o-net 58 (เฉลย)

เฉลย ขอสอบ O-NET วชาคณตศาสตร ม.6

(7 กมภาพนธ 2558)

พปง ธรพล พากเพยรกจ

วท.บ. (คณตศาสตร) (เกยรตนยม)

จฬาลงกรณมหาวทยาลย

O-NET 58

By PPING Faculty of Education in Mathematics Education Chulalongkorn University หนา 2

O-NET 58

ตอนท 1 แบบปรนย 5 ตวเลอก ขอละ 2.5 คะแนน

1. จงพจารณาเหตตอไปน

1) ทกคนทชอบกนผลไมจะชอบกนผก

2) ทกคนทชอบรสหวานจะชอบกนผลไม

3) ขาวไมชอบกนผก

4) ด าชอบกนผลไม

ผลสรปในขอใดตอไปนท าใหการอางเหตผลสมเหตสมผล

1. ขาวไมชอบรสหวาน 2. ขาวชอบกนผลไม 3. ด าชอบรสหวาน

4. ด าไมชอบรสหวาน 5. ด าไมชอบกนผก

วธท า เมอน าเหตทงหมดมาวาดแผนภาพเวนน – ออยเลอร จะสามารถวาดไดดงน

ผก ผลไม รสหวาน ด า ด า ขาว

จะเหนวาขาวไมชอบรสหวานจะเปนการอางเหตผลทสมเหตสมผล ตอบ ขอ 1.

O-NET 58


2. สวนทแรเงาของแผนภาพตอไปนไมใชเซตในขอใด

1. ( )A B C 2. ( )A B C 3. ( )A B C C

4. ( ) ( )A B B C 5. ( ) ( )B A C A B C

วธท า จะพบวา ( ) ( )B A C A B C แรเงาไดดงน

ตอบ ขอ 5.

3. ขอใดมทงจ านวนเตม, จ านวนตรรกยะ และจ านวนอตรรกยะ

1. 17.222..., 3,

7 2. 311, 8,2.555 3. 1

, , 9 12

4. 3,6.060060006..., 1000

5 5. 22 0.414, ,4.718

วธท า ขอ 1. 7.222... เปนจ านวนตรรกยะ และ 13,

7 เปนจ านวนอตรรกยะ

ขอ 2. 11 และ 3 8 2 เปนจ านวนเตม และ 2.555 เปนจ านวนตรรกยะ

ขอ 3. 1

2 เปนจ านวนตรรกยะ เปนจ านวนอตรรกยะ และ 9 1 2 เปนจ านวนเตม

ขอ 4. 3

5 เปนจ านวนตรรกยะ และ 6.060060006..., 1000 เปนจ านวนอตรรกยะ

ขอ 5. 22 0.414, เปนจ านวนอตรรกยะ และ 4.718 เปนจ านวนตรรกยะ ตอบ ขอ 3.

O-NET 58


4. พจารณาขอความตอไปน

(ก) ถา ,a bและ c เปนจ านวนจรงใดๆ และ a b c แลว ab bc

(ข) ถา a และ b เปนจ านวนอตรรกยะ และ a b แลว a

b เปนจ านวนอตรรกยะ

(ค) ถา a และ b เปนจ านวนจรงใดๆ แลว a b a b

ขอใดถก

1. (ก) และ (ข) ถก แต (ค) ผด 2. (ก) และ (ค) ถก แต (ข) ผด 3. (ข) ถก แต (ก) และ (ค) ผด

4. (ค) ถก แต (ก) และ (ข) ผด 5. (ก), (ข) และ (ค) ผด

วธท า (ก) ผด เลอก 1, 0a b และ 1c จะไดวา 1 0 0 1

(ข) ผด เลอก 2a และ 2b จะได 21

2

เปนจ านวนตรรกยะ

(ค) ถก จาก a b a b

2 2

a b a b

2 2 2

2a a b b a b

2 2 2 22 2a ab b a ab b

ab ab ตอบ ขอ 4.

หมายเหต 2 2a a และ ab a b

5. ถา a เปนจ านวนจรงบวก แลว 3 3a a เทากบเทาใด

1. 1

9a 2. 2

9a 3. 4

9a 4. 5

9a 5. 7

9a

วธท า 1 1

1 4 43 33 3 3 3 9a a a a a a

ตอบ ขอ 3.

O-NET 58


6. ให 23

322 , 3A B และ 1

6216C ขอใดถก

1. A B C 2. A C B 3. B A C

4. B C A 5. C B A

วธท า ขอนจะยกก าลง 6 ทงหมดนะครบ เพอใหค าตอบเปนจ านวนเตม จะไดเปรยบเทยบไดงายขน

จะได 6

3

922 2 512A

6

2

433 3 81B

6

1

6216 216C

เพราะฉะนน 61 216 512 นนคอ B C A ตอบ ขอ 4.

7. คาของ 5 24 18 12 อยในชวงใดตอไปน

1. (2.2,2.3) 2. (2.3,2.4) 3. (2.4,2.5)

4. (2.5,2.6) 5. (2.6,2.7)

วธท า 5 24 18 12 5 2 6 3 2 2 3

3 2 3 2 2 3

3 3 2 2

3 1.732 2 1.414

5.196 2.828

2.368 ตอบ ขอ 2.

