obádovics j. gyula - felsőbb matematika

Dr Obdovcs J. Gyula termszettud mnyid mszaki doktor, a matemotik tudomnyok kandidtusa. A Gdlli Agrrtudomnyi Egyetem volt tanszkvezetje. 13 knyv, 30 egyetemi jegyzet, 52 tudo mnyos pubikci szerzje. A magyar szmtstechnika oktats egyik megteremtje.- .

Dr. Szarka Zoltn mszaki doktor, egye,/ temi docens, 1950-tl ' ; a miskolci Nehzipari Mszaki Egyeterri Mate matikai Tanszkn dolgozik, tbb vig tanszkvezetknt. Tbb alkalommal tntettk ki Kivl eiond^ "atominf az /oc//c eJoadjadirc mdon a d havaz tk meg az, mm. 26 knyv egyv.-- , ^-t, 44 tudomnyos publikci szerzje.

.

Obdovics J. Gyula - Szarka Zoltn

FELSBB MATEMATIKA

M so d ik , ja v to tt k iad s

SC 0 L A R

K i a d

TISZTELT OLVAS! A sokfle matematika knyv kzl n jl vlasztott, amikor a Dr. Obdovics J. Gyula, Dr. Szarka Zoltn szerzpros ltal rt knyvet vsrolta meg. Mindkt szerzt sok vtizedes oktatsi tapasztalat kti a matematikhoz. Egyetemi oktatknt hallgatk ezreit vezettk be a matematikba s segtettk t vizsgkon, szigorlatokon. Szmos tudomnyos cikkkn, konferencikon elhangzott eladsukon tlmenen jelzi ezt a mintegy 50 knyv s egyetemi jegyzet, amit plyafutsuk sorn rtak. Jl ismert pldul az Obdovics fle matematika knyv, amely 15 kiadsban, kb. 500 000 pl dnyban jelent meg. A szerzk tudjk s rzik, hogy mit kell s mit lehet megrni s azt milyen stlusban kell tlalni. Bzzunk bennk. Dr. Obdovics J. Gyula a Gdlli Agrrtudomnyi Egyetemrl tanszkvezet egyetemi tanrknt ment nyugdjba, ahol tbb vig mint intzeti igazgat dolgozott. Dr. Szarka Zoltn a Miskolci Egyetemen volt egyetemi docens, ma mr nyugdjas. Tbb vig volt tanszkvezet. Mindkettjket a hallgatk tbb alkalommal is arany gyrvel tntettk ki. a Kiad Budapest, 1999. augusztus havban

Dr. OBDOVICS J. GYULA, 1999 Dr. SZARKA ZOLTN, 1999 SCOLAR KIAD, 1999

ELSZ ISBN: 963-9193-71-2 A matematika irnti rdeklds, miknt azt a tisztelt Olvas is tapasztalhatta, az utbbi nhny vtizedben jelentsen ntt. Ezt a fokozott rdekldst vals szksg letek vltottk ki. Gondoljunk pldul a szmtstechnikra, amely mr mindennap jaink rszv vlt. Ennek az j tudomnygnak a matematika az egyik szlanyja. Az alkalmaz is akarva-akaratlan hasznlja a matematikt, az emberi agynak ezt a csodlatosan szp s alapjaiban pldamutatan szilrd termkt. De ez a rendkvl fontos s hasznos segdeszkz a matematikt alkalmaz hagyomnyos tudomnyterleteken kvl, mra mr bevonult a biolgiba, az irodalomba, a zenbe s ms tudomnyokba is. Kln kiemeljk a fizikval s a mszaki tudomnyokkal val szoros kapcsolatt. Btran kijelenthetjk, hogy matematika nlkl nem ltezne a ma tudomnya, az emberisg szegnyebb lenne szellemi s anyagi tren egyarnt. Krdezhetjk, hogy mi a titka ennek a szenzcis karriernek, hogyan vlhatott a matematika a tudomnyok kirlynjv s hogyan jtszhat ennyire meghatroz szerepet letnkben. A vlaszt leegyszersthetnnk arra, hogy a nagyfok abszt rakci rvn. Az ereje ebben van, ami egyttal gyengje is olyan rtelemben, hogy sok embert elriaszt attl, hogy kzel kerljn hozz. Ez a tartzkods, sok esetben flelem azonban alaptalan. Nem szksges klnleges rzk s tehetsg ahhoz, hogy a matematiknak azokat a terleteit megismerjk, amelyek az alkalmazsok tl

Minden jog fenntartva, belertve a sokszorostst, a m bvtett, illetve rvidtett vltozatnak kiadsi jogt is. Kiadja a SCOLAR KIAD, 2002 1114 Budapest, Bartk B. t 7. Tel ./fax: (06-1) 466-76-48 E-mail: [email protected] Felels kiad s szerkeszt; rsek Nndor A bortt tervezte: Mth Hanga A knyv brit ksztette: Bocsi Katalin, Szab Bla

Kszlt a debreceni nyomdszat tbb mint ngy vszzados hagyomnyait rz ALFLDI NYOMDA Rt.-ben Felels vezet: Gyrgy Gza vezrigazgat

_6________ _______________ _________________

Elsz

nyom tbbsgben elfordulnak. Termszetesen el kell rni egy szintet ahhoz, hogy a felsbb matematika egyes fejezeteibe betekintst nyerjnk, hogy olvasni tud junk egy ilyen tmval foglalkoz knyvet. Ehhez azonban elegend alapot ad a kzpiskola, st sok esetben az ltalnos iskola is, ha az ottani ismereteket rtve, tgondoltan sajttottuk el. Ne fljnk teht kzbe venni egy ilyen knyvet, s tanul junk meg figyelmesen s rtelmesen olvasni. A Felsbb Matematika cm knyv anyagnak sszelltsnl a praktikussgot tartottuk szem eltt. Ez most azt jelenti, hogy az alkalmazsok szempontjbl lnye gesebbnek tlt fejezeteket trgyaljuk, nagyjbl olyan mlysgig s felptsben, ahogy ltalban a mszaki felsoktatsban meghonosodott. Elssorban sszefoglal jelleg munkt szndkoztunk rni. Ennek kvetkeztben kevs szveggel, lnyegre tren, ltalban a bizonytsok mellzsvel igyekeztnk a tanulni akar Olvas dolgt megknnyteni. Ezt a clt szolglja az a sok kidolgozott plda, amely reml heten elsegti egy-egy anyagrsz megrtst. Minden j fogalmat definiltunk (rtelmeztnk). Ezrt javasoljuk az Olvasnak, hogy egy tma tanulmnyozst a definci gondos s figyelmes elolvassval kezdje. Prblja megrteni a lertakat, egy-egy kikts okt tgondolni. Ezutn a ttelt olvassa el, majd ismtelje el ugyanazt sajt szavaival is. Ne hagyja el a pldk megoldst! Vgl konstruljon a kidolgozott pldhoz hasonl feladatot s azt oldja meg, hasznlva a knyvet. (Bsges gyakorl feladat s megolds tallhat Obdovics: Felsbb matematikai feladatgyjtemny c. knyvben.) Eredmnynek szmt, ha gy (vagyis puskzva) meg tud oldani egy feladatot. Ez azt jelenti, hogy mr van egy kis rltsa a tmra. Ha vizsgra kszl, akkor ne sajnlja az idt a vizsgaanyag tartalomjegyzknek olvasgatsra, hogy tjkozdni tudjon a knyv ben. Hasznlja tovbb a nv- s trgymutatt! rdemes. Az Obdovics: Matematika c. knyvet kzpiskolsok tbbszzezren hasznltk az elmlt negyven v alatt ismereteik felfrisstsre vizsgkra val felkszls so rn. A Felsbb Matematikt ehsoxhm egyetemi s fiskolai hallgatknak ajnljuk. Meg vagyunk gyzdve, hogy ezt a knyvet is az elzhz hasonl sikerrel fogjk hasznlni. A vizsgkra val felkszlshez idelis segdeszkznek tartjuk. A kny vet a fiskolai s egyetemi hallgatkon kvl haszonnal forgathatjk mrnkk, kzgazdszok, szmtstechnikt alkalmazk, s mindazok, akik a felsbb matema tika irnt rdekldnek. J tanulst s eredmnyes alkalmazst kvnnak a Szerzk. Balatonszrsz, Miskolc, 1999. jnius hava

TARTALOM JEGYZK ELSZ........................ TARTALOMJEGYZK. I. FEJEZET 17

EGY- S TBBVLTOZS FGGVNYEK......................................................17 1.1. ALAPFOGALMAK................................................................................... 17 1.1.1, Halmazok........................................................................................ 17 1.L2. Kombinatorika................................................................................ 21 1.L3. A matematikai logika elemei..........................................................24 1.1.4. Relcik.......................................................................................... 27 1.1.5. Fggvnyek..................................................................................... 28 1.1.6. Algebrai struktrk......................................................................... 32 1.1.7. Vals szmok.................................................................................. 33 1.1.8. Az -dimenzis tr.......................................................................... 37 1.1.9. Komplex szmok............................................................................ 40 1.1.10. Polinomok..................................................................................... 47 1.1.11. Koordinta-rendszerek.................................................................. 53 1.1.12. Koordintatranszformcik...........................................................56 1.2. AZ EGYVLTOZS FGGVNY..........................................................57 1.2.1, Az egyvltozs fggvny fogalma................................................. 57 1.2.2, Specilis tulajdonsg fggvnyek................................................ 64 1.2.3, Az egyvltozs fggvny hatrrtke s folytonossga.................. 67 1.3. ALAPFGGVNYEK, NEVEZETES GRBK.................................... 71 1.3.1. Szakaszonknt egyenes vonal fggvnyek............... !...................71 1.3.2. Algebrai fggvnyek....................................................................... 74 1.3.3. Elemi transzcendens fggvnyek....................................................81 1.3.4. Interpolcis polinomok................................................................. 89 1.3.5. Nevezetes skgrbk paramteres egyenletei................................. 92 1.3.6. Nevezetes skgrbk polrkoordints egyenletei.......................... 96 1.3.7. Msodrend grbk........................................................................ 98 1.4. A TBBVLTOZS FGGVNY........................................................100 1.4.1, A kt- s tbbvltozs fggvny fogalma.................................... 100 1.4.2, Hatrrtk, folytonossg...............................................................103 1.5. FELLETEK, FELLETI GRBK......................................................104 1.5.1. Felletek megadsa....................................................................... 104 1.5.2. Nevezetesebb felletek................................................................. 105 1.5.3. Msodrend felletek...................................................................109 1.5.4. Felleti grbk.............................................................................. 116

Felsbb matematilia II. FEJEZET 123

Tartalomjegyzk

9

DIFFERENCILSZMTS............................................................. ..................123 2.1. EGYVLTOZS FGGVNYEK DERIVLSA.............................. 123 2.1.1. A differencilhnyados s a derivlt fogalma.............................. 123 2.1.2. Differencilsi (derivlsi) szablyok......................................... 126 2.1.3. Nevezetesebb fggvnyek derivltjai...........................................130 2.1.4. Jobb- s bal oldali derivlt........................................................... 133 2.1.5. Magasabbrend derivltak...........................................................134 2.2. A DIFFERENCILSZMTS ALAPTTELEI.................................. 136 2.2.1. Kzprtkttelek......................................................................... 136 2.2.2. A differencil............................................................................... 138 2.2.3. LHospital szablyai..................................................................... 141 2.3. EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK VIZSGLATA................ 144 2.4. RINT, NORMLIS............... .............................................................149 2.5. GRBK RINTKEZSE S GRBLETE...................................... 151 2.6. TAYLOR-POLINOM, TAYLOR-SOR................................................ 157 2.7. TBBVLTOZS FGGVNYEK DERIVLSA........................... 161 2.7.1. Parcilis differencilhnyados......................................................161 2.7.2. Magasabbrend derivltak...........................................................163 2.7.3. Teljes differencil, rintsk.........................................................164 2.7.4. sszetett fggvny s implicit fggvny derivlsa.................... 167 2.7.5. Paramteres alakban adott fggvny derivlsa.......................... 169 2.7.6. Az irnymenti derivlt.................................................................. 171 2.8. A KTVLTOZS TAYLOR-FORMULA...........................................172 2.9. TBBVLTOZS FGGVNY SZLSRTKE............................173 III. FEJEZET 185

3.3.3. Forgstest trfogatnak kiszmtsa................................ .............211 3.3.4. Forgstest felsznnek kiszmtsa.............................................. 214 3.3.5. Mechanikai alkalmazsok.............................................................215 3.4. IMPROPRIUS INTEGRLOK......... ...................................................... 223 3.4.1. Vgtelen integrcis intervallum..................................................223 3.4.2. Nem korltos integrandus.............................................................225 3.5. A HATROZOTT INTEGRL KZELT KISZMTSA............... 227 3.5.1. A hatrozott integrl becslse...................................................... 227 3.5.2, Numerikus integrls.................................................................... 229 3.6. A KETTS INTEGRL.......................................................................... 232 3.6.1. A ketts integrl rtelmezse........................................................232 3.6.2. A ketts integrl kiszmtsa........................................................234 3.7. A KETTS INTEGRL ALKALMAZSAI......................................... 240 3.7.1. Terletszmts.... .........................................................................240 3.7.2. Trfogatszmts.............. ............................................................ 241 3.7.3. Felsznszmts.................... ........................................................ 243 3.7.4. Mechanikai alkalmazsok.............................................................246 3.8. A HRMAS INTEGRL.............. ......................................................... 247 3.8.1. A hrmas integrl rtelmezse......................................................247 3.8.2. A hrmas integrl kiszmtsa......................................................249 3.8.3. A hrmas integrl alkalmazsai.................................................... 252 3.9. VONALINTEGRL, FELLETI S TRFOGATI INTEGRL..........255 3.9.1. Vonalintegrl................... ..................................... .......................255 3.9.2. Felleti integrl............................................................................. 259 3.9.3. Trfogati integrl.................. ....................................................... 263 IV. FEJEZET 267

