ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕДЛЯ УЧИТЕЛЯ

В. А. СмирновИ. М. Смирнова

7КЛАСС

МОСКВАБИНОМ. Лаборатория знаний2019

УДК 37.02:514ББК 74.262.21 С50

ISBN 978-5-???

Смирнов, Владимир АлексеевичС50 Геометрия : 7 класс : методическое пособие для учите-

ля / В. А. Смирнов, И. М. Смирнова. — М. : БИНОМ. Ла-боратория знаний, 2019. — 80 с.

ISBN 978-5-???В  пособии представлено содержание курса геометрии 7-го

класса, примерное планирование учебного материала и мето-дические рекомендации по решению задач повышенной труд-ности, самостоятельные и контрольные работы, задачи для об-общающего повторения.

УДК 37.02:514ББК 74.262.21

Учебное изданиеСмирнов, Владимир Алексеевич

Геометрия7 классМетодическое пособие для учителя

Редактор С. В. Бахтина. Внешнее оформление: В. А. АндриановКомпьютерная вёрстка: Н. П. ГорловаТехнический редактор О. Б. РезчиковаКорректоры Ю. С. Борисенко, О. Ч. Кохановская

Подписано в печать ??.??.18. Формат 60×84/16Гарнитура SchoolBookSanPin. Печать офсетнаяБумага офсетная № 1. Усл. печ. л. ?,??. Тираж ???? экз. Заказ №

ООО «БИНОМ. Лаборатория знаний»127473, Москва, ул. Краснопролетарская, д. 16, стр. 3,тел. (495)181-53-44, e-mail: binom@Lbz.ru, http://www.Lbz.ru

Отпечатано

© ООО «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2019 © Оформление. ООО «БИНОМ. Лаборатория знаний»,

2019 Все права защищены

3

ВВЕДЕНИЕ

Данное методическое руководство является составной частью учебно-методического комплекса по математике для 7-х классов общеобразовательных учреждений.

Пособие предназначено учителям, работающим в 7-м клас-се по учебнику «Геометрия» авторов В. А.  Смирнов, И. М. Смирнова. Оно ориентирует учителя в его работе, по-зволит качественно спланировать процесс обучения геоме-трии семиклассников.

В пособие включено:— примерное тематическое планирование;— методические рекомендации по решению задач повы-

шенной трудности;— самостоятельные работы;— контрольные работы;— обобщающее повторение.В  конце пособия даны ответы к  предложенным само-

стоятельным и контрольным работам.Геометрия, как ни один другой предмет нужна каждому

человеку, поскольку именно она даёт необходимые про-странственные представления, знакомит с  разнообразием пространственных форм, законами восприятия и изображе-ния различных фигур, что позволяет человеку правильно ориентироваться в  окружающем мире. С  другой стороны, геометрия даёт метод научного познания, способствует раз-витию мышления, формирует навыки дедуктивных рассу-ждений. Помимо этого, изучение геометрии вырабатывает необходимые практические навыки в  изображении, моде-лировании и  конструировании плоских и  пространствен-ных фигур, в измерении основных геометрических величин (длин, величин углов, площадей, объёмов и др.).

Кроме сказанного, геометрия обладает интересным со-держанием, имеет богатую историю, яркие приложения, она занимательна, изучает красивые объекты. Всё это по-степенно будет раскрываться и  представляться учащимся по мере изучения её курса.

Обучение геометрии по предлагаемому пособию направ-лено на достижение следующих целей:

4

1) в направлении личностного развития:— формирование представлений о геометрии как части

общечеловеческой культуры, о значимости геометрии в раз-витии цивилизации и современного общества;

— развитие геометрических представлений, логическо-го мышления, культуры речи, способности к  умственному эксперименту;

— формирование у  учащихся интеллектуальной чест-ности и объективности, способности к преодолению мысли-тельных стереотипов, вытекающих из обыденного опыта;

— воспитание качеств личности, обеспечивающих со-циальную мобильность, способность принимать самостоя-тельные решения;

— формирование качеств мышления, необходимых для адаптации в современном информационном обществе;

развитие интереса к математике;развитие математических способностей;2) в метапредметном направлении:— развитие представлений о геометрии как форме опи-

сания и методе познания действительности, создание усло-вий для приобретения опыта математического моделирова-ния;

— формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры, значимой для различ-ных сфер человеческой деятельности;

3) в предметном направлении:— овладение геометрическими знаниями и  умениями,

необходимыми для продолжения образования, изучения смежных дисциплин, применения в повседневной жизни;

— создание фундамента для математического развития, формирования механизмов мышления, характерных для математической деятельности.

В данном пособии представлено тематическое планиро-вание, даны рекомендации по решению задач. При этом особое внимание уделено задачам повышенного уровня трудности.

Приведённые решения задач не являются единственно возможными. Хорошо известно, что решение задач не-сколькими способами активизирует учебную познаватель-

5

ную деятельность школьников. Задачи, допускающие не-сколько решений, дают богатые возможности для их разви-тия и воспитания.

Если в классе при решении некоторой задачи ребятами будет высказано несколько идей, этим моментом не следует пренебрегать и направлять их мысли в одном направлении.

При этом можно сразу обсудить достоинства каждого предложения и  выбрать наиболее рациональный, а  можно разрешить каждому учащемуся идти своим понравившим-ся ему путём. Затем сравнить различные решения и  при выборе наилучшего из них руководствоваться принципами наибольшей простоты, наглядности, краткости, оригиналь-ности, неожиданности, математической красоты и т. п. Ко-нечно, работа с такими задачами требует больше внимания и самое главное времени, которого всегда не хватает.

6

ПРИМЕРНОЕ ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

7 класс (2 часа в неделю, всего 68 часов за год)П

ункт

Тема

Кол

-во

часо

в

Глава I. Начала геометрии 20

1 Введение в геометрию 1

2 Основные понятия геометрии 2

3 Взаимное расположение прямых на плоскости 2

4 Лучи и отрезки 2

5 Операции над отрезками 2

6 Длина отрезка 2

7 Полуплоскости и углы 2

8 Сравнение углов. Угол между прямыми 2

9 Операции над углами 2

10 Градусная величина угла 2

Контрольная работа 1 1

Глава II. Треугольники 21

11 Равенство треугольников 2

12 Отрезки, связанные с треугольником 2

13 Первый признак равенства треугольников 2

14 Второй признак равенства треугольников 2

15 Равнобедренные треугольники 2

7

Пун

кт

Тема

Кол

-во

часо

в

16 Признак равнобедренного треугольника 2

17 Третий признак равенства треугольников 2

18 Соотношения между углами и сторонами треугольника

2

19 Неравенство треугольника 2

20 Прямоугольные треугольники. Перпендику-ляр и наклонная

2

Контрольная работа 2 1

Глава III. Окружность. Геометрические построения 11

21 Окружность и круг 2

22 Взаимное расположение прямой и окружности 2

23 Взаимное расположение двух окружностей 2

24 Геометрические места точек 2

25 Задачи на построение 2

Контрольная работа 3 1

Глава IV. Параллельность. Сумма углов многоугольника 11

26 Параллельные прямые 2

27 Сумма углов треугольника 2

28 Ломаные 2

Продолжение таблицы

8

Пун

кт

Тема

Кол

-во

часо

в

29 Многоугольники 2

30 Сумма углов выпуклого многоугольника 2

Контрольная работа 4 1

Обобщающее повторение 4

Окончание таблицы

9

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Глава I. Начала геометрииВ этой главе вводятся важнейшие для дальнейшего об-

учения геометрические понятия и изучаются их свойства.При преподавании учебного материала этой главы ста-

вятся следующие цели обучения.1. Познакомить учащихся с основными геометрическими

фигурами: точкой, прямой, плоскостью. Объяснить школьни-кам, почему именно они взяты в качестве основных, моделями каких реальных объектов окружающего нас мира они являют-ся. Научить изображать простейшие геометрические ситуа-ции, выполнять соответствующие схематические чертежи, де-лать краткие записи с помощью математической символики.

2. Сформировать понятия принадлежности точки пря-мой. Рассмотреть случаи взаимного расположения точек на прямой. Сформировать понятие луча, или полупрямой. По-знакомить с  операцией откладывания данного отрезка на данном луче от его вершины. Определить операции сложе-ния и  вычитания отрезков. Сформировать понятия равен-ства отрезков, длины отрезка, расстояния между точками. Научить решать задачи на установление равенства отрезков и нахождения их длин.

3. Рассмотреть основные случаи взаимного расположе-ния точек на плоскости относительно прямой. Сформиро-вать понятия полуплоскости, угла и его элементов. Позна-комить учащихся с видами углов, операцией откладывания данного угла от данного луча. Определить операции сложе-ния и  вычитания углов. Сформировать понятия равенства углов и величины угла. Научить решать задачи на установ-ление равенства углов и  нахождение их градусных вели-чин. Познакомить учащихся с  историей возникновения и развития проблемы измерения величин углов.

1. Введение в геометриюЦель обучения: познакомить учащихся с целями изуче-

ния геометрии, историей её возникновения, философскими школами, именами учёных, внёсших существенный вклад в развитие геометрии, её современными направлениями.

10

История математики позволяет проникнуть в мировоз-зренческий смысл науки, в процесс основных её идей, эво-люцию методов. Сведения о  научных поисках, открытиях помогают увидеть по-новому то, что кажется привычным и  обыденным. Исторический материал может продемон-стрировать учащимся, каким может быть трудным и  дли-тельным путь учёного к истине, которая сегодня формули-руется в виде короткого утверждения.

Исторические сведения способствуют развитию позна-вательных интересов и творческих способностей учащихся, так как включение сведений о  творчестве известных учё-ных, о том, как они приходили к постановке своих исследо-ваний, находили метод решения, формулировали оконча-тельный результат, позволяет создать творческую атмосфе-ру на уроках математики, помогает понять, что в процессе творчества нет ничего необычного, сверхъестественного, что цели достигаются в результате упорного труда.

Элементы истории служат средством нравственного вос-питания учащихся, воспитания чувства гордости за достиже-ния отечественной математики. История науки обладает мно-жеством впечатляющих фактов о  благородных социальных и гражданских мотивах деятельности учёных. Пренебрежение этим материалом или умалчивание о  нём обедняет познава-тельный и нравственный опыт учащихся. Лишённые конкрет-ных доказательств об единстве науки и нравственности школь-ники могут считать, что существует чистая наука, далёкая от реальной жизни, несвязанная с судьбами людей и общества.

Наконец, история математики важна не только потому, что она необходима для решения ряда методологических и педагогических проблем. Она важна и сама по себе как па-мятник человеческому гению, позволившему человечеству пройти великий путь от полного незнания и полного подчи-нения силам природы до великих замыслов и  свершений в познании законов развития природы и общества.

Учащиеся должны знать, какие разделы геометрии на-зываются планиметрией и  стереометрией, откуда произо-шли эти термины; зачем нужно изучать геометрию; какие учёные внесли вклад в развитие геометрии; как пифагорей-цы объясняли устройство мира; кто из учёных первым предложил аксиоматическое построение геометрии.

11

Познакомиться с  историей возникновения и  развития геометрии можно в  книге: Г. И.  Глейзер. История матема-тики в школе: пособие для учителей — М.  : Просвещение, 1982. Она имеется в открытом доступе на сайте www.math.ru.

2. Основные понятия геометрииЦель обучения  — познакомить учащихся с  основными

понятиями геометрии; научить решать простейшие комби-наторные задачи на нахождение количества точек и  пря-мых на плоскости.

С  учащимися можно заполнить таблицу  1  — «Матема-тическая символика».

Таблица 1

Запись Чтение

A; B; C … Точка A; точка B; точка C …

a; b; c …AB; CD …

Прямая a; прямая b; прямая c …Прямая AB, CD …

α; β; γ … Плоскость α; плоскость β; плоскость γ; …

A a Точка A принадлежит прямой a

B a Точка B не принадлежит прямой a

… …

Рекомендации по решению задачЗадача  9. Сколько прямых можно провести через раз-

личные пары из n точек, никакие три из которых не при-надлежат одной прямой?

Замечание. Нумерация задач взята из учебника.Решение. Пусть A1, …, An – n точек, никакие три из ко-

торых не принадлежат одной прямой (рис. 1).Выясним, сколько прямых проходит через точку A1

и оставшиеся точки. Так как число оставшихся точек равно n – 1 и через каждую из них и точку A1 проходит одна пря-мая, то искомое число прямых будет равно n – 1.

12

Заметим, что рассужде-ния, проведённые для точ-ки A1, справедливы для любой другой точки. По-скольку всего точек n и  че-рез каждую из них прохо-дит n  –  1 прямая, то число посчитанных прямых будет равно n(n – 1).

Конечно, этот ответ, ко-торый могут дать учащие-ся, не является верным. Например, при n = 3 полу-чаем n(n  –  1)  =  6, а  число

прямых, на самом деле, равно   3. Хорошо, если учащиеся сами догадаются, что при указанном выше подсчёте мы каждую прямую посчитали дважды и  поэтому число пря-мых, проходящих через различные пары из n данных точек,

равно n n( ) 1

2 .

Полученная формула числа прямых имеет большое зна-чение, в  дальнейшем она будет появляться при решении различных комбинаторных задач. Поскольку каждая пря-мая однозначно задаётся двумя точками, мы, по существу, вычислили, сколько различных пар можно составить из n элементов. При этом не имеет значение, какие это элемен-ты. Число таких пар называется числом сочетаний из n эле-ментов по два и  обозначается Cn

2. Например, если в  классе 20 учеников, то число различных пар, которые можно обра-зовать из учеников этого класса, равно C20

2  = 190.

