ΤΕΜΝΟΥΣΕΣ m, q ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΑ...Παράδειγμα 4.6.α: Να...

ΣΥΜΜΙΚΤΕΣ ΔΟΚΟΙ

• 8η ΔΙΑΛΕΞΗ ΜΑΙΟΣ 2020

• ΤΕΜΝΟΥΣΕΣ M, Q ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΑ –ΕΡΠΥΣΜΟΣ• ΣΥΣΤΟΛΗ ΞΗΡΑΝΣΗΣ• ΕΛΕΓΧΟΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Αντοχή έναντι τεμνουσών δυνάμεων

• ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΚΟΡΜΟΙ Οι τέμνουσες δυνάμεις μόνο απο κορμό της σιδηροδοκού.

Οριακή τάση κατά von Mises :από τη σχέση:

𝒇𝒚 / 𝟑

αντοχή σε τέμνουσα :

𝑽𝒑𝒍,𝑹𝒅 = 𝑨𝒗.𝒇𝒚𝒌

𝜸𝑴𝟑 (4.56)

𝑨𝒗 : εμβαδόν του κορμού, που παραλαμβάνει την τέμνουσα.

Το εμβαδόν προσεγγιστικά :

𝑨𝒗 = 𝑨 − 𝟐𝒃𝒕𝒇 + 𝒕𝒘 + 𝟐𝒓 . 𝒕𝒇 για ελατές διατομές (4.57)

𝑨𝒗 = 𝒉𝒘 . 𝒕𝒘 για συγκολλητές διατομές (4.58)

Αντοχή έναντι τεμνουσών δυνάμεων• Προϋπόθεση ισχύος της εξ. (4.56) :ΌΧΙ ο κορμός λεπτότοιχος τοπικός λυγισμός (κύρτωση).

• Αυτό εξαρτάται από:

λόγο ύψους προς πάχος του κορμού hw/tw,

αν ο κορμός είναι εγκιβωτισμένος ή όχι στο σκυρόδεμα και

αν ενισχύεται ή όχι με εγκάρσιες νευρώσεις, δεδομένου ότι ο εγκιβωτισμός στο σκυρόδεμα και οι νευρώσεις

δυσχεραίνουν την ανάπτυξη του τοπικού λυγισμού.

Κατά συνέπεια εφαρμόζονται διαφορετικά όρια λυγηρότητας hw/tw του κορμού για τις διάφορες περιπτώσεις.

Ο EC 4 προβλέπει τα παρακάτω όρια:

• Μη ενισχυμένος κορμός: hw/tw< 72. 𝜺 /η (4.59α)

• Ενισχυμένος κορμός : 𝒉𝒘 𝒕𝒘 < 𝟑𝟎𝜺 𝒌𝝉 (4.59β)

όπου: η =1,0

𝒌𝝉= συντελεστής κύρτωσης:


• Ο συντελεστής κύρτωσης : λόγος απόστασης εγκαρσίων νευρώσεων προς ύψος του κορμού α = a / hw) ως εξής:

𝒌𝝉 = 𝟒 +𝟓𝟑,𝟒

𝜶𝟐αν α<1 (4.60 α)

𝒌𝝉 = 𝟓, 𝟑𝟒 +𝟒

𝜶𝟐αν α≥1 (4.60 β)

Κορμός χωρίς νευρώσεις (πλην θέσεων στηρίξεων): 𝒌𝝉 = 𝟓, 𝟑𝟒 (4.60 γ)

4.3.2 Λεπτότοιχοι κορμοί

Αντοχή σε τέμνουσα μειώνεται σε λεπτότοιχους κορμούς.

Η μείωση ενός μειωτικού λόγω κύρτωσης συντελεστή 𝝌𝒘στην διατμητική οριακή τάση.

Η τιμή του 𝝌𝒘 είναι συνάρτηση της ανηγμένης λυγηρότητας 𝝀𝒘 του κορμού και δίνεται μέσω της λεγόμενης

καμπύλης κύρτωσης.

Αντοχή έναντι τεμνουσών δυνάμεωνΚαμπύλη κύρτωσης αντίστοιχη γνωστών καμπύλων λυγισμού ράβδων.

Η αντοχή σχεδιασμού σε τέμνουσα, ΧΩΡΊΣ συμβολή πελμάτων, από τη σχέση:

𝑽𝒃,𝒂,𝑹𝒅 = 𝝌𝒘𝑽𝒑𝒍,𝒂,𝑹𝒅 (4.61)

Ο μειωτικός συντελεστής από Ευρωκώδικα 3, Μέρος 1.5 Πίνακας 4.1.

Άκαμπτες ακραίες διαδοκίδες

Χωρίς ή μη άκαμπτες ακραίες

διαδοκίδες

𝝀𝒘 < 𝟎, 𝟖𝟑/𝜼 𝜼 𝜼

𝟎, 𝟖𝟑𝜼 < 𝝀𝒘 < 𝟏. 𝟎𝟖 𝟎, 𝟖𝟑/ 𝝀𝒘 𝟎, 𝟖𝟑/ 𝝀𝒘

𝝀𝒘 > 𝟏, 𝟎𝟖

𝟏, 𝟑𝟕(𝟎, 𝟕𝟎 + 𝝀𝒘) 𝟎, 𝟖𝟑/ 𝝀𝒘

η = 1,20

Πίνακας 4.1 Τιμή μειωτικού συντελεστή 𝝌𝒘 διατμητικής κύρτωσης


• Η ανηγμένη λυγηρότητα 𝝀𝒘 :

Εγκάρσιες ενισχύσεις μόνο στα άκρα της δοκού: 𝝀𝒘 = 𝒉𝒘𝒕𝒘

𝟎,𝟖𝟒𝜺(4.62)

𝝀𝒘 = 𝒉𝒘𝒕𝒘

𝟑𝟕,𝟒𝜺 𝒌𝒕(4.63)

Εγκάρσιες ενισχύσεις στα άκρα και ενδιάμεσα της δοκού και/ή διαμήκεις ενισχύσεις:

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΣκυρόδεμα C 30/37 Χάλυβας

σκυροδέματος B 500 Δομικός χάλυβας S 355

Σκυρόδεμα C 30/37

Χάλυβας σκυροδέματος Β 500 c

Δομικός χάλυβας S 355

Κορμός μη ενισχυμένος (παρά μόνο στις στηρίξεις)

εξ (4.59 α) 𝒉𝒘

𝒕𝒘= 𝟏𝟔𝟎𝟎

𝟏𝟓=107 > 72 0,81 /1,0 = 58

Συνεπώς κορμός λεπτότοιχος

Δεν προβλέπονται εγκάρσιες ενισχύσεις: εξ. (4.60γ) kτ = 5,34

εξ (4.62) 𝝀𝒘 = 𝟏𝟎𝟕

𝟎,𝟖𝟒.𝟖,𝟖𝟏= 𝟏, 𝟓𝟕 > 𝟏, 𝟎𝟖 (πίνακας 4.1)

•

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Πίνακας 4.1 Καμπύλη κύρτωσης 𝝌𝒘 =𝟎,𝟖𝟑

𝟏,𝟓𝟕= 𝟎, 𝟓𝟑

Εξ.(4.58)𝑨𝒗 = 𝟏𝟔𝟎. 𝟏. 𝟓 = 𝟐𝟒𝟎𝒄𝒎𝟐 Εξ.(4.56) 𝑽𝒑𝒍,𝑹𝒅 = 𝟐𝟒𝟎

𝟑𝟓,𝟓𝟑

𝟏,𝟎= 𝟒𝟗𝟏𝟗𝒌𝑵

Εξ.(4.61)𝑽𝒑𝒍,𝑹𝒅=0,53.4919 =2607 kN

Κορμός ενισχυμένος με εγκάρσιες νευρώσεις

Διαμήκης απόσταση των νευρώσεων a = 2m 𝜶 =𝟐𝟎𝟎𝟎

𝟏𝟔𝟎𝟎=1,25>1,08

𝒌𝝉 = 𝟓, 𝟑𝟒 +𝟒

𝟏,𝟐𝟓𝟐= 𝟕, 𝟗 (4.60 α) 𝝀𝒘 =

𝟏𝟎𝟕

𝟑𝟕,𝟒.𝟎,𝟖𝟏. 𝟕,𝟗= 𝟏, 𝟐𝟔 > 𝟏, 𝟎𝟖 (4.63)

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ


𝟏,𝟐𝟔= 𝟎, 𝟔𝟔

𝑽𝒑𝒍,𝑹𝒅=0,66.4919 =3246 kN

Διαμήκης απόσταση των νευρώσεων a = 1,50m 𝜶 =𝟏𝟓𝟎𝟎

𝟏𝟔𝟎𝟎= 𝟎, 𝟗𝟒<1

𝒌𝝉 = 𝟒 +𝟓,𝟑𝟒

𝟎,𝟗𝟒𝟐= 𝟏𝟎, 𝟎 (4.60 α) 𝝀𝒘 =

𝟏𝟎𝟕

𝟑𝟕,𝟒.𝟎,𝟖𝟏. 𝟏𝟎,𝟎= 𝟏, 𝟏𝟐 > 𝟏, 𝟎𝟖 (4.63)


𝟏,𝟏𝟐= 𝟎, 𝟕𝟒 𝑽𝒑𝒍,𝑹𝒅=0,74.4919 =3640 kN

Η τοποθέτηση δηλαδή εγκάρσιων νευρώσεων αύξησε την διατμητική αντοχή κατά περίπου 25% και 40%

για απόσταση νευρώσεων 2m και 1,5m αντιστοίχως.


