Univerzitet u Beogradu Matemati~ki fakultet

Seminarski rad

Predmet: Metodika nastave matematike 2 Tema: Obla tela – Valjak i kupa

Profesor: Student:Dr. Zoran Lu~i} ^alakovi} Mirsada Br. Indeksa 418/06

Beograd 2008.

1

Sadr`aj

1. Uvod – Cilindricne, konusne povr{i……………………………………....…3

2. Pojam valjka i kupe………………………………….……………………..53. Valjk i njegovi preseci…….………………………………………………..54. Kupa………….……………………………………………………………75. Preseci kupe………………….…………………………………………….96. Zarubljena kupa………………….………………………………………..107. Povr{ina valjka………….………………………………………………....118. Povr{ina kupe……………….…………………………………………….139. Povr{ina zarubljene kupe…………….

…………………………………….1410. Zapremina tela…………...

………………………………………………..1511. Zapremina

valjka………………………………………………………......1512. Zapremina

kupe…………………………………………………………...1613. Zapremina zarubljene

kupe………………………………………………...1714. Odabrani

primeri…………………………………………………………..1815. Literatura………………………………………………………………….20

2

- Uvod - - Uvod -

Cilindri}ne, konusne povr{iCilindri}ne, konusne povr{i

Definicija 1 Neka je u ravni zadata proizvoljna linija l i prava p koja prodire ravan . Ukupnost tačaka svih pravih koje su paralelne sa pravom p i seku liniju l nazivamo cilindričnom površi. Liniju l nazivamo vodiljom ili direktrisom, a prave koje su paralelne sa pravom p i seku liniju l nazivamo izvodnicama ili generatrisama dotične cilindrične površi (slika 8).

Vodilja l cilindrične površi može da bude prosta ili složena, naime ona može da nigde ne seče samu sebe ili da seče samu sebe u najmanje jednoj tački. Nije teško ustanoviti da cilindrična površ kojoj je vodilja prosta linija takođe nigde ne seče samu sebe; takvu cilindričnu površ nazivamo prostom. U protivnom slučaju cilindričnu površ nazivamo složenom. Ako je vodilja l cilindrične povši otvorena linija, odgovarajuću cilindričnu površ nazivamo otvorenom; u suprotnom slučaju cilindričnu površ nazivamo zatvorenom. Ako je vodilja l cilindrične površi krug, odgovarajuću cilindričnu površ nazivamo kružnom. Ravni paralelne vodilji kružne cilindrične površi seku tu površ po podudarnim krugovima. Kružne površi određene sa takva dva kruga i delom cilindrične površi između tih krugova ograničavaju deo prostora koji nazivamo kru ž nim valjkom . Pomenute kružne površi nazivamo osnovama a duž kojoj su krajevi u ravnima

Slika 8

osnova i koja je upravna na tim ravnima nazivamo visinom valjka. Ako je duž određena središtima osnove upravna na osnovama, valjak nazivamo pravim; u protivnom slučaju valjak nazivamo kosim.

3 Definicija 2 Neka je u ravni zadata linija l i van te ravni tačka S.

Ukupnost tačaka svih pavih koje sadrže tačku S i seku liniju l nazivamo konusnom površi. Liniju l nazivamo vodiljom ili direktrisom, prave koje sadrže tačku S i seku vodilju l nazivamo izvodicama ili generatrisama, a tačku S vrhom te konusne površi (slika 9).

