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Hauptseminar Oktalbäume und hierarchische Basen
Numerische Quadratur nach Archimedes
Forschungs- und Lehreinheit Informatik V Ingenieuranwendungen in der Informatik, numerische Programmierung
Surauer Christian den 05.06.2003
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung .............................................................................................................. 3 1.0 Der eindimensionale Fall ................................................................................ 4
1.1 Theorie ......................................................................................................... 4 1.2 Abbruchkriterien .......................................................................................... 6
1.2.1 Feste Rekursionstiefe t: ......................................................................... 6 1.2.2 Adaptive Rekursionstiefe ...................................................................... 7
1.3 Bezug zu Oktalbäumen................................................................................ 8 1.4 Beispiel ........................................................................................................ 9 1.5 Einfache Erhöhung der Ordnung ............................................................... 10
2.0 Der zweidimensionale Fall............................................................................ 10 2.1 Rekursion ................................................................................................... 10 2.2 Abbruchkriterium....................................................................................... 12
Zusammenfassung............................................................................................... 13 Literatur ............................................................................................................... 14
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Einleitung Bei der numerischen Quadratur beschäftigt man sich mit dem Problem, zu einer Funktion das Integral näherungsweise zu berechnen. Für einige Funktionen kann dieses Problem explizit durch Angabe der Stammfunktion gelöst werden. In vielen Fällen lässt sich aber keine explizite Form für die Stammfunktion angeben und man ist auf numerische Verfahren angewiesen.
( )xf ( ) ∫=b
adxxffI )(
Im Folgenden wird ein spezielles Verfahren der numerischen Quadratur, also der numerischen Berechnung des Integrals einer gegebenen Funktion von d Veränderlichen vorgestellt. Man folgt dabei einem sehr alten divide-et-impera-Prinzip der Archimedischen Ausschöpfung. Für den Übergang vom eindimensionlen zum höherdimensionlen Fall stützt man sich auf das Cavalierische Prinzip.
f
4
1.0 Der eindimensionale Fall
1.1 Theorie Eine numerische Näherung des Integrals soll berechnet werden:
( ) ∫=b
adxxfbaxfF )(),,(1
Hierzu wird aufgespalten in ein Trapez T und ein Restsegment : 1F 1 1S
( ) ( ) ( ) ),,(),,(),,( 111 baxfSbaxfTbaxfF +=
S1
a
Abb.1.1: Das Integral wird aufgeteilt i1F
Die Fläche T berechnet sich durch: 1
2),),((1
bbaxfT −=
1S wird zunächst durch ein einbeschriebe
T1
b
n ein Trapez T und ein1
))()((* bfafa+
nes Dreieck angenäh1D
Restsegment S 1
ert.
5
S1
1
f
+
2baf
S1
f(a)
Abb.1.2: Zeigt das einbeschrieb
1D ergibt sich aus der Beziehung
4444 21g
bafD
GrundseiFläche
221
21
1
−
+
⋅=
=∆
Die Fläche kann durch Rekursion noch g
⋅
+−
+
=bbfafbafbaxfS
D
2)()(
2),),((1
1
44444444444 21
D
2)()( bfa +
f(b)
en Dreieck als Annäherung. 1D
3214444 3 h
abbfaf
Höhete
)(2
)()(−⋅
+
⋅
enauer bestimmt werden.
+
+
+
+− bbaxfSbaaxfSa ,
2),(
2,),(
2 11
43
6
+
2baf
+
43)( baf
+
4)( baf
( )bf
( )af
Abb.1.3: Fläche nach dem 2ten Rekursions-Schritt 1S
1.2 Abbruchkriterien Die Rekursion erfordert ein Abbruchkriterium. Hier gibt es mehrere Möglichkeiten:
1.2.1 Feste Rekursionstiefe t: Bei t=1 lautet der Abruchfall
),),((22
)()(2
),),((
1
1 baxfDabbfafbafbaxfS
D
=−
⋅
+−
+
=444444 3444444 21
was gerade der bekannten Trapezsumme mit drei äquidistanten Stützstellen a, (a+b)/2 und b und der Maschenweite h=(b-a)/2 entspricht. Im Fall der allgemeinen Tiefe t erhält man die Trapezsumme mit 12 +t äquidistanten Stützstellen und der Maschenweite : tabh 2/)( −=
7
1 1
b2ab −
a
1-1/2 -1/2
ba
-1/2 -1/2 1
Abb.1.4: Die Auswertung der Quadratur nach Archimedes mit fester Rekursionstiefe t ergibt die Trapezsumme mit 12 +t Stützstellen.