Στη γεφυροποίία οι κορμοί ολόσωμων δοκών είναι συνήθως λεπτότοιχοι. Στις περιπτώσεις αυτές

ενδείκνυται η χρήση και διαμήκων νευρώσεων.. Για τον έλεγχο κορμών ενισχυμένων τόσο με διαμήκεις όσο

και με εγκάρσιες νευρώσεις, (Σχ. 4.13), μπορούμε να προσφύγουμε στις διατάξεις του EC 3, Μέρος 1.5.

Σχήμα 4.13 ► Διατομή γέφυρας με διαμήκεις

και εγκάρσιες νευρώσεις [56]

Αλληλεπίδραση ροπών κάμψης -τεμνουσών δυνάμεων

• Διατομές φορέα με δράση ταυτόχρονα ροπών κάμψης και τέμνουσών δυνάμεων,

πρέπει να εξετάζεται η πιθανότητα αλληλεπίδρασής τους.

• ΣΥΜΒΑΙΝΕΙ : στις περιοχές ενδιαμέσων στηριγμάτων συνεχών δοκών,

και οι τέμνουσες και οι ροπές είναι μεγάλες.

Αντιθέτως, σε αμφιέρειστες δοκούς οι μέγιστες τέμνουσες και οι μέγιστες ροπές δρούν σε

διαφορετικές θέσεις άρα δεν αλληλοεπηρεάζονται.

Γνωστό : Τέμνουσες παραλαμβάνονται μόνο από τον κορμό της σιδηροδοκού μέσω διατμητικών

τάσεων. Η παρουσία μεγάλων τεμνουσών είναι δυνατόν να προκαλέσει μεγάλες διατμητικές τάσεις τ

στον κορμό. Συνεπώς λαμβάνοντας υπόψη το κριτήριο Mises

σ2 + 3τ2 = fy2 (4.64)

Αλληλεπίδραση ροπών κάμψης -τεμνουσών δυνάμεων

Η ορθή τάση ΤΟΥ κορμού :

𝝈 = 𝒇𝒚. 𝟏 − (𝝉 𝟑

𝒇𝒚)𝟐 ≤ 𝒇𝒚

•Όσο πιο μεγάλη η διατμητική τάση τ λόγω τέμνουσας, τόσο λιγότερη η ικανότητα του κορμού να

συμμετέχει στην παραλαβή ροπών, λόγω μείωσης των τάσεων σ.

•Στην ακραία περίπτωση ΕΞΑΝΤΛΗΣΗ αντοχής κορμού σε διάτμηση λόγω τέμνουσας, ο κορμός δεν

συμμετέχει καθόλου σε παραλαβή ροπών. Τότε όλη η ροπή παραλαμβάνεται από τα πέλματα. Η ροπή

αντοχής της διατομής (από τα πέλματα μόνο) : MfRd.

•Από την άλλη πλευρά έχει αποδειχθεί πειραματικά ότι ασθενείς τέμνουσες δεν επηρεάζουν την αντίσταση

σε ροπή, παρ' όλο που σύμφωνα με τη σχέση (4.65) του κριτηρίου Mises ακόμα και μικρές τιμές της τ

προκαλούν μείωση της σ. Αντί του κριτηρίου Mises χρησιμοποιείται για διατομές κατηγορίας 1 ή 2 ένας

μειωτικός συντελεστής ρ στην τάση διαρροής του κορμού, ο οποίος εκφράζει το ποσοστό εκμετάλλευσης

του υλικού του κορμού λόγω της τέμνουσας (Πίνακας 4.2, Σχήμα 4.14).

Περιοχή τεμνουσών Συντελεστής ρ Οριακή τάση κορμού

𝑉𝐸𝑑𝑉𝑅𝑑

≤ 0,5

—

𝑓𝑦𝑑

0,5 <𝑉𝐸𝑑

𝑉𝑅𝑑≤ 1

𝜌 = 2V𝐸𝑑𝑉𝑅𝑑

− 1

2(1-ρ).𝑓𝑦𝑑 ·

𝑉𝑅𝑑 = 𝑉𝑝𝑙,𝑅𝑑 𝜂 𝑉𝑏𝑎,𝑅𝑑

Πίνακας 4.2 . Οριακή τάση κορμού με συνύπαρξη τεμνουσών δυνάμεων

Παράδειγμα 4.4:Να ελεγχθεί η διατομή του Σχ. 4.11 υπό την αλληλεπίδραση τέμνουσας δύναμης VEd = 600 kN και ροπής MEd = 800 kNm

από παράδειγμα 4.2 ΙΡΕ 400, πλάκα 130Χ20

Σχήμα 4.14 . Οριακές τάσεις σιδηροδοκού λόγω

αλληλεπίδρασης με τέμνουσες

Παράδειγμα 4.4

εξ (4.59α)𝒉𝒘

𝒕𝒘=𝟑𝟑𝟏

𝟖,𝟔= 𝟑𝟖, 𝟓 <72 · 0,81 = 58

εξ (4.57) Αν = 86,46-2·20.1,35 + (0,86 + 2·2,1)·1,35 = 39,29 cm2 εξ (4.56) Vpl,a,Rd = 39,29 𝟑𝟓,𝟓𝟑

𝟖,𝟔=805 kN

Πίνακας 4.2 0,5 <𝟔𝟎𝟎

𝟖𝟎𝟓= 0,75 ≤1 Πίνακας4.2 ρ = (2 . 0,75 -1)2 = 0,25

Πίνακας 4.2, τάσεις κορμού :(1 -0,25)·35,5 = 26,6 kN/cm2 Εμβαδόν πέλματος Af =Α-Αv=84,46-39,29 = 47,2 cm2

Εφελκυστική αντοχή σιδηροδοκού με μειωμένες τάσεις κορμού

(4. 9) Ζ = 47,2 · 35,5 + 39,29 · 26,6 = 2720 kN (4.10) z0= 𝟐𝟕𝟐𝟎

𝟏𝟑𝟎.𝟏,𝟕= 𝟏𝟐, 𝟐𝒄𝒎 < 𝟐𝟎𝒄𝒎

(4.11) 𝑴𝒑𝒍,𝑹𝒅 = 𝟐𝟕𝟐𝟎 𝟒𝟎 −𝟏𝟐,𝟑

𝟐= 𝟗𝟐𝟎𝟕𝟐 𝒌𝑵𝒄𝒎 = 𝟗𝟐𝟏𝒌𝑵𝒎

ΕΛΕΓΧΟΣ 𝑴𝑬𝒅 = 𝟖𝟎𝟎𝒌𝑵𝒎 < 𝟗𝟐𝟏 𝒌𝑵𝒎

Θερμοκρασιακές επιρροές

• Μία κατασκευή ΥΠΟΚΕΙΤΑΙ (στη διάρκεια της ζωής της) σε θερμοκρασιακές μεταβολές.

• Οι μεταβολές μεγαλύτερες για κατασκευές στο ύπαιθρο, π.χ. γέφυρες, από εκείνες που τα φέροντα στοιχεία

προστατεύονται έναντι θερμοκρασιακών επιρροών από μη φέροντα στοιχεία, όπως π.χ. σε κτίρια.

• Για το σκοπό αυτό οι διατάξεις περί θερμοκρασιακών μεταβολών αφορούν κυρίως τις γέφυρες.

• ΟΜΩΣ και σε κτίρια (ανάπτυξη στο εσωτερικό τους υψηλών θερμοκρασιών), όπως π.χ. σε ορισμένες βιομηχανικές

εγκαταστάσεις.

• Γενικώς οι θερμοκρασιακές επιρροές δεν χρειάζεται να λαμβάνονται υπόψη σε κτίρια, αν χρησιμοποιούνται

διατομές κατηγορίας 1 ή 2.

• Επειδή οι θερμοκρασιακές μεταβολές έχουν μικρή διάρκεια, τα εντατικά μεγέθη λόγω των επιρροών τους δεν

υπόκεινται σε ερπυσμό και συνεπώς τα αδρανειακά στοιχεία της διατομής υπολογίζονται για βραχυχρόνια φόρτιση.

Οι μεταβολές θερμοκρασίας ανήκουν στις έμμεσες δράσεις και προκαλούν πρωτογενείς και δευτερογενείς επιρροές.


