octava sesión postulados de la mecánica cuántica (2) resolución de la ecuación de schrödinger...
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Octava SesiónOctava Sesión
Postulados de la Mecánica Cuántica (2)Resolución de la ecuación de
Schrödinger en problemas particulares
ResumenResumen
• Parámetros característicos de las Parámetros característicos de las ondasondas
• Espectro electromagnéticoEspectro electromagnético• Espectros de absorción y de emisión Espectros de absorción y de emisión
de los átomosde los átomos• Radiación de un cuerpo negroRadiación de un cuerpo negro• Efecto fotoeléctrico: fotónEfecto fotoeléctrico: fotón• CuantizaciónCuantización
Resumen 2Resumen 2
• Modelo Atómico de BohrModelo Atómico de Bohr– Átomos hidrogenoides.Átomos hidrogenoides.– Es un modelo nuclear.Es un modelo nuclear.– Cuantización del momento angular del Cuantización del momento angular del
electrón.electrón.– Cuantización del radio de las órbitasCuantización del radio de las órbitas– Cuantización de la energía del electrón.Cuantización de la energía del electrón.– Niveles de energía.Niveles de energía.– Energías de ionización.Energías de ionización.– Transiciones electrónicas. Espectros.Transiciones electrónicas. Espectros.
Resumen 3Resumen 3
• Antecedentes de la Teoría Cuántica Antecedentes de la Teoría Cuántica ModernaModerna– Hipótesis de De BroglieHipótesis de De Broglie– Principio de Incertidumbre de HeisenbergPrincipio de Incertidumbre de Heisenberg
• Postulados de la Mecánica CuánticaPostulados de la Mecánica Cuántica– 1. Función de onda.1. Función de onda.– 2. Operadores. La ecuación de 2. Operadores. La ecuación de
Schrödinger.Schrödinger.– 3. Significado físico del cuadrado de la 3. Significado físico del cuadrado de la
función de onda.función de onda.
Postulado 3Postulado 3
• ““El cuadrado de la función de El cuadrado de la función de onda está relacionado con la onda está relacionado con la probabilidad de encontrar a las probabilidad de encontrar a las partículas en una cierta región partículas en una cierta región del espacio”.del espacio”.
ComentarioComentario
• El cuadrado de la función de El cuadrado de la función de onda es una densidad de onda es una densidad de probabilidad.probabilidad.
• Por lo tanto la función de onda Por lo tanto la función de onda debe ser:debe ser: Continua.Continua. Univaluada.Univaluada. Finita (cuadrado integrable).Finita (cuadrado integrable).
Postulado de BornPostulado de Born
1d2
Resolución de Problemas Resolución de Problemas ParticularesParticulares
1.1. Se substituye la masa de la Se substituye la masa de la partícula.partícula.
2.2. Se substituye el potencial V Se substituye el potencial V para el caso del problema para el caso del problema particular.particular.
3.3. Se resuelve el problema para Se resuelve el problema para ΨΨ y para E.y para E.
Resolución de Problemas Resolución de Problemas Particulares (2)Particulares (2)
• En general hay varias funciones En general hay varias funciones ΨΨ que matemáticamente que matemáticamente cumple con ser solución de la cumple con ser solución de la ecuación de Schrödinger.ecuación de Schrödinger.
• Se escogen aquellas que Se escogen aquellas que además de cumplir con las además de cumplir con las restricciones físicas del restricciones físicas del problema cumplen con:problema cumplen con:
Resolución de Problemas Resolución de Problemas Particulares (3)Particulares (3)
• O sea, aquellas que sean:O sea, aquellas que sean:– Continuas.Continuas.– Univaluadas.Univaluadas.– Finitas.Finitas.
1d2
Resolución de Problemas Resolución de Problemas Particulares (4)Particulares (4)
• Con Con ΨΨ22 se pueden encontrar se pueden encontrar zonas del espacio donde existe zonas del espacio donde existe mayor probabilidad de encontrar mayor probabilidad de encontrar a las partículas.a las partículas.
Partícula en un pozo de Partícula en un pozo de potencial unidimensionalpotencial unidimensional
00 aa x x
V=V=
V=V=
V=0V=0
22
2m-T
VTH
EH
0)()(V-Edx
)(d
m2
)(E)()(V)(dx
d
2m-
de depende solo V
dx
d
2m-T
:dimensión unaEn
2
22
2
22
2
22
xxx
xxxx
x
0(x) dx
)(d1)(
)(dx
)(d
0)(Edx
)(d
2m
)(V
:caja la de Fuera
2
2
2
2
2
22
fuera
xx
xx
xx
x
ResumenResumen
ΨΨ(x) = 0(x) = 0 (-(- < x < 0)< x < 0)
No sabemosNo sabemos (0 (0 x x a) a)
ΨΨ(x) = 0(x) = 0 (a (a < x < < x < ))
Gráfica de Gráfica de (x)(x)
(x(x))
xx00 aa
¿Cuál es la probabilidad de ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a la partícula fuera encontrar a la partícula fuera
de la caja?de la caja?
¿Cuál es la probabilidad ¿Cuál es la probabilidad de encontrar a la de encontrar a la
partícula fuera de la caja?partícula fuera de la caja?
ΨΨfuerafuera = 0 = 0
ΨΨ22fuerafuera = 0 = 0
PPfuerafuera = 0 = 0
Dentro de la cajaDentro de la caja
)(mE2
dx
)(d
0)(Edx
)(d
2m
0)(0-Edx
)(d
2m
0V
22
2
2
22
2
22
xx
xx
xx
Dentro de la caja (2)Dentro de la caja (2)
2
mE2
• Es una constante.Es una constante.• Le pongo nombre: - Le pongo nombre: -
Constante, yo te bautizo como Constante, yo te bautizo como 22..
Dentro de la caja (3)Dentro de la caja (3)
)()(dx
d
mE2
22
2
22
xx
• Debemos resolver esta Debemos resolver esta ecuación ecuación diferencial de orden 2diferencial de orden 2..
• O sea, necesitamos encontrar una O sea, necesitamos encontrar una función que derivada dos veces sea función que derivada dos veces sea igual a menos igual a menos 22 por ella misma. por ella misma.
Dentro de la caja (4)Dentro de la caja (4)• Toda ecuación diferencial de orden Toda ecuación diferencial de orden
nn tiene tiene nn soluciones (linealmente soluciones (linealmente independientes).independientes).
• Les propongo estás dos soluciones:Les propongo estás dos soluciones:
xBcos)(
xAsen)(
x
x
II
I
Dentro de la caja (5)Dentro de la caja (5)
• A ver si es ciertoA ver si es cierto
xAsenxAsendx
d
xAcosxAsendx
d
xAsen)(
22
2
xI
xBcos-xBcosdx
d
xBsen-xBcosdx
d
xBcos)(
22
2
xII
encontramos dos funciones que encontramos dos funciones que cumplen con que derivadas dos cumplen con que derivadas dos veces son iguales a -veces son iguales a -22 por ellas por ellas mismas.mismas.
Dentro de la caja (6)Dentro de la caja (6)
• Por lo tanto: Por lo tanto:
)()(dx
d
:ldiferenciaecuación la de solucionesSon
xBcos)(
xAsen)(
22
2
xx
x
x
II
I
Dentro de la caja (7)Dentro de la caja (7)
• Pero ¿cumplen con ser funciones Pero ¿cumplen con ser funciones de onda aceptables?de onda aceptables?
• ¿Cumplen con el postulado de ¿Cumplen con el postulado de Born?Born?
• ¿Son continuas, univaluadas y ¿Son continuas, univaluadas y finitas?finitas?
Gráfica de Gráfica de (x)(x)
(x)(x)
xx00 aa
¿Cuánto debe valer ¿Cuánto debe valer (0)?(0)?
¿Cuánto debe valer ¿Cuánto debe valer (0)?(0)?
ΨΨ(0) = 0(0) = 0Para que la función sea Para que la función sea
continua en x = 0continua en x = 0
Dentro de la caja (8)Dentro de la caja (8)
• Por lo tanto:Por lo tanto:
0ser que tendría(0)Bcos)0(
0ser que tendría(0)Asen)0(
II
I
Función SenoFunción Seno
• La función seno cumple La función seno cumple con ser cero en x=0.con ser cero en x=0.
