IntroduoO conjunto dos nmeros naturais construdo pelos algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, sendo representados pela letra. = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} O conjunto dos nmeros naturais infinito pelo que, antes de se fecharem as chavetas, se colocam as reticncias.Embora o zero no seja um nmero natural, pois nenhuma contagem natural lhe d origem, iremos consider-lo como fazendo parte deste conjunto, visto possuir as mesmas propriedades algbricas dos restantes nmeros naturais. Ao incluirmos o zero neste conjunto, o seu smbolo ser alterado, passando a ser0, isto :0={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} Quando falamos de nmeros naturais, temos necessariamente de falar da suaconstruo, assim como das suas operaes deadio,multiplicaoedivisoe respectivas propriedades. Sendo este um conjunto muito vasto, vamos abordar tambm apotenciaode nmeros naturais, os seusmltiplosedivisorese osnmeros primos. Falaremos tambm domnimo mltiplo comume domximo divisor comume suarelao.Construo de Nmeros NaturaisTodo o nmero natural dado tem um sucessor, considerando tambm o zero.Exemplos: O sucessor de m m + 1 se, m um nmero natural. O sucessor de 5 6.Se um nmero natural sucessor de outro, ento os dois nmeros juntos so chamados nmeros consecutivos.Exemplos: 1 e 2 so nmeros consecutivos 12 e 13 so nmeros consecutivosVrios nmeros formam uma coleco de nmeros naturais consecutivos se o segundo sucessor do primeiro, o terceiro sucessor do segundo, o quarto sucessor do terceiro e assim sucessivamente.Exemplos: 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 so nmeros consecutivos 22, 23, 24, 25 e 26 so nmeros consecutivosPara todo o nmero natural dado, este tem um antecessor (nmero que vem antes do nmero dado), com a excepo do zero.Exemplos: O antecessor de m m - 1 se, m um nmero natural finito diferente de zero. O antecessor de 24 23.No conjunto dos nmeros naturais podemos distinguir subconjuntos, entre os quais se encontram oConjunto dos Nmeros Naturais Pares, que representado por= { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}e o Conjunto dos Nmeros Naturais mpares, representado porI = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} A Adio dos Nmeros NaturaisA primeira operao fundamental da Aritmtica, tem como finalidade reunir em um s nmero, todas as unidades de dois ou mais nmeros. As propriedades da adio so aassociatividade, acomutatividadee a existncia deelemento neutro.Propriedades da AdioAssociativaNo conjunto dos nmeros naturais, a adio associativa, pois de trs ou mais parcelas de nmeros naturais quaisquer possvel associar as parcelas de quaisquer modos, ou seja, com trs nmeros naturais, somando o primeiro com o segundo e ao resultado obtido somarmos um terceiro, obteremos um resultado que igual soma do primeiro com a soma do segundo e do terceiro.Exemplo: ( 2 + 3 ) + 4 = 2 + ( 3 + 4 ) = 9ComutativaNo conjunto dos nmeros naturais, a adio comutativa, pois a ordem das parcelas no altera a soma, ou seja, somando a primeira parcela com a segunda parcela, teremos o mesmo resultado que somando a segunda parcela com a primeira parcela. Exemplo: 2 + 6 = 6 + 2 = 8Elemento NeutroNa adio de nmeros naturais, existe o elemento neutro que o zero, pois tomando um nmero natural qualquer e somando com o elemento neutro (zero), o resultado ser o prprio nmero natural. Exemplo: 9 + 0 = 0 + 9 = 9A Multiplicao de Nmeros Naturais a operao que tem como objectivo adicionar o primeiro nmero designado pormultiplicandoou parcela, tantas vezes quantas so as unidades do segundo nmero designadomultiplicador.Por exemplo, 5 vezes 3 somar o nmero 3 cinco vezes:53 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 =15O resultado da multiplicao designadoprodutoe os nmeros dados que deram origem ao produto, so chamadosfactores. As propriedades da multiplicao so aassociatividade,comutatividade,distributividadee existncia deelemento neutro.Propriedades da MultiplicaoAssociativaNa multiplicao, podemos associar 3 ou mais factores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro factor com o segundo e depois multiplicarmos por um terceiro nmero natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar o terceiro pelo produto do primeiro pelo segundo.