NÚMEROS BINARIOSPara otros usos de este término, véase Sistema binario (astronomía).

El sistema binario, en matemáticas e informática, es un sistema de numeración en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Es el que se utiliza en las computadoras, debido a que trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado 0).

Contenido

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1 Historia del sistema binario o 1.1 Aplicaciones

2 Representación 3 Conversión entre binario y decimal

o 3.1 Decimal a binario o 3.2 Decimal (con decimales) a binario o 3.3 Binario a decimal o 3.4 Binario a decimal (con parte fraccionaria binaria)

4 Operaciones con números binarios o 4.1 Suma de números binarios o 4.2 Resta de números binarios o 4.3 Producto de números binarios o 4.4 División de números binarios

5 Conversión entre sistema binario y octal o 5.1 Sistema Binario a octal o 5.2 Octal a binario

6 Conversión entre binario y hexadecimal o 6.1 Binario a hexadecimal o 6.2 Hexadecimal a binario

7 Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Código Gray o Reflejado

8 Factorialización 9 Véase también 10 Enlaces externos

[editar] Historia del sistema binario

Página del artículo Explication de l'Arithmétique Binaire de Leibniz.

El antiguo matemático indio Pingala presentó la primera descripción que se conoce de un sistema de numeración binario en el siglo III a. C.

Una serie completa de 8 trigramas y 64 hexagramas (análogos a 3 bit) y números binarios de 6 bit eran conocidos en la antigua China en el texto clásico del I Ching. Series similares de combinaciones binarias también han sido utilizadas en sistemas de adivinación tradicionales africanos, como el Ifá, así como en la geomancia medieval occidental.

Un arreglo binario ordenado de los hexagramas del I Ching, representando la secuencia decimal de 0 a 63, y un método para generar el mismo fue desarrollado por el erudito y filósofo Chino Shao Yong en el siglo XI.

En 1605 Francis Bacon habló de un sistema por el cual las letras del alfabeto podrían reducirse a secuencias de dígitos binarios, las cuales podrían ser codificadas como variaciones apenas visibles en la fuente de cualquier texto arbitrario.

El sistema binario moderno fue documentado en su totalidad por Leibniz, en el siglo XVII, en su artículo "Explication de l'Arithmétique Binaire". En él se mencionan los símbolos binarios usados por matemáticos chinos. Leibniz utilizó el 0 y el 1, al igual que el sistema de numeración binario actual.

En 1854, el matemático británico George Boole publicó un artículo que marcó un antes y un después, detallando un sistema de lógica que terminaría denominándose Álgebra de Boole. Dicho sistema desempeñaría un papel fundamental en el desarrollo del sistema binario actual, particularmente en el desarrollo de circuitos electrónicos.

[editar] Aplicaciones

En 1937, Claude Shannon realizó su tesis doctoral en el MIT, en la cual implementaba el Álgebra de Boole y aritmética binaria utilizando relés y conmutadores por primera vez en la historia. Titulada Un Análisis Simbólico de Circuitos Conmutadores y Relés, la tesis de Shannon básicamente fundó el diseño práctico de circuitos digitales.

En noviembre de 1937, George Stibitz, trabajando por aquel entonces en los Laboratorios Bell, construyó una computadora basada en relés —a la cual apodó "Modelo K" (porque la construyó en una cocina, en inglés "kitchen")— que utilizaba la suma binaria para realizar los cálculos. Los Laboratorios Bell autorizaron un completo programa de investigación a finales de 1938, con Stibitz al mando. El 8 de enero de 1940 terminaron el diseño de una "Calculadora de Números Complejos", la cual era capaz de realizar cálculos con números complejos. En una demostración en la conferencia de la Sociedad Americana de Matemáticas, el 11 de septiembre de 1940, Stibitz logró enviar comandos de manera remota a la Calculadora de Números Complejos a través de la línea telefónica mediante un teletipo. Fue la primera máquina computadora utilizada de manera remota a través de la línea de teléfono. Algunos participantes de la conferencia que presenciaron la demostración fueron John Von Neumann, John Mauchly y Norbert Wiener, quien escribió acerca de dicho suceso en sus diferentes tipos de memorias en la cual alcanzó diferentes logros.

Véase también: Código binario

[editar] Representación

Un número binario puede ser representado por cualquier secuencia de bits (dígitos binarios), que suelen representar cualquier mecanismo capaz de estar en dos estados mutuamente excluyentes. Las siguientes secuencias de símbolos podrían ser interpretadas como el mismo valor numérico binario:

1 0 1 0 0 1 1 0 1 0| - | - - | | - | -x o x o o x x o x oy n y n n y y n y n

El valor numérico representado en cada caso depende del valor asignado a cada símbolo. En una computadora, los valores numéricos pueden representar dos voltajes diferentes; también pueden indicar polaridades magnéticas sobre un disco magnético. Un "positivo", "sí", o "sobre el estado" no es necesariamente el equivalente al valor numérico de uno; esto depende de la nomenclatura usada.

De acuerdo con la representación más habitual, que es usando números árabes, los números binarios comúnmente son escritos usando los símbolos 0 y 1. Los números binarios se escriben a menudo con subíndices, prefijos o sufijos para indicar su base. Las notaciones siguientes son equivalentes:

100101 binario (declaración explícita de formato) 100101b (un sufijo que indica formato binario) 100101B (un sufijo que indica formato binario) bin 100101 (un prefijo que indica formato binario) 1001012 (un subíndice que indica base 2 (binaria) notación)  %100101 (un prefijo que indica formato binario) 0b100101 (un prefijo que indica formato binario, común en lenguajes de

programación)

[editar] Conversión entre binario y decimal

[editar] Decimal a binario

Se divide el número del sistema decimal entre 2, cuyo resultado entero se vuelve a dividir entre 2, y así sucesivamente. Ordenados los restos, del último al primero, éste será el número binario que buscamos.

EjemploTransformar el número decimal 131 en binario. El método es muy simple:

131 dividido entre 2 da 65 y el resto es igual a 1 65 dividido entre 2 da 32 y el resto es igual a 1 32 dividido entre 2 da 16 y el resto es igual a 0 16 dividido entre 2 da 8 y el resto es igual a 0 8 dividido entre 2 da 4 y el resto es igual a 0 4 dividido entre 2 da 2 y el resto es igual a 0 2 dividido entre 2 da 1 y el resto es igual a 0 1 dividido entre 2 da 0 y el resto es igual a 1 -> Ordenamos los restos, del último al primero: 10000011

En sistema binario, 131 se escribe 10000011

EjemploTransformar el número decimal 100 en binario.

Otra forma de conversión consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste también en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha. Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos, hasta llegar a 1. Después sólo nos queda tomar el último resultado de la columna izquierda (que siempre será 1) y todos los de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo a arriba.

Ejemplo100|0 50|0 25|1 --> 1, 25-1=24 y seguimos dividiendo por 2 12|0 6|0 3|1 1|1 --> (100)10 = (1100100)2

Existe un último método denominado de distribución. Consiste en distribuir los unos necesarios entre las potencias sucesivas de 2 de modo que su suma resulte ser el número decimal a convertir. Sea por ejemplo el número 151, para el que se necesitarán las 8 primeras potencias de 2, ya que la siguiente, 28=256, es superior al número a convertir. Se comienza poniendo un 1 en 128, por lo que aún faltarán 23, 151-128 = 23, para llegar al 151. Este valor se conseguirá distribuyendo unos entre las potencias cuya suma dé el resultado buscado y poniendo ceros en el resto. En el ejemplo resultan ser las potencias 4, 2, 1 y 0, esto es, 16, 4, 2 y 1, respectivamente.

Ejemplo 20= 1|1 21= 2|1 22= 4|1 23= 8|0 24= 16|1 25= 32|0 26= 64|0 27= 128|1 128 + 16 + 4 + 2 + 1 = (151)10 = (10010111)2

[editar] Decimal (con decimales) a binario

Para transformar un número del sistema decimal al sistema binario:

1. Se transforma la parte entera a binario. (Si la parte entera es 0 en binario será 0, si la parte entera es 1 en binario será 1, si la parte entera es 5 en binario será 101 y así sucesivamente).

2. Se sigue con la parte fraccionaria, multiplicando cada número por 2. Si el resultado obtenido es mayor o igual a 1 se anota como un uno (1) binario. Si es menor que 1 se anota como un 0 binario. (Por ejemplo, al multiplicar 0.6 por 2 obtenemos como resultado 1.2 lo cual indica que nuestro resultado es un uno (1) en binario, solo se toma la parte entera del resultado).

3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.

4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0.1.

Ejemplo0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario).Proceso:0,3125 · 2 = 0,625 => 00,625 · 2 = 1,25 => 10,25 · 2 = 0,5 => 00,5 · 2 = 1 => 1 En orden: 0101 -> 0,0101 (binario)

Ejemplo0,1 (decimal) => 0,0 0011 0011 ... (binario). Proceso: 0,1 · 2 = 0,2 ==> 00,2 · 2 = 0,4 ==> 00,4 · 2 = 0,8 ==> 00,8 · 2 = 1,6 ==> 10,6 · 2 = 1,2 ==> 10,2 · 2 = 0,4 ==> 0 <--se repiten las cuatro cifras, periódicamente0,4 · 2 = 0,8 ==> 0 <-0,8 · 2 = 1,6 ==> 1 <-0,6 · 2 = 1,2 ==> 1 <- ...En orden: 0 0011 0011 ... => 0,0 0011 0011 ... (binario periódico)

Ejemplo5.5 = 5,55,5 (decimal) => 101,1 (binario).Proceso:5 => 1010,5 · 2 = 1 => 1En orden: 1 (un sólo dígito fraccionario) -> 101,1 (binario)

Ejemplo6,83 (decimal) => 110,110101000111 (binario).Proceso:6 => 1100,83 · 2 = 1,66 => 10,66 · 2 = 1,32 => 10,32 · 2 = 0,64 => 00,64 · 2 = 1,28 => 10,28 · 2 = 0,56 => 00,56 · 2 = 1,12 => 1

0,12 · 2 = 0,24 => 00,24 · 2 = 0,48 => 00,48 · 2 = 0,96 => 00,96 · 2 = 1,92 => 10,92 · 2 = 1,84 => 10,84 · 2 = 1,68 => 1En orden: 110101000111 (binario)Parte entera: 110 (binario)Encadenando parte entera y fraccionaria: 110,110101000111 (binario)

[editar] Binario a decimal

Para realizar la conversión de binario a decimal, realice lo siguiente:

1. Inicie por el lado derecho del número en binario, cada cifra multiplíquela por 2 elevado a la potencia consecutiva (comenzando por la potencia 0, 20).

2. Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos:

(Los números de arriba indican la potencia a la que hay que elevar 2)

También se puede optar por utilizar los valores que presenta cada posición del número binario a ser transformado, comenzando de derecha a izquierda, y sumando los valores de las posiciones que tienen un 1.

Ejemplo

El número binario 1010010 corresponde en decimal al 82. Se puede representar de la siguiente manera:

entonces se suman los números 64, 16 y 2:

Para cambiar de binario con decimales a decimal se hace exactamente igual, salvo que la posición cero (en la que el dos es elevado a la cero) es la que está a la izquierda de la coma y se cuenta hacia la derecha a partir de -1:

[editar] Binario a decimal (con parte fraccionaria binaria)

1. Inicie por el lado izquierdo (la primera cifra a la derecha de la coma), cada número multiplíquelo por 2 elevado a la potencia consecutiva a la inversa (comenzando por la potencia -1, 2-1).

2.Después de realizar cada una de las multiplicaciones, sume todas y el número resultante será el equivalente al sistema decimal.

Ejemplos

0,101001 (binario) = 0,640625(decimal). Proceso:

1 · 2 elevado a -1 = 0,50 · 2 elevado a -2 = 01 · 2 elevado a -3 = 0,1250 · 2 elevado a -4 = 00 · 2 elevado a -5 = 01 · 2 elevado a -6 = 0,015625La suma es: 0,640625

0.110111 (binario) = 0,859375(decimal). Proceso:

1 · 2 elevado a -1 = 0,51 · 2 elevado a -2 = 0,250 · 2 elevado a -3 = 01 · 2 elevado a -4 = 0,06251 · 2 elevado a -5 = 0,031251 · 2 elevado a -6 = 0,015625La suma es: 0,859375

[editar] Operaciones con números binarios

[editar] Suma de números binarios

La tabla de sumar para números binarios es la siguiente:

  +   0   1  0   0   1  1   1 10

Las posibles combinaciones al sumar dos bits son:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Note que al sumar 1 + 1 es 102, es decir, llevamos 1 a la siguiente posición de la izquierda (acarreo). Esto es equivalente, en el sistema decimal a sumar 9 + 1, que da 10: cero en la posición que estamos sumando y un 1 de acarreo a la siguiente posición.

Ejemplo 1 10011000 + 00010101 ——————————— 10101101

Se puede convertir la operación binaria en una operación decimal, resolver la decimal, y después transformar el resultado en un (número) binario. Operamos como en el sistema decimal: comenzamos a sumar desde la derecha, en nuestro ejemplo, 1 + 1 = 10, entonces escribimos 0 en la fila del resultado y llevamos 1 (este "1" se llama acarreo o arrastre). A continuación se suma el acarreo a la siguiente columna: 1 + 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas la columnas (exactamente como en decimal).

[editar] Resta de números binarios

El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operación de restar en decimal para comprender la operación binaria, que es más sencilla. Los términos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia.

Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.

Ejemplos 10001 11011001 -01010 -10101011 —————— ————————— 00111 00101110

En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46.

Para simplificar las restas y reducir la posibilidad de cometer errores hay varios métodos:

Dividir los números largos en grupos. En el siguiente ejemplo, vemos cómo se divide una resta larga en tres restas cortas:

100110011101 1001 1001 1101 -010101110010 -0101 -0111 -0010 ————————————— = ————— ————— ————— 010000101011 0100 0010 1011

Utilizando el complemento a dos (C2). La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el «complemento a dos» del sustraendo.

Ejemplo

La siguiente resta, 91 - 46 = 45, en binario es:

1011011 1011011 -0101110 el C2 de 0101110 es 1010010 +1010010 ———————— ———————— 0101101 10101101

En el resultado nos sobra un bit, que se desborda por la izquierda. Pero, como el número resultante no puede ser más largo que el minuendo, el bit sobrante se desprecia.

Un último ejemplo: vamos a restar 219 - 23 = 196, directamente y utilizando el complemento a dos:

11011011 11011011 -00010111 el C2 de 00010111 es 11101001 +11101001 ————————— ————————— 11000100 111000100

Y, despreciando el bit que se desborda por la izquierda, llegamos al resultado correcto: 11000100 en binario, 196 en decimal.

Utilizando el complemento a uno. La resta de dos números binarios puede obtenerse sumando al minuendo el complemento a uno del sustraendo y a su vez sumarle el bit que se desborda.

[editar] Producto de números binarios

La tabla de multiplicar para números binarios es la siguiente:

  ·   0   1  0   0   0  1   0   1

El algoritmo del producto en binario es igual que en números decimales; aunque se lleva a cabo con más sencillez, ya que el 0 multiplicado por cualquier número da 0, y el 1 es el elemento neutro del producto.

Por ejemplo, multipliquemos 10110 por 1001:

10110 1001 —————————

10110 00000 00000 10110 ————————— 11000110

En sistemas electrónicos, donde suelen usarse números mayores, se utiliza el método llamado algoritmo de Booth.

11101111 111011 __________ 11101111 11101111 00000000 11101111 11101111 11101111 ______________ 11011100010101

[editar] División de números binarios

La división en binario es similar a la decimal; la única diferencia es que a la hora de hacer las restas, dentro de la división, éstas deben ser realizadas en binario.

Ejemplo

Dividir 100010010 (274) entre 1101 (13):

100010010 |1101 ——————-0000 010101——————— 10001 -1101——————— 01000 - 0000 ——————— 10000 - 1101 ——————— 00111 - 0000 ——————— 01110 - 1101 ——————— 00001

[editar] Conversión entre sistema binario y octal

[editar] Sistema Binario a octal

Para realizar la conversión de binario a octal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 3 en 3 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 3 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en binario 000 001 010 011 100 101 110 111

Número en octal 0 1 2 3 4 5 6 7

3) La cantidad correspondiente en octal se agrupa de izquierda a derecha.

Ejemplos

110111 (binario) = 67 (octal). Proceso:

111 = 7110 = 6Agrupe de izquierda a derecha: 67

11001111 (binario) = 317 (octal). Proceso:

111 = 7001 = 111 entonces agregue un cero, con lo que se obtiene 011 = 3Agrupe de izquierda a derecha: 317

1000011 (binario) = 103 (octal). Proceso:

011 = 3000 = 01 entonces agregue 001 = 1Agrupe de izquierda a derecha: 103

[editar] Octal a binario

Cada dígito octal se convierte en su binario equivalente de 3 bits y se juntan en el mismo orden.

Ejemplo

247 (octal) = 010100111 (binario). El 2 en binario es 10, pero en binario de 3 bits es Oc(2) = B(010); el Oc(4) = B(100) y el Oc(7) = (111), luego el número en binario será 010100111.

[editar] Conversión entre binario y hexadecimal

[editar] Binario a hexadecimal

Para realizar la conversión de binario a hexadecimal, realice lo siguiente:

1) Agrupe la cantidad binaria en grupos de 4 en 4 iniciando por el lado derecho. Si al terminar de agrupar no completa 4 dígitos, entonces agregue ceros a la izquierda.

2) Posteriormente vea el valor que corresponde de acuerdo a la tabla:

Número en

binario

0000

0001

0010

0011

0100

0101

0110

0111

1000

1001

1010

1011

1100

1101

1110

1111

Número en hexadecimal

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

3) La cantidad correspondiente en hexadecimal se agrupa de derecha a izquierda.

Ejemplos

110111010 (binario) = 1BA (hexadecimal). Proceso:

1010 = A1011 = B1 entonces agregue 0001 = 1Agrupe de derecha a izquierda: 1BA

11011110101 (binario) = 6F5 (hexadecimal). Proceso:

0101 = 51111 = F110 entonces agregue 0110 = 6Agrupe de derecha a izquierda: 6F5

[editar] Hexadecimal a binario

Note que para pasar de Hexadecimal a binario, sólo que se remplaza por el equivalente de 4 bits, de forma similar a como se hace de octal a binario.

[editar] Tabla de conversión entre decimal, binario, hexadecimal, octal, BCD, Exceso 3 y Código Gray o Reflejado

Decimal Binario Hexadecimal Octal BCD Exceso 3 Gray o Reflejado

0 0000 0 0 0000 0011 0000

1 0001 1 1 0001 0100 0001

2 0010 2 2 0010 0101 0011

3 0011 3 3 0011 0110 0010

4 0100 4 4 0100 0111 0110

5 0101 5 5 0101 1000 0111

6 0110 6 6 0110 1001 0101

7 0111 7 7 0111 1010 0100

8 1000 8 10 1000 1011 1100

9 1001 9 11 1001 1100 1101

10 1010 A 12 0001 0000 1111

11 1011 B 13 0001 0001 1110

12 1100 C 14 0001 0010 1010

13 1101 D 15 0001 0011 1011

14 1110 E 16 0001 0100 1001

15 1111 F 17 0001 0101 1000

[editar] Factorialización

Tabla de conversión entre binario, factor binario, hexadecimal, octal y decimal

Binario Factor binario Hexadecimal Octal Decimal

0000 0000 00 0 0 0

0000 0001 20 1 1 1

0000 0010 21 2 2 2

0000 0100 22 4 4 4

0000 1000 23 8 10 8

0001 0000 24 10 20 16

0010 0000 25 20 40 32

0100 0000 26 40 100 64

1000 0000 27 80 200 128

[editar] Véase también

Sistema octal Sistema duodecimal Sistema hexadecimal Nibble

[editar] Enlaces externos

Convertidor Binario/Hex/Decimal Traductor Binario, Hexadecimal, Base64 Breve VIDEO-TUTORIAL sobre el sistema Binario y Decimal

Obtenido de «http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_binario»Categorías: Aritmética computacional | Sistemas de numeración posicional | Códigos binarios | Aritmética elemental

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Este método esta tomado de la Wikipedia donde exponen tres maneras, pero esta me parece la más sencilla de aplicar, asi que sin más preambulo les explico:

Consiste en un método parecido a la factorización en números primos. Es relativamente fácil dividir cualquier número entre 2. Este método consiste básicamente en divisiones sucesivas. Dependiendo de si el número es par o impar, colocaremos un cero o un uno en la columna de la derecha.Si es impar, le restaremos uno y seguiremos dividiendo entre dos (y podremos un 1 en el lado derecho como anteriormente expongo), hasta llegar al resultado final que debe ser siempre 1.

