numerika

NUMERIKA MATEMATIKA

SADRAJ

Postavka problema

Egzistencija reenja

Eulerov metod

Metodi Runge-Kutta

1 13.01.2011.

NUMERIKA MATEMATIKA

POSTAVKA PROBLEMA

2 13.01.2011.

Pod diferencijalnom jednainom se podrazumeva jednaina u kojoj se pored nepoznate funkcije i njenog argumenta pojavljuje i

jedan ili vie njenih izvoda.

Reenje ili integral diferencijalne jednaine je funkcija koja zadovoljava tu jednainu.

Primer: ako je y= y(x) nepoznata funkcija argumenta x, imamo:

Diferencijalne jednaine Reenje

y y = ex y(x) =xex + Cex

y + 9y = 0 y(x) =C1sin3x + C2cos3x

y + 1/2y = 0 y(x) =C-x

C- proizvoljna brojna konstanta

NUMERIKA MATEMATIKA 3 13.01.2011.

POSTAVKA PROBLEMA

Za diferencijalne jednaine prvog reda zadaju se takozvani poetni uslovi:

y = f ( x,y ), y( x0 )= y0, (1)

Uslov y( x0 )= y0 se naziva poetni uslov i u praksi obino proizilazi iz prirode problema, koji se opisuje jednainom y = f(x,y) .

Ovo je poznato kao Cauchyev problem.

Primer:

y= y+1, y(0)= 0 reenje: y= ex -1

y=6x-1, y(1)= 6 reenje: y=3x2-x+4

y=x/y+1, y(0)= 0 reenje: y=x2+1 -1.


EGZISTENCIJA REENJA

Prilikom reavanja diferencijalnih jednaina u praktinim primenama vrlo esto nailazimo na sluajeve, koje ne moemo elementarno reiti ili bi elementarno reenje bilo previe sloeno.

Tada moemo pristupiti numerikom odreivanju priblinog reenja. Numeriko reenje je poeljno ak i u sluajevima kada postoji reenje u konanom obliku, ali je vrlo komplikovano.

Numeriko reenje diferencijalne jednaine esto je zadato u obliku tabele tako da analitiki izraz za funkciju ostaje i dalje nepoznat.

injenica da diferencijalna jednaina ne poseduje eksplicitno reenje ne znai da to reenje ne postoji u matematikom smislu. Sledea teorema utvruje egzistenciju reenja diferencijalne jednaine.


EGZISTENCIJA REENJA

TEOREMA 1. Neka je dat Cauchyev problem y = f( x,y ), y( x0 )= y0, i neka je neprekidna u oblasti ,

gde su a, b > 0. Dalje, neka su ispunjeni uslovi:

a)

b)

Tada postoji jedinstveno reenje y=y(x) Cauchyevog problema y = f(x,y ), y( x0 )= y0, definisano i neprekidno za sve vrednosti x iz intervala I = [ x0 - h, x0 +h ], gde je h = min { a, b/M }.

| f ( x, y1 ) - f ( x, y2 ) | L | y1 - y2 | - Lipschitzov uslov

L - Lipschitzova konstanta funkcije f.

RR 2:f byyaxxyx 00 ,),( 2RD

,),( ),),(()0( MyxfyxM D

212121 ),(),(),),(),,(()0( yyLyxfyxfyxyxL D


EGZISTENCIJA REENJA

Primer 1. Pokazati da je Cauchyev problem

y =( x+sin y)2, y(0)= 3

Ima reenje za x [ -1,1].

Reenje: Kako je f( x,y )=(x+sin y)2 i ( x0,y0)=(0,3), posmatramo oblast

D = {{x, y) | |x| 1, |y - 3| b}, b R.

Funkcija f je ograniena na D pomou konstante M koja mora da ispunjava uslov: |f (x,y)| (1 + 1)2 M. Sledi da je M = 4.

Da bismo pokazali da reenje postoji na intervalu [-1,1], treba da pokaemo da je h = min {1,b/M} 1, to znai da je uslov ispunjen za b 4. Dakle, prema teoremi 1 sledi da postoji reenje datog Cauhyevog problema za |x| h 1.

byyaxxyx 00 ,),( 2RD


EULEROV METOD

Euler metoda, nazvana po Leonard Euleru, je prvog reda numeriki postupak za reavanje obinih diferencijalnih jednaina, za date poetne vrednosti.