VGTELEN SOROZATOK, SOROK S SZORZATOK.................... ................ 267 4.1. SZMSOROZATOK....... .......................................................................267 4.1.1. A sorozat fogalma........................................................................ 267 4.1.2. Konvergens sorozatok...................................................................270 4.2. FGGVNYSOROZATOK....................................................................277 4.2.1 A fggvnysorozat fogalma...........................................................277 4.2.2. Az egyenletes konvergencia............... .......................................... 278 4.3. NUMERIKUS SOROK...........................................................................280 4.3.1. A vgtelen sor s a konvergencia fogalma................................... 280 4.3.2. Konvergenciakritriumok.............................................................283 4.3.3. Abszolt s feltteles konvergencia............................................. 288 4.3.4. Mveletek konvergens sorokkal...................................................290 4.4. FGGVNYSOROK.............................................................................. 293 4.4.1. A fggvnysor fogalma.................................................................293 4.4.2. A fggvnysor egyenletes konvergencija................................... 294

INTEGRLSZMTS.........................................................................................185 3.1. A HATROZATLAN INTEGRL......................................................... 185 3.1.1. A hatrozadan integrl fogalma...................................................185 3.1.2. Integrlsi mdszerek................................................................... 187 3.1.3. Nhny fggvnytpus integrlsa.............................................. 190 3.2. A HATROZOTT INTEGRL.............................................................. 195 3.2.1. A hatrozott integrl fogalma, tulajdonsgai............................... 195 3.2.2. Az integrlszmts kzprtkttelei...................... ...................200 3.2.3. A hatrozott integrl mint fels (als) hatrnak fggvnye....... 202 3.2.4. Paramteres integrl..................................................................... 203 3.3. A HATROZOTT INTEGRL ALKALMAZSAI.............................. 205 3.3.1. A terlet s a trfogat fogalma.....................................................205 3.3.2. Terletszmts............................................................................ 206 3.3.2. vhossz-szmts......... .................................................................209

10

Felsbb matematika 4.5. HATVNYSOROK................................................................................ 296 4.5.1. A hatvnysor rtelmezse s konvergencija............................... 296 4.5.2. Fggvnyek hatvnysorba fejtse................................................ 303 4.6. SOROK SSZEGNEK SZMTSA, HIBABECSLS..................... 308 4.6.1. Sorok sszegnek szmtsa.........................................................308 4.6.2. Hibabecsls.................................................................................. 313 4.7. FOURIER-SOROK................................................................................. 316 4.8. VGTELEN SZORZATOK.................................................................... 320 4.8.1. Numerikus (lland elem) szorzatok......................................... 320 4.8.2. Fggvnyszorzatok....................................................................... 323 4.9 PNZGYI SZMTSOK................................................................... 325 4.9.1. Kamatos kamat szmts..............................................................325 4.9.2. Nominlis s effektv kamatlb....................................................326 4.9.3. Diszkontls, jelenrtk...............................................................327 4.9.4. Az inflci figyelembevtele........................................................330 4.9.5. Jradkszmts............................................................................ 331 4.9.6. Beruhzsok gazdasgossgi mutati......................................... 334

Tartalomjegyzk___________________________________

11

5.6. TENZOROK.............................................................................................388 5.6.1. A tenzor fogalma.......................................................................... 388 5.6.2. Mveletek tenzorokkal................................................................. 390 5.6.3. A ftengelyttel............................................................................. 392 5.7. TRGRBK......................................................................................... 395 5.7.1. A vektor-skalr fggvny.............................................................. 395 5.7.2. Trgrbk vizsglata..................................................................... 397 5.7.3. Felleti grbk vizsglata.............................................................404 5.8. A SKALR-VEKTOR FGGVNY......................................................409 5.8.1. rtelmezs, hatrrtk, folytonossg............................................ 409 5.8.2. Differencils................................................................................ 410 5.8.3. Integrls...................................................................................... 412 5.9. A VEKTOR-VEKTOR FGGVNY......................................................415 5.9.1. rtelmezs, hatrrtk, folytonossg............................................ 415 5.9.2. Differencils................................................................................ 417 5.9.3. Integrls...................................................................................... 420 5.9.4. Integrltalakt ttelek.................................................................426 5.9.5. A potencilfggvny..................................................................... 433 VI. FEJEZET 439

V. FEJEZET

339 KZNSGES DIFFERENCILEGYENLETEK...............................................439 6.1. ALAPFOGALMAK................................................................................. 439 6.1.1. A differencilegyenlet fogalma.....................................................439 6.1.2. A differencilegyenlet megoldsa.................................................440 6.2. ELSREND DIFFERENCILEGYENLETEK................................... 442 6.2.1. Az elsrend differencilegyenlet megoldhatsga..................... 442 6.2.2. Irnymez..................................................................................... 444 6.2.3. Grbesereg differencilegyenlete.................................. ............... 445 6.3. SPECILIS ELSREND DIFFERENCILEGYENLETEK............... 446 6.3.1. Sztvlaszthat vltozj differencilegyenlet............................ 446 6.3.2. Sztvlaszthat vltozjra visszavezethet diff.egyenletek...........448 6.3.3. Az elsrend lineris differencilegyenlet................................... 453 6.3.4. A Bernoulli-fle differencilegyenlet........................................... 456 6.3.5. A Riccati-fle differencilegyenlet.............................................. 458 6.3.6. Egzakt differencilegyenlet...........................................................459 6.3.7. Burkolgrbe s szingulris megolds............................. ............464 6.3.8. A Lagrange- s a Clairaut-fle differencilegyenlet..................... 467 6.3.9. Trajektrik.................................................................................. 470 6.4. MAGASABBREND DIFFERENCILEGYENLETEK...................... 472 6.4.1. -edrend lineris differencilegyenlet.................................. 473 6.4.2. lland egytthatj differencilegyenlet................................... 478 6.4.3. Az Euler-fle differencilegyenlet............................................... 488 6.4.4. Msodrend differencilegyenletek............................................. 491

LINERIS ALGEBRA, TRGRBK, VEKTORANALZIS........................... 339 5.1. VEKTORALGEBRA..................................................... .........................339 5.1.1. A vektor rtelmezse.................................................................... 339 5.1.2. Mveletek vektorokkal.................................................................340 5.1.3. Vektorok lineris fggetlensge...................................................342 5.1.4. Vektorok megadsa koordintkkal............................................ 343 5.1.5. Nhny geometriai alkalmazs.....................................................346 5.1.6. Reciprok vektorhrmas................................................................352 5.1.7. Az ^-dimenzis vektor................................................................. 353 5.2. A LINERIS ALGEBRA ELEMEI........................................................355 5.2.1. Lineris tr, altr.......................................................................... 355 5.2.2. A lineris tr bzisa, dimenzija..................................................356 5.2.3. Bzistranszformci..................................................................... 358 5.2.4. Az euklideszi tr........................................................................... 361 5.3. MTRIXOK........................................................................................... 364 5.3.1. A mtrix rtelmezse, specilis mtrixok.................................... 364 5.3.2. Mveletek mtrixokkal................................................................ 366 5.3.4. Mtrix rangja................................................................................ 373 5.4. DETERMINNSOK........................................................ .......................375 5.4.1. A determinns rtelmezse...........................................................375 5.4.2. A determinns tulajdonsgai........................................................377 5.5. LINERIS EGYENLETRENDSZEREK............................................... 379 5.5.1. A lineris egyenletrendszer fogalma s megoldhatsga.............379 5.5.2. Megoldsi mdszerek................................................................... 381

12

Felsbb matematika 6.5. DIFFERENCILEGYENLETEK MEGOLDSA VGTELEN SOROKKAL.................................................................................... 497 6.5.1. Megolds Taylor-sorral................................................................ 497 6.5.2. Megolds a hatrozatlan egytthatk mdszervel..................... 498 6.6. KZNSGES DIFFERENCILEGYENLET-RENDSZEREK..........503 6.6.1. Megoldhatsg s visszavezets differencilegyenletre..............503 6.6.2. Lineris differencilegyenlet-rendszer........................................ 506

Tartalomjegyzk

_____ _______ _____________________________ 13

8.3.7. A fggvny viselkedse a vgtelenben......................................... 570 8.3.8. A reziduum-ttel........................................................................... 571 8.4 LAPLACE-TRANSZFORMCI...........................................................575 8.4.1. A Laplace-transzformci fogalma......................... .....................575 8.4.2. Fggvny derivltjnak s integrljnak transzformlsa............577 8.4.3. Nhny elemi fggvny Laplace-transzformltja......................... 578 8.4.4. A fggvnyre s transzformltjra vonatkoz ttelek..................580 8.4.5. Differencilegyenletek megoldsa Laplace-transzformcival....584 8.4.6. Laplace-transzformcis tblzat..................................................587 IX. FEJEZET 593

VII. FEJEZET

S17

PARCILIS DIFFERENCILEGYENLETEK....................................................517 7.1. ALAPFOGALMAK................................................................................ 517 7.1.1. A parcilis differencilegyenlet fogalma..................................... 517 7.1.2. A parcilis differencilegyenlet megoldsa................................. 518 7.2. AZ ELSREND PARCILIS DIFFERENCILEGYENLET............ 519 7.2.1. A kvzilineris parcilis differencilegyenlet............................. 519 7.2.2. Cauchy-fle feladat (kvzilineris differencilegyenletre)..........521 7.2.3. Az ltalnos elsrend parcilis differencilegyenlet................. 524 7.3. NHNY NEVEZETES MAGASABBREND PARCILIS DIFFERENCILEGYENLET.........................................................529 7.3.1. A hvezets (s diffzi) differencilegyenlete........................... 529 7.3.2. A rezg hr s membrn differencilegyenlete........................... 533 7.3.3. A Laplace- s a Poisson-egyenlet.................................................537 7.3.4. A biharmonikus egyenlet.............................................................541 VIII. FEJEZET 547

NUMERIKUS MDSZEREK............................................................................... 593 9.1. BEVEZETS........................................................................................... 593 9.1.1. Adat, kerekts, mveletek s kpletek hibi............................... 594 9.2. NEMLINERIS EGYENLETEK MEGOLDSA.................................. 599 9.2.1. A gykk elklntse..................................................................599 9.2.2. Intervallum-felezsi eljrs...........................................................601 9.2.3. Az itercis mdszer..................................................................... 603 9.2.4. A Newton-Raphson-mdszer........................................................607 9.2.5. Interpolcis mdszerek...............................................................608 9.2.6. Nemlineris egyenletrendszer megoldsa.................................... 611 9.3. ALGEBRAI EGYENLETEK MEGOLDSA........................................ 613 9.3.1. Polinomokra vonatkoz alapttelek............................................. 614 9.3.2. A Bairstow-mdszer..................................................................... 616 9.4. A LINERIS ALGEBRA NUMERIKUS MDSZEREI........................ 617 9.4.1. A Gauss-fle mdszer................................................................... 617 9.4.2. Az inverzmtrix elemeinek kiszmtsa....................................... 621 9.4.3. Az egyszer s a Gauss-Seidel-fle itercis mdszer..,.............. 623 9.4.4. Konvergenciattelek s hibabecsls............................................. 624 9.4.5. A Cholesky-Banachiewicz-fle mdszer..................................... 627 9.4.6. Gyengn meghatrozott egyenletrendszerek................................ 630 9.4.7. Mtrix sajtrtkeinek s sajtvektorainak meghatrozsa..........632 9.5. DIFFERENCILEGYENLETEK NUMERIKUS MEGOLDSA.........637 9.5.1. Taylor-fle mdszer......................................................................638 9.5.2. A Heun-mdszer........................................................................... 640 9.5.3. A Runge-Kutta-fle mdszer........................................................642 9.6. KERLETRTKFELADATOK...........................................................643 9.6.1. Differenciamdszer....................................................................... 646 9.6.2. A Galjorkin-fle eljrs.................................................................648 9.6.3. A kollokcis mdszer..................................................................649 9.7. SAJTRTKFELADATOK.................................................................651 9.7.1. A sajtrtkfeladatok osztlyozsa, megoldsa............................ 652 9.7.2. Megolds a diffegyenlet ltalnos megoldsnak ismeretben....656

KOMPLEX FGGVNYEK................................................................................ 547 8.1. A KOMPLEX FGGVNY FOGALMA...............................................547 8.1.1. A komplex fggvny rtelmezse.................................................547 8.1.2. Differencils............................................................................... 551 8.1.3. Elemi fggvnyek........................................................................ 553 8.2. KOMPLEX FGGVNY INTEGRLJA............................................. 557 8.2.1. A vonalintegrl............................................................................. 557 8.2.2. A Cauchy-fle integrlttel..........................................................559 8.2.3. A Cauchy-fle integrlformula.....................................................562 8.2.4. Regulris fggvnyek tulajdonsgai........................................... 563 8.3. KOMPLEX FGGVNY SORBAFEJTSE........................................ 564 8.3.1. Komplex tag sorok..................................................................... 564 8.3.2. Hatvnysorok............................................................................... 564 8.3.3. A Tayior-sor................................................................................. 565 8.3.4. Regulris fggvny zrushelyei....................................................566 8.3.5. A Laurent-sor............................................................................... 567 8.3.6. Izollt szingulris helyek..............................................................569

