Пояснительная записка

Статус документа

Рабочая программа по геометрии 10 класса со- ставлена на основе федерального компонента го- сударственного

стандарта основного общего обра- зования, Программы по геометрии к учебнику для 10–11 классов общеобразова-

тельных школ А.В. По- горелова.

Данная рабочая программа полностью отражает базовый уровень подготовки школьников по разде- лам про-

граммы. Она конкретизирует содержание тем образовательного стандарта и дает примерное распределение учеб-

ных часов по разделам курса.

Программа выполняет две основные функции. Информационно-методическая функция позволяет всем участни-

кам образовательного процесса полу- чить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспи-

тания и развития учащих- ся средствами данного учебного предмета. Организа- ционно-планирующая функция предусматрива-

ет выде- ление этапов обучения, структурирование учебного материала, определение его количественных и каче- ствен-

ных характеристик на каждом из этапов.

Структура документа

Рабочая программа включает следующие разде- лы: пояснительная записка, основное содержание, примерное рас-

пределение учебных часов по разде- лам программы, требования к уровню подготовки учащихся данного класса,

тематическое планирова- ние учебного материала, поурочное планирование, примерные контрольные работы, учеб-

ное и учебно- методическое обеспечение обучения для учащихся и учителя.

Общая характеристика учебного предмета

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования, она необходима для приобретения

конкретных знаний о пространстве и практически значимых умений, формирования языка описания объектов

окружающего мира, развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры и эстетиче-

ского воспи- тания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие логического мышления и формирование

понятия доказательства.

Цели

Изучение предмета направлено на достижение следующих целей:

. овладение системой знаний и умений-необходимых для применения в практической деятельности, изуче-

ния смежных дисциплин, продолжения образования;

. интеллектуальное развитие, формирование свойственных математической деятельности качеств личности,

необходимых человеку для полноценной жизни в современном общест-

ве: ясности и точности мысли, критичности мышления, интуиции, логического мышле- ния, элементов

алгоритмической культуры, способности к преодолению трудностей;

. формирование представлений об идеях и ме тодах геометрии как универсального языка науки и тех-

ники, средства моделирования явлений и процессов;

. воспитание культуры личности , отношению к предмету как к части общечеловеческой культуры,

играющей особую роль в общест- венном развитии.

Место предмета

На изучение предмета отводится 2 часа в неделю, итого 68 часов за учебный год.

Результаты обучения

Результаты обучения представлены в Требовани- ях к уровню подготовки и задают систему итоговых результатов

обучения, которых должны достичь все учащиеся, оканчивающие 10 класс, и достижение которых является обяза-

тельным условием положительной аттестации ученика за курс 10 класса. Эти требования структурированы по трем

компонентам: знать, уметь, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повсед-

нев- ной жизни.

Распределение учебных часов по разделам программы.

Аксиомы стереометрии и их простейшие след- ствия – 4 часа

Параллельность прямых и плоскостей – 8 часов. Перпендикулярность прямых и плоскостей –

10 часов.

Декартовы координаты и векторы в простран- стве 6 часов.

Повторение – 4 часа.

В каждом из разделов уделяется внимание при- витию навыков самостоятельной работы.

На протяжении изучения материала предпола- гается закрепление и отработка основных умений и навыков, их

совершенствование, а также система- тизация полученных ранее знаний.

В ходе изучения материала планируется проведе- ние четырех контрольных работ по основным темам и одной ито-

говой контрольной работы.

Содержание обучения

Прямые и плоскости в пространстве. Основные понятия стереометрии (точка, прямая, плоскость, простран-

ство). Понятие об аксиоматическом спо- собе построения геометрии. Пересекающиеся, па- раллельные и скре-

щивающиеся прямые. Угол ме- жду прямыми в пространстве. Перпендикулярность прямых. Параллельность и

перпендикулярность прямой и плоскости, признаки и свойства. Теорема о трех перпендикулярах. Перпендикуляр

и наклон- ная к плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Параллельность плоскостей, перпендикулярность

плоскостей, признаки и свойства. Двугранный угол, линейный угол двугранного угла. Расстоя- ния от точ-

ки до плоскости. Расстояние от прямой до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстоя-

ние между скрещивающими- ся прямыми.

Координаты и векторы. Декартовы координаты в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

Уравнения сферы и плоскости. Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение век- торов и умножение

вектора на число. Угол между векторами. Координаты вектора. Скалярное произ- ведение векторов. Коллинеарные

векторы. Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам. Компланарные векторы. Разложение по трем неком-

планарным векторам.

Требования к уровню подготовки учащихся В результате изучения курса учащиеся должны:

знать:

. основные понятия и определения геомет- ческих фигур по программе;

. ɻформулировки аксиом стереометрии, основ- ных теорем и их следствий;

. возможности геометрии в описании свойствреальных предметов и их взаимного располо- жения;

.. роль аксиоматики в геометрии.

