51

제 31 장. 전자기 진동과 교류

전기회로의 기본요소는 저항기(Resistor), 축전기(Capacitor) 및 유도기(Inductor)이다. 축전기나

유도기에 저장된 에너지는 회로를 통해 저항기로 전달되어 소모한다. 만일 회로가 축전기와 유도

기로 만 구성되어 있다면 충전기에 있는 전하는 스프링이나 그네 운동처럼 진동하며, 이때 전압법

칙 또는 회로의 에너지로부터 얻어진 미분방정식을 풀면 회로에서 일어나는 진동현상을 해석할

수 있다.

31.1 LC 회로의 진동

(a) 전압법칙에 의한 미분방정식 유도: 초기 축전기에 oq 의 전하가 충전되어 있

고 0t 에서 스위치를 닫으면 전하는 반대편 충전 판으로 이동을 시작하며 회

로에 전류를 형성한다. 이때 전압법칙은 다음과 같다.

0L CV V (31.1)

1 10 0

di diL q q

dt C dt LC (31.2)

(b) 회로의 에너지 보존에 의한 미분방정식 유도: 회로의 에너지를 시간으로 미분한다.

constantL CU U U (31.3) 2

21constant

2 2

qU Li

C (31.4)

10 0

dU di q dq diLi q

dt dt C dt dt LC (31.5)

(31.5)는 (32.2)와 같은 미분방정식이다. 따라서 LC 회로의 미분방정식은 위의 두 가지 방법에

의해서 얻어질 수 있다.

LC 회로의 미분방정식 풀이

/i dq dt 이므로 (31.1)식은 축전기의 전하 q 에 대한 시간의 2 차 미분방정식으로 표현된다.

2 22

2 2

10 0

d q d qq q

dt LC dt (31.6)

여기서 각 진동수는 1/ LC .

(31.6)의 해를 r tq Ke 라 하고 이것을 미분하여 다시 (31.6)에 대입한 후 r 값을 구한다.

r tdqKre

dt ,

22

2

r td qKr e

dt

2 2 2 2( ) 0r t r t r tKr e Ke Ke r r j

여기서 1j 로 허수(Imaginary number).

일반 해(General solution): 1 2

j t j tq K e K e (31.7)

※ Euler Formula : cos sin , cos sinj jj je e

1 2 1 2( )cos ( )sinq K K t j K K t (31.8)

52

상수 1 2 1 2( ), ( )A K K B j K K 라 하자.

계수 ,A B는 경계조건(Boundary condition)에서 결정되는 상수이다.

( ) cos sinq t A t B t (31.9)

( ) sin cosdq

i t A t B tdt

(31.10)

(a) 초기 0t 에서 축전기는 oq 으로 충전되어 있었다면 (31.9)는

(0) oq q A

(b) 초기 0t 에서 회로는 전류가 흐르지 않는다. 따라서 (31.10)은

(0) 0i B

(31.7)의 완전한 해(Exact solution): ( ) cosoq t q t (31.11)

축전기의 전하 ( )q t 를 이용하여 축전기의 시간에 따른 전압 ( )Cv t 와 회로에 흐르는 전류 ( )i t 를

나타내면

( )( ) cos coso

C o

qq tv t t V t

C C (31.12)

( ) sin sin cos( )2

o o o

dqi t q t i t i t

dt

(31.13)

여기서 /o oV q C , /o o oi q q LC

축전기의 전하, 전압 및 고리에 흐르는 전류에 대한 식을 종합.

( ) cosoq t q t (31.14)

cosC oV V t (31.15)

( ) cos( )2

oi t i t

(31.16)

LC 회로의 축전기와 유도기와에 저장된 에너지

22 21cos

2 2C o

qU q t

C (31.17)

2 2 21 1cos ( )

2 2 2L oU Li Li t

(31.18)

축전기(Capacitor)의 전하 ( )q t 또는 전압 ( )Cv t 와 유도기

(Inductor)를 통해 흐르는 전류 ( )i t 사이에는 그림처럼 / 2

의 위상 차(주기로는 / 4T 차이)가 있다. 이때 전류는 위상이

전압보다 / 2 앞서간다. 회로에서 저항으로 인한 열 손실이 없

다면 축전기와 유도기 사이의 전류는 진동이 끝없이 계속될 것

이다. 시간에 따라 변하는 2 차원 평면적인 그림이 아래에 있다.