14

Felsbb matematika9.7.3. Sajtrtkek kzelt meghatrozsa differenciamdszerre!....... 657

9.7.4. A Ritz-Galjorkin-fle eljrs........................................................6589.7.5. A kollokcis mdszer alkalmazsa sajtrtkfeladatokra...........661 9.8. PARCILIS DIFFERENCILEGYENLETEK MEGOLDSA.............662

9.8.1. Elliptikus tpus differencilegyenlet megoldsa rcsmdszerrel 662 9.8.2. A peremfelttelek kzeltsnek javtsa..................................... 666 9.8.3. A rcsmdszer hibjnak becslse.............................................. 667 9.8.4. Parabolikus tpus differencilegyenlet megoldsa..................... 668 9.8.5. Hiperbolikus tpus differencilegyenlet megoldsa................... 672 9.9, INTEGRLEGYENLETEK................................................................... 678 9.9.1. Integrlegyenletek osztlyozsa, elnevezse ................................ 678 9.9.2. Fokozatos kzeltsek mdszere...................................................680 9.9.3. Vges sszegek mdszere............................................................ 684 9.9.4. A kollokcis mdszer alkalmazsa.............................................688 IRODALOMJEGYZK................................................................................. 691 NV- S TRGYMUTAT......................................................................... 693

.H alm azok K o m b in a to rik a .R elcik, fggvnyek K o m p le x szm ok F \)lin o m o k K o o rd in ta-ren d szerek E g y v lto z s fggvny, hatrrtk, folytonossg A ia p f g g v iiy e k , nevezetes grbk;S z a k a s z o n k n t e g y e n e s v o n a l f g g v n y e k A lg e b r a i f g g v n y e k E le m i t r a n s z c e i i d e i i s f g g v n y e k

IIIteipoic!s polinomok,M s o d r e i i d g r b k r b b v lto z S s f g g v n ) N e v e z e te s fe l le te i .. ' 'm* ti t > , t o n o s ; : .i g 1 ^ i'k

M a s o d r e i i d i fe I 1e ie ii

I. FEJEZET

EGY- S TBBVLTOZS FGGVNYEK

1.1.

A LAPFOG ALM A K 1.1.1. Halmazok

a) A halmaz fogalma. A halmazt nem definiljuk, hanem alapfogalomnak tekintjk. Szoks azt mondani, hogy a halm az bizonyos dolgok sszessge. Ez nem definci, hanem a halmaz ms szavakkal val krlrsa. A hal m azjellse; A, B, H , ... A halmazt alkot dolgok a halmaz elemei. Azt a tnyt, hogy x a H hal maz eleme, gy jelljk; xeH. A halmazt meghatrozzk elemei. Ennek megfelelen megadhatjuk elemeinek felsorolsval, kapcsos zrjelbe tve ezt a felsorolst. Pldul gy; {1,3, 4,6, 10} vagy {a,b,c}. Sok esetben ez a megadsi md mr knyelmetlen, esetleg lehetetlen. Ilyenkor a kapcsos zrjelen bell a halm az ltalnos elemt s az elemek re jellem z tulajdonsgot vagy tulajdonsgokat tntetjk fel, rendszerint gy: A = [x:T {x)] ill. A = [ x \T{ x )]. Ekkor az A halmaz azoknak az x elemeknek az sszessge, amelyek T tulajdonsgak. Pldul A = {jc;.x e R ,|x| < l} jelenti az 1-nl kisebb ab szolt rtk vals szmok halmazt. Egy halmazban egy elem csak egyszer fordulhat el. Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, res halmaznak nevez zk. Jele; 0 . Kt halmaz akkor s csak akkor egyenl, ha elem eik ugyanazok. Jell se; A = B . Definci. Az A halmazt a B halmaz rszhalmaznak (rviden rsznek) nevezzk, h a ^ minden eleme 5-nek is eleme. Jellse: A ez B.

18

Egy- s tbbvltozs fggvnyek

1.1.1. Halmazok b) M veletek halmazokkal

19

A definci szerint minden halmaz rszhalmaza nmagnak. Az res halmaz minden halmaznak rszhalmaza. Kt halmaz egyenlsgt gy is megfogalmazhatjuk: A = B akkor s csak akkor, ho. A ez B s B a A. Ha a halmaz elemeinek szma vges, akkor a halm azt vgesnek (ide tartozik az res halmaz is), ellenkez esetben pedig vgtelennek mondjuk. Ha kt halmaz elemei kztt klcsnsen egyrtelm megfeleltets ltest het, akkor azt mondjuk, hogy a kt halmaz szmossga egyenl (a kt halmaz ekvivalens). Vges halmaz szmossgn elemeinek szmt rtjk. A termszetes szmok halmaznak (vagy a vele ekvivalens halmaznak) szmossgt m egszmllhatan vgtelennek vagy rviden megszinllhatnak mondjuk. A vals szmok halm aznak (vagy a vele ekvivalens halmaznak) a szmossga nem megszmllhat, ms szval kontinuum szmossg. A halmazt szemlltethetjk (brzolhatjuk) krlappal, tglalappal eset leg ms skidommal. Az ilyen brt Venn-diagramnak nevezzk. Az 1.1. brn a //h a lm a z t egy krlap brzolja. Az 1.2. bra azt szemllteti, hogy A rsze 5-nek ( A c i B ) .

Definci. A z A s B halmazok A n B metszetn (kzs rszn) azt a halmazt rtjk, amely A s B kzs elemeit (s csak ezeket) tartalmazza (1.3. bra). Ha kt halmaznak nincs kzs eleme, akkor metszetk az res halmaz. Ilyenkor azt mondjuk, hogy a kt halmaz (egymsra nzve) idegen (diszjunkt halmazok). Definci. Az y s B halmazok A k j B egyestettjn (unijn) azt a halmazt rtjk, a m e l y s B minden elemt (s csak ezeket) tartalmazza (1.4. bra).

A halmazok egyestsnek s kzs rsz kpzsnek tulajdonsgai a k vetkezk: 1. M indkt mvelet kommutatv, azaz brm ely/I, B halmazra A n B = B n A, 1.1. bra. Halmaz Definci. A z A s B halmaz A x 5 -v e l jel lt Descartes-szorzatn az sszes olyan rendezett (a,b) elemprok halmazt rtjk, ahol a e A, beB. Plda Legyen A = [a,b,c], B = {x,y]. Ekkor As, B halmaz Descartes-szorzata: A x B = [{a,x), {a,y), {b,x), {b,y), {c,x), {c, j)}. }l?i B = A, akkor az A x A jells helyett hasznlhat A " . Pldul, ha a vals szmok halmazt R jelli, akkor R " a vals szmokbl alkotott szmprok halmaza, amely geometriailag azonos a sk (szmsk) pontjainak sszessgvel. Ugyangy az R x R x R = R x R = R^ halmaz a tr pont jaival szemlltethet. A kj B = B u A .

2. M indkt mvelet asszociatv, azaz brmely A, B, C halmazra {AnB)nC= An{BnC), (A u B ) u C = A k j ( B u C ) .

3. Mindkt mvelet idempotens, azaz brmely A halmazra A n A = A, A u A - A.

4. Mindkt mveletre rvnyes az elnyelsi tulajdonsg, azaz brmely A, B , C halmazra A n ( A u B ) = A, A u ( A n B ) = A. 5. Mindkt mvelet disztributv a msikra nzve, azaz brmely A, B, C halmazra Au{Br^C)={AuB)n{AuC), A r ) ( B u C ) - ( A n B ) u (A n C ) . Definci. A z A s B halmaz A \ B klnbsgn A azon elemeinek sszes sgt rtjk, amelyek nem tartoznak 5-hez (1.5. bra).

20


1.1.2. Kombinatorika 1.1.2. Kom binatorika

21

Definci. Legyen A a H halmaznak rszhalmaza. Ekkor A-nak a //-ra vonatkoz komplementern rtjk a H \ A halmazt (1.6 . bra). Jellse: Afj, vagy ha nem rthet flre, akkor A . H

A kombinatorika a vges halmazokkal foglalkozik. Alapfeladata annak megllaptsa, hogy egy vges halmaz elemeit hogyan s hnyflekppen lehet csoportostani. a) Permutci. Ha n klnbz elemet valamilyen sorrendben helyeznk el (runk le), akkor egy-egy ilyen elhelyezst az n elem egy-egy permut cijnak neveznk. E permutcik szma: P,r=n\

Ttel. A //h a lm a z te tsz le g e st s B rszhalmazaira A=A, AnA= 0, A nB -A uB , A u A = H, A uB -A nB .

(olv.: en faktorilis). A faktor ii is rtelmezse: ;i!= l-2 -3 -...' , 1! = 1, 0!=1.

Ha az elemek kztt k elem megegyezik (ismtldik), akkor az n. ismtlses permutcik szma: n\ " k\

Az utols kt azonossgot De M organ-fle azonossgoknak nevezzk. A halmaz elemei lehetnek halmazok is. gy egy H halmaz sszes rsz halmazai egy jabb halmazt alkotnak, melyet H hatvny halmaznak neveznk. Jellse: P( H) . Ha f/ele m e in ek szma n, akkor P{H) elemei nek szma 2 . Pldk 1. Legyen R a vals szmok halmaza, tovbb legyen A - [x:x e R,|a'| < 2} , B = {x :x g R , x > O }. rjuk fel az A, B, A n B , A u B, A \ B halmazokat. Megolds. A = { r x e R, |x-| > 2}, B = (x:xg

Ha az elemek kztt r-fle klnbz elem szerepel gy, hogy az egymssal megegyez elemek szma rendre k^, k^, ..., k^., akkor az n elemnek k^\ k 2 \. . . k, \ ismtlses permutcija van. Fontos specilis eset, ha n elem kztt csak ktfle klnbz elem van. mgpedig az egyikflbl k, a msikflbl n - k darab. Ekkor az ismtl ses permutcik szma:pk,n-k.._, n\

R, x < 0}.

Mivel A s B kzs elemei a kettnl kisebb pozitv vals szmok, ezrt ^ n = {x:x e R, 0 < X < 2} . Mivel a kt halmaz unija e kt halmaz valamennyi elemt tartalmazza, ezrt u = {x:x e R, X> -2}. Az A \ B halmaz A-nak azokat az elemeit tartalmazza, amelyek nem tartoznak -hez, gy ^ \ = {x: X e R , - 2 < X< 0}. 2. Igazoljuk, hogy A \ { B u C ) - A n B n C tetszleges A, B, C halmazokra. Megolds. Az A \ B = A n B s a De Morgan-fle msodik azonossgot felhasz nlva: A \ { B u C)= A n { B u C ) = A n { B n C ) = A n B n C . -

k \{ n -k )\

Pldk 1. 5 elem permutciinak szma: /5 = 5! = 12-3 -4-5 = 120. 2. Hny permutci alkothat a MATEMATIKA sz betibl? Megolds. Az elemek (betk) szma n = 10. Ezek kztt megegyezk is vannak; kt M bet, hrom A bet, s kt T bet. Teht k^ =2, /c, = 3, k^ - 2, Az ismt lses permutcik szma: . 2,3,2 10! = 151200. 2!3!2

22


1. 1. 2.

Kombinatorika

23

b) Varici. Ha n klnbz elem kzl minden lehetsges mdon kiv lasztunk k elemet, s ezek sszes perm utciit vesszk, akkor megkapjuk n elem ^-adosztly variciit. Ezek szma; v y.= n ( n - \ ) ( n - ) . . . { n - k + l) = k y stb.). Az ( x, y) jells teht azt jelenti, hogy.x relciban vany-nal. Ezek a rendezett {x, y) prok nyilvn elemei az X x Y Descartes-szorzatnak. Mondhatjuk azt, hogy ezek a rendezett prok alkotjk a relcit. Definci. Binris (ktvltozs) relcinak nevezzk az olyan halmazt, amelynek minden eleme rendezett pr. H a A s Y kt halmaz, akkor A s Y fltti relcinak nevezzk az X x Y halmaz brmely 7 rszhalmazt. Ha Y = X , akkor a 7relcit az A halmazon rtelmezett homogn relcinak nevezzk. Az rtelmezsbl teht kvetkezik, hogy ha T relci, akkor (x, y) e T. Ez jellhet x T y mdon is, ami olvashat gy: x r-relciban vanj;-nal. Az ( x, y) jellsnl lnyeges, hogy az x az els helyen j/ a msodik helyen ll, vagyis hogy {x, y) rendezett pr. E prok els komponenseinek halma za a relci rtelmezsi tartomnya, a msodik komponensek halmaza pedig a relci rtkkszlete. Legyen { x , y ) e T. A T relci brzolhat ^ a z x elemekbl a z y elemekbe vezet nyilakkal (az n. nyldiagrammal) vagy a sk ( x, y) koordintj pontjaival (ha minden egyes { x , y ) e T prhoz hozzrendeljk a sk egyegy pontjt). Ez utbbi bra a relci grfja (1.7. bra). ~ 1.7. bra. A T relci grfja 1. A vals szmok halmazn rtelmezett relci pldul a < (kisebb vagy egyenl) kapcsolat, Egy msik relci az egyenlsg (=), y XxY, grafr U////Z.

