Методичка 11 клас194.44.192.20/pages/library/metod_dist_matem_11_cl.pdf · 11 клас...

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ГОЛОВНЕ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ЛЬВІВСЬКОЇ

ОБЛДЕРЖАДМІНІСТРАЦІЇ ЛЬВІВСЬКА ОБЛАСНА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК

Методичні рекомендації для учнів очно-дистанційної школи

Львівської обласної Малої академії наук

секція математики

11 клас

Львів – 2010

2

Рекомендовано до друку Президією ОМАН

Протокол № 2 від 07.09.2010 Автори:

Селіверстова Л. В. – керівник гуртка математики обласної МАН Юрчишин А. С. – асистент Львівського національного університету імені Івана Франка

Методичні рекомендації для учнів очно-дистанційної школи Львівської обласної Малої

академії наук. Секція математики. 11 клас. – Львів, 2010. – 56 с. Рецензент: Притула Я. Г. – професор Львівського національного університету імені Івана

Франка

3

ЗМІСТ

Пояснювальна записка.................................................................................................................4

Навчально-тематичний план .......................................................................................................6

Програма з математики................................................................................................................8

Рекомендована література .........................................................................................................11

Орієнтовна тематика науково-дослідницьких робіт.................................................................12

Вимоги до написання учнівської науково-дослідницької роботи з математики.....................14

Плани до лекцій .........................................................................................................................24

Дистанційне навчання. Теоретичний матеріал для самостійного опрацювання.....................38

4

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

Дистанційне навчання – це форма відкритого навчання з використанням комп’ютерних та телекомунікаційних технологій, які ефективно спрямовують самостійну роботу учнів на досягнення високого результату в учбовому процесі за допомогою розміщених в інформаційній мережі всіх необхідних для навчання матеріалів. Це дозволяє виконувати навчання на відстані від безпосереднього контакту між викладачем і учнем.

Завдання дистанційного навчання полягають у тому, щоб: ● створити умови для оновлення змісту та методів навчання з обдарованими школярами області; ● індивідуалізувати та суттєво інтенсифікувати навчальний процес; ● розвивати навички самостійного аналізу; ● сприяти розвитку творчого та науково-аналітичного мислення; ● формувати вміння і навички науково-дослідницької діяльності.

Мета очно-дистанційного курсу – поглибити знання та удосконалити вміння учнів з проблемних питань з різних розділів математики; підготувати учнів до зовнішнього незалежного оцінювання, олімпіад, конкурсів, турнірів, вступу до вищого навчального закладу; ознайомити з новими формами контролю знань; розвинути нестандартне мислення; сприяти глибшому засвоєнню учнями навчального матеріалу із застосуванням методики дистанційного навчання.

Після вивчення дистанційного курсу учні мають знати:

♦ основні означення, формули, теореми та їх практичне застосування; ♦ основні математичні методи розв’язання задач за цим курсом та їх практичне застосу-

вання; ♦ доведення важливих теорем, які знаходяться в основі математичних методів, що вивча-

ються; уміти:

♦ користуватися сучасною комп’ютерною технікою та пакетами програм для математи-ків;

♦ застосовувати основні математичні методи у дослідженні та розв’язанні задач; ♦ формулювати та перевіряти гіпотези, асоціативно мислити;

♦ на основі засвоєного матеріалу курсу давати відповіді на завдання для самоконтролю та тестові завдання.

Навчальні плани і програми з математики розроблені на основі шкільної програми з урахуванням тих розділів алгебри та геометрії, задачі та завдання з котрих включені до зовнішнього незалежного оцінювання. Деякі теми, яким мало часу виділяється в програмі середньої школи, висвітлюються глибше та ширше.

Термін навчання становить два роки. До структурних елементів дворічного дистанційного навчання входять шість очних

сесій, п’ять міжсесійних періодів та завдання на літо. Програми очних сесій розраховані на здібних учнів сільських шкіл, котрі вміють

самостійно працювати як над прослуханим матеріалом, так і з рекомендованою літературою. Навчання учнів під час очних сесій передбачає курс лекцій та практичних занять.

До складу дистанційного навчання, яке проводиться у міжсесійні періоди, входять: – виконання контрольних робіт на закріплення матеріалу, прочитаного на очних сесіях; – самостійне опрацювання учнями теоретичного матеріалу за визначеними темами; – виконання контрольних робіт за темами, винесеними на самостійне опрацювання.

Виконання контрольних робіт обмежене у часі. Кожна тема для самостійного опрацювання складається з:

■ методичних рекомендацій з вивчення курсу; ■ теоретичного матеріалу;

5

■ практикуму для вироблення умінь і навичок застосування теоретичних знань із прикладами виконання завдань і аналізом найчастіше вживаних помилок; ■ довідкового матеріалу, глосарію; ■ завдань для самоконтролю.

Підтримку та супровід навчального процесу за дистанційною формою здійснює тьютор (куратор) навчальної групи (секції), котрий також здійснює аналіз стану виконання учнями дистанційних контрольних робіт із занесенням результатів у журнал.

Для того, щоб навчальний процес дистанційного навчання був ефективним, необхідна систематична робота як учня, так і тьютора. З цією метою проводяться консультації в on-line режимі за допомогою ICQ, а також консультації на форумах та з допомогою електронної пошти.

Бувають випадки, коли учень зовсім не має або має дуже обмежений доступ до мережі Інтернет. Тоді спілкування з тьютором організовується у вигляді очних консультацій, а виконання контрольних робіт можливе у комп’ютерному класі обласної МАН.

Перевірка знань учнів проводиться засобами системи дистанційного навчання у вигляді: – контрольних робіт на закріплення матеріалу, прочитаного на очних сесіях; – контрольних робіт за темами, винесеними на самостійне вивчення; – підсумкових контрольних робіт. Графік проведення контрольних робіт учні отримують разом з іншими необхідними

матеріалами (книгами, CD з матеріалами до дистанційного курсу, методичними рекомендаціями тощо) після першої очної сесії. Якість виконання контрольних робіт через Інтернет перевіряється під час очних сесій.

У разі виникнення будь-яких запитань щодо запропонованого дистанційного курсу, учні можуть звернутися за індивідуальними консультаціями до викладача-тьютора.

Саме впровадження дистанційної форми навчання паралельно з очними сесіями дає можливість сільським школярам отримати доступ до широкої маси інформації: навчальної, методичної, практичної літератури, конспектів лекцій та можливість спілкування з науковцями в оn-line режимі. Обов’язковими вимогами до учнів, які здійснюють навчання за дистанційною формою є:

– наявність у них постійного доступу до Інтернету; – вміння користуватися сучасними інформаційними та комунікаційними технологіями. Досвід показує, що дистанційне навчання в системі очно-дистанційної школи обласної

МАН сприяє збільшенню ефективності навчання і робить сам процес цікавим та цілісним.

6

НАВЧАЛЬНО–ТЕМАТИЧНИЙ ПЛАН

ОСІННЯ СЕСІЯ (жовтень – листопад)

№ з/п Назва теми Кількість

годин

1. Загальна методика розв’язування рівнянь. Ірраціональні рівняння 4

2. Границя функції. Похідна. Застосування похідної 4 3. Елементи комбінаторики 4 4. Екстремальні задачі в геометрії 4

5. Паралельне та центральне проектування. Побудова перерізів 4

6. Задачі з параметрами 4 Разом 24

ЗИМОВА СЕСІЯ (січень)


годин 1. Підсумовування рядів. Розклад функції в степеневий ряд 4 2. Елементи теорії ймовірностей 4

3. Загальна методика розв’язування нерівностей. Ірраціональні нерівності 4

4. Логарифмічні й показникові рівняння та нерівності 4 5. Тригонометричні нерівності 2 6. Многогранники 4 7. Контрольна робота 2 Разом 24

ВЕСНЯНА СЕСІЯ (березень)


годин 1. Стереометрія. Тіла обертання 4 2. Рівняння та нерівності з параметрами 4 3. Застосування інтеграла 4 4. Елементи статистики 4 5. Планіметрія. Повторення 2 6. Мішані системи рівнянь та нерівностей 4 7. Підсумкова контрольна робота 2 Разом 24

7

НАВЧАЛЬНИЙ ПЛАН З ДИСТАНЦІЙНОГО НАВЧАННЯ

№ з/п Місяць Назва роботи Терміни

виконання Контрольна робота № 1 з 15.09 до 30.09 1. Вересень Індивідуальні консультації з15.09 Контрольна робота № 2 з 01.10 до 20.10 2. Жовтень Індивідуальні консультації протягом місяця Контрольна робота № 3 з 10.11 до 30.11 3. Листопад Індивідуальні консультації протягом місяця Самостійне опрацювання теоретичного матеріалу (Тема № 1) з 01.12

Контрольна робота № 4 з 15.12 до 30.12 4. Грудень

Індивідуальні консультації протягом місяця Контрольна робота № 5 з 16.01 до 30.01 5. Січень Індивідуальні консультації протягом місяця Самостійне опрацювання теоретичного матеріалу (Тема № 2) з 01.02

Контрольна робота № 6 з 16.02 до 28.02 6. Лютий

Індивідуальні консультації протягом місяця Підсумкова контрольна робота № 7 з 01.03 до 15.03 7. Березень Індивідуальні консультації протягом місяця

8

ПРОГРАМА З МАТЕМАТИКИ

ДИСТАНЦІЙНЕ НАВЧАННЯ

І. Контрольна робота № 1 за 10 клас. ІІ. Контрольна робота № 2 за 10 клас. ІІІ. Індивідуальні консультації.


Загальна методика розв’язування рівнянь. Ірраціональні рівняння

Поняття розв’язку рівняння. Область визначення рівняння. Рівняння-наслідок, сторонні розв’язки. Рівносильні рівняння. Метод рівносильних перетворень. Метод рівнянь-наслідків. Типові помилки під час перетворення рівнянь, які ведуть до втрати розв’язків. Приклади. Ірраціональні рівняння.

Границя функції. Похідна. Застосування похідної Границя функції. Неперервність функції. Чудові границі. Поняття похідної. Механічний

та геометричний зміст. Теореми про похідні, похідна складеної функції. Застосування похідної до дослідження функцій на екстремум. Знаходження найбільшого та найменшого значення функції на проміжку. Рівняння дотичної до графіка функції.

Елементи комбінаторики Поняття множини. Операції над множинами. Перестановки, розміщення, комбінації без

повторень. Перестановки, розміщення, комбінації з повтореннями. Трикутник Паскаля. Комбінаторні задачі. Біном Ньютона.

Екстремальні задачі в геометрії Класичні екстремальні задачі. Задача Герона. Використання рухів площини до

геометричних екстремальних задач. Нерівності трикутника. Задача Дідони. Задача Шварца. Задача Штейнера. Піфагорійська задача. Використання нерівностей між середніми. нерівність Коші-Буняковського.

Паралельне та центральне проектування. Побудова перерізів Зображення просторових фігур на площині. Паралельне проектування та його

властивості. Центральне проектування та його властивості. Застосування проектування до побудови перерізів просторових фігур у їх зображеннях на площині.

Задачі з параметрами Рівняння з параметром і його розв'язок. Запис розв’язку. Пошук розв'язків рівнянь,

нерівностей та їх систем з параметром. Розгалуження розв'язання задач з параметрами. Задачі з параметрами на кількість розв’язків. Квадратний тричлен в задачах з параметрами. Графічні методи.

Інверсія та її застосування* Задача Аполлонія, її узагальнення. Поняття узагальненого кола на площині. Геометричні

побудови у часткових і вироджених випадках задачі Аполлонія. Перетворення інверсії та його властивості. Перетворення кіл і прямих при інверсії. Використання інверсії до розв'язування задач. Перетворення відстаней між точками при інверсії. Побудова інверсної точки. Побудова одним лише циркулем.

9


І. Контрольна робота № 3 на закріплення матеріалу, прочитаного на осінній сесії. ІІ. Тема № 1 для самостійного опрацювання ”Практикум з тригонометричних рівнянь”. ІІІ. Контрольна робота № 4 за темою № 1, винесеною на самостійне вивчення. IV. Індивідуальні консультації.


Підсумовування рядів. Розклад функції в степеневий ряд

Поняття числового ряду і часткової суми ряду. Знаходження суми числового ряду методом підсумовування і обчислення часткових сум. Збіжність числового ряду, необхідна умова збіжності. Ознаки збіжності числових рядів. Степеневий ряд. Розклад функції в степеневий ряд.

Елементи теорії ймовірностей Події. Алгебра подій. Простір елементарних подій. Класична ймовірність. Незалежні

події. Умовна ймовірність. Теореми про множення та додавання ймовірностей. Формула повної ймовірності.

Загальна методика розв’язування нерівностей. Ірраціональні нерівності Метод інтервалів, його особливості. Метод змійки, як частковий випадок методу

інтервалів. Метод рівносильних перетворень. Ірраціональні нерівності.

Логарифмічні й показникові рівняння та нерівності Логарифмічна та показникова функції та їхні властивості. Найпростіші показникові та

логарифмічні рівняння та нерівності. Розв'язування показникових і логарифмічних рівнянь і нерівностей.

Тригонометричні нерівності Загальні розв'язки елементарних тригонометричних нерівностей. Тригонометричні

нерівності. Графічні методи.

Многогранники Паралелепіпед. Призма. Піраміда. Побудова та обчислення площ перерізів. Площа

поверхні та об’єм. Застосування теореми про три перпендикуляри. Комбінації многогранників. Правильні многогранники. Контрольна робота за темою, винесеною на дистанційне навчання.


І. Контрольна робота № 5 на закріплення матеріалу, прочитаного на зимовій сесії. ІІ. Тема № 2 для самостійного опрацювання ”Розв’язування логарифмічних рівнянь”. ІІІ. Контрольна робота № 6 за темою № 2, винесеною на самостійне вивчення. IV. Підсумкова контрольна робота № 7. V. Індивідуальні консультації.

10


Стереометрія. Тіла обертання

Циліндр. Конус, зрізаний конус. Куля. Комбінації тіл обертання та тіло обертання з многогранниками. Об’єм і площа поверхні тіл обертання.

Рівняння та нерівності з параметрами Залежність кількості розв'язків рівнянь, нерівностей і їх систем з параметрами та

властивостей цих розв'язків від значення параметра. Параметр як рівноправна змінна. Властивості функцій в задачах з параметрами. Аналітичні та графічні методи розв'язування задач з параметрами.

Застосування інтеграла Первісна. Невизначений та визначений інтеграл. Геометричний зміст визначеного

інтеграла. Застосування визначеного інтеграла до знаходження площ криволінійних фігур та різні задачі з алгебри та геометрії.

Елементи статистики Статистика та її методи. Набір експериментальних даних, вибірка. Наочне представлення

статистичного розподілу. Точковий та інтервальний розподіл частот. Полігон та гістограма. Мода і медіана. Завдання математичної статистики.

Планіметрія. Повторення

Співвідношення між елементами трикутника. Теореми синусів та косинусів. Квадрат. Ромб. Прямокутник. Паралелограм. Трапеція. Чотирикутник. Коло. Розв’язування задач з планіметрії.

Мішані системи рівнянь та нерівностей

Рівняння з додатковими умовами. Системи рівнянь, у яких одне алгебраїчне (многочленне), а інше містить тригонометричні функції. Мішані системи нерівностей. Підсумкова контрольна робота.

11

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Вишенський В. А., Ганюшкін О. Г., Карташов М. В. та ін. Українські математичні олімпіади: Довідник. – К.: Вища школа, 1993. – 415 с. 2. Вишенський В. А., Золотарьов В. О. та ін. Математика: завдання та тести: Посібник-довідник для вступників до вищих навчальних закладів. – Ч. 1. – К.: Ґенеза, 1993. – 368 с. 3. Гайштут А. Т., Ушаков Р. П. Сборник задач по математике с примерами решений. – К.: А. С. К., 2002. – 592 с. 4. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. 2-е изд., перераб. и допол. – К.: Евроиндекс Лтд, 1995. – 336 с. 5. Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика. Справочные материалы. – М.: Просвещение, 1988. – 416 с. 6. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з математики: Алгебра та початки аналізу. 11 клас / За ред. З. І. Слєпкань. – Х.: Гімназія, 2002. – 160 с. 7. Коваль Т. В. 400 задач з математичних олімпіад: 8-11 класи. – Тернопіль: Мандрівець, 2002. – 150 с. 8. Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – М.: Просвещение, 1990. – 416 с. 9. Математика: Зб. тест. завдань для підготов до зовніш. незалеж. оцінювання / Ю. О. Захарій-ченко, О. В. Школьний. – К.: Ґенеза, 2008. – 104 с.: іл. 10. Новосад В. П., Селіверстов Р. Г. Посібник з математики для вступників до ЛРІДУ НАДУ при Президентові України. – 4-те вид., перероб. і допов. – Львів: ЛРІДУ НАДУ, 2006. – 152 с. 11. Олехник С. Н., Потапов М. К., Пасиченко П. И. Нестандартные методы решения уравнений и неравенств. – М.: МГУ, 1991. – 144 с. 12. Погорєлов О. В. Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10-11 кл. серед. шк.– 2-ге вид. – К.: Освіта, 1995.– 128 с. 13. Прасолов В. В., Шарыгин И. Ф. Задачи по стереометрии. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. – (Б-ка мат. кружка). – 272 с. 14. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, ч. І.– М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – (Б-ка мат. кружка). – 272 с. 15. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии, ч.ІІ.– М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. – (Б-ка мат. кружка). – 288 с. 16. Сарана О. А. Математичні олімпіади: просте і складне поруч. – К.: А.С.К., 2004. – 360 с. 17. Сборник задач по математике для поступащих во вузы: учеб. пособие В. К. Егерев, Б. А. Кордемский, В. В. Зайцев и др.; Под ред. М. И. Сканави. 6-е изд., стер. – М.: Высш. шк. 1992. –528 с.: ил. 18. Симонов А. Я., Бакаєв Д. С., Эпельман А. Г. и др. Система тренировочных задач и упражнений по математике. – М.: Просвещение, 1991. – 208 с. 19. Титаренко О. М. Форсований курс шкільної математики: Навчальний посібник. – Харків: Торсінг плюс, 2008. – 368 с. 20. Титаренко О. М. 5770 задач з математики. 2-ге вид., випр. – Харків: Торсінг плюс, 2004. – 336 с. 21. Тихомиров В. М. Рассказы о максимумах и минимумах. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. – 160 с. (Б-чка "Квант"). 22. Шарова Л. І. Рівняння і нерівності. – К.: Вища школа, 1981. – 280 с. 23. Шкіль М. І., Колесник Т. В., Хмара Т. М. Алгебра і початки аналізу: Проб. підруч. для 11 кл. шк. та кл. з поглибл. вивченням математики. – К.: Освіта, 1994. – 304 с. 24. Шкіль М. І., Слєпкань З. І., Дубинчук О. С. Алгебра і початки аналізу: Проб. підруч. для 10-11 кл. серед. шк. – К.: Зодіак-ЕКО, 1995. – 608 с.

12

ОРІЄНТОВНА ТЕМАТИКА НАУКОВО-ДОСЛІДНИЦЬКИХ РОБІТ 1. Опуклі функції та їх застосування у класичних нерівностях. 2. Застосування теореми Безу і Вієта та їх узагальнення. 3. Оцінка доходів від цінних паперів. 4. Коло дев’яти точок. 5. Теорія ігор. Матричні та позиційні ігри. 6. Представлення тригонометричних функцій степеневими рядами. 7. Теорія Рамсея: дещо про симетричність розфарбувань відрізків. 8. Теорія лишків. 9. Застосування геометрії мас в інших науках. 10. Булеві структури. 11. Лінйне програмування. 12. Елементи комбінаторики. Біном Ньютона. 13. Метод математичної індукції 14. Задачі на екстремум. 15. Геометричне місце точок. 16. Арістотелева силогістика з точки зору формальної логіки. 17. Мінімальні та максимальні властивості геометричних фігур. 18. Інверсія. 19. Комбінаторна геометрія. 20. Нерівності і геометрія. 21. Метод Монте-Карло. 22. Застосування комплексних чисел до розв’зування геометричних завдань. 23. Екстремальні мініатюри для трикутників. 24. Визначники другого і третього порядків. 25. Вектори та їх застосування. 26. Елементи сферичної геометрії. 27. Основи страхової статистики.. 28. Симетричні підмножини при розфарбуванні скінченних фігур на площині. 29. Теорія графів. Задача Рамсея. 30. Диференціальні рівняння першого порядку. 31. Центральне і паралельне проектування. 32. Інтеграл та його застосування. 33. Векторний розв’язок афінних задач. 34. Метод траєкторій в задачах комбінаторики. 35. Введення в математичну логіку. Логічні парадокси. 36. Дослідження функцій на максимум та мінімум за допомогою другої похідної. 37. Вивчення топологічних властивостей фігур. 38. Випуклі фігури. Теорема Хеллі. Її застосування. 39. Симетричні ланцюгові дроби.Дробово-лінійні відображення. 40. Деякі питання визначеного та невизначеного інтеграла. 41. Вектори в просторі , властивості та застосування. 42. Компактно орієнтовані і неорієнтовані поверхні. 43. Розв’язування кубічних рівнянь. 44. Стратегія азартних ігор із застосуванням теорії ймовірностей. 45. Рівняння з параметрами. 46. Деякі застосування теорії чисел. 47. Комплексні числа, застосування, властивості. 48. Геометрія в просторі. 49. Максимальні і мінімальні властивості геометричних фігур. 50. Розв’язування рівнянь методом нерухомої точки. 51. Ланцюгові дроби та календарні системи.

13

52. Метод координат . Чотиривимірний простір. 53. Опуклі фігури сталої ширини. 54. Елементи математичної логіки і теорема Генделя про неповноту. 55. Теорія Галуа. 56. Ейлерові характеристики топологічних фігур. 57. Рівняння, що містять функції взяття цілої та дробової частини числа. 58. Використання чисел Фібоначі. 59. Опуклі функції і застосування їх в класичних нерівностях. 60. Геометрія мас, властивості, застосування в задачах. 61. Застосування диференціальних рівнянь до природничих та економічних задач. 62. Задачі комбінаторної геометрії. 63. Функціональні рівняння. 64. Нерівність Коші і задачі на екстремум. 65. Модель ринку цінних паперів з дискретним часом. 66. Математичні більярди.

14

ВИМОГИ ДО НАПИСАННЯ УЧНІВСЬКОЇ НАУКОВО-ДОСЛІДНИЦЬКОЇ РОБОТИ

З МАТЕМАТИКИ

Однією з важливих форм роботи з обдарованими школярами в Малій академії наук є індивідуальна науково-дослідницька робота учнів під керівництвом вчених. До занять за індивідуальним планом допускаються ті учні старших класів, які успішно вчаться у школі, виявляють глибокі знання з математики на заняттях гуртків чи на тестуваннях у Малій академії наук та мають здібності до наукової праці. Учнівська науково-дослідницька робота може бути реферативною, експериментальною, теоретичною. Для її написання юному дослідникові потрібні не тільки грунтовні знання з математики, але й обізнаність з вимогами до написання та оформлення роботи. Праця над науково-дослідницькою роботою проходить такі етапи:

1) вибір теми; 2) консультації з науковим керівником; 3) ознайомлення з науковою літературою; 4) вибір методики дослідження, складання плану, визначення структури роботи; 5) написання тексту наукової роботи; 6) його оформлення; 7) публічний захист.

Вибір теми

Наукове дослідження розпочинається з вибору теми. Найчастіше її пропонує науковий

керівник, хоча учень може обрати її самостійно (якщо він має власні уподобання в науці і добре орієнтується в перспективних напрямках наукових досліджень). Теми повинні бути новими або недостатньо вивченими і при цьому цікавими, доступними для юного віку, тобто не надто складними і загальними. Отже, основними вимогами до тематики науково-дослідницьких робіт є актуальність, новизна і перспектива застосування.

Назва наукової роботи повинна бути лаконічною, короткою, відповідати суті вирішеної наукової проблеми (задачі), вказувати на мету дослідження та його завершеність. У назві не слід використовувати ускладнену термінологію.

Консультації з науковим керівником

Це систематичний творчий процес, напружена співпраця досвідченого науковця і молодого початківця. На одній із перших консультацій складається попередній план науково-дослідницької роботи, окреслюються окремі її розділи, визначається графік написання вступу, основної частини, висновків та термін закінчення чорнового варіанту роботи.

Учневі, який ще не має досвіду наукової роботи, найважче дається основний етап написання тексту роботи. Його необхідно привчити систематично думати, писати, шукати варіанти, переробляти написане. Наукову роботу слід сприймати не лише як напружену працю, а й як насолоду пошуку, радість відкриття, почуття гордості за скромний, але власний внесок у благородну справу науки.

