Aula 20Teorema de Green

MA211 - Clculo II

Marcos Eduardo Valle

Departamento de Matemtica AplicadaInstituto de Matemtica, Estatstica e Computao Cientfica

Universidade Estadual de Campinas

IntroduoO teorema de Green estabelece uma relao entre uma integralde linha sobre uma curva fechada simples C e uma integral duplana regio D delimitada por C.

(Figura extrada do livro de James Stewart, Calculus, 5 edio.)

Orientao positiva significa que a regio fica a esquerda aopercorrermos a curva. No exemplo acima, percorremos a curva Cno sentido anti-horrio!

Teorema de Green

Teorema 1 (Teorema de Green)

Seja C uma curva plana simples, fechada, contnua por partes,orientada positivamente e seja D a regio delimitada por C. Se Pe Q tem derivadas parciais de primeira ordem contnuas sobreuma regio aberta que contm D, ento

CPdx + Qdy =

"D

(Qx Py

)dA .

Notaes Alternativas

As notaes C

Pd + Qdy e

CPd + Qdy,

so tambm usadas para enfatizar que a integral calculadasobre uma curva fechada C usando a orientao positiva.A fronteira da regio D tambm pode ser denotada por D.Usando essa notao, o teorema de Green enunciado como"

D

(Qx Py

)dA =

D

Pdx + Qdy.

Ideia da demonstrao

Mostraremos que C

Pdx = "

D

Py

dA .

Para tanto, vamos supor que a regio D pode ser escrita como

D = {(x, y) R2 : a x b , g1(x) y g2(x)},

onde g1 e g2 so funes contnuas.Por um lado, pelo teorema fundamental do clculo, temos"

D

Py

dA = b

a

g2(x)g1(x)

Py

dydx = b

a

[P(x, g2(x)

)P

(x, g1(x)

)]dx.

Por outro lado, pode escrever a fronteira C de D como a unio doscaminhos C1, C2, C3 e C4 mostrados abaixo:

(Figura extrada do livro de James Stewart, Calculus, 5 edio.)

O caminho C1 pode ser descrito por

r1(x) = xi + g1(x)j, a x b .

Logo, C1

Pdx = b

aP(x, g1(x)

)dx.

De um modo similar, C3 pode ser descrita por

r3(x) = xi + g2(x)j, a x b .

Assim, C3

Pdx =

C3Pdx =

ba

P(x, g2(x)

)dx.

Finalmente, sobre C2 e C4, x constante e, portanto, dx = 0.Consequentemente,

C2Pdx = 0 =

C4

Pdx.

Concluindo, a integral de P sobre a curva C com respeito a x C

Pdx =

C1Pdx +

C2

Pdx +

C3Pdx +

C4

Pdx

=

ba

P(x, g1(x)

)dx

ba

P(x, g2(x)

)dx

=

ba

[P(x, g1(x)

) P

(x, g2(x)

)]dx

= b

a

[P(x, g2(x)

) P

(x, g1(x)

)]dx

=

ba

g2(x)g1(x)

Py

dydx ="

D

Py

dA .

De um modo similar, podemos mostrar queC

Qdy ="

D

Qx

dA ,

descrevendo D da seguinte forma:

D = {(x, y) R2 : c y d, h1(y) x h2(y)},

onde h1 e h2 so funes contnuas.Finalmente, combinando as equaes

CPdx =

"D

Py

dA e

CQdy =

"D

Qx

dA ,

conclumos queC

Pdx + Qdy ="

D

(Qx Py

)dA .

Regio Simples

Na demonstrao do teorema de Green, assumimos que a regioD pode ser escrita tando como

D = {(x, y) R2 : a x b , g1(x) y g2(x)},

como

D = {(x, y) R2 : c y d, h1(y) x h2(y)},

em que g1, g2, h1 e h2 so todas funes contnuas. Chamamostais regies de regies simples.

O teorema de Green pode ser estendido para o caso em que D a unio finita de regies simples.Um exemplo mostrado na figura abaixo:

(Figura extrada do livro de James Stewart, Calculus, 5 edio.)

A ideia que as integrais de linha sobre C3 e C3 se cancelam.

O teorema de Green tambm pode ser aplicado para regies comfuro, ou seja, regies que no so simplesmente conexas. Umexemplo mostrado na figura abaixo:

(Figura extrada do livro de James Stewart, Calculus, 5 edio.)

Novamente, a ideia que as integrais de linha em curvaspercorridas em ambos sentidos se cancelam.Observe que a regio fica sempre a esquerda quandopercorremos a fronteira.

Exemplo 2

Calcule C

x4dx + xydy,

em que C a curva triangular constituda pleos seguimentos dereta de (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0).

Exemplo 2

Calcule C

x4dx + xydy,

em que C a curva triangular constituda pleos seguimentos dereta de (0, 0) a (1, 0), de (1, 0) a (0, 1) e de (0, 1) a (0, 0).

Resposta: Pelo teorema de Green,C

x4dx + xydy = 1

0

1x0

ydydx =16.

Exemplo 3

Calcule C(3y esen x)dx + (7x +

y4 + 1)dy,

em que C o crculo x2 + y2 = 9.

Exemplo 3

Calcule C(3y esen x)dx + (7x +

y4 + 1)dy,

em que C o crculo x2 + y2 = 9.

Resposta: Pelo teorema de Green e usando coordenadaspolares, encontramos

C(3y esen x)dx + (7x +

y4 + 1)dy =

"D

4dA

= 4 2

0d

30

rdr

= 36.

rea de uma RegioSe P e Q so tais que

Qx Py

= 1, (1)

ento, pelo teorema de Green, a rea de uma regio D dada por

A ="

D1dA =

C

Pdx + Qdy.

Exemplos de funes P e Q e que que satisfazem (1), incluem:

P(x, y) = 0 e Q(x, y) = x,

P(x, y) = y e Q(x, y) = 0,P(x, y) = y/2 e Q(x, y) = x/2.

Assim, a rea de D pode ser obtida por uma das equaes:

A =

Cxdy =

C

ydx =12

C

xdy ydx.

Exemplo 4

Determine a rea delimitada pela elipsex2

a2+

y2

b2= 1.

Exemplo 4

Determine a rea delimitada pela elipsex2

a2+

y2

b2= 1.

Resposta: Usando a ltima frmula, conclumos que a rea daelipse A = ab.

Exemplo 5

Calcule C

y2dx + 3xydy,

em que C a fronteira da regio semianular D contida nosemiplano superior entre os crculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

Exemplo 5

Calcule C

y2dx + 3xydy,

em que C a fronteira da regio semianular D contida nosemiplano superior entre os crculos x2 + y2 = 1 e x2 + y2 = 4.

Resposta: Usando o teorema de Green e coordenadas polarespara calcular a integral dupla, encontramos

Cy2dx + 3xydy =

"D

ydA =143.

Exemplo 6

Se

F(x, y) =yi + xjx2 + y2

,

mostre que

C F dr = 2 para todo caminho fechado simples quecircunde a origem.

Exemplo 6

Se

F(x, y) =yi + xjx2 + y2

,

mostre que

C F dr = 2 para todo caminho fechado simples quecircunde a origem.

Resposta: Considere uma curva C e seja C o crculo de raio acentrado na origem. Pelo teorema de Green, temos

CPdx + Qdy

C

Pdx + Qdy ="

D

(Qx Py

)dA = 0.

Logo, calculando a integral sobre o crculo C , encontramosC

Pdx + Qdy =

CPdx + Qdy = 2.