Función CosenoFunción Coseno
La función coseno no cumple La función coseno no cumple con ser cero en x=0. El coseno con ser cero en x=0. El coseno no es una función de onda no es una función de onda aceptable para este problema.aceptable para este problema.
Gráfica de Gráfica de (x)(x)
(x)(x)
xx00 aa
¿Cuánto debe valer ¿Cuánto debe valer (a)?(a)?
¿Cuánto debe valer ¿Cuánto debe valer (a)?(a)?
ΨΨ(a) = 0(a) = 0Para que la función sea Para que la función sea
continua en x = acontinua en x = a
Por lo tantoPor lo tanto
0ser que tendría(a)Asen)a(
Le quito el subíndice porque ya solo me Le quito el subíndice porque ya solo me quedé con una funciónquedé con una función
Función SenoFunción Seno• ¿Dónde se hace cero la función seno?¿Dónde se hace cero la función seno?
Función SenoFunción Seno• ¿Dónde se hace cero la función seno?¿Dónde se hace cero la función seno?• En 0 y en múltiplo enteros de En 0 y en múltiplo enteros de ..• Por lo tanto, para que la función sea Por lo tanto, para que la función sea
aceptable, su argumento debe cumplir aceptable, su argumento debe cumplir con:con:
Zn ;na
22
22
22
mE2
a
n
mE2
Pero
Zn;a
n
:donde De
Despejando la energíaDespejando la energía
Zn;ma8h
nE
h)4(mE2
an
2h
2
22
2
2
22
La energía de una partícula La energía de una partícula en un pozo de potencial en un pozo de potencial está cuantizadaestá cuantizada
Energía de la partículaEnergía de la partícula
Zn;
ma8h
nE 2
22
La energía de una partícula La energía de una partícula en un pozo de potencial en un pozo de potencial está cuantizadaestá cuantizada
¿De dónde surgen los ¿De dónde surgen los números cuánticos?números cuánticos?
• De las restricciones físicas al De las restricciones físicas al movimiento de las partículas. (Si movimiento de las partículas. (Si fuera matemático diría: -De las fuera matemático diría: -De las condiciones a la frontera de la condiciones a la frontera de la ecuación diferencial).ecuación diferencial).
• Si la partícula se moviera Si la partícula se moviera libremente, no habría libremente, no habría cuantización.cuantización.
12
2
3
12
2
2
2
2
2
2
1
2
22
n
E9ma8h
9E
E4ma8h
4E
ma8h
ma8h
1E
Zn;ma8h
nE
Niveles de EnergíaNiveles de Energía
Energías positivas porque es Energías positivas porque es pura energía cinética.pura energía cinética.
El número cuántico también El número cuántico también aparece en la función de ondaaparece en la función de onda
xa
nAsen)(
;a
n Pero
xAsen)(
x
x
Pues si, porque…
Postulado 1Postulado 1• “Para cada estado de un
sistema dinámico de N partículas existe una función de onda Ψ que depende de las coordenadas de las N partículas y del tiempo. Dicha función de onda describe al sistema tan completamente como es posible”
Ψ(x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN,t)
xa
3Asen)(
xa
2Asen)(
xa
Asen)(
xa
nAsen)(
3
2
1
n
x
x
x
x
xa
Asen)(
xa
2Asen)(
xa
3Asen)(
xa
4Asen)(
xa
5Asen)(
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
Ahora tenemos que garantizar Ahora tenemos que garantizar queque
1d2
1dxa
nAsen
1dxa
nAsen
1d
2
0
2
2
a
2
1
0
2
0
22
0
22
dxxa
nsen
1A
1dxxa
nsenA
1dxxa
nsenA
a
a
a
• Y, con ayuda de una tabla de integrales:
xa
nsen
a
2x)(
a
2A
2
1
n
2
1
x
x
x
x
a
4sen
a
2x)(
a
3sen
a
2x)(
a
2sen
a
2x)(
asen
a
2x)(
2
1
4
2
1
3
2
1
2
2
1
1
• Los números cuánticos surgen de las restricciones físicas al movimiento.
• A mayor energía, mayor es el número de nodos en la función de onda.
• La función de onda no tiene significado físico. Su cuadrado es una densidad de probabilidad.