numere rat proportii procente
DESCRIPTION
numere_rat_proportii_procenteTRANSCRIPT
1
MULŢIMEA NUMERELOR RAŢIONALE
II.1. Definiţie. Reprezentare pe axă şi opusul unui număr raţional. Modulul unui număr raţional.
Incluziunea ⊂ ⊂! " # . Compararea numerelor raţionale. Scrierea numerelor raţionale sub formă zecimală.
/ , , 0a
a b bb
= ∈ ≠
# " = mulţimea numerelor raţionale.
Oricare ar fi 1aa a∈ ⇒ =" şi atunci ⊂" # , rezultă ⊂ ⊂! " # .
Numerele x şi x− se numesc opuse. Opusul lui 0 este 0.
Exemple: 1) Opusul lui 73
este 73
− .
2) Opusul lui 54
− este 54
, deoarece 5 54 4
− − =
.
În cazul general, opusul lui x− este ( )x x− − = .
Dacă M este reprezentarea pe axă a numărului raţional x lungimea segmentului OM se numeşte modulul numărului raţional x .
Dacă x∈# , atunci dacă 0
0 dacă 0 dacă 0
x xx x
x x
>= =− <
x se mai numeşte şi valoarea absolută a lui x .
Exemple: 2 23 3= ;
5 53 3
− = ; 0 0= .
� Proprietăţile modulului: 1) 0x = dacă şi numai dacă 0x =
2) x x= − oricare ar fi x∈# .
Avem x y< dacă ( )M x se găseşte pe axă la stânga lui ( )M y . x y< este acelaşi lucru cu y x> . Dacă x y< sau x y= spunem că x mai mic sau egal cu y şi scriem x y≤ sau y x≥ .
Precizări: 1. Dacă 0x < şi 0y > rezultă x y< . 2. Orice număr raţional pozitiv este mai mare ca zero. 3. Orice număr raţional negativ este mai mic ca zero.
4. Dacă ,x y +∈# , ,a cx yb d
= = , x y< este echivalent cu ad bc< .
5. Dacă ,x y −∈# , x y< este echivalent cu y x< .
Exemple: 1) 7 15 2
− < deoarece 7 05
− < şi 1 02> .
2) 3 44 5< deoarece 15 16< .
3) 7 85 7
− < − deoarece 7 7
5 5−
= , 8 87 7
− = şi 8 77 5<
Transformarea fracţiilor ordinare în fracţii zecimale: 1) fracţie zecimală finită când unul din resturile parţiale este zero.
2
Exemple: 10 1,33= ;
23 0,9225
= ; 107 5,3520
= .
2) fracţie zecimală infinită când nici un rest parţial nu este zero. a) fracţie periodică simple în care perioada urmează imediat după virgulă.
Exemple: ( )7 2, 33= ; ( )5 0, 45
11= ; ( )17 0, 153
111= .
b) fracţie periodică mixtă când după virgulă sunt una sau mai multe zecimale care nu se repetă şi apoi perioada
Exemple: ( )23 3,8 36= ; ( )441 8,0 18
55= ; ( )16061 0,32 154
49950= .
De reţinut: O fracţie ireductibilă se transformă în fracţie zecimală periodică simplă dacă numitorul ei descompus în factori
primi nu conţine nici factorul 2 , nici factorul 5. Dacă numitorul ei conţine cel puţin unul din factorii 2 sau 5, dar şi factori diferiţi de 2 şi 5 atunci fracţia se
transformă în fracţie periodică mixtă. Orice fracţie ordinară se transformă într-o fracţie zecimală cu un număr finit de zecimale nenule sau într-o fracţie
periodică (simplă sau mixtă). O fracţie zecimală periodică nu poate avea niciodată perioada 9.
Transformarea fracţiilor ordinare în fracţii zecimale:
a) fracţie zecimală finită 0 1 2 3, ... na a a a a cu 0a ∈! avem 1 2 0 1 20 1 2 0 10 10
... ..., ... n nn n n
a a a a a a aa a a a a= = .
Exemple: 4250, 425
1000= ;
1021,02100
= ; 1432514,3251000
=
b) fracţie zecimală periodică simplă: 0 1 2,( ... )pa a a a cu 0a ∈! , avem: 0 1 2,( ... )pa a a a$
1 20
cifre99...9
... p
p
a a aa= .
Exemple 1) ( ) 140, 1499
= 2) ( ) 235 12541, 235 1999 999
= = 3) ( ) 427 2640126, 427 26999 999
= = .
c) fracţie zecimală periodică mixtă: ( )$$
1 2 1 2 1 20 1 2 1 2 0
cifre cifre
99...9 00...0... ... ...
, ... ... p m pp m
p m
a a a b b b a a aa a a a b b b a
−=
Exemple: 1) ( ) 251 2 2490, 2 51990 990−
= = ; 2) ( )61,51 268 =51268 5161
99900− 51217 614711761
99900 99900= = .
Exerciţii rezolvate: 1. Completaţi următorul tabel:
x 14−
6−
53
−
1, 2− 6
1153
x
Soluţie. Se completează cu modulul fiecărui număr şi avem
x 14−
6−
53
−
1, 2− 6
1153
x
14 6 53
1, 2 6 115
3
2. Scrieţi în ordine crescătoare numerele: 53
− ; 7,3− ; 54
− ; 1; 52
.
3
Soluţie. Ordinea crescătoare este: 7,3− ; 53
− ; 54
− ;1; 52
.
3. Scrieţi sub formă de fracţie zecimală numerele raţionale: a) 54
; b) 136
; c) 3215
.
Soluţie. Făcând împărţirea numărătorului la numitor obţinem: a) 5 1, 254= b) ( )13 2, 6
6= c) ( )32 2,1 3
15=
4. Scrieţi sub formă de fracţie ordinară numerele: a) 1, 23 b) ( )5, 3 c) ( )4,1 3
Soluţie. a) 1231, 23100
= b) ( ) 3 1 165, 3 5 59 3 3
= = = c) ( ) 13 14,1 3 490−
= =12 2 624 490 15 15
= = .
Exerciţii propuse
1. Fie 7 3 9 8 4 17
10; ; ; 4; ; ; ;11;5 4 2 3 11 3
M = − − − − −
.
Determinaţi mulţimile: { }/A x M x −= ∈ ∈" ; { }/B x M x= ∈ ∈! ; { }/C x M x += ∈ ∈# ; { }/D x M x −= ∈ ∈# .
2. Aflaţi numerele întregi x , în fiecare din situaţiile: a) 3 32 2
x− < < ; b) 9 57 3
x− < < ; c) 15 92 2
x− ≤ < .
3. Completaţi următorul tabel:
x 73
− 2,5 � 1, (6) 47
� 0,024
� x 4. Completaţi următorul tabel:
x 75
− � 2,3 78
� 2,3(6) � 4,5 3,(6)
|� x|
5. Scrieţi în ordine crescătoare numerele: 5 5 7 8;6,3; 6,(3); ;4;1; ;2 7 3 9
− − − − .
6. Scrieţi în ordine descrescătoare numerele: 3 6 1 5 42,(3); ; ; ; 4, (6); ;2 5 2 2 3
− − − − .
7. Scrieţi sub formă zecimală numerele: 5 7 121 1211 2 5 1; ; ; ; ; ;2 2 30 990 3 6 555
.
8. Scrieţi sub formă de fracţie ordinară numerele: 0,(2); 2, (55); 0,15(3); 2,5(21). 9. Scrieţi în ordine crescătoare numerele: 0,131; 0,13(1); 0,1(13) şi 0,(131).
10. Determinaţi cifra x ştiind că ( ) 1750, 30330
x = .
11. Aflaţi numărul de numere raţionale distincte din şirul: ( ) ( ) ( )1 18 10 191 524; 2; ; ; 0, 6 ; 0,5;1, 7 ; ; 2,1 2 ;2 27 15 90 131
.
12. Să se determine cifrele ,a b şi c diferite de 9 ştiind că ( ) ( ) ( ), , , 20a b b c c a+ + = şi 2a b c+ = .
13. Fie 1 1 1... .12 13 35
S = + + +
a) Câţi termeni are suma? b) Arătaţi că 2.S <
14. Dacă fracţia 5040
a este ireductibilă, arătaţi că ( )( )( )1 2 3 1848a a a+ + + > , unde a este număr natural.
Stănică Nicolae, Revista Trident, Brăila, 2007
15. a) Dacă x,y,z∈!, 3x = 2y + 10z şi ( )( 2 )30
x x y y zA + += , atunci A∈!.
b) Ştiind că 2 22 3 7x y xy+ = , x > y > 0, aflaţi valoarea raportului 35x yx y++
.
Concursul interjudeţean �Nicoliţă Sanda�, Drăgăşani, 2007
4
16. Fie a,b,c ∈! *şi x,y,z ∈# * astfel încât: ax by czby cz cz ax ax by
= =+ + +
.
a) Calculaţi 1 1 1( )ax by czax by cz
+ + ⋅ + +
; b) Calculaţi :x y z b c a
y z x a b c + + + +
;
c) Arătaţi că ax by czby cz ax
+ + ∈ ! .
II. 2. OPERAŢII CU NUMERE RAŢIONALE
II.2.1. Adunarea şi scăderea numerelor raţionale
Pentru a aduna două sau mai multe fracţii procedăm astfel: 1) Aflăm cel mai mic numitor comun al numitorilor fracţiilor; 2) Calculăm câtul dintre numitorul comun şi numitorii fracţiilor; 3) Amplificăm fiecare fracţie cu câtul corespunzător; 4) Adunăm numărătorii şi obţinem numărătorul sumei, iar numitorul sumei este cel mai mic numitor comun al
fracţiilor.
Exemple:1) 3) 2)3 1 9 2 11
4 6 12 12 12= + =+
2) 3)4) 5 7 20 21 20 21 1 1
6 8 24 24 24 24 24− − + − = + − = = = −
3) 3) 2)5 7 15 14 15 14 1 1
8 12 24 24 24 24 24− + −
= − + = = = −− +
4) 2)5) 7 11 35 22 35 22 57 57
10 25 50 50 50 50 50− − − − + − = − + − = = = −
.
Proprietăţile adunării numerelor raţionale 1) Asociativitatea. ( ) ( ) ( ), , , .a b c a b c a b c+ + = + + ∀ ∈#
2) Comutativitatea. ( ), , .a b b a a b+ = + ∀ ∈#
3) Element neutru. ( )0 0 , .a a a a+ = + = ∀ ∈# 4) Opusul unui număr raţional. Pentru orice a∈# , există 'a ∈# astfel încât ' ' 0x x x x+ = + = . Elementul 'a se notează cu a− , se numeşte opusul lui a şi avem ( ) 0a a a a+ − = − + = care se mai scrie
( ) 0a a a a+ − = − + = . Adunarea dintre un număr raţional a şi opusul unui număr raţional b se numeşte scădere dintre a şi b şi se scrie ( )a b a b+ − = − .
Observaţii 1. Proprietăţile adunării ne permit, în anumite exerciţii, să aranjăm efectuarea operaţiilor astfel încât calculele să fie
cât mai simple.