Después, sólo nos queda tomar los resultados de la columna de la derecha y ordenar los dígitos de abajo para arriba, y tendremos nuestro número convertido en binario.

Ejemplo:

150|075|1*37|118|09|14|02|01|1

El resultado para 150 en base decimal es: 10010110 en base binaria.

*Aquí ponemos 1 al lado derecho y restamos 1 de 75 para poder seguir dividiéndolo entre 2, el resultado lo ponemos debajo, y así sucesivamente.

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Sistema de numeración hexadecimalConversión de números binarios a octales y viceversaConversión de números binarios a hexadecimales y viceversa

Sistemas de numeraciónUn sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que permiten representar datos numéricos. Los sistemas de numeración actuales son sistemas posicionales, que se caracterizan porque un símbolo tiene distinto valor según la posición que ocupa en la cifra.

1.  Sistema de numeración decimal:

El sistema de numeración que utilizamos habitualmente es el decimal, que se compone de diez símbolos o dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) a los que otorga un valor dependiendo de la posición que ocupen en la cifra: unidades, decenas, centenas, millares, etc.El valor de cada dígito está asociado al de una potencia de base 10, número que coincide con la cantidad de símbolos o dígitos del sistema decimal, y un exponente igual a la posición que ocupa el dígito menos uno, contando desde la derecha.En el sistema decimal el número 528, por ejemplo, significa:

5 centenas + 2 decenas + 8 unidades, es decir:

5*102 + 2*101 + 8*100 o, lo que es lo mismo:

500 + 20 + 8 = 528

En el caso de números con decimales, la situación es análoga aunque, en este caso, algunos exponentes de las potencias serán negativos, concretamente el de los dígitos colocados a la derecha del separador decimal. Por ejemplo, el número 8245,97 se calcularía como:

8 millares + 2 centenas + 4 decenas + 5 unidades + 9 décimos + 7 céntimos

8*103 + 2*102 + 4*101 + 5*100 + 9*10-1 + 7*10-2, es decir:

8000 + 200 + 40 + 5 + 0,9 + 0,07 = 8245,97

 Sistema de numeración binario.El sistema de numeración binario utiliza sólo dos dígitos, el cero (0) y el uno (1).En una cifra binaria, cada dígito tiene distinto valor dependiendo de la posición que ocupe. El valor de cada posición es el de una potencia de base 2, elevada a un exponente igual a la posición del dígito menos uno. Se puede observar que, tal y como ocurría con el sistema decimal, la base de la potencia coincide con la cantidad de dígitos utilizados (2) para representar los números.De acuerdo con estas reglas, el número binario 1011 tiene un valor que se calcula así:

1*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 , es decir:

8 + 0 + 2 + 1 = 11

y para expresar que ambas cifras describen la misma cantidad lo escribimos así:

10112 = 1110

2.  Conversión entre números decimales y

binarios

Convertir un número decimal al sistema binario es muy sencillo: basta con realizar divisiones sucesivas por 2 y escribir los restos obtenidos en cada división en orden inverso al que han sido obtenidos.Por ejemplo, para convertir al sistema binario el número 7710

haremos una serie de divisiones que arrojarán los restos siguientes:77 : 2 = 38 Resto: 138 : 2 = 19 Resto: 019 : 2 = 9 Resto: 19 : 2 = 4 Resto: 14 : 2 = 2 Resto: 02 : 2 = 1 Resto: 01 : 2 = 0 Resto: 1y, tomando los restos en orden inverso obtenemos la cifra binaria:

7710 = 10011012

Ejercicio 1:

Expresa, en código binario, los números decimales siguientes:  191, 25, 67, 99, 135, 276

i.  El tamaño de las cifras binarias

La cantidad de dígitos necesarios para representar un número en el sistema binario es mayor que en el sistema decimal. En el ejemplo del párrafo anterior, para representar el número 77, que en el sistema decimal está compuesto tan sólo por dos dígitos, han hecho falta siete dígitos en binario.Para representar números grandes harán falta muchos más dígitos. Por ejemplo, para representar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, porque 28 = 256 y podemos afirmar, por tanto, que 255 es el número más grande que puede representarse con ocho dígitos.Como regla general, con n dígitos binarios pueden representarse un máximo de 2n, números. El número más grande que puede escribirse con n dígitos es una unidad menos, es decir, 2n – 1. Con cuatro bits, por ejemplo, pueden representarse un total de 16 números, porque 24

= 16 y el mayor de dichos números es el 15, porque 24-1 = 15.

Ejercicio 2:

Averigua cuántos números pueden representarse con 8, 10, 16 y 32 bits y cuál es el número más grande que puede escribirse en cada caso.

Ejercicio 3:

Dados dos números binarios: 01001000 y 01000100 ¿Cuál de ellos es el mayor? ¿Podrías compararlos sin necesidad de convertirlos al sistema decimal?

3.  Conversión de binario a decimal

El proceso para convertir un número del sistema binario al decimal es aún más sencillo; basta con desarrollar el número, teniendo en cuenta el valor de cada dígito en su posición, que es el de una potencia de 2, cuyo exponente es 0 en el bit situado más a la derecha, y se incrementa en una unidad según vamos avanzando posiciones hacia la izquierda.Por ejemplo, para convertir el número binario 10100112 a decimal, lo desarrollamos teniendo en cuenta el valor de cada bit:

1*26 + 0*25 + 1*24 + 0*23 + 0*22 + 1*21 + 1*20 = 83

10100112 = 8310

Ejercicio 4:

Expresa, en el sistema decimal, los siguientes números binarios:110111, 111000, 010101, 101010, 1111110

 Sistema de numeración octalEl inconveniente de la codificación binaria es que la representación de algunos números resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeración que resulten más cómodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fácil convertir un número binario a octal o a hexadecimal.En el sistema de numeración octal, los números se representan

mediante ocho dígitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Cada dígito tiene, naturalmente, un valor distinto dependiendo del lugar que ocupen. El valor de cada una de las posiciones viene determinado por las potencias de base 8.Por ejemplo, el número octal 2738 tiene un valor que se calcula así:

2*83 + 7*82 + 3*81 = 2*512 + 7*64 + 3*8 = 149610

2738 = 149610

4.  Conversión de un número decimal a octal

La conversión de un número decimal a octal se hace con la misma técnica que ya hemos utilizado en la conversión a binario, mediante divisiones sucesivas por 8 y colocando los restos obtenidos en orden inverso. Por ejemplo, para escribir en octal el número decimal 12210 tendremos que hacer las siguientes divisiones:

122 : 8 = 15     Resto: 215 : 8 = 1           Resto: 71 : 8 = 0               Resto: 1Tomando los restos obtenidos en orden inverso tendremos la cifra octal:

12210 = 1728

Ejercicio 5:

Convierte los siguientes números decimales en octales:  6310,   51310,   11910

5.  Conversión octal a decimal

La conversión de un número octal a decimal es igualmente sencilla, conociendo el peso de cada posición en una cifra octal. Por ejemplo, para convertir el número 2378 a decimal basta con desarrollar el valor de cada dígito:

2*82 + 3*81 + 7*80 = 128 + 24 + 7 = 15910

2378 = 15910

Ejercicio 6:

Convierte al sistema decimal los siguientes números octales: 458,   1258,   6258

 Sistema de numeración hexadecimalEn el sistema hexadecimal los números se representan con dieciséis símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dígitos mayores que 9 en el sistema decimal. El valor de cada uno de estos símbolos depende, como es lógico, de su posición, que se calcula mediante potencias de base 16.Calculemos, a modo de ejemplo, el valor del número hexadecimal 1A3F16:

1A3F16 = 1*163 + A*162 + 3*161 + F*160

 1*4096 + 10*256 + 3*16 + 15*1 = 6719

1A3F16 = 671910

Ejercicio 7:

Expresa en el sistema decimal las siguientes cifras hexadecimales: 2BC516,  10016,  1FF16

Ensayemos, utilizando la técnica habitual de divisiones sucesivas, la conversión de un número decimal a hexadecimal. Por ejemplo, para convertir a hexadecimal del número 173510 será necesario hacer las siguientes divisiones:

1735 : 16 = 108    Resto: 7108 : 16 = 6           Resto: C es decir, 1210

6 : 16 = 0                Resto: 6

De ahí que, tomando los restos en orden inverso, resolvemos el

número en hexadecimal:

173510 = 6C716

Ejercicio 8:

Convierte al sistema hexadecimal los siguientes números decimales: 351910, 102410, 409510

6.  Conversión de números binarios a octales y viceversa

Observa la tabla siguiente, con los siete primeros números expresados en los sistemas decimal, binario y octal:

DECIMALBINARIO OCTAL

0 000 01 001 12 010 23 011 34 100 45 101 56 110 67 111 7

Cada dígito de un número octal se representa con tres dígitos en el sistema binario. Por tanto, el modo de convertir un número entre estos sistemas de numeración equivale a "expandir" cada dígito octal a tres dígitos binarios, o en "contraer" grupos de tres caracteres binarios a su correspondiente dígito octal.