동적인 진동 모습은 www.walter-fendt.de/ph14e/osccirc.htm

에서 확인한다.

53

보기문제 31.1 전기용량이 1.5μFC 인 축전기를 57VoV 로 충전한 후 전지를 떼어내고

12mHL 의 코일을 연결하였다. (a) 코일에 흐르는 최대 전류는 얼마인가? 단 회로에는 저항이

없다고 가정한다. (b) 유도기에 걸리는 포텐셜 차를 시간의 함수로 표시하여라. (c) 회로에 흐르는

전류 i 의 변화율 /di dt 의 최대값은 얼마인가?

(풀이) (a) 에너지 보존에 의해 축전기의 모든 에너지는 코일로 모두 이동하였을 때가 있다. 즉

2 21 1

2 2o m m o

CCV Li i V

L

6

3

(1.5 10 F)(57 V) 0.637 A

12 10 Hmi

(b) cosoq q t : sino

dqi q t

dt

2 cos cos cosoL o o

qdiv L L q t t V t

dt C

(57V)cosLv t

6 1/ 2

1 17454rad / s

[(0.012H)(1.5 10 F)]LC

(c) 2 cos

diq t

dt

최대 변화율은 cos 1t 일 때 2

oq 로 최대이다.

2

max

1( ) ( )o o

o

q Vdiq

dt L C L

3

max 3

57V( ) 4.75 10 A / s

12 10 H

di

dt

54

보기문제 31.2 LC 회로에서 1.5mHL 의 유도기는 최대 에너지로 17μJ 을 저장한다. 최대 전

류는 얼마인가?

(풀이) 2 21

2

LL m m

UU Li i

L

6

3

(2)(17 10 J)0.15A

1.5 10 Hmi

보기문제 31.3 12mH, 1.7μFL C 인 회로에서 최대 축전 전하는 oq 이다. (a) 전기장과 자기

장의 에너지가 동등하게 분배되었을 때 축전기의 전하는 얼마인가? (b) 위의 조건을 만족시키는

데 걸린 시간은 얼마인가?

(풀이) (a)

22 1 1( ) ( ) 0.712 2 2 2

oo o

qqq q q

C C

(b) 1

cos cos2

o o oq q t q q t

1cos

42t t

:

4 4

LCt

3 6

4(12 10 H)(1.7 10 F)1.12 10 s

4t

전기의 LC 진동과 역학의 용수철(Spring) 진동의 비교

LC 진동의 미분방정식:

2 22

2 2

10 0

d q d qq q

dt LC dt , ( 1/ LC ) (31.19)

용수철에 매달린 질량 m 의 운동방정식:

2 2

2 20

d x d x kF m kx x

dt dt m

22

20

d xx

dt , ( /k m ) (31.20)

(31.20)의 미분방정식은 LC 진동의 미분방정식 (31.19)와 동일한 형태를 갖는다.

용수철 진동의 해: cosox x t (31.21)

※ LC 진동과 역학진동(용수철 진동)의 인자비교

비교인자 LC 진동 스프링 진동

각속도 ( ) 1/ LC /k m

Inductance L m

Capacitance C 1/ k

Charge q x

Current i v

P.E(U ) 2 / 2q C 2 / 2kx

K.E.( K ) 2 / 2Li 2 / 2mv

55

31.2. RLC 회로의 감쇄 진동(Damping Oscillation)

RLC 회로에서 충전기에 충전된 전하 oq 는 스위치를 닫는 순간( 0t ) 회로에 전류를 형성하며

진동을 시작한다. 이때 저항은 전류가 진동하는 동안 에너지를 소모한다.