Exemple: a) 7 2 7 2 7 7 2 2
4 4 45 3 5 3 5 5 3 3
− + + − − + − = − + + − + =
.
b) 7 5 1 19 1 1 7 19 5 1 1
12 6 2 12 6 2 12 12 6 6 27 19 5 1 1 112 6
− + − + + − = − + + + − =− + + + − =
.
2. Pentru a efectua adunări cu numere raţionale scrise sub formă de fracţii zecimale, se face scrierea sub formă de fracţie ordinară şi apoi se aplică regula de adunare.
Exemple: 1) 5)5 13 5 13 25 38
1,32 10 2 10 10
++ = = =+
2) ( )3) 100)252 3 252 1 253 4
2,53 1, 3 1 1100 9 100 3 100 3
759 400 1159300 300
+ = + = + =+
= + = .
5
3. Pentru adunarea (scăderea) numerelor raţionale scrise sub formă de fracţie zecimală finită se poate face şi adunarea directă după regula de adunare de la adunarea numerelor întregi şi punând virgula corespunzător.
Exemple: a) 1, 25 6, 23 7, 48+ = ; b) 0, 256 1, 24 1, 496+ = ; c) 4, 27 1, 23 3, 04− + = − ; d) 2,51 101,3 98,79− + = .
Exerciţii rezolvate
1. Calculaţi: a) 5 6
11 11− b)
5 73 3
− − c) 7 34 4
− +
Soluţie. a) 5 6 5 6 1
11 11 11 11− −
− = = , b) 5 7 5 7 12 43 3 3 3
− − −− − = = = − , c)
7 3 7 3 4 14 4 4 4
− + −− + = = = − .
2. Calculaţi: a) 1, 2 3, 4− + b) 5, 2 3,1− + c) 4 3, 2− Soluţie. a) 1, 2 3, 4 2, 2− + = b) 5, 2 3,1 2,1− + = − c) 4 3, 2 0,8− = Observaţie. Se poate face şi scrierea sub formă de fracţie ordinară.
Exemplu: a) 12 34 12 34 221, 2 3, 4 2, 2
10 10 10 10− − +
− + = + = = =
Probleme propuse
1. Calculaţi: a) 5 11
12 12+ ; b)
5 36 6− ; c)
9 58 8
− + ; d) 7 3
12 12− − ; e)
10 58 4
− + ; f) 14 512 6
− − .
2. Calculaţi : a) 1,12 3, 2+ ; b) 1,32 0, 2− ; c) 3, 41 1,3− + ; d) 7,31 6, 2− ; e) 4, 2 3, 6− − ; f) 4,32 5, 7− − .
3. Calculaţi: a) 2 61 53 3+ ; b)
3 12 34 4− ; c)
1 17 32 4
− − ; d) 5 211 16 3− ;
e) 1 17 42 3
− − ; f) 1 14 73 12− ; g)
3 16 44 2
− − .
4. Calculaţi: a) 5 1 18 4 2
− − + ; b) 5 3 1
12 4 6− − − −
; c) 7 1 78 12 4
− − − −
; d) 7 1 536 6 12
− − + ; e) 24 1 115 3 2
− −
5. Efectuaţi: a) 1,35 7,32 5,13+ − ; b) 6,31 5,12 7, 23− + ; c) 14, 71 5, 23 4, 62− − ; d) 4,15 15.6 21,13− + ; e) 7, 21 5, 02 4, 07− −
6. Efectuaţi: a) ( ) 51, 33
− ; b) ( ) 44, 79
− ; c) ( ) 477, 2 390
− ; d) ( ) ( )7,1 6 3,1 3− ; e) ( ) 54, 2399
− ;
f) ( ) ( )4, 31 5, 23−
7 Să se calculeze: a) 1 1 12 3 4+ + ; b) 3 5 7
10 20 40+ + ; c) 1 3 13 4 5
8 20 5+ − ; d) 1 12 64 2 1
9 15 9+ − ; e) 1 1 13 2
4 12 24+ + ;
f) 1 3 51 2 12 8 6+ − .
8. Efectuaţi: a) 4 � 2,1 + 5,2; b) 5 43,24 5− − ; c) 15 0,2 5,7
4− + ; d) 3 8 2,5
4− − − ; e) 7 5 7,3
12 4− − .
9. Efectuaţi: a) 1 8 7 1 1 82 11 19 19 3 11
+ − − − + +
; b) 4 11 7 5 4 77 33 23 3 7 23
+ + − − + +
.
10. Demonstraţi că 2 2 2 .1 1 1
x x xx x x− ∈!
11. Efectuaţi a) 1 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6+ + + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅; b)
1 1 1 1 1 13 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
+ + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
.
12. Arătaţi că 1 1 1... 0,5
2 3 3 4 99 100+ + + <
⋅ ⋅ ⋅.
13. a) Dacă a + b = 7 şi 1 1 710a b
+ = , calculaţi a bb a+ . b) Dacă a + b = x şi 1 1 y
a b+ = , calculaţi a b
b a+ .
6
II. 2.2. Înmulţirea şi împărţirea a două numere raţionale
Exemple: a) 5 7 5 7 356 9 6 9 54
⋅⋅ = =
⋅; b)
5 7 5 7 35 352 3 2 3 6 6
− −⋅ − = ⋅ = = −
c) ( ) ( )5 75 7 5 7 35
3 4 3 4 3 4 12− ⋅ −− −
− ⋅ − = ⋅ = =⋅
Proprietăţi: 1) Asociativitatea. ( ) ( ) ( ), , , .a b c a b c a b c⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ∀ ∈#
2) Comutativitatea. ( ), , .a b b a a b⋅ = ⋅ ∀ ∈# 3) Element neutru. Pentru orice a∈# avem 1 1a a a⋅ = ⋅ = . Elementul 1 poartă denumirea de element neutru
faţă de înmulţirea numerelor raţionale. 4) Existenţa inversului. Pentru orice *a∈# există 'a ∈# astfel încât ' ' 1a a a a⋅ = ⋅ = . 'a se numeşte inversul
lui a şi se notează cu 1 1aa
− = .
Dacă , , *ma m nn
= ∈" , atunci 1 nam
− = .
Exemple: 1) 2 5 2 4 8:3 4 3 5 15
= ⋅ =
2) 2 5 2 9 18 18:7 9 7 5 35 35
−= ⋅ = = −
− −
5) Distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi scădere. Pentru orice , ,a b c∈# avem: ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅ , ( )b c a b a c a+ ⋅ = ⋅ + ⋅
( )a b c a b a c− = ⋅ − ⋅ , ( )b c a b a c a− ⋅ = ⋅ − ⋅
Exemple 1) 5 2 4 5 2 5 4 1 2 32 5 5 2 5 2 5 + = ⋅ + ⋅ = + =
2) 7 6 7 6 73 3 2 7 53 7 3 7 3 − = ⋅ − ⋅ = − = −
Observaţii: 1) Deoarece orice număr întreg este un număr raţional care are numitorul 1, atunci când avem de înmulţit un număr întreg cu un număr raţional se înmulţeşte numai numărătorul numărului raţional cu numărul întreg.
Exemple a) 2 6 2 1267 7 7
⋅⋅ = = ; b) ( ) 4 6 4 246
5 5 5− ⋅ −
− ⋅ = = ;
c) 5 0 50 07 7
⋅⋅ = = . Pe cazul general avem că 0 0m
n⋅ = oricare ar fi ∈#m
n sau 0 0x x⋅ = ⋅ , (∀) x ∈ #.
2) Este valabilă regula semnelor dată la înmulţirea numerelor întregi şi când avem de înmulţit mai multe numere întregi putem pune direct semnul rezultatului:
Exemple a) 7 4 7 4 285 3 5 3 15
⋅− ⋅ − = =
⋅
; b) ( )4 5 4 5 2 402
9 3 9 3 27⋅ ⋅
− − ⋅ − = − = −⋅
.
3) Ţinând cont de proprietatea de simplificare a unei fracţii cu un număr, putem face, înainte de înmulţirea numărătorilor între ei şi a numitorilor între ei, operaţia de simplificare corespunzătoare (dacă este cazul).
Exemple a) 3
1
71
14⋅
2
31
21 21
= ⋅ = ; b) 7
10−
1
10⋅
17 1 7
3 1 3 3= − ⋅ = − ;
c) 15
51
4
2
1
8−
93
125
⋅ − 5
2 1 213 5 15
= ⋅ ⋅ =
; d) 18 9 18:25 10
− = −
2
255
10⋅
2
91
2 2 45 1 5
= − ⋅ = − ;
e) 32 48 32:
125 25 − − =
2
1255
25⋅
1
483
2 1 25 3 15
= ⋅ =
7
Probleme rezolvate
1. Calculaţi a) 52,52⋅ ; b)
53, 23⋅ ; c) ( )4 2,5
3− ; d) ( )7
3,52
− −
.
Soluţie. a) 5 25 5 25 1 252,52 10 2 2 2 4⋅ = ⋅ = ⋅ = ; b)
5 32 5 16 5 163, 23 10 3 5 3 3⋅ = ⋅ = ⋅ = ;
c) ( )4 4 25 2 102,5 53 3 10 3 3− = − ⋅ = − ⋅ = − ; d) ( )7 7 35 7 7 49
3,52 2 10 2 2 4
− − = ⋅ = ⋅ =
.
2. Efectuaţi: a) 15 21 614 9 5
⋅ −
; b) 32 34 317 12 2
− ⋅ ⋅ −
.
Soluţie. a) 15 21 6 1514 9 5
⋅ − = −
3
142
21⋅
3
93
6⋅
2
51
3= −
1
21
33
⋅
1
2⋅
1
3 1 31 1= − ⋅ = − ;
b) 32 34 3 3217 12 2 17
− ⋅ ⋅ − =
1
34⋅
2
123
3⋅
1
322=
8
21⋅
1
41
12
⋅
1
8= .
Probleme propuse
1. Efectuaţi: a) 30
5,215
−
; b) 50
4,127
⋅ −
; c) ( ) 55, 23
− ⋅ ; d) 121,55
− ⋅ ; e) 304,343
− ⋅ ;
f) ( ) 903, 229
− ⋅ ; g) ( ) ( )1,2 1,3− ⋅ − .
2. a) 4,12 5⋅ ; b) 2,3 4− ⋅ ; c) ( )6,21 5− ; d) ( )6,21 3− ; e) ( )( )4, 2 3− ; f) ( ) ( )5, 3 4⋅ − ; g) ( )4,15 3,22⋅ − .
3. Efectuaţi a) 32 3 27
49 8 24
− ⋅ ⋅ − ⋅
; b) 42 75 9
9125 36 7
⋅ − − ⋅
; c) 18 14 10
67 15 9
− − − ⋅
; d) 100 44, 25
3 85⋅ ⋅ .
4. Efectuaţi a) 14 7 5
:9 27 3
− ⋅ −
; b) 15 2
0,2 :3 3
− ⋅ −
; c) 3 9 15
:5 8 48
− − ⋅
; d) 15 18 78
:39 26 5
− − ⋅ −
.
