numbertheory - suan sunandha rajabhat university · 2016-11-06 · บททีÉ y...

NUMBER THEORY

Lecture Note byThanatyod Jampawai, Ph.D.

Suan Sunandha Rajabhat University, Version August,

MATทฤษฎจานวน

NUMBER THEORY

อาจารย ดร.ธนชยศ จาปาหวายสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราภฏสวนสนนทา

สารบญ

ความรพนฐาน (Prelimanary). บทนา (Introduction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. สมบตจานวนเตม (Properties of Integers) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. อปนยเชงคณตศาสตร (Mathematical Induction) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

การหารลงตว (Divisibility). ขนตอนการหาร (Division Algorithm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. การหารลงตว (Divisibility) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ตวหารรวมมาก (The Greatest Common Divisor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ขนตอนวธแบบยคลค (Euclidean Algorithm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ตวคณรวมนอย (The Least Common Multiple) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

จานวนเฉพาะ (Primes). นยามและสมบตบางประการ (Definitions & Properties) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ทฤษฎบทหลกมลเลขคณต (The Fundamental Theorem of Arithmematic) . . . . . . . . . .. การคนหาจานวนเฉพาะ (Seeking Prime) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

สมภาค (Congruence). นยามและสมบต (Definition & Properties) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. สมการสมภาคเชงเสน (Linear Congruence Equations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ทฤษฎบทเศษเหลอของจน (Chinese Remainder Theorem) . . . . . . . . . . . . . . . . .. ระบบสวนตกคางลดทอน (Reduced Residue System) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ฟงกชนเลขคณต (Arithematic Functions). ฟงกชนเชงการคณ (Multiplicative function) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ฟงกชนออยเลอร-ฟ (Euler phi-functions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ฟงกชนจานวนเตมมากสด (The greatest integer functions) . . . . . . . . . . . . . . . . .

สมการไดโอแฟนไทน (Diophatine Equations). สมการเชงเสนดกรหนง (First degree of Linear Equations) . . . . . . . . . . . . . . . . .

ก

ข สารบญ

. สมการปทาโกรส (Phythagoras' Equations) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. สมการไดโอแฟนไทนกาลงสอง (Square Diophantine Equations) . . . . . . . . . . . . . . .

บทท

ความรพนฐาน (Prelimanary)

. บทนา (Introduction)ทษฎจานวนเปนสาขาคณตศาสตรทศกษาสมบตของจานวนเตมและจานวนนบ เนองจากเปนจานวนนวนแรกทมนษยรจก สมบตเหลานนจงเปนความสนใจของมนษยตลอดมา วชาทฤษฎจานวนเปนวชาทถกยกยองจาก คารล ฟรดรช เกาส (Carl Fridrich Gauss - ) วาวชาทฤษฎจานวนเปรยบเสมอนราชนแหงคณตศาสตร (Number theory is thequeen of mathematics)

วชาทฤษฎจานวนเปนสาขาวชาทางคณตศาสตรทเกาแกทสด โดยมหลกฐานปรากฎเมอ ปกอนในสมยปทาโกรส (Pythagoras - B.C.)

ในสมยปทาโกรส ไดพบ จานวนมตรภาพ (amicable numbers) คแรกคอ และ มสมบตพเศษคอตวหารแทของ คอ , , , และ มผลบากเทากบตวหารแทของ คอ , , , , , , , , , และ มผลบวกเทากบ

• ป ปแยร เดอ แฟรมาต (Pierre De Fermat - ) พบจานวนมตรภาพคทสองคอ และ

• ป เรอเน เดสการตส (Rene Descartes - ) พบจานวนมตรภาพคทสามคอ และ

• ป เลออนฮารด ออยเลอร (Leonhard Euler - ) ไดพบจานวนมตรภาพอก ค แตอก ปตอมาถกตรวจสอบวาม คทไมเปนจานวนมตรภาพ

• ป เอเดรยง มาร เลอจองด (AdrienMarie Legendre - ) ไดพบอกคคอ และ

• ป เดกชายนโคโล ไปนน (Nicolo Painini) ชสวอตาลอาย ป พบจานวนมตรภาพทนอยกวาของแฟรมาตคอ และ

• ป ฮลตน เชน (Hilton Chen) และเดล วดส (Dale Woods) ไดพบจานวนมตรภาพทมขนาดใหญถง หลก

• ปจจบนเราใชคอมพวเตอรคานวนจานวนมตรภาพไดทงหมด ค (ขอมล ณ ป ค.ศ . )

จานวนทมความมหศจรรญอกจานวนกคอ จานวนสมบรณ (perfect number) เปนจานวนทเทากบผลบวกของตวหารแทของจานวนนน เชน มตวหารแทคอ , และ ผลบวกเทากบ และอกสองจานวนตอมาคอ และ ในป ไดพบทงหมด จานวน

บทท . ความรพนฐาน (PRELIMANARY)

ในสมยยคลด (Euclic of Alexandria - B.C.) เมอประมาณ ปกอนครสกาล ปรากฎในหนงสออลเมนต มเรองราวเกยวกบทฤษฎจานวน ไดแก จานวนค จานวนค จานวนเฉพาะ ทฤษฎบทขงตอนวธแบบยคลด ตวหารรวมมาก ตวคณรวมนอย และทฤษฎบททวาจานวนเฉพาะมจานวนเปนอนนต (สมวงษ แปลงประสพโชค. )

• ในป มนกคณตศาสตรชาวกรก ดโอฟานโตสแหงอเลกซานเดรย (Diophantos of Alexandria) ไดตพมพหนงสอเลม ไดเขยนวธการแกสมการทางพชคณตและปญหาตางๆ จนกลายเปนจดเรมตนของทฤษฎจานวน ปจจบน

สมการพชคณตทมคาตอบเปนจานวนเตมเรยกวา สมการไดโอแฟนไทน (Diophantine equation)

• นกคณตศาสตรชาวฝรงเศสชอ แฟรมาต ซงตอมาไดรบการยกยองวาเปนบดาของทฤษฎจานวนสมยใหม ไดศกษางานของไดโอฟานโตสและเปนคนทไดพบสมบตขงจานวนเตมมากมาย

• ในป เกาสไดตพมพ Disquistiones Arithmeticae เปนหนงสอเกยวกบทฤษฎจานวนไดทาการพสจนอยางเปนระบบ และตอมากสนใจศกษาสมบตจานวนเฉพาะ

• แฟรมาตไดเสนอสตรในการหาจานวนเฉพาะคอ Fn = 22n+ 1 เปนจานวนเฉพาะสาหรบทกจานวนเตม n ≥ 0

ตอมาพบวา n = 5 ไมเปนจานวนเฉพาะเนองจาก 641|F5 โดยออยเลอร เรยก Fn วาจานวนแฟรมาต (Fermatnumber) ในกรณทเปนจานวนเฉพาะเรยกวา จานวนเฉพาะแฟรมาต (Fermat prime)

• จานวนเฉพาะคแฟด (twin prime) คอจานวนเตม p และ p+2 เปนจานวนเฉพาะทงค เชน และ , และ ,และ , และ เปนตน

ขอมลจาก [ ] หนา -

. สมบตจานวนเตม (Properties of Integers)ในหวขอนเราจะกลาวถงระบบจานวนเตม และศกษาสมบตทเกดจากสจพจนของจานวนเตม ให Z แทนเซตจานวนเตม

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}

สจพจนจานวนเตม (Integer Axiom)สมมตวามเซต Z ซงเรยกวา เซตของจานวนเตม และมการดาเนนการทวภาค + และ · ซงเรยกวาการบวกและการคณตามลาดบ โดยมสมบตดงน(P ) ∀x, y ∈ Z x+ y และ x · y เปนจานวนเตม

(P ) ∀x, y ∈ Z x+ y = y + x และ x · y = y · x

(P ) ∀x, y, z ∈ Z (x+ y) + z = x+ (y + z) และ (x · y) · z = x · (y · z)

(P ) ∃0 ∈ Z∀x ∈ Z x+ 0 = x = 0 + x เรยก 0 วาเอกลกษณการบวก

. . สมบตจานวนเตม (PROPERTIES OF INTEGERS)

(P ) ∃1 ∈ Z∀x ∈ Z x · 1 = x = 1 · x เรยก 1 วาเอกลกษณการคณ

(P ) ∀x ∈ Z∃y ∈ Z x+ y = 0 = y + x เรยก y ตวผกผนสาหรบการบวกของ x เขยนแทนดวย −x

(P ) ∀x, y, z ∈ Z x · (y + z) = x · y + x · z

เราจะเขยน xy แทน x · y และ x− y แทน x+ (−y)

ทฤษฎบท . . ให a, b, c เปนจานวนเตม แลว

. a0 = 0 = 0a

. (−a)b = a(−b) = −(ab)

. (−a)(−b) = ab

. ถา a+ b = a+ c แลว b = c

สมบตไตรวภาค (Trichotomy law)มสบเซต N ของ Z คอ N = {1, 2, 3, ...} ทมสมบต

. 0 /∈ N

. ถา a, b ∈ N แลว a+ b ∈ N และ ab ∈ N

. ถา x ∈ Z แลว x ∈ N หรอ x = 0 หรอ −x ∈ N

บทนยาม . . ให a, b ∈ Z เราจะกลาววา

a มากกวา (greater than) b เขยนแทนดวย a > b กตอเมอ a− b ∈ N

a นอยกวา (less than) b เขยนแทนดวย a < b กตอเมอ b > a

ทฤษฎบท . . ให a, b, c, x, y ∈ Z แลว

. ถา a > b แลว a+ c > b+ c

. ถา a > b และ b > c แลว a > c

. ถา a > b และ x > y แลว a+ x > b+ y

. ถา a > b และ x > 0 แลว ax > bx

. ถา a > b และ x < 0 แลว ax < bx

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนเตม a, b ใดๆ ถา ab = 0 แลว a = 0 หรอ b = 0

บทแทรก . . สาหรบจานวนเตม a, b, c ใดๆ ถา ab = ac และ a = 0 แลว b = c

หลกการจดอนดบด (Well Ordering Principle)ให S ⊆ N และ S = ∅ จะไดวา มm ∈ S ซง m ≤ s ทกๆ s ∈ S

ทฤษฎบท . . (Archimedean Principle) สาหรบจานวนเตมบวก a และ b ใดๆ จะมจานวนเตมบวก n ซง na ≥ b


แบบฝกหด .

. ให a, b, c, d ∈ Z จงพสจนวา

. (−1)a = −a

. (a− b) + (c− d) = (a+ c)− (b+ d)

. (a− b)− (c− d) = (a+ d)− (b+ c)

. (a− b)(c− d) = (ac+ bd)− (ad+ bc)

. a− b = c− d กตอเมอ a+ d = b+ c

. (a− b)c = ac− bc

. ให a, b, c, x, y ∈ Z จงพสจนวา

. a < b กตอเมอ a+ c < b+ c

. a− x < a− y กตอเมอ x > y

. ถา a < 0 แลว ax > ay กตอเมอ x < y

. ถา c > 0 และ ac < bc แลว a < b

. a− b = c− d กตอเมอ a+ d = b+ c

. ถา x+ x = 0 แลว x = 0

. ถา a3 < b3 แลว a < b

. จงพสจนวา a3 = b3 แลว a = b

. จงพสจนวา a2 − ab+ b2 > 0 เมอ a, b ∈ Z

. . อปนยเชงคณตศาสตร (MATHEMATICAL INDUCTION)

. อปนยเชงคณตศาสตร (Mathematical Induction)หลกโดมโน (Donimo principle)

1 2 3 4 5 6 k k + 1

ทฤษฎบท . . ให n ∈ N และ P (n) เปนประพจน หรอ ∀n ∈ N, p(n) ถา. ขนพนฐาน (Basic step) : P (1) เปนจรง

. ขนอปนย (Inductive step) : ∀k ∈ N, P (k) → p(k + 1) เปนจรงเราจะสรปไดวาประพจน ∀n ∈ N, p(n) เปนจรง

ตวอยาง . . จงแสดงวา 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n =n(n+ 1)

2สาหรบทกจานวนนบ n

ให P (n) แทน 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n =n(n+ 1)

2เมอ n ∈ N

. ขนฐาน (Basic step) : เนองจาก 1 = 1(1+1)2

ดงนน P (1) เปนจรง

. ขนอปนย (Inductive step) : สมมตวา P (k) เปนจรง สาหรบจานวนนบ k ใดๆ นนคอ

1 + 2 + 3 + 4 + ...+ k =k(k + 1)

2

โดยสมมตฐาน จะไดวา

1 + 2 + 3 + 4 + ...+ k + (k + 1) =k(k + 1)

2+ (k + 1)

= (k + 1)

[k

2+ 1

]=

(k + 1)(k + 2)

2

ทาใหสรปไดวา P (k + 1) เปนจรงดงนน 1 + 2 + 3 + 4 + ...+ n =

n(n+ 1)


ตวอยาง . . จงแสดงวา 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + ...+ n(n+ 1) =n(n+ 1)(n+ 2)


ตวอยาง . . จงแสดงวา 1

1 · 2+

1

2 · 3+

1

3 · 4+ ...+

1

n(n+ 1)=

n

n+ 1สาหรบทกจานวนนบ n



จงพสจนขอความตอไปน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร. 12 + 22 + 32 + ...+ n2 =

n(n+ 1)(2n+ 1)


. 13 + 23 + 33 + ...+ n3 =

[n(n+ 1)

2

]2สาหรบทกจานวนนบ n

. 1 + 3 + 5 + ...+ (2n− 1) = n2 สาหรบทกจานวนนบ n

. 2 + 4 + 6 + ...+ (2n) = n2 + n สาหรบทกจานวนนบ n

. 2 + 22 + 23 + ...+ 2n = 2n+1 − 2 สาหรบทกจานวนนบ n

. 1 · 2 + 2 · 22 + 3 · 23 + ...+ n · 2n = (n− 1)2n+1 + 2 สาหรบทกจานวนนบ n

. 1 · 3 + 2 · 5 + 3 · 7 + ...+ (3n− 2) · (3n+ 1) = n(3n2 + 3n− 2) สาหรบทกจานวนนบ n

. 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + ...+ n(n!) = (n+ 1)!− 1 สาหรบทกจานวนนบ n

. (1− 12)(1− 1

3)...(1− 1

n) = 1

nสาหรบทกจานวนนบ n

. 1 · 2 · 3 + 2 · 3 · 4 + 3 · 4 · 5 + ...+ n(n+ 1)(n+ 2) =n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)

4ทกจานวนนบ n

บทท

การหารลงตว (Divisibility)

