Vera Pavlović

Jelena Ilić

Aleksandra Vasić-Milovanović

Jasmina Jovanović

Zoran Trifković

UUnniivveerrzziitteett uu BBeeooggrraadduu MMaaššiinnsskkii ffaakkuulltteett Beograd, 2018.

PPRRAAKKTTIIKKUUMM LLAABBOORRAATTOORRIIJJSSKKIIHH VVEEŽŽBBII

IIZZ FFIIZZIIKKEE II MMEERREENNJJAA

-- ZZAA SSTTUUDDEENNTTEE MMAAŠŠIINNSSKKOOGG FFAAKKUULLTTEETTAA --

������������������ ����������������������� �

�����������������������������

������������ �������

�� ����������������������������� ����������������������������������� ���������� �������������������������� ����������������������������������� ��������� �������������������� ����������������������� ����������������������������������� ��������� ��������!������������������������� ����������������������������������� ��������� �����"�����#�� ����������������� ����������������������������������� ��������

�� � ! "# "����� �����$�����%���������������� ��������������������������#&������� !��������� ���������� �����������'���������������� ��������������������������(������&��)��� �������

��� �#$%&%'�

��������� �����������������������������*�����+�������,-��,,,./��������01������2304,�,,5�00/. .//�� ����006/ 0-7��

�� �%�#$%&%'%8��9������� �����$�����������������%��!����������:�����*�!���������������)���������������������� �����������������������������������������:���,4;./,4����,<��/<��./,4���

�� �� $"�(��� �����������$��=)�������������� ����������������������������������� �������

��� ��%)*%�

=�>(#��$�>#�����������������������00���,,///�����������; ����2304,�,,5�-1/- 1-7�

��� ��)*+�� �,(�,-�.���

���������� ���%/�

4//����!�������?�>�<64 4- 6/40 <</ 4�

������������������������ ���������������./,4��

����!��������� ���������������������������?�������������@������������������������ ��������

Predgovor

Već desetak godina se na laboratorijskim vežbama u okviru predmeta Fizika i merenja, na

prvoj godini Mašinskog fakulteta Univerziteta u Beogradu, primenjuje osavremenjeni pristup obradi

rezultata merenja, u skladu sa propisima koji su sadržani u međunarodnom Uputstvu za izražavanje

merne nesigurnosti (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement). Reč je o uputstvu

prikazanom u zajedničkom izdanju vodećih organizacija unutar međunarodnog metrološkog

sistema. Ovi međunarodni propisi su još 1993. god. modifikovali dotadašnje klasične metode

izražavanja mernih grešaka, a nakon toga su više puta dopunjavani, odnosno precizirani

publikovanjem dodatnih tekstova sa konkretnim primerima, pri čemu je i danas aktuelno izdanje

ovih propisa iz 2008. godine. Iako je za studente koji su slušali predmet Fizika i merenja tokom

prethodnih nekoliko godina bio obezbeđen određeni materijal za pripremu laboratorijskih vežbi i za

sprovođenje savremene obrade rezultata merenja, ipak je ostala potreba za uobličavanjem tog

materijala u jedan celoviti praktikum, odnosno pomoćni udžbenik, koji daje koncizan prikaz

osnovnih postavki savremene teorije merenja, a takođe daje i prikaz primene tih postavki u

konkretnim primerima laboratorijskih vežbi iz onih oblasti fizike koje se planski obrađuju na prvoj

godini Mašinskog fakulteta.

Nadamo se da će ovaj praktikum istinski pomoći studentima da bolje shvate i uspešnije

savladaju nove pristupe u tretiranju mernih rezultata i u izražavanju merne nesigurnosti, ne samo u

okviru merenja u fizici, već i šire.

Srdačno se zahvaljujemo recenzentima na svim sugestijama, a sa interesovanjem ćemo

primiti i sve kritičke primedbe čitalaca, kao i nove ideje i predloge.

Autori

SADRŽAJ

OSNOVE MERENJA I IZRAŽAVANJA REZULTATA MERENJA ………….............................................................................................

• MERENJE I REZULTAT MERENJA ………………………………………………………………..

• NESIGURNOST MERENJA …………………………………………………………………..…......

• OSNOVE IZRAŽAVANJA NESIGURNOSTI MERENJA ..................................................................

• OSNOVNI POJMOVI U TEORIJI IDEALNOG I REALNOG MERENJA ………………………....