Voltage law 를 우측 회로에 적용하면,

0L R CV V V

10

diL Ri q

dt C

2

2

10

d q R dqq

dt L dt LC (31.22)

미분방정식의 해를 rtq K e 라 놓고 이것을 미분하면

r tdqKr

dte ,

22

2

r td qKr

dte

이들을 (31.22)에 대입하고 인수 분해하여 r 값을 찾는다.

2 10r t r t r tR

Kr Kr KL LC

e e e

2 10

Rr r

L LC (31.23)

인수분해를 쉽게 하기 위하여 다음과 같이 치환한다.

22

R Rb b

L L ,

1c

LC (31.24)

(31.23) 식: 2 22 0r b c r b b c (31.25)

또는 2 'r b j c b b j (31.26)

여기서 1j , 2 21

' ( )2

Rc b

LC L (31.27)

※ 회로는 일반적으로 2 0c b , 따라서 ' 0

미분방정식의 일반 해: 1 2 1 2

' '( ') ( ')( ) ( )bt j t j tb j t b j t

q t K K K Kee e e e

1 2 1 2( ) [( )cos ' ( )sin ' ]btq t K K t j K K te

상수를 다음과 같이 놓고 정돈하면

1 2 1 2( ), ( )A K K B j K K

( ) ( cos ' sin ' )btq t A t B te (31.28)

( ' sin ' ' cos ' ) ( ) ( cos ' sin ' )bt btdqi A t B t e b e A t B t

dt (31.29)

계수 ,A B는 경계조건에서 결정되는 상수이다.

경계조건(Boundary condition)

56

(a) 0t 에서 oq q . (31.28)에서

oq A (31.30)

(b) 0t 에서 0i : (31.29)에서 0 'B bA

' 으로 양변을 나누면 0 0' 2 '

bA RB B A B

L (31.31)

※ 'L 은 inductor의 reactance로 저항과 같으며 0t 일 때, 즉 스위치를 닫는 순간

(Oscillation을 시작하는 순간) 'L 이다. 그 결과 / 2 ' 0R L 이고 따라서 0B 이다.

그러므로 (31.28)의 완전한 해는 다음과 같다.

2( ) ( cos ' ) ( cos ' )R

tL

o o

btq t q t q te e

(31.32)

이것은 축전기의 전하가 cos 'oq t 로 진동할 때에

/2bt Rt Le e 로 시간에 따라 감소하는 것을 의미한다.

축전기의 전하량 ( )q t 를 이용하여 전압 ( )CV t 와 전류 ( )i t

를 나타내면

2( )

( ) ( cos ' )oC

Rt

Lqq t

V t tC C

e

(31.33)

2 ( cos ' )C o

Rt

LV V te

(31.34)

2( )

( ) 'sin ' )( o

Rt

Ldq t

i t q tdt

e

(31.35)

2( ) [ cos( ' )]2

o

Rt

Li t i te

(31.36)

여기서 oo

qV

C , 'o oi q

보기문제 31.4 유도용량이 12mHL 이고 전기용량이 1.6μFC 이며 저항이 1.5R 인

RLC 직렬회로가 있다. (a) 시간이 얼마나 지나면 회로에서 일어나는 전하 진동이 처음 값의 반

이 되는가? (b) 이 시간 동안 몇 번의 진동이 이루어지는가?

(풀이) (a) / 2 /2 1

( ) sin ' sin '2 2

mm

Rt L Rt Lii t i t te e

1 2ln( ) ln 2

2 2

R Lt t

L R :

322(12 10 H)

(ln 2) 1.11 10 s1.5

t

(b) 21

' ( )2

R

LC L

2 3

3 6 3

1 1.5' [ ] 7.2166 10 rad / s

(12 10 H)(1.6 10 F) 2(12 10 H)

4

3

2 28.702 10 s

' 7.2166 10 rad / sT

2

4

1.11 10 s12.8

8.702 10 s

t

T

57

31.3 교류(Alternating current)

발전기(Generator)에서 공급되는 교류 기전력(전압)은 진폭 m 과 각주파수 로 특성 지워진다.

RLC 회로에 기전력 sinm t 를 공급하면 그때 회로에 흐르는 전류는 sin( )mi i t 로

나타나며 기전력 보다 앞서거나 뒤서는 위상차 가 발생한다.