Slika 9

Vodilja l konusne površi može da bude prosta ili složena, naime ona može da nigde ne seče samu sebe ili da seče samu sebe u najmanje jednoj tački. Nije teško ustanoviti da konusna površ kojoj je vodilja prosta linija takođe nigde ne seče samu sebe; takvu konusnu površ nazivamo prostom. U protivnom slučaju konusnu površ nazivamo složenom. Ako je vodilja l konusne povši otvorena linija, odgovarajuću konusnu površ nazivamo otvorenom; u suprotnom slučaju konusnu površ nazivamo zatvorenom. Ako je vodilja l konusne površi krug, odgovarajuću konusnu površ nazivamo kružnom. Kružna površ određena takvom vodiljom i delom konusne površi koji se nalazi između te vodilje i vrha ograničavaju deo prostora koji nazivamo kru ž nom kupom . Pomenutu kružnu površ nazivamo osnovom, a tačku S vrhom te kupe. Duž određenu vrhom kupe i podnožnjem upravne iz te tačke na ravni osnove nazivamo visinom kupe. Ako se podnožje visine kupe poklapa sa središtem, kupu nazivamo pravom; u protivnom slučaju kupu nazivamo kosom.

44

Pojam valjka I kupePojam valjka I kupe

Obrtna povr { nastaje neprekidnom rotacijom neke prave (generatrise tj. izvodnice) po kru`nici (vodilji) oko odre|ene ose.

Valjak i njegovi preseciValjak i njegovi preseci

Ako za generatrisu obrtne povr{i uzmemo pravu koja je paralelna osi dobijamo obrtnu povr{ koja se naziva obrtna cilindri~na (valjkasta) povr{. Ona se prostire u beskona~nost na obe strane u pravcu ose . Po{to je presek ove povr{i sa nekom ravni koja je normalna na osu kru`nica, obrtna cilindri~na povr{ se mo`e definisati i kao unija svih pravih koje su normalne na ravan te kru`nice i sadr`e ta~ke te kru`nice.

a) b)

slika br.1

Za obrtnu valjkastu povr{ se jo{ ka`e da je uspravna ili prava (a). Ako za generatrisu umesto prave normalne na ravan kru`nice

uzmemo pravu koja je kosa prema toj ravni, dobijamo kosu cilindri~nu povr{, koja nije obrtna (b). Prava koja prolazi kroz centar kru`nice, a paralelna je sa izvodnicama naziva se osa.

Presek valjkaste povr{i sa ravni koja je paralelna vodilji je kru`nica, jer se taj presek dobija translacijom vodilje u pravcu izvodnica.

5

Valjak je telo ograni~eno delom valjkaste povr{i izme|u dve ravni pralelne vodiljama i krugovima koje ta povr{ iseca u tim ravnima Deo valjkaste povr{i se zove omota~, a krugovi su osnove (baze). Normalno rastojawe izme|u dve baze naziva se visina .

slika br.2

Ako su izvodnice normalne na ravan osnove, onda je to prav valjak, ina~e je kos. Prav valjak je obrtno telo koje nastaje rotacijom pravougaonika oko jedne stranice.

Presek valjka sa ravni koja sadr`i osu valjka je osni presek valjka . Osni preseci pravog valjka su podudarni pravougaonici. Ako je osni presek valjka kvadrat, valjak nazivamo pravilnim.

Presek valjka sa ravni koja je paralelna osnovi je kru`nica podudarna osnovi.

Presek valjka sa ravni koja zaklapa o{tar ili tup ugao sa ravni osnove je elipsa.

6

Kupa

Ako za generatrisu obrtne povr{i uzmemo pravu koja se~e osu u ta~ki , dobijena povr{ se naziva obrtna konusna (kupasta)

povr{ (a). Ta~ka predstavlja vrh te povr{i. Po{to je presek te povr{i i ravni koja je normalna na osu (a ne sadr`i ta~ku ) kru`nica, takvu povr{ mo`emo definisati i kao uniju svih pravih koje prolaze kroz ta~ku

i ta~ke te kru`nice.

a) b)

slika br.3

Ako je prava kosa prema ravni kru`nice, tada je povr{ koju obrazuju prave koje prolaze kroz ta~ku i ta~ke kru`nice kosa kru`na konusna povr{, koja nije obrtna (b).

Presek kupaste povr{i (kose ili obrtne) i ravni koja je paralelna ravni vodiqe je krug.