уметь:

. соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описаниями, чер- тежами, изобра-

жениями; различать и анали- зировать взаимное расположение фигур;

. изображать геометрические фигуры и тела,

выполнять чертеж по условию задачи;

. решать геометрические задачи , опираясь на изученные свойства планиметрических и стереометри-

ческих фигур и отношений ме- жду ними, применяя алгебраический и триго-

нометрический аппарат;

. проводить доказательные рассуждения при ре- шении задач, доказывать основные теоремы курса;

. вычислять линейные элементы и углы в пространственных конфигурациях, площади по- верхно-

стей пространственных тел и их про- стейших комбинаций;

. строить сечения многогранников;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

. исследования (моделирования) исследуемых практических ситуаций на основе изученных формул и

свойств фигур;

. вычисления длин и площадей реальных объек- тов при решении практических задач, исполь- зуя при необ-

ходимости справочники и вычис- лительные устройства.

Используемый учебно-методический комплект Погорелов А.В. Геометрия. 10–11 классы: Учеб- ник для общеобразовательных учреждений. М.: Про- свещение,

2009.

Примерные контрольные работы

Контрольная работа 1. Аксиомы стереометрии. Параллельность прямых и плоскостей

Вариант 1

1. Прямая а и плоскость α параллельны пря- мой b. Определите, может ли прямая а:

а) быть параллельной плоскости α; б) пересекать плоскость α;

в) лежать в плоскости α.

2. Докажите, что каждая из двух параллельных прямых не может пересекать каждую из двух скре- щивающих-

ся прямых.

3. Точки А1

и В1

лежат в плоскости α, а точки А2

и В2 – в плоскости β, параллельной плоскости α. От- резки А

1А

2 и

В1В

2 пересекаются в точке С. Найдите А

1А

2, если В

1В

2 = 18 см, В

1С = 8 см, СА

2 = 5 см.

4. Точка М не лежит ни на одной из двух скре-

щивающихся прямых. Докажите, что через эту точку проходит плоскость, параллельная каждой из этих прямых, и

притом только одна.

Вариант 2

1. Прямая а и плоскость α параллельны плоско- сти β. Определите, может ли прямая а:

а) быть параллельной плоскости α; б) пересекать плоскость α;

в) лежать в плоскости α.

2. Докажите, что каждая из двух пересекающихся прямых не может пересекать каждую из двух скре- щивающих-

ся прямых.

3. Точки А1

и В1

лежат в плоскости α, а точки А2

и В2 – в плоскости β, параллельной плоскости α. От- резки А

1А

2 и

В1В

2 пересекаются в точке С. Найдите В

1В

2, если А

1А

2 = 20 см, В

1С = 6 см, СА

2 = 12 см.

4. Прямая а и параллельная ей плоскость α

не проходят через точку М. Докажите, что через точку М проходит прямая, параллельная прямой а и плоскости

α, и притом только одна.

Контрольная работа 2.

Перпендикулярность прямой и плоскости

Вариант 1

1. Наклонная, проведенная из точки к плоско- сти, равна 10 см и образует со своей проекцией на данную

плоскость угол 30°. Найдите расстояние от точки до плоскости.

2. Через вершины А и В треугольника АВС про- ведены параллельные прямые АА1

и ВВ1, причем АА

1 АВ и

АА1

АС. Докажите, что ВВ1

ВС.

3. Точка S не лежит в плоскости прямоугольника АВСD и равноудалена от его вершин. Найдите рас- стояние от

точки S до плоскости прямоугольника, если стороны прямоугольника равны 6 и 8 см, а SА = 13 см.

4. Вершина А треугольника АВС является ос- нованием перпендикуляра АD к плоскости тре- угольни-

ка. Докажите, что если ВDА = СDА, то DВС = DСВ.

Вариант 2

1. Из точки, удаленной от плоскости на 8 см, к плоскости проведены наклонная и перпендику- ляр, угол

между которыми равен 60°. Найдите длину наклонной.

2. Через вершины А и В треугольника АВС прове- дены прямые АА1

и ВВ1, причем АА

1 АВ, АА

1 АС, ВВ

1

АВ, ВВ1

ВС. Докажите, что ВВ1 ⎪⎪ АА

1.

3. Точка S не лежит в плоскости прямоугольника

АВСD и равноудалена от его вершин. Найдите рас- стояние от точки S до вершин прямоугольника, если расстояние

от точки S до плоскости АВС равно 24 см, АВ = 12 см, ВС = 16 см.

4. Вершина А треугольника АВС является ос- нованием перпендикуляра АD к плоскости тре- угольни-

ка. Докажите, что если DВА = DСА, то DВС = DСВ.

Контрольная работа 3.

Перпендикулярность плоскостей

Вариант 1

1. Через вершину К треугольника DКР проведе- на прямая КМ, перпендикулярная плоскости этого треуголь-

ника. Известно, что КМ = 15 см, DР = 12 см, DК = РК = 10 см. Найдите расстояние от точки М до прямой DР.

2. Точка, удаленная от плоскости квадрата на 8 см, равноудалена от его сторон. Площадь квад- рата 144 см2.

Найдите расстояние от данной точки до сторон квадрата.

3. Перпендикулярные плоскости α и β пересе- каются по прямой l . Отрезки ОА и ОВ, лежащие в плоско-

стях α и β соответственно, перпендикуляр- ны прямой l, а их общий конец – точка О – лежит на прямой l. Найди-

те длины отрезков ОА и ОВ, если АВ = 40 см, а ОА : ОВ = 3 : 4.

4. Концы отрезков принадлежат двум перпенди- кулярным плоскостям. Сумма расстояний от кон- цов отрез-

ка до данных плоскостей равна 22 см, а его проекции на плоскости равны 20 и 24 см. Найдите длину отрезка.