หมายเหต 2a b x y โดยท x y ส าหรบเครองหมายลบ

O-NET 58


8. ถา 3 2

3 2a

แลว 2

2

1a

a มคาเทาใด

1. 10 2. 20 6 3. 40 6 4. 49 5. 98

วธท า 3 2 3 2

3 2 3 2a

3 2 6 2

3 2

5 2 6

2

2 5 2 6a

25 20 6 24

49 20 6

2

1 1 49 20 6

49 20 6 49 20 6a

49 20 6

2401 2400

49 20 6

ดงนน 2

2

149 20 6 49 20 6 98a

a ตอบ ขอ 5.

หมายเหต ถามใครสงเกตเหนวา 2

2

2

1 12a a

a a

จะท าใหคดงายขนมากเลยครบ

จาก 5 2 6a

และ 1 3 2 3 25 2 6

3 2 3 2a

ดงนน 2

22 2

2

1 12 5 2 6 5 2 6 2 10 2 100 2 98a a

a a

O-NET 58


4

3

3

9. ก าหนดให 2| 3 5 12 0A x x x และ 1 2| 0

1B x

x x

A B มสมาชกทเปนจ านวนเตมกตว

1. 0 2. 1 3. 2 4. 3 5. 4

วธท า พจารณาเซต A

จาก 23 5 12 0x x

จะได (3 4)( 3) 0x x

ดงนน 2, 1,0,1A

พจารณาเซต B

จาก 1 20

1x x

จะได 2( 1)0

( 1)

x x

x x

2

0( 1)

x

x x

ดงนน ..., 2, 1,2B

จะไดวา 0,1A B นนคอมสมาชกทเปนจ านวนเตม 2 ตว ตอบ ขอ 3.

0 1 2

O-NET 58


10. ให I เซตของจ านวนเตม ถา A x x I และ 2 7x

และ B x x I และ 1 2x แลว ขอใดถก

1. A B มสมาชก 12 ตว

2. สมาชกของ A B ทเปนจ านวนคและเปนบวกม 3 ตว

3. สมาชกของ A B ทเปนจ านวนเฉพาะทมคามากทสดคอ 5

4. สมาชกของ A B ทมคานอยทสดคอ -4

5. ผลบวกของสมาชกทกตวของ A B มคาเทากบ 35

วธท า พจารณาเซต A

จาก 2 7x

จะได 7 2 7x

5 9x

ดงนน 5, 4, 3,...,9A

พจารณาเซต B

จาก 1 2x

จะได 1 2x หรอ 1 2x

1x หรอ 3x

ดงนน 5, 4,2,3,4,...B

จะไดวา 5, 4,2,3,4,5,6,7,8,9A B

ขอ 1. ผด เพราะ A B มสมาชก 10 ตว

ขอ 2. ผด เพราะ สมาชกของ A B ทเปนจ านวนคและเปนบวกม 4 ตว

ขอ 3. ผด เพราะ สมาชกของ A B ทเปนจ านวนเฉพาะทมคามากทสดคอ 7

ขอ 4. ผด เพราะ สมาชกของ A B ทมคานอยทสดคอ -5

ขอ 5. ถก เพราะ ผลบวกของสมาชกทกตวของ A B มคาเทากบ

5 4 2 3 4 5 6 7 8 9 35 ตอบ ขอ 5.

O-NET 58


11. ถาความสมพนธ 1 , 3 0r x y x y

และความสมพนธ 2 , 0r x y x y

แลวกราฟของความสมพนธ 1 2r r คอขอใด

1. 2. 3.

4. 5.

วธท า พจารณาความสมพนธ 1r

จาก 3 0x y

จะได 3x y

วาดกราฟไดดงน

พจารณาความสมพนธ 2r

จาก 0x y

วาดกราฟไดดงน

ดงนนกราฟของความสมพนธ 1 2r r คอ

ตอบ ขอ 1.

หมายเหต ถาขอนเราลองสมจด 1,0 ทอยในบรเวณแรเงาขอ 1. เพยงขอเดยว จะพบวาท าใหอสมการ

ในความสมพนธ 1r และ 2r เปนจรง ดงนนตอบ ขอ 1. ไดเลย

x

y

3

3

x

y

3

3

x

y

3

3

O-NET 58


1 1 2 3 4 5x

2

4

6

y

12. ก าหนดให 2( ) 4 5f x x x ขอใดผด

1. กราฟของ f เปนพาราโบลาหงาย 2. กราฟของ f ตดแกน Y ทจด (0,5)

3. ( ) 5f x เมอ 1 4x 4. เรนจของ f คอ y y และ 1y

5. จดวกกลบของกราฟคอ (5,1)

วธท า จาก 2( ) 4 5f x x x

2 4 4 1x x

นนคอ 2

( ) 1 2f x x

เปนพาราโบลาหงาย มจดวกกลบอยทจด 2,1 จะเหนวาขอ 5. ผด แตเราจะมาลองดกราฟเพอจะไดรวาขอ

อนนนถกอยางไร

ขอ 1. ถก เพราะ กราฟของ f เปนพาราโบลาหงาย

ขอ 2. ถก เพราะ การหาจดตดแกน Y คอ แทนคา 0x ใน ( )f x จะได 5y นนคอ จด (0,5)

ขอ 3. ถก เพราะ (4) 5f และเมอดจากกราฟ จะเหนวา เมอ 1 4x คาของ ( ) 5f x

ขอ 4. ถก เพราะ เมอดจากกราฟคาของ y ทเปนไปไดคอ 1y ตอบ ขอ 5.