Ознайомлення з науковою літературою

Ознайомитися з науковою літературою, що стосується обраної теми, допоможуть систематичний та алфавітний каталоги, різні бібліографічні покажчики, які є у міських бібліотеках. Літературу доцільно записувати на окремі картки, зазначаючи прізвище та ініціали автора, назву збірника чи окремої статті, місце і рік видання, назву видавництва чи журналу та кількість сторінок. Наприклад: 1. Погорєлов О.В. Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10 - 11 кл. серед. шк. – 2-ге вид.

15

– К.: Освіта, 1995. – 128 с. 2. Збірник завдань для державної підсумкової атестації з алгебри. 9 клас. За редакцією З.І.Слєпкань. – Харків, ”Гімназія”, 2001. – 128 с. 3. Математика : словник-довідник / [авт.-уклад. Ципін В.Л.]. – Х.: Халімон, 2006. – 175 с.

Після опрацювання літератури, її необхідно впорядкувати в алфавітному порядку, а також систематизувати відповідно до основної проблематики роботи.

Опрацьовуючи теоретичні джерела, варто звернути також увагу на посилання і список уже використаної літератури. Це суттєво доповнить бібліографію власного дослідження.

Процес і техніка написання науково-дослідницької роботи

Отже, матеріал для науково-дослідницької роботи в основному зібрано. Тепер остаточно погоджено з керівником план наукової роботи, остаточно визначено кількість розділів, сформульовано їхні назви.

Традиційно структура наукової роботи містить такі компоненти: – титульний аркуш (зразок див. у додатку) – зміст; – вступ; – основна частина, що складається з окремих розділів і параграфів; – висновки; – список використаної літератури. Можливі також список умовних позначень (при необхідності), додатки (при

необхідності) тощо.

Титульний аркуш Титульний аркуш містить назву міністерства, територіальне відділення МАН, а також

відомості про базовий науковий, вищий навчальний або навчальний (школа, позашкільний заклад) заклад, у якому виконана наукова робота, прізвище, ім’я, по батькові автора, його звання (кандидат у члени МАН, дійсний член МАН), назву наукової роботи, науковий ступінь, вчене звання, прізвище, ім’я, по батькові наукового керівника (чи консультанта), село, місто (область), рік подання на конкурс.

Зміст

Це друга після титульного аркушу сторінка, в якому визначена структура (план) наукової роботи з назвами розділів, підрозділів та номерів початкових сторінок. Він може бути оформлений як простий чи розгорнутий план.

Вступ

У вступі необхідно розкрити актуальне значення, новизну дослідження (проблеми) та стан його вивчення.

Поняття “актуальність” означає корисність, доцільність розробки даної теми для сучасної науки. При обгрунтуванні актуальності необхідно вказати ступінь внеску в розробку конкретної проблеми тих учених, хто займався нею раніше.

Новизна роботи зумовлюється кількома чинниками: – уточнюються окремі поняття з огляду на нові наукові дані; – пропонується новий підхід у дослідженні розв’язання якоїсь задачі; – ставляться завдання, які не з’ясовували попередники; – в науковий обіг вводяться нові факти. Ступінь новизни учнівської роботи буває різний. Після визначення актуальності проблеми наукової роботи формулюється мета та

завдання дослідження, обґрунтовується важливість його проведення.

16

Мета роботи формулюється лаконічно, але повно. Не слід формулювати мету як “Досягнення...”, “Вивчення...”, тому що ці слова вказують на засіб досягнення мети, а не саму мету.

Формулювати завдання роботи зручно за допомогою таких дієслів: з’ясувати, описати, показати, сформулювати, висвітлити, здійснити та ін. Кожне положення краще виділити абзацом.

Ще у вступі потрібно відобразити практичне або теоретичне значення наукової роботи. Крім того, повідомляється про те, на яких конкурсах, науково-практичних конференціях, інших заходах оприлюднено результати досліджень (апробація результатів). Якщо за наслідками наукового дослідження є публікації в учнівській пресі, різних регіональних виданнях, обов’язково вказується їх кількість.

На закінчення вступу автор повинен коротко охарактеризувати принципи розміщення матеріалу і напрям висвітлених тем у кожному розділі, аргументувати вибір композиції своєї праці.

Орієнтовний обсяг вступу – 2-3 сторінки.

Основна частина Основу науково-дослідницької роботи становить текст, у якому автор викладає свої

міркування, спостереження про об’єкт дослідження, здійснює аналіз, зіставляє факти, узагальнює досліджувані проблеми.

Основна частина наукової роботи складається з 2-4 розділів, у яких можливі підрозділи, параграфи, пункти, підпункти тощо. Кожний розділ починають з нової сторінки. У розділах основної частини подають: загальну методику, методи досліджень та вирішення задач; результати теоретичних або експериментальних досліджень, їх аналіз та узагальнення, а також огляд літератури за обраною темою. При цьому враховується впровадження автором якісних форм і методів досліджень, викладення матеріалу за принципами: послідовності, науковості та системності; самостійності й актуальності у процесі опрацювання наукової роботи, практичної спрямованості дослідження. Виклад матеріалу підпорядковується одній провідній ідеї, чітко визначеної автором. У розділі “Огляд літератури” необхідно, посилаючись на різні видання, висвітлити основні етапи розвитку наукової думки за визначеною проблемою. Стисло характеризуючи напрацювання науковців, дослідників, які використані автором наукової роботи, слід обґрунтувати доцільність вибору проблеми та визначити значення подальшої роботи над нею. При цьому у списку використаних джерел обов’язково вказати авторів запозичених матеріалів та видання, в яких вони друкувалися. У роботах або розділах теоретичного характеру розкриваються методи розрахунків, гіпотези, що розглядаються. В експериментальних –принципи і характеристики використаних приладів, апаратури, а також методів математичної та інших форм обробок отриманих результатів. У наступних розділах автор наукової роботи викладає результати власних досліджень, аналізує та обґрунтовує їх. При оформленні результатів наукової роботи необхідно посилатися на авторів та джерела, з яких використано окремий матеріал. У випадках використання запозичених матеріалів з наукових праць, досліджень без посилання на їх авторів науково-дослідницька робота знімається з конкурсу-захисту незалежно від стану проходження.

Обсяг основної частини 15-20 сторінок.

Висновки Ця композиційна частина займає небагато місця в тексті науково-дослідницької роботи,

проте за своїм значенням особливо важлива. Якщо у “Вступі” автор мусить розкрити історію питання, спрогнозувати власні завдання, окреслити проблеми, порушені навколо досліджуваної теми, то “Висновки” не повинні мати зайвих слів, в них необхідно відобразити найважливіші результати досліджень, звернути увагу на якісні та кількісні показники здобутих результатів, викласти рекомендації щодо їх використання. При цьому необхідно з’ясувати, що використано

17

з досліджень попередників, а що внесено свого, які проблеми залишаються нерозв’язаними і чому, які можливі перспективи у дослідженні цієї теми.

Не можна “Висновки” подавати як стислий чи розгорнутий переказ того, що зроблено у кожному розділі науково-дослідницької роботи, або ж як звичайний перелік питань, проблем і т.п.

Орієнтовний обсяг висновків – 2-3 сторінки.

Список використаної літератури Список літератури логічно доповнює і завершує виконану роботу. Він включає в себе не

лише ті роботи, з яких наводилися цитати, але й основні праці, статті з досліджуваної проблеми, які учень опрацював і творчо використав при написанні науково-дослідницької роботи. Список використаних джерел розміщується в порядку згадування джерел у тексті їх наскрізною нумерацією або за абеткою. Іншомовні джерела слід розміщувати після україномовних (за латинським алфавітом). Бібліографічний опис джерела в списку літератури подається за такими правилами:

1. Для книг треба вказати: прізвище та ініціали авторів, назву книги, її підзаголовок, місце і назву видавництва, рік видання, кількість сторінок.

2. Для журнальних статей вказують: прізвище та ініціали авторів, повністю назву статті, скорочену назву журналу, рік, номер тому або випуску, сторінки.

3. Для статей із книги та неперіодичних збірників повинні бути вказані прізвище та ініціали авторів, назва статті, видання, в якому вміщена стаття, місце видання, видавництво, рік видання, сторінки.

Деякі зразки бібліографічного опису подані в додатку 2.

Перелік умовних позначень У випадку вживання у науковій роботі специфічної термінології або маловідомих

скорочень, нових символів і т. ін., після другої сторінки (змісту) необхідно нанести їх перелік окремою сторінкою. Перелік слід друкувати двома колонками за абеткою: зліва, у першій колонці – скорочення, справа – розшифровку.

Додатки

Додатки – необов’язкова частина учнівської науково-дослідницької роботи. Проте вони бувають дуже цінними для молодого дослідника. За необхідністю до додатків доцільно включити проміжні математичні доведення, формули та розрахунки: таблиці допоміжних даних, схеми, ілюстрації допоміжного характеру, протоколи випробувань, опис алгоритмів, і програм вирішення задач на ЕОМ і т. ін.

Додатки мають власну нумерацію, саме слово “Додаток” розміщують у правому верхньому кутку сторінки, через два інтервали з великої букви, посередині подається назва додатка.

Правила оформлення наукової роботи

При оцінці наукової роботи враховують не тільки її зміст, але й оформлення. Сюди

входить зовнішній вигляд роботи: охайність, грамотність, естетичне оформлення, цитування, правильні посилання на наукові джерела, бібліографія, ілюстрації, додатки тощо. Тематика науково-дослідницьких та експериментальних робіт не обмежується. Робота оформляється за схемою курсової (дипломної) роботи вищих навчальних закладів.

Оформлення роботи починається з титульної сторінки, де обов’язково вказується повна назва Малої академії наук чи її філіалу, назва секції, тема роботи (без лапок), ім’я та прізвище автора, школа, клас, прізвище та ініціали наукового керівника, його вчений ступінь, звання (якщо вони є). На другій сторінці подається зміст роботи, зазначається обсяг сторінок кожного із структурних елементів плану. З третьої сторінки власне і починається виклад тексту роботи (вступ).

18

Заголовки структурних частин роботи “Зміст”, “Вступ”, “Розділи”, “Висновки”, “Список літератури”, “Додатки” друкуються великими літерами симетрично до тексту. Заголовки підрозділів друкуються маленькими літерами (перша велика) з абзацу (5 знаків). Крапка в кінці заголовка не ставиться.

Відстань між заголовком та текстом повинна дорівнювати 3-4 інтервали. Кожну структурну частину наукової роботи слід починати з нової сторінки. Нумерація сторінок, розділів, підрозділів, пунктів здійснюється арабськими цифрами без

знака №. Першою сторінкою наукової роботи є титульний аркуш, який включають до загальної

нумерації сторінок, але на ньому № сторінки не проставляється. На наступних сторінках їхній номер проставляють у правому верхньому куті сторінки без крапки в кінці.

Підрозділи нумеруються у межах кожного розділу. Номер підрозділу складається з номера розділу і порядкового номера підрозділу, наприклад 2.3 (третій підрозділ другого розділу). Потім у тому ж рядку йде заголовок підрозділу.

Кожна робота повинна ґрунтуватись на певній науковій базі (посилання на відповідну літературу, її перелік) і відображати власну позицію дослідника. Наукова база зазначається в кінці роботи у вигляді списку використаної літератури.

Наукова робота обов’язково підлягає оцінці відповідними фахівцями (досвідченим вчителем, науковцем, спеціалістом певної галузі). Роботи повинні бути виконані державною мовою. Вписувати в текст наукової роботи окремі іншомовні слова, формули, умовні знаки можна чорнилом, тушшю, пастою чорного кольору, але при цьому щільність написаного тексту повинна бути наближеною до щільності основного тексту. Друкарські помилки можна виправляти підчищенням або білою фарбою і нанесенням на тому ж місці тексту машинописним способом. Обсяг науково-дослідницької роботи не повинен перевищувати 30 друкованих сторінок. Оригінал друкується на папері формату А-4 через 1,5 інтервали (комп’ютерного набору). Відтиски на папері повинні бути чіткими.

Розмірні показники друку: – в одному рядку 60 2 знаки з урахуванням пропусків між словами; – абзацний відступ 3-5 символів; – на одній сторінці суцільного тексту 40 2 рядки; – верхнє, ліве та нижнє поля 20 мм, праве - 10 мм; – заголовки відокремлюються від тексту зверху і знизу 3 інтервалами.

Другий екземпляр роботи учень бере з собою і на його основі здійснює захист.