(i) 기본회로의 리액턴스(Reactance)

발전기에서 공급하는 회로의 입력전압을 sinm t 라 하면 각각의 독립적인 소자에서 일어나

는 현상은 다음과 같이 해석된다.

(a) 저항기(Resistor)

우측 그림의 회로에서 전압법칙을 적용하면

: sin sinmR m R Rv t i R i t

R

(31.37)

sinR Ri I t , ( /R mI R ) (31.38)

아래 그림은 저항에서 전압과 전류를 위상자(Phase tracer)로 나타낸 것이다. 공급전압 와 회로

에 흐르는 전류 Ri 은 같은 위상이다.

(b) 축전기(Capacitor)

우측 그림의 회로에서 전압법칙을 적용하면

: sin sinC m m

qv t q C t

C (31.39)

cos cosC m C

dqi C t I t

dt (31.40)

전류진폭: mC m

C

I CX

, 1/CX C (31.41)

여기서 CX 는 축전기의 교류저항으로 축전기의 리액턴스(Reactance)라 한다.

(31.39)를 달리 표현하면

sin( )2

C Ci I t

(31.42)

Ci 는 발전기에서 공급하는 전압 sinm t 보다 / 2 뒤에 나타난다.

58

(c) 유도기 (Inductor)

우측 그림의 회로에서 전압법칙을 적용하면

: sin sinmLL m L

diV t L di t dt

dt L

(31.43)

sin cos cosm mL Li t dt t I t

L L

(31.44)

m mL

L

IL X

, LX L (31.45)

여기서 LX 은 유도기의 교류 저항으로 유도기의 Reactance이다.

(31.44)를 달리 표현하면,

sin( )2

L Li I t

(31.46)

Li 은 발전기에서 공급하는 전압보다 / 2 앞서 간다.

보기문제 31.5 다음의 문제들에서 회로에 sinm t 로 공급되는 외부 기전력의 진폭과 진동

수가 각각 36.0Vm , 60.0Hzf 로 동일하다.

(1) 순수한 저항회로: 200R 이다. (a) 저항에 걸리는 포텐셜차를 시간 t 의 함수로 나타내어라.

포텐셜차의 진폭은 얼마인가? (b) 저항에 흐르는 ( )Ri t 와 진폭 RI 은 무엇인가?

(2) 순수한 용량회로: 15.0μFC 이다. (c) 축전기에 걸리는 포텐셜차 Cv 와 진폭 CV 는 얼마인

가? (d) 회로의 전류 ( )Ci t 를 진폭 CI 와 시간의 함수로 나타내어라.

59

순수 유도회로: 유도용량 230mHL 이다. (e) 유도기에 걸리는 포텐셜차 ( )Lv t 와 진폭 LV 은 얼

마인가? (f) 회로의 전류 ( )Li t 의 진폭 LI 과 시간의 함수로 ( )Li t 를 나타내어라.

(풀이) 발전기에서 공급되는 기전력: sinm t , 여기서 2 2 (60/ s) 120 / sf .

순수 저항회로

(a) 전압법칙: ( ) sinR R mv v t t

(b) ( ) sinR Ri t I t : 36.0V

0.18A200

mRI

R

순수 용량회로

(c) 전압법칙: ( ) sinC C mv v t t , 따라서 36.0VC mV

(d) CC C

dvdqq Cv i C

dt dt

( ) cos cosC m C C mi t C t I t I C

62 (60.0Hz)(15.0 10 F)(36.0V) 0.2035ACI

순수 유도회로

(e) 전압법칙: ( ) sinL L mv v t t , 따라서 36.0VL mV

(f) ( ) sin cosm mL L

div L i t tdt t

dt L L

o( ) sin( 90 )L Li t I t

3

36.0V0.415A

2 (60.0Hz)(230 10 H)

mLI

L

(ii) RLC 직렬회로

발전기(Generator) 전압이 sinm t 로 공급되는 회로의 반응을 분석한다.