Вариант 2 1. Через вершину К треугольника КМР проведе- на прямая КЕ, перпендикулярная плоскости этого треугольни-

ка. Известно, что КЕ = 8 см, МР = 2 2l см, МК = РК. Найдите КМ, если расстояние от точки Е до прямой МР равно 2

4l см.

2. Точка удалена от каждой из сторон квадрата на 13 см. Диагональ квадрата равна 10 2 см. Найдите расстояние от

данной точки до плоскости квадрата.

3. Перпендикулярные плоскости α и β пересе- каются по прямой l . Отрезки ОА и ОВ, лежащие в плоско-

стях α и β соответственно, перпендику- лярны прямой l, а их общий конец – точка О – ле- жит на прямой l.

Найдите длину отрезка АВ, если ОА = 20 см, а СВ : АВ = 12 : 13.

4. Концы отрезков принадлежат двум перпендику- лярным плоскостям. Сумма проекций отрезка на дан- ные плоско-

сти равна 44 см, а его концы удалены от этих плоскостей на 7 и 15 см. Найдите длину отрезка.

Контрольная работа 4. Декартовы координаты и векторы в пространстве

Вариант 1 1. Найдите координаты и модуль вектора AB , если А (5; –1; 3), В (2; –2; 4).

2. Даны векторы b {3; 1; –2} и c {1; 4; –3}. Най- дите │2b – c│.

3. Даны точки Р(1; 0; 2), Н (1; 3 ; 3), К (–1; 0; 3),

М (–1; –1; 3). Найдите угол между векторами PH

и KM.

4. Найдите скалярное произведение b(a – 2b), если │a│ = 2, │b│ = 4, а угол между векторами a и b равен 135°.

5. Дан параллелепипед АВСDА1В

1С

1D

1. Назовите один из векторов, начало и конец которого являются вершинами

параллелепипеда, равный:

а) BC + C1D

1 + A

1A + D

1A

1; б) D

1C

1 – A

1B .

Вариант 2 1. Найдите координаты и модуль вектора AB , если А (6; 3; –2), В (2; 4; –5).

2. Даны векторы b {5; –1; 2} и c {3; 2; –4}. Най- дите │b – 2c│.

3. Даны точки Е (2; 0; 1), М (3; 3 ; 1), F (3; 0; –1),

К (3; –1; –1). Найдите угол между векторами EM

и KF .

4. Найдите скалярное произведение b(a + b), если │a│ = 3, │b│ = 2, а угол между векторами a и b равен

150°.

5. Дан параллелепипед АВСDА1В

1С

1D

1. Назовите один из векторов, начало и конец которого являются вершинами

параллелепипеда, равный:

а) A1B

1 + BC + DD

1 + CD ; б) AB – CC

1.

Контрольная работа 5 (итоговая)

Вариант 1

1. Прямоугольник АВСD и треугольник АВМ не лежат в одной плоскости. Точки Е и F – середины отрезков

АМ и ВМ. Определите вид четырехуголь- ника DЕFС.

2. Из точки к плоскости проведены две наклон- ные, образующие с данной плоскостью углы 30° и 45°.

Найдите расстояние между основаниями на- клонных, если большая наклонная равна 2 6 см, а угол между

наклонными – прямой.

3. Точка удалена от каждой из вершин правиль- ного треугольника на 10 см, а от каждой из его сто- рон – на 73

см. Найдите расстояние от данной точки до плоскости треугольника.

4. Прямая МА перпендикулярна стороне АВ и диагонали АС ромба АВСD. Найдите угол между плоско-

стями МАВ и МАD, если диагональ ромба ВD равна его стороне.

Вариант 2

1. Точка М не лежит в плоскости ромба АВСD. Точки Е и F – середины отрезков МВ и МС. Опре- делите

вид четырехугольника АЕFD.

2. Из точки к плоскости проведены две наклон- ные, образующие с данной плоскостью углы 30° и 45°.

Найдите расстояние между основаниями на- клонных, если проекция меньшей наклонной равна 3 см, а угол между

наклонными – прямой.

3. Точка удалена от каждой из вершин квадрата на 4l см, а от каждой из его сторон – на 5 см. Най- дите расстоя-

ние от данной точки до плоскости квад- рата.

4. Прямая МВ перпендикулярна стороне АВ и высоте ВК ромба АВСD. Найдите угол между пло- скостями

МАВ и МВС, если точка К – середина сто- роны АD.

Учебное и учебно-методическое обеспечение

Для учащихся

1. Погорелов А.В. Геометрия. 10–11 классы: Учеб- ник для общеобразовательных учреждений. М.: Про- свещение,

2009.

2. Веселовский С.Б., Рябчинская В.Д. Дидактиче- ские материалы по геометрии для 10 класса. М.: Про- свещение,

2008.

3. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский В.Ф. Задачи по геометрии для 7–11 классов. М.: Просвещение, 2001.

Для учителя

1. Погорелов А.В. Геометрия. 10–11 классы: Учеб- ник для общеобразовательных учреждений. М.: Про- свещение,

2009.

2. Веселовский С.Б., Рябчинская В.Д. Дидактиче- ские материалы по геометрии для 10 класса. М.: Про- свещение,

2008.

3. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский В.Ф. Задачи по геометрии для 7–11 классов. М.: Просвещение, 2001.

4. Алтынов П.И. Геометрия, 10–11 классы. Тесты: Учебно-методическое пособие. М.: Дрофа, 2000.

5. Земляков А.Н. Методические рекомендации к учебнику. М.: Просвещение, 2004.

6. Звавич Л.И., Рязановский А.Р., Такуш Е.В. Но- вые контрольные и проверочные работы по геомет- рии. 10–

11 классы. М.: Дрофа, 2002.

7. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятель- ные и контрольные работы по геометрии. Разно-

уровневые дидактические материалы для 10 класса. М.: Илекса, 2003.

8. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Гео- метрия. Задачник к школьному курсу, 7–11 классы. М.:

АСТ-ПРЕСС, 1998.

9. Смирнова И.М. 150 задач по геометрии в ри- сунках и тестах. 10–11 классы. М.: Аквариум, 2001.

Пояснительная записка

Статус документа

Рабочая программа по геометрии 11 класса составлена на основе федерального

компонента государственного стандарта основного общего обра- зования, Про-

граммы по геометрии к учебнику для 10–11 классов общеобразовательных школ

А.В. Погорелова.

Данная рабочая программа полностью отражает базовый уровень подготовки

школьников по разделам программы. Она конкретизирует содержание тем образо-

вательного стандарта и дает примерное распределение учебных часов по разделам

курса.

Программа выполняет две основные функции. Информационно-методическая

функция позволяет всем участникам образовательного процесса получить представ-

ление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития уча-

щихся средствами данного учебного предмета. Организационно-планирующая функция

предусматривает выделение этапов обучения, структурирование учебного материала,

определение его количественных и каче ственных характеристик на каждом из эта-

пов.

Структура документа

Рабочая программа включает следующие разделы: пояснительная записка, основ-

ное содержание, примерное распределение учебных часов по разделам программы,

требования к уровню подготовки учащихся данного класса, тематическое планиро-

вание учебного материала, поурочное планирование, примерные контрольные рабо-

ты, учебное и учебно- методическое обеспечение обучения для учащихся и учителя.

Общая характеристика учебного предмета

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования, она

необходима для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически

значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира,

развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры и

эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие

логического мышления и формирование понятия доказательства.

Цели

Изучение предмета направлено на достижение следующих целей:

• овладение системой знаний и умений, необходимых для применения в практиче-

ской деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;

• интеллектуальное развитие, формирование свойственных математической дея-

тельности качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в

современном обществе: ясности и точности мысли, критичности мышления, ин-

туиции, логического мышления, элементов алгоритмической культуры, способ-

ности к преодолению трудностей;

• формирование представлений об идеяхи методах геометрии как универсального

языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;

• воспитание культуры личности, отношения к предмету как к части общечелове-

ческой культуры, играющей особую роль в общественном развитии.

Место предмета

На изучение предмета отводится 2 часа в неделю, итого 68 часов за учебный год.

Результаты обучения

Результаты обучения представлены в Требованиях к уровню подготовки и задают

систему итоговых результатов обучения, которых должны достичь все учащиеся,

оканчивающие 11 класс, и достижение которых является обязательным условием

положительной аттестации ученика за курс 11 класса. Эти требования структури-

рованы по трем компонентам: знать, уметь, использовать приобретенные знания и

умения в практической деятельности и повседневной жизни.

Распределение учебных часов по разделам программы.

Декартовы координаты и векторы в пространстве – 5 часов.

Многогранники – 8 часов.

Тела вращения – 5 часов.

Объемы многогранников – 5 часов.

Объемы и поверхности тел вращения – 5 часов.

В каждом из разделов уделяется внимание привитию навыков самостоятельной

работы.

На протяжении изучения материала предполагается закрепление и отработка ос-

новных умений и навыков, их совершенствование, а также систематизация полу-

ченных ранее знаний.

В ходе изучения материала планируется проведение пяти контрольных работ по

основным темам и одной итоговой контрольной работы.

Содержание обучения

Многогранники. Вершины, ребра, грани много- гранника. Развертка.

Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Призма, ее основания, боковые ре-

бра, высота, боковая поверхность. Прямая и на клонная призма. Правильная призма.

Параллелепипед. Куб. Пирамида, ее основание, боковые ребра, высота, боковая по-

верхность. Треугольная пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. По-

нятие о симметрии в пространстве (центральная, осевая, зеркальная). Сечения мно-

гогранников. Построение сечений. Представление о правильных многогранниках

(тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Тела и поверхности вращения. Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание,

высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, па-

раллельные основанию. Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Сфера, вписанная в многогранник, сфера, описанная около многогранника.

Объемы тел и площади их поверхностей. Понятие об объеме тела. Отношение объ-

емов подобных тел. Формулы объема куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра.

Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхности цилиндра и

конуса. Формулы объема шара и площади сферы.

