num reales 2010
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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Se llama el Sistema de Números Reales, a un conjunto
no vacío R, dotado de 2 operaciones internas, la adición
y la multiplicación, y se denota así:
< R , + , >
donde se considera una relación de orden mayor denotado
por “ > ” que satisface los siguientes axiomas:
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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Axiomas de Adición
A.1. Si a,b R (a + b ) R ................... ..... Clausura.
A.2. a + b = b + a a,b R .........................Conmutativa.
A.3. (a + b) + c = a + (b + c ) ; a,b,c R ................ Asociativa.
A.4. Existe 0 R / a + 0 = 0 + a= a ; a R .........Elemento neutro aditivo.
A.5. a R ; (-a) R / a + (-a) = (-a) + a = 0 ........... Inverso aditivo.
Axiomas de Multiplicación
M.1. Si a,b R a.b R ........................ Clausura.
M.2. a.b = b.a ; a,b R ........................ Conmutativa
M.3. (a.b).c = a.(b.c) ; a,b R ........................ Asociativa
M4. 1 R / 1.a = a.1 =a ; a R ....................... Elemento neutro mult.
M.5. a R , con a o , a-1 R / a-1.a = a.a-1 =1 ..... Inv. Mult.
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Axiomas Distributivas respecto a la adición
D.1. Si a,b,c R a.( b + c) = a.b + a.c ......... Distributiva por la izquierda.
D.2. Si a,b,c R ( b + c).a = b.a + c.a ....... Distributiva por la derecha.
Axiomas de Igualdad.
I.1. a = a .................. . (Reflexiva)
I.2. Para a,b R a = b ó a b ................. ( Dicotomía )
I.3. Si a = b b = a ....................( Simetría )
I.4. Si a = b b = c a = c .................... ( Transitiva )
I.5. Si a = b a + c = b + c ; c R ............( Unicidad de adición )
I.6. Si a = b a.c = b.c ; c R .............( Unicidad de la multiplicación)
EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
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Axioma de Orden
O.1. Si a,b R a = b ; a > b ; a < b ..............( Tricotomía )
O.2. Si a > b b > c a > c .............. ( Transitiva )
O.3. Si a > b a + c > b + c ; c R ..............(Consistencia Aditiva )
O.4. a > b c > 0 a.c > b.c ............... ( Consistencia Multiplicativa )
O.5. a > b c < 0 a.c < b.c ............... ( Consistencia Multiplicativa )
EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
Definición de sustracción de Números Reales
Dado dos números a y b . Se define la diferencia de a y b , como la suma de a
con el inverso aditivo de b . Es decir :
a - b = a + ( - b ) a , b R
Definición de División de Números Reales
Dado dos números a y b . Se define el cociente de a entre b , como el producto
de a con el inverso multiplicativo de b . Es decir :
0b , R b , a , b . a b
a 1
6
EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION
Rcb,a, , a.c - a.b c)-a(b :T
Rcb,a, ba 0c , bcac :T
Rcb,a, , b a c b c a :T
Rba, , ab(-a)(-b) :T
Ra , a (-a)- :T
Rba, , (-a)b-(ab)a(-b) :T
Ra , 1)a( a- :T
Ra , 0.a0 a.0 :T
8
7
6
5
4
3
2
1
7
EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION
0dy 0c , 0b , b.c
a.d
dcba
:T
0d , 0b , b.d
a.c
d
c
b
a :T
0d , 0b , b.d
b.ca.d
d
c
b
a :T
0a , a)(a :T
0ab , ba(a.b) :T
13
12
11
1-1-10
-1-1-19
8
EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
TEOREMAS SOBRE ADICIÓN Y MULTIPLICACION
-ba baba :T
bab)-b)(a(a :T