Τρεις κατηγορίες θερμοκρασιακών μεταβολών:

• α) Ομοιόμορφη μεταβολή θερμοκρασίας (Σχ. 4.15 α)

• β) Γραμμικά μεταβαλλόμενη μεταβολή θερμοκρασίας (Σχ. 4.15 β).

• γ) Διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ σιδηροδοκού και πλάκας σκυροδέματος (Σχ. 4.15 γ).

Σχήμα 4.15 ► Κατηγορίες θερμοκρασιακών μεταβολών: α) Ομοιόμορφη, β) γραμμικά μεταβαλλόμενη, γ)

διαφορά θερμοκρασίας σιδηροδοκού - πλάκας.


α) Ομοιόμορφη μεταβολή θερμοκρασίας (Σχ. 4.15α)

ΑΤΙΑ: Η ολική μεταβολή της θερμοκρασίας περιβάλλοντος (π.χ. χειμώνας - καλοκαίρι).

Ο συντελεστής θερμικής διαστολής α, σκυροδέματος και χάλυβα ΙΔΙΟΣ, Και η σύμμικτη δοκός συμπεριφέρεται

κατά την ομοιόμορφη μεταβολή θερμοκρασίας ως μία δοκός από ομογενές υλικό.

Ομοιόμορφες μεταβολές θερμοκρασίας Τ προκαλούν ανηγμένες μηκύνσεις ή βραχύνσεις μεγέθους:

Ε=αtΤ (4.66)

και συνεπώς μεταβολές μήκους ενός στοιχείου ίσες με:

Διακρίνονται δύο περιπτώσεις:

Μη παρεμποδιζόμενες μεταβολές μήκους

Πραγματοποιούνται οι ανωτέρω μεταβολές μήκους -δεν προκαλείται ένταση στον φορέα.

Δl = αtΤ L


• Παρεμποδιζόμενες μεταβολές μήκους (καταναγκασμός)

Λόγω παρεμπόδισης των μεταβολών μήκους προκαλείται ένταση στον φορέα. Οι τάσεις στη δοκό είναι ίσες με:

σc =EcatT και σα =ΕααtΤ (4.68)

για το σκυρόδεμα και το χάλυβα αντίστοιχα.

ΑΡΑ ένταση στη σιδηροδοκό και την πλάκα σκυροδέματος διαφορετική λόγω διαφορετικών μέτρων

ελαστικότητας, (Σχ. 4.16).

Σχήμα 4.16 ► Ανηγμένες παραμορφώσεις, τάσεις λόγω ομοιόμορφης μεταβολής θερμοκρασίας

Θερμοκρασιακές επιρροές παραδείγματα

Παράδειγμα 4.5α: Να βρεθεί η μεταβολή μήκους σε γέφυρα μήκους 50 m για ομοιόμορφη μεταβολή θερμοκρασίας

κατά 20°C.

εξ. (4.67) Δl = 10-5 . 20 · 50 · 103 =10 mm

Παράδειγμα 4.5.β: Να βρεθεί η ομοιόμορφη αύξηση θερμοκρασίας Τ που οδηγεί το χάλυβα S 355 ή το σκυρόδεμα

C 30/37 μιας σύμμικτης δοκού της οποίας εμποδίζονται παντελώς οι παραμορφώσεις σε οριακή κατάσταση.

εξ. (4.68) Χάλυβας σα = 2,1.104 · 10-5 · Τ = 35,5 kN/cm2 -> Τ =169° C

εξ. (4.68) Σκυρόδεμα σc=0,33.104 · 10-5 ·Τ = 3kN /cm2 ->T = 91°C


β) Γραμμικώς μεταβαλλόμενη μεταβολή θερμοκρασίας (Σχ. 4.15β)

Μεταβολή υπό την επίδραση της ηλιακής ακτινοβολίας.

Η από τον ήλιο πλευρά του έργου (π.χ. κατάστρωμα μιας γέφυρας) μεγαλύτερη θερμοκρασία από σκιαζόμενη πλευρά.

Λόγω διαφοράς θερμοκρασίας άνω και κάτω πέλματος - διαφορετικές ανηγμένες μηκύνσεις ε0 και εu οι οποίες

οδηγούν σε καμπυλότητα:

𝒌 =𝜺𝟎 −𝜺𝒖

𝒉=𝜶𝒕. 𝚫𝚻

𝒉(4.69)

Και συνεπώς τα βέλη

𝒇 = 𝟎𝟏 𝑴.𝑴′

𝑬𝑰. 𝒅𝒙 = 𝟎

𝟏𝑴′. 𝒌. 𝒅𝒙 (4.70)

όπου Μ' = διάγραμμα ροπών του φορέα λόγω μοναδιαίας δύναμης στη θέση που υπολογίζεται το βέλος.

Διακρίνουμε και εδώ δύο περιπτώσεις:

• Ισοστατικοί φορείς

Στους ισοστατικούς φορείς πραγματοποιούνται ελεύθερα οι θερμοκρασιακές παραμορφώσεις και έτσι δεν προκαλείται

ένταση.


Υπερστατικοί φορείς

Παρεμποδίζονται θερμοκρασιακές παραμορφώσεις στις επιπλέον (των ισοστατικών) στηρίξεις άρα ένταση στο

φορέα. Η ένταση αυτή λόγω καταναγκασμού πρέπει να ληφθεί υπόψη τόσο στην οριακή κατάσταση αστοχίας με

επιμέρους συντελεστή ασφαλείας γQind

(βλ. Πίν. 2.2), όσο και στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας.

Παράδειγμα 4.6.α: Να προσδιορισθεί το μέγιστο βέλος της δοκού του Σχ. 4.17

για θερμοκρασιακή μεταβολή Δ Τ = Τ0 - Τu = 20° C.

Σχήμα 4.17 ► Ισοστατική δοκός παραδείγματος 4.6α με μεταβολή θερμοκρασίας


εξ. (4.69) Καμπυλότητα k =𝟏𝟎−𝟓.𝟐𝟎

𝟎,𝟐𝟖+𝟏,𝟔𝟕= 𝟏𝟎, 𝟐𝟓. 𝟏𝟎−𝟓𝒎−𝟏

maxM’ =𝟏.𝟔𝟎

𝟒=15 kNm εξ. (4.70)

Βέλος στο μέσον 𝒇𝒎𝒂𝒙= 𝟎𝟏𝑴′. 𝟏𝟎, 𝟐𝟓. 𝟏𝟎−𝟓. 𝟔𝟎 =

𝟏

𝟐. 𝟏𝟓. 𝟏𝟎, 𝟐𝟓. 𝟏𝟎−𝟓. 𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟒𝟔𝒎

και γενικώς για αμφιέρειστες δοκούς:

𝒇𝒎𝒂𝒙 =𝜶𝒕.𝚫𝚻.𝒍

𝟐

𝒉.𝟖

Η διεύθυνση του βέλους προς τα πάνω

άνω πλευρά της δοκού έχει υψηλότερη θερμοκρασία και επιμηκύνεται,

κάτω πλευρά με τη χαμηλότερη θερμοκρασία βραχύνεται.


γ) Διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ σιδηροδοκού και πλάκας σκυροδέματος (Σχ. 4.15γ)

ΑΝ ΚΑΙ συντελεστής θερμικής διαστολής χάλυβα και σκυροδέματος είναι ίδιος, μεγάλες διαφορές των δύο

υλικών (θερμοχωρητικότητα και μεταφορά θερμότητας). Ο χάλυβας «προσαρμόζεται» πολύ πιο γρήγορα σε μια

μεταβολή της θερμοκρασίας περιβάλλοντος (π.χ. ημέρα - νύχτα) απ' ότι το σκυρόδεμα.

ΑΡΑ ΓΙΑ αρκετό χρόνο θερμοκρασία της σιδηροδοκού διαφορετική από πλάκας του σκυροδέματος (Σχ. 4.15γ).

Οι ανωτέρω επιρροές δεν εξετάζονται εν γένει κατά τους ελέγχους συμμίκτων δοκών.

Μια ΠΑΡΟΜΟΙΑ διαφορά θερμοκρασίας εξετάζεται όμως στη γεφυροποιία ώστε να ληφθεί υπόψη η αυτογενής

συστολή ξήρανσης. Ευρωκώδικας 4, Μέρος 2, έλεγχος ρηγμάτωσης εξετάζεται μια διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ

σιδηροδοκού και πλάκας σκυροδέματος ίση με 20°C, με την πλάκα πιο ψυχρή (αυτή συστέλλεται).

Η απαίτηση για ποιότητες σκυροδέματος ανώτερες της C35/45.

Για τις επιρροές της ως άνω διαφοράς θερμοκρασίας δύο περιπτώσεις ανάλογα με τον τρόπο έδρασης του φορέα.