저항기의 Resistance: R (31.47)

축전기의 교류저항(Reactance): 1/CX C (31.48)

유도기의 교류저항(Reactance): LX L (31.49)

임피던스(Impedance)의 정의

교류에서 리액턴스들을 허수( 1j )로 취급하여 다루는 것을 임피던스라한다. 그 표기법은

RZ R (31.50)

1CZ

j C (31.51)

LZ j L (31.52)

RLC 회로의 임피던스(Impedance)

우측 RLC 회로의 총(Total) 임피던스

1( )R L CZ Z Z Z R j L

j C

(31.53)

60

1( )Z R j L

C

(31.54)

임피던스의 크기: 2 21

| | ( )Z R LC

(31.55)

옴의 법칙: sin( ) ( ) | |m t i t Z (31.56)

2 2( ) sin( ) sin( )

| | ( 1/ )

m mi t t tZ R L C

(31.57)

( ) sin( )i t I t (31.58)

2 2( 1/ )

mIR L C

(31.59)

공명 주파수: 위의 I 의 수식을 보면

0 1/L C LC (31.60)

일 때 I 가 최대가 된다. 이때의 를 공명 각 진동수라 한다. 즉 외부에서 공급되는 강제 각 진

동수 가 회로에서의 1/ LC 와 같을 때 이다.

위상 상수: ( )

tan L C L C

R

V V I X X

V IR

tan L CX X

R

(31.61)

극한의 경우

(a) 순수한 C 회로인 경우 0LR X

(31.56)에서 tan , 즉 / 2

(b) 순수한 L 회로인 경우 0: tanCR X

0: tanCR X 즉, / 2

전력인자

위의 벡터 그림에서

cos| | | |

R

m

V IR R

I Z Z

(31.62)

여기서 cos / | |R Z 을 전력인자라 한다.

보기문제 31.6 RLC 직렬연결 회로에서 200R , 15.0μFC , 230mHL , 외부 공급 주

파수 60.0Hzf , 진폭은 36.0Vm 라고 하자.

(a) 전류의 진폭 I 는 얼마인가?

(b) 외부 기전력에 대한 회로 전류의 위상상수 는 얼마인가?

61

(풀이) (a) 2 2| | ( )

m m

L C

IZ R X X

(2 )LX L f L

32 (60.0Hz)(230 10 H) 86.7LX

1 1

(2 )CX

C f C

6

1177

2 (60.0 )(15.0 10 )CX

Hz F

2 2

36.0V0.164A

[ (200) (86.7 177) ]I

(b) 1tan ( )L CX X

R

1 o(86.7 177)tan 24.3

200

31.4 교류회로의 전력(Power)

RLC 회로에서 소모 전력은 오직 저항에서만 일어난다.

2 2[ sin( )]P i R I t R (31.63)

평균값: 2 2 1

sin ( )2

t (31.64)

2 2 2

r ms

1( )

2 2avg

IP I R R I R (31.65)

※ rms[root mean square]

Oscilloscope를 제외한 모든 계측기는 rms 값을 측정한다.

r ms2

mII (31.66)

r ms2

mVV (31.67)

r ms2

m (31.68)

그리고 위의 모든 식은 rms 로 표기된 것으로 변경해도 아무런 문제가 발생하지 않는다.

2

r msP I R (31.69)

r ms

r ms| |

IZ

(31.70)

r ms

r ms r ms r ms r ms r ms cos| | | |

RP I R I I

Z Z

(31.71)

2 2

r ms r ms r ms2( ) cos| | | | | | | |

RP R

Z Z Z Z

(31.72)

62

※ 앞으로 사용되는 , ,P V I 는 모두 r ms 값임을 명심하자.

보기문제 31.7 진동수 60.0Hzf 이고 회로에 sinm t 로 공급되는 외부 기전력이 연결된

직렬 RLC 회로에 200R , 80.0LX , 150CX 이다. 여기서 r ms 120Vm .

(a) 회로의 전력인자 cos 와 위상상수 는 각각 얼마인가?

(b) 저항에서 발산되는 에너지 평균율 avgP 는 얼마인가?