3. Взаимное расположение прямых на плоскостиЦель обучения — познакомить учащихся с различными

случаями взаимного расположения прямых на плоскости; научить распознавать эти случаи и решать простейшие за-дачи комбинаторного характера.

Рекомендации по решению задачЗадача 10. Какое наибольшее число точек попарных пе-

ресечений могут иметь n прямых?

A2

A1

An A4

A3

...

Рис. 1

13

Решение. Заметим, что наибольшее число точек попар-ных пересечений получается, если каждая прямая пересе-кается с каждой, и при этом никакие три прямые не пересе-каются в одной точке (рис. 2).

a1

a2

ana3

...

Рис. 2

В этом случае каждая прямая имеет n – 1 точку пересе-чения с остальными прямыми, и мы находимся в ситуации, аналогичной ситуации задачи  9 из предыдущего пункта. Так как всего прямых n, и на каждой прямой n – 1 точка, то их общее число будет равно n(n  –  1). При этом, поскольку каждая точку пересечения принадлежит двум прямым, то мы подсчитаем её дважды. Следовательно, число точек пе-

ресечения будет равно n n( ) 1

2 .

Можно было бы рассуждать и  короче. Действительно, для того чтобы подсчитать количество точек пересечения, достаточно подсчитать количество пар прямых, которые можно образовать из данных n прямых. Как мы знаем, это

число равно числу сочетаний из n по 2, т. е. равно n n( ) 1

2 .

Самостоятельная работа 1В а р и а н т 1

1. Что изучает геометрия?2. Назовите основные геометрические фигуры.3. Изобразите на рисунке две пересекающиеся прямые

a и b; точку A, принадлежащую прямой a; точку B, принад-

14

лежащую прямой b; точку C, принадлежащую обеим пря-мым a и  b; точки D и  E, не принадлежащие данным пря-мым.

4. Сколько прямых можно провести через две точки?5*. Найдите в окружающей нас обстановке модели пря-

мых линий.

В а р и а н т 21. Какой раздел геометрии называется планиметрией?2. Какие свойства называются аксиомами?3. Изобразите на рисунке две пересекающиеся пря-

мые  k и  l; точку K, принадлежащую прямой k; точку L, принадлежащую прямой l; точку H, принадлежащую обеим прямым k и  l; точки M и  N, не принадлежащие данным прямым.

4. Сколько точек пересечения могут иметь две прямые?5*. Найдите в окружающей нас обстановке модели плос-

костей.

4. Лучи и отрезкиЦель обучения — сформировать понятия отрезка и лу-

ча, или полупрямой; представить соответствующие обозна-чения; научить решать простейшие задачи комбинаторного характера на нахождение количества отрезков и лучей.

Рекомендации по решению задачЗадача  6. На прямой отмечены: а)  3  точки; б)  4  точки;

в) 5 точек; г)* n точек. Сколько имеется лучей, лежащих на данной прямой, с вершинами в этих точках?

Решение. Каждая точка прямой разбивает эту прямую на две части, которые определяют два луча. Значит, n точек прямой определяют 2n лучей.

Задача  7. На прямой отмечены: а)  3  точки; б)  4  точки; в) 5 точек; г)* n точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

Решение. Каждая пара точек прямой определяет один

отрезок. Из n точек прямой можно составить n n( ) 1

2 пар.

Следовательно, число отрезков равно n n( ) 1

2 .

15

5. Операции над отрезкамиЦель обучения  — ввести операцию откладывания дан-

ного отрезка на данном луче от его вершины; определить операции сложения и вычитания отрезков; научить сравни-вать отрезки и устанавливать их равенство.

Важно, чтобы учащиеся поняли, что сравнивать и про-изводить арифметические операции сложения и вычитания можно не только с числами, но и объектами другой приро-ды, в  частности с  отрезками. При этом для данных опера-ций над отрезками справедливы такие же законы сложения и вычитания, как и для чисел.

Рекомендации по решению задачЗадача 8. Сравните отрезки AB и CD, изображённые на

рисунке 5.11.Решение. Эта задача относится к, так называемым, зри-

тельным иллюзиям. Кажется, что отрезок AB меньше от-резка CD. На самом деле, они равны. В  этом можно убе-диться непосредственными измерениями.

Задача 9. Сравните отрезки a и b, изображённые на ри-сунке 5.12.

Решение. Эта задача также относится к зрительным ил-люзиям. Данные отрезки равны. В этом легко убедиться не-посредственными измерениями.

Самостоятельная работа 2В а р и а н т 1

1. Какая фигура называется лучом?2. Изобразите прямую MN и  точки A, B, ей принадле-

жащие. На сколько частей разделилась прямая? Как они называются?

3. Сколько отрезков, равных данному, можно отложить на данной прямой от данной точки?

4. Точки A, B, C принадлежат одной прямой, AB > BC. Как могут располагаться данные точки относительно друг друга?

5. Изобразите отрезок AB и отрезок 2AB.

В а р и а н т 21. Какая фигура называется отрезком?

16

2. Изобразите прямую a и точки A, B, C, ей принадле-жащие таким образом, чтобы C лежала между A и B. Сколь-ко получилось отрезков с концами в этих точках?

3. Сколько лучей можно провести из одной точки?4. Точки E, F, G принадлежат одной прямой, EF < FG.

Как могут располагаться данные точки относительно друг друга?

5. Изобразите отрезок XY и отрезок 3XY.

6. Длина отрезкаЦель обучения  — сформировать у  учащихся понятия

длины отрезка и  расстояния между точками; познакомить учащихся с историей возникновения и развития измерения длин отрезков; научить измерять длину отрезка, используя различные измерительные инструменты и  свойства длины отрезка.

Рекомендации по решению задачЗадача  18. Толщина газетного листа 0,1  миллиметра.

Газетный лист сложили пополам, потом ещё раз пополам и  так пятьдесят раз. Какой примерно толщины получится стопка?

Решение. При каждом складывании толщина листа уве-личивается в два раза. При 50-кратном сложении толщина увеличивается в 250 раза. Имеем

2 2 1024 1000 100000000000000050 10 5 5 5= = > =( ) .Умножая это число на 0,1 мм, получим 1 миллион кило-

метров. Таким образом, толщина стопки будет более одного миллиона километров.

Самостоятельная работа 3В а р и а н т 1

1. Точка H лежит на прямой между точками P и Q. Най-дите длину отрезка PQ, если HP = 3 см и QH = 1,5 см. От-вет поясните.

2. Даны отрезки a, b, c, причём, a  =  6  см, b  =  3  см и c = 2 см. Постройте отрезок a + (b – c).

3. Известно, что длины отрезков удовлетворяют сле-дующим равенствам: AB  =  BC, CD  =  BC. Сделайте вывод о длинах отрезков AB и CD.

17

4. Длина отрезка EF равна длине отрезка GH (рис.  3). Длины каких ещё отрезков на этом рисунке равны? Почему?

5*. От районного центра до центра села прокладывается телефонная линия. Сколько столбов для этого нужно заго-товить, если их нужно поставить через каждые 50 м, а дли-на прямой линии равна 10 км?

В а р и а н т 21. На прямой отложены отрезки MN = 8 см и NO = 3 см.

Найдите длину отрезка MO, если: а) точка N лежит между точками M и O; б) точка O лежит между точками M и N.

2. Даны отрезки a = 6 см, b = 3 см и c = 2 см. Постройте отрезок a – (b + c).

3. Известно, что отрезки AB и CD имеют равные длины и лежат на одной прямой. Верно ли, что отрезки AC и  BD имеют равные длины? Почему?

4. Длина отрезка EF равна длине от-резка GH (рис.  3). Суммой длин каких отрезков является длина отрезка EH? Рассмотрите все варианты.

5*. Пила имеет длину 1 м, а расстоя-ние между соседними зубцами равна 25 мм (рис. 4). Найдите число зубцов пилы.

7. Полуплоскости и углыЦель обучения  — рассмотреть основные свойства вза-

имного расположения точек на плоскости относительно прямой; сформировать понятия полуплоскости, угла, его элементов; научить распознавать виды углов.

Обратим внимание на то, что угол это не просто два лу-ча с общей вершиной, а часть плоскости, ограниченная эти-ми лучами. В  зависимости от того, какая часть плоскости выбирается, получается тот или иной угол.

Рекомендации по решению задачЗадача 10. На сколько частей разбивают плоскость n по-

парно пересекающихся прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке?

E F G H

Рис. 3

25

Рис. 4

18

Решение. Выясним, на сколько увеличивается число частей плоскости при добавлении новой прямой к данным. Это увеличение происходит за счёт того, что какие-то части плоскости разбиваются новой прямой на меньшие части. Так, одна прямая разбивает плоскость на две части. Две пе-ресекающиеся прямые разбивают плоскость на четыре час-ти. Теперь, если имелось две пересекающиеся прямые, то при добавлении третьей прямой три из имеющихся четырёх частей плоскости разбиваются на две части и  общее число образованных частей равно 7 = 4 + 3 (рис. 5).

a1

a2

a3

Рис. 5

Заметим, что количество частей плоскости, которые разбиваются на две части новой прямой, равно количеству частей новой прямой, на которые она разбивается точками пересечения с имеющимися прямыми. Каждая такая часть новой прямой разбивает соответствующую часть плоскости на две части. Значит, добавление четвёртой прямой даст 11  =  7  +  4  частей плоскости и  т. д. Поскольку n-я прямая пересекается с  n  –  1 прямой, то она разбивается на n  час-тей, поэтому число частей плоскости увеличивается на n. Таким образом, общее число частей, на которые n прямых разбивают плоскость, равно 4 + 3 + … + n. Представим эту сумму в виде 1 + 1 + 2 + 3 + … + n и воспользуемся форму-

лой 1 21

2+ + + =

+… n

n n( ) .

Искомое число частей плоскости будет равно

11

2

n n( ) .

19

8. Сравнение углов. Угол между прямымиЦель обучения  — ввести операции откладывания угла

от данного луча и отношение равенства углов; научить изоб-ражать и сравнивать углы, распознавать виды углов.

Различные виды углов можно проиллюстрировать сле-дующей схемой.

ВИДЫ УГЛОВ

Острые Прямые Тупые

Углы

9. Операции над угламиЦель обучения — определить операции сложения и вы-

читания углов; научить формулировать и доказывать теоре-му о равенстве вертикальных углов.

Это первая теорема. Очень важно, чтобы учащиеся осо-знали, что теорема  — это утверждение, истинность кото-рого устанавливается с  помощью рассуждения  — доказа-тельства.

Рекомендации по решению задачЗадача 4. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный

разности углов: а) C и B (рис. 9.7, а); б) B и C (рис. 9.7, б).Решение представлено на рисунке 6. а) BCE; б) CBE.

B

A

а б

B AE

EC

CD

D

Рис. 6

20

Задача 5. Докажите, что если два угла равны, то равны и смежные им углы.

Решение. Пусть A1O1B1  = A2O2B2, а  углы B1O1C1, B2O2C2 — смежные им углы (рис. 7). Тогда угол B1O1C1 ра-вен разности развёрнутого угла и угла A1O1B1. Угол B2O2C2 равен разности развёрнутого угла и  угла A2O2B2. Так как развёрнутые углы равны и углы A1O1B1, A2O2B2 равны, то их разности также равны. Следовательно, смежные углы B1O1C1, B2O2C2 равны.

A2A1

B1

B2

C1

C2

O1

O2

Рис. 7

Самостоятельная работа 4В а р и а н т 1

1. Изобразите прямую a; точки A, B, лежащие по од-ну  сторону от этой прямой; точки C, D, лежащие по дру-гую. Запишите отрезки, которые: а) пересекают прямую a; б) не пересекают прямую a.

2. Внутри угла POH провели луч OQ. Сколько всего углов обра-зовалось при этом?

3. Дан угол. Постройте смеж-ный ему угол. Сколько таких углов можно построить?

4. Даны две пересекающиеся прямые. Сколько пар вертикаль-ных углов при этом образовалось?

5*.  Запишите развёрнутые уг-лы, изображённые на рисунке 8.

B

C

O

D

A

Рис. 8

21

В а р и а н т 21. Известно, что три точки C, D и E не принадлежат од-

ной прямой. Точка F не принадлежит прямой CD. Пересе-кает ли отрезок EF прямую CD? Рассмотрите возможные случаи.

2. Внутри прямого угла проведено 3  луча. Сколько уг-лов при этом образовалось?

3. Дан угол. Постройте для него вертикальный угол. Сколько таких углов можно построить?

4. Сколько пар смежных углов образуют две пересекаю-щиеся прямые?

5*.  Запишите все пары смежных углов, изображённых на рисунке 8.

10. Градусная величина углаЦель обучения  — сформировать у  учащихся понятие

градусной величины угла; познакомить с историей измере-ния углов; научить измерять углы, используя различные из-мерительные инструменты и свойства градусной величины.

Рекомендации по решению задачЗадача  15. Чему равен угол между биссектрисами:

а) вертикальных углов; б) смежных углов?Решение. Докажем, что угол между биссектрисами смеж-

ных углов является прямым. Пусть AOB и  BOC  — смеж-ные углы (рис.  9). Биссектриса OD угла AOB делит этот угол на два равных угла, т.  е. угол BOD равен углу  AOD. Биссектриса OE угла BOC делит этот угол на два равных уг-ла, т.  е. угол BOE равен углу COE. Следовательно, сумма

B

C

E

O

D

A

Рис. 9

22

углов BOD и  BOE составляет половину развёрнутого уг-ла AOC, т. е. равна 90°. Значит, биссектрисы OD и OE обра-зуют прямой угол.

Аналогичным образом доказывается, что угол между биссектрисами вертикальных углов является развёрнутым.

