استاتیک (مکانیک برداری برای...
TRANSCRIPT
استاتیک(مکانیک برداری برای مهندسان)
احسان کریمی
1392
تعادل جسم صلبفصل سوم
1392کریمی 2
مقدمه
جایی یا برای یک جسم صلب در تعادل استاتیکی، نیروها و گشتاورهای خارجی در تعادل بوده و باعث هیچ گونه جاب.دورانی در جسم نمی شوند
00 FrMF O
ی خارجی، شرط الزم و کافی برای تعادل استاتیکی یک جسم این است که نیرو و گشتاور برآیند ناشی از همه نیروها.یک سیستم تعادلی صفر را تشکیل دهند
معادله منجر می شود که به عنوان معادالت شرایط 6تجزیه هر کدام از نیروها و گشتاورها به مولفه های متعامد اش، به .تعادل استاتیکی به آنها اطالق می شود
000
000
zyx
zyx
MMM
FFF
دیاگرام آزاد
محدوده دیاگرام آزاد جسم را انتخاب کرده و آنرا از زمین و از همه قسمت های دیگر جدا -1.کنید
.نقطه اثر، بزرگی و جهت همه نیروهای خارجی از جمله وزن جسم را نشان دهید-2
.نقطه اثر و جهت فرضی نیروهای نامعلوم را نشان دهید-3این نیروها عموماً شامل نیروهای عکس العمل اجسام دیگر و زمین هستند که در خالف جهت
.حرکت احتمالی جسم قرار دارند
.ابعاد الزم برای محاسبه گشتاور نیروها را هم قرار دهید-4
ستم در حل مسائل مکانیک الزم است که نیروهای وارد بر جزء به جزء اجزای تشکیل دهنده سیه جزء برای این کار از دیاگرام آزاد که نمایشگر نیروهای وارد بر جزء ب. مکانیکی مشخص شوند
.اجزای تشکیل دهنده سیستم مکانیکی است استفاده می کنند
بعدیسازه های دو نیروهای عکس العملی در تکیه گاهها و اتصاالت برای
نیروهای عکس العملی معادل با یک نیرو با خط اثر معلوم
بعدیسازه های دو نیروهای عکس العملی در تکیه گاهها و اتصاالت برای
علومنیروهای عکس العملی معادل با یک نیرو با خط اثر و بزرگی نا م
علوم و نیروهای عکس العملی معادل با یک نیرو با خط اثر و بزرگی نا میک کوپل با بزرگی نامعلوم
تعادل یک جسم صلب در دو بعد
Ozyxz MMMