ICS 03.120.01; 03.120.99

L 05

中华 人民共 和国 国家标 准

GB/T XXXXX—201X/IEC 61078:2006

可信性分析技术

可靠性框图法和布尔代数法

Analysis techniques for dependability-

Reliability block diagram and Boolean methods

(IEC 61078:2006,Analysis techniques for dependability-Reliability block

diagram and Boolean methods, IDT)

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2016-12

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I

目  次

前言................................................................................................................................................................... III

引言.....................................................................................................................................................................IV

1 范围.................................................................................................................................................................1

2 规范性引用文件.............................................................................................................................................1

3 术语和定义.....................................................................................................................................................1

4 符号和缩略语.................................................................................................................................................1

5 假设和限制.....................................................................................................................................................2

5.1 事件的独立性.........................................................................................................................................25.2 次序事件.................................................................................................................................................35.3 失效时间分布.........................................................................................................................................3

6 确定系统成功/失效定义................................................................................................................................3

6.1 一般考虑.................................................................................................................................................36.2 详细考虑.................................................................................................................................................36.2.1 系统运行............................................................................................................................................36.2.2 环境条件.........................................................................................................................................36.2.3 工作周期.........................................................................................................................................4

7 基本模型.........................................................................................................................................................4

7.1 开发模型.................................................................................................................................................47.2 评价模型.................................................................................................................................................67.2.1 串联模型.........................................................................................................................................67.2.2 并联模型.........................................................................................................................................67.2.3 n中取 m模型（相同产品）.........................................................................................................67.2.4 备用冗余模型.................................................................................................................................7

8 更复杂的模型.................................................................................................................................................8

8.1 一般程序.................................................................................................................................................88.1.1 背景.................................................................................................................................................88.1.2 使用全概率理论.............................................................................................................................88.1.3 布尔真值表的使用.........................................................................................................................9

8.2 共用模块模型.......................................................................................................................................128.3 n中取 m模型（不相同产品）...........................................................................................................148.4 简化方法...............................................................................................................................................14

9 用于可用度计算的扩展可靠性框图法.......................................................................................................15

附录 A（资料性附录） 公式汇总..................................................................................................................16

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II

附录 B（资料性附录） 布尔不相交方法......................................................................................................19

B.1 引言....................................................................................................................................................... 19B.2 符号....................................................................................................................................................... 19B.3 原则-布尔变量和概率变量..................................................................................................................19B.4 不相交布尔表达式方法.......................................................................................................................20B.4.1 背景...............................................................................................................................................20B.4.2 不相交原理...................................................................................................................................20B.4.3 不相交过程......................................................................................................................................20

B.5 注释....................................................................................................................................................... 21

参考文献.............................................................................................................................................................23

图 1 串联可靠性框图........................................................................................................................................4图 2 复制的（或并行的）串联可靠性框图................................................................................................... 4图 3 串联复制的（或并行的）可靠性框图................................................................................................... 4图 4 混合的冗余可靠性框图............................................................................................................................5图 5 另一类型的混合冗余可靠性框图............................................................................................................5图 6 2/3 冗余.....................................................................................................................................................5图 7 2/4 冗余.....................................................................................................................................................5图 8 不容易表示成模块串联/并联的框图......................................................................................................5图 9 模块的并联设置........................................................................................................................................6图 10 备用冗余..................................................................................................................................................7图 11 图 8 中当产品 A失效时的框图..............................................................................................................9图 12 图 8 中当产品 A正常工作时的框图......................................................................................................9图 13 1/3 并联设置...........................................................................................................................................9图 14 使用箭头帮助定义系统成功的可靠性框图....................................................................................... 12图 15 图 14 中使用共用模块的另一种框图................................................................................................. 12图 16 2/5 不相同产品的系统.........................................................................................................................14图 17 简化前的模块分组图解........................................................................................................................14图 18 简化的可靠性框图................................................................................................................................15

表 1 图 13 示例的真值表应用........................................................................................................................10表 2 图 8 示例的真值表应用..........................................................................................................................11表 3 图 14 和图 15 示例的真值表应用..........................................................................................................13

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III

前  言

本标准按照GB/T 1.1—2009和GB/T 20000.2—2009给出的规则起草。

本标准使用翻译法等同采用IEC 61078:2006《可信性分析技术 可靠性框图法和布尔代数法》（英法

文版）。

本标准对IEC 61078:2006做了以下编辑性修改：

——为了使图与说明文字保持一致，修改了附录A表中部分基本配置图中字符的格式；

——为了保持全文公式的一致性，添加了部分公式省略的乘积符号“∙”；——附录A的公式汇总表格中，补充了由n个模块构成的部分基本配置示意图中缺少的省略号。

本标准由中华人民共和国工业和信息化部提出。

本标准由全国电工电子产品可靠性与维修性标准化技术委员会（SAC/TC24）归口。

本标准起草单位：工业和信息化部电子第五研究所。

本标准主要起草人：于敏，杨春晖，纪春阳，刘梦玥。

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IV

引  言

可信性分析时可使用不同的方法，可靠性框图（RBD）是其中的一种方法。当应用一种或综合应

用几种方法评价给定系统或组件的可靠性和可用性时，分析者应优先使用 RBD 方法，同时，也应考虑

从每一种方法中可获得的结果、分析所需的数据、分析的复杂性和本标准中的其它因素。

RBD方法是关于系统可靠性的图形表示，它可表示系统的成功运行（后文将用“系统成功”）所需（功

能）组件的逻辑关系。

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1

可信性分析技术 可靠性框图法和布尔代数法

1 范围

本标准描述了系统可信性分析建模以及利用模型计算可靠性和可用性量度的过程。

可靠性框图（RBD）建模技术主要用于不考虑修理、不考虑失效发生顺序的系统，对于需要考虑失

效顺序或有修理的系统，其它的建模技术（如：马尔可夫方法）会更适合。

需要说明的是，本标准虽然经常使用“修理”一词，但“恢复”一词同样是可适用的。还需说明的

是，“产品”和“模块”在本标准中也广泛应用，并在大多数情况下可互换。

2 规范性引用文件

下列文件对于本文件的应用是必不可少的。凡是注日期的引用文件，仅所注日期的版本适用于本文

件。凡是不注日期的引用文件，其最新版本（包括所有的修改单）适用于本文件。

GB/T 2900.13：2008电工术语可信性与服务质量（idt IEC 60050-191：1990）GB/T 7829 故障树分析（FTA）程序（idt IEC 61025）ISO 3534-1:1993 统计词汇和符号第1部分：概率和基本统计术语