5. Se dau numerele 1 1 1 1...
1 2 3 4 5 6 99 100x = + + + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ şi
1 1 1...51 52 100
y = + + + . Să se arate că x y= .
6. Dacă 3 2 35
:5 7 3
x = ⋅ −
şi 15 245
:2 2
y = − −
, aflaţi x : y.
7. Dacă 2 2 2 2 23 5 7 9 11
x = + + + + şi 4 4 4 4 43 5 7 9 11
y = + + + + , scrieţi sub formă de fracţie zecimală numărul
:a x y= .
8. Aflaţi x din egalitatea: 1 1 1 1 3 4 5 6 17 6 5 4 4 5 6 7
x ⋅ ⋅ ⋅ + + + + =
.
II.2.3. Ordinea efectuării operaţiilor Dacă într-un exerciţiu nu apar paranteze, se fac întâi operaţiile de ordinul al doilea (înmulţirea şi împărţirea) şi apoi
operaţiile de ordinul I (adunarea şi scăderea).
Exerciţii rezolvate
1. Efectuaţi: 1 2 52 3 4− ⋅ .
Soluţie 1 2 4 1 5 12 3 5 2 4 3− ⋅ = − = −
8
2. Efectuaţi: 2 7 5 20
:3 8 3 7
− ⋅ − − −
Soluţie. Expresia devine: 2 7 5 7 1 7 1 7 7 7 73 8 3 20 3 4 3 4 12 12 6
− ⋅ − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = − − = − .
Exerciţii propuse
1. Să se calculeze: a) 1 42 5⋅ ; b) 4 5 9
3 2 10⋅ ⋅ ; c) 3 5
2 2⋅ ; d) 6 2:
5 5; e) 5 2
3 5−⋅
−; f) 6 14:
7 2−
−;
g) 6 2:35 7− − ; h) 5 10 13:
2 7 21⋅ ; i) 2 7 21:
5 15 9⋅ ; j) 13 26 1: :
12 5 10.
2. Calculaţi: a) 1 5 43 2 5− ⋅ ; b)
1 7 54 3 14− ⋅ ; c)
1 7 112 3 28
− ⋅ ; d) 1 1 425 10 5
− ⋅ −
; e) 1 5 1
16 4 10− ⋅ −
.
3. Efectuaţi: a) 1 5 5:2 3 2− ; b)
7 8 40:5 3 3− ; c)
5 3 6:14 7 7
− ; d) 2 7 5
:25 5 7
− −
; e) 4 5 3
:27 9 5
− −
4. Efectuaţi: a) 1 10, 2 0, 25 3
+ − ⋅ ; b) 30,75 0,75:4
+ ; c) ( ) 10, 3 : 0,2
3− +
;
d) 2 1 1
: 23 2 3
− −
; e) 12,5 : 0,3
10− .
5. Să se calculeze: a) 3 5 244 9 5
− ⋅ − ⋅
; b) 5 7 4 33 10 21 4
− − ⋅ ⋅ ⋅ − − ; c) 1 1 1 50,75 1 3 5 :
2 4 6 16 − ⋅ + − −
;
d) 1 330,1(2): :2,(4):3 10−
−; e) [ ] 43 10,(81) 0,(63) :
18 18 + +
; f) 110,8(3):0,625 0,3(6): :0,2(7)35
− .
6. Scrieţi sub formă de fracţie zecimală numerele: a) ( )13 13 21: 39
7 7 50− − ⋅
; b) 12 1 25 5: :
5 16 64 14 + − −
;
c) ( ) 3102 6 : 11 :11 72
− + − −
; d) ( )7 21 0,5 5 0, 6
15 3− ⋅ − −
.
7. Determinaţi n∈!* astfel încât: 1 1 1 1 2006...2 6 12 ( 1) 2007
Sn n
= + + + + =+
.
Concurs interjudeţean �Gavril Tulai�, Năsăud, 2008
8. Fie 7 7 7 7...7 9 9 11 11 13 ( 2)
An n
= + + + +⋅ ⋅ ⋅ −
. Determinaţi numărul n ∈ !* astfel încât 20014016
A = .
O. M., Etapa locală, Sălaj � 2008
9. Să se arate că 1 1 1 1 1 11 ... ( 1) ...2 3 2 3 1
n nn n
+ + + + ≥ + + + + + , ∀ n ∈ !*.
O.M., Etapa judeţeană şi a municipiului Bucureşti � 2008
10. Dacă 1 1 1 2a b cb c a c b a+ + +
= = =+ + +
, determinaţi numerele a, b, c.
O.M. Etapa locală, Constanţa � 2007 II. 2. 4. Puterea cu exponent întreg a unui număr raţional. Reguli de calcul cu puteri.
A. Puterea cu exponent natural a unui număr raţional
Definiţie: Dacă , *a Q n Nb∈ ∈ definim puterea
ori
...n
n
a a a ab b b b = ⋅ ⋅ %&'&(
, ab
se numeşte bază a puterii şi n exponentul
puterii.
9
Reguli de calcul cu puteri Din modul cum a fost definită puterea cu exponent natural unui număr raţional şi din proprietăţile puterilor unui
număr întreg, deducem:
1. n n
n
a ab b =
, pentru orice a,b ∈ "* şi orice n∈! .
2. n na a
b b − =
, pentru orice a,b ∈ "* şi pentru orice n natural par.
3. n na a
b b − = −
, pentru orice a,b ∈ "* şi pentru orice n număr natural impar.
4. n m n ma a a
b b b
+ ⋅ =
, pentru orice a,b ∈ "* şi pentru orice n,m ∈ !.
5. :n m n ma a a
b b b
− =
, pentru orice a,b ∈ "*şi pentru orice n,m ∈ !, n ≥ m.
6. mn n ma a
b b
⋅ = , pentru orice a,b ∈ "* şi pentru orice n,n ∈ !.
7. n na c a c
b d b d ⋅ = ⋅
, pentru orice a,b,c,d ∈"* şi pentru orice n ∈!.
ATENŢIE 1. 0 0n = , pentru orice n ∈ !*.
2. 00 este o operaţie fără sens.
Exerciţii rezolvate Efectuaţi:
a) 31
2 −
. Rezolvate: 3 3 3
3
1 1 1 12 2 82
− = − = − = − .
b) 42
3 −
. Rezolvare: 4 4 4
4
2 2 2 163 3 813
− = = = .
c) 7 52 2:
5 5
. Rezolvare: 7 5 2 2
2
2 2 2 2 4:5 5 5 255 = = =
.
d) ( ) ( )17 160,3 : 0,3− . Rezolvare: ( ) ( ) ( ) ( )17 16 17 160,3 : 0,3 0,3 : 0,313
− = = .
B. Puterea cu exponent întreg a unui număr raţional
Dacă ab∈# , , *a b∈" , *n∈! definim
− =
n na bb a
.
Proprietăţi
1. k k
k
a ab b =
, (∀) a,b ∈ "* şi (∀) k Z∈ .
2. k ka a
b b − =
(∀) a,b ∈ "* şi (∀) ,k Z k∈ par.
3. k ka a
b b − = −
, (∀) a,b ∈ "* şi (∀) ,k Z k∈ impar.
10
4. K p k pa a a
b b b
+ ⋅ =
, (∀) a,b ∈ "* şi (∀) k şi p Z∈ .
5. :k p k pa a a
b b b
− =
, (∀) a,b ∈ "* şi (∀) k şi p Z∈ .
6. pk k pa a
b b
⋅ = , (∀) a,b ∈ " şi (∀) k şi p Z∈ .
7. ( ), , , , *n n na c a c a b c d Z
b d b d ⋅ = ⋅ ∀ ∈
şi (∀) n Z∈ .
Exerciţii rezolvate
1. Scrieţi sub formă de fracţie ireductibilă numărul ( ) ( )3 322 : 8− − . Soluţie
Numărul se scrie ( ) ( )36 3 6 9 3 12 : 2 2 : 2 28
−− − = = = .
2. Scrie ca putere cu baza 2 expresia ( ) ( )4
3 52 2 14 82
E− − = ⋅ − ⋅ −
.
Soluţie. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 6 1010 46 1 2 24 8 2 2 2 2E− −− −− −= ⋅ − − = ⋅ − ⋅ − 12 20 4 362 2 2 2− − − −= ⋅ ⋅ = .
Exerciţii propuse
A. 1. Să se calculeze: a) ( ) 23 32 4−− ⋅ ; b) ( ) 23 33 9
− −⋅ ; c) ( ) ( )2 4 25 625 −⋅ ; d) ( ) ( )2 5 24 32−⋅ e) ( )3 4 927 81− ⋅ .
2. Calculaţi: a) ( ) ( ) ( )4 30,1 0,1 : 0,1−− ⋅ − − b) ( ) ( ) ( )3 3 62,3 2,3 2,3: − −− − −⋅
3. Scrieţi cu puterea lui 2 numerele: a) ( )534 :8− ; b) ( )32 216 4−− ⋅ ; c) ( ) ( ) ( )3 2 100532 8 : 2− ⋅ − − ;
d) ( ) ( ) ( )2 15 264 2 : 2−− ⋅ − −
4. Efectuaţi: a) 5
41 22
⋅
b) ( )7
421 33 ⋅
c) ( )3
42
1 255 ⋅
B. 5. Scrieţi cu o singură putere numerele:
a) 4 3 61 1 1
2 2 2
− − ⋅ −
b) 17 6 215 5 5
6 6 6
− ⋅ − ⋅
6. Scrieţi cu o singură putere numerele:
a) ( ) ( )2 4225 5− ⋅ b) ( ) ( )2 22 59 3− ⋅ c) ( ) ( )2 22 3
8 2− ⋅
7. Scrieţi cu o singură putere numerele: a) 1 2 3 103 3 3 3...⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ; b) 2 3 4 102 2 2 2...⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ; c) 1 2 3 4 5 65 5 5 5 5 5− − −⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .
8. Să se efectueze: a) ( )3 23 2 5
17 7 713
13 13 13:
− −− −−−
⋅ ⋅
; b) ( )2
2 44 1 32 2 22
3 3 3:
−− −
− − − − ⋅ ⋅
;
c)
25 22 4 3 2 51 1 1 1 1: : :2 2 2 2 2
−− − − − ⋅ − −
9. Calculaţi: a) 5 3
101 1 22 2
⋅ ⋅
; b) 3 23 3: 5
5 2 − ⋅
; c) 7 62 3 3
3 2 ⋅ ⋅
; d) 10 10 20
107 3 2
12 7⋅ ⋅
e) 2 4 26 2 5 1
25 2 2⋅ ⋅ ⋅
10. Să se calculeze: a) ( ) ( )142 2 3 225 5 :5 :125−
− − −
; b) ( )2 3 5 2581 9 27 3: − −− ⋅ ⋅ ;
c) ( ) ( ){ }3 224 14 4 2 35 25 5 5 125 5: : :−−− − − ⋅ ⋅
; d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 6 4 7
32 125 4 7 553 3 3 3: 3− − ⋅ ⋅ ⋅
.
11
11. Fie n ∈ !*. Arătaţi că:
i) Numerele 4 2 1n n− + şi 8 4 1n n− + sunt relativ prime; ii) Cel mai mare divizor comun al numerelor 32 2 1n n+ + şi 16 4 1n n+ + este 4 2 1n n+ + .
Concursul Naţional de matematică �Arhimede�, aprilie 2008 12. Fie numerele 5 9 2005...s a a a a= + + + + şi 2 2008...S a a a= + + + , a > 0. Aflaţi a ∈ ! astfel încât valoarea
raportului sS
să fie 1400
.
Concursul interjudeţean �Mathematica � modus vivendi�, februarie 2008
13. Fie numărul 2 2 2 21 1 1 1...2 3 4 100
A = + + + + . Demonstraţi că 99202
< A < 99100
.
O.M. Etapa locală, jud. Alba, 2007
II 2.5. Ordinea efectuării operaţiilor şi folosirea parantezelor
Reamintim: Dacă într-un exerciţiu apar operaţii de acelaşi ordin, acestea se efectuează în ordinea în care sunt scrise. Dacă apar operaţii de ordin diferit, atunci: � În primul rând se efectuează operaţiile de ordin III (ridicarea la putere şi extragerea rădăcinii pătrate) � Operaţiile de ordin II (înmulţirea şi împărţirea) � Operaţiile de ordin I (adunarea şi scăderea) Dacă într-un exerciţiu apar paranteze, atunci se efectuează: � Calculele din parantezele mici (rotunde) � Apoi calculele din parantezele mari (drepte) � În final, calculele din parantezele acoladă. În fiecare paranteză se respectă ordinea efectuării operaţiilor. Observaţie: În fiecare exerciţiu se pot folosi proprietăţile operaţiilor pentru simplificarea calculelor. Exerciţii rezolvate
1) 1 1 1 1 1 3 2 12 :3 1:32 2 2 2 3 6 6
− +− + ⋅ = − + = − + = = − .
2) 3 31 3 7 1 27
4 2 8 4 + − ⋅ = −
78 18
⋅4)
2
1 214 16
= −4 21 17 17
16 16 16− −
= = = − .
3) 3 4 5 24 36 32 105 24 104
7 714 21 8 17 168 17 17
− + − −− + ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ =
4) 7 6 15 3
:5 8 12 5− −
. Este de preferat să facem mai întâi simplificările, să calculăm suma numai pentru care au
acelaşi numitor şi apoi restul de calcule şi avem: 7 6 15 3
:5 8 12 5− −
7 3 5 3 7 3 5 3: :
5 4 4 5 5 4 5+
= − − = − =
7 8 3 7 3 3 3: 2 : : 1
5 4 5 5 5 5 5− = − = − = −
Exerciţii propuse
1. Calculaţi a) 3 2 115 7 4− −
; b) 3 2 18 3 4− +
; c) 1 3 5 72 4 8 16+ + + ; d)
6 9 495 5 25
− − −
.
2. a) 5 3 5 3
:7 4 4 7− −
; b) 154 15 120 28 33 4:132 18 360 21 15 9
+ ⋅ − ⋅ ; c)
5 37 45 34 7
−
−; d)
1 1 1 16 12 20 30+ + + ;
e) 1 3 3 1 3 1:2 2 4 2 2 2
⋅ + + − .
12
3. Calculaţi şi puneţi rezultatul sub formă zecimală:
a) 24,32 10 36,5⋅ − ; b) 1, 2 1,3 1, 4⋅ ⋅ ; c) 56, 25 0,75⋅ ; d) 23,32 40,8 0,3− ⋅ ; e) 18 :3,5 11, 45
+ .
4. Să se calculeze: a) 2 1 3 53 6 8 12
+ − + +
; b) 1 2 3 42 3 4 5 ⋅ − ⋅ ⋅ −
; c) 5 3 5: :12 4 18
; d) 1 12 3:4 2 ⋅ +
;
e) 2 1 5 9 19 : :3 7 2 4 16 + −
; f) 28 1 1 7 72 :31 4 2 4 8
⋅ + −
; g) 1 1 1 3 1 16 1 25 5 3 2 5 6
+ − − −
.
5. Să se calculeze valoarea expresiei: ( ) ( ) ( )26 2
2
2 32 1 21 2 2 2 5
1 1 16 3 5 7
: n n nnE +⋅
− − − − − − = − ⋅ ⋅ + −
, unde n∈! .
6. Efectuaţi: ( ) ( ) ( )[ ] 1 5 250, 6 3, 21 0,2 31 : 3
9 11 198+ + + +
.
7. Să se efectueze: a) 8 6 7 8 1 7 164
: : : :5 5 11 11 2 2 7
− − +
; b) 3
24 5 6 1: 5
3 3 5 5:
−
− − ⋅ −
;
c) 2 3 5 13 5 2 2 137
5 3 3 3 27
− − −
− ⋅ + ⋅ ⋅
.
8. a) Arătaţi că: 1 3 5 2 4 62 4 6 3 5 7⋅ ⋅ < ⋅ ⋅ ;
b) Arătaţi că: 1 3 5 7 9 11 2 4 6 8 10 112 4 6 8 10 12 3 5 7 9 11 12⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ < ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .
9. Fie ( ) ( )2 43 53 3 3 3 3a = ⋅ − ⋅ − ⋅ şi 2 3 4 51 1 1 1 1
3 3 3 3 3b = − ⋅ ⋅ − ⋅ −
. Scrieţi sub formă de fracţie zecimală
numărul: 15
x a b= ⋅ − .
10. Fie 1 1 1 1
1 1 1 12 3 4 5
a + + ⋅ + + =
şi ( )52 43 9b −= − ⋅ . Calculaţi a b+ .
11. Dacă 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 2 3
x ⋅ ⋅ ⋅ − − =
şi ( )( )223 2 5y = − − ⋅ . Scrieţi sub formă zecimală numărul
( ) ( )2 2 1180 : 6 22
x y x y⋅ + ⋅ − − ⋅ − + .
12. Demonstraţi că: 61 1 1 1 1...18 1 4 2 5 3 6 100 103
S = + + + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ 1 1 1 13 101 102 103
⋅ + +
este pătrat
perfect. O.M. Etapa locală, jud. Prahova, 2008
13. Se consideră numerele raţionale 1 1 1 1...2 5 3 7 4 9 1004 2009
x= + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅
şi 1 1 1 1...3 5 4 7 5 9 1005 2009
y = + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅
.
a) Calculaţi suma lor. b) Arătaţi că au loc inegalităţile:
i) 12
x y− < ; ii) x > y; iii) 10034020
y < .
Concursul interjudeţean de matematică �Dumitru Ţiganetea�, Dej, jud. Cluj, 2008
II 3. Ecuaţii cu coeficienţi raţionali
Considerăm ecuaţia , , , ,ax b c a b c+ = ∈# , 0a ≠ şi ,x M M∈ ⊂# . Rezolvarea acestei ecuaţii se bazează pe proprietăţile relaţiei de egalitate.
Etapele rezolvării acestei ecuaţii sunt: c bax b c ax b b c b ax c b x
a−
+ = ⇔ + − = − ⇔ = − ⇔ = .
13
Dacă c b M
a−
∈ , ecuaţia are soluţie în mulţimea M pe c b
a−
.
Dacă c b M
a−
∉ , ecuaţia nu are soluţii în mulţimea .M
Exerciţii rezolvate
1. Rezolvaţi în # ecuaţia 1 132 3
x − = .
Soluţie. 1 1 1 13 32 3 2 3
x x− = ⇔ = +
101 10 10 203 2
12 3 3 32
x x = ⋅ =⇔ = ⇔ = .
Deoarece 203∈# rezultă ecuaţia are soluţie în # pe
203
.
2. Rezolvaţi în " ecuaţia: 1 122 2
x + = − .
Soluţie. 1 1 1 12 22 2 2 2
x x+ = − ⇔ = − −1 5 52 2
x x⇔ = − ⇔ = − . Cum 5− ∈" rezultă ecuaţia are soluţie în "
pe 2− .
3. Determinaţi m∈# ştiind că 12
− este rădăcină(soluţie) a ecuaţiei 133
x m+ = .
Soluţie. Din 12
− este rădăcină, rezultă 2) 3)3 1 1 3 11
2 3 3 2 6m m− + = ⇔ = + = . Cum 11
6∈# rezultă că 11
6 este
valoarea cerută pentru m .
4. Rezolvaţi în # ecuaţia: 1 1
2 33 2
x x − − =
.
Soluţie. Ecuaţia dată devine 1 1 12 3 1 12 2 2
x x x x− + = ⇔ − = − ⇔ − = −12
x⇔ = . Cum 12∈# rezultă că 1
2
este rădăcină a ecuaţiei date.
5. Rezolvaţi în # ecuaţia: 1 1
5 2 23 2
x x x − − − − =
.
Soluţie. Ecuaţia dată devine: 1 15 2 23 2
x x x − − − + = ⇔
1 15 23 2
x x − − + =
1 15 2 .3 2
x x ⇔ − − − = ⇔
5 15
3 2x x − − + = ⇔
5 153 2
x x+ − = ⇔5 163 2
x = +1366
x⇔ =1336
x⇔ = . Cum 1336∈# rezultă că
1336
este
rădăcină a ecuaţiei date.
Exerciţii propuse
1. Precizaţi care din elementele mulţimii: { }1 2 4; ; ; 2
2 3 5− − este rădăcină a ecuaţiei 2 1 0x + = .
2. Rezolvaţi în # ecuaţiile: a) 8 12x = ; b) 6 8x− = ; c) 3 2x = − ; d) 10 12x− = − .
3. Determinaţi valoarea lui m∈# pentru care 12
− este rădăcină a ecuaţiei 3 0x m+ = .
4. Pentru fiecare 1
2; ;12
m − − ∈
rezolvaţi ecuaţia 1 02
mx + = , x∈# .
5. Aflaţi x raţional din egalitatea: a) 2 73 3
x+ = ; b) 3 47 7
x+ = ; c) 3 27 25
x− = d) 1 12 35 7
x+ =
e) 1 17 33 7
x− = : f) 5 2319 19 19
x+ = ; g) 3 11
5 5x+ = ; h) 12 15
17 34x− = .
14
6. Rezolvaţi în # ecuaţiile: a) 3 14 3
x− = ; b) 1 32 5
x− = − ; c) 5 76 4
x⋅ = ; d)7 3
10 8x = ;
e) 8 49 7
x = ; f) ( ) 41, 39
x = ; g) ( )7 1, 32
x− = .
7. Aflaţi x ∈# din egalitatea: a) 1:14 57
x = ; b) 1 : 15
x= ; c) 1 3:4 4
x= ; d) 1 : 34
x= ;
e) 1 1 1942 2 2
x⋅ + = ; f) 1 1 114 8 8
x⋅ + = .
8. Rezolvaţi în # ecuaţiile: a) ( )3 2 2 1x+ − = ; b) ( )5 2 3 2 2x x− − = ; c) ( )3 5 2 3 4x x− − = ;
d) 1
5 4 1 52
x x− − =
; e) ( )1 1 2 3 52 3
x x− − = ; f) ( )3 2 2 2x− − = ; g) ( )1 1 122 3 2
x x− − = − ;
h) ( )1 1 213 2 3
x x− − = ; i) ( )3 1 12 14 3 2
x x− − = − ; j) ( )5 1 316 2 4
x x− − = .