. ขนตอนการหาร (Division Algorithm)ทฤษฎบท . . (ขนตอนการหาร) ให a และ b เปนจานวนเตม โดยท a = 0 แลวมจานวนเตม q และ r เพยงคเดยว ททาให

b = aq + r โดยท 0 ≤ |r| < |a|

เรยก a วาตวหาร (denominator) b วาตวถกหาร (numerator) q วาผลหาร (quotient) และ r วาเศษ (remainder)หมายเหต เศษเปนไดทงจานวนเตมบวกและจานวนเตมลบ เชน 3 หาร 2 ไดเศษเทากบ 2 หรอ −1 กไดเพราะวา

2 = 3(0) + 2 หรอ 2 = 3(1)− 1

ตวอยาง . . จงเขยนการหารตอไปนโดยใชขนตอนการหาร

. 11 หาร 111

. 9 หาร −108

. −12 หาร 1205

. −5 หาร −183

ตวอยาง . . จงหาจานวนนบตงแต 1 ถง 200 ทงหมดทหารดวย 6 เหลอเศษ 2 และเมอหารดวย 14 เหลอเศษ 10

ตวอยาง . . จงเขยนรปแบบทงหมดของจานวนเตม a เมอกาหนดให

. 2 หาร a

. 3 หาร a

. 5 หาร a

. 7 หาร a

ตวอยาง . . จงแสดงวากาลงสองของจานวนเตมใดๆจะอยในรป3k หรอ 3k + 1

สาหรบบางจานวนเตม k

ตวอยาง . . จงแสดงวากาลงสามของจานวนเตมใดๆจะอยในรป9k หรอ 9k + 1 หรอ 9k + 8

สาหรบบางจานวนเตม k

บทท . การหารลงตว (DIVISIBILITY)

การหาเศษจากการหารทฤษฎบท . . ให a, b และ c เปนจานวนเตมโดยท a = 0 ถา

a หาร b เหลอเศษ r

a หาร c เหลอเศษ s

แลว

(ก) a หาร b+ c เหลอเศษ r + s

(ข) a หาร bc เหลอเศษ rs

ตวอยาง . . ใหm และ n เปนจานวนเตมบวก ถา

5 หาร m เหลอเศษ 4

5 หาร n เหลอเศษ 2

แลว 5 หารจานวนตอไปน เหลอเศษเทาใด

. m+ n

. mn

. m2

. n2

. m(n+ 2)

. n2(n+m)

. 5m+ 3n

. m− n

ตวอยาง . . ให a, b และ c เปนจานวนเตมบวก ถา

7 หาร a เหลอเศษ 1

7 หาร b เหลอเศษ 3

7 หาร c เหลอเศษ 5


. a+ b+ c

. a(b+ c)

. abc

. a2 + b2

. 2a+ 3(b+ c)

. ab+ bc+ ac

. (a+ b+ c)2

. 5a+ 2b− 3c

ทฤษฎบท . . ให a และ b เปนจานวนเตมโดยท a = 0 และ n เปนจานวนนบ ถา

a หาร b เหลอเศษ r แลว a หาร bn เหลอเศษ rn

ตวอยาง . . จงหาเศษทเกดจากการหารตอไปน

. 2 หาร 5100

. 2 หาร 31999 + 52000

. 3 หาร 2999 · 5898

. 7 หาร 1002558

. 31 หาร 22018

. 13 หาร 444444

. . ขนตอนการหาร (DIVISION ALGORITHM)

การหาเลขทายของจานวนเตมในรปเลขยกกาลงหลกการ ถาตองการหาเลขทาย (หลกหนวย) ของจานวนในรปทซบซอน ใชหลกทวา

10 หารจานวนเตมบวก a เหลอเศษ r กตอเมอ เลขทาย (หลกหนวย) ของ a คอ r

ตวอยาง . . จงหาหลกหนวยของจานวนตอไปน

. 21000

. 31999. 6666

. 7888. 55555 + 44444

. (3100 + 5100)100

หลกการ ถาตองการหาเลขทายสองหลกสดทาย (หลกหนวยและหลกสบ) ของจานวนในรปทซบซอน ใชหลกทวา

100 หารจานวนเตมบวก a เหลอเศษ r กตอเมอ หลกสบและหลกหนวย ของ a คอ r

ตวอยาง . . จงหาสองหลกสดทายของจานวนตอไปน

. 2100

. 3100. 5555

. 6666



. มจานวนนบตงแต 1 ถง 100 รวมทงหมดกจานวนซงเมอหารดวย 6 เหลอเศษ 2 และหารดวย 14 เหลอเศษ 1

. จงแสดงวากาลงสของจานวนเตมใดๆ จะอยในรป 5k หรอ 5k + 1 สาหรบบางจานวนเตม k

. จงหาจานวนเตม n ∈ (2000, 3000) ซงทาให 5 หาร (2n + 6m) เหลอเศษ 0 เมอm เปนจานวนเตมบวกใดๆ

. จงแสดงวา n(n+ 1)(2n+ 1)

6เปนจานวนเตมเสมอ ไมวา n จะเปนจานวนเตมอะไรกตาม

. ถา n เปนจานวนเตมคแลว n4 + 4n2 + 11 สามารถเขยนในรป 16k สาหรบจานวนเตม k บางจานวน

. ให a, b และ c เปนจานวนเตมบวก ถา

9 หาร a เหลอเศษ 3

9 หาร b เหลอเศษ 5

9 หาร c เหลอเศษ 7


. a+ b+ c

. a(b+ c)

. abc

. 3a2 + 2b2

. 2a+ 5(b+ c)

. ab+ ac

. (a+ b− c)3

. 5a+ b+ 3c

. จงหาเศษทเกดจากการหาร

. 2 หาร 25492013

. 3 หาร 5555

. 2 หาร 32548 + 51001

. 3 หาร 7289855

. 7 หาร 34444344

. 11 หาร 999999

. จงหาหลกหนวยของจานวนตอไปน

. 22013

. 25492013

. 32548 + 51001

. 1132002

. 88887777

. 1234567898765

. จงหาสองหลกสดทายของจานวนตอไปน

. 255

. 3500

. 6666

. 2210

. 102102

. 77777



. a | (a+ 10)

. a | (a2 − a+ 20)

. a | (10− a)(10 + a)

. a2 | ((a2 + 3)2 + 7)


. a | (a+ 5)3

. (a+ 1) | (a2 + 1)

. (a− 1) | (a+ 1)3

. (a− 3) | (a3 − 3)

การพสจนการหารลงตวโดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตรตวอยาง . . จงแสดงวา 3 | (5n − 2n) เมอ n เปนจานวนเตมบวก

บทพสจน. ให P (n) แทนขอความ 3 | (5n − 2n) เมอ n เปนจานวนเตมบวก

. ขนพนฐาน (Basic step) : เนองจาก 3 | (51 − 21) ดงนน P (1) เปนจรง

. ขนอปนย (Inductive step): สมมตวา P (k) เปนจรง เมอ k ∈ N นนคอ 3 | (5k − 2k) จะมจานวนเตม q ซง

5k − 2k = 3q

โดยสมมตฐานจะไดวา

5k+1 − 2k+1 = 5 · 5k − 2 · 2k

= 5 · 5k − 2 · 2k

= 5(3q + 2k)− 2 · 2k

= 15q + 3 · 2k = 3(5q + 2k)

ดงนน 3 | (5k+1 − 2k+1) สรปไดวา P (k + 1) เปนจรง

ตวอยาง . . จงแสดงวา 5 | (33n+1 + 2n+1) เมอ n เปนจานวนเตมบวก

ตวอยาง . . จงแสดงวา 8 | (52n + 7) เมอ n เปนจานวนเตมบวก

ตวอยาง . . จงแสดงวา (3!)n | (3n)! สาหรบจานวนนบ n


การตรวจสอบการหารลงตวในเลขฐานสบทฤษฎบท . . ให a1, a2, ..., an เปนเลขโดด (0, 1, 2, 3, .., 9) และ a1a2...an เปนเลขฐานสบ n หลก โดยท a1 = 0

. 2 | a1a2...an กตอเมอ 2 |an

. 3 | a1a2...an กตอเมอ 3 |(a1 + a2 + ...+ an)

. 4 | a1a2...an กตอเมอ 4 |an−1an


. 6 | a1a2...an กตอเมอ 3 |(a1 + a2 + ...+ an) และ 2 | an

. 7 | a1a2...an กตอเมอ 7 |(a1a2...an−1 − 2an)

. 8 | a1a2...an กตอเมอ 8 |an−2an−1an

. 9 | a1a2...an กตอเมอ 9 |(a1 + a2 + ...+ an)


. 11 | a1a2...an กตอเมอ 11 |(an − an−1 + an−2 − an−3 + ...± a1)

ตวอยาง . . จงตรวจสอบการหารลงตวของจานวนตอไปน

. จานวนตอไปนวาหารดวย 3 ลงตว

1236

7601

22482

983173

100234

7773339

12347896701

629844108112377


1236

5730

24384

973108

115290

88032332

12534796902

992898441023098


1236

7608

32592

783164

100233

7483320

33347806702

729844108112388


9248

7608

21482

1183176

200032

9876332

24347896708

2498481081123900



1233

7704

31482

1183176

210132

9876332

24347802105

57584810811239173


1034

7601

34815

794573

100236

4773373

452347896701

459844108112378

ตวอยาง . . กาหนดให a, b ∈ {0, 1, 2, ..., 9} และ 1a5, 6b9 เปนจานวนสามหลก ถา 6b9 − 1a5 = 454

และ 6b9 หารดวย 9 ลงตว แลว a+ b เทากบเทาใด

ตวอยาง . . ถา a, b, c และ d เปนเลขโดดทแตกตางกนททาใหจานวนเตม 4 หลก dcba เทากบ 9 เทาของ abcd

แลว b มคาเทากบเทาใด

ตวอยาง . . มเลขโดด 3, 4, 6 และ 7 นามาจดเรยงสรางจานวน 4 หลกโดยทแตละหลกไมซากนจะมจานวน 4 หลกทงหมดกจานวนทหารดวย 44 ไมลงตว


แบบฝกหด .. จงพสจนขอความตอไปน โดยใชขนตอนการหาร

. 3 | a(2a2 + 7) สาหรบจานวนเตม a

. 4 | (n2 − 1) สาหรบจานวนเตมค n

. 6 |n(n+ 1)(n+ 2) สาหรบจานวนเตม n

. 6 |n(n+ 1)(2n+ 1) สาหรบจานวนเตม n

. 32 | (a2 + 3)(a2 + 7) สาหรบจานวนเตมค a

. 30 | (n5 − n) สาหรบจานวนเตม n

. จงพสจนขอความตอไปน โดยใชหลกอปนยเชงคณตศาสตร. 12|(n4 − n2) สาหรบจานวนนบ n

. 5|(n5 − n) สาหรบจานวนนบ n

. 5 | (33n+1 + 2n+1) เมอ n เปนจานวนเตมบวก

. 7 | (32n+1 + 2n+2) สาหรบจานวนนบ n

. 8 | (7 · 32n − 7) สาหรบจานวนนบ n

. 11 | (8 ·102n+6 ·102n−1+9) สาหรบ n ∈ N

. 15 | (24n − 1) สาหรบจานวนนบ n

. 21 | (4n+1 + 52n−1) สาหรบจานวนนบ n

. จงแสดงวา ถา a และ b เปนจานวนเตมคแลว 16 | (a4 + b4 − 2)

. จงแสดงวา 6 |(a+ b+ c) กตอเมอ 6 |(a3 + b3 + c3) สาหรบจานวนเตม a, b, c

. กาหนดให a, b, c, d เปนจานวนเตม จงพจารณาขอความตอไปน ถาจรงจงพสจน ถาเทจจงยกตวอยางคาน. ถา a | b2 แลว a | b

. ถา a2 | b3 แลว a | b

. ถา a | b แลว ac | bc เมอ c = 0

. ถา a | b และ a | c แลว a2 | bc

. ถา a | b และ c | d แลว (a+ c) | (b+ d)

. ถา a | b และ a | c แลว a | (b2 − c2)

. จงหาจานวนเตมบวก a ทงหมดทสอดคลองเงอนไขตอไปน. a | 6252

. (a− 1) | (2a+ 11)

. a | (a+ 6)2

. (2a+ 1) | (2a− 1)3

. (a− 1) | (a+ 1)3

. (a− 3) | (a3 − 3)

. กาหนดให a, b ∈ {0, 1, 2, ..., 9} จงหาคอนดบ (a, b) ทงหมดทสอดคลองเงอนไขตอไปน. 2 | a23b

. 3 | 1a23b1

. 3 | a791b112

. 4 | 45a13ab

. 5 | 999a7b

. 6 | a27635b

. 8 | 45ab32ab

. 9 | 1234a5b6

. 9 | 369a785b

. 9 | ab125481

. 11 | 1a23571b

. 11 | a4557798b

. จงหาจานวนเตมบวกทงหมดท 304 ลงตว

. จงหาจานวนเตมบวก n ทมากทสดททาให 10n หาร 1005! ลงตว

. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมดททาให 2n−1 หาร n! ลงตว

. . ตวหารรวมมาก (THE GREATEST COMMON DIVISOR)

. ตวหารรวมมาก (The Greatest Common Divisor)บทนยาม . . ให a, b และ d เปนจานวนเตมบวก เราจะเรยก

d วาเปนตวหารรวม (common divisor) ของ a และ b ถา d | a และ d | b

บทนยาม . . ให a และ b เปน จานวนเตม ท ไมใชศนยพรอมกน จานวนเตม d จะเปนตวหารรวมมาก (greatestcommon divisor) ของ a และ b เขยนแทนดวย gcd(a, b) หรอ ห.ร.ม.(a, b) หรอ (a, b) กตอเมอ

(ก) d | a และ d | b

(ข) ทกจานวนเตมบวก c ถา c | a และ c | b แลว c ≤ d

บทนยาม . . ถา gcd(a, b) = 1 เราจะเรยกวา a และ b เปนจานวนเฉพาะสมพทธ (relatively prime)

ตวอยาง . . จงหาตวหารรวมมากของจานวนแตละคตอไปน

. 125 และ 215

. 592 และ 252

. −504 และ 450

. −900 และ −1350

ตวอยาง . . จงหาตวหารรวมมากของจานวนแตละคตอไปน

. 363 และ 1002

. 1535 และ 1755

. 10! และ 2253

. 4444 และ 1284

ตวอยาง . . กาหนดให

a เปน ห.ร.ม. ของ 403 และ 465 และ b เปน ห.ร.ม. ของ 431 และ 465

แลว a− b มคาเทาใด

ตวอยาง . . ถา n เปนจานวนเตมบวกทมากทสด ซงหาร 90 เหลอเศษ 6 และหาร 150 เหลอเศษ 3 แลว n หาร41 เหลอเศษเทาใด

ตวอยาง . . ให a เปนจานวนเตมบวกซง 3 | a และ 5 | a ถา ห.ร.ม. ของ a กบ 7 เทากบ 1 แลว ห.ร.ม. ของ a

