumlar doldurulur.Iki enerji seviyesi arasndakadar farkoldugunuvarsayarsakA

y degistirmedenN Z=8gibi bir notronfazlalg olusturmakistersek, N=Zolanbir cekirdekte12(N-Z) =4notronunprotonlarnyerinegecmesi gerekir. Yeni notronlar, yerlerinegectikleri protonlaragore enerjileri 2 = 4e/2kadar y uksek olan d uzeylere yerleseceklerdir. Yeni notronsaysnn1/2(N Z)oldugu genel durumda, her bir notronun enerjisi1/2(N Z )/2kadarartacaktr. Gerekentoplamis soylebulunur:E= (yeni notronlarin sayisi)_enerjideki artisyeni notron_=_12(N Z)_ _12(N Z)2_ =8(N Z)2N=A-Zoldugundan(N-Z)2=(A-2Z)2veE=8(A 2Z)23.2.9bulunur. Bir cekirdekteki n ukleonlarnsays ne kadar b uy ukse, enerji d uzey!eriarasndaki aralg okadar k uc ukolup, 1/Aile orantldir. BusebeptenNileZarasndakifarktandoganEaasimetrienerjisi s oyleyazilabilir:Ea= E= a4(A 2Z)2A3.2.10Asimetrienerjisinegatiftir,c unk u,cekirde ginbaglanmaenerjisiniazaltr.Ecciftlenmeterimi: Bu terim iki ayn n ukleonun ayn olmayanlara gore dahakuvvetlibaglanmasndankaynaklanr. Ecciftlenmeenerjisicift-ciftcerkideklericinpozitif,tek-ciftvecift-tekcekirdeklericin0,tek-tekcekirdeklericinsenegatifdegeralr.Ec= (, 0)a5A3/43.2.11775.0.3 3.2.2-KabukModeliKabuk modeli uzerine kurulan atom teorisi, atom yapsnn karmask yapsn acklamaktacokbasarl olmustur. Bumodelde kabuklar giderekartanenerjili elektronlarla,Pauli prensibineuyacaksekildedoldurulur. Endstaki tabakanndolulukoran,atomun davransnn baz onemli taraarn belirler. Model, atomik ozelliklerin esasolarakdegerlilikelektronlar tarafndanbelirlendigi varsaymnadayanr. Atomiksistemlerin, olc ulen baz degerleri modelin ongord ukleri ile karslastrld gnda b uy ukbiruyumicindeoldugugor ul ur.Proton ve notronun ayrma enerjileri yar deneysel baglanma enerjisi form ul u ilehesaplanan degerlerden sapmalar gostermesi, n ukleer kabuklarn varlgn destekleyenkantlardanbiridir. Ayrlmaenerjisi, atomikiyonlasmaenerjisi gibi NveyaZiled uzg unolarakartar. Ayrlmaenerjilerindekianivekesiklidavranslaraynprotonvenotronsaylarndaortayackar. Busaylara(NveyaZ=2,8,20,50,82ve126)sihirlisaylardenir.cekirde gin kabuk modeli, sihirli saylarn varl gn ve baz diger cekirdek ozelliklerini,n ukleonlarn bir ortak kuvvet alanndaki davranslaryla acklama yon unde bir girisimdir.Kabukkuram L.Sciftlenimininsadece l degerlerinink uc ukolduguenhafcekirdekler icingecerli oldugunukabul eder. Bumodelde, ilgili parcacklarn Siicsel spinacsal momentumlar, bir Stoplamspini olusturmak uzerebirbirleriyleeslesirler. Liyor ungeacsal momentumlar, bunlardanayr olarakbir Ltoplamyor ungemomentumuolusturmak uzerebirbirleriylebaglasrlar. DahasonraSveL, birbiriylebaglasarak, b uy ukl ug u_J(J+ 1) holanbirJtoplamacsal