o teorema de green-tao

31

Upload: vunga

Post on 14-Jan-2017

326 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: O TEOREMA DE GREEN-TAO

���������������� ����������������������������� �����"!#�$�%�&���'���)(����%� �������*!#�+�����,�,�#-.�/��� 021#�3������4�6587:9������;��<

=?>A@B@DCFE?GIHKJ@BLF>NMOG)@BMKCPJBHKJKQ3MRIS�TVUXWZYX[�UD\^]`_badc�egf�hji8k.lm_bn`oXidlOe:pqdri._2lsh`_ JBt _bnjk.fZh`_bu J uwv�eg_bxwi`y.zPk{u t idl Q k{xw|�_bc�l2y} eg~�~��]jk.f�x�k{~�k{uwe�k�_�zPk�u t i.l H cjl�x�k���i Q i{uw_2e�u�k�� H c�adcZ�)f�i,lO_b~�e�f�k{uwegi�h`_xw_2i{uwe�k%_buwa.i�hje q k%hji M�Q,��J � J vjuwe t��:} c�fj|�i%�.�.���.�Vy�k{ojuw_2lO_bf�x�k{~�idl�k.l�o`uwegf q e �o�k.egl^e�h��_2e�k.l^h�k3o`uwi{�.k3h`i3xw_2i{uw_2~�k,hj_ H uw_2_2f�_ = k{i�lOidv`uw_�k3_bn`egl�x��_2f q e�k�h`_o`uwida.uw_blOl rid_2l)k{uwe�xw~ �_bxwe q k.l t idfja�k.lhj_)f�cj~�_buwidl8ojuweg~�i.l2�

�Z�����¡ P¢:£B¤¥¦�§�¨�©�ªX¨%«D¬X©�ªX¨�§�¨�©�ªZ­�§�®�¬¯¨°±«�©�§�­{§�¨�¨�ªX²D¬¯¨,§�®´³A­�¬X³¡­{°µ§�²AªX²D§�¨�ªZ­.°µ©�®·¶§�©�°±¸�ªX¨&¹�ªX²A°µ©�°»º

¼ ªX¨.½/²D¬¯¨�«3¶¾ ®�§�­�¬¯¨/³A­{°±®�¬¯¨ �¿ ³¡­{°±®�§�°±­{ª�¬XÀA¨�§�­ ¼ ª�Á¸ZªZ¬Ã¶§�Ä ¾ §�§�ÅD°±¨�©�§�®Æ°Ç«DÈA«¡°µ©�¬¯¨�«,¶¾ ® §�­�¬�³¡­{°±®�¬¯¨ �KÉ ªX²D¬�§�¨�©�§Ê ªZ©�¬DË ¾ ®Ì³P¬¯«�©�¬�°±®�³P¬X­�©�ªX«m©�§4¶§�¨{ªZÀ�§�­�¸�¬¯®�¬�§�ͱ§�¨�¨�§,²A°±¨�©�­{°µÀ ¾ §�®'«D¬�¸�¬¯«�Î ¾ «m©�¬ ²D¬¯¨«,¶¾ ®�§�­�¬¯¨�«¡ªZ© ¾ ­.ªX°±¨ � ¦�§�¨�©�§%¨�§�«m©�°±²D¬DË¡¬4Ï�Ð{ÑZÒ�Ð�Ó Ô4Õ¯Ñ�Ö×�ØÙ ÓÚÐ�Ò2Ñ�Ö�Û�Ò.ÜÝÓ Ñ�Ö�²A°µÞ�Ä ¾ §Xß�à"á�â ��ãÃä ã à+å ä ¶§�³¡­.°±®�¬çæ,è

�͵¬Xé^à ¹ �^êÃë ¹ � ½�½.ì

¬¯«¡²¡§ ë ¹ � ½B°Ç«¡²¡°±¸�ª ¾ ®Úª�Ä ¾ ªX«�©�°Ç²¡ªX²D§�Ä ¾ §�©�§�«A²D§,íª�Þ�§�­�¬�Ä ¾ ªX«¡²¡¬�àî©�§�«¡²D§�ª�°±«¡ÈA«¡°µ©�¬ �ï�«m©�­�§�©�ªX«m©�¬DË�ªX°±«¡²¡ªð©�§�®�º�¨�§4²A° ¼ §�­{¨�ªX¨�Ä ¾ §�¨�©�¬X§�¨ ¨{°±®�³A͵§�¨�²D§�§�« ¾ «¡¸�°±ªZ­`Ë�³P¬X­ç¶§�®ÀAªX¨�©�ªX«�©�§%¸�¬¯® ³Aͱ°±¸�ªX²¡ªX¨�§�®ñ¨�§�­�§�¨�¬¯Í ¼ §�­�ËA²D§�«m©�­�§�§�ͱªX¨�ßò ¹ ¿ ¸�¬¯«ZÎ2§�¸�© ¾ ­.ª ²D¬¯¨�³A­{°±®�¬¯¨/éDó§�®�§�¬¯¨.½�ïIÅD°±¨�©�§�®ô°±«DÈA«¡°±©�¬¯¨^³A­{°±®�¬¯¨Kõö©�ªX°±¨�Ä ¾ §õ êÃ÷ ©�ªX®À�¶§�®ø¶§�³A­{°±®�¬mùò ¹ ¿ ¸�¬¯«�Î�§�¸�© ¾ ­{ª�²D§�ú3¬¯Í±²¡ÀAªX¸{û�½�üs§ à6ý�þÿ¶§ ³AªZ­�˳P¬ç²D§�® ¬¯¨,§�¨�¸�­�§ ¼ §�­à èõ � ê õ��3¬¯«¡²D§/õ��I¨�ªZ¬Ú³¡­{°±®�¬¯¨dùò ¹wú,¬¯Í±²DÀAªX¸.û��D­{ªX¸�¬m½�üç§,à ý�çË^¶§,³�¬¯¨{¨ ¶° ¼ §�Í�§�¨�¸�­�§ ¼ §�­�à´è·õ � ê õ � ê õ��¬¯«¡²D§õ��K¨�ªZ¬ ³¡­{°±® ¬¯¨.ù �ò ï�Ås°Ç¨�©�§�® °±«DÈA«¡°±©�ªX¨��mº� � ¿ � ¹Ý³¡­{¬XéX­�§�¨�¨�¬X§�¨�ªZ­{°±©�®·¶§�©�°±¸�ªX¨�²D§�¸�¬¯®�³¡­{°±® §�«�©�¬��¡½Ê ¬X­{® ªX²AªX¨�³P¬X­�³¡­{°±® ¬¯¨.ùÉ ªXÄ ¾ °A³P¬X­/²¡°±ªX«m©�§�°µ­�§�® ¬¯¨�«D¬¯¨/¸�¬¯«¡¸�§�«m©�­{ªZ­/§�Ås¸�Í ¾ ¨�° ¼ ªX®�§�«m©�§�«D§�¨�©�ªF¶¾ ͵©�°Ç® ª�³P§�­�ºé ¾ «m©�ªsËAª Ä ¾ ªXÍ Ê ¬¯°8ªZÈ¡­{®ÚªZ©�° ¼ ªX® §�«�©�§%¨�¬¯Í ¾ ¸�°µ¬¯«¡ªX²Aªsß

������������� �¡7�� ¹�� � ú3­�§�§�«?Ë�� � �ªZ¬m½.7���Ô¯Õ�Ñ! Ù Ô#"$ Ù Ð�Ò%�'&)( Ð+*XÜ:ÖdÏ�Ð�Ó ÜÝ×-,�סÜ�ÏwÔ�Ö�/.1032ÌÕ�Ð×�ØÙ Ó Ð�Ò2ÑZÖ�Û�ÒdÜ:Ó Ñ�Ö54687+9;:=< ]`_2o`xw_2~�vX_Vu?>���yX�{�d������ k{u q e k t ~�_2f�xw_�lOcjoXi.uOx�k.hji�oXi.uK]A@CBN_�zPk.o q i.~,� G lk.c`xwi.uw_2lk.a{u�kdhj_ q _2~ k�oZk�uOxwe q e�o�k q k{i3h`_} eg~�~^��]`k.f�x�k.~�k�uwe k/_�zPk�u t idl H cjl�x�k��di Q i.uw_2e�u�k�� H c�a.cX�Pf�i/lO_b~�e�f�k{uwegi�hj_Ixw_2i{uwe�k/_buwadi�h`e q k�h`iMOQ,�¯J � J vjuwe t��:} c�fj|�i��{�d�d�d� q cED�k.l8_bn`oXidlOe q i�_2lGF»i{uw~�k.~ k�v�k.lO_�h`_2l�x�k.lBf�i{x�k.l2�H J xwcZk t ~�_bf�xw_.ymlwk{vX_ � lO_JI�c�_/k�uw_2lOoXidl�x�k��_�_blOlO_2f q e�k{~�f�xw_�lOe�~,ymidclO_KDOk < _ t k��_�k+Ljuw~�k{xweg�.k�lO_

M)N >��PO�Q�R�R�R�y�oX_ t i.l?xOu�k.vZk t |�idlhj_TS)egf�i.a.u�kdh`i��¯yjidc3lO_ MVU >2� H;W y�oXi{uB��_buweXL q k�pqdrk.i`��

Page 2: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� �������������� ���������������� ��� ����

¿ «�©�§�¨/²D§,²¡°±¨�¸ ¾ ©�°µ­�¬�©�§�¬X­�§�® ª�²D§,ú,­�§�§�«�§%�)ªZ¬�ªX¸�°Ç® ªsË ¼ ªX®�¬¯¨�­�§�¸�ªZ³�°µ© ¾ ͱªZ­ ¾ ®³P¬ ¾ ¸�¬ ²D¬¯¨�­�§�¨ ¾ ͵©�ªX²¡¬¯¨�ªX«�©�§�­{°±¬X­{®�§�«m©�§¸�¬¯«¡ûD§�¸�°Ç²D¬¯¨ ��Z�±�Z� � ������������� �������� ����� � �� �!�#"%$��X('&T�)( ��&*" �,+T� �-�#�.� ����/�#$?710I§bÎ�ªX®�¬¯¨�¸�¬¯® ¬ª�Ä ¾ §�¨�©�ªZ¬�²¡ª�§�Ås°Ç¨�©�ó§�«¡¸�°±ª ²D§ � ¿ � §�®32�¸�¬¯«ZÎ ¾ «m©�¬ éX­{ªX«A²D§�¨54 Ê ¬¯°8ªZÀP¬X­{²¡ªX²¡ª � KªZ­{ª�³¡­�¬¯¨{¨�§�é ¾ °µ­/ª�²¡°±¨�¸ ¾ ¨{¨�ªZ¬DË ¼ ªX®�¬¯¨�°Ç«�©�­�¬s² ¾ Þ�°±­�¬�¸�¬¯«¡¸�§�°µ©�¬ ²D§,²D§�«¡¨{°±²¡ªX²D§3²D§¾ ®Æ¸�¬¯«ZÎ ¾ «m©�¬Dß

!���687-���!�K��7 �¡7�9P7;:PÐ=<�Ô'>@?BAñÐ�×AÏ�CÔ�Ñ#Ô�ÕmÐ�×DÖdÜ�Õ¯Ô�Õ�Ð�Õ�ÐD>�ØÐFEG ¹=>�½�ß è ͱ°Ç® ¨ ¾ ³ �à á�â ��ãÃä ã àIH äKJ >æ%L

M ¬¯® §�¨�©�§ ¸�¬¯«A¸�§�°µ©�¬DËB³P¬s²D§�®�¬¯¨3§�« ¾ «¡¸�°±ªZ­,¬4¨�§�é ¾ °±«m©�§�­�§�¨ ¾ ͱ©�ªX²D¬#²D§�§�Ås°±¨�©�ó§�«A¸�°±ª²D§ ¿ §�®ñ¸�¬¯«�Î ¾ «m©�¬¯¨N22éX­{ªX«A²D§�¨54�¹�° � § � Ë�¸�¬¯®ô²D§�«¡¨{°±²¡ªX²D§3³P¬¯¨�°µ©�° ¼ ª�½.ß������������� �¡7POÿ¹=Q�¬X©�û�½.7;:�ÐR>S?TA$Ï�Ð�Ó G ¹=>�½4ýVU Ð�×AÏ�CÔ¯Ñ Ð *¯ÜÇÖ�Ï�Ð�Ó ÜÝ×-,�סÜ�ÏwÔ�ÖW .10J4 2�4

Q�¬X©�û ¾ ¨�ª�ªX«�¶ªXͱ°±¨�§3²D§ �D¬ ¾ ­{°±§�­/«Aª³A­�¬ ¼ ª�²D§�¨�©�§,©�§�¬X­�§�® ª�¬�Ä ¾ §�²¡°µÈA¸ ¾ ͱ©�ª%® ¾ °µ©�¬ª�§�Åç©�§�«¡¨�ªZ¬ö²¡ª�³¡­�¬ ¼ ª4³A­{ª4¸�¬¯®�³¡­.°±®�§�«m©�¬¯¨%® ªX°µ¬X­{§�¨%Ä ¾ § ( � )¬X­ç¶§�®$§�® ¨�§�é ¾ °±²¡ªÊ ¬¯°P³¡­�¬ ¼ ªX²D¬Ú¬Dß������������� �¡7YX ¹wüçÞ�§�®�§�­s¶§�²¡°:½.7;:PÐZ>[?BA�Ï�Ð�Ó G ¹=>�½�ý\U&Ð�×AÏ�CÔ�Ñ�ÛDÔZÒ2Ô�ÏwÑ�Õ�Ñ � &(Ð+*XÜ:ÖdÏ�Ð�Ó Ü:×A,�סÜ�ÏwÔ�Ö �/.�0 4 2�4üçÞ�§�®�§�­s¶§�²A° ¾ ¨{ª#©�§�¬X­{°±ªð²D§ éX­{ª Ê ¬¯¨§&¸�¬¯®ÀA°±«¡ªZ©¡¶¬X­{°Çª4³AªZ­{ª4³¡­�¬ ¼ ªZ­�©�ªXÍ�©�§�¬X­�§�®Úªsˬ4Ä ¾ §�͵§ ¼ ª#ª ¾ ® ª#ªX«�¶ªXͱ°Ç¨�§�¸�¬¯®�³Aͱ°±¸�ªX²Aª�²¡¬¯¨,éX­{ª Ê ¬¯¨�§�« ¼ ¬¯Í ¼ °±²D¬¯¨ � )¬X­s¶§�®#Ë)³P¬ ¾ ¸�¬²D§�³P¬¯°±¨ � ¾ ­{¨�©�§�«mÀP§�­�é&²�¶ª ¾ ® ª ¬ ¾ ©�­{ªÚ²¡§�®�¬¯«¡¨�©�­{ª�Á¸ZªZ¬#® ¾ °µ©�¬Ú®ÚªX°±¨�³P¬s²D§�­�¬¯¨�ªÚ¬¯«¡²D§§�͵§�® °Ç¨�© ¾ ­{ª§�͵§�®�§�«m©�¬¯¨�²D§ �§�¬X­{°±ª�ï�­�é�¶¬¯²A°±¸�ª � �ªXÍP©ç¶§�¸�«¡°Ç¸�ª ªX°±«¡²¡ª�¨�§�­ ¼ §Ú¹�¸�¬¯® ¾ ®³P¬ ¾ ¸�¬ ® ªX°Ç¨�²D§�§�ͱªZÀP¬X­{ª�Á¸ZªZ¬m½�³�ªZ­{ª ¸�¬¯«¡¨�§�é ¾ °µ­�­�§�¨ ¾ ͱ©�ªX²D¬¯¨�Ä ¾ ªX«�©�°±©�ªZ©�° ¼ ¬¯¨ � )¬X­%¬ ¾ ©�­{¬4ͱªX²D¬DËB¬¯¨%«3¶¾ ®�§�­�¬¯¨�³¡­{°±®�¬¯¨3©�§�® ²D§�«¡¨�°±²AªX²D§Þ�§�­{¬DË G ¹=]_^�`ba ëdc ½,èeU¹�²¡°Ç¸�ªsß ¾ ¨�§/¬�©�§�¬X­�§�®Úª�²D¬¯¨I«,¶¾ ® §�­�¬¯¨K³¡­{°±® ¬¯¨.½ � )¬X­�©�ªX«m©�¬DËm¬¯¨�©�§�¬X­�§�® ªX¨�ªX¸�°±®Úª�«?ªZ¬¨�§�ªZ³Aͱ°±¸�ªX® ªZ¬¸�ªX¨�¬�²D¬¯¨�³¡­.°±®�¬¯¨ � ï�«m©�­�§�©�ªX«m©�¬DË ¼ ªX«�²D§�­ M ¬X­�³ ¾ © ¾ ¨�¬ ¾ ©m¶§�¸�«¡°±¸�ªX¨�²D§ªX«�¶ªXÍÇ°±¨�§�²D§ �D¬ ¾ ­.°µ§�­¹�²D§%® ¬ç²D¬ ¨{°±® °±Í±ªZ­�ªZ¬NQ�¬X©�û�½�³AªZ­.ª�³¡­�¬ ¼ ªZ­�ß

������������� �¡7�f ¹ ¼ ªX«4²¡§�­ M ¬X­�³ ¾ ©.½.7hg�Ö/Û�Ò.ÜÝÓ Ñ�Öji{ÑX×AÏsØÐ�Ó Ü:×-,�סÜÝÏwÔZÖ%(�.�0 4 2�4�K°±«¡ªXͱ® §�«�©�§XË ¾ ¨�ªX«¡²D¬ ¾ ®ôªZ­�é ¾ ®�§�«m©�¬ÚÀAªX¨�§�ªX²D¬Ú§�®ô©�§�¬X­{°±ª�§�­�é�¶¬¯²A°±¸�ª�¹�«¡ª ÍÇ°±«¡û¡ª²¡ªX¨Ú°±²^¶§�°±ªX¨ ²D§ � ¾ ­{¨�©�§�«mÀP§�­�ém½�©�§�®�¬¯¨Ú¬ ©�§�¬X­�§�® ª·²D§ðú3­{§�§�« §'�)ªZ¬ � KªZ­{ª ¸�¬¯®�º³¡­{§�§�«¡²D§�­^® §�ͱûD¬X­/ª%§�¨�©�­.ªZ©m¶§�鯰Ǫ�²D§�ú,­�§�§�«�§%�)ªZ¬DËD­�§ ¼ °±¨�§�®�¬¯¨�ª%³A­�¬ ¼ ª%§�­{é�¶¬¯²¡°±¸�ª�²D§

� ¾ ­{¨�©�§�«mÀ�§�­{é ²D¬�©�§�¬X­�§�® ª&²D§üçÞ�§�®�§�­s¶§�²¡° ��Z��÷ç� � ��" ��� ��k��7l" �#$m+C�;�%���=7*" $ � ���7nQ�§�͵§�®%ÀA­�§ö¬Ã©�§�¬X­{§�® ªÃ²D§ ­�§�¸�¬X­�­�ó§�«¡¸�°ÇªÃ²D§ )¬¯°±«¡¸�ªZ­s¶§Xß3¨�§'o�ßqpsrIp ¶§utPº�°±« ¼ ªZ­{°ÇªX«�©�§�§'t�¹=>�½3ývU&§�«�©�ªZ¬#³�ªZ­{ªNwxtPº�Äm©�³ §�®>;©�§�®�¬¯¨3Ä ¾ §%§�ÅD°±¨�©�§ ¾ ® ä ¹#w?½J& � ©�ªXÍÄ ¾ §yo{z�|~}F��¹#w?½ J > � )¬X­�©�ªX«�©�¬�§�ÅD°±¨�©�§ ¾ ®à §n�m?�>�©�ªXÍ8Ä ¾ §_t�¹=��½�ý�U�¬¯«¡²D§Xß

t�¹=����oy���%¹=� ½�½�ý�U�Lï^¨�©�ª�¬XÀA¨�§�­ ¼ ª�Á¸ZªZ¬Ú͵§ ¼ ª�ªZ¬ ¸�¬X­{ª�Á¸ZªZ¬�²¡ª�³¡­�¬ ¼ ª�²D¬�©�§�¬X­{§�® ª ²D§üçÞ�® §�­ç¶§�²¡°?²D§ ¼ °±²¡ª�ª� ¾ ­{¨�©�§�«mÀ�§�­{éDß

Page 3: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d �

������������� �¡7��ÿ¹�� ¾ ­{¨�©�§�«mÀP§�­�ém½.7;:�Ð <�Ôoøß_p r p t .VÜÝ×��ZÔZÒ.ÜOÔZ×AÏ�Ð�� � & (�Ðt�¹=>�½/ýBUNÐ�×AÏ�CÔ¯Ñ4Ð+*XÜ:ÖdÏ�Ð3à ÏwÔ#"? Ù Ð�E

t�¹=>��No ��� ¹=>�½ ���/��o � | � � � � � ¹=>�½�½/ý�U�L

M ¬¯® §�¨�©�§�©�§�¬X­�§�® ª Ê ¾ «A²¡ªX®�§�«m©�ªXÍOË � ¾ ­{¨�©�§�«mÀ�§�­{é�³¡­�¬ ¼ ª/¬�©�§�¬X­�§�®Úª�²D§^üçÞ�§�® ¶§�­{§�²¡°ªX¨�¨{°±®#ß�Z� ( � � (C������$ +C���l&C�!�.� ��7�� ���/�87üç§bÎ�ªup´è â Usì � æ��ð§yo è,¨�û¡° Ê © � üç§bÎ�ª4¹#w z ½�è��� ¹ ä ½ § ¸�¬¯«A¨�°±²D§�­�§xt � è ���� � � ����������! |~}F� L�ï^«�©�ªZ¬ ¹Ý³�ªX¨�¨�ªX«¡²D¬Ãª ¨ ¾ À�¨�§�Ä ¾ ó§�«A¸�°±ª�½³P¬s²D§�®�¬¯¨�¨ ¾ ³P¬X­�Ä ¾ §_töè ͱ°Ç® t � ¶§ ¾ ®Úª�®�§�²¡°±²¡ª�°±« ¼ ªZ­{°±ªX«m©�§�³AªZ­{ªjo �üç§bÎ�ª#""è â ¹%$ z ½.å&$ � è � æ � ï�«m©�ªZ¬Nt�¹'"�½Iè ÍÇ°±®,t � ¹'"�½�è ͱ°Ç® ��8á >B�)( � ì+�+* á ý�U �,B¬XéX¬DË�³P¬X­8� ¾ ­.¨�©�§�«�ÀP§�­�éDË�©�§�®�¬¯¨�Ä ¾ §�§�ÅD°±¨�©�§ ¾ ®"à ©�ªXÍ¡Ä ¾ § t�¹'"� o ��� ¹'"�½d�-�� �o/.¹��0. � ½bà ¹'" ½�½3ývU � ï^® ³�ªZ­�©�°±¸ ¾ ͱªZ­`ËA§�ÅD°±¨�©�§�® °±«DÈA«A°µ©�¬¯¨21 J " ��o ��� ¹'"�½-��� �{o � |3� � � � � ¹'" ½ �54 ¨�©�¬ð¶§21Dì61 ê àöì.L.L.L!1 ê ¹��7. � ½bà J > �54 ¨�©�¬�³¡­�¬ ¼ ª�¬�©�§�¬X­�§�®Úª²D§üsÞ�§�®�§�­�§�²¡° �¦�¬X©�§%Ä ¾ §XË¡ªZ¬�©�§�«�©�ªZ­�³�ªX¨�¨�ªZ­�§�¨�©�ª�³A­�¬ ¼ ª�³AªZ­{ª�ͱ°±²AªZ­�¸�¬¯®Æ³A­{°±®�¬¯¨�Ës¬�³¡­�¬XÀ�͵§�® ªªZéX¬X­{ª3§�¨�©¡¶ª�«Aª�³P¬¯¨�°µ©�° ¼ °±²AªX²D§�²¡ª3®�§�²¡°±²¡ª3²D¬,¸�¬¯«�Î ¾ «�©�¬,ªX«¡ªXͱ°Ç¨�ªX²D¬3§�® � ¾ ­{¨�©�§�«mÀP§�­�é �0I§�­�§�® ¬¯¨3¸�¬¯® ¬�°Ç¨�¨�¬Ú³P¬s²D§¨�§�­ ¼ °±¨�©�¬�²D§�¬ ¾ ©�­{ª�® ªX«D§�°µ­{ªsËP°±«m©�§�éX­{ªX«¡²D¬ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨3ªZ¬°±« ¼ ¶§�¨�²D§%¸�ªXͱ¸ ¾ ÍǪZ­�®�§�²¡°±²¡ª#¹�Ä ¾ §%«D¬ Ê ¾ «¡²¡¬·¶§ª ®�§�¨�® ª�¸�¬¯°Ç¨�ª�½ ��Z� þ � � ��8������&:9#$5;" ������&�Z(�����7+<!&l7�� ���;6 7l���A���X7!���687-���!�K��7 �¡7Ý9�7;:PÐ ]Ú¹ ä ½ ØÐ Ù Ó�Ô�Û�Ò2Ñ.Û�Ò.ÜwÐ�Õ¯Ô�Õ�Ð�Ð�Ó@>ÌÐ�×�Ï�CÔ¯Ñ Ô�Û�Ò�Ñ>=�Ô+=�ÜK" ÜOÕ¯Ô¯Õ�Ð�Õ�Ð] ØÐ�E

?^¹=>�½�è@?^¹=]Ú¹ ä ½ á ä,J >,½Iè �á > á á�â

ä å5]&¹ ä ½ ØÐ/�XÐ�Ò�Õ¯Ô¯Õ�Ð�æ á L¿ ¨�¨�°±®î³P¬s²D§�®�¬¯¨�­�§ Ê ¬X­{® ¾ ͱªZ­�¬ ©�§�¬X­{§�® ª ²D§nQ�¬X©�û4¸�¬¯®�¬Dß

������������� �¡7�Aÿ¹=Q�¬X©�û#º ÷ ª ¼ §�­{¨�ªZ¬m½.7 :PÐ=<�Ô'UCB � ã � Ð�×�Ï�CÔ¯Ñ4Ð *¯ÜÇÖ�Ï�Ð,à � & � ÏwÔ#" Ù Ð,ÛsÔZÒ�ÔNÏwÑ�Õ�Ô!032m] ?ED i{ÑXÓÆÛDÐ5"»ÑðÓÚÐ�×�Ñ�Ö%à � Ð="±Ð�ÓÚÐ�×AÏwÑZÖ�Ð&ÏwÑ�Õ¯Ñh>T?[]$ÏwÔ#" Ù Ð�?^¹ äKJ >å ä J ]½ & � Ð�×�Ï�CÔ¯Ñu>Ti{ÑX×AÏGFÐ�Ó�ÛDÐ="µÑ�ÓÚÐ�×�Ñ�Ö Ù Ó Ô W .1032 4¦�¬X©�§ Ä ¾ §ð©�¬s²¡ªX¨#ªX¨� ¿ ²D§ ¸�¬¯®�³¡­{°Ç®�§�«�©�¬ ÈDÅs¬Ã¨�ªZ¬Ã°±¨�¬¯®�¬X­ Ê ªX¨ ¼ °Çª·¨�¸�ªXÍÇ°±«DéD˳P¬X­�©�ªX«m©�¬ ³P¬ç²¡§�®�¬¯¨/©�¬¯® ªZ­ ]�èE( � ì�àH*K¸�¬¯®ôà & à � �0I§bÎ�ªX®�¬¯¨�Ä ¾ §�ª�¨�§�é ¾ «¡²¡ª�°±®�³�ͱ°±¸�ª�ª�³¡­{°±® §�°µ­{ª ¼ §�­{¨�ªZ¬ � üs§bÎ�ª;>�¸�¬¯® G ¹=>,½�ý�Us˧�«m©�ªZ¬�§�Ås°Ç¨�©�§ ¾ ® � ý\U©�ªXÍ?Ä ¾ § á > ��( � ì�àH* á & ÷ � à � ³AªZ­.ª�°Ç«DÈA«¡°µ©�¬¯¨^àJIg¨ � ¿ ¨�¨{°±®§�ÅD°±¨�©�§�®�°Ç«�©�§�­ ¼ ªX͵¬¯¨�²A°±¨ÝÎ ¾ «�©�¬¯¨�( K � ìML � *A¸�¬¯®'¸�¬¯®�³¡­.°±®�§�«m©�¬�³�§�ͱ¬�®�§�«D¬¯¨�à � ©�ªXÍAÄ ¾ §?^¹ ä J >%å ä J ( K � ìML � *ݽ & � � ¿ ¨�¨�°Ç®T>;³P¬¯¨�¨ ¾ ° ¾ ® ª (jº� ¿ §�® ¸�ªX²¡ªN( K � ìML � *wËP͵¬XéX¬©�§�®�¬¯¨�°±«DÈA«A°µ©�ªX¨ (jº� ¿ �¿ éX¬X­{ª ¼ §bÎ�ªX®�¬¯¨�Ä ¾ §Úª4³A­{°±®�§�°µ­.ª#°±®�³Aͱ°Ç¸�ª�ªö¨�§�é ¾ «¡²Aª � üç§Úª�¨�§�é ¾ «¡²¡ª ¶§ Ê ªXͱ¨�ª§�«m©�ªZ¬ §�ÅD°±¨�©�§ ¾ ® � ý U §4à � r O § > � ?P( � ì�à � *�©�ªXÍ�Ä ¾ §Q?^¹ äeJ > � å ä J( � ì�à � *ݽ/ý � §D> � «?ªZ¬�¸�¬¯«m©�ó§�® (jº� ¿ � üç§bÎ�ª§�«�©�ªZ¬ > èSR ÷ à � ê > � ¹Ý©�­{ªX«¡¨�ÍǪ�Á¸ZªZ¬m½§�«m©�ªZ¬ G ¹=>,½/ý\U�§�«?ªZ¬ ³P¬¯¨�¨ ¾ ° (jº� ¿ � M ¬¯«m©�­{ªX²¡°�Á¸ZªZ¬ �

�Z� � � � ��8������&:9#$5;" ������&�j�Z(^� ��&*(8���#� ���"+9#�#" ���X7

Page 4: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� �������������� ���������������� ��� ����

!���687-���!�K��7 �¡7��?7;:PÐ��ðß%>vr��ÆÐ > ØÐ ,�סÜ�ÏwÑ 4���×AÏ�CÔ¯Ñ%E^¹�8½�è�^¹�I¹ ä ½.å ä J >,½Iè �

á > á�z� �

�I¹ ä ½ LÉ °µ­�§�®�¬¯¨�Ä ¾ §�� ¶§Í±°±® °µ©�ªX²Aª¨�§ á �I¹ ä ½ á ã �Z�������������� �¡7��m5ÿ¹=Q�¬X©�û (Zª�º ¼ §�­{¨�ªZ¬m½.7R:�Ð=<�ÔhUJB � ãô� Ð�à & � Û�ÒdÜÝÓ�Ñ 4 :PÐ=<�Ô

�öß����� r ( Usì � * i{ÑZÓ Ó ØÐ�ÕZÜOÔ��XÒ�ÔZ×�Õ�Ð���Ü�4ÝÐA4��¹��8½ & � 4��/×AÏ�CÔ¯Ñ E^¹�I¹ ä ½��I¹ äöê ^�½�L.L.L��I¹ ä&ê ¹��0. � ½ ^ á ä ì ^ J D

àD ½ &��X¹�(çì � ½�. ë�� ¹ � ½ L¿ ³¡­�¬ ¼ ª,²D§�Ä ¾ §�ª�¨�§�é ¾ «¡²¡ª,°±® ³Aͱ°±¸�ª�ª,©�§�­{¸�§�°µ­{ª ¼ §�­{¨�ªZ¬N¶§ ¾ ®�³�¬ ¾ ¸�¬�§�ͱªZÀP¬X­{ªX²¡ªs˧�¶§�²D§ ¼ °±²¡ª�ª'0�ªZ­.«¡ª ¼ °±²D§�¨�¹Ý³AªZ­{ª�¬XÀA©�§�­�²D§�©�ªXͱûD§�¨/²D§�¨�©�§�ªZ­�é ¾ ®�§�«�©�¬DË ¼ §�­-( ÷ *ݽ � )¬X­°±¨{¨�¬�¨¡¶¬ ¼ ªX®�¬¯¨�³¡­{¬ ¼ ªZ­�Ä ¾ §�ª�©�§�­{¸�§�°µ­{ªÚ°±®�³Aͱ°Ç¸�ªª ¨�§�é ¾ «¡²¡ª �üç§bÎ�ª�õ𳡭{°±®�¬Ú§�«�©�­�§ ÷ à §%þ¯àø¹Ý³P¬¯¨�© ¾ ÍǪX²D¬Ú²D§��^§�­{©�­{ªX«¡²�½�§¨�§bÎ�ª��·ß�( � ì�à **rD �{õ D ª�³¡­�¬�Î�§sÁ¸ZªZ¬�¸�ªX«ó¬¯«¡°±¸�ª � üç§D>@? ( � ì�à *3¶§3©�ªXÍPÄ ¾ § ?^¹ äKJ >å ä J ( � ì�àH*ݽJ& � ˸�¬¯«¡¨{°±²D§�­�§!�ðß è �#" | � � Ë$�ð¨�ªZ©�°Ç¨ Ê ªZÞXß