• Ισοστατικοί φορείς

ΧΩΡΙΣ διατμητική σύνδεση μεταξύ πλάκας σκυροδέματος και σιδηροδοκού τότε λόγω της διαφοράς θερμοκρασίας

Δt = Ta - Tc η πλάκα υπόκειται σε διαφορά μήκους σε σχέση με τη σιδηροδοκό ίση με:

Δt = αt Δt · l (4.71)

Η διαφορά μήκους μπορεί ισοδυνάμως από αξονική δύναμη στο σκυρόδεμα : (Σχ. 4.19):

ΝΔt = αt · Δt · Ec · Ac (4.72)

Ac είναι το εμβαδόν ολόκληρης της πλάκας του σκυροδέματος, οχι μείωση λόγω συνεργαζόμενου πλάτους.

Η διατμητική σύνδεση σιδηροδοκού - πλάκας επιβάλει μία κοινή παραμόρφωση στη διεπιφάνεια των στοιχείων.

Συνεπώς στην πλάκα επιβάλλεται μία δύναμη ΝΔt η οποία είναι εφελκυστική αν η θερμοκρασία της πλάκας είναι

μικρότερη από αυτή της σιδηροδοκού (Δt > 0) ή θλιπτική στην αντίθετη περίπτωση. Για διατήρηση συνθηκών

ισορροπίας στη διατομή πρέπει να ασκηθεί στη σόμμικτη διατομή, στη θέση του κέντρου βάρους της:

• μία αξονική δύναμη ΝΔt αντίθετης φοράς από αυτή της πλάκας και

• μία καμπτική ροπή ΜΔt = ΝΔι (ze - zc) (4.73)


Δt = Ta-Tc

Σχήμα 4.19 ► Δυνάμεις - ροπές λόγω διαφοράς θερμοκρασίας Δt

Επομένως αναπτύσσονται στην πλάκα τάσεις αφενός λόγω της άμεσης δύναμης ΝΔt και αφετέρου λόγω της

δύναμης και της ροπής (-ΝΔt, ΜΔt) από τη λειτουργία της ως στοιχείο της σύμμικτης διατομής.

Στη σιδηροδοκό αναπτύσσονται τάσεις λόγω των (-ΝΔt, MΔt) από τη λειτουργία της ως στοιχείου της

σύμμικτης διατομής.


• Τελικώς οι τάσεις στη σύμμικτη διατομή είναι οι εξής :

𝝈𝒄𝟎 =𝑵𝚫𝐭

𝑨𝒄−𝑵𝚫𝐭

𝑨𝒆𝜼+𝑴𝚫𝐭

𝑾𝒄𝟎(4.74 α)

𝝈𝒄𝒖 =𝑵𝚫𝐭

𝑨𝒄−𝑵𝚫𝐭

𝑨𝒆𝜼+𝑴𝚫𝐭

𝑾𝒄𝒖(4.74 β)

𝝈𝒂𝟎 =𝑵𝚫𝐭

𝑨𝒆+𝑴𝚫𝐭

𝑾𝒂𝟎(4.74 γ)

𝝈𝒂𝒖 =𝑵𝚫𝐭

𝑨𝒆+𝑴𝚫𝐭

𝑾𝒂𝒖(4.74 δ)

Αν η θερμοκρασία της σιδηροδοκού είναι μικρότερη αυτής του σκυροδέματος τότε η δύναμη ΝΔt είναι θλιπτική

για την πλάκα και εφελκυστική για τη σύμμικτη διατομή. Οι εξ. (4.74) συνεχίζουν να ισχύουν, η ΝΔt έχει όμως από

την εξ. (4.72) αρνητικό πρόσημο.

Αν γίνει χρήση της μεθόδου των επιμέρους διατομών, τότε τα εντατικά μεγέθη –ΝΔt , ΜΔt που επιδρούν στη σύμμικτη

διατομή κατανέμονται σύμφωνα με τις εξ. (4.43), (4.44) και (4.50) έως (4.52) στην πλάκα και τη σιδηροδοκό.


ΜΕ ΧΡΗΣΗ των επιμέρους διατομών, τότε τα εντατικά μεγέθη -ΝΔι, ΜΔι που επιδρούν στη σύμμικτη διατομή

κατανέμονται σύμφωνα με τις εξ. (4.43), (4.44) και (4.50) έως (4.52) στην πλάκα και τη σιδηροδοκό.

𝝅. 𝝌.𝑵𝒄𝚫𝐭 = 𝑨𝒄 𝜼

𝚨𝒆−𝑵𝚫𝐭 −

𝑺𝒆𝑰𝒆. 𝑴𝚫𝐭

τελικώς δε οι τάσεις από τις σχέσεις : 𝝈𝒄𝟎 =𝑵𝚫𝐭

𝑨𝒄+𝑵𝐜𝚫𝐭

𝑨𝒄−𝑴𝐜𝚫𝐭

𝑰𝒄,𝟎.𝒅

𝟐(4.75 α) 𝝈𝒄𝒖 =

𝑵𝚫𝐭

𝑨𝒄+𝑵𝐜𝚫𝐭

𝑨𝒄+𝑴𝐜𝚫𝐭

𝑰𝒄,𝟎.𝒅

𝟐(4.75 β)

𝝈𝒂𝟎=𝑵𝐚𝚫𝐭

𝑨𝒂−𝑴𝐚𝚫𝐭

𝑰𝒂,𝟎. 𝒛𝒂𝟎 (4.75 γ) 𝝈𝒂𝒖 =

𝑵𝐚𝚫𝐭

𝑨𝒂+𝑴𝐚𝚫𝐭

𝑰𝒂,𝟎. 𝒛𝒂𝒖 (4.75 δ)

(za0, zau = αποστάσεις άκρων σιδηροδοκού από το κέντρο βάρους της σιδηροδοκού, Σχ. 4.16).


Οι ανωτέρω επιρροές της διαφοράς θερμοκρασίας πρωτογενείς επιρροές και συνιστούν μια αυτεντατική

κατάσταση διότι δεν παράγουν εντατικά μεγέθη στο φορέα.

Επομένως οι πρωτογενείς επιρροές, ως αυτεντατικές καταστάσεις, δεν λαμβάνονται υπόψη στην οριακή κατάσταση

αστοχίας, παρά μόνο στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας.

• Υπερστατικοί φορείς

Λόγω των πρωτογενών ροπών ΜΔt προκαλούνται παραμορφώσεις σε ισοστατικούς φορείς.

Κάθε πρόσθετη -υπερστατική- στήριξη παρεμποδίζει την ανάπτυξη των ανωτέρω παραμορφώσεων και

ανακατανέμει τις ροπές ΜΔt.

Οι τελικές ροπές προκύπτουν από την επαλληλία των πρωτογενών και των υπερστατικών ροπών.

Οι τελικές ροπές, οφειλόμενες σε καταναγκασμό, δευτερογενείς επιρροές στο φορέα, λαμβάνονται δε υπόψη κατά

τους ελέγχους στην οριακή κατάσταση αστοχίας με επιμέρους συντελεστές ασφαλείας γQind ως ανωτέρω.

Θερμοκρασιακές επιρροές παράδειγμα

Παράδειγμα 4.7: Να επιλυθεί η δοκός του Σχ. 4.20 για διαφορά θερμοκρασίας Δt = Τα - Tc - 15° C

Σχήμα 4.20 ► Ισοστατική δοκός παραδείγματος 4.7 με διαφορά θερμοκρασίας

(4.74 𝛼) 𝝈𝒄𝟎=𝟏𝟐𝟒𝟖

𝟐𝟔𝟎𝟎−

𝟏𝟐𝟒𝟖

𝟒𝟕𝟖.𝟔,𝟔+

𝟔𝟔𝟏𝟒

−𝟒𝟐𝟔𝟔𝟑= −𝟎, 𝟎𝟕𝟎 𝒌𝐍 𝒄𝒎𝟐

(4.74 𝛾) 𝝈𝒂𝟎=−𝟏𝟐𝟒𝟖

𝟒𝟕𝟖+

𝟔𝟔𝟏𝟒

𝟐𝟏𝟎𝟒𝟑= −𝟐, 𝟑𝟎 𝒌𝐍 𝒄𝒎𝟐

(4.74 β) 𝝈𝒄𝒖=𝟏𝟐𝟒𝟖

𝟐𝟔𝟎𝟎−

𝟏𝟐𝟒𝟖

𝟒𝟕𝟖. 𝟔, 𝟔+

𝟔𝟔𝟏𝟒

𝟏𝟑𝟖, 𝟗. 𝟏𝟎𝟑= 𝟎, 𝟏𝟑𝟐 𝒌𝐍

𝒄𝒎𝟐(4.74 𝛾) 𝝈𝒂𝒖=

−𝟏𝟐𝟒𝟖

𝟒𝟕𝟖+𝟔𝟔𝟏𝟒

𝟐𝟐𝟏𝟑= 𝟎, 𝟑𝟕 𝒌𝐍

𝒄𝒎𝟐

Τα γεωμετρικά και αδρανειακά μεγέθη της διατομής τα παίρνουμε

από το παράδειγμα 4.2

εξ. (4.72) ΝΔt = 10-5.15 . 3200 .2600 =1.248 kN

εξ. (4.73) MΔt = 1.248(15,3-10) = 6.614 kN cm

Τάσεις με τη βοήθεια της μεθόδου της ισοδύναμης διατομής:

Θερμοκρασιακές επιρροές -παράδειγμα

Τάσεις με τη βοήθεια των επιμέρους διατομών:

εξ. (4.43, και 4.50) 𝑵𝒄𝚫𝐭= 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟔,𝟔

𝟒𝟕𝟖−𝟏𝟐𝟒𝟖 −

𝟐𝟎𝟖𝟗

𝟗𝟖,𝟗.𝟏𝟎𝟑. 𝟔𝟔𝟏𝟒 = −𝟏𝟏𝟔𝟖𝒌𝑵

(4.51) 𝑴𝒄𝚫𝐭= 𝟖𝟕.𝟏𝟎𝟑𝟔,𝟔

𝟗𝟖,𝟗.𝟏𝟎𝟑. 𝟔𝟔𝟏𝟒 = 𝟖𝟖𝟏 𝒌𝑵𝒄𝒎

εξ. (4.44, και 4.50) 𝑵𝒂𝚫𝐭=𝟖𝟒,𝟓

𝟒𝟕𝟖−𝟏𝟐𝟒𝟖 +

𝟐𝟎𝟖𝟗

𝟗𝟖,𝟗.𝟏𝟎𝟑. 𝟔𝟔𝟏𝟒 = −𝟖𝟎, 𝟗𝒌𝑵

(4.52) 𝑴𝒂𝚫𝐭=𝟐𝟑,𝟏.𝟏𝟎𝟑

𝟗𝟖,𝟗.𝟏𝟎𝟑. 𝟔𝟔𝟏𝟒 = 𝟏𝟓𝟒𝟓 𝒌𝑵𝒄𝒎

(4.75 α) 𝝈𝒄𝟎=𝟏𝟐𝟒𝟖

𝟐𝟔𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟔𝟖

𝟐𝟔𝟎𝟎−

𝟖𝟖𝟏

𝟖𝟕.𝟏𝟎𝟑.𝟐𝟎

𝟐= −𝟎, 𝟎𝟕𝟎 𝒌𝐍 𝒄𝒎𝟐

(4.75 β) 𝝈𝒄𝒖=𝟏𝟐𝟒

𝟐𝟔𝟎𝟎−𝟏𝟏𝟔𝟖

𝟐𝟔𝟎𝟎+

𝟖𝟖𝟏

𝟖𝟕.𝟏𝟎𝟑.𝟐𝟎

𝟐= 𝟎, 𝟏𝟑𝟐 𝒌𝐍 𝒄𝒎𝟐

(4.75 γ) 𝝈𝒂𝟎= −𝟖𝟎,𝟗

𝟖𝟒,𝟓−

𝟏𝟓𝟒𝟓

𝟐𝟑,𝟏.𝟏𝟎𝟑. 𝟐𝟎 = −𝟐, 𝟑𝟎 𝒌𝐍 𝒄𝒎𝟐

Οι τάσεις αυτές υπάρχουν καθ' όλο το μήκος της δοκού.

(4.75 δ) 𝝈𝒂𝒖= −𝟖𝟎,𝟗

𝟖𝟒,𝟓+

𝟏𝟓𝟒𝟓

𝟐𝟑,𝟏.𝟏𝟎𝟑. 𝟐𝟎 = −𝟎, 𝟑𝟕 𝒌𝐍 𝒄𝒎𝟐

Επιρροές Λόγω χρονίων παραμορφώσεων

•Επιρροές Λόγω χρονίων παραμορφώσεων

Γενικά

Οι ιδιότητες του σκυροδέματος μεταβάλλονται με το χρόνο. Αυτό δεν αφορά μόνο την αύξηση της αντοχής με

το χρόνο αλλά και τις παραμορφώσεις. Υπό την επιβολή μιας θλιπτικής τάσης σ0, το σκυρόδεμα υποβάλλεται

αρχικώς σε ελαστικές παραμορφώσεις μεγέθους:

στις οποίες προστίθενται και χρόνιες παραμορφώσεις, ώστε το τελικό μέγεθος των παραμορφώσεων σε χρόνο t

να είναι ίσο με:

• 𝜺𝒄𝒕= 𝜺𝒄𝟎(1 + φt) (4-76)

Το φαινόμενο των χρονιών παραμορφώσεων του σκυροδέματος υπό τάση ονομάζεται ερπυσμός, ο δε

συντελεστής φt συντελεστής ερπυσμού. Ο ερπυσμός οφείλεται κυρίως στη μετακίνηση αδέσμευτων

μορίων ύδατος από θέσεις μεγάλης σε θέσεις μικρότερης πίεσης [111] και επηρεάζεται:


α) Από το χρόνο επιβολής της φόρτισης.

Σε όσο μεγαλύτερο χρόνο μετά την πήξη γίνει η επιβολή της φόρτισης, τόσο μειώνεται η κινητικότητα των

μορίων του ύδατος τα οποία έχουν ήδη δεσμευθεί με το τσιμέντο. Έτσι και η αντοχή του σκυροδέματος αλλάζει

και η ροπή προς ερπυσμό μειώνεται.

β) Από την πυκνότητα του σκυροδέματος.

Αύξηση της πυκνότητας μειώνει την κινητικότητα των μορίων ύδατος και μειώνει τη ροπή προς ερπυσμό.

γ) Από την υγρασία του περιβάλλοντος.

Αύξηση της υγρασίας του περιβάλλοντος μειώνει τη διαφορά πιέσεων μεταξύ του εσωτερικού του

σκυροδέματος και του περιβάλλοντος και μειώνει τη ροπή προς ερπυσμό.


Οι ερπυστικές παραμορφώσεις του σκυροδέματος είναι σημαντικές και μπορεί να φθάσουν το

τετραπλάσιο έως πενταπλάσιο των ελαστικών.

Για το σκοπό αυτό πρέπει να λαμβάνονται μέτρα για την κατά το δυνατό μεγαλύτερη μείωσή τους.

Τέτοια μέτρα είναι:

το όσο το δυνατόν αργότερο ξεκαλούπωμα, ώστε να έχει αποκτήσει μεγαλύτερη αντοχή το σκυρόδεμα

η όσο το δυνατό καθυστέρηση επιβολής τυχόν προέντασης,

η εξασφάλιση υψηλής υγρασίας στο νέο σκυρόδεμα, ιδιαίτερα κατά τους ζεστούς, θερινούς μήνες μέσω

π.χ. κάλυψής τους με υγρές λινάτσες κ.λπ.

Χρόνιες παραμορφώσεις αναπτύσσονται όμως ακόμα και σε σκυρόδεμα που δεν βρίσκεται υπό τάση.

Οι παραμορφώσεις αυτές οφείλονται στη βαθμιαία απομάκρυνση από τους πόρους του πήγματος των

μορίων ύδατος που δεν είναι χημικά συνδεδεμένα με το τσιμέντο, η οποία έχει ως συνέπεια το μεγαλύτερο

πλησίασμα των κρυστάλλων του πήγματος μεταξύ τους.

Η συστολή αυτή του σκυροδέματος ονομάζεται συστολή ξήρανσης.


Η συστολή ξήρανσης αυξάνει:

α) με την ανάπτυξη υψηλών θερμοκρασιών και χαμηλής υγρασίας στην αρχή της πήξης,

β) με την αύξηση του ποσοστού του τσιμέντου, ή τη μείωση του όγκου των αδρανών επειδή μόνο ο

τσιμεντοπολτός συστέλλεται,

γ) με αύξηση του ύδατος και

δ) με μειονεκτική σύνθεση αδρανών.

Στις σύμμικτες κατασκευές ο χάλυβας συμπεριφέρεται ως ελαστικό, το δε σκυρόδεμα ως

βισκοελαστικό υλικό, πράγμα το οποίο προκαλεί μία βαθμιαία ανακατανομή της έντασης από το

σκυρόδεμα στο χάλυβα.

Σκοπός της παρούσας παραγράφου είναι ο προσδιορισμός του μεγέθους της ανακατανομής.

Ερπυσμός

Ο συντελεστής ερπυσμιού μεταβάλλεται με το χρόνο και δίνεται από τη σχέση:

φt=φ (t,t0) = φο.βc(t,t0) (4.77 α)

φ0 είναι η βασική τιμή του συντελεστή ερπυσμιού, υπολογιζόμενη ως:

φ0= φRΗ .β(fcm). β(t0) (4.77β) , φRH είναι συντελεστής που εκφράζει την επιρροή της σχετικής υγρασίας RH [%], όπου

φRΗ = 1 +𝟏− 𝑹𝑯

𝟏𝟎𝟎

𝟎,𝟏.𝟑𝒉𝟎

𝜸𝜾𝜶 𝒇𝒄𝒎 ≤ 35 MPa (4.78α)

φRΗ = 1 +𝟏− 𝑹𝑯

𝟏𝟎𝟎

𝟎,𝟏.𝟑 𝒉𝟎. 𝜶𝟐 𝜸𝜾𝜶 𝒇𝒄𝒎 >35 MPa (4.78 β)

Η τιμή της σχετικής υγρασίας RH λαμβάνεται για το εσωτερικό και εξωτερικό των κτιρίων ως 70%.

Ερπυσμός

β(fcm) είναι συντελεστής που εκφράζει την επιρροή της μέσης αντοχής του σκυροδέματος σε 28 ημέρες, fcm [MPa],

όπου: 𝜷 𝒇𝒄𝒎 =𝟏𝟔,𝟖

𝒇𝒄𝒎(4.79) β(t0) είναι συντελεστής που εκφράζει την επιρροή της ηλικίας του σκυροδέματος

κατά το χρόνο της φόρτισης, όπου: 𝜷 𝒕𝟎 =𝟏

𝟎,𝟏+𝒕𝟎𝟎,𝟐 (4.80)

u: περίμετρος διατομής σκυροδέματος σε επαφή με ατμόσφαιρα

𝒉𝟎 είναι το ιδεατό πάχος του στοιχείου σε [mm], όπου: 𝒉𝟎 =𝟐.𝑨𝒄

𝒖(4.80) 𝑨𝒄: εμβαδόν διατ. Σκυροδέματος

βο(t,tο) είναι συντελεστής που εκφράζει την χρονική εξέλιξη του ερπυσμού μετά τη φόρτιση, όπου:

𝜷𝒄 𝒕, 𝒕𝟎 = [𝒕−𝒕𝟎

𝜷𝚮+𝒕−𝒕𝟎]𝟎,𝟑 (4.81) t είναι η ηλικία του σκυροδέματος κατά την εξεταζόμενη χρονική στιγμή

t0 είναι η ηλικία του σκυροδέματος κατά την φόρτιση

Ερπυσμός

βΗ = 1,5 · 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝑹𝑯 𝟏𝟖 𝒉𝟎 + 𝟐𝟓𝟎 ≤ 𝟏𝟓𝟎𝟎 για fcm ≤ 35 Mpa

βΗ = 1,5 · 𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟏𝟐𝑹𝑯 𝟏𝟖 𝒉𝟎 + 𝟐𝟓𝟎𝜶𝟑 ≤ 𝟏𝟓𝟎𝟎𝜶𝟑 για fcm ≤ 35 Mpa

α1 = 𝟑𝟓

𝒇𝒄𝒎

𝟎,𝟕α2 =

𝟑𝟓

𝒇𝒄𝒎

𝟎,𝟐α3 =

𝟑𝟓

𝒇𝒄𝒎

𝟎,𝟓(4.82)

Ο συντελεστής μετατροπής σκυροδέματος - χάλυβα για βραχυχρόνιες φορτίσεις (ωφέλιμα φορτία κτιρίων,

φορτία κυκλοφορίας γεφυρών, θερμοκρασία κλπ.) είναι ίσος με: 𝜼𝟎 =𝚬𝜶

𝚬𝒄𝒎(4.83)

Ο ανωτέρω συντελεστής μεταβάλλεται για μακροχρόνιες φορτίσεις λόγω ερπυσμού σε

𝜼𝑳 = 𝜼𝟎(𝟏 + 𝝍𝑳. 𝝋𝒕 (4.84)

Όπου οι τιμές του 𝝍𝑳 δίνονται στον επόμενο πίνακα 4.3

Ερπυσμός

Πίνακας 4.3 ► Τιμές συντελεστή ψLτης εξ. (4.84 )

Ερπυσμός

Από τις ανωτέρω τιμές του ψ γίνεται αντιληπτό ότι το σκυρόδεμα έρπει σημαντικά λόγω επιβαλλόμενων

παραμορφώσεων, μέτρια λόγω μονίμων δράσεων και λιγότερο λόγω συστολής ξήρανσης.

Επομένως ένα μεγάλο τμήμα της προέντασης η οποία επιβάλλεται μέσω υποχώρησης στηρίξεων

«χάνεται» με την πάροδο του χρόνου λόγω ερπυσμού.

Αυτό ισχύει γενικώς για την προένταση, είτε μέσω υποχώρησης στηρίξεων ή με καλώδια, ότι δηλαδή η

επιρροή της μειώνεται σταδιακά λόγω ερπυσμού και καθίσταται συχνά αναποτελεσματική.

Ως τελικός χρόνος για τον ερπυσμό λαμβάνεται t = to = 30.000 ημέρες, ο οποίος αντιστοιχεί σε διάρκεια ζωής

100 έτη.

Ερπυσμός παράδειγμα

Παράδειγμα 4.9: Για την διατομή του παραδείγματος 4.2 (Σχ. 4.22) ζητούνται οι συντελεστές ηΡ , ηS και ηΡT

για μια δράση της οποίας η επιρροή ξεκίνησε σε χρόνο tο = 28 ημέρες για χρόνο ελέγχου t= 100 ημέρες. Επίσης

ζητούνται οι τάσεις κατά τον υπόψη χρόνο t για δράσεις ΝEd = -1000 kN, MEd =150 kNm τύπου Ρ.

Από το παράδειγμα 4.2 έχουμε:

η0 = 6,6 Ac = 2600 cm2 Aa= 84,5 cm2 Ic,0=87.103 cm4 Iao = 23,1. 103 cm4 zc=10 cm za = 40 cm

Περίμετρος u=2.(130+20)=300 cm

Ιδεατό πάχος 𝒉𝟎 =𝟐.𝟐𝟔𝟎𝟎

𝟑𝟎𝟎= 𝟏𝟕, 𝟑𝟑𝒄𝒎 = 𝟏𝟕𝟑, 𝟑𝒎𝒎

Σχετική υγρασία 70%

Εξ.(4.78 α)𝝋𝑹𝑯 = 𝟏 +𝟏− 𝟕𝟎 𝟏𝟎𝟎

𝟎,𝟏.𝟑 𝟏𝟕𝟑,𝟑= 𝟏, 𝟓𝟒

Εξ.(4.79) 𝜷(𝒇𝒄𝒎 ) =𝟏𝟔,𝟖

𝟑𝟖= 𝟐, 𝟕𝟑

Σχήμα 4.22 ► Διατομή παραδείγματος 4.9


Εξ.(4.80) 𝜷(𝒕𝟎 ) =𝟏

𝟎,𝟏+𝟏𝟎𝟎𝟎,𝟐= 𝟎, 𝟑𝟖 𝜷𝑯 = 𝟏, 𝟓𝟎 𝟏 + (𝟎, 𝟎𝟏𝟐. 𝟕𝟎)

𝟏𝟖 . 𝟏𝟕𝟑, 𝟑 + 𝟐𝟓𝟎 = 𝟓𝟐𝟏 ≤ 𝟏𝟓𝟎𝟎

Εξ.(4.81) 𝜷(𝒕, 𝒕𝟎 ) =(𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟖)

𝟓𝟐𝟏+𝟏𝟎𝟎−𝟐𝟖

𝟎,𝟑= 𝟎, 𝟓𝟑 Εξ.(4.84) 𝜼𝑷𝑻= 𝟔, 𝟔. 𝟏 + 𝟏, 𝟓𝟎. 𝟎, 𝟖𝟒𝟖 = 𝟏𝟓,0

Εξ.(4.77 β) 𝝋𝟎 = 𝟏, 𝟓𝟒. 𝟐, 𝟕𝟑. 𝟎, 𝟑𝟖 = 𝟏, 𝟔𝟎 Εξ.(4.77 α)𝝋𝟏 = 𝝋𝟏𝟎𝟎 = 𝟏, 𝟔𝟎. 𝟎, 𝟓𝟑 = 𝟎, 𝟖𝟒𝟖

Εξ.(4.84) 𝜼𝑷 = 𝟔, 𝟔. 𝟏 + 𝟏, 𝟏. 𝟎, 𝟖𝟒𝟖 = 𝟏𝟐, 𝟖 Εξ.(4.84) 𝜼𝑺= 𝟔, 𝟔. 𝟏 + 𝟎, 𝟓𝟓. 𝟎, 𝟖𝟒𝟖 = 𝟗, 𝟕

Παρατηρούμε λοιπόν ότι η παραμορφωσιμότητα του σκυροδέματος στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι στις 100

ημέρες περίπου 1,5 έως 2,3 φορές μεγαλύτερη απ' ότι για βραχυχρόνιες φορτίσεις.