3 术语和定义

GB/T 2900.13：2008和ISO 3534-1：1993确定的术语和定义适用于本标准。

4 符号和缩略语

符号/缩略语 含义

, , , ...A B C 在布尔表达式中，这些符号表明产品 , , , ...A B C 处于可用状态

, , , ...A B C 在布尔表达式中，这些符号表明产品 , , , ...A B C 处于不可用状态

SF 系统失效概率

( )Af t 模块 A 的概率密度函数。术语“模块”用于表示一个或更多组件的集合

Pr(SS|X failed) 假定产品 X 失效时的系统成功的条件概率

S, ( ), ( )R R t R t 可靠度：产品在在给定的条件下和给定的时间区间(0,t)内能完成要求的功能的概率

A B, ,...R R 模块 A、模块 B 等的可靠度

SR 系统可靠度

SWR 检测和转换装置的可靠度

SF 系统失效（在布尔表达式中使用）

SS 系统成功（在布尔表达式中使用）

t 任务时间或关注的时间周期

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2

符号/缩略语 含义

A B C, , 模块 A、模块 B 和模块 C 的失效率（常数）

Bd 模块 B 的休眠时的失效率

A B C, , 模块 A、模块 B 和模块 C 的修理率（常数）

nr

从 n个产品中选取 r个产品方式的数目

0，1 这两个符号在真值表中使用，表示不可用和可用状态，适用于列标题描述的产品

布尔符号，表示“与”逻辑，如 A B ， A B （交）

布尔符号，表示“或”逻辑，如 A B ， A B （并）

工作（并联）冗余

备用冗余

符号 m/n表示工作冗余配置时系统成功所需的 n中取 m产品

I

O

表示输入

表示输出

这样的表示是为了便于使用。它们并不是强制的，但当连接是有方向性时，这样的表示可

能是有益的

设备、组件、单元或一些其它系统单元的组合

5 假设和限制

5.1 事件的独立性

本标准最基本的假设是组件（或模块）仅有两个状态：工作（“可用”状态）或失效（“不可用”

状态）。

另一个重要的假设是任一模块的失效（或修理）不会影响系统其它模块的失效（或修理）概率。

这也表明了，应有可用的修理资源，即应有充足的修理资源给需要修理的模块，同时，当两人或多人同

时修理各自的模块时，相互之间没有影响。这样，单独模块的失效和修理被看作是统计独立事件。

5.2 次序事件

RBD 不适用于顺序相关或时间相关事件的建模，在这种情况下，可以使用其它的方法，如马尔可

夫分析法或 Petri 网方法。

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5.3 失效时间分布

若 5.1 中的假设成立，关于描述失效或修理时间的分布没有限制，除非为了便于数学处理。

6 确定系统成功/失效定义

6.1 一般考虑

构建系统可靠性模型的先决条件，是对系统能够工作的方式有充分的了解。系统经常需要不止一

个的成功/失效定义，应进行定义并列出。RBD 图可以构建在不同层次上：系统层、子系统（模块）层

或组件层。当利用 RBD 进行进一步分析（如用于 FMEA 分析）时，应选择适合的层次进行分析。

此外，需要明确以下几个方面：

——执行的功能；

——性能参数以及这些参数的容许极限；

——环境和工作条件。

可以在构建 RBD 时使用各种定量的分析技术，因此，需先明确关于系统的成功/失效定义。对于

任一系统成功/失效定义，为了进行可靠性分析，接下来是将系统分成合适的逻辑模块，特定的模块可

以表示系统的子结构，子结构又可以用其它 RBD 图表示（参见 8.4 的系统简化）。

RBD 的定量评价可以使用各种方法，取决于结构的类型，可以使用简单的布尔技术（参见 8.1.3）和/或路集和割集分析，割集定义可参考标准 GB/T 7829（FTA）。计算也可以使用基本的组件可靠度/可用度方法和解析法或蒙特卡罗仿真，蒙特卡罗仿真的优点是不需要对 RBD 中的事件进行综合分析，这

是由于仿真本身考虑了每一个模块是失效的或是成功的（见 8.1）。RBD 描述的是系统功能的逻辑关系，因此，框图并不是用来表示硬件的物理关系，但 RBD 一般

还是尽可能的遵循系统的物理关系。

6.2 详细考虑

6.2.1 系统运行

系统很可能有多个功能模式，当系统处于不同模式时，可把各模式当作相对独立来对待。相应地，

可以使用单独的可靠性模型。若同一系统可用于执行所有的功能，那么，每种运行应使用不同的图形表

示。明确说明系统运行的各方面，由什么构成系统的成功/失效，这是一个先决条件。

6.2.2 环境条件

系统性能指标应附有关于系统设计工作时的环境条件描述，同样，应包含系统在运输、存储和使

用时的所有可能条件描述。

一个特定的设备经常用在多种环境下，例如，在船上、在飞机里或在地面上，在这种情况下，可

以使用相同的可靠性框图进行可靠性评价，但应使用不同环境下对应的失效率。

6.2.3 工作周期

应明确日历时间、工作时间和开/关周期之间的关系，可以假设设备通/断电的过程本身并不会引起

失效，同时，设备存储期间的失效是可以忽略不计的，那么，只需要考虑设备的实际工作时间。

但是，在某些情形下，通/断电过程是设备本身的主要失效原因，同时，设备在存储期可能有比工

作时更高的失效率（如：在湿气和腐蚀情况下）。在复杂的情况下，仅系统的一部分可以进行开/关，其

它的建模技术会比可靠性框图更合适（如：马尔可夫分析）。

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4

7 基本模型

7.1 开发模型

第一步是选择系统成功/失效的定义。若涉及不止一个定义，对于每一个定义都需要给出单独的可

靠性框图。接下来，则是将系统分成模块来反映其逻辑性，这样，每一模块与其它模块之间是最大程度

上统计独立的，同时，每一模块应该（最好）是没有冗余。

在实践中，在完成合适的框图之前，可能需要反复尝试来构建可靠性框图(每次重复上面的步骤)。下一步，则是根据系统成功/失效定义构造用于连接模块的“成功路径”图，如后文图形所示。图