กบ 105 เทากบขอใดตอไปน

ตวอยาง . . กาหนดใหเอกภพสมพทธคอ {x | x เปนจานวนเตมทไมใช 0 และ |x| ≤ 100} ให

A = {x | ห.ร.ม. ของ x กบ 21 เทากบ 3 }

จานวนสมาชกของเซต A


ตวอยาง . . สาหรบจานวนเตม a, b ใดๆ ให A = {1, 2, 3, ..., 400} แลวจานวนสมาชกของเซต

{x ∈ A | gcd(x, 40) = 5}

เทากบเทาใด

ตวอยาง . . จานวนเตมตงแต 0 ถง 100 ทเปนจานวนเฉพาะสมพทธกบ 15 มทงหมดกจานวน

สมบตของตวหารรวมมากทฤษฎบท . . ให a, b เปนจานวนเตม แลว

. gcd(a, b) = gcd(b, a) = gcd(|a|, |b|) = gcd(a,−b) = gcd(−a, b) = gcd(−a,−b)

. ถา a = 0 แลว gcd(a, 0) = |a|

. ถา a | b แลว gcd(a, b) = |a|

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z โดยท a = 0 และ b = 0 และ d = gcd(a, b) แลว

. จะม x, y ∈ Z ททาให d = ax+ by

. สาหรบจานวนเตม c ใดๆ ถา c | a และ c | b แลว c | d

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z โดยท a = 0 และ b = 0 แลว

gcd(a, b) = 1 กตอเมอ ม x, y ∈ Z ททาให 1 = ax+ by

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z โดยท a = 0 และ b = 0 และm เปนจานวนเตมบวก แลว

gcd(ma,mb) = m · gcd(a, b)

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z โดยท d = gcd(a, b) แลว gcd(ad, bd) = 1

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z โดยท a = 0 และ b = 0 และ x เปนจานวนเตม แลว

gcd(a, b) = gcd(a+ bx, b) = gcd(a, b+ ax)

ทฤษฎบท . . ให a, b, c,m เปนจานวนเตม จะไดวา

. ถา gcd(a,m) = gcd(b,m) = 1 แลว gcd(ab,m) = 1

. ถา gcd(a,m) = 1 และ b | a แลว gcd(b,m) = 1

. ถา a | bc และ gcd(a, b) = 1 แลว a | c

. ถา a | c และ b | c โดยท gcd(a, b) = 1 แลว ab | c


ทฤษฎบท . . ให a, b, q, r เปนจานวนเตม โดยท a > 0 และ b = aq + r เมอ 0 ≤ r < a จะไดวา

gcd(a, b) = gcd(a, r)

ตวอยาง . . จงหาตวหารรวมมากของจานวนแตละคตอไปน โดยใชทฤษฎบท . .

. 252 และ 198

. 927 และ 315

. 1000 และ 925

. 2004 และ 1106

ตวอยาง . . กาหนดให a ∈ Z จงพสจนขอความตอไปนโดยใชทฤษฎบท . .

. gcd(2a+ 1, 9a+ 4) = 1

. gcd(5a+ 2, 7a+ 3) = 1

. gcd(3a+ 2, 5a+ 3) = 1

. gcd(3a, 3a+ 2) = 1 เมอ a เปนจานวนเตมค

ตวอยาง . . จงแสดงวา สาหรบจานวนเตม a, b, c ใดๆ

ถา gcd(a, b) = 1 และ gcd(a, c) = 1 แลว gcd(a, bc) = 1

ตวอยาง . . จงแสดงวา สาหรบจานวนเตม a, b, c ใดๆ

ถา gcd(a, b) = c แลว gcd(a2, b2) = c2

ตวอยาง . . จงแสดงวา สาหรบจานวนเตมบวก n ใดๆ

gcd(n3 + 2n, n4 + 3n2 + 1) = 1

บทนยาม . . ให a1, a2, ., , , an เปนจานวนเตมทไมใชศนยพรอมกน แลว

จานวนเตมบวก d จะเปนตวหารรวมของ a1, a2, ., , , an กตอเมอ d|a1, d|a2, ..., d|an

และ d จะเปนตวหารรวมมากของ a1, a2, ., , , an เขยนแทนดวย gcd(a1, a2, ., , , an) กตอเมอ

• d เปนตวหารรวมของ a1, a2, ., , , an• สาหรบจานวนเตมบวก c ถา c เปนตวหารรวมของ a1, a2, ., , , an แลว d ≤ c

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนเตม a1, a2, ., , , an ทไมใชศนยพรอมกน แลว

. gcd(gcd(a1, a2), a3, ., , , an) = gcd(a1, a2, ., , , an)

. gcd(gcd(a1, a2, ..., an−1), an) = gcd(a1, a2, ., , , an)


ตวอยาง . . จงหาตวหารรวมมากของจานวนตอไปน

. gcd(4, 6, 18)

. gcd(12, 18, 24)

. gcd(350, 49, 140, 105)

. gcd(50, 125, 145, 500)

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนเตม a1, a2, ., , , an ทไมใชศนยพรอมกน และ d = gcd(a1, a2, ., , , an) แลว

. จะม x1, x2, ..., xn ∈ Z ททาให d = a1x1x+ a2x2 + ...+ anxn

. สาหรบจานวนเตม c ใดๆ ถา c|a1, c|a2, ..., c|an แลว c | d

บทนยาม . . ถา gcd(a1, a2, ., , , an) = 1 เราจะกลาววา a1, a2, ., , , an เปนจานวนเฉพาะสมพทธ ถาทกๆคเปนจานวนเฉพาะสมพทธกนเราจะกลาววาเปนจานวนเฉพาะสมพทธทกค (pairwise relatively prime)

ตวอยาง . . จงตรวจสอบจานวนตอไปนวาเปนเฉพาะสมพทธ หรอจานวนเฉพาะสมพทธทกค

. 4, 6, 9

. 3, 21, 15

. 6, 7, 11, 20

. 12, 15, 35, 49

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนเตม a1, a2, ., , , an ทไมใชศนยพรอมกน แลว

gcd(a1, a2, ., , , an) = 1 กตอเมอ มจานวนเตม x1, x2, ..., xn ททาให 1 = a1x1x+ a2x2 + ...+ anxn



. จงหาจานวนเตมทงหมดตงแต 1 ถง 200 ทสอดคลองเงอนไขตอไปน

. ทหารดวย 8 ลงตว

. ทหารดวย 7 แลวเหลอเศษ 2

. ทหารดวย 3 หรอ 5 ลงตว

. เปนจานวนเฉพาะสมพทธกบ 18

. ห.ร.ม. กบ 30 เทากบ 5

. หารดวย 7 ลงตว แตหารดวย 5 ไมลงตว

. จงหา gcd(a, b)

. a = 127 และ b = 125

. a = 289 และ b = −96

. a = −339 และ b = −1234

. a = 9987 และ b = 2351

. a = 1123 และ b = 5547

. a = 3054 และ b = 12378

. จงแสดงวา ถา gcd(a, 4) = 2 และ gcd(b, 4) = 2 แลว gcd(a+ b, 4) = 2 เมอ a, b ∈ Z

. จงแสดงวา ถา a, b ∈ Z ซง gcd(a, b) = 1 แลว gcd(a+ b, a− b) = 1 หรอ 2

. จงแสดงวา ถา a และ b เปนจานวนเตมคทไมใชศนยทงค แลว gcd(a, b) = 2gcd(a2, b2)

. จงแสดงวา ถา a เปนจานวนเตมค และ b เปนจานวนเตมค แลว gcd(a, b) = gcd(a2, b)

. จงแสดงวา ถา a, b, c ∈ Z ซง c | ab แลว c | d1d2 เมอ d1 = gcd(a, c) และ d2 = gcd(b, c)

. จงแสดงวา ถา a, b ∈ Z ซง gcd(a, b) = 1 แลว gcd(an, bn) = 1 สาหรบทกๆจานวนเตมบวก n

. จงแสดงวา gcd(3n+ 4, 2n+ 3) = 1 สาหรบทกๆจานวนเตม n

. จงแสดงวา ไมมจานวนเตม x, y ทสอดคลองกบ x+ y = 100 และ gcd(x, y) = 3

. จงแสดงวา ม x, y ∈ Z จานวนอนนตทสอดคลองกบ x+ y = 100 และ gcd(x, y) = 5

. จงพสจนวา ถามจานวนเตม x, y ททาให gcd(a, b) = ax+ by แลว gcd(x, y) = 1 เมอ a, b ∈ Z

. ให a, b, c ∈ Z และ d = gcd(a, b) จงพสจนวา a | bc กตอเมอ ad| c


. ขนตอนวธแบบยคลค (Euclidean Algorithm)ทฤษฎบท . . ให a และ b เปนจานวนเตมโดยท a > 0 จะไดวามจานวนเตม

qi เมอ i = 1, 2, 3, .., n+ 1 และ rj เมอ j = 1, 2, 3, .., n ททาให

b = aq1 + r1

a = r1q2 + r2

r1 = r2q3 + r3

...

rn−2 = rn−1qn + rn

rn−1 = rnqn+1

เมอ 0 < r1 < a

เมอ 0 < r2 < r1

เมอ 0 < r3 < r2

เมอ 0 < rn < rn−1

และ gcd(a, b) = rn

ตวอยาง . . จงหา d = gcd(305, 168) และหาจานวนเตม x, y ซงทาให d = 305x+ 168y



ตวอยาง . . จงหาจานวนเตม x และ y ทสอดคลองสมการ. 243x+ 198y = 9

. 71x− 50y = 1

ตวอยาง . . ให a, b และ c เปนจานวนเตม ถา c เปน ห.ร.ม. ของ−864 และ−354 ซง c = a(−864)+ b(−354)

และ a+ b = 36 แลว c+ b เทากบเทาใดตวอยาง . . ให n เปนจานวนเตมบวก ซง ห.ร.ม. ของ n และ 42 เทากบ 6 ถา

42 = nq0 + r0 เมอ 0 < r0 < n

n = 2r0 + r1 เมอ 0 < r1 < r0

โดยท q0, r0, r1 เปนจานวนเตม จงหา nตวอยาง . . ให a และ b เปนจานวนเตม ซง a เปน ห.ร.ม. ของ b และ 216 ถา q1, q2 เปนจานวนเตมบวก โดยท

216 = bq1 + 106

b = 106q2 + 4

จงหา a+ b

. . ขนตอนวธแบบยคลค (EUCLIDEAN ALGORITHM)


. จงหา d = gcd(a, b) และหาจานวนเตม x และ y ซง d = ax+ by โดยขนตอนวธแบบยคลค เมอกาหนดให

. a = 127 และ b = 125

. a = 289 และ b = −96

. a = −339 และ b = −1234

. a = 9987 และ b = 2351

. a = 1123 และ b = 5547

. a = 3054 และ b = 12378

. a = 37129 และ b = 14659

. a = 1769 และ b = 2378

. a = 2106 และ b = 8318

. a = 4125 และ b = 3218

. จงหาจานวนเตม x และ y ทสอดคลองกบ

. 43x+ 64y = 1 . 93x− 81y = 3 . 73x+ 51y = 1

. เดกชายลกษมเงน บาท ตองการแลกธนบตรใบละ และ บาท จงหาจานวนวธแลกธนบตรทเปนไปไดทงหมด


. ตวคณรวมนอย (The Least Common Multiple)บทนยาม . . ให a, b และm เปนจานวนเตมบวก เราจะเรยก

m วาเปนตวคณรวม (common multiple) ของ a และ b ถา a |m และ b |m

บทนยาม . . ให a และ b เปนจานวนเตมทไมใชศนย จานวนเตมบวก m จะเปนตวคณรวมนอย (least commonmultiple) ของ a และ b เขยนแทนดวย ℓcm(a, b) หรอ ค.ร.น.(a, b) หรอ [a, b] กตอเมอ

(ก) a |m และ b |m

(ข) ทกจานวนเตมบวก c ถา a | c และ b | c แลว m ≤ c

ตวอยาง . . จงหา ค.ร.น. ของจานวนแตละคตอไปน

. 15 และ 21

. 125 และ −55

. −36 และ −198

. 588 และ 1050

. 900 และ 1350

. 124 และ 10!

ตวอยาง . . ถา x เปนจานวนเตมบวกทนอยทสด ซง

9, 12 และ 15 หาร x ลงตว แต 11 หาร x เหลอเศษ 7

แลว x มคาเทาใด

ตวอยาง . . ถา a เปนจานวนเตมบวกซง

ค.ร.น. ของ a และ 63 เทากบ 7a ห.ร.ม. ของ a และ 63 เทากบ c

จงหา a และ c

ตวอยาง . . ให a และ b เปนจานวนเตมบวก ซง a < b

5 หาร a ลงตว 3 หาร b ลงตว a และ b เปนจานวนเฉพาะสมพทธกน ค.ร.น. ของ a และ b เทากบ 165

แลว a หาร b เหลอเศษเทาใด

ตวอยาง . . กาหนดให x และ y เปนจานวนเตมบวก โดยท x < y

ห.ร.ม. ของ x และ y เทากบ 9 ค.ร.น. ของ x และ y เทากบ 28, 215

และจานวนเฉพาะทแตกตางกนทงหมดทหาร x ลงตวม 3 จานวน คาของ y − x เทากบเทาใด

ตวอยาง . . มลกแกว 2 กอง กองหนงเปนลกแกวสแดงจานวน 143 ลก อกกองหนงเปนส เหลองจานวน 338 ลกตองการแบงลกแกวทงสองกองนออกเปนกองเลกๆ โดยทจานวนลกแกวกองละเทาๆกนและมจานวนของลกแกวในกองเลกๆเหลานนมากทสด ถาลกแกวสแดงแบงได x กอง และสเหลองแบงได y กอง แลว x+ y มคาเทากบเทาใด

. . ตวคณรวมนอย (THE LEAST COMMON MULTIPLE)

สมบตของตวคณรวมนอยทฤษฎบท . . ให a, b เปนจานวนเตม โดยท a = 0 และ b = 0 และm = ℓcm(a, b) จะไดวา

สาหรบจานวนเตม c ใดๆ ถา a | c และ b | c แลว m | c

ทฤษฎบท . . ให a, b เปนจานวนเตม โดยท a = 0 และ b = 0 จะไดวาgcd(a, b) · ℓcm(a, b) = |ab|

ทฤษฎบท . . ให a, b เปนจานวนเตม โดยท a = 0 และ b = 0 และm ∈ N จะไดวาℓcm(ma,mb) = mℓcm(a, b)

ตวอยาง . . ให a เปนจานวนตมคบวก และ b เปนจานวนเตมคบวก พจารณา ถก/ผด. a และ b เปนจานวนเฉพาะสมพทธ. ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ ห.ร.ม. ของ a และ 2b. ค.ร.น. ของ a และ b เทากบ ค.ร.น. ของ a และ 2b

ตวอยาง . . กาหนดให a, b และ c เปนจานวนเตม พจารณา ถก/ผด

. ถา a | b แลว ℓcm(a, b) = b . ถา a | b แลว gcd(a, b) = a

บทนยาม . . ให a1, a2, ., , , an เปนจานวนเตมทไมใชศนยพรอมกน แลวจานวนเตมบวกm จะเปนตวคณรวมของ a1, a2, ., , , an กตอเมอ a1|m, a2|m, ..., an|m

และm จะเปนตวคณรวมนอยของ a1, a2, ., , , an เขยนแทนดวย ℓcm(a1, a2, ., , , an) กตอเมอ• m เปนตวคณรวมของ a1, a2, ., , , an• สาหรบจานวนเตมบวก c ถา c เปนตวคณรวมของ a1, a2, ., , , an แลวm ≤ c

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนเตม a1, a2, ., , , an ทไมใชศนยพรอมกน แลว. ℓcm(ℓcm(a1, a2), a3, ., , , an) = ℓcm(a1, a2, ., , , an). ℓcm(ℓcm(a1, a2, ..., an−1), an) = ℓcm(a1, a2, ., , , an)

ตวอยาง . . จงหาตวคณรวมนอยของจานวนตอไปน

. ℓcm(4, 6, 18)

. ℓcm(6, 10, 15)

. ℓcm(35, 49, 42, 63)

. ℓcm(50, 125, 150, 500)

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนเตม a1, a2, ., , , an ทไมใชศนยพรอมกน และm = ℓcm(a1, a2, ., , , an) แลว สาหรบจานวนเตม c ใดๆ ถา c|a1, c|a2, ..., c|an แลว m | c



. กาหนดให a, b, c และ d เปนจานวนเตม พจารณาขอความตอไปน ถาถกจงพสจน ถาผดจงยกตวอยางคาน

. ℓcm(a2, b2) = (ℓcm(a, b))2

. ถา a | b แลว ℓcm(a, b) = |b|

. ถา a|c และ b|c และ ℓcm(a, b) = |ab| แลว ab|c

. ℓcm(ca, b) = c · ℓcm(a, b)

. ℓcm(a+ c, b+ c) = ℓcm(a, b)

. ถา gcd(a, b) = d และ ℓcm(a, b) = c แลว dc = ab เมอ a, b, c และ d เปนจานวนเตมบวก

. จงหา ℓcm(a, b) เมอกาหนดให

. a = 36 และ b = 96

. a = 280 และ b = −96

. a = −125 และ b = −325

. a = 990 และ b = 1020

. a = 1024 และ b = 2350

. a = 5005 และ b = 6590

. ให a, b, c ∈ Z จงแสดงวา ℓcm(a, b) | c กตอเมอ a | c และ b | c

. จงแสดงวา ถา a และ b เปนจานวนเตมบวก แลว gcd(a, b) = gcd(a+ b, ℓcm(a, b))

. ให a, b, c เปนจานวนเตฒทไมใชศนย และ c > 0 จงพสจนวา

ℓcm(a, b) = m กตอเมอ ℓcm(ca, cb) = cm

. ให x และ y เปนจานวนเตมบวก ซง 80 < x < y และ x = pq เมอ p, q เปนจานวนเฉพาะ ซง p = q ถา

x และ y เปนจานวนเฉพาะสมพทธกน ค.ร.น. ของ x และ y เทากบ 15, 015

จงหา y ทงหมดทสอดคลองเงอนไขทกาหนดให

บทท

จานวนเฉพาะ (Primes)

. นยามและสมบตบางประการ (Definitions & Properties)บทนยาม . . เราจะเรยก p เปนจานวนเตมทมากกวา 1 วาจานวนเฉพาะ (prime) กตอเมอ

p มตวหารคอ 1 และ p เทานน หรอ d - p ทกจานวนเตม d ซง 1 < d < p

จานวนเตมทมากกวา 1 ทไมใชจานวนเฉพาะจะเรยกวา จานวนประกอบ (composite number)

ตวอยางจานวนเฉพาะทไมเกน 40

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37

ทฤษฎบท . . p เปนจานวนเฉพาะ กตอเมอ ถา p = ab เมอ a, b เปนจานวนนบ แลว a = 1 หรอ b = 1

ทฤษฎบท . . ทกจานวนเตม a > 1 จะมจานวนเฉพาะ p ท p | a

ทฤษฎบท . . (Euclic) มจานวนเฉพาะอยเปนจานวนอนนต

ตวอยาง . . มจานวนเฉพาะ p ททาให 2p − 1 ไมเปนจานวนเฉพาะ

ตวอยาง . . จงแสดงวา ถา n จานวนประกอบ แลว 2n − 1 เปนจานวนประกอบ

ตวอยาง . . ให n ∈ N จงแสดงวามจานวนประกอบเรยงตอกน n จานวน

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะ และ a เปนจานวนเตม แลว

. ถา a | p แลว a = ±1 หรอ a = p

. a - p กตอเมอ gcd(a, p) = 1

. p | a กตอเมอ gcd(a, p) = p

. สาหรบจานวนเฉพาะ q ถา p | q แลว p = q

บทท . จานวนเฉพาะ (PRIMES)

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะ และ a, b, a1, a2, ..., an ∈ Z เมอ n ∈ N แลว

. ถา p | ab แลว p | a หรอ p | b

. ถา p | (a1a2...an) แลว p | ai สาหรบบางจานวน i ∈ {1, 2, ..., n}

. สาหรบจานวนนบ n ถา p | an แลว p | a

ตวอยาง . . จงหาจานวนเฉพาะ p ทงหมดทสอดคลองกบเงอนไขตอไปน

. p | 59015

. p | 1092099. p | (630 + p)4

. p | (150− 3p)251

. p | (1225− 10p)p+1

. p | (77003 − p2)p

ตวอยาง . . กาหนดให

A = {p | p เปนจานวนเฉพาะ ท p | (980− p)3}

แลวผลบวกของสมาชกทงหมดของเซต A มคาเทาใด

ตวอยาง . . จงหาจานวนเฉพาะ p ทงหมดทสอดคลองกบเงอนไขตอไปน

. p | 100!

. p | (p! + 288)5!

. p | (p2 + p+ 3598)

. (p+ 1) | (p2 + 2p+ 2699)2

ตวอยาง . . จงพสจนวา สาหรบจานวนเตมบวก n จะไดวา n! + 1 และ (n+ 1)! + 1 เปนจานวนเฉพาะสมพทธ

. . นยามและสมบตบางประการ (DEFINITIONS & PROPERTIES)


. จงหาจานวนเฉพาะ p ทงหมดทสอดคลอง

. p | 2313

. p | (p− 455)4

. p | (627 + 2p)11

. p |(p+ 1530)3

. (p+ 1) | (p− 3382)5

. (p− 1) |(p2 − p+ 3333)

. จงแสดงวา ถา p เปนจานวนเฉพาะ แลว p | (2p − 2)

. ถา p และ q เปนจานวนเฉพาะซง p ≥ q > 4 จงแสดงวา 24 | (p2 − q2)

. จงแสดงวา ถา p เปนจานวนเฉพาะ และ a ∈ Z ซง p | an แลว pn | an

. จงแสดงวา ถา p เปนจานวนเฉพาะซง p > 2 แลว 4 | (p2 − 1)

. จงหาจานวนเฉพาะ p ทงหมดททาให p | (2p − 1)

. จงหาจานวนเฉพาะ p ทงหมดททาให p | (2p + 1)

. จงหาจานวนเฉพาะทงหมดทหาร 100! ลงตว

. จงแสดงวา p เปนจานวนเฉพาะท p > 4 แลว p2 + 2 เปนจานวนประกอบ

. จงตรวจสอบจานวนเตมทอยในรป 8n + 1 เมอ n ∈ N เปนจานวนประกอบเมอใดขอเสนอแนะ (2n + 1) | (23n + 1)

. จงแสดงวา ถา 2n − 1 เปนจานวนเฉพาะ แลว n เปนจานวนเฉพาะ

. สาหรบจานวนนบ n ถา n3 + 1 เปนจานวนเฉพาะ จงแสดงวา n = 1


. ทฤษฎบทหลกมลเลขคณต (The Fundamental Theorem of Arithmematic)ทฤษฎบท . . ให n ∈ Z ซง n > 1 จะไดวา n สามารถเขยนในรป

n = pa11 · pa22 · pa33 · · · pakk

โดยท p1, p2, p3, ..., pk เปนจานวนเฉพาะซง p1 < p2 < p3 < ... < pk และ ai ∈ N สาหรบทก i = 1, 2, 3, ..., k

และเขยน n ในรปดงกลาวไดเพยงแบบเดยวเทานน

รปแบบตามทฤษฎบท . . เรยกวา รปแบบบญญต (canonical form) ของ n

ตวอยาง . . จงเขยนจานวนตอไปนในรปแบบบญญต

. 48

. 1502. 1225

. 4725

. 10003

. 35285. 15750

. 846876

ตวอยาง . . จงหาตวหารรวมมากและตวคณรวมนอยของจานวนตอไปน

. 150 และ 100 . 308 และ 1176 . 31752 และ 4725

ตวอยาง . . จงหาตวหารทงหมดของจานวนตอไปน

. 48 . 150 . 1225 . 4725

ทฤษฎบท . . ให n ∈ Z ซง n > 1 มรปแบบบญญตคอ

n = pa11 · pa22 · pa33 · · · pakk

แลวจานวนตวประกอบทงหมดของ n มทงหมด

(a1 + 1)(a2 + 1)(a3 + 1) · · · (ak + 1)

ตวอยาง . . จงหาจานวนตวประกอบทงหมดของ

. 1225

. 1003. 20!

. 4725

. 1377

. 6503 · 364. 10! · 2502 · 6364

. 52653 · 242552

บทตง . . ผลคณของจานวนเตมทอยในรป 4k + 1 ตงแตสองจานวนขนไปจะเปนจานวนเตมทอยในรป 4k + 1

ทฤษฎบท . . จานวนเฉพาะทอยในรป 4k + 3 มอยเปนจานวนอนนต

. . ทฤษฎบทหลกมลเลขคณต (THE FUNDAMENTAL THEOREM OF ARITHMEMATIC)


. จงเขยนจานวนตอไปนในรปแบบบญญต

. 1250

. 1000

. 25025

. 65304

. 150!

. 88442

. จงหาตวหารรวมมากและตวคณรวมนอยของจานวนตอไปน

. 250 และ 150 . 330 และ 1175 . 10240 และ 4725

. จงหาตวหารทงหมดของจานวนตอไปน

. 150

. 542

. 600

. 720

. 15!

. 31752

. จงหาจานวนตวประกอบทงหมดของ

. 85

. 125

. 2025

. 40955

. 10395

. 30!

. 35285 · 2284

. (10!)4

. (5!)(10!) · 74257

. มจานวนเฉพาะทอยในรป 6k + 5 เปนจานวนอนนต

. ในการเขยนจานวน 1000! ในรปของจานวนเตมจะมศนยลงทายเรยงตอเนองกนกตว

. ถา n เปนจานวนเตมค แลว 3 | (2n + 1)


. การคนหาจานวนเฉพาะ (Seeking Prime)ทฤษฎบท . . ถา a เปนจานวนประกอบ แลวจะมจานวนเฉพาะ p ซง

p ≤√a และ p | a

วธการตรวจสอบจานวนเฉพาะแบบตะแกรงเอราโตสเทเนส (The sieve of Eratosthesnes)โดยใชกฎแยงสลบท (comtrapositive) ของทฤษฎบท . . นนคอ

ถาทกจานวนเฉพาะ p ซง p ≤√a และ p - a แลว a เปนจานวนเฉพาะ

ตวอยาง . . จงตรวจสอบจานวนตอไปนวาเปนจานวนเฉพาะหรอไม

. 101

. 113

. 313

. 401

. 719

. 2, 093

ตวอยาง . . จงตรวจสอบจานวนเฉพาะทไมเกน 100 โดยตะแกรงเอราโตสเทเนส

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

ตวอยาง . . จงหาจานวนเฉพาะทไมเกน 100 ทสามารถเขยนในรป 3k + 1 ได

. . การคนหาจานวนเฉพาะ (SEEKING PRIME)

จานวนเฉพาะทงหมดทนอยกวา2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43

47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107

109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181

191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263

269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349

353 359 367 373 379 383 389 397 401 419 421 431 433 439

443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523

541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617

619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709

719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811

821 823 827 829 839 853 859 863 877 881 883 887 907 911

919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 911 997

ตวอยาง . . จงหาจานวนเฉพาะทงหมดทหาร 150! ลงตวตวอยาง . . จงตรวจสอบวา 30, 031 เปนจานวนเฉพาะหรอไม

จานวนแฟรมาต (Fermat Numbers)บทนยาม . . จานวนแฟรมาต (Fermat Numbers) คอจานวนทอยในรป

Fn = 22n

+ 1 เมอ n ≥ 0

ถา Fn เปนจานวนเฉพาะ เราจะเรยก Fn วาจานวนเฉพาะแฟรมาต (Fermat prime)

F0 = 3 F1 = 5 F2 = 17 F3 = 257 F4 = 65537

ทง จานวนลวนเปนจานวนเฉพาะแฟรมาตคาดเดาวาจานวนตอๆนาจะเปนจานวนเฉพาะตอมาในป ออยเลอรพบวา F5 = 4294967297 = 641 · 6700417

ทฤษฎบท . . สาหรบm > n แลว gcd(Fm, Fn) = 1

จานวนแมรเซน (Mersenne Numbers)บทนยาม . . จานวนมารเซน (Mersenne Numbers) คอจานวนทอยในรป

2n − 1 เมอ n ∈ N

ถาMn เปนจานวนเฉพาะ เราจะเรยกMn วาจานวนเฉพาะแมรเซน (Mersenne prime)