Ілюстрації Ілюстрації (карти, схеми, фотографії, діаграми, креслення) та таблиці необхідно подавати після тексту, де вони згадані вперше, або на наступній сторінці. Ілюстрації позначають словом “Рис.” і нумерують послідовно в межах розділу, за виключенням ілюстрацій, поданих у додатках. Номер ілюстрації складається з номера розділу і порядкового номера ілюстрації, між якими ставиться крапка, наприклад, “Рис.1.2.” (другий рисунок першого розділу). Номер рисунку, його назва та пояснювальні підписи розмішують послідовно ілюстрацією.

Таблиці Таблиці нумерують послідовно (за винятком таблиць, поданих у додатках) в межах розділу, наприклад: ”Таблиця 1.2” (друга таблиця першого розділу), та розміщують цей напис у правому верхньому куті над відповідним заголовком таблиці.

19

Формули

Пояснення значень символів і числових коефіцієнтів треба подавати безпосередньо під формулою в тій послідовності, в якій вони наведені у формулі. Значення кожного символу та числового коефіцієнта треба подавати з нового рядка. Рівняння та формули треба виділяти з тексту вільними рядками (вище та нижче кожної формули). Якщо рівняння не вміщується в один рядок, його слід перенести після знака рівності (=) або після знаків плюс (+), мінус (-), множення (*) і ділення (:).

Посилання При написанні наукової роботи необхідно посилатися на джерела, що дає змогу відшукати документи і перевірити достовірність відомостей про цитування документа. Посилатися слід на останні видання публікацій. У тексті наукової роботи посилення на джерела слід зазначати порядковим номером за переліком посилань, виділеним квадратними дужками, наприклад, «... в роботах (1-4)...». Можливе посилання у виносках, при цьому оформлення посилань повинне відповідати його бібліографічному опису за переліком посилань із зазначенням номера.

Підготовка науково-дослідницької роботи до захисту

Після написання роботи автор повинен перевірити усі цитати, посилання, власні назви тощо. У роботі неприпустимі мовні помилки, тому слід уважно прочитати текст. Після перевірки керівником робота передруковується, ще раз вичитується.

Апробація роботи відбувається на занятті математичного гуртка. Протягом 5-7 хвилин учень викладає суть проблеми і вказує, до яких висновків він дійшов. Учні, учасники ставлять питання доповідачу, рецензують його виступ.

Основну оцінку ставлять науковий керівник та методист секції. Учнівські науково-дослідницькі роботи здаються на рецензію викладачам відповідних кафедр за 1-2 тижні до проведення обласного конкурсу, який проходить у три етапи:

І – конкурс науково-дослідницьких робіт (рецензування); ІІ – тестування з математики; ІІІ – захист науково-дослідницьких робіт.

Захист науково-дослідницької роботи

Для виступу-захисту науково-дослідницької роботи відводиться 7-10 хвилин. Під час

захисту враховуються: – аргументоване доведення проблеми з урахуванням власного викладу дослідника 14 балів; – чіткість, логічність викладу матеріалу 8 балів; – повнота, вичерпність відповідей 8 балів; – культура мовлення 3 бали; – доцільність, якість і вміння використовувати наочні матеріали 3 бали; – активна кваліфікована участь у веденні дискусії 3 бали. Максимальна кількість – 39 балів. Написаний текст виступу потрібно адаптувати до усного виголошення, враховуючи при

цьому особливості усного і писемного мовлення. У тексті доповіді, підготовленої до читання, треба виділити ті місця, які будуть переказуватися, супроводжуватися демонстрацією, показом ілюстративного матеріалу та ін. (доповідач повинен якнайчастіше відриватися від тексту, щоб побачити своїх слухачів, відчути їхню реакцію на свій виступ). Звичайно, найкраще враження викликає не читання, а переказ основних положень доповіді.

Останній етап захисту – відповіді на запитання слухачів. Не слід відбуватися загальними фразами “із зауваженнями погоджуюся” чи “не погоджуюся”, адже вони не відображають

20

власної позиції автора дослідження. Відповіді на запитання слухачів повинні бути глибокими, грунтовними і доброзичливими. Відстоюючи власну думку, пам’ятайте про такт під час полеміки.

Кожна робота, що подається на конкурс-захист науково-дослідницьких робіт учнів МАН, повинна мати відгук наукового керівника та рецензію викладача провідної кафедри.

Відгук керівника роботи

Повністю завершену, переплетену роботу учень передає науковому керівникові для відгуку. У відгуку (обсягом 1-2 сторінки) керівник характеризує напрям дослідження юного науковця, труднощі, які той подолав, указує на здобутки і недоліки самої роботи. Науковий керівник своїм відгуком повинен документально підтвердити, що науково-дослідницька робота завершена і учень допускається до її захисту.

Рецензія

Рецензент дає розгорнуту оцінку наукової роботи. За потребою підпис у рецензії завіряється печаткою.

21

ДОДАТКИ до написання науково-дослідницької роботи

Додаток 1. ЗРАЗОК ОФОРМЛЕННЯ ЗМІСТУ

Тема: Теорія Рамсея

ЗМІСТ

Вступ 3

Розділ І. Головоломка про вечірку 4

Розділ ІІ. Узагальнена теорія Рамсея 6

Розділ ІІІ. Теорія Рамсея та арифметичні прогресії 12

Розділ IV. Теорія Рамсея та гра ”хрестики-нулики” 15

Висновки 18

Список використаної літератури 19

Тема: Визначники другого і третього порядків

ЗМІСТ

Вступ........................................................................................……………………………………3 Розділ І 1.1. Визначники другого порядку............................................................................................5 1.2. Визначники третього порядку.........................................................................................11 Розділ ІІ. Основні властивості визначників...............................................................................19 Розділ ІІІ 3.1. Однорідна система двох лінійних рівнянь з трьома змінними.........……..……………24 3.2. Система трьох лінійних рівнянь......................................................................................27 3.3. Однорідна система трьох лінійних рівнянь....................................................................30 Висновки……………………….....................…………………………………………………...35 Список використаної літератури.…………..…………………………………………………..37

22

Додаток 2 Приклади оформлення бібліографічного опису

і списку джерел, який наводиться у науковій роботі

Характеристика джерела Приклад оформлення

Книги:

Один автор

Погорєлов О.В. Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10 - 11 кл. серед. шк. – 2-ге вид. – К.: Освіта, 1995. – 128 с.

Два автори Гаук М.М., Зубович Л.В. Самостійні та контрольні роботи. Алгебра. 8 клас. – Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 1998. – 112 с.

Три автори

Коваленко В.Г., Кривошеєв В.Я., Старосєльцева О.В. Алгебра: Експерим. навч. посібник для 9 кл. шк. з поглибл. вивченням математики і спеціалізов. шк. фізико-мат. профілю. – 2-ге вид. – К.: Освіта, 1996. – 288 с.

Чотири автори

1. Математика, 10 кл.: Зб. завдань для тематичного оцінювання знань. Метод. рекомендації / Н.С.Прокопенко, А.Г.Мерзляк, В.Б.Болонський, М.С.Якір. – 2-ге вид., із змінами. – К.: КІМО, 2001. – 64 с. 2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Рабінович Ю.М., Якір М.С. Збірник задач і контрольних робіт з геометрії для 8 класу. – Харків, ”Гімназія”, 1998. – 128 с.: іл..

П’ять і більше авторів

Математика: Посібник для шк. та кл. з поглибл. вивченням математики / Л.М.Вивальнюк, М.М.Мучар, О.І.Соколенко та ін. – К.: Освіта, 1998. – 301 с.

Без автора Збірник завдань для державної підсумкової атестації з алгебри. 9 клас. За редакцією З.І.Слєпкань. – Харків, ”Гімназія”, 2001. – 128 с.

Багатотомний документ

Бондаренко В.Г., Канівська І.Ю., Парамонова С.М. Теорія ймовірностей і математична статистика. Ч.1. – К.: НТУУ "КПІ", 2006. – 125 с.

Довідники

1. Генденштейн Л.Е., Єршова А.П., Єршова Г.С. Наочний довідник з алгебри та початків аналізу з прикладами для 7-11 класів. – Харків, ”Гімназія”, 1997. – 96 с. 2. Математика : словник-довідник / [авт.-уклад. Ципін В.Л.]. – Х.: Халімон, 2006. – 175 с.

Частина книги Кушнір І., Фінкельштейн Л. Рівняння з одним невідомим. // Алгебра: від опанування до захоплення. Посібник для учнів 7-9 класів. – К: Факт, 2002. – С. 32-60.

Опис статті в періодичному

збірнику

Ушаков Р.П. Про подільність чисел і многочленів // Математика в школах України. – 2004. – № 4 (52).

Опис газетної статті Савченко Л.. Розв’язування задач з алгебри. 9 клас. // Математика. – 2006. – № 29-30(377-378), серпень. – С. 29 – 52.

23

Додаток 3 ЗРАЗОК ОФОРМЛЕННЯ ТИТУЛЬНОЇ СТОРІНКИ

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ГОЛОВНЕ УПРАВЛІННЯ ОСВІТИ І НАУКИ ЛЬВІВСЬКОЇ ОБЛДЕРЖАДМІНІСТРАЦІЇ ЛЬВІВСЬКА ОБЛАСНА МАЛА АКАДЕМІЯ НАУК

(розмір шрифта –14 великі букви)

Секція математики (розмір шрифта –14)

ГЕОМЕТРІЯ МАС (розмір шрифта –18)

Роботу виконала: Винницька Марта Ярославівна,

учениця 11 класу СЗШ №76 м. Львова

Науковий керівник: Юрчишин Андрій Степанович,

асистент Львівського національного університету ім.І .Франка

(розмір шрифта –14)

Львів – 2006 (розмір шрифта –14)

24

ПЛАНИ ДО ЛЕКЦІЙ


Тема № 1: ”Загальна методика розв’язування рівнянь. Ірраціональні рівняння” План до теми: 1. Поняття розв’язку рівняння. 2. Область визначення рівняння. 3. Рівняння-наслідок. Метод рівнянь-наслідків. 4. Сторонні розв’язки. 5. Рівносильні рівняння. Метод рівносильних перетворень. 6. Ірраціональні рівняння. 7. Типові помилки під час перетворення рівнянь, які ведуть до втрати розв’язків. 8. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: рівняння; розв’язок рівняння; область визначення; рівняння-наслідок; сторонні

корені; втрата коренів; рівносильні рівняння; ірраціональні рівняння; метод рівнянь-наслідків; метод рівносильних рівнянь; перетворення рівнянь; типові помилки.

Учні повинні: знати – означення рівняння; – означення кореня рівняння; – означення області визначення рівняння; – означення дійсних чисел; – означення ірраціональних рівнянь; – означення рівносильних рівнянь; – метод рівнянь-наслідків; – метод рівносильних перетворень. уміти – розпізнавати ірраціональні рівняння серед інших рівнянь; – знаходити область визначення рівняння; – розв’язувати рівняння-наслідки; – застосовувати метод рівнянь-наслідків; – знаходити сторонні розв’язки; – застосовувати метод рівносильних перетворень; – розв’язувати ірраціональні рівняння. Тема № 2: ”Границя функції. Похідна. Застосування похідної” План до теми: 1. Границя функції. Неперервність функції. 2. Чудові границі. 3. Поняття похідної.

3.1. Механічний зміст похідної. 3.2. Геометричний зміст похідної.

4. Теореми про похідні, похідна складеної функції. 5. Застосування похідної

25

5.1. До дослідження функцій на екстремум. 5.2. Знаходження найбільшого та найменшого значення функції на проміжку.

6. Рівняння дотичної до графіка функції. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: границя функції; неперервність функції; приріст аргументу; приріст функції;

чудові границі; похідна; механічний зміст похідної; геометричний зміст похідної; теореми про похідні; складена функція; дослідження функції; критична точка; стаціонарна точка; екстремум; локальний екстремум; найбільше значення функції на проміжку; найменше значення функції на проміжку; рівняння дотичної; .