^¹�I¹ ä ½�½�è á > áõ & á > áþ¯à & �þ Lï^«�©�ªZ¬ ©�§�® ¬¯¨�Ä ¾ §Xß

�¹%�I¹ ä ½��I¹ äöê ^�½��I¹ äÚêÃ÷ ^�½ á ä ì ^ J D �{õ D�½C&��X¹�(çì � �jþm½ . ë�� ¹ � ½ L&öªX¨�«D¬X©�§�Ä ¾ § �I¹ ä ½��I¹ ä�ê ^�½��I¹ ä�ê#÷ ^�½3¶§�²¡° Ê §�­�§�«m©�§�²D§�Þ�§�­�¬&¹�²D§ Ê ªZ©�¬N¶§ � ½I¨�¬¯®�§�«m©�§¨�§�§�Ås°Ç¨�©�§�® ä(' §D^ ' ©�ªXÍ�Ä ¾ § ä è)��¹ ä(' ½.Ë ä�ê ^%è*��¹ ä('�ê ^ ' ½�§ ä%ê ÷ ^�è)��¹ ä('�ê ÷ ^ ' ½.ˬ¯«¡²¡§ ä('lJ ( � ì�à *I§'^ 'lJ ¹ .�àöì�àN½ � M ¬¯® ¬�ªX®ÀP¬¯¨ ä §'^Ú§�¨�©�ªZ¬�§�® D �{õ D·©�§�® ¬¯¨Ä ¾ §Xßá�â ¹ ä ' ì ^ ' ½.å ä ' ì ä ' ê ^ ' ì ä ' ê�÷ ^ ' J >%ì ä ' J ( � ì�à *wì ^ ' J ¹ .�àöì�à ½{æ á &+�Z¹�(çì � �jþm½Çõ

� . ë�� ¹ õ � ½ L¦�¬X©�§ Ä ¾ §j^ ' è U#¸�¬¯«m©�­{°µÀ ¾ °¸�¬¯® ¬ ë ¹ õ � ½¹Ý©�§�® ¬¯¨�Ä ¾ §�²¡§�¨�¸�ªZ­�©�ªZ­�§�¨�¨�§�¸�ªX¨�¬DËB³P¬¯°±¨Ä ¾ §�­�§�®�¬¯¨� ¿ Ig¨8§�¸�¬¯® ­{ªZÞXªZ¬3«?ªZ¬�« ¾ ͱª�½ � �)°Ç«¡ªXͱ®�§�«m©�§ ¾ ® ªZ­�é ¾ ®�§�«�©�¬3²D§�¨�°±® §�©�­{°±ª³P§�­{® °±©�§3©�¬¯®ÚªZ­{®�¬¯¨{U B�^ ' B à � ¿ ¨�¨�°±®îÈA¸�ªX® ¬¯¨�¸�¬¯®#ßá�â ¹ ä ' ì ^ ' ½.å ä ' ì ä ' ê ^ ' ì ä ' ê�÷ ^ ' J >%ì ä ' J ( � ì�à *wì ^ ' J ¹=Usì�à ½{æ á &��X¹�(çì � �jþm½Çõ

� � ÷ . ë�� ¹ õ � ½ L¿ ¨�¨�°±®4Ës¨�§%à�¶§éX­{ªX«¡²D§�©�§�®�¬¯¨�ª�§�ÅD°±¨�©�ó§�«¡¸�°±ª ²¡§ ¾ ® ª (jº� � ¿ ��Z�-,ç� � ��8������&:9#$5;" ����������j�Z(��(. ��� ��� ���+8�V7 ¿ ¨�¨�°Ç®#Ë�²¡ª�®�§�¨�®Úª&® ªX«¡§�°µ­{ªÚÄ ¾ §­�§�ºÊ ¬X­{® ¾ ͱªX®�¬¯¨3¬�©�§�¬X­�§�® ª4²¡§jQ�¬X©�û?Ë8©�§�®�¬¯¨�ª�­�§ Ê ¬X­{® ¾ ͱª�Á¸ZªZ¬�³AªZ­{ª�éX­ ¾ ³�¬¯¨,¸ ¶°±¸�ÍÇ°±¸�¬¯¨²D¬�©�§�¬X­{§�® ªÚ²D§üsÞ�§�®�§�­ç¶§�²¡° �������������� �¡7���� ¹wüçÞ�®�§�­s¶§�²A°C(Zª ¼ §�­{¨�ªZ¬m½.7 :�Ð=<�ÔZÓ0/�1%2 z43%5 ß è � ß ��6� r87�9 � U B� ã"� �8� & � Ð,à Ù Ó Û�ÒdÜ:Ó Ñ={Ð�Ó:�¯Ò2ÔX×�Õ�Ð-4N:�Ð;�·ß ���� r87 9 ØÐ " ÜÝÓ�ÜÝÏwÔ�Õ¯Ô�<�Ü�4�Ð-4�I¹ ä ½ ã / 1%2 z43%5 ¹ ä ½�=�Ð�^¹�I¹ ä ½.å ä\J ���� ½ & � Ð�×AÏ�CÔ¯Ñ%E

^¹�I¹ ä ½��I¹ äöê ^�½�L.L.L��I¹ ä&ê ¹��0. � ½ ^¯½ á ä ì ^ J Dà�D ½ &+�Z¹���ì � ½ . ë �?> � ¹ � ½ L

Page 5: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � �

¿ °±²�¶§�°±ª�²Aª�³¡­�¬ ¼ ª�²¡§3ú3­�§�§�«Ú§ �)ªZ¬ ¶§�¨ ¾ ÀA¨�©�°µ© ¾ °±­Kª%¸�¬X©�ª�/�1%2 z43%5 ³P¬X­ ¾ ® ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬/%¸�¬¯®�¸�§�­{©�ªX¨K³¡­�¬X³¡­{°±§�²¡ªX²D§�¨�Ë�Ä ¾ §�°µ­�§�®�¬¯¨¸{û¡ªX®ÚªZ­K²¡§^®�§�²¡°Ç²¡ªX¨8³A¨�§ ¾ ²D¬Zº�ªX͵§�ªZ©¡¶¬X­{°ÇªX¨ ��)ªX°±¨�³¡­�¬X³¡­.°µ§�²¡ªX²D§�¨�¨�ªZ¬ ²¡ªX²¡ªX¨/³�ªZ­{ª�ͱ°±® °µ©�ªZ­ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨�¸�¬¯«¡ûD§�¸�°Ç²¡ªX¨/Ä ¾ § 2 ¼ §Xó§�® 4Ú¬¯¨«,¶¾ ®�§�­�¬¯¨³¡­{°±®�¬¯¨�¹Ý³AªZ­{ª Ê ªZÞ�§�­I¬�³AªZ³P§�Í粡ª Ê ¾ «IÁ¸ZªZ¬3°±«A²¡°±¸�ªX²D¬X­{ª�½ � �ªXÍ Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬�¶§ ¾ ® ª®�¬s²¡°µÈ�¸�ª�Á¸ZªZ¬3²¡ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬�²D§ ¼ ¬¯« &�ªX«¡éX¬¯Í±²D© � ¿ ¨�§�é ¾ °µ­ ¾ ¨�ª�º�¨�§�ªZ­�é ¾ ®�§�«m©�¬¯¨�²D¬3©�°µ³P¬ú3¬¯ÍDz¡¨�©�¬¯«sº���°±Í±²¡°±­{°±®;³AªZ­{ª�ªX¸{ûAªZ­�ª® §�²¡°±²¡ª³A¨�§ ¾ ²¡¬¯ªX͵§�ªZ©¡¶¬X­{°±ª � M ¬¯®ÀA°±«AªX«¡²D¬%§�¨�©�§�¨²D¬¯°Ç¨ Ê ªZ©�¬¯¨�Ë�¸�¬¯«¡¸�Í ¾ °»º�¨�§�¬ ­�§�¨ ¾ ͱ©�ªX²D¬ ²D§�¨�§bÎ�ªX²D¬ �

÷ç�������3¥����� P£� ���£¥F¤¥��P�A¥ ?����£ ¤���� ?�¡���Ã����£8¥¿ «�©�§�¨�²D§ Ê ªZÞ�§�­&ª ³¡­�¬ ¼ ª ²D¬ ©�§�¬X­�§�® ª ²D§öú3­�§�§�« §'�)ªZ¬DË�²¡°±¨�¸ ¾ ©�°±­�§�®�¬¯¨4¹Ý³P¬X­§�«¡Ä ¾ ªX«m©�¬Ú¨�§�® ²¡ªZ­�²D§�® ¬¯«¡¨�©�­{ª�Á¸Z¬X§�¨.½�²D¬¯°±¨�³AªX¨�¨�¬¯¨ Ê ¾ «A²¡ªX®�§�«m©�ªX°±¨�²D¬ÚªZ­{é ¾ ®�§�«m©�¬Dߪ�®�¬s²¡°µÈ�¸�ª�Á¸ZªZ¬Ú²D¬�©�§�¬X­�§�® ª&²D§üçÞ�§�®�§�­s¶§�²A°8³AªZ­{ª�ÓÚÐ{ÕZÜ�Õ�Ô�Ö�ÛAÖ�Ð Ù Õ¯Ñ#.�Ô#"±Ð�ÔXÏAØÑXÒ.ÜOÔ�Ö�§%ª§�ÅD°±¨�©�ó§�«¡¸�°±ª�²D§�©�ªX°±¨®�§�²¡°±²¡ªX¨B® ªjÎ2¬X­.ªX«¡²D¬ ¾ ®Úª ¼ §�­{¨�ªZ¬3²¡ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬�²D§ ¼ ªX«�&�ªX«DéX¬¯ÍDzD©¹�Ä ¾ § Ê ¾ «¡¸�°µ¬¯«¡ª�¸�¬¯®�¬ ¾ ® ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ °±«A²¡°±¸�ªX²D¬X­{ªsËD¸�¬¯®ô³�§�¨�¬¯¨�Ë¡²D¬¯¨�³¡­.°±®�¬¯¨.½ �

÷ç�±�Z� � �����!� �$��'� � ����7?-.� $ �@+C� �A��������� $v+T� � . ��� � � ���+8�V7 M ¬¯«¡¨�°±²¡§�­�§ / ß���� r 7�9 ¾ ® ª�®�§�²A°±²¡ªsË¡° � § � Ë ^¹/A½�è ��ê ë ¹ � ½ �!���687-���!�K��7 9P7��¡7 ò / ß ���� r 7�9 Ö�ÔXÏ�Ü:Ö���Ô�� Ô ¹#a � ì�� � ì�� � ½E. i{ÑZ×�ÕXÜ � i CÔ¯Ñ Õ�Ð

��ÑZÒdÓ Ô�Ö " ÜÝ×�Ð�ÔXÒ�Ð�Ö·Ö�Ð�� ÛDÔZÒ2Ô�ÏwÑ�Õ�Ô���ÔZÓ ØÜ;" Ü�Ô Õ�ÐKa ã a � ��ÑZÒ.Ó Ô�Ö " Ü:×PÐ�ÔZÒ�ÐdÖ! �#ß ��6�

5 r ��6� �"� ã � � ��ÕZÜ ��ÔXÓ�ÑZÖ ! ��¹#wP½�è � � � � w � ê LE� �&ÑX×�Õ�Ð#�8� �Ö�CÔ¯Ñ�Ò2Ô%i�Ü�ÑX×�ÔZÜ:ÖRi{ÑZÓ × Ù ÓÚÐ�Ò2Ô¯Õ�ÑZÒ�Ð�Ö�Ð ÕmÐ�×�ÑZÓ�ÜÝ×�Ô¯Õ¯ÑXÒ�Ð�ÖÚÓÚÐ�×�ÑZÒ�ÐdÖ Ù Ð$� � ��Ô�Ö�P. Ù Û/"»Ô�Ö�¹%�8� � ½ ��& � & 5 × CÔ¯Ñ%Ö�CÔ¯ÑÓ ØÙ "»Ï�ÜgÛ�"µÔ�Ö3Ò2Ô%i�Ü�ÑX×�ÔZÜ:Ö�Ð�×�Ï�Ò�Ð�Ö.ÜKÐ LE� J ���� Ù ÔZÜ:ÖE. Ù Ð�Ò!�/Ð�×AÏ�CÔ�Ñ%E

�¹%/B¹ ! ��¹#w?½�½�L.L.L /8¹ !(' ¹#w?½�½ á w J Dà�D

5 ½Iè �^ê ë ' R > 5 R > ) R ¹ � ½ Lò / ß ���� r 7 9 Ö�ÔXÏ�Ü:Ö���Ô���Ô;a � . i{ÑZ×�ÕZÜ � i CÔ¯ÑðÕ�ÐNi.ÑZÒdÒ�Ð5"»Ô*� i CÔ¯Ñ�Ö�Ð,ÛsÔZÒ�ÔðÏwÑ�Õ¯ÑNa &a � Ð+*XÜ:ÖdÏ�Ð�Ó ÛDÐ�Ö�Ñ�Ö,+ ' ß ���� r 7 9 ÏwÔ#"G Ù Ð�^¹%+.-¯½�è0/ ' > - ¹ � ½ < i{ÑZ×�ÕXÜ � i CÔ¯ÑÚÕ�ÐÓ ÑZÓÚÐ�×AÏwÑ�Ö�=%ÛsÔZÒ�Ô#ÏwÑ�Õ¯Ñ �%ã�1 B@O Ð�E

�¹%/8¹#w ê32 � ½�L.L.L /8¹#w ê32 ' ½ á w J DàD ½ ã �

� 4 � & '+8¹ 2 � . 2 � ½ L

ÛDÔZÒ2Ô' Ù ÔZÜ:Ö= Ù Ð�Ò 2 � J ���� <w×{CÔ¯Ñ�×�Ð5idÐdÖ.Ö�ÔZÒdÜ�ÔXÓ Ð�×AÏ�Ð ÕXÜÇÖ�Ï�Ü:×AÏwÑZÖ�=#4ò / ß ���� r 769 ØÐ �/.ÇÛAÖ�Ð Ù Õ¯Ñ#.�Ô#"µÐ{ÔXÏAØÑZÒdÜ�Ô Ö�Ð / ß ���� r 7 9+Ö�ÔXÏ�Ü:Ö���Ô��ÿÔ¹�� ÷ � � � ì+( �C.·þDì+�¡½ i{ÑX×�ÕZÜ%� i�CÔ¯ÑðÕ�Ð5��ÑZÒdÓ Ô�Ö " ÜÝ×�Ð{ÔZÒ�Ð�Ö&ÐÚÔ ÷ � � � i.ÑZ×�ÕZÜ%� i�CÔ�ÑöÕ�Ði.ÑZÒdÒ�Ð5"»Ô*� i CÔ¯Ñ 4

¿ ²D§�ÈA«¡°�Á¸ZªZ¬&¶§^®�§�°µ¬�§�¨�©�­{ªX«Aû¡ªsËj³P¬X­s¶§�® §�ÍǪ&¶§�ÀAªX¨�§�ªX²¡ª�§�® ©�­{ªZÀAªXͱû¡¬¯¨8²D§^ú3¬¯Í±²A¨�©�¬¯«sº��°±Í±²¡°±­{°±®#ËX¬¯«¡²¡§3§�¨�© ¾ ²¡ª�º�¨�§�® ªjÎ�¬X­{ªX«m©�§�¨�³AªZ­.ª Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨�® ¬ç²¡°±ÈA¸�ªX²¡ªX¨/²D§ ¼ ¬¯« &öªX«sºéX¬¯Í±²¡©%¹�Ä ¾ §%³�¬X­�¨ ¾ ª ¼ §�Þ%§�¨�©�ªZ¬&°±«m©�°±® ªX®�§�«m©�§�ͱ°µé¯ªX²AªX¨�ªZ¬¯¨�«,¶¾ ®�§�­�¬¯¨�³¡­.°±®�¬¯¨.½ � 4 «sº© ¾ °±©�° ¼ ªX® §�«�©�§XË�ªX¨�¸�¬¯«¡²A°2Á¸Z¬X§�¨�ªX¸�°Ç® ª&¸�¬¯«m©�­�¬¯Í±ªX® ªX¨�³¡­�¬X³¡­{°±§�²¡ªX²D§�¨�ªZ­{°±©�®·¶§�©�°±¸�ªX¨,²D¬¨ ¾ ³�¬X­{©�§3²D§!/�§,©�§�®ñª ¼ ªX«�©�ªZéX§�® ²D§�¨�§�­�§�®Æ¨ ¾ È�¸�°µ§�«�©�§�® §�«�©�§ Ê ­{ªX¸�ªX¨�³AªZ­.ª�°Ç«¡¸�Í ¾ °µ­¬ ¸�ªX¨�¬�²D¬¯¨�³¡­.°±®�¬¯¨ �

6 ³¡­.°±®�§�°µ­�¬�©�§�¬X­�§�® ªÚ³¡­{°±«A¸�°µ³AªXÍ�²D¬�©�­{ªZÀAªXͱû¡¬ ¶§Xß

Page 6: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� �������������� ���������������� ��� ����

������������� 9P7�9 ¹wú3­�§�§�«sº��)ªZ¬ZºbüçÞ�§�®�§�­s¶§�²¡°Ý½.7N:�Ð�� & ( Ð � ã�� Ð / ØÐ �/.ÇÛAÖ�Ð Ù Õ¯Ñ#.Ô#"±Ð�Ô¯ÏAØÑZÒ.ÜOÔ�Ð�×AÏ�CÔ¯Ñ%ÛsÔZÒ�Ô4ÏwÑ`Õ¯Ô �ðß ���� r�769 ÏwÔ#"T Ù ÐDU ã �I¹ ä ½ ã /8¹ ä ½Ð ^¹�8½ & �Ï�Ð�Ó�ÑZÖ� Ù Ð�E^¹�I¹ ä ½��I¹ äöê ^�½�L.L.L��I¹ ä&ê ¹�� . � ½ ^�½ á ä ì ^ J D

àD ½ &��Ú¹���ì � ½�. ë � > � ¹ � ½ L¿ ³¡­�¬ ¼ ª�²D§�¨�©�§�©�§�¬X­�§�®Úª·¶§�ÀAªX¨�§�ªX²¡ª�«¡ªX¨�°Ç²^¶§�°±ªX¨�²D§ � ¾ ­{¨�©�§�«�ÀP§�­�é�§�«¡ªX¨�«D¬X­.® ªX¨²D§ú,¬���§�­{¨�§%¨�§�­A¶ª ²¡ªX²¡ª�«Aª�¨�§sÁ¸ZªZ¬ ( �¿ éX¬X­{ª ¼ ªX®�¬¯¨ ¼ §�­�¸�¬¯®�¬ ¸�¬¯«¡¨�©�­ ¾ °µ­�®�§�²¡°Ç²¡ªX¨/ªX͵§�ªZ©¡¶¬X­{°±ªX¨�­{§�ͱªX¸�°µ¬¯«¡ªX²¡ªX¨�ªZ¬¯¨�³¡­{°»º®�¬¯¨ �

÷ç��÷ç� � 8 &l7�;" �$ � +T�#1 ��7F�@$�7l��� 9#+l� �'� ��+8�#+l$��j(-�-��&l+T�D- $ 9K��$q� ������#$��X7�ï^¨�©�ªÊ ¾ «KÁ¸ZªZ¬�¶§ð²D§�È�«¡°±²¡ª ªX¨{¨�°±®#ß��,¹ ä ½4è ͵¬XéBõ ¨�§ ä è õ ' §ðÞ�§�­�¬ ¸�ªX¨�¬Ã¸�¬¯«�©�­A¶ªZ­.°µ¬ �ï^¨�©�ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬4§�¨�©�ªö¨ ¾ ³P¬X­�©�ªX²¡ª#«¡¬¯¨�³¡­{°Ç®�¬¯¨�§�¨�¨�§�«A¸�°±ªXͱ®�§�«m©�§ ³P¬¯°±¨�ª�¸�¬¯«m©�­{°µÀ ¾ °2Á¸ZªZ¬²D§�³P¬X©�ó§�«¡¸�°±ªX¨�²D§�³¡­{°Ç®�¬¯¨Ú¶§�³P§�Ä ¾ §�«Aª � )¬ç²¡§�®�¬¯¨,­�§ Ê ¬X­{® ¾ ͱªZ­�¬�©�§�¬X­�§�®Úª�²¡§�«,¶¾ ®�§�­�¬¯¨3³¡­{°±® ¬¯¨�¸�¬¯®�¬ ^¹���¹ ä ½�½�è ��êë ¹ � ½ � )ªZ­.ª ¾ ¨{ªZ­�¬&©�§�¬X­�§�® ª�²D§�ú,­�§�§�«sº��)ªZ¬ZºbüçÞ�§�®�§�­s¶§�²¡°OËB³¡­�§�¸�°±¨�ªX® ¬¯¨�ªX¸{ûAªZ­ ¾ ® ª®�§�²A°±²¡ª �mºw³A¨�§ ¾ ²D¬¯ªX͵§�ªZ©¡¶¬X­{°±ª%©�ªXÍ�Ä ¾ §�/B¹ ä ½ &��X¹ ä ½��3¹ ä ½ � )¬X­s¶§�®+¶§�¨{ªZÀA°±²D¬%Ä ¾ §�©�ªX°Ç¨®�§�²A°±²¡ªX¨�«?ªZ¬�§�ÅD°±¨�©�§�®$¹Ý§�Ås°±¨�©�§�®ñªZ­�é ¾ ®�§�«m©�¬¯¨�³P¬X­�¸�ÍǪX¨�¨�§�¨�­�§�¨{°±² ¾ ªX°±¨d½ � KªZ­{ª�¸�¬¯«�©�¬X­.«¡ªZ­,§�¨�¨�§�³¡­�¬XÀA͵§�®Úª ¾ ¨�ª�º�¨�§�¬ 2Fºw©�­{°Ç¸���4 � üç§bÎ�ª� �è� �¹�àN½ r O³P¬X­s¶§�®ôͱ§�«�©�ªX®�§�«m©�§ ��l| � � è ë ¹ � ½/§%¨�§bÎ�ª���è���� & �l| � �������� ����� �"! õ � ¿ Ê ¾ «IÁ¸ZªZ¬ ²D§¼ ¬¯« &öªX«DéX¬¯Í±²¡©�®�¬s²¡°µÈA¸�ªX²¡ª·¶§Xß#�,¹ ä ½Iè%$ ¹&�;½

� ͵¬Xé�¹&� ä&ê � ½/¨�§�� ä&ê � ¶§�³¡­{°±® ¬�§%Þ�§�­�¬Ú¸�ªX¨�¬Ú¸�¬¯«m©�­A¶ªZ­{°±¬�L¿ éX¬X­{ª ©�§�®�¬¯¨ ¾ ®Úª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ÃÄ ¾ §NªX°±«¡²¡ª ¼ ó§N¬¯¨#³A­{°±®�¬¯¨&³P¬X­ç¶§�® ²D§�°»ÅDªX®�¬¯¨�²D§¼ §�­�³�¬X©�ó§�«¡¸�°ÇªX¨�§�¸�§�­�©�ªX¨�«8ªZ¬Zº ¾ «¡° Ê ¬X­{® °±²AªX²D§�¨ ¼ °Ç«¡²¡ªX¨�²D§%³¡­�¬s² ¾ ©�¬¯¨�²D§ Ê ªZ©�¬X­�§�¨3³P§�ºÄ ¾ §�«D¬¯¨ � üs§bÎ�ª §�«m©�ªZ¬' �¹ ä ½�͵§�«m©�ªÃ©�ªXÍ%Ä ¾ §� �¹ ä ½ B B ͵¬Xé�ͱ¬Xé^͵¬Xé äI� ï�«m©�ªZ¬ ¬©�§�¬X­�§�®Úª ²D§ É °µ­{°Ç¸{û¡Íµ§�©�²¡°±Þ,Ä ¾ §Xß�

à �z & �

#�,¹ ä ½�è ��ê ë ¹ � ½ LM ¬¯®Æ§�¨�©�ªÚ«D¬X©�ª�Á¸ZªZ¬DË�¬Ú¨�§�é ¾ «¡²¡¬�©�§�¬X­�§�® ª ³A­{°±«¡¸�°µ³�ªXÍ�²D¬�©�­.ªZÀAªXͱûD¬ ¶§Xß

������������� 9P7POÿ¹wú3¬¯Í±²¡¨�©�¬¯«Dº��,°±ÍDz¡°µ­{°±®�½.7y:�Ð)( � è ÷ � � ¹�� ê þm½+*^Ð3à ØÐ Ù Ó�Û�ÒdÜÝÓ�Ñ�¯Ò2ÔZ×�Õ�Ð�Ð�×�Ï�CÔ¯Ñ�Ð *¯ÜÇÖ�Ï�Ð / Ù Ó Ô3ÓÚÐ�ÕXÜ�Õ¯Ô �/.±ÛAÖ�Ð Ù Õ¯Ñ�Ô "µÐ{ÔXÏAØÑZÒdÜ�ÔÏwÔ#"� Ù Ð /B¹ ä ½ & ÷ � � 9 � � � � #�,¹ ä ½ÛsÔXÒ2Ô,( � à ãÃä ãF÷ ( � à 4�K°±«¡ªXͱ® §�«�©�§XË�ªX¨�¨ ¾ ® °Ç«¡²D¬/³P¬X­?§�«¡Ä ¾ ªX«�©�¬�¬¯¨8©�§�¬X­�§�® ªX¨ ÷ç��÷ § ÷ç� (çËX²D§�®�¬¯«¡¨�©�­{ªZ­�§�®�¬¯¨¬�©�§�¬X­�§�®ÚªÚ²D§ú3­{§�§�«4§ �)ªZ¬ �

÷ç� ( � �{���)+-$K(T� ���q$K+T� �A��������� $x+T� � � ����7 � � $��87%üç§�I¹ ä ½)è �

� ÷ � 9 #�,¹ ä ½ �.- /10 � > � /10 �32§�«m©�ªZ¬Dß

^¹�8½�è �à � ÷ � 9 �

/ 0 � & z & � / 0 �4�3¹ ä ½�è �

� ÷ � 9 ( � ¹ ��ê ë ¹ � ½�½ L

Page 7: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � �

)§�͵¬�©�§�¬X­�§�®ÚªÚ²D§ú3­{§�§�«sº��ªZ¬ZºbüsÞ�§�®�§�­�§�²¡°©�§�®�¬¯¨�Ä ¾ §Xß^¹�I¹ ä ½�L.L�L?�I¹ ä | �0. � ½ ^�½ á ä ì ^ J D

àD ½ &��X¹���ì+� � � ÷ � � � ( � ½:. ë ¹ � ½ L

¦�¬ ¼ ªX®�§�«m©�§^¬3¸�ªX¨�¬ ^%è U�¸�¬¯«�©�­.°µÀ ¾ °¯¸�¬¯® ¬ / ¹ �� ͵¬Xé � àN½Iè ë ¹ � ½ � ¿ ¨�¨{°±® ¬XÀ¡©�§�® ¬¯¨ªÚ§�Ås°±¨�©�ó§�«A¸�°±ªÚ²D§ ¾ ® ª � ¿ � §�® ��6� ¹Ý©�¬¯®ÚªX«¡²D¬�à éX­.ªX«¡²D§j½ � ï ¸�¬¯®�¬�( � B � �#��§� &(�©�§�®�¬¯¨�Ä ¾ §�§�¨�¨�ª � ¿ � ¶§ ¾ ® ª � ¿ � ͱ§�顶� ©�°±® ª�²D§�°Ç«�©�§�°µ­{¬¯¨ �( ���{¤���D¢Ç£ ¤P£��¡ P¥�s£Ã¤¥3�P�A¥ ?����£ ¤���� ?�¡�������£8¥�� ��X���3�¡ ���¡¤8¢

�3®ô°±«DéX­{§�²¡°µ§�«m©�§�¶§�Ä ¾ §�¬ ¼ ªX͵¬X­�²D§ ^¹�I¹ ä ½�L.L�L?�I¹ äÚê ¹�� . � ½ ^¯½/³�¬s²D§�¨�§�­�¸�¬¯«sº©�­�¬¯ÍǪX²D¬�³P¬X­�¸�§�­�©�ªX¨�«¡¬X­{® ªX¨�¹�²D§,ú3¬���§�­{¨.½�²D§�«D¬X©�ªX²¡ªX¨�³�¬X­���L������ � ¿ °Ç²^¶§�°±ª�¶§�§�«m©�ªZ¬Ê ªZÞ�§�­ ¾ ® ª�²D§�¸�¬¯®�³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬�²¡ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬�¸�¬¯®�¬ �4è � � ê � � � ¬¯«¡²D§;� � ©�§�®ñ«¡¬X­{® ª²D§�ú3¬���§�­{¨,³P§�Ä ¾ §�«¡ª�¹�²¡°±­�§�®�¬¯¨3Ä ¾ §§�ͱªÃ¶§ Ù ×¡Ü ��ÑZÒdÓÚÐZ½�§�³P¬X­�©�ªX«�©�¬�¬ ¼ ªX͵¬X­,²¡ª&°±«sº©�§�éX­{ªXÍBªX¸�°±® ª ¶§%³P§�Ä ¾ §�«¡ª#¹Ý©�§�¬X­�§�® ª&²D¬ ©�°µ³P¬u0I¬¯«�¦�§ ¾ ® ªX«A«�½ � 6 ³¡­A¶¬ZÅD°±®�¬�³AªX¨{¨�¬¶§Ú®�¬¯¨�©�­{ªZ­�Ä ¾ §�³�¬s²D§�®�¬¯¨ ¾ ¨{ªZ­�¬#©�§�¬X­�§�® ª4²D§ÚüçÞ�® §�­ç¶§�²¡°�«¡ª�¨ ¾ ª Ê ¬X­{® ª�¬X­{°±é¯°±«¡ªXÍ«¡ª�³�ªZ­�©�§�ªX«�©�°µº ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§!� � � � KªZ­{ª�¨�§�«m©�°µ­/¬�¨�ªZÀP¬X­�²¡ª�³¡­{¬ ¼ ª�²¡¬©�§�¬X­�§�®Úª�²D§%ú3­�§�§�«sº��)ªZ¬ZºbüçÞ�§�®�§�­s¶§�²¡°wË ¼ ªX® ¬¯¨¼ §�­ ¾ ® ³P§�Ä ¾ §�«D¬·ªZ­�é ¾ ®�§�«�©�¬Ã«D¬Ã¸�ªX¨�¬Ã²D§ð§�«¡¸�¬¯«m©�­{ªZ­'(jº� ¿ §�® ¸�¬¯«�Î ¾ «m©�¬¯¨�²D§²D§�«A¨�°±²¡ªX²D§^³P¬¯¨�°µ©�° ¼ ª�¹Ý¬ ¾ ¨�§bÎ�ªsË�¬�©�§�¬X­�§�® ª�²D§ Q�¬X©�û�½.Ë�¬�Ä ¾ ªXÍsªZ³P§�¨�ªZ­�²D§�³AªZ­�©�°Ç¸ ¾ ͱªZ­�˸�¬¯«m©m¶§�®ôÀP¬¯ª�³AªZ­{©�§�²¡ªX¨�°±²�¶§�°±ªX¨�Ä ¾ §�°±­�§�®�¬¯¨�§�¨�© ¾ ²¡ªZ­�«¡ªX¨�³A­A¶¬ZÅs°Ç® ªX¨�¨ ¾ ÀA¨�§sÁ¸Z¬X§�¨ �É §�ÈA«¡°±® ¬¯¨ � ¹��ì���ì 2 ½�è*^¹�I¹ ä ½���¹ ä ê ^�½ 2 ¹ ä�êÃ÷ ^�½�ß ä ì ^ J ���� ½ � ¿ ©�§�­{¸�§�°±­{ª¼ §�­{¨�ªZ¬%²D¬,©�§�¬X­�§�® ª�²¡§ Q�¬X©�û�³P¬s²D§�¨�§�­I­�§ Ê ¬X­{® ¾ ͱªX²¡ª,ªX¨�¨�°±®4ßB³AªZ­{ª,©�¬s²¡ª!�öß ���� r