momen-tumunuolustururlar.Biraraetkilesimbiciminingecerlioldugubirgecisbolgesindensonra,dahaagrcekirdekler jj etkilesimi gosterirler. Budurumdaonceher parcac gnSiyeLisibaglasarak, o parcackicinb uy ukl u g u_J(J+ 1) holanbir Jiolusturur, sonradegisikJiler birbiriylebag1asarakJtoplamacsal momentumunuo1usturur1ar.jjetkilesimicekirdeklerinb uy ukbircogunlu guicingecerlidir.Kabuk modeli sihirli saylardan baska, bircok cekirdek olgusunu da acklar. oncelikle,ztspinliikiparcacktarafndandoldurulabilenenerjialtd uzeylerininvarl gciftZveciftNlicekirdeklerinbollukegiliminiacklar.Kabuk modeli cekirdek acsal momentumlarn da onerebilir. cift-cift cekirdeklerde,78 BOLUM5. TEMELNUKLEERMODELLERb ut un proton ve notronlar, birbirlerinin spin ve yor unge acsal momentumlarn yokedeceksekilde ciftlenmelidirler. Dolaysylacift-cift cekirdeklerincekirdekacsalmomentumlar gozlendigi gibi sfrolmaldr. cift-tekvetek-ciftcekirdeklerde, tekbasna kalan artk n ukleonun bucuklu spini, cekirde gin geriye kalan ksmnn tamsay acsal momentumuylabirleserekyarmtamsayl birtoplamacsal momentumverir. Tek-tekcekirdeklerinherbirininbirfazlanotronuvebirfazlaprotonubu-lunup bunlarn yarm tamsayl spinlerini verece gi toplam acsal momentum tamsayolur. Buongor uyleherikisidedeneyledogrulanmstr.Spin-yor ungeetkilesmesi icinuygunbirye ginlikkabul edildiginde, heriki snfn ukleonundaenerji d uzeyleri Sekil 3.2.2degosterildi gi gibi dizilir. D uzeyler; n,toplam kuantum saysna esit olan bir onsay, o d uzeydeki her parcack icin l degerinialslagelmisbicimde(l=0,1,2,3,4. . . yekarslkgelmek uzeresrasylas,p,d,f, g,. . . ) belirtenbirharf vejyeesitolanbiraltindislegosterilir. Spin-yor ungeetki1esmesi, belli bir jye karslk gelenher durumu, Jinin2j+1 tane m umk unyonelimi oldugundan, 2j+1 alt duruma yarar. Ayr ayr tabakalar kavramyla uyumicindekiaralklarla,d uzeylerinbirbirineolanuzaklklarndab uy ukenerjibosluklarolusur. Her cekirdektabakasndaki cekirdekdurumlarnnsays, y ukselenenerjisralandrmasyla2,6,12,8,22,32,ye44t ur. Dolaysylatabakalar,bircekirdekte2,8,20,28,50,82ye126notronveyaprotonbulundugundadolmustur.5.0.4 3.2.3-KolektifModelAage Bohr ve Ben Mottelson tarafndan ortaya atlan Kolektif model daha once an-latlan sv damlas ve kabuk modelin birlestirilmesi sonucu olusmus, basarl sonu clarverenbirmodeldir. Bumodel;kabukmodelindegor ulen,cekirdeklerinmanyetikvekuadropol momentlerini belirlemedeki eksiklikleri, baz cekirdeklerinuyarlmsen-erji seviyeleri icinbeklenendegerlerindemeydanagelenhatalar giderilir. Bununyannda cift- cift olmayan b ut un cekirdeklerin k uresel olmayan sekilleri ile donen bircekirdeginmerkezkackuvvetindendogan sekilbozukluklarndahesabakatar.Asa gdaki