Kupa (konus) je telo koje je ograni~eno delom grane kru`ne kupaste povr{i koji od te grane odseca ravan paralelna vodilji i krugom koji kupasta povr{ iseca iz te ravni. Deo kupaste povr{i je omota~, a krug je osnova. Vrh kupaste povr{i je vrh kupe, a visina je normalno rastojanje od osnova do vrha

7

Ako je osa normalna na ravan osnove tada je to prava kupa, ina~e je kosa. Prava kupa nastaje rotacijom pravouglog trougla oko jedne katete( oko ). Prava kupa se zove i obrtna.

Preseci kupe sa ravnima koje sadr`e osu nazivaju se osni preseci . Svi osni preseci kupe su jednakokraki trouglovi. Ako je taj

trougao jednakostrani~an tj. ako je izvodnica jednaka pre~niku osnove, u pitanju je pravilna kupa.

8

Preseci kupe

а) Presek kupe sa ravni koja ne prolazi kroz vrh kupe i ~ini sa osom kupe ugao ve}i od polovine ugla otvora kupe je elipsa. (pritom ta ravan se~e sve izvodnice, a ugao nije prav).

б) Presek kupe sa ravni koja ne prolazi kroz vrh kupe i ~ini sa osom kupe ugao jednak polovini ugla otvora kupe je parabola.

в) Presek kupe sa ravni koja ne prolazi kroz vrh kupe i ~ini sa osom kupe ugao manji od polovine ugla otvora kupe ili je paralelna sa osom kupe je hiperbola. (ta ravan je paralelna dvema izvodnicama kupe)

а) б) в)

g) Presek kupe sa ravni koja ne prolazi kroz vrh kupe i paralelna je bazi je krug. Tako nastaje zarubljena kupa.

9

Zarubljena kupa

Deo kupe izme|u ravni osnove i ravni koja se~e kupu, a paralelna je osnovi kupe naziva se zarubljena kupa. Ograni~en je sa dva kruga (baze ili osnove) i delom kupaste povr{i (omota~).

Ako je prvobitna kupa bila prava i zarubljena }e biti prava, ina~e je kosa. Prava zarubljena kupa je obrtno telo nastalo rotacijom pravouglog trapeza oko kraka koji je normalan na osnovice.

Osni preseci obrtne zarubljene kupe su podudarni jednakokraki trapezi .

10

Povr{ina valjka

Ako su osnove prizme upisane u osnove valjka i ako su njene bo~ne ivice neke od izvodnica valjka, ka`emo da je prizma upisana u valjak

U valjak upi{emo pravilnu prizmu. Svaka bo~na strana opisanog poliedra sadr`i tangentu obrtnog tela po izvodnici koja je ujedno i visina. Povr{ina omota~a te prizme je jednaka proizvodu obima osnove i visine tj.

.

Obim osnove prave prizme je manji od obima osnove valjka. Me|utim, ako pove}avamo broj stranica pravilnog mnogougla (koji ~ini

osnovu prizme) razlika izme|u obima osnova prizme i valjka }e se smanjivati.

Kada se broj stranica mnogougla beskona~no pove}a obim osnove te`i obimu kruga.

Odatle je povr{ina omota~a valjka Kako se mre`a valjka sastoji iz 2 osnove i omota~a, tako je

njegova povr{ina

Do formule za povr{inu valjka lako se mo`e do}i i razvijanjem njegove povr{i u ravan.

11

12

Povr{ina kupe

Oko kupe opisujemo piramidu tako da osnova piramide bude opisana oko osnove kupe, a vrh je u vrhu kupe.

Povr{ina omota~a kupe je

a kada

Kako se kupa sastoji iz osnove i omota~a to je njena povr{ina

Razvijena povr{ina kupe

13

Povr{ina zarubljene kupe

Oko zarubljene kupe opisana je zarubljena piramida.

