temel robot úk ders sorumlusu: yrd.doç.dr.hilmi kuhilmi.trakya.edu.tr/ders_notlari/robotik/temel...

TEMEL ROBOT K Ders sorumlusu: Yrd.Doç.Dr.Hilmi KU ÇU

1


2

leri Yön (Düz) Kinemati i

Bir robot ana çerçevesinden araç çerçevesine do rubirbirine prizmatik veya döner eklemlerle ba lanm seriuzuvlardan olu ur. ki uzuv aras ndaki ili ki bir homojendönü üm matrisiyle aç klan r. Eklem dönü üm matrislerinin ardarda çarp lmas yla ana çerçeve ile araç çerçeve aras ndaki ili kitan mlan r. Bu ili ki manipülatörün araç çerçevesinin konumunuve yönelimini ana çerçeveye göre belirtir.

saca ileri yön kinemati i eklem de kenleri ile uç i levcisininkonumu ve yönelimini ana çerçeveye göre hesaplar diyebiliriz.Her bir ekleme bir koordinat sistemi yerle tirilse kom u ikieklem aras ndaki ili ki bir Ti

i1

dönü üm matrisiyle elde edilir.


3

TTTT NNN11

201

0 .......

lk ekleme ait dönü üm matrisi ilk eklem ile ana çerçevearas ndaki ili kiyi tan mlarken, son ekleme ait dönü üm matrisi uç

levcisi ile son eklem aras ndaki ili kiyi ifade eder. Arka arkayaralanan bu eklem dönmü üm matrisleriyle ana çerçeve ile araç

çerçevesi aras ndaki ili ki tan mlan r. Bu ili kiye de ileri kinematikdenir. Ana çerçeve ile araç çerçevesi aras ndaki ili ki

eklinde tan mlan r.

Eklem De kenlerinin BelirlenmesiRobotlar n eklem de kenlerinin belirlenmesi için birçok

kinematik yöntem belirlenmi tir. Kinematik problemler kartezyen üçboyutlu ve kartonom dört boyutlu olmak üzere iki farkl uzaydagerçekle tirilir. Kartezyen uzayda üstel yöntem, Pieper-Roth yöntemive Denativ-Hartenberg yöntemi kullan r. Ancak en fazla tercihedilen yöntem Denativ-Hartenberg yöntemidir.


4

1ia1i

id

1i

Denativ-Hartenberg YöntemiBu yöntemde dört ana de ken kullan larak robot kinemati i

kar r.

iki kom u eksen aras ndaki eksen açüst üste ç kan ba lar aras ndaki eklemkaymas (kaç kl )ve iki kom u uzuv aras ndaki eklem aç

Bu dört de kende D-H De kenidir.

Bu de kenler

iki eksen aras ndaki uzuv uzunlu u

‘dir.


5

1. Öncelikle eklem eksenleri dönme veya kayma yönleri belirlenir vebu eksene paralel bir do ru çizilir

2. Bu i lem gerçekle tirilirken eklem eksenleri, döner eksenler içindönme yönü Z, prizmatik eklemler için kayma yönü Z ekseniolarak belirlenir.

3. Z eksenine dik ve kol boyunca olan ba (uzuv) uzunlu u X ekseniolarak kabul edilir.

4. Z ve X eksenleri belirlendikten sonra sa el kural na göre Y eksenibulunur.

5. E er arka arkaya gelen 2 eklemin dönme veya kayma yönleri aynise Z ekseni belirlendikten sonra kol boyunca X ekseni belirlenir.Son olarak sa el kural na göre Y ekseni belirlenir.

6. 0 ve 1. eksenler üst üste kabul edilebilir.7. Bir seri robotun eklemine koordinat sistemleri yerle tirilirken 1.

eksenin dönme yönü Z ekseni olarak belirlendikten sonragenellikle bu eksene X eksenince döndürüldü ünde kom u iki Zekseni çak acak ekilde bir X ekseni yerle tirilir.

Eksenler a daki hususlar dikkate al narak yerle tirilir.


6

Bu de kenleri belirlemek için öncelikli olarak ekildengörüldü ü gibi robotun dönme eksenleri belirlenir ve dönmeeksenleri uzuvlardan bir fazla olacak ekilde numaraland r.

Daha sonra bu eksenlerin her birine bir koordinat sistemiyerle tirilir ve uzuv dönme ekseni a daki ekilde görüldü ügibi koordinat sisteminin Z ekseni olarak kabul edilir.


7

1iX 1iZ iZ

1ia

daki ekildeki gibi yönünde uzanan ile

eksenleri aras ndaki dik uzakl a uzuv uzunlu u denir.

iZ 1iX iX

id

daki ekildeki gibi yönünde uzanan ile

eksenleri aras ndaki dik uzakl a eklem kaç kl denir.