Познакомиться с историческими сведениями об измере-нии углов можно в книге: Г. И. Глейзер. История математи-ки в  школе  :  пособие для учителей.  — М.  :  Просвещение, 1982. Она имеется в открытом доступе на сайте www.math.ru.

Самостоятельная работа 5В а р и а н т 1

1. Верно ли утверждение: «Сумма двух смежных углов равна 180°»?

2. Найдите каждый из двух смежных углов, если один из них на 20° больше другого?

3. Могут ли два вертикальных угла быть прямыми?4. Прямой угол разделен на три равные части. Найдите

угол между биссектрисами крайних углов.5*.  На сколько градусов повернётся минутная стрелка

часов за 5 минут?

В а р и а н т 21. Верно ли утверждение: «Если сумма двух углов рав-

на 180°, то углы смежные»? Почему?2. Найдите каждый из двух смежных углов, если один

из них в четыре раза больше другого?3. Могут ли два вертикальных угла быть тупыми?4. Развёрнутый угол разделен на три равные части.

Найдите угол между биссектрисой средней части и прямой, образованной сторонами развёрнутого угла.

5*.  Какой угол образуют минутная и  часовая стрелки часов в 2 часа?

Контрольная работа 1В а р и а н т 1

1. Сколько рёбер у тетраэдра?2. Сколько прямых проходит через различные пары из

четырёх точек, три из которых принадлежат одной прямой?3. На прямой отмечено четыре точки. Сколько образова-

лось отрезков с концами в этих точках?

23

4. На отрезке CD длиной 24  см отмечена точка H. Из-вестно, что отрезок CH в  три раза длиннее отрезка  DH. Найдите длины отрезков CH и DH.

5*.  На сколько градусов повернётся минутная стрелка часов за 1 мин?

6*.  Сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 60°. Определите все углы, образован-ные при пересечении данных прямых.

В а р и а н т 21. Сколько рёбер у куба?2. Какое наибольшее число точек попарных пересечений

могут иметь четыре прямые, две из которых параллельны?3. На прямой отмечено пять точек. Сколько образова-

лось лучей с вершинами в этих точках?4. На отрезке EF взята точка L.  Найдите длины отрез-

ков EL и  FL, если отрезок EL на 6  см короче отрезка FL и длина отрезка EF равна 36 см.

5*. Колесо имеет 18 спиц. Найдите величину угла (в гра-дусах), который образуют две соседние спицы.

6*. Сумма трёх углов, которые образуются при пересече-нии двух прямых, равна 240°. Определите все углы, образо-ванные при пересечении данных прямых.

Глава II. ТреугольникиПри преподавании учебного материала этой главы ста-

вятся следующие цели обучения.1. Сформировать понятия треугольника и  его элемен-

тов: вершин, сторон, углов, а также понятия медианы, бис-сектрисы и  высоты треугольника; определить понятие ра-венства треугольников. Научить изображать треугольник и его элементы.

2. Познакомить учащихся с  основными свойствами ра-венства треугольников. Сформулировать и  доказать при-знаки равенства треугольников, научить применять их для решения задач на доказательство.

3. Сформировать представления о равнобедренном, рав-ностороннем и прямоугольном треугольниках. Доказать их признаки и свойства.

24

4. Установить соотношения между сторонами и  угла-ми  треугольника. Научить применять их при решении за-дач.

5. Познакомить с  историческими сведениями о  тре-угольнике.

11. Равенство треугольниковЦель обучения — познакомить школьников с понятия-

ми треугольника и его основных элементов; определить по-нятие равенства треугольников; научить распознавать вид треугольника, в  зависимости от его углов, и  равные тре-угольники.

Различные виды треугольников можно проиллюстриро-вать следующей схемой.

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Остроугольные Прямоугольные Тупоугольные

Треугольники

12. Отрезки, связанные с треугольникомЦель обучения  — познакомить учащихся с  понятиями

медианы, биссектрисы и высоты треугольника; научить их распознавать и  изображать; решать задачи на нахождение периметра треугольника.

Рекомендации по решению задачЗадача 10. Докажите, что если прямая пересекает одну

сторону треугольника и не проходит через его вершины, то она пересекает и одну из двух других его сторон.

Решение. Пусть прямая d пересекает сторону AB тре-угольника ABC (рис. 10).

Вершина C может лежать в  полуплоскости, определя-емой прямой d, либо по одну сторону с вершиной A, либо по одну сторону с вершиной B.

Если вершина C лежит по одну сторону с вершиной A, то она и вершина B лежат по разные стороны от прямой d.

25

Воспользуемся аксиомой из 7-го пункта о  том, что каждая прямая на плоско-сти разбивает эту пло-скость на две части.

Из неё следует, что прямая d пересекает сторо-ну BC треугольника ABC.

Аналогично рассматри-вается случай, если верши-на C лежит по одну сторону с вершиной B.

Самостоятельная работа 6В а р и а н т 1

1. Запишите все треугольники, изображённые на ри-сунке 11.

2. Чем отличается бис-сектриса треугольника от биссектрисы угла?

3. Треугольники АВС и  DEF равны. Известно, что DE  =  6  см, EF  =  7  см, DF  =  8  см. Найдите сторо-ны треугольника ABC.

4. Периметр одного тре-угольника больше периметра другого треугольника. Могут ли эти треугольники быть равными? Почему?

5*.  Найдите в  окружающей нас обстановке предметы, имеющие форму треугольника.

В а р и а н т 21. Запишите все тре-

угольники, изображённые на рисунке 12.

2. Треугольники АВС и DEF равны. Известно, что D  =  50°, E  =  60°, F  = =  70°. Найдите углы тре-угольника ABC.

B

C

d

A

Рис. 10

B

D

CA

Рис. 11

L

K

M

O

N

Рис. 12

26

3. Периметр треугольника равен 36  см. Стороны отно-сятся как 2 : 3 : 4. Найдите стороны треугольника.

4. Треугольники ABC и  OPQ равны. Периметр тре-угольника ABC равен 40 см, AB = 17 см, PQ = 5 см. Найди-те остальные стороны треугольников.

5*.  Найдите в  окружающей нас обстановке предметы, имеющие форму треугольника.

13. Первый признак равенства треугольниковЦель обучения — познакомить учащихся с первым при-

знаком равенства треугольников; научить применять его для решения задач.

Обратим внимание на то, что доказательство этого и по-следующих признаков равенства треугольников не явля-ется обязательным для запоминания учащимися, посколь-ку  они слишком сложны для понимания на начальном этапе обучения геометрии. Требуется знание формулиро-вок  этих признаков и  умение применять их для решения задач.

Рекомендации по решению задачЗадача 12. На рисунке 13.11 точки A, B, C принадлежат

одной прямой. Точки D1 и  D2  лежат по разные стороны от этой прямой. Докажите, что если треугольники ABD1 и ABD2 равны, то треугольники BCD1 и BCD2 тоже равны.

Решение. Из равенства треугольников ABD1 и  ABD2 следует равенство соответст вующих сторон BD1, BD2 и ра-венство соответствующих углов CBD1, CBD2 (рис. 13). Из равенства этих углов сле-дует равенство и  смежных с ними углов, т. е. CBD1 = = CBD2.

Треугольники BCD1 и  BCD2 равны по первому признаку равенства тре-угольников, так как сторо-ны BD1 и  BD2 равны, сто-рона BC — общая, и равны углы CBD1, CBD2.

AB

C

D1

D2

Рис. 13

27

Задача 13. Докажите, что в равных треугольниках ABC и  A1B1C1 равны соответствующие медианы CM и  C1M1 (рис. 13.12).

Решение. Рассмотрим равные треугольники ABC и A1B1C1 и докажем что медианы CM и C1M1 равны (рис. 14).

A1A B1B

C1C

M1M

Рис. 14

Треугольники ACM и  A1C1M1 равны по первому при-знаку равенства треугольников (AC  =  A1C1, AM  =  A1M1, A = A1). Следовательно, равны их соответствующие сто-роны CM и C1M1.

Самостоятельная работа 7В а р и а н т 1

1. Треугольники ABC и A1B1C1 равны. Запишите равен-ство соответствующих элементов.

2. Будут ли треугольники, изображённые на рисун-ке 15, равны? Почему?

BC

O

DA

Рис. 15

28

3. Найдите на рисунке  16 пары равных треугольников и запишите их.

4*. На рисунке 17 KL = NM, LO = MO. Докажите, что K = N.

B C

O

DA

Рис. 16Ðèñ. 17

O

L

K

H

NM

Рис. 17

В а р и а н т 21. У  двух треугольников EFG и  HOP известно, что

FG = OP, F = O и EF = HO. Будут ли они равны? Если да, запишите соответствующее равенство.

2. Будут ли треугольники, изображённые на рисун-ке 18, равны? Почему?

3. В треугольнике ABC (рис. 19) AD — биссектриса уг-ла  A, AB  =  AC. Будут ли какие-нибудь треугольники рав-ны? Запишите и найдите углы ADB и ADC.

H

P

QO

Рис. 18

B

C

DA

Рис. 19

29

4*. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B прилежит стороне AC, а  точка E  — стороне AD (рис.  20), причём, AC  =  AD и  AB  =  AE. Докажите, что CBD = DEC.

Ðèñ. 20

ADE

B

C

Рис. 20

14. Второй признак равенства треугольниковЦель обучения  — познакомить учащихся со вторым

признаком равенства треугольников; научить применять его для решения задач.

Рекомендации по решению задачЗадача 12. На рисунке 14.13 треугольники АВС и DEF

равны. Отрезки CG и  FH образуют со сторонами соответ-ственно СВ и FE равные углы. Докажите, что AG = DH.

Решение. Из равенства треугольников ABC и DEF сле-дует равенство сторон AC, DE и  равенство углов A и  D, C и F (рис. 21).

B

C

EH

F

DA G

Рис. 21

30

По условию углы BCG и  EFH равны. Следовательно, равны и углы ACG и DFH. Треугольники ACG и DFH рав-ны по второму признаку равенства треугольников, так как стороны AC и DF равны, угол A равен углу D, угол ACG ра-вен углу DFH. Из равенства этих треугольников следует ра-венство соответствующих сторон AG и DH.

Задача 16. Докажите, что в равных треугольниках ABC и DEF равны соответствующие биссектрисы CG и FH (рис. 14.17).

Решение. Рассмотрим равные треугольники ABC и DEF и докажем что биссектрисы CG и FH равны (рис. 22).

B

C

EH

F

DA G

Рис. 22

Треугольники ACG и DFH равны по второму признаку равенства треугольников (AC  =  DF, A  =  D, ACG  = = DFH). Следовательно, равны их соответствующие сто-роны CG и FH.

Самостоятельная работа 8В а р и а н т 1

1. Отрезки BC и AD пересекаются в точке O. BO = OC, ABO  = DCO. Докажите равенство треугольников ABO и DCO.

2. В  треугольниках EFG и  KLM известно, что EF=KL, E  = K и F  = L.  Верно ли, что эти треугольники рав-ны? Почему?

3. На рисунке  23 1  =  2, 3  =  4. Докажите, что LM = NK.

4*.  Докажите, что прямая, перпендикулярная биссект-рисе угла и  пересекающая его стороны, отсекает на этих сторонах равные отрезки.

31

L

K

M

1 3

4 2

N

Рис. 23

G

E H

O

F

Рис. 24

В а р и а н т 21. В треугольниках ABC и KLM известно, что AB = KL,

A = K, B = L. Докажите, что BC = LM.2. Дано, что EO = FO, E = F (рис. 24). Какие еще от-

резки и углы равны?3. Докажите, что в  равных треугольниках биссектрисы

равных углов равны.4*. Через данную внутри угла точку проведите прямую,

отсекающую от сторон данного угла равные отрезки.

15. Равнобедренные треугольникиЦель обучения  — познакомить с  видами треугольни-

ков, в  зависимости от их сторон; свойствами и  признаком равнобедренного треугольника; научить их доказывать и при-менять для решения задач.

Различные виды треугольников можно проиллюстриро-вать следующей схемой.

ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Разносторонние Равнобедренные Равносторонние

Треугольники

32

Рекомендации по решению задачЗадача 11. Докажите, что если биссектриса треугольни-

ка является и высотой, то треугольник равнобедренный.Решение. Пусть

в  треугольнике  ABC бис-сектриса  CD является высотой (рис. 25).

Треугольники ACD и BCD равны по второму признаку равенства тре-угольников. У них сторо-на CD общая, угол ACD равен углу BCD, угол ADC равен углу BDC. Следовательно, у  этих треугольников равны со-

ответствующие стороны. В  частности, AC  =  BC. Значит, треугольник ABC равнобедренный.

16. Признак равнобедренного треугольникаЦель обучения  — познакомить учащихся с  признаком

равнобедренного треугольника; научить применять его для решения задач.

Рекомендации по решению задачЗадача 9. Докажите, что медианы равнобедренного тре-

угольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.Решение. Пусть в  равнобедренном треугольнике ABC

(AC = BC) проведены медианы AA1 и BB1 (рис. 26).

B

C

A

A1B1

Рис. 26

B

C

DA

Рис. 25

33

Из равенства сторон AC и  BC следует равенство отрез-ков AB1 и BA1. Треугольники ABB1 и BAA1 равны по пер-вому признаку равенства треугольников. У них сторона AB общая, сторона AB1 равна стороне BA1, угол ABA1 равен углу BAB1. Следовательно, у этих треугольников равны со-ответствующие стороны. В  частности, равны стороны AA1 и BB1, которые являются медианами треугольника ABC.

Задача 10. Докажите, что биссектрисы равнобедренного треугольника, проведённые к его боковым сторонам, равны.

Решение. Пусть в  равнобедренном треугольнике ABC (AC = BC) проведены биссектрисы AA1 и BB1 (рис. 27).