� «?ªZ¬Zº�«D§�鯪Z©�° ¼ ªÚ¸�¬¯®U#B � ã ����� ) H |�� � �

ã ����� )"! |�� � �ã �

©�§�®�º�¨�§� ¹��ì ��ì �8½ &��X¹�(çì � ½�. ë � ¹ � ½ Lï�®'¬ ¾ ©�­{ªX¨^³AªXͱª ¼ ­{ªX¨�ËmÄ ¾ §�­�§�®�¬¯¨^¸�¬X©�ªX¨�°Ç« Ê §�­.°µ¬X­�§�¨I³AªZ­.ª � ¹��ì ��ì �8½ � )¬X­^¬ ¾ ©�­�¬Í±ªX²¡¬DË^¸�¬X©�ªX¨Ú¨ ¾ ³P§�­{°µ¬X­�§�¨�¨�ªZ¬ ® ªX°Ç¨ Ê ¶ªX¸�§�°±¨Ú²D§4¨�§#¬XÀ¡©�§�­�ß#³P¬X­�§�Ås§�®�³A͵¬DË^³P§�ͱª ²D§�º¨�°±é ¾ ªXͱ²¡ªX²D§�²D§ ��¬ ¾ «DéDË

á � ¹��ì��Aì 2 ½ á ã ����� )$# �%��� )'& � 2 � )"( ì¨�§ �%ã õBì 1 ì ^ ã O § �� ê �

- ê �) ãF÷ç�¿ ³¡­{°µ¬X­.°OË�ªX¨#§�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ªX¨4¨ ¾ ³P§�­{°±¬X­�§�¨#«?ªZ¬Ã³AªZ­�§�¸�§�® ¨�§�­"¶¾ ©�§�°Ç¨#³AªZ­{ª ³¡­{¬ ¼ ªZ­¸�¬X©�ªX¨�°±« Ê §�­{°µ¬X­�§�¨�³�ªZ­{ª � ¹��ì ��ì �8½ � ï�«m©�­�§�©�ªX«m©�¬DË�³P¬ç²D§�® ¬¯¨ ²D§�¸�¬¯®�³P¬X­ � ¸�¬¯® ¬

¾ ®Úª ³AªZ­{©�§NÀ�¬¯ª*� è ^¹�8½ö§ ¬ ¾ ©�­{ª ³AªZ­�©�§ ­ ¾ °±® L è � .*�¹%�8½ � ��¨{ªX«¡²D¬Ãª® ¾ ͵©�°±ÍÇ°±«D§�ªZ­{°±²AªX²D§�²D§ � ËD³P¬ç²D§�® ¬¯¨�²D§�¸�¬¯®�³P¬X­ � ¹��ì ��ì �8½^§�®Æ¬¯°µ©�¬ ³P§�²¡ª�Á¸�¬¯¨�ß� ¹��ì ��ì �8½Iè�� ¹+��ì��Aì��s½ ê �� ê � ¹ LjìMLjìML�½ L

)¬X­�û¡°±³�¶¬X©�§�¨�§XË ^¹�8½ & � Ë�²D¬¯«¡²¡§�¬ ³¡­{°±® §�°µ­�¬�©�§�­{®�¬Ã¶§ � ¹+�Aì���ì��s½%& � � ,B¬XéX¬DËÀP¬¯ªX¨I¸�¬X©�ªX¨�¨ ¾ ³P§�­{°µ¬X­�§�¨K²D¬¯¨�¬ ¾ ©�­�¬¯¨I©�§�­{® ¬¯¨�¹Ý³ � §�Å � Ëm¸ ¾ Î�ªX¨�¨�¬¯® ªX¨^«?ªZ¬�§�ÅD¸�§�²D§�® � ½«D¬¯¨�͵§ ¼ ªZ­.°±ªX®Æª ¸�¬¯«¡¸�Í ¾ °µ­�¬�©�§�¬X­�§�® ª&²D§yQ�¬X©�û � )¬X­ç¶§�®#ËBª&§�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ª�ªX¸�°±® ª ¹ ¼ °Çª&²D§�¨{°µé ¾ ªXͱ²¡ªX²¡§²D§ ��¬ ¾ «Dém½�«?ªZ¬F¶§ÀP¬¯ª&¬#¨ ¾ ºÈA¸�°±§�«�©�§XË?ª�®�§�«D¬¯¨,Ä ¾ § � §�¨�©�§bÎ�ª�³¡­�¶¬ZÅs°±® ¬&ª � ¹�²A°µé¯ªX®�¬¯¨ � ý ÷ �#(¯½ � ï�«m©�­�§�©�ªX«�©�¬DË

Page 8: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� �������������� ���������������� ��� ����

³P¬s²D§�®�¬¯¨/­�§�ÈA«AªZ­�«D¬¯¨�¨�¬ÚªZ­{é ¾ ®�§�«m©�¬ ¾ ¨�ªX«¡²¡¬ ª�©�­{ªX«¡¨ Ê ¬X­{® ªX²¡ª�²¡§ �D¬ ¾ ­{°±§�­�ß4�K¹���½�ß è�^¹�I¹#w?½�� � ¹ . w���½^ß%w J D

àD ½.쬯«¡²¡§�� � ¹#w?½�ß èÿ§�Ås³¹ ÷ ��`bw(�dà ½ �/É ª Ê ¶¬X­.® ¾ ÍǪ�²D§�°±« ¼ §�­{¨�ªZ¬

�I¹#w?½Iè �� � �

4�)¹���½�� � ¹#w��¯½

¬XÀ¡©�§�® ¬¯¨�Ä ¾ §� ¹��ì��Aì 2 ½^è �

� H > � > � Q4�I¹�� � ½ 4 �P¹��-�`½ 4 2 ¹�� ½�^¹�� � ¹ ä � � ê ¹ äê ^�½�-� ê ¹ äê�÷ ^�½� ½/ß ä ì ^ J D

à�D ½ L¿ ¨^§�¨�³�§�­.ªX«KÁ¸�ªX¨/«D¬�ÍǪX²D¬�²A°µ­�§�°µ©�¬�ªX¸�°±® ª�¨�ªZ¬ � ¨�§�� � è � §��-��è . ÷ � � §_U¸�ªX¨�¬¸�¬¯«m©�­A¶ªZ­{°µ¬ � ï�®Æ³AªZ­{©�°±¸ ¾ ͱªZ­�Ë

� ¹��ì��Aì 2 ½�è �� � �

4�K¹��¯½ 4 �?¹ . ÷ ��½ 4 2 ¹���½ L

É ª Ê ¶¬X­{® ¾ ͱª ²D§! �ͱªX«A¸{ûD§�­�§�Í������ ) | � � �è � 4����� | � � �

§4²AªN²D§�¨�°µé ¾ ªXÍDz¡ªX²D§�²D§���¬¯Í±²D§�­�Ë¡¨�§�é ¾ §�Ä ¾ §

á � ¯¹��ì��Aì 2 ½ á ã ����� ) | � � �� 4 � � ) O | � � �

� 4 2 � � O | � � �L¹ � ½

�3¨�ªX«¡²D¬�§�¨�©�ªÚ§�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ªsËD³¡­{¬ ¼ ª�º�¨�§Ä ¾ §Xß� ����(8���F���!�K��7 O87��A7;:�Ð=<�Ô �\i.ÑZÓ Ù Ó Ô�Õ�Ð5i.ÑZÓ�ÛsÑ�Ö.Ü%� i�CÔ�Ñ��4è � ê L ÑZ×�ÕmÐ

�%��� ) ! | � � �ì �!L � ) ! | � � �

è0/ ¹ � ½Ð

�%��� ) H | � � �ì �!L � ) H |�� � �

è0/Ú¹ � ½ L��×AÏ�CÔ¯Ñ

� ¹��ì ��ì �8½Iè�� ¹+��ì��Aì��s½ ê / ¹ � ��� � � 4 L ��� O |�� � �½ L

0�Ò2Ñ�Ñ��=4 )¬X­�û¡°µ³�¶¬X©�§�¨�§XË �%��� ) |�� � �ì �!L � ) |�� � �

è /Ú¹ � � � � ½.˲D¬¯«¡²¡§ ¾ ® ª4ªZ³AÍÇ°±¸�ª�Á¸ZªZ¬²D§ ^ͱªX«¡¸.ûD§�­�§�Í?«D¬¯¨�²A°µÞ�Ä ¾ §�%��� ) | � � �

ì �!L � ) | � � �è0/Ú¹ � � � � ½ L

¿ Í.¶§�®ô²¡°±¨{¨�¬DË¡ªX¨�¸�¬X©�ªX¨ � � ²D§ ��§/L3°±®�³Aͱ°Ç¸�ªX®� 4 � ��� ! | � � �

ì � 4 L'��� ! | � � �è0/Ú¹ � ½ L

,8¬XéX¬DË�ª ²D§�¨�°±é ¾ ªXͱ²¡ªX²D§�²D§����¬¯Í±²D§�­�«D¬¯¨�¸�¬¯«¡² ¾ Þ�ª� 4 � � � O | � � �

ì � 4 L'� � O | � � �è0/Ú¹ � � � ½ L

¿ ³¡­�¬X³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬&¨�§�é ¾ §²¡§�¸�¬¯®�³P¬¯«¡²D¬ � ¯¹��ì ��ì �8½^§�®ñ¬¯°µ©�¬&³AªZ­�©�§�¨�§ ¾ ¨�ªX«¡²¡¬�¹ � ½ �

Page 9: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � �

ï�¨�©�ª�³¡­�¬X³P¬¯¨�°�Á¸ZªZ¬�¨ ¾ éX§�­�§�Ä ¾ § ¾ ® ª�§�¨�©�­{ªZ©ç¶§�鯰±ª³AªZ­{ª%¸�¬¯«¡¨�§�é ¾ °µ­�¸�¬X©�ªX¨^°Ç« Ê §�­.°µ¬X­�§�¨«?ªZ¬Zºw©�­.° ¼ °ÇªX°±¨�²D§ � X¹��ì ��ì �8½)³AªX¨�¨{ª�³P¬X­�²D§�¸�¬¯®�³P¬X­ �4è � ê L�§�® ¾ ®Úª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬�ÀP¬¯ª� ©�§�«¡²¡¬�¬ ¼ ªX͵¬X­ � ¹+�Aì��Aì��s½ 2�ªX͵©�¬%4�§ ¾ ® ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬�­ ¾ °±® L�¸�¬¯®ñ«D¬X­{® ª�� � ²¡ª�¨ ¾ ª©�­{ªX«A¨ Ê ¬X­.® ªX²¡ª�²D§ �D¬ ¾ ­{°µ§�­�³P§�Ä ¾ §�«¡ª �

6 ͵§�°±©�¬X­�ªZ©�§�«�©�¬4³P§�­{¸�§�ÀP§ ¾ Ä ¾ §�ÎD¶ª#°Ç«¡²¡°±¸�ªX®�¬¯¨ ¾ ®Úª�³�¬¯¨{¨�°µÀA°±ÍÇ°±²¡ªX²D§�²D§ ²¡§�¸�¬¯®�º³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬Dß ��è ^¹�8½�§ L3è � . ^¹�8½ � ¦�¬X©�§�Ä ¾ §©�§�®�¬¯¨,ª�¸�¬X©�ª � ¹+�Aì���ì��s½ & � ˾ ®Úª�§�¨�©�°Ç® ªZ©�° ¼ ª�­{§�ͱªZ©�° ¼ ªX®�§�«�©�§/ÀP¬¯ªs˯® ªX¨I«?ªZ¬,©�§�®�¬¯¨KÀP¬¯ªX¨K¸�¬X©�ªX¨I³AªZ­.ª � 4 L'��� O | � � �å

ªX¨/«D¬¯¨�¨{ªX¨�® §�ͱûD¬X­�§�¨/¸�¬X©�ªX¨�ªZ©m¶§�¬�®�¬¯®�§�«m©�¬ ¨�ªZ¬ / ¹ � � � ½.Ës¬�Ä ¾ §�¶§3­ ¾ °±®�³P¬¯°±¨^³P§�­�º® °±©�§�Ä ¾ §�¬Ú§�­�­�¬ ²D¬¯® °Ç«D§,¬ ©�§�­{®�¬ ³A­{°±«¡¸�°µ³�ªXÍ � �ï�«m©�­�§�©�ªX«m©�¬DËI³P¬ç²D§�® ¬¯¨�§�ͱ°±® °Ç«¡ªZ­�¬ö¸�ªX¨�¬ ²D§ L�è �. �¹%�8½�" ÜÝ×�Ð�ÔXÒ.ÓÚÐ�×�Ï�Р٠סÜ;.��ÑZÒdÓ Ð�Ëm° � § � Ë � 4 L'� � ! ã � � � � UdU � 6 ³A­�¬XÀA͵§�® ªö¶§�¬Ä ¾ § Ê ªZÞ�§�­�¨�§ L�«?ªZ¬N¶§�ÍÇ°±«D§�ªZ­{®�§�«m©�§¾ «A° Ê ¬X­.®�§ � ¦�§�¨�©�§,¸�ªX¨�¬DËDªX²D¬X©�ª�º�¨�§,ª%°±²�¶§�°±ª²D§ ¾ ¨{ªZ­ ¾ ® ÔZÒ � Ù Ó Ð�×AÏwÑÚÕmÐ3Ü:×�i�Ò�Ð�ÓÚÐ�×AÏwÑ×�Ô#Ð�×�Ð�Ò�XÜOÔZË�° � § � Ë ¾ ® ª ¼ §�Þ�Ä ¾ § L,«8ªZ¬ ¶§ ¾ «¡° Ê ¬X­{® §XËç©�­{¬ç¸�ªX®�¬¯¨ �&³P¬X­ ¾ ® ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬¸�¬¯® «D¬X­.® ª � � ®ÚªX°µ¬X­ � ¿ ¬ ÈA«AªXÍ�²¡§ ¾ ® «,¶¾ ®�§�­�¬�È�«¡°µ©�¬ ²D§&³�ªX¨�¨�¬¯¨�Ë�§�¨�³�§�­.ª�º�¨�§¸.ûD§�鯪Z­�ª ¾ ® ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ L ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¹�Ρ¶ª Ä ¾ §�ª�§�«D§�­�鯰±ª ¶§%ÈA«¡°µ©�ª�½ �¿ ³AªZ­{©�°µ­&²D§�¨�©�§ö³P¬¯«m©�¬DË ¼ ªX®�¬¯¨�éX§�«D§�­.ªXͱ°µÞ�ªZ­�§�¨�©�§ ³�§�Ä ¾ §�«D¬·ªZ­�é ¾ ®�§�«m©�¬·³�ªZ­{ª©�ªX® ªX«AûD¬¯¨�ªZ­�ÀA°±©�­A¶ªZ­{°µ¬¯¨�²D§ ¿ §�®ñ²D¬¯°Ç¨�³AªX¨�¨�¬¯¨�ßò ³A­{°±®�§�°µ­{¬�³AªX¨�¨�¬DßI²D§�ÈA«A°µ­ ¾ ® ª¸�ͱªX¨�¨�§3²D§�«¡¬X­{® ªX¨�¹�²A°µ©�ªX¨^«¡¬X­{® ªX¨�²¡§,ú3¬ �^§�­{¨��L�� � 0�� H ½Ú³AªZ­{ª ¸�¬¯«�©�­�¬¯ÍǪZ­4ª·§�¨�³�§�­.ªX«KÁ¸�ª·²¡§ ¾ ® ª �mº� ¿ §�¨�©�ªZ­4«D¬ ¨ ¾ ³P¬X­�©�§²¡§ �)å�«D¬X©�§öÄ ¾ §XË�³P§�ͱª ³¡­�¬X³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬ ( �±� Ë�«D¬·¸�ªX¨�¬ �ÿè (çË�ª «D¬X­.® ª�� � ²¡ª©�­.ªX«¡¨ Ê ¬X­{® ªX²¡ª ²¡§ �D¬ ¾ ­{°µ§�­�¶§ ¾ ®ÆÀP¬¯®Æ¸�ªX«¡²¡°±²AªZ©�¬ ò ¨�§�é ¾ «¡²D¬&³AªX¨�¨�¬Dß Ê ¬X­{® ªXͱ°±Þ�ªZ­�¬Ú³A­�¬ç¸�§�¨{¨�¬�²¡§°±«¡¸�­{§�®�§�«�©�¬�«¡ª §�«¡§�­�鯰±ªÚªX¸�°Ç® ª²A°±¨�¸ ¾ ©�°±²¡¬ �� (l$��F�!�K� +C���.�A�e( ��7��A���" ��� � ;" $ � ��� ����$ ��7�&l7l" �#$ � � ����� � ;" $ � $��

(T� ���q$��+T���������!& 9��F$�+T����� &C�\�K�/$ � 7C���$+<!&*+-$ �K$ 8 ���#� $ 9=� .%$ � $����+T����$��$�"��K� $?7N�_7��A��� �F$�7��A�� " �/� � $�� +T��� ��7l�.�A�/$�" �3��� ��$ �\�A��" 7l�#"%$��� �@9K�����A���( ��+T� �-� ( � �/+T� �B&T� ( ��&*" �[+T���,7������-��� � � <A� �!� �/���K6 7l$��#�X7Ì�%�����#���A��+-$�� &-� ��� +8�#$�7��A���D$ � 6 7*$ 9y+T�B"%$�+-$ �F& �-�-��" $ �� 8 $ � ��� ��� &T� �����F&T� �+T��� �����!& 9��F$�+T���\(C������$�+C��� � " �/� � ��9K���B�-� ��7*" $��� $�� 7l$ ���.� �!$��������#$$�"��K� $x�A�/$�"%$�+-$?7( �±�Z� �'����� $�� +T��� ��� � �/�X7%üç§bÎ�ª â Usì � æ��ö¬ ¸ ¾ ÀP¬ ²¡°±¨�¸�­{§�©�¬ G º�²¡°±® §�«¡¨�°µ¬¯«¡ªXÍwË�§ 'è �¹� � ì.L.L.Ljì1 � ½ J â Usì � æ � � üç§ 2 J ��6�

� §�«m©�ªZ¬ nL 2 ß è � L 2 � ê L.L.L � L 2 � �üç§ â � � æ � �� � > ��� �%¬�Û�Ò�Ñ�Õ Ù ÏwÑ#ÜÝ×AÏ�Ð�Ò.×�Ñ�Õ�Ð���Ñ�^Ð�Ò.ÖN¶§XßB ¹� � ½/ý � �Xß è�^¹�� � � � ¹ ä&ê nL 2 ½ á ä J D

àD ì 2 J Dà�D

� ½ L¿ ³¡­.°±®�§�°µ­{ª�¬XÀA¨�§�­ ¼ ª�Á¸ZªZ¬ ¶§�Ä ¾ §�¨�§�� � è � ³AªZ­{ªÚ©�¬ç²¡¬ "§�«m©�ªZ¬B"¹� � ½�ý � � & U �¿ ¨�¨�°±®î³P¬s²D§�®�¬¯¨�²D§�È�«¡°µ­�ªX¨�×�ÑXÒ.Ó Ô�Ö�ÕmÐ���Ñ��^Ð�Ò.Ö�¹ ¾ ¨�ªX«A²D¬�� � è �8½.ß

����� ��� ß è0B ¹�8½/ý H �� � L z�id~Ã_ F»_2e�xwijy������ � H"! # �$ xw_2~&% Q �'�)(*��(+�X� ,�- _.% Q �0/(1/(�/j�2�3- Q yjoXi.uB_bn`_2~�o t i`�Q L _TF»k{xwi`y�fji q k{lOi546�87`y�k^fji.uw~�k�h`_ H i:9P_buwl<;>=?;>@�A�_Ik^fji.uw~�kCB O h�k�xOu�k.f�l�F i.uw~�k.h�k�Dj��_KD�kk�idvjlO_buw�.kZpqdrk{i%>IfZk^oju��i.n`eg~�k^lOcjv�lO_�pq.rk.ij�

Page 10: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� � �������������� ���������������� ��� ����

¿ ³¡­.°±«¡¸�°µ³AªXÍ Ê §�­�­.ªX®�§�«�©�ª�³AªZ­{ª�ª�ªX«�¶ªXͱ°±¨�§�²¡ªX¨«¡¬X­{® ªX¨)²D§�ú,¬���§�­{¨%¶§/ª�Õ�Ð�Ö.Ü � Ù Ô#"µÕ¯Ô¯Õ�ÐÕ�Ð ��Ñ��^Ð�Ò{ÖP. � Ô Ù i����#. :�i�� ��ÔZÒ��¡ßá B ¹� � ½�ý � � á ã � � ��� � ��� � L

¿ ³¡­�¬ ¼ ª#²D§�¨�©�ª#²¡§�¨�°µé ¾ ªXͱ²AªX²D§�¨�§�é ¾ § ²D¬ Ê ªZ©�¬ö²D§�Ä ¾ §XËÄ ¾ ªX«A²D¬ � � «?ªZ¬4²D§�³P§�«¡²D§²D§ � Ë ¼ ªX͵§�ªÚ°µé ¾ ªXͱ²¡ªX²¡§B ¹� � ½�ý � � è�^¹ 3¹ �

��� �� � > ��� � � H� � � > � ¹%$ ê ' L 2 ' ½^ß $ J D

à�D ½�

�¹ �� � � � > ��� � � H

� � � > � ¹%$ ê ' L 2 ' ½/ß $ J DàD ½ á 2 ' J ¹

Dà�D ½ � � � ½.ì

ª�Ä ¾ ªXÍOËD³P¬X­ M ª ¾ ¸{û ��ºbüs¸.û �/ªZ­�ÞXË�°±®�³Aͱ°Ç¸�ªá B ¹� � ½�ý � � á ã B ¹� � � > � ½/ý � � �� � B ¹� � � > � ½�ý � � �� � L

M ¬¯®�¬�³P¬s²D§�®�¬¯¨K©�­�¬s¸�ªZ­" � ³P¬X­�Ä ¾ ªX걀 ¾ §�­)¬ ¾ ©�­�¬�²8¶� 鯰µ©�¬D˯ªZ³�ͱ°±¸�ªX«¡²D¬,ª�²D§�¨�°±é ¾ ªXÍ»º²¡ªX²¡§�ªX¸�°±® ª G ¼ §�Þ�§�¨�ËA¬XÀ¡©�§�® ¬¯¨�ª ²D§�¨{°µé ¾ ªXͱ²¡ªX²¡§,²¡§ú3¬���§�­{¨2º M ª ¾ ¸{û ��ºbüs¸.û �/ªZ­�Þ �¿ Í.¶§�® ²¡°±¨�¨�¬DË8ª Ê ¶¬X­{® ¾ ͱª�ÀA°Ç«D¬¯® °±ªXͧ ª#® ¾ ͵©�°±Í±°±«¡§�ªZ­{°±²¡ªX²D§²D¬�³¡­�¬s² ¾ ©�¬#°±«m©�§�­{«D¬«D¬¯¨�͵§ ¼ ªX®ôª�Õ�ÐdÖdÜ � Ù Ô#"»Õ�Ô¯Õ�Ð�Ï�ÒdÜ�ÔX×�� Ù "µÔZÒ�Õ�Ð���Ñ�^Ð�Ò.ÖZß��� ê � � � � ã ����� � � ê �%��� � � L

�K°±«¡ªXͱ® §�«�©�§XËD©�§�®�¬¯¨3ª�­�§�ͱª�Á¸ZªZ¬�²D§�®�¬¯«D¬X©�¬¯«A°±¸�°±²¡ªX²D§Xß������� � � H ã ������� � ì

ª#Ä ¾ ªXÍ%¶§ ¾ ® ª#¸�¬¯«¡¨�§�Ä ¾ ó§�«¡¸�°Çª#²D§&ú3¬���§�­{¨2º M ª ¾ ¸{û ��ºbüD¸{û ��ªZ­�Þ�ªZ³Aͱ°±¸�ªX²¡¬�ª � � ß è �Ä ¾ ªX«¡²D¬ � è � § � � ß è � Ä ¾ ªX«¡²¡¬ � è U ���Ð�Ó ÔZÒ�� � 4 M ¬¯® ¬ ��L�� � � ¨�ªZ¬�ûD¬¯®�¬XéDó§�«D§�ªX¨�˯ªX¸�ªZÀAªX®�¬¯¨)²D§�®�¬¯¨�©�­.ªZ­Ä ¾ § ��L�� � � ¨�ªZ¬¨�§�®Ú°»º�«D¬X­{® ªX¨ � ï�«m©�­�§�©�ªX«m©�¬DË���L�� � H «?ªZ¬ ¶§#«D¬X­.® ª4³P¬¯°±¨ ����� � H è0^¹�8½ � ¬X­s¶§�®³P¬s²D§�º�¨�§,³¡­�¬ ¼ ªZ­3Ä ¾ §Xß

����� � è"¹ � 4�K¹��¯½ � ½ HO 쬯«¡²¡§ 4�I¹���½Fè �¹�I¹#wP½�� � � " � � � � å w J ��6� ½ � ï ¼ ªX͵§Ãª Ê ¶¬X­{® ¾ ͱªÿ²D§Ã°±« ¼ §�­.¨�ªZ¬Dß�I¹#w?½Iè � 4�K¹���½�� � " � } � � � � ¿ ¨�¨�°±®ÌªX¨�«D¬X­.® ªX¨/²D§%ú3¬���§�­{¨�³AªZ­.ª G & ÷ ¨�ªZ¬ «D¬X­.® ªX¨éX§�« ¾ ¶°±«¡ªX¨ �

M ¬¯®Æ§�¨�©�ªÚ«D¬X©�ª�Á¸ZªZ¬DË�ª�éX§�«D§�­{ªXͱ°±Þ�ª�Á¸ZªZ¬&«¡ªZ© ¾ ­.ªXÍ?²¡ª�³¡­�¬X³P¬¯¨�°�Á¸ZªZ¬ ( �±� ¶§Xß������������� O?7�9 ¹ ¼ ¬¯«�¦�§ ¾ ® ªX«¡«#éX§�«¡§�­{ªXͱ°µÞ�ªX²D¬m½.7;:PÐ / ØÐ Ù Ó Ô�ÓÚÐ�ÕZÜOÕ¯ÔJ�/.ÇÛAÖ�Ð Ù Õ¯Ñ�Ô#"±Ð�ÔXÏAØÑXÒ.ÜOÔÐ � � ì.L.L.L�ì � � � � J � � ¹!���� ½�Ö�CÔ¯Ñ,ÏwÔZÜ:Ö Ù Ð á � � ¹#wP½ á ã �`ê /8¹#wP½/Ð�×�Ï�CÔ¯Ñ�Ö�Ð � � ì.L.L.L`ì � � � � J���� Ö�CÔ�Ñ#ÕZÜÇÖ�Ï�Ü:×�ÏwÑ�ÖM�/Ï�Ð�Ó Ñ�Ö� Ù ÐFE

�¹&� � � � ¹ ä&ê � � ^�½ á ä ì ^ J DàD ½�è0/ ¹�°Ç« Ê ��� � � � 0�� H ½ ê ë ¹ � ½ L

Page 11: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � � �

�/Ö= Ù Ð�Ó�Ô�Õ¯Ô%Û�Ò�Ñ �ZÔ#Õ¯Ñ�Ï�Ð�ÑZÒ�Ð�Ó Ô W 4�� 4 M ¬¯® §sÁ¸�§�®�¬¯¨¸�¬¯® ªXÍµé ¾ ® ªX¨B¨�°±®�³AÍÇ°µÈA¸�ª�Á¸Z¬X§�¨�ߪ&®�§�«D¬¯¨�²¡§�©�­�¬s¸�ªZ­ /�³P¬X­¹/ ê � ½ � ÷ Ë�­{§�ªZ­�­{ªX«�Î�ªZ­ � � ì � � §%©�­{ªX«A¨�ͱªX²¡ªZ­ wö³P¬X­�� � ^s˳P¬s²D§�®�¬¯¨�ªX¨�¨ ¾ ® °µ­�Ä ¾ §á � � ¹#w?½ á ã /8¹#w?½.ì�� w J D

à�D ì���è Usì.L.L.Ljì+� . � ì°±« Ê� & � & � � � ��� � � �

0>� H è ��� � � � 0�� H§

� � è U�L4 ¨�©�¬ ­�§�² ¾ Þ�¬ ³¡­�¬XÀAͱ§�® ª�ª�³¡­�¬ ¼ ªZ­�Ä ¾ §

�� � � ���!���

� � ¹#w ê � � ^�½ á wBì ^ J DàD� è0/ ¹���� � � � 0�� H ½ ê ë ¹ � ½ L

É ° ¼ °±²¡°µ­�§�® ¬¯¨)ª%²D§�®�¬¯¨�«m©�­{ª�Á¸ZªZ¬²¡§�¨�©�ª�°µé ¾ ªXÍDz¡ªX²D§/§�®�² ¾ ªX¨�³AªZ­�©�§�¨�ßK«¡ª�³¡­.°±®�§�°µ­{ª³¡­{¬ ¼ ªZ­�§�®�¬¯¨ ¾ ® ª ²D§�¨�°±é ¾ ªXͱ²¡ªX²D§ð²D§ M ª ¾ ¸{û �mºbüs¸{û ��ªZ­{ÞN§ ª ªZ³AÍÇ°±¸�ªZ­�§�®�¬¯¨��. �¼ §�Þ�§�¨�ªZ¬#ͱªX²¡¬&§�¨�Ä ¾ §�­{²¡¬�²¡ª�°µé ¾ ªXÍDz¡ªX²D§ªX¸�°Ç® ªsË?¬XÀ¡©�§�«¡²D¬#ªX¨�¨{°±® ¾ ® ªÚ§�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ª²D§ ��� � � ������ � � ¹#w ê � � ^¯½ á wì ^ J ��6��� ³�¬X­ ¾ ® ª Ö�ÑZÓ Ô�i.ÑZÓ ÛDÐdÖ�Ñ�Ö ²¡§ � � ¨�¬XÀ¡­�§¸ ¾ ÀP¬¯¨ ¹��N. � ½�º�²A°±®�§�«¡¨�°±¬¯«¡ªX°±¨�å�«¡ªÃ¨�§�é ¾ «¡²¡ª ®�¬¯¨�©�­.ªZ­�§�®�¬¯¨4Ä ¾ § ªÃ¸�¬¯«¡²¡°�Á¸ZªZ¬ ²D§Ê ¬X­{® ªX¨3ͱ°±«D§�ªZ­{§�¨�°±® ³Aͱ°±¸�ª�Ä ¾ §�§�¨�©�§�¨3³�§�¨�¬¯¨3¨�ªZ¬�°µé ¾ ªX°±¨�ª � §�® ® ¶§�²A°±ªsËP¬�Ä ¾ §�«D¬¯¨³P§�­{® °±©�°µ­A¶ª�Ä ¾ §�²¡§�² ¾ Þ�°µ­/¬ ­�§�¨ ¾ ͵©�ªX²D¬ ²D§�¨�§bÎ�ªX²D¬ � KªZ­{ª#§�« ¾ «¡¸�°±ªZ­�ª#²¡§�¨�°µé ¾ ªXͱ²AªX²D§�²¡§ M ª ¾ ¸{û ��ºbüD¸{û ��ªZ­�Þ�²D§�®�¬s²D¬#­{ªZÞ�¬�¶ª ¼ §�ÍOË)°±«sº©�­�¬s² ¾ Þ�°±­�§�®�¬¯¨ ¾ ® ³P¬ ¾ ¸�¬ ²D§ö«D¬X©�ª�Á¸ZªZ¬ � É ªX²D¬¯¨RU ã G ã �H. � Ë/²D¬¯°±¨ ¼ §�©�¬X­�§�¨$ è"¹%$ � ì.L.L.L`ì&$ � � � ½ J ¹;���� ½ � � � § $�è�¹%$ '� � � ì.L.L.L`ì&$ '� � � ½ J ¹ ��6� ½��X˯§ ¾ ®;¸�¬¯«�Î ¾ «m©�¬� ? â � . G ì.L.L.L`ì+� . � æ¯Ë�²D§�È�«¡°±®�¬¯¨/¬ ¼ §�©�¬X­ $ |�� � è�¹%$ |����� ì.L.L.L�ì&$ |����� � � ½ J ¹ ��6� ½ � � �³P¬X­