8

1iZ iZ

iX 1i

daki ekildeki gibi ekseni ile ekseni aras ndakiboyunca ölçülen aç ya eksen aç denir.

1iX iX

iZ i

daki ekildeki gibi ekseni ile ekseni aras ndaki

boyunca ölçülen aç ya eklem aç denir.


9

1ia1i 1i

1id

Koordinat sistemleri eklemlere yerle tirildikten sonra D-Hde kenleri bulunur ve a daki tabloya yaz r. Robotunhareket etmesiyle de meyen parametreler uzuv uzunluklar ve

eksen aç lar r. De en parametreler ise eklem döner ise

eklem aç e er eklem prizmatik ise eklem kaç kl r.

1000coscossincossinsinsinsincoscoscossin

0sincos)()()()(

1111

1111

1

111

iiiiiii

iiiiiii

iii

iZiZixixi

i

dd

adDRaDRT

Her bir ekleme ait geneldönü üm matrisiburadan elde edilir.


10

leri Kinematik Problemlerinin Çözümünde Kullan lan Yakla mlar

Geometrik Yakla mBu yakla m manipülatör duru una ba olarak olu an geometrikekilden yararlan r.

Cebirsel Yakla mBu yakla m manipülatörün parametreleri ve eklem de kenleriaras ndaki cebirsel ili kilerden yararlan r

Dönü üm matrislerin çarp lmas yla uç i levcisinin konumunu veyönelimini içeren ve eklem de kenlerinin birer fonksiyonu olangenel bir dönü üm matrisi elde edilir. Bu matriste 9 adet dönme(r11,r12,r13, r21,r22,r23, r31,r32 ve r33) ve 3 adet de konum (px, py ve pz)belirten toplam 12 eleman bulunur


11

ki boyutlu düzlemde hareket eden robot kolunun geometrikyakla m kullan larak ileri yön kinemati inin bulunmas

Öncelikle robotun iki boyutludüzlemde ald ekil çizilerekuç i levcisini ifade eden Pnoktas n konumu bulunur.


12

321321211 coscoscos lllPx

321321211 sinsinsin lllPy

P noktas n X Eksenindeki izdü ümü

P noktas n Y Eksenindeki izdü ümü

Ayn kolun ileri yön kinemati ini D-H yöntemi ile bulal m.Öncelikle kolun ba lang ç de erlerine göre eklemlere koordinatsistemleri yerle tirilir.

kinci ad mda dönme eklemlerine Z eksenleri yerle tirilir.


13

Üçüncü ad mda Z eksenine dik ve uzuv boyuncauzanan X eksenleri yerle tirilir.

Dördüncü ad mda Sa El kural na göre Y eksenleri yerle tirilir.

Son ad mda da Koordinat sistemleri eklemlere yerle tirildiktensonra D-H de kenleri belirlenir ve tabloya eklenir.


14

,,, 4321,0 ZveZZZ

3210 ,, ve

Öncelikle D-H de kenlerinden sabit olan parametreler belirlenir.eksenlerinin dönme yönleri ayn oldu undan

aç lar 0 ‘d r. Z0 ile Z1 aras nda X1 boyunca uzananherhangi bir ba uzunlu u olmad ndan a0=0


15

Elde edilen tabloya göre her ekleme ait de kenleri a daki genelmatriste yerine koyarak dönü üm matrislerini bulal m.


0sincos

1111

1111

1

1

iiiiiii

iiiiiii

iii

ii d

da

T

Birinci eklem için dönü üm matrisi

1000000000cossin00sincos


0sincos

11

11

1000101

1000101

011

01 d

da

T

kinci eklem için dönü üm matrisi

1000000000cossin

0sincos


0sincos

22

122

2111212

2111212

122

12

l

dd

a

T


16

Üçüncü eklem için dönü üm matrisi

1000000000cossin

0sincos


0sincos

33

233

3222323

3222323

233

23

l

dd

a

T

Dördüncü eklem için dönü üm matrisi

100001000010

001

1000000000cossin

0sincos


0sincos

3

44

344

4333424

4333424

344

34

ll

dd

a

T

76


17

Elde edilen dört ekleme ait dönü üm matrisleribirbirleriyle çarp larak manipülatöre ait dönü ümmatrisi elde edilir.

100001000010

001

.

1000000000cossin

0sincos

.

1000000000cossin

0sincos

.

1000000000cossin00sincos 3

33

233

22

122

11

11

34

23

12

01

04

lllTTTTT

10000100

00

112123213213321321321321

112123213213321321321321

slslsccslssccsccsclclsscclsccssscc

112123213 coscoscos lllPx

112123213 sinsinsin lllPy

elde edilen dönü üm matrisinin konum vektöründen

Denklemleri elde edilir.