Mivel p - ^ q oszlopa megegyezik -^pvq oszlopval, ezrt p - ^ q egyenrtk i f v q- v a l . c) Logikai fggvnyek s kvantorok. V annak olyan tletek, amelyeknek igaz vagy hamis volta bizonyos vltozk rtktl fgg. Az ilyen tletet logikai fggvnynek (prediktumnak) nevezzk. A matematikban gyakran fordul el a kvetkez kt tpus tlet: minden x - xq P{x) , ill. van olyan j:, hogy P( x) . Ezek rvid lersra a V ill. 3 jeleket hasznlhatjuk a kvetkez mdon: \f X P{x) [olv.: minden .x-re /"(.x)]; 3 x P(x) [olv.: van olyanX, hogy /*(.x)]. A V jel neve univerzlis kvantor, mg a 3 jel neve egzisztencilis kvantor. Pldk 1. Jelentse P(x) azt az tletet, hogy x hrommal oszthat pozitv egsz szm, P{x) igaz, ha pldul x = 12, viszont hamis, ha 11. P(x) egy logikai fggvny. 2. A ... minden e > 0 szmhoz van olyan 8> 0, hogy ... helyett rhat; Ve > 0 szmhoz 38 > 0, hogy

28

Egy- s tbbvltozs fggvnyek 2. A vals szmok halmazn rtel mezett homogn T relci jelentse azt, hogy A + y"< 25. Ennek a relcinak -" a grlja az x~ + y"=25 krvonal s annak belseje (1.8. bra). 3. Legyen A'= {l,2,3,4}, a relci

7.7.5. Fggvnyek

29

zsi tarto m n y a, az Y halmaz pedig a fggvny kphalmaza. 7-nak azok az elemei, amelyek e hozzrendelsben rszt vesznek (azaz kpelemek), a fggvny rtkkszlett alkotjk. Az rtkkszlet teht rsze a kphal maznak. Ha a f g g v n y t/jel li s x e X , akkor az ,\'-hez rendelt )'-beli elemet /(A ')-szel jelljk, amit az f fggvny x helyhez tartoz helyettestsi rtknek nevezzk. A fggvny rtelmezsekor szoks az a szhasznlat is, hogy az /f g g vny az X halmazt az Y halm azba kpezi le. Ezrt a fggvnyt lekpezs nek is mondjuk. Ennek egyik jellsi mdja: f\X Y.

1,8, bm. Az ,= + / < 25 relci grfja ^ ^ ''1* " ' l A relcit alkot szmprok halmaza: {(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3,3),(4,1),(4,2),(4,4)}. b) Inverz relci. Az X s Y fltti T relci inverz relcijnak nevezzk azt a 7^* -gyei jellt relcit, amelyre { y ,x ) G 7 ^ ' pontosan akkor, ha ( x ,y ) e T . Az rtelmezsbl kvetkezik, hogy ha T X s Y fltti relci, akkor 7 ^ ' nyilvn 7 s X fltti relci. ( 7 ^ 'rtelmezsi tartomnya egyenl T rtkkszletvel, rtkkszlete pedig T rtelmezsi tartomnyval.) Ha pedig rh o m o g n relci X-en, akkor 7 ^ ' is homogn relci X-en. Plda A vals szmok halmazn rtelmezett < (kisebb) relci inverze a > (nagyobb) relci. Az = (egyenl) relci inverze nmaga (vagyis az = relci). c) Ekvivalencia, rendezs. Az X halmazon rtelmezett T homogn relci 1. reflexv, ha {x ,x ) e T ; 2. szimmetrikus, ha { x ,y ) e T esetn (>>,.x) g T ; 3. tranzitv, ha (x ,y ) g T s ( y ,z ) e T esetn { x ,z) e 7; 4. antiszimmetrikus, ha { x ,y ) e T s { y ,x ) e T esetn x = y . Definci. Egy homogn relcit ekvivalenciarelcinak neveznk, ha az reflexv, szimmetrikus s tranzitv. Rendezsi relcinak nevezzk, ha reflexv, tranzitv s antiszimmetrikus. Pldk 1. Az egyenlsg, a hasonlsg, a prhuzamossg ekvivalenciarelcik. 2. A < (kisebb vagy egyenl) n. nagysgrendi relci rendezsi relci.

A z/f g g v n y rtelmezsi tartomnynak, ill. rtkkszletnek szoksos jellse D f / \ . R f . A z rtkkszletet f ( X ) mdon is szoktk jellni. A z X s Y halmazok igen vltozatosak lehetnek. Ha pldul Y a vals szmok valamely rszhalmaza, akkor azt mondjuk, h o g y /v a l s fggvny. Ha ezen bell X e R , a k k o r / egyvltozs vals fggvny, ha X c R " , akkor/k tv lto z s vals fggvny stb. A fggvny m egadshoz meg kell adni az rtelmezsi tartomnyt, a kphalmazt s azt a hozzrendelsi szablyt, amelynek segtsgvel minden x e X elemhez meghatrozhat (kiszmthat) a hozztartoz y e Y elem. Az esetek nagy tbbsgben ezt a hozzrendelsi szablyt az f { x ) helyettestsi rtk kiszmtsra alkalmas kplettel adjuk meg. Pldul az /v a l s fggvny rtelmezsi tartomnya legyen a [ - 2 ,2 ] zrt intervallum, a kplet pedig legyen f { x ) = -\l4 -x ~ . Ez a fggvny gy rhat fel; /: { x :x e R , - 2 < X < 2 } -> R; / ( x ) = Szoksos jells mg: /j(x)=4i vagy X .

M egllapodunk abban, hogy e helyett a knyelmetlen felrs helyett gyakran csak az / ( x ) = V 4 - x kpletet rjuk fel, vagyis ezzel a kplettel rtelmezzk az/f g g v n y t. Itt mg abban is megllapodunk, hogy az rtel mezsi tartomnyt mindazok az x rtkek alkotjk, amelyekre a kplet rtelmes. Ha eltren rendelkeznk a helyettestsi rtkrl, akkor azt ter mszetesen kln ki kell rni. Ennek az egyszerstett jellsnek megvan az a htrnya, hogy a helyettestsi rtk s a fggvny jellse megegyezik. Ez azonban ltalban nem okoz flrertst.

1.1.5. Fggvnyek a) A fggvny fogalm a. Definci. Legyen X s Y kt nem res halmaz. Ha az X halmaz minden egyes elemhez hozzrendeljk az Y halmaz egy-egy elemt, akkor az X halmazon egy fggvnyt rtelmeznk. Az X halmaz a fggvny rtelme

30


1.1.5. Fggvnyek

31

Megjegyezzk, hogy nha knyelmi okok miatt, a fggvnyt y = f { x ) rgies rsmddal is jellik, rjk. Az vltoz neve fggetlen vltoz, y neve pedig f g g vltoz. A fggvny a relci segtsgvel is rtelmezhet. Az eddigiek alapjn ugyanis belthat, hogy az s Y fltti T relci fggvny az X halma zon, ha minden x g X esetn pontosan egy y & Y tallhat gy, hogy ( x, y ) e T. Ekkor a T jei helyett a z /je le t hasznljuk, s a T relci helyett/ fggvnyt mondunk. Ekkor y = f { x ) . Igen lnyeges, hogy mg a relcinl egy X elemhez (rtkhez) tbb (akr vgtelen sok) y elem (rtk) tartozik, addig a fggvny esetn egy ^:-hez pontosan egy y. A fggvny brzolhat az rtelmezsi tartomny x elemeibl az rtkkszlet f { x ) elemeibe vezet nyilakkal (1.9. bra), vagy a sk { x , f { x ) ) koordintj pontjaival (1.10. bra). Ez a ponthalmaz a fggvny grfja (grbje, grafikonja).

Az sszetett fggvny jele f o g , ahol / e t kls fggvnynek, g-t bels fggvnynek nevezzk. Az rtelmezs alapjn ( / ^)(^) = f { g { x ) ) . Plda A h{x) = ln(4 - x~) sszetett fggvny esetben a kls fggvny / {u) = in m a , bels fggvny g{x) = A- x ~ >0. A h fggvny csak 4 - x ~ >0 esetn van rtel mezve, azaz, ha - 2 < x - \ szmok hal maza, mert a V x + 1 csak ott van rtelmezve (megllapods!). rtkkszlete az >^>0 szmok halmaza. A fggvny grbje (grâ, grf/-fe! is szoks jellni) az 1.10. brn lthat. b) sszetett fggvny. A matematikai gyakorlatban f { g ( x ) ) szerkezet fggvnyekkel dolgozunk. tlnyomrszt

X 1.11. bra. a) Szrj ektv b) injektv c) bijektv fggvny grfja d) Fggvny megfordtjuk, re, akkor ez a hogy egy y e inverze. Ha az f : X - ^ Y fggvnynl a lekpezs irnyt vagyis az 7 halmaz elemeit kpezzk le az X halmaz elemei fordtott lekpezs ltalban nem fggvny, mert nem biztos, Y elemnek egyetlen x g X elem felel meg. Ha azonban /

bijektv, azaz klcsnsen egyrtelm, akkor ez az ( / ' -gyei jellt) ford tott lekpezs is fggvny. Definci. Ha az f ' . X - ^ Y fggvny klcsnsen egyrtelm (azaz bijektv), akkor az / ~ ' ; 7 X fggvnyt / inverz fggvnynek nevez > zk. Ekkor a z / e t invertlhat fggvnynek mondjuk.

Definci. Az / s g fggvnyekbl f { g ( x ) ) mdon konstrult fggvnyt sszetett fggvnynek nevezzk. rtelmezsi tartomnya azokbl az x e Dg elemekbl ll, amelyekre g ( x ) e D f .

32


1.1.7. Vals szmok

33

Plda Az / : R R ,/ ( x ) = x~ fggvny nem klcsnsen egyrtelm, hiszen minden ;c e R esetn / {-x) - f ( x ) , gy /-nek nincs inverz fggvnye. Legyen most az f fggvny rtelmezsi tartomnya Rq , azaz a nemnegatv szmok halmaza, teht / : R ^ - > R , / ( x ) = ^ -, Ez az/fggvny bijektv, teht van inverz fggvnye, spedig az / : R J - > R , / - (x) = V7 fggvny, melynek grbje az y = 4 x rtkkszletbl vett tetszleges >>-hoz flparabola (1.33. bra). Ui. az / rtelmezsi tartomnyban pontosan egy n

c) G y r . Elemeknek (pl. szmoknak) egy halmazt gyrnek nevezzk, ha benne rtelmezve van kt mvelet, egy asszociatv, kommutatv, inver tlhat sszeads s egy asszociatv szorzs, amely az sszeadsra nzve disztributv. A gyrben teht elvgezhet az sszeads, a kivons s a szorzs. Ha a szorzs kommutatv is, akkor kommutatv gyrrl beszlnk. Gyr pldul az egsz szmok halmaza az sszeads s szorzs mve letre nzve. cl) Test. Elemeknek (pl. szmoknak) egy halmazt testnek nevezzk, ha benne rtelmezve van kt mvelet: egy asszociatv, kommutatv, inver tlhat sszeads s szorzs, ahol a szorzs az sszeadsra nzve disztri butv. A szorzsnak a nullaelemre val invertlsa (a nullval val oszts) termszetesen nem megengedett. A testben mint algebrai struktrban teht elvgezhet az sszeads, ki vons, szorzs s oszts, kivve a nullval val osztst. Test pldul a racionlis szmok halmaza vagy a vals szmok halmaza az sszeadsra s a szorzsra nzve. (Lsd mg a [9] 1. fejezett.) 1.1.7. V als szm ok a) Term szetes szm ok. Az egyesvel val szmlls sorn keletkez 1, 2, 3, ..., n, ... szmok a termszetes szmok. Ezt a szmhalmazt N-nel jelljk. Megjegyezzk, hogy szoks a 0 szmot is a termszetes szmok kz sorolni. A termszetes szmok halmazban az sszeads s a szorzs mindig elvgezhet, azaz kt termszetes szm sszege is, szorzata is termszetes szm. gy is mondjuk, hogy a termszetes szmok halmaza zrt az ssze adsra s a szorzsra nzve. A kivons s oszts azonban nem mindig vgezhet el (ui. az eredmnyek nem csak N-beli elemeket adnak). E halmazban van legkisebb elem, de nincs legnagyobb. A halmaz vgte len, mert elemeinek szma vgtelen. Az 1.1.1. pontban mr emltettk, hogy a termszetes szmok halmaza megszmllhat szmossg (megszmllhatan vgtelen) vagy rviden: megszmllhat. A termszetes szmokra rvnyes a teljes indukci axim ja: Ha a termszetes szmok egy H rszhalmaza tartalmazza az 1 szmot s minden n szmmal egytt az +1 szmot is, akkor H az sszes termszetes szmot tartalmazza. Ezen az aximn alapul a matematika egyik fontos bizonytsi mdszere, a teljes indukcival val bizonyts. Ez a kvetkezkppen fogalmazhat meg: Tartozzk minden n termszetes szmhoz egy-egy llts. Ha az 4 , llts az n = \ szmra igaz, tovbb, ha tetszleges, de rgztett n esetn