sekillerde(Sekil3.2.3ve3.2.4)cift-ciftcekirdeklerinkolektifdavransicerendortfarkl ozelligi gosterilmistir.Ilk2+uyarlmsdurumunun(Sekil 3.2.3)enerjisinin Ann fonksiyonu olarak oldukca d uzg un bicimde azaldg gor ulmektedir.A=150 ile A=190 arasndaki bolgede E(2+) degerleri hem cok k uc uk hem de sabittir.79S.ekil5.2: Kabukmodelinegoren ukleonenerjid uzeylerininsralans(olceklidegil)Sagdaki s ut undaki saylargozlenensihirli saylarakarslkgelir. (ModernFiziginKavramlar,ArthurBeiser)80 BOLUM5. TEMELNUKLEERMODELLERYine, kapal kabuk yaknndaki cekirdekler haric E(4+)/ E(2+) oranlar (Sekil 3.2.4)A=150denk uc ukcekirdeklericinkabaca2,0ve150A190ileA230bolgelerinde3,3degerinesahiptir.S.ekil5.3: cift-Z,ciftNlicekirdeklerinend us uk2+durumlarnenerjileri.Izotoplard uzcizgilerlebirlestirilmistir. (N ukleerFizik,K.S.Krane)Daha once Kabuk modelinin, N=126nn bir notron sihirli say oldugu yolundakiong or ugozlemleuyumicindedir. Fakat, Z109olancekirdekler bilinmedigindenZ=126ninbir protonsihirli says olupolmadg dogrulanamamaktadr. Hatta,Z= 82den sonraki proton sihirli saysnn, cekirdekteki protonlarn Coulomb potan-siyelenerjilerindendolay,Z=126dank uc ukolmasolaslgvardr. B uy ukZicinbuenerji, cekirdekpotansiyel enerjisinegoreonemkazanr. Coulombpotansiyeli,d us ukl li protond uzeyleri uzerindedahab uy ukbiretkiyesahiptirc unk u, boyled uzeylerinolaslkyogunluklarnnarttg cekirdekmerkezi civarndadahakuvvet-lidir. Sonuctaprotond uzeylerininsrasZ=114 ubirprotonsihirlisaysyapacaksekildedegistirir.Kollektif model bu sonucu biraz daha degistirerek Z=110un Z=82den sonrakiprotonsihirlisaysicindahaiyibiradayoldugunuileris urer. DolaysylaZ=110(veya110ile114arasnda)veN=184olanbircekirdekikikezsihirlivedigeragrcekirdeklerdendahakararl olmaldr. Boylebircekirdekveyacekirdeklerdogadaveyalaboratuardahen uzbulunamamstr.81S.ekil 5.4: cift-Z, cift-N li cekirdeklerin en d us uk 2+ve 4+durumlarnnE(4+)/E(2+) oran k utle numarasna karslk gosterilmistir.Izotoplar d uz cizgilerlebirlestirilmistir. (N ukleerFizik,K.S.Krane)82 BOLUM5. TEMELNUKLEERMODELLERBol um6N ukleerReaksiyonModelleri6.1 NUKLEERREAKSIYONMODELLERIBubol umdeasagdaki konularislenecektir. YaklasimMetodlari, BornYaklasm,GlauberYaklasm,BozulmusDalgaBornYaklasm(Dwba),ReaksiyonModelleri,DifraksiyonModelleri,Fraunh oferDifraksiyonu,FresnelDifraksiyonu,OptikModel(ElastikSaclma),DoubleFoldingModeli6.1.1 BORNYAKLASIMIMerkezi birpotansiyeldensaclmadurumundaSchr odingerdenklemininc oz um un uintegralformdayazmakm umk und ur:Lk(r)(r) = U(r)(r) (6.1)yazlabilir. Burada Lk(r) = 2+k2dir. Denk.3.1. i soldan L1k(r) ile carpp integreedilirvec oz umdalgafonksiyonunahomejenc oz umde(V=0)eklenirse:(r) = k(r) +_U(r