1.2.2 Adaptive Rekursionstiefe Die Rekursion kann durch Angabe einer vorgegebenen Genauigkeit ε abgebrochen werden. Man kann zum einen Abbrechen, wenn der Flächeninhalt des lokalen Dreiecks unter 1D ε fällt, also
ε<−⋅
+−
+
=22
)()(211
abbfafbaffallsDS ,
oder wenn die Breite des lokalen Dreiecks unter ε fällt, also
ε<+−
+
=2
)()(211
bfafbaffallsDS .
Bei der 2ten Abbruchbedingung ist der Flächeninhalt des lokalen Dreiecks kleiner als
1Dh⋅ε . Falls an allen Stellen auf der selben Tiefe t abgebrochen wird,
bedeutet dies, dass ε jetzt eine obere Schranke für den Fehler ist, der auf der ganzen Stufe t entsteht. Im ersten Fall ist ε also ein Maß für den lokalen Fehler, im zweiten Fall – obwohl lokal gemessen – ein Maß für den globalen Fehler. Ein in beiden Fällen auftretendes Problem ist, das sich die Dreiecksfläche zu Null ergeben kann, obwohl das Integral nicht verschwindet. Hier kann man etwas Abhilfe schaffen, wenn man erst abbricht, wenn die Abbruchbedingung auf mehreren Stufen hintereinander erfüllt ist.
a b
-1/2 -1/21
1/2 1/2
4ab −
1 1 1
∑
2ab −
4ab −
Trapezsumme
8
02
)()(2
=+
−
+ bfafbaf
Abb.1.5: Durch das Abbruchkriterium (rechts) wird die Rekursion abgebrochen, obwohl Integral nicht klein ist.
1.3 Bezug zu Oktalbäumen Die Analogie der Quadratur nach Archimedes zu den Oktal-Bäumen liegt in der Rekursion. Es liegt ein 1-dimensionales Problem vor, das sich in zwei Teilprobleme aufteilt. Es entsteht ein Binär-Baum, dessen Teilbäume Integrations-Teil-Intervalle beschreiben. Die Knoten und Blätter liefern Teilergebnisse für die Integration. Das heißt, je tiefer der Baum wird (Rekursions-Tiefe), umso genauer wird das Integrations-Ergebnis. Die Quadratur nach Archimedes bietet also die Möglichkeit, durch Erhöhen der Rekursionstiefe, das Integrations-Ergebnis zu verbessern. Folglich wird bei der Verfeinerung der Maschenweite, der Binärbaum vertieft und man erhält mehr Knoten, die alle als Teilergebnisse zum Gesamtergebnis beitragen. Es besteht auch die Möglichkeit, Teilbäume zu vertiefen, um in Teilintervallen genauere Integrations-Ergebnisse zu erreichen. Der wesentliche Vorteil dieses Verfahrens gegenüber anderen numerischen Quadratur-Verfahren besteht nun darin, dass die Maschenweite der Stützstellen in Teilintervallen verfeinert werden kann, ohne die schon berechneten Teilergebnisse wegzuwerfen. Das heißt, die Tiefe von Teilbäumen kann erhöht werden und die Teilergebnisse der darüber liegenden Knoten sind weiterhin Ergebnisrelevant. Auch nachträglich kann das Integrations-Ergebnis noch verbessert werden, wenn der Baum, der bei der Berechnung aufgebaut wird, gespeichert wurde.
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1.4 Beispiel
Beispiel der Parabel:
∫ =
−=2
0 34)(
)2()(
dxxf
xxxf
∑ ∑∞
=
− ==0 3
44
161
41
1
zusammen Tiefedieser Summe
4641
1613
281
412
1111
Dreieckeder Anzahl
Dreieckeder Fläche
Dreieckeder Höhe
tiefe-Rekursions
i
i
Bei Tiefe 2 gibt es zwei Dreiecke, eines auf [0,1] und eines auf [1,2]. Um die jeweilige „Höhe“ zu berechnen, subtrahieren wir von der Parabel (also von x(2-x)) die Funktion des Dreiecks der Tiefe 1, d.h. x auf [0,1] und 2-x auf [1,2]: auf [0,1]: x(2-x)-x = x(1-x); Wert in x = 1/2 ist 1/4, als Fläche ergibt sich 1/8 ; auf[1,2]: x(2-x)-(2-x) = (x-1)(2-x); Wert in x = 3/2 ist 1/4, als Fläche ergibt sich 1/8 . Somit ergibt sich als Summe aller Flächeninhalte der Dreiecke der Tiefe 2 der Wert 1/4.