Eulerov metod ne spada u analitike metode. Aproksimacija funkcije reenja ne dobija se u obliku izraza, ve u obliku tabele priblinih vrednosti.


EULEROV METOD

Neka je dat Cauchyjev problem na intervalu [a, b]

y = f( x,y ), y( x0 )= y0,

ije reenje se trai. Interval [a, b] podeliemo na n podintervala

pomou taaka

gde je


EULEROV METOD

Pretpostavimo da je funkcija y neprekidna zajedno sa svojim

izvodima y' i y". Tada na osnovu Taylorove formule postoji taka c1 izmeu X0 i x (x ( X0, X1 )) takva da je:

Kako je odavde sledi da za x = x1 dobijamo:

Ako je korak h dovoljno mali, zanemariemo poslednji lan na desnoj strani i za aproksimaciju tane vrednosti y(x1) uzeti:


EULEROV METOD

Aproksimacija tane vrednosti y(x2) na intervalu [x1, x2]:

Opti oblik pojedinanog koraka Eulerovog metoda:

Ovako se dobijaju niz taaka (xk, yk), k= 0, ..., n, ijim spajanjem nastaje poligonalna linija koja se zove Eulerov poligon. Ova

poligonalna linija aproksimira grafik traene funkcije y=y(x) (sl.1).

)1...,,1,0(),,(1 nkyxhfyy kkkk


Sl.1 Eulerov poligon

EULEROV METOD


EULEROV METOD

Eulerov metod oigledno nije mnogo precizan i u zavisnosti je od broja koraka n tj. od veliine koraka h. Sa slika se vidi da e akumulirana greka Eulerovog metoda biti znaajna. Na celom intervalu [a, b] posle n koraka greka iznosi:

Sl.2 Geometrijska interpretacija Eulerove metode

0x 1x 2x 3x x

0y

1y

2y

3y

y

)( 0xy

)( 1xy

)( 2xy

)( 3xy

)(xyy


EULEROV METOD- Primer

Primer: Reiti diferencijalnu jednainu y' = 2xy, x0 = 0 i y0 = 1

na intervalu [0,1] za h = 0.1.

Reenje: U tabeli 1. je dat rezultat dobijen Eulerovom metodom i vrednost

analitikog reenja ( ). Na osnovu podataka u tabeli vidi se da je kvalitet reenja dobijenog Ojlerovom metodom vrlo nizak.

(Tabela 1.)

k

kkkk yhxyy 21


METOD RUNGE-KUTTA

Carl Runge (1895) i Wilhelm Kutta (1901) razvili su metode koje se

zasnivaju na primeni Taylorovog reda, ali izbegavaju izraunavanje izvoda date diferencijalne jednaine.

Najpre su izvedeni metodi nieg reda, kao to su Runge-Kutta reda dva i Euler-Cauchyev metod. Ovi metodi imaju malu preciznost, a

metod koji je u mnogo iroj upotrebi je metod Runge-Kutta reda etiri.

Karl David Tolme Runge Martin Wilhelm Kutta


METODI RUNGE-KUTTA

Ideja ovih metoda je da se u Taylorovoj metodi izraz zameni

jednostavnijim tj. vrednost se izraunava na sledei nain:

pri emu je:

),( nnp yxhT

1ny

,)(

1

1

n

i

r

i

inn Kyy

(1)

riKbyhaxhfK

KbyhaxhfK

yxhfK

n

j

i

j

ijnin

n

i

n

nn

n

nn

n

,...,2,1),,(

),,(

),(

)(1

1

)(

)(

1212

)(

2

)(

1

Neodreeni koeficijenti se odreuju iz jednakosti ijii ba ,,

)(

1

),( ni

r

i

innp KyxhT

(2)

tj. iz jednaina koji se dobija izjednaavanjem koeficijenata uz iste stepene h na levoj i desnoj strani.

Izborom p odnosno r dobijaju se metode Runge Kuta razliitog reda.


METODI RUNGE-KUTTA 2. REDA

Dobija se za p=2 i r=2. Prema (1) je

pri emu je:

Razvijanjem K2(n) primenom Tejlorove formule dobija se:

tj.