หมายเหต หากใครอยากใชสตรกไดครบ

พาราโบลาจะมจดวกกลบอยทจด 24

,2 4

b ac b

a a

ซง 2( ) 4 5f x x x จะม 1, 4a b และ 5c

ดงนน จดวกกลบคอ

24 4 1 5 4

, 2,12 1 4 1

2,1

O-NET 58


หรอใครจะใชความรแคลคลสกได

จาก 2( ) 4 5f x x x

จะได ( ) 2 4f x x

0 2 4x

นนคอ 2x

แทนคา 2

2 2 4 2 5 1f

เพราะฉะนน จดวกกลบคอ 2,1

13. กราฟของฟงกชนในขอใดตอไปน ตดแกน X เพยงจดเดยว

1. ( ) 1f x x 2. ( ) 1 1f x x 3. 2( ) 2f x x

4. 2( ) 6f x x x 5. 2( ) 4 12 9f x x x

วธท า จากโจทย กราฟตดแกน X เพยงจดเดยว แสดงวา หากแทน ( ) 0y f x จะไดคา x เพยง 1 คา

ขอ 1. ( ) 1f x x เมอ ( ) 0f x จะไมสามารถหาคา x ได นนคอไมมจดตดแกน X

ขอ 2. ( ) 1 1f x x เมอ ( ) 0f x จะได 0,2x นนคอจดตดแกน X คอ (0,0), (2,0)

ขอ 3. 2( ) 2f x x เมอ ( ) 0f x จะได 2, 2x นนคอจดตดแกน X คอ ( 2,0),( 2,0)

ขอ 4. 2( ) 6 ( 3)( 2)f x x x x x

เมอ ( ) 0f x จะได 2,3x นนคอจดตดแกน X คอ ( 2,0), (3,0)

ขอ 5. 22( ) 4 12 9 2 3f x x x x

เมอ ( ) 0f x จะได 3

2x นนคอจดตดแกน X คอ 3

,02

ตอบ ขอ 5.

O-NET 58


14. ก าหนดรปสามเหลยมมมฉาก ABC ซงมมม ˆ 90C และมมม ˆˆ 2B A ถา 4 3AC แลว AB BC เทากบเทาใด

1. 10 2 2. 12 3. 10 3 4. 13 5. 16

วธท า เรารวา ˆ ˆˆ 180A B C (ผลบวกมมภายในสามเหลยม)

จาก ˆ 90C และมมม ˆˆ 2B A

จะได ˆ ˆ2 90 180A A

นนคอ ˆ 30A และ ˆ 60B

จาก 4 3cos30

AB

จะได 3 4 3

2 AB

นนคอ 8AB

จาก tan304 3

BC

จะได 1

3 4 3

BC

นนคอ 4BC

ดงนน 8 4 12AB BC ตอบ ขอ 2.

15. ก าหนดรปสามเหลยม ABC ซงมมม ˆ 30B และมมม ˆ 60C ให D เปนจดบนดาน BC โดยท AD ตงฉากกบ BC ถา CD ยาว 3 หนวย แลว BD ยาวกหนวย

1. 6 2. 6 2 3. 6 3 4. 9 5. 9 3

วธท า

B

AC

30

60

4 3

BA

C

30

60D

3

O-NET 58


พจารณาสามเหลยม ADC

จาก 3cos60

AC

จะได 1 3

2 AC

นนคอ 6AC

พจารณาสามเหลยม ABC

จาก sin30AC

BC

จะได 1 6

2 BC

นนคอ 12BC

ดงนน 12 3 9BD ตอบ ขอ 4.

16. ชายคนหนงเหนยอดตกแหงหนงดวยมมเงย 45 เมอชายคนนเดนเขาไปใกลตกอก 10 เมตร เขาจะมองเหนยอด ตกดวยมมเงย 60ตกหลงนมความสงใกลเคยงกบคาในขอใดทสด

1. 25 เมตร 2. 30 เมตร 3. 35 เมตร 4. 40 เมตร 5. 45 เมตร

วธท า จาก tan 6010

x

x

10 3 3 1

3 1 3 1x

310

x

x

5 3 3 1

3 10 3x x 15 5 3

3 10 3x x จาก 3 1.7

3 1 10 3x จะได 15 5 1.7x

10 3

3 1x

23.5

ตอบ ขอ 1. หมายเหต สามเหลยมทมมมภายในคอ 45 ,45 และ 90 คอสามเหลยมหนาจว

45 60

x

10 10x

x

45

O-NET 58


17. ชายสองคนยนอยทปลายคนละดานของสะพานซงทอดตวในแนวราบ ขามหบเหวแหงหนงซงลกลงไป 50 3 เมตร ถาทงสองคนกมมองจดเดยวกนทกนเหว โดยคนหนงท ามมกม 30 และอกคนหนงมอง ท ามมกม 45 เขายนหางกนเปนระยะทางใกลเคยงกบคาในขอใดทสด

1. 235 เมตร 2. 240 เมตร 3. 245 เมตร 4. 250 เมตร 5. 255 เมตร

วธท า จาก tan 6010

x

x

1 50 3

3 x

150x

ดงนนเขายนหางกน 150 50 3 150 50 1.7 235 เมตร ตอบ ขอ 1.

18. ถา A เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนตรง 3 2 7,x y เสนตรง 7 3 1x y และ แกน Y แลวพนทของ A เทากบกตารางหนวย

1. 11

6 2. 23

6 3. 16

7 4. 23

12 5. 46

21

วธท า 3 2 7 (1)x y วาดอาณาบรเวณ A ไดดงน

7 3 1 (2)x y

(1) 3;9 6 21 (3)x y

(2) 2;14 6 2 (4)x y

(3) (4);23 23x

1x แทน (1)

3 1 2 7y

นนคอ 2y พนทของ A คอ 1 7 1 231

2 2 3 12

ตอบ ขอ 4.

45

4530

30

50 3 50 3

50 3x

7 3 1x y

3 2 7x y

7

2

1

3

(1,2)

O-NET 58


19. กลองรปสเหลยมมมฉากไมมฝาปดใบหนงมความจ 126 ลกบาศกฟต ถาเสนรอบฐานของกลองยาว 20 ฟต และกลองสง 6 ฟต แลวพนทผวของกลองเทากบกตารางฟต

1. 120 2. 141 3. 146 4. 154 5. 162

วธท า จาก ปรมาตรของปรซม = พนทฐาน ความสง

จะได 126 พนทฐาน 6

21 พนทฐาน

จาก พนทผวขางของปรซม = ความยาวเสนรอบฐาน ความสง

20 6

120

ดงนน พนทผวของกลองคอ 21 120 141 ตารางฟต ตอบ ขอ 2.

20. บรษท เทยวทวไทย จ ากด ตองการจดน าเทยวส าหรบกลมนกทองเทยวไมเกน 40 คน โดยมคาเชารถ 10,000 บาท และคาใชจายอนๆ 250 บาทตอคน ถาบรษทคดคาบรการคนละ 600 บาท แลว จะตองม นกทองเทยวอยางนอยทสดกคนบรษทจงจะมก าไรไมนอยกวา 2,000 บาท

1. 34 2. 35 3. 36 4. 37 5. 38

วธท า ใหมนกทองเทยว x คน

จาก ก าไร = ราคาขาย – ราคาทน

600 (250 10000)x x

บรษทตองการก าไรไมนอยกวา 2,000 บาท

จะได 600 (250 10000) 2000x x

350 10000 2000x

12000

350x

34.3...x

ดงนน จะตองมนกทองเทยวอยางนอยทสด 35 คน ตอบ ขอ 2.

O-NET 58


21. ถา 1 2 3, , ,...a a a เปนล าดบเรขาคณต แลวขอใดผด

1. 1 2 35 ,5 ,5 ,...a a a เปนล าดบเรขาคณต

2. 2 2 2

1 2 3, , ,...a a a เปนล าดบเรขาคณต

3. 2 2

1 2 3, , ,...a a a เปนล าดบเรขาคณต

4. 1 2 2 3 3 4, , ,...a a a a a a เปนล าดบเรขาคณต

5. 31 2

2 3 4

, , ,...aa a

a a a เปนล าดบเรขาคณต

วธท า ล าดบเรขาคณต คอ ล าดบทมอตราสวนรวมเทากน

จาก 1

1

n

na a r

เราจะแทน 2 3

2 1 3 1 4 1, ,a a r a a r a a r และ 3

4 1a a r

ขอ 1. จะเหนวา

2

11

1 1

55

5 5

a ra r

a a r ดงนน เปนล าดบเรขาคณต


22 2

11

22

1 1

a ra r

a a r ดงนน เปนล าดบเรขาคณต


32 2

11

2

1 1

a ra r

a a r ดงนน ไมเปนล าดบเรขาคณต


2 2 3

1 1 1 1

21 1 1 1

a r a r a r a r

a a r a r a r ดงนน เปนล าดบเรขาคณต


2

1 1

2 3

1 1

1 1

2

1 1

a r a r

a r a r

a a r

a r a r

ดงนน เปนล าดบเรขาคณต ตอบ ขอ 3.

หมายเหต นองสามารถแทนเลขได โดยนกถงล าดบเรขาคณตทชอบ เชน 1, 2, 4, 8,….

O-NET 58


22. ถา 2 1

3 2

n

nan

แลวขอใดผด

1. 1 1a 2. 2

3

4a 3. 3 1a

4. 4

7

10a 5.