Из равенства углов A и B следует равенство углов ABB1 и  BAA1. Треугольники ABB1 и  BAA1 равны по второму признаку равенства треугольников. У  них сторона AB об-щая, угол BAB1 равен углу ABA1, угол ABB1 равен углу BAA1. Следовательно, у этих треугольников равны соответ-ствующие стороны. В  частно-сти, равны стороны BB1 = AA1, которые являются биссектри-сами треугольника ABC.

Задача  11. В  равнобедрен-ном треугольнике АВС с  осно-ванием АС проведена медиа-на BD. Найдите её длину, если периметр треугольника  АВС равен 40  м, а  треугольни-ка АВD — 30 м.

Решение. Треугольники ABD и CBD (рис. 28) равны по первому признаку равенства треугольников (AB  =  CB, AD  =  CD, A  = C). Следова-тельно, периметры этих тре-угольников равны. Их сумма равна 60  м и  составляет пери-метр треугольника ABC и удво-енную длину медианы BD. Так как периметр треугольника ABC равен 40  м, то медиана равна 10 м.

A

A1B1

B

C

Рис. 27

B

CDA

Рис. 28

34

Самостоятельная работа 9В а р и а н т 1

1. Перечислите признаки равнобедренного треуголь-ника.

2. Дан треугольник ABC, в котором AB = BC. Докажите равенство его медиан AM и CN.

3. Периметр равнобедренного треугольника равен 36 см. Основание равно 6  см. Най-дите боковую сторону данно-го треугольника.

4. В  треугольнике EFG (рис.  29) EF  =  FG, EK  = =  LG. Определите вид тре-угольников EFG и KFL.

В а р и а н т 21. Перечислите свойства

равнобедренного треуголь-ника.

2. Дан треугольник CEF, в котором CE = CF. Докажи-те равенство его биссектрис EL и FK.

3. Периметр равнобед-ренного треугольника равен 42  см, боковая сторона  со-

ставляет 27

периметра. Най-

дите основание данного тре-угольника.

4. В  треугольнике ABC (рис.  30) AC  =  BC, ACD  = =  BCE. Определите вид треугольников ABC и DEC.

17. Третий признак равенства треугольниковЦель обучения  — познакомить учащихся с  третьим

признаком равенства треугольников; научить применять его для решения задач.

L GKE

F

Рис. 29

BE

C

DA

Рис. 30

35

Рекомендации по решению задачЗадача  14. Докажите, что треугольники ABC и  DEF

равны, если у  них равны стороны AB и  DE, AC и  DF, ме-дианы CM и FN (рис. 17.16).

Решение. Из равенства сторон AB и  DE данных тре-угольников следует равенство отрезков AM и DN. Треуголь-ники ACM и DFN равны по трём сторонам (AM = DN, AC = = DF, CM = FN). Следовательно, равны их соответствующие углы A и D. Тогда треугольники ABC и DEF равны по двум сторонам и углу между ними (AB = DE, AC = DF, A = D.

Задача  15. Докажите, что если в  треугольниках ABC и DEF AC = DF, BC = EF, медиана СM равна медиане FN (рис. 17.17), то треугольники ABC и DEF равны.

Решение. Метод доказательства, который используется при решении этой задачи, называется методом удвоения медианы. На продолжениях медиан данных треугольников отложим равные отрезки MG и NH (рис. 31).

Треугольник AMG равен треугольнику BMC по первому признаку равенства треугольников (AM = BM, MG = MC, AMG  =  BMC). Аналогично, треугольник DNH равен треугольнику ENF. Треугольники ACG и  DFH равны по третьему признаку (AC = DF, AG = DH, CG = FH). Следова-тельно, угол ACM равен углу DFN. Аналогично доказыва-ется, что угол BCM равен углу EFN. Складывая эти углы,

BM N

H

C

D

F

EA

G

Рис. 31

36

получаем, что угол ACB равен углу DFE. Таким образом, в  треугольниках ABC и  DEF AC  =  DE, BC  =  EF, ACB  = = DFE. Следовательно, эти треугольники равны по перво-му признаку.

Самостоятельная работа 10В а р и а н т 1

1. На рисунке 32 AB = CD и BC = AD. Докажите равен-ство треугольников ABD и CDB.

2. Треугольники EFG и E1F1G1 равнобедренные с осно-ваниями соответственно EF и  E1F1, причём, EF  =  E1F1 и FG = F1G1. Будут ли данные треугольники равны?

3. На рисунке 33 найдите равные треугольники и назо-вите признак, по которому они равны.

B C

DA

Рис. 32

M O

N

L

K

Рис. 33

4*. Докажите, что если в треугольниках ABC и DEF рав-ны стороны AB и DE, AC и DF, и равны медианы CM и FG, то эти треугольники равны.

В а р и а н т 21. На рисунке 34 AB = CD, BC = DA. Назовите равные

треугольники. Ответ поясните.2. Треугольники MNK и M1N1K1 равнобедренные с осно-

ваниями соответственно MK и M1K1. Будут ли данные тре-угольники равны, если MK = M1K1 и MN = M1N1. Почему?

3. На рисунке 35 EF = FG, EH = HG. Перечислите па-ры равных треугольников. Ответ поясните.

4*. Докажите, что если треугольники ABC и A1B1C1 рав-ны, то у них равны медианы CM и C1M1.

37

B D

C

E

A

Рис. 34

P G

H

F

E

Рис. 35

18. Соотношения между углами и сторонами треугольника

Цель обучения  — сформулировать и  доказать теоремы о  соотношениях между сторонами и  углами треугольника; научить применять их для решения задач.

Доказательства этих теорем использует признаки равен-ства треугольников и могут быть доступны для учащихся.

Рекомендации по решению задачЗадача  23. В  треугольнике ABC выполняется неравен-

ство AC > BC, CM — медиана (рис. 18.19). Докажите, что угол BCM больше угла ACM.

Решение. Воспользуемся методом удвоения медианы. На продолжении медианы CM отложим отрезок MD, равный CM (рис. 36).

Треугольник AMD равен треугольнику BMC по первому признаку равенства треугольников (AM = BM, MD = MC,

38

AMD  = BMC). Следова-тельно, равны стороны AD, BC и равны углы ADM, BCM этих треугольников. В треугольнике ACD сторо-на AC больше стороны AE. Следовательно, угол ADC больше угла ACD. Значит, угол BCM больше угла ACM.

Задача  24. В  треуголь-нике ABC выполняется не-равенство AC  >  BC, CD  — биссектриса (рис.  18.20). Докажите, что AD > BD.

Решение. В  силу пре-дыдущей задачи для сере-дины M стороны AB выпол-

няется неравенство ACM  <  BCM. Значит, биссектриса треугольника BCM лежит внутри угла BCM. Следовательно, основание D этой биссектрисы лежит внут ри отрезка MD. Значит, AD > BD.

19. Неравенство треугольникаЦель обучения  — сформулировать и  доказать теорему

о соотношении между сторонами треугольника (неравенст-во треугольника); научить применять её для решения задач.

Рекомендации по решению задачЗадача 7. Докажите, что в треугольнике каждая сторона

меньше половины его периметра.Решение. Рассмотрим треугольник ABC. Докажем, что

AB AB AC BC< + +12

( ).

Действительно, в  силу неравенства треугольника AB  <  AC  +  BC. Прибавляя к  обеим частям этого неравен-ства AB и деля на два, получаем искомое неравенство.

Задача 8. Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC. Докажем, что медиана CD меньше полупериметра этого треугольника.

B

D

C

MA

Рис. 36

39

В  силу неравенства треугольника выполняются нера-венства CD < AC + AD, CD < BC + BD.

Складывая эти неравенства и деля обе части полученно-го  неравенства на два, будем иметь требуемое неравенство

CD AC BC AB< + +12

( ).

Задача  9. Докажите, что сумма расстояний от любой внутренней точки треугольни-ка до его вершин больше его полупериметра (рис. 19.3).

Решение. Рассмотрим тре-угольник ABC и  какую-ни-будь  его внутреннюю точку  O (рис. 37).

В  силу неравенства треугольника выполняются нера-венства OA + OB > AB, OA + OC > AC, OB + OC > BC.

Складывая эти неравенства и деля обе части полученно-го неравенства на два, будем иметь требуемое неравенство

OA OB OC AB AC BC+ + > + +12

( ).

Задача  10. Докажите, что медиана треугольника мень-ше полусуммы сторон, между которыми она заключается.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC. Докажем, что медиана CM меньше суммы сторон AC и BC этого треуголь-ника. Воспользуемся методом удвоения медианы. На про-должении медианы CM отложим от-резок  MD, равный CM (рис.  38). Треугольник AMD равен треугольни-ку BMC по первому признаку равенст-ва треугольников (AM = BM, MD = = MC, AMD = BMC). Следователь-но, равны стороны AD и BC этих тре-угольников. В силу неравенства тре-угольника выполняется неравенство CD < AC + AD. Учитывая, что CD = =  2CM и  AD  =  BC, получаем требу-

емое неравенство CM AC BC< +12

( ).

B

O

C

A

Рис. 37

B

D

C

MA

Рис. 38

40

Самостоятельная работа 11В а р и а н т 1

1. Углы треугольника равны 70°, 70° и 40°. Определите вид треугольника и найдите его внешние углы.

2. В  треугольнике ABC известны стороны, а  именно: AB = 8 см, BC = 15 см и AC = 12 см. Найдите наибольший и наименьший углы данного треугольника.

3. Для углов треугольника KLM выполняются неравен-ства K > L > M. Сравните его стороны.

4*. Может ли угол при основании равнобедренного тре-угольника быть тупым? Почему?

В а р и а н т 21. В  треугольнике два внешних угла при различных

вершинах равны между собой. Каков вид этого треугольника? Ответ поясните.

2. На рисунке  39 1  >  2. Сравните стороны CD и ED.

3. Может ли в  треугольнике быть два тупых угла? Почему?

4*. Каждый угол треуголь-ника равен 60°. Определите вид треугольника. Ответ поясните.

20. Прямоугольные треугольники. Перпендикуляр и наклонная

Цель обучения  — познакомить учащихся с  понятиями прямоугольного треугольника, перпендикуляра и  наклон-ной; сформулировать и  доказать признаки равенства пря-моугольных треугольников, теорему о  соотношении пер-пендикуляра и  наклонной; научить применять их при ре-шении задач.

Доказательство некоторых из этих признаков может быть дано учащимся в качестве самостоятельной работы.

Рекомендации по решению задачЗадача 14. Докажите, что из двух наклонных, проведён-

ных из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше (рис. 20.8).

E

2 1

C

D

Рис. 39

41

Решение. Пусть AC и AD наклонные, BC и BD их про-екции, причём BC > BD. Предположим, что точки C и D ле-жат по одну сторону от точки B (рис. 40, а). В прямоуголь-ном треугольнике ABD угол D  — острый. Следовательно, угол ADC — тупой. В треугольнике ACD угол D — тупой, следовательно, угол C — острый. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то AC > AD.

В случае, если точки C и D лежат по разные стороны от точки B, то на отрезке BC отложим отрезок BD1, равный от-резку BD (рис.  40, б). Прямоугольные треугольники ABC и ABD1 равны по двум катетам. Следовательно, AD = AD1. По доказанному выше AC  >  AD1. Значит, и  в этом случае выполняется неравенство AC > AD.

а б

B BC CD DD1

A A

Рис. 40

а б

Самостоятельная работа 12В а р и а н т 1

1. Из точки, не принадлежащей данной прямой, прове-дите перпендикуляр и  наклонную. Найдите расстояние от этой точки до прямой.

2. Чему равна проекция одной стороны равносторонне-го треугольника на другую его сторону? Ответ поясните.

3. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны: BC  =  3  см, AC  =  4  см. Чему равны расстояния от верши-ны B до прямой AC, от A до BC?

4*. Докажите, что из проекций двух наклонных, прове-дённых к прямой из одной точки, больше та, наклонная ко-торой больше.

42

В а р и а н т 21. Из точки, не принадлежащей данной прямой, прове-

дите перпендикуляр и  наклонную. Какой отрезок имеет большую длину? Почему?

2. Чему равна проекция гипотенузы прямоугольного треугольника на его катет? Ответ поясните.

3. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны: BC = 4 см, AC = 5 см. Чему равны расстояния от вершины A до прямой BC?

4*. Докажите, что в равнобедренном треугольнике сере-дина основания равноудалена от его боковых сторон.

Контрольная работа 2В а р и а н т 1

1. В треугольнике HOP HO = 7 см, HP = 13 см, PO = 9 см. Сравните углы данного треугольника.

2. Периметр равнобедренного треугольника равен 58 см. Основание на 14 см меньше боковой стороны. Найдите сто-роны данного треугольника.

3. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы, проведённые из равных углов, равны.

4. Может ли прямоугольный треугольник иметь сторо-ны 5, 5, 8?

5*. От вершины M равнобедренного треугольника KLM (MK = ML) отложены равные отрезки: MN на стороне MK и MH на стороне ML. Докажите, что MKH = MLN.

В а р и а н т 21. Дан треугольник KMN, в котором KM = 10 см, MN =

= 10 см и KN = 15 см. Сравните углы данного треугольника.2. Найдите стороны равнобедренного треугольника, ес-

ли его периметр равен 96 см, и основание относится к боко-вой стороне как 2 : 3.

3. Докажите, что в  равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

4. Стороны прямоугольного треугольника равны 6  см, 8 см, 10 см. Чему равна гипотенуза?

5*.  Дан равнобедренный треугольник EFG. От верши-ны G отложены на боковых сторонах GE и GF соответствен-но равные отрезки GM и GN. Докажите, что NEF = MFE.