• HISTOGRAM I FUNKCIJA GUSTINE VEROVATNOĆE REZULTATA MERENJA ...................

• IZRAŽAVANJE SREDNJE VREDNOSTI POPULACIJE,

STANDARDNE I PROŠIRENE MERNE NESIGURNOSTI

POMOĆU FUNKCIJE GUSTINE VEROVATNOĆE ..........................................................................

- RAVNOMERNA (PRAVOUGAONA) RASPODELA ..................................................................

- TROUGAONA RASPODELA .......................................................................................................

- NORMALNA (GAUSOVA) RASPODELA ...................................................................................

• DIREKTNO MERENE VELIČINE I ODGOVARAJUĆA

MERNA NESIGURNOST .......................................................................................................................

• INDIREKTNO MERENE VELIČINE I ODGOVARAJUĆA

MERNA NESIGURNOST .......................................................................................................................

• RELATIVNI OBLICI NESIGURNOSTI ...............................................................................................

• FAKTOR OBUHVATA KOD INDIREKTNO MERENE VELIČINE .................................................

• NALAŽENJE OPTIMALNE PRAVE METODOM NAJMANJEG

ZBIRA KVADRATA ODSTUPANJA ...................................................................................................

• NESIGURNOST ODREĐIVANJA KOEFICIJENTA PRAVCA

OPTIMALNE PRAVE ............................................................................................................................

• GRAFIČKO PRIKAZIVANJE VREDNOSTI DOBIJENIH DIREKTNIM

ILI INDIREKTNIM MERENJEM NEKE FIZIČKE VELIČINE ..........................................................

• MERNE JEDINICE U MEĐUNARODNOM SISTEMU JEDINICA (SI) .............................................

• IZRAŽAVANJE VREDNOSTI MNOGO VEĆIH I MNOGO MANJIH

OD OSNOVNE MERNE JEDINICE .....................................................................................................

• PRAVILNO ZAOKRUŽIVANJE PROŠIRENE MERNE NESIGURNOSTI I

KONAČNOG REZULTATA MERENJA ..............................................................................................

1

1

1

2

3

5

7

8

10

11

12

13

16

16

19

20

21

23

24

25

PRVI CIKLUS LABORATORIJSKIH VEŽBI .................................................................

• VEŽBA BR. 1: ODREĐIVANJE GUSTINE TEČNOSTI HIDROMETROM ....................................

• OSNOVNI PRINCIPI MERENJA PRITISKA ......................................................................................

• VEŽBA BR. 2: ODREĐIVANJE ODNOSA κ = CP/CV ZA VAZDUH ..............................................

• OSNOVNE VRSTE TERMOMETARA ..............................................................................................

• VEŽBA BR. 3: ODREĐIVANJE ZAVISNOSTI TAČKE KLJUČANJA VODE

OD PRITISKA ......................................................................................................................................

• KALORIMETAR ..................................................................................................................................

• VEŽBA BR. 4: ODREĐIVANJE SPECIFIČNE TOPLOTE

ISPARAVANJA VODE .......................................................................................................................

• VEŽBA BR. 5: ODREĐIVANJE TALASNE DUŽINE SVETLOSTI

POMOĆU FRAUNHOFEROVE DIFRAKCIJE ..................................................................................

• VEŽBA BR. 6: ODREĐIVANJE RIDBERGOVE KONSTANTE .....................................................

DRUGI CIKLUS LABORATORIJSKIH VEŽBI ..........................................................

• VEŽBA BR. 7: ODREĐIVANJE UBRZANJA ZEMLJINE TEŽE POMOĆU

MATEMATIČKOG KLATNA ................................................................................................................

• MEHANIČKA MERILA DUŽINE .......................................................................................................

- KLJUNASTO POMIČNO MERILO (NONIJUS) .........................................................................

- MIKROMETARSKI ZAVRTANJ .................................................................................................

• VEŽBA BR. 8: ODREĐIVANJE TORZIONE KONSTANTE

I MODULA TORZIJE ŽICE .................................................................................................................

• VEŽBA BR. 9: ODREĐIVANJE MOMENTA INERCIJE TELA

NEPRAVILNOG OBLIKA POMOĆU TORZIONOG KLATNA .......................................................

• VEŽBA BR. 10: ODREĐIVANJE BRZINE ZVUKA POMOĆU

KUNTOVE CEVI ..................................................................................................................................

• LITERATURA .........................................................................................................................