( m + n ) + l = m + ( n + l )Exemplo:( 24 )5 = 2( 45 ) = 40ComutativaNa multiplicao de dois nmeros naturais quaisquer, a ordem dos factores no altera o produto, ou seja, multiplicando o primeiro elemento pelo segundo elemento teremos o mesmo resultado que se multiplicarmos o segundo elemento pelo primeiro elemento, isto :mn = nm Exemplo: 25 = 52 = 10DistributivaMultiplicando um nmero natural pela soma de dois nmeros naturais, o mesmo que multiplicar o factor, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os resultados obtidos.m( n + l ) = mn + mlExemplo: 2( 3 + 5 ) = 23 + 25 = 6 + 10 = 16Elemento NeutroNo conjunto dos nmeros naturais existe um elemento neutro para a multiplicao que o 1. Qualquer que seja o nmero natural n, tem-se que:1n = n1 = nExemplo: 1x5 = 51 = 5A Diviso dos Nmeros NaturaisDados dois nmeros naturais. Para sabermos quantas vezes o segundo est contido no primeiro. O maior nmero, que sabemos ser o primeiro tem nome de dividendo e o outro nmero que o menor denominado divisor. O resultado obtido da diviso chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente vamos obter o dividendo. Na diviso dos nmeros naturais, algumas das propriedades verificadas para a adio e para a multiplicao no se verificam, como o caso do fechamento. A diviso no fechada, pois nem sempre possvel dividir um nmero natural por outro nmero natural e como resultado disto a diviso no exacta. Relaes essenciais numa diviso de nmeros naturaisNuma diviso de nmeros naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo.Exemplo: 357 = 5Numa diviso de nmeros naturais, o dividendo o produto do divisor pelo quociente.Exemplo:35 = 57A diviso de um nmero naturalnpor zero no em sentido pois, se admitssemos que o quociente fosseq, ento poderamos escrever:n0 = qe isto no significa que:n = 0q = 0o que no est correcto, logo a diviso de n por 0 no tem sentido ou ainda dita, muitas vezes, impossvel.Potenciao de Nmeros Naturais Dados dois nmeros naturaisxey, a expresso xy, representa um produto deyfactores iguais ao nmerox, ou seja:Xy= xxxxxxy vezesO nmero que se repete como factor tem o nome de base, que neste caso ox. O nmero de vezes que a base se repete denomina-se expoente, que neste caso y. O resultado obtido denominado por potncia.Exemplos:23= 222 = 8 43= 444 = 64Propriedades da PotenciaoUma potncia cuja base sempre igual a 1 e o expoente natural n, denotado por 1n, ser sempre igual a 1.Sen um nmero natural diferente de zero, ento a potncia n0ser sempre igual a 1.Qualquer que seja a potncia em que a base o nmero natural n e o expoente igual a 1, denota-se por n1e igual ao prprion.Toda a potncia 10n o nmero formado pelo algarismo 1 seguido de n zeros.Mltiplos de nmeros naturaisDiz-se que um nmero naturala mltiplo de outro naturalb, se existe um nmero naturalktal que:a = kbExemplos: 15 mltiplo de 5, pois 15 = 3 24 mltiplo de 4, pois 24 = 64Quando a = kb, temos que a mltiplo de b, mas tambm, a mltiplo de k.Quando a = kb, entoa mltiplo debe se conhecemosbe queremos obter todos os seus mltiplos, basta fazerkassumir todos os nmeros naturais possveis.O conjunto dos nmeros naturais infinito, assim sendo, existem infinitos mltiplos de qualquer nmero natural.Observao:Como estamos a considerar 0 como um nmero natural, ento o nmero zero ser mltiplo de todo o nmero natural. Tomando k = 0 em a = kb obtemos a = 0 para todobnatural.Divisores de nmeros NaturaisDiz-se que um nmero natural divisor do nmero naturala, sea mltiplo deb. Exemplo:3 divisor de 15, pois 15 = 35, logo 15 mltiplo de 3 e tambm mltiplo de 5.Um nmero natural tem uma quantidade finita de divisores.Os divisores de um nmero y tambm formam um conjunto finito. Observao:O nmero zero mltiplo de todo o nmero natural. Mas no divisor de nenhum nmero natural, excepto dele prprio.A diviso de zero por zero indeterminada, o que significa que pode existir uma situao em que ela passe a ter significado, no seguinte sentido:Se aceitarmos que0 0 = x 1 = xento tambm poderemos aceitar que o produto dos meios igual ao produto dos extremos nesta proporo e assim, temos:0x1 = 0xx = 0que no contraditrio e isto pode ser realizado para todo x real, razo pela qual a expresso da forma 0 0 dita indeterminada.Nmeros Primos Diz-se que um nmero primo quando for um nmero natural maior que 1 e admitir como nicos divisores ele prprio e a unidade.Primos entre si Dois nmeros naturais so primos entre si quando m.d.c. entre eles igual a um. Exemplo:16 no um nmero primo;21 no um nmero primomas 16 e 21 so primos entre si pois m.d.c.