43

Глава III. Окружность. Геометрические построенияПри изучении материала этой главы ставятся следующие

цели обучения.1. Сформировать понятия окружности, круга и  их эле-

ментов; научить учащихся изображать окружность, нахо-дить её элементы.

2. Рассмотреть случаи взаимного расположения прямой и окружности. Сформировать понятие касательной к окруж-ности, сформулировать и доказать теоремы о касательной.

3. Рассмотреть случаи взаимного расположения двух окружностей. Сформулировать и доказать теоремы о взаим-ном расположении двух окружностей.

4. Сформировать понятие геометрического места то-чек  (ГМТ). Привести примеры геометрических мест точек. Научить находить и  изображать геометрические места то-чек.

5. Сформировать понятия окружности, описанной око-ло треугольника, и окружности, вписанной в треугольник. Сформулировать и доказать теоремы о существовании опи-санной и  вписанной окружностей. Научить решать задачи на нахождение центров и радиусов описанных и вписанных окружностей.

6. Познакомить с  методами решения задач на построе-ние. Рассмотреть примеры задач на построение. Научить решать задачи на построение.

7*.  Познакомить с  понятиями параболы, эллипса, ги-перболы, рассматриваемых как геометрические места то-чек. Рассмотреть их свойства. Научить решать задачи на изображение, построение и  моделирование этих кривых. Познакомить с историческими сведениями.

21. Окружность и кругЦель обучения  — познакомить учащихся с  понятиями

окружности, круга и  их элементами; научить изображать окружность, находить её элементы.

Рекомендации по решению задачЗадача  9. Докажите, что диаметр, проведённый через

середину хорды, отличной от диаметра, перпендикулярен к этой хорде (рис. 21.7).

44

Решение. Рассмотрим окружность с центром O, хордой AB, отличной от диаметра, и  диаметром DE, проходящим через середину C этой хорды (рис. 41). Треугольник AOB — равнобедренный, OC — медиана. Следовательно, она являет-ся высотой. Значит, диаметр DE перпендикулярен хорде AB.

Задача 11. Используя рисунок 21.8, докажите, что диа-метр является наибольшей хордой окружности.

Решение. Рассмотрим окружность с  центром O, хор-дой  AB, отличной от диаметра (рис.  42). Применяя нера-венство треугольника к треугольнику AOB, получаем нера-венство AB < OA + OB. В правой части этого неравенства стоит сумма двух радиусов. Она равна диаметру окружно-сти. Следовательно, любая хорда, отличная от диаметра, меньше диаметра окружности. Значит, диаметр является наибольшей хордой окружности.

BC

D

O

A

Рис. 41

B

C

O

A

Рис. 42

Самостоятельная работа 13В а р и а н т 1

1. Найдите диаметр окружности, если известно, что он на 15 см больше радиуса этой же окружности.

2. В  окружности радиуса 3  см проведите через взятую на ней точку хорду, равную 4 см. Сколько таких хорд можно провести?

3. Радиус окружности равен 24 см. Данная точка нахо-дится на расстоянии 40  см от её центра. Определите наи-меньшее и  наибольшее расстояния от этой точки до точек данной окружности.

45

4*. В окружности проведены два диаметра AB и CD. До-кажите равенство хорд AC и BD.

В а р и а н т 21. Найдите радиус окружности, если известно, что он на

10 см меньше диаметра этой же окружности.2. В окружности проведены три равные хорды, одна из

которых удалена от центра на 3  см. На каком расстоянии находятся от центра две другие хорды?

3. Радиус окружности равен 18 см. Данная точка нахо-дится на расстоянии 10  см от её центра. Определите наи-меньшее и  наибольшее расстояния от этой точки до точек данной окружности.

4*.  Из точки, принадлежащей окружности, проведены две равные хорды. Докажите, что диаметр, проходящий че-рез эту точку, делит угол между хордами пополам.

22. Взаимное расположение прямой и окружностиЦель обучения  — рассмотреть различные случаи вза-

имного расположения прямой и окружности; научить распо-знавать эти случаи; проводить касательные к окружности.

Различные случаи взаимного расположения прямой и окружности можно проиллюстрировать следующей схемой.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

Не имеют общих точек

Имеют одну общую

точку (касаются)

Имеют две общие точки (пересекаются)

Прямая и окружность

Рекомендации по решению задачЗадача  12. Докажите, что отрезки А1В1 и  A2B2 общих

внутренних касательных к  двум окружностям (рис.  22.9), равны.

Решение. Обозначим P точку пересечения касательных (рис. 43).

46

A2

A1

B1

B2

P

Рис. 43

Тогда отрезки PA1 и  PA2 равны, как отрезки касатель-ных к окружности, проведённые из одной точки. Отрезки PB1 и  PB2  также равны, как отрезки касательных к  окружно-сти, проведённые из одной точки. Так как A1B1 = A1P + PB1, A2B2 = A2P + PB2, то отрезки А1В1 и A2B2 равны.

Задача  13. Докажите, что отрезки А1В1 и  A2B2 общих пересекающихся внешних касательных к  двум окружно-стям (рис. 22.10), равны.

Решение. Обозначим P точку пересечения касательных (рис. 44).

A2

A1

B1

B2

C

Рис. 44

Тогда отрезки CA1 и  CA2 равны, как отрезки касатель-ных к  окружности, проведённые из одной точки. Отрезки CB1 и CB2 также равны, как отрезки касательных к окруж-ности, проведённые из одной точки. A1B1  =  A1C  – CB1, A2B2 = A2C – CB2, то отрезки А1В1 и A2B2 равны.

47

Задача  14. На ри-сунке 22.11 DA, DB, DC — касательные. В ка-ком отношении делит точка D отрезок AB?

Решение. Отрезки DA и DC равны, как от-резки касательных, про-ведённых к окружности из одной точки (рис. 45).

Отрезки DC и  DB также равны, как отрез-ки касательных, прове-дённых к  окружности из одной точки. Следо-вательно, AD  =  DB, т.  е. точка D делит от-резок AB пополам.

Задача  15. Через точку  C вне окружно-сти проведены касатель-ные CА1 и  CA2 и  через точку B на окружности проведена касательная, пересекающая отрезки CА1 и CA2 в точках D и E соответственно (рис. 22.12). Дока-жите, что периметр треугольника CDE не зависит от поло-жения точки B.

Решение. Так как DA1  =  DB и  EA2  =  EB, то периметр треугольника CDE равен сумме отрезков касательных  CA1 и CA2. Эта сумма не зависит от положения точки B (рис. 46).

Самостоятельная работа 14В а р и а н т 1

1. Определите взаимное расположение прямой и окруж-ности, если радиус окружности равен 5 см, а расстояние от прямой до центра окружности равно 7  см. Изобразите эту ситуацию.

2. Дана окружность с  центром в  точке  A и  радиу-сом  R.  Расстояние от точки  A до прямой a равно d. Запи-

B

C

D

A

Рис. 45

B

E

C

D

A2

A1

Рис. 46

48

шите условие, при котором прямая и окружность не пересе-каются.

3. Прямая касается окружности. Найдите расстояние от центра окружности до этой прямой, если диаметр окружно-сти равен 17 см.

4*. Через точку A окружности проведена касательная. До-кажите, что диаметр AC перпендикулярен этой касательной.

В а р и а н т 21. Диаметр окружности равен 18  см, расстояние от её

центра до прямой равно 8 см. Каково взаимное расположе-ние окружности и прямой? Изобразите эту ситуацию.

2. Дана прямая a и  окружность (O; R). Расстояние от точки O до прямой a равно d. Запишите условие того, что прямая касается окружности.

3. Проведите окружность данного радиуса, которая ка-сается данной прямой в данной на ней точке.

4*. Докажите, что перпендикуляр к касательной в точке касания с окружностью проходит через центр окружности.

23. Взаимное расположение двух окружностейЦель обучения  — рассмотреть различные случаи вза-

имного расположения двух окружностей; научить распо-знавать эти случаи.

Различные случаи взаимного расположения двух окруж-ностей можно проиллюстрировать следующей схемой.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ

Не имеют общих точек

Имеют одну общую

точку (касаются)

Имеют две общие точки (пересекаются)

Две окружности

Рекомендации по решению задачЗадача  6. Две окружности с  центрами в  точках О1, О2

пересекаются в точках А и В. Докажите, что O1AO2 = O1BO2 (рис. 23.8).

49

O2O1

A

B

Рис. 47

O2O1

A

B

Рис. 48

Решение. Треугольник AO1B равнобедренный (рис. 47). Следовательно, O1AB = O1BA. Треугольник AO2B также равнобедренный. Следовательно, O2AB = O2BA. Склады-вая эти равенства, получим равенство углов O1AO2 и O1BO2.

Задача  7. Две окружности с  центрами в  точках О1, О2 пересекаются в  точках А  и  В (рис.  23.9). Докажите, что прямая О1О2 перпендикулярна прямой АВ.

Решение. В силу предыдущей задачи треугольники AO1O2 равен треугольнику BO1O2 (рис. 48) по первому признаку ра-венства треугольников (O1A = O1B, O2A = O2B, O1AO2 = = O1BO2). Следовательно, прямая O1O2 содержит биссект-рису угла AO1B. Так как треугольник  AO1B равнобедрен-ный, то прямая O1O2 содержит высоту этого треугольника, значит, она перпендикулярна прямой AB.

Задача 13. Какое наибольшее число точек попарных пе-ресечений могут иметь: а) две окружности; б) три окружно-сти; в)  четыре окружности; г)  n  окружностей? Нарисуйте соответствующие окружности.

Решение. Наибольшее число точек пересечения полу-чается, если каждая окружность пересекается с  каждой и  нет тройных точек пересечения. Для того чтобы подсчи-тать количество точек пересечения n окружностей, доста-точно подсчитать, количество пар окружностей, которые можно образовать из данных n  окружностей. Как мы зна-ем,  это число равно числу сочетаний из n по 2, т.  е. равно n n( ) 1

2 . Каждая пара окружностей даёт две точки пересе-

чения. Следовательно, общее число точек пересечений рав-но n(n – 1).

50

Самостоятельная работа 15В а р и а н т 1

1. Изобразите две касающиеся окружности. Запишите соответствующее неравенство, если радиусы окружностей равны R и r.

2. Как расположены относительно друг друга две окруж-ности (A; R) и (B; r), если AB = 10 см, R = 7 см, r = 3 см?

3. Две окружности с  радиусами 20  см и  4  см пересека-ются. Каким может быть расстояние между их центрами?

4*.  Две окружности касаются внешним образом. Диа-метр первой равен 6 см, второй — 17 см. Найдите расстоя-ние между их центрами.

В а р и а н т 21. Изобразите две пересекающиеся окружности. Запи-

шите соответствующее неравенство, если радиусы окруж-ностей равны R и r.

2. Как расположены относительно друг друга две окружности (O1; R1) и (O2; R2), если O1O2 = 2 см, R1 = 4 см и R2 = 6 см?

3. Две окружности (C; a) и (D; b) касаются внешним об-разом. Известно, что CD = 16 см и a = 4 см. Найдите b.

4*.  Найдите диаметры двух концентрических окружно-стей, если ширина соответствующего кольца равна 12  см, а радиусы окружностей относятся как 5 : 2.

24. Геометрические места точекЦель обучения  — познакомить учащихся с  понятием

геометрического места точек; привести примеры геометри-ческих мест точек; научить решать задачи на нахождение и изображение геометрических мест точек (ГМТ).

Рекомендации по решению задачЗадача  12. Укажите геометрическое место центров

окружностей, касающихся двух пересекающихся прямых a и b (рис. 24.12).

Решение. Докажем, что искомым ГМТ являются две перпендикулярные прямые, содержащие биссектрисы уг-лов, образованных данными прямыми, без их точки пересе-чения (рис. 49).

51

O2

c2

c1

b

a

O1

C

Рис. 49

Действительно, если окружность касается двух данных прямых, то её центр одинаково удалён от этих прямых. Сле-довательно, принадлежит биссектрисе соответствующего угла.

Обратно, если точка принадлежит биссектрисе одного из углов образованных данными прямыми и  не совпадает с  точкой пересечения этих прямых, то окружность с  цен-тром в этой точке и радиусом, равным расстоянию от неё до данных прямых, будет касаться этих прямых.

Задача  13. Отметьте точки C, расположенные в  узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 90°, т.  е. угол ACB равен 90° (рис. 24.13).

Решение. Искомые точки показаны на рисунке 50.

а б в

B

B

BA

AA

C1

C1C1

C2 C3

C6 C5

C4

C2 C2

Рис. 50

а б в

Задача  14. Отметьте точки  C, расположенные в  узлах сетки, из которых отрезок AB виден под углом 45°, т. е. угол ACB равен 45° (рис. 24.14).

52

Решение. Искомые точки показаны на рисунке 51.

Рис. 51а б в

B BB

A

A A

C1

C1 C1

C2

C3

C3

C4

C6

C9C10 C8

C7

C5

C4

C2

C2

C3 C4

C5

C6

C7

C8C9

C10

в

а б в

B BB

A

A A

C1

C1 C1

C2

C3

C3

C4

C6

C9C10 C8

C7

C5

C4

C2

C2

C3 C4

C5

C6

C7

C8C9

C10

а

а б в

B BB

A

A A

C1

C1 C1

C2

C3

C3

C4

C6

C9C10 C8

C7

C5

C4

C2

C2

C3 C4

C5

C6

C7

C8C9

C10

б

Самостоятельная работа 16В а р и а н т 1

1. Найдите геометрическое место точек, лежащих ме-жду двумя заданными точками A и B.

2. Из данной точки окружности проведите две хорды. Найдите на окружности точку, одинаково удалённую от обеих прямых, на которых лежат данные хорды.

3. Найдите геометрическое место точек таких, что от-резки касательных, проведённых из них к данной окружно-сти, равны заданному отрезку.

4*.  Найдите геометрическое место точек, расположен-ных внутри данного угла и  удалённых от его вершины на данное расстояние.

53

В а р и а н т 21. Найдите геометрическое место точек M, таких, что

расстояние от них до заданной точки O меньше заданного расстояния a.

2. Найдите геометрическое место вершин равнобедрен-ных треугольников, имеющих общее основание.

3. Найдите геометрическое место центров равных окружностей, внешне касающихся данной окружности.

4*. Что представляет собой геометрическое место точек, удалённых от точки A на расстояние a, а от точки B на рас-стояние b?

25. Задачи на построениеЦель обучения  — познакомить учащихся с  методами

решения задач на построение; рассмотреть примеры таких задач; научить решать задачи на построение геометриче-ских фигур с помощью циркуля и линейки.

При решении задач на построение циркулем и линейкой выделяют четыре этапа. 1. Анализ. 2. Построение. 3. Дока-зательство. 4. Исследование.

Не все из них проводятся при решении каждой задачи, однако необходимо показать примеры решения задач на по-строение, включающие все этапы. Особенно это относится к первым задачам на построение. В учебнике приведены та-кие примеры.

Рекомендации по решению задачЗадача 11. Используя рисунок 25.9, постройте касатель-

ную к данной окружности, проходящую через данную точку вне этой окружности.

Построение. С центром в точке O проведём окружность в два раза большего радиуса, чем данная окружность (рис. 52). С центром в точке A проведём окружность радиуса OA. Обо-значим точки пересечения построенных окружностей C1, C2. Проведём отрезки OC1, OC2 и обозначим их точки пересече-ния с  данной окружностью B1, B2. Проведём прямые AB1, AB2. Они и будут искомыми касатель ными.

Действительно, треугольники OAC1 и  OAC2 равнобед-ренные. AB1, AB2  — медианы этих треугольников, прове-дённые к основаниям. Следовательно, эти медианы являют-

54

ся и высотами данных треугольников. Значит, прямые AB1, AB2 перпендикулярны радиусам соответственно OB1, OB2 данной окружности. Следовательно, прямые AB1, AB2 яв-ляются касательными к данной окружности.

Заметим, что так как расстояние OA между центрами данной и  построенной окружностей меньше суммы их ра-диусов и больше их разности, то эти окружности пересека-ются, следовательно, построение всегда возможно.

Самостоятельная работа 17В а р и а н т 1

1. Постройте равнобедренный треугольник с  основани-ем 3 см и боковой стороной 4 см.

2. Постройте прямоугольный треугольник по двум ка-тетам.

3. Постройте геометрическое место центров окружно-стей с радиусом 2 см, проходящих через данную точку.

4*. В данный угол впишите окружность, которая касает-ся одной из его сторон в данной на ней точке.

В а р и а н т 21. Постройте равнобедренный треугольник по основа-

нию и прилежащему к нему острому углу.2. Постройте прямоугольный треугольник по катету

и гипотенузе.

B2

B1

C1

C2

O A

Рис. 52

55

3. Постройте прямую, проходящую через данную точку и отсекающую от сторон данного угла равные отрезки.

4*.  Постройте хорду, которая проходит через точку на данной окружности и удалена от центра окружности на дан-ное расстояние.

Контрольная работа 3В а р и а н т 1

1. Точка A расположена вне окружности радиуса  3 и удалена от центра O этой окружности на расстояние 4. Чему равно наименьшее и наибольшее расстояния от точки A до точек данной окружности?

2. Каково взаимное расположение прямой и  окружно-сти, если радиус окружности равен 5  см, а  расстояние от центра окружности до прямой равно 4 см?

3. Даны окружность радиуса 4 см и точка А на расстоя-нии, равном 6  см от центра окружности. Найдите радиус окружности с  центром в  точке  A и  касающейся данной окружности внешним образом.

4*. Для данных точек A, B укажите геометрическое место точек C, для которых расстояние до A меньше расстояния до B.

5*.  С  помощью циркуля и  линейки разделите отрезок пополам.

В а р и а н т 21. Точка A расположена внутри окружности радиуса 3 и

удалена от центра O этой окружности на расстояние 2. Чему равно наименьшее и наибольшее расстояния от точки A до точек данной окружности?

2. Каково взаимное расположение прямой и  окружно-сти, если радиус окружности равен 4  см, а  расстояние от центра окружности до прямой равно 5 см?

3. Даны окружность радиуса 7 см и точка А на расстоя-нии, равном 3  см от центра окружности. Найдите радиус окружности с  центром в  точке A и  касающейся данной окружности внутренним образом.

4*. Для данных точек A, B укажите геометрическое место точек C, для которых расстояние до A больше расстояния до B.

5*. С помощью циркуля и линейки постройте биссектри-су данного угла.

56

Глава IV. Параллельность. Сумма углов многоугольника

При изучении материала этой главы ставятся следующие цели обучения.

1. Сформировать понятие параллельности прямых.2. Сформулировать и  доказать свойства параллельных

прямых.3. Ввести аксиому параллельных, доказать признак па-

раллельности двух прямых и следствия из него.4. Вывести формулу суммы углов треугольника.5. Сформировать понятия ломаной и многоугольника.6. Вывести формулу суммы углов выпуклого много-

угольника.7. Научить решать задачи на нахождение углов.8. Познакомить с  историческими сведениями об аксио-

ме параллельных.

26. Параллельные прямыеЦель обучения — сформировать понятие параллельно-

сти прямых. Научить доказывать признак параллельности двух прямых и применять его при решении задач.

Обратим внимание на то, что в формулировке аксиомы параллельных требуется, чтобы через точку, не принадлежа-щую данной прямой, проходило не более одной прямой, па-раллельной данной. Это не предполагает существование та-кой прямой. Существование прямой, параллельной данной, доказывается без использования аксиомы параллельных.

Рекомендации по решению задачЗадача  14. Докажите, что биссектрисы внутренних на-

крест лежащих углов, образованных двумя параллельными прямыми и  секущей, параллельны, т.  е. лежат на парал-лельных прямых.

Решение. Рассмотрим параллельные прямые a и b, пе-ресечённые секущей c в точках A и B. Обозначим d и e бис-сектрисы внутренних накрест лежащих углов (рис. 53).

Биссектриса d образует с секущей c угол, равный полови-не угла, образованного прямыми a и c. Биссектриса e образу-ет с  секущей c угол, равный половине угла, образованного прямыми b и c. Так как внутренние накрест лежащие углы,

57

образованные прямыми a, b и секущей c, равны, то равны и внут ренние накрест лежащие углы, образованные прямыми d, e и секущей c. Следовательно, прямые d и e параллельны.

Задача 15. Докажите, что если некоторая прямая пере-секает одну из двух параллельных прямых, то она пересека-ет и другую.

Решение. Пусть прямые a, b параллельны, и прямая c пе-ресекает прямую b в точке B (рис. 54). Если бы прямая c не пересекала бы прямую a, то через точку B проходило бы две прямые, параллельные прямой a, что невозможно в силу ак-сиомы параллельных. Значит, прямая c пересекает прямую a.

Задача  16. Докажите, что две прямые, параллельные третьей, параллельны.

Решение. Пусть прямые a и  b параллельны прямой  c (рис. 55). Прямые a и b не могут пересекаться, так как в этом случае через точку их пересечения проходило бы две пря-мые, параллельные прямой c, что невозможно в силу аксио-мы параллельных. Значит, прямые a и b параллельны.

B

d

c

e

b

a A

Рис. 53

Bb

c

a

Рис. 54

b

c

a

Рис. 55

Исторические сведенияПознакомиться с историческими сведениями об аксиоме

параллельных можно в книге: Г. И. Глейзер. История матема-тики в школе: пособие для учителей. — М. : Просвещение, 1982. Она имеется в открытом доступе на сайте www.math.ru.

Самостоятельная работа 18В а р и а н т 1

1. Один из углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30°. Найдите все углы.

58

2. Как должна проходить секущая, чтобы все восемь уг-лов, получающихся при пересечении ею двух параллель-ных прямых, были равны?

3. Сумма трёх внутренних углов из восьми углов, образо-ванных при пересечении двух параллельных прямых секу-щей, оказалась равной 250°. Найдите каждый из восьми углов.

4*. Докажите, что прямая, параллельная боковой сторо-не равнобедренного треугольника и пересекающая две дру-гие его стороны, отсекает равнобедренный треугольник.

В а р и а н т 21. Сумма двух внутренних накрест лежащих углов, об-

разованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 40°. Найдите все углы.

2. Докажите, что прямая, параллельная основанию рав-нобедренного треугольника и  пересекающая его боковые стороны, отсекает равнобедренный треугольник.

3. Один из внутренних углов, образованных при пересе-чении двух параллельных прямых секущей, равен 136°. Под какими углами его биссектриса пересекает другую парал-лельную прямую?

4*.  Докажите, что биссектрисы соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, параллельны.

27. Сумма углов треугольникаЦель обучения  — сформулировать и  доказать теорему

о  сумме углов треугольника; вывести из неё некоторые следствия; научить применять её для решения задач.

Рекомендации по решению задачЗадача  20. Докажите, что биссектриса внешнего угла

при вершине, противолежащей основанию равнобедренно-го треугольника, параллельна ему (рис. 27.7).

Решение. Пусть ABC  — равнобедренный треугольник (AC = BC), CD — биссектриса внешнего угла при вершине C (рис. 56).

Так как внешний угол при вершине C равен сумме двух внутренних равных углов A и  B, то угол  BCD равен уг-лу  B.  Таким образом, равны внутренние накрест лежащие углы ABC и BCD при прямых AB, CD и секущей BC. Следо-вательно, биссектриса CD параллельна основанию AB.

59

Задача  31. Докажите, что если один из углов прямо-угольного треугольника равен 30°, то катет, лежащий про-тив этого угла, равен половине гипотенузы.

Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором С = 90°, A = 30°. На стороне AC построим тре-угольник ADC, равный треугольнику ABC (рис. 57).

B

C D

A

Рис. 56

B

D

CA

Рис. 57

В  треугольнике ABD все углы равны 60°. Следова-тельно, этот треугольник равносторонний. Отрезок AC яв-ляется его высотой, значит, медианой. Таким образом,

BC BD AB 12

12

.

Самостоятельная работа 19В а р и а н т 1

1. Найдите углы равнобедренного треугольника, если один из них равен 116°.

2. Углы треугольника относятся как 2  :  3  :  4. Найдите больший из них.

3. Найдите углы, которые образуются при пересечении двух биссектрис равностороннего треугольника.

4*.  В  треугольнике внешний угол равен 110°. Один из внутренних углов, не смежных с ним, больше другого на 30°. Найдите эти углы.

В а р и а н т 21. Найдите углы равнобедренного треугольника, если

угол при основании в 4 раза больше угла при вершине, про-тиволежащей основанию.

60

2. Углы треугольника относятся как 3  :  4  :  5. Найдите меньший из них.

3. В треугольнике ABC биссектрисы углов B и C пересе-каются под углом 128°. Найдите угол A.

4*. Внешний угол треугольника равен 100°. Внутренние углы, не смежные с ним, относятся как 2 : 3. Найдите углы треугольника.

28. ЛоманыеЦель обучения  — познакомить учащихся с  понятиями

ломаной и  её элементов. Научить распознавать и  изобра-жать ломаные, находить их длины.

Рекомендации по решению задачЗадача  7. Изобразите: а)  четырёхстороннюю; б)  шести-

стороннюю ломаную, проходящую через все данные точки на рисунке 28.8.

Ответ. Искомые ломаные показаны на рисунке 58.

Рис. 58а ба

а бб

Задача 8. Сколько ломаных: а) дли-ны 4; б) длины 5, проходящих по сторо-нам сетки, состоящей из единичных квадратов, соединяет точки A и  B (рис. 28.9)?

Решение. Рассмотрим, например, случай  б. Ломаные длины  5 являются кратчайшими ломаными, соединяющими точки A и B. Найдём число кратчайших ломаных с началом в точке A и концом в точках, отмеченных на рисунке 59.

B

A

11

1 1 1

33 426 10

Рис. 59

61

Около каждой точки поставлено число кратчайших ло-маных, соединяющих точку  A с  данной точкой. Ясно, что  для ближайших двух точек к  точке  A число ломаных равно  1. Заметим, что для любой отмеченной точки число ломаных, соединяющих её с  точкой A, равно сумме чисел ломаных для двух соседних точек, расположенных от этой точки слева и снизу. Будем находить число ломаных для то-чек, расположенных между точками A и B, постепенно при-ближаясь к точке B. В результате получим, что число крат-чайших ломаных, соединяющих точки A и B, равно 10.

Заметим, что полученные числа ломаных образуют часть треугольника Паскаля, который встречается во многих зада-чах. Более подробно с ним можно познакомиться по книге: В. А. Успенский. Треугольник Паскаля. — М. : Наука, 1979.

Задача  9. Сколько ломаных длины 7, проходящих по сторонам сетки, состоящей из единичных квадратов, соеди-няют точки A, B и C (рис. 28.10)?

Решение. Пользуясь методом, рассмотренным в преды-дущей задаче, получим, что число кратчайших ломаных, соединяющих точки A и B, равно 3, а число кратчайших ло-маных, соединяющих точки B и C, равно 4. Искомое число ломаных, соединяющих точки A, B, C равно произведению числа ломаных, соединяющих точки A и  B, и  числа лома-ных, соединяющих точки B и C, т. е. равно 12.

29. МногоугольникиЦель обучения  — познакомить учащихся с  понятиями

многоугольника и  его элементами. Научить распознавать виды многоугольников, изображать многоугольники и  на-ходить их периметр.