9. Rezolvaţi în # ecuaţiile: a) 1 6 122 15 4
x − = ; b) 1 3 47 12 4 3
x − = ; c) 3 1 23 24 3 5
x − = ;
d) 1 3 51 22 5 3
x− + = − ; e) 2 1 72 33 2 4
x − = − ; f) 1 1 73 52 3 2
x − = − ; g) 1 1 75 32 4 3
x − = − ;
h) 1 1 54 23 2 4
x − = − ; i) 1 1 73 34 3 2
x − = − .
10. Rezolvaţi în # ecuaţiile: a) ( ) ( )1 22 1 32 3
x x− − − = ; b) ( ) ( )1 1 12 12 3 2
x x− + − − = − ;
c) ( )3 1 12 3 1 3
4 2 2x x− − − − − = −
; d) ( ) ( )3 33 1 2 4 52 4
x x− − − − = − .
11. Rezolvaţi în # ecuaţiile: a) 1 2 1 3 22 3
x x−− = − ; b)
1 12 43 2
x x−− = + ;
c) 4 1 123 2 2
x x−− = + ; d)
5 1 1 12 3 2 3
x x−− = − .
12. Rezolvaţi în # ecuaţiile: a) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 1 5 1 2x x x− − − = − + ; b) ( ) ( ) ( )1 12 3 3 2 2 4 3 32 3
x x x− − − = − − ;
c) ( ) ( ) ( )1 6 3 2 3 4 3 2 1 53
x x x− − − = − − ; d) ( ) ( ) ( )1 13 2 9 2 2 1 42 3
x x x− − − + = − − − ;
e) ( ) ( ) ( )2 16 3 8 2 3 2 1 53 4
x x x− − − − − = − − − ; f) ( ) ( ) ( )1 13 6 2 4 3 2 1 43 2
x x x− − + − − = − + − ;
g) ( ) ( ) ( )5 18 12 3 9 5 3 84 3
x x x− − − − − + = − − + + .
13. Scrieţi patru ecuaţii de forma a x b c⋅ + = unde , ,a b c∈# , x∈# , având soluţia 12
− .
14. Rezolvaţi în # ecuaţiile: a) 1
12
x − = b) 2
23
x− − = ; c) 1 13 2
x + = ; d) 1 23 3
x− − = ; e) 1 53 7
x − = − .
15. Rezolvaţi în # ecuaţia: ( ) ( ) ( )3
66 3 55 2 9 4 81 1
2 48 16 3
x− −⋅ − − ⋅ ⋅ = −
.
16. Determinaţi *x∈! pentru care este verificată egalitatea: 1 1 1 921 ...
1 2 1 2 3 1 2 ... 47x+ + + + =
+ + + + + +.
17. Fie numărul raţional 1 2 3 200710 1 10 ... 102 3 2 2
a = − +− − ⋅ ⋅ −
. Aflaţi m ∈ # pentru care are loc egalitatea
xm − 6x= a. O.M. Etapa locală, jud. Satu Mare, 2007
18. Să se rezolve în # ecuaţia 23 2007 2(2006 ) (2007 ) (2008 )
4x x y y z z ⋅ +
− + − + − = .
O.M. Etapa locală, jud. Neamţ, 2007
15
II 4. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor
Se recomandă parcurgerea următoarelor etape: 1. Citirea cu atenţie a textului problemei, împărţirea lui în unităţi logice şi studierea întrebărilor apărute în
problemă; 2. Stabilirea datelor cunoscute şi a celor necunoscute; 3. Se notează una din datele necunoscute cu o literă; 4. Transformarea relaţiilor dintre cunoscute şi necunoscute în limbaj matematic (ecuaţie/ecuaţii); formarea
modelului matematic. 5. Rezolvarea ecuaţie/ecuaţiilor; 6. Analiza rezultatului, verificarea şi precizarea răspunsului problemei.
Probleme rezolvate
1. Determinaţi numărul raţional care mărit cu 56
dă numărul 73
.
Soluţie. Notez cu x numărul căutat. Din condiţiile problemei rezultă că 5 76 3
x + = ⇔2) 7 53 6
= −x ⇔
⇔9 36 2
= ⇔ =x x . Deoarece 32∈# rezultă că 3
2 este numărul căutat.
Observaţie. Se poate face şi verificarea rezultatului şi avem: 2) 3 5 9 5 14 72 6 6 6 3
++ = = = .
2. Dacă la dublul unui număr raţional adunăm 13
obţinem 73
− . Determinaţi numărul.
Soluţie. Notăm cu x numărul. Din datele problemei, rezultă ecuaţia: 1 723 3
x⋅ + = − ⇔7 1 82 23 3 3
= − − ⇔ =−x x ⇔
⇔ 43
= −x . Cum 43
− ∈# rezultă că 43
− este numărul căutat.
3. Aflaţi numărul raţional ştiind că 15
din el este cu 2 mai mare ca 3,5 .
Soluţie. Notez cu x numărul raţional. Din datele problemei rezultă ecuaţia: 1 1 352 3,5 25 5 10
− = ⇔ = +x ⇔
⇔1 725 2
= +x 1 11 555 2 2
x x⇔ = ⇔ = . Cum 552∈# rezultă că
552
este numărul căutat.
4. Aflaţi unghiurile unui triunghi dreptunghic ştiind că un unghi ascuţit este dublul celuilalt unghi ascuţit. Soluţie. Fie x măsura în grade a celui mai mic unghi ascuţit al triunghiului. Rezultă că al doilea unghi ascuţit are
măsura 2x . Rezultă că avem ecuaţia: 2 90 3 90 30x x x x° ° °+ = ⇒ = ⇒ = . Rezultă că unghiurile triunghiului au măsurile 30 ,60° ° şi 90° .
5. Scrieţi pe 660 ca sumă de cinci numere naturale consecutive. Soluţie. Notez cu x primul număr natural. Rezultă că avem ecuaţia: 1 2 4 6603x x x x x+ + + + + + + + = ⇒
5 10 660x⇒ + = 5 660 10x⇔ = − 5 650 130x x⇔ = ⇔ = 660 130 131 132 133 134⇒ = + + + + .
Probleme propuse
1. Aflaţi numărul raţional care mărit cu 23
dă numărul 54
− .
2. Aflaţi numărul raţional ştiind că dublul său este cu 72
mai mare ca 53
.
3. Să se determine un număr ştiind că:
a) 35
din acesta este 12; b) 14
din acesta este 12; c) 1735
din acesta este 235
; d) 23
din acesta este 176
.
4. Determinaţi numărul raţional x pentru care 37
din el reprezintă: a) 30; b) 510; c) 1236; d) 4849
; e) 26814
; f) 233
16
5. Calculaţi măsurile unghiurilor triunghiului din figură: 6. O pătrime din suprafaţa unei grădini este acoperită cu flori, o treime este cultivată cu legume şi mai rămân 50 mP
2P.
Aflaţi suprafaţa grădinii.
7. Aflaţi numărul raţional care este cu 72
mai mic ca triplul său.
8. Aflaţi numărul raţional care este cu 85
mai mare decât triplul său.
9. Aflaţi numărul raţional care este de trei ori mai mic decât suma dintre el şi 1, 4 .
10. Aflaţi două numere raţionale x şi y ştiind că suma lor este 47
şi 23
din x este cât 12
din y .
11. Un biciclist a parcurs un drum în trei zile. În prima zi a parcurs 13
din drum, a doua zi 25
din rest, iar a treia zi
restul de 24km . Aflaţi lungimea drumului. 12. Radu şi Alexandra au împreună 10 lei. Ei hotărăsc să cumpere împreună, participând în mod egal, o carte. Dacă Radu este nevoit să împrumute de la Alexandra suma de 1 leu, iar după cumpărarea cărţii Alexandra rămâne cu 5 lei, determinaţi: a) preţul cărţii? b) ce sumă de bani a avut Alexandra iniţial?
Stănică Nicolae, Brăila, Testarea Naţională 2007 13. 5 kg de ciocolată se taie în 50 bucăţi de tip A(60 g), B(100g) şi C(250 g). Câte bucăţi de tip A, B şi C se pot
obţine? O.M. Etapa locală, jud. Sibiu, 2008 14. Să se afle toate perechile de numere naturale (a, b), b ≠ 0, ştiind că a + b = 2007 şi că restul împărţirii lui a la b
este egal cu câtul acestei împărţiri. O.M. Etapa locală, Municipiul Bucureşti, 2008 II 5. Rapoarte şi proporţii 5.1. Rapoarte
Probleme rezolvate
1. Aflaţi raportul dintre numerele 172
şi 154
.
Soluţie. 17
17 4 17 2 34215 2 15 15 154
⋅= ⋅ = = .
2. Un teren dreptunghiular are lăţimea de 12m şi lungimea de 84m . Aflaţi raportul dintre lungimea şi lăţimea terenului.
Soluţie. 84 712
= rezultă că raportul dintre lungime şi lăţime este 7.
3. Fie a, b ∈# , b ≠ 0 astfel încât 57
ab= . Calculaţi 3 2
2 3a ba b−+
Soluţie. 5 5 ; 7 .7 5 7
a a b k a k b kb= ⇒ = = ⇒ = = Deci 3 2 15 14 1 .
2 3 10 21 31a b k ka b k k− −
= =+ +
4. Fie numerele 6 132 8x = ⋅ şi 5 84 16y = ⋅ . Aflaţi xy
.
Soluţie. ( )
( ) ( )
136 3 6 39 453
5 8 10 32 422 4
2 2 2 2 22 8
2 2 22 2
xy
⋅ ⋅= = = = =
⋅⋅.
5. Dacă 25
xy= şi
103
yz= , aflaţi
xz
.
Soluţie. Deoarece
xyxyzz
= avem
235
10 253
xz= = .
3x 2x x
17
Probleme propuse
1. Aflaţi raportul inverselor a două numere ştiind că raportul lor este: a) 54
; b) 7
12; c) 0, 4 ; d) ( )1,1 3 .
2. Raportul a două numere este 35
. Aflaţi raportul pătratelor lor şi raportul cuburilor lor.
3. Aflaţi x ştiind că 5 14, 2
3x= .
4. Aflaţi raportul ariilor a două pătrate ştiind că raportul laturilor este 53
.
5. Să se determine raportul dintre a şi b ştiind că a) 8 3 42 5 3a = ⋅ ⋅ ; 4 2 24 5 9b = ⋅ ⋅ ; b) 4 2 216 125 9a = ⋅ ⋅ ; ( )68 44 5 3b = − ⋅ .
6. Raportul dimensiunilor unui dreptunghi este 23
iar aria lui este 54 cmP
2P. Aflaţi perimetrul dreptunghiului.
7. Aflaţi numerele raţionale a şi b ştiind că raportul lor este 34
şi suma lor este: a)14; b) 70; c) 49; d) 1,3 .
8. Aflaţi raportul dintre suma şi diferenţa numerelor: a) 40 şi 30; b) 1,3 şi ( )2, 3 ; c) 1
23
şi 2, 4 .