olyan x tartozik, amelyre y - f { x ) , azaz amelyre y = x~ , t sQz?a x - f ~ \ y ) = y[y szm. Ebbl kvetkezik, hogy / " ' az/ fggvny inverze. 1.1.6. A lgebrai stru k t r k Az algebra a matematika fontos ga. Ennek egyik rsze az n. klasszikus algebra, amelynek trgya az algebrai egyenletek s egyenletrendszerek meg oldsainak, l. megoldhatsgnak vizsglata. A msik rsze az absztrakt algebra (modem algebra), amely az algebrai struktrkkal foglalkozik. A lgebrai s tru k t r n a k neveznk egy halmazt, amelyben egy vagy tbb mvelet van rtelmezve. A legfontosabb algebrai struktrk a kvet kezk: a) Flcsoport. Elemeknek (pl. szmoknak) egy halmazt flcsoportnak nevezzk, ha benne rtelmezve van egy asszociatv, ktvltozs mvelet. Ha a mvelet kommutatv is, akkor kommutatv flcsoportrl van sz. A m velet ktvltozs, ha az valamely A halmaz brmely rendezett elemprjhoz (teht kt elemhez) rendel A-he\i elemet. Ktvltozs mve let pldul az sszeads vagy a szorzs. b) C soport. Elemeknek (pl. szmoknak) egy halmazt csoportnak nevez zk, ha benne rtelmezve van egy asszociatv, invertlhat ktvltozs mvelet. Ha a mvelet kommutatv is, akkor a csoport neve Abel-csoport. Ha a mvelet sszeads, akkor ennek in vertl sa a kivons. A szorzs invertlsa az oszts. A fenti rtelmezsbl kvetkezik, hogy a csoportnak van neutrlis ele me. H a a mvelet sszeads, akkor a neutrlis elem neve nullaelem (nulla, zrus), mert a + 0 = a . Ha a mvelet szorzs, akkor a neutrlis elem neve egysgelem (egy), mert a \ = a . Pldul az egsz szmok halm aza az sszeadsra nzve csoport. Ugyan csak csoport a pozitv racionlis szmok halm aza a szorzsra nzve.

34 az llts igaz voltnak feltevsbl

Egy- s tbbvltozs fggvnyek igaz volta is kvetkezik,

1.1.7. Vals szmok

35

akkor az llts minden n-re igaz. Rviden gy is fogalmazhatunk, hogy ha az llts igaz volta n-rl {n + l)-re rkldik, akkor az llts minden termszetes szmra igaz. A teljes indukcival val bizonytst a kvetkez hrom lpsben cl szer elvgezni: 1. A bizonytand lltst igazoljuk n = 1 -re (igazoljuk, hogy igaz); 2. Felttelezzk, hogy az llts -re igaz (feltesszk, hogy igaz); 3. Az elbbi felttelezst felhasznlva bizonytjuk, hogy az llts {n + l)-re igaz (bizonytjuk, hogy igaz).hq

Ebben a halmazban nincs legnagyobb s nincs legkisebb elem. A Z hal maz vgtelen, szmossga ugyangy megszmllhat, mint az N halmaz. c) Racionlis szmok. Kt egsz szm hnyadosaknt elllthat szmot racionlis szmnak nevezzk. A racionlis szmok halmazt teht a , p s q egsz szmok, q ^ 0 alak szmok alkotjk. Ezt a halm azt Q jelli. Az rtelmezsbl kvetkezik, hogy minden racionlis szm egyrtelm en felrhat vges tizedes trt vagy (vgtelen) szakaszos tizedes trt alak ban. Ennek fordtottja is fennll, vagyis minden ilyen tizedes trt racionlis szm. A szakaszos tizedes trtet periodikus trtnek is nevezik. Ez a halmaz magban foglalja (tartalmazza) az egsz szmok halmazt s gy a termszetes szmok halmazt is. Q teht a Z halmaz alkalmas bvtsvel nyerhet. A racionlis szmok halmazban az sszeads, szorzs, kivons s osz ts mindig elvgezhet, a nullval val osztst kivve. Ezeknek a mvele teknek az eredmnye teht ismt racionlis szm. Mivel az sszeads s a szorzs kommutatv s asszociatv, tovbb a szorzs disztributv, ezrt a racionlis szmok halmaza test. A racionlis szmok a szmegyenesen brzolhatok. Minden racionlis szmnak a szmegyenesen megfelel egy pont. Ez a hozzrendels egyszer szerkesztssel megvalsthat. A racionlis szmoknak a szmegyenesen val rdekes elhelyezkedsre rvilgt az a tny, hogy brmely kt racio nlis szm kztt mindig van racionlis szm. Ennek kvetkeztben br mely kt racionlis szm kztt vgtelen sok racionlis szm van. Ezt mskppen gy mondjuk, hogy a racionlis szmok halmaza mindentt sr. Ennek ellenre knnyen igazolhat az a meglep tny, hogy ennek a halmaz nak a szmossga megegyezik az N halmaz szmossgval, azaz a kt halmaz ekvivalens. Teht a racionlis szmok halmaza is megszmllhat. A racionlis szmok srsge azrt is fontos, mert brmely vals szmot tetszleges pontossggal kzelthetnk racionlis szmmal. d) Irracionlis szmok. Egyszer algebrai s geometriai feladatok megol dsa is szksgess tette az irracionlis szmok, ms szval a vgtelen nemszakaszos tizedes trtek bevezetst. Ilyen szm pl. a - J l . Knny igazolni, hogy valban nem racionlis szm (lsd [9] 2.24. pontjt). Ebbl viszont az kvetkezik, hogy br a racionlis szmoknak megfelel pontok a szmegyenesen srn helyezkednek el, mgsem tltik azt ki, gy az hzagos . Az irracionlis szmok ezen hzagoknak megfe lel pontokkal brzolhatk. A V2 szm helye pldul az 1.12. brn

Megemltjk, hogy vannak esetek, amelyekben az llts csak bizonyos ^ 1 termszetes szmtl igaz. Ekkor a bizonytsnl elszr az hq szm

ra kell igazolni az lltst. Plda 7 Bizonytsuk be teljes indukcival, hogy 1+ 3 + 5+.. ,+(2 - ! ) = " .

Megolds. A bal oldalon egy n tag sszeg ll. 1. Igazoljuk, hogy n = 1 esetn az llts igaz (a bal oldal egyetlen tagbl ll): 4 :1 = 1". 2. Felttelezzk, hogy az llts -re igaz: Ay,: + 3 + 5+..,+(2n- ! ) = . 3. Bizonytunk {n + 1) -re: + 3 + 5+...+(2/j + (2n +1) = + {2n +1) = (n +1) . 1) Itt felhasznltuk azt, hogy a bal oldalon az els n tag sszege n~. Mivel A igaz voltnak felttelezsbl azt kaptuk, hogy 4,+i 's igaz, ezrt az llts minden n-re igaz. b) Egsz szmok. A termszetes szmokbl kiindulva, alkalmas bvtssel megalkothatk az egsz szmok: ...,- 3 ,- 2 ,- 1 ,0 ,1 ,2 ,3 ,... Ezt a szmhalmazt Z-vel jelljk. A -1, - 2 , -3 , ... szmok a negatv egsz szmok. Az 1, 2, 3, ... term szetes szmokat pozitv egsz szmoknak is mondjuk, 0 pedig a nulla (zrus). Az egsz szmok halmazban az sszeads s szorzs mindig elvgezhet, gyszintn a kivons is. Az sszeadsnl a 0, a szorzsnl az 1 szm kitntetett helyzet, mivel a + 0 = s \ - a = a , ahol a tetszleges egsz szm. A nulla nevezetes tulajdonsga mg: a 0 = 0 . =

36


1.1.8. A z n-dimenzis tr

37

bemutatott szerkesztssel jellhet ki a szmegyenesen. Ez a pont a 0-tl jobbra, akkora tvolsgra van, amekko ra az egysgnyi oldal ngyzet tlja. Ennek az tlnak nyilvn van hoszszsga, teht valban ltezik a V 2 nek megfelel pont a szmegyenesen. Ugyanakkor ez a pont nem racionlis 1.12. bra. A V2 szm helynek szm kpe, hiszen V2 irracionlis szm. megszerkesztse A z irracionlis szmok halmaza is mindentt sr, szmossga nagyobb m int a racionlis szmok, azaz nem megszmllhat. Az a irracionlis szmot algebrai szm nak nevezzk, ha van olyan raci onlis egytthatj n-edfok egyenlet, amelynek a gyke. Ha nincs ilyen egyenlet, akkor a transzcendens szm. Algebrai szmok pl. 4 2 , \j \ + 4 5 , transzcendens szmok pl. %, e. e) Vals szmok. A racionlis s irracionlis szmok egytt alkotjk a vals szmokat. Ezt a halmazt R jelli. A vals szmok s a szmegyenes p o ntjai kztt klcsnsen egyrtelm lekpezs ltesthet. Ez azt jelenti, hogy minden egyes vals szmnak megfelel a szmegyenesen egy pont s a szmegyenes minden egyes pont jnak megfelel egy vals szm. A vals szmok halmaza nem megszmllhat, azaz kontinuum szmossg. Elvgezhet benne az sszeads s szorzs, s ezek a mveletek megfordthatk (a nullval val osztst kivve). Az R halmaz mint algebrai struktra test. Gyakran vals szmtestknt emltjk. A vals szmok halmaza (nagysgrendileg) rendezett halmaz, mert r telmezve van benne a < (kisebb vagy egyenl) rendezsi relci. Ennek kvetkeztben brmely kt a, b vals szm esetn az a < b , a = b, a > b lltsok kzl pontosan egy teljesl. _/) Abszoit rtk. A vals szmok krben igen fontos fogalom az abszo lt rtk. Az X szm abszolt rtke: .X ha jc > 0, , -jc, ha jc < 0. Az abszolt rtk legfontosabb tulajdonsgai: a = a b b' |a + Z| < |a |+ | |. >

g) Intervallum. A vals szmok igen egyszer s gyakran elfordul rszhalmaza az intervallum. Legyen a < b kt vals szm. Ekkor interval lumnak nevezzk a vals szmok kvetkez rszhalmazait: ]a,b[.= {x'.x e R , a < X < b ] , nylt intervallum (1.13.a bra); [a,b]. = {x'.x e R , a < x < b ] , zrt intervallum (1.13.6 bra); ]a,b].= {x:x e R , a < x 0 egsz) egyenlet gykeit rtjk. Ha z = r(cos(p + f sincp), akkor (p + 2 kn . . (p + 2/cT C c o s - --------- + 1sm-^^---------(/ = 0,1,2,.

0,

akkor / (x) n-edfok polinom . Az n (nemnegatv egsz) szm a polinom fo ka (fokszma). Ha a,, = 1, akkor azt mondjuk, hogy a polinom normlt. Megllapodunk abban, hogy minden 0-tl klnbz szmot 0-adfok polinomnak tekintnk. Ha / (x) minden egytthatja 0, akkor / (x) = 0. Ezt zruspolinomnak nevezzk, melynek nem tulajdontunk fokszmot. Az aQ ,ai,...,a egytthatk lehetnek egsz, racionlis, vals vagy komplex szmok. ltalban ha az egytthatk egy T (szm-) test vagy (szm-) gyr elemei, akkor T feletti polinomrl beszlnk. Ezeknek a polinomoknak a halmazt r[.x] jelli. A r[.x]-beli polinomok sszege, klnbsge, szorzata ismt r[x]-beli polinom, tovbb az sszeads s szorzs kommutatv, asszociatv s iga zolhat a disztributvits is. Ezrt ezek a polinomok gyrt alkotnak, a T feletti polinom ok gyrjt, melyben zruselem a zruspolinom. Plda Az f { x ) = x - \ negyedfok s g{x) = x~ +4x + \ msodfok, normlt poli ^ nomok sszege, ill. szorzata: f { x ) + g{x) = x^+x~+Ax, ill. / (x)g{x) = (x - l)(x" +4x + 1) = X + 4x^ +x"* -x~ -4 x - 1. ^ b) Polinomok osztsa. Az oszts a polinom ok krben ltalban nem vgezhet el. M int ahogy az egsz szmok osztsnl, itt is keletkezhet maradk. Tetszleges f { x ) s nulltl klnbz g{x) polinomhoz tallhat olyan q{x) s r( x) polinom, amelyekre: f ( x ) = q ( x ) g { x ) + r( x) (*)

Az n-edik gykk az orig kzppont 'Vr sugar krn vannak, egy szablyos n szg cscspontjaiban. Nevezetesek az 1 komplex szm n-edik gykei, az n. egysggykt. lk a . 2 kn = cos------- h 'sm-----

Plda ________ Szmtsuk ki V-2V3 + 2/ rtkeit. Megolds. A komplex szm abszolt r tke r =4, arkusza pediggyM = Vz = l

6

azaz 150.

5n ^ + 2kn f - + 2kn ;_D---------- k sin ------- 1.19. bra. Az ^-2-j3+ 2i komplex szm gykei A gykk: k = vi;, -,yt = 1 ; k = 2',

(; = 0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,).

C S-4-/sin-7O6 6

2

2

W = V ( c o s l 0 2 + / s i n l 0 2 ); 2 W = V 4 * (c o sl7 4 + /sin l7 4 ); 3

s r( x) fokszma kisebb mint g{x) fokszma, vagy pedig r( x) = 0. A q ( x ) , ill. r{x) polinom az / W g (^ ) maradka. (maradkos) oszts hnyadosa, ill.

y = 3; W = V T (cos 246 +i sin 246); t 4/t = 4; W5 = ^ ( c o s 3 1 8 + / sin 318).