Οι καταληκτικές τιμές του ερπυσμού για τις 30.000 ημέρες προσδιορίζονται από:

𝜷𝒄(𝒕, 𝒕𝟎 ) =(𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟖)

𝟓𝟐𝟏 + 𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 − 𝟐𝟖

𝟎,𝟑

= 𝟏, 𝟎,𝝋𝒕 = 𝝋𝟑𝟎𝟎𝟎𝟎 = 𝟏, 𝟔𝟎. 𝟏, 𝟎 = 𝟏, 𝟔𝟎

ηP=18,2 ηs = 12,4 ηΡΤ = 22,4

Για τον προσδιορισμό των τάσεων θα ακολουθηθεί η μέθοδος των επιμέρους εντατικών μεγεθών ως πιο

εποπτική για το συγκεκριμένο παράδειγμα. Ο υπολογισμός γίνεται με ηΡ=12,8.

εξ. (4.34) Ae= 84,5 +𝟐𝟔𝟎𝟎

𝟏𝟐,𝟖= 288cm2

εξ. (4.35) ze =𝟖𝟒,𝟓+𝟐𝟔𝟎𝟎. 𝟏𝟎 𝟏𝟐,𝟖

𝟐𝟐𝟖= 𝟏𝟖, 𝟖𝒄𝒎

εξ. (4.36) Ie = 23,1 · 103 + 84,5(40-18,8)2 +𝟖𝟕.𝟏𝟎𝟑

𝟏𝟐,𝟖+𝟐𝟔𝟎𝟎

𝟏𝟐,𝟖(𝟏𝟎 − 𝟏𝟖, 𝟖)𝟐= 𝟖𝟑, 𝟔𝟎. 𝟏𝟎𝟑𝒄𝒎𝟒


• Κατανομή NEd =1.000 kN

εξ. (4.43) Nc = 𝟐𝟔𝟎𝟎𝟏𝟐,𝟖

𝟐𝟖𝟖−𝟏𝟎𝟎𝟎 = −𝟕𝟎𝟎𝒌𝑵 εξ. (4.44) Να =

𝟖𝟒,𝟓

𝟐𝟖𝟖(—1.000) = -293 kN

• Κατανομή MEd= 150 kNm

εξ. (4.53) Se =(40-10) 𝟖𝟒,𝟓.𝟐𝟔𝟎𝟎𝟏𝟐,𝟖

𝟐𝟐𝟖= 𝟏𝟕𝟖𝟖𝒄𝒎𝟑 εξ. (4.50) 𝑵𝒄 = −𝑵𝜶 = −

𝟏𝟕𝟖𝟖

𝟖𝟑,𝟔.𝟏𝟎𝟑. 𝟏𝟓𝟎𝟎𝟎 = −𝟑𝟐𝟏𝐤𝐍

εξ. (4.51)𝑴𝒄 = 𝟖𝟕.𝟏𝟎𝟑𝟏𝟐,𝟖

𝟖𝟑,𝟔.𝟏𝟎𝟑. 𝟏𝟓𝟎= 12,20kNm εξ. (4.52) 𝑴𝜶= −

𝟐𝟑,𝟏.𝟏𝟎𝟑

𝟖𝟑,𝟔.𝟏𝟎𝟑. 𝟏𝟓𝟎 = 𝟓𝟏, 𝟒𝟓𝒌𝑵𝒎

Τάσεις:

εξ. (4.55) σα =−𝟐𝟗𝟑+𝟑𝟐𝟏

𝟖𝟒,𝟓+

𝟒𝟏𝟒𝟓

𝟐𝟑,𝟏.𝟏𝟎𝟑±𝟐𝟎 = 𝟑𝟑 ± 𝟑, 𝟓𝟗 = 𝝈𝜶𝒖 = 𝟑, 𝟗𝟐 𝒌𝑵 𝒄𝒎𝟐 𝝈𝜶𝟎 = −𝟑, 𝟔𝟐𝒌𝑵 𝒄𝒎𝟐

εξ (4 54) σc =−𝟕𝟎𝟓−𝟑𝟐𝟏

𝟐𝟔𝟎𝟎+

𝟏𝟐𝟐𝟎

𝟖𝟕.𝟏𝟎𝟑±𝟐𝟎

𝟐= 𝟑𝟑 − 𝟎, 𝟑𝟗 ± 𝟎, 𝟏𝟒 = 𝝈𝒄𝒖 = −𝟎, 𝟐𝟓𝟐 𝒌𝑵 𝒄𝒎𝟐 𝝈𝒄𝟎 = −𝟎, 𝟓𝟑𝒌𝑵 𝒄𝒎𝟐


Η σύγκριση των επιμέρους εντατικών μεγεθών και των τάσεων για τους χρόνους t = 28 ημέρες και t =

30.000 ημέρες φαίνεται στο Σχήμα 4.23. Παρατηρούμε την ανακατανομή από το σκυρόδεμα στο χάλυβα.

t = 28 ημ. t = 30.000 ημ t = 28 ημ. t = 30.000 ημ

Εντατικά μεγέθη

επιμέρους στοιχείων

[kN],[kNm]

Τάσεις [kN/cm ]

Σχήμα 4.23 ► Κατανομή τάσεων στις 28 και 100 ημέρες της δοκού του παραδείγματος 4.9 (για 28 ημέρες βλ. παράδειγμα 4.2)


Ο ερπυσμός του σκυροδέματος προκαλεί μείωση της δυσκαμψίας των σύμμικτων διατομών, με συνέπειες

εξαρτώμενες από το στατικό σύστημα του φορέα.

Η μείωση της δυσκαμψίας της αρηγμάτωτης διατομής από ΕI1(tο) σε ΕΙ1(t1) λόγω ερπυσμού μεταξύ των

χρόνων t0 και t1 , προκαλεί σε ισοστατικά συστήματα πρωτογενείς επιρροές και πιο συγκεκριμένα:

α) αύξηση των βελών και

β) ανακατανομή των τάσεων στις διατομές, με αύξηση των τάσεων στη σιδηροδοκό και μείωση των

τάσεων στο σκυρόδεμα.

Όπως φαίνεται στο ανωτέρω παράδειγμα, η δυσκαμψία της δοκού μειώθηκε από Ie =98,9-103 cm4 στις 28

ημέρες (Παράδειγμα 4.2) σε Ie =83,6-103 cm4 στις 30.000 ημέρες, μείωση δηλαδή στο 85%.

Είναι προφανές ότι σε ένα ισοστατικό σύστημα, π.χ. αμφιέρειστη δοκό, τα βέλη για σταθερά φορτία θα

αυξανόταν λόγω ερπυσμού, χωρίς να αυξηθούν τα εντατικά μεγέθη.

Εξάλλου λαμβάνει χώρα ανακατανομή των τάσεων στη διατομή σύμφωνα με το Σχήμα 4.23.

Συστολή ξήρανσης

Η συστολή ξήρανσης του σκυροδέματος λαμβάνει χώρα ανεξαρτήτως του μεγέθους των επιβεβλημένων τάσεων.

Η συνολική ανηγμένη παραμόρφωση λόγω συστολής ξήρανσης έχει δύο συνιστώσες, μία οφειλόμενη στην

σταδιακή αποξήρανσης και μία αυτογενή.

Η πρώτη εξελίσσεται αργά, λόγω σταδιακής απώλειας ύδατος στο σκληρημένο σκυρόδεμα, η δεύτερη

αναπτύσσεται κατά τη διάρκεια της σκλήρυνσης και ολοκληρώνεται κατά τις πρώτες ημέρες μετά τη

σκυροδέτηση.

Η αυτογενής συστολή ξήρανσης αγνοείται εν γένει στις σύμμικτες κατασκευές, καλύπτεται δε στη γεφυροποιία

σύμφωνα με τα προαναφερθέντα με εξέταση διαφοράς θερμοκρασίας μεταξύ σιδηροδοκού και πλάκας

σκυροδέματος.

Η λόγω αποξήρανσης συστολή ξήρανσης δημιουργεί ανηγμένη βράχυνση, η τελική τιμή της οποίας λαμβάνεται

ίση με:

εcd ,∞ = 325 . 10-6 για γέφυρες και το εσωτερικό και εξωτερικό κτιρίων και

εcd ,∞ = 200 · 10-6 για κοίλες διατομές γεμισμένες με σκυρόδεμα


Η χρονική εξέλιξη της συστολής ξήρανσης δίνεται από τη σχέση: εcs (t) = βds (t,ts) εcd ,∞ (4.89)

𝜷𝒅𝒔 𝒕, 𝒕𝒔 =𝒕−𝒕𝒔

𝒕−𝒕𝒔+𝟎,𝟎𝟒. 𝒉𝟎𝟑

(4.90),

Όπου:

t είναι η ηλικία του σκυροδέματος σε ημέρες κατά την εξεταζόμενη χρονική στιγμή

ts = 1 ημέρα η οποία θεωρείται ως ο χρόνος έναρξης της συστολής ξήρανσης

h0 είναι το ιδεατό πάχος του στοιχείου σε [mm], όπως και στον ερπυσμό

Η συστολή ξήρανσης αντιμετωπίζεται ακριβώς όπως η διαφορά θερμοκρασίας μεταξύ σιδηροδοκού και πλάκας

σκυροδέματος (παρ. 4.5, περίπτωση γ).