)(r

)L1k(r)(r

r)dr

(6.2)Eldeedilir. Buradak(r) = eikrhomojenc oz umd ur. Burada,L1k(r)(r

r) = Gk(r r

) (6.3)BuradaGk(r r

)ifadesiGreenfonksiyonudur. Greenfonksiyonununozelliklerivediracdeltafonksiyonununintegralbicimidikkatealnrsa,8384 BOLUM6. NUKLEERREAKSIYONMODELLERIGk(R) =14i2R_qeiqRk2q2dq,

R = r

r

(6.4)eldeedilir. Buintegralrezid uteoremiyardmylacoz ulebilirveq= +kicinzikselolarakanlamldr. Buradan,G+k (r r

) = 14eik|rr

|[r r

[(6.5)eldeedilir. Buifadedenk.3.2deyazlarak,+k (r) = k(r) 14_eik|rr

|[r r

[U(r

)+k (r

)dr

(6.6)Buifadedahaonceifadeedilenasimtotikformun(denk.2.21)integral halidir.rninb uy ukdegerlerinde,1rr

1rvek[r r

[ kr k.r

yaklasm yaplabilir.Buradak

,knnb uy ukl u g undeveryon undebirvekt ord ur. Budurumda,+k (r) = k(r) eikr4r_eik

.r

U(r

)+k (r

)dr

(6.7)Buifadedenk.2.21ilekarslastrlaraksaclmagenligi,f(, ) = 14_eik

.r

U(r

)+k (r

)dr

(6.8)elde edilir ki bu daha once ksmi dalgalar metodu ile elde ettigimiz saclma genligindenbaskabir seydegildir. Buifade de eksponansiyel teriminksmi dalgalar formuyazlarak,denk.1.30eldeedilebilir.Bornyaklasmnagore, V potansiyeli gelenparcac gnenerjisinegoreyeterincezayfsasaclmadalgalarnngenligindeki degisimk uc ukolur. Ohaldesaclandal-galartemsileden+k (r)yerinegelend uzlemdalgalaralnabilir. Buyaklasmagoresaclmagenligi,fBA(, ) = 14_eik

.r

U(r

)eik.r

dr

(6.9)BuifadeBornyaklasmolarakbilinir.Saclmagenligi potansiyelink uresel simetrikolmas sebebiyleazimutal acdanbagmszdr. Sekil 3.1 den =

k

k

yazlabilir. Elastiksaclmadurumuicin([k[ = [k

[ = k), = 2k sin(2)bagntsyazlabilir.6.1. NUKLEERREAKSIYONMODELLERI 85S.ekil6.1: Gelenvesaclandalgavekt orlerinintemsiligosterimi.6.1.2 BOZULMUSDALGABORNYAKLASIMIBozulmus dalga Born yaklasm (DWBA), Potansiyeli iki potansiyelin toplam, (U=U1+U2) olarak ele alr. oyle ki U2potansiyelinin ilk Born yaklasmndakine benzerolarakU1egorezayfoldugunud us un ur. Buyaklasmicinozde gerdenklemi,[2+k2U1(r)]1(k, r) = 0 (6.10)Bu denklemin coz umdalga fonksiyonu 1(k, r)dalga fonksiyonu, +1 (k, r) ve1 (k, r) dalga fonksiyonlarnn s uper pozisyonu olarak yazlabilir ki, +1 (k, r) d uzlemdalgavegidensaclmsk ureseldalgalarntoplamdr. 1 (k, r)ised uzlemdalgavegelen saclms k uresel dalgalarn toplamn temsil eder. Bu dalgalar kendi aralarndazamantersinirdir. Yani,1 (k, r)=[+1 (k, r)]Bornunilkyaklasmnabenzertarzdaengenelcoz um,(k, r)r+1 (k, r) eikr4r_[1 (k

, r

)]U2(r

)(k, r

)dr

(6.11)BuifadeilkBornyaklasmndakinebenzerolarakdenk2.21ilekarslastrlrsaV2potansiyelindendolayolusansaclmagenligi,f2(, ) = 14_1 (k

, r

)U2(r

)(k, r

)dr

(6.12)U2potansiyeli U1potansiyeliylekarslastrldgndacokzayftr. DolaysylaU2den saclan dalgalarn genligindeki degisme cok k uc uk olacag icin U1+U2den saclandalgalar temsil eden(k, r

) yerine U1densaclandalgalar, +1 (k, r) (bozulmusdalga) kullanlabilir. (DWBAyaklasm). OhaldeU2potansiyelindensaclmaytemsiledensaclmagenligi,86 BOLUM6. NUKLEERREAKSIYONMODELLERIf2(, ) = 14_1 (k

, r

)U2(r

)+(k, r

)dr

(6.13)Toplamsaclmagenligi U1veU2potansiyelindendolay olusansaclmagenlik-lerinintoplamdr,yanif(, ) = f1(, ) + f2(, )Ohalde,fDWBA(, ) = f1(, ) 14_1 (k