Por ejemplo, para convertir el número binario 1010010112 a octal tomaremos grupos de tres bits y los sustituiremos por su equivalente octal:

1012 = 58

0012 = 18

0112 = 38

y, de ese modo: 1010010112 = 5138

Ejercicio 9:

Convierte los siguientes números binarios en octales: 11011012, 1011102, 110110112, 1011010112

La conversión de números octales a binarios se hace, siguiendo el mismo método, reemplazando cada dígito octal por los tres bits equivalentes. Por ejemplo, para convertir el número octal 7508 a binario, tomaremos el equivalente binario de cada uno de sus dígitos:

78 = 1112

58 = 1012

08 = 0002

y, por tanto: 7508 = 1111010002

Ejercicio 10:

Convierte los siguientes números octales en binarios: 258, 3728, 27538

7.  Conversión de números binarios a hexadecimales y viceversa

Del mismo modo que hallamos la correspondencia entre números octales y binarios, podemos establecer una equivalencia directa entre cada dígito hexadecimal y cuatro dígitos binarios, como se ve en la siguiente tabla:

DECIMALBINARIO HEXADECIMAL

0 0000 01 0001 12 0010 23 0011 34 0100 45 0101 56 0110 67 0111 78 1000 89 1001 9

DECIMALBINARIO HEXADECIMAL

10 1010 A11 1011 B12 1100 C13 1101 D14 1110 E15 1111 F

La conversión entre números hexadecimales y binarios se realiza "expandiendo" o "contrayendo" cada dígito hexadecimal a cuatro dígitos binarios. Por ejemplo, para expresar en hexadecimal el número binario 1010011100112 bastará con tomar grupos de cuatro bits, empezando por la derecha, y reemplazarlos por su equivalente hexadecimal: 

10102 = A16

01112 = 716

00112 = 316

y, por tanto: 1010011100112 = A7316

En caso de que los dígitos binarios no formen grupos completos de cuatro dígitos, se deben añadir ceros a la izquierda hasta completar el último grupo. Por ejemplo:1011102 = 001011102 = 2E16

Ejercicio 11:

Convierte a hexadecimales los siguientes números binarios:

10101001010111010102, 1110000111100002, 10100001110101112

La conversión de números hexadecimales a binarios se hace del mismo modo, reemplazando cada dígito hexadecimal por los cuatro bits equivalentes de la tabla. Para convertir a binario, por ejemplo, el número hexadecimal 1F616 hallaremos en la tabla las siguientes equivalencias:

116 = 00012

F16 = 11112

616 = 01102

y, por tanto: 1F616 = 0001111101102

Ejercicio 12:

Convierte a binario los números hexadecimales siguientes: 7A5D16, 101016, 8F8F16

Luis González

Profesor de Tecnologías de la Información

Departamento de Tecnología

I.E.S. Santa Eugenia

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Números binarios, decimales y hexadecimales

Decimales

Para entender los números binarios y hexadecimales, lo mejor es entender bien cómo funcionan los números decimales.

Cada dígito de un número decimal va en una "posición", y el punto decimal nos dice qué posición es cada una.

La posición justo a la izquierda del punto son las "unidades". Cada vez que nos movemos a la izquierda vale 10 veces más, y a la derecha vale 10 veces menos:

Pero esto sólo es una manera de escribir números. Hay otras maneras como los números romanos, binarios, hexadecimales, y más. ¡Incluso podrías marcar puntos en una hoja de papel!

Contar en diferentes sistemas de numeración

El sistema decimal de numeración también se llama "base 10", porque se basa en el número 10.

En decimal hay diez símbolos (0 a 9), pero fíjate en esto: no hay un símbolo para el "diez". "10" son en realidad dos símbolos juntos, un "1" y un "0":

En decimal contamos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, entonces decimos "me he quedado sin símbolos, así que empiezo otra vez con 0, pero primero voy a añadir 1 a la izquierda".

En decimal contamos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, entonces decimos "me he quedado sin símbolos, así que empiezo otra vez con 0, pero primero voy a añadir 1 a la izquierda".

Pero no es obligatorio usar 10 como "base". Podrías usar 2 ("binario"), 16 ("hexadecimal"), ¡o cualquier número que quieras! Sólo sigue la misma regla:

Cuenta hasta justo antes de la "base", después vuelve al 0, pero añadiendo 1 a la izquierda.

¿Por qué no pruebas tú? Intenta contar puntos con bases 2 a 16 en esta pequeña demostración:

Prueba esto: después de elegir una base y dejar que trabaje un rato, usa el botón de "Pausa" y mira si ha acertado el número de puntos, como en este ejemplo en base 2:

Ejemplo: 1×16 + 1×8 + 1×1 = 16+8+1 = 25

Números binarios

Los números binarios son en "base 2" en lugar de "base 10". Empiezas contando 0, después 1, ¡ya se te acabaron los dígitos! Así que vuelves al 0, pero aumentas en 1 el número de la izquierda.

Funciona así:

000

001

010no hay "2" en binario, así que volvemos al 0...... y sumamos 1 a la cifra de la izquierda

011

100volvemos otra vez al 0, y sumamos 1 a la izquierda...... pero ese número ya es 1 así que vuelve a ser 0...... y el 1 se suma al siguiente número a la izquierda

101

110 etc...

Números hexadecimales

Los números hexadecimales son interesantes. ¡Hay 16 dígitos diferentes! Son como los decimales hasta el 9, pero después hay letras ("A',"B","C","D","E","F") para los valores de 10 a 15.

Así que con una sola cifra hexadecimal se pueden dar 16 valores diferentes en lugar de los 10 de siempre:

Decimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Hexadecimal: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

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Sistemas de numeraciónEnviado por mabelgonzalesu

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Indice1. Introduccion2. Sistema de numeración binario3. Operaciones Binarias4. Bibliografía (Internet)

1. Introducción

La importancia del sistema decimal radica en que se utiliza universalmente para representar cantidades fuera de un sistema digital. Es decir que habrá situaciones en las cuales los valores decimales tengan que convenirse en valores binarios antes de que se introduzcan en sistema digital. Entonces habrá situaciones en que los valores binarios de las salidas de un circuito digital tengan que convertir a valores decimales para presentarse al mundo exterior.Por otro lado del binario y el decimal, otros dos sistemas de numeración encuentran amplias aplicaciones en los sistemas digitales. Los sistemas octal (base 8) y hexadecimal (base 16) se usan con el mismo fin, que es ofrecer un eficaz medio de representación de números binarios grandes. Como veremos, ambos sistemas numéricos tienen la ventaja de que pueden convenirse fácilmente al y del binario.

Tabla Comparativa

binario decimal hexa binario decimal hexa

0000 0 0 1000 8 8

0001 1 1 1001 9 9

0010 2 2 1010 10 A

0011 3 3 1011 11 B

0100 4 4 1100 12 C

0101 5 5 1101 13 D

0110 6 6 1110 14 E

0111 7 7 1111 15 F

2. Sistema de numeración binario

Conversión de binario a decimal.- El sistema de numeración binario u un sistema de posición donde cada dígito binario (bit) tiene un valor basado en su posición relativa al LSB. Cualquier número binario puede convenirse a su equivalente decimal, simplemente sumando en el número binario las diversas posiciones que contenga un 1. Por ejemplo:1 1 1 0 1 12 de binario a decimal1 x 25 + 1 x 24 + 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 2 + 1 = 6910

Conversión de decimal a binario.- Existen dos maneras de convenir un número decimal entero a su representación equivalente en el sistema binario. El primer método es inverso al proceso descrito anteriormente. El número decimal se expresa simplemente como una suma de potencias de 2 y luego los unos y los ceros se escriben en las posiciones adecuadas de los bits. Por ejemplo:

1 7 4 2

0 8 7 2

1 43 2

1 21 2

1 10 2

0 5 2

1 2 2

0 1

45 = 32 + 8 + 4 + l = 25 + 0 + 23 +2 2 + 0 + 20

entonces es igual a 1 0 1 1 0 12Pasar a decimal el binario 101011102

1 0 1 0 1 1 1 0

0 * 20 = 0

1 * 21 = 2

1 * 22 = 4

1 * 23 = 8

0 * 24 = 0

1 * 25 = 32

0 * 26 = 0

1 * 27 = 128

174

101011102 = 17410

El segundo método consiste dividir repetidas veces el número entre dos hasta que su cociente sea menor que él. Por ejemplo:

con residuo 0

con residuo 1

con residuo 0

con residuo 0

con residuo 0

con residuo 0

con residuo 0

con residuo 1

Entonces el número se forma tomando los residuos pero en forma inversa, es decir el primer digito será el último residuo y así sucesivamente. El número quedaría como sigue:

1 0 0 0 0 0 1 02

3. Operaciones Binarias

En lo que sigue se adopta como convención la lógica positiva, lo que implica:verdadero = 1 = activo, ------, falso = 0 = inactivoHay cinco operaciones binarias básicas: AND, OR, NOT, XOR y ADD. La resta, multiplicación y división se derivan de estas cinco anteriores. Cualquiera sea la longitud de la palabra o palabras objeto de la operación, siempre se hace de a un bit por vez de derecha a izquierda (tal como si fuera una suma o resta con números decimales). Esto permite una definición de cada operación que es independiente de la longitud del o de los operando(s). La operación NOT es la única que se realiza sobre un sólo operando (es unaria), y las otras cuatro sobre dos operandos.