0b 0a 0ab :T
b-ax 0bax 0a , Rx, ba, Si :T
naa.......aaa generalen , 2aaa :T
2218
2217
16
1-15
14
9
EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS
0.a0 a.0 :T1
0.aa.0 :aconmutativpor y 0a.0 : tantoloPor
aditivo) (Inverso 0
tivo)multiplica (Neutro (-a)a
aditivo) (Neutro (-a)a.1
izquierda) lapor iva(Distribut (-a)1) a(0
tivo)multiplica (Neutro (-a)a.1) a.0(
a)(Asociativ (-a)a) a.0(
aditivo) (Inverso (-a))a ( a.0
aditivo) (Neutro 0 a.0 a.0
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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS
ba cbca Si :T6
ba
0b 0a
(-c)]c[b(-c)][ca
(-c)cb(-c)ca cbca
I.5
A.3
A.5
A.4
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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS
ba 0c , b.ca.c Si :T7
I.6
M.3
M.5
M.4ba
b(1)a(1)
)b(c.c)a(c.c
)(b.c)(c)(a.c)(cb.ca.c1-1-
-1-1
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EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS
0ab , .ba(a.b) :T 1-1-19
M.5
M.2 , M.3
M.4
T7
).b(a(a.b)
).b(a.b)(a(a.b)(a.b) :Luego
1(a.b)(a.b) Pero
1).b(a.b)(a
(1) (1).).b(a.b)(a
)(b)(b ).(a)(a).b(a.b)(a
: efectoEn
1).b(a.b)(a quedemostrar bastará
11-1-
11-1
1
11-
11-
11-11-
1-1
13
EL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES
DEMOSTRACIÓN DE ALGUNOS TEOREMAS
ba baba :T 2218
T16
T17
A.5
A.5 , A.4
-ba ba
b0a -b0a
b0bb-a (-b)0(-b)ba
0b-a 0ba
0b)-b)(a(a
0ba
)(-bb)b(aba22
222222
I.5
I.5
14
Son conjuntos de números reales que están definidos mediante la condición de que sus elementos satisfacen ciertas desigualdades.Entre estas tenemos:
1) Intervalo Abierto:
Dado a, b R {xR / a < x < b} = < a, b >
- a b
2) Intervalo cerrado:
Dado a, b R {xR / a x b} = [ a, b ]
- a b
LOS INTERVALOS
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3) Intervalos Semiabiertos:
i) Dado a, b R {xR / a < x < b} = [ a, b >
ii) Dado a, b R {xR / a < x < b} = < a, b ]
4) Intervalos Infintos:
i) Dado a R {xR / x > a} = [a, + >
+
b
b
a
a
a
LOS INTERVALOS
16
ii) Dado a R {xR / x > a} = <a, + >
iii) Dado a R {xR / x < a} = < -,a ]
iv) Dado a R {xR / x < a} = < - ,a >
- a
- a
+a
LOS INTERVALOS
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OPERACIONES CON INTERVALOS CONCEPTOS BÁSICOS DE OPERACIONES DE CONJUNTOS
1. Reunión de Conjuntos
A B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A ó B ó a
ambos.
A B = { x/ x A x B }
AB
U
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OPERACIONES CON INTERVALOS 2. Intersección de Conjuntos
A B , es el conjunto de elementos que pertenecen a A y B a la vez, es
decir son elementos comunes a ambos conjuntos.
A B = { x/ x A x B }
A B
U
A B
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OPERACIONES CON INTERVALOS 3. Diferencia de Conjuntos
A - B , es el conjunto de elementos de A que no pertenecen a B.
A - B = { x/ x A x B }
AB
U
A -B
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OPERACIONES CON INTERVALOS4. Complemento de un Conjunto
A , Es el conjunto de elementos que no pertenecen al conjunto A.
A = { x/ x U x A }
A
U
A
21
OPERACIONES CON INTERVALOS 3. Diferencia Simétrica de Conjuntos
A B = { x/ x (A - B ) x (B - A ) }
A B = ( A - B) (B - A)
A B = ( A B) - (B A)
AB
U
A B
22
OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos:
Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R
a. A B b. B A c. A - B
d. A e. (A C) - B f. ( A B) C
Solución
BA a.