$ |�� �� ß è�� $ � ¨�§y` �J �$ '� ¨�§y` J � �ï^® ¬ ¾ ©�­{ªX¨�³AªXÍǪ ¼ ­{ªX¨�Ë � °Ç«¡²¡°±¸�ª#Ä ¾ ªX°±¨¸�¬¯®�³P¬¯«D§�«�©�§�¨�²D§ $ |�� � ³¡­�¬ ¼ §�® ²¡§ $ ' ªZ¬°±« ¼ ¶§�¨�²D§ $ �� ��� � $�O87YO87;:�Ð=<�ÔZÓ /#ß ��6� r 769 Ù Ó Ô�ÓÚÐ{ÕZÜ�Õ�Ô�Ð $ � ì.L.L.L�ì $ � � � ßA¹ ���� ½ � � � r���� � Ù ×�� i�CÑ�Ð�Ö�Õ¯Ô�Ö � . � �ZÔZÒdÜDØÔ �XÐ�Ü:Ö $ ��ÏwÔZÜ:Ö% Ù Ð $ ��× CÔ�Ñ�Õ�ÐVÛDÐ�×�Õ�Ð�ÕmÐ $ �PÛsÔZÒ�Ô ��ã ` ã� . � 4�: Ù ÛsÑX× �çÔ Ù Ð!� � ì.L.L.L�ì � � � � J � � ¹ ��6� ½�Ö�CÔ¯Ñ � Ù ×�� i CÑ�ÐdÖ i{ÑZÓ á ���2¹#w?½ á ã /8¹#w?½ÛsÔXÒ2Ô�ÏwÑ�Õ¯Ñ'w J ��6� Ð{U ã ` ã � . � 4J0�ÔZÒ�ÔRi.Ô¯Õ¯Ô'U ã G ã � . � Ð ��ã ` ã � . � �Õ�Ð�,�×�Ô� � ß è* ��

���� � � � � >������ > � � ��� ¹ � � � � ��� ���

����¹ $ ��¹%$ |�� � ½�½�¹ � � ��� � � � �

½�/ � � � ¹ $ ��¹%$ |�� � ½�½ á $ J ¹ Dà�D ½ � � � ì&$ ' J ¹Dà�D ½ � � ì

Ð] � ß è�

������ � � � � >������ > � � ��� /8¹ $ � � � � � ¹%$ |�� � ½�½ á $ J ¹ Dà�D ½ � � � ì&$ ' J ¹

Dà�D ½ � � L

Page 12: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� � �������������� ���������������� ��� ����

�/×�Ï�CÔ¯Ñ%ÛsÔZÒ�Ô#ÏwÑ�Õ¯ÑuU ã G ã �#. ÷ ��Ï�Ð�Ó Ñ�Ö�Ô�Õ�Ð�Ö.Ü � Ù Ô#"µÕ¯Ô¯Õ�Ðá � � á � ã ] � � ��9 � L

0�Ò2Ñ �ZÔ�Õ¯Ñ "µÐ�Ó Ô W 4 W 4 M ¬¯«¡¨�°±²D§�­{§�� � � M ¬¯®�¬ $ � � � � � «?ªZ¬·²D§�³P§�«¡²¡§4²D§ $ � � � � � ˳P¬s²D§�®�¬¯¨/©�°µ­{ªZ­�ªX¨�Ä ¾ ªX«m©�°±²¡ªX²D§�¨�²¡§�³�§�«A²D§�«�©�§�¨�²D§ $ � � � � � ²¡ª�® ¶§�²¡°±ªÚ§�® $ � � � � � ˬ Ä ¾ §%«D¬¯¨�³�§�­.® °µ©�§,§�¨�¸�­�§ ¼ §�­� � è*�¹���¹%$�ìM$ ' ½�� ¹%$�ì&$ ' ½ á $ � ì.L.L.Ljì&$ � � � � � ì&$ � � � ì.L.L.Ljì&$ � � � ì&$ '� � � ì.L.L.L`ì&$ '� � � J DàD ½.ì

¬¯«¡²¡§ ��¹%$�ì&$ ' ½^ß è ���� � � � � >������ > � � ��� � � � � � � ¹ $ � � � � � ¹%$ |�� � ½�½�/ � � � � $ � � � � � ¹%$ |���� ½§� ¹%$�ì&$ ' ½�ß è�^¹ ���� � � � � >������ > � � ��� � � � �

��� ���

���b¹ $ ��¹%$ |�� � ½�½ � � ��� � � � � � �

/ � � � ¹ $ ��¹%$ |���� ½�½ á $ � � � � � J DàD ½ L

�3¨�ªX«¡²D¬ M ª ¾ ¸{û ��ºbüD¸{û ��ªZ­�ÞXËá � � á � ã ^¹ á ��¹%$�ì6$ ' ½ á � á $ � ì.L.L.Ljì&$ � � � � � ì&$ � � � ì.L.L.L`ì&$ � � � ì&$ '� � � ì.L.L.L�ì&$ '� � � J ���� ½ ^¹ á � ¹%$�ì6$ ' ½ á � á $ � ì.L.L.Ljì&$ � � � � � ì&$ � � � ì.L.L.L�ì&$ � � � ì&$ '� � � ì.L.L.L�ì&$ '� � � J ��6� ½ L )¬X­�¬ ¾ ©�­{¬ÚͱªX²D¬DË¡¸�¬¯®�¬ á � � � � � � ¹#w?½ á ã /B¹#wP½^³AªZ­{ª�©�¬s²D¬ wË^¹ á ��¹%$�ì6$ ' ½ á � á $ � ì.L.L.Ljì&$ � � � � � ì&$ � � � ì.L.L.L`ì&$ � � � ì&$ '� � � ì.L.L.L�ì&$ '� � � J D

àD ½ ã ] � L&öªX°±¨�ªX°±«¡²AªsË?§�¨�¸�­�§ ¼ §�«¡²D¬öª#²D§�ÈA«¡°2Á¸ZªZ¬#²D§�� ¹%$�ì&$ ' ½�§�§�Åç³�ªX«¡²¡°±«¡²¡¬&¬¯¨�Ä ¾ ªX²D­.ªX²D¬¯¨©�­�¬s¸�ªX«¡²D¬ ª ¼ ªZ­{°`¶ª ¼ §�Í $ � � � � � ³�§�ÍǪX¨�«D¬ ¼ ªX¨ ¼ ªZ­{°�¶ª ¼ §�°±¨�$ � � � � � ì&$ '� � � � � Ë ¼ §�®�¬¯¨3Ä ¾ §�¹ á � ¹%$�ì&$ ' ½ á � á $ � ì.L.L.L`ì&$ � � � � � ì&$ � � � ì.L.L.Ljì&$ � � � ì&$ '� � � ì.L.L.L�ì&$ '� � � J D

àD ½Iè � � 9 � L4 ¨�©�¬ ¸�¬¯®�³Aͱ§�©�ª ª�³¡­�¬ ¼ ª �¿ ³Aͱ°±¸�ªX«¡²¡¬�§�¨�©�§%͵§�® ª�¹��0. � ½ ¼ §�Þ�§�¨�ËA¬XÀA©�§�®�¬¯¨

á � � á � 0�� H ã � � � � � � ��� ���

] �0�� � �� L

6 ÀA¨�§�­ ¼ §�Ä ¾ §XË¡³P¬X­�²D§�ÈA«¡°2Á¸ZªZ¬DË� � è� � � � ��� ���

� � ¹ $ � ¹%$D½�½ á $ J ¹ DàD ½ � � ��� L

KªZ­{ª�³¡­{¬ ¼ ªZ­�ª�²D§�¨�°±é ¾ ªXͱ²¡ªX²D§�²D§�¨�§bÎ�ªX²¡ªsËA§�¨�¸�¬¯Í±ûD§�®�¬¯¨ �

$ ��¹%$D½/ß è� � ���!� �� � . �E�

� �� $ �O > l�x�k.~�idl8c`xwe t e ��k{fZhji/kPI�c�e I�c�_Ki.lBf�c�~�_Vuwidl�� l rk.i�hjegl�xwegf�xwidl2�

Page 13: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � �

²D§�®�¬ç²¡¬%Ä ¾ § $ � ¹%$D½�è $ � ê �� ê $ � � � Ë $ �2¹%$¡½I«?ªZ¬�²D§�³P§�«¡²D§�®�²¡§2$ �P§XËm³�ªZ­{ª�©�¬s²D¬�XË $ ¹%$¡½�è w ê � � ^�¬¯«¡²D§^%è . � � ��

� � �$ �� � L

¿ éX¬X­{ªÚª�©�­{ªX«A¨ Ê ¬X­.® ª�Á¸ZªZ¬&¨�¬XÀA­�§bÎ2§�©�° ¼ ª��ÿß�¹ ��6� ½ � � � r ¹ ���� ½� ²D§�ÈA«¡°±²Aª%³P¬X­

��¹%$D½^ß è'¹%$ � ê �� ê $ � � � ì��-^ K ��$ � � � ê �� ê $ � � �� � � �½

©�§�®�«,¶¾ ®�§�­�¬,¸�¬¯«¡¨�©�ªX«m©�§�²D§�³¡­s¶§�º�°Ç® ªZéX§�«¡¨�Ë�²¡¬¯«¡²D§ ¾ ® ª,¸�¬¯«m©�ª�¨�°±®�³�͵§�¨K®�¬¯¨�©�­{ª�Ä ¾ §�� � � �������

� � ¹#w ê � � ^�½ á wì ^ J Dà�D� è� � � � ��

� ���½����2¹ $ ��¹%$D½�½ á $ J ¹ DàD ½ � � � � è � � L

ï�«m©�­�§�©�ªX«m©�¬DË ] � è ��ê ë ¹ � ½³AªZ­{ª ¸�ªX²¡ªxU ã G ã � . ÷ Ë�³P¬¯°±¨ / ¨�ªZ©�°±¨ Ê ªZÞ#ª¹ ÷ � ì+� . ��ê G ì+�¡½�º�¸�¬¯«¡²¡°2Á¸ZªZ¬�²D§ Ê ¬X­{® ªX¨�ÍÇ°±«D§�ªZ­�§�¨ � ï�®�³AªZ­�©�°±¸ ¾ ÍǪZ­�˯²¡ªX¨I§�¨�©�°Ç® ªZ©�° ¼ ªX¨ªX«m©�§�­{°µ¬X­�§�¨�¬XÀ¡©�§�®�¬¯¨ � � 0>� H� ã ¹ �^ê ë ¹ � ½�½ � � � � L�K°»Ås§ $ ��� ¾ ªX«¡²¡¬ � ¼ ªZ­{°±ª#¨�¬XÀ¡­{§ ¬¯¨%¨ ¾ ÀP¸�¬¯«ZÎ ¾ «m©�¬¯¨�²D§ â � ì.L.L.Ljì+�Q. � æ¯Ë $ � ¹%$ |�� � ½¼ ªZ­{°±ªö«D¬ð¸ ¾ À�¬ ¹�� . � ½�º�²¡°Ç®�§�«¡¨�°µ¬¯«AªXÍ â w ê 2 ß J â Usì � æ � � � æ¯ËI¬¯«¡²D§�w è$ � ê �� ê $ � � � § 2 � è $ '� .)$ � Ëq`Kè � ì.L.L.L`ì+� . �Z� ,8¬XéX¬DË

� � � � è� ���̹#wBì 2 ½ �

� �� � > ��� 0�� H� � ¹#w ê 2 ½ á w J D

à�D ì 2�J ¹ DàD ½ � � � � ì¸�¬¯®ô¬�³�§�¨�¬�� ¹#wì 2 ½�²¡ªX²D¬�³P¬X­

� ¹#wì 2 ½�è*�¹ � � ��� �� � > ���

� � ��� � �

/ � � � ¹ $ �2¹%$ ê 2 ½�½

/ � � � ¹ $ � � � ¹%$ ê 2 ½�½ á $ � ì.L.L.L`ì&$ � � � JDà�D ½

è�^¹ � ��

�� � �

�� �� � > ��� 0�� H > ��� ���

/8¹ $ �2¹%$ ê 2 ½�½

�� � � > ��� 0�� H > � 0�� H ���

/8¹ $ � � � ¹%$ ê 2 ½�½ á $ � ì.L.L.L�ì&$ � � � JDà�D ½.ì

¬¯«¡²¡§ 2 J ¹ ���� ½ � � � ¶§/¬ ¼ §�©�¬X­�¸�¬¯®"¸�¬m¬X­{²¡§�«¡ªX²¡ªX¨�¹� 2 ½ � ß è � 2 � § $ J ¹ ��6� ½ � � �¶§�¬ ¼ §�©�¬X­�¸�¬¯® ¸�¬¯®�³P¬¯«D§�«m©�§�¨ $ � ³AªZ­{ª ��ã �/. ÷ § $ � � � ß è w .$ � . �� .N$ � � � � )¬X­s¶§�®#Ë�ª�²D§�ÈA«¡°2Á¸ZªZ¬ ²Aª «D¬X­{® ª�²¡§ú3¬���§�­{¨�²A°µÞ�§�®ñÄ ¾ §��

�� � � > ��� 0�� H

� � ¹#w ê 2 ½ á w J Dà�D ì 2 J ¹ DàD ½ � � � � è ��� � � �

0�� H� 0�� H L

Page 14: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� � �������������� ���������������� ��� ����

)¬X­�©�ªX«m©�¬DË�ÀAªX¨�©�ª�³¡­�¬ ¼ ªZ­�Ä ¾ §��¹&�̹#wì 2 ½ . � ½ �

� �� � > ��� 0>� H� � ¹#w ê @ 2 ½ á w J D

àD ì 2 J ¹ DàD ½ � � � � è ë ¹ � ½ Lï�«m©�­�§�©�ªX«m©�¬DË%°±¨�©�¬ ¨�§�é ¾ § ²D§ ¾ ®6¸?¶ªXͱ¸ ¾ ͵¬ ¨�°Ç®�³A͵§�¨�ÀAªX¨�§�ªX²¡¬F«¡ªÃ¸�¬¯«¡²¡°�Á¸ZªZ¬ ²D§Ê ¬X­{® ªX¨�ÍÇ°±«D§�ªZ­�§�¨ � KªZ­{ª�¬¯¨�²D§�©�ªXͱûD§�¨ ¼ §bÎ�ª ( � Ë¡³¡­�¬X³ � � � (G* �

��Ð�Ó ÔZÒ�� ÷ 43¦�¬X©�§&Ä ¾ § ¨¡¶¬ ¾ ©�°Çͱ°µÞ�ªX®�¬¯¨�ª#¸�¬¯«¡²A°2Á¸ZªZ¬�²D§ Ê ¬X­{® ªX¨�ÍÇ°±«D§�ªZ­�§�¨�«¡ª�³A­�¬ ¼ ª²D¬�©�§�¬X­{§�® ª ( ��÷��ÐdÖ Ù Ó Ñ#Õ¯ÔÚÖ Ù =�Ö�Ð � i CÔ¯Ñ����ÑZÒdÓ�ÔZÖ�Õ�Ð���Ñ��^Ð�Ò{Ö���ß

¦�§�¨�©�ªÚ¨ ¾ ÀA¨�§sÁ¸ZªZ¬Ú°Ç²D§�«�©�°±ÈA¸�ªX®�¬¯¨�«D¬X­.® ªX¨�«¡ªZ© ¾ ­{ªXͱ®�§�«m©�§%ªX¨�¨�¬s¸�°±ªX²¡ªX¨�ªZ¬ ³¡­�¬XÀ�͵§�® ª²D§,¸�¬¯«m©�ªZ­�³¡­�¬XéX­�§�¨�¨�¬X§�¨�¸ ¾ Î2¬¯¨�§�͵§�® §�«�©�¬¯¨/³P§�­�©�§�«¡¸�§�®îªZ¬ ¨ ¾ ³�¬X­{©�§�²D§ ¾ ® ª Ê ªX®�¶� ͱ°±ª²¡ªX²Aª&²D§ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨�Ë?ª�¨�ªZÀP§�­�ªX¨�«D¬X­{® ªX¨,²D§Úú3¬ �^§�­.¨�Ë8§�³¡­�¬ ¼ ªX®�¬¯¨,¬�©�§�¬X­�§�®Úª!( ��÷ ˬ#Ä ¾ ªXͲA°µÞ�Ä ¾ §�ªX¨�«D¬X­{® ªX¨,²D§Úú3¬ �^§�­.¨�® ªjÎ�¬X­{ªX® ¬�«,¶¾ ®�§�­�¬�²D§�³¡­�¬XéX­�§�¨�¨�¬X§�¨�«D¬¨ ¾ ³�¬X­{©�§Ú²D§ ¾ ® ª4¨�§�Ä ¾ ó§�«¡¸�°±ªð²D§ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨�Ë)ªð®�§�«D¬¯¨�²D§ ¾ ® §�­�­�¬ð«D§�é¯Í±°µéX§�«A¸�°�¶ª ¼ §�Í �M ¬¯® ¬ ¼ °Ç®�¬¯¨I«D¬%¸�ªX¨�¬�²D¬�©�§�¬X­�§�® ª²D§{Q�¬X©�û?Ë�§�¨�©�ª® ªjÎ�¬X­{ª�Á¸ZªZ¬ ¶§�°Ç®�³P¬X­�©�ªX«�©�§�³�ªZ­{ª¬XÀ¡©�§�­�À�¬¯ªX¨�¸�¬X©�ªX¨�³P¬X­�ÀAªX°µÅç¬DËD¬Ú«¡¬¯¨�¨�¬�¬XÀsÎ�§�©�° ¼ ¬Ú°±«A°±¸�°±ªXÍ �

6 ³¡­A¶¬ZÅD°±®�¬ð§�¨�©¡¶ªZ鯰µ¬ ¨�§�­A¶ª ªð°Ç«�©�­�¬s² ¾ Á¸ZªZ¬ ²D¬N¸�¬¯«¡¸�§�°µ©�¬ ²¡§�ªX«m©�°»º ¾ «A° Ê ¬X­.® °±²¡ªX²D§Xˬ Ä ¾ ªXÍ�²¡§�¨�§�®�³P§�«¡û¡ªZ­A¶ª ³�ªZ³�§�Í�°Ç®�³P¬X­�©�ªX«�©�§ö«D¬ ®�¬¯®�§�«m©�¬·²D§ö²D§�¸�¬¯®�³P¬X­Ú«D¬¯¨�¨{ªX¨Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨�«AªX¨�³AªZ­�©�§�¨�ÀP¬¯ª�§�­ ¾ °±® �( ��÷ç� �h7��!�Ç-�� 7l�%8������,�#+l$�+C��7 M ¬¯®�¬ ªX¨#«D¬X­{®ÚªX¨#²D§ ú3¬���§�­{¨4³�ªZ­{ª G & ÷ ¨�ªZ¬«D¬X­.® ªX¨�éX§�« ¾ ¶°±«¡ªX¨/³P¬s²D§�®�¬¯¨�©�¬¯® ªZ­�ªX¨�«D¬X­{®ÚªX¨�² ¾ ªX°±¨�ß

�%��� | �0>� H ��� ß è ¨ ¾ ³

� @ 0>� H &3� áB+��ì���ý á ì

¬¯«¡²¡§JB ��ì�� ý ²D§�«D¬X©�ª ¬ ³¡­�¬s² ¾ ©�¬ � � � É °µÞ�§�®�¬¯¨�Ä ¾ § � ¶§ÃÔZ×AÏ�ÜK. Ù ×AÜ ��ÑZÒdÓ ÐN¨�§�%��� | �

0�� H ��� è0/Ú¹ � ½�§ �%��� ) ! è0/Ú¹ � ½ ���Ð�Ó ÔZÒ�� ( 4 ¿ ³P§�¨�ªZ­²D§�«?ªZ¬�³A­�§�©�§�«¡²D§�­{® ¬¯¨ ¾ ©�°±ÍÇ°µÞ�ªZ­�ËB«D¬X©�§�Ä ¾ §Ú«D¬ð¸�ªX¨�¬ � è (çË©�§�®�º�¨�§%ª Ê ¶¬X­{® ¾ ͱªsß

�%� � | � ��� è�

� �� � �

á 4 �?¹���½ á �� ���

� �L

6 ÀA¨�§�­ ¼ §4Ä ¾ §4¨�§ ��¶§�ªX«m©�°»º ¾ «¡° Ê ¬X­{® §�§ á B ��ì�� ý á ¶§4éX­{ªX«A²D§#§�«�©�ªZ¬ �ÿ«?ªZ¬³P¬s²D§¨�§�­ ¾ «A° Ê ¬X­.®�§�³P¬¯°±¨ á B ��ì��öý á ã ������� 0�� H �%� � | � 0�� H � � � ,8¬XéX¬#©�§�® ¬¯¨ ¾ ® ª¬XÀA¨�©�­ ¾ Á¸ZªZ¬ ³AªZ­.ª ¾ «¡° Ê ¬X­{® °±²AªX²D§ �¿ Í.¶§�® ²¡°±¨{¨�¬/©�§�®�¬¯¨ ¾ ®Úª�® ªX«D§�°µ­{ª�¸�ªX«)󬯫¡°±¸�ª�²D§�¸�¬¯«¡¨�©�­ ¾ °µ­ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨8ªX«m©�°»º ¾ «A° Ê ¬X­.®�§�¨�ßüç§bÎ�ª� J � � ¹ ��6� ½�§�«m©�ªZ¬&ª Ê ¾ «IÁ¸ZªZ¬ ² ¾ ªXÍ?²D§� ¶§Xß�� Ú¹#w?½^ß è*�¹ � ������ &¹#w ê 'L 2 ½ á 2xJ D

àD� � � ½ L

É §�«m©�­�§%ªX¨ ¼ ¶ªZ­{°±ªX¨�³¡­�¬X³¡­{°±§�²¡ªX²D§�¨�§�͵§�®�§�«m©�ªZ­�§�¨�²¡§�¨�©�ªX¨ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨�ËD³P¬s²D§�®�¬¯¨�¸�°±©�ªZ­�ß

Page 15: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � � �

� ��� � $�O87 XB7;:�Ð ã / ê � Ð�×AÏ�CÔ¯Ñ��� ØÐ&ÔZ×AÏ�ÜK. Ù ×AÜ ��ÑZÒdÓ Ð�Ð ÏwÑZÓ Ô �ZÔ#"µÑZÒ�Ð�Ö&Ð�Ó��èE(3. ÷ � 0�� H ì ÷ � 0�� H * 4�� ÔZÜ:ÖÔZÜÝ×�Õ¯Ô �ò B �ì �� ý�è �� � �

0�� H� 0�� H �ò ��� � | �

0>� H � � è �� � �0�� H � �� 0�� H Ð

ò ��� � ) ! ãF÷ �0�� H � � êÃë ¹ � ½=4

0�Ò2Ñ�Ñ��=4�0I§bÎ�ª ( � ˡͱ§�® ® ª ,ç�±� * �M ûAªX® ªZ­�§�®�¬¯¨?©�ªX°Ç¨ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨8²D§ � Ù ×�� i�CÑ�Ð�Ö^ÔZ×AÏ�ÜK. Ù ×¡Ü ��ÑZÒ.ÓÚÐ�Ö =�ØÔZÖ.Ü i{Ô�ÖXå ¾ ® ª/³A­�¬X³¡­{°µ§�²AªX²D§­�§�ͱ§ ¼ ªX«m©�§%²D§�¨�©�ªX¨ Ê ¾ «IÁ¸Z¬X§�¨�¶§%¨ ¾ ª�ÀP¬¯ª ²A°±¨�©�­{°µÀ ¾ °±¸�ªZ¬¸�¬¯®ô­�§�¨�³P§�°µ©�¬ ª�/?ß� ����(8���F���!�K��7 O87Pf?7;:�Ð / ØÐ �/.±ÛAÖ�Ð Ù Õ¯Ñ�Ô "µÐ�ÏAØÑZÒ.ÜOÔ;Ð �*ß���� r 7 ØÐBi.ÑZ×AÏ ØÜÝ× Ù Ô �ÏwÑZÓ ÔZ×�Õ¯Ñ � � ì.L.L.Ljì �� � � Ù ×�� i�CÑ�Ð�Ö^ÔZ×AÏ�ÜK. Ù ×¡Ü ��ÑZÒ.ÓÚÐ�Ö =�ØÔ�ÖdÜ=i.Ô�ÖM�PÖ�Ð=<�Ô�Ô�� Ù ×�� i CÔ¯Ñ���¹#wP½�è��¹ � � ¹#w?½.ì.L.L.Ljì � � ¹#w?½ Ð�×�Ï�CÔ¯Ñ B / . � ì ! ý�è ë �?> ¹ � ½ H,Ô#"ZØÐ�Ó ÕXÜÇÖ.Ö�ÑðÔ Ù ÔX×AÏ�Ü;.Õ¯Ô�Õ�Ð�Õ¯Ô ÕZÜÝÒ�Ð�ÜÝÏwÔ ÛsÑ�ÕmÐ&Ö�Ð�ÒÚÏwÑZÓ Ô¯Õ¯Ô Ù ×¡Ü ��ÑXÒ.ÓÚÐÚÖ�Ñ+=�Ò�Ð Ù Ó i{ÑZ×�< Ù ×AÏwÑxi{ÑZÓ�ÛsÔ i�ÏwÑ Õ�Ð�� Ö=4��Õ�ØÐ�Ü�Ô�Õ¯Ô�Û�Ò�Ñ �ZÔ 4 �3¨�ªX«¡²D¬#¬#©�§�¬X­{§�® ª�²D§ ªZ³A­�¬�ÅD°±® ª�Á¸ZªZ¬�²¡§,N§�°µ§�­{¨�©�­{ªX¨{¨�§ ¬ Ê ªZ©�¬²D§ /�¨�§�­ ¾ ® ª3®�§�²¡°Ç²¡ªsËX«?ªZ¬ö¶§/¸�¬¯® ³Aͱ°±¸�ªX²D¬3­�§�² ¾ Þ�°µ­)«¡¬¯¨�¨�¬,³¡­�¬XÀAͱ§�® ª�ª3³¡­{¬ ¼ ªZ­)§�¨�©�ª³¡­{¬X³�¬¯¨{°2Á¸ZªZ¬�«D¬�¸�ªX¨�¬3²D§ � ¨�§�­ ¾ ® ³P¬¯Í±°Ç«ó¬¯® °µ¬ � ¿ Í.¶§�® ²A°±¨�¨�¬DËj³�¬s²D§�®�¬¯¨P©�­{¬ç¸�ªZ­ /,³P¬X­¹/ ê � ½ � ÷ ²¡§%®�¬s²D¬ÚÄ ¾ § á � ¹#wP½ á ã /B¹#wP½/³�ªZ­{ª�©�¬s²D¬Nw J ���� Ë �ã � ã� � &�ªX°Ç¨ªX°±«A²¡ªsËA³P¬X­�ÍÇ°±«D§�ªZ­{°±²AªX²D§�§�ª ¾ ®�§�«�©�ªX«A²D¬ ³AªZ­{ª G Ë�À�ªX¨�©�ªÚ³A­�¬ ¼ ªZ­�¬�­�§�¨ ¾ ͵©�ªX²D¬³AªZ­.ª;]Ú¹#w � ì.L.L.L�ì w � ½�è w � L.L.L5w � � 6 ¾ ¨�§bÎ�ªsËAÄ ¾ §�­�§�®�¬¯¨ ¼ §�­3Ä ¾ §

B+��ì ����� �

� � ý�è0/ � ¹ � ½

³AªZ­.ª ©�¬s²D¬��Æß ��6� r 7´¨�ªZ©�°Ç¨ Ê ªZÞ�§�«A²D¬ ����� � 0>� H ã �Z� ï�Åç³AªX«A²¡°±®�¬¯¨&¬ÃͱªX²D¬§�¨�Ä ¾ §�­{²¡¬ ¸�¬¯®�¬

���I¹#wP½ ��

��� ��¹ �

� �� � > ��� 0>� H�� � ���� � ¹#w ê 2 | � � ½ á 2 | � � J ¹

Dà�D ½ � � � ½ á w J D

à�D ��¡ªZÞ�§�«A²D¬ ªN® ¾ ²¡ªX«KÁ¸�ª 2 | � ��è 2#ê � | � �3³AªZ­{ª ©�¬s²D¬ 2vJ ¹ ��6� ½ � � � Ë�©�¬¯® ªX«A²D¬ ª® ¶§�²¡°Çª�§�® 2 ËD§�Ås³AªX«¡²¡°Ç«¡²D¬�¬¯¨�³¡­�¬s² ¾ ©�¬¯¨/§�® �Ú§�°±«m©�§�­{¸�ªX®%À�°±ªX«¡²D¬�ªX¨�§�¨�³P§�­{ªX«IÁ¸�ªX¨�˳P¬s²D§�®�¬¯¨/­�§�§�¨�¸�­{§ ¼ §�­�°±¨�¨�¬�§�®ñ©�§�­{®�¬¯¨�²D¬ ³¡­�¬s² ¾ ©�¬�°±«m©�§�­{«D¬ ²¡§ú3¬���§�­{¨

^¹ B ¹� � > � ½ � � � > ��� 0�� H ý � 0�� H á � J ¹�¹ Dà�D ½ � � � ½ � ½.쬯«¡²¡§ � è ¹ � | � � ì.L.L.L�ì�� |�� � ½.Ë � � > � ß è �)Ë � � > � ß è � ��� � ³�ªZ­{ª �è3U ¸�¬¯® @ � è�¹� @ � | � �{ì.L.L.L�ì1 �K|�� ��½�§

����� H�� >������ > ����� � ¹#wP½�ß è ����� �

� ¹#w ê! | � � ½ ³AªZ­{ª�©�¬s²D¬ | � � ì.L.L.Ljì |�� � J Dà�D L

Page 16: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� � �������������� ���������������� ��� ����

ï�®î³�ªZ­�©�°±¸ ¾ ͱªZ­`Ëmª�²D§�¨�°µé ¾ ªXͱ²¡ªX²D§3²D§%ú3¬���§�­{¨2º M ª ¾ ¸{û ��ºbüs¸.û �/ªZ­�Þ§ ����� � 0�� H ã �­�§�² ¾ Þ�§�®Æª�³¡­�¬X³P¬¯¨�°�Á¸ZªZ¬ ª�³¡­�¬ ¼ ª ²Aª�§�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ª��

�� �� � > ��� 0>� H � � ����

�%� � � � � � 0�� H á � J ¹�¹ DàD ½ � � � ½ � � è / � ¹ � ½ L )¬X­ ���¬¯Í±²D§�­�ËDÀ�ªX¨�©�ª ¼ §�­�Ä ¾ §

^¹��%� ��� � � �0>� H � �� 0>� H á � J ¹�¹ Dà�D ½ � � � ½ � ½�½�è0/ � ¹ � ½.ì

³AªZ­.ª�¸�ªX²¡ª, J â Usì � æ � � � .KU ��K°»Ås§ � M ¬¯®�¬ ÷ � � � . � ã�÷ � � � §�§�¨�©�ªX®�¬¯¨�§�® §�¨�³�ª�Á¸�¬¯¨�²D§�³¡­�¬XÀAªZÀA°Çͱ°±²¡ªX²D§XËÀAªX¨�©�ª�³¡­�¬ ¼ ªZ­

^¹�� � ��� � � �0>� H� 0>� H á � J ¹�¹ Dà�D ½ � � � ½ � ½�½�è0/ � ¹ � ½ L

ï�¨�©�ªÆ¶¾ ͵©�°Ç® ª §�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ª;¶§ ¼ §�­{²¡ªX²D§�°±­{ª ³P¬X­ ¾ ®+ªZ­�é ¾ ®�§�«m©�¬·ªX¨{¨�°±®#ß �è U°±® ³Aͱ°±¸�ªÄ ¾ §�ª�©�­{ªX«A¨ Ê ¬X­.® ª�Á¸ZªZ¬ vr ��¶§�­{§�¸�¬XÀ¡­{°±®�§�«m©�¬Då¡°±¨�©�¬�³P§�­{® °±©�§ ¾ ¨¡¶ª�º�ͱª³AªZ­.ª ® ¾ ²¡ªZ­�ªX¨ ¼ ªZ­.°�¶ª ¼ §�°±¨�§XË�ªZ©�­{ª ¼ ¶§�¨�²¡ªÚûA°µ³�¶¬X©�§�¨�§ á � ¹#w?½ á ã /8¹#w?½.Ë ¼ §�­{°µÈ�¸�ªZ­3Ä ¾ §ª�¬�ÍǪX²D¬�§�¨�Ä ¾ §�­{²D¬4²¡ª#°µé ¾ ªXͱ²¡ªX²D§�ªX¸�°±® ª4³�¬s²D§�¨�§�­�§�¨�©�°±® ªX²D¬#³P§�ͱª�¸�¬¯«¡²¡°�Á¸ZªZ¬4²D§¸�¬X­�­{§�ͱª�Á¸ZªZ¬DËXΡ¶ª�Ä ¾ § / ¶§�³A¨�§ ¾ ²D¬Zº�ªX͵§�ªZ©¡¶¬X­{°±ª � 0I§bÎ�ª( � Ë¡³¡­�¬X³ �-,ç��÷ * ���Ð�Ö Ù Ó Ñ#Õ¯Ô&Ö Ù =�Ö�Ð � i CÔ¯Ñ�� 23×�Ï�Ü;.��×AÜ ��ÑZÒdÓ�ÜOÕ¯Ô¯ÕmÐ �Zß