La operación AND (Y) tiene resultado 1 si sus dos operandos son ambos 1 La operación OR (O) tiene resultado 1 si cualquiera de sus operandos es 1 La operación XOR tiene resultado 1 si los operandos son distintos (uno en 0 y el otro

en 1) La operación NOT (NO) tiene resultado 1 si el operando es 0 y viceversa La operación ADD (SUMA) se define igual que con los números decimales

AND OR XOR NOT SUMA

0 * 0 = 0 0 + 0 = 0 0 X 0 = 0 NOT 1 = 0 0 + 0 = 0

0 * 1 = 0 0 + 1 = 1 0 X 1 = 1 NOT 0 = 1 0 + 1 = 1

1 * 0 = 0 1 + 0 = 1 1 X 0 = 1 --- 1 + 0 = 1

1 * 1 = 1 1 + 1 = 1 1 X 1 = 0 --- 1 + 1 = 10

División

Reglas de la división binaria: 0/0 no permitida, 1/0 no permitida,0/1=0, 1/1=1

Ejemplos De Suma

1 1 1 1 1 Acarreo

1 1 0 0 1 25

+ 1 0 1 0 1 1 + 43

1 0 0 0 1 0 0 68

  

1 1 Acarreo

1 1 0. 1 0 6,50

+ 1 1 0 1. 0 1 + 13.25

1 0 0 1 1. 1 1 19.75

1 1 0 0 1 25

* 1 0 0 1 1 * 19

1 1 0 0 1

1 1 0 0 1

1 1 0 0 1 0 0

1 1 1 0 1 1 0 1 1 475

Es lo que hacemos en la suma decimal 5+5=10 (nos llevamos "1" para la operación del dígito siguiente). Este llevarse "1" es vastamente usado entre los procesadores digitales y tiene un nombre especial: carry (lo verá abreviado como CY, C o CF-por carry flag), lo que en castellano se traduce como "acarreo" (que suena muy mal, asi que le seguiremos llamando carry). Estas operaciones también se llaman "booleanas" ya que se basan en el álgebra de Boole (invito al lector a rememorar cuando en la escuela secundaria se preguntaba, igual que yo, si el álgebra de Boole le serviría alguna vez para algo).En un ordenador el sistema de numeración es binario -en base 2, utilizando el 0 y el 1- hecho propiciado por ser precisamente dos los estados estables en los dispositivos digitales que componen una computadora.Para sumar números, tanto en base 2 como hexadecimal, se sigue el mismo proceso que en base 10:

Podemos observar que la suma se desa-1010 1010b rrolla de la forma tradicional; es decir:+ 0011 1100b sumamos normalmente, salvo en el caso de-------------- 1 + 1 = 102 , en cuyo caso tenemos un aca-1110 0110b rreo de 1 (lo que nos llevamos).

Complemento a dos.En general, se define como valor negativo de un número el que necesitamos sumarlo para obtener 00h, por ejemplo:FFh Como en un byte solo tenemos dos nibbles, es+ 01h decir, dos dígitos hexadecimales, el resultado es------ 0 (observar cómo el 1 más significativo subrayado100h es ignorado). Luego FFh=-1. Normalmente, el bit 7se considera como de signo y, si está activo (a 1)el número es negativo.Por esta razón, el número 80h, cuyo complemento a dos es él mismo, se considera negativo (-128) y el número 00h, positivo. En general, para hallar el complemento a dos de un número cualquiera basta con calcular primero su complemento a uno, que consiste en cambiar los unos por ceros y los ceros por unos en su notación binaria; a continuación se le suma una unidad para calcular el complemento a dos. Con una calculadora, la operación es más sencilla: el complemento a dos de un número A de n bits es 2n-A.Otro factor a considerar es cuando se pasa de operar con un número de cierto tamaño (ej., 8 bits) a otro mayor (pongamos de 16 bits). Si el número es positivo, la parte que se añade por la izquierda son bits a 0. Sin embargo, si era negativo (bit más significativo activo) la parte que se añade por la izquierda son bits a 1. Este fenómeno, en cuya demostración matemática no entraremos, se puede resumir en que el bit más significativo se copia en todos los añadidos: es lo que se denomina la extensión del signo: los dos siguientes números son realmente el mismo número (el -310):  11012 (4 bits) y 111111012 (8 bits).

Sistema de numeración octalEl sistema de numeración octal es muy importante en el trabajo que se realiza en una computadora digital. Este tiene una base de ocho, lo cual significa que tiene ocho posibles dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Así, cada dígito de un número octal puede tener cualquier valor del 0 al 7.Conversi6n de octal a decimal.- Por tanto, un número octal puede convenirse fácilmente a su equivalente decimal multiplicando cada dígito octal por su valor posicional. Por ejemplo:

2748 = 2 x 82 + 7 x 81 + 4 x 80

2848 = 2 x 64 + 7 x 8 + 4 x 1

2848 = 18810

Conversión de decimal a octal.- Un entero decimal se puede convertir a octal con el mismo método dc división repetida que se usó en la conversión de decimal a binario, pero con un factor de división dc 8 en lugar de 2. Por ejemplo:

con residuo 4

con residuo 4

con residuo 2

Al final resulta que:

16410 = 2448

Conversión de octal a binario.- La ventaja principal del sistema de numeración octal es la facilidad con que se puede realizar la conversión entre números binarios y octales. La conversión de octal a binario se lleva a cabo conviniendo cada dígito octal en su equivalente binario dc 3 bits.Por medio de estas conversiones, cualquier número octal se conviene a binario, convirtiéndolo dc manera individual. Por ejemplo, podemos convertir 516, a binario de la siguiente manera:

5 1 6

101. 001 110

entonces:

5168 = 1010011102

Conversi6n de binario a octal.- La conversión de enteros binarios a octales es simplemente la operación inversa del proceso anterior. Los bits del número binario se agrupan en conjuntos de tres comenzando por el LSB. Luego, cada grupo se convierte a su equivalente octal. Por ejemplo:111 001 101 1107 1 5 6entonces:1110011011102 = 71568

Sistema De Numeración HexadecimalConversión de hexadecimal a decimal.- Un número hexadecimal se puede convenir a su equivalente decimal utilizando el hecho de que cada posición de los dígitos hexadecimales tiene un valor que es una potencia de 16. El LSD tiene un valor de l60 = 1; el siguiente dígito en secuencia tiene un valor de 161 = 16; el siguiente tiene un valor de 162 = 256 y así sucesivamente. Por ejemplo:

81216 = 8 x 162 + 1 x 161 + 2 x 160

81216 = 2048 + 16 + 2

81216 = 206610

Conversión de decimal a hexadecimal.- Recuerde que efectuamos la conversión de decimal a binario por medio de la división repetida entre 2 y de decimal a octal por medio de la división repetida entre 8. De igual manera, la conversión de decimal a hexadecimal se puede efectuar por medio de la división repetida entre 16. Por ejemplo:

con residuo 7

con residuo 010

con residuo 1

entonces:

42310 = 1A716

Conversión de hexadecimal a binario.- Al igual que el sistema de numeración octal, el sistema hexadecimal se usa principalmente como método ‘taquigráfico" en la representación de números binarios. Es una tarea relativamente simple la de convertir un número hexadecimal en binario. Cada dígito hexadecimal se convierte en su equivalente binario de 4 bits. Por ejemplo:

6 D 2 3

110. 1101 0010 0011

entonces:

6D2316 = 1101101001000112

Conversión de binario a hexadecimal.- Esta conversión es exactamente la operación inversa del proceso anterior. El número binario se agrupa en conjuntos de cuatro bits y cada grupo se convierte a su dígito hexadecimal equivalente. Cuando es necesario se añaden ceros para completar un grupo de cuatro bits.

11101001102 = 0011 1010 0110

3 A 6

11101001102 = 3A616

4. Bibliografía (Internet)

http ://www.geocities.com/eidan.rm/assemg1.htm http://fismat.umich.mx/~elizalde/curso/node114.html http://fismat.umich.mx/~elizalde/curso/node115.html http://atc.ugr.es/docencia/udigital/01.html

http://uvirtual.ing.ucv.edu/datos/facultades/tecnica/datos/esctelecomunicaciones/datos/materias/informatica1/datos/informatica1_cap2_5.htm

 

 

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SUMA DE NUMEROS BINARIOS

ASÍ FUNCIONA EL SISTEMA NUMÉRICO BINARIO

Texto e ilustraciones José Antonio E. García Álvarez

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– Sistemas numéricos– Base de un sistema numérico– Descomposición de un número en factores– Conversión de un sistema numérico a otro> Suma de números binarios– Bits y bytes

SUMA DE NÚMEROS BINARIOSTabla de sumar de números binarios

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Búsqueda pub-0955994447

1 w indow s-1252 w indow s-1252

GALT:#0066CC;G es

Suma consecutiva de números binarios de 1 en 1 hasta completar 10

Suma de dos números binariosSean los números binarios 00102 y 01102

Primer paso

De la misma forma que hacemos cuando sumamos números del sistema decimal, esta operación matemática la comenzamos a realizar de derecha a izquierda, comenzando por los últimos dígitos de ambos sumandos, como en el siguiente ejemplo:

En la tabla de suma de números binarios podemos comprobar que 0 + 0 = 0

Segundo paso

Se suman los siguientes dígitos 1 + 1 = 10 (según la tabla), se escribe el “0” y se acarrea o lleva un “1”. Por tanto, el “0” correspondiente a tercera posición de izquierda a derecha del primer sumando, adquiere ahora el valor “1”.

Tercer paso

Al haber tomado el “0” de la tercera posición el valor “1”, tendremos que sumar 1 + 1 = 10. De nuevo acarreamos o llevamos un “1”, que tendremos que pasar a la cuarta posición del sumando.

Cuarto paso

El valor “1” que toma el dígito “0” de la cuarta posición lo sumamos al dígito “0” del sumando de abajo. De acuerdo con la tabla tenemos que 1+ 0 = 1.

El resultado final de la suma de los dos números binarios será: 1 0 0 0.

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Universidad de Colombia

Conversiones de un Sistema a Otro

Las conversiones entre números de bases diferentes se efectúan por medio de operaciones aritméticas simples. Dentro de las conversiones más utilizadas se encuentran:

Conversión de Decimal a Binario

Para la conversión de decimal a binario se emplean dos métodos. El primero es divisiones sucesivas y el segundo es suma de potencias de 2.