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1.5 Einfache Erhöhung der Ordnung Das bisherige Vorgehen integriert lineare Funktionen exat (Trapezsumme: Polygonzug). Multipliziert man die Dreiecksfläche auf letzter Stufe t mit 4/3, so entspricht das nicht mehr der Trapezregel, sondern der Fassregel bzw. der Qudratur nach Simpson.
+
+
+− )(61
264)(
61)( bfbafafab
Somit werden jetzt alle Polynome vom Grad 2 korrekt integriert.
2.0 Der zweidimensionale Fall
2.1 Rekursion Übertragung der Archimedischen Ausschöpfung ins Zweidimensionale mittels des „Cavalierischen Prinzips“: Zerlege Volumen in gleichmäßig dünne Scheiben, summiere die Flächen auf und multipliziere mit der Scheibendicke. Analog zum eindimensionalen Fall spalten wir das Integral nun in dünne Trapezscheiben und Restsegmentscheiben auf und summieren diese.:
),,,),,((),),((),,,),,(( 2121212
Tder Summe
111212121212
2
bbaaxxfSbaxTFbbaaxxfF +=44 344 21
wobei
44444 344444 211on xFunktion v als Trapez
212122
12 )),(),((2
)( bxfaxfab
xT +⋅−
=
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Abb.2.1: Funktion f() in rot. Die blau Funktion zeigt die Trapezscheiben, über die Intergriert wird
2S beschreibt das Restsegment:
),,2
,),,((
)2
,,,),,((
),),((),,,),,((
2122
1212
22121212
111212121212
bbbaaxxfS
babaaxxfS
baxDFbbaaxxfS
++
++
=
mit
444444444 3444444444 21Dreieck
2121221
2212 2
),(),(2
,2
)(
+−
+
⋅−
=bxfaxfbaxfabxD
2D beschreibt den Flächeninhalt des Dreieckschnittes bei mit den
äquidistanten Stützstellen , 1x
2a 222 ab − , . 2b
Abb.2.2: Das einbeschriebene Dreieck nach dem im ersten Rekursionsschritt.
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2.2 Abbruchkriterium Wir brechen ab, wenn der durch Aneinanderkleben der Dreiecke in Richtung entstehende Körper ein Volumen
2D 1xε≤ hat:
ε≤=
),),(( falls),,),((),,,),,((
11121
111212121212
baxDFbaxDFbbaaxxfS
Der Körper, dessen Volumen zu berechnen ist, wird also unterteilt in einen Basiskörper (Aneinanderkleben in -Richtung aller Trapeze) und einen Deckel (Aneinaderkleben in -Richtung aller -Hauben). Der Deckel wird dann rekursiv unterteilt und in einen Dreieckskörper und zwei neue (halb so breite) Deckel.
1x 2x
1x 2x
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Zusammenfassung Der wesentliche Vorteil dieses Verfahrens gegenüber anderen numerischen Quadratur-Verfahren besteht darin, dass die Maschenweite der Stützstellen in Teilintervallen verfeinert werden kann, ohne die schon berechneten Teilergebnisse wegzuwerfen. Auch nachträglich kann das Integrations-Ergebnis noch verbessert werden, wobei der momentane Ergebnis-Baum noch verfeinert wird. In der Praxis ist das Abbruchkriterium schwer festzulegen, da in der Regel kein Vorwissen über den Kurvenverlauf vorliegt
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Literatur Hans-Joachim Bungratz, Rekursive Verfahren und hierarchische Datenstrukturen in der numerischen Analysis, Skript zur Vorlesung, März 1999 Christoph Zenger, Konkrete Mathematik, Skript zur Vorlesung WS 00/01 Hans-Joachim Bungratz, Maple-Sheets zur Vorlesung Rekursive Verfahren und hierarchische Datenstrukturen in der numerischen Analysis, März 1999