Требования к уровню подготовки учащихся

В результате изучения курса учащиеся должны:

знать:

• основные понятия и определения геометрических фигур по программе;

• формулировки аксиом планиметрии, основных теорем и их следствий;

• возможности геометрии для описания свойств реальных предметов и их взаимного

расположения;

• роль аксиоматики в геометрии;

уметь:

• соотносить плоские геометрические фигуры и трехмерные объекты с их описания-

ми, чертежами, изображениями; различать и анализировать взаимное расположение

фигур;

• изображать геометрические фигуры и тела;

• выполнять чертеж по условию задачи;

• решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства планиметрических

и стереометрических фигур и отношений между ними, применяя алгебраический и

тригонометрический аппарат;

• проводить показательные рассуждения при решении задач, доказывать основные

теоремы курса;

• вычислять линеиные элементы и углы в пространственных конфигурациях, объемы

и площади поверхностей пространственных тел и их простейших комбинаций;

• применять координатно-векторный метод для вычисления отношений, расстояний

и углов;

• строить сечения многогранников и изображать сечения тел вращения;

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и

повседневной жизни для:

• исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изу-

ченных формул и свойств фигур;

• вычисления длин, площадей и объемов реальных объектов при решении практиче-

ских задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устрой-

ства.

Используемый учебно-методический комплект Погорелов А.В. Геометрия. 10–11 классы: Учебник для общеобразовательных

учреждений. М.: Просвещение, 2009.

Тематическое планирование учебного материала

№

пункта

учебни

ка

Тема

Количество

часов, от-

веденное

на изучение те-

мы

Декартовы координаты и векторы в пространстве ( 5 часов)

Векторы в пространстве.

1

Действия над векторами в пространстве

2

Решение задач

2

39-40 § 5. Многогранники (8 часов)

Двугранный угол. Трехгранный и многогранный углы

1

41-

43

Многогранник.Призма. Изображение призмы и ее сечений. 1

44 Прямая призма 1

45 Параллелепипед 1

46 Прямоугольный параллелепипед 1

47–48 Пирамида. Построение пирамиды и ее плоских сечений 1

49-50

Усеченная пирамида.Правильная пирамида.

1

51 Правильные многогранники

1

§ 6. Тела вращения (5 часов)

52–53 Цилиндр. Сечения цилиндра плоскостями 1

55–56 Конус. Сечения конуса плоскостями 1

58–60 Шар. Сечение шара плоскостью. Симметрия шара 1

61–62 Касательная плоскость к шару. Пересечение двух сфер 2

§ 7. Объемы многогранников (5 часов)

65–67 Понятие объема. Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем наклонно-

го параллелепипеда.

1

68 Объем призмы

2

69–71 Объем пирамиды Объем усеченной пирамиды

2

§ 8. Объемы и поверхности тел вращения (5 часов)

73 Объем цилиндра

1

74-75 Объем конуса Объем усеченного конуса.

1

78 Площадь боковой поверхности цилиндра

1

79 Площадь боковой поверхности конуса

1

80 Площадь сферы

1

191

Примерные контрольные работы

Контрольная работа 1. Двугранный угол.

Призма

Вариант 1

1. Сторона АD квадрата АВСD, лежащего в одной из граней двугранного угла, лежит на ребре угла. Найдите рас-

стояние от прямой ВС до второй грани угла, если площадь квадрата равна 36 см2, а двугран- ный угол равен 30°.

2. Основанием прямой призмы АВСDА1В

1С

1D

1 является параллелограмм АВСD со сторонами 4 и 8 см,

угол ВАD равен 60°. Диагональ В1D образует с плоскостью основания угол, равный 30°. Найдите площадь боковой по-

верхности призмы.

3. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда равны 15 и 20 см, а диагональ – 5 26 см. Найдите:

а) боковую поверхность параллелепипеда;

б) площадь сечения, проведенного через диагональоснования и противолежащую вершину второго основания.

Вариант 2

1. Сторона АD квадрата АВСD, лежащего в одной из граней двугранного угла, лежит на ребре угла. Найдите дли-

ну проекции стороны СD на вторую грань, если периметр квадрата равен 24 см, а дву- гранный угол равен 60°.

2. Основанием прямой призмы АВСDА1В

1С

1D

1 является параллелограмм АВСD со сторонами 6 и 3 см и

углом В, равным 60°. Диагональ АС1

образует с плоскостью основания угол, равный 60°. Найдите площадь боковой

поверхности призмы.

3. Сторона основания и высота прямоугольного параллелепипеда равны 15 и 10 см, а боковая поверх- ность – 700

см2. Найдите:

а) площадь основания параллелепипеда;

б) площадь сечения, проведенного через диагональ основания и середину противолежащего бокового ребра.

Контрольная работа 2. Пирамида

Вариант 1

1. Высота основания правильной треугольной пирамиды равна 5 см, а двугранный угол при стороне основания

равен 45°. Найдите:

а) площадь поверхности пирамиды;

б) расстояние от вершины основания до противоположной боковой грани.

2. Основание пирамиды – прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Все двугранные углы

при основании пирамиды равны 60°. Найдите полную поверхность пирамиды.

3. Основание пирамиды – квадрат с периметром 16 см. Две смежные боковые грани пирамиды перпендику-

лярны плоскости основания. Площадь меньшего диагонального сечения пирамиды вдвое меньше площади основа-

ния. Найдите площадь большего диагонального сечения.

Вариант 2

1. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 3 см, а двугранный угол при стороне основания

равен 45°. Найдите:

а) площадь поверхности пирамиды;

190

б) расстояние от вершины основания до проти- воположной боковой грани.

