特稿 /楊堯斌 吳敏德 張鈺炯 撰

16 冷凍空調＆熱交換\100.11\第103期

建築能源管理系統中總熱傳係數影響的

觀察-線性矩陣不等式法

摘 要

國家總能源消費量的一大部分是被建築物所耗用。開發最小化建築能耗的方法是很

重要的。本新方法使用了熱守恆方程式和基於線性二次調節器混合 H2 和 H∞控制的線性矩陣不等式來解決多變量控制問題。所獲得的控制增益代入到原來的熱系統，保證了整

個系統漸近穩定性。本文將探討總熱傳係數在此方法下對於溫度收斂和耗能的效應。這

將有助建築師選擇節能的牆壁、天花板、地板、門和窗戶的建材。

關鍵字：總熱傳係數，線性矩陣不等式，建築能源管理系統

1. 線性矩陣不等式的歷史發展和住屋節能初論

據 2010 年美國能源部的報告，建築物消耗掉總能源使用量的 2/5。暖氣，通風和空調（HVAC）在商業建築幾乎佔了總消耗能源使用量的 2/3 和在住宅建築超過總消耗能源使用量的 3/4 [1]。能源消耗最小化是建築能源管理系統裡一

個重要的議題。Dounis 等人回顧幾種建築能源管理系統的控制技術，如比例、

積分和微分（PID）控制，模糊邏輯，人工神經網絡和多代理控制 [2]。Blasco等人利用模型預測控制（MPC）與遺傳算法來做溫室溫度控制[3]。Paris 等人比較了 PID，PID 模糊邏輯控制和 PID-

MPC 方法[4]。關於建築節能管理系統，在不改變任何設備下，對於能源消耗最

小化和系統穩定最佳控制方法，仍然有

發展的需要。線性矩陣不等式(LMI)第一次 出 現 在 1890 年 。 Lyapunov 從Lyapunov 方程式推出 LMI。 1940 年代，Lyapunov 方法應用在真實控制工程問題。當時的 LMI 是用手算的。1960 年代 早 期 ， KYP(Kalman-Yakubovich-Popov Lemma) 定理使用圖示法解 LMI問題。1960 年代晚期，LMI 問題可以使用 Algebraic Riccati Equation 解。

在 1980 年代早期很多 LMI 是可以藉由凸規劃在電腦上解。1980 年代晚期為解LMI 的內點法開始發展。1993 年 Gahinet and Nemirovskii 為 MATLAB 寫 了

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LMItoolbox。現在併入Robust toolbox 裡面。 Yakubovich 可說是 LMI之父。Lyapunov 是 LMI的祖父。本文採用基於

線性二次調節器的混合

H2＆H∞控制、熱平衡能量守恆觀念以及線性矩

陣不等式 [5]。新的多變量控制或許為複雜的建

築節能管理系統提供了另一種解決方

法。

2. 建築能源管理系統描述

2.1 熱力學定律的應用

熱力學第一定律是一個基本的能量

守恆的例子。在控制容積內總內能隨時

間變化等於總供給熱量進入邊界控制容

積 Q 減去在邊界控制容積總作功W 。在本文其所做的作功是零，因等容過程是

在固定牆面的房間。所提供的熱量進入

房間表為 inQ ，所提供的熱量離開房間表為 outQ 。建築節能管理系統採用了熱平衡能量守恆。

inin out

dTmc Q Qdt

(1)

m 是控制體積質量（kg）在不同房間 的 對 角 矩 陣 ， c 是 空 氣 比 熱 （ KJ/Kg℃）的對角矩陣， inT 是在不同房間室內溫度的列向量。 outQ 是在不同房間通過牆壁離開的熱量列向量是成正比於通過牆

壁的溫差。

0 ( )out in outQ UA T T (2)

0UA 代表總傳熱係數（W/℃）在不

同房間的對角矩陣。

狀態空間形式為

0 01UA UAx x u dmc mc mc

. (3)

, , , 和inin in outdTT Q Tdt

分 別 重 新 表 示

為 , ,x x u d 和 。

他們全都是列向量。在 20℃條件下，空氣的比熱是 1.005（KJ/Kg℃），空氣的密度為 1.205 kg/m3[6]。

2.2 控制法則

u Kx (4)