-2 0 2 5
AB
BA b.
-2 0 2 5
5 , -2BA
2 , 0[BA A B
23
OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos:
Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R
a. A B b. B A c. A - B
d. A e. (A C) - B f. ( A B) C
Solución
B-A c.
-2 0 2 5
AB
A d.
-2 0 2 5
0 , -2B-A
, [2 2]- , A
AA A
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OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos:
Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R
a. A B b. B A c. A - B
d. A e. (A C) - B f. ( A B) C
Solución
B- C)(A e.
-2 0 2 5
AB
-2 0 2 5
7] , -2CA
BA
7
C
7
C7] , [5 -2,0B- C)(A
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OPERACIONES CON INTERVALOS Ejemplos:
Dados los intervalos A = <-2 , 2> ; B = [ 0 , 5> ; C = [2 , 7] ; U = R
a. A B b. B A c. A - B
d. A e. (A C) - B f. ( A B) C
SoluciónCB)A( f.
-2 0 2 5
AB
7] , [2CB)A(
5 , [2BA
C
7
A
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ECUACIONES E INECUACIONES
Una Ecuación es una igualdad que es válida solo para algunos valores.
* Una ecuación Lineal (De primer grado )
se expresa en la forma:
* Una ecuación cuadrática ( De segundo grado)
se expresa en la forma:
Es necesario tener en cuenta las siguientes Reglas:
1.- Si se suma o resta una misma expresión a ambos miembros de una ecuación, la ecuación resultante es equivalente a la dada.
2.- Si a ambos miembros de una ecuación se multiplica o se divide entre un numero diferente a cero, la ecuación no
varia.
ax + b =0 ; a 0
ax2+ bx + c = 0 ; a 0
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RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO
Sea la Ecuación:
Para su resolución se utilizará los siguientes métodos:
1.- MÉTODO DE LA FORMULA GENERAL
Donde b2 - 4ac se llama discriminante.
- Si b2 - 4ac > 0 ; la ecuación tiene 2 raíces reales y diferentes
- Si b2 - 4ac = 0 ; la ecuación tiene 2 raíces iguales.
- Si b2 - 4ac < 0 ; la ecuación tiene 2 raíces imaginarias.
a2
ac4bbx
2
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx + c = 0
28
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO
2.- MÉTODO DE FACTORIZACION:
Sea la ecuación:
Para su resolución usar el Teorema:
ab = 0 a = 0 ó b = 0
3.- MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS:
Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0
Para su resolución usar el Teorema:
a2 = b2 a = b ó a = - b
PROPIEDADES DE LAS RAÍCES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA
Sea la ecuación:
Si sus Raíces son : x1 y x2 ; entonces se tiene que:
i ) x1 + x2 = ; x1 . x2 =
ii) ( x - x1 ) ( x - x2 ) = 0
ax2 + bx + c = 0
ax2 + bx + c = 0
a
b
a
c
29
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO
Ejemplo 1 : Dada la ecuación x2 - 6x + 8 = 0 resolver por los tres métodos.
1.- MÉTODO DE LA FORMULA GENERAL
a2
ac4bbx
2
ax2 + bx + c = 0
22
2-6x
42
26x
2
26x
2
46 x
2
8466x
2
1
2
30
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2do GRADO
2.- MÉTODO DE FACTORIZACION:
x2 - 6x + 8 = 0 ( x - 2) (x - 4) = 0
Aplicamos el teorema a.b = 0 a = 0 b = 0
x - 2 = 0 x - 4 = 0 x = 2 x = 4
3.- MÉTODO DE COMPLETAR CUADRADOS:
Sea la ecuación ax2 + bx + c = 0
Para su resolución usar el Teorema:
a2 = b2 a =b ó a = - b
2 x 4 x
13 x 13x13x
982
66xx
86xx086xx
22
22
22
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INECUACIONES Una Inecuación es toda desigualdad donde existen una o mas cantidades
desconocidas llamadas variables.