2. Основание пирамиды – равнобедренный треугольник с боковой стороной 5 см и основани- ем 6 см.

Все двугранные углы при основании пирамиды равны 60°. Найдите полную поверхность пирамиды.

3. Основание пирамиды – квадрат с периметром 8 2 см. Две смежные боковые грани пирамиды перпендику-

лярны плоскости основания. Площадь большего диагонального сечения пирамиды равна 42 см2. Найдите

площадь меньшего диагонального сечения.

Контрольная работа 3. Тела вращения

Вариант 1

1. Диаметр основания цилиндра равен 10 см. На расстоянии 3 см от оси цилиндра проведено се- чение, парал-

лельное оси и имеющее форму квадрата. Найдите площадь данного сечения и площадь осе- вого сечения цилиндра.

2. Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите площадь сече- ния конуса

плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°.

3. Диаметр шара равен 2m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии

пересечения сферы этой плоскостью.

Вариант 2

1. Радиус основания цилиндра, осевое сечение которого квадрат, равен 10 см. На расстоянии 8 см от оси цилин-

дра проведено сечение, параллельное оси. Найдите площадь данного сечения и площадь осевого сечения цилиндра.

2. Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом

30°. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между ко-торыми равен

60°.

3. Диаметр шара равен 4m. Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите

площадь сечения шара этой плоскостью.

Контрольная работа 4. Объемы многогранников

Вариант 1

1. В правильной треугольной пирамиде боковые ребра наклонены к основанию под углом 60°, длина боко-

вого ребра 8 см. Найдите объем пирамиды.

2. Основание прямого параллелепипеда – ромб с периметром 40 см. Боковое ребро параллелепипеда равно 9 см, а

одна из его диагоналей – 15 см. Найдите объем параллелепипеда.

3. В пирамиде из задачи 1 найдите расстояние между ребрами, лежащими на скрещивающихся прямых.

Вариант 2

1. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60°, длина бокового ребра равна 4 см.

Найдите объем пирамиды.

2. Основание прямого параллелепипеда – ромб с периметром 40 см. Одна из диагоналей ромба равна 12 см. Найди-

те объем параллелепипеда, если его большая диагональ равна 20 см.

3. В пирамиде из задачи 1 найдите расстояние между скрещивающимися ребрами.

Контрольная работа 5. Объемы и поверхности тел вращения

Вариант 1

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, площадь основания цилиндра равна 16π см2. Найдите пло- щадь полной

поверхности цилиндра.

2. В конусе через его вершину под углом φ к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая от окружности

дугу в 2α. Радиус основания конуса равен R. Найдите объем конуса.

3. Прямоугольная трапеция с основаниями а и b (а > b) и острым углом α вращается вокруг большего основа-

ния. Найдите площадь поверхности тела вращения.

191

Вариант 2

1. Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4 см. Найдите площадь полной поверхности

цилиндра.

2. В конусе через его вершину под углом φ к плоскости основания проведена плоскость, отсекающая от окружно-

сти основания дугу в α. Высота конуса равна h. Найдите объем конуса.

3. Равнобокая трапеция с основаниями а и b (а < b) и острым углом α вращается вокруг большего основа-

ния. Найдите площадь поверхности тела вращения.

Контрольная работа 6 (итоговая)

Вариант 1

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD сторона основания равна 6, а боковое реб- ро 5.

Найдите:

а) площадь боковой поверхности пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) угол наклона боковой грани к плоскости основания;

г) скалярное произведение векторов (AD + AB) × AM ;

д) площадь описанной около пирамиды сферы; е) угол между ВД и плоскостью DМС.

Вариант 2

В правильной четырехугольной пирамиде МАВСD боковое ребро равно 5 и наклонено к пло- скости ос-

нования под углом 60°. Найдите:

а) площадь боковой поверхности пирамиды;

б) объем пирамиды;

в) угол между противоположными боковыми гранями;

г) скалярное произведение векторов (MA + MC) × ME ;

д) площадь описанной около пирамиды сферы; е) угол между боковым ребром АМ и плоскостью DМС.

190

Учебное и учебно-методическое обеспечение

Для учащихся 1. Погорелов А.В. Геометрия. 10–11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Про- све-

щение, 2009. 2. Веселовский С.Б., Рябчинская В.Д. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. М.: Про-

свещение, 2008. 3. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский В.Ф. Задачи по геометрии для 7–11 классов. М.: Просвещение,

2001.

Для учителя 1. Погорелов А.В. Геометрия. 10–11 классы: Учебник для общеобразовательных учреждений. М.: Про- све-

щение, 2009. 2. Веселовский С.Б., Рябчинская В.Д. Дидактические материалы по геометрии для 11 класса. М.: Про-

свещение, 2008. 3. Зив Б.Г., Мейлер В.М., Баханский В.Ф. Задачи по геометрии для 7–11 классов. М.: Просвещение, 2001. 4. Алтынов П.И. Геометрия, 10–11 классы. Тесты: Учебно-методическое пособие. М.: Дрофа, 2000. 5. Земляков А.Н. Методические рекомендации к учебнику. М.: Просвещение, 2004. 6. Звавич Л.И., Рязановский А.Р., Такуш Е.В. Новые контрольные и проверочные работы по геомет-

рии. 10–11 классы. М.: Дрофа, 2002. 7. Ершова А.П., Голобородько В.В. Самостоятельные и контрольные работы по геометрии. Разно-

уровневые дидактические материалы для 11 класса. М.: Илекса, 2003. 8. Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Геометрия. Задачник к школьному курсу, 7–11 классы. М.:

АСТ-ПРЕСС, 1998. 9. Смирнова И.М. 150 задач по геометрии в рисунках и тестах. 10–11 классы. М

: Аквариум, 2001.