¦�§�¨�©�ª�¨ ¾ À�¨�§sÁ¸ZªZ¬ °±«m©�­�¬ç² ¾ Þ�°±®�¬¯¨^¬ ¸�¬¯«¡¸�§�°µ©�¬ ²D§�ªX«m©�°»º ¾ «A° Ê ¬X­.®�§XËm¬ Ä ¾ ªXÍP¨�§�­ ¼ §�³�ªZ­{ª°±²¡§�«�©�°µÈ�¸�ªZ­ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨&«8ªZ¬ ¾ «¡° Ê ¬X­{® §�¨�§ ¼ °±®�¬¯¨�²D¬¯°±¨Ú­�§�¨ ¾ ͵©�ªX²¡¬¯¨Ú°±®�³P¬X­�©�ªX«m©�§�¨�ß𬳡­.°±®�§�°µ­�¬ ¶§·Ä ¾ § ©�¬s²¡ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ éX§�­{ª «¡ªZ© ¾ ­{ªXͱ® §�«�©�§ ¾ ® ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ � ªX«m©�°»º¾ «A° Ê ¬X­.®�§À�¶ªX¨�°±¸�ªs˸�¬¯® ­�§�¨�³P§�°µ©�¬4ª4Ä ¾ ªXÍIª4¸�¬X­�­{§�ͱª�Á¸ZªZ¬JB �ì � ´ý�¨�§�­A¶ª�éX­{ªX«A²D§¨�§�® ³¡­�§&Ä ¾ § «?ªZ¬ Ê ¬X­ ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§Xå�¬ð¨�§�é ¾ «¡²D¬ ®�¬¯¨�©�­{ª Ä ¾ §&ª ®�§�²¡°Ç²¡ª4³A¨�§ ¾ ²D¬ZºªX͵§�ªZ©¡¶¬X­.°±ª ¨�§�²¡°Ç¨�©�­ ¾ À ¾ °AÀP§�®ñ¸�¬¯®ô­�§�ͱª�Á¸ZªZ¬Úª ØÔ " �çÐ =�Ò�Ô�éX§�­{ªX²¡ª ³�§�ÍǪX¨ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨�ªX«m©�°»º¾ «A° Ê ¬X­.®�§�¨�À�¶ªX¨�°±¸�ªX¨ �¿ ¨�§�é ¾ °µ­�ËX§�¨�© ¾ ²¡ªZ­�§�®�¬¯¨IªX¨I¨�°±é¯® ªX¨2º�¶ªX͵éX§�À¡­.ªX¨KéX§�­{ªX²¡ªX¨I³P§�͵¬¯¨K¸�¬¯«�Î ¾ «m©�¬¯¨I²D§�«8¶� ¼ §�ͲD§ Ê ¾ «IÁ¸Z¬X§�¨ÚªX«m©�°»º ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§XË/ªX¨ÚÄ ¾ ªX°±¨&¨�ªZ¬·ªX¨Ú³P§sÁ¸�ªX¨ÚÀ�¶ªX¨{°±¸�ªX¨Ú²¡ª ¨�°µé¯® ª�º�¶ªX͵éX§�ÀA­{ª¸�¬¯® ­�§�¨�³P§�°µ©�¬ðªöÄ ¾ ªXÍ�©�¬¯®ÚªZ­�§�®�¬¯¨�§�¨�³P§�­{ªX«KÁ¸�ªX¨�²D§&® ¬ç²D¬ðª�¬XÀA©�§�­ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨ÀP¬¯ªX¨¹wè ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¨.½ �( � ( � ���#�/� $s-3��Q9#�����T�!$��¯7 ¿ Ä ¾ ° ¼ §�­�§�® ¬¯¨�¸�¬¯® ¬ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨ªX«�©�°»º ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¨�éX§�­.ªX®«¡ªZ© ¾ ­{ªXͱ®�§�«m©�§�¨�°µé¯® ª�º�¶ªX͵éX§�ÀA­{ªX¨K¬¯«¡²D§/§�ͱªX¨I¨�ªZ¬�ÀP§�®;¸�¬¯®�³P¬X­�©�ªX²¡ªX¨�¹�° � § � ³�§�­.® °µ©�§�®¬ ¾ ¨�¬ ²D¬ ©�§�¬X­�§�® ªÚ²D§�üçÞ�§�®�§�­{§�²¡°?«¡ª ¨ ¾ ª Ê ¬X­{®Úª�¬X­{°µé¯°±«¡ªXÍݽ �� ����(8���F���!�K��7 O87 �87;:�Ð / ØÐ �/.ÇÛAÖ�Ð Ù Õ�Ñ�Ô#"±Ð�ÔXÏwÑZÒdÜOÔ Ð �� � ì.L.L.L`ì � � Ö�CÔ¯Ñ � Ù ×�� i CÑ�ÐdÖÔZ×�Ï�Ü;. Ù ×¡Ü ��ÑZÒdÓÚÐdÖ =�ØÔZÖ.Ü i{Ô�Ö54 0�ÔZÒ�Ô�ÏwÑ�Õ¯Ñ (-B � Ð��JB � � ÷ Ð *XÜ:ÖdÏ�Ð Ù Ó Ô%Ö.Ü �XÓ Ô#.8ØÔ#" �mÐ =�Ò2Ô� ÏwÔ#"T Ù Ð�Ö�Ð�à ØÐ Ù Ó"Û�ÒdÜ:Ó Ñ��¯Ò2ÔZ×�Õ�Ð Ð�×�Ï�CÔ¯Ñ%Eò ��� � . �¹ � � á � ½ � ) ! ã ( ����4ò �8*XÜ:ÖdÏ�Ð Ù Ó�� ? � < i.ÑZ×�< Ù ×�ÏwÑ Ð *�i.ÐbÛ�i�ÜOÑZ×�Ô#" = ÏwÔ#" Ù Ð �¹�¹/ êô� ½ �� ½ÿè

/ � > / ¹� � � � ½=4ò �j¹ � . �� ½�^¹%/ . � á � ½ � ) ! è0/ � > / ¹� � � � ½=4

Page 17: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � � �

0�Ò2Ñ�Ñ��=4 6 ³P¬¯«m©�¬ ²D§N³AªZ­�©�°Ç²¡ª ²¡ª ³¡­�¬ ¼ ªÃ²D§�¨�©�ªÃ³¡­�¬X³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬ ¶§ ¬ ¨�§�é ¾ °±«�©�§·Íµ§�® ªé¯ªZ­{ªX«m©�°±«¡²¡¬ Ä ¾ §�¸�ªX²Aª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ éX§�­{ª ¾ ® ª�¨�°µé¯® ª�º�¶ªXͱéX§�À¡­{ªsß� ��� � $�O87:9�7;:�Ð=<�Ô / Ù Ó Ô�ÓÚÐ�ÕZÜOÕ¯Ô �/.ÇÛAÖ�Ð Ù Õ¯Ñ#.�Ô#"±Ð�ÔXÏAØÑZÒdÜOÔ � UQB�� B � Ð_U B � B� � ÷ ÛsÔZÒ�FÔZÓÚÐ�Ï�Ò�Ñ�ÖM�Ð � J ����¹ ���� ½ Ù Ó�Ô"� Ù × � i�CÔ¯ÑöÏwÑZÓ ÔZ×�Õ¯Ñ�ZÔ#"µÑZÒ�Ð�Ö�×�Ñ4ÜÝ×AÏ�Ð�Ò!�ZÔ#"»Ñ�Úß èE(3. ÷ � 0�� H ì ÷ � 0�� H * 4��/×AÏ�CÔ¯Ñ ��Ð *¯ÜÇÖ�Ï�Ð ��� > � ¹ �%½ Ù Ó ÔÚÖ.Ü �XÓ Ô#.8ØÔ#" �mÐ =�Ò2Ô�ÏwÔ "C Ù Ðò < ��ÛDÐ�Ò�Ï�Ð�×�i.Ð�ÔÚÖ Ù Ô�Û�Ò�ØÑ.Û�ÒdÜ�Ô �?.8ØÔ#" �mÐG=�Ò�Ô = 0�ÔXÒ2Ô�ÏwÑ�Õ�Ôu� �?.?ØÔ " �çÐ =�Ò�Ô �

� � . �¹ � á ��� � � > � ¹ �%½�½ � ) ! | � � � ã �.Lò < � ÑZÓ�Û�"±Ð *XÜOÕ¯Ô¯ÕmÐ " Ü:Ó�Ü�ÏwÔ¯Õ¯Ô =j��� > � ¹ �%½%Ï�Ð�Ó /Ú¹ � ���.½ ØÔXÏwÑZÓ Ñ�Ö54ò <3Ñ�Ô Ô.Û�Ò�Ñ-*XÜÝÓ Ô*� i�CÔ¯Ñ�ÛsÑZÒ5� Ù ×�� i�CÑ�Ð�Ö;i.ÑZ×AÏjØ� × Ù Ô�Ö&Õ�Ð ��= :�Ðn> ØÐ Ù Ó ØÔXÏwÑXÓ�Ñ Õ�Ð��� > � ¹ ��½M��Ð�×AÏ�CÔ�Ñ4Ð *XÜ:ÖdÏ�Ð � � ß �jr ( Usì � *�ÏwÔ "T Ù Ð

�j¹ ��� .!� � ¹ ��½�½�¹/ ê � ½ � ) H | � � � è0/ ¹�B½ L� ÔZÜ:Ö�ÔXÜ:×�Õ�Ô � � � ÛDÐ�ÒdÏ�Ð�×�i.Ð�Ô Ù ÓVi{ÑZÓ�ÛsÔ i�ÏwÑ� e?�� � ¹ �ç½� Ù Ð�Ü:×�Õ�ÐVÛDÐ�×�Õ�Ð�Õ�Ð��ì /sì�à*Ð > 4

0�Ò2Ñ �ZÔ�Õ¯Ñ "µÐ�Ó Ô W 4��A4 É §�ÈA«Aª ª ®�§�²¡°Ç²¡ªjt «D¬ ¸X¶� ­{¸ ¾ ͱ¬ ¾ «¡°µ©¡¶ªZ­{°µ¬��Ãß è)7�� D ³P¬X­t�¹=>,½�ß è*�¹ ��� ¹ ��¹ ��¹#w?½ ���.½�½�¹/8¹#w?½ ê � ½ á w J D

à�D ½.쬯«¡²¡§!� ß 7 r��̶§%ª ³¡­�¬�Î�§sÁ¸ZªZ¬Ú¸�ªX«ó¬¯«¡°±¸�ª §n> ?�� � ¦�¬X©�§%Ä ¾ §

t�¹��½�è�^¹/ ê � ½�è0/Ú¹ � ½ L,B¬XéX¬DË¡¬ ³¡­{°Ç«¡¸X¶� ³A°µ¬�²¡ª�¸�ªX¨�ª&²D§�³P¬¯®%ÀP¬¯¨/³P§�­{® °µ©�§�ªX¸.û¡ªZ­�� J �é�ªXÍÄ ¾ §

t�¹&(��. �Pì�� ê � *ݽ�è0/ ¹�B½ L�K°»ÅDªX®�¬¯¨�§�¨�©�§�� � )¬X­3²D§�ÈA«¡°2Á¸ZªZ¬DËD©�§�® ¬¯¨�§�«m©�ªZ¬

�z � �

^¹ ��� | }F� - � | z � � 9�� � > � |~z 9 � 9�� � 2 ¹/8¹#wP½ ê � ½ á w J Dà�D ½Iè / ¹�B½ L¹ ÷ ½

É §�ÈA«¡°Ç®�¬¯¨ � � > � ¹ ��½/¸�¬¯®�¬Úª ��º�¶ªXͱéX§�À¡­{ª ¸ ¾ Î�¬¯¨4¶ªZ©�¬¯®�¬¯¨�¨�ªZ¬ � � � ¹&(��j¹ ä&ê �)½.ì��j¹ ä�ê� ê'� ½ *ݽ�³AªZ­.ª äeJ D � 4 ¨�©�¬ §�¨�©¡¶ª ÀP§�®�º�²D§�ÈA«A°±²D¬ð³�¬X­.Ä ¾ §#¬¯¨&°±«m©�§�­ ¼ ªXͱ¬¯¨ (��`¹ ä ê�K½.ì��`¹ ä�ê � ê � ½ *)³AªZ­�©�°±¸�°±¬¯«¡ªX®Æª�­�§�©�ª �

M ͱªZ­.ªX®�§�«�©�§�¨�§_� ¶§ ¾ ® ª ��º�¶ªXͱéX§�À¡­{ªsËD§�«m©�ªZ¬ ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ � ­�§�¨�©�­{°µ©�ª�ª ¾ ® ¶ªZ©�¬¯® ¬²D§;��� ��� > � ¹ ��½,©�¬¯® ª ¼ ªX͵¬X­�§�¨�« ¾ ®´°±«m©�§�­ ¼ ªX͵¬4²D§ ²¡°VóªX® §�©�­�¬���Ë8¬4Ä ¾ § «D¬¯¨%²�¶ª�¬³¡­.°±®�§�°µ­�¬4°±©�§�® ²D¬ð͵§�® ª ¹ �ô³�§�­{©�§�«¡¸�§&ªð¨ ¾ ªö³¡­A¶¬X³¡­.°±ª ��º�¶ªX͵éX§�À¡­{ª�½ � ¿ éX¬X­{ªsË�¨�§bÎ�ª> ß è � � � ¹&(��j¹ äöê �)½.ì��j¹ äöê � ê�� ½ *ݽ ¾ ® ¶ªZ©�¬¯®�¬ð²¡§R��� > � ¹ ��½ � M ¬¯®�¬ �Æ©�¬¯®Úª¼ ªX͵¬X­�§�¨,§�® �AË?©�§�®�¬¯¨�Ä ¾ § ä è /Ú¹ � ���.½�¹�¸�ªX¨�¬4¸�¬¯«m©�­A¶ªZ­{°±¬DË*>'è��¯½ �-4 ¨�©�¬�³A­�¬ ¼ ª�¬¨�§�é ¾ «¡²D¬ °µ©�§�® ²D¬Ú͵§�® ªö¹�¸�¬¯®�³A͵§�ÅD°±²¡ªX²D§�ÍÇ°±® °µ©�ªX²¡ª�½ � �K°±«¡ªXͱ®�§�«m©�§XËA¨�§bÎ�ª ! � ß 7�r( Usì � * ¾ ® ª Ê ¾ «IÁ¸ZªZ¬4À ¾ ®�³ ÈDÅsªX²Aª4©�ªXÍ�Ä ¾ § ! � è � §�® ( �Pì � . � *^§ ! � è U�§�®(3. �Pì ��ê � *wË?§�²D§�ÈA«Aª � � ¹#wP½�ß è ! � ¹ } � . ä . �K½ � 6 À ¼ °ÇªX®�§�«�©�§XË � � ¼ ªZ­{°±ª�« ¾ ®¸�¬¯®�³�ªX¸�©�¬! � > � ²¡§ � � ¹ �s½%¹Ý³P¬¯°±¨ ä §��è�ªZ¬�ͱ°±® °±©�ªX²D¬¯¨.½�§�ª&°±é ¾ ªXͱ²¡ªX²D§ ÷ °Ç®�³Aͱ°±¸�ª¬�©�§�­{¸�§�°µ­{¬ °µ©�§�®Æ²D¬�͵§�® ª#¹ÝÀP¬¯ª�ªZ³¡­�¬`Ås°±®Úª�Á¸ZªZ¬ ³P¬X­ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨�¸�¬¯«m©�¶� « ¾ ªX¨�²D§ ��½ �

Page 18: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� � �������������� ���������������� ��� ����

¿ éX¬X­{ª ¼ ¬¯Íµ©�ªX®�¬¯¨,ªÚ³A­�¬ ¼ ªÚ²¡ªÚ³¡­�¬X³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬ ( �-,ç� �¬¯® ªX®�¬¯¨1�ôß è ��� > � ¹ � � ½ ����� � � > � ¹ � � ½.Ë�¬¯«¡²D§ � � > � ¹ �� � ½�¶§�ª�¨�°±é¯® ª�º�¶ªX͵éX§�À¡­{ª,²D¬�͵§�®Úª ( � � � M ͱªZ­{ªX®�§�«m©�§¬�³¡­.°±®�§�°µ­�¬�°µ©�§�®ô²¡ª�³¡­�¬X³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬ ( �-, ¨�§�é ¾ §%²D¬�³A­{°±®�§�°µ­{¬�°µ©�§�®ô²D¬Ú͵§�® ª ( � � �¿ éX¬X­{ªsËD¸�¬¯®�¬¸�ªX²¡ªn��� > � ¹ � � ½)©�§�® / ¹ � ���d½ ¶ªZ©�¬¯®�¬¯¨�Ë�� ¶§�éX§�­.ªX²¡ª�³P¬X­ / � > �d¹ � ½¶ªZ©�¬¯®�¬¯¨ ��É °µ­�§�® ¬¯¨�Ä ¾ § ¾ ®ø¶ªZ©�¬¯®�¬h>;²D§y� ¶§�ÛDÐ+ Ù Ð�×�Ñ&¨�§;�¹�¹/ ê � ½ ��� ½ ã � � � � �É §�«D¬X©�§�³P¬X­ � ª ¾ «¡°OªZ¬ ²¡§%©�¬s²D¬¯¨�¬¯¨ð¶ªZ©�¬¯®�¬¯¨3³P§�Ä ¾ §�«¡¬¯¨ � ï�«m©�ªZ¬ � J �î§ ¼ ªX͵§¬¨�§�é ¾ «¡²D¬ °µ©�§�®ñ²Aª�³¡­�¬X³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬ ( �-,ç� KªZ­{ª�³¡­{¬ ¼ ªZ­�¬ ¶¾ ͵©�°Ç®�¬�°µ©�§�®#Ë¡ÀAªX¨�©�ª�³¡­�¬ ¼ ªZ­�Ä ¾ §

�¹�¹/H. � ½ ��� ½�¹ ��� ½ è*�¹�/H. � á >�½�è ë � > � > � ¹ � ½ ê / � > �d¹� � � � ½

³AªZ­.ª�©�¬ç²D¬ ¶ªZ©�¬¯®�¬N>;«?ªZ¬ ³P§�Ä ¾ §�«D¬ �IÉ ªÚ²D§�ÈA«A°2Á¸ZªZ¬�²D§�³P§�Ä ¾ §�«D§�ÞXËD©�§�®�¬¯¨�Ä ¾ §^¹�¹%/ . � ½ � � ½ êÃ÷ ^¹ � � ½�è*�¹{¹/ ê � ½ � � ½ & � � � �

³AªZ­.ª >Æ«?ªZ¬4³P§�Ä ¾ §�«D¬ � ,8¬XéX¬DËI¸�¬¯®�¬ �ڳP§�Ä ¾ §�«D¬4§�à ¶§�éX­{ªX«¡²¡§XË�¶§�¨ ¾ ÈA¸�°µ§�«m©�§¼ §�­{°±ÈA¸�ªZ­�Ä ¾ §�¹�¹/H. � ½ ��� ½�è ë � > � > � ¹ � ½ ê / � > �.¹� � � � ½ L

)¬X­�¬ ¾ ©�­�¬ ÍǪX²D¬DË�¨�§�«¡²¡¬x> ªN°±«m©�§�­{¨�§sÁ¸ZªZ¬ ²D§ ¶ªZ©�¬¯®�¬¯¨ > � J ��� > � ¹ �� C��½.Ë � è� ì.L.L.Ljì Ë)¬�͵§�®Úª'( � ��§�ª�²D§�¨�°±é ¾ ªXͱ²¡ªX²D§�²D§ � �¬¯Í±²¡§�­®�¬¯¨�©�­.ªX® Ä ¾ § §�ÅD°±¨�©�§�� � ß� � r ( Usì � *K©�ªXÍ8Ä ¾ §

�j¹/ êÿ� ½�¹ ��� .!� � ¹ �� � ì.L.L.L`ì � � ½�½ � ) H | � � �è0/ � ¹�B½.ì

²D¬¯«A²D§�j¹/#. � ½�¹ � � .!� � ¹ �� � ì.L.L.L`ì � � ½�½ � ) H | � � �

è0/ � ¹�B½ L¿ Í.¶§�® ²¡°Ç¨�¨�¬DË�� � §�¨�©¡¶ª�« ¾ ® ¸�¬¯®�³AªX¸�©�¬� � > � > � ²D§�� � ¹ � � ½ �:4 ¨�©�¬�§�ª�³¡­�¬X³P¬¯¨�°�Á¸ZªZ¬ ( � �¹�²D§N²¡°Ç¨�©�­{°µÀ ¾ °2Á¸ZªZ¬ ¾ «¡° Ê ¬X­{® §ö¸�¬¯® ­�§�¨�³�§�°±©�¬ ª Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨#ªX«m©�°»º ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¨&À�¶ªX¨�°Ç¸�ªX¨.½°±® ³Aͱ°±¸�ªX®

�¹�¹/ . � ½ � � ¹ � � ì.L.L.L`ì � � ½�½�è ë � > / > � ¹ � ½�è0/ � > / ¹� � � � ½.ì³P¬¯°±¨�à ¶§ÚéX­{ªX«A²D§Ú²D§�³P§�«¡²D§�«A²D¬#²D§ ì�(¯ì � � ï�¨�©�ª4§�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ª#§�ª4²D§�¨�°µé ¾ ªXͱ²¡ªX²D§©�­{°ÇªX«Dé ¾ ͱªZ­�¸�¬¯«¡¸�Í ¾ §�®ñª�³¡­�¬ ¼ ª �

��ÐdÖ Ù Ó Ñ#Õ¯Ô&Ö Ù =�Ö�Ð � i�CÔ¯Ñ�� :AÜ �¯Ó�Ô . Ø2 " �çÐ =�Ò2Ô�Ö���ߦ�§�¨�©�ªÃ¨ ¾ À�¨�§sÁ¸ZªZ¬ ªX¨�¨�¬s¸�°±ªX®�¬¯¨4ªÃ¸�ªX²Aª Ê ¾ «IÁ¸ZªZ¬ ªX«m©�°»º ¾ «A° Ê ¬X­.®�§öÀ�¶ªX¨�°±¸�ª �� ¾ ® ª¨�°±é¯® ª�º�¶ªX͵éX§�À¡­{ª � ¸�¬¯® ­�§�¨�³P§�°µ©�¬�ªÄ ¾ ªXÍ¡ª�§�¨�³P§�­�§�«IÁ¸�ª ^¹ �� á � ½�²D§ � ªZ³¡­�¬`Ås°Ç® ª� ´¹Ý¬ ¾ ¨�§bÎ�ªsË � ¶§�Ä ¾ ªX¨�§�¸�¬¯«¡¨�©�ªX«m©�§ «D¬¯¨ ¶ªZ©�¬¯®�¬¯¨�²¡§ � ½�§�ª�®�§�²¡°Ç²¡ª ³A¨�§ ¾ ²D¬ZºªX͵§�ªZ©¡¶¬X­.°±ª�/�©�§�® ¼ ªX͵¬X­�§�¨�³¡­A¶¬ZÅD°±®�¬¯¨�ª � ËA§�®ñ®·¶§�²¡°±ª�¹�¸�¬¯®ô­�§�ͱª�Á¸ZªZ¬Úª � ½ �¦�¬�§�¨�©¡¶ªZ鯰µ¬ ¨�§�é ¾ °Ç«�©�§XË ¾ ¨{ªZ­�§�®�¬¯¨/§�¨�©�ª�® ªXÄ ¾ °±«�¶ªZ­{°±ª�²D§ Ê ¾ «IÁ¸Z¬X§�¨�ªX«�©�°»º ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¨À�¶ªX¨{°±¸�ªX¨�§�¨ ¾ ªX¨%¨{°µé¯® ª�º�¶ªX͵éX§�À¡­.ªX¨%³AªZ­.ª Ê ¬X­.® ªXͱ°µÞ�ªZ­¬�³¡­�¬s¸�§�¨�¨�¬ð²D§Ú²D§�¸�¬¯® ³�¬¯¨{°2Á¸ZªZ¬§�®�³AªZ­�©�§�¨)ÀP¬¯ªX¨�¹ ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¨d½P§/­ ¾ °±«A¨^¹�ªX«m©�°»º ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¨d½?ªZ©�­{ª ¼ ¶§�¨�²¡§ ¾ ®Úª�°±«A² ¾ Á¸ZªZ¬ ��3®´³P¬¯«�©�¬ Ê ¾ «A²¡ªX®�§�«m©�ªXÍ�¨�§�­A¶ª#鯪Z­.ªX«�©�°µ­�Ä ¾ § §�¨�©�§Ú³A­�¬ç¸�§�²A°±®�§�«m©�¬#³AªZ­{ª4¸�¬¯® ¾ ®«,¶¾ ®�§�­�¬ È�«¡°µ©�¬·²¡§ö°µ©�§�­{ª�Á¸Z¬X§�¨ �E4 ¨�©�¬ ¨�§�é ¾ °±­A¶ª·²¡¬ ÔZÒ� Ù ÓÚÐ�×�ÏwÑ Õ�Ð ÜÝ×�i�Ò�Ð�Ó Ð�×AÏwÑ Õ�ÐÐ�×�Ð�Ò�XÜOÔ �

Page 19: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � � �

( � þ � � $ �/��&T� ��7��A� +T� �=7*" ����� ��7��A� 7l$ ��7C� �/���#$?7 �3¨�ªX«¡²D¬ §�¨{¨�ªX¨�¨�°±é¯® ª�º¶ªX͵éX§�ÀA­{ªX¨�³P¬ç²D§�® ¬¯¨&¬XÀA©�§�­4ªÃ²D§�¸�¬¯®�³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬Ã²D§�¨�§bÎ�ªX²¡ª §�® ³AªZ­{©�§�¨ ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¨&§³AªZ­{©�§�¨�ªX«�©�°µº ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¨�ß������������� O?7�Aÿ¹���¬m¬X³�® ªX«sº ¼ ¬¯«�¦�§ ¾ ® ªX«A«�éX§�«D§�­{ªXͱ°µÞ�ªX²¡¬m½.7;:�Ð=<�Ô / �/.±ÛAÖ�Ð Ù Õ¯Ñ�Ô "µÐ{ÔXÏAØÑZÒdÜ�ÔÐ � J � � ÏwÔ#" Ù ÐjU ã � ã /8¹#w?½M� (B B � Ð�à ØÐ Ù ÓñÛ�Ò.ÜÝÓ Ñ �XÒ�ÔZ×�Õ�ÐA4 �/×AÏ�CÔ¯ÑÐ+*XÜ:ÖdÏ�Ð Ù Ó�ÔÚÖdÜ �¯Ó�Ô .?ØÔ#" �mÐG=�Ò�Ô � Ð Ù ÓVi{ÑZ×F< Ù ×AÏwÑ4Ð+* i.ÐbÛ�i�ÜOÑZ×�Ô " � J � ÏwÔ "T Ù ÐFEò ^¹/ . �� ½Iè ë / ¹ � ½�<bÑhi{ÑZ×�< Ù ×AÏwÑ4Ð *�i.ÐbÛ�i�ÜOÑZ×�Ô#"&ØÐ�ÛDÐ Ù Ð�×�Ñ = 4ò �j¹ � . � � ^¹/J. � á � ½ � ) ! è ë / ¹ � ½ < =�Ñ�Ô ÕZÜ:ÖdÏ�ÒdÜ = Ù Ü � i CÔ¯Ñ Õ¯Ô � Ù ×�� i�CÔ�Ñ ��ÑZÒ�Ô·Õ¯Ñi.ÑZ×�< Ù ×AÏwÑ4Ð *�i.ÐVÛqi�ÜOÑZ×�Ô#" =#4

ò �j¹ � . � � ½�¹� . �¹� á � ½ � � 0�� H ã ( � � � 0 < Ù ×¡Ü ��ÑZÒ.Ó�ÜOÕ¯Ô¯Õ�Ð&Ð�Ó � =��Õ�Ð�Ü�Ô�Õ¯Ô�Û�Ò�Ñ �ZÔ4Õ¯Ñ�Ï�Ð�ÑZÒ�Ð�Ó Ô W 4�� 4 ¿ §�¨�©�­{ªZ©m¶§�鯰±ª À�¶ªX¨�°±¸�ª ¶§�ªö®�§�¨�® ªö²D¬�©�§�¬X­�§�®Úª²D§ §�¨�©�­ ¾ © ¾ ­{ª §�­�é�¶¬¯²¡°Ç¸�ªÃ²D§�� ¾ ­{¨�©�§�«mÀP§�­�é � ßø�¬¯®�§sÁ¸�ªX®�¬¯¨�¸�¬¯®6ªÃ¨�°µé¯® ª�º�¶ªX͵éX§�ÀA­{ª� è â �çì ���� æ§�¬¯ÍÇû¡ªX®�¬¯¨�³AªZ­.ª ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ �Q. ^¹� á � ½ � üs§�§�ͱª Ê ¬X­ ¾ «A° Ê ¬X­.®�§ ¹�° � § � ˼ ªX͵§�¬�©�§�­{¸�§�°µ­{¬%°µ©�§�®�ªX¸�°±®Úª�½.ËmªX¸�ªZÀAªX®�¬¯¨ � M ªX¨�¬%¸�¬¯«m©�­A¶ªZ­{°µ¬DË ¾ ¨�ªX®�¬¯¨�¬¯¨I­�§�¨ ¾ ͱ©�ªX²D¬¯¨¨�¬XÀA­�§&ªX«m©�°»º ¾ «¡° Ê ¬X­{®Ú°±²¡ªX²D§�³AªZ­.ªöªX¸.û¡ªZ­ ¾ ® ª � � ªX«m©�°»º ¾ «A° Ê ¬X­.®�§Ú¸�¬¯® ¸�¬X­�­�§�ÍǪ�Á¸ZªZ¬«?ªZ¬Zºw©�­.° ¼ °ÇªXÍD¸�¬¯® �&§�ªX²¡°±¸�°±¬¯«¡ªX®�¬¯¨I¬¯¨�¸�¬¯«ZÎ ¾ «m©�¬¯¨�²¡§�«8¶� ¼ §�ÍD²D§ � � ª%¨�°µé¯® ª�º�¶ªX͵éX§�ÀA­{ª� � ¿ ³A­�¬X³¡­{°µ§�²AªX²D§%²D§�¸�¬X­�­�§�ͱª�Á¸ZªZ¬#«?ªZ¬Zºw©�­.° ¼ °ÇªXÍ°µ­�¶ª 鯪Z­{ªX«m©�°µ­�Ä ¾ §�ª�«D¬X­{® ª � � ²D§�¹%� á � ½^ª ¾ ®�§�«m©�ªZ­A¶ª�³P¬X­ ¾ ® ª,Ä ¾ ªX«�©�°±²AªX²D§�«?ªZ¬Zºw©�­{° ¼ °±ªXÍ � ˯§�«¡Ä ¾ ªX«m©�¬�Ä ¾ §�ª,³A¨�§ ¾ ²D¬ZºªX͵§�ªZ©�¬X­.°µ§�²¡ªX²D§ ²D§�/ ®�¬¯¨�©�­{ª#Ä ¾ § ^¹� á � ½�ÈA¸�ª ¾ «¡° Ê ¬X­{® §�®�§�«�©�§�ͱ°Ç® °µ©�ªX²D¬ � ¦�§�¨�©�§³P¬¯«m©�¬DË�­�§�³P§�©�°±®�¬¯¨&§�¨�©�§ ³¡­�¬s¸�§�²¡°±® §�«�©�¬ ªZ©m¶§�� .�^¹� á � ½�ÈA¸�ªZ­#¨ ¾ ÈA¸�°µ§�«m©�§�®�§�«m©�§¾ «A° Ê ¬X­.®�§XåA«D¬X©�§�Ä ¾ §%¬&ªXͱéX¬X­{°µ©�®�¬�°µ­A¶ª ³�ªZ­{ªZ­�§�® ¾ ® «3¶¾ ®�§�­�¬&ͱ°±® °µ©�ªX²¡¬ ²D§%³AªX¨{¨�¬¹�²¡ª�¬X­.²D§�®ñ²D§ ÷ � 0 ���.½/²¡§ ¼ °±²¡¬ ªZ¬Ú°±«¡¸�­�§�® §�«�©�¬Ú²¡§�§�«D§�­�鯰±ª�ª ¸�ªX²Aª�³AªX¨�¨�¬ �¿ éX¬X­{ª ¼ ªX®�¬¯¨&§�¨�¸�­�§ ¼ §�­�§�¨�©�ª §�¨�©�­{ªZ©m¶§�鯰±ª ²D§ö® ¬ç²D¬ ¾ ® ³P¬ ¾ ¸�¬ ®ÚªX°±¨ ¬X­�鯪X«A°»ºÞ�ªX²D¬ � �K°»Ås§ ��§ð¨�§bÎ�ª � ¬·® §�«D¬X­Ú°±«m©�§�°µ­�¬ ® ªX°±¬X­&Ä ¾ § ÷ �

0 � �­{§�¸�°±¨�ªZ­�§�®�¬¯¨Ú²D§¾ ® ³�ªZ­�óªX®�§�©�­�¬ U B ��� ��§#©�¬¯®ÚªZ­�§�®�¬¯¨Úà éX­{ªX«¡²¡§4²D§�³P§�«¡²D§�«¡²D¬N²D§���§ � �M ¬¯«A¨�©�­ ¾ °µ­{§�®�¬¯¨ � § �ƪZ©�ª ¼ ¶§�¨#²D§ ¾ ® ªN¨�§�Ä ¾ ó§�«¡¸�°±ª ²D§ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨ÚªX«�©�°»º ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¨À�¶ªX¨{°±¸�ªX¨ � � ì.L.L.L`ì � � §�® ��6� Ëç¸�¬¯«�Î ¾ «�©�¬¯¨�§�Ås¸�§�³?¸�°µ¬¯«¡ªX°Ç¨ � � ? ���? � � ? ����§�¨�°±é¯® ª�º�¶ªX͵éX§�À¡­{ªX¨ � � ? ���? � � ³AªZ­{ª�ªXÍ±é ¾ ® U ã ã � ªX¨�¨�°±®#ßò KªX¨�¨�¬RUsß 4 «¡°±¸�°±ªX® ¬¯¨�¸�¬¯®��è1UsË�� � ß è â �çì ��6� æ�§ � � ß è�� �ò KªX¨�¨�¬ � ß8�¡ªZÞ�§�® ¬¯¨ � 9 � ß è�¹ � . �� � ½�¹�Q. ^¹� á � � ½�½ � üs§

�� � 9 � ��� 0>� H ã � � � �0

²¡§�ÈA«¡°±®�¬¯¨ � ß è � � Ë � è � � §�©�§�­{®Ú°±«¡ªX®�¬¯¨�¸�¬¯® ¨ ¾ ¸�§�¨�¨�¬ ¬ ªX͵éX¬X­{°µ©�® ¬ �ò KªX¨�¨�¬ ÷ ß M ªX¨�¬�� � 9 � � � 0>� H ý�� � � �

0²¡§�ÈA«¡°±®�¬¯¨ � � 9 � ß è � � � � � > � ¹ � � 9 � ½ �ò KªX¨�¨�¬ (çß �­�¬s¸ ¾ ­{ªX® ¬¯¨�³P¬X­�¸�¬¯«�Î ¾ «m©�¬ §�Ås¸�§�³?¸�°µ¬¯«AªXÍ � � 9 ��� � � §�® � � 9 �¸�¬¯®

�¹{¹/ ê � ½ �� � H ½�è / � > �.¹� � � � ½� > l�xw_xw_2i{uw_2~�k^h`e �?I�c�_oXi�hj_2~�i.lPhj_ q id~�oXi{uGI�cZk t I�c�_VuPlOegl�xw_2~�k q id~�i�c�~�kI_bn�xw_2fjl rk.i 9P_�k � �~�e�njegfja�h`_Ic�~�k�xwi{uOuw_�hj_K_Vn`xw_bf�l rid_bl q id~�oZk q x�k.l2�� J e h��_2e�k�h`_)c�lwk�u8c�~�k q i{uOuw_ t kZpqdrk{i�f rk.i � xOuwe���e�k t o�k{u�k�k{c�~�_2f�x�k�u?k^fji.uw~�k�� �_Kojuw_ q e�lwk{~�_2f�xw_i 7�������� :���9����5:����! "�1:�� :���9��#�P7%:�� :��$��� 7 �

Page 20: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� � �������������� ���������������� ��� ����

§�j¹ � . �� � H ½�^¹/H. � á � � 9 � ½ � ) ! è0/ � > �d¹� � � � ½ Lüs§�©�ªXÍ8¸�¬¯«�Î ¾ «�©�¬�§�ÅD¸�§�³?¸�°µ¬¯«¡ªXÍ8«8ªZ¬�³ ¾ ²D§�­�¨�§�­�ªX¸.û¡ªX²D¬DË¡©�§�­.® °±«¡ªX®�¬¯¨/¬ ªXͱéX¬Zº­.°µ©�®�¬ ¸�¬¯®ñ§�­{­�¬ � M ªX¨�¬&¸�¬¯«�©�­A¶ªZ­.°µ¬DË ¼ ªX®�¬¯¨�³AªZ­{ª ¬ ³AªX¨�¨�¬�þ �ò KªX¨�¨�¬·þDß ¿ ¾ ®�§�«m©�ªX®�¬¯¨ ³AªZ­{ª ê �Z� üç§ ý � Ë�©�§�­.® °±«¡ªX®�¬¯¨Ú¬ªXͱéX¬X­{°µ©�®�¬Ú¸�¬¯®ô§�­�­�¬ � M ªX¨�¬Ú¸�¬¯«�©�­�¶ªZ­{°µ¬DË ¼ ¬¯Íµ©�ªX® ¬¯¨�ªZ¬ ³�ªX¨�¨�¬ �Z�¿ ¨�¨ ¾ ®Úª#³P¬X­%§�«¡Ä ¾ ªX«m©�¬öÄ ¾ §Ú¬ðªX͵éX¬X­{°µ©�®�¬ö©�§�­{® °±«Aª4¨�§�® §�­{­�¬ö«D¬ö³AªX¨�¨�¬ (#¬ ¾ þ �ï^«�©�ªZ¬ ¶§�¸�ÍǪZ­�¬�Ä ¾ §�ªZ³�¶¬¯¨�«D¬�® ¶ª�ÅD°±®�¬ � ê � °µ©�§�­{ª�Á¸Z¬X§�¨�Ëm©�§�­�§�®�¬¯¨^¸�¬¯«¡¨�©�­ ¾ ¶� ²D¬ ¾ ® ª

��º�¶ªX͵éX§�ÀA­{ª � § ¾ ®$¸�¬¯«�Î ¾ «�©�¬ð§�ÅD¸�§�³P¸�°±¬¯«¡ªXÍ � ¸�¬¯® ªX¨�³¡­�¬X³¡­{°±§�²¡ªX²D§�¨%²¡§�¨�§bÎ�ªX²AªX¨�˧�ÅD¸�§�©�¬�³�§�ͱ¬ Ê ªZ©�¬�²D§�Ä ¾ §%¬¯¨�©�§�­{®�¬¯¨,²D§%§�­{­�¬&¨�ªZ¬ / � > �.¹� � � � ½�ªZ¬�°±« ¼ ¶§�¨,²D§ ë ��¹ � ½.˳AªZ­.ª�à éX­{ªX«A²D§%²D§�³P§�«¡²D§�«A²D¬�²D§ �Pì ì�� � ï^«�©�­�§�©�ªX«m©�¬DËP°±¨�©�¬�³P¬ç²¡§�¨�§�­�­�§�®�§�²A°±ªX²D¬Ê ªZÞ�§�«¡²D¬ �N©�§�«A²D§�­�ª�Þ�§�­�¬ÚÀ�§�®Æ²¡§ ¼ ªZ鯪Z­ �6 ¾ ¨�§bÎ�ªsË3­�§�² ¾ Þ�°±® ¬¯¨#ª·³A­�¬ ¼ ªÃ²D§�¨�©�§N©�§�¬X­�§�®Úª ªÃ®�¬¯¨�©�­{ªZ­4Ä ¾ §N¬ÃªX͵éX¬X­{°±©�®�¬©�§�­{®Ú°±«¡ª ¨�§�® §�­�­{¬ � ¿ ²¡§�®�¬¯«¡¨�©�­{ª�Á¸ZªZ¬Æ¶§ ³P¬X­4°±«¡² ¾ Á¸ZªZ¬Dßø�¬¯®�¬ÿû¡°µ³�¶¬X©�§�¨�§ð³�ªZ­{ª°±«A² ¾ Á¸ZªZ¬%§�® U ã � ã � Ës¨ ¾ ³P¬¯«¡û¡ª%Ä ¾ §3¬�ªX͵éX¬X­{°µ©�®�¬�¬ ¾ ©�§�­{® °Ç«¡ª¨�§�®î§�­�­�¬�¬ ¾ªZ©�°±«¡éX§�¬�³AªX¨�¨�¬ ÷ ²¡ª � º�¶§�¨�°±® ª�°µ©�§�­.ª�Á¸ZªZ¬�¨�§�® ­{§�©�¬X­{«¡ª ¾ ® §�­�­�¬ � ¦�¬X©�§,Ä ¾ §,°±¨�©�¬ ¶§¬XÀ ¼ °±¬�³AªZ­{ª � è�U � ¿ ¨�¨ ¾ ®Ú°±«¡²D¬/°±¨�©�¬�³¡­{¬ ¼ ªX²D¬�³AªZ­{ª�ªXÍ±é ¾ ® � B � Ë�²¡§�¨�§bÎ�ªX® ¬¯¨³¡­{¬ ¼ ªZ­�¬&®�§�¨{®�¬ ³AªZ­{ª � ê �Z� 6 ÀA¨�§�­ ¼ §%Ä ¾ §�³�¬s²D§�®�¬¯¨�¨ ¾ ³P¬X­�Ä ¾ §�¬ÚªX͵éX¬X­{°±©�®�¬«?ªZ¬�©�§�­{®Ú°±«D¬ ¾ ªZ©m¶§Ú¬�³�ªX¨�¨�¬ ÷ ²D¬ � º�¶§�¨�°±® ª�°µ©�§�­.ª�Á¸ZªZ¬ � ¦�§�¨�©�§�§�¨�©¡¶ªZ鯰µ¬DË8©�§�® ¬¯¨ ��º¶ªX͵éX§�ÀA­{ªX¨ � � ì.L.L.L`ì � � H 9 � Ë Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨�ªX«�©�°µº ¾ «¡° Ê ¬X­{®�§�¨�À�¶ªX¨�°±¸�ªX¨ � � ì.L.L.L`ì � � H 9 � §¸�¬¯«�Î ¾ «m©�¬¯¨�§�ÅD¸�§�³P¸�°±¬¯«¡ªX°±¨ � � ì.L.L.Ljì � � H Ρ¶ª ¸�¬¯«¡¨�©�­ ¾ ¶� ²D¬¯¨ � ¿ È¡­{®ÚªX®�¬¯¨�Ä ¾ §

��� � � ) ! ãF÷ �0�� H ê / � > �.¹� � � � ½.ì³AªZ­.ª�©�¬ç²¡¬ ��ã � ã � ê·�Z�54 ¨�©�¬¨�§�é ¾ §,²D¬�³�ªX¨�¨�¬�(²¡ªX¨^°µ©�§�­{ª�Á¸Z¬X§�¨/ªX«�©�§�­.°µ¬X­�§�¨,¹Ý¬ ¾²D¬�³�ªX¨�¨�¬ U Ä ¾ ªX«¡²D¬ ��è � ½.Ë¡¬¯¨�Ä ¾ ªX°±¨�²¡°µÞ�§�®ñÄ ¾ §

�j¹ � . �� � H ½�^¹/H. � á � � � � ½ � ) ! è0/ � > �d¹� � � � ½.ì²D¬¯«A²D§^¹/ á � � � � ½�¹#wP½�è ��ê / � � � > ��¹� � � � ½.ì³AªZ­.ªö©�¬s²D¬w �J � � � � � M ¬¯®�¬KU ã �I¹#wP½ ã /8¹#w?½.Ë�¸�¬¯«A¸�Í ¾ ¶� ®�¬¯¨�ªX¨�§�¨�©�°Ç® ªZ©�° ¼ ªX¨³P¬¯«m© ¾ ªX°±¨

U ã ¹ � . �� � H ¹#wP½�½��¹� á � � � � ½�¹#wP½ ã �^ê / � > �.¹� � � � ½.ì¹�(¯½²¡ªX¨�Ä ¾ ªX°Ç¨�¨�§�é ¾ §�®#Ë¡³P¬X­�²D§�È�«¡°2Á¸ZªZ¬ ²D§� � Ë

á � ¹#w?½ á ã ¹ �^ê / � > � ¹� � � � ½�½�¹/8¹#wP½ ê � ½ Lï^®ñ³AªZ­�©�°Ç¸ ¾ ͱªZ­�Ë ¾ ® ªÚ¨�°Ç®�³A͵§�¨�ªZ³�ͱ°±¸�ª�Á¸ZªZ¬�²D¬&͵§�®Úª ( � þ�³¡­�¬ ¼ ª�ªÚ«D¬¯¨�¨{ªÚªZÈ¡­{®Úª�Á¸ZªZ¬ªX¸�°±®Úª � )¬X­B¬ ¾ ©�­{¬�ͱªX²D¬DËZ¸�¬¯®�¬ � � H 9 � ¶§�ª ��º�¶ªX͵éX§�À¡­{ª�éX§�­{ªX²¡ª�³P¬X­ � / > � H ¹ � � ½.ì.L.L.L`ì � � > � � H H ¹ �� � H 9 � ½.˪�³¡­{¬X³�¬¯¨{°2Á¸ZªZ¬ ( �-, ³P§�­{® °±©�§3§�«A¸�¬¯«�©�­{ªZ­ � ©�ªXÍ8Ä ¾ §

�¹�¹/ ê � ½ �� ½�è0/ � H > �.¹� � � � ½§�j¹ � . �� ½�^¹/H. � á � � H 9 � ½ � ) ! è0/ � H > �.¹� � � � ½ L

Page 21: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � � �

É §�ÈA«¡°Ç®�¬¯¨ � � H 9 � ß è ��� � � H � 6 À ¼ °±ªX®�§�«m©�§XË � � H 9 � ©�§�® ªX¨&³¡­�¬X³¡­{°±§�²¡ªX²D§�¨«D§�¸�§�¨{¨¡¶ªZ­{°±ªX¨�³AªZ­{ª ¨�§§�Ås§�¸ ¾ ©�ªZ­,¬Ú³AªX¨{¨�¬ (Ú¨�§�®ô§�­{­�¬DË�§³P¬X­�©�ªX«�©�¬�³P¬ç²¡§�®�¬¯¨�°µ­3ªZ©m¶§¬�³AªX¨�¨�¬ ÷ ²¡ª � ê � º�¶§�¨�°±® ª�°µ©�§�­{ª�Á¸ZªZ¬4¹Ý¬ ¾ ©�§�­{® °Ç«¡ªZ­�¨�§�®'§�­�­{¬m½.Ës¸�¬¯® ¬�Ä ¾ §�­`¶� ªX®�¬¯¨³¡­{¬ ¼ ªZ­ �ï�®6¬ ¾ ©�­{ªX¨�³AªXͱª ¼ ­{ªX¨�Ë%¬FÄ ¾ § ³¡­�¬ ¼ ªX®�¬¯¨ðªZ©m¶§ ªZéX¬X­.ª Ê ¬¯°%Ä ¾ § ©�§�®�¬¯¨ðªZ³P§�«¡ªX¨² ¾ ªX¨�³P¬¯¨�¨{°µÀA°±Í±°Ç²¡ªX²D§�¨�³AªZ­.ª�¬4ªX͵éX¬X­{°µ©�®�¬Dß,¬ ¾ §�͵§�©�§�­.® °±«¡ª�¨�§�®´§�­�­{¬�¬ ¾ ³�§�­.¸�¬X­�­�§©�¬s²D¬N¬ ¸�ªX® °Ç«¡ûD¬ ªZ©m¶§ðª � º�¶§�¨�°±® ª·°µ©�§�­{ª�Á¸ZªZ¬ � KªZ­{ª ÈA«¡ªXͱ°µÞ�ªZ­ ª ²D§�®�¬¯«¡¨�©�­.ª�Á¸ZªZ¬D˪N³A­�¬X³¡­{°µ§�²AªX²D§�º�¸{û¡ª ¼ § ¶§�Ä ¾ §�«D¬ ¸�ªX¨�¬·²D¬ ªXͱéX¬X­{°µ©�®�¬ ªZ©�°Ç«D鯰µ­�¬ ³AªX¨{¨�¬ (N²D¬ �°µ©�§�­.ªX²D¬DËD§�«�©�ªZ¬ ¼ ªXͱ§�ª�§�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ª ²¡§�Ü:×�i�Ò�Ð�ÓÚÐ�×AÏwÑ#Õ�Ð�Ð�×�Ð�Ò�XÜOÔ�j¹ � . �� ½�^¹� á � � ½ �

�) & �j¹ � . �� � H ½�^¹� á � � � � ½ �

�) ê�÷

� 0 � � ��. / � > �{¹� � � � ½�. / ¹ � � ½.ì³AªZ­.ª ©�¬ç²D¬ � ã � ã � ¹�¨�§·à ¶§ éX­.ªX«¡²D§ ²D§�³P§�«¡²¡§�«¡²D¬ ²D§ � § �.½ � ï^¨�©�ª³¡­{¬X³¡­{°µ§�²¡ªX²¡§Ú¶§3¨ ¾ ÈA¸�°µ§�«m©�§�³AªZ­.ª�¸�¬¯«¡¸�Í ¾ °±­�ª�³¡­�¬ ¼ ª�³�¬X­.Ä ¾ §�ª²D§�¨�°µé ¾ ªXͱ²¡ªX²D§�¹�(¯½�«D¬¯¨²�¶ª

U ã �j¹ � . �� ½�^¹� á � � ½ ��) ã ��ê / � > �d¹� � � � ½.ì³AªZ­.ª·©�¬s²D¬�U ã � ã � � M ¬¯®�¬ � ¶§ ¬ ®�§�«¡¬X­4°±«�©�§�°±­�¬Ã® ªX°µ¬X­4Ä ¾ § ÷ �

0 ����ˬ ³¡­`¶� «A¸�°µ³A°µ¬N²¡ª ¸�ªX¨�ª ²D§�³P¬¯®ÀP¬¯¨ÚéX§�­{ª ¾ ®Úª ¸�¬¯«m©�­{ªX²¡°2Á¸ZªZ¬ ³AªZ­{ª ��³P§�Ä ¾ §�«D¬DË �³P§�Ä ¾ §�«D¬�§%à éX­{ªX«¡²D§�²D§�³P§�«¡²¡§�«¡²D¬�²D§ ��ì � ��K°±«¡ªXͱ® §�«�©�§XË^­�§�¨�©�ªNªZ³P§�«¡ªX¨ ¨�ªZÀP§�­ ®�¬¯¨�©�­{ªZ­ ª §�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ªN²D§4°Ç«¡¸�­�§�®�§�«m©�¬N«¡ª§�«D§�­{鯰±ª � ¿ °±²^¶§�°±ª ¶§�§�Ås³A͵¬X­{ªZ­�¬ Ê ªZ©�¬&²¡¬ ªX͵éX¬X­{°µ©�®�¬ «8ªZ¬�³AªZ­{ªZ­�«D¬ ¨�§�é ¾ «¡²D¬�³AªX¨{¨�¬²¡ª4¹�� . � ½�º�¶§�¨�°±® ª&°µ©�§�­{ª�Á¸ZªZ¬DË�¬ Ä ¾ ªXÍ?¸�¬¯®ÀA°±«AªX²D¬ ¸�¬¯®ñ¬Úͱ§�® ª ( � þDËAªX¨�§�¨�©�°Ç® ªZ©�° ¼ ªX¨³P¬¯«m© ¾ ªX°±¨�ªX¸�°±® ªsË�ª�²D§�¨�°µé ¾ ªXÍDz¡ªX²D§,©�­{°±ªX«Dé ¾ ͱªZ­�§ M ª ¾ ¸.û��mºbüs¸.û �/ªZ­�Þ°Ç®�³Aͱ°±¸�ªX®4ß�j¹ � . � � ½�¹ ^¹�� á � � ½5. �¹%� á � � � � ½�½ � ) & ÷ �

� 0�� H 9 � ( � � � .�/ � > � ¹� � � � ½ .�/ ¹ �d½ Lï^¨�©�ª�§�¨�©�°±®ÚªZ©�° ¼ ª�®�¬X­{ªXͱ® §�«�©�§�°±®�³Aͱ°Ç¸�ªsË�³P§�͵¬�©�§�¬X­�§�® ª3²D§8 ^°µ©¡¶ªZéX¬X­{ªX¨�˯ª�§�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ª²D§,°±«¡¸�­{§�®�§�«�©�¬�²D§,§�«D§�­{鯰±ªsËs¬ ¶¾ «¡°±¸�¬�³¡­�¬XÀA͵§�®Úª¨�§�«A²D¬�ª�³A­�§�¨�§�«KÁ¸�ª�²D¬¯¨/¸�¬¯«�Î ¾ «m©�¬¯¨§�ÅD¸�§�³?¸�°µ¬¯«¡ªX°±¨ � � � � ì � � Ë�¬¯¨KÄ ¾ ªX°±¨B³¡­�§�¸�°±¨�ªX®�²D§ ¾ ® ³P¬ ¾ ¸�¬,²D§^¸ ¾ °±²¡ªX²D¬�³�ªZ­{ª�¨�§�­{§�®©�­{ªZ©�ªX²¡¬¯¨�Ë�ÎD¶ªöÄ ¾ §�«?ªZ¬ö©�§�®�¬¯¨�ÀP¬¯ªX¨¸�¬X©�ªX¨ � � ³AªZ­{ª / � KªZ­{ªð® ªX°µ¬X­�§�¨�²D§�©�ªXͱû¡§�¨�˼ §bÎ�ª ( � ËD³ ��÷�� * �( � � � � ���+�q$@+C��� � ��� ��� $ +C� � ��� ��78-.� $��D-��(. ��� ��� ��+-�V7%üç§bÎ�ª �F§ � Ë�©�¬¯® §(/B B � � M ¬¯«¡¨�°Ç²D§�­�§ � ²¡¬�©�§�¬X­�§�® ªÚ²¡§ ��¬m¬X³�® ªX«sº ¼ ¬¯«�¦�§ ¾ ® ªX«A«�§%ªX¨ Ê ¾ «KÁ¸Z¬X§�¨�ßò � � è"¹ � . � � ½�¹�Q. �¹%� á � ½�½ò � � � è"¹ � . �� ½�^¹�� á � ½ �¦�¬X©�§3Ä ¾ §��¹%� � � ½�è+^¹�¹ � . �� ½ & ^¹�8½ .��¹/ �� ½ & � . ë / ¹ � ½ Lsï ªXÍ.¶§�® ²¡°Ç¨�¨�¬©�§�®�¬¯¨�Ä ¾ § � � � ã ��ê ë / ¹ � ½.Ë�ªX¨�¨{°±® ³P¬s²D§�®�¬¯¨ ¾ ¨�ªZ­�¬ö©�§�¬X­�§�®Úªð²¡§�üçÞ�§�®�§�­s¶§�²A°¹�® ¶¬¯² ¾ ͵¬�¬¯¨ ë / ¹ � ½�Ä ¾ §�³P¬s²D§�®Æ¨�§�­�¸�¬¯«m©�­�¬¯Í±ªX²¡¬¯¨�«D§�¨�¨�§%¸�ªX¨�¬m½ � ¿ ¨�¨�°±®#ß

�¹%� � � ¹ ä ½�L.L.L#� � � ¹ ä&ê ¹�� . � ½ ^¯½ á ä ì ^ J DàD ½ &��X¹���ì � ½�. ë / ¹ � ½ L

¿ éX¬X­{ª�¨�ªZÀP§�®�¬¯¨^Ä ¾ § ��� � ��� 0�� H ã ( � � � 0 � ,8¬XéX¬�³P§�͵¬%©�§�¬X­�§�®Úª²D§ ¼ ¬¯«�¦�§ ¾ ®ÚªX«¡«?Ë©�§�®�¬¯¨�Ä ¾ §Xß^¹��� H ¹ ä ½�L.L.L���� 0 ¹ ä�ê ¹��#. � ½ ^�½ á ä ì ^ J D

à�D ½�è0/ ¹�( � � � 0 ½¬¯«¡²¡§�� � è���¬ ¾ >�ËD§�³P§�͵¬�®�§�«D¬¯¨�ªXÍµé ¾ ®�,è�� �

Page 22: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� � �������������� ���������������� ��� ����

¿ ¨�¨�°±®î¬XÀ¡©�§�® ¬¯¨�Ä ¾ §Xß�¹%�I¹ ä ½�L.L.L �I¹ äÚê ¹��#. � ½ ^�½ á ä ì ^ J D

à�D ½ &+�Z¹���ì � ½ .�/ ¹�( � � � 0 ½:. ë / ¹ � ½ LM ¬¯® ¬ (N¶§ªZ­{ÀA°µ©�­A¶ªZ­{°±¬¬ ©�§�¬X­{§�® ª §�¨�©¡¶ª ³¡­�¬ ¼ ªX²D¬ �

þ ���{¤���¡¢Ç£ ¤P£��¡ P¥�s£ ¤)¥��P�A¥ ?����£ ¤� ��¥���¤���?¥�����¢��m¤8¢Ý P¢��� ¾ §�­{§�®�¬¯¨8¸�¬¯«¡¨�©�­ ¾ °µ­ ¾ ® ÀP¬¯® ® ªjÎ�¬X­{ªX«m©�§�¹�° � § � Ë ¾ ® ª�®�§�²A°±²¡ª�³A¨�§ ¾ ²¡¬Zº�ªX͵§�ªZ©¡¶¬X­{°±ª�½³AªZ­.ª%ª&¹�® ¬ç²¡°±ÈA¸�ª�Á¸ZªZ¬m½ Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬�²D§ ¼ ªX« &öªX«DéX¬¯Í±²¡© #� � )ªZ­.ª°±¨{¨�¬DËm¸�¬¯®�§sÁ¸�ªX® ¬¯¨�¸�¬¯®ª Ê ¶¬X­{® ¾ ͱªsß

�3¹ ä ½Iè ���� z t�¹ G ½ç͵¬XéP¹ ä � G ½�è �

��� z t�¹ G ½çͱ¬Xé�¹ ä � G ½ 9 쬯«¡²¡§�t ¶§4ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬N²D§ & �¬X§�ÀA° ¾ ¨�§4͵¬XéP¹#wP½ 9 ß è ®Úª�Å?¹�͵¬Xé wBì5U�½ � 4 ¨�©�¬ ®�¬X©�° ¼ ªNª¨�§�é ¾ °±«�©�§�²¡§�ÈA«¡°2Á¸ZªZ¬Dß!���687-���!�K��7 X87��·¹wú,¬¯Í±²¡¨�©�¬¯«4º �,°±ÍDz¡°µ­{°±®�½.7%0�ÔZÒ�Ô�� Ù Ó�ÛsÔZÒ�FÔZÓÚÐ�Ï�Ò�Ñ ��Õ�Ð�,�×�Ô

��¹ ä ½^ß è ���� z > � & t�¹ G ½çͱ¬Xé�¹�� � G ½^è

���� z�> � & t�¹ G ½ç͵¬XéP¹�� � G ½ 9 L

��Ð�Ó ÔZÒ��4þ�4% KªZ­{ª�§ Ê §�°µ©�¬¯¨�³¡­A¶ªZ©�°±¸�¬¯¨�Ë �"¨�§�­A¶ª ¾ ® ª�³P¬X©�ó§�«¡¸�°±ª ³�§�Ä ¾ §�«¡ª�²¡§�à ��3¨�ªZ­�§�®�¬¯¨�§�¨�©�ª�²D§�ÈA«¡°2Á¸ZªZ¬�³AªZ­{ª�°±«m©�­�¬s² ¾ Þ�°µ­�«D¬¯¨�¨�ª�®�§�²A°±²¡ª³A¨�§ ¾ ²D¬Zº�ªXͱ§�ªZ©�¬X­{°±ª�/Ä ¾ §�® ªjÎ�¬X­{ª ª ¼ ªX« &öªX«DéX¬¯Í±²D©�® ¬ç²¡°±ÈA¸�ªX²¡ªsß

!���687-���!�K��7 X87�9P7;:PÐ=<�Ô��+ß è à � � H � � 0�� O Ð!� � ß è � � ÷ � ¹�� ê þm½+* 4 ��Ð�,�×�Ô /;ß���� r 7 9 ÛDÑZÒ

/8¹ ä ½^ß è ��� |��N�� ��� |�� z 9 � � � !�� Ö�Ð�� � à ãÃäNãF÷ � � à� i{ÔZÖ�Ñ i{ÑX×AÏ�ÒIØÔXÒ.ÜOÑ 4�3® Ê ªZ©�¬�¨�°±®�³�͵§�¨ ¶§�Ä ¾ § /F¶§%¬ «D¬¯¨�¨�¬Ú® ªjÎ�¬X­{ªX«�©�§Xß

� ��� � $ XB7YO87 /8¹ ä ½ &� � � ÷ � � � � #�3¹ ä ½/ÛsÔZÒ�Ô#ÏwÑ�Õ�Ñ � � à ãÃä ã ÷ � � à 40�Ò2Ñ�Ñ��=4�¦�¬X©�§�Ä ¾ §�¬Íµ§�® ªð¶§�©�­.° ¼ °ÇªXÍs§�Ås¸�§�©�¬�Ä ¾ ªX«¡²D¬�� ä3êN� ¶§�³¡­{°±® ¬ � ¦�§�¨�©�§�¸�ªX¨�¬D˲¡ª�²D§�ÈA«¡°�Á¸ZªZ¬�²D§���ËZ©�§�®�¬¯¨KÄ ¾ § � ä^ê�� ý�� ¨�§^à ¶§/éX­{ªX«¡²D§ � ï�«m©�ªZ¬,ª�¨�¬¯®Úª3¨�¬XÀ¡­�§G á � ä#ê � Ë G ã �̸�¬¯«A¨�°±¨�©�§�¨�¬¯®�§�«m©�§ ²D¬�©�§�­{®�¬ G è �Z� ,8¬XéX¬DË � ¹&� ä#ê � ½�è͵¬Xé���Ë�²D¬¯«A²D§ /8¹ ä ½/è � |��N�� ͱ¬Xé�� & � � � ÷ � � � � #�,¹ ä ½/³P§�ͱªÚ²¡§�ÈA«¡°2Á¸ZªZ¬Ú²¡§���ËP¨�§à¶§�éX­{ªX«A²D§�§ �¹�àN½�¸�­{§�¨�¸�§%²D§ ¼ ªZ鯪Z­�¸�¬¯® à �ï�® ¨�§�é ¾ °±²AªsËD³¡­�¬ ¼ ªZ­�§�®�¬¯¨3ª�³A¨�§ ¾ ²D¬Zº�ªX͵§�ªZ©�¬X­{°±§�²¡ªX²D§%²¡ªÚ®�§�²¡°±²¡ª /4ª ³AªZ­�©�°±­�²D§²D¬¯°Ç¨/­�§�¨ ¾ ͵©�ªX²¡¬¯¨�²D§ú3¬¯Í±²A¨�©�¬¯«sº���°±Í±²¡°µ­.°±® � 6 ³A­{°±®�§�°µ­{¬�²¡§�͵§�¨&¶§Xß

� ����(8���F���!�K��7 XB7 Xÿ¹wú3¬¯Í±²¡¨�©�¬¯«sº��,°Çͱ²¡°µ­{°Ç®&½.7n:�Ð <�ÔXÓ\aNì���ÜÝ×AÏ�Ð�Ü:Ò�Ñ�Ö/Ð ! ��¹#wP½^ß è 5��!� � � � � w � êLE� i{ÑZÓ á �8� � á ã � �¹�à ½ � ÷ 4J2�Ö{Ö Ù Ó�Ô Ù Ð�¹%� � � ½ 5�!� � × Ù ×�i.Ô ØÐ�ÜOÕ�Ð�×AÏ�Ü=i.ÔZÓÚÐ�×AÏ�Ð�× Ù "µÑ×�Ð�Ó'Õ Ù Ô�Ö�Õ�ÐdÖ�ÏwÔ�Ö �P. Ù Û�"µÔ�Ö�Ö�CÔ¯ÑÒ�Ô%i�ÜOÑZ×�Ô#" ÓÚÐ�×AÏ�Ð�Ó ØÙ " Ï�Ü�Û�"µÔ�Ö=4 ��Ð�×�ÑXÏ�Ð"!A�)ß è � ! � ê4� 4