M1 = 1 M2 = 3 M3 = 7 M4 = 15 M5 = 31

ทฤษฎบท . . ถาMn เปนจานวนเฉพาะ แลว n เปนจานวนเฉพาะ



. จงตรวจสอบวาจานวนตอไปนเปนจานวนเฉพาะหรอไม

. 1001

. 1003

. 1117

. 2111

. 5139

. 10001

. 8009

. 77777

. 219 − 1 เปนจานวนเฉพาะหรอไม

. 25! + 1 เปนจานวนเฉพาะหรอไม

. 4545 + 5454 เปนจานวนเฉพาะหรอไม

. จงตรวจสอบวาM13,M19 และM23 เปนจานวนเฉพาะหรอไม

. จงหาจานวนเฉพาะทเขยนในรป 3k + 3 มา จานวน

. จงหาจานวนเฉพาะทเขยนในรป 6k + 5 มา จานวน

. จงหาจานวนเฉพาะทเขยนในรป k2 + k + 41 มา จานวน

. จงหาจานวนเฉพาะทเขยนในรป k2 − 79k + 160 มา จานวน

. มจานวนเตม n ซง 6 < n < 20 จานวนใดบางททาให n2 + 1 เปนจานวนเฉพาะบาง

. จงแสดงวา จานวนเฉพาะทเขยนในรป 8n+ 5 มจานวนอนนต

. จงแสดงวา ถา p และ p2 + 8 เปนจานวนเฉพาะ แลว p3 + 4 เปนจานวนเฉพาะ

. จงแสดงวา ถา p, p+ 2 และ p+ 4 เปนจานวนเฉพาะทกตว แลว p = 3

. จงแสดงวา ถา p และ p+2 เปนจานวนเฉพาะทงค (จานวนเฉพาะคแฝด : twin prime) และ p(p+2)+2 เปนจานวนเฉพาะ แลว p = 3

. จงแสดงวา ถา p และ p + 2 เปนจานวนเฉพาะคแฝดท p > 3 แลวผลบวกของจานวนเฉพาะคแฝดนหารดวยลงตว

. จงแสดงวา สาหรบm > n แลว gcd(Fm, Fn) = 1

. สาหรบ n ≥ 1 จงแสดงวา gcd(Fn, n) = 1

. จงแสดงวา จานวนเตมทเขยนในรป Fn + 4 เปนจานวนประกอบ

. จงพสจนวา ถา p และ 2p+ 1 เปนจานวนเฉพาะ แลว (2p+ 1) | Mp หรอ (2p+ 1) | (Mp + 2)

บทท

สมภาค (Congruence)

. นยามและสมบต (Definition & Properties)ใน ค.ศ. Carl Friedrich Gauss นกคตศาสตรชาวเยอรมน ไดเสนอแนวคดทเรยกวา สมภาคหรอคอนกรเอนซ(Congruence) ซงปรากฎในหนงสอของเขาเองชอ Disquisitones Arithmeticae ในขณะมอายเพยง ป ซงเปนเครองมอสาคญเกยวกบทฤษฎจานวน เกาสได รบปรญญาเอกอายเพยง ป โดยการนาเสนอวทยานพนธการพสจน เรองทฤษฎบทพนฐานทางคณตศาสตร (The Fundamental Theorem of Algebra) และเกาสไดรบยกยองวาเปน Prince ofMathematicians

บทนยาม . . ให a, b เปนจานวนเตม และm เปนจานวนเตมบวก เราจะกลาววา a คอนกรเอนซ (congruence) กบ b

มอดโลm เขยนแทนดวย

a ≡ b ( mod m) กตอเมอ m | (b− a)

a ไมคอนกรเอนซกบ b มอดโลm เขยนแทนดวย

a ≡/ b ( mod m) กตอเมอ m - (b− a)

ขอสงเกต จากนยามขางตนจะไดวา a ≡ b ( mod 1) และ a ≡ a ( mod m)

ตวอยาง . . จงใหเหตผลเกยวกบการคอนกรเอนซตอไปน

. 2 ≡ 5 ( mod 3) เพราะวา

. −3 ≡ 7 ( mod 5) เพราะวา

. −15 ≡ −3 ( mod 6) เพราะวา

. 5 ≡/ 7 ( mod 3) เพราะวา

ทฤษฎบท . . ให a, b เปนจานวนเตม และm เปนจานวนเตมบวก แลว

a ≡ b ( mod m) กตอเมอ a และ b มเศษเหลอจากการหารดวยm เทากน

บทท . สมภาค (CONGRUENCE)

ตวอยาง . . จงตรวจสอบคอนกรเอนซตอไปนถกตองหรอไม โดยใชทฤษฎบท . .

. 123 ≡ 192 ( mod 3) เพราะวา

. −124 ≡ 77 ( mod 5) เพราะวา

. 687 ≡ 129 ( mod 7) เพราะวา

. 557 ≡ 718 ( mod 3) เพราะวา

ทฤษฎบท . . ให a, b, c เปนจานวนเตม และm เปนจานวนเตมบวก แลว

. a ≡ a ( mod m) สมบตสะทอน (Reflexive law)

. ถา a ≡ b ( mod m) แลว b ≡ a ( mod m) สมบตสมมาตร (Symmetric law)

. ถา a ≡ b ( mod m) และ b ≡ c ( mod m) แลว a ≡ c ( mod m) สมบตถายทอด (Transitive law)

ทฤษฎบท . . ให a, b, c, d เปนจานวนเตม และm เปนจานวนเตมบวก แลว

. ถา a ≡ b ( mod m) และ c ≡ d ( mod m) แลว a+ c ≡ b+ d ( mod m)

. ถา a ≡ b ( mod m) และ c ≡ d ( mod m) แลว ac ≡ cd ( mod m)

ทฤษฎบท . . ให a, b, c เปนจานวนเตม และm เปนจานวนเตมบวก แลว

. ถา a ≡ b ( mod m) แลว a+ c ≡ b+ c ( mod m)

. ถา a ≡ b ( mod m) แลว ac ≡ bc ( mod m)

ทฤษฎบท . . ให a, b, c, d, x, y เปนจานวนเตม และm, k เปนจานวนเตมบวก แลว

. ถา a ≡ b ( mod m) แลว ak ≡ bk ( mod m)

. ถา a ≡ b ( mod m) และ c ≡ d ( mod m) แลว ax+ cy ≡ bx+ dy ( mod m)

ตวอยาง . . จงแสดงวา 41 หาร 220 − 1 ลงตว

ตวอยาง . . จงหาเศษทเกดจากการหาร

. 23 หาร 213

. 51 หาร 720

. 51 หาร 310

. 51 หาร 2110

ตวอยาง . . จงหาเลขโดดสองหลกสดทายของ 34000

ตวอยาง . . จงแสดงวา 42 | (n7 − n) ทกจานวนเตมบวก n

ตวอยาง . . จงแสดงวา 4n ≡ 1 + 3n ( mod 9) ทกจานวนเตมบวก n

. . นยามและสมบต (DEFINITION & PROPERTIES)

ทฤษฎบท . . ทกๆจานวนเตม a จะมจานวนเตม r เพยงตวเดยวท 0 ≤ r < m และ a ≡ r ( mod m)

บทนยาม . . ถา a ≡ b ( mod m) จะเรยก b วาเปนสวนตกคาง (residue) ของ a มอดโลm เซตของ

{a1, a2, ..., am}

จะเปนระบบสวนตกคางบรบรณ (complete residue system) มอดโลm กตอเมอ ทกๆจานวนเตม a จะม ai เพยงตวเดยวททาให a ≡ ai ( mod m) ชนสมมลของ ai คอ

{a | a ∈ Z, a ≡ ai ( mod m)}

จะเรยกวา ชนสวนตกคาง (residue class) ของ ai มอดโลm

ตวอยาง . . จงหาระบบสวนตกคางบรบรณของ

. มอดโล 4

. มอดโล 5

. มอดโล 10

. มอดโลm

ขอสงเกต

• ถา {a1, a2, ..., am} เปนระบบสวนตกคางบรบรณมอดโลm กตอเมอ ทกๆ i = j ai ≡/ aj ( mod m)

• ถา {a1, a2, ..., am} และ {b1, b2, ..., bm} เปนระบบสวนตกคางบรบรณมอดโล m แลวจะไดวาทกๆ ai จะม bj

เพยงตวเดยวททาให ai ≡ bj ( mod m)

บทนยาม . . เราจะเรยกเปนระบบสวนตกคางบรบรณมอดโลm

{0, 1, 2, ...,m− 1}

วาระบบสวนตกคางบรบรณทไมเปนคาลบนอยสด (least non-negative complete residue system) มอดโลm



. จงหาเลขโดดหลกสดทายของ 3400

. จงหาเลขโดดสามหลกสดทายของ 13398

. จงหาเศษทเหลอจากหาร 97104 ดวย 105

. จงหาเศษทเหลอจากหาร 1049 ดวย 7

. จงหาเศษทเหลอจากหาร 3636 + 4141 ดวย 77

. จงหาเศษทเหลอจากหาร 15 + 25 + 35 + ...+ 995 ดวย 4

. จงแสดงวา

. 44 | (1919 + 6919)

. 13 | (270 + 370)

. 7 | (950 − 4)

. 13 | (536 − 1)

. 19 | (1775 + 8)

. 11 · 31 · 61 | (2015 − 1)

. จงแสดงวา 19 - (4n2 + 4) ทกจานวนเตม n

. จงแสดงวา สาหรบจานวนเตมบวก n ใดๆ 11 | (24n+3 + 5n+2) โดยใชสมภาค

. จงแสดงวา สาหรบจานวนเตม n ใดๆ ถา gcd(n, 7) = 1 แลว 7 | (n2 − 1)

. จงแสดงวา สาหรบจานวนเตมบวกค n ใด 1 + 2 + 3 + ...+ (n− 1) ≡ 0 ( mod n)

. ถา p เปนจานวนเฉพาะ จงพสจนวา สาหรบทกจานวนเตม x ใดๆ

x2 ≡ x ( mod p) กตอเมอ x ≡ 0 ( mod p) หรอ x ≡ 1 ( mod p)

. ให a, b,m เปนจานวนเตม จงพสจนวา ถา a ≡ b ( mod m) แลว gcd(a,m) = gcd(b,m)

. จงพสจนวา ถา a ≡ 2 ( mod 4) จะไมมจานวนเตม b และm > 1 ท a = bm

. ให a และm เปนจานวนเตมบวกท gcd(a,m) = 1 จงพสจนวาสาหรบจานวนเตมบวก b ใดๆ

{b, b+ a, b+ 2a, ..., b+ (m− 1)a}

เปนระบบสวนตกคางบรบรณมอดโลm

. . สมการสมภาคเชงเสน (LINEAR CONGRUENCE EQUATIONS)

. สมการสมภาคเชงเสน (Linear Congruence Equations)ตวอยาง . . จงหาจานวนเตม a ทสอดคลองเงอนไขตอไปนมาอยางนอย 3 จานวน และหา a ตอบในรปทวไป

. a ≡ 2 ( mod 2)

. a ≡ 2 ( mod 3)

. 5 ≡ a ( mod 5)

. 2a ≡ 7 ( mod 3)

ตวอยาง . . จงเซตคาตอบของ x ทสอดคลอง

. 5x ≡ 3 ( mod 6)

. 6x ≡ 3 ( mod 9)

. 2x− 5 ≡ 0 ( mod 9)

. 3x ≡ 5 ( mod 6)

ทฤษฎบท . . ให a, b,m ∈ Z โดยท n > 0 และ gcd(a,m) = d จะไดวา

สมการสมภาคเชงเสน ax ≡ b ( mod m) มคาตอบ x ∈ Z กตอเมอ d | b

ถา d | b จะมคาตอบอย d คาตอบไมสมภาคกนมอดโลm และคาตอบนนคอ

x ≡ x0 + tmd( mod m) เมอ t = 0, 1, 2, ..., d− 1

โดยท x0 คอคาตอบหนงของสมการ adx ≡ b

d( mod m

d)

บทแทรก . . ถา gcd(a, n) = 1 แลวสมการ ax ≡ b ( mod m) มเพยงคาตอบเดยว กลาวคอถา x1 และ x2 เปนคาตอบของสมการ ax ≡ b ( mod m) แลว x1 ≡ x2 ( mod m)


. 14x ≡ 13 ( mod 21)

. 39x ≡ 65 ( mod 52)

. 18x ≡ 30 ( mod 42)

. 9x ≡ 21 ( mod 30)

. 91x ≡ 98 ( mod 119)

. 6x ≡ 22 ( mod 39)

บทนยาม . . ถา gcd(a,m) = 1 ผลเฉลยของ ax ≡ 1 ( mod m) จะเรยกวา ตวผกผน (inverse) ของ a มอดโลm

ตวอยาง . . จงหา

. ตวผกผนของ มอดโล . ตวผกผนของ มอดโล . ตวผกผนของ มอดโล



. จงเซตคาตอบของ x ทสอดคลอง

. 20x ≡ 45 ( mod 5)

. 20x ≡ 30 ( mod 4)

. 15x ≡ 25 ( mod 35)

. 15x ≡ 24 ( mod 35)

. 15x ≡ 0 ( mod 35)

. 39x ≡ 65 ( mod 52)

. 20x ≡ 4 ( mod 30)

. 335x ≡ 254 ( mod 400)

. จงหาตวผกผนของ

. มอดโล . มอดโล . มอดโล

. . ทฤษฎบทเศษเหลอของจน (CHINESE REMAINDER THEOREM)

. ทฤษฎบทเศษเหลอของจน (Chinese Remainder Theorem)ทฤษฎบท . . ใหm1,mm2 ∈ N และ gcd(m1,m2) = 1 จะไดวาระบบสมการ

x ≡ a1 ( mod m1)

x ≡ a2 ( mod m2)

มคาตอบของระบบสมการเพยงคาตอบเดยวมอดโล m = m1m2 กลาวคอ ถาม x0 ∈ Z ซง x0 ≡ ai (mod mi) ทกi = 1, 2 และถา x1 และ x2 เปนคาตอบของสมการ ax ≡ b (mod m) แลว x1 ≡ x2 (mod m1m2)

ในระบบสมการทมากกวา สมการ

x ≡ a1 ( mod m1)

x ≡ a2 ( mod m2)

x ≡ a3 ( mod m3)

เมอ gcd(m1,m2) = gcd(m1,m3) = gcd(m2,m3) = 1

ให x0 = m2m3x1a1 +m1m3x2a2 +m1m2x3a3 สาหรบจานวนเตม x1, x2, x3 ใดๆ จะไดวา

x0 ≡ m2m3x1a1 + 0 + 0 ( mod m1)

≡ 0 +m1m3x2a2 + 0 ( mod m2)

≡ 0 + 0 +m1m2x3a3 ( mod m3)

ในการหาคาตอบของระบบสมการขางตนเราเลอก x1, x2, x3 ทสอดคลองสมการ

m2m3x ≡ 1 ( mod m1)

m1m3x ≡ 1 ( mod m2)

m2m2x ≡ 1 ( mod m3)

ถา x1, x2 เปนคาตอบของระบบสมการ จะไดวา x1 ≡ x2 (mod m1m2m3)

ตวอยาง . . จงหาคาตอบของระบบสมการ

x ≡ 2 ( mod 3)

x ≡ 5 ( mod 4)

x ≡ −3 ( mod 7)


ทฤษฎบท . . (ทฤษฎบทเศษเหลอของจน (Chinese Remainder Theorem)) ใหm1,m2, ...,mr เปนจานวนเตมบวกซง gcd(mi,mj) = 1 สาหรบ i = j จะไดระบบสมการสมภาค

x ≡ a1 ( mod m1)

x ≡ a2 ( mod m2)

x ≡ a3 ( mod m3)