Рекомендации по решению задачЗадача 8. Сколько всего диагоналей имеет: а) четырёх-

угольник; б) пятиугольник; в) шестиугольник; г)* n-угольник?Решение. Из каждой вершины n-угольника выходит

n  –  3 диагонали. Число диагоналей, выходящих из n  вер-

шин равно n n −( )3

2 .

Задача  12. Изобразите два треугольника так, чтобы их общей частью был: а)  треугольник; б)  четырёхугольник; в) пятиугольник; г) шестиугольник.

62

Ответ. Примеры треугольников приведены на рисунке 60.

а б в г

Рис. 60

а б в г

Задача 15. Докажите, что сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше его полупериметра.

Решение. Пусть ABCD выпуклый четырёхугольник, O — точка пересечения его диагоналей. Используя неравен-ство треугольника, получаем неравенства AO  +  OB  >  AB, BO + OC > BC, CO + OD > CD, AO + OD > AD.

Складывая эти неравенства, получаем неравенство 2(AC + BD) > AB + BC + CD + AD, из которого непосред-ственно следует требуемое неравенство.

Самостоятельная работа 20В а р и а н т 1

1. Изобразите несколько простых ломаных.2. Изобразите выпуклый и  невыпуклый четырехуголь-

ники.3. На сколько треугольников делится выпуклый пяти-

угольник диагоналями, проведёнными из одной его вершины?4. Сколько диагоналей у выпуклого шестиугольника?5*. Может ли многоугольник иметь 4 диагонали?

В а р и а н т 21. Изобразите несколько замкнутых ломаных.2. Изобразите выпуклый и невыпуклый шестиугольник.3. На сколько треугольников делится выпуклый семи-

угольник диагоналями, проведёнными из одной его вершины?4. Сколько диагоналей у выпуклого пятиугольника?5*. Может ли многоугольник иметь 10 диагоналей?

63

30. Сумма углов выпуклого многоугольникаЦель обучения  — научить учащихся формулировать

и доказывать теорему о сумме углов выпуклого многоуголь-ника, теорему о  сумме внешних углов выпуклого много-угольника; применять эти теоремы для решения задач.

Рекомендации по решению задачЗадача  9. Докажите, что у  выпуклого многоугольника

может быть не более трёх тупых внешних углов.Решение. Если бы у  выпуклого многоугольника было

более трёх тупых внешних углов, то их сумма была бы боль-ше 360°, что противоречит теореме о  том, что сумма вне-шних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.

Задача 10. Докажите, что у выпук-лого многоугольника может быть не более трёх острых внутренних углов.

Решение. Если бы у  выпуклого многоугольника было более трёх острых углов, то у  него было бы бо-лее трёх тупых внешних углов, что противоречит утверждению преды-дущей задачи.

Задача 15. Докажите, что сумма внутренних углов невыпуклого четы-рёхугольника равна 360° (рис. 30.5).

Решение. Проведём диагональ BD. Она разбивает четы-рёхугольник ABCD на два треугольника (рис. 61).

Углы этих треугольников составляют углы данного четы-рёхугольника. Так как сумма углов каждого треугольника рав-на 180°, то сумма углов данного четырёхугольника равна 360°.

Самостоятельная работа 21В а р и а н т 1

1. Три угла выпуклого четырёхугольника равны 50°, 100°, 120°. Найдите его четвёртый угол.

2. Внутри угла, равного 60°, взята точка, из которой опущены на его стороны перпендикуляры. Найдите углы получившегося четырёхугольника.

3. Найдите углы правильного пятиугольника.

B

D

CA

Рис. 61

64

4. Найдите сумму внешних углов выпуклого четырех-угольника, взятых по одному при каждой вершине.

В а р и а н т 21. Три угла выпуклого четырёхугольника равны 35°,

75°, 140°. Найдите его четвёртый угол.2. Внутри угла, равного 70°, взята точка, из которой

опущены на его стороны перпендикуляры. Найдите углы получившегося четырёхугольника.

3. Найдите углы правильного шестиугольника.4. Найдите сумму внешних углов выпуклого пятиуголь-

ника, взятых по одному при каждой вершине.

Контрольная работа 4В а р и а н т 1

1. Сумма двух внутренних углов из восьми углов, образо-ванных при пересечении двух параллельных прямых треть-ей прямой, равна 80°. Найдите каждый из восьми углов.

2. Угол при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей его основанию, равен 30°. Найдите угол между высотой, опущенной на боковую сторону треуголь-ника, и его основанием.

3. Углы треугольника относятся как 2  :  3  :  4. Найдите углы данного треугольника и определите его вид.

4. Можно ли построить треугольник со сторонами 2 см, 3 см, 5 см?

5*. Докажите, что в треугольнике медиана, проведённая к одной из его сторон, меньше полупериметра.

В а р и а н т 21. Сумма трёх внутренних углов из восьми углов, обра-

зованных при пересечении двух параллельных прямых третьей, равна 290°. Найдите каждый из восьми углов.

2. Угол при основании равнобедренного треугольника равен 65°. Найдите угол, образованный его боковой сторо-ной и высотой, опущенной на другую боковую сторону.

3. Углы треугольника относятся как 3  :  2  :  1. Найдите углы данного треугольника и определите его вид.

4. Можно ли построить треугольник со сторонами 3 см, 4 см, 8 см?

5*.  В  треугольнике ABC на стороне BC взята точка  D, которая соединена с вершиной A. Докажите, что периметр треугольника ABC больше периметра треугольника ADC.

65

ОБОБЩАЮЩЕЕ ПОВТОРЕНИЕ

I. Начала геометрии1. Сколько вершин у: а)  тетраэдра; б)  гексаэдра (куба);

в) октаэдра; г) икосаэдра; д) додекаэдра?2. Сколько рёбер у: а)  тетраэдра; б)  гексаэдра (куба);

в) октаэдра; г) икосаэдра; д) додекаэдра?3. Сколько прямых можно провести через различные

пары из шести точек, никакие три из которых не принадле-жат одной прямой?

4. Какое наибольшее число точек попарных пересече-ний могут иметь пять прямых?

5. На клетчатой бумаге изобразите прямую AB и точку C, как показано на рисунке  62. Через точку C проведите прямую, параллельную прямой AB.

6. На прямой отмечены шесть точек. Сколько имеется отрезков с концами в этих точках?

7. Расположите номера в  порядке возрастания соответ-ствующих отрезков, изображённых на рисунке 63.

8. На клетчатой бумаге изобразите от-резки, как показано на рисунке 64. Изоб-разите какой-нибудь отрезок, равный сум-ме отрезков AB и CD.

9. На клетчатой бумаге изобразите отрезки, как показа-но на рисунке  65. Изобразите какой-нибудь отрезок, рав-ный разности отрез-ков AB и CD.

10. Точки А, В и  С принадлежат одной прямой. Из-вестно, что АВ  = =  6  см, АС  =  14  см,

B

A

C

D

Рис. 64

BA

C

D

Рис. 65

C

B

A

Рис. 62

23

4

5 6

1

Рис. 63

66

ВС = 8 см. Какая из точек А, В, С лежит между двумя дру-гими?

11. На прямой отложены отрезки AB = 4 см, BC = 3 см. Найдите длину отрезка AC, если: а)  точка B лежит между точками A и C; б) точка C лежит между точками A и B?

12. Сумма двух отрезков равна 8  см, а  их разность  — 2 см. Найдите длины самих отрезки.

13. На прямой последовательно отложены три отрезка: АВ, ВС и  СD так, что АВ  =  6  см, ВС  =  10  см, CD  =  8  см. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и CD.

14. На сколько частей разбивают плоскость пять пря-мых, пересекающихся в одной точке?

15. По рисунку  66 запишите пары: а) смеж-ных углов; б) вертикаль-ных углов.

16. Расположите уг-лы, изображённые на рисунке  67, в  порядке их возрастания.

17. Сумма трёх уг-лов, образованных при пересечении двух пря-мых, равна 300°. Най-дите больший из них.

18. На клетчатой бумаге через точку C проведите пря-мую, перпендикулярную прямой AB (рис. 68).

19. На клетчатой бумаге изобразите угол, равный сум-ме углов ABC и DEF (рис. 69).

2 3

4

5 6

1

Рис. 67

C

B

A

Рис. 68

C

F

ED

BA

Рис. 69

B

O

A

C

D

Рис. 66

67

20. Общей частью двух углов AOB и COD, величиной со-ответственно 60° и 90°, является угол BOC, величиной 30°. Найдите угол AOD.

21. На сколько градусов повернётся минутная стрелка за 45 мин?

22. На сколько градусов повернётся часовая стрелка за 15 мин?

II. Треугольники23. Треугольники АВС, PQR и  XYZ равны. Известно,

что АВ  =  12  см, QR  =  14  см, XZ  =  16  см. Найдите длины остальных сторон каждого треугольника.

24. Треугольники АВС, PQR и XYZ равны. Известно, что А  = 80°, Q = 60°, Z = 40°. Найдите остальных углы каждого треугольника.

25. Сторона АВ треугольника АВС равна 8  см. Сторона АС вдвое больше стороны АВ, а сторона ВС на 5 см мень-ше стороны АС. Найдите периметр тре-угольника АВС.

26. На клетчатой бумаге изобразите треугольник, как по-казано на рисунке 70. Изобразите его: а) медианы; б) высоты.

27. На сторонах угла CAD отмечены точки B и  E так, что точка B лежит на стороне AC, а  точка E  — на сторо-не  AD, причём, AC  =  AD и  AB  =  AE (рис.  71). Докажите, что DEC = CDB.

28. На рисунке  72 АО = ОВ и DO = OC. Дока-жите равенство отрезков AD и ВС.

29. На рисунке  73 дана фигура, у которой AD = CF, ВAC  =  EDF, 1  =  2. Докажите, что АВ = DE.

30. Докажите, что если в  треугольниках ABC и A1B1C1 равны биссектрисы

C

BA

Рис. 70

C

B

E DA

Рис. 71

68

AD и  A1D1, AC  =  A1C1, A  =  A1, то эти тре-угольники равны.

31. Периметр рав-нобедренного треуголь-ника равен 30  см. Най-дите его стороны, если: а) основание меньше бо-ковой стороны на 6  см; б) основание больше бо-ковой стороны на 6 см.

32. На рисунке  74 DBC  =  DAC, BO  = =  AO. Докажите, что C = D.

33. Докажите, что если медиана треуголь-ника является и  высо-той, то треугольник равнобедренный.

34. В  равнобедрен-ном треугольнике  АВС с основанием АС прове-дена медиана BD. Най-дите её длину, если пери-метр треугольника АВС равен 20  м, а  треуголь-ника АВD — 15 м.

35. Докажите, что если в  треугольниках ABC и  A1B1C1 равны медианы CD и  C1D1, AB  = A1B1, AC  = A1C1, то эти треугольники равны.

36. На рисунке  75 AB  =  AD, BC  =  CD, AB  >  BC. Докажите, что угол A меньше уг-ла C.

B

C

O

D

A

Рис. 72

B

CD

F12

E

A

Рис. 73

B

C

O

D

A

Рис. 74

69

B

C

D

A

Рис. 75

37. На рисунке  76 угол 1  меньше угла 2. Докажите, что AB < BC.

38. Докажите, что для любой внутренней точки  D треугольника ABC выполняется не-равенство AD  +  DB  < < AC + CB (рис. 77).

39. Может ли пря-моугольный треуголь-ник иметь стороны 8, 10, 10?

40.Стороны прямо-угольного треугольни-ка равны 6  см, 8  см, 10 см. Чему равна дли-на гипотенузы?

41. Из точки C к  прямой a проведены перпендикуляр CA и наклонные CA1, CA2. Какая из двух наклон-ных меньше, если: а)  A1 лежит между A и A2; б) A лежит между A1, A2 и AA1 < AA2?

B

CA

1 2

Рис. 76

B

D

C

A

Рис. 77

70

III. Окружность. Геометрические построения42. На клетчатой бумаге изобразите центр O окружно-

сти, проходящей через данные точки A, B, C (рис. 78).43. Наибольшее и  наименьшее расстояния от данной

точки, расположенной вне окружности, до точек окружно-сти равны соответственно 25 см и 10 см. Найдите радиус данной окружности.

44. Наибольшее и  наименьшее рас-стояния от данной точки, расположен-ной внутри окружности, до точек окруж-ности равны соответственно 12 см и 8 см. Найдите радиус данной окружности.

45. Каково взаимное расположение прямой и  окружности, если радиус окружности равен 6  см, а  расстояние от цент ра окружности до прямой равно: а) 4 см; б) 6 см; в) 8 см?

46. На клетчатой бумаге из точки A проведите касательные к данной окруж-ности (рис. 79).

47. Дана окружность радиуса 3  см и  точка А на расстоянии, равном 5  см от  центра окружности. Найдите радиус окружности с  центром в  точке A и  ка-сающейся данной окружности: а) внеш-ним образом; б) внутренним образом.

48. Расстояние между центрами двух окружностей рав-но 5  см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны: а) 2 см и 3 см; б) 2 см и 2 см?

49. Расстояние между центрами двух окружностей рав-но 2  см. Как расположены эти окружности по отношению друг к другу, если их радиусы равны: а) 3 см и 5 см; б) 2 см и 5 см?

50. Чему равно расстояние между центрами двух окружностей, радиусы которых равны 4  см и  6  см, если окружности: а)  касаются внешним образом; б)  касаются внутренним образом?

51. Найдите геометрическое место центров окружно-стей, проходящих через две данные точки A и B.

BA

C

Рис. 78

A

Рис. 79

71

52. Найдите геометрическое место вершин С равнобед-ренных треугольников с данным основанием AB.