48

Egy- s tbbvltozs fggvnyek Megjegyezzk, hogy a (*) azonossg formlisan g (x ) g{x) alakban is felrhat.

1.1.10. Polinomok Ttel. Ha az f { x ) egyenl /( a ) - v a l .

49 polinomot {x - a) -val osztjuk, akkor a maradk

Ha / ( a ) = 0 , akkor azt mondjuk, hogy a az / (x) polinom zrushelye. Ekkor a egyttal az / ( x ) = 0 egyenlet gyke. Teht ami a polinomnl zrushely, az az egyenletnl gyk. Ennek ellenre szoks polinom esetn is gykt mondani (a zrushely helyett). Ha a a polinom zrushelye, azaz / ( a ) = 0 , akkor az r maradk rtke is nulla ( r = 0 ). Ekkor teht az / (x) polinom oszthat (jc - a ) -val, gyf{x) = {x-a)q{x).

Ha r( x) = 0, akkor fennll az f (x) = q{ x) g( x) azonossg. E k k o r/(x ) oszthat g(A')-szel (s 7(x)-szel is). Az oszts elvgzse a kvetkezkppen trtnhet (felttelezve, hogy mind az osztand mind az oszt a fogy hatvnyai szerint van rendezve): ' Az osztand els tagjt elosztjuk az oszt els tagjval. Ennek eredm nye lesz a hnyados els tagja. Ezzel szorozva az osztt, a kapott szorzatot kivonjuk az osztandbl. Ha ez a klnbsg alacsonyabb fok mint az oszt, akkor az eljrst befejeztk s e klnbsg lesz a maradk. Ha nem alacsonyabb fok, akkor az eljrst megismteljk gy, hogy az osztand szerept e klnbsg veszi t. Az eljrst addig folytatjuk, amg ez a k lnbsg alacsonyabb fok nem lesz mint az oszt. Plda Legyen f { x ) = 2x ^ alakban.

Plda Legyen /( x ) = x"* +1. Szmtsuk ki, hogy mi lesz az osztsi maradk, ha /( x ) -et osztjuk (x -/)-vel. Megolds. A ttel alapjn: r ~ / ( a ) = = +\ - 2.

- 4 x + 3 s g(x) = x~ - 2 . lltsuk el /(.x)-et (*)

c) Az alg eb ra alapttele. E Gausstl ered igen fontos s szp ttel az f{x')-=y^x^ + _ lx ~^+...+a2X~ +]X + !o

Megolds. Elbb vgezzk el az

osztst,

polinom zrushelynek ltezst m ondja ki. Ttel. (Az alg eb ra alapttele). Brmely, legalbb elsfok, (vals vagy) komplex egytthats polinomnak van zrushelye a komplex szmtestben. Mivel a polinom zrushelye egyttal a megfelel algebrai egyenlet gy ke, ezrt a ttel gy is megfogalmazhat: Minden legalbb elsfok ax + +.. .+2X +ai x +Q = 0

- x ^ + Ox- - 4 x + 3):(x" - 2) = 2x" - x + 4 -{2x^ -4x~}-x ^ + 4 x - 4 x + 3 -(-x ^ + 4x" -(4 x 2 6

x) x+ 3 8

)

- 6x + ll A hnyados teht q{x) = 2x~ - x + 4 , a maradk pedig r(x) = -6A' + ll. Ezek felhasznlsval / (x) = (2x -X + 4)(x' - 2 ) - 6 x + 11. rjuk fel azg(^')

alak egyenletnek van gyke. A ttel szerint ez a gyk komplex szm is lehet. d) Polinom gyktnyezs alakja. Az algebra alapttelnek rtelmben az f (x ) (n-edfok) polinomnak van zrushelye. Ennek kvetkezmnye, hogy pontosan n zrushelye van. Legyenek ezek x j,x 2 ,...,x . Ekkor az f ( x) polinom felrhat f ( x ) = a ( x ~ x - i ) ( x ~ x 2 ) . . . i x - x ) (1) alakban.X--2

trtet is: j . .- 4 x ,+ l ^ 2x- - X+ 4 +X--2

Az X|,X2 ,...,X zrushelyek kztt egyenlk is lehetnek. Ha s kln bz zrushely van, s az Xj zrushely szer fordul el, akkor az (1) elllts -szer, az xj rj -szr, ... az r,. -

Az alkalmazsokban klnsen fontos az a specilis eset, amikor a polinomot (x - a )-v a l osztjuk.

50

Egy- s tbbvltozs fggvnyek f n{ x ) = a i x - x ^ Y \ x - X 2 Y" . . . { x - x , ) (2)

1.1.10. Polinomok

51

vetkezmnye az, hogy n darab gyk van. Az egyenlet gyktnyezs alakja pedig: a { x - x i Y \ x - X 2 Y~ . . . { x - x , ) ' ^ = 0, ahol xi az egyenlet T|-szeres gyke, xo 7 -szeres gyke, ..., -2 gyke s + 72+.. ,+ry = n . ^ -szeres

alak, ahol i\ +r 2 +...+r^ = n . A z nomnak

szm az x^ zrushely multiplicitsa

(tbbszrssge) {k = \ , 2 ,---,s) gy is szoks mondani, hogy x,, a poli-szoros zrushelye.

Definci. Az f {x) = ax'^ +a_ix'^ ^+ ...+ a2^ +a^x + Q n-edfok polinom (1), ill. (2) ellltst a polinom gyktnyezs ala k j n ak nevezzk. Az { x - x i ) , { x - x 2 ) , . . . , { x - ^ n ) tnyezk dLgyktnyezk. Pldk 1. rjuk fel az f { x ) -

- 2x~ +5x polinom gyktnyezs alakjt.

A gyktnyezs alakbl leolvashatk a polinom zrushelyei, ill. az egyenlet gykei azok tbbszrssgvel egytt. Ezrt a polinom szorzatt alaktsa igen lnyeges az egyenletek megoldsa szempontjbl. A szorzat t alakts gyakran kiemelssel s nevezetes azonossgok felhasznlsval is vgrehajthat. A gyktnyezs alakbl az is lthat, hogy az (x) polinom oszthat brmelyik gyktnyezvel. Ezt a tnyt az fy^{x) = 0 egyenlet megoldsnl gy hasznlhatjuk ki, hogy / ( x )-e t osztva valamelyik gyktnyezjvel, eggyel alacsonyabbfok egyenlethez jutunk. Felmerlhet a krds, hogy az algebrai egyenlet gykeit, egyttal a poli nom zrushelyeit, hogyan kell megkeresni, kiszmtani. Erre a vlaszt az albbiakban adjuk meg. Az els- s msodfok egyenlet egyszeren (kplettel) megoldhat. A harmad- s negyedfok egyenlet is megoldhat gykkplettel, ennek hasz nlata azonban annyira bonyolult, hogy a gyakorlatban ritkn hasznljk (lsd a [9] 3.27. pont b) alpontjt). Az ltalnos td- s ennl magasabbfok egyenlet nem oldhat meg tisztn algebrai ton. Ez azt jelenti, hogy az ilyen egyenlet gykei nem szmthatk ki az egytthatkbl a ngy alapmvelet s a gykvons vges szm alkalmazsval (teht gykkplet nincs). Ezt a Ruffm i-Abel-ttel mondja ki. Az e terletre vonatkoz tfog elmlet alapgondolata Galois nevhez fzdik. Meg kell azonban jegyezni, hogy specilis esetekben a negyedfoknl magasabbfok egyenletek is megoldhatk. Tudni kell azt is, hogy numeri kus mdszerekkel a gykk tetszleges pontossggal szmthatk (kzelt hetk, lsd a 9. fejezetet). Megjegyzs. A gyakorlati esetek tbbsgben az algebrai egyenletek, ill. polinomok egytthati vals szmok. Ezrt rdemes az ebbl fakad nhny kvetkezmnyt ttekinteni. Tekintsk az ax" + a_xx" '+.. .+02x~ + a^x + O = 0, a g 0 -edfok egyenletet, 1. Ha az egytthatk egsz szmok, akkor az egyenlet minden egsz gyke az lland tag (Zq) osztja. Pl. az x"* + 2x^ - 4x" - 5x - 6 = 0 egyenlet egsz gykeit (ha vannak ilyenek) a 6 oszti, vagyis a 1, 2, 3 s +6 szmok kztt kell keresni. Egyszer prblkozssal megllapthat, hogy az x, = 2

Megolds. Elszr a polinom zrushelyeit kell megkeresni. Mivel x kiemelhet, azaz f { x ) = x { x ~ - 2 x + 5) alakban rhat, ltszik, hogy az egyik zrushely x, =0. A msik kt zrushely az x - 2x + 5 = 0 egyenlet gykei. Teht ^2,32 j 4 ^ 2-vPT6 1 A ^ _ l A i 2 2 2 ~ 2 "

gy a gyktnyezs alak: / ( x ) = x(x - (1 + 2/))(x - (1 - 2/)). 2. Az / ( x ) = 3( x - 2)^(x + l)(x -/)(x + 0 hatodfok polinom gyktnyezs alakban van felrva. Innen leolvashatk a zrushelyek: Xj = 2 hromszoros, mg X, = - 1, J 3 = /, s X = - i egyszeres zrushelyek. C 4 3. Az x"* - 3x^ + 3x + 3x + 2 = 0 egyenlet kt gyke: x, = 1 s Xj = 2. Ezrt az egyenlet bal oldala oszthat (x - l)(x - 2 )-vei. Az osztst elvgezve, az x^ - 3x^ + 3x- + 3x + 2 = (x - l)(x - 2)(x" +1) azonossgot kapjuk. Innen lthat, hogy a harmadik s a negyedik gyk az x +1 = 0 egyenlet megoldsaknt kaphat. Ezrt X3 = i s X = 4 ) Az n-edfok egyenlet. Tekintsk az + a _ ]x V ...+ a 2X "+ aiX + < = 0, " 3o a 7^0

n-edfok egyenletet, ahol az aQ ,ai,...,a egytthatk komplex szmok is lehetnek. Az / (x) polinom zrushelyeinek megkeresse az f (x) = 0 egyenlet gykeinek megkeresst jelenti. Ezrt a polinomoknl elmondottak az f {x ) = 0 egyenletre is vonatkoznak. E miatt fogalmazhatjuk az algebra alapttelt gy is: minden, legalbb elsfok, vals vagy komplex egytt hats algebrai egyenletnek van gyke a komplex szmtestben. Ennek k

52


1.1.11. Koordinta-rendszerek alakban rhat fel. Ezrt az egyik gyk x, = 0. Az

53

s X2 = -3 szmok gykk, mg a tbbi szm nem gyk. Az egyenlet bal oldala, a negyedfok polinom teht oszthat az {x - 2)(x + 3) szorzattal. Az oszts elvgzse utn a bal oldal szorzatt alakthat. gy x + 2x^ - 4x" - 5 x ~ 6 = { x - 2)(x + 3)(x" + x + 1). ^ 2. Ha az egytthatk egsz szmok s a = \, vagyis a polinom normlt, akkor az egyenlet minden racionlis gyke egsz szm. Ennek az a kvetkezmnye, hogy ha egy ilyen egyenletnek nincsenek egsz gykei, akkor trt (racionlis) gykei sin csenek. 3. Ha az egytthatk vals szmok s az a + ib komplex szm (6 0) gyke az egyenletnek, akkor az a - i b komplex szm is gyke annak. Teht a komplex gykk prosn fordulnak el, konjugltjukkal egytt. Ennek egyik kvetkezmnye az, hogy minden, vals egytthatj, pratlan fokszm egyenletnek van legalbb egy vals gyke. Az a + ib s az a - ib gykkhz tartoz kt gyktnyez szorzata: [ x - { a + ib)){x - { a - ib)) = x~ - 2 ax + a~ +b~. gy az egyenlet bal oldala oszthat ezzel a msodfok kifejezssel. Ez a msod fok polinom nem bonthat fel vals elsfok tnyezk szorzatra. Az ilyen (msodfok) polinomrl azt mondjuk, hogy a vals szmtestben irreducibilis. Ugyanakkor a komplex szmtestben reducibilis, hiszen kt komplex elsfok tnyez szorzata (vagyis itt felbonthat kt elsfok tnyez szorzatra). 4. Ha az egyenlet egytthatinak sszege nulla, akkor az egyenlet egyik gyke 1. Ez rvnyes akkor is, ha az egytthatk komplex szmok. Pldk 1. rjuk fel az -1 = 0 egyenlet gyktnyezs alakjt.

x^ - 4x^ + 4x - 4x + 3 = 0 egyenlet egyik gyke i. Ennek konjugltja, a komplex szm is gyk. gy a ne gyedfok polinom oszthat az (x -/)(x + /) = x + 1 polinommal. Az osztst elvgezve: x'* -4x^ +4x -4 x + 3 = (x + l)(x" -4 x + 3). Az X" - 4 x + 3 = 0 egyenlet kt gyke: 1 s 3. Az t gyk teht; x, = 0, Xt = 1 . X =3, X = /, X = - /. Valamennyi gyk egyszeres. A bal oldali polinom (vagyis 3 4 5 az eredeti) szorzatt bontott alakja: x(x - l)(x - 3)(x" + 1). Az tdfok polinomot teht a vals szmtestben irreducibilis polnomok szorza taknt rtuk fel,

1.1.11. Koordinta-rendszerek A koordintageometrinak, az analzisnek s a matematika ms gainak is nlklzhetetlen segdeszkze a koordinta-rendszer. Egy-egy feladat jellegtl fggen, a feladathoz illeszked, ms-ms koordinta-rendszert clszer hasznlni. Ebben a rszben a leggyakrabban hasznlt koordintarendszereket tekintjk t. a) Skbeli derkszg Descartes-fle koordinta-rendszert kapunk, ha kt szmegyenest kzs kezdponttal (0 ponttal) egymsra merlegesen helyeznk el a skon (1.20. bra). Ezeket a szmegyeneseket koordinta tengelyeknek, a kzs kezdpontot pedig orignak nevezzk. Ebben a koordinta-rendszerben a P { x ,y ) pont helyzett a kt koordintatengelytl mrt (eljeles) tvolsgai, az x s derkszg koordintk (az abszcissza s ordinta), egyrtelmen jellem zik. A z x = konstans s y = konstans egyenesek a koordintavonalak.