...x ≡ ar ( mod mr)

มคาตอบของระบบสมการเพยงคาตอบเดยวในมอดโลm = m1m2m3...mr

กลาวคอจะม x0 ∈ Z ซง x0 ≡ ai (mod mi) ทก i = 1, 2, ..., r

ถา x1 และ x2 เปนคาตอบของสมการ x1 ≡ x2 (mod m)


x ≡ 2 ( mod 3)

x ≡ 3 ( mod 5)

x ≡ 2 ( mod 7)

ตวอยาง . . จงหาคาตอบของสมการสมภาค 17x ≡ 9 (mod 276)

ตวอยาง . . อายของชายคนหนงเมอหารดวย เหลอเศษ เมอหารดวย เหลอเศษ และเมอหารดวย เหลอเศษจงหาอายของชายคนน

ตวอยาง . . จงหาจานวนเตมบวกทงหมดทหารดวย , , แลวเหลอเศษ หรอทฤษฎบท . . ใหm1,m2 เปนจานวนเตมบวกและ a1, a2 ∈ Z จะไดระบบสมการสมภาค

x ≡ a1 ( mod m1)

x ≡ a2 ( mod m2)

มคาตอบ กตอเมอ gcd(m1,m2) | (a1 − a2)

และถามคาตอบแลว จะมคาตอบเพยงคาตอบเดยวในมอดโล ℓcm(m1,m2)


x ≡ 9 ( mod 14)

x ≡ 6 ( mod 20)


x ≡ 10 ( mod 14)

x ≡ 6 ( mod 20)

. . ทฤษฎบทเศษเหลอของจน (CHINESE REMAINDER THEOREM)

ทฤษฎบท . . ใหm1,m2, ...,mr เปนจานวนเตมบวกและ a1, a2, ..., ar ∈ Z จะไดระบบสมการสมภาค

x ≡ a1 ( mod m1)

x ≡ a2 ( mod m2)

...x ≡ ar ( mod mr)

มคาตอบ กตอเมอ gcd(mi,mj) | (ai − aj) สาหรบทก i, j ∈ {1, 2, ..., r}และถามคาตอบแลว จะมคาตอบเพยงคาตอบเดยวในมอดโล ℓcm(m1,m2, ...,mr)


x ≡ 5 ( mod 6)

x ≡ 17 ( mod 21)

x ≡ 3 ( mod 28)

ทฤษฎบท . . ให f(x) = cnxn + cn−1x

n−1 + ...+ c1x+ c0 เปนพหนามทม ci ∈ Z และ cn = 0

. ถา a ≡ b ( mod m) แลว f(a) ≡ f(b) ( mod m)

. ถา a เปนคาตอบของสมการ f(x) ≡ 0 ( mod m) และ a ≡ b ( mod m) แลว

b เปนคาตอบของสมการ f(x) ≡ 0 ( mod m)


. x2 − x− 2 ≡ 0 ( mod 5) . x2 − x− 2 ≡ 0 ( mod 9)

ตวอยาง . . จงเซตคาตอบของ x ทสอดคลอง x2 + x− 7 ≡ 0 ( mod 15)

ตวอยาง . . จงเซตคาตอบของ x ทสอดคลอง x2 + x+ 7 ≡ 0 ( mod 189)



. จงหาคาตอบทงหมดของสมการสมภาค

. 20x ≡ 4 (mod 30) . 20x ≡ 3 (mod 4) . 353x ≡ 254 (mod 400)

. จงหาคาตอบของระบบสมการสมภาคตอไปน

.

x ≡ 1 ( mod 3)

x ≡ 2 ( mod 5)

x ≡ 3 ( mod 7)

.

x ≡ 1 ( mod 4)

x ≡ 0 ( mod 3)

x ≡ 5 ( mod 7)


.

x ≡ 1 ( mod 10)

x ≡ 3 ( mod 15)

.

x ≡ 2 ( mod 6)

x ≡ 11 ( mod 9)

.

x ≡ 2 ( mod 4)

x ≡ 11 ( mod 9)

.

2x ≡ 1 ( mod 5)

3x ≡ 5 ( mod 17)


x ≡ 1 ( mod 2)

x ≡ 2 ( mod 3)

x ≡ 3 ( mod 5)

x ≡ 4 ( mod 7)

. จงหาจานวนเตมบวกทมคานอยสดทเมอหารดวย , , แลวเหลอเศษเปน , , ตามลาดบ

. จงหาจานวนเตมทงหมดทอยระหวาง ถง ทเมอหารดวย , , แลวไดเศษเหลอ , , ตามลาดบ

. จงหาคาตอบของสมการสมภาค

. x2 + 4x+ 8 ≡ 0 (mod 15) . x2 + 2x− 3 ≡ 0 (mod 45) . x2 + 2x− 3 ≡ 0 (mod 9)

. . ระบบสวนตกคางลดทอน (REDUCED RESIDUE SYSTEM)

. ระบบสวนตกคางลดทอน (Reduced Residue System)บทนยาม . . ระบบสวนตกคางลดทอน (reduced residue system) มอดโลm คอเซตของจานวนเตมในระบบสวนตกคางบรบรณทเปนจานวนเฉพาะสมพทธกบ m ระบบสวนตกคางลดทอนมอดโล m ทไดจากระบบสวนตกคางบรบรณ{0, 1, 2, ...,m− 1} ซงคอ

{k | 0 ≤ k < m, gcd(k, n) = 1}

เรยกวา ระบบสวนตกคางลดทอนทไมเปนลบคานอยสด (least non-negative reduced residue system) มอดโลmให ϕ(m) แทนจานวนสมาชกของระบบสวนตกคางลดทอน มอดโลm

ตวอยาง . . จงหาระบบสวนตกคางลดทอน

. มอดโล . มอดโล . มอดโล

ทฤษฎบท . . ถา {a1, a2, ..., aϕ(m)} เปนเซตของจานวนเตมซงทกๆ i, gcd(ai,m) = 1 และทกๆ i = j,ai ≡ aj (mod m) แลว {a1, a2, ..., aϕ(m)} เปนระบบสวนตกคางลดทอน มอดโลm

ทฤษฎบท . . ให gcd(a,m) = 1 และ {r1, r2, ..., rϕ(m)} เปนระบบสวนตกคางลดทอน มอดโลm จะไดวา

{ar1, ar2, ..., arϕ(m)}

เปนระบบสวนตกคางลดทอน มอดโลm

ทฤษฎบท . . (ทฤษฎบทของออยเลอร (Euler's Theorem)) ถา a ∈ Z และ n ∈ N ซง gcd(a, n) = 1 แลว

aϕ(n) ≡ 1 ( mod n)

บทแทรก . . (ทฤษฎบทของแฟรมาต (Fermat's Little Theorem)) ให p เปนจานวนเฉพาะ และ a ∈ Z โดยท p - aแลว

ap−1 ≡ 1 ( mod p)

บทแทรก . . ให p เปนจานวนเฉพาะ และ a ∈ Z แลว

ap ≡ a ( mod p)

ตวอยาง . . จงหาเศษทเกดจากการหาร 31000 ดวย 17

ตวอยาง . . จงพจารณาวา 2117 − 2 หารดวย 117 ลงตวหรอไม

ตวอยาง . . จงแสดงวา 100 หาร 3256 เหลอเศษ 21

ตวอยาง . . จงหาเลขโดดสามหลกสดทายของ 71000

ตวอยาง . . จงหาคา a ททาให 1021999 + 1031999 ≡ a (mod 1999) เมอ 0 ≤ a < 1999


ทฤษฎบท . . ถา p และ q เปนจานวนเฉพาะทแตกตางกนซง aq ≡ a (mod p) และ ap ≡ a (mod q) แลว

apq ≡ a ( mod pq)

ตวอยาง . . จงแสดงวา 2340 ≡ 1 (mod 341)

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะ จะได

x2 ≡ 1 (mod p) กตอเมอ x ≡ 1 หรอ −1 (mod p)

ทฤษฎบท . . (ทฤษฎบทของวลสน (Wilson's Theorem)) ให p เปนจานวนเฉพาะ จะได

(p− 1)! ≡ −1 ( mod p)

ตวอยาง . . จงหาเศษทเกดจากการหาร 15! ดวย 17

ตวอยาง . . จงแสดงวา 18! ≡ −1 (mod 437)

. . ระบบสวนตกคางลดทอน (REDUCED RESIDUE SYSTEM)


. จงหาเศษทเกดจากการหาร 21000000 ดวย 17

. จงหาเศษทเกดจากการหาร 1010 + 10102+ 1010

3+ ...+ 1010

10 ดวย 7

. จงแสดงวา ถา p เปนจานวนเฉพาะค แลว 2(p− 3)! ≡ −1 (mod p)

. จงแสดงวา 11320 − 1 หารดวย 17 ลงตว

. จงแสดงวา 3636 + 4141 หารดวย 77 ลงตว



. จงแสดงวา 97104 หารดวย 105 เหลอเศษเปน 1

. จงแสดงวา 2015 − 1 หารดวย 11 · 31 · 61 ลงตว

. จงแสดงวา 561 | (2561 − 2) และ 561 | (2561 − 3)

. จงแสดงวา 18351910 + 19862061 ≡ 0 (mod 7)

. จงแสดงวา 22225555 + 55552222 ≡ 0 (mod 7)



. จงหาเลขโดดสองหลกสดทายของ 999

. จงหาเลขโดดสามหลกสดทายของ F13

บทท

ฟงกชนเลขคณต (Arithematic Functions)

. ฟงกชนเชงการคณ (Multiplicative function)บทนยาม . . ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก และพสยเปนสบเซตของจานวนเชงซอน เรยกวา ฟงกชนเลขคณต (arithematic function)

ตวอยาง . . ตวอยางฟงกชนเลขคณตทสาคญ

. ϕ(n) = จานวนของจานวนเตมทนอยกวาหรอเทากบ n ทเปนจานวนเฉพาะสมพทธกบ n

• ϕ(1) =

• ϕ(2) =

• ϕ(5) =

• ϕ(11) =

• ϕ(15) =

• ϕ(36) =

. τ(n) = จานวนตวหารทเปนเปนบวก n

• τ(1) =

• τ(2) =

• τ(6) =

• τ(15) =

• τ(31) =

• τ(36) =

. σ(n) = ผลบวกของตวหารทเปนเปนบวก n

• σ(1) =

• σ(2) =

• σ(7) =

• σ(20) =

• σ(43) =

• σ(100) =

. λ : N → Z กาหนดโดยλ(n) =

1 เมอ n = 1

(−1)α1+α2+...+αk เมอ n = pα11 · pα2

2 · ... · pαkk (รปแบบบญญต)

• λ(1) =

• λ(2) =

• λ(6) =

• λ(7) =

• λ(12) =

• λ(50) =

บทท . ฟงกชนเลขคณต (ARITHEMATIC FUNCTIONS)

. Λ : N → R กาหนดโดยΛ(n) =

log p ถา n = pa เมอ p เปนจานวนเฉพาะ และ a ∈ N

0 ถา n เปนอยางอน

• Λ(1) =

• Λ(2) =

• Λ(6) =

• Λ(8) =

• Λ(18) =

• Λ(49) =

. µ : N → Z กาหนดโดย

µ(n) =

1 ถา n = 1

0 ถามจานวนเฉพาะ p ซง p2 | n(−1)k ถา n = p1p2 · · · pk เมอ pi เปนจานวนเฉพาะทแตกตางกน

• µ(1) =

• µ(2) =

• µ(4) =

• µ(6) =

• µ(15) =

• µ(210) =

. ฟงกชนเลขคณตแบบอนๆ

• f : N → Z กาหนดโดย f(n) = 2n

• f : N → Z กาหนดโดย f(n) = n(n+ 1)

• f : N → C กาหนดโดย f(n) = n+ i

• f : N → Z กาหนดโดย f(n) = n3

• f : N → Z กาหนดโดย f(n) = จานวนตวประกอบทเปนจานวนเฉพาะของ n

ตวอยาง . . จงตรวจสอบวาฟงกชนตอไปนเปนฟงกชนเลขคณตหรอไม

. f : N → Z กาหนดโดย f(n) = 0


. f : N → Z กาหนดโดย f(n) = n

. f : Z → Z กาหนดโดย f(n) = n

. f : N → Z กาหนดโดย f(n) = n2

. f : N → C กาหนดโดย f(n) = ni

. f : R → Z กาหนดโดย f(n) = จานวนเตมทมคามากทสดแตนอยกวา n

. f : Z → Z กาหนดโดย f(n) = จานวนตวประกอบของ n

. . ฟงกชนเชงการคณ (MULTIPLICATIVE FUNCTION)

บทนยาม . . ฟงกชนเลขคณต f จะเรยกวา ฟงกชนเชงการคณ (multiplicative function) กตอเมอ

f(mn) = f(n)f(m) สาหรบทกจานวนเตม n,m และ gcd(m,n) = 1

และเรยกวา ฟงกชนเชงการคณแบบบรบรณ (completely multiplicative function) กตอเมอ

f(mn) = f(n)f(m) สาหรบทกจานวนเตม n,m

ตวอยาง . . จงตรวจสอบฟงกชนเลขคณตในตวอยาง . . วาฟงกชนใดเปนฟงกชนเชงการคณ และฟงกชนเชงการคณแบบบรบรณ

ตวอยาง . . จงยกตวอยางฟงกชนเลขคณตทไมเปนฟงกชนเชงการคณ มาอยางนอย ตวอยาง

บทนยาม . . ฟงกชนเลขคณต f จะเรยกวา ฟงกชนเชงการบวก (additive function) กตอเมอ

f(mn) = f(n) + f(m) สาหรบทกจานวนเตม n,m และ gcd(m,n) = 1

และเรยกวา ฟงกชนเชงการบวกแบบบรบรณ (completely additive function) กตอเมอ

f(mn) = f(n) + f(m) สาหรบทกจานวนเตม n,m

ตวอยาง . . จงตรวจสอบฟงกชนเลขคณตตอไปนวาเปนฟงกชนเชงการบวก และฟงกชนเชงการบวกแบบบรบรณ


. f : N → Z กาหนดโดย f(n) = n

. f : N → C กาหนดโดย f(n) = lnn

. f : N → Z กาหนดโดย f(n) = en

. f : N → Z กาหนดโดย f(n) = จานวนตวประกอบทเปนจานวนเฉพาะของ n

ทฤษฎบท . . ให f เปนฟงกชนเลขคณต โดยท f(1) = 1 และรปแบบบญญต n = pα11 · pα2

2 · ... · pαkk แลว

f เปนฟงกชนแยกคณ กตอเมอ f(pα11 · pα2

2 · ... · pαkk ) = f(pα1

1 )f(pα22 )...f(pαk

k )