321321 sscc ,cos 321 321321 sccs 321sin


18

Robotlarda Kullan lan Bilek Düzenle imleriEndüstriyel robotlarda Euler ve eklem kaç kl kl bilek olmak üzere ikitip bilek düzenle imi kullan r. Euler bilekli düzenle imde üç eksen birnoktada kesi irken eklem kaç kl kl bilekte eklemlerin kesi mesi eklemkaymas ve uzuv uzunluklar ile engellenir.

Euler Bileklik Düzenle imin leri Yön Kinemati i


19

Öncelikle D-H De kenlerine ait tablo olu turulur

Bu tabloya göre de bilek düzenle imine ait ileri yön kinemati ineait dönü üm matrisi bulunur.

1000000

100000010000

100000010000

100001000000

0

jkjkj

jikikjikikji

jikikjikikji

kk

kk

jj

jj

i

ii

k

ssscsssccscsscccssccssccssccc

cs

sc

cs

sccssc

T


20

Eklem Kaç kl kl Bileklik Düzenle iminin leri Yön Kinemati i

Öncelikle D-H De kenlerine ait tablo olu turulur


21

Bu tabloya göre de bilek düzenle imine ait ileri yön kinemati ineait dönü üm matrisi bulunur.

1000

100000

10000

1000000100

0

100001000000

0

jjkjkj

ijijikikjikikji

ijijikikjikikji

kk

kk

jj

jj

i

ii

k

cdssscssassdssccscsscccscascdsccssccssccc

csd

sc

cs

asccssc

T


22

Alt Serbestlik Derecesine Sahip Robotun ler Yön Kinemati iEndüstriyel robotlara Euler veya eklem kaç kl kl bilek eklendi inde 6serbestlik dereceli robotlar elde edilir. Euler bileklikli robotlarendüstride hafif yüklerde tercih edilirken, eklem kaç kl kl robotlar

r yüklerin kald lmas gibi i lemlerde tercih edilir.

Scara diye tan mlanan alt serbestlik dereceli robotun ileri yönkinemati ini bulal m


23

Öncelikle koordinat sistemlerini her bir eklemeyerle tirelim ve ard ndan D-H parametrelerine aittabloyu olu tural m.


24

Her ekleme ait dönü üm matrisleri bulunur

1000100

00cossin00sincos

1

11

11

01 hT

1000010000cossin

0sincos

22

122

12

l

T

1000100

0010001

3

2

23 d

l

T

1000100

00cossin00sincos

4

44

44

34 dT


55

55

45T


66

66

56T


25

TTTTTTT 56

45

34

23

12

01

06

065

642142165421421

642142165421421

06 cs

ssccsccsccssssccccsscc

T

065

642142165421421

642142165421421

cscsccsscsccscssccscsscc

10431

11212

11212

6

5421421

5421421

ddhslslclcl

cssccsssscc


26

Ters KinematikRobotun uç i levcisinin ana çerçeveye göre konumu ve yönelimi

verildi inde manipülatörün bu konuma ve yönelime gelebilmesi içingerekli eklem de kenlerinin bulunmas r.

Ba ka bir de le de uç i levcisinin konum ve yöneliminikartezyen koordinat sisteminden eklem koordinat sisteminedönü türme i lemi olarak da tan mlayabiliriz.


27

Ters kinematik a daki nedenlerden dolay çözülmesi oldukçazor olan problemler içerir.

•Analitik olarak karma k, do rusal olmayan denklemler içerir.•Eklemlerin yap na ba r. E er robot prizmatik eklemlerdenolu uyorsa ters kinematik problemin çözümü kolayla rken,robottaki döner eklem say artt kça problemin çözümü de oderece zorla maktad r.•Her zaman matematiksel çözüm fiziksek çözümü temsil etmez.Birinci ekilde matematiksel çözümle fiziksel çözüm örtü ürkenikinci ekilde örtü mez

),(2arctan zpk ),(2arctan zpk


28

6426

•Ayn uç i levci düzenle imi için birden fazla çözüm olabilir. Terskinematik çözüm say robotun serbestlik derecesinin yan ndaayn zamanda eklem de kenlerine de ba r. Her bir eklemdeuzuv uzunlu u ve eklem kaç kl n olmas çözüm say nartmas na neden olur. Örne in 6R robotta her bir eklem için enaz ndan bir uzuv uzunlu u ve eklem kaç kl oldu undan terskinematik çözüm sayYaln z bu çözümlerin bir k sm gerçek bir k sm ise sanald r. Döneleklemlerden olu an robotlarda fiziksel çözüm say n fazla olmas ,üç boyutlu uzayda bir noktaya birkaç ekilde ula ma imkân sa lar.Örne i PUMA robotunun ayn noktaya dört farkl ekildeeri ebildi imi gösterir.

‘dür.


29

Ters Kinematik Problemlerine Analitik Çözüm YaklaCraig taraf ndan tan mlanan alt serbestlik derecesine sahip birrobotun ileri yön kinemati i a daki gibi yaz r.