Las inecuaciones de una variable son proposiciones de la forma:
P(x) > 0 , P(x) < 0 , P(x) 0 , P(x) 0
TEOREMAS
1. Si a < b c < d a + c < b + d
2. Si a < b - a > - b
3. Si a < b c > 0 a . c < b . C
4. Si a < b c < 0 a . c > b . C
5. Si a 0 a2 > 0
6. a-1 tiene el mismo signo que a es decir :
i. a > 0 a -1 > 0 ii. a < 0 a -1 < 0
7. Si a y b tienen el mismo signo y si :
a < b a -1 > b-1
8. Si a.b > 0 ( a > 0 b > 0 ) ( a < 0 b < 0 )
9. Si a.b < 0 ( a > 0 b < 0 ) ( a < 0 b > 0 )
32
INECUACIONES 10. Si , b 0 ( a > 0 b > 0 ) ( a < 0 b < 0 )
11. Si , b 0 ( a > 0 b < 0 ) ( a < 0 b > 0 )
12. Si a 0 b 0 a2 > b2 a > b
13. Si b 0 ; a2 < b
14. Si b 0 ; a2 > b
15. Si b > 1 bX < bY x < y
16. Si 0 < b < 1 bX < bY x> y
0b
a
0b
a
bab ba ba ;
ba ba
33
INECUACIONES
1. INECUACIÓN LIEAL. Es de la forma :
* Una Inecuación se caracteriza porque tiene n soluciones.
* Para la resolución de una Inecuación lineal es necesario tener en cuenta los siguientes Teoremas:
i) Si a > b donde c R a + c > b + c
ii) Si a > b ; y c > 0 a . c > b . c
III) Si a > b ; y c < 0 a . c < b . c
Ejemplo:
Resolver : 2x - 9 > 5x -3
2x - 9 -5x + 9 > 5x - 3 -5x + 9
-3x > 6 x < -2 S = { x R / x < -2 } S=< - , -2>
ax + b > 0 ; ax + b 0 ; ax + b < 0 ; ax + b < 0
-2-
34
INECUACIONES
2. INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Es de la forma:
Ó
donde a , b, c son números reales, a 0
Para la resolución, consideramos los siguientes Teoremas :
i ) Si utilizamos el método de Factorización:
Si: a . b > 0 ( a > 0 b > 0 ) ( a < 0 b < 0 )
Si: a . b < 0 ( a > 0 b < 0 ) ( a < 0 b > 0 )
Se utiliza los mismos Teoremas para > ó <
ii ) Si utilizamos el método completar cuadrados:
Si: b > 0 a2 > b a < a >
Si: b > 0 a2 < b a > a <
es decir: - < a <
b b
b
b
b
b
ax2 + bx +c > 0 ax2 + bx +c < 0
35
INECUACIONES
Ejemplo. Resolver x2 - x - 6 > 0 por el método de factorización.
Se usará el teorema: a.b > 0 (a>0 b > 0 ) ( a <0 b <0 )
)2(x ) 3(x
)2x 3(x )2x 3(x
0)2x 03(x 0)2x 03(x
02)3)(x(x06xx2
-2 3
, 3 2- , x
36
INECUACIONES Ejemplo. Resolver 3x2 -2 x - 5 < 0 por el método de Completar cuadrados.
Se usará el teorema: a2 < b
-1 5/3
5/3 , 1 x
b a b
3
5x1
3
4
3
1x
3
4
9
16
3
1x
9
16
9
16
3
1x
3
1
3
5
3
1x
3
2x
03
5x
3
2x052x3x
2222
22
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MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
3. INECUACIONES POLINÓMICAS: Son de la forma:
P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn > 0
El método que facilita la solución de las inecuaciones polinómicas es el
método de los valores críticos.
Pasos a seguir:
- Se halla los valores críticos factorizando el polinomio P(x)
- se ubica los valores críticos en la recta.
- se determinan los signos de los intervalos de variación.