ทฤษฎบท . . ให f เปนฟงกชนเลขคณต โดยท f(1) = 1 และรปแบบบญญต n = pα11 · pα2

2 · ... · pαkk แลว

f เปนฟงกชนแยกคณแบบบรบรณ กตอเมอ f(pα11 · pα2

2 · ... · pαkk ) = f(p1)

α1f(p2)α2 ...f(pk)

αk


สญญาลกษณแทนการบวกของฟงกชนเลขคณต f∑d|n

f(d) หมายถง ผลบวกของ f(d) เมอ d เปนตวหาร n

ตวอยางเชน∑d|3

f(d) = f(1) + f(3) และ∑d|6

f(d) = f(1) + f(2) + f(3) + f(6) เปนตน

ฟงกชนเทา (Tau function)บทนยาม . . ให n ∈ N กาหนดให

τ(n) = จานวนตวหารทเปนเปนบวก n

เรยกฟงกชนนวา ฟงกชนเทา (Tau function) หรอกาหนดโดย τ(1) = 1 และ τ(n) =∑d|n

1

ตวอยาง . . จงหาคาของ

• τ(12) = • τ(23) = • τ(308) = • τ(625) =

ทฤษฎบท . . ฟงกชนเทาเปนฟงกชนเชงการคณ

ทฤษฎบท . . ถา p เปนจานวนเฉพาะ แลว

τ(p) = 2

ทฤษฎบท . . ถา p เปนจานวนเฉพาะ และ a ∈ Nแลว

τ(pa) = a+ 1

ทฤษฎบท . . ถา p, q เปนจานวนเฉพาะทแตกตางกน และ r, s ∈ Nแลว

τ(prqs) = (r + 1)(s+ 1)

ทฤษฎบท . . ถา n = pα11 · pα2

2 · ... · pαkk รปแบบบญญต แลว

τ(n) =k∏

i=1

(αi + 1)


• τ(500) =

• τ(720) =

• τ(1000) =

• τ(10008) =

ตวอยาง . . ถา n = 2k − 1 เปนจานวนเฉพาะ จงหาคาของ τ(n)

. . ฟงกชนเชงการคณ (MULTIPLICATIVE FUNCTION)

ฟงกชนซกมา (Sigma function)บทนยาม . . ให n, k ∈ N กาหนดให

σ(n) = ผลบวกของตวหารทงหมดของ nเรยกฟงกชนนวา ฟงกชนซกมา (Sigma function) หรอกาหนดโดย σ(1) = 1 และ σ(n) =

∑d|n

d

σk(n) = ผลบวกของกาลง k ของตวหารทงหมดของ nหรอกาหนดโดย σk(1) = 1 และ σk(n) =

∑d|n

dk


• σ(6) = • σ2(6) = • σ(81) = • σ3(81) =

ทฤษฎบท . . ฟงกชนซกมาเปนฟงกชนเชงการคณทฤษฎบท . . ถา p เปนจานวนเฉพาะ แลว

σ(p) = 1 + p และ σk(p) = 1 + pk

ทฤษฎบท . . ถา p เปนจานวนเฉพาะ และ a ∈ Nแลว

σ(pa) =pa+1 − 1

p− 1และ σk(p

a) =(pk)a+1 − 1

pk − 1

ทฤษฎบท . . ถา p, q เปนจานวนเฉพาะทแตกตางกน และ r, s ∈ Nแลวσ(prqs) = σ(pr)σ(ps) และ σk(p

rqs) = σk(pr)σk(p

s)

ทฤษฎบท . . ถา n = pα11 · pα2

2 · ... · pαkk รปแบบบญญต แลว

σ(n) =k∏

i=1

pαi+1i − 1

pi − 1และ σk(n) =

k∏i=1

(pki )αi+1 − 1

pki − 1


• σ(200) =

• σ(600) =

• σ(625) =

• σ(729) =

• σ(1000) =

• σ(3250) =

ตวอยาง . . ถา n = 2k − 1 เปนจานวนเฉพาะ จงหาคาของ σ(n)บทนยาม . . เราจะเรยกจานวน n วา จานวนสมบรณ (perfect number) ถา σ(n) = 2n



. จงตรวจสอบฟงกชนตอไปน เปนฟงกชนเชงการคณหรอไม

. f : N → Z โดย f(n) = 3n

. f : N → Z โดย f(n) = n2

. f : N → R โดย f(n) = 1n

. f : N → C โดย f(n) = n+ ni

. จงตรวจสอบฟงกชนตอไปน เปนฟงกชนเชงการบวกหรอไม

. f : N → Z โดย f(n) = 5

. f : N → Z โดย f(n) = gcd(n, n+ 2)

. f : N → R โดย f(n) = cosn

. f : N → C โดย f(n) = ein

. จงหาคาของ

. τ(25)

. τ(99)

. τ(100)

. τ(525)

. τ(3125)

. τ(9938)

. σ2(20)

. σ3(72)

. σ(900)

. σ(1500)

. σ(6000)

. σ(5545)

. จงพสจนวา ถา f และ g เปนฟงกชนเชงการคณ แลว fg เปนฟงกชนเชงการคณ

. ให f และ g เปนฟงกชนเชงการคณ จงพสจนวา f = g กตอเมอ f(pa) = g(pa) สาหรบทกจานวนเฉพาะ p และทกจานวนนบ d

. จงตรวจสอบวา τ(n) = τ(n+1)+ τ(n+2)+ τ(n+3) เปนจรงสาหรบ n = 3655 และ n = 4503 หรอไม

. จงหาเซตคาตอบของสมการ τ(x) = 1, τ(x) = 2, τ(x) = 3 และ τ(x) = 4

. ให n ∈ N จงพสจนวา σ(n) = n+ 1 กตอเมอ n เปนจานวนเฉพาะ

. สาหรบจานวนนบ n ใดๆ จงพสจนวา σ(n2) ≤ σ2(n)

. . ฟงกชนออยเลอร-ฟ (EULER PHI-FUNCTIONS)

. ฟงกชนออยเลอร-ฟ (Euler phi-functions)บทนยาม . . ให n ∈ N กาหนด

ϕ(n) = จานวนของจานวนเตมบวกซง k ≤ nและ gcd(k, n) = 1

เราเรยกฟงกชนนวา ฟงกชนฟ (phi function)

n จานวนเตมบวก k ≤ n ซง gcd(k, n) = 1 ϕ(n)

,,, , ,,, , , , ,, , ,, , , , ,, , ,


. ϕ(15)

. ϕ(25)

. ϕ(36)

. ϕ(48)

. ϕ(50)

. ϕ(100)

ทฤษฎบท . . ϕ(p) = p− 1 เมอ p เปนจานวนเฉพาะ

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะ และ k ∈ N แลว

ϕ(pk) = pk − pk−1


. ϕ(97)

. ϕ(64)

. ϕ(343)

. ϕ(625)

. ϕ(729)

. ϕ(1024)

ทฤษฎบท . . ϕ เปนฟงกชนเชงการคณ หรอ ϕ(mn) = ϕ(n)ϕ(m) เมอ gcd(n,m) = 1

บทแทรก . . ใหm1,m2, ...,mk ∈ N และ gcd(mi,mj) = 1 ทกๆ i = j แลว

ϕ(m1,m2...mk) = ϕ(m1)ϕ(m2)...ϕ(mk)



. ϕ(72) . ϕ(500) . ϕ(1000)

บทแทรก . . ถา n = pα11 pα2

2 · · · pαkk เปนการเขยน n ในรปแบบบญญต แลว

ϕ(n) = n

k∏i=1

(1− 1

pi)


. ϕ(225)

. ϕ(120)

. ϕ(360)

. ϕ(400)

. ϕ(900)

. ϕ(1225)

ตวอยาง . . จงเตมตารางใหสมบรณ

. n = 12 = 22 · 3

ตวประกอบ (d) ของ nϕ(d)

ดงนน∑d|12

ϕ(d) =

. n = 60 = 22 · 3 · 4

ตวประกอบ (d) ของ nϕ(d)

ดงนน∑d|60

ϕ(d) =

ทฤษฎบท . . ให n ∈ N แลว ∑d|n

ϕ(d) = n

. . ฟงกชนออยเลอร-ฟ (EULER PHI-FUNCTIONS)



. ϕ(18)

. ϕ(150)

. ϕ(289)

. ϕ(256)

. ϕ(520)

. ϕ(2000)

. ϕ(2016)

. ϕ(49000)

. จงหาจานวนเตมบวก n ทงหมดททาให ϕ(2n) = ϕ(n)

. จงแสดงวา ถา n เปนจานวนเตมค แลว ϕ(2n) = ϕ(n)

. จงแสดงวา ถา n เปนจานวนเตมค แลว ϕ(2n) = 2ϕ(n)

. จงพสจนวา ถา n และ n+ 2 เปนจานวนเฉพาะคแฝด แลว ϕ(n+ 2) = ϕ(n) + 2


. ฟงกชนจานวนเตมมากสด (The greatest integer functions)บทนยาม . . สาหรบจานวนจรง x ใดๆ [x] คอจานวนเตมคามากสดทมคานอยกวาหรอเทากบ x

เราเรยก [x] วาฟงกชนจานวนเตมมากสด (the greatest integer functions)


. [1.5]

. [−2.3]

. [√5]

. [53]

. [−3.9]

. [−5]

. [7]

. [−1557] + [155

7]

จากนยามจะไดวา

. [x] ≤ x ≤ [x] + 1

. 0 ≤ x− [x] ≤ 1

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนจรง x และ y ใด จะไดวา

. ถา x ≥ 0 แลว [x] =∑1≤i≤x

1

. [x] + [−x] =

0 ถา x ∈ Z

1 ถา x /∈ Z

. [x+m] = [x] +m เมอm เปนจานวนเตม

. [ xm] = [ [x]

m] เมอm เปนจานวนเตมบวก

. −[−x] คอจานวนเตมคานอยสดทมากกวาหรอเทากบ x

. ถา n และm เปนจานวนเตมบวก จานวนของจานวนเตมจากเซตของ {1, 2, ..., n} ทหาร n ลงตวดวยm คอ [ nm]

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะ และ n เปนจานวนเตมบวก จะไดวากาลงสงสดของ p ทหาร n! ลงตวคอ

ep(n) =∑i≥n

[n

pi

]

ตวอยาง . . จงเขยนรปแบบบญญตของจานวนตอไปน โดยใชทฤษฎบท . .

. 10!

. 15!

. 20!

. 50!

ตวอยาง . . จงหากาลงสงสงของ 5 ทหาร 1000! ลงตว

. . ฟงกชนจานวนเตมมากสด (THE GREATEST INTEGER FUNCTIONS)



. [−2√31 + 1] + [

√31]

. [23524

+ 24235

]

. [√1 + 2 + ...+ 10]

. [1 + 12+ 1

3+ ...+ 1

100]

. [1 + 1√2+ 1√

3+ ...+ 1√

100]

. จงเขยนรปแบบบญญตของจานวนตอไปน โดยใชทฤษฎบท . .

. 18! . 25! . 30! . 60!

. ให F และ f เปนฟงกชนเลขคณตโดยท F (n) =∑d|n

f(d) จงพสจนวา สาหรบจานวนเตมบวกm

m∑i=1

F (k) =m∑k=1

f(k)[m

k]

. จงหากาลงสงสงของ 7 ทหาร 1000! ลงตว

. ถาเขยน 500! ในรปเลขฐานสบจะมจานวนทลงทายดวยศนยตอเนองกนกจานวน

. จงหาจานวน n! ทเขยนในรปเลขฐานสบจะมจานวนทลงทายดวยศนยตอเนองกน จานวน

บทท

สมการไดโอแฟนไทน (Diophatine Equations)

. สมการเชงเสนดกรหนง (First degree of Linear Equations)ในหวขอนเราสนใจหาเงอนไขทเพยงพอทจะแสดงวาสมการ

ax+ by = c เมอ a, b, c ∈ Z

ถา a = 0 หรอ b = 0 เราจะสามารถหาคาตอบไดโดยงาย เรามกจะสนใจกรณท a = 0 และ b = 0

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z ซง a = 0 และ b = 0 แลว

สมการ ax+ by = c มคาตอบ x, y ∈ Z กตอเมอ gcd(a, b) | c

ทฤษฎบท . . ให a, b ∈ Z ซง a = 0 และ b = 0 ถาสมการ ax+ by = c

มคาตอบเปน x = x0 และ y = y0 เรยกคาตอบนวาคาตอบเฉพาะราย (particular solution)

และ d = gcd(a, b) แลวทกๆคาตอบของสมการ ax+ by = c เขยนในรป

x = x0 +b

dt, y = y0 −

a

dt เมอ t ∈ Z

ตวอยาง . . จงตรวจสอบสมการไดโอแฟนไทนตอไปนวามคาตอบในระบบจานวนเตมหรอไม ถามจงหาคาตอบ

. 4x+ 2y = 11

. 2x+ 6y = 8

. 6x+ 21y = 4

. 12x+ 5y = 8

บทท . สมการไดโอแฟนไทน (DIOPHATINE EQUATIONS)

การหาคาตอบเฉพาะรายการหาคาตอบเฉพาะรายของสมการ (x0, y0)

ax+ by = c เมอ a, b, c ∈ Z

ทาได วธคอใชสมการสมภาค และ ขนตอนการหารของยคลค

. โดยใชสมการสมภาค (Congruence Equations)

พจารณาสมการ ax+ by = c จะไดวา ax− c = −by หรอ by − c = −ax นนคอ

ax ≡ c ( mod b) หรอ by ≡ c ( mod a)

ตวอยาง . . จงหาคาตอบคาตอบเฉพาะรายของสมการไดโอแฟนไทน โดยใชสมการสมภาค

. 5x+ 2y = 11

. 9x− 6y = 3

. 56x+ 72y = 40

. 12x− 18y = −60

. 101x+ 65y = 111

. 80x− 62y = 90

. โดยใชขนตอนการหารของยคลค (Euclidean algorithm)

จงหาคาตอบของสมการ 80x+ 62y = 2

รปแบบสมการ รปแบบแถว80 = 1(80) + 0(62) 80 1 0

62 = 0(80) + 1(62) 62 0 1

18 = 1(80) − 1(62) 18 1 −1 R1 −R2

8 = −3(80) + 4(62) 8 −3 4 R2 − 3R3

2 = 7(80) − 9(62) 2 7 −9 R3 − 2R4

0 = −31(80) + 40(62) 0 −31 40 R4 − 4R5

ดงนน x0 = 7 และ y0 = −9

ตวอยาง . . จงหาคาตอบคาตอบเฉพาะรายของสมการไดโอแฟนไทน โดยใชขนตอนการหาร

. 13x+ 7y = 31

. 15x− 21y = 30

. 51x+ 41y = −83

. 112x+ 97y = 100

. 103x− 89y = 12

. 999x+ 49y = 500

. . สมการเชงเสนดกรหนง (FIRST DEGREE OF LINEAR EQUATIONS)