27

29

31

33

36

37

41

42

48

53

57

59

67

67

68

70

76

81

85

PRVI CIKLUS LABORATORIJSKIH VE�BI 33

VE�BA BR. 2: ODRE�IVANJE ODNOSA κ = CP/CV ZA VAZDUH

� Pri naglom otvaranju metalnog zatvara�a boce sa gaziranim pi�em (�ampanjac, na primer), uo�ava se

vodena para (magla), kondenzovana pri hla�enju zbog brzog (adijabatskog) �irenja zasi�ene pare.

� Ru�na vazdu�na pumpa (za bicikl) se zagreje pri brzom sabijanju vazduha zato �to se pri adijabatskom

procesu deo rada sabijanja vazduha pretvara u toplotu.

� Pri ispu�tanju gasa iz sprej-boce, mesto u blizini otvora isticanja gasa se usled adijabatske ekspanzije

rashladi.

Fizi�ka pojava koja se obra�uje u ve�bi: adijabatski i izohorski procesi (termodinami�ki procesi).

Napomena: Prilikom pripreme ove ve�be treba obnoviti teoriju vezanu za osnovne termodinami�ke

procese, sa posebnim osvrtom na adijabatske procese.

Opis aparature i merenja:

� A � stakleni sud zapremine VS ≈ 10 l,

� B � ventil,

� M � manometar.

Na aparaturi prikazanoj na sl. 2.1 se otvori ventil B i pomo�u pumpe P pove�a pritisak u sudu

(balonu), tako da razlika nivoa te�nosti u manometru bude najvi�e desetak centimetara. Nakon toga

ventil se zatvori, sa�eka se nekoliko minuta da se temperatura u sudu (koja je porasla tokom

pumpanja) izjedna�i sa temperaturom okoline. Tada se razlika nivoa te�nosti u manometru M ustali i

o�ita se njena vrednost, h1. Pritisak vazduha u sudu je ve�i od atmosferskog i iznosi: 11 ghpp �a ρ+= ,

gde je pa atmosferski pritisak (slika 2.1 a).

Zatim se ventil vrlo kratko otvori (1-2 s, dok se �uje zvuk ispu�tanja vi�ka vazduha iz suda) i

ponovo zatvori. Tokom otvaranja ventila, iz suda je brzo istekla manja zapremina vazduha, ∆V , pri

�emu je do�lo do izjedna�enja pritiska u sudu sa atmosferskim ( app =2 ). Preostali vazduh u sudu,

koji je pre otvaranja ventila zauzimao neku zapreminu V1 < VS, je pri otvaranju ventila pove�ao svoju

zapreminu na VVV ∆+= 12 , pri �emu je SVV ≡2 (zapremina celog suda). Pomenuto naglo pove�anje

zapremine vazduha predstavlja adijabatski proces, pri kome, zbog brzog odvijanja procesa, nije

moglo da do�e do zna�ajnije razmene toplote gasa sa okolinom. To zna�i da je vazduh pri �irenju

Slika 2. 1 � �ematski prikaz aparature.

A

V

B

V1

h1h

a) b)

V3h

SV

1h

1V

V�

34 PRAKTIKUM LABORATORIJSKIH VE�BI IZ FIZIKE I MERENJA

unutar suda izvr�io rad adijabatskog �irenja na ra�un svoje unutra�nje energije, pa je do�lo do

sni�avanja temperature preostalog gasa u sudu (va�i 12 TT < ).

Posle zatvaranja ventila, dolazi do razmene toplote izme�u gasa u sudu i okoline, pri

konstantnoj zapremini vazduha u sudu. U pitanju je izohorsko zagrevanje ( SVVV ≡= 23 ), prilikom

koga dolazi do pove�anja pritiska u sudu. Kada se

temperatura vazduha u sudu izjedna�i sa temperaturom

okoline ( 13 TT = ) prestaje i porast pritiska, pa se ustali

nova razlika visina u manometarskim cevima h3 (slika

2.1 b)). Tada je pritisak u sudu: 33 ghpp �a ρ+= . S

obzirom na to da je temperatura gasa u sudu i u

po�etnom i u krajnjem trenutku jednaka, ceo proces

mo�e da se prika�e i pomo�u izotermskog procesa od

po�etnog stanja (p1,V1) do krajnjeg stanja (p3,V3).