- La solución será la unión de los intervalos positivos si P(x) > 0 y
negativo si P(x) < 0 .
Sea el polinomio P(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn > 0 donde P(x)
puede factorizarse tal como:
P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )
entonces se presentan los siguientes casos:
38
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
PRIMER CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0 , son reales y diferentes, es decir:
i. Si P(x) > 0
o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )> 0
Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:
La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo positivo.
Ejemplo: Sea P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24 > 0 , Hallar el conjunto solución.
- r1 r2 . . . rn -1 rn +
+ - + + - +
{-2,3,4}PC ; 04)-3)(x-2)(x(x
: dofactorizan 0242x5xx 23
+ +--
, 4 3 , -2x
-2 3 4
39
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
ii. Si P(x) < 0
o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )< 0
Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en la recta numérica quedan distribuidos así:
La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signo negativo. Ejemplo: Sea P(x) = x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 < 0 , Hallar el conjunto solución.
- r1 r2 . . . rn -1 rn +
+ - + + - +
}{-4,-1,1,2PC ; 02)-1)(x-1)(x4)(x(x
: dofactorizan 082x9x2xx 234
- +-+
2 , 1 1- , -4x
-4 1 2-1+
40
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
SEGUNDO CASO :
Si alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad
mayor que (1) , se tiene:
suponiendo que el factor ( x - ri ) es el factor que se repite m veces,
entonces:
i. Si m es par , los signos de los intervalos de variación donde figura ri son iguales , es decir no son alterados.
Ejemplo: Sea P(x) = x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 0 , Hallar el conjunto
Solución.
{-2,1,4}PC ; 04)-(x1)-)(x2(x
: dofactorizan 0814x3x4x2
234
x
- +-+
1 ,4 2- , -x -2 1 4
41
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
ii. Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico ri
tienen signos diferentes.
Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 4x4 + 14x2 - 17x + 6 < 0 , Hallar el conjunto
Solución.
{-2,1,3}PC ; 01)-3)(x-2)(x(x
: dofactorizan 0617x14x4xx3
245
+ +--
1,3 2- , -x
-2 1 3
42
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
TERCER CASO:
Cuando algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales , en este caso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos y para dar la solución , se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.
Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 > 0 , Hallar el conjunto
Solución.
{-2,1,3}PC ; 0)43)(x-1)(x-2)(x(x
: dofactorizan 02420x-2xx2x2
2345
x
+ +--
, 3 1 , -2x-2 1 3
El factor x2 + 4 = 0 no tiene raíces reales , por lo que x2 + 4 > 0 x R ;
podemos prescindir de este factor.
43
INECUACIONES POR EL MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
4. INECUACIONES FRACCIONARIAS.
Son inecuaciones de la forma:
( ó con > ó < )
Donde Q(x) 0
Al factorizar P(x) y Q(x) , se aplica el mismo criterio anterior, teniendo en
cuenta que los valores críticos correspondientes al denominador nunca es
cerrado.
NOTA.- Si al factorizar el polinomio, uno de los factores esta afectado a un exponente par, el valor crítico que le corresponde no se toma en cuenta , este mismo criterio se aplica si el valor crítico es un número imaginario.
0Q(x)
P(x) ó
)x(Q
)x(P 0
44
MÉTODO DE LOS VALORES CRÍTICOS
Ejemplo:
Resolver:
Solución.
07xx
4022xxx2
23
+ +--
[2,4][-5,0 7- , -x -7 0 2
07xx
4022xxx2
23
Multiplicando por (-1) Aplicando Ruffini en el
numerador.