9. Aflaţi raportul dintre suma şi produsul numerelor: a) 23
şi 54
; b) 1, 6 şi 5
24
; c) ( )1, 3 şi ( )3,2 3 .
10. Dacă 35
ab= să se calculeze
2 35a ba b−−
.
11. Dacă 3 2 24 3 3a ba b−
=−
, aflaţi ab
.
12. Dacă 4 5 12 2a ba b−
=−
, aflaţi 3 7
3a ba b−−
.
13. Numărul a este de trei ori mai mare decât numărul b şi 14
din numărul c. Să se afle raportul:
a) dintre a şi b b) dintre a şi c c) dintre c şi b d) dintre a + 3b şi a
14. Dacă 3 0,55ab= . Să se calculeze 3 3
8 4a ba b+−
15. Fie 1 1 1 12 (1 2 3 ... 100) ...1 2 2 3 3 4 101 101
a
= ⋅ + + + + ⋅ + + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ . Aflaţi valoarea raportului
1000a .
16. Fie triunghiul ABC de laturi a, b, c. Demonstraţi că valoarea raportului 2
2 2 2( 2 3 )
2 3a b c
a b c+ ++ +
este 6 dacă şi numai
dacă triunghiul este echilateral. Concurs interjudeţean �Cezar Ivănescu�, Târgovişte, 2008-08-06
17. Aflaţi valoarea maximă a raportului 2
23 12 22
4 6x xx x+ ++ +
, x ∈ #.
(OM, Etapa locală, Brăila, 2007) II 5.2. Procente
Un raport de forma 100
P se numeşte raport procentual şi se notează cu %p .
Exerciţii rezolvate 1. Scrieţi următoarele rapoarte ca rapoarte procentuale
a) 35
b) 720
c) 165
Soluţie. a) 3 3 20 605 5 20 100
⋅= =
⋅; b)
7 7 5 3520 20 5 100
⋅= =
⋅; c)
16 16 20 3205 5 20 100
⋅= =
⋅.
18
2. Aflaţi: a) 5% din 200; b) 3% din 15; c) 60% din 18.
Soluţie. a) 5 200 10
100⋅ = ; b)
3 4515 0, 45100 100
⋅ = = ; c) 60 6 1818 10,8
100 10⋅
⋅ = = .
3. Aflaţi cât la sută reprezintă: a) 15 din 60; b) 5 din 200.
Soluţie. a) 15 10060 15 25 15
100 60p p ⋅⋅ = ⇒ = = ⇒ reprezintă 25% din 60.
b) 50020 5 2,5
100 200p p⋅ = ⇒ = = 5⇒ este 2,5% din 200.
4. Aflaţi numărul ştiind că 3% din el este 12 .
Soluţie. Fie x numărul căutat. Avem 3 12 10012 400
100 3x x ⋅⋅ = ⇒ = = .
5. O bancă plăteşte 16% pentru suma depusă pentru un an. Ce sumă are un client după un an dacă a depus 2400 lei.
Soluţie. Primeşte o dobândă de 16 2400 384100
⋅ = . Suma pe care o primeşte este: 24000 384 2784+ = . Rezultă că
primeşte 2784 lei. 6. Într-o clasă sunt 10 fete şi 20 băieţi. Aflaţi cât la sută din numărul total de elevi din clasă sunt fete.
Soluţie. În clasă sunt 30 elevi din care 10 fete rezultă: ( )100 10 10030 10 33, 3100 30 3
p p ⋅⋅ = ⇒ = = = rezultă că raportul
este ( )33, 3 % .
Probleme propuse
1. Transformaţi în rapoarte procentuale următoarele rapoarte: a) 14
; b) 34
; c) 35
; d) 72
; e) 114
.
2. Calculaţi: a) 10% din 47; b) 15% din 25; c) 4% din 160; d) 14% din 91. 3. Un obiect costă 26 lei RON aflaţi cât va costa obiectul după ieftinire cu: a) 10% b) 15% . 4. Într-o bibliotecă sunt 580 de cărţi dintre care 80% sunt culegeri de matematică. Aflaţi numărul culegerilor de
matematică. 5. Într-o clasă sunt 40% băieţi şi 15 fete. Aflaţi câţi elevi sunt în clasă. 6. Un biciclist a parcurs un drum în trei zile astfel: în prima zi 20% din drum, a doua zi 25% din rest şi a treia zi
restul de 9km . Aflaţi cât a parcurs biciclistul în prima zi. 7. Mărind cu 25% latura unui pătrat perimetrul său devine 400cm . Aflaţi latura pătratului iniţial. 8. După o ieftinire cu 30% o carte costă 4,20 lei grei. Aflaţi preţul iniţial. 9. Preţul unui pix se măreşte cu 25% şi apoi se micşorează cu 25% din noul preţ costând în final 1,50 lei. Care a
fost preţul iniţial? 10. O suprafaţă de teren este cultivată cu grâu, porumb şi sfeclă astfel: 40% din teren cu grâu, 20% din rest cu
porumb şi restul de 48 ha cu sfeclă. Aflaţi suprafaţa terenului şi cât a fost cultivată cu porumb. 11. Comparaţi două creşteri succesive de preţ de 10% şi 15% cu o creştere de 25% . 12. Într-un magazin sunt 900 kg mere. În prima zi s-a vândut 40% din cantitate şi s-au mai primit 360 de kg. A
doua zi s-a vândut 40% din cantitatea existentă. Ce cantitate a rămas în depozit după a doua zi? 13. Un produs costă 8 lei. Se scumpeşte succesiv cu 15% şi apoi 10% . Aflaţi noul preţ al produsului. 14. După două scumpiri succesive, una de 10% şi a doua de 20% un produs costă 9,24 lei. Aflaţi preţul iniţial al
produsului. 15. Într-o clasă sunt 10 băieţi şi 15 fete. Aflaţi cât la sută din numărul elevilor din clasă sunt fete. 16. Într-o clasă sunt 30 de elevi. Din numărul total 3 au rămas corigenţi la un obiect şi 2 la două obiecte. Aflaţi
procentul de promovabilitate şi cât la sută din numărul total de elevi sunt corigenţi la un obiect şi cât la două obiecte. 17. Preţul unui obiect se micşorează cu 20% . Cu cât la sută trebuie să se mărească noul preţ pentru a se ajunge la
preţul iniţial? Concursul �Al. Myller�, Iaşi, 2006
18. S-au crescut cu acelaşi procent lungimile laturilor unui pătrat. Aria sa a crescut cu 69%. Care este acel procent?
Concurs interjudeţean de matematică �Micul Arhimede�, Craiova, 2008
19
II 5.3. Proporţii. Proporţii derivate. Şir de rapoarte egale
Proporţia este o egalitate de forma a cb d= unde , , ,a b c d ∈# , b şi 0d ≠ .
Termenii rapoartelor se numesc termenii proporţiei. Termenii a şi d se numesc extremi iar b şi d se numesc mezi.
Proprietăţi
1. a c a d b cb d= ⇔ ⋅ = ⋅ , , , ,a b c d ∈# , b şi 0d ≠ .
(Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor).
2. Dacă a cb d= , , , , *a b c d ∈# atunci
b cad⋅
= , b cd
a⋅
= , a db
c⋅
= , a dc
b⋅
= .
Exemplu: Aflaţi x∈# pentru care 2 5
3x−
= .
Soluţie 2 3 65 5
x x− ⋅= ⇒ = − .
Proporţii derivate
Dacă , , ,a b c d ∈# , , , , 0a b c d ≠ şi avem proporţia a cb d= , atunci ea este echivalentă cu oricare din proporţiile:
1. a bc d= (se schimbă mezii între ei)
2. d cc a= (se schimbă extremii între ei)
3. b da c= (se inversează rapoartele)
4. a d kb c k
⋅=
⋅ sau
a k db k c⋅
=⋅
, (∀) k ∈ #* (se înmulţesc ambii termeni ai unui raport cu un k ).
5. ak ckb d= , (∀) k ∈ # (se înmulţesc numărătorii cu acelaşi număr)
6. a c
b k d k=
⋅ ⋅, (∀) k ∈ #* (se înmulţesc numitorii cu acelaşi număr nenul)
7. a c
a b c d=
+ +, cu a b+ şi 0c d+ ≠ (se adună numărătorii la numitori)
8. a b c d
b d+ +
= (se adună numitorii la numărători)
9. a c
a b c d=
− −, dacă a b≠ şi c d≠ (se scad numărătorii din numitori)
10. a b c d
a d− −
= (se scad numitorii din numărători)
11. a a cb b d
+=
+, dacă 0b d+ ≠ (fiecare raport este egal cu raportul dintre suma numărătorilor şi suma numitorilor)
12. a a cb b d
−=
−, dacă 0b d− ≠ . (Fiecare raport este egal cu raportul dintre diferenţa numărătorilor şi diferenţa
numitorilor). Egalităţile de la 1. La 12 se numesc proporţii derivate. Prin şir de rapoarte egale înţelegem un număr finit de rapoarte, astfel încât oricare două rapoarte din şir formează o
proporţie.
Exemplu 3 6 15 0,3 244 8 20 0,4 32
−
−= = = = este un şir de rapoarte egale.
20
Proprietatea şirului de rapoarte egale 1 2
1 2
... n
n
aa ab b b= = = = 1 2
1 2
...
...n
n
a a ab b b+ + ++ + +
.
Probleme rezolvate
1. Aflaţi numerele raţionale necunoscute din proporţiile: a) 7
3 5x=
−; b)
5 73 x
−=
−; c)
1 52 3
x += ; d)
7 542 3
x −= .
Soluţie. a) 3 7 21 215 5 5
x x− ⋅ −= ⇔ = = − ; b)
( )( )3 7 215 5
x− −
= = ; c) 2 5 10 10 3 71 13 3 3 3
x x x x⋅ −+ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ = ;
d) simplificăm prima fracţie cu 7 şi obţinem 5
6 3x −=
( )6 5
3x
⋅ −⇔ = ( )2 5 10x x⇔ = − ⇔ = − .
2. Ştiind că 5
4ab
−= , determinaţi a)
3ab
b) a b
b+
c) a
b a− d)
33
a bb+
.
Soluţie. a) ( )5 33
4ab
− ⋅=
3 154
ab
−⇒ = ; b)
5 4 14 4
a b a bb b+ − + + −
= ⇒ = ;
c) ( )5 5 5
4 5 9 9a a a
b a b a b a− −
− −= ⇒ = ⇒ = −
− − −; d)
5 5 3 5 12 3 74 3 12 3 12 3 12
a a a b a bb b b b
− − + − + += ⇔ = ⇔ = ⇔ = .
3. Ştiind că 2 4 5a b c= = şi 3 2 48a b c+ − = , calculaţi ,a b şi c .
Soluţie. Din egalitatea dată rezultă că 3 2 3 26 8 5 9a b c a b c− + −= = =
−. Rezultă că
48 166 4 5 9 3a b c= = = =
Probleme propuse
1. Aflaţi x din proporţia: a) 12 3
4x= ; b)
6 58x
−= ; c)
5 33 x
−=
−; d)
23 4
x−= .
2. Determinaţi x din proporţia: a) 2 1 3
2 4x −
= ; b) 2 31 5x
−=
+; c)
3 25 3
x −=
−; d)
2 43 2x=
− −.
3. Suma a trei numere , ,a b c este 6. Aflaţi produsul numerelor ştiind că a, b, c sunt direct proporţionale cu c, a, b.
4. Determinaţi ,x y din # pentru care avem 2 5
yx= şi 2 3 7x y− = .
5. Dacă x,y ∈ # astfel încât 23
xy= , calculaţi
3 62
x yx y−+
.
6. Dacă x , y ∈ # astfel încât 3 2
5 3x yx y+
=−
, aflaţi 3
5x y
x y−+
.
7. Determinaţi numerele ,x y şi z ştiind că 3 2 7x y z= = şi 144x y z+ + = .
8. Determinaţi numerele ,a b şi c raţionale pozitive pentru care avem: 4 6a b= ,
8 12b c= şi 2 2 2 244a b c− + = .
9. Să se determine numerele naturale , ,x y z ştiind că 3 4
2
48 36y zx = = şi 432x y z⋅ ⋅ = .
10. Să se determine numerele raţionale pozitive ,a b şi c ştiind că 3 2 3 6
7 5 3a b a b+ −
= = şi 3 28a c+ = .
11. Numerele naturale a, b, c sunt direct proporţionale cu 3 numere naturale consecutive. a) Să se afle a, b, c ştiind că b − a = 7 şi b + c = 49. b) Să se afle a, b, c ştiind că a + b + c = 303.
O.M., Etapa locală, Jud. Vrancea � 2007
12. Fie a, b, c numere raţionale strict pozitive astfel încât 2 3 2 3 2 3
= =+ + +a b c
b c c a a b. Calculaţi
4 4 42 3 2 3 2 3a b b c c ab c c a a b+ + +
+ ++ + +
. Dezvoltare, Marin Chirciu
21
II 5.4. Media aritmetică şi media aritmetică ponderată
Media aritmetică a n numere raţionale: 1 2, ... na a a este numărul raţional 1 2 ... na
a a am
n+ + +
= .
Dacă avem p numere raţionale egale cu a şi q numere raţionale egale cu b , media lor aritmetică este termeni termeni
... ...p q
a a a b b bp q
+ + + + + + ++
)&&*&&+ )&&*&&+a p b q
p q⋅ + ⋅
=+
.
Numărul a p b q
p q⋅ + ⋅
=+
se numeşte media aritmetică ponderată (pe scurt media ponderată), p şi q se numesc
ponderile numerelor a şi b . Dacă numerele raţionale 1 2, ,..., na a a au respectiv ponderile 1 2, ,..., np p p atunci media lor ponderată este numărul
1 1 2 2
1 2
......
n nap
n
p a p a p amp p p
⋅ + ⋅ + + ⋅=
+ + +.
Probleme rezolvate
1. Aflaţi media aritmetică a numerelor 3, 52
, 72
.
Soluţie.
5 73 3 6 92 2 3
3 3 3am+ + +
= = = =
2. Aflaţi media aritmetică ponderată a numerelor 5, 12
, 3 care au ponderile 6, 4 şi 9.
Soluţie.
16 5 4 9 3 30 2 27 592
6 4 9 19 19apm⋅ + ⋅ + ⋅ + +
+ += = = .
3. Media aritmetică a 6 numere raţionale este -2. Aflaţi suma celor 6 numere.
Soluţie. 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 62 4
2a a a a a a
a a a a a a+ + + + +
= − ⇒ + + + + + = − .
4. Un elev are pe semestrul I la un obiect, la care nu dă teză, notele 7 , 9 , 9 ,1 0 ,1 0 ,1 0 . Aflaţi media la obiectul respectiv.
Soluţie. Aflăm media aritmetică ponderată a notelor şi rezultă că ( )7 2 9 3 10 7 18 30 55 9,1 61 2 3 6 6apm + ⋅ + ⋅ + +
= = = =+ +
rezultă media pe semestrul I este 9.
5. Arătaţi că pentru orice a,b ∈ # şi a b< , atunci 2
a ba b+< < .
TSoluţieT Deoarece a b< rezultă 22
a ba a b a +< + ⇒ < (1)
Deoarece 2 22
a ba b a b b a b b b+< ⇒ + < ⇒ + < ⇔ < (2)
Relaţiile (1) şi (2) demonstrează condiţia cerută.
22
Probleme propuse 1. Media aritmetică a 10 numere este 5− . Aflaţi suma celor 10 numere. 2. Aflaţi media aritmetică a numerelor : a) 6;7;15; 13;9− − b) 20;11;17; 23;30− −
c) 1 1 5 7; ; ;2 3 3 2− − d)
114; 20; ;43
2− −
3. Media aritmetică a şase numere raţionale este 5 iar unul din numere este 2− . Aflaţi suma celorlalte 5 numere. 4. În urma unui test dat la matematică cei 30 de elevi ai unei clase au obţinut următoarele note: 3 elevi nota 4 , 7
elevi nota 5, 6 elevi nota 7, 5 elevi nota 8, 7 elevi nota 9 şi 2 elevi nota 10. Aflaţi media clasei. 5. Media aritmetică a două numere a şi b este 47. Aflaţi numerele ştiind că 3b a= .
6. Media aritmetică a două numere raţionale a şi b este 102 iar 132
a b= + . Aflaţi numerele.
7. Să se calculeze media aritmetică a numerelor ( ) ( )11 54 2, 3 0, 6
2 7: :x − ⋅
= − şi ( ) ( )11 6
: 9 1, 4 2, 33 13
:y − ⋅ = − .
8. Să se afle trei numere întregi , ,x y z ştiind că sunt îndeplinite simultan condiţiile: a) media lor aritmetică este ( )113, 3 b) x este de trei ori mai mic decât y . c) z este de 13 ori mai mare ca x .
9. a) Calculaţi media aritmetică a numerelor: 1 1 1 1...2 3 4 2007
a= + + + + ; 1 2 3 2006...2 3 4 2007
b= + + + +
O.M. 2006, Constanţa
b) Calculaţi media aritmetică a numerelor: 1 1 1 1...2 3 4
an
= + + + + ; 1 2 3 1...2 3 4
nbn−
= + + + + , unde n ∈ N, n ≥ 2.
10. Se dau numerele pozitive 1 2 10, ,...,x x x , astfel încât 1 2 10... 251x x x+ + + = . Dacă mBaB este media aritmetică a numerelor
1 2 10, , ...,x x x , arătaţi că 0,012008
am> . O.M. Etapa locală, jud. Sibiu, 2008
Probleme recapitulative
Mulţimea numerelor raţionale 1. Precizaţi elementele următoarelor mulţimi:
a) 4
= ∈ ∈
! !A xx
b) 4 = ∈ ∈
" "B xx
c) 4
1= ∈ ∈
+
" "C xx
d) 14
2= ∈ ∈
−
" "D xx
2. Comparaţi următoarele numere raţionale:
a) 23
cu 34
b) 34
cu 45
c) 1
nn +
cu 12
nn++
, unde n ∈ !*.
d) 23
− cu 34
− e) 34
− cu 45
− f) 1
nn−+
cu ( )1
2n
n− +
+, unde n ∈ !*.
3. Scrieţi următoarele numere raţionale ca fracţii zecimale.
a) 12
; b) 14
; c) 1
10; d)
140
; e) 1
200; f)
13
; g) 17
; h) 124
; i) 1
14.
4. Pentru următoarele fracţii zecimale periodice, să se găsească numărul raţional pe care-l reprezintă şi să se facă verificarea:
a) ( )0, 1 b) ( )0,1 2 c) ( )0,12 345 5. Scrieţi a 2004-a zecimală a numărului:
a) 12
; b) 13
; c) 14
; d) 15
; e) 16
; f) 17
; g) 111
; h) 1
13; i)
114
; j) 1
15; k)
124
.
23
6. Arătaţi că următoarele numere raţionale sunt reprezentate de fracţii ordinare ireductibile, oricare ar fi n ∈ !:
a) 2 13 2
nn++
b) 3 24 3nn++
c) 4 35 4
nn++
d) 5 46 5nn++
e) ( )
11
k n kk n k⋅ + −+ ⋅ +
, k ∈ !*.
7. Arătaţi că următoarele numere raţionale sunt reprezentate de fracţii ordinare ireductibile, oricare ar fi n natural.
a) 2 15 3
nn++
b) 3 25 3nn++
c) 1
2 1nn++
d) 2
2 3nn++
e) 3
2 5nn++
f) 4
2 7nn++
g) 5
2 9nn++
h) 2 2 1
n kn k
++ −
, unde k∈!.
8. Arătaţi că următoarele fracţii sunt reductibile, oricare ar fi n ∈ !:
a) 2
2 2n n
n n+
+ + b)
2
2
32
n nn n
++ +
c) 2
2
52
n nn n
++ +
d) ( )2
2
2 1
2
n k nn n+ ++ +
, unde k ∈ !.
9. Arătaţi că următoarele fracţii sunt reductibile, oricare ar fi n natural:
a) 2
2
22
n nn n− ++ +
b) 2
22222
n nn n
2 − ++ +
c) 2
2
22
n n an n b− ++ +
, unde a,b ∈ !.
10. Fie x, y, z ∈! astfel încât 3 5 7= =
x y z . Arătaţi că: 2 2 2 3 3 333 ( ) ( ) 83( )x y z x y z x y z⋅ + + ⋅ + + = + + .
Marin Chirciu, Piteşti
11. Calculaţi produsul: 2 2 2 21 1 1 11 1 1 ... 12 3 4 2007
− ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ −
.
O.M. Etapa locală, jud. Alba � 2007
12. Fie 1 1 1 11 ...2 6 12 ( 1)nS
n n= + + + + +
+, n ∈ !*.
a) Să se arate că 2nS < , oricare ar fi n ∈ !*. b) Să se afle n din egalitatea 40132007nS = .
O.M. Etapa locală, jud. Arad � 2007
13. Arătaţi că fracţia 2
22 7
4n
n++
este ireductibilă, oricare ar fi n ∈ !.
O.M. Etapa pe şcoală, C.N. �Zinca Golescu�, Piteşti � 2007
14. Aflaţi elementele mulţimii 23 3
2x xA x
x
− −= ∈ ∈
− " " .
O.M. Etapa locală, jud. Maramureş � 2007
15. Să se calculeze valoarea lui x, unde: 1 2 3 ... 20081 1 1 12008 2007 2006 2005 ... 4 3 2 1 ...
1 2 2 3 3 4 2007 2008
x+ + + +=
− + − + + − + − + + + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅
.
O.M. Etapa zonală, jud. Harghita, 2008
15. Fie x ≠ 0 şi numerele: 1a xx
= + , 2 1xb
x x=
+ +,
2
4 2 1xc
x x=
+ +. Să se arate că 1ba
c= + .