中在输入和输出端口之间有各种成功路径，为了保证系统运行，需要将功能模块进行组合。如果系统运

行需要所有的模块起作用，那么，相应的可靠性框图将是所有模块的串联形式，如图 1 所示。

图 1 串联可靠性框图

在图 1 中，“I”是输入端口，“O”是输出端口，A，B，C，…，Z 模块一起构成整个系统。这种

类型的图被称为“串联”可靠性框图或“串联模型”。

当一个组件或“模块”单独失效时不影响系统性能，尽管与系统成功/失效定义有关，此时，仍需

要用另一种不同类型的可靠性框图来描述。例如，在上个例子中，复制整个链路（变成冗余），那么，

框图可如图 2 所示。另外，如果链路内的每个模块是复制的，框图可如图 3 所示，称这种类型的图为“并

联”可靠性框图或“并联模型”。需要注意的是，术语“复制”、“冗余”和“并联”具有非常相似的意

义，一般可交替使用。

图 2 复制的（或并行的）串联可靠性框图

图 3 串联复制的（或并行的）可靠性框图

用于系统可靠性建模的可靠性框图，通常是串联和并联综合起来的更复杂的框图，可能会有这样

的框图，例如，考虑这样一个例子，由三个中继器 A，B 和 C 和一个共用电源块（D）构成一个复制的

通信链路，如图 4 和图 5 的形式。

图 4 混合的冗余可靠性框图

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图 5 另一类型的混合冗余可靠性框图

根据前面提到的独立性假设，任一模块的失效不会引起系统中其它模块失效概率的变化，特别地，

一个冗余模块的失效不会影响系统电源或信号源。

经常需要建模这样的系统，其成功定义是指系统成功需要 n个产品中有 m或更多的并联产品，可

靠性框图如图 6 和图 7 所示。

图 6 2/3 冗余

图 7 2/4 冗余

这样，在图 6 中，一个产品的失效是可以容忍的，但两个或更多个产品的失效则是不可容忍的。

大多数可靠性框图是容易理解的，并且系统成功的条件是显而易见的。然而，并非所有的方框图

都可以简化为串联或并联的组合系统，图 8 则是这样的一个例子。

图 8 不容易表示成模块串联/并联的框图

系统成功可以通过如下方式实现，产品 B1 和 C1 都可正常工作，或产品 A 和 C1，或 A 和 C2，最

后是 B2 和 C2。图 8 可以代表一架轻型飞机引擎的燃料供应，产品 B1 代表左弦发动机(C1)的供给，产

品 B2 代表供右舷发动机(C2)的供给，产品 A 表示两个发动机的备用供给。系统成功/失效的定义是航空

器失效前两个引擎都失效。

需要注意的是，在上面的所有图中，在每一图中任一模块仅出现一次，第 8 章给出了建立此种类

型框图的可靠度表达式。

7.2 评价模型

系统的可靠度 ( )SR t 是指系统在给定的条件下和给定的时间(0,t)内能无失效地完成要求的功能的概

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率。一般来说，可以通过如下关系进行定义：

S0

( ) exp( ( ) )t

R t u du 其中， ( ) 表示系统在 t=u时的失效率，u是一个虚变量。

接下来，为简单起见 S ( )R t 可写作 SR ，系统失效概率 SF 可以表示为：

S S1F R

7.2.1 串联模型

对于如图 1 所示的系统，系统可靠度 SR 可由简单的方程给出：

S A B C ZR R R R R (1)

也就是说，所有模块的可靠度的乘积构成了系统的可靠度。

7.2.2 并联模型

图 9 模块的并联设置

如图 9 所示的系统类型，系统失效概率 S( )F 为：

S A BF F F

这样，系统可靠度 SR 可以表示为：

S A B A BR R R R R (2)可将公式（1）和公式（2）综合起来，这样，若如图 2 所示的系统，但每一分支仅有三个产品，系

统的可靠度为：

S A1 B1 C1 A2 B2 C2 A1 B1 C1 A2 B2 C2R R R R R R R R R R R R R (3)类似地，对于图 3，可使用下式：

S A1 A2 A1 A2 B1 B2 B1 B2 C1 C2 C1 C2( ) ( ) ( )R R R R R R R R R R R R R (4)

一般有， S1

1 (1 )n

ii

R R

对于图 4 和图 5 来说，系统可靠度公式可以通过公式（3）、公式（4）与 RD的简单乘积获得。

7.2.3 n中取 m模型（相同产品）

图 6 和图 7 的系统可靠度方程会比上面的方程更复杂一些，一般来说，系统可以表示成 n个相同产

品的并联，系统成功需要 n中的 m个产品，那么，这样系统的可靠度可以表示为：

S0

(1 )n m

n r r

r

nR R R

r

(5)

这样，如图 6 所示的系统可靠度可以表示为：3 2 2 3

S 3 (1 ) 3 2R R R R R R (6)其中，R是单个产品的可靠度。

类似地，对于图 7，有：

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7

4 3 2 2 4 3 2S 4 (1 ) 6 (1 ) 3 8 6R R R R R R R R R (7)