Procesi tokom kojih sistem prelazi iz stanja 1 u stanje 3 se mogu prikazati na p−V dijagramu,

kao na slici 2. 2. Jedna�ine koje opisuju adijabatski proces tokom ve�be i mogu�i izotermski proces na

sl. 2.2 su:

- za adijabatsko �irenje od stanja (p1,V1) do stanja (pa,V2): κκ211 VpVp a= ,

- za izotermsko �irenje od stanja (p1,V1) do stanja (p3,V3= V2): 3311 VpVp = .

Parametar κ (eksponent adijabate) mo�e da se dobije iz gornjih jedna�ina eliminacijom zapremina. Uz

odre�ene aproksimacije, dobija se da je:

31

1

hh

h

−=κ . (2.1)

Eksperimentalni rezultati

Tabela 2. 1 � Tabela za prikaz rezultata merenja

κsr = __________

Redni broj merenja

h1 (mm) h3 (mm) 31

1

hh

h

−=� ( )2sri �� −

1 2

3

4

5

�=

=5

111 5

1

i

isr hh �=

=5

13 5

1

i

isr hh �=

=5

15

1

i

isr �� ( )�=

−5

1

2

i

sri ��

Slika 2. 2 � Prikaz razmatranih termodinami�kih procesa u p−V dijagramu.

p

V

1p

1V

3p

1

2

3

izoterma

adijabataapp =2

izohora

32 VV =

PRVI CIKLUS LABORATORIJSKIH VE�BI 35

Odre�ivanje merne nesigurnosti

Po�to je κ odre�eno kao srednja vrednost na osnovu n = 5 merenja, onda se mo�e definisati

standardna merna nesigurnost tipa A za κ:

( )

( )11

2

−

−

=

�=

nnu

n

i

sri

A

κκ

κ . (2.2)

Direktno merene veli�ine su visine h1 i h3. One se mere po jednom, za razli�ite ostvarene po�etne

pritiske vazduha u sudu, pa su njihove standardne merne nesigurnosti − nesigurnosti tipa B. Ove

visine se mere na istom manometru sa milimetarskom podelom, pa je: 3

1

331 ==== h

hhh

Uuuu mm.

Imaju�i u vidu izraz ( )311 / hhh −=κ i izraz (38) iz uvodnog dela ovog praktikuma, mo�e se

konstatovati da se ukupna merna nesigurnost eksponenta adijabate mo�e izra�unati kao:

( )

( ) 3

2

3

21

2

1

1

2

1 hh

n

i

sri

uh

uhnn

u ���

����

�

∂

∂+��

�

����

�

∂

∂+

−

−

=

�= κκ

κκ

κ . (2.3)

Kako je: ( )2

31

3

1 hh

h

h −−=

∂

∂κ i

( )231

1

3 hh

h

h −=

∂

∂κ, dobija se:

( )

( ) ( )( )2

12

3431

21

2

1hh

hh

u

nnu h

n

i

sri

+−

+−

−

=

�=

κκ

κ .

Pri tome je najadekvatnije da se u poslednjem izrazu uzimaju srednje vrednosti veli�ina h1 i h3, pa

kona�ni izraz za ukupnu mernu nesigurnost dobijenog eksponenta adijabate glasi9:

( )

( ) 2221

234

31

22

2 BAsrsrsrsr

hA uuhh

hh

uuu κκκκ +=+

−+= . (2.4)

S obzirom na broj ponovljenih merenja pri odre�ivanju κ , pro�irenu mernu nesigurnost za κ

mo�emo odrediti prema Gausovoj raspodeli. Za nivo poverenja od 99,7 % va�i:

..................3 == κκ uU (2.5)

Rezultate treba prikazati u adekvatnom kona�nom zapisu10:

κ = __________ + __________ (2.6)

( κsr + Uκ )

9 U izrazu (2.4), �lan pod korenom koji sadr�i 2

hu se mo�e predstaviti kao 2Buκ , jer sadr�i samo jednu standardnu mernu nesigurnost

(uh), koja predstavlja mernu nesigurnost tipa B (ne odre�uje se statisti�kom metodom).

10 Iako je teorijska vrednost koeficijenta κ za vazduh (dvoatomni gas) 1,4 u ve�bi �e se najverovatnije dobijati ne�to ni�e vrednosti.

Sistematsko dobijanje ni�e vrednosti povezano je sa �injenicom da u ovakvoj koncepciji eksperimenta nije mogu�e ostvariti pravu

adijabatsku ekspanziju (relativno uzan otvor slavine i eventualno ispu�tanje vazduha na slavini i drugim zaptivkama).