Page 23: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � �

: Ù ÛsÑX× �çÔ Ù Ðn� ØÐ&Ñ�Û�Ò�Ñ�Õ Ù ÏwÑ 5� � � �=�%Õ�Ð ��Ü:×�Ï�Ð�Ò���Ô#"µÑ�Ö&Õ�Ð�i{ÑXÓ�Û�Ò.ÜÝÓÚÐ�×AÏwÑðÓ ÔZÜOÑZÒÕ¯Ñ Ù Ð�Ñ Ù Ü � Ù Ô#"BÔ � � � ' 4��/×�Ï�CÔ¯Ñ ��Ö�Ð �¹�àN½'i�Ò�Ð�Ö idÐ�Õ�Ð��ZÔ ��ÔZÒji{ÑZÓ Ò�Ð�ÖwÛDÐ�ÜÝÏwÑ#Ô�àJ��¹ ��3¹�! � ¹#wP½�½ � L.L.L+��¹�! ' ¹#wP½�½ � á w J � ½Iè"¹ �^ê ë ' > 5 ¹ � ½�½ � � ͵¬Xé��

$ ¹&�;½ 'L

�3®ñ¸�¬X­�¬¯Í�¶ªZ­{°±¬Ú²¡°µ­�§�©�¬ ²¡§�¨�©�ª�³¡­�¬X³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬ ¶§Ä ¾ § /ÿ¶§ ¾ ® ª�®�§�²A°±²¡ª �� ��� � $ XB7Pf?7 ^¹/A½�è ��ê ë ¹ � ½=40�Ò2Ñ�Ñ��=4 M ¬¯«¡¨�°±²D§�­{§3ª�³A­�¬X³ � þ � þÚ¸�¬¯® a è �Iè � Ë ! � ¹#w?½�è w�§y��èE( ( � àöì ÷ ( � à * �4 ¨�©�¬ «D¬¯¨�͵§ ¼ ª�ª ^¹/8¹#wP½ á w J ( ( � àöì ÷ ( � à *ݽ�è ��ê ë ¹ � ½ L&öªX¨�Ë¡³P¬X­�²D§�ÈA«A°2Á¸ZªZ¬DË�¶§ ¶¬XÀ ¼ °µ¬ Ä ¾ §

�¹%/B¹#wP½ á w J Dà�D . ( ( � à�ì ÷ ( � àH*ݽ�è � L

4 ¨�©�¬ ¸�¬¯«¡¸�Í ¾ °?ª ²D§�®�¬¯«¡¨�©�­{ª�Á¸ZªZ¬ �6 ¾ ©�­.ªö¸�¬¯«¡¨�§�Ä ¾ §�«A¸�°±ª�²¡ªö³¡­�¬X³ � þ � þ ¶§�Ä ¾ § /·¨{ªZ©�°±¨ Ê ªZÞ�ªð¸�¬¯«¡²¡°2Á¸ZªZ¬ ²D§ Ê ¬X­{®ÚªX¨Í±°Ç«D§�ªZ­�§�¨ �

� ��� � $ XB7 �87 / Ö�ÔXÏ�Ü:Ö���Ô���Ô�¹���L ÷ � � � ì+( � .NþDì+�¡½E. i{ÑZ×�Õ 4%Õ�Ð ��ÑZÒdÓ�ÔZÖ�" Ü:×�Ð{ÔZÒ�ÐdÖ=40�Ò2Ñ�Ñ��=4 M ¬¯«¡¨�°±²D§�­{§ ! ��¹#w?½�è 5

��!� � �8� � w � ê LE� a Ê ¬X­{® ªX¨,ͱ°±«D§�ªZ­{§�¨�¸�¬¯® � ã ( � .·þDËa ã �: ÷ � � � Ë*� � � «,¶¾ ® §�­�¬¯¨B­.ªX¸�°µ¬¯«¡ªX°±¨)¸�¬¯®"« ¾ ®�§�­{ªX²D¬X­)§�²¡§�«D¬¯® °±«¡ªX²¡¬X­Í±°±®Ú°µ©�ªX²D¬¯¨§�® ® ¶¬¯² ¾ ͱ¬�³�¬X­ �#§�«D§�«¡û ¾ ® ª ²¡ªX¨ �Vº ¾ ³AͱªX¨%¹%�8� � ½ 5��� � °±²D§�«m©�°±¸�ªX®�§�«m©�§« ¾ ͱªX¨�«D§�®® ¶¾ ͵©�°µ³AͱªX¨�­{ªX¸�°µ¬¯«AªX°±¨ ¾ ® ªX¨%²¡ªX¨�¬ ¾ ©�­.ªX¨ � )¬s²D§�®�¬¯¨�§�ÍÇ°±® °±«¡ªZ­,¬¯¨²D§�«D¬¯® °±«AªX²D¬X­�§�¨ªX¨�¨ ¾ ® °±«¡²¡¬ � � � °±«m©�§�°µ­�¬¯¨�¸�¬¯® á �8� � á ã ¹�� ê�� ½+* � M ¬¯®�¬ �¹�àN½�¸�­�§�¨�¸�§�¸�¬¯® à·Ë³P¬s²D§�º�¨�§%¨ ¾ ³�¬X­�Ä ¾ §�¹�� ê � ½+*�B � �¹�àN½ � ÷ Ê ªZÞ�§�«¡²D¬�à$éX­{ªX«¡²D§ � ï�¨�©�ªX®�¬¯¨�©�§�«A²D¬§�¨�©�§ö¸ ¾ °±²¡ªX²D¬N³�ªZ­{ªN³P¬ç²¡§�­ ªZ³Aͱ°±¸�ªZ­ ªN³A­�¬X³ � þ � þ � ï�«m©�­�§�©�ªX«�©�¬DË�ª ²D§�ÈA«¡°2Á¸ZªZ¬·²¡ªX¨¸�¬¯«¡² � ²¡§ Ê ¬X­{® ªX¨/ͱ°Ç«D§�ªZ­�§�¨^§�®Ì²¡¬¯°±¨�³P§�²¡ª�Á¸�¬¯¨/«?ªZ¬�³P§�­{® °±©�§ ¾ ® ª�ªZ³Aͱ°Ç¸�ª�Á¸ZªZ¬�²A°µ­�§�©�ª²D§�¨�©�ª�³¡­�¬X³P¬¯¨�°2Á¸ZªZ¬ �,8§�®À¡­�§�º�¨�§%Ä ¾ §�²D§�¨�§bÎ�ªX®�¬¯¨�³¡­{¬ ¼ ªZ­�Ä ¾ §

^¹/8¹ ! � ¹#wP½�½�L.L.L#/8¹ !(' ¹#w?½�½ á w J DàD

' ½�è �^ê ë ¹ � ½ L KªZ­{ª °±¨�¨�¬DË�²¡° ¼ °±²¡°µ­�§�® ¬¯¨�ª ¨�¬¯® ª ªX¸�°±® ªð§�® � 5 Ä ¾ ªX²D­{ªX²D¬¯¨�¸�¬¯® � è � ¹�àN½ ¶§¾ ®Úª Ê ¾ «IÁ¸ZªZ¬ Ä ¾ §�¸�­{§�¨�¸�§²D§ ¼ ªZ鯪Z­�¸�¬¯® à ß

� � H >������ > ��� è â wößdw � J (�� � à�� ��� ì��2¹ � ê � ½bà�� ��� *wì�� è � ì.L.L.L�ì��.æ¯ì¬¯«¡²¡§�¬¯¨ � ¨�ªZ¬�¹#a ë G � ½ � ,8¬XéX¬DËs³P¬ç²D§�® ¬¯¨�­�§�§�¨�¸�­{§ ¼ §�­^¬�ͱªX²D¬�§�¨�Ä ¾ §�­{²¡¬²¡ª�°±é ¾ ªXÍ»º²¡ªX²¡§�ªX¸�°±® ª�¸�¬¯®�¬Dß

^¹ ,¹/8¹ ! � ¹#wP½�½�L.L.L#/8¹ !(' ¹#wP½�½ á w J � � H >������ > � � ½ á � ì.L.L.L`ì 5 J Dà�D ½ L

É °µ­�§�® ¬¯¨�Ä ¾ §u� � H >������ > � � ¾ ® ¸ ¾ ÀP¬ =�ÑZÓ ¨�§XË�³�ªZ­{ªÚ©�¬s²D¬ � ã ` ã aNËP¬¯¨,¸�¬¯«�Î ¾ «m©�¬¯¨! ��¹=� � H >������ > ��� ½�¨�ªZ¬ ¬ ¾ ¸�¬¯®�³A͵§�©�ªX® §�«�©�§#¸�¬¯«m©�°±²D¬¯¨�§�® ( ( � à�ì ÷ ( � à *�¬ ¾ ¸�¬¯®�³�͵§�©�ª�º®�§�«m©�§%²¡°Ç¨ÝÎ ¾ «�©�¬�²D§�¨�©�§°±«�©�§�­ ¼ ªX͵¬ ��É ª�³A­�¬X³ � þ � þDËA¬XÀ�¨�§�­ ¼ ªX®�¬¯¨�Ä ¾ §

�¹�/8¹ ! � ¹#wP½�½�L.L.L /8¹ !(' ¹#wP½�½ á w J � � H >������ > ��� ½�è ��ê ë ' > 5 ¹ � 5 ½.ì

Page 24: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� � �������������� ���������������� ��� ����

¨�§�® ³¡­�§ Ä ¾ §� � H >������ > � � ¶§ ¾ ® ¸ ¾ ÀP¬ À�¬¯®4Ë�³P¬¯°±¨�³�¬s²D§�®�¬¯¨�©�­�¬s¸�ªZ­ /8¹ ! ��¹#wP½�½&³P¬X­� |��N�� � !�� � � ¹�! �2¹#w?½�½�¬ ¾ �Z� � ¾ ªX«¡²D¬F¬ ¸ ¾ ÀP¬ñ¶§ ­ ¾ °Ç® Ë�§�¨�©�°±® ªX®�¬¯¨ / ³P¬X­ ��ê� |��N�� � !�� � � ¹�! �2¹#w?½�½.Ë�²D§�® ¬ç²D¬ ª ¬XÀ¡©�§�­�¹%/B¹ ! � ¹#w?½�½�L.L.L#/B¹ !�' ¹#wP½�½ á w J � � H >������ > ��� ½�è0/ ' > 5 ¹ � ½ ê ë ' > 5 ¹ � 5 ½ L

ï�® ³AªZ­�©�°±¸ ¾ ÍǪZ­�Ë�¨�§�¸�¬¯«A¨�§�é ¾ °µ­{® ¬¯¨�³¡­�¬ ¼ ªZ­&Ä ¾ §#¬ «,¶¾ ®�§�­�¬ ²D§4¸ ¾ ÀP¬¯¨�­ ¾ °±«¡¨ ¶§/ ' > 5 ¹ � � � ½.ËA©�§�­�§�® ¬¯¨�Ä ¾ §

^¹/8¹ ! � ¹#w?½�½�L.L.L /8¹ !(' ¹#w?½�½ á w J Dà�D

' ½Iè �^ê ë ' > 5 ¹ � ½ ê / ' > 5 ¹ � � � ½.ì²D¬¯«A²D§�¨�§�©�¬¯® ªX®�¬¯¨ � ¸�­�§�¨{¸�§�«¡²D¬Ú²D§ ¼ ªZ鯪Z­�¸�¬¯® à Ë

^¹/8¹ ! � ¹#wP½�½�L.L.L#/8¹ !(' ¹#w?½�½ á w J DàD

' ½�è �^ê ë ¹ � ½.ì¸�¬¯®�¬&Ä ¾ §�­j¶� ªX®�¬¯¨ � )¬X­�©�ªX«m©�¬DËm­�§�¨�©�ª3ªZ³P§�«¡ªX¨I® ¬¯¨�©�­{ªZ­�Ä ¾ §/¬,«,¶¾ ®�§�­�¬�²D§/¸ ¾ ÀP¬¯¨K­ ¾ °±«A¨�¶§ / ' > 5 ¹ � � � ½ �ü ¾ ³�¬¯«Aû¡ª�Ä ¾ § � � H >������ > � � «8ªZ¬4¶§�À�¬¯® � ï�«m©�ªZ¬,§�Ås°Ç¨�©�§�® wì w ' J � � H >������ > ��� § ��ã ` ã a©�ªX°±¨�Ä ¾ § ! ��¹#wP½ J ( ( � àöì ÷ ( � à *�® ªX¨ ! �2¹#w ' ½ �J ( ( � à�ì ÷ ( � àH* � &öªX¨�ËB²¡ª#²D§�È�«¡°2Á¸ZªZ¬²D§y� � H >������ > ��� Ë

! �2¹#w?½.ì ! �{¹#w ' ½�è 5��!� �

� � � �Ýà � � ��� ê L+� ê / ' > 5 ¹�à�� � ½ LM ¬¯«¡¨�§�Ä ¾ §�«m©�§�®�§�«m©�§XËA³AªZ­.ª#K�è � ¬ ¾ K�è ÷ Ë¡©�§�®�¬¯¨

K ( � à´è5��!� �

�8� � �Ýà � � � � ê LE� ê / ' > 5 ¹�à�� � ½ LÉ ° ¼ °±²¡°±«A²D¬%³P¬X­�à�� � Ë�¬XÀ¡©�§�®�¬¯¨

5���� �

� � � � è K ( � � ê L+� � �dà ê / ' > 5 ¹ � ½�¹#a ë G � ½ LM ¬¯® ¬ ¹%� � � ½ 5��� � ¶§ö«8ªZ¬Zº�« ¾ ͱ¬DË�ª Ä ¾ ªX«�©�°±²AªX²D§�²D§·¹ � ì.L.L.L`ì 5 ½�Ä ¾ §�¨�ªZ©�°±¨ Ê ªZÞ�§�® ª§�Ä ¾ ª�Á¸ZªZ¬#ªX¸�°±® ªÃ¶§ / ' > 5 ¹ � 5 � � ½ � �¡ªZÞ�§�«¡²D¬ K#§j` ¼ ªZ­{°ÇªZ­�Ë ¼ §�® ¬¯¨�Ä ¾ §�ªÚ³A­�¬X³P¬X­XÁ¸ZªZ¬²D§�¸ ¾ À�¬¯¨/­ ¾ °±«¡¨&¶§ / ' > 5 ¹ � � � ½ �

6 ¨�§�é ¾ «¡²D¬�­�§�¨ ¾ ͵©�ªX²D¬ ²D§ú3¬¯ÍDz¡¨�©�¬¯«sº���°±Í±²¡°±­{°±® ¶§Xß� ����(8���F���!�K��7 XB7:9ùwú3¬¯Í±²¡¨�©�¬¯«sº��,°Çͱ²¡°µ­{°Ç®&½.7n:�Ð <�Ôja & � ÜÝ×AÏ�Ð�ÜÝÒ2Ñ � � Ü:×�Ï�Ð�Ò���Ô#"µÑ�Õ�Ði.ÑZÓ�Û�Ò.ÜÝÓÚÐ�×AÏwÑ á � á & � � � ' 4v: Ù ÛsÑX× �çÔ Ù Ð 2 � ì.L.L.L`ì 2 ' Ö�CÔ�Ñ ÜÝ×AÏ�Ð�Ü:Ò�Ñ�ÖöÕZÜ:ÖdÏ�ÜÝ×AÏwÑ�Öi.ÑZÓ á 2 � á ã à � 4 ��Ð�,�×�Ô

� ß è ���& � 4 � & ' á 2 � . 2 � á L

Page 25: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � ���

��×AÏ�CÔ¯Ñ ��Ö�Ð�à ØÐ �XÒ�ÔZ×�Õ�Ð�ÕmÐVÛDÐ�×�Õ�Ð�×�Õ¯Ñ4Õ�Ð a Ð �¹�àN½ni�Ò�Ð�Ö i.Ð�ÕmÐ���Ô ��ÔZÒui{ÑZÓÌà �^¹�� 3¹&� ¹#w ê 2 � ½ ê � ½ � L.L.L ��^¹&�̹#w ê 2 ' ½ ê � ½ � á w J � ½ ã

ã ¹ �^êÃë ' ¹ � ½�½ � � ͵¬Xé��$ ¹&�;½ '

�� � � ¹ �^ê / ' ¹ õ � � � � ½�½ LM ¬¯®�¬�ªZ³Aͱ°Ç¸�ª�Á¸ZªZ¬�²D§�¨�©�ªÚ³¡­{¬X³ � Ë�® ¬¯¨�©�­{ªZ­�§�®�¬¯¨,Ä ¾ §�/ ¼ §�­{°±ÈA¸�ª&ª�¸�¬¯«¡² � ²D§�¸�¬X­�º­�§�ÍǪ�Á¸ZªZ¬ �

� ��� � $ XB7 A87 / Ö�ÔXÏ�Ü:Ö���Ô���Ô ÷ � � � . i.ÑZ×�Õ 4�Õ�Ðui.ÑZÒdÒ�Ð5"»Ô*� i CÔ¯Ñ 40�Ò2Ñ�Ñ��=4 KªZ­{ª ¾ ¨�ªZ­�ª�³¡­�¬X³ � þ � �m˳¡­�§�¸�°±¨�ªZ­{§�®�¬¯¨�®�§�ͱûD¬X­.ªZ­�ª#ªZ³AªZ­�ó§�«¡¸�°±ª#²D¬#©�§�­.®�¬ � � � ¹ �^ê /Ú¹ õ � � � � ½�½/ªZ©�­{ª ¼ ¶§�¨,²D¬ ͵§�® ªsß� ��� � $ XB7 �87 � *¯ÜÇÖ�Ï�Ð Ù Ó Ô"� Ù ×�� i CÔ¯Ñ +Nè + ' ß�D�r 7�9ÆÏwÔ " Ù Ð"+8¹ ä ½ & � ÛsÔXÒ2ÔÏwÑ�Õ�Ñ ä �è U Ð

�� � � ¹ ��ê / ¹ õ � � � � ½�½ ã ���& � 4 � & '

+8¹ 2 � . 2 � ½.ìÑZ×�Õ�Ð � ß è ��& ��4 � & ' � 2 � ì.L.L.Ljì 2 ' ÜÝ×AÏ�Ð�Ü:Ò�Ñ�Ö�ÕXÜÇÖ�Ï�Ü:×AÏwÑZÖ i.ÑZÓ á 2 � á ã à � 4 � ÔZÜÇÖÔZÜÝ×�Õ¯Ô � ^¹%+.-D¹ ä ½ á U B á ä á ã àN½Iè0/ ' > - ¹ � ½�ÛsÔZÒ�Ô�ÏwÑ�Õ¯Ñ U#B 1 B@OV40�Ò2Ñ �ZÔ�Õ¯Ñ "µÐ�Ó Ô���4�� 4 M ¬¯®�¬

�� � � ¹ �^ê / ¹ õ � � � � ½�½ ã ���& � 4 � & '

���� � � � � �

¹ �^ê õ � � � � ½ � ��� | � �ì

ª²D§�¨�°µé ¾ ªXÍDz¡ªX²D§�²¡ª�® ¶§�²A°±ª%ªZ­{°±©�®�§�©�°±¸�¬ZºwéX§�¬¯® ¶§�©�­{°±¸�ª�«¡¬¯¨�³P§�­{® °µ©�§�©�¬¯®ÚªZ­ + ' ¹ ä ½^ß è/ ' ¹ � ½ � � z ¹ �^ê õ � � � � ½ � � | � � ³AªZ­{ª ©�¬ç²D¬ ä �è�U � Q�§�¨�©�ª&ªZ³P§�«¡ªX¨ ¼ §�­{°µÈ�¸�ªZ­�Ä ¾ §

^¹ � � � z ¹ �^ê õ �� � � ½ � � | - � á U#B ä ã àN½�è0/ ' > - ¹ � ½.ì

³AªZ­.ª&©�¬s²D¬ UB 1 BEO �/4 ¨�©�¬4¨�§�é ¾ § ²¡¬ Ê ªZ©�¬�²¡§#¹ ��ê õ � � � � ½ � � | - � ã ��ê õ � � � �§�ÅD¸�§�©�¬Ú³AªZ­.ª / ' > - ¹ � ½�³¡­{°±® ¬¯¨)õBË¡²D¬¯«¡²D§^¹ � � � z ¹ �^ê õ �

� � � ½ � � | - � á U B ä ã à ½ ã / ' > - ¹ � ½�/¹ � � � z ¹ �^ê õ �� � � ½ á U#B ä ã àN½ L

ï^«�©�­�§�©�ªX«m©�¬DË � � z ¹ �^ê õ � � � � ½ ã � ��� z G � � � � Ë¡¬ÚÄ ¾ §�°±® ³Aͱ°±¸�ª^¹ � � � z ¹ �^ê õ �

� � � ½ ��� | - � á U#B ä ã à ½ ã / ' > - ¹ � ½ �à��z � �

���� z G � � � � L

M ¬¯® ¬�à

��z � �

���� z G � � � � ã �à

��� � �àG G � � � � è0/Ú¹ � ½.ì

°±¨�©�¬ ¸�¬¯«¡¸�Í ¾ °?ª ²¡§�®�¬¯«¡¨�©�­{ª�Á¸ZªZ¬ �

Page 26: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� � �������������� ���������������� ��� ����

0I¬¯Íµ©�ªX«A²D¬�ª&³¡­�¬ ¼ ª�²¡ª&¸�¬¯«¡² � ²D§¸�¬X­�­{§�ͱª�Á¸ZªZ¬�³AªZ­{ª /PË�ͱ§�®%À¡­{§�º�¨�§�Ä ¾ §XËP²¡ªX²D¬¯¨ ��ãa ãF÷ � � � § 2 � ì.L.L.L�ì 2 ' J ���� Ë�²D§�¨�§bÎ�ªX®�¬¯¨ ¼ §�­�Ä ¾ §

�¹%/8¹#w ê32 � ½�L.L.L#/8¹#w ê32 ' ½ á w J DàD ½ ã �

��& � 4 � & '+8¹ 2 � . 2 � ½.ì

¬¯«¡²¡§�¬ ³P§�¨�¬ +F¶§Í±°±®Ú°µ©�ªX²D¬�§�® � - ³AªZ­{ª�©�¬s²D¬ 1ç� KªZ­{ªö¬ö³AªZ³P§�Í^²D§Ú³P§�¨�¬DËI¸�¬¯«¡¨�°Ç²D§�­�§&ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ + ²D¬öͱ§�® ª4þ � � §�¨�©�§�«¡²¡°Ç²D¬öªZ¬xU¸�¬¯®�¬ +8¹=U�½�ß è §�Ås³¹&�1a ͱ¬Xé�à��)͵¬Xé^ͱ¬Xé^àN½ � ¿ Ä ¾ °P©�§�®�¬¯¨�² ¾ ªX¨�³P¬¯¨�¨{°µÀA°±Í±°Ç²¡ªX²D§�¨�ßò ¬¯¨ 2 �D¨�ªZ¬�²A°±¨�©�°±«m©�¬¯¨�ß?«D§�¨�©�§�¸�ªX¨�¬DË�§�¨{¸�­�§ ¼ §�®�¬¯¨��P¹ ä ½�ß è � |��N�� � � |��;z 9 � �� !�� � - / 0 � > � / 0 �"2 ¹ ä ½§ ¾ ¨�ªX®�¬¯¨�ªÚ²D§�ÈA«¡°2Á¸ZªZ¬ ²¡§ /�³AªZ­{ª�§�¨�©�°Ç® ªZ­

^¹/8¹#w ê 2 � ½�L.L.L#/8¹#w ê�2 ' ½ á w J DàD ½

³P¬X­�¹�¹ �`ê �?¹#w ê$2 � ½�½�L.L.L�¹ �`ê ��¹#w ê$2 ' ½�½ á w J D

àD ½�è �� � � � >������ > ' � ^¹ �� � ��¹#w ê$2 ��½ á w J D

à�D ½ L

¦�¬X©�§NÄ ¾ §�³AªZ­{ª `�ì�� J >%Ë�³�¬s²D§�®�¬¯¨&¨ ¾ ³P¬X­ á 2 � . 2 � á ã ( � à ËIÎD¶ª·Ä ¾ §ðª§�¨�³�§�­.ªX«KÁ¸�ª4¨�§ ªX« ¾ ͱª#«D¬4¸�ªX¨�¬�¸�¬¯«�©�­�¶ªZ­{°µ¬ � ,B¬XéX¬DË)ª�³¡­{¬X³ � þ � ��§ ¬4͵§�®Úª�þ � �²A°µÞ�§�®ñÄ ¾ §�¹ �� �

��¹#w ê32 �w½ á w J Dà�D ½ ã �

��& ��4 � & '+8¹ 2 � . 2 � ½ ê ë ' ¹ � ½ L

ò ³P§�͵¬·®�§�«D¬¯¨Ú²¡¬¯°±¨ 2 � ¸�¬¯°±«A¸�°±²D§�®#ß4§�¨�©�°±® ªX®�¬¯¨&ª §�¨�³P§�­{ªX«KÁ¸�ª ²D§�¨�§bÎ�ªX²¡ªN³P¬X­��/ � ' ) ! � M ¬¯«m©�ªX¨8¨�°±®�³�͵§�¨?®�¬¯¨�©�­{ªX® Ä ¾ § ��/ � ) ! �$§�Ås³¹&� ͵¬Xé^à��)͵¬Xé�͵¬Xé^àN½.ˬ&Ä ¾ §�ªX¸�ªZÀ�ªÚª�³¡­{¬ ¼ ª�³�§�ÍǪ�«D¬¯¨�¨�ª�§�¨�¸�¬¯ÍÇû¡ª ²D§ +8¹=U�½ �

Q�§�¨ ¾ ® °±«¡²¡¬DËmª³AªZ­�©�°µ­/²¡ªX¨^³¡­�¬X³ � þ � þ�§,þ � �mËDªX¸�ªZÀAªX®�¬¯¨�²¡§�³¡­{¬ ¼ ªZ­/Ä ¾ §;/ÚªX¸�°Ç® ª²D§�È�«¡°±²¡ª4¶§ ¾ ®Úª�®�§�²¡°±²¡ª,³�¨�§ ¾ ²D¬Zº�ªX͵§�ªZ©�¬X­.°±ª�® ªjÎ�¬X­{ªX«¡²D¬ª�®�¬s²¡°µÈA¸�ª�Á¸ZªZ¬%²Aª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬²D§ ¼ ªX« &öªX«DéX¬¯Í±²D©�¹�ª ®�§�«D¬¯¨�²¡§ Ê ªZ©�¬X­3® ¾ ͱ©�°µ³Aͱ°±¸�ªZ©�° ¼ ¬�²D§�³P§�«¡²¡§�«�©�§�¨¡¶¬&²D§ �¡½ � KªZ­{ªÈA«¡ªXͱ°µÞ�ªZ­`Ë�ªZ³P§�¨�ªZ­^²D§3«?ªZ¬%³A­�§�©�§�«¡²D§�­{® ¬¯¨�²D§�©�ªXͱûAªZ­^ª³¡­�¬ ¼ ª%²¡§�¨�©�ªX¨�³A­�¬X³ � ˸�¬¯®�§�«m©�ªZ­�§�®�¬¯¨�À¡­�§ ¼ §�® §�«�©�§�¬¯¨�§�¨�Ä ¾ §�® ªX¨�²¡§�¨ ¾ ªX¨�²D§�® ¬¯«¡¨�©�­{ª�Á¸Z¬X§�¨ �

þ �±�Z� �1� � &���� $N+-$N(T� ���q$h+l$R(C����(^7�X87YXB7�¦�¬¯¨�¨�¬¯¨K¬XÀsÎ2§�©�¬¯¨I¨�ªZ¬ Ê ¬X­{® ªX¨Kͱ°Ç«D§�ªZ­�§�¨! ��¹#wP½�è � 5�!� � � � � w � ê LE�bË `)è � ì.L.L.L`ì aô¸�¬¯® á � � � á ã � �¹�àN½ � ÷ §�«D§�«Aû ¾ ®Úª�²¡ªX¨�Vº ¾ ³AͱªX¨&¹%� � � ½ 5��� � « ¾ ͱªX¨�«D§�® ­{ªX¸�°±¬¯«¡ªXͱ®�§�«m©�§�® ¶¾ ͵©�°µ³AÍǪX¨,§�«�©�­�§�¨�° �4É §�ÈA«Aª ! �,ß è� ! � ê�� §�¸�¬¯«¡¨�°±²¡§�­�§ ��è 5��� � � � ³¡­{¬ç² ¾ ©�¬�²D§^°Ç«�©�§�­ ¼ ªX͵¬¯¨ � � ¸�¬¯®;¸�¬¯®�³A­{°±®�§�«m©�¬¯¨á � � á &�� � � ' � � ¾ §�­�§�®�¬¯¨ ¼ §�­3Ä ¾ §

�¹ ��3¹�! � ¹#wP½�½ � L.L.L+��¹�! ' ¹#wP½�½ � á w J � ½Iè"¹ �^ê ë ' > 5 ¹ � ½�½ � � ͵¬Xé��$ ¹&�;½ '

L

Page 27: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � � �

6 ³¡­.°±®�§�°µ­�¬&³AªX¨�¨�¬ÿ¶§�­�§�® ¬ ¼ §�­ª�³¡­{§�¨�§�«KÁ¸�ª#²D§;��ß�³P§�ͱª�²D§�È�«¡°2Á¸ZªZ¬�§ Ê ªZÞ�§�«¡²¡¬ ¾ ®­�§�ªZ­{­{ªX«�Î�¬DËD¬ÚͱªX²D¬�§�¨�Ä ¾ §�­{²¡¬ ªX¸�°±® ª ¶§�

� �> � � � & �� '�� � �

t�¹ G � ½ t�¹ G '� ½çͱ¬Xé �G � ͵¬Xé �G '� � � '�� � �� � ��> � � � � � �=|~}F� á w J � � L¹Ýþm½

¿ Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬�²D§;&4¬ç§�ÀA° ¾ ¨^«¡ª§�Ås³¡­�§�¨�¨�ªZ¬�ªX¸�°±® ª�³P§�­{® °±©�§�¨ ¾ ³P¬X­/Ä ¾ § G � ì G '� ¨�ªZ¬�ͱ° ¼ ­�§�¨²D§�Ä ¾ ªX²D­.ªX²D¬¯¨ ��É §�«D¬X©�§³�¬X­ �ô¬Ú® §�«D¬X­�® ¶¾ ͱ©�°µ³A͵¬�¸�¬¯® ¾ ®ôªZ¬¯¨ G �bì G '� � ¦�¬X©�§Ä ¾ §� ã � � ' § ª#§�Åç³A­�§�¨�¨�ªZ¬ '

� � � � � �%> � � � � � �=|~}F� ¶§ �Úºw³�§�­.°�¶¬¯²¡°±¸�ªN¹Ý§�®´³AªZ­{©�°±¸ ¾ ͱªZ­�Ë?§�¨�©¡¶ªÀP§�®�º�²D§�È�«¡°±²¡ª§�® D 5 � ½ � M ¬¯® ¬ �"è 5�!� � � � ¸�¬¯® á � � á & � � � ' Ë¡¬XÀ¡©�§�®�¬¯¨� '�� � �� � �%> � � � � � �=|~}F� á w J � � è* � '

�� � �� � �> � � � � � �=| }F� á w J D 5 � � ê / ' > 5 ¹��j� � ' ½ L

)¬X­B¬ ¾ ©�­{¬�ͱªX²D¬DËZª�¸�¬¯«�©�­{°±À ¾ °2Á¸ZªZ¬�²D¬�§�­{­�¬ / ' > 5 ¹�� � � ' ½P³AªZ­{ª�¹Ýþm½�¶§ / ' > 5 ¹�� � � ' ͵¬Xé � ' �%½.ˬ#Ä ¾ ªXÍK³P¬ç²D§�¨�§�­�©�­{ªX«AÄ ¾ °ÇͱªX®�§�«m©�§�§�¨{Ä ¾ §�¸�°Ç²D¬ � ï^® ¬ ¾ ©�­{ªX¨,³AªXͱª ¼ ­.ªX¨�Ë8­�§�² ¾ Þ�°±®�¬¯¨ª�¸�¬¯«¡² � ²D§ Ê ¬X­{® ªX¨�ͱ°Ç«D§�ªZ­�§�¨�ª�³¡­{¬ ¼ ªZ­�Ä ¾ §�

� � > � � � & � '�� � �

t�¹ G � ½ t�¹ G '� ½ç͵¬Xé �G � ͵¬Xé �G '� � � '�� � �� � �> � � � � � �=| }F� á w J D 5 � � è¹��¯½