特殊情况，当 m=n-1 时，有 m nSR n R m R

若 n个产品不相同，推荐使用更通用的程序（见 8.3）。

7.2.4 备用冗余模型

另一个常用的冗余形式是备用冗余(参见附录 A 的第一段)，其最基本的形式是产品的物理结构如

图 10 的框图所示。

图 10 备用冗余

在此图中，产品 A 是在用产品，产品 B 是备用产品，当 A 失效时可切换并取代它。接下来，尽管

有考虑，但切换和传感装置在图中并没有显示。

这样系统的可靠度 R(t)公式，可通过考虑在任务时间 t内任何可能发生的事件而获得，下面是可能

的情况：

a) 产品 A 在整个时间 t工作正常；或者

b) 产品 A 在初始时以失效率 A 和概率密度函数 A ( )f 正常工作，但是在某一时刻 t 失效，并

且

产品 B(失效率 Bd )在开始时处于被动状态（休眠），（或是冷态或是处于低功率）直到 A 失

效（时间）时被激活（失效率 B ），然后通过切换 S（可靠度 SW ( )R ）与 A 互换；或者

产品 B 在余下的任务时间生存的概率是 B ( )R t 。

数学上可表示为：

S A A B SW B0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

dR t R t f R R R t d

若假设所有产品工作或休眠时的失效率为常数，则上面的方程可变为：

B SWA A B ( )S A

0

( ) d

tt tR t e e e e e d

注：如果切换的可靠度不是一个关于时间的函数，而是一些其它变量的函数（例如：操作或需要的次数等），不使

用函数符号会更合适，使用 RSW代替切换的可靠度会更合适。

对上式的右边进行评价时，有：

A SW BA B ( )AS

A SW B B

( ) [ ]d tt t

d

R t e e e

当假设有完美的转换时，即 SW 0 时，该式可变为：

A BA B ( )AS

A B B

( ) [ ]d tt t

d

R t e e e

若产品 B 的休眠失效率等于 0，那么，备用冗余系统的可靠度是：

A B AAS

A B

( ) [ ]t t tR t e e e

除了上面的情况，若两个产品的失效率相同（ A ，并且 B ），那么系统可靠度公式可以表

示为：

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8

S ( ) (1 )tR t e t

若在这样的理想条件下，有 n个(而不是一个)产品备用，后者方程将变为：

2 3

S( ) ( ) ( )( ) 1

2! 3! !

nt t t tR t e t

n

应该注意的是，实际的可靠性框图应该包括代表切换及传感装置模块的可靠度，这通常是备用系

统的“薄弱环节”。

还应注意的是，与到目前为止已考虑的所有例子和标准中其它部分所不同的是，若其它产品（产

品 A）失效时，产品（产品 B）的生存概率是时间相关的。换句话说，产品 A 和 B 的失效不能认为是

相互独立的，此时，其他方法，如：马尔可夫分析，应该用于分析这样的备用系统。

8 更复杂的模型

8.1 一般程序

8.1.1 背景

到目前为止的所有系统，可以从公式（1）到公式（7）中选择合适的可靠度公式来评价系统的可

靠度 S ( )R t 。然而，对于更复杂的系统，相应的 RBD 可能并不容易通过上面的任何公式进行评价，所以

必须采用其他的可靠性分析技术。需要指出的是，复杂的 RBD 通常可使用蒙特卡罗方法进行模拟评估，

然而，本标准中我们并不使用这样的程序。

在接下来的程序中，将应用在 5.1 中规定的独立条件。

8.1.2 使用全概率理论

当处理如图 8 所示的可靠性框图类型时，可以使用其它方法，其中的一种方法是基于全概率公式，

其概括起来如下所示。

对于 n个不相交事件 A1,…An，它们的概率联合起来，有 1 1( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )n nP B P B A P A P B A P A ，

B 是一个任意事件， ( )iP A 是事件 Ai的发生概率， ( | )iP B A 是在 Ai发生时 B 的条件概率。

为了适用于可靠性框图分析，上面公式的一个适当形式是重复使用下式：

S r r r r(SS|X working) (X working) (SS|X failed) (X failed)R P P P P

上式中 RS 表示系统的可靠度， r (SS|X working)P 表示指定模块 X 工作情况下系统的可靠度（系统

成功的概率），同时， r (SS|X failed)P 表示指定模块 X 失效情况下系统的可靠度。例如，当图 8 中的产品

A 失效时，可靠性框图可以简化为：

图 11 图 8 中当产品 A失效时的框图

这样，有：

r B1 C1 B2 C2 B1 C1 B2 C2(SS|A failed)P R R R R R R R R

类似地，当 A 正常工作时，可靠性框图可以简化为如图 12 所示的框图：

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9

图 12 图 8中当产品 A 正常工作时的框图

这样，有：

r C1 C2 C1 C2(SS|A working)P R R R R

因此，有：

S C1 C2 C1 C2 A B1 C1 B2 C2 B1 C1 B2 C2 A( ) ( ) (1 )R R R R R R R R R R R R R R R

若 RC1=RC2=RC，且 RB1=RB2=RB，上式可以简化为：2 2 2

S C C A B C B C A(2 ) (2 ) (1 )R R R R R R R R R (8)8.1.2 中描述的技术可以用来验证公式（6）和公式（7）。

8.1.3 布尔真值表的使用

RBD 中描述的系统成功路径也可以利用布尔表达式表示，例如，三个产品 A、B 和 C 并联（系统

成功仅要求一个产品可用），可用图 13 的 RBD 表示，或通过布尔表达式表示。

需要 1/3

图 13 1/3 并联设置

布尔表达式为：

SS A B C (9)其中，SS 表示系统成功，而 A、B 和 C 分别表示模块 A、B 和 C 的成功状态。

但是，获得系统的可靠度值时，布尔项 A、B、C 不能直接代替相应的概率 RA，RB，RC。这是由

于公式（9）中实际上是一组“重叠”（非独立）项目（参见 B.3）。

SS ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC (10)

在纯粹的布尔项中，公式（9）和公式（10）是相同的。在公式（10）中的每一个符号（如 , , , , ,A A B B C C ）

可以由相应的可靠度/不可靠度项来表示，有：

RA，(1-RA)，RB，(1-RB)，RC，(1-RC)

可生成系统可靠度 RS的公式，有

S A B C A B C A B C A B C

A B C A B C A B C

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )R R R R R R R R R R R R R

R R R R R R R R R

(11)

利用更简便的方式，可将公式（9）利用非重叠项写成：

SS A A B B A C (12)此时，有：

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10

S A A B B A C(1 ) (1 ) (1 )R R R R R R R (13)可以看出，一旦化简，公式（11）和公式（13）是相同的。

得到公式（11）的过程，可以更系统化的利用真值表方法将公式（9）转化成公式（10），具体如

表 1 所示。

根据表 1，成功项有（自上而下）：

, , , , , ,A B C A B C A B C A B C A B C A B C A B C

这些项综合起来（“或”）可以得到公式（10）。

表 1 图 13 示例的真值表应用

产品系统

A B C

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

注 1=正常工作，0=失效。

接下来考虑图 8 所描述的示例，表 2 中给出了示例中正常工作和失效项的所有可能组合（共计 32个）。

表 2 图 8 示例的真值表应用

产品系统

B1 B2 C1 C2 A

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 1

0 0 1 0 0 0

0 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1

0 1 0 0 0 0

0 1 0 0 1 0

0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 1 1

0 1 1 0 0 0

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11

产品系统

B1 B2 C1 C2 A

0 1 1 0 1 1

0 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 1

1 0 1 0 0 1

1 0 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1

1 0 1 1 1 1

1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0

1 1 0 1 0 1

1 1 0 1 1 1

1 1 1 0 0 1

1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1

注意 1=正常工作，0=失效

从表 2 中可以选择成功项，这样系统可靠度的表达式是不相交项的集合，可以写成下式：

SS 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2B B C C A B B C C A B B C C A (14)从而，有

S B1 B2 C1 C2 A B1 B2 C1 C2 A

B1 B2 C1 C2 A

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) R R R R R R R R R R R

R R R R R

公式（14）中包含 19 项（每一组合都可成功），可通过这些项的求和计算期望的结果。由此可以

看出，布尔真值表方法将变得难于处理，虽然，其原理相当简单，附录 B 给出关于布尔方法一般应用

的详细描述。

8.2 共用模块模型

注意到在第 7 章的 RBD 中，模块的出现都没有多于一次，但是，如图 14 所示的这种类型框图有

时可能更有优势。例如，产品 C 和产品 D 可能是两个功能相似的产品，可以互为备用，但是产品 A 仅

可以为产品 C 供电，而产品 B 可以为 C 和 D 供电。从图 14 可以看出，它不但可以表示产品的物理设

置，还可以表示可靠性框图，在这样的图中包含箭头就是非常重要的。

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12

图 14 使用箭头帮助定义系统成功的可靠性框图

作为一种选择，上例中系统成功路径可以用如图 15 所示的框图表示，一些模块的出现不止一次。

该图源于图 14，通过对后者进行检查可以看出，成对的产品如果同时失效将引起系统失效。图 15 是关

于这样成对产品的串联组合。

图 15 图 14 中使用共用模块的另一种框图

当处理上面类型的可靠性框图时，若认为每对模块是独立的，并将每对的可靠度进行乘积将不再

是正确的。相反地，可以使用在 8.1.2 和 8.1.3 中给出的方法。例如，使用 8.1.2 中的方法，有：

S r r r r(SS|B working) (B working) (SS|B failed) (B failed)R P P P P

其中， r (SS|B working)P 可由包含并联模块 C 和 D 的可靠性框图给出，但是：

r r r r r A C(SS|B failed) (SS | B failed | C working) (C working) (SS | B failed | C failed) (C failed) 0P P P P P R R

因此，

S D C D C B A C B( ) (1 )R R R R R R R R R

即，

S A C B C B D A B C D B CR R R R R R R R R R R R R

需要注意的是，图 14 和图 15 是相同失效定义的不同建模方法，也就是说，当模块 A 和 B 失效，

或 B 和 C 失效，或 C 和 D 失效，则系统失效。换句话说，图 14 和图 15 的关于系统成功（SS）或系统

失效（SF）的布尔表达式是相同的，即

SS SFA C B C B D A B B C C D 利用 8.1.3 中描述的方法，可以得到表 3。

表 3 图 14 和图 15 示例的真值表应用

产品系统

A B C D

1 1 1 1 1

1 1 1 0 1

1 1 0 1 1

1 1 0 0 0

1 0 1 1 1

1 0 1 0 1

1 0 0 1 0

1 0 0 0 0

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产品系统

A B C D

0 1 1 1 1

0 1 1 0 1

0 1 0 1 1

0 1 0 0 0

0 0 1 1 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

注意 1=正常工作，0=失效

从表 3 可以得到下式：

S A B C D A B C D A B C D

A B C D A B C D A B C D

A B C D A B C D

(1 ) (1 ) + (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) +(1- ) (1 ) (1 ) (1 )

R R R R R R R R R R R R RR R R R R R R R R R R RR R R R R R R R

可以简化为：

S A C B D B C A B C D B CR R R R R R R R R R R R R

然而，处理共用模块可以用接下来讲的另一种方法。首先，忽略一些模块出现了不止一次的事实，

然后利用常用的方式写出系统可靠度 RS的公式：

S A B A B B C B C C D C D( ) ( ) ( )R R R R R R R R R R R R R

如果将这些括号展开（共计 27 项），同时，这些项如 2A B CR R R 和 2

D B CR R R 可以由布尔等价式

A B CR R R 和 D B CR R R 替代，这样系统可靠度（RS）可以简化为：

S A C B D B C A B C D B CR R R R R R R R R R R R R

8.3 n中取 m模型（不相同产品）

7.2.3 中描述的程序在此处将不再适用。例如，如图 16 所示的可靠性框图所表示的系统。

图 16 2/5 不相同产品的系统

这样的系统的可靠度可以通过 8.1.2 或 8.1.3 中描述的技术进行评价。其中，8.1.3 中所描述的技术

将需要 32 条记录，这样系统失效概率 FS可以通过下式获得：

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14

S A B C D E A B C D E

A B C D E A B C D E

A B C D E A B C D

(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) +(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) +(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1