(16, 21) = 1Regra para Reconhecer se um Nmero ou no Primo Para se saber se um dado nmero primo, divide-se esse nmero pelos nmeros primos 2, 3, 5, 7, etc. Se alguma das divises der resto zero o nmero no primo. No se obtendo resto zero continuam-se as divises at que o quociente seja igual ou menor do que o divisor e de a diviso ainda der resto, conclui-se que o nmero dado primo.Exemplo:Vejamos que o nmero 607 primo.Aplicando as regras da divisibilidade por 2, 3 e 5 verifica-se que no divisvel por qualquer deles. Efectuando em seguida as divises pelos outros nmeros primos, tem-se: 607 | 7 607 |11 607 | 13 607 | 17 607| 19 607|23 607 | 294786 57 55 87 46 97 35 37 3114726 27 20 5 2 9 12 18 9 Chega-se ao quociente 20, menor do que o divisor (29) e a diviso continua a dar resto diferente de zero. Logo o nmero 607 nmero primo.Observao:Todo o nmero que no primo pode decompor-se num produto de factores primos.Exemplo:480 | 2240 | 2120 | 260 | 230 | 215 | 5 3 | 3 1 | 480 = 2222235 = 2535Mnimo Mltiplo ComumDiz-se que um nmerom mltiplo comum dos nmerosaebsem mltiplo deae tambm mltiplo deb, ou seja;m = kaem = wbondekewso nmeros naturais. Por definio, o Mnimo Mltiplo Comum (m.m.c.) de dois ou mais nmeros naturais o menor mltiplo comum a esses nmeros que diferente de zero.Mtodo para determinar o m.m.c.:Num papel faa um trao vertical, de forma a deixar um espao livre tanto direita como esquerda do trao. Do lado esquerdo do trao escreva os nmeros naturais a, b, c, ... como uma lista, para obtermos o m.m.c.(a, b, c, ...). Vamos tomar como exemplo, o 12, 22 e 28 do lado esquerdo do trao vertical e do lado direito do trao colocamos o menor nmero primo que divide algum dos nmeros da lista que est esquerda.12 22 28 | 2 | | | Dividimos todos os nmeros da lista da esquerda, que so mltiplos do nmero primo que est direita do trao, criando uma nova lista debaixo da lista anterior com os valores resultantes das divises (possveis) e com os nmeros que no foram divididos. 12 22 28 | 2 6 11 14| | | Repetimos a partir do passo 3 at que os valores da lista que est do lado esquerdo do trao se tornem todos iguais a um.12 22 28 |2 6 11 14 |2 3 11 7 |3 1 11 7 |7 1 11 1 |11 1 1 1|924O m.m.c. o produto de todos os nmeros primos que colocamos do lado direito do trao. Neste caso: m.m.c.(12, 22, 28) = 924Mximo Divisor Comum Para obtermos o mximo divisor comum devemos, introduzir o conceito de divisor comum a vrios nmeros naturais. Um nmerod divisor comum de outros dois nmeros naturaisaebse,ddivideaeddividebsimultaneamente. Assim:a = k1deb = k2dUm nmerod divisor de todos os seus mltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois nmeros finito, pois o conjunto dos divisores de um nmero finito. Denotamos o Mximo Divisor Comum entre dois nmeros naturais por m.d.c. Observao: Um nmero d divisor de todos os seu mltiplos. O conjunto dos divisores comuns de dois nmeros finito, pois o conjunto dos divisores de um nmero finito.Mtodo para determinar om.d.c.: De modo anlogo determinao do m.m.c.(a, b), tambm existe um procedimento prtico para determinar o m.d.c.(a, b) entre dois nmeros naturais. De forma a exemplificar este mtodo, determinemos o m.d.c. entre o nmeros 30 e 72.Comece por construir uma tabela com 3 linhas e algumas colunas, colocando os nmeros dados na linha do meio. Na primeira coluna coloque o maior deles e na segunda coluna o menor.

7230

Efectue a diviso do maior pelo menor colocando o quociente no espao sobre o nmero menor na primeira linha e o resta da diviso no espao logo abaixo do maior nmero na terceira linha.2

7230

12

Passe o resto da diviso para o espao localizado direita do menor nmero na linha central.2

723012

12

Realizamos agora a diviso do nmero 30, pelo resto obtido anteriormente que 12.Novamente, o quociente ser colocado sobre o nmero 12 e o resto da diviso ficar localizado abaixo do nmero 30.22

7230126

126

Realizando a diviso do nmero 12, pelo resto obtido anteriormente que 6, e esta ser a ltima diviso.Novamente, o quociente ser colocado sobre o nmero 6 e o resto da diviso ficar localizado abaixo do nmero 12.22

7230126

1260

Como o resto da diviso 0 (zero), o ltimo quociente encontrado representa o m.d.c. entre 30 e 72, denotamos por:m.d.c.(30, 72) = 6