è"¹ �^êÃë ' > 5 ¹ � ½�½ � � ͵¬Xé�$ ¹&��½ '

L¹ , ½6 ¨�§�é ¾ «A²D¬�³AªX¨�¨�¬ÿ¶§Ú® ªX«A°µ³ ¾ ͱªZ­�¬4ͱªX²D¬�§�¨�Ä ¾ §�­{²D¬#ªX¸�°±®Úª�³AªZ­{ª�§�¨�¸�­�§ ¼ §�º�͵¬�§�®©�§�­{® ¬¯¨B²D§ ¾ ® ª�°±«m©�§�éX­{ªXÍm²D§�ͱ°±«Aû¡ª/²D§ ¾ ® ³¡­�¬s² ¾ ©�¬�²D§�ï ¾ ͵§�­�Ëj¬�Ä ¾ ªXͯ¨�§�­�¶ª�­�§�§�¨�¸�­.°µ©�¬§�®$©�§�­{®�¬¯¨�²Aª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ðÞ�§�©�ª §�¬ ¾ ©�­�¬¯¨ Ê ªZ©�¬X­{§�¨�® ªX°±¨�¨�°±®�³�͵§�¨ � M ¬¯®�¬ G � ì G '� ¨�ªZ¬Í±° ¼ ­�§�¨/²D§�Ä ¾ ªX²D­.ªX²D¬¯¨�ËD¬ ©�§�¬X­�§�®ÚªÚ¸{ûA°±«Pó§�¨�²D¬¯¨�­�§�¨�©�¬¯¨�³P§�­{®Ú°µ©�§,§�¨�¸�­�§ ¼ §�­� '�� � �� � �> � � � � � �=| }F� á w J D 5 � � è �� � �

���

� � � � � � > � � �� � � | }F� è U¡¹#a ë G õ?½ á w J D 5� � L

��¶ªöÄ ¾ §�¬ ® ¾ ͵©�°±³Aͱ°±¸�ªX«¡²¡¬4ªX¸�°±® ª ¶§ � ¨�§�õ «?ªZ¬ ²¡° ¼ °±²D§ �öËI³P¬ç²D§�® ¬¯¨§�¨{¸�­�§ ¼ §�­�¬Í±ªX²¡¬�§�¨�Ä ¾ §�­{²D¬ ²D§Ú¹��¯½/¸�¬¯® ¬�

� �> � � � � � '�� � �

t�¹ G �w½ t�¹ G '� ½�¹�͵¬Xé �G � ½ 9 ¹�͵¬Xé �G '� ½ 9 � �� � �� � �> � � � � � �=| }F� � � �� � H ! � � � ! � � | � ��� � � � H ! � � � ! � � � | � � ¹ õP½.ì

¬¯«¡²¡§�²D§�«D¬X©�ªX®�¬¯¨*p � H >������ > � � ¹ õP½/ß è â ��ã ` ã a´ß�õ á G �bæ¯Ë � ¹ õP½/ß è� �� � � � � �b|~}F� ��� | ' 2 � � � � }� � �# � ˳AªZ­.ª�¸�ªX²¡ª p ? â � ì.L.L.L`ì a æ�§ ¾ ©�°Çͱ°µÞ�ªX®�¬¯¨Ä ¾ §��¹ '� � � ½ � � �> � � � � � � |~}F� á w J D 5 � ½è � � � H ! � � � ! � � | � ��� � � � H ! � � � ! � � � | � � ¹ õP½ � KªZ­{ª�³¡­�¬¯¨�¨�§�é ¾ °µ­�Ë ¾ ¨�ªZ­�§�® ¬¯¨¬3©�­ ¾ Ä ¾ §�²D§�©�­{ªX«A¨2ºÊ ¬X­{® ªZ­�¬�͵¬X鯪Z­{°±©�®�¬�§�® Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬�® ¾ ͱ©�°µ³Aͱ°±¸�ªZ©�° ¼ ª²D§ G �2ì G '� ß�²D§�ÈA«A°±®�¬¯¨^¬ ¸�¬¯«�©�¬X­{«¡¬� � ¸�¬¯® ¬

� � ¹ ��½�ß è �͵¬Xé"� ê ` �.ì . O B � B@O

Page 28: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� � �������������� ���������������� ��� ����

§�«D¬X©�ªX® ¬¯¨�Ä ¾ § �÷ ��`

���H

w��1 � G 1�è"¹�͵¬Xé w?½ 9

³AªZ­.ª�©�¬s²D¬�w ýeUð­�§�ªXÍ � ï�¨�©�ªö°±²¡§�«�©�°±²AªX²D§Ú³P¬s²D§&¨�§�­ ¾ ©�°Çͱ°µÞ�ªX²¡ª#³�ªZ­{ª�§�¨{¸�­�§ ¼ §�­�¬Í±ªX²¡¬�§�¨�Ä ¾ §�­{²D¬ ²D§Ú¹��¯½/¸�¬¯® ¬¹ ÷ ��`2½ � � ' � �

H�� � �

H Ú¹'1Dì61 ' ½

'��!� �� � 9�� � 1 �� 1 ' ��

G 1 � G 1 '� 쬯«¡²¡§ 1�ß è�¹'1 � ì.L.L.L�ì61 ' ½.Ë 1 ' ß è"¹'1 '� ì.L.L.Ljì61 '' ½�§

Ú¹'1Dì61 ' ½^ß è �� � > � � � �

� '�� � �

t�¹ G � ½ t�¹ G '� ½G � G '�

� � � � � H ! � � � ! � � | � � � � � � H ! � � � ! � � � | � � ¹ õP½ LM ¬¯® ¬4ª4¨�¬¯® ªX«¡²¡¬4ªX¸�°±® ªÿ¶§Ú® ¾ ͵©�°µ³�ͱ°±¸�ªZ©�° ¼ ¬�§�® G � Ë G '� ËB©�§�® ¬¯¨%ª#­�§�³A­�§�¨�§�«m©�ª�Á¸ZªZ¬ Ú¹'1¡ì61 ' ½�è � � ¹'1¡ì61 ' ½/²D§� �¸�¬¯® ¬Ú³¡­�¬s² ¾ ©�¬�²D§�ï ¾ ͵§�­�²D§

� ¹'1Dì61 ' ½�ß è �� > � � � � � >������ > ' � ¹ . � ½ �

� � 9 � � � � � � � � ¹ õP½õ�� �� � ê �� � �

1 '�L

�3® ª#¬XÀA¨�§�­ ¼ ª�Á¸ZªZ¬ð¨�°±®�³�͵§�¨�¶§&Ä ¾ §, �¯¹ õP½,è � § � ¹ õP½ ãÆ� ËK²D¬¯«¡²D§ � ¹'1¡ì61 ' ½�è��ê / � ¹ õ � 3 ��� '�� ½ Ä ¾ ªX«¡²D¬���¹'1 � ½.ì���¹'1 '� ½ ý � � ,8¬XéX¬DË�§�¨�©�§ ³¡­�¬s² ¾ ©�¬ ²¡§ðï ¾ ͵§�­¶§NªZÀA¨�¬¯Í ¾ ©�ªX®�§�«�©�§ ¸�¬¯« ¼ §�­�éX§�«�©�§N³�ªZ­{ª��%¹'1 � ½.ì��%¹'1 '� ½Ný �Z� KªZ­{ª ®�§�ÍÇûD¬X­{ªZ­Ú§�¨�©�ª¬XÀA¨�§�­ ¼ ª�Á¸ZªZ¬DËPú3­�§�§�«4§ �)ªZ¬ ¾ ¨{ªX®î¬ Ê ªZ©�¬&²¡ªX¨ Ê ¬X­{® ªX¨�ͱ°Ç«D§�ªZ­�§�¨/¨�§�­�§�®ñ«8ªZ¬Zº�« ¾ ÍǪX¨�§«?ªZ¬�¨�§�­�§�®Ì­{ªX¸�°µ¬¯«AªXͱ®�§�«m©�§�® ¶¾ ͱ©�°µ³AͱªX¨I§�«m©�­�§,¨�°�³AªZ­{ª�³A­�¬ ¼ ªZ­ ¾ ® ͵§�®Úª%Ä ¾ §3ªZÈA­{® ªÄ ¾ § � ¹ õP½�è � ³AªZ­{ª ©�¬ç²D¬%õ ã �¹�àN½.Ë�p «?ªZ¬Zº ¼ ªZÞ�°µ¬ð¹Ý§�® ³AªZ­�©�°Ç¸ ¾ ͱªZ­ � è � ¨�§õ ã �¹�àN½�½,§XËB¨�§,õ ý �¹�àN½.Ë � ¹ õP½3è õ � � Ä ¾ ªX«A²D¬ á p á è � § � ¹ õP½ ã õ � �Ä ¾ ªX«¡²D¬ á p á & ÷ç� ¿ ³AªZ­�©�°±­�²D§�¨�©�§%͵§�®ÚªsËD³�¬s²D§�®�¬¯¨�¸�¬¯«¡¸�Í ¾ °µ­�Ä ¾ § � ¹'1Dì61 ' ½�è � . � ��� �*| � �

'���� �¹ õ � � � � ê õ � � � � � .�õ � � � � � � � ½¹ �X½

� ��� �*| � � �� > � � � � � >������ > ' � � � � � � � � � � / ¹ � �{õ � ½

õ � ��� � 9 � ��� � � � L¹��¯½ KªZ­{ª�©�¬¯® ªZ­ ¼ ªX«m©�ªZéX§�® ²D§�¨�©�ª�§�Ås³AªX«¡¨�ªZ¬DË Ê ªZ©�¬X­{ªX®�¬¯¨� � è� | � �� | � �� | �� ¸�¬¯®

| � �� ¹'1¡ì61 ' ½^ß è � ¹'1Dì61 ' ½ '��� � ¹ � . � ��� �l| � � õ � � � � ½ '��� � ¹ � . � ��� �l| � � õ � � � � � ½ '�!� � ¹ � . � ��� �*| � � õ � � � � � � � ½ � � | � �� ¹'1¡ì61 ' ½^ß è

'���� �¹ � . � � & �l| � � õ � � � � ½ � �

'���� �¹ � . � � & �l| � � õ � � � � � ½ � �

'���� �¹ � . � � & �*| � � õ � � � � � � � ½

| �� ¹'1Dì61 ' ½�ß è'���� �¹ � .�õ � � � � ½ '

���� �¹ � .�õ � � � � � ½ '

���� �¹ � .�õ � � � � � � � ½ � � L

Page 29: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � �:�

)¬¯«¡²D¬ � � ß è � | � �� Ë¡©�§�®�¬¯¨ �è � � � � � � üs§�°±«�©�­{¬ç² ¾ Þ�°µ­{®�¬¯¨�ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ÚÞ�§�©�ª� ¹ c ½^ß è � ¹ � . ���� ½ � � Ë ¼ ªX͵§Ä ¾ §

� ¯¹'1¡ì61 ' ½�è '���� �

� ¹ ��ê 1 � ê 1 '� ½� ¹ �^ê 1 � ½ � ¹ ��ê 1 '� ½ L¹ � ½

KªZ­{ªÚ¬¯¨�¬ ¾ ©�­�¬¯¨3²D¬¯°±¨ Ê ªZ©�¬X­�§�¨�Ë�²D§�«¡¬X©�ªX«¡²D¬ � '� ß è â 1 � ì61 '� á . � B ��¹'1 � ½.ì���¹'1 '� ½2B� UdUsì `�è � ì.L.L.L`ì a æ¯ËA³�¬s²D§�®�¬¯¨/³A­�¬ ¼ ªZ­�ªX¨�¨�§�é ¾ °±«m©�§�¨�§�¨�©�°±®ÚªZ©�° ¼ ªX¨�ß� ��� � $ XB7��ç5?7 g�ÖÛ�Ò�Ñ�Õ Ù ÏwÑ�ÖNÕ�Ð � Ù "µÐ�Ò � | � �� ÛsÔZÒ�Ô �Ãè � ì ÷ Ö�CÔ�Ñ·Ô>=�Ö�Ñ#" Ù ÏwÔ#.ÓÚÐ�×�Ï�Ð'i.ÑZ×��XÐ�Ò�mÐ�×�Ï�ÐdÖ%×�Ñ�Õ¯ÑXÓ·Ø� סÜOÑ � '

� � � ' Ð� � � ��� � | � � H�� � � � ã / ' ¹ � ½.ì � � �"��� � | � � H�� � � � ã �Ú¹#aNì1 �¹�àN½�½

� � ¹=Usì5U�½�è ��êÃë ' ¹ � ½.ì � � ¹=Usì5U�½^è�¹&� � $ ¹&�;½�½ ' L

0�Ò2Ñ �ZÔ�Õ¯Ñ "µÐ�Ó Ô���4��� 4 ò �Nè � ß�²¡ª�§�Åç³�ªX«¡¨�ªZ¬ ²D§ � §�® ¹ �X½�§�²¡ª Ê ¶¬X­{® ¾ ͱª²¡§ �)ª �s͵¬X­�Ë | � �� ¹'1Dì61 ' ½�è ��ê / ' ¹ õ � � � � � � ' ½�§�® �'� � � ' Ë?¬�Ä ¾ §�«D¬¯¨�²�¶ª�ª¸�¬¯« ¼ §�­�éX§�«¡¸�°Çª§�ª%¸�¬X©�ª�«¡ª%«D¬X­.® ª�²D§ � ' ¹ � '

� � � ' ²D§ � � Ä ¾ §�²D§�¨�§bÎ�ªX®�¬¯¨ � ¿°±é ¾ ªXͱ²¡ªX²D§3ªX¸�°±® ª³AªZ­{ª � � ¹=Usì5U�½^¨�§�é ¾ §,³P¬X­{Ä ¾ §�¬¯¨ Ê ªZ©�¬X­{§�¨ | � �� ¹'1Dì61 ' ½�¨�ªZ¬ �Ä ¾ ªX«¡²¡¬,õ ã �¹�àN½ �ò ��è ÷ ß�ªX¨�¸�¬X©�ªX¨�³AªZ­{ª � �3¨�ªZ¬ Ê ¶ªX¸�§�°±¨�³�¬¯°Ç¨^¬¯¨�³¡­�¬s² ¾ ©�¬¯¨�²D§�ï ¾ ͵§�­/§�« ¼ ¬¯Í ¼ §�®«¡¬ö® ¶ª�ÅD°±®�¬ �¹�à ½�©�§�­{®�¬¯¨ � ¿ Ê ¶¬X­{® ¾ ͱª#³AªZ­.ª � �¯¹=Usì5U�½¨�§�é ¾ §�²D§ � |��N�� è � 4 �*| � � ¹ � . �� ½ �

�K°±«¡ªXͱ® §�«�©�§XË8³P¬s²D§�®�¬¯¨�¸�¬¯«¡¸�Í ¾ °µ­�ª�³¡­�¬ ¼ ª#²¡ª�³A­�¬X³ � þ � þ�ª�³AªZ­�©�°±­,²¡¬4¨�§�é ¾ °±«m©�§Íµ§�®Úª�²D§�°±«m©�§�éX­{ª�Á¸ZªZ¬Dß� ��� � $ XB7���� ¹wú,¬¯Í±²¡¨�©�¬¯«sº���°±Í±²A°µ­{°±®&½.7 �Ô�Õ¯Ñ�Ö �ñÒ�Ð�Ô "KÐ � è ��¹'1¡ì61 ' ½ � Ù ×�� i�CÔ�Ñ&Õ�Ð÷ a ��ÔXÒ.Ü¡ØÔ �ZÐ�ÜÇÖi{ÑZÓ�Û�"±Ð *mÔ�Ö Ð�Ó �

'� i.ÑZÓ � � � � � | � � � è §�Ås³¹ / ' > � ¹�͵¬Xé � � �%½�½M�Ï�Ð�Ó�ÑZÖ�

¹ ÷ ��`b½ � '� �H�� � �

H��¹'1Dì61 ' ½ '

���� �

� ¹ �^ê 1 � ê 1 '� ½� ¹ ��ê 1 � ½ � ¹ �^ê 1 '� ½

� � 9�� � 1 �� 1 ' ��G 1 � G 1 '�

è � ¹=Usì.L.L.L`ì5U�½ç͵¬Xé ' � ê '���� �

/ ' > � ¹�� � � � | � � � ͵¬Xé' � � �%½ ê / ' > � ¹���� ��� � !�� ½.ì

ÛsÔXÒ2Ô4Ô " � Ù Ó � è � ¹#aö½�ý�U 4

0�Ò2Ñ�Ñ��=4 ¿ ³A­�¬ ¼ ªö²¡§�¨�©�§�ͱ§�® ª ¶§ ¾ ® ¸?¶ªXÍǸ ¾ ͵¬ö²¡§�°±«m©�§�éX­{ªX°±¨�²D§�ͱ°±«¡û¡ª�À�ªX¨�§�ªX²D¬ð§�®©�­{ªX«A¨�ͱª�Á¸Z¬X§�¨�¸�¬¯« ¼ §�«¡°±§�«�©�§�¨�²D¬ ¸�¬¯«m©�¬X­{«D¬ � � � 6 ¶¾ «¡°±¸�¬ ¸ ¾ °Ç²¡ªX²D¬ ª·¨�§�­Ú©�¬¯® ªX²¡¬¶§ Ä ¾ ªX«¡²D¬ ¸�­ ¾ Þ�ªX®�¬¯¨#¬¯¨#Þ�§�­{¬¯¨�²¡ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬ÃÞ�§�©�ªsË�¬¯«A²D§N¬¯¨#­�§�¨�¶� ² ¾ ¬¯¨#²D¬¯¨#³�¶¬¯Íµ¬¯¨°±«m©�§�­ Ê §�­�§�® «¡ªX¨&°±«m©�§�éX­{ªX°±¨ö¹�°Ç¨�©�¬ ¨�§ö­�§�¨�¬¯Í ¼ §�°Ç²D§�«�©�°±ÈA¸�ªX«¡²D¬ ¾ ®ÚªN­�§�鯰OªZ¬ ͱ° ¼ ­�§#²D§Þ�§�­�¬¯¨�³AªZ­{ª�ª Ê ¾ «KÁ¸ZªZ¬�Þ�§�©�ª�½ � KªZ­{ª ²D§�©�ªXÍÇûD§�¨ ¼ §bÎ�ª�¬ÚªZ³8ó§�«¡²¡°Ç¸�§%²D§ ( � * �

Page 30: O TEOREMA DE GREEN-TAO

� �������������� ���������������� ��� ����

¦�§�¨�©�§�³P¬¯«m©�¬�¬�ÈA«¡ªXÍ?²D¬ ªZ­�é ¾ ®�§�«�©�¬ ¶§¨�°±®�³Aͱ§�¨�ß)ªZ³�ͱ°±¸�ªX®�¬¯¨�§�¨�©�§�͵§�® ª�¸�¬¯® �;ß è� � � � § � ß è � � , a � ¦�¬X©�§Ä ¾ §�ª�û¡°µ³�¶¬X©�§�¨�§ � � � � � | � � � èÿ§�Åç³B¹ / ' > � ¹�͵¬Xé � � �%½�½¶§%¨�ªZ©�°Ç¨ Ê §�°±©�ª�³P¬X­{Ä ¾ §,²¡¬ ͵§�® ª�þ �±� U §²¡ª�­�§�éX­{ª ²¡§ ,8§�°µÀA«A°µÞXËs©�§�®�¬¯¨� � � � � | � � H�� � � � ã � ¹��¯ì aNì1 �¹�àN½�½.ì

³AªZ­.ª�©�¬s²D¬xU ã � ã a+§ ��¹=Usì5U�½ è$¹ ��ê ë ' ¹ � ½�½�¹ �� |��R� ½' � ï�® ³AªZ­�©�°±¸ ¾ ͱªZ­�ËIª¸�¬¯«¡¸�Í ¾ ¨�ªZ¬ ²D¬ ͵§�®Úª�þ �±�X� «D¬�³A­�§�¨�§�«m©�§%¸�ªX¨�¬Ú«D¬¯¨�²�¶ª�ª�³¡­�¬X³ � þ � þ �

þ ��÷ç� �1� � &���� $R+-$R(T���+�q$ +-$R(T����(^7�X87Ý9�7 ¿ ³¡­�¬ ¼ ª�²¡§�¨�©�ª3³¡­�¬X³ � ¶§�® ¾ °±©�¬3³�ªZ­�§�º¸�°±²Aª�¸�¬¯® ª ²¡§�®�¬¯«¡¨�©�­{ª�Á¸ZªZ¬�ªX¸�°±® ªsËA§�Ås¸�§�©�¬�³P§�͵¬ Ê ªZ©�¬&²D§�Ä ¾ §%ªX¨ Ê ¬X­.® ªX¨�ͱ°Ç«D§�ªZ­�§�¨ªZéX¬X­{ª�¨�ªZ¬ ! ��¹#w � ½�è w � ªX¨�Ä ¾ ªX°Ç¨�ͱ¬X鯰±¸�ªX®�§�«m©�§�¨�ªZ¬�­{ªX¸�°µ¬¯«¡ªXͱ® §�«�©�§�® ¶¾ ͱ©�°µ³AͱªX¨�§�«sº©�­�§¨�° ��4 ¨�¨�¬ §�ÅD°µéX§ ¾ ® ªX¨�³P¬ ¾ ¸�ªX¨�®�¬ç²A°µÈA¸�ª�Á¸Z¬X§�¨�«¡¬ÚªZ­�é ¾ ®�§�«m©�¬ÚªX¸�°±®Úª � KªZ­{ª&«¡ªZ¬«D¬¯¨/ªX͵¬¯«¡é¯ªZ­{®�¬¯¨/§�®Æ²D§�©�ªXͱû¡§�¨�²¡§�¨�«D§�¸�§�¨�¨�ªZ­.°µ¬¯¨�ËD«D¬¯¨�¸�¬¯«m©�§�©�ªZ­�§�®�¬¯¨�§�®î°±«A²¡°±¸�ªZ­/ªX¨³¡­.°±«¡¸�°µ³AªX°Ç¨I®�¬ç²A°µÈA¸�ªX¸�¬ç§�¨^²D¬�ªZ­�é ¾ ® §�«�©�¬�²¡ª³¡­�¬ ¼ ª�²¡ª�³¡­{¬X³ � þ � þ�³AªZ­{ª¬�³¡­�§�¨�§�«m©�§¸�ªX¨�¬ � Q�§�§�¨�¸�­�§ ¼ §�®�¬¯¨ ¸�¬¯®�¬�ªX¸�°±® ª�ªZ©m¶§�¸{ûD§�鯪Z­�«¡ªX¨ � ËsªX¨/Ä ¾ ªX°±¨�¨�ªZ¬�²D§�ÈA«A°±²¡ªX¨²D¬ ® §�¨�®�¬ ®�¬s²D¬ ¸�¬¯®ôªÚ¨�§�é ¾ °±«m©�§%® ¾ ²¡ªX«KÁ¸�ª�«D¬, � ¹ õP½.ß � ¹ õP½�ß è�^¹ �

� �� �h|~} 9 � ��� 9 � ��� | ' 2 � � � á w J D � ½ L

�­{¬ ¼ ª�º�¨�§�§�«�©�ªZ¬NÄ ¾ § � ¹ õP½è � §XË�¨�§�p �è �çËI©�§�®�º�¨�§�² ¾ ªX¨³P¬¯¨�¨�°µÀ�°±Í±°±²¡ªX²¡§�¨�ߨ�§�õ ã �¹�à ½.Ë ¼ ªX͵§ � ¹ õP½�è@Uså8¨�§3õ ý �¹�àN½.Ë � ¹ õ?½�è õ � � Ä ¾ ªX«¡²¡¬ á p á è �§ � ¹ õP½ ã õ � � Ä ¾ ªX«¡²¡¬ á p á & ÷ åI® ªX°±¨%ªX°±«¡²¡ªsË)Ä ¾ ªX«A²D¬ á p á & ÷ Ë � ¹ õP½�èmU§�ÅD¸�§�©�¬&¨�§/õ ²¡° ¼ °±²D§ � ß è ��& � 4 � & ' á 2 � . 2 � á �4 ¨�©�¬ ³P§�­{® °µ©�§,§�Ås³AªX«¡²¡°±­ � ¸�¬¯®�¬

� ¹'1¡ì61 ' ½�è � . � ��� �*| � �'���� �¹ õ � � � � ê õ � � � � � .�õ � � � � � � � ½ � ��� �*| � �> � � ��� � ¹'1Dì61 ' ½

¬¯«¡²¡§� � ¹'1Dì61 ' ½�è �

� > � � � � � >������ > ' � > � � � � � � � � /Ú¹ � �{õP½õ � ��� � 9 � �� � � � L

¿ éX¬X­{ªÚ«D¬¯¨ Ê ªZ©�¬X­{ªX® ¬¯¨ � è� | � �� | � �� | � �� | �� ¸�¬¯® | � �� è �^êÿ� ��� �l| � � > � � ��� � ¹'1¡ì61 ' ½

| � �� è � | � �� '��� � ¹ � . � ��� �l| � � õ � � � � ½�¹ � . � ��� �*| � � õ � � � � � ½�¹ � . � ��� �l| � � õ � � � � � � � ½ � �

| � �� è'��!� �¹ � . � � & �*| � � õ � � � � ½ � � ¹ � . � � & �l| � � õ � � � � � ½ � � ¹ � . � � & �l| � � õ � � � � � � � ½ | �� è

'��!� �¹ � .�õ � � � � ½�¹ � .�õ � � � � � ½�¹ � .�õ � � � � � � � ½ � �

ï�¨{¸�­�§ ¼ ª � � è � | � �� � M ¬¯®�¬ÃªX«�©�§�¨�Ë� 6è � � � � � � � ¸�¬¯® � ¨�ªZ©�°Ç¨2ºÊ ªZÞ�§�«¡²D¬�¹ � ½ � 6 ªX«�¶ªX͵¬XéX¬�²D¬ ͵§�® ª�þ �±� U ¶§Xß

Page 31: O TEOREMA DE GREEN-TAO

����q������� ���� ������� ��� �d � �

� ��� � $ XB7���9P7�0�ÔZÒ�ÔKU B � B � � , aN��ÑZÖ Û�Ò�Ñ�Õ Ù ÏwÑ�Ö·Õ�Ð � Ù "±Ð�Ò � | � �� i.ÑZÓ��è Usì � ì ÷ i{ÑZ× �ZÐ�Ò�mÐ�Ó Ô+=dÖ�Ñ " Ù ÏwÔZÓÚÐ�×�Ï�Ð Ð�Ó �'� Ð

� � � � � | � � H�� � � � ã / ' ¹ ͵¬Xé��ͱ¬Xé^͵¬Xé"� ½ � �� � � ¹ �^ê / ' ¹ õ � ' � � � ½�½ U ã � ã a

� � � � � � | � � H�� � � � ã §�Ås³B¹ / ' ¹�͵¬Xé � � �%½�½.ì � � � � � � | � � H�� � � � ã / ' ¹ � ½.ì � � � � � � | � � H�� � � � ã �Ú¹#aNì1 �¹�àN½�½� | Usì5U�½�è �� � � ¹ �)ê / ' ¹ õ � � � � ½�½.ì � � ¹=Usì5U�½^è �)ê ë ' ¹ � ½.ì � � ¹=Usì5U�½�è"¹&� � $ ¹&��½�½ ' L

0�Ò2Ñ�Ñ��=4 M ¬¯®�¬öª�³¡­�¬ ¼ ªð«D¬ö¸�ªX¨�¬ ²D§ � � § � � ¶§�¨�°±® °±ÍǪZ­%ª4³¡­{¬ ¼ ªö²D¬ð͵§�® ª�þ �±� UsË«?ªZ¬ð­�§ Ê ªZ­�§�®�¬¯¨�ªXÄ ¾ ° � KªZ­{ª ²D§�°»ÅDªZ­ ¾ ® ªö¸�¬¯«m©�ªð­�§�鯰±¨�©�­.ªX²¡ªsË�®�¬¯¨�©�­{ªZ­{§�®�¬¯¨�¸�¬¯®ª&§�¨�©�°±® ªZ©�° ¼ ª*� � � � � | � � H�� � � � ã / ' ¹ � !�� � !�� � !�� ½ � � � � ¹ ��ê / ' ¹ õ � ' � � � ½�½�°Ç®�³Aͱ°±¸�ªÄ ¾ § � � � ��� � | � � H�� � � � ã §�Ås³B¹ / ' ¹�ͱ¬Xé � � �%½�½�¹Ý§�¨�©�§�¶§,®�§�°µ¬�²¡ª�³¡­{¬ ¼ ª²D¬�͵§�® ª � U �-,§�® ( � *ݽ � )§�͵¬ §�¨�©�°±®ÚªZ©�° ¼ ª�²Aª�«D¬X­{® ª�� � ¹ � '

� � � ' ½�²D§ � � Ë¡ÀAªX¨�©�ª�³¡­�¬ ¼ ªZ­�Ä ¾ §�� � � ¹ �^ê / ' ¹ õ � ' � � � ½�½ ã §�Ås³B¹ / ' ¹�ͱ¬Xé � � �%½�½

,B§�®%À¡­{§�º�¨�§�Ä ¾ §�§�Ås°±¨�©�§�®ñ«D¬ ® ¶ª�ÅD°±®�¬ /Ú¹�͵¬Xé � �)ͱ¬Xé^͵¬Xé � ½�³¡­{°±® ¬¯¨�²A° ¼ °Ç²¡°±«¡²D¬ � ˲D¬¯«A²D§ �� � � õ �

��� ã ���& z & � | � !�� � � � !�� � !�� � � ä �

��� è0/Ú¹�͵¬Xé � � � ½�¬¯® ªX«¡²D¬�§�Ås³P¬¯«D§�«¡¸�°±ªX°Ç¨�Ës©�§�®�¬¯¨�ª ªZÈA­{® ªZ©�° ¼ ª�²D§�¨�§bÎ�ªX²¡ª �¦�¬ ¼ ªX®�§�«�©�§XË�ªð³AªZ­�©�°±­�²¡§�¨�©�§#͵§�® ª ª ¸�¬¯«¡¸�Í ¾ ¨�ªZ¬N²¡ªð³¡­{¬ ¼ ªð²Aªö³A­�¬X³ � þ � �öÈA¸�ª¨�°Ç®�³A͵§�¨�ß8ªZ³�ͱ°±¸�ªX®�¬¯¨)¬�͵§�® ª3ªX¸�°±® ª,¸�¬¯® � ß è � � , aƧ�"ß è � � � � � � � ï�¨�©�§�͵§�® ª°±® ³Aͱ°±¸�ª�Ä ¾ §�³�¬s²D§�®�¬¯¨ ¾ ¨�ªZ­�¬Ú͵§�®Úª�þ �±�X� ²D§�¸�¬X©�¬X­{«¡¬&²D§�°±«m©�§�éX­{ªX°±¨�³AªZ­{ª�§�¨�©�°Ç® ªZ­¸�¬¯®�¬ Ä ¾ §�­�§�®�¬¯¨�ª §�¨�³P§�­{ªX«KÁ¸�ª·«¡ª ³A­�¬X³ � þ � �mË�¨�§�§�¨�¸�¬¯Í±û¡§�®�¬¯¨ �¹�à ½Ú¸�­�§�¨�¸�§�«A²D¬²D§ ¼ ªZ鯪Z­�§�®ôà �

� ���s�¡ ?��� ���� >�����\�^W��� �Y� �����\��¡Y��A\ = |�_�ojuweg~�_2l q i.f�x�k.egf�k{uwvjegxOu�k�uwe t � t idf�a�k�uwegxw|j~�_bxwe q ojuwi.a.uw_2lOlOegidfjl2yxwi�k{o�oX_�k�uegf�� � ������7E9���� yX�{�d���j�� ������\��¡Y��A\ J uwe�xw|�~�_Vxwe q � uwi.a.uw_2lOlOegidfjlIk.f�h�xw|�_ � uweg~�_2l �P>¡ts> l q i{uwe k t! _ q xwcjuw_2l2yjxwi�k.ojoX_�k{uBegf

"$#%"'&� � ��� 7(#�)!��� :1: ����� �(& ym�.�d���j�

= _buOuO� E i.a�k{u�h��+*-,-.-/0*�1324.3506�708�*9+:4;��M i{uwe C k.adk.~�eA�=<�7%*(>3.(?�@(506A7�8�*9+:3;��

MOQ,�¯J y > l�xOu�kdhjk L ��zPk.l�xwi.uwegf�k >E>���y } k�u�hjeg~ E i.x{�k{f�e q i`y��d���3Bd� � 7��.� @ egi�hj_ } k.f�_beguwi`y E u�k �2e t