, r

)U2(r

)+(k, r

)dr

(6.14)Buyaklasmmetoduelastik, inelastik ve yenidend uzenleme reaksiyonlarnauygulanabilir. U1potansiyelindensaclma elastik saclmay, U2potansiyelindensaclmainelastiksaclmayacklar.Aslnda burada yaplan bir nevi pert urbasyondur ve istenirse Upotansiyeli bircokpotansiyelin toplam olarak yazlr ve pert urbasyonun derecesi artrlms olur. Bunudahaiyi anlayabilmekicinBornserisini eldeedelim; bununicinSchrodingerden-kleminiGreenoperator uformundayazpitereedelim:(E H0)= V = (E H0)1= G0(E)V (6.15)BuradaG0(E)Greenoperator ud ur. Buifadeyehomejencoz umilaveedilipitereedilirse,= +G0V = + G0V + G0V G0V + ... (6.16)Buifadedenk. 3.8deyazlrsasaclmagenligi,f(, ) =m2 h2__drei

k

.rV (r)ei

k.r_dr_dr

ei

k

.rV (r)G0(r, r

)V (r

)ei

k.r

+..._(6.17)Boylecesaclmaserisieldeetmisolduk(BornSerisi). BuserininilkterimiBornyaklasmicinbuldugumuzsaclmagenligidir.Ilkterimelastikkanaldansaclmayacklarkendigerterimlerinelastikkanallar-dansaclmay acklar ki buciftlenimkanallar modelinebenzer. Optikmodel iseelastiksaclmapotansiyeliniV ileinelastiksaclmapotansiyelini(Kaypak)Wiletemsiledilir.Born yaklasmnn gecerli olabilmesi icin ya potansiyel cok sg olacak yada gelenparcacgnenerjisicoky uksekolacaktr. Dahagenelbirifadeyle,6.1. NUKLEERREAKSIYONMODELLERI 87S.ekil6.2: Gelensnnbircokpotansiyeldensaclmasnntemsili sekli.[V0[E R icin V (r) = 0 degerini alr.Bupotansiyelicinsaclmatesirkesiti,f() = V0R_0sin rr4r2dr = 4V0R3(sin R Rcos R)(R)3(6.22)buradansaclmatesirkesiti,dd= C(sin R Rcos R)2(R)6(6.23)olur. BuradaC= (2h2)2162V20 R6dr.Kare kuyu potansiyelinden saclma optikteki difraksiyon sekline benzerdir. Fakatpotansiyel koselerinden hafce degisiyorsa, (Gaussyen potansiyeli gibi) Optik difrak-siyonla benzesim bozulur.Ikinci ve diger maksimumlar bozulur yada gor unemeyecekkadark uc ukolur.6.1.4 OPTIKMODELN ukleer reaksiyonlar acklamak icin gelistirilen modellerden biri de optik modeldir.Gelenparcackkompleks hedee etkilesmesi srasnda gelenaknn(Ji)bir ksmhedenuyarlmasndandolay inelastikkanallaragidersondurumdaisegidenakgelenakdanuyarlmann siddetioranndaazdr. Boylebirgerce gimodellemekicinreel etkilesimpotansiyeli yeterli degildir. Bununicinoptikmodel gelistirilmistir.Optikmodel uyarlmskanallarlaetkilesimi temsil edensanal potansiyel kullanr.6.1. NUKLEERREAKSIYONMODELLERI 89BumodelegoretoplametkilesimpotansiyelikomplekstirveVop= V+iWseklindetemsil edilir. Gor uld ug ugibi optikmodel aknnhangi kanallaravenekadarmik-tardagittigi ileilgilenmezsadeceuyarlmskanallaragidennetak hakkndabilgiverir.Oncekibol umdeelastiksaclmateorisiniyarklasikyollaincelemistik. Bumod-elintekfarkn ukleerpotansiyelikompleksalmasdr. RadyalSchr odingerdenklemibudurumda,d2Uldr2+_2m h2(E Vop(r) l(l + 1)r2)_ul= 0 (6.24)BuradaV (r)artkkomplekspotansiyeldiryani,Vop(r) = V (r) + iW(r) (6.25)seklinde sanal ve reel potansiyelde olusmaktadr. Bizimamacmz budenklemicozerek saclma matriks elementini elde edip buradan diferansiyel tesir kesitineulasmaktr. Denk3.25, (r < R) iken yani saclma merkezi civarnda potansiyel setininparametreleri cok onemlidir. (r < R) iken ise yani saclma merkezinin dsnda ihmaledilebilirc unk uCoulombalannnolmadgn d us un uyoruz. Budenklemi analitikyollac ozmekzorolduguicinn umerikyontemlerkullanlr. Denklemingenelcoz umformu,Ul(r) = Fl(r) + iGl(r) + Sl[Gl(r) iGl(r)] (6.26)BuradaFl(r) =krjl(kr) k uresel Bessel fonksiyonlardr. Gl(r) = krl(kr)Neumannfonksiyonlardr. Fl(r) + iGl(r)gelendalgalar,Gl(r) iGl(r)gidendal-galar temsil eder. Bu da aslnda aslnda daha once elde ettigimiz asimtotik formunozel fonksiyonlarcinsindenifadeedilmesindenbaskabirseydegildir. Bucoz umesnrkosullar uygulanaraksaclmamatrikselementi bulunabilir. Boylecesaclmagenligif()vediferansiyeltesirkesitibulunabilir. PotansiyelkompleksolduguicinSmatriksvedolaysyladalgafonksiyonukompleksdir. Matrikselementinl =0dan lmaksa kadar hesaplanmas gerekir. Normalde dalga fonksiyonu l = 0 dal l = akadardr. Fakatmaksimumacsal momentumkuantumsaysnn uzerindekimsidalgalarfarkedilirdaglmasahipdegildir. Saclmagenligi,diferansiyeltesirkesiti,reaksiyontesirkesitidahaonceeldeettigimizformlaayndr.90 BOLUM6. NUKLEERREAKSIYONMODELLERISimdimodeligerce gebirazdahayakntanmlamayacalsalm. Mermivehedefcekirdeginy ukl uolduklarn kabul edelim. Dolaysylasaclmagenligi dahaonceeldeettigimizdenfarkl olacaktr. Toplamkompleks potansiyel busefer, V (r) =Uop + VColacaktr. Coulombpotansiyelininformunucokiyi biliyoruz. Budurumicindalgadenklemi rRicinartk Coulomb potansiyelinin etkisi dikkate alnmaldr. Coulomb alannn varl gndasaclmagenligi,f() = fC() +12ikl=