Учні повинні: знати – означення границі функції; – означення неперервності функції в точці; – означення похідної; – правило знаходження похідної; – механічний зміст похідної; – геометричний зміст похідної; – таблицю похідних елементарних функцій; – правила обчислення похідних суми, добутку, частки двох функцій; – означення критичної та стаціонарної точок; – необхідну умову існування екстремуму функції; – правила дослідження функції на екстремум; – означення найбільшого і найменшого значень неперервної функції; – правила знаходження найбільшого і найменшого значень неперервної функції. уміти – обчислювати границі функцій; – знаходити похідні елементарних функцій; – знаходити похідні суми, добутку, частки двох функцій; – знаходити похідну складеної функції; – знаходити числове значення похідної функції для даного значення аргументу; – знаходити екстремуми функцій за допомогою похідних; – знаходити найменше і найбільше значення функції на проміжку; – складати таблицю результатів дослідження функції; – будувати графік функції; – складати рівняння дотичної до графіка функції; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач. Тема № 3: ”Елементи комбінаторики” План до теми: 1. Поняття множини. 2. Операції над множинами. 3. Перестановки, розміщення, комбінації без повторень. 4. Перестановки, розміщення, комбінації з повтореннями. 5. Трикутник Паскаля. 6. Комбінаторні задачі. 7. Біном Ньютона. 8. Завдання для самостійної роботи.

26

Ключові слова: множина; підмножина; елементи множини; порожня множина; знаки включення; переріз множин; об’єднання множин; .різниця множин; доповнення; комбінаторика; комбінаторні задачі; перестановки; розміщення; комбінації;; впорядкована множина; трикутник Паскаля; біном; формули бінома Ньютона

Учні повинні: знати – означення множини; – означення перерізу множини; – способи задання множини; – означення об’єднання множин; – означення різниці множин; – означення впорядкованої множини; – означення перестановки, розміщення та комбінації; – формули числа перестановок, розміщень та комбінацій; – властивості комбінацій; – означення бінома; – формули бінома Ньютона; – властивості бінома Ньютона. уміти – наводити приклади множин; – задавати множини основними способами; – утворювати підмножини даної множини; – наводити приклади перерізу, об’єднання, та різниці множин, доповнення множини; – символічно записувати ; переріз, об’єднання, та різницю множин, доповнення множини; – знаходити переріз, об’єднання, різницю множин, доповнення множини; – розрізняти види сполук; – знаходити число перестановок, об’єднань, різниць за відповідними формулами; – знаходити n -й член розкладу бінома Ньютона; – розв’язувати комбінаторні задачі. Тема № 4: ”Екстремальні задачі в геометрії” План до теми: 1. Класичні екстремальні задачі. 2. Задача Герона. 3. Використання рухів площини до геометричних екстремальних задач. 4. Нерівності трикутника. 5. Задача Дідони. 6. Задача Шварца. 7. Задача Штейнера. 8. Піфагорійська задача. 9. Використання нерівностей між середніми. Нерівність Коші-Буняковського. 10. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: екстремальні задачі в геометрії; задача Герона; рух площини; нерівність

трикутника; задача Дідони; задача Шварца; задача Штейнера; Піфагорійська задача; середнє арифметичне; середнє гармонічне; середнє геометричне; середнє квадратичне; нерівності між середніми; нерівність Коші-Буняковського.

27

Учні повинні: знати – задачу Герона; – нерівності трикутника; – задачу Дідони; – задачу Шварца; – задачу Штейнера; – Піфагорійську задачу; – означення середніх арифметичного, гармонічного, геометричного, квадратичного; – нерівності між середніми; – нерівність Коші-Буняковського. уміти – розв’язувати класичні екстремальні задачі; – застосовувати задачу Герона до розв’язування задач; – використовувати рухи площини до геометричних екстремальних задач; – застосовувати нерівності трикутника до розв’язування задач; – застосовувати задачі Дідони, Шварца та Штейнера до розв’язування задач; – застосовувати Піфагорійську задачу до розв’язування задач; – застосовувати нерівності між середніми; – застосовувати нерівність Коші-Буняковського до розв’язування екстремальних задач. Тема № 5: ”Паралельне та центральне проектування. Побудова перерізів” План до теми: 1. Зображення просторових фігур на площині. 2. Паралельне проектування, його властивості. 3. Центральне проектування, його властивості. 4. Застосування проектування до побудови перерізів просторових фігур у їх зображеннях на

площині. 5. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: фігура на площині; фігура у просторі; паралельне проектування; центральне

проектування; переріз просторової фігури; зображення просторової фігури на площині.

Учні повинні: знати – означення просторової фігури; – означення паралельного проектування; – властивості паралельного проектування; – означення центрального проектування; – властивості центрального проектування. уміти – зображати просторові фігури на площині; – застосовувати властивості паралельного та центрального проектування; – застосовувати проектування до побудови перерізів просторових фігур.

28

Тема № 6: ”Задачі з параметрами” План до теми: 1. Рівняння з параметром та його розв’язок.

1.1. Запис розв’язку. 1.2. Пошук розв’язків рівнянь.

2. Нерівності з параметром. 2.1. Запис розв’язку. 2.2. Пошук розв’язків нерівностей.

3. Системи рівнянь та нерівностей з параметром. 3.1. Запис розв’язку. 3.2. Пошук розв’язків систем рівнянь та нерівностей.

4. Розгалуження розв’язання задач з параметрами. 5. Задачі з параметрами на кількість розв’язків. 6. Квадратний тричлен в задачах з параметрами. 7. Графічні методи. 8. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: параметр; рівняння з параметром; нерівність з параметром; системи рівнянь та

нерівностей з параметром; запис розв’язку; пошук розв’язків; кількість розв’язків; квадратний тричлен; графічний метод.

Учні повинні: знати – означення рівняння з параметром; – означення нерівності з параметром – означення системи рівнянь та нерівностей з параметром; – означення квадратного тричлена; – графічні методи розв’язування задач з параметрами. уміти – шукати розв’язки рівняння, нерівності; – записувати розв’язки рівнянь та нерівностей; – шукати розв’язки систем рівнянь та нерівностей; – записувати розв’язки систем рівнянь та нерівностей; – розв’язувати задачі з параметрами на кількість розв’язків; – використовувати квадратний тричлен у задачах з параметрами; – застосовувати графічні методи до розв’язування задач з параметрами. Тема № 7: ”Інверсія та її застосування” План до теми: 1. Задача Аполлонія, її узагальнення. 2. Поняття узагальненого кола на площині. 3. Геометричні побудови у часткових і вироджених випадках задачі Аполлонія. 4. Перетворення інверсії та його властивості. 5. Перетворення при інверсії.

5.1. Кіл і прямих. 5.2. Відстаней між точками.

6. Використання інверсії до розв’язування задач. 7. Побудова інверсійної точки. 8. Побудова одним лише циркулем.

29

9. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: інверсія; центр інверсії; коло інверсії; радіус інверсії; образ точки; нерухомі

точки; оборотне перетворення; задача Аполлонія; узагальнене коло; частковий випадок; вироджений випадок; перетворення інверсії; інверсійні точки.

Учні повинні: знати – означення інверсії; – означення центру інверсії – означення індукції; – означення кола інверсії; – означення радіуса інверсії; – властивості інверсії; – задачу Аполлонія та її узагальнення; – означення узагальненого кола на площині; – часткові випадки задачі Аполлонія; – вироджені випадки задачі Аполлонія; – перетворення інверсії; – властивості перетворення інверсії; – означення інверсійної точки. уміти – будувати геометричні побудови у часткових і вироджених випадках задачі Аполлонія; – використовувати інверсію до розв’язування задач; – виконувати побудови інверсійної точки: – виконувати побудови одним лише циркулем.


Тема 1: ”Підсумовування рядів. Розклад функції в степеневий ряд” План до теми: 1. Поняття числового ряду і часткової суми ряду. 2. Знаходження суми числового ряду.

2.1. Метод підсумовування. 2.2. Обчислення часткових сум.

3. Збіжність числового ряду, необхідна умова збіжності. 4. Ознаки збіжності числових рядів. 5. Степеневий ряд. 6. Розклад функції в степеневий ряд. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: числова послідовність; загальний член послідовності; нескінченна сума;

числовий ряд; часткові суми; послідовність часткових сум; збіжний ряд; розбіжний ряд; сума ряду; метод підсумовування; гармонійний ряд; необхідна умова збіжності ряду; ряд з невід’ємним числом; ознака д’Аламбера; знакозмінний ряд; степеневий ряд; розклад функції в степеневий ряд.

Учні повинні: знати – означення числового ряду;

30

– означення часткової суми ряду – означення збіжного ряду; – означення розбіжного ряду; – означення суми ряду; – необхідну умову збіжності ряду; – властивості збіжних рядів; – означення ряду з невід’ємним числом; – ознаку д’Аламбера збіжності ряду з невід’ємним числом; – означення степеневого ряду; – ознаки збіжності числового ряду. уміти – розпізнавати числові ряди; – знаходити суму числового ряду методом підсумовування; – знаходити суму числового ряду методом обчислення часткових сум; – досіджувати числові ряди на збіжність; – розкладати функції в степеневий ряд. Тема 2: ”Елементи теорії ймовірностей” План до теми: 1. Події. Алгебра подій. 2. Простір елементарних подій. 3. Класична ймовірність. 4. Незалежні події. 5. Умовна ймовірність. 6. Теореми про множення та додавання ймовірностей. 7. Формула повної ймовірності. 8. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: подія; ймовірність; попарно несумісні події; сумісні події; однаково неможливі

події; вірогідна подія; неможлива подія; незалежні події; класична ймовірність; .умовна ймовірність;

Учні повинні: знати – означення ймовірності; – означення випадкової подіїї; – означення попарно несумісних подій; – означення сумісних подій; – означення однаково можливих подій; – означення класичної ймовірності; – означення умовної ймовірності; – теореми про множення та додавання ймовірностей; – означення незалежної події; – означення повної ймовірності; – формулу повної ймовірності. уміти – обчислювати за класичним означенням ймовірність подій; – обчислювати ймовірність вірогідної події; – обчислювати ймовірність неможливої події; – обчислювати умовну ймовірність – застосовувати теореми про множення та додавання ймовірностей;

31

– застосовувати формулу повної ймовірності. Тема 3: ”Загальна методика розв’язування нерівностей. Ірраціональні нерівності” План до теми: 1. Метод інтервалів, його особливості. 2. Метод змійки (як частковий випадок методу інтервалів). 3. Метод рівносильних перетворень. 4. Ірраціональні нерівності. 5. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: нерівність; розв’язок нерівності; метод інтервалів; метод змійки; метод

рівносильних перетворень; ірраціональні нерівності. Учні повинні: знати – означення нерівності; – означення розв’язку нерівності; – метод інтервалів; – особливості методу інтервалів; – метод змійки; – метод рівносильних перетворень; – означення ірраціональної нерівності; – методи розв’язання ірраціональних нерівностей. уміти – розпізнавати ірраціональні нерівності серед інших нерівностей; – застосовувати метод змійки до розв’язування нерівностей; – застосовувати метод зінтервалів до розв’язування нерівностей; – застосовувати метод рівносильних перетворень до розв’язування нерівностей; – розв’язувати ірраціональні нерівності. Тема 4: ”Логарифмічні й показникові рівняння та нерівності” План до теми: 1. Логарифмічна функція, її властивості. 2. Показникова функція, її властивості. 3. Найпростіші рівняння та нерівності.

3.1. Показникові. 3.2. Логарифмічні.

4. Розв’язування показникових рівнянь і нерівностей. 5. Розв’язування логарифмічних рівнянь і нерівностей. 6. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: показникова функція; логарифмічна функція; властивості функції; найпростіші

показникові та логарифмічні рівняння; показникові рівняння; логарифмічні рівняння; потенціювання; логарифмічна тотожність; логарифмування; показникові нерівності; логарифмічні нерівності;.

Учні повинні: знати – означення показникової функції;

32

– означення логарифмічної функції; – властивості показникової функції; – властивості логарифмічної функції; – означення логарифмічного рівняння; – основні методи розв’язання логарифмічних рівнянь; – означення показникового рівняння; – основні методи розв’язання показникових рівнянь; – означення логарифмічної нерівності; – основні методи розв’язання логарифмічних нерівностей; – означення показникової нерівності; – основні методи розв’язання показникових нерівностей. уміти – будувати ескізи графіків показникової функції; – будувати ескізи графіків логарифмічної функції; – розв’язувати показникові рівняння; – розв’язувати логарифмічніі рівняння; – розв’язувати показникові нерівності; – розв’язувати логарифмічніі нерівності. Тема 5: ”Тригонометричні нерівності” План до теми: 1. Загальні розв’язки елементарних тригонометричних нерівностей. 2. Тригонометричні нерівності. 3. Графічні методи. 4. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: тригонометрична нерівність; розв’язок нерівності; тригонометричне коло;

методи розв’язання. Учні повинні: знати – означення тригонометричної нерівності; – загальні розв’язки елементарних тригонометричних нерівностей; – основні методи розв’язання тригонометричних нерівностей; – графічні методи розв’язання тригонометричних нерівностей. уміти – розпізнавати тригонометричні нерівності серед інших нерівностей; – розв’язувати елементарні тригонометричні нерівності; – розв’язувати тригонометричні нерівності різними методами; – розв’язувати тригонометричні нерівності графічним методом; – застосовувати отримані знання до розв’язування тригонометричних нерівностей. Тема 6: ”Многогранники” План до теми: 1. Паралелепіпед. 2. Призма. 3. Піраміда. 4. Побудова та обчислення площ перерізів. 5. Площа поверхні та об’єм.