方陣 K 控制增益含有比例增益和具有反積分終結的積分增益。 u x和 為

in inQ T和 列向量。主要是控制室內溫度。

2.3 系統結構

在本研究中，室外溫度和室內溫度

由溫度計量得。設定溫度是用戶給的。

有關設定溫度是從室內電器的溫控器給

定的。此溫控器可能控制室內的冷氣或

是暖氣設備。

inTset_pointT ueoutT

u

cu su

圖 1 控制流程圖

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3. 線性矩陣不等式

3.1 線性二次型調節器設計

建築能源管理系統的線性二次型調

節器設計提供的性能指標 J 為輸出方程

式，使得0

( )T TJ x Qx u Ru

(5)

x 是狀態變量，而 u 是控制輸入變量。矩陣 Q 和矩陣 R 是輸出方程式的內積係數矩陣。

3.2 反積分終結積分器

積分器降低了系統的穩態誤差，但

積分飽和導致飽和的現象。在圖 1 的 su和 cu 的差乘以係數 ，然後加上誤差信號 e 當成是積分器的輸入。這個反積分終結可以抑制因積分器產生的積分飽和

現象。一般來說，越大的 值，越快飽和收斂速度。可變結構（開關）的比例

積分反積分終結方法在文獻[7] 裡介紹。在本系統， 0u 當 c fu K X 是在線性狀態， ( )c su u u 當 c fu K X 是飽

和狀態。

離散時間狀態空間方程與反積分終結

重新排列式（3），離散時間動態方程式可以表示為狀態空間形式，

2 1( 1) ( ) ( ) ( ) ( )sX k AX k B u k B u k B d k

(6) 1( ) ( )z k C X k (7)

X 代表狀態變量像是一些室內溫度

iT 。u 表控制輸入包含回饋控制器增益

fK ，反積分終結和設定溫度。 d 為室外

溫度所造成的能量干擾，並 z 為參考輸出，像是控制法則後的室內溫度 iT 。

3.3 基於混和型 H2H∞的線性矩陣不等式

在 Lyapunov 穩定性理論，如果在式 6～7 存在對稱矩陣 TP P ，系統被認為是漸近穩定的。為了計算方便，讓我

們設定 1P Y 。

Lyaponov 函 數 ( )V k 被 假 定 為( ) ( )TX k PX k 。離散 Lyapunov 方程式可

以表示如下，

2 ( ) ( ) ( ) ( ) 0T TV d k d k z k z k

其中 ( 1) ( )V V k V k (8)

對於線性操作條件，LQR 問題的H∞公式為

11 1 0T T TX Y C C A A X (9)

對於飽和操作條件，LQR 問題的H∞公式為

111

1 11 1

*0

T TT

T T

Ts

Y C C A A

B A B B

X u

(10)

對於線性操作條件，LQR 問題的 H2公式為

1 11 1 0

T T TX Y C C A Y A X (11)

對於飽和操作條件，LQR 問題的H2 公式為

1 11 1

1 1

*0

T TT

T T

Ts

Y C C A Y A

B Y A B Y B

X u

(12)

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2 1 1 11 1 1( )T Td I B Y B B Y AX ,

2 fA A B K , 1B B , 1C C and2 1

1 1 1( )TY B I B . (13)

2 1 1 11 1 1( ) ( )T T

sd I B Y B B Y AX Bu ,

fA A B K , 2B B B and 1C C

(14)

式子 13 是在線性操作條件和式子14 是在飽和線性操作條件。

3.4 線性矩陣不等式表示式

把所求得的控制器增益帶進式子 6和 7，最後結果顯示在不同房間的室內溫度。

LMI 的 H∞範數在線性操作條件下可以表示為：

21

* * ** *

00 *

0 0

T

YAY Y

B ICY I

(15)

LMI 的 H∞範數在飽和操作條件下可以表示為：

21

* * * *0 0 * * *

0* *0 0 *

0 0 0

T

Y

AY B YB I

CY I

(16)

LMI 的 H∞2 範數在線性操作條件下可以表示為：

*0, 0

XY

B Y

and * *

* 00

YAY YCY I

(17)

LMI 的 H2 範數在飽和操作條件下可以表示為：

*0, 0

XY

B Y

and

* * *0 0 * *

0*

0 0

Y

AY B Y

CY I

(18)

4. 模擬結果

第一個房間的尺寸為 4m×4m×3.5m，門的尺寸為 2m×1m 以及兩扇窗的尺寸分別為 1m×3m 和 1m×2.5m。第二個房間的尺 寸 為 3.3m×4.3m×2.95m， 門 的 尺 寸 為2m×1m 以及窗的尺寸為 1m×1.5m。總傳熱係數 0UA 為兩個房間是 41.48 W/℃和27.2 W/℃。這個 0UA 數值仍然需要與台灣氣候條件相互驗證，此數值是從參考

文獻[8]裡的數據計算得來。在這項研究中，這兩個房間位於台灣工研院新竹中

興院區。該測試模擬了在兩個辦公室的

一個工作日。這個測試是不需要任何附

加設備。室內和室外的溫度可以從辦公

室的任何降溫設備讀取。溫控器可以設

溫度設定點。

負載 1 和 2 分別表示在房間 1 和房間 2，民眾進入使房間溫度上升（圖 2 上半部）第一間辦公室上午上升 2.25℃，下午上升 3.00℃。第二間辦公室上午上升 3.00℃，下午上升 4.00℃。Tout是外界溫度。 TR1 和 TR2 分別為工作日中在辦公室 1 和辦公室 2 的溫度控制。開始設定溫度為 26℃，然後在較高的熱負荷中設定為 24℃。（圖 2 下半部）有兩個方案：PID（傳統 ;虛線）和 LMI（目前方法；實線）。

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在工作日，假設中午前比較少人

來。下午是繁忙時間。辦公室的外界溫

度是變化的（虛線點線），並假設最高

溫度約在 13:00～15:00 之間。比較兩種方法，目前 LMI 方法比傳統 PID 方法更穩定。圖片顯示，一開始當有人進入辦

公室時溫度暫時比較高。辦公室關門時

溫控器就關閉。

目前的研究有兩個房間。這種情況

下在建築能源契約容量設定在 2 KW，就是每間 1KW。Qin 在這項研究假設能

源供應控制取決於熱損失。從 Qin 的圖示，LMI 方法（實線）仍然比 PID（虛線）表現得更穩定。如果系統可以找到

控制增益，該系統是漸進穩定（圖 3 上半部）。底部的圖顯示， PID 方法比LMI 方法用了更多電力。事實上，這是一個是在一個房間的冷房能力需求的數

值計算，使用電力需要從電子產品的

COP/ EER 來換算。電力乘以電子產品的運行小時成為千瓦小時（圖 3 下半部）。這是一般消費者有關能源使用量

常見的計費單位。

0 5 10 15 200

2

4

6℃

0 5 10 15 200

2

4

6

0 5 10 15 2025

30

35

40

45

Time (hour)

℃

0 5 10 15 2025

30

35

40

45

Time (hour)

Load1 Load2

Tr1-PIDTr1-LMITout

Tr2-PIDTr2-LMITout

圖 2 在房間 1和房間 2的熱負載和溫度控制

0 5 10 15 200

1000

2000

Wat

t

0 5 10 15 200

1000

2000

0 5 10 15 200

1

2

3

Time (hour)

kWh

0 5 10 15 200

1

2

3

Time (hour)

Qin1-PIDQin1-LMI

Qin2-PIDQin2-LMI

P2-PIDP2-LMI

P1-PIDP1-LMI

圖 3 在房間 1和房間 2的能源供應和電力消耗

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冷凍空調＆熱交換\100.11\第103期 21

在本研究中，發現不同的總熱傳係

數 0UA 會影響到結果，在有限的資料下，我們嘗試調整 0UA 來觀察其對溫度收斂性和每個初始階段耗電之影響。在

本研究，採用了 0 / 3UA 、 0 / 2UA 、 0UA 和

02UA 四種不同的值來觀察。圖 4 為 LMI控制在不同總熱傳係數 0UA 對於溫度收斂性的作用。發現越小的 0UA 會導致更接近設定溫度值，其中在 0 / 3UA 時只有與設定溫度 26℃差了 0.04℃和與設定溫度 24℃差了 0.06℃。在 02UA 時只有與設定溫度 26℃差了 0.18℃和與設定溫度24℃差了 0.21℃。在 PID 控制方面，其溫度收斂性為上下大幅震盪，此種溫度

震盪會造成在室內的人員不舒服。而且其

平均溫度與設定溫度的誤差值比較大。

圖 4 不同總熱傳係數對應於設定溫度的收斂

我們設定第一間房間，kWh error1為第一階段降溫時（從 29℃降到 26℃），PID 法比 LMI 法多的耗電量百分比。也設定 kWh error2 為第二階段降溫時（從 26℃降到 24℃），PID 比 LMI多的耗電量百分比。第二階段降溫時，

其熱負載比較大。最後設定 kWh error final 為全天 PID 比 LMI 多的總耗電量百分比。圖 5 顯示越小的 0UA 會導致更多的節能百分比，尤其是一開始降溫。第