5

31

13a

วธท า

1

1

2 1 11

3 1 2 1a

ถก

2

2

2 1 3

3 2 2 4a

ถก

3

3

2 1 71

3 3 2 7a

ถก

4

4

2 1 15 3

3 4 2 10 2a

ผด

5

5

2 1 31

3 5 2 13a

ถก ตอบ ขอ 4.

23. ถา na เปนพจนทวไปของล าดบซงม 5 9a และ 1 2n na a แลว 11a เทากบเทาใด

1. 5 2. 3 3. 1 4. 1 5. 3

วธท า 6 5 2 9 2 7a a

7 6 2 7 2 5a a

8 7 2 5 2 3a a

9 8 2 3 2 1a a

10 9 2 1 2 1a a

11 10 2 1 2 3a a ตอบ ขอ 2.

หมายเหต จาก 1 2n na a จะได 1 2n na a นนคอ 2d

จาก 1 ( 1)na a n d และ 5 9a จะได 19 4( 2)a นนคอ 1 17a

ดงนน 11 1 10 17 10( 2) 3a a d

O-NET 58


24. ถาอนกรมเลขคณตมผลบวก 9 พจนแรกเปน 261 และพจนท 9 ของอนกรมนคอ 61 แลวผลบวก 4 พจนแรก ของอนกรมนมคาเทาใด

1. 21 2. 27 3. 32 4. 36 5. 39

วธท า จาก 12

n n

nS a a

จะได 9 1

961

2S a

1

9261 61

2a

158 61a

นนคอ 13 a

จาก 1 ( 1)na a n d

จะได 9 3 8a d

61 3 8d

64 8d

นนคอ 8 d

จาก 12 12

n

nS a n d

จะได 4

42( 3) 3 (8)

2S

2 6 24

36 ตอบ ขอ 4.

O-NET 58


25. พจารณาล าดบของรปสเหลยมจตรสทมดานยาวดานละ 1 หนวยตอไปน

พนทของบรเวณแรเงาในรปท 10 มคาเทากบกตารางหนวย

1. 1

100 2. 1

256 3. 1

512 4. 1

1000 5. 1

1024

วธท า จากรปจะเหนวา พนทแรเงาเปน 1 1 11, , , ,...

2 4 8 ตามล าดบ

(ลองเลอนพนทแรเงาขนไปแถวบนสดจะเตมแถวพอด)

ซงเปนล าดบเรขาคณตม 1 1a และ 1

2r

จาก 1

1

n

na a r

จะได 9

10

1 11

2 512a

ตอบ ขอ 3.

26. เดกชายคนหนงตองการออมเงนเพอซอรถจกรยานราคา 1,700 บาท โดยเกบเงนเดอนละ 100 บาท และพอ สญญาวาจะสมทบเงนใหทกเดอน เรมเดอนแรก 10 บาท และเดอนทสองให 20 บาท เดอนทสามให 30 บาท และสมทบเงนใหมากขนทกเดอนๆ ละ 10 บาท เขาตองออมเงนอยางนอยกเดอนจงจะมเงนมากพอซอ รถจกรยาน

1. 10 2. 11 3. 12 4. 13 5. 14

วธท า การออมเงนจะไดเปนล าดบดงน 110,120,130,...

จาก 12 12

n

nS a n d จะเหนวาเมอ 11n จะได

2 110 1 10 17002

nn 5 11 11 21 1700

10 210 17002

nn 1760 1700

5 21 1700n n ตอบ ขอ 2.

O-NET 58


27. มถนน 2 สายทเชอมระหวางบานของสมชายกบโรงเรยนของเขา ถาความนาจะเปนทสมชายเดนทางไปโรงเรยน โดยใชถนนสายท 1 มคาเทากบ 0.7 และความนาจะเปนทสมชายเดนทางกลบจากโรงเรยนโดยใชถนนสายท 2 มคาเทากบ 0.6 แลว ความนาจะเปนทเขาจะเดนทางไปและกลบระหวางบานกบโรงเรยนโดยใชถนนสายเดยวกน เทากบเทาใด

1. 0.46 2. 0.40 3. 0.28 4. 0.18 5. 0.12

วธท า จาก ความนาจะเปนทสมชายเดนทางไปโรงเรยนโดยใชถนนสายท 1 มคาเทากบ 0.7

จะได ความนาจะเปนทสมชายเดนทางไปโรงเรยนโดยใชถนนสายท 2 มคาเทากบ 0.3

จาก ความนาจะเปนทสมชายเดนทางกลบจากโรงเรยนโดยใชถนนสายท 2 มคาเทากบ 0.6

จะได ความนาจะเปนทสมชายเดนทางกลบจากโรงเรยนโดยใชถนนสายท 1 มคาเทากบ 0.4

กรณท 1 สมชายเดนทางไปและกลบระหวางบานกบโรงเรยนโดยใชถนนสายท 1

จะไดความนาจะเปนคอ 0.7 0.4 0.28

กรณท 2 สมชายเดนทางไปและกลบระหวางบานกบโรงเรยนโดยใชถนนสายท 2

จะไดความนาจะเปนคอ 0.3 0.6 0.18

ดงนน ความนาจะเปนทสมชายจะเดนทางไปและกลบระหวางบานกบโรงเรยนโดยใชถนนสายเดยวกน คอ 0.28 0.18 0.46 ตอบ ขอ 1.

28. ตบรรจลกบอลสเขยว สเหลอง และสแดง มจ านวนลกบอลเปนอตราสวนดงน สเขยว : สเหลอง เทากบ 4 : 7 และ สเหลอง : สแดง เทากบ 3 : 4 ถาสมหยบลกบอลมาหนงลกจากตนแลว ความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอล สเหลองเทากบเทาใด

1. 1

3 2. 2

5 3. 5

9 4. 10

13 5. 21

61

วธท า เขยว : เหลอง : แดง จะไดวาลกบอลสเหลองม 21 สวน 4 : 7 ลกบอลทงหมดม 12 + 21 + 28 = 61 สวน

3 : 4 ความนาจะเปนทจะหยบไดลกบอลสเหลองคอ 21

61

12 : 21 21 : 28 นนคอ 12 : 21 : 28 ตอบ ขอ 5.

O-NET 58


29. ขอใดถก

1. ขอมลทจะวดคากลางไดตองเปนขอมลเชงปรมาณเทานน

2. กรณทขอมลมจ านวนนอยควรใชฐานนยมเปนคากลางเพราะสามารถนบความถไดสะดวก

3. คาเฉลยเลขคณตเปนคากลางทไมเหมาะสมกบขอมลทมบางคาต ากวาขอมลอนๆ มาก

4. เนองจากมธยฐานคอคาของขอมลทอยกงกลางของขอมลทงชด ดงนนมธยฐานจงใชเฉพาะกรณทขอมลม จ านวนขอมลทเปนจ านวนคเทานน

5. คากลางของขอมลทแจกแจงความถแลวมความถกตองแนนอนมากกวาคากลางของขอมลชดเดยวกนทยง ไมไดแจกแจงความถ

วธท า ขอ 1. ผด เพราะ ขอมลเชงคณภาพสามารถหาคากลางไดโดยใชฐานนยม

ขอ 2. ผด เพราะ ไมใชขอจ ากดของการเลอกใชคากลาง ขอมลทจ านวนมากสามารถใชฐานนยมได

ขอ 3. ถก เพราะ เปนขอจ ากดของการเลอกใชคาเฉลยเลขคณต

ขอ 4. ผด เพราะ จ านวนขอมลทเปนเลขคสามารถใชมธยฐานได

ขอ 5. ผด เพราะ คากลางของขอมลทไมไดแจกแจงความถมความถกตองแนนอนมากกวา ตอบ ขอ 3.

30. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนกลมหนง เปนดงตารางแจกแจงความถ

คะแนน ความถ

20 – 29 7

30 – 39 10

40 – 49 6

50 – 59 7

60 – 69 6

70 – 79 8

80 – 89 6

คาเฉลยของคะแนนสอบนเปนเทาใด

1. 43.6 2. 49.2 3. 52.1 4. 53.1 5. 54.3

O-NET 58


วธท า

คะแนน ความถ if จดกงกลางชน ix

20 – 29 7 24.5

30 – 39 10 34.5

40 – 49 6 44.5

50 – 59 7 54.5

60 – 69 6 64.5

70 – 79 8 74.5

80 – 89 6 84.5

จากสตร 1

k

i i

i

f x

xN

7(24.5) 10(34.5) 6(44.5) 7(54.5) 6(64.5) 8(74.5) 6(84.5)

50

2655

50

53.1 ตอบ ขอ 4.

หมายเหต ขอนจะเหนวาเลขคอนขางเยอะ โอกาสคดเลขผดมมาก เพราะฉะนนเราจะท าการลดทอนขอมล

คะแนน ความถ if จดกงกลางชน ix id i if d

20 – 29 7 24.5 -3 -21

30 – 39 10 34.5 -2 -20

40 – 49 6 44.5 -1 -6

50 – 59 7 54.5 0 0

60 – 69 6 64.5 1 6

70 – 79 8 74.5 2 16

80 – 89 6 84.5 3 18

O-NET 58


จากสตร 1

k

i i

i

f d

x A IN

( 21) ( 20) ( 6) 0 6 16 18

54.5 1050

7

54.5 1050

53.1 เมอ A คอ จดกงกลางชน ของชนทให 0d I คอ ความกวางของอนตรภาคชน d คอ ตวเลขทเราสมมตมา จะสมมตเลขอะไรกได แตนยม ใหเลขเรยงกน กระจายลบกบบวก เทาๆกนและใหชนตรงกลาง ม 0d

31. ขอมลสองชดเปนดงน ชดท 1 : 1 3 3 6 8 9

ชดท 2 : 2 3 4 5 5 5

ขอใดผด

1. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 มากกวาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2 อย 0.5

2. ขอมลทงสองชดมมธยฐานเทากน

3. ฐานนยมของขอมลสองชดนตางกนอย 2

4. คาเฉลยเลขคณตรวมของขอมลสองชดนเทากบ 4.5

5. คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 เทากบฐานนยมของขอมลชดท 2