Por divisiones sucesivas

Se va dividiendo la cantidad decimal por 2, apuntando los residuos, hasta obtener un cociente cero. El último residuo obtenido es el bit más significativo (MSB) y el primero es el bit menos significativo (LSB).

Ejemplo

Convertir el número 15310 a binario.

Figura 1.2.1.Ejemplo de conversión de decimal a binario

El resultado en binario de 15310 es 10011001

Por sumas de potencias de 2

Este método consiste en determinar el conjunto de pesos binarios cuya suma equivalga al número decimal.

Ejemplo

Convertir el número 15310 a binario.

15310 = 27 + 24 + 23 + 20 = 128 + 16 +8 +1

15310= 100110012

Como se aprecia, si se cuenta con alguna familiaridad con las potencias de 2 este último método es más rápido.

Conversión de Fracciones Decimales a Binario

Para la conversión de fracciones decimales a binario se emplean el siguiente método.

Por suma de potencias de 2

Emplea la misma metodología de la suma de potencias de 2 pero se trabaja con potencias negativas.

Ejemplo

Convertir el número 0,87510 a binario.

0,87510 = (2-1) + (2-2) + (2-3) = 0,5 + 0,25 + 0,125 = 0,1112

Por multiplicaciones sucesivas

La conversión de números decimales fraccionarios a binario se realiza con multiplicaciones sucesivas por 2. El número decimal se multiplica por 2, de éste se extrae su parte entera, el cual va a ser el MSB y su parte fraccional se emplea para la siguiente multiplicación y seguimos sucesivamente hasta que la parte fraccional se vuelva cero o maneje un error moderado. El último residuo o parte entera va a constituir el LSB.

Ejemplo

Convertir el número 0,87510 a binario.

Número N

N X 2 Parte entera Peso

0,875 1,75 1 MSB0,75 1,5 1  0,5 1,00 1 LSB

Tabla 1.2.1. Ejemplo de Conversión de Decimal a Binario.

El resultado en binario de 0,87510 es 0,1112.

Conversión de Decimal a Hexadecimal

En la conversión de una magnitud decimal a hexadecimal se realizan divisiones sucesivas por 16 hasta obtener un cociente de cero. Los residuos forman el número hexadecimal equivalente, siendo el último residuo el dígito más significativo y el primero el menos significativo.

Ejemplo

Convertir el número 186910 a hexadecimal.

Figura 1.2.2. Ejemplo de Conversión de decimal a hexadecimal

El resultado en hexadecimal de 186910 es 74D16.

Conversión de Decimal a Octal

En la conversión de una magnitud decimal a octal se realizan divisiones sucesivas por 8 hasta obtener la parte entera del cociente igual a cero. Los residuos forman el número

octal equivalente, siendo el último residuo el dígito más significativo y el primero el menos significativo.

Ejemplo

Convertir el número 46510 a octal.

Número N N ÷ 8 Parte

decimal Parte decimal x 8 Peso

465 58,1250,125 1 LSB58 7,25 0,25 2  0,5 0,875 0,875 7 MSB

Tabla 1.2.2. Ejemplo de Conversión de Decimal a Hexadecimal.

El resultado en octal de 46510 es 721.

Conversión de Binario a Decimal

Un número binario se convierte a decimal formando la suma de las potencias de base 2 de los coeficientes cuyo valor sea 1 (ver lección 1).

Ejemplo

Convertir el número 11002 a decimal.

11002 = 1x23 + 1x22 = 1210

Conversión de Binario a Hexadecimal

El método consiste en conformar grupos de 4 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del punto que indica las fracciones, hasta cubrir la totalidad del número binario. Enseguida se convierte cada grupo de número binario de 4 bits a su equivalente hexadecimal.

Ejemplo

Convertir el número 10011101010 a hexadecimal.

Conversión de Binario a Octal

El método consiste en hacer grupos de 3 bits hacia la izquierda y hacia la derecha del punto que indica las fracciones, hasta cubrir la totalidad del número binario. Enseguida se convierte cada grupo de número binario de 3 bits a su equivalente octal.

Ejemplo

Convertir el número 010101012 a octal.

Conversión de Hexadecimal a Decimal

En el sistema hexadecimal, cada dígito tiene asociado un peso equivalente a una potencia de 16, entonces se multiplica el valor decimal del dígito correspondiente por el respectivo peso y realizar la suma de los productos.

Ejemplo

Convertir el número 31F16 a decimal.

31F16 = 3x162 + 1x16 + 15 x 160 = 3x256 + 16 + 15 = 768 + 31 = 79910

Conversión de Hexadecimal a Binario

La conversión de hexadecimal a binario se facilita porque cada dígito hexadecimal se convierte directamente en 4 dígitos binarios equivalentes.

Ejemplo

Convertir el número 1F0C16 a binario.

1F0C16 = 11111000011002

Conversión de Octal a Decimal

La conversión de un número octal a decimal se obtiene multiplicando cada dígito por su peso y sumando los productos:

Ejemplo

Convertir 47808 a decimal.

4780 = (4 x 83)+(3x82)+(8x81)+(0x80) = 2048+192+64+0= 2304

Conversión de Octal a Binario

La conversión de octal a binario se facilita porque cada dígito octal se convierte directamente en 3 dígitos binarios equivalentes.

Ejemplo

Convertir el número 7158 a binario.

7158 = (111001101)2

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Bases Numéricas

EL SISTEMA DECIMAL (Base 10):

Este sistema está formado por diez símbolos, llamados números arábicos. También es llamado sistema de base 10. Usando los diez símbolos separadamente 0, 1, 2, 3, ..., 9 nos permite representar el valor de los números en unidades individuales, pero para representar mas de nueve números es necesario combinarlos. Cuando usamos símbolos en combinación, el valor de cada uno de ellos depende de su posición con respecto al punto decimal, designando así un símbolo para las unidades, otro para las decenas, otro para las centenas, otro para los millares (de miles, no de millón), en adelante.

El símbolo correspondiente a las unidades asume la posición mas izquierda antes del punto decimal. Esta designación de posición determina que la potencia del número se corresponde con la distancia en que está del punto decimal, y es por ello que la primera posición se llama UNIDAD (100 = 1). Matemáticamente esto puede ser representado como:

unidad = 100 decena = 101 centena = 102

Por ejemplo: El valor en combinación de los símbolos 234 es determinado por la suma de los valores correspondientes a cada posición:

2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100

Que equivale a:

2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 1

Efectuando las multiplicaciones esto da:

200 + 30 + 4

Cuya suma da como resultado: 234

La posición derecha del punto decimal es representada por número enteros pero negativos comensando desde -1 para la primera posición.

Matemáticamente las tres primeras posiciones a la derecha del punto decimal se expresan como:

décimas 10-1 centésimas 10-2 milésimas 10-3

En un ejemplo como el anterior, pero mas elaborado podemos ver que el valor 18.947 equivale a:

1x101 + 8x100 + 9x10-1 + 4x10-2 + 7x10-3  

= 

1x10 + 8x1 + 9x0.1 + 4x0.01 + 7x0.001

=

10 + 8 + 0.9 + 0.04 + 0.007

Para representar un número base diez es posible colocar su valor seguido de la base en sub-índice (18.97410) o bien seguido de la letra d entre paréntesis: 645(d).

 

EL SISTEMA BINARIO (Base 2):

Es un sistema de números de base igual a 2, lo que nos lleva a representar los números con sólo dos símbolos distintos: 0 y 1.

Es usado para representar números del mismo modo que el sistema decimal, donde cada símbolo puede ser usado individualmente o en combinación. Por ello con sólo un símbolo en sistema binario podemos representar apenas dos valores (cero y uno) a diferencia del sistema decimal donde un sólo símbolo podía representar hasta diez. Combinando dos símbolos binarios logramos generar los cuatro primeros valores del sistema binario, que se muestran abajo:

000110 (El uno se movió una posición a la izquierda)11

Para un número mas grande, el símbolo 1 debe ser movido otra vez, haciendo aparecer una tercera columna, tal como ocirrió antes con la segunda. aplicando todas las combinaciones posibles de 0's y 1's, se obtiene:

Binario

Decimal

000 0

001 1

010 2

011 3

100 4

101 5

110 6

111 7

En este sistema se emplea el mismo concepto de posicionamiento y pontencia que en el anterior. A continuación se ven algunos ejemplos de posicionamiento y potencia de los símbolos:

Para números enteros (a la izquierda del punto decimal):

Trigésimo Segundo (32)  = 25

Decimo Sexto (16)  = 24

Octavo (8) = 21

Cuarto (4) = 22

Segundo (2) = 21

Primero (1)  = 20

Para números decimales (a la derecha del punto):

Un Medio = 2-1

Un Cuarto = 2-2

Un Octavo = 2-3

Cuando los símbolos 0 y 1 son usados para representar números binarios, cada símbolo es llamado dígito binario, o simplemente BIT. El número binario 10102 es llamado número binario de cuatro dígitos o número binario de 4-bits.

Este sistema es muy empleado en circuiteria digital por ser fácil de representar y transmitir electrónicamente. Comunmente (aunque no siempre) el símbolo cero del sistema binario está representado por un estado eléctrico bajo, usualmente correspondiente a la masa o a los 0V. Del mismo modo el símbolo 1 es representado por un estado alto que, por lo general, se corresponde con la tensión de fuente (suele ser 5V en sistemas digitales). Pero esto es "por lo general". Hay muchos casos donde si bien el sistema es binario los símbolos son representados eléctricamente de otra forma. Tal es el caso del estándar de comunicaciones seriales 232C donde el 1 es representado por una tensión negativa de entre 5V y 25V, mientras que el 0 es representado por una tensión positiva del mismo rango. Pero no entraremos en detalle en esto por estar fuera de los alcances de este tutorial.