Megolds. Elszr oldjuk meg az egyenletet. Mivel x^ = 1, ezrt x = Vr = l c o s - ^ |^ + /sin-0 + 2 te ^ 3 /A = 0 => Xj = : * - 0 , 1, 2 .

cosO + sinO = 1; = cos 120 + /sin 120= + ;

k - 1 =^ X2 = c o s ^ + i

^ = 2 => X = c o s - ^ + /s in - ^ = cos240+/sin240= 3 gy a gyktnyezs alak: ( x - 1)( r - \ + 4 3 \ (2

-l-V 3 /^2

/ Figyeljk meg, hogy a kt komplex gyk egymsnak konjugltja. 2. Oldjuk meg az x^ -4x"^ +4x^ -4 x " +3x = 0 egyenletet, ha az egyik gyke i, majd bontsuk a bal oldali polinomot vals tnyezk szorzatra. Megolds. A bal oldal x kiemelsvel x(x'* -4 x ^ +4x" -4 x + 3)

j rv

= 0. y

P(x,y)

1 0 >

X

1.20. bra. Skbeli derkszg koordinta-rendszer

54


l . l .11. Koordinta-rendszerek e) Hengerkoordinta-rendszert kapunk, ha egy rgztett skban lev polrkoordinta-rendszert ki egsztnk egy, a pluson tmen, a skra merle ges egyenessel, mint z-tengellyel, melynek kezd pontja az origban van. Az r, cp, z h e n g e r k o o r d i n t k s az J, y , z derkszg koordintk kztti sszefggsek: : = rcos(p, >' = 7"sin(p, z = z.

b) Polrkoordinta-rendszert kapunk, ha egy egysgponttal elltott irnytott flegyenest vesznk fel a skon (1.21. bra). A flegyenest, amely egyttal a kezd irnyt is kijelli, polrtengelynek, kezdpontjt pedig orignak vagy plusnak nevezzk. Ebben a koordintarendszerben a P(r,(p) pont helyzett az origtl mrt r tvolsg s az 1.21. brabeli (p szg egyrtelmen jellemzi. Ezeket polrkoordintknak nevezzk. Itt a koordintavonalak az r = konstans orig kzep krk s a (p = konstans = flegyenesek. Ugyanannak a pontnak derkszg s polrkoordinti kztt (ha a kt koordintarendszer origja azonos s a polrtengely egybeesik az jctengellyel) a kvetkez sszefggsek llnak fenn: ill. + r

Ekkor az r = konstans, (p = konstans s z = 1-23^351 a, Hengei^ koordinata-rendszer = konstans koordintafelletek rendre z-tengely krhengerek, z-tengelyre illeszked flskok s z-tengelyre merleges skok (1.23. bra). f ) G m bi (trbeli polr-) koordintarendszer. Vegynk fel egy skot, s benne egy egysgponttal elltott, irnytott fl egyenest O kezdponttal. Egy trbeli P pont hely P(r,(p,9) zett egyrtelmen jellem zi az OP = r tvolsg, az OP szakasznak a skkal bezrt - szge s a sza kasz skra merleges vetletnek a flegyenessel bezrt (p szge (1.24. bra). gy egy g m b i k o o r d i n t a r e n d s z e r t kapunk. Ha a derkszg s a gmbi koordintarendszert az brn lthat mdon helyezzk egymsra, akkor az r, (p, " g m b i k o o r d i n t k s az x, y , z derkszg 1.24. bra. Gmbi koordintk kztti sszefggsek: koordintarendszer X = rcos'coscp, y = rcos'sincp, z - r s i n . . Ekkor az r = konstans, (p = konstans s i3 = konstans koordintafelle tek rendre orig-kzep gmbfelletek, z-tengelyre illeszked flskok s z-tengely, orig-csespont krkpfelletek. Megjegyezzk, hogy a fizikai alkalmazsoknl a i3 szg helyett annak ptszgt vlasztjk egyik koordintnak. g) Trbeli grbevonal koordintk. Vegynk fel a skon hrom fellet sereget gy, hogy a tr minden egyes pontjn a hrom felletsereg egy-egy fellete menjen t (minden ponton ms-ms fellethrmas). Egyenletk legyenu = f{x,y,z), v = g(x,y,z), w = h(x,y,z),

c) Skbeli grbevonal koordintk. Vegynk fel a skon kt grbesere get gy, hogy a sk minden egyes pontjn a kt grbesereg egy-egy grbje menjen t (minden ponton ms-ms grbepr). A kt grbesereg egyenlete legyen u = f ( x , y ) , v = g{x, y) , ahol u s V seregparamterek, x s y pedig derkszg koordintk. Az u = konstans s v = konstans grbk (koordintavonalak) metszik egymst egy pontban. Ennek a pontnak a grbevonal koordinti ii s v. A z / s g fggvnyekre tett, a gyakorlatban legtbbszr fennll felttelek mellett az w s V koordintk egyrtelmen jellem zik a pont helyzett. Grbevonal koordintk a polrkoordintk is. d) T rbeli derkszg (Descartes-fle) koordintarendszert kapunk, ha hrom szmegyenest kzs kezdponttal egy msra pronknt merlegesen helyeznk el a trben (1.22. bra). A szmegyeneseket koordintatenge lyeknek, a kzs kezdpontot orignak nevezzk; kt-kt szmegyenes ltal kifesztett sk elnevezse koordintask. A P { x , y , z ) pont helyzett a koordintaskok tl mrt (eljeles) tvolsgai, az x, y s z derkszg koordintk, egyrtelmen jellemzik. A z x = konstans, y = konstans s z = konstans s 1.22. bra. Trbeli kok a koordintafelletek. ltalban jobbsodrs derkszg koordintarendszert hasznlunk (mint azt az 1.22. bra is rendszer szemllteti).

ahol II, V, s w seregparamterek, jc, y , s z pedig derkszg koordintk. Az u = konstans, v = konstans s w = konstans felletek (koordintafel

56


1.2.1. A z egyvltozs f g g vn y fogalm a

57

letek) metszik egymst egy pontban. Ennek a pontnak a trbeli grbe vonal koordinti u, v s w. Ilyen koordintk a hengerkoordintk s a gmbi koordintk is.

d) E ltols (trben). Ha a trbeli ( x ,y ,z ) koordintarendszer origjt a Q {a,b,c) pontba toljuk, akkor a P pont x, y, z rgi s r\, ^ j koordinti kztti sszefggsek: x = a + ^, y = b + r\, T =y -b , ] z = c + ^, =z-c. ill,

1.1.12. Koordintatranszformcik ^ =X -a , Analitikus geometriai vizsglatok sorn sokszor clszer a koordintarend szert eredeti helyzethez kpest eltolni, elforgatni, a tengelyeken a tvol sgot megnyjtani stb, annak rdekben, hogy az j koordintarendszerben egy-egy alakzat egyenlete egyszerbb legyen. Az ilyen mveletet koordintatranszformcinak nevezzk. A derkszg koordintarendszer legfontosabb transzformcii a kvetkezk: d) E ltols (skban). Toljuk el az {x, y) koordintarendszer origjt a Q (a,b) pontba. Az j koordintarendszer ten gelyeit jellje ^ s r\ (1.25. bra). Ekkor a P pont rgi s j koordinti kztti sszefggsek: x = a + '^, y = b + T\, ^ = X - a, r\ = y - b . 1.25. bra. Koordintarendszer eltolsa b) Forgats (skban). Forgassuk el az (x, y ) koordintarendszert az orig k rl (p szggel. Az j koordintarendszer tengelyeit jelljk ^ -vei s r\ -val (1.26. bra). A P pont rgi s j koor dinti kztti sszefggsek:X = ^ c o s (p - T) / n (p

d) Forgats (trben). Forgassuk el az ( x ,y ,z ) derkszg koordintarend szert az orig krl gy, hogy az x-, y - s z-tengelyek (amelyek irnyt az i, j, k egysgvektorok adjk meg) a t) - s ^ -tengelyekbe menjenek t, melyek rendre a kvetkez egysgvektorok irnyba mutatnak: i' = a ,i + (3ij + y,k, j ' = a2 + p2J + Y2k, k ' = a3 + p3j + Y3k. Ekkor a rgi s az j koordintk kztti sszefggsek: x = a i^ + a9'n-i-a3C J = p i^ + |3 ;n + p3^ z ^ Y i^ + Y.ri + YsC, ^ = a i^ + Piy + Yi2il l. T| = 0C X + 2 4- y ^ z

P(x,y)=P(^,Ti)

ill.

C = 0C3^+P37 + Y3^_

A nyjtst ugyangy hajtjuk vgre, mint skbeli esetben. Termszetesen ugyanazt a koordintarendszert tbb transzformcinak is alvethetjk (pl. eltoljuk s elforgatjuk stb.).

1.2.

AZ EGYVLTOZS FGGVNY

1.2.1. Az egyvltozs fggvny fogalm a Az 1.1.5. pontban ltalnosan rtelmeztk a fggvnyt. Most csak olyan fggvnyekkel foglalkozunk, amelyeknek az rtelmezsi tartomnya is, kphalmaza is vals szmokbl ll. Ezeket egyvltozs vals fggvnyek nek nevezzk. A tovbbiakban kphalm aznak mindig az R halmazt tekint jk, ezrt ezt mr nem emltjk kln. a) rtelmezs. Definci. Az R R tpus fggvnyt, azaz amelynek rtelmezsi tar tomnya is s rtkkszlete is vals szmokbl ll, egyvltozs vals (vals-vals) fggvnynek nevezzk. Az egyvltozs vals fggvny rtelmezsi tartomnyt gyakran X r tkkszlett Y, fggetlen vltozjt ;, fgg vltozjt;; jelli.

y 1,26. bra. Koordintarendszer elforsatsa

= ^ s i n ( p + r\cos(^]

ill.

^ = X c o s (p +

y

s i n (p

T) = - X s i n (p +

y

c o s (p

c) Nyjts. N yjtsuk meg az egysgnyi tvolsgot az jc-tengelyen qszorosra, az ^-tengelyen r szeresre { q > 0 , r > 0 ). A P pont :x, y rgi s ^ ,11 j koordinti kztti sszefggsek: x = g^, y = r(], Ha 0 < L

r " - l = 0 implicit megads jelentheti az f { x ) = yf\~x~ fggvnyt, de az

vallum, mert a - j 4- x~ kplet csak ilyen x-ekre rtelmes. rtkkszlet a 0 < y 0 fggvnynek van inverze, mert szigoran nvekv. Az inverz fggvny f ~^(x) = 4 x . A kt fggvny grbje, vagyis az y = x~, X >0 s az y = ^x grbk az 1.33. brn lthatk. Tovbb f - \ f ( x ) ) =/ J =x s / ( / - (x)) = V 7 "= x .

Derkszg koordintarendszerben a pros fggvny grbje az ytengelyre, pratlan fggvny grbje pedig az origra szimmetrikus. Kt pros vagy kt pratlan fggvny szorzata s hnyadosa pros, vi szont pros s pratlan fggvny szorzata s hnyadosa pratlan fggvny. Plda Az x", cos X , j;:'cosx fggvnyek prosak. Az X X sinx fggvnyek p , , ratlanok, mg Xsinx pros. d) Periodikus fggvnyek. Definci. A z / fggvnyt periodikusnak nevezzk, ha van olyan p >0 szm, hogy az rtelmezsi tartomny minden x elemre f ( x + p) = f { x ) . A p szm a fggvny peridusa. Ha egy fggvnynek p a peridusa, akkor kp is peridusa annak, ahol k pozitv egsz szm. Ha a fggvny peridusai kztt van legkisebb, akkor azt alapperidusnak nevezzk. Ha f { x + p ) = f (jc), akkor azt is szoks mondani, hogy az /f g g v n y p szerint periodikus. Plda A sin s a cos fggvnyek 2tc szerint, a tg s ctg fggvnyek K szerint periodiku sak (L50., 1.5L bra). A trtrsz (frac) fggvny 1 szerint periodikus (1.40. bra). e) Inverz fggvny. Legyen az / fggvny rtelmezsi tartomnya X, rtkkszlete Y. Legyen tovbb /k lc s n se n egyrtelm (bijektiv). Pl dul a szigoran nvekv vagy szigoran cskken fggvny ilyen. Definci. Az / fggvny inverz fggvnynek (rviden inverznek) nevezzk azt a fggvnyt, amelynek rtelmezsi tartomnya Y s minden / (x) ltkhez az x szmot rendeli. Jellse / '. Az rtelmezsbl ltszik, hogy a z / s / ^ ' ltal ltestett hozzrendel sek ellenttes irnyak. Tovbb ' '-1,(x) = x. Mivel a z / s / fggvnyeknl az rtelmezsi tartomny s az rtkkszlet helyet cserl, ezrt az brzolsnl a koordintatengelyek is szere-

1.33. bra. Az x~, jc>0 s v T fggvny grbje 2. Az / ( x ) = 2^ fggvny inverze az / az 1.34. brn lthat.