วธท า ชดท 1 คาเฉลยเลขคณต คอ 1

1 3 3 6 8 95

6x

มธยฐานคอ 3 64.5

2

ฐานนยมคอ 3

O-NET 58


ชดท 2 คาเฉลยเลขคณต คอ 2

2 3 4 5 5 54

6x

มธยฐานคอ 4 54.5

2

ฐานนยมคอ 5

ขอ 1. ผด เพราะ คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 มากกวาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 2 อย 1

ขอ 2. ถก เพราะ ขอมลทงสองชดมมธยฐานเทากน คอ 4.5

ขอ 3. ถก เพราะ ฐานนยมของขอมลสองชดนตางกนอย 5 3 2

ขอ 4. ถก เพราะ คาเฉลยเลขคณตรวม 1 1 2 2

1 2

N x N x

N N

6 5 6 4

6 6

4.5

ขอ 5. ถก เพราะ คาเฉลยเลขคณตของขอมลชดท 1 เทากบฐานนยมของขอมลชดท 2 นนคอ 5 ตอบ ขอ 1.

32. โรงเรยนแหงหนงมชน ม.6 อยสองหองคอ 6/1 และ 6/2 ซงมจ านวนนกเรยน 52 และ 48 คน ตามล าดบ ถา คะแนนสอบของนกเรยน ม.6 ทงสองหองมคาเฉลยเลขคณตเทากน และมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 2 และ 1.5 ตามล าดบ แลวสวนเบยงเบนมาตรฐานของคะแนนสอบของชน ม.6 เทากบเทาใด

1. 3.12 2. 3.14 3. 3.16 4. 1.75 5. 1.76


2 211

1

. .

n

i

i

x

S D xN

จาก 2

2 212

2

. .

n

i

i

x

S D xN

จะได

522

2 21252

i

i

x

x

จะได

482

2 211.548

i

i

x

x

522

2 1452

i

i

x

x

482

2 12.2548

i

i

x

x

52

2 2

1

208 52 i

i

x x

48

2 2

1

108 48 i

i

x x

O-NET 58


จะไดสวนเบยงเบนมาตรฐานรวมคอ 2

21. .

n

i

i

x

S D xN

2 2

2208 52 108 48

. .100

x xS D x

316

100

3.16 ตอบ ขอ 3.

หมายเหต สามารถใชสตรความแปรปรวนรวมไดคอ

2. .S D2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 2

. . . . ( ) ( )N S D N S D N x x N x x

N N

ซงขอนคาเฉลยเลขคณตทงสองหองเทากน

จะได 2. .S D2 2

1 1 2 2

1 2

. . . .N S D N S D

N N

2 252 2 48 1.5

52 48

208 108

100

3.16

ดงนน . . 3.16S D

O-NET 58


ตอนท 2 แบบเตมค าตอบ ขอละ 2.5 คะแนน

33. รานคาแหงหนงสงซอสนคา A และ B จากผผลต โดยสงซอ 2 ครง ดงน

A (ชน) B (ชน) รวมเปนเงน (บาท)

ครงท 1 3 4 320

ครงท 2 2 3 230

ถาครงตอไปสงซอสนคา A และ B อยางละ 1 ชน จะตองจายเงนกบาท

วธท า ให สนคา A ราคาชนละ x บาท

สนคา B ราคาชนละ y บาท

จะได 3 4 320 (1)x y

2 3 230 (2)x y

(1) 2;6 8 640 (3)x y

(2) 3;6 9 690 (4)x y

(4) (3); 50y แทน (1)

จะได 3 4 50 320x

3 120x

นนคอ 40x

จะได สนคา A ราคาชนละ 40 บาท และ สนคา B ราคาชนละ 50 บาท

ดงนน ถาสงซอสนคา A และ B อยางละ 1 ชน จะตองจายเงน 40 50 90 บาท ตอบ 90

O-NET 58


3

A B

C

180U

34. จากการสอบถามนกเรยนชน ม.6 ทเรยนสายวทยาศาสตรจ านวน 180 คน พบวา

ม 83 คน ชอบเคม ม 23 คน ชอบทงเคมและฟสกส

ม 68 คน ชอบฟสกส ม 22 คน ชอบทงฟสกสและชววทยา

ม 84 คน ชอบชววทยา ม 25 คน ชอบทงเคมและชววทยา

และม 3 คน ไมชอบวชาใดเลยในสามวชาน

ดงนนมนกเรยนกคนทชอบเคมแตไมชอบฟสกสและชววทยา

วธท า ให A คอ เซตชอบเคม B คอ เซตชอบฟสกส

C คอ เซตชอบชววทยา x คอ เซต A B C

จาก 3 คน ไมชอบวชาใดเลย จะไดวา ( ) 180 3 177n A B C

จาก ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C

177 83 68 84 23 22 25 x

12x

น าขอมลทไดมาใสในแผนภาพ โดยโจทยตองการนกเรยนทชอบเคมแตไมชอบฟสกสและชววทยา นนคอ ( )n A B C จะไดบรเวณทแรเงาดงน