TTTTTTT 56

45

34

23

12

01

06

ITT 01

101 Oldu undan yukar daki denklem daha basit bir

ifadeyle elde edilebilir.

TTTTTTT 56

45

34

23

12

06

101 TTTTTTT 5

645

34

23

06

112

01 TTTTTTT 5

645

34

06

123

12

01

TTTTTTT 56

45

06

134

23

12

01 TTTTTTT 5

606

145

34

23

12

01


30

aaisea ,12arctancos 2

21,2arctansin aaisea

abisebvea ,2arctansincos

iseba 0cossin

abveyaab ,2arctan,2arctan

isecba cossin

ccbaba ,2arctan,2arctan 222

Ters kinematik çözüm gerçekle tirilirken kullan lan baztrigonometrik e itlikler.


31

Örnek


11

11

01T

1000010000cossin

0sincos

22

122

12

l

T

100001000010

001 2

23

l

T

TTTT 23

12

01

03

101T

TTTTTT 23

12

01

101

03

101

leri yön kinemati ine ait dönü üm matrisinin her iki taraf

ile çarpal m.


32

ITT 01

101

TTTT 23

12

03

101

Bilindi i gibi oldu undan denklem a daki gibi olur.

10001

001

0110

1PRR

TTT

1000cossin0sincos

11

1101 R

1000cossin0sincos

11

1101

TR

T01

000

000

1000cossin0sincos

11

11

100

1 PRT

Dönü üm matrisinin konum vektörü s r oldu undan


11

11

101T

elde edilir.


33

Bu matrisi T03 ileri kinemati i temsil eden matrisle çarpal m

1000333231

232221

131211

03

z

y

x

prrrprrrprrr

T


333231

232221

131211

11

11

03

101

z

y

x

prrrprrrprrr

TT

1000

cossincossincossincossinsincossincossincossincos

333231

11231131221121211111

11231131221121211111

z

xx

yx

prrrpprrrrrr

pprrrrrr


34

TT 03

101

TT 23

12

10000100

cos0cossincos0sincos

100001000010

001

1000010000cossin

0sincos

2222

122222

22

122

23

12

lllll

TT

Çarp bulduk. imdide

çarp bulal m ve iki sonucu birbirine e itleyelim.

10000100

cos0cossincos0sincos

1000

cossincossincossincossinsincossincossincossincos

2222

12222

333231

11231131221121211111

11231131221121211111

lll

prrrpprrrrrr

pprrrrrr

z

xx

yx

Bulunur.


35

2211111 cossincos rr

2211111 sincossin rr031r

2221121 sinsincos rr

2221121 coscossin rr

032r0sincos 231131 rr0cos3sin 2311 rr

133r

12211 cossincos llPP yx

2211 sincossin lPP yx

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12. 0zP

itlikleri elde edilir.


36

Ters kinematik çözümün tamam mümkünse kol uzunluklarcinsinden elde edilmelidir. Bu nedenle 10. ve 11. denklemlerinher iki taraf n karesini al p alt alta toplayal m.

222

22

1221222

22

1222

12

122

12

222

22

1222

1

212212

222

21

221

2

sincos2coscossinsincos

sincossin

cos2cossincos

lllllPPPP

lPP

llllPP

yxyx

yx

yx

22yx PveP 2

2litli in sol taraf , sa taraf da parantezine alal m.

212212

22

222

21

21

22211

2 cos2sincoscossinsincos llllPP yx

1sincos 211

2 ‘dir.


37

21221

22

22 cos2 llllPP yx

Bu durumda denklemi yeniden yazarsak

olur.

Buradan21

21

22

22

2 2)(

cosll

llPP yx bulunur.

Bunu aaisea ,12arctancos 2 denklemine uyarlarsak

21

21

22

222

21

21

22

22

2 2)(

,2

)(12arctan

llllPP

llllPP yxyx bulunur.


38

12211 cossincos llPP yx

Bu ifadeyi de cba cossin ‘e uyarlarsak

cllbPaP yx 122 cos,, Olur.

ccbaba ,2arctan,2arctan 222

1222

1222

1 cos,cos2arctan,2arctan llllPPPP xyxy elde edilir.


39

,


40


41


42


43

Eksenno

Eksenaç(z’leraras )

i

Eklemuzunlu u

(z’leraras )

ai

Eklemkaç kl

(x’leraras )

di

Eklemaç(Z’etra

nda)

i

1(0-1)

0 a1 d1 1

2(1-2) (1800)

a2 0 2

3(2-3)

0 0 d3 0

4(3-4)

0 0 d4 4


44


45


46


47


48


49


50

temel robot úk ders sorumlusu: yrd.doç.dr.hilmi kuhilmi.trakya.edu.tr/ders_notlari/robotik/temel...

Documents