 

CONVERSIÓN ENTRE SISTEMAS

DE BINARIO A DECIMAL: 

Para poder transformar números binarios en su correspondiente decimal  basta multiplicar el dígito binario (que sólo puede ser 0 o 1) por 2 elevado a la potencia correpondiente a la distancia de ese símbolo al punto decimal. Luego se suman los valores obtenidos y se consigue el número final.

Ejemplos:

102 = 1x21 + 0x20 = 1x2 + 0x1 = 2 + 0 = 210

1012 = 1x22 + 0x21 + 1x20 = 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 4 + 0 + 1 = 510

10012 = 1x23 + 0x22 + 0x21 + 1x20 = 1x8 + 0x4 + 0x2 + 1x1 = 8 + 0 + 0 + 1 = 910

Y para número fraccionarios:

0.0112 = 0x2-1 + 1x2-2 + 1x2-3  = 0x0.5 + 1x0.25 + 1x0.125 = 0 + 0.25 + 0.125 = 0.37510

0.1012 = 1x 2-1 + 0x 2-2 + 1 x 2-3  = 1x0.5 + 0x0.25 + 1 x0.125 = 0.5 + 0 + 0.125 = 0.62510

110.0102

=1x22 + 1x21 + 0x20 + 0 x 2-1 + 1 x 2-2 + 0 x 2-3

1x4 + 1x2 + 0x1 + 0x0.5 + 1x0.25 + 0x.1254 + 2 + 0 + 0 + 0.25 + 06.2510

Como se ve en los ejemplos el punto decimal aparece automáticamente en la posición correcta una vez efectuada la suma de los componentes.

 

DE DECIMAL A BINARIO:

Aquí veremos el método de divisiones y multiplicaciones sucesivas. 

Para convertir un némero ENTERO decimal a una nueva base, el número decimal es sucesivamente dividido por la nueva base. Como en nuestro caso la nueva base es 2 el número será sucesivamente dividido por 2, O sea, el número original es dividido por 2, el resultado de ese cociente es dividido por 2 sucesivamente hasta que el cociente de 0. El resto de cada división es un número binario que conforma el número resultante de la conversión. El primer resultado producido (el primer resto obtenido) corresponde al bit mas próximo al punto decimal (o lo que se conoce como bit de menor peso). Los sucesivos bits se colocan a la izquierda del anterior. Notese que esto es como escribir en sentido contrario al empleado normalmente.

Veamos esto con un ejemplo:

Convertiremos a binario el número 1810

18 / 2 = 9 y resta 0 (este cero es el bit mas próximo al punto binario)9 / 2 = 4 y resta 1 (este uno es el bit que le sigue a la izquierda al cero obtenido arriba)4 / 2 = 2 y resta 0 (este cero es el bit que le sigue a la izquierda al uno obtenido arriba)2 / 2 = 1 y resta 0 (este cero es el bit que le sigue a la izquierda al cero obtenido arriba)Con 1 no se puede continuar dividiendo pero se coloca éste a la izquierda del cero obtenido arriba, quedando como bit de mayor peso.

Entonces, 1810 = 100102.

En el caso de convertir un número decimal FRACCIONARIO, la parte fraccionaria debe ser multiplicada por 2 y el número binario es formado por 0's o 1's que aparecen en la parte correspondiente al entero. Solo que en este caso el número binario se escribe de izquierda a derecha, a diferencia de lo explicado antes para los números enteros. Las multiplicaciones se efectúan SOLO sobre la parte fraccionaria del número por lo que siempre serán 0.XXX. Nunca debe multiplicar 1.XXX. El proceso de multiplicaciones sucesivas concluye cuando quedan en cero la parte entera y la fraccionaria.

En este ejemplo convertiremos el número fraccionario 0.62510

0.625 x 2 = 1.250 (bit mas próximo al punto binario)0.250 x 2 = 0.500 (bit a la derecha del uno obtenido anteriormente)0.500 x 2 = 1.000 (bit a la derecha del cero obtenido anteriormente)

La operación concluye porque no queda parte fraccionaria para seguir multiplicando.

0.62510 = 0.1012

Pueden ocurrir situaciones donde cualquier número multiplicado por 2 nunca llegue a cero Esto causa que el número binario obtenido sea aproximado, como se observa en el ejemplo de abajo:

0.610

0.6 x 2 = 1.2 (bit mas próximo al punto binario)0.2 x 2 = 0.4 (bit a la derecha del uno obtenido arriba)0.4 x 2 = 0.8 (bit a la derecha del cero obtenido arriba)0.8 x 2 = 1.6 (bit a la derecha del cero obtenido arriba)0.6 x 2 = 1.2 (bit a la derecha del uno obtenido arriba) 0.2 x 2 = 0.4 (Retorna a la situación inicial... Ver segunda línea del proceso)

 

EL SISTEMA OCTAL (Base 8):

Este sistema es muy usado en trabajos digitales, por su fácil conversión de y hacia el sistema binario. Tiene su base igual a ocho, lo que genera la necesidad de ocho símbolos para representar valores en este sistema y para esta finalidad se seleccionaron los primeros ocho símbolos del sistema decimal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.

A continuación del 7 y para seguir contando hacia adelante, hay que agregar una nueva columna a la izquierda la cual tendrá como valor inicial un 1. De esta forma es posible obteber otras ocho nuevas conbinaciones tal como sucedia en los otros sistemas comentados anteriormente. Estos son algunos de los valores para cada símbolo.

Septuagésimo Cuarto (64) = 82

Octavo (8) = 81

Unidad (1) = 80

Un Octavo =  8-1

Un Sesenta y Cuatro Avos = 8-2

Los números octales son parecidos a los números decimales excepto por los símbolos 8 y 9, que no son usados.

 

CONVERSIÓN DE DECIMAL A OCTAL:

En esta caso basta usar el mismo método de conversión con los números binarios. Pero en vez de hacer divisiones sucesivas por 2 hay que efectuarlas por 8. Nótese que el divisor corresponde a la base del sistema al cual se va a convertir. Lo mismo sucede con las multiplicaciones sucesivas, necesarias para convertir números fraccionarios.

Ejemplo 1: Convertir 24510

245 / 8 = 30 y resta 5 (dígito mas próximo al punto octal)30 / 8 = 3 y resta 6 (dígito a la izquierda del 5 obtebido arriba)No se puede seguir dividiendo, por lo que el 3 queda como dígito de mayor peso a la izquierda del 6 obtenido arriba.

Resultado: 24510 = 3658

 

Ejemplo 2: Convertir 17510

175 / 8 = 21 y resta 7 (dígito mas próximo al punto octal)21 / 8 = 2 y resta 5 (dígito a la izquierda del 7 obtenido arriba)No se puede seguir dividiendo, por lo que el 2 queda como dígito de mayor peso a la izquierda del 7 obtenido arriba.

Resultado: 17510 = 2578

 

Ejemplo 3: Convertir 0.43210

0.432 x 8 = 3.456 (dígito mas próximo al punto octal)0.456 x 8 = 3.648 (dígito a la derecha del 3 obtenido arriba) 0.648 x 8 = 5.184 (dígito a la derecha del 3 obtenido arriba)0.184 x 8 = 1.472 (dígito a la derecha del 5 obtenido arriba)

Resultado: 0.43210 = 0.33518

OBS.: Note que la la conversión no fué exacta.

 

SISTEMA HEXADECIMAL (Base 16):

Este sistema requiere el uso de 16 símbolos, siendo formado por los mismos empleados en el sistema decimal y seis letras del alfabeto arábico comprendidas entre A y F. Dado que las computadoras usualmente agrupan conjuntos de bits en múltiplos de cuatro este sistema permite representar a cada grupo con un simple símbolo. Por ello es que es tan usado en estos días. En la tabla de abajo se muestra la relación entre los sistemas.

Decimal Binario Octal Hexa

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

 Al igual que en los otros sistemas en Hexadecimal, cuando se llega a la F y se requiere seguir contando hacia adelante se torna necesario agregar una nueva columna a la izquierda de la actual la cual inicialmente deberá estar en 1. Esto permite generar otros 16 símbolos nuevos diferentes a los anteriores.

 

CONVERSIÓN DE HEXADECIMAL A BINARIO:

Para efectuar la conversión basta con colocar los cuatro bits correspondientes a cada símbolo del número hexa respetando su posición original. Para saber el balor de cada símbolo sólo tiene que mirar la tabla de relación entre sistemas mostrada arriba.

Por ejemplo: Para convertir 7A216

7 A 20111 1010 0010

Resultado: 7A216 = 0111101000102

 

Otro ejemplo: Para convertir 3D4.F16

3 D 4 . F0011 1101 0100 . 1111

Resultado: 3D4.F16 = 001111010100.11112

 

CONVERSIÓN DE BINARIO A HEXADECIMAL:

Primeramente hay que agrupar los bits de a cuatro comenzando por la derecha y siguiendo hacia la izquierda. Si bien en palabras cuya longitud sea múltiplo de cuatro esto no tiene obligatoriedad, en aquellas cuyo tamaño no sea multiplo de cuatro si selecciona de izquierda a derecha los grupos de bits quedarán mal conformados. Esto anterior para la parte entera. Para la parte fraccionaria el orden es inverso, o sea que se agrupa de izquierda a derecha. Nótese que siempre es del punto hacia afuera. Una vez formados los grupos basta con fijarse en la tabla de arriba y reemplazar cada grupo por el símbolo Hexa correspondiente. 

Nada mejor que unos ejemplos: 

Ejemplo 1: Convertir 1010110100102

1010 1101 0010A D 2

Resultado: 1010110100102 = AD216

 

Ejemplo 2: Convertir 101110101102

101 1101 01105 D 6

Resultado: 101110101102 = 5D616

 

Ejemplo 3: 1101011110.1012

0011 0101 1110 . 10103 5 E . A

 Resultado: 1101011110.1012 = 35E.A16

OBS: Cuando un grupo de bits de la parte entera queda formado por menos de cuatro bits sus posiciones a la izquierda deben ser asumidas como ceros, las cuales verá que no surten efecto en el valor. En tanto cuando esto ocurra en la parte fraccionaria pas posiciones a la derecha son las que deben ser completadas con cero. Aquí si tiene efecto. En el ejemplo de arriba los ceros se colocaron reasaltados para facilitar su visualización.