l=0(2l + 1)(Sl1)e2ilPl(cos ) (6.27)Seklinde verilir. Denklemdengor uld u g ugibi Coulombalan n ukleer saclmagenligini e2ilkadaretkilemektedirvetoplamsaclmagenliginefC()kadarlkbirkatk getirmektedir. BuradalCoulombfazfarkdr. fC()iseCoulombsaclmagenligidir. vefC() = 2k cos ec22 exp[2i02i ln(sin 2)] (6.28)=mZpZTe2k h2vee2i0=(1 + i)(1 i)(6.29)Coulombfazfarkna,l+1() = l() + tg1(l + 1) (6.30)Tekrarlama bagnts ile elde edilebilir. Burada 0 en d us uk Coulomb faz farkdr.Reaksiyontesirkesiti,R=k2

l(2l + 1)[1 [Sl[2] (6.31)Seklindedahaonceeldeedilenleayndr.saclmamatriks elementi (dolaysylafaz fark ) ve lbulunarak saclma genligi elde edilebilir. Buradan da diferansiyeltesirkesitineulaslr.6.1.5 SpinliParcacklarIcinOptikModelGelenparcacklarnspinesahipolmasdurumunda,gelenparcacgnspiniilehedefarasnda bir spin-yor unge etkilesmesi dogar ve bunu temsil eden fenomonolojik6.1. NUKLEERREAKSIYONMODELLERI 91potansiyel,VS(r) = V

S(r)

L.

S= ( hmc)2(US + iWS)1rdfdr

L.

S (6.32)seklindeverilir.Bizburadamerminins =12spinliparcacklaroldugunufarzedereksaclmatesirkesitineulasmakistiyoruz. Engenel dalgafonksiyonuradyal, acsal vespindalgafonksiyonlarnntoplamolacagasikardr. =

jlmUjl(r)rCjlsmilYl(, )s(6.33)Burada sspin fonksiyonu ve Cjlsm Clebsch-Gordon katsays ve Yl(, ) k ureselharmoniklerdir. Raydal denklemher l degeri icinspinebagl olarakiki ksmdaincelenebilir. Yani,d2U+ldr2+_2m h2[E VC(r) V (r) lV

s(r)] l(l + 1)r2_U+l= 0 (6.34)d2Uldr2+_2m h2[E VC(r) V (r) (l + 1)V

s(r)] l(l + 1)r2_Ul= 0 (6.35)BuradaU+lveUliki spinyonelimleri icinradyal Schr odingerdenklemleridir.Gor uld u g u gibi

L.