Povr{ina omota~a je

Analogno valjku i kupi

Po{to se zarubljena kupa sastoji od dve osnove i omota~a tada je njena povr{ina

Razvijena zarubljena kupa

14

Zapremina tela

Jo{ su gr~ki matemati~ari posmatrali valjak kao prizmu, a kupu kao piramidu sa beskona~no mnogo strana. Uop{te, da bismo odredili zapreminu tela ograni~enog krivom povr{i upi{emo i opi{emo oko tog tela niz poliedarskih tela ~iju zapreminu znamo izra~unati. Za zapreminu datog tela uzima se onda zajedni~ka grani~na vrednost kojoj te`i niz zapremina upisanih i niz zapremina opisanih poliedara, kada broj ljihovih strana te`i beskona~nosti tako da povr{ina svake strane te`i nuli.

Kavalijerijev princip igra va`nu ulogu pri izra~unavawu zapremine uop{te, a postavio ga je italijanski matemati~ar Kavalijeri godine 1635. On glasi:

Ako se dva tela mogu postaviti u takav polo`aj da su preseci oba tela sa ma kojom ravni, pralelnoj jednoj datoj ravni, figure jednakih povr{ina, onda su zapremine tih tela me|usobno jednake.

Zapremina valjka

Pretpostavlja se da je u datom valjku upisana (ili oko wega opisana) pravilna prizma sa strana. Neka je povr{ina njene osnove. Zapremina te prizme je gde je visina prizme (i vaqka).

Ako se broj stranica osnove prizme neograni~eno pove}ava, onda je granica kojoj te`e povr{ine jednaka povr{ini kruga .

Na osnovu Kavalijerijevog principa mo`emo tvrditi da je zapremina valjka jednaka zapremini prizme iste visine, ~ija je povr{ina osnove jednaka povr{ini osnove valjka . Tako je:

zapremina valjka

15

Zapremina kupe

Zapremina kupe, prave ili kose, jednaka je granici kojoj te`e zapremine pravilnih piramida upisanih (ili opisanih) u tu kupu pri neograni~enom uve}avanju broja wenih osnovnih ivica.

Pretpostavlja se da je u kupi upisana (ili opisana) pravilna piramida sa strana. Ako je povr{ina osnove te piramide, onda je

njena zapremina gde ozna~ava visinu piramide (i kupe).

Ako se broj neograni~eno uve}ava, onda te`i povr{ini kruga tj. povr{ini osnove kupe, kao svojoj granici.

Na osnovu Kavalijerijevog principa mo`emo tvrditi da je zapremina kupe jednaka zapremini piramide iste visine,~ija je povr{ina osnove jednaka povr{ini osnove kupe . Tako je:

zapremina kupe

16

Zapremina zarubljene kupe

Zapremina zarubljene kupe jednaka je razlici dveju kupa.

Neka je i . Tako je zapremina zarubljene kupe

Iz sli~nosti touglova i dobija se

odakle je

Smenom ovih vrednosti u prethodnu jedna~inu nalazi se

Odatle je:

zapremina zarubljene kupe

17

Odabrani primeri

1. Dat je trougao ABC. Na stranici AS odrediti ta~ku H tako da zapremina tela nastalog rotacijom trougla AHV oko stranice AV bude jednaka zapremini tela koje nastaje rotacijom trougla VHS oko stranice VS.

182. Oko lopte je opisan ravnostrani valjak i ravnostrana kupa. Dokazati da povr{ine ova tri tela stoje u istoj razmeri kao i njihove zapremine.

19

Literatura

1. D. Lopandi}, Geometrija za tre}i razred usmerenog obrazovanja, Nau}na knjiga, Beograd 1979.

2. J. Ke~ki}, Matematika sa zbirkom zadataka za tre}i razred srednje {kole, Zavod za u|benike i nastavna sredstva, Beograd 1995.

3. Mr Vene T. Bogoslavov, zbirka re{enih zadataka iz matematike 3, Zavod za u|benike i nastavna sredstva, Beograd 1988.

4. Seminarski rad Pavi} Radivoje, Beograd

20