 

CONVERSIÓN DE HEXADECIMAL A DECIMAL:

Los números hexa son convertidos a su equivalene decimal multiplicando el peso de cada posición por el equivalente decimal del dígito de cada posición y sumando los productos.

Entonces:

12116 =  1 x 162 + 2 x 161 + 1 x 160

1 x 256 + 2 x 16 + 1 x 1256 + 32 + 128910

 

A1C16 A x 162 + 1 x 161 + C x 160

10 x 256 + 1 x 16 + 12 x 12560 + 16 + 12258810

OBS: Los valores que sustituyen a las letras se obtienen de la tabla dada arriba.

 

CONVERSIÓN DE DECIMAL A HEXADECIMAL:

Se puede realizar empleando dos procesos: Divisiones sucesivas por 16, cuando el número es entero, o multiplicaciones sucesivas por 16, cuando el número es fraccionario. Siguiendo los mismos lineamientos empleados con los otros sistemas numéricos.

Ejemplo 1: 65010

650 / 16 = 40 y resta 10 = A (dígito mas próximo al punto hexadecimal)40 / 16 = 2 y resta 8 (dígito a la izquierda del anterior)No se puede continuar dividiendo, por lo que el 2 queda como símbolo mas significativo a la izquierda del anterior.

Resultado 65010 = 28A16

 

Ejemplo 2: 258810

2588 / 16 = 161 y resta 12 = C (dígito mas próximo al punto hexadecimal)161 / 16 = 10 y resta 1 (Dígito siguiente a la izquierda del obtenido arriba)No se puede seguir dividiendo, por lo que el diez (la A) queda como símbolo mas significativo a la izquierda del obtenido arriba

Resultado 258810 = A1C16

 

Ejemplo 3: 0.64210

0.642 x 16 = 10.272 (dígito mas próximo al punto hexadecimal) 1010=A16

0.272 x 16 = 4.352 (dígito siguiente a la derecha del anterior)0.352 x 16 = 5.632 (dígito siguiente a la derecha del anterior)0.632 x 16 = 10.112 (Dígito siguiente a la derecha del anterior) 1010=A16

Resultado 0.64210 = 0.A45A16

OBS.: Note que la conversión no fué exacta.

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Conversión Decimal a Binario a Decimal

Introducción Dejar un comentario

La herramienta portátil, que ha tenido siempre el ser humano “a mano” para contar, son los dedos, este es el motivo por el que nuestro sistema de numeración, es el SISTEMA DECIMAL (cada una de las diez partes iguales en que se divide una cantidad).

Este sistema y el conjunto de símbolos (glifos) que representa el sistema decimal, lo heredamos de los árabes (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9):

gráfico de la wikipedia: Transformación de los glafos arabes a los actuales.

El SISTEMA BINARIO es el que se utiliza en informática, ya que permite almacenar la información de forma digital, ya sea texto, números, imágenes, sonidos, vídeo… El formato digital emplea el CERO o el UNO, y es el que mejor y mas rápidamente representa las características físicas, eléctricas o magnéticas que utilizan los datos para almacenarse o transmitirse. Más información en este post.

Como los humanos no estamos entrenados para manejar cifras binarias, se pueden transformar números binarios a decimal o números decimales a binarios. En esta ocasión, gracias a la hoja de calculo, he implementado un sistema que permite hacer y entender esta transformación, aunque también hacen estas conversiones la calculadora científica en windows

DESCARGAR Hoja de calculo Bin2Dec2Bin.zip (19 Kb)

==================0===================TRUCO DE MAGIA CON NUMEROS BINARIOS

el desierto

Números binarios y un truco de magia

Miércoles, 29 de marzo de 2006

Seguro que han leido alguna vez esta frase:

Hay 10 tipos de personas, las que saben contar en binario y las que no

Evidentemente si no se sabe contar en binario parece una tontería, un error ó un chiste que no se entiende. Resulta muy técnico geek eso de decir que sabes contar en binario, y

sin embargo es muy fácil y dá lugar a un juego de magia con cartas con el que asombrar a tus amigos durante el postre.

Un número binario es una secuencia de 1 (unos) y O (ceros). De acuerdo a la posición que ocupen toma un valor, y este valor siempre será doble del valor que le precede. Mejor con ejemplos:

En rojo el valor que toma cada dígito. Este valor se tiene en cuenta en la suma si está encendido (1) y se ignora si está apagado (0). (Los ceros a la izquierda se pueden ignorar, pero para facilitar la comprensión los he mantenido ).

Según esto, resulta facil ver que en binario harian falta 6 digitos para contar desde 1 a 63, simplemente combinando 1 y 0 (el numero 64 correspondería al 7 digito encendido), siendo 63 el representado por 111111 = 32+16+8+4+2+1 = 63.

Con 7 digitos contariamos hasta 128, con 8 hasta 256. (seguro que más de uno ya está viendo relaciones entre estos números, su memoria RAM ó su paleta de colores). Bueno, pues ya sabes contar en binario. Vamos al juego

Las cartas

Para facilitar la explicación haremos el juego con solo 5 cartas. Al final verás que es muy facil hacerlo con tantas cartas como quieras.

Según lo visto anteriormente, usando 5 digitos binarios podriamos contar desde 1 a 31, combinando 1 (unos) y 0 (ceros) en distintas posiciones de tal manera que la suma de sus valores nos dá el numero decimal en cuestión. ¿si?

Bien, imagina que tenemos 5 cartas (en tu caso 5 servilletas valen) y un bolígrafo. En la primera servilleta vamos a escribir, de esos 31 numeros, aquellos que en codificación binaria tengan un valor de 1 en la 1ª posicion. En la segunda servilleta aquellos que en 2ª posición tengan un 1. En la tercera servilleta aquellos que en 3ª posición tengan un 1, etc…. Empezaría así la serie:

1 = 00001 => primera servilleta 2 = 00010 => segunda servilleta 3 = 00011 => primera y segunda servilleta 4 = 00100 => tercera servilleta 5 = 00101 => tercera y primera servilleta 6 = 00110 => tercera y segunda servilleta etc….

Despues de repartir los 31 números deberían quedarte 5 servilletas garabateadas asi:

Pues ya tienes tu juego preparado, actua un poco y haz lo siguiente:

Escoje a tu victima Dile que piense en un número cualquiera entre 1 y 31 Cuando lo tenga, dale las servilletas y dile que se quede con aquellas en que

aparece su número. Para averiguar su número, echa un vistazo rápido a sus servilletas y suma el

primer numero de cada una de ellas, el resultado es su número. Si te dice que está en todas, no sumes: es el 31 Si solo está en 1 servilleta, puede ser el 1, 2, 4, 8 ó 16

Básicamente lo que hemos hecho es descomponer en conjuntos los primeros 31 números decimales basandonos en su codificación binaria. Cada servilleta representa un dígito. Si el usuario selecciona una servilleta cualquiera, lo que nos está diciendo es que esa posición de la codificación binaria está encendida (es un 1). Así, si selecciona la última servilleta, nos está diciendo que su número es 10000 , es decir 10000 = 16. Si selecciona la última y la primera, nos está diciendo que la codificación binaria del numero elegido es 10001 = 16+0+0+0+1 = 17.

Si quieres darle más magia al asunto, podrías enseñarle las servilletas y dejar que él las escoja. No tienes ni que mirarlas, bastaría con enseñarselas de forma ordenada y fijarte en las que escoje para saber de que número se trata.

Facil, ¿no? Si quieres complicar el asunto puedes añadir un sexto digito (otra servilleta) y alargar tu capacidades adivinatorias hasta el 63, o dos servilletas y llegar hasta el 127.

Con esto y toque a lo Juan Tamariz triunfas seguro.

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¿Convertir Numero decimal con punto a binario Alguien me puede ayudaR?bueno lo que pasa aki es que thengo un numero decimal que es el 1.125

Pero la operacion comienza asi haz de cuenta que thengo los numero101101 Entre 101000 =

Seun yo thengo el 101101 = 45101000=40

Si los divido(45 Entre 40) estho me da ah = 1.25

Es correctho como lo inthentho dividir esthe numero binario?Sugerencias??no se como convertir con el punto... Graxias..

hace 2 años

RESPUESTA

Decimal (con decimales) a binario [editar]

Pra transformar un número del sistema decimal en sistema binario:

1. Se inicia por el lado izquierdo, multiplicando cada número por 2 (si la parte entera es mayor que 0 en binario será 1, y en caso contrario es 0)2. En caso de ser 1, en la siguiente división se utilizan sólo los decimales.3. Después de realizar cada multiplicación, se colocan los números obtenidos en el orden de su obtención.4. Algunos números se transforman en dígitos periódicos, por ejemplo: el 0,1

Ejemplo

0,3125 (decimal) => 0,0101 (binario).

Proceso:0,3125 x 2 = 0,625 => 00,625 x 2 = 1,25 => 10,25 x 2 = 0,5 => 00,5 x 2 = 1 => 1

En orden: 0101 -> 0,0101 (binario)

==================0===================CONVERSION DE BASE 10 A BASE 2,3,4,5,6,7, ETC……

Cómo puedo convertir una cantidad de base 10 a base 7?

Información adicional

hablo de sistemas de numeración:ej. sistema de numeración binario, es en base 2sistema decimal, en base 10

RESPUESTA:

Toma el numero y lo divides entre siete y vas eliminando los residuos hasta llegar al cero o a un número indivisible entre 7.Por ejemplo 546 base 10

546/7= 78 y sobra……….. 078/7= 11 y sobra ………….111/7= 1 y sobra………….. 4

como 4 no es divisible entonces tu nùmero en base 7 es 410. también puedes hacerlo para cualquier base, el método es el mismo.