Sspinlerin yonelimine bagl olarak l ve (l +1) seklinde iki degeralmaktadr. BudenklemlerdeneldeedilensaclmatesirkesitiA() = fC() +12ik

l_(l + 1)S+l+lSl(2l + 1)e2ilPl(cos ) (6.36)B() =12ik

l(S+lSl)e2ilP1l(cos ) (6.37)BuradaP1l(cos )asosiyeLegendrepolinomudur. Diferansiyeltesirkesiti,dd= [A[2+[B[2(6.38)vesaclansnlarnpolarizasyontesirkesiti,

P=2Im(AB)[A[2+[B[2 nve n =

kix

kf[

kix

kf[(6.39)92 BOLUM6. NUKLEERREAKSIYONMODELLERIBuform ulpolarizeolmamsgelenparcacklarnetkilesimineuygundur. Absorp-siyontesir kesiti, gidenparcacklarny ukl uolmamas durumundaelastiksaclmatesirkesitivetoplamtesirkesitisraile,A=k2

l_(l + 1)(1 [S+l [2) + l(1 [Sl [2)(6.40)e=k2

l_(l + 1)[1 S+l [2+ l[1 Sl [2(6.41)T=2k2

l_(l + 1)(1 ReS+l) + l(1 ReSl)(6.42)seklindeverilir.6.1.6 OptikPotansiyelinozellikleriN ukleer reaksiyonmodellerini inceledigimizde temel problemindeneysel datalareniyi sekildet edecekpotansiyel setini bulmakoldugunugor ur uz. Potansiyel-leri dikkate aldgmzdaCoulombpotansiyeli VCve merkezcil potansiyelinVcent.,ozelliklericokiyibilinmektedir.fakatn ukleerpotansiyelinsekliveparametreleriiyibilinmemektedir. Temel problemaslndabupotansiyelinbelirlenmesidir. N ukleerpotansiyelinvedigerpotansiyellerinnitelozelliklerineburadadeginmekisteriz.N ukleerpotansiyelkompleksolmakzorundadr,yaniicerisindesanalpotansiyelbarndrmaldr. [S[ = 1icinabsorpsiyonolmadgicinSmatrikherzaman [S[ 1olmas gerekir. Sanal potansiyelinW(r) her yerdenegatif olmas gerekli olmaklabirlikteyalnzsaclmadalgasylaherjdegeriicinintegralinegatiftir[1]._[j(r)[2W(r)dr 0 (6.43)olmaldr. Burada j(r) uygun saclma dalga fonksiyonunun radyal ksmdr. Bircokdurumda absorpsiyon potansiyeli y uzey yaknnda pik yapar. Dolaysyla etkilesmeniny uzeydeoldugunud us unmekyanlsolmaz.Icerdekin ukleonlaretkilesimekatlmazsadece degerlik n ukleonlar etkilesime katlr. Fakat gelenparcack enerjisi coky ukseksesanalpotansiyelreelpotansiyelformunayakndavranr.N ukleerpotansiyellerenerji bagmldr. Sanal potansiyel enerjiyartarkentipikolarakartar, yani gelenparcacgnenerjisi arttkcauyarlmskanallarnsays art-makta,dolaysylabuetkilesimitanmlaynsanalpotansiyelinsiddetiartmaktadr.6.1. NUKLEERREAKSIYONMODELLERI 93ReelpotansiyeldekidegismeozellikleCoulombbariyericivarndaanormalderecedegozlenirkibunudahasonratartsacagz.Optikpotansiyelprensiptenonlocalolmaklabirliktegeneldelocalformdakabuledilir. Mermi ve hedef arasndaki antisimetrizasyon nonlocalligin onemli bir kayna gdr.N ukleon- cekirdek sistemleri icin Hartree-Fock potansiyeli buna ack bir ornektir [2].