F R R R R R R R R R RR R R R R R R R R RR R R R R R R R R R

E )

因此，可以得到 RS=1-FS。

注附录 B 描述了更有效的技术。

8.4 简化方法

有时，可靠性框图看起来比较复杂，但通过仔细检查，图中的模块通常是可以组合在一起的，这

样的组是统计独立的，这意味着没有两个(或更多)的组可以包含相同的模块。

例如，考虑图 17 中的可靠性框图。

图 17 简化前的模块分组图解

图 17 可以被简化成如图 18a 所示的图，分别利用 8.1、7.2.3、8.2 和 7.2.3 的描述评价 4 个虚线组

表示的模块 X1、X2、X3 和 X4 的可靠度，图 18a 可以进一步简化为图 18b

图 18 a 图 18 b

图 18 简化的可靠性框图

这样，最终的系统可靠度（图 18b）可以表示为：

S X1 X2 X3 X4 X1 X2 X3 X4R R R R R R R R R

这正如 7.2.2 中所描述的。

9 用于可用度计算的扩展可靠性框图法

在某些情况下，可以使用本标准中的所有公式和程序进行系统稳态可用度预测。这可通过简单地

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替换可靠度的表达式，从而得到相应的可用度表达式。

仅当产品的失效和修理与其它产品相互独立时，该方法的扩展才是有效的。在实践中，这意味着

任何产品的失效不能引起其它的失效，同时，还应有可用的、无限的修理资源。

换句话说，任何产品的平均停机时间应是该单独产品的量度，并不依赖有多少其它产品已失效并

需要修理。此方法对于组装的产品会更加有效，此类组装产品的每个产品都是容易获得的，并且不受其

它产品影响。

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16

AA

附 录 A

（资料性附录）

公式汇总

在本附录的该表中，“在用”和“备用”是常用的术语。前者是指相关的模块（每一个可以由组件、

子系统、系统等组成）是通电的（开启电源），因此也是容易失效的；后者则是相关模块是不通电的（断

开电源），因此是不容易失效的。

基本结构 系统可靠度 RS公式

1 串联 A 一般情形，有：

S 1 2 nR R R R B 当 1 2 nR R R R 时，有：

SnR R

2 并联

工作

A 工作时，一般情形，有：

S 1 21 (1 ) (1 ) (1 )zR R R R B 工作时，当 1 2 zR R R 时，有：

S 1 (1 ) zzR R

备用C 备用时，当

tR e 时，有：

1

S( )

( 1)!

z tt t t eR e t e

z

3 串并联或系统冗余

工作

A 工作时，一般情形，有：

S 1 21 (1 )z

j j jnj a

R R R R

B 工作时，若：

1 2

1 2

z1 z2

a a a

b b b

z

R R RR R RR R R

有：

S 1 (1 )z

nj

j a

R R

C 工作时，若：

( =1 ,..., )aj bj zjR R R R j n

有：

S 1 (1 )n zR R

备用 D 备用时，当 tR e 时，有：

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17

基本结构 系统可靠度 RS公式

1

S( )

( 1)!

z n tn t n t n t eR e n t e

z

4 并串联或基本冗余

工作

A 工作时，一般情形，有：

S 1 2

1 2

1 2

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

a a az

b b bz

n n nz

R R R R

R R R

R R R

B 工作时，若

1 2

1 2

1 2

a a a

b b b

n n n

R R RR R RR R R

有：

S 1 (1 ) 1 (1 )

1 (1 )

z za b

zn

R R R

R

C 工作时，当所有的模块有相同的可靠度“R”时，

有：

aj bj njR R R R 若假设 tR e ，有：

2S (2 )t t nR e e

备用 D 备用时，当 tR e 时，有：

S

nt tR e t e

5 并串联或基本冗余 A 工作时，除了 RSW，若假设所有的

aj bj zjR R R R

有：

1S SW1 (1 ) (1 )nzR R R R

B 工作时，若假设 z=2，n=1，并且，除了 RSW所有

的

taj bj zjR R R R e

有：2

S SW SWt t tR e R e R e

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18

基本结构 系统可靠度 RS公式

注 1 备用系统的公式是基于切换和传感装置的可靠度为 100%（RSW=1）的假设

注 2 当失效率为常数时，R(t)可以由te 替代。

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19

BB

附 录 B

（资料性附录）

布尔不相交方法

B.1 引言

除了利用 8.1.3 中介绍的布尔真值表，到目前为止的 RBD 分析主要是关于传统代数的数学公式。

然而，布尔代数一般也可以用于这样的分析，而且在许多情况下会更加有效和简单。特别的，使用布尔

代数很可能是最直接的方法，若：

a) RBD包含共用模块（见图15）；b) RBD包括箭头（见图8和图14）；c) 系统特别地复杂；

d) 构建系统成功（或失效）的布尔表达式比建立RBD容易。

上面所列的 d)项尤其需要注意，对于许多系统和网络来说，利用布尔项列出设备成功（或失效）

的组合往往是一个比构建相应的 RBD 更直接的任务。在一开始就采用布尔方法分析系统，完全可以避

免在构建 RBD 中生成错误的风险。

B.2 符号

到目前为止，符号和可以分别用来表示逻辑“或”和“与”。然而，接下来，将会发现使用

符号+来表示“逻辑或”以及用句点表示“逻辑与”会更方便1)。布尔变量上面有横线表示该变量的逆或

补，例如， a表示“a补”，例如， a b c e f g 用来表示“a和b和c反和e或f和g”，根据上下文，符号

意义会更加明确。

B.3 原则-布尔变量和概率变量

考虑如图 9 描述的有两个单元工作的冗余系统。对于这样的系统而言，可以看出，当 A 或 B（或

两者）可用时整个系统可用。也就是说，系统成功的布尔表达式为：

SS a b (15)