O.M. Etapa zonală, jud. Hunedoara, 2008
TESTE DE EVALUARE (Mulţimea numerelor raţionale)
TEST 1
Partea I (Se trec numai rezultatele) (8p) 1. 5, 4 0,5− + este egal cu ..... (8p) 2. Partea întreagă a numărului 7, 2− este egală cu ..... (8p) 3. ( )0,7 3− este egal cu .....
24
(8p) 4. 30% din 120 este egal cu ..... (8p) 5. ( )05,7 3,1+ este egal cu .....
(8p) 6. 2 83 5
− + este egal cu .....
Partea a II-a (Se trec rezolvările complete)
(12p) 7. Dacă 23
ab= , calculaţi
5 23a ba b−+
.
(15p) 8. Rezolvaţi în " ecuaţia: ( ) ( )2 3 1
5 2 32
xx x
− −− + = − .
(15p) 9. Un obiect se scumpeşte cu 20% şi apoi se ieftineşte cu 20% . Cu cât la sută trebuie să se modifice preţul final pentru a fi egal cu cel iniţial.
10 p din oficiu. Total 100 p.
TEST 2 Partea I (Se trec numai rezultatele)
(8p) 1. Soluţia raţională a ecuaţiei 2 1 03
x − = este egală cu ...
(8p) 2. După o scumpire de 10% un obiect care are preţul de 200 lei o să coste .....
(8p) 3. 11 1
3 2
− +
este egal cu .....
(8p) 4. ( )3
35
26
3
−
⋅ − este egal cu .....
(8p) 5. ( )2 3
21 1 33 3
−− − ⋅ − −
este egal cu .....
(8p) 6. Partea fracţionară a numărului -3,18 este egală cu ..... Partea a II-a (Se trec rezolvările complete)
(12p) 7. Rezolvaţi în " ecuaţia 2 43 3
x − = .
(15p) 8. Arătaţi că 1 15 3 5 3 30n n n n+ +⋅ + ⋅ , pentru orice n ∈ !*.
(15p) 9. Calculaţi 1 1 1 1 1 1 1
12015 12 10 8 6 4 2
⋅ − + + − + + −
. 10 p oficiu. Total 100p
TEST 3 Partea I (Se trec numai rezultatele)
(8p) 1. Rezultatul calcului 1 0,32− este .....
(8p) 2. Rezultatul calculului ( )3
21 42
− ⋅ −
este .....
(8p) 3. Scrierea sub formă de fracţie ordinară a numărului ( )2,3 4 este ....
(8p) 4. Soluţia din # − " a ecuaţiei 1 54 4
x − = este .....
(8p) 5. Partea fracţionară a numărului -0,75 este egală cu ..... (8p) 6. Media ponderată a numerelor 5 şi 4− cu ponderile 2 şi 3 este .....
25
Partea a II-a (Se trec rezolvările complete)
(12p) 7. Să se calculeze: 1 1 1 1
1 1 1 ... 12 3 4 99
+ ⋅ + ⋅ + ⋅ +
.
(15p) 8. Un traseu turistic a fost parcurs de un grup de turişti în trei etape: în prima etapă a fost parcurs 45% din
drum, în a doua etapă au făcut 15
din ce a rămas, iar în a treia etapă restul de 11 km. Aflaţi lungimea întregului
traseu.
(15p) 9. Calculaţi ( )2
2 1
1 1 12
2 2 2
nn
n n
+
+ +
− − + −
, unde n ∈ !.
10 p oficiu. Total 100 p
TEST 4 Partea I (Se trec numai rezultatele)
(8 p) 1. Rezultatul calculului ( )3
21 13 9
2 8:− − − − ⋅ −
este .....
(8p) 2. Prima zecimală după virgulă a numărului 3,34 5, 671+ este .....
(8p) 3. Rezultatul calculului ( ) ( )3 21 12 38 9
− − − este .....
(8p) 4. Scrierea numărului 1,3 sub formă de fracţie ordinară este .....
(8p) 5. Numărul de elemente al mulţimii 51
∈ ∈ −
" "xx
este .....
(8p) 6. O carte costă 12 lei şi se ieftineşte 30% . După ieftinire, obiectul costă .....
Partea a II-a (Se trec rezolvările complete)
(12p) 7. Arătaţi că fracţia 8 55 3nn++
este ireductibilă oricare ar fi n N∈ .
(15p) 8. Dacă xy şi yx sunt direct proporţionale cu 5 şi 6, aflaţi cifrele x şi y . (15p) 9. Aflaţi numărul de elemente al mulţimii
2
2
31 2 2004
2/ , , ,...,nA x Q x n
n n +
= ∈ = = + + .
10 p oficiu. Total 100 p
TEST 5 Partea I (Se trec numai rezultatele)
(8p) 1. Numărul mai mare cu 3 decât 23
este .....
(8p) 2. Dacă la dublul unui număr raţional adunăm 12
obţinem 13
, atunci numărul este .....
(8p) 3. Suma a două numere este 74
şi unul dintre ele este cu 13
mai mare decât celălalt. Numerele sunt .....
(8p) 4. Un biciclist parcurge dintr-un drum o treime şi-i mai rămân de parcurs 8 km . Drumul are ..... km. (8p) 5. O treime plus 10 ha din suprafaţa unui teren este semănată cu grâu. Dacă suprafaţa cu grâu este de 20 ha,
atunci tot terenul are ..... ha. (8p) 6. Suma a trei numere întregi consecutive este 24 . Cel mai mic număr este egal cu .....
26
Partea a II-a (Se trec rezolvările complete) (12p) 7. Diferenţa a două numere întregi este 19 . Împărţind unul dintre numere la celălalt, se obţine câtul 5 şi restul
3. Aflaţi numerele. (15p) 8. Tatăl are 40 de ani şi fiul are 16 ani. Peste câţi ani tatăl are dublul vârstei fiului? (15p) 9. Suma a două numere raţionale este 14, 7 iar diferenţa lor este 4,1. Aflaţi numerele.
10 p oficiu. Total 100 p
TEST 6 Partea I (Se trec numai rezultatele)
(8p) 1. Raportul dintre 174
şi 154
este .....
(8p) 2. Dacă ( )2 34 5a = − ⋅ şi ( )52 125b = − ⋅ , atunci ab
este .....
(8p) 3. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este 64625
. Raportul laturilor lor este .....
(8p) 4. Lungimea unui dreptunghi este 74
din lăţime. Valoarea raportului dintre lungime şi lăţime este .....
(8p) 5. Lungimea unui dreptunghi este lăţimea plus 73
din lăţime. Raportul dintre lungime şi lăţime este .....
(8p) 6. Dacă 3ab= , atunci 7 3
2a ba b−−
este .....
Partea a II-a (Se trec rezolvările complete) (12p) 7. Să se calculeze raportul dintre aria unui dreptunghi şi aria altui dreptunghi care are lungimea de 3 ori mai
mare decât a celui iniţial şi lăţimea de 5 ori mai mică decât a celui iniţial.
(15p) 8. Se dă 2 3 23
a ba b−
=−
, aflaţi ab
.
(15p) 9. Aflaţi numerele x şi y ştiind că 23
xy= şi 24xy = .
10 p din oficiu. Total 100p
TEST 7 Partea I (Se trec numai rezultatele)
(8p) 1. Dacă 53 6x −= , valoarea lui x este .....
(8p) 2. Dacă 2 11 2x=
+ −, valoarea lui x este .....
(8p) 3. Dacă 1 13 2
x x+ −= , valoarea lui x este .....
(8p) 4. Dacă 53
xy
−= , atunci x y
y+ este ......
(8p) 5. Dacă 53
xy
−= , atunci 3 2x y
y− este ......
(8p) 6. Dacă 3 2 22 3x yx y−
=−
, atunci xy
este ......
Partea a II-a (Se trec rezolvările complete)
(12p) 7. Să se afle x din proporţia: ( )
2 5 3 1: : 2 0, 33 4 4 3417
x
− + =
−.
27
(15p) 8. Să se afle numerele raţionale ,x y şi z ştiind că: 4 3 8
yx z= = şi 113 2
2x y z− + = .
(15p) 9. Aflaţi numerele raţionale , , ,a b c şi d ştiind că 1 11 2 3 42 3
a b c d⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ şi 206a b c d+ + + = .
10p din oficiu. Total 100p
TEST 8 Partea I (Se trec numai rezultatele)
(8p) 1. 325
transformat în raport procentual este .....
(8p) 2. 15% din 400 este ..... (8p) 3. Dacă 15% dintr-un număr este 90 , atunci numărul este ..... (8p) 4. Dacă 15% dintr-un număr este 60 , atunci 30% din acel număr este ..... (8p) 5. Un produs costă 12 lei. După o scumpire cu 20% costă ..... (8p) 6. După o scumpire cu 5% un produs costă 15,12 lei. Preţul iniţial al produsului este ..... Partea a II-a (Se trec rezolvările complete) (12p) 7. Un frigider costă 2200 lei, la care se adaugă 18% T.V.A. Acest produs se poate cumpăra în rate cu un avans
de 20% . Aflaţi cât reprezintă avansul.
(15p) 8. Dacă 3 7 12 2a ba b−
=−
, aflaţi cât la sută reprezintă numărul b din numărul a .
(15p) 9. Într-o şcoală 100 elevi au participat la olimpiadele şcolare. 15% dintre ei au luat premii la olimpiada de matematică şi 25% au luat premii la olimpiada de fizică. Aflaţi cât la sută reprezintă premianţii de la matematică din cei de la fizică.
10p din oficiu. Total 100p
TEST 9 Partea I (Se trec numai rezultatele) (8p) 1. Media aritmetică a numerelor 2− ; 5 ; 7 este egală cu ..... (8p) 2. Media ponderată a numerelor 6− ; 2 ; 3− cu ponderile respectiv 3 ; 4 ; 5 este ..... (8p) 3. Media aritmetică a trei numere este 10 . Dacă două dintre ele sunt 7,5 şi 25− , al treilea este ..... (8p) 4. Dacă 2 are ponderea 3 ; 2− are ponderea 4 , x are ponderea 2 şi media lor ponderată este 12 , atunci x = ...
(8p) 5. Media aritmetică a numerelor ( ) ( )5 42 25 25 : 125x = − ⋅ − şi ( ) ( )24 325 : 5y = − − este .....
(8p) 6. Într-o săptămână din luna martie temperaturile, la ora 12P
00P, au fost: în 2 zile 8° , în 3 zile 9° şi în 2 zile
10° . Temperatura medie în acea săptămână a fost de ..... Partea a II-a (Se trec rezolvările complete) (12p) 7. Media aritmetică a numerelor ,x y şi 12 este 26 . Aflaţi pe x şi y ştiind că y este media aritmetică a
numerelor x şi 12 .
(15p) 8. Într-o gospodărie se consumă în trei zile următoarele cantităţi de alimente: în prima zi 162
kg, în a doua zi
172
şi în a treia zi 5 kg. Aflaţi consumul mediu zilnic.
(15p) 9. Se amestecă 3 kg de bomboane cu preţul de 4 lei/kg cu 5 kg bomboane cu preţul de 6 lei/kg. Aflaţi cât costă un kg de amestec.
10p din oficiu. Total 100p