Η βράχυνση του σκυροδέματος εs λόγω συστολής ξήρανσης μπορεί να προερχόταν από αξονική δύναμη:

Ns = εs . Ec . Ac (4.91)


Λόγω της διατμητικής σύνδεσης πλάκας σκυροδέματος - σιδηροδοκού, εμποδίζεται η βράχυνση αυτή και

συνεπώς αναπτύσσεται μία εφελκυστική δύναμη στο σκυρόδεμα Ns και μία ίση θλιπτική δύναμη στη

σύμμικτη διατομή (Σχ. 4.26)

Σχήμα 4.26 ► Δυνάμεις στη σύμμικτη διατομή λόγω συστολής ξήρανσης


Η διαφορά μεταξύ συστολής ξήρανσης και διαφοράς θερμοκρασίας είναι ότι σε αντίθεση με την τελευταία

που θεωρείται ως βραχυχρόνια φόρτιση και υπολογίζεται με συντελεστή η0, η συστολή ξήρανσης

μεταβάλλεται με το χρόνο.

Έτσι για τον υπόψη χρόνο πρέπει να προσδιορίζονται το μέγεθος της και τα χαρακτηριστικά της διατομής με

βάση τους συντελεστές ηs της προηγούμενης παραγράφου.

Συνεπώς για τον προσδιορισμό των τάσεων ισχύουν οι σχέσεις (4.74) και (4.75) με αντικατάσταση της ΝΔι

από τη δύναμη συστολής ξήρανσης Ns και χρήση των συντελεστών ηs για προσδιορισμό των

χαρακτηριστικών της διατομής.

Η δύναμη λόγω συστολής ξήρανσης σε χρόνο t δίνεται με βάση την εξ. (4.91) από τη σχέση:

𝑵𝒔 = 𝜺𝒔 .𝜼𝟎

𝜼𝒔. 𝑬𝒄. 𝑨𝒄 (4.92)

η δε ροπή από τη σχέση: 𝑴𝒔 = 𝑵𝒔(𝒛𝒔 − 𝒛𝒄) (4.93)


όπου η θέση του κέντρου βάρους zs της ισοδύναμης διατομής υπολογίζεται μειώνοντας το εμβαδόν του

σκυροδέματος με τον συντελεστή ηs.

Οι προκαλούμενες τάσεις δίνονται από τις σχέσεις:

Ανω ίνα σκυροδέματος 𝝈𝒄𝒐,𝒔 =𝑵𝒔

𝑨𝒄−

𝑵𝒔

𝑨𝒆,𝒔.𝜼𝒔+

𝑴𝒔

𝑾𝒄𝒐,𝒔(4.94 α)

Κάτω ίνα σκυροδέματος 𝝈𝒄𝒖,𝒔=𝑵𝒔

𝑨𝒄−

𝑵𝒔

𝑨𝒆,𝒔.𝜼𝒔+

𝑴𝒔

𝑾𝒄𝒖,𝒔(4.94 β)

Άνω ίνα σιδηροδοκού 𝝈𝜶𝒐=𝑵𝒔

𝑨𝒆,𝒔.+

𝑴𝒔

𝑾𝜶𝒐,𝒔(4.94 γ)

Κάτω ίνα σιδηροδοκού 𝝈𝜶𝒖=𝑵𝒔

𝑨𝒆,𝒔.+

𝑴𝒔

𝑾𝜶𝒖,𝒔(4.94 δ)

Η ανωτέρω αυτεντατική κατάσταση συνιστά τις πρωτογενείς επιρροές της συστολής ξήρανσης, οι οποίες δεν

λαμβάνονται υπόψη στην οριακή κατάσταση αστοχίας αλλά μόνο στην οριακή κατάσταση λειτουργικότητας.

Στους ισοστατικούς φορείς αναπτύσσονται μόνο οι ως άνω πρωτογενείς επιρροές.

Συστολή ξήρανσηςΣε υπερστατικούς φορείς όμως παρεμποδίζονται οι ερπυστικές παραμορφώσεις και δημιουργείται

καταναγκασμός. Έτσι, κατ’ αναλογία με τον ερπυσμό, αναπτύσσονται δευτερογενείς επιρρδές, οι οποίες και

αυτές λαμβάνονται υπόψη μέσω διαφοράς θερμοκρασίας ως ακολούθως.

Υπό την επίδραση ροπής Ms, μεταβάλλεται η καμπυλότητα κατά:

𝚫𝒌𝒔 =𝑴𝒔

𝑬𝜶𝑰𝒆,𝒔(4.95)

Αν επιβαλλόταν γραμμική διαφορά θερμοκρασίας At μεταξύ άνω και κάτω πέλματος της διατομής, ύψους h,

θα προκαλείτο καμπυλότητα που δίνεται στην εξ. (4.87).

Με εξίσωση των καμπυλοτήτων, οι επιρροές της συστολής ξήρανσης υπολογίζονται κατά την καθολική

ανάλυση μέσω επιβολής ισοδύναμης διαφοράς θερμοκρασίας στις διαμήκεις σύμμικτες δοκούς (ψυχρότερη η

άνω ίνα και θερμότερη η κάτω): 𝚫𝑻𝒔 =𝑴𝒔

𝑬𝜶𝑰𝒆,𝒔.𝒉

𝜶𝒕(4.96)

Συστολή ξήρανσης - παράδειγμα

Παράδειγμα 4.11: Ζητείται η δύναμη και η ροπή λόγω συστολής ξήρανσης

αμφιέρειστης δοκού με διατομή του παραδείγματος 4.2 (Σχ. 4.11) στις 30.000 και στις 100 ημέρες

Το σύστημα είναι ισοστατικό, επομένως λαμβάνουν χώρα μόνο οι πρωτογενείς επιρροές της συστολής ξήρανσης.

Από το Παράδειγμα 4.9 βρέθηκε ηs = 12,4 και ηs = 9.7 για t = οο και 100 ημέρες αντιστοίχως.

Για χρόνο 30.000 ημέρες είναι: εs∞= 325-10-6

εξ. (4.92) Ν =-325.10-6𝟔,𝟔

𝟏𝟐,𝟒. 𝟑, 𝟐. 𝟏𝟎𝟑.2600= -1.439kN

εξ. (4.34α) 𝑨𝒆,𝒔 = 𝟖𝟒, 𝟓 +𝟐𝟔𝟎𝟎

𝟏𝟐,𝟒𝟐𝟗𝟒 𝒄𝒎𝟐

εξ. (4.35α ) 𝒛𝒔 =𝟖𝟒,𝟓.𝟒𝟎+𝟐𝟔𝟎𝟎. 𝟏𝟎 𝟏𝟐,𝟒

𝟐𝟗𝟒= 𝟏𝟖, 𝟔 𝒄𝒎

εξ. (4.93) Ms = 1439 (18,6-10) = 12.416 = 124 kNm

Συστολή ξήρανσης - παράδειγμα

Για χρόνο 100 ημέρες είναι:

εξ. (4.90) 𝜷𝒅𝒔 𝒕, 𝒕𝒔 =𝟏𝟎𝟎−𝟏

𝟏𝟎𝟎−𝟏+𝟎,𝟎𝟒. 𝟏𝟕𝟑,𝟑𝟑= 𝟎, 𝟓𝟐

εξ. (4.89) εs(100) = 0,52 · 325 · 10-6 = 169 · 10-6

Ν = -169 · 10-6 ·𝟔,𝟔

𝟗,𝟕. 3,2 · 103 · 2.600 = -956 kN

𝑨𝒆,𝒔 = 𝟖𝟒, 𝟓 +𝟐𝟔𝟎𝟎

𝟗,𝟕= 𝟑𝟓𝟑 𝒄𝒎𝟐 𝒛𝒔 =

𝟖𝟒,𝟓.𝟒𝟎+𝟐𝟔𝟎𝟎. 𝟏𝟎 𝟗,𝟕

𝟑𝟓𝟑= 𝟏𝟕, 𝟐 𝒄𝒎

Ms = 956 . (17,2 -10) = 6.883 kNcm = 68,8 kNm

Τα ως άνω εντατικά μεγέθη αποτελούν τις πρωτογενείς επιρροές της συστολής ξήρανσης και προκαλούν τάσεις

στη διατομή οι οποίες υπολογίζονται από τις εξ. (4.94).

ΤΕΜΝΟΥΣΕΣ m, q ΘΕΡΜΟΚΡΑΣΙΑΚΑ...Παράδειγμα 4.6.α: Να...

Documents