33

6. Застосування теореми про три перпендикуляри. 7. Комбінації многогранників. 8. Правильні многогранники. 9. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: многогранник; паралелепіпед; призма; піраміда; пряма призма; правильна

призма; правильна піраміда; перерізи многогранників; побудова перерізів; площа бічної поверхні; площа поверхні; об’єм; правильні многогранники; комбінації многогранників; лінійний кут двогранного кута.

Учні повинні: знати – означення паралелепіпеда; – означення призми; – означення піраміди – властивості паралелограма, призми, піраміди; – формули для площ бічної і повної поверхонь призми; – формули для площ бічної і повної поверхонь піраміди; – означення правильного многогранника. уміти – зображати паралелограм, призму, піраміду; – будувати та обчислювати площі перерізів; – обчислювати за формулами площі поверхонь; – обчислювати за формулами об’єми многогранників; – застосовувати вивчені властивості многогранників до розв’язування задач. Тема 7: ”Контрольна робота” План до теми: 1. Контрольна робота за темою “Практикум з тригонометричних рівнянь”, винесеною на самос-

тійне вивчення.


Тема 1: ”Стереометрія. Тіла обертання” План до теми: 1. Циліндр. 2. Конус, зрізаний конус. 3. Куля. 4. Комбінації тіл обертання. 5. Тіло обертання з многогранниками. 6. Об’єм і площа поверхні тіл обертання. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: тіло обертання; поверхня обертання; циліндр; конус; зрізаний конус; осьові

перерізи; куля; об’єм тіл обертання; площа бічної поверхні; площа повної поверхні.

34

Учні повинні: знати – означення циліндра; – означення конуса; – означення кулі; – властивості тіл обертання; – основні властивості об’ємів; – формули для обчислення об’ємів паралелепіпеда, призми, піраміди, тіл обертання; – формули для площ бічної поверхні циліндра, конуса; – формули для площ повної поверхні циліндра, конуса. уміти – зображати тіла обертання на площині; – застосовувати вивчені властивості тіл обертання до розв’язування задач; – обчислювати за формулами об’єми паралелепіпеда, призми, піраміди, тіл обертання; – обчислювати за формулами площі бічних поверхонь циліндра, конуса; – обчислювати за формулами площі повних поверхонь циліндра, конуса; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач. Тема 2: ”Рівняння та нерівності з параметрами” План до теми: 1. Залежність кількості розв’язків рівнянь, нерівностей і їх систем з параметрами. 2. Властивості розв’язків рівнянь, нерівностей і їх систем від значення параметра. 3. Параметр як рівноправна змінна. 4. Властивості функцій в задачах з параметрами. 5. Аналітичні методи розв’язування задач з параметрами. 6. Графічні методи розв’язування задач з параметрами. 7. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: параметр; рівняння з параметром; нерівність з параметром; системи рівнянь та

нерівностей з параметром; запис розв’язку; пошук розв’язків; кількість розв’язків; графічний метод; аналітичний метод.

Учні повинні: знати – означення рівняння з параметром; – означення нерівності з параметром – означення системи рівнянь та нерівностей з параметром; – властивості розв’язків рівнянь, нерівностей і їх систем від значення параметра; – властивості функцій в задачах з параметрами; – аналітичні методи розв’язування задач з параметрами; – графічні методи розв’язування задач з параметрами. уміти – шукати розв’язки рівняння, нерівності; – записувати розв’язки рівнянь та нерівностей; – шукати розв’язки систем рівнянь та нерівностей; – записувати розв’язки систем рівнянь та нерівностей; – розв’язувати задачі з параметрами на кількість розв’язків; – застосовувати аналітичні методи до розв’язування задач з параметрами; – застосовувати графічні методи до розв’язування задач з параметрами.

35

Тема 3: ”Застосування інтеграла” План до теми: 1. Первісна. 2. Невизначений та визначений інтеграли: 3. Геометричний зміст визначеного інтеграла. 4. Застосування визначеного інтеграла до знаходження площ криволінійних фігур. 5. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: первісна; інтеграл; визначений інтеграл; невизначений інтеграл; таблиця

первісних; інтегрування; правила знаходження первісних; формула Ньютона-Лейбніца; застосування інтеграла; площа криволінійної фігури.

Учні повинні: знати – означення первісної; – таблицю первісних елементарних функцій; – основну властивість первісної; – правила знаходження первісних; – означення невизначеного інтеграла; – означення визначеного інтеграла; – формулу Ньютона-Лейбніца; – геометричний зміст визначеного інтеграла. уміти – знаходити первісну з використанням таблиці первісних елементарних функцій; – знаходити первісну з використанням правил знаходження первісних; – застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца до обчислення визначеного інтеграла; – обчислювати площу криволінійної фігури за допомогою інтеграла. Тема 4: ”Елементи статистики” План до теми: 1. Статистика та її методи. 2. Набір експериментальних даних, вибірка. 3. Наочне представлення статистичного розподілу. 4. Точковий та інтервальний розподіл частот. 5. Полігон та гістограма. 6. Мода і медіана. 7. Завдання математичної статистики. 8. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: математична статистика; методи статистики; статистичне спостереження; набір

експериментальних даних; вибірка; статистичний розподіл; наочне представлення; точковий розподіл частот; інтервальний розподіл частот; полігон; гістограма; мода; медіана; міри центральної тенденції; ранжування; варіант; ряд розподілу; випадкова вибірка; похибка вибірки; похибка репрезентативності.

Учні повинні: знати – означення статистики; – методи статистики;

36

– означення вибірки; – види статистичних спостережень; – означення ряду розподілу; – означення варіаційного ряду; – означення полігону розподілу частот; – означення моди; – означення медіани; – означення випадкової вибірки; – завдання математичної статистики. уміти – наводити приклади різних наборів спостережених даних з навколишнього середовища; – здійснювати статистичні дослідження; – обчислювати частоти вибірок; – подавати статистичні дані у вигляді таблиць, відповідних точкових та інтервальних

розподілів частот; – будувати полігон розподілу частот; – будувати гістограму для графічного зображення інтервального варіаційного ряду; – визначати моду; – визначати медіану. Тема 5: ”Планіметрія. Повторення” План до теми: 1. Співвідношення між елементами трикутника. 2. Теореми синусів та косинусів. 3. Квадрат. 4. Ромб. 5. Прямокутник. 6. Паралелограм. 7. Трапеція. 8. Чотирикутник. 9. Коло. 10. Розв’язування задач з планіметрії. 11. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: паралелограм; ромб; квадрат; прямокутник; трикутник; середня лінія; теорема

синусів; теорема косинусів; співвідношення; елементи трикутника; трапеція; середня лінія; коло; чотирикутник; діаметр; радіус; хорда; довжина кола.

Учні повинні: знати – співвідношення між елементами трикутника; – теорему синусів; – теорему косинусів; – означення квадрата; – означення паралелограм; – ознаки паралелограма; – означення ромба; – означення трапеції; – властивість середньої лінії; – означення прямокутника; – властивості чотирикутників;

37

– означення кола – метод математичної індукції. уміти – застосовувати властивості чотирикутників до розв’язування задач; – застосовувати співвідношення між елементами трикутника до розв’язування задач; – застосовувати вивчені ознаки до розв’язування задач; – застосовувати теореми синусів та косинусів до розв’язування задач. Тема 6: ”Мішані системи рівнянь та нерівностей” План до теми: 1. Рівняння з додатковими умовами. 2. Системи рівнянь, у яких одне рівняння алгебраїчне, а інше містить тригонометричні функції. 3. Мішані системи нерівностей. 4. Завдання для самостійної роботи. Ключові слова: рівняння; корінь рівняння; система рівнянь; система нерівностей; мішана

система; додаткова умова; тригонометрична функція. Учні повинні: знати – означення кореня рівняння; – означення системи мішаних рівнянь; – означення системи мішаних нерівностей. уміти – розв’язувати рівняння з додатковими умовами; – розв’язувати системи рівнянь, у яких одне рівняння алгебраїчне, а інше містить

тригонометричні функції; – розв’язувати мішані системи нерівностей; – застосовувати отримані знання до розв’язування задач. Тема 7: ”Контрольна робота” План до теми: 1. Підсумкова контрольна робота.

38


ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ ДЛЯ САМОСТІЙНОГО ОПРАЦЮВАННЯ

Тема № 1: ”Практикум з тригонометричних рівнянь” План до теми: 1. Найпростіші тригонометричні рівняння. 2. Основні методи розв’язання тригонометричних рівнянь.

2.1. Метод розкладання на множники. 2.2. Метод заміни змінних. 2.3. Метод універсальної підстановки. 2.4. Метод зведення до однорідних тригонометричних рівнянь. 2.5. Тригонометричні рівняння, що містять обернені тригонометричні функції. 2.6. Розв’язування рівнянь перетворенням суми (різниці) тригонометричних функцій у добу-

ток. 2.7. Рівняння, що розв’язуються за допомогою формул зниження степеня. 2.8. Метод введення допоміжного аргументу. 2.9. Розв’язування рівнянь перетворенням добутку тригонометричних функцій у суму. 2.10. Розв’язування рівнянь із застосуванням формул подвійного і потрійного аргументів.

Ключові слова: найпростіші тригонометричні рівняння; методи розв’язання; розкладання на

множники; заміна змінних; область допустимих значень; сукупність рівнянь; система рівнянь; універсальна підстановка; обернені тригонометричні функції; зниження степеня; допоміжний аргумент; подвійний (потрійний) аргумент.

Учні повинні: мати уявлення про – обернену функцію і обернені тригонометричні рівняння; – область визначення і область значень обернених тригонометричних функцій; – побудову графіків обернених тригонометричних функцій; – тригонометричне рівняння. знати – формули загального розв’язку найпростіших тригонометричних рівнянь: ax sin ,

ax cos , atgx , actgx ; – основні методи розв’язання тригонометричних рівнянь. уміти – розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння; – застосовувати різні методи до розв’язування тригонометричних рівнянь.

Завдання для самоконтролю:

1. Розв’язати рівняння 04

sinsin

xx .

Відповідь: Zkk ,8

. 2. Розв’язати рівняння:

а) 21sin x ; б) 1

22cos2

x ; в) 33

52

xtg ;

г) 33 xctg .

39

Відповідь: а)

Znnn ,

61 1

; б)

Znnn ,2

65;2

6

;

в)

Znn ,

26011 ; г)

Znn ,

318 .

3. Розв’язати рівняння 02cos1

cos

xx .

Відповідь: . 4. Розв’язати рівняння: а) xxx sin3cossin7 ; б) 02sinsincos44 xxx ; в) 5,0cos2sin3 xx .


Zknkn ,,

32

71arccos

31;

; б)

Znn ,2

44

;

в)

Znarctgn ,

35162 .

5. Розв’язати рівняння 0cos3cossin4sin 22 xxxx .

Відповідь:

Zknkarctgn ,;3;

4

.

6. Розв’язати рівняння 45

1arcsin arctgx .

Відповідь: 132

x .

7. Розв’язати рівняння 024cossin2 2 xx .

Відповідь: Zkk

,4

171arccos21

.

8. Розв’язати рівняння xxxx 3sin5cos35sin3cos .


; Znn ,

416 .

9. Розв’язати рівняння xxxxx 2sin3cos5sin2cos6sin .


; Znn,

3 .

10. Розв’язати рівняння xxx sin32sin33sin .

Відповідь: Zkk , ; znn ,23

.

40

ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

Практикум з тригонометричних рівнянь

1. Найпростіші тригонометричні рівняння Означення. Рівняння називаються тригонометричними, якщо невідома величина знаходиться

під знаком тригонометричних функцій. Означення. Найпростішими тригонометричними рівняннями називаються рівняння ax sin ,

ax cos , atgx , actgx . Розв’язати найпростіше тригонометричне рівняння – означає знайти множину всіх кутів,

що мають дане значення a тригонометричної функції. Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.