53. Найдите геометрическое место центров окружностей радиуса 1, каса ющихся данной окружности того же радиуса.

54. Найдите геометрическое место центров окружно-стей радиуса 1, каса ющихся данной окружности радиуса 2.

55. На клетчатой бумаге изобразите геометрическое ме-сто точек, равноудалённых от точек A и B (рис. 80).

56. На прямой c изобразите точку C, равноудалённую от точек A и B (рис. 81).

57. Изобразите геометрическое место внутренних точек угла AOB, равноудалённых от его сторон (рис. 82).

B

A

Рис. 80

c

B

A

Рис. 81

O

B

A

Рис. 82

58. С помощью циркуля и линейки постройте середину данного отрезка.

59. С  помощью циркуля и  линейки постройте биссек-трису данного угла.

60. С помощью циркуля и линейки постройте треуголь-ник с данными сторонами.

61. С помощью циркуля и линейки проведите касатель-ную к данной окружности из данной точки.

IV. Параллельность. Сумма углов многоугольника62. Сумма двух внутренних накрест лежащих углов, об-

разованных параллельными прямыми и  секущей, равна 150°. Найдите эти углы.

63. Разность двух внутренних односторонних углов, об-разованных параллельными прямыми и секущей, равна 40°. Найдите эти углы.

72

64. Докажите, что две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.

65. Один острый угол прямоугольного треугольника на 20° больше другого. Найдите больший острый угол.

66. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите меньший из них.

67. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AD и BE — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOB.

68. В треугольнике ABC угол A равен 60°, BD и CE — высоты, пересекающиеся в точке O. Найдите угол DOE.

69. В  треугольнике ABC угол С  равен 26°. Внешний угол при вершине B равен 68°. Найдите угол A.

70. В  треугольнике ABC AC  =  BC. Внешний угол при вершине  B равен 122°. Найдите угол C.

71. Сколько ломаных длины 6, про-ходящих по сторонам сетки, состоящей из единичных квадратов, соединяют точки A и B (рис. 83)?

72. На сколько треугольников де-лится выпуклый n-угольник своими диагоналями, проведёнными из одной вершины?

73. Выпуклый многоугольник имеет 9 диагоналей. Сколько у него сторон?

74. Углы выпуклого четырёхугольника пропорциональ-ны числам 3, 4, 5, 6. Найдите их.

75. Сумма углов выпуклого многоугольника равна 540°. Сколько у него сторон?

76. Найдите угол, образованный диагоналями: а)  AD и AE; б) AD и BF правильного шестиугольника ABCDEF.

B

A

Рис. 83

73

ОТВЕТЫ

Самостоятельные работы

1В1. 4. 1.В2. 4. 0 или 1.

2В1. 3. Два.В2. 3. Бесконечно много.

3В1. 1. 4,5 см. 5. 21.В2. 1. а) 11 см; б) 5 см. 5. 40.

4В1. 2. 3. 3. 2. 4. 2. 5. AOB и COD.В2. 2.  10. 3.  1. 4.  4. 5.  AOC и  BOC, AOC и  AOD, AOD

и BOD, BOC и BOD.

5В1. 1. Да. 2. 80°, 100°. 3. Да. 4. 60°. 5. 30°.В2. 1. Нет. 2. 36°, 144°. 3. Да. 4. 90°. 5. 60°.

6В1. 3. AB = 6 см, BC = 7 см, AC = 8 см. 4. Нет.В2. 2. A  =  50°, B  =  60°, C  =  70°. 3.  8  см, 12  см,

16 см.

9В1. 3. 15 см. 4. Равнобедренный.В2. 3. 18 см. 4. Равнобедренный.

11В1. 1. Равнобедренный, 110°, 110°, 140°. 2. A — наи-

больший, C — наименьший. 3. LM > KM > KL. 4. Нет.В2. 1. Равнобедренный. 2. CD < ED. 3. Нет. 4. Равносто-

ронний.

74

12В1. 2. Половине стороны. 3. 3 см.В2. 2. Катету. 3. 4 см.

13В1. 1. 30 см. 2. 2. 3. 16 см, 64 см.В2. 1. 10 см. 2. 3 см. 3. 8 см, 28 см.

14В1. 1. Не имеют общих точек. 2. d > R. 3. 8,5 см.В2. 1. Пересекаются. 2. d = R.

15В1. 2.  Касаются внешним образом. 3.  16  <  O1O2  <  24.

4. 11,5 см.В2. 2. Касаются внутренним образом. 3. 12 см. 4. 40 см,

16 см.

16В1. 1. Отрезок AB без точек A и B. 2. Точка пересечения

биссектрисы угла, образованного хордами, с окружностью. 3.  Окружность, концентрическая данной, радиус которой равен гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого катеты равны один отрезку касательной, а другой — радиу-су данной окружности. 4. Дуга окружности с центром в вер-шине данного угла, радиус которой равен данному расстоя-нию, и которая расположена внутри данного угла.

В2. 1.  Внутренность круга с  центром в  точке O и  ра-диусом a. 2.  Серединный перпендикуляр к  основанию. 3.  Окружность, концентрическая данной, радиус которой равен сумме радиусов данной окружности и  одной из рав-ных окружностей. 4. Точки пересечения окружностей (A; a) и (B; b).

18В1. 1.  4 угла по 30° и  4 угла по 150°. 2.  Перпендику-

лярно параллельным прямым. 3.  4 угла по 70° и  4 угла по 110°.

В2. 1. 4 угла по 20° и 4 угла по 160°. 3. 68° и 112°.

75

19В1. 1. 32°, 32°, 116°. 2. 80°. 3. 60°, 120°, 60°, 120°. 4. 40°

и 70°.В2. 1. 20°, 80°, 80°. 2. 45°. 3. 76°. 4. 40° и 60°.

20В1. 3. 3. 4. 9. 5. Нет.В2. 3. 5. 4. 5. 5. Нет.

21В1. 1. 90°. 2. 60°, 90°, 90°, 120°. 3. 108°. 4. 360°.В2. 1. 110°. 2. 70°, 90°, 90°, 110°. 3. 120°. 4. 360°.

Контрольные работы

Контрольная работа 1В1. 1. 6. 2. 4. 3. 6. 4. 18 см, 6 см. 5. 6°. 6. 30°, 30°, 150°,

150°.В2. 1. 12. 2. 5. 3. 10. 4. 15 см, 21 см. 5. 20°. 6. 60°, 60°,

120°, 120°.

Контрольная работа 2В1. 1. O > H > P. 2. 10 см, 24 см, 24 см. 4. Нет.В2. 1. M > K = N. 2. 24 см, 36 см, 36 см. 4. 10 см.

Контрольная работа 3В1. 1. 1 и 7. 2. Пересекаются. 3. 2 см. 4. Полуплоскость.В2. 1. 1 и 5. 2. Не имеют общих точек. 3. 4 см. 4. Полу-

плоскость.

Контрольная работа 4В1. 1. 4 угла по 40° и 4 угла по 140°. 2. 15°. 3. 40°, 60°,

80°; остроугольный. 4. Нет.В2. 1. 4 угла по 70° и 4 угла по 110°. 2. 40°. 3. 90°, 60°,

30°; прямоугольный. 4. Нет.

76

Обобщающее повторение

I. Начала геометрии1. а) 4; б) 8; в) 6; г) 12; д) 20. 2. а) 6; б) 12; в) 12; г) 30;

д) 30. 3. 15. 4. 10. 5. Искомая прямая изображена на рисун-ке 84. 6. 15. 7. 1, 3, 4, 6, 2, 5. 8. Искомый отрезок изобра-жён на рисунке  85. 9.  Искомый отрезок изображён на ри-сунке 86. 10. B. 11. а) 7 см; б) 1 см. 12. 5 см и 3 см. 13. 17 см. 14. 10. 15. а) AOC и AOD, AOC и BOC, BOD и AOD, BOD и  BOC; б)  AOC и  BOD, AOD и  BOC. 16.  1, 3, 6, 5, 2, 4. 17.  120°. 18.  Искомая прямая изображена на рисунке  87. 19. Искомый угол изображён на рисунке 88. 20. 120°. 21. 270°. 22. 7°30.

C

B

A

Рис. 84

B

A

Рис. 85

B

A

Рис. 86

C

B

A

Рис. 87

C

BA

Рис. 88

II. Треугольники23.  AC  =  16  см, BC  =  14  см, PQ  =  12  см, PR  =  16  см,

XY = 12 см, YZ = 14 см. 24. B = 60°, C = 40°, P = 80°, R  =  40°, X  =  80°, Y  =  60°. 25.  35  см. 26.  а)  Медианы изоб ражены на рисунке 89, а; б) высоты изображены на ри-сунке 89, б.

77

а б

B BA AC1 C1

B1

A1

B1

C C

Рис. 89

а б

27. Треугольники ACE и ADB равны по двум сторонам и  углу между ними (AC  =  AD, AE  =  EB, угол A общий). Следовательно, AEC = ABD. Значит, равны и смежные с ними углы CBD = DEC. 28. Треугольники AOD и BOC равны по двум сторонам и  углу между ними (AO  =  BO, OD = OC, AOD = BOC). Следовательно, AD = BC. 29. Из равенства углов 1 и 2 следует равенство углов ACB и DFE. Из равенства отрезков AD и CF следует равенство отрезков AC и  DF. Треугольники ABC и  DEF равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (AC = DF, BAC = EDF, ACB = DFE). Следовательно, AB = DE. 30. Из равенства углов A и  A1 следует равенство углов CAD и  C1A1D1. Тре-угольники ACD и  A1C1D1 равны по двум сторонам и  углу между ними (AC  =  A1С1, AD  =  A1D1, CAD  = C1A1D1). Следовательно, ACD  =  A1C1D1. Значит, треугольники ABC и A1B1C1 равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (AC = A1C1, A = A1, C = C1). 31. а) 6 см, 12 см, 12  см; б)  14  см, 8  см, 8  см. 32.  Треугольники AOC и  BOD равны по стороне и  двум прилежащим к  ней углам (AO  =  BO, OAC  = OBD, AOC  = BOD). Следователь-но, C = D. 33. Пусть в треугольнике ABC медиана CD яв-ляется его высотой. Прямоугольные треугольники ACD и BCD равны по двум катетам (AD = BD, CD — общий ка-тет). Следовательно, AC = BC, т. е. треугольник ABC равно-бедренный. 34. 5 м. 35. Из равенства сторон AB и A1B1 сле-дует равенство отрезков AD и  A1D1. Треугольники ACD и A1C1D1 равны по трём сторонам. Следовательно, A = A1. Треугольники ABC и A1B1C1 равны по двум сторонам и уг-

78

лу между ними (AB = A1B1, AC = A1C1, A = A1). 36. Про-ведём отрезок AC (рис. 90). Так как против меньшей сторо-ны треугольника лежит меньший угол, то DAC < DCA, BAC  < BCA. Складывая эти неравенства, получаем ис-комое неравенство A < C.

B

C

D

A

Рис. 90

37.  Из неравенства 1  <  2 следует нера-венство BAC > BCA. Так как против большей стороны треугольника лежит больший угол, то AB  <  BC. 38.  Продол-жим отрезок  AD до пе-ресечения со стороной BC в  точке  E (рис.  91). Используя неравенство треугольника, получим

AD  +  DB  <  AE  +  EB  <  AC  +  CB. 39.  Нет. 40.  10  см. 41. а) CA1; б) CA1.

III. Окружность. Геометрические построения42. Искомый центр окружности показан на рисунке 92.

Это точка, равноудалённая от точек A, B, C.  Она является точкой пересечения серединных перпендикуляров к  отрез-кам AB и  AC. 43.  7,5  см. 44.  10  см. 45.  а)  Пересекаются;

B

C

E

D

A

Рис. 91

79

б)  касаются; в)  не имеют общих точек. 46.  Искомые касательные показаны на рисунке 93. 47. а) 2 см; б) 8 см. 48. а) Ка-саются внешним образом; б)  не имеют общих точек. 49.  а)  Касаются внутрен-ним образом; б) не имеют общих точек. 50.  а)  10  см; б)  2  см. 51.  Серединный перпендикуляр к  отрезку AB. 52.  Сере-динный перпендикуляр к отрезку AB без середины этого отрезка. 53. Окружность, концентрическая данной, радиуса 2 см. 54.  Две концентрические окружности радиусов 1 см и 3 см. 55. Искомым гео-метрическим местом точек является се-рединный перпендикуляр к отрезку AB (рис. 94). 56. Искомая точка C показана на рисунке  95. 57.  Искомым геометри-ческим местом точек является биссект-риса угла AOB (рис. 96).

B

A

Рис. 93

C c

B

A

A´

Рис. 95

CB

O

A

Рис. 96

IV. Параллельность. Сумма углов многоугольника62.  75° и  75°. 63.  110° и  70°. 64.  Если две прямые пер-

пендикулярны третьей прямой, то внутренние накрест ле-жащие углы, образованные этими прямыми и перпендику-лярной им прямой, равны. Следовательно, данные прямые параллельны. 65.  55°. 66.  40°. 67.  135°. 68.  120°. 69.  42°. 70. 64°. 71. 20. 72. n – 2. 73. 6. 74. 60°, 80°, 100°, 120°. 75. 5. 76. а) 30°; б) 90°.

C

BA

O

Рис. 92

C

B

A

Рис. 93

80

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Примерное тематическое планирование . . . . . . . . . . . . . . 6Методические рекомендации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Глава I. Начала геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Контрольная работа 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Глава II. Треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Контрольная работа 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Глава III. Окружность. Геометрические построения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43Контрольная работа 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38Глава IV. Параллельность. Сумма углов многоугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56Контрольная работа 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Обобщающее повторение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65Ответы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73