ทฤษฎบท . . ให d = gcd(a1, a2, ..., ak) แลว

สมการ a1x1 + a2x2 + ...+ akxk = c มคาตอบ x1, x2, ..., xk ∈ Z กตอเมอ d | c

ให d = gcd(a, b, c) และ d0 = gcd(a, b) = ถา d | m พจารณาสมการ

ax+ by + cz = m แลว ax+ by = m− cz

ดงนน d0 | (m − cz) นนคอ cz ≡ m ( mod d0) และให z0 เปนคาตอบของสมการน เนองจาก gcd(a, b, c) =

gcd(gcd(a, b), c) = d และ d | m ดงนน

z = z0 +d0dt เมอ t ∈ Z

ตวอยาง . . จงหาคาตอบของสมการ 3x− 6y + 9z = 63

ตวอยาง . . จงหาคาตอบของสมการ 3x− 6y + 2z = 11

ตวอยาง . . จงหาคาตอบของสมการ 14x+ 6y + 30z + 90w = 200 มา ชด



. จงตรวจสอบสมการไดโอแฟนไทนตอไปนวามคาตอบในระบบจานวนเตมหรอไม ถามจงหาคาตอบ

. 172x+ 20y = 1000

. 4x− 82y = −6

. 999x− 49y = 500

. 247x+ 589y = 817

. จงหาคาตอบคาตอบเฉพาะรายของสมการไดโอแฟนไทน โดยใชสมการสมภาค

. 393x+ 23y = 120

. 44x− 200y = −600

. 99x− 699y = 333

. 123x+ 51y = 303

. 69x− 96y = 300

. 125x− 315y = 1200

. จงหาคาตอบคาตอบเฉพาะรายของสมการไดโอแฟนไทน โดยใชขนตอนการหาร

. 172x+ 20y = 1000

. 97x− 751y = 881

. 919x+ 213y = 251

. 2520x+ 154y = 14

. 1004x+ 2016y = 5000

. 111x− 1111y = 11111

. จงหาคาตอบคาตอบของสมการไดโอแฟนไทน

. 10x+ 16y − 4z = 48

. 15x+ 12y + 30z = 24

. 7x+ 8y + 9z = 1000

. 2x+ 3y + 4z = 5

. จงพสจนวา สมการ ax+ by = a+ c มคาตอบ กตอเมอ สมการ ax+ by = c มคาตอบ

. . สมการปทาโกรส (PHYTHAGORAS' EQUATIONS)

. สมการปทาโกรส (Phythagoras' Equations)บทนยาม . . สามจานวนของปมาโกรส (Pythagorean Triple) คอจานวนเตมบวกสามจานวน {a, b, c} ทสอดคลองสมการ

a2 + b2 = c2

ทฤษฎบท . . ถา {a, b, c} สามจานวนของปมาโกรส และ k ∈ N แลว{ka, kb, kc} สามจานวนของปมาโกรส

ทฤษฎบท . . ถา {a, b, c} สามจานวนของปมาโกรส และ d = gcd(a, b, c) แลว{a

d,b

d,c

d

}สามจานวนของปมาโกรส

ทฤษฎบท . . ถา {a, b, c} สามจานวนของปมาโกรส และ gcd(a, b, c) = 1 แลวgcd(a, b) = gcd(a, c) = gcd(b, c) = 1

บทนยาม . . เราจะเรยกจานวนสมาเหลยมของปทาโกรส {a, b, c} วาพรมทฟ (Primitive Pythagorean Triple) ถา gcd(a, b, c) = 1

ทฤษฎบท . . ถาจานวนสมาเหลยมของปทาโกรส {a, b, c} เปนพรมทฟ แลว a ≡/ b ( mod 2)

ทฤษฎบท . . {a, b, c} จานวนสมาเหลยมของปทาโกรสทเปนพรมทฟ กตอเมอทมจานวนเตม u, v ซง u > v, gcd(u, v) = 1 และ u ≡/ v ( mod 2) ททาให

a = u2 − v2 b = 2uv และ c = u2 + v2

u v a = u2 − v2 b = 2uv c = u2 + v2

2 1 3 4 5

3 2 5 12 13

4 1 15 8 17

4 3 7 24 25

5 2 21 20 29

5 4 9 40 41

6 1 35 12 37

6 5 11 60 61

7 2 45 28 53

7 4 33 56 65

7 6 13 84 85

8 1 63 16 65

8 3 55 48 73

8 5 39 80 89

8 7 15 112 113


การหาสามจานวนของปทาโกรรสทเปนพรมทฟเมอทราบหนงจานวน. เมอ x เปนจานวนเตมค

• แยกตวประกอบของ x ออกเปนผลคณของสองจานวน• เขยนตวประกอบมากสดในรป u+ v

• เขยนตวประกอบนอยสดในรป u− v

• แกสมการหา u และ v• หา {a, b, c} จาก a = u2 − v2 b = 2uv และ c = u2 + v2

ตวอยาง . . เมอกาหนดใหจานวนหนงในสามจานวนของของปทาโกรรสทเปนพรมทฟ จงหาสองจานวนทเหลอ

. 35

. 40

. 51

. 63

. 67

. 81

ตวอยาง . . กาหนด x = 35 จงหาสามจานวนของปทาโกรส

. เมอ x เปนจานวนเตมค

• ถา 4 - x ไมมจานวนของของปทาโกรรสทเปนพรมทฟเมอ x เปนจานวนหนงในนน• ถา 4 | x แลว x = 2uv โดยท gcd(u, v) = 1 และ u, v เปนจานวนเตมคหรอจานวนเตมคไมพรอมกน• หา u และ v ทสอดคลอง• หา {a, b, c} จาก a = u2 − v2 b = 2uv และ c = u2 + v2

ตวอยาง . . กาหนดใหจานวนหนงในสามจานวนของของปทาโกรรสทเปนพรมทฟ จงหาสองจานวนทเหลอ

. 8

. 24

. 28

. 48

. 60

. 100

ตวอยาง . . กาหนด x = 28 จงหาสามจานวนของปทาโกรส

. . สมการปทาโกรส (PHYTHAGORAS' EQUATIONS)

ทฤษฎบท . . ถา {a, b, c} เปนสามจานวนของปทโกรส จงพสจนวา

. 3 | a หรอ 3 | b

. 5 | a หรอ 5 | b หรอ 5 | c

ทฤษฎบท . . ให {a, b, c} และ {x, y, z} เปนสามจานวนของปทาโกรส

{by − ax, bx− ay, cz} เปนสามจานวนของปทาโกรส

ตวอยาง . . จงหาสามจานวนของปทาโกรส ทเกดจากสามจานวนของปทาโกรสทกาหนดให

. {3, 4, 5} และ {5, 12, 13}

. {3, 4, 5} และ {8, 15, 17}

. {8, 15, 17} และ {7, 24, 25}

ทฤษฎบท . . สมการ x4 + y4 = z2 ไมมคาตอบเปนจานวนนบ

บทแทรก . . สมการ x4 + y4 = z4 ไมมคาตอบเปนจานวนนบ

บทแทรก . . ถา 4 | n แลวสมการ xn + yn = zn ไมมคาตอบเปนจานวนนบ

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะท p | n ถาสมการ xp + yp = zp ไมมคาตอบเปนจานวนนบ แลวสมการ xn + yn = zn ไมมคาตอบเปนจานวนนบ



. จงหาสามจานวนของปทาโกรสทเกดจาก u, v

. u = 9, v = 2

. u = 9, v = 4

. u = 10, v = 1

. u = 10, v = 9

. u = 11, v = 2

. u = 13, v = 4

. จงหา u, v จากสามจานวนของปทาโกรสทกาหนดให

. {24, 7, 25}

. {48, 51, 78}

. {36, 77, 85}

. {140, 51, 149}

. ให {a, b, c} เปนสามจานวนของปทาโกรสทเปนพรมทฟ ทเกดจาก u, v จงหาจานวนทเหลอ

. a = 24, b = 13

. u = 7, a = 56

. u = 9, v = 17

. v = 4, c = 97

. u = 8, c = 89

. u = 7, c = 15

. จงหาสามจานวนของปทาโกรสทเปนพรมทฟ {a, b, c} ทกชดทสอดคลองกบ

. a = 12

. a = 24

. b = 9

. b = 23

. a = 20

. c = 125

. จงหาสามจานวนของปทาโกรส {a, b, c} ทกชดทสอดคลองกบ

. a = 16

. a = 20

. b = 35

. c = 85

. จงหาสามจานวนของปทาโกรส

. เรยงเปนลาดบเลขคณต . เรยงเปนลาดบเรขาคณต

. จงหาคาตอบพรมทฟของ x2 + y2 = z2 เมอ 0 < z < 30

. จงหาสามจานวนของปทาโกรส ทเกดจากสามจานวนของปทาโกรสทกาหนดให

. {3, 4, 5} และ {21, 20, 29} . {5, 12, 13} และ {9, 40, 41}

. สมการ x4 − y4 = z2 ไมมคาตอบเปนจานวนนบ

. . สมการไดโอแฟนไทนกาลงสอง (SQUARE DIOPHANTINE EQUATIONS)

. สมการไดโอแฟนไทนกาลงสอง (Square Diophantine Equations)ทฤษฎบท . . สมการ x2 − y2 = c มคาตอบเปนจานวนเตม กตอเมอ c เปนจานวนเตมค หรอ 4 | c

ทฤษฎบท . . ให c ∈ Z แลวมจานวนเตม x, y, z ซง x2 + y2 − z2 = c

ทฤษฎบท . . (Euler)

(x21 + x2

2 + x23 + x2

4)(y21 + y22 + y23 + y24) = (x1y1 + x2y2 + x3y3 + x4y4)

2 + (x1y2 − x2y1 + x3y4 − x4y3)2

+ (x1y3 − x3y1 + x4y2 − x2y4)2 + (x1y4 − x4y1 + x2y3 − x3y2)

2

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะซง p > 3 แลวมจานวนเตมm,x1, x2, x3, x4 ซง

1 ≤ m < p และ mp = x21 + x2

2 + x23 + x2

4

บทแทรก . . ให p เปนจานวนเฉพาะซง p > 3 แลวมจานวนเตม x1, x2, x3, x4 ซง

p = x21 + x2

2 + x23 + x2

4

ทฤษฎบท . . จานวนเตมในรป 8k + 7 ไมสามารถเขยนในรปผลบวกของกาลงสองของจานวนเตมสามจานวน

ทฤษฎบท . . สาหรบจานวนเตม x1, x2, y1, y2 แลว

(x21 + x2

2)(y21 + y22) = (x1y1 + x2y2)

2 + (x1y2 − x2y1)2

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะ และสมการ x2 + y2 = p มคาตอบเปนจานวนเตมบวก x, y จะไดวา

สมการ u2 ≡ −1 ( mod p) มคาตอบ

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะ สมการ u2 ≡ −1 ( mod p) มคาตอบ จะไดวา

มจานวนเตมบวก x, y ซง x2 + y2 = p

ทฤษฎบท . . ให p เปนจานวนเฉพาะ จะไดวามจานวนเตมบวก x, y ททาให

x2 + y2 = p กตอเมอ p = 2 หรอ p ≡ 1 ( mod 4)

ตวอยาง . . จงพสจนวา ไมมจานวนเตม x, y ทเปนคาตอบของสมการ 3x2 + 8 = y2

ตวอยาง . . จงหาจานวนเตม x, y ทกคทเปนคาตอบของสมการ x2 − xy + y = 3

ตวอยาง . . จงหาจานวนเตม a, b, c ทเปนคาตอบของสมการ

a3 − b3 − c3 = 3abc

a2 = 2(b+ c)



. จงหาจานวนเตมบวก a, b, c, d ทแตกตางกน จานวนซง a2 + b2 = c2 + d2 = 493097 = 577 · 761

. จงแสดงวา มจานวนเฉพาะ p ซง p ≡ 1 ( mod 8) เปนจานวนไมจากด

. จงแสดงวา มจานวนเฉพาะ p ซง p ≡ 5 ( mod 8) เปนจานวนไมจากด

. จงแสดงวา ถา 4 | (x2 + y2 + z2) แลว x, y, z เปนจานวนเตมค

. จงหาจานวนเตมบวก x, y ทกคททาให x2 = y2 + 120

. จงหาจานวนเตมบวก x, y ทกคททาให x3 = y3 + 721

. จงหาจานวนเตมบวก x, y ทกคททาให 15x2 − 7y2 = 9

. จงตรวจสอบวาสมการ a2 + b2 + c2 = a2b2 มคาตอบเปนจานวนเตมบวกหรอไม

บรรณานกรม

[ ] กรรณกา กวกเพฑรย, หลกคณตศาสตร, สานกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย, กรงเทพมหานคร,

[ ] กรมวชาการ กระทรวงศกษาธการ, อปนยเชงคณตศาสตร, กรมวชาการ, กรงเทพมหานคร,

[ ] คณะผ เขยนตาราวชาคณตศาสตร, ทฤษฎจานวน, มลนธ สอวน, กรงเทพมหานคร,

[ ] พมพเพญ เวชชาชวะ, ระบบจานวน, ว.พรนท( ), กรงเทพมหานคร,

[ ] อนกรรมการปรบปรงหลกสตรวทยาศาสตร ทบวงมหาวทยาลย, ตรรกศาสตรและระบบจานวนจรง, โรงพมพพทกษการพมพ, กรงเทพมหานคร,

[ ] อจฉรา หาญชวงศ, ทฤษฎจานวน, จฬาลงกรณมหาวทยาลย, กรงเทพมหานคร,

[ ] Pual Glendinning, Maths in minutes, Quercus Editions Ltd, London, England,

บรรณานกรม

ประวตผเขยน (VISTA)

นายธนชยศ จาปาหวาย

• ปรญญาตร วทยาศาสตรบณฑต (คณตศาสาตร, เกยตรนยมอนดบสอง), จฬาลงกรณมหาวทยาลย,B.Sc. (Mathematics, 2nd class honours),

• ปรญญาโท วทยาศาสตรมหาบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย,M.Sc. (Mathematics), Chulalongkorn University,

• ปรญญาเอก วทยาศาสตรดษฎบณฑต (คณตศาสาตร), จฬาลงกรณมหาวทยาลย,Ph.D. (Mathematics), Chulalongkorn University,

• ปจจบนดารงตาแหนงอาจารยประจาสาขาวชาคณตศาสตร คณะครศาสตร มหาวทยาลยราชภฏสวนสนนทา

Contract me

Email: [email protected]: www.facebook.com/JampawaiIG & Line id: luxmaz

Tel:Office:

numbertheory - suan sunandha rajabhat university · 2016-11-06 · บททีÉ y...

Documents