191

1

Пояснительная записка

Учебная программа по геометрии составлена на основе федерального компонента

государственного стандарта основного общего образования.

Данная учебная программа ориентирована на учащихся 10-11 классов и реализуется на

основе

следующих документов:

1. Государственный стандарт основного общего образования по математике.

Программа соответствует учебнику Погорелова А.В. Геометрия: Учебник для 10-11

классов

средней школы. – М.: Просвещение, 2010 г.

Геометрия – один из важнейших компонентов математического образования,

необходимая для приобретения конкретных знаний о пространстве и практически

значимых умений, формирования языка описания объектов окружающего мира,

для развития пространственного воображения и интуиции, математической культуры,

для эстетического воспитания учащихся. Изучение геометрии вносит вклад в развитие

логического мышления, в формирование понятия доказательства.

Цели

Изучение геометрии в старшей школе на базовом уровне направлено на достижение

следующих целей:

формирование представлений о геометрии как универсальном языке науки,

средстве моделирования явлений и процессов;

развитие логического мышления, пространственного воображения,

алгоритмической

культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для обучения в

высшей

школе по соответствующей специальности, в будущей профессиональной

деятельности;

овладение геометрическими знаниями и умениями необходимыми в

повседневной жизни,

для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне,

для получения образования в областях, не требующих углубленной

математической

подготовки;

воспитание средствами математики культуры личности, отношения к геометрии

как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития

математики, эволюцией математических идей; понимания значимости геометрии

для общественного прогресса.

Изучение программного материала дает возможность учащимся:

осознать, что геометрические формы являются идеализированными образами реальных

объектов;

научиться использовать геометрический язык для описания предметов окружающего

мира;

получить представления о некоторых областях применения геометрии в быту, науке,

технике,

искусстве;

усвоить систематизированные сведения о плоских фигурах и основных геометрических

отношениях;

приобрести опыт дедуктивных рассуждений: уметь доказывать основные теоремы курса,

проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;

научиться решать задачи на доказательство, вычисление и построение;

2

Требования к уровню подготовки выпускников

Знать/понимать:

значение геометрии для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в

то же время ограниченность применения математических методов к анализу и

исследованию процессов и явлений в природе и обществе;

значение практики и вопросов, возникающих в самой геометрии, для формирования и

развития математической науки; историю возникновения и развития геометрии;

универсальный характер законов логики математических рассуждений, их

применимость во всех областях человеческой деятельности;

вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

Уметь:

распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные

объекты с их описаниями, изображениями;

описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве,

аргументировать свои суждения об этом расположении;

анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;

изображать основные многогранники и круглые тела, выполнять чертежи по условию

задачи;

строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;

решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение

геометрических величин (длин, углов, площадей, объёмов);

использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и

методы;

проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач.

Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и

повседневной жизни

Основное содержание

10 класс

Аксиомы стереометрии – 1ч.

Параллельность прямых в пространстве – 2ч.

Перпендикулярность прямых и плоскостей – 2ч.

Решение задач – 1ч.

11 класс

Многогранники – 2ч.

Тела вращения – 2ч.

Объёмы многогранников – 1ч.

Объемы и поверхности тел вращения – 1ч.

Решение задач - 3 ч.

3

10 класс Целями изучения курса геометрии в 10 классе является:

систематическое изучение свойств геометрических тел в

пространстве;

развитие пространственных представлений учащихся;

освоение способов вычисления практически важных геометрических

величин;

развитие логического мышления учащихся.

Учащиеся систематически изучают: основные понятия и аксиомы

стереометрии, а также параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

Содержание основных разделов программы по

геометрии в 10 классе

Раздел №1. «Введение» (1 час)

Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии. Некоторые следствия из

аксиом.

Основная цель: сформировать представления учащихся об основных

понятиях и аксиомах стереометрии, их использовании при решении стандартных

задач логического характера, а также об изображениях точек, прямых и

плоскостей на проекционном чертеже при различном их взаимном расположении

в пространстве.

Раздел №2. Параллельность прямых, прямой и плоскостей

(2 часа) Параллельность прямых, прямых и плоскости. Взаимное расположение

прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Параллельность плоскостей.

Тетраэдр и параллелепипед.

Основная цель: дать учащимся систематические сведения о параллельности

прямых и плоскостей в пространстве.

Учащиеся знакомятся с различными способами изображения

пространственных фигур на плоскости, доказательством теорем методом от

противного.

Раздел №3. «Перпендикулярность прямой и плоскости»

(2 часа)

Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол

между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.

Основная цель: дать учащимся систематические знания о

перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве; ввести понятие углов

между прямыми и плоскостями, между плоскостями.

Обобщаются знания учащихся о перпендикулярности прямых, перпендикуляре

и наклонных, известные им ранее.