(c) 회로의 다른 부분이 변하지 않는다고 할 때, avgP 를 최대로 만들기 위해 필요한 새로운 전기

용량 'C 은 얼마인가?

(풀이) (a) cos| | | |

R

m

V IR R

I Z Z

2 2 2 2| | [ (1/ )] ( )L CZ R L C R X X : 2 2| | (200) (80 150) 212Z

200cos 0.9438

212 :

1 ocos (0.9438) 19.3

C LX X 이므로 o19.3 이다.

(b)

2

r ms o(120V)cos cos( 19.3 ) 64.1W

| | 212P

Z

(c) 공명조건일 때 avgP 는 최대가 되므로

L CX X : 1 1 1

(2 )L new

new L L

X CC X f X

513.32 10 F

2 (60.0Hz)(80.0 )newC

이때의 최대 일률 값:

2 2r ms

r ms r ms

(120V)72.0 W

200avgP I

R

31.5 변압기(Transfommer)

발전소에서 전선에 공급하는 전기에너지의 일률은 P IV 이다. 전송선의 일정한 길이의 저항을

R 이라 하면 발전소는 생산해 낸 전력을 각 가정에 보낼 때 다음의 두 가지 전송 방법을 고려할

수 있고 전송선에서 소모되는 일률(전력 손실)이 달라지는 것을 확인할 수 있다.

(a) 전압을 두 배로 높이고 전류를 반으로 줄여 전송할 때 전송선에서 소모되는 전력

1 12 , / 2V V I I : 2 2

1 1

1

4P I R I R

(b) 전압을 반으로 하고 전류를 두 배로 전송할 때 전송선에서 소모되는 전력

2 2/ 2, 2V V I I : 2 2

2 2 4P I R I R

두 방법은 모두 발전소에서 전선에 공급하는 일률이 P IV 로 같다. 그러나 송전선에서 열로 소

모되는 양은 (b)가 (a)보다 무려 16배나 더 크다. 따라서 발전소는 전선에서 발생하는 손실을 줄

이기 위하여 (a)의 방법인 높은 전압과 낮은 전류로 전기를 송전한다. 이것을 각 가정은 변압기로

63

감압하여 사용한다. 변압기의 감압 및 승압 식은 다음과 같다.

발전소 송전전압 및 가정의 전압: 1V ,

2V

변압기의 1차 및 2 차 코일 수: 1N , 2N

감긴 수당 생기는 기전력: 1 2

1 2

each

V V

N N (31.73)

2 2 22 1

1 1 1

N V NV V

N V N (31.74)

일률의 보존: 11 2 1 1 2 2 2 1

2

VP P I V I V I I

V (31.75)

2I 는 부하저항 R 때문에 나타나며 여기에 나타난 2V 에

2 22

1

1( )

V NI

R R N (31.76)

(31.76)을 (31.75)에 대입하고 1I 으로 나타내면

2 1 11 1 1 2

1 2 2

1 1( ) ( )N V N

V I I VR N V R N

(31.77)

(31.74)를 다시 대입하면

211 1 1

2

1 1( )

eq

NI V V

R N R (31.78)

발전기가 느끼는 부하저항: 22

1

( )eq

NR R

N (31.79)

보기문제 31.8 이상적인 변압기에서 공급되는 rms 값, 1 8.5kVV , 가정에서 사용하는 전압

2 120VV 라 할 때 저항의 부하만 걸리면 전력인자는 1 이라 가정한다.

(a) 변압기의 1 차 코일과 2 차 코일의 감긴 도선수의 비는 얼마인가?

(b) 가정의 평균 에너지 소비율은 78kW 이다. 1, 2 차 코일의 전류 값은 각각 얼마인가?

(c) 1, 2 차 코일에 걸리는 부하저항은 각각 얼마인가?

(풀이) (a) 1

2

8500V71

120V

N

N

(b) 1

1

78kW9.2A

8.5kV

PI

V ,

2

2

78kW650A

0.12kV

PI

V

(c)

3

11

1

8.5 10 V926

9.2A

VR

I

22

2

120V0.18

650A

VR

I