kzjyixr OP

/

Parçacık, yörüngesinin eğrilik yarıçapı ile karşılaştırıldığında fiziksel boyutları çok küçük olan cisimdir. Şekil, uzayda genel eğrisel bir yörünge boyunca hareket eden ve belirli bir anda P noktasında bulunan bir parçacığı göstermektedir.

Parçacığın herhangi bir t anındaki konum vektörü, sabit Kartezyen koordinatların orijini olan O noktasından P noktasına kadar

KONUM, HIZ, İVME

şeklinde tanımlanabilir.

Şimdi xyz koordinat sistemine paralel bir x'y'z'

koordinat sistemi oluşturalım; bu sistemin orijini O' noktası olsun.

Oʹ noktasına göre P noktasının konum vektörü

kzjyixr OP

/

Paralelkenar ilkesine göre konum vektörleri arasındaki bağıntı:

OPOOOP rrr ///

Her iki denklemde de sabit bir vektördür. Bir cismin iki farklı anda konum vektörleri arasındaki fark “yer değiştirme” (displacement) olarak adlandırılır. Eğer t anında cisim P noktasında bulunuyor, t+dt anında ise Q noktasında bulunuyor ise, yer değiştirmesi,

Bir Q noktası için OQOOOQ rrr ///

rrr O/PO/Q

O/Or

r

OP/OQ/ rrrδor

Yer değiştirme koordinat sisteminin başlangıç noktasından bağımsızdır;

- - OPOQOPOOOQOO rrrrrrr //////

Sonsuz küçük bir zaman aralığı için ‘nin yönü yörüngeye teğet olacaktır.

r

‘nin yönü ‘nin yönü ile aynıdır, yani cismin

yörüngesine teğettir.

yer değiştirmesi koordinat sisteminin başlangıç noktasından

bağımsız olduğu için, hız vektörü de koordinat sisteminin

başlangıç noktasından bağımsız olacaktır.

Bir cismin hızı konumunun zamana bağlı değişimi olarak tanımlanır.

t

rr

dt

rdv

tOP

OPP

0/

/ lim

r

Pv

Pv

r

Bileşenleri cinsinden hız vektörü,

zyx

zyxP

vdt

dzzv

dt

dyyv

dt

dxx

kzjyixkvjvivv

Cismin ivmesi hızının zamana bağlı değişimi olarak tanımlanır,

p

pa

dt

vd

İvme vektörü bileşenleri cinsinden şöyle tanımlanır:

dt

dv

dt

zda

dt

dv

dt

yda

dt

dv

dt

xda

kzjyixa

kvjvivkajaiaa

z

2

2

z

y

2

2

y

x

2

2

x

P

zyxzyxP

Eğer bir cismin konum, hız ve ivmesi yalnızca x bileşeni ile tanımlanabiliyorsa, y ve z bileşenleri sıfırsa, buna “doğrusal hareket” (rectilinear motion) adı verilir. Bu durumda cismin hareket ekseni x ekseni olarak alınır ve cisim düz bir çizgi üzerinde değişken hız ve ivme ile hareket eder. Eğer harekete ait konum, hız ve ivme bileşenlerinin yalnızca z bileşeni sıfır, x ve y bileşenleri sıfırdan farklı ise, bu tür bir harekete “düzlemde eğrisel hareket” (planar curvilinear motion) adı verilir. Cismin hareketi ile ilgili konum, hız ve ivme değerlerinin tüm bileşenleri sıfırdan farklı ise, böyle bir hareket “genel eğrisel hareket” (general curvilinear motion) veya “uzayda eğrisel hareket” (space curvilinear motion) olarak tanımlanır.

Bir doğru boyunca hareket eden bir P parçacığını dikkate alalım. Herhangi bir anda P’nin konumu, doğru üzerindeki uygun sabit bir referans nokta olan O’dan ölçülen s mesafesidir. t+Dt anında parçacık P’ noktasına hareket etmekte ve koordinatı s+Ds olmaktadır. Dt zaman aralığında konum koordinatındaki değişim yer değiştirme (deplasman) Ds olarak adlandırılır. Yer değiştirme parçacık negatif s yönünde hareket ediyorsa negatif olacaktır.

Konum, hız ve ivme yalnızca x bileşenine sahip olacağından bunları vektör formda yazmak veya alt indis kullanmak gerekli değildir.

svaasvvsxr PPOP , , veya/

Parçacığın Dt zaman aralığı boyunca ortalama hızı yer değiştirmenin zaman aralığına bölünmesiyle elde edilir

t

svav

D

D

Dt küçüldükçe ve limitte sıfıra yaklaştıkça, ortalama hız parçacığın ani hızına yaklaşır

st

sv

t

D

D

D dt

ds lim

0

Buna göre hız, konum koordinatı s’in zamana bağlı değişimidir. Karşılık geldiği yer değişiminin artı veya eksi olmasına bağlı olarak hız da artı (pozitif) veya eksi (negatif) olur. Eğer parçacık sağa doğru hareket ediyor is v (+)’dır, parçacık sola doğru hareket ediyor ise v (-) ‘dir.

Dt aralığı boyunca parçacığın ortalama ivmesi, hızındaki değişimin

zaman aralığına bölünmesi ile elde edilir:

t

vaav

D

D

Dt küçüldükçe ve limitte sıfıra yaklaştıkça, ortalama ivme parçacığın ani

ivmesine yaklaşır

svdt

sd

dt

dv

t

va

t

D

D

D 2

2

0 lim

Hızın artmasına ya da azalmasına bağlı olarak ivme artı

(pozitif) veya eksi (negatif) olabilir.

Hız ve ivmenin işaretleri aynı ise hız artıyordur ve cisim

pozitif ivmeleniyor (accelerating) denir. Hız ve ivmenin

işaretleri farklı ise hız azalıyordur ve cisim negatif

ivmeleniyor (decelerating) denir.

Eğer cisim negatif hıza sahip ise ama bu hız daha az negatif

hale geliyorsa ivme pozitif olacaktır. Eğer parçacık yavaşlıyor

ise parçacığın negatif ivmelendiği söylenir.

Hız ile ivme denklemleri arasında dt zaman terimini yok

ederek, yer değiştirme, hız ve ivme arasında bağıntı

kuran bir diferansiyel denklem elde edilir.

sdsdssorvdvads

vds

dv

dt

dva

v

dsdt

,

Konum, hız ve ivme vektörel büyüklükler olmasına

rağmen, hareketin belirli bir düz yol boyunca

yapıldığı doğrusal hareket için bu vektörel

büyüklükler yalnızca şiddetleri kullanılarak skaler

olarak ifade edilebilirler, yörünge boyunca

vektörlerin yönlendikleri doğrultu (+) ya da (-)

işareti ile belirtilir.

Bir parçacığın yer değiştirmesi her zaman yörünge boyunca alınan yola eşit olmayabilir. Yer değiştirme parçacığın yörünge boyunca ilk ve son konumları arasındaki vektörel farktır. Eğer parçacık hareketini tam harekete başladığı noktada tamamlıyor ise yer değiştirme sıfır olacaktır. Ama alınan yol yörünge boyunca kat ettiği mesafeye eşittir ve sıfıra eşit olmayacaktır. 1 2

3 son konum

Eğer tüm t değerleri için konum koordinatı s biliniyorsa, yani s=f(t) ise, s’in zamana göre birinci türevi hız, ikinci türevi ise ivmeyi verir.

Birçok problemde ise konum koordinatı ile zaman arasındaki bağıntı bilinmez ve ivmenin iki kez integrali alınarak belirlenebilir.

Üzerine etkiyen kuvvetlerin doğasına bağlı olarak ivme zamanın, hızın, konum koordinatının ya da bu büyüklüklerin bileşiminin fonksiyonu olabilir.

Her bir durum için diferansiyel denklemin integrasyonu izleyen sayfalardaki gibi yapılır.

Tüm durumlar için başlangıç koşulu olarak

t=0 iken s=s0 ve v=v0

olsun.

020

20

20

2

v

v

200

0

00

0

s

s

00

0

v

v

2 2

1

2

1

00

0

0

ssavvssavvdsavdv

adsvdv

attvssdtatvss

vdtdsvdt

ds

atvvatvv

dtadvadt

dv

s

s

t

t

t

)( )(ds

)( )(

)(dv )(

0

0

0

s

s

)(

0

0

0

0

0

v

v

0

0

tt

tgv

tt

t

dttgssdttg vdt

ds

dttfvvdttfvv

dttftfadt

dv

)(

0

v

vf(v)

dvt

dt f(v)

dvvfa

dt

dv

v

v

v

v

f(v)

vdvss

ds f(v)

vdv ds

f(v)

vdvdsvfadsvdv

0

00

)(

0

s

s

Bu sonuç t’yi v’nin fonksiyonu olarak verir.

Diğer yaklaşım:

)(

)(

)(2

)(2

)( )(

0

0

0

0

00

0

)(

s

s

20

2

s

s

20

2

s

s

s

s

ts

s

sgv

v

v

g(s)

dst

dtg(s)

dsdt

sg

dssg

dt

dsv

dssfvv

dssfvv

dssf vdv dssfadsvdv

s=f(t) olarak verilmişse s-t grafiğindeki eğrinin

eğimi o andaki hızı verir.

adt

dv

İvmenin değeri (+) ise +s yönünde hız artıyordur

veya –s yönünde hız azalıyordur.

İvme (–) ise +s yönünde hız azalıyordur veya –s

yönünde hız arıyordur.

v-t grafiğindeki eğrinin eğimi ise o andaki ivmeyi

verir.

vdt

ds

Eğer v değeri (+) ise parçacık +s yönünde, (–)

ise –s yönünde hareket ediyor demektir.

12

2

1

2

1

ssvdtds

t

t

s

s

v-t eğrisi altında kalan alan

12

2

1

2

1

vvadtdv

t

t

v

v

a-t eğrisi altında kalan alan

21

22

2

12

1

2

1

vvadsvdv

s

s

v

v

a-s eğrisi altında kalan alan

vdt

ds

adt

dv

vdvads

Herhangi bir anda s-t grafiğinin eğimi bu an için hızın şiddetini verir.

adt

dv

Eğer a (+) ise ya +s yönünde hızın şiddeti artıyordur ya da –s yönünde hızın şiddeti azalıyordur.

Eğer a is (–) ya +s yönünde hızın şiddeti azalıyordur ya da –s yönünde hızın şiddeti artuyordur.

Herhangi bir anda v-t grafiğinin eğimi bu an için ivmenin şiddetini verir.

Eğer hız v (+) ise parçacık +s yönünde hareket ediyordur.

Eğer hız v (-) ise parçacık -s yönünde hareket ediyordur.

s

vdt

ds

adt

dv

vdt

ds

Bir Diğer Örnek:

1. Yeni model yüksek hızlı bir ulaşım sisteminin vakumla çalışan kapsülü aralarında 10 km mesafe olan A ve B istasyonları arasında çalışmak üzere tasalanmıştır. Pozitif ve negatif ivmelenmenin sınır değerleri 0.6g ise ve hızın maksimum değeri 400 km/h ile sınırlandırılmış ise, kapsülün 10-km yolculuğu yapabileceği minimum t zamanını hesaplayınız.

A B 10 km

2. Bir top yüksekliği 15 m olan bir tepenin altındaki A noktasından 25 m/s başlangıç hızı ile yukarı doğru atılıyor. Topun, tepenin üst noktasını aşarak çıktığı h mesafesi ile başlangıçtan itibaren B’de yere çarptığı ana kadar geçen t zamanını belirleyiniz. Ayrıca çarpma hızı vB nedir? Hava direnci ve topun küçük yatay yaptığı hareketini ihmal ediniz.

3. Hız – zaman grafiği (v – t) ve başlangış koşulu verilen doğrusal hareket için, konum –zaman (x – t) ve ivme – zaman (a – t) grafiklerini oluşturunuz.

100

50

0

-100

-50

x (0) = 0 m

50 0 10 20 30 40 60

t (s)

v (

m/s

)

4. Küçük çelik toplar A’daki aralıktan duruştan harekete başlayarak saniyede iki top olmak üzere sabit hızla aşağı düşmektedirler. Aşağıdaki top üç metre düştükten sonra birbirini izleyen iki top arasındaki düşey h mesafesini belirleyiniz. Hava direncini ihmal ediniz.

5. Başlangıçta yokuşun A üst noktasında hareketsiz olan bir otomobilin sürücüsü frenleri boşa almakta ve birimi m/s2 olacak şekilde a=0.981 – 0.013v2 ile verilen bir ivme ile yokuş aşağı inmektedir, burada v birimi m/s olan hızdır. Yokuşun sonundaki B noktasında vB hızı ne olur?

6. Üç yaydan oluşan bir sönümleyici, sönümleyici ile temas ederken 40 m/s hızla hareket eden büyük bir kütlenin yatay hareketini durdurmak için kullanılmaktadır. Dıştaki iki yay yay deformasyonu ile orantılı bir yavaşlamaya neden olmaktadır. Merkezdeki yay grafikte görüldüğü gibi sıkışma miktarı 0.5 m’yi aştığında yavaşlama oranını artırmaktadır. Dıştaki yayların maksimum x sıkışma miktarını hesaplayınız.

piston

oil

7. Şekilde gösterilen fren mekanizması yağla dolu sabit bir silindirde hareket eden bir pistondan oluşmaktadır. Fren pedalına basıldığında araç vo hızı ile hareket ederken, yağ piston içindeki kanallardan geçer ve araç hızı ile orantılı a=-kv ile yavaşlar. Buna göre a) t cinsinden v’yi b) t cinsinden x’i c) x cinsinden v’yi belirleyiniz. Ayrıca grafiklerini çiziniz.

8. Bir parçacık y ekseni boyunca a(t)=5sinwt (cm/s2) ivmesi ile hareket etmektedir. w=0.7 rad/s olarak veriliyor. t=0 iken, parçacık başlangıç noktasının 2 cm üzerinde bulunmakta ve 5 cm/s hızla aşağı doğru inmektedir. a) Parçacığın hız ve konumunu zamana göre belirleyiniz. b) t=0 ve t=4 s aralığı için konum, hız ve ivmeyi grafik

olarak gösteriniz. c) t=0 ve t=4 s arasında parçacığın yer değiştirmesi

nedir? d) t=0 ve t=4 s arasında parçacığın aldığı yol nedir?

Ödev I: 2.3, 2.5, , 2.11, 2.14, 2.20, 2.22, 2.26, 2.32, 2.35, 2.39, 2.48, 2.54 Sayfalar 31 - 39