Iz prethodne relacije i (2) izjednaavanjem odgovarajuih koeficijenata uz hk, dobija se sistem jednaina

)(

22

)(

111

nn

nn KKyy

).,(),,( 1212)(

2

)(

1 KbyhaxhfKyxhfK nnn

nn

n

32122)(2 ,,,, hOyxfyxfbyxfahyxhfK nnnnynnxnnn

nnnnynnxnnnn yxfyxfbyxfahyxfhyy ,,,, 2122

2

211

5.0

5.0

1

212

22

21

b

a

(3)



Sistem (3) sastoji se iz tri jednaine sa etiri nepoznate, tako da ima beskonano reenja. Neka od njih su:

a)

Tada (1) ima oblik

Ova metoda je poznata kao modifikovana Eulerova metoda.

b)

Tada (1) ima oblik

Ova metoda je poznata kao Heuna metod.

Greka na jednom koraku kod ovih metoda je .

5.0,1,0 21221 ba

,...2,1,0)),,(2

,2

(1 nyxfh

yh

xhfyy nnnnnn

1,5.0 21221 ba

,...2,1,0))),,(,(),((2

1 nyxhfyhxfyxfh

yy nnnnnnnn

)O(hE 3



Dobija se za p=4 i r=4 tako da je

pri emu je

Slino kao kod metode 2. reda dobija se sistem jednaina, po neodreenim koeficijentima, koji ima beskonano mnogo reenja.

)(

44

)(

33

)(

22

)(

111

nnnn

nn KKKKyy

),(

),,(

),,(

),,(

)(

343

)(

242

)(

1414

)(

4

)(

232

)(

1313

)(

3

)(

1212

)(

2

)(

1

nnn

nn

n

nn

nn

n

n

nn

n

nn

n

KbKbKbyhaxhfK

KbKbyhaxhfK

KbyhaxhfK

yxhfK



Standardna metoda Runge Kuta 4. reda dobija se za

pa je

pri emu je

Greka metode na svakom koraku je

1,0,2

1,1,

2

1,

3

1,

6

14342413132214323241 bbbbbbaaa

,...1,0,226

1 )(4

)(

3

)(

2

)(

11 nKKKKyynnnn

nn

),(

),2

,2

(

),2

,2

(

),,(

)(

3

)(

4

)(

2)(

3

)(

1)(

2

)(

1

n

nn

n

n

nn

n

n

nn

n

nn

n

KyhxhfK

Ky

hxhfK

Ky

hxhfK

yxhfK

)O(hE 5



xi xi + h/2 xi + h

f1

f2

f3

f4

4321 226

1fffff

f

Graphical Representation of the 4rth order method:


METODI RUNGE-KUTTA - Primer

Primer: Reiti diferencijalnu jednainu y' = 2xy, x0 = 0 i y0 = 1

na intervalu [0,1] za h = 0.1.

Reenje: U tabeli je dat rezultat dobijen Runge-Kutta metodom etvrtog reda i vrednost analitikog reenja dobijen korienjem ugraenih matematikih funkcija u Turbo Pascal-u. na intervalu [0, 1] uporediemo efikasnost Eulerove i RK metode.

xk y(xk)

0.0 1,000000000 1,000000000

0.1 1,010050167 1,010050167

0.2 1,040810770 1,040810774

0.3 1,094174265 1,094174284

0.4 1,173510814 1,173510871

0.5 1,284025256 1,284025417

0.6 1,433328995 1,433329415

0.7 1,632315187 1,632316220

0.8 1,896478467 1,896480879

0.9 2,247902590 2,247907987

1.0 2,718270175 2,718281828



k xk y(xk)

0.0 1,000000000 1,000000000

0.1 1,010050167 1,010050167

0.2 1,040810770 1,040810774

0.3 1,094174265 1,094174284

0.4 1,173510814 1,173510871

0.5 1,284025256 1,284025417

0.6 1,433328995 1,433329415

0.7 1,632315187 1,632316220

0.8 1,896478467 1,896480879

0.9 2,247902590 2,247907987

1.0 2,718270175 2,718281828

Eulerov vs RK metod

Iz primera se vidi da je slaganje sa analitikim reenjem daleko vee kod rezultata Runge-Kutta metode nego kod rezultata Ojlerove metode.



Primer : Neka je data diferencijalna jednaina

Reenje:



Rezultati izraunavanja prikazani su u Tabeli 3 zajedno sa vrednostima tanog reenja i grekom.

Tabela 3.


HVALA NA PANJI!!!

numerika

Documents