Совокупность знаний и умений:

4

1. представления о широте применения геометрии в различных областях

человеческой деятельности;

2. знакомство с некоторыми фактами истории геометрии;

3. представления об аксиоматике геометрии, её роли в проведении

дедуктивных рассуждений;

4. умения проводить доказательства изученных в курсе теорем;

5. умения применять доказательства в ходе решения задач;

6. знание признаков параллельности: прямых, прямой и плоскости,

плоскостей;

7. знания свойств параллельности плоскостей;

8. умения различать и строить изображения пространственных фигур на

плоскости;

9. знание свойств пространственных фигур на плоскости;

10. знания о перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве;

11. знание теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности

прямых и плоскостей в пространстве;

12. умения решения практических задач.

11 класс Целями изучения курса геометрии в 11 классе является:

систематическое изучение свойств геометрических тел в

пространстве;

развитие пространственных представлений учащихся;

освоение способов вычисления практически важных геометрических

величин;

развитие логического мышления учащихся.

Учащиеся систематически изучают: основные понятия и аксиомы

стереометрии, а также параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

Содержание основных разделов программы по

геометрии в 11 классе

Раздел №1. «Многогранники и площади их поверхностей»

(2 часа)

Основная цель: повторить основные понятия и виды многогранников из курса

стереометрии 10 класса. Познакомить учащихся с теоремами вычисления

площадей поверхностей призмы, параллелепипеда, пирамиды.

Все теоремы доказываются достаточно просто, результаты могут быть

записаны формулами, поэтому в теме много задач вычислительного характера,

при решении которых отрабатываются умения учащихся пользоваться

сведениями из тригонометрии, формулами площадей. Решать задачи с

использованием таких понятий, как угол между прямой и плоскостью,

двугранный угол и т.д.

5

Раздел №2. «Объемы многогранников» (1 час)

Объем прямой и наклонной призм. Объем пирамиды.

Основная цель: продолжить систематическое изучение многогранников.

Понятие объема вводится по аналогии с понятием площади плоских фигур.

Формируются основные свойства объемов. Существование и единственность

объема тела принимается без доказательства, поэтому нужные результаты

устанавливаются, руководствуясь больше наглядными соображениями. Учебный

материал главы в основном должен усваиваться в процессе решения задач.

Раздел №3. «Тела вращения» (2 часа) Цилиндр. Площадь поверхности и объем цилиндра. Конус. Площадь

поверхности и объем конуса. Усеченный конус. Сфера. Шар. Взаимное

расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере. Площадь

поверхности сферы. Объем шара.

Основная цель: дать учащимся систематические знания об основных видах тел

вращения, вычисления их объемов.

Изучение тел вращения завершает изучение системы основных

пространственных геометрических тел. В ходе знакомства с теоретическим

материалом темы значительно развиваются пространственные представления

учащихся. Решаются в большом количестве задачи, что позволяет продолжить

формирование логических и графических умений.

Совокупность знаний и умений: 1. представления о широте применения геометрии в различных областях

человеческой деятельности;

2. знакомство с некоторыми фактами истории геометрии;

3. представления об аксиоматике геометрии, её роли в проведении

дедуктивных рассуждений;

4. умения проводить доказательства изученных в курсе теорем;

5. умения применять доказательства в ходе решения задач;

6. изучение : двугранный и многогранные углы, линейный угол двугранного

угла, многогранники, сечения многогранников, призма прямая и

правильная, параллелепипед, пирамида, правильная пирамида, теорема о

сечениях пирамиды, параллельных её основанию, правильные

многогранники;

7. знания тел вращения, сечения тел вращения, прямого кругового цилиндра и

сечения цилиндра, прямого кругового конуса и сечения конуса, сферы,

шара и их сечения, касательной плоскости к сфере;

8. понятия об объеме и свойства объемов;

9. понятие площади поверхности;

10. знания декартовых координат в пространстве, векторов в пространстве;

11. умения решения практических задач.

Литература

Для учителя

6

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 10-11 классов средней школы. – М.:

Просвещение, 2018.

2. Программы общеобразовательных учреждений: Геометрия 10-11 классы. Составитель:

Бурмистрова Т.А., М.: Просвещение, 2018.

3. Федеральный государственный стандарт основного общего образования по математике.

4. Г.И. Ковалёва. Дидактический материал. Геометрия 10-11 классы, «Учитель», 2018.

5. А.Н. Земляков. Методические рекомендации. Геометрия 10-11 класс. Просвещение,

2019.

Для учащихся

1. Погорелов А.В. Геометрия: Учебник для 10-11 классов средней школы. – М.:

Просвещение, 2018.

Тематическое планирование по геометрии (интенсив)

7

10-11 класс

на 2019-2020 учебный год

Группы 11-9, 11-10

№

урока

Тема урока

1 Аксиомы стереометрии. Следствие из аксиом. Взаимное

расположение 2- прямых в пространстве.

2-3 Взаимное расположение прямой и плоскости в

пространстве. Параллельность прямой и плоскости в

пространстве. Параллельность 2-х плоскостей.

4-5 Перпендикулярность прямой и плоскости.

Перпендикулярность 2-х плоскостей.

6 Решение задач.

7-8 Многогранники и их поверхности.

9-10 Тела вращения и их поверхности.

11 Объемы многогранников.

12 Объемы тел вращения.

13-15 Решение задач.