一階段降溫其千瓦小時 PID 和 LMI 的差別接近 60%。第二階段降溫其千瓦小時PID 和 LMI 的差別超過 10%。

圖 5 不同總熱傳係數對應於每階段初始耗電量

在相同的總熱傳係數 0UA 下，設定溫度每增加 1℃在 LMI 方法下，所產生節能百分比的效應顯示在圖 6。在不同房間的效應或許不盡相同，但是其趨勢

是一樣的。就是溫度設定越高，節能百

分比越大。

圖 6 每上升 1℃所產生的節能百分比

5. 結論

在本研究，有關建築節能管理控制

系統的另一替代方法是結合熱力學第一

定律方程式與 LMI 方法。真正的建築能源管理系統包含了許多複雜的元件在裡

面，由於不同的熱負荷和環境溫度，這

仍需要更多的研究。真正的建築能源管

理系統總有幾個從幾電子產品和周邊環

境來的熱源和熱損失。它可能會影響總

節能率的積累。在建築物裡越多複雜的

電子產品，越需要解決的耦合作用。結

果顯示 LMI 方法為建築節能控制系統提供了一種新的替代方法。這方法是很容

易檢驗整個系統的穩定性。因為只要可

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以算出增益值，就表示整個系統是漸進

穩定。

這項研究顯示建議的 LMI 方法比傳統的方法更有效和穩定。該建築一直使

用集中控制系統，在同一時間控制一些

區域性的電子產品。在不同的房間，不

同的區域系統，局部負載應該有不同的

耦合效應。傳統 PID 控制在沒有耦合效應時需要一間一間的調整控制參數。如

果有耦合效應，它很難在很短的時間內

調整控制增益。這種方法在更多電子設

備下應更節能，因為它是一個最佳化的

數學方法。這項研究未來在更多的假設

和真實的實驗上還需要更進一步的觀

察。

從模擬結果顯示，LMI 很容易自動找到其對應的控制增益值。並且其溫度

震盪比較小，對於日後舒適度研究有正

面的意義。PID 需要一個一個房間去調節控制增益。在房間少的時候，是可以

慢慢調節，但是尤其是在辦公大樓房間

數增加很多，PID 的慢慢調節變成不適用。LMI 可以一次計算完後給定一組最佳控制增益值，是值得繼續探討的方法。

有關第一階段節能比較明顯(圖 5)，經過調整不同溫度來觀察(圖 6)，可以發現第一階段溫度設定比較高。所以節能

比較明顯。到後來節能效果不明顯（圖

5 實線），由於 PID 其收斂效果，並沒有像 LMI 更接近設定溫度值，通常都高於 LMI 的趨近值，由於溫度高會比較節能（圖 6），造成總體節能百分比比較少。日後把舒適程度考慮，有關一般傳

統方法所造成的震盪溫度，則會常常造成

人員在室內的不舒服感超過 LMI 方法。

觀察總熱傳係數 0UA 的效應，有助於建築師選擇適當節能的牆壁、天花

板、地板、門和窗戶的建材。

6. 誌謝

本研究計畫承蒙經濟部能源局之能

源基金所贊助，謹此誌謝。

7. 參考文獻

[1] US Department of Energy, http://buildingsdatabook.eren.doe.gov (2010)

[2] Dounis, A. I., Caraiscos, C., “Advanced control systems engineering for energy and comfort management in a building environment- a review,” Renewable and sustainable energy review 13 (2009) 1246-1261.

[3] Blasco, X., Martinez, M., Herrero, J. M., Ramos, C., Sanchis, J., “Model-based predictive control of greenhouse climate for reducing energy and water consumption,” Computer and Electronics in Agriculture 55 (2007) 49-70.

[4] Paris, B., Eynard, J., Grieu, S., Talbert, T. Polit, M., “Heating control schemes for energy management in building,” Energy and building 42 (2010) 1908-1917.

[5] Boyd, S., Ghaoui, L. E., Feron, E. and Balakrishnan, V., “Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory,” Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), 1994

[6] Engineering toolbox, http://www.engineeringtoolbox.com

[7] Hodel, A. S., and Hall, C. E., “Variable-Structure PID control to Prevent Integrator Windup, IEEE Transactions on Industrial Electronics,” 48, 2, (2001)442-451.

[8] Guidance sheet for conservatories, sunrooms, and extensions to dwelling, Down District Council, http://www.downdc.gov.uk/Home.aspx

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