其中，a和b分别表示模块A和模块B的相应布尔变量，若分析利用Ra和Rb替代a和b，那么公式（15）可以重新表示为下面的形式：

S a bR R R (16)

但不幸的是，公式（16）是不正确的，这是由于它是源于变量有重叠的布尔表达式，若换个说法，

公式（15）可以写为如下形式：

SS a a b (17)

那么，用Ra表示a，1-Ra表示 a，并且Rb表示b，那么可以得到系统生存概率RS的正确表达式，可记

作：

1) 在附录 B中这种表示法的优势会变得更明显，SS1 a b a e b a e d a b e d a c d a b c d 这样类型

的表达式会经常使用。以后面的表达为例，使用集合理论符号表示，有：

SS1 a b a e b a e d a b e d a c d a b c d ，这对于很多读者可能非常难以解

释或评价。

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S (1 )a a bR R R R (18)

这就是众所周知的结果。

利用公式（17）的形式重写公式（15）的过程将被称为不交化。需要注意的是可以将公式（15）利用其它不交化形式表示，其中的一种是SS b b a ，如果利用Rb表示b，且（1-Rb）表示 b，可以得

到系统生存概率（RS），另一个正确的表达式为：

S (1 )b b aR R R R (19)

显而易见，方程(18)和(19)是等价的。

从上面可以看出，替代生存概率为布尔变量，或替代“1-存活概率”为补的布尔变量，为系统成功

建立不相交布尔表达式，可以得到系统生存概率（可靠度）的概率表达式。因此，主要目标是能够把系

统成功的布尔表达式化成不相交的形式，也就是说，系统成功的最终布尔表达式的每一项，与其它项是

不相交的，方法的更详细描述参见[1]2)

B.4 不相交布尔表达式方法

B.4.1 背景

需要注意的是，两项是互相不相交的，若至少一个变量在某一项中出现，应在另一项中出现它的

互补形式。例如，这两项（每一个包含4个布尔变量） p q r s 和 s t u v 凭借s是不相交的，反过来也是一

样。换句话说，如果变量在一项中出现，但在另一项中没有由互补形式出现，那么这两项相交（也就是

它们有重叠）。例如，项 p q r s 和 s t u v 是相交的。

B.4.2 不相交原理

如果两项T1和T2是相交的，若需要使T2与T1不相交，那么，第一步是是要使T1中出现的所有变量不

在变量T2中出现。（我们知道这样的项全部是关于T1的T2相对补）假设相对补是 1 2 3 4v v v v ，那么可替换

T2通过

*1 2 3 42 2 1 2 1 2 2 1 2 3 2T v T v v T v v v T v v v v T

式子 1 2T T （换句话说 1 2 3 41 2 1 2 1 2 2 1 2 3 2T v T v v T v v v T v v v v T ）将组成彼此之间不相交的项。