เพราะฉะนน นกเรยนทชอบเคมแตไมชอบฟสกสและชววทยาคอ 83 12 71 ตอบ 71

หมายเหต นกเรยนทชอบเคมแตไมชอบฟสกสและชววทยา คนละความหมายกบชอบเคมเพยงอยางเดยว นะครบ นกเรยนทชอบเคมแตไมชอบฟสกสและชววทยา อาจจะชอบเคมและฟสกส หรอชอบเคม และชววทยา หรอชอบเคมเพยงอยางเดยว

12

O-NET 58


35. ถา x และ y เปนจ านวนจรงซง 2

2 16x และ 3 y x แลว คาทมากทสดทเปนไปไดของ xy เทากบเทาใด


2 16x

2 42 2x

จะได 2 4x

นนคอ 2x

จะไดวา 3 2y หรอ 3 2y ซงจรงๆแลวกคอ 3 2y เพราะครอบคลม 3 2y

จะเหนวา xy จะมคาทมากทสด เมอ 2x และ 3y (ถาคาบวกทงคจะนอยกวาคาน)

ดงนน ( 2)( 3) 6xy ตอบ 6

36. ถา na เปนพจนทวไปของล าดบซงม 3 4a และ 1n na a n แลว 1 7a a เทากบเทาใด

วธท า จาก 3 4a และ 1n na a n

จะได 3 2 2a a 24 2a 2 2a

2 1 1a a 12 1a 1 1a

4 3 3a a 4 4 3a 4 7a

5 4 4a a 5 7 4a 5 11a

6 5 5a a 6 11 5a 6 16a

7 6 6a a 7 16 6a 7 22a

ดงนน 1 7 1 22 23a a ตอบ 23

O-NET 58


37. ถา 1 2 3, , ,...a a a เปนล าดบเรขาคณตซงม 1 2a และ 4

1

4a แลว

1 2 3 10

1 1 1 1...

a a a a เทากบเทาใด


1

n

na a r

จะได 3

4 (2)a r

31(2)

4r

31

8r

1

2r

จาก 1 2 3, , ,...a a a เปนล าดบเรขาคณต ทม 1 2a และ 1

2r

จะไดวา 1 2 3

1 1 1, , ,...

a a aเปนล าดบเรขาคณต ทม

1

1

2a และ 2r

ดงนน 1 2 3 10

1 1 1 1 1... 1 2 ... 256

2a a a a

จาก 1

1

nn

a r aS

r

จะได 10

1256(2)

2

2 1S

512 0.5

511.5 ตอบ 511.5

O-NET 58


38. ผลการส ารวจขนาดของเสอยดส าหรบนกเรยนชน ม.6 จ านวน 250 คน เปนดงน

ขนาด จ านวนนกเรยน (คน)

S 28

M 96

L 73

XL 39

XXL 14

รวม 250

ถาสมเลอกนกเรยนกลมนมา 1 คน ความนาจะเปนทนกเรยนคนนจะสวมเสอยดขนาด M หรอ XL เทากบเทาใด

วธท า ความนาจะเปนทนกเรยนคนนจะสวมเสอยดขนาด M คอ 96

250

ความนาจะเปนทนกเรยนคนนจะสวมเสอยดขนาด XL คอ 39

250

ดงนน ความนาจะเปนทนกเรยนคนนจะสวมเสอยดขนาด M หรอ XL คอ 96 39 1350.54

250 250 250

ตอบ 0.54

39. ขอมลชดหนงเรยงจากนอยไปหามากดงน a 11 15 18 25 b 36 41 47 53 ถาขอมลชดนมมธยฐานเทากบ 28 และคาเฉลยเลขคณตเทากบ 28.5 แลว พสยของขอมลชดนทากบเทาใด

วธท า ต าแหนงมธยฐาน คอ 10 15.5

2

จากคาเฉลยเลขคณตเทากบ 28.5

จากมธยฐานเทากบ 28 จะได 11 15 18 25 31 36 41 47 5328.5

10

a

จะได 2528

2

b 285 277 a

25 56b 8 a

31b ดงนน พสยคอ 53 53 8 45a ตอบ 45

O-NET 58


40. จากแผนภาพตน – ใบ ของขอมลชดหนงเปนดงน

2 0 2 5 5 6 7 7 8 9 9

3 1 3 3 3 4 4 5 8 8 9

4 0 0 0 1 2 2 3 3 4 7

5 0 1 1 2 3 4 5 6 7

เปอรเซนไทลท 86 ของขอมลชดนเทากบเทาใด

วธท า จากสตร ต าแหนง 1

100k

k NP

86

86 39 134.4

100P

ต าแหนง คา

34 52

34.4 x

35 53

เทยบอตราสวนจะได (ใกลลบใกลสวนไกลลบไกล)

34.4 34 52

35 34 53 52

x

0.4 52

1 1

x

52.4 x

เพราะฉะนน คะแนนทเปอรเซนไทลท 86 เทากบ 52.4 ตอบ 52.4

ขอขอบคณโจทยจาก www.rathcenter.com

Teerapon Pakpiankij

pingmaths

o-net 58 (เฉลย)

Documents