0 1
5- 5-
0 5 1
0
40-
40
1022
10-31
1244
2211
,4}{-7,-5,0,2PC 07)x(x
5)2)(x-4)(x-(x
-5 4
+-
45
VALOR ABSOLUTOEl Valor absoluto de un número real x , denotado por IxI , se define así:
Ejemplo:l -4 l = - ( -4) = 4
l 5 l = 5
ALGUNAS DE LAS PROPIEDADES MAS IMPORTANTES
1.- l x l = 0 x = 0
2.- l x l =
3.- l x - y l = l y - x l 4.- l x y l = l x l . l y l
5.- l x + y l < l x l + l y l 6.- l x l2 = x2
7.- I x I > I y I I x I2 > l y l2 x2 > y2
0 x si ; x-
0 x si ; xx
2x
46
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
* Para la resolución de ecuaciones con Valor Absoluto, nos apoyamos en
los siguientes teoremas :
i ) Si: l x l = l y l x = y x = -y
ii) Si: l x l = y y > 0 ( x = y x = - y )
* Para la resolución de inecuaciones con valor absoluto, nos apoyamos en los siguientes Teoremas:
iii ) y > 0 ; l x l > y x > y x < - y
iv ) y > 0 ; I x I < y -y < x < y
v ) I x I > I y I x2 > y2 x2 - y2 > 0
vi ) I x I < I y I x2 < y2 x2 - y2 < 0
47
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Ejemplos:
1. Resolver: l x - 2 l = 3x - 9 : Aplicamos el teorema:
l x l = y y > 0 ( x = y x = - y )
)4
11x
27
(x3 x
11)4x72x(3x
32 11/4 7/2
2
7CS
9)(3x2x9-3x2(x09-3x9-3x2x
48
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
2. Resolver: l11 x +3 l = 5
Aplicamos el teorema:
l x l = y y > 0 ( x = y x = - y )
11
8x
11
2 x
811x 211x
5311x 53x115311x
11
8,
11
2CS
49
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
3. Resolver: l5 x -3 l = l7 + 4 x l
Aplicamos el teorema: l x l = l y l x = y x = - y
94
x 10x
-49x 10x
4x-73-5x 10x
4x)-(73-5x 4x 735x4x73-5x
10,
9
4CS
50
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
4. Resolver: l x + 3 l 3x - 1
Aplicamos el teorema: l x l y - y x y
2 x 2
1x
-42x- 24x -
1-3x3 x 3x 13x-
1-3x3x 13x-
13313133x
xxxx
,2CS
-1/2 2
51
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
5. Hallar el conjunto solución l3 x - 11 l 9
Aplicamos el teorema: l x l y x y x - y
32
x 320
x
23x 203x
-911-3x 9113x911-3x
,3/20 3/2,CS
2/3 20/3
52
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
6. Hallar el conjunto solución de: l5 x + 7 l 8x - 3
Aplicamos el teorema:
l x l y x y x - y
13
4- x
3
10 x
413x 103x-
3)--(8x75x 38x75x38x75x
3/10,CS
-4/13 10/3
53
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
7. Hallar el conjunto solución de: l x2 -2x -5 | l x2 + 4x +1|
Aplicamos el teorema: l x l l y l x2 y2
01)-2)(x1)(x(x02-xx1x
04-x22x6-6x-
014xx5-2x-x 14xx5-2x-x
014xx5-2x-x
14xx5-2x-x14xx5-2x-x
2
2
2222
2222
222222
1 , 12,CS -2 -1 1- ++-
54
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
8. Hallar el conjunto solución de: l l x l -2 | < l x |
Aplicamos el teorema: l x l < l y l x2 y2
1x1x
1x4x44x4-
x4x4-xx 2x
x2xx2x
2222
22
,11,CS
-1 1
55
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
9. Demostrar que : Si l x - 1 | < 2
3/8 , 1/4
9x
3
8
3 ,
4
1
9x
3
8
3
9x
3
4
1
8
3
9x
3
12
3
8
1
9x
1
12
1
129x8
939x91-
3x1-
21221-x
xSi
56
SOLUCIÓN DE ECUACIONES E INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
10. Hallar el conjunto solución :
,3S10 3
0x
3x
0,3PC , 0x
3 0 xSi .1
x
+ - +
3,0-PC , 0x
3x 0
x
3x 0 xSi 2.
- ++
-3 0 0, 3S2
0 , 3 , 3SSSG 21