Розглянемо розв’язання найпростіших тригонометричних рівнянь.

Таблиця 1 Розв’язки найпростіших тригонометричних рівнянь: Рівняння Розв’язок

ax sin nax n arcsin1 0sin x nx

1sin x nx

22

1sin x nx

22

ax cos nax 2arccos

0cos x nx

2

1cos x nx 2 1cos x nx 2

ax tg nax arctg 0tg x nx ax ctg nax arcctg

0ctg x nx

2

Зауважимо, що в таблиці 1 n – довільне ціле число, тобто найпростіші тригонометричні

рівняння мають безліч розв’язків, якщо a належить області значень тригонометричної функції, яка входить в рівняння.

Зауваження: При розв’язуванні тригонометричних рівнянь виду 0xxf

, де xf – одна з

тригонометричних функцій ctgxtgxxx ,,cos,sin , їх зводять до систем виду

00

xxf

, тобто необхідно виключити з розв’язання ті значення x , для яких x

перетворюється в нуль. Приклад 1. Розв’язати рівняння:

41

а) 04

2sin

x ; б) 22

32cos

x ; в) 3tgx ; г) 31

422

xctg .

Розв’язання.

а) 2844

204

2sin

nxnnxx

;

б)

nxnnxx 2432

24

222arccos

3222

32cos

;46

7423

2,423

21 nnxZnnx

Znnnx ,46

423

22 ;

в) Znnnarctgxtgx ,3

33 ;

г)

Zkkarcctgx

Znnarcctgxxctgxctg

,33

42

,33

42

33

31

42

31

422

22411

2247

1211

32

42

127

342

kx

nx

kkx

nnx.


Znnx ,

28 ; б)

Znnn ,4

6;4

67

; в)

Znn ,

3

;

г)

Zknkn ,,

22411;

2247 .

Приклад 2. Розв’язати рівняння 0cos1

sin

xx .

Розв’язання. Початкове рівняння рівносильне системі

ZkkxZnnx

xx

,2,

0cos10sin

.

Звідси knkn 22 , тобто підходять тільки 12 kn . Таким чином, Zkkkx ,212 .

Відповідь: Zkk ,2 .

2. Основні методи розв’язання тригонометричних рівнянь

Немає універсального методу розв’язування тригонометричних рівнянь. Ці рівняння в загальному підсумку зводяться до найпростіших, розв’язання яких уже розглянуто раніше.

Розглянемо деякі методи розв’язання тригонометричних рівнянь, які застосовуються частіше, ніж інші.

42

2.1. Метод розкладання на множники

Застосування цього методу засновано на тому, що рівняння 0 xxf рівносильне

сукупності рівнянь

00

xxf

в області визначення рівняння 0 xxf .

При розв’язанні рівнянь методом розкладання на множники воно може виявитися не рівносильним отриманій сукупності рівнянь, оскільки можлива поява сторонніх коренів. Щоб уникнути помилок у відповіді, бажано знаходити ОДЗ (якщо ОДЗ – множина дійсних чисел, то про ОДЗ звичайно не згадується) і при записі відповіді виключити розв’язки, які не задовольняють ОДЗ. Приклад 3. Розв’язати рівняння 1sin2sin5sin 2 xxx . Розв’язання.

Застосуємо до перших двох доданків відповідну формулу перетворення суми в добуток: xxxx 2cos3sin2sin5sin

та врахуємо, що xx 2cos1sin2 2 . Тоді рівняння набуде вигляду

.13sin2

,02cos013sin22cos012cos12cos3sin2

xx

xxxxx

З першого рівняння сукупності знаходимо:

,2,10=,242

202cos ,nnxnxx

З другого рівняння сукупності матимемо:

,2,1,0,318

16

13213sin kkxkxx kk

Відповідь: ,2,10=,24

,nnx ; ,2,1,0,318

1 kkx k

Приклад 4. Розв’язати рівняння 011sin tgxx . Розв’язання.

ОДЗ: Zmmxx ,2

0cos .

Знаходимо значення x , що задовольняють рівнянням 01sin x і 01 tgx ;

якщо Znnxxx ,22

1sin01sin ;

якщо Zkkxtgxtgx ,4

101 .

Оскільки через ОДЗ mx 2

, то серія розв’язків nx 22 непридатна, вона не

входить в ОДЗ, і відповіддю є тільки друга серія розв’язків Zkkx ,4

.

Відповідь:

Zkk ,

4

.

2.2. Метод заміни змінних

Якщо рівняння містить один з виразів

xx cossin

43

або xx cossin

і функцію x2sin (або добуток xx cossin ), то вводячи нову змінну xxt cossin

або xxt cossin ,

приходимо до рівняння відносно t . Це пов’язано з тим, що якщо позначити

;12sin2sin1cossin21coscossin2sincossincossin

2

2222

txxxxxxxxxxtxxt

якщо позначити 222 12sin2sin1cossincossin txxxxtxxt . Приклад 5. Розв’язати рівняння 08cossin13cossin5 2 xxxx . Розв’язання.

Позначивши xxt cossin , дістанемо

6,1

108135

2

12

tt

tt .

Розглянемо кожне з рівнянь сукупності окремо. :11 t

.,4

144

142

14

sin

14

sin21cos2

12

1sin21cossin

Znnxnxx

xxxxx

nn

Зазначимо, що рівняння 1cossin xx можна було б розв’язати за формулами

2cos

2sin2sin xxx і

2sin2cos1 2 xx ,

тобто

Zkkx

Zmmxxtg

Zmmx

xx

xxxxxxx

,22

,2

02

1

,2

02

sin2

cos

02

sin0

2sin

2cos

2sin20

2sin2

2cos

2sin2 2

Ця відповідь збігається з отриманою раніше, оскільки, вважаючи mn 2 і 12 kn , отримаємо збігання відповідей.

:6,12 t xxx 6,1cossin ,

оскільки

24

sin2cossin

xxx ,

а число 26,1 .

Відповідь:

Znnn ,

41

4

.

Приклад 6. Розв’язати рівняння 0cos3cossin2sin 22 xxxx .

44

Розв’язання. Поділивши обидві частини рівняння на x2cos , матимемо:

03tg2tg2 xx . Зробивши заміну змінних xu tg , одержимо квадратне рівняння

0322 uu , коренями якого є 1,3 21 uu .

Отже, матимемо сукупність рівнянь

,2,1,0,4

,2,1,0,3arctg

;1tg,3tg

nnx

kkx

xx

Відповідь: ,2,1,0,4

;,2,1,0,3arctg nnxkkx

2.3. Метод універсальної підстановки

Під час розв’язування деяких рівнянь застосовують підстановку txtg

2, яка називається

універсальною.

Зробивши заміну txtg 2

, дістанемо для xsin і xcos :

22 1

2

21

22

sintt

xtg

xtgx

; 2

2

2

2

11

21

21

costt

xtg

xtgx

.

Оскільки 2xtg не існує при Znnx ,2 , ця підстановка може привести до втрати

коренів. Отже, потрібно перевіряти, чи не є коренями рівняння числа виду Znn ,2 , підставивши їх у початкове рівняння. Приклад 7. Розв’язати рівняння 5cos4sin3 xx . Розв’язання.

Числа виду Znn ,2 – не є коренями даного рівняння. Застосуємо до цього рівняння універсальну підстановку:

2tg;

12sin;

11cos 22

2 xtttx

ttx

.

В результаті матимемо рівняння відносно нової змінної t :

0169554465114

16 222

2

2

2 ttttttt

tt

310

310

91

329

22

tttt .

З рівняння 31

2tg

x знаходимо:

`,231arctg2

31arctg

2Znnxnx

.

Відповідь: Znnx ,231arctg2 .

45

Приклад 8. Розв’язати рівняння 3cos3sin4 xx . Розв’язання.

Числа виду Znn ,2 – корені даного рівняння. Використавши універсальну підстановку, отримаємо рівняння

.4368333383

113

124 22

2

2

2

ttttttt

tt

З рівняння 43

2tg

x знаходимо:

`,243arctg2

43arctg

2Znnxnx

.

Відповідь: `2 n ; .`,243arctg2 Znn

2.4. Метод зведення до однорідних тригонометричних рівнянь

Означення. Однорідними тригонометричними рівняннями називаються рівняння виду:

0cossin 10 xaxa – однорідне рівняння 1-го степеня; 0coscossinsin 2

212

0 xaxxaxa – однорідне рівняння 2-го степеня; 0coscossincossinsin 3

32

22

13

0 xaxxaxxaxa – однорідне рівняння 3-го степеня; 0cos...cossincossincossinsin 33

322

21

10 xaxaxxaxxaxa kk

kkkk – однорідне рівняння k -го степеня;

Рівняння cxaxxaxa 2

212

0 coscossinsin при 0c не є однорідним, але його можна звести до однорідного рівняння 2-го степеня, замінивши число c тотожно рівним йому виразом xxc 22 cossin .

Для розв’язування однорідних рівнянь у випадку 00 a розглянемо такі значення x , для яких 0cos x . Тоді з початкового однорідного рівняння випливає, що при тих самих значеннях x має бути і 0sin x , а це неможливо, оскільки суперечить основній тригонометричній тотожності 1cossin 22 xx . Звідси розв’язками однорідних рівнянь (при

00 a ) можуть бути тільки такі значення x , для яких 0cos x . Звідси однорідне тригонометричне рівняння можна звести до рівняння відносно xtg , якщо всі його члени поділити на xk cos і при цьому (якщо 00 a ) таке ділення не приведе до втрати коренів, оскільки значення x , при яких 0cos x , не задовольняють початковому рівнянню. Якщо ж

00 a , то таке ділення приведе до втрати коренів і, значить, у відповідь потрібно включити

розв’язок рівняння 0cos x , тобто Znnx ,22

.

Приклад 9. Розв’язати рівняння 0coscossin2sin 323 xxxx . Розв’язання.

Дане рівняння є однорідним рівнянням 3-го степеня. Поділивши обидві його частини на 0cos3 x , отримаємо

012 23 xtgxtg . Позначивши ytgx , отримаємо

012 23 yy . Оскільки 1y є коренем цього рівняння, то поділивши на знайдений корінь, отримаємо:

46

narctgx

nx

tgx

tgx

y

yyyyyy

251

4

251

1

251

101112

3,2

1223

Відповідь:

Znnarctgn ,2

51;4

.

Приклад 10. Розв’язати рівняння 01cossin3cos2 xxx . Розв’язання.

Початкове рівняння не є однорідним, однак воно легко зводиться до однорідного 2-го степеня після заміни xx 22 cossin1 . Тоді отримаємо

0sincossin3cos20cossincossin3cos01cossin3cos

22

2222

xxxxxxxxxxxx

Поділивши обидві частини отриманого рівняння на 0cos2 x , отримаємо:

Zkkarctgx

Znnxtgxtgx

tgxxtg,2

,4

21

0232

.

Відповідь:

Zknkarctgn ,;2;

4

.

2.5. Тригонометричні рівняння, що містять обернені

тригонометричні функції

При розв’язанні рівнянь з оберненими тригонометричними функціями найпоширеніший прийом – перехід від рівності кутів до рівності тригонометричних функцій. При цьому отримані рівняння у загальному випадку не будуть рівносильними початковим, тому що відбувається розширення області визначення початкового рівняння, і, отже, можлива поява побічних коренів. Тому необхідна перевірка отриманих розв’язків, якщо не скрізь були рівносильні перетворення.

Приклад 11. Розв’язати рівняння 6

arccosarcsin xx .

Розв’язання. Записавши початкове рівняння у вигляді

xx arccos6

arcsin ,

візьмемо синус від обох частин останнього рівняння:

6cosarccossinarccoscos

6sinarccos

6sinarcsinsin xxxxx

4313

21

231

231

21 22222 xxxxxxxx

;23

1 x 23

2 x .

Перевірка.

47

При 23

1 x 23

66323arccos

23arcsinarccosarcsin 111 xxx –

корінь початкового рівняння.

При 23

2 x

6323arccos

23arcsinarccosarcsin 22

xx

23

667

2 x – побічний корінь.


x .

Приклад 12. Розв’язати рівняння 04arcsin17arcsin4 2 xx . Розв’язання.

Позначивши tx arcsin , отримаємо квадратне рівняння 04174 2 tt ,

корені якого 41

1 t ; 42 t .

З рівняння 41sin

41arcsin xx , а з рівняння xx 4arcsin , оскільки

2arcsin

2

x , а

2;

24 . Звідси

41sinx – єдиний корінь початкового рівняння.