1.34. bra. A 2^ s log, x fggvny grbje (x) = log2 x. A kt fggvny grbje

1.2.3. Az egyvltozs fggvny hatrrtke s folytonossga ) Hatrrtk. A hatrrtk az analzis egyik alapvet fogalma. Ezen alapul tbbek kztt a differencilhnyados s a hatrozott integrl fogal ma is. Legyen az / fggvny rtelmezve az xq hely krnyezetben (esetleg az xq helyen nem). Definci. {Heine) Azt mondjuk, hogy az / fggvnynek az xq helyen a hatrrtke az A szm, ha a fenti krnyezetbl vett tetszleges x -> Xq sorozat esetn f ( x ) - ^ A . Jellse: lim f ( x ) = A. X-^Xq

68


1.2.3. A z egyvltozs f g g vn y hatrrtke s folytonossga

69

Ez szemlletesen azt jelenti, hogy a fggvnyrtkek tetszlegesen meg kzeltik az A szmot, ha az ;c rtkek elg kzel kerlnek xq -hoz. Ezt pontosabban is megfogalm azhatjuk: D efinci. (Cauchy). Az f fggvnynek az Xq helyen a hatrrtke az A szm, ha brmely e > 0 szmhoz van olyan 5 > 0 0 < |jc -;c o | < 6, akkor \f{x)-A\ 0

A hatrrtk kiszmtsa a definci alapjn nem knny feladat. Ezt azonban megknnytik az albbi ttelek, feltve, hogy l te z ik / s g hatrr tke az Xq helyen: 1. lim c f { x ) ~ c Hm f { x ) , c lland; X-^Xo X-^Xq2 . lim { f ( x ) g { x ) ) = lim f { x ) lim g(x);X -^ Xq

4. 5. 6.7.

X

lim sinx nem ltezik;x -> 2 + 0 X - 2

X -^ X

q

X

3. lim i f ( x ) - g i x ) ) = lim f ( x ) - lim g(x);X -^ Xq

lim

1

= +c

X -^ X

q

X > X q

lim f { x ) 4. lim , , S( x) lim g( x ) ^ 0. lim g{x) X-^XqX -^ Xq

9.

x -4 2 -O X - 2

lim L -= -oo;3 _ 1

Elfordulhat az az eset, hogy az (/(:v:)) sorozat oo-hez (olv.: vgtelen hez) divergl, ha tart xq -hoz. Ekkor azt mondjuk, hogy a fggvny Hasonlkppen lehets11. 12. H a a H eine-fle definciban xq krnyezete helyett az jcq bal oldali krnyezett, vagyis egy ]a - 5 , a [ alak intervallumot vesznk, akkor az A szm a fggvny bal oldali hatrrtke. Jellse:x

10.

lim

,5x + 2

lim -----

5

hatrrtke az xq helyen , azaz lim / (x ) =X -> X o

ges, hogy lim / ( jv) = - o .X - Xq

lim -V = +o J-40 Jt;lim lim = 1+ 1 . 1 2 2

13.

lim-^xq

f (a:) = A.-O

= lim 1-cosx 1+ cosx = lim 1+ cosx x-Ô x-*0 = l i m l i m ! =1= 4 = 1 x-^0 x~ x-^0 1+ cosx 2 2

\ 14- c o s X

Hasonlan rtelmezhet a fggvny jo b b oldali hatrrtke. Jellse: lim f { x ) .x

-^

xq

+Q

Ha a fggvnynek az Xq helyen van hatrrtke, akkor az xq helyhez tartoz bal oldali s jobb oldali hatrrtke egyenl. A hatrrtket a vgtelenben is rtelmezzk. Ekkor a Heine-fle defin ciban jq helyre formlisan o, ill. -o 0 szmhoz van olyan 6 > 0 szm, hogy ha 0 < |x - ;cq| < 5, akkor|/W - /( x o ) | 0 szmhoz van olyan 5 > 0 szm, hogy / rtelmezsi tartomnynak brmely x^, X2 elemre, amelyek tvolsga kisebb 5-nl, fennll az / ( ^ i ) - / ( j : 2 ) |< e egyenltlensg. A folytonossg nhny nevezetes kvetkezmnye: 1. Zrt intervallumon folytonos fggvny ott egyenletesen folytonos; 2. Zrt intervallumon folytonos fggvnynek itt van maximuma s mi nimuma (Weierstrass-tteV); 3. Zrt intervallumon folytonos fggvny minden olyan rtket felvesz, amely a legnagyobb s legkisebb rtk kz esik; 4. Ha a fggvny a zrt intervallumon folytonos, s az intervallum kt vgpontjban az rtkei klnbz eljelek, akkor az intervallum belsej ben van zrushelye (Bolzano-tteV). Ha az/ fggvny az Xq helyen nem folytonos, akkor a fggvny sza kadsi helye. Ilyenkor azt mondjuk, hogy xq a fggvnynek

. van vges hatrrtke: lim - = 1 Az x = 0 hely teht megszntethet szakads. x-Ô X 3. Az / (x) = ^ fggvny az x = 2 helyen nem folytonos (minden ms he

lyen igen). A fggvnynek itt plusa van, mert lim = oo (1.35. bra). x^2 X 21

4. Az f ( x ) = e^ fggvnynek az x = 0 helyen lnyeges szingularitsa van, mert itt nincs hatrrtke (1.36. bra). Yi

11

1.36. bra. Az f { x ) - e ^ grbje

1. megszntethet szakadsa, ha a fggvnynek itt ltezik vges hatr rtke; 2. plusa, ha Hm \f (x)| = o;X-^Xq

1.3.

ALAPFGGVNYEK, NEVEZETES GRBK

3. lnyeges szingularitsa, ha a fggvnynek itt nincs (sem vges sem vgtelen) hatrrtke. A megszntethet szakadsi helyet hzagpontnak is mondjuk, ha a fgg vnynek itt nincs helyettestsi rtke. Ha kt fggvny folytonos egy adott helyen, akkor azok sszege, k lnbsge s szorzata is folytonos ott. K t ilyen fggvny hnyadosa is folytonos ezen a helyen, ha a nevez nem vlik itt zruss. Megjegyzsek. 1. A folytonossg Heine-f\e s Cauchy-fk defincija ekvivalens. 2. Az [a,b\ intervallum bal oldali, ill. jobb oldali vgpontjban az/ fggvny folytonos, ha Hm f { x ) = f { a ) ill. lim f { x ) = f { b ) .x-â+O x-=>b~0

1.3.1. Szakaszonknt egyenes vonal fggvnyek E fggvnyek egyszersgk ellenre nem elemi fggvnyek. d) Az abszolt rtk fggvny. Az |a|, a G R abszolt rtk rtelmezse alapjn az f { x ) = \x\ abszolt rtk f g g vny rtelmezse: rf = II X, ha ha x >0 ; c 0 _y = - x , ha X < 0. (1.37. bra). s

72 y; i y = sg n x

Egy- s tbbvltozs fggvnyek b) Az eljel (vagy szignum) fggvny. Az x eljelt megad f { x ) = sgn^ (olv.; szignum iksz) szignum fggvny rtelmezse: '~x 1, /( ;c ) = sgnx:= 0, -1 , ha x > 0 ha x = 0 ha x < 0

1.3.1. Szakaszonknt egyenes vonal fggvnyek d) A trtrsz (vagy frac) fggvny. Az x e R trt rszt megad f ( x ) = - {x} trtrsz (frac) fggvny rtelmezse:

73 y = x -[x ] = {x}

^ y /

0 ---------- '-1

/w={4 = jc - m a x | e Z n < x

1.40. bra. A trtrsz fggvny grafikonja

rtelmezsi tartomnya; ^ -R; rtkkszlete; Ry - {-1,0, l};

rtelmezsi tartomnya; Dj- = R; rtkkszlete; R j = [O, l[ interval lumba es szmok; az /( jc ) = {x} fggvny grafikonja kt egsz szm kztt az x-tengellyel 45-os szget bezr egyenesszakaszokbl ll, s vgpontjaik kzl csak az jc-tengelyen lvk tartoznak a grafikonhoz (1.40. bra). Pldul {3,2} = 3,2-[3,2] = 3 ,2 -3 = 0,2; {0,6} = 0,6 - [0,6] = 0,6 - 0 = 0,6;

1.38. bra. A szignum fggvny grafikonja

a fggvny grafikonja; y = l, ha x > 0 ; y ^ - 1, ha x < 0 s y = 0 , ha x = 0. (1.38. bra.) c) Az egszrsz (vagy entier) fggvny. Az x g R egsz rszt megad f ( x ) = [j] egszrsz vagy entier (olv.; antyi iksz) fggvny rtelmezse: f { x ) = [j];= m a x | e Z n < x ^ vagyis [.x] jelenti az x-nl kisebb (vagy vele egyenl) legnagyobb egsz szmot. rtelmezsi tartomnya; D f = R ; rtkkszlete; R j = Z ; az f { x ) = [x] fggvny grafikonja kt egsz szm kztt olyan egyenesszakaszokbl ll, amelyek prhuzamosak az jf-tengellyel, s vgpontjaik kzl csak a bal oldaliak tartoznak a grafikonhoz (1.39. bra). Pldul [3,2] = 3; [3,001] = 3; [-2 ,4 ] = - 3 ; [5] = 5.

{-5,4} = -5,4 - [-5,4] = - 5 ,4 - (-6) = 0,6. Pldk 1. brzoljuk az / ( x ) = |sinx| fggvnyt. Megolds. Az rtelmezs szerint, ahol sin a > 0, ott |sinx| = sinx, ahol sinx < 0, ott : Isinx| = - sinX (1.41. bra).

y,-1X

-21.39. bra. Az egszrsz fggvny grafikonja

2. brzoljuk az / ( x ) = 2sg n(x-3) fggvnyt. Megolds. A szignum fggvnyt pozitv x irnyba 3 egysggel el kell tolni s az ytengely mentn ktszeresre kell nyjtani (1.42. bra). 3. Az / ( x ) = |x| + sgn(cosx) fgg vny grbjt az 1.43. bra mutatja.

n . y = 2 sg (x-3) n 0 2 ---1.42. bra. / ( x ) = 2sgn(x-3) fggny grafikonja 3

74


1.3.2. Algebrai fggvnyek b) A racionlis egszfggvny (polinom). ltalnos (rendezett) alakja: / {x) = a,,x' + +.. .+ a.X + a^x + q\

75

n> 0 egsz szm). Gyktnyezs alakja: f ( x ) = a )'^ (^ - JC 2 {x ,

ahol az x^,x 2,...,x .. szmok rendre a fggvny r,, a - s z e r e s zrus helyei (/'i + r, +.. ,+r^ = n ) . A fggvny vals zrushelyeinek ismeretben, figyelembe vve a zrushelyek tbbszrssgt, felvzolhatjuk a fggvnygrbe menetnek jellegt, vagyis a fggvny eljelviszonyait s vgtelenbeli viselkedst feltntet grbt. Plda 1. Definci. Az beli polinomja. 2. Definci. Az / : ) R fggvnyt a D valamely a bels pontjban > analitikusnak nevezzk, ha / az a krl hatvnysorba fejthet, azaz, ha ltezik egy ^ C j ^ ( x - a ) ^ hatvnysor (lsd a 4.5.1. pontot), amely a egy k=o krnyezetben /( x ) - h e z konvergl. A D bels pontjait jellje D*. Az / fggvnyt analitikusnak nevezzk D* -on, ha. f D minden bels pontjban analitikus. 3. Definci. Egy analitikus fggvnyt, amely egy algebrai relci rsz halmaza, algebrai fggvnynek neveznk. Egyszerbben fogalmazva, f algebrai fggvny, ha benne a vltozk s az llandk vges szm sszeadssal, kivonssal, szorzssal, osztssal, hatvnyozssal s gykvonssal vannak sszekapcsolva. a) A hatvnyfggvny. ltalnos alakja: f ( x ) = x" A fggvnyek grbit lsd a [9] 8. fejezetben. ( n > 0 egsz szm). -5001.44. bra. Hatodfok fggvny jelleggrbje

1.3.2. Algebrai fggvnyek eR R s F ( x , y ) = O} -t algebrai relci

x

Az 1.44. brn az /( x ) = x(x + 2 ) ( x - 5 ) " | ^ x " +

hatod/ok/gg-

nak nevezzk a vals szmhalmazon, ha F { x , y ) J-nek s >^-nak R[x, y]-

vnyt brzoltuk, A /ggvnygrbe menetnek jellege mellett /el rajzoltuk &fgg vny alakhelyesebb gra/ikonjt is. A /ggvny egyszeres zrushelyei: x = 0 s X - - 1 . Ktszeres zrushely; x = 5. Az utols msod/ok tnyeznek

obádovics j. gyula - felsőbb matematika

Documents