例如，为了使项 2T d e f 与项 1T a b c d e 不相交，过程如下：

关于T1的T2相对补是 1T a b c ，也就是 2 ( )T d e f 被替换为：

*2 ( )T a d e f a b d e f a b c d e f

，

然后，T1和 2T （也就是所有项 , , ,a b c d e a d e f a b d e f a b c d e f ）彼此之间是不相交的。

注虽然将上式 2T写成如下形式可能不正确：

*2 ( )T d e f a a b a b c

这种形式很不适合执行下面B.4.3描述的过程。

B.4.3 不相交过程

不相交过程如下：

a) 表达系统成功（记作SS1）用“积之和”布尔项3)，并且标记项从左到右为“T11，T12，T13，…”；

2) 方括号中的数字指参考文献。

3) 系统成功的特别简单的布尔表达式,单一的或有两个及以上乘积项的都可以使用。

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选择T11作为关键项并且将T12与T11比较；

b) 如果需要（也就是两项是相交的），使T12如在B.4.2描述的那样与T11不相交；

c) 如果需要，使T13与T11不相交；

d) 继续处理SS1的其余项；

e) 在这一阶段检查有所扩大(由于额外的增加项)的表达式，并且使用布尔代数规则化简（当

可能时）；（利用规则如 , ,x x x x x y x x y x y y ），调用表达式SS2的结果并且从左

到右标记项，“T21，T22，T23，…”；

f) 选择SS2的第二项（T22）作为关键项并将T23与T22比较，并且利用SS2的项进行从c)到f)中的

处理，调用SS3表达式的结果；

g) 继续如上所述直到所有项已用作“关键”项，届时将获得最终的表达式与原始的SS1表达

式是完全不相交的版本。在系统成功的这样布尔表达式中，每个布尔变量被它的对应概

率（可靠度）取代，可以得到系统可靠度的概率表达式。此外，若用数值代替现在的不

相交布尔项，将获得整个系统的可靠度值。

B.6将给出上面的不相交程序应用的示例。

B.5 注释

过程最重要的属性之一，是执行不相交所需的一系列步骤可通过编程在计算机上相对简单的实现。

使用当前的计算机，非常复杂的积之和布尔表达式不相交几乎可以瞬间实现。然而，IEC不提供这样的

程序，本标准的目的是通过本标准中给出的细节足以编写一个合适的程序。

另一个重要的属性，是过程主要针对不相交布尔表达式，利用故障树分析形成布尔表达式也可以有

同样的功效。

另一个重要的属性则是来源于这样的事实，即概率用于最终取代不相交表达式。这意味着，可靠度

可以由可用度取代。如果这样做，我们必须记住，就像可靠度一样，每个事件必须与其他事件独立。这

意味着，任何产品的修理以及失效不影响任何其它的修理或失效是必不可少的，可参见第9章。

B.6 应用不相交程序示例

假设一个网络或系统由五个组件A、B、C、D和E组成，a、b、c、d和e表示相应的布尔“成功”变

量，同时，假设用布尔项（SS）表达的系统成功可以用下式定义，即由4个与或项构成：

SS a b e b e d c d 为了使上面的表达式不相交，过程如下：

步骤1.1：使每一项与第一项不相交。继续使用系统的方式让第二项与第一项不相交，检查这两项，

查看在第一项中出现的任何变量是否在第二项中以补的形式出现。若如此，这两项已经

是不相交的，不需要进一步处理；若非如此，选出第一项（ a b ）中的所有变量，使其不

在第二项（ e b ）中出现。（在集合论术语中，这称作对于第一项的第二项的相对补）。在

这个例子中，结果是变量a。步骤1.2：利用 a e b 取代第二项 e b 4)。

步骤1.3：使第三项关于第一项不相交。首先，检查这两项，查看其第一项中出现的任何变量在第

二项中是否为补的形式。因为，若非如此，识别关于第三项相对于第一项的相对补：记

作变量a和b。因此，可利用 a e d a b e d 取代第三项。

步骤1.4：使第四项（ c d ）与第一项不相相交。关于第三项相对于第一项相对补仍是变量a和b。这样，可通过 a c d a b c d 取代第四项。在这一阶段系统成功的表达式变为：

1SS a b a e b a e d a b e d a c d a b c d

4) 由于变量 a在两项中以补和非补的形式出现，第一和第二项现在是不相交的。

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22

现在对第二项开始这样的过程，如下所示：

步骤2.1：使SS1的第三项（ a e d ）与第二项（ a e b ）不相交。相对补是b，因此，利用 b a e d 取

代 a e d 。

步骤2.2：使SS1的第四项（ a b e d ）与第二项（ a e b ）不相交。在此情况下，注意各项已经是不

相交的（关于变量a和b），这样不需要做任何事。

步骤2.3：使SS1的第五项（ a c d ）与第二项（ a e b ）不相交。在此情况下，相对补是变量e和b，这样通过 e a c d e b a c d 取代第五项。

步骤2.4：使SS1的第六项与第二项不相交。在此情况下，注意各项已经是不相交的（关于变量b），这样不需要做任何事。

在这一阶段系统成功的表达式变为：

2SS a b a e b b a e d a b e d e a c d e b a c d a b c d

此时，注意第三项“吸收”第六项，并且将第三和第四结合起来有 b e d ，换句话说：

(1 )b a e d e b a c d b a e d c b a e d

并且：

( )b a e d a b e d b e d a a b e d

这样，SS2变为：

2SS a b a e b b e d e a c d a b c d

现在对开始对第三项重复该过程，因此：

步骤3.1：使SS2的第四项（ e a c d ）与第三项（ b e d ）不相交。在此情况下，注意各项已经是不

相交的（关于变量e），这样不需要做任何事。

步骤3.2：使SS2的第五项与第三项不相交。相对补是变量e，这样， e a b c d 替代 a b c d 。

在这一阶段，系统成功的表达式变为：

3SS a b a e b b e d e a c d e a b c d

既然没有进一步简化的可能，这将是最后的不相交表达式。

进行通用的替换，给出系统可靠度的表达式，为：

S (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )

a b a e b b e d e a c d

e a b c d

R R R R R R R R R R R R RR R R R R

需要注意的是最终结果形式SS3，将取决于各项在原始的布尔表达式中的顺序。例如，若SS1记作：

1SS c d e d e b a b

最终的不相交表达式将会是：

3SS c d c e d b d e a b c e a b c d e

虽然 3SS 和 3SS 看起来不同，它们实际是相等的。

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参 考 文 献

IEC 61165 马尔可夫技术应用（Application of Markov techniques）

IEC 60812 系统可靠性分析技术故障模式和影响分析（FMEA）程序（Analysis techniques for system

reliability – Procedure for failure mode and effect analysis(FMEA)）

[1] Bennetts, R.G. IEEE Trans. Rel, Vol. R-31, No.2, pp. 159-166, June 1982.

RBD 方法（通用）

[2] Barlow R.E., Proschan F., Statistical Theory of Reliability and Life Testing. Probabilistic Models,

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[3] Billinton R., Allan R.N., Reliability Evaluation of Engineering Systems. Concepts and Techniques.

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[4] Birolini A., Management. Berlin, Springer Verlag, 1994.

[5] Gaede K.W., 1977. Zuverlässigkeit, MathematischeModelle. München, Carl HanserVerlag, 1977.

[6] Høyland A., Rausand M., System Reliability Theory. Models and Statistical Methods, New York,

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[7] Kaufmann A., Grouchko D., Cruon R., Mathematical Models for the Study of the Reliability of

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[8] Kuo W., Zuo M.J., Optimal Reliability Modeling: Principles and Applications. New York, Wiley,

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[9] Lewis E.E., Introduction to Reliability Engineering, Second Edition, 1996, New York, Wiley.

[10] MIL-HDBK-338B, Electronic Reliability Design Handbook, 1 October 1998.

[11] Pagés A., Gondran A., System Reliability. Evaluation and Prediction in Engineering.1986, Berlin,

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[12] Villemeur A., Reliability, Availability, Maintainability and Safety Assessment. Volume 1.Methods

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不相交方法（或不相交积之和方法）

[13] Abraham J.A., An improved method for network reliability, IEEE Transactions onReliability, 1979,

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[14] Beichelt F., ZuverlässigkeitstrukturierterSysteme, Berlin, VEB VerlagTechnik, 1988.

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[16] Heidtmann K.D., Smaller sums of disjoint products by subproducts inversion. IEEE Transactions on

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[17] Locks M.O., Recursive disjoint products. A review of three algorithms.IEEE Transactions on

Reliability, 1982, Vol.R-31, No.1, pp.33-35.

[18] Locks M.O., Recent development in computing of system-reliability. IEEE Transactions on

Reliability, 1985, Vol.R-34, No.5, pp.425-435.

[19] Locks M.O., A minimizing algorithm for sum of disjoint products. IEEE Transactions on Reliability,

1987, Vol.R-36, No.4, pp.445-453.

[20] Luo Tong, Trivedi K.S., An improved algorithm for coherent-system reliability.IEEE Transactions on

Reliability, 1998, Vol.47, No.1, pp.73-78.

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