Перевірка розв’язку для даного рівняння є зайвою.

Відповідь: 41sinx .

2.6. Розв’язування рівнянь перетворенням суми (різниці)

тригонометричних функцій у добуток

Під час розв’язування прикладів даного типу будемо використовувати наступні формули:

;2

sin2

cos2sinsin

;2

cos2

sin2sinsin

;2

sin2

sin2coscos

;2

cos2

cos2coscos

coscossin

tgtg

n

2, ;

sinsinsin

ctgctg n, .

Приклад 13. Розв’язати рівняння xxx 2sinsin3sin . Розв’язання.

021cos2sin202sincos2sin2

xxxxx .

48

Отримаємо сукупність

.,23

,,2

21cos

02sin

Zkkx

Znnx

x

x

Відповідь: Znn,

2 , Zkk ,2

3 .

Приклад 14. Розв’язати рівняння 0cos3cos7cos9cos xxxx . Розв’язання.

03cos5sinsin402sin8sinsin20sin2sin2sin8sin2 xxxxxxxxx .

Отримаємо сукупність

.,5

,,36

,,

05sin03cos

0sin

Zmmx

Znnx

Zkkx

xx

x

Так, як при Zppm ,5 , розв’язки першого і третього рівнянь сукупності співпадають,

то одержимо розв’язки Znnx ,36 та Zmmx ,

5 .

Відповідь: Znn ,

36 ; Zmm

,5 .

2.7. Рівняння, що розв’язуються за допомогою формул

зниження степеня

При розв’язуванні подібного типу рівнянь користуються формулами зниження степеня

22cos1sin 2

та 2

2cos1cos2 .

Приклад 15. Розв’язати рівняння 5,13sin2sinsin 222 xxx . Розв’язання.

Використовуючи формули зниження степеня, отримаємо

Znnx

Zkkx

x

xxxxxx

xxxxxx

,3

,48

212cos

04cos0

212cos4cos202cos4cos24cos

06cos2cos4cos23

26cos1

24cos1

22cos1

Відповідь: Zkk ,

48 ; Znn ,

3 .

49

2.8. Метод введення допоміжного аргументу

Іноді при розв’язуванні тригонометричних рівнянь корисно скористатися формулою xbaxbxa sincossin 22 ,

де 22

cosba

a

, 22

sinba

b

.

У цьому випадку називається допоміжним аргументом або допоміжним кутом. Приклад 16. Розв’язати рівняння 02cossin3 xx . Розв’язання.

Перенесемо число 2 в праву частину рівняння і поділимо обидві його частини на 2. Одержимо:

1cos21sin

23

xx .

Замінимо 23 на

6cos , а

21 на

6sin . Отримаємо

Zkkx

Zkkxxxx

,23

,226

16

sin1cos6

sinsin6

cos


.

2.9. Розв’язування рівнянь перетворенням добутку

тригонометричних функцій у суму

Для перетворення добутку тригонометричних функцій в суму використовують наступні формули:

;coscos21coscos

;coscos21sinsin

sinsin21cossin .

Приклад 17. Розв’язати рівняння 02sinsin3cos xxx . Розв’язання.

0cos3cos03coscos213cos xxxxx .

Перетворюємо в добуток:

Znnx

Zkkx

xx

xx,

24

,2

02cos0cos

0cos2cos2


; Znn ,

24 .

50

2.10. Розв’язування рівнянь із застосуванням формул

подвійного і потрійного аргументів

При розв’язуванні прикладів у цьому пункті будемо використовувати наступні співвідношення:

;cossin22sin ;sin211cos2sincos2cos 2222

2tg1

tg22tg

kn

2;

24;

;sin4sin33sin 3 cos3cos43cos 3 ;

2

3

3133

tgtgtgtg

.

Приклад 18. Розв’язати рівняння 423sinsin3coscos 33 xxxx .

Розв’язання. З формул для синуса та косинуса потрійного аргументу знайдемо x3sin та x3cos :

43sinsin3sin 3 xxx

, .4

3coscos3cos3 xxx .

Тоді початкове рівняння перепишемо у вигляді:

Zkkxxxx

xxxxxxxx

xxxxxxxx

,82

12cos22

12cos22cos3

2cos32cos422cos36cos23sinsin3coscos3

3sin3cos423sin

43sinsin33cos

4cos33cos

3

3

33


.

51

Тема № 2: ”Розв’язування логарифмічних рівнянь” План до теми: 1. Логарифмічні рівняння та методи їх розв’зання. 2. Розв’язування найпростіших логарифмічних рівнянь. 3. Розв’язування рівнянь із застосуванням основної логарифмічної тотожності. 4. Розв’язування логарифмічних рівнянь методом заміни змінної. 5. Розв’язування логарифмічних рівнянь методом логарифмування. 6. Розв’язування рівнянь шляхом переходу до іншої основи. 7. Розв’язування логарифмічних рівнянь потенціюванням. Ключові слова: логарифмічні рівняння; методи розв’язання; найпростіші логарифмічні

рівняння; основна логарифмічна тотожність; заміна змінної; логарифмування; потенціювання; перехід до іншої основи; побічний корінь.

Учні повинні: знати – означення логарифмічного рівняння; – означення найпростіших логарифмічних рівнянь та їх загальні розв’язки; – основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь. уміти – розв’язувати найпростіші логарифмічні рівняння; – застосовувати основні методи розв’язування логарифмічних рівнянь.

Завдання для самоконтролю: 1. Розв’язати рівняння методом заміни змінної 01lg3lg2 32 xx .

Відповідь:

61

31

10;10 .

2. Розв’язати рівняння, застосувавши основну логарифмічну тотожність 559 221log3 xx . Відповідь: 102 .

3. Розв’язати рівняння методом заміни змінної 9,24,05,2 33 loglog xx .

Відповідь:

31;3 .

4. Розв’язати рівняння 6lglg 5636 xx . Відповідь: 10.

5. Розв’язати рівняння 4lglg2 22 xx . Відповідь: – 100.

6. Розв’язати рівняння методом заміни змінної 9log6log4 29

29 xx .


.

7. Розв’язати рівняння потенціюванням 4log32log1log 222 xx . Відповідь: 0.

52

8. Розв’язати рівняння методом переходу до іншої основи 1log2log515 xx .

Відповідь: 51 .

9. Розв’язати рівняння методом логарифмування 272log3 xx .

Відповідь: 31 ; 27.

10. Розв’язати рівняння 7log5log6log1 7 xx x . Відповідь: 5.

53

ТЕОРЕТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

Розв’язування логарифмічних рівнянь

1. Логарифмічні рівняння та методи їх розв’язання Означення. Логарифмічними рівняннями називаються такі рівняння, у яких змінна знаходиться

під знаком логарифма або в основі логарифма. Логарифмічні рівняння відносяться до трансцедентних рівнянь, тобто таких рівнянь, що

містять трансцендентні функції (показникові, логарифмічні, тригонометричні, обернені тригонометричні функції).

Розв’язання логарифмічних рівнянь базується на властивостях логарифмічної функції. Розглянемо основні методи розв’язання цих рівнянь.

2. Розв’язування найпростіших логарифмічних рівнянь Означення. Найпростішими логарифмічними рівняннями називаються рівняння виду: а) bxa log ; б) bxfa log ; в) xgxfa log ; г) xgxf aa loglog ; д) xgxf xx loglog .

Розглянемо розв’язання цих рівнянь. а) b

a axbx log , ,0a 1a ; б) b

a axfbxf log , ,0a 1a ; в) xg

a axfxgxf log , ,0a 1a ;

г)

00

00loglog

xgxgxf

xfxgxf

xgxf

xgxfxgxf aa ,

де ,0a 1a . На практиці при розв’язанні логарифмічного рівняння даного типу можна розв’язувати

або першу систему, або другу, або третю. Перевагою першої системи є її наочність і очевидність, однак доводиться розв’язувати дві нерівності. Цього недоліку позбавлені друга і третя системи; при цьому найкраще розв’язувати ту з цих двох систем, де простіше розв’язання нерівності ( 0xf або 0xg ).

Слід зазначити, що при розв’язуванні рівнянь виду xgxf aa loglog можна не користуватися символами еквівалентності і не розв’язувати мішані системи. При цьому від початкового рівняння xgxf aa loglog переходимо до рівняння xgxf . Розв’язуючи останнє рівняння, знаходимо його корені, серед яких можуть бути сторонні. Сторонні корені можна виявити або за допомогою підстановки знайдених коренів у початкове логарифмічне рівняння, або за допомогою знаходження області визначення початкового рівняння, що

задається системою нерівностей

00

xgxf

.

54

д)

100

100

1000

loglog

xxxg

xgxf

xxxf

xgxf

xxxgxf

xgxf

xgxf xx

.

На практиці можна використовувати будь-яку з наведених вище трьох систем. Приклад 1. Розв’язати рівняння 2log3 x . Розв’язання.

932log 23 xx .

Відповідь: 9 . Приклад 2. Розв’язати рівняння 32log 4 x . Розв’язання.

62264644232log 34 xxx .

Відповідь: 62 . Приклад 3. Розв’язати рівняння xx 24log 2 . Розв’язання.

022222424log 22

xxxxx x робимо заміну 022 2 yyy x

11

1222

12

x

xx

yy

x

x

.

Відповідь: 1 . Приклад 4. Розв’язати рівняння 86log3log 2

22 xxx xx .


21034

3;0089

1202

08603

863

86log3log

2

2

2

22

2

x

x

x

xxxx

xxx

xxxxx

xxx xx

83

8;1

xx

xx.

Відповідь: 8 . Приклад 5. Розв’язати рівняння 77log1log 5

25 xx .


55

61

1;16;1

11;1

067

07701

77177log1log

2

2

2

52

5

xx

xxxx

xxx

xx

xx

xxxx

1x – побічний корінь. Відповідь: 6 .

3. Розв’язування рівнянь із застосуванням основної логарифмічної тотожності

Приклад 6. Розв’язати рівняння 4log4

4222log x .

Розв’язання. Відповідно основній логарифмічній тотожності 42 4log2 . Тоді початкове рівняння

рівносильне такому: 284224242log 842444

2 xxxx . Відповідь: 2 .

4. Розв’язування логарифмічних рівнянь методом заміни змінної

При розв’язуванні рівнянь цим методом необхідно звернути увагу на наступне:

xxxxx aaaaa22222222 log4log2log2loglog ;

xxxxx aaaaa22222332 log9log3log3loglog .

У загальному випадку xmxmxx na

nna

nma

mna loglogloglog ,

де 0x , якщо m – непарне число. Якщо km 2 ( m – парне число), то при 0x

xmxkxx na

nna

nkna

mna loglog2loglog 2 .

Приклад 7. Розв’язати рівняння 02lg3lg 2 xx . Розв’язання.

Позначивши tx lg , отримаємо

100101010

2lg1lg

21

0232

1

2

12

xx

xx

tt

tt .

Відповідь: 100;10 .

5. Розв’язування логарифмічних рівнянь методом логарифмування

Даний метод полягає в тому, що від рівняння xgxf переходять до рівняння xgxf aa loglog .

56

Метод логарифмування застосовується при розв’язуванні рівнянь, що містять змінну і в основі, і в показнику степеня.

Приклад 8. Розв’язати рівняння 51log5 x

x . Розв’язання.

Використовуючи метод логарифмування, отримаємо

.1log211log

1log1log5loglog5

55

555

1log

5

1log 55

xx

xxxxxx

Позначивши tx 5log , отримаємо:

515

255

1log2log

12

02121

1

2

5

52

x

x

xx

tt

tttt .

Відповідь:

51;25 .

6. Розв’язування рівнянь шляхом переходу

до іншої основи Приклад 9. Розв’язати рівняння 7logloglog 2416 xxx . Розв’язання.

Переходимо до основи 2:

4log

16logloglog 2

2

216

xxx ; 2

log4log

loglog 2

2

24

xxx .

Позначивши tx 2log , отримаємо:

1624log4724

42 xxtttt .

Відповідь: 16.

7. Розв’язування логарифмічних рівнянь потенціюванням Приклад 10. Розв’язати рівняння 13log1log 33 xx . Розв’язання.

01

4;01

041

334

1134log

31

131log

0301

13log1log

22

23

333

xx

xxx

xxx

xx

xxx

xx

xx

xx

xx

Відповідь: 0 .

Методичка 11 клас194.44.192.20/pages/library/metod_dist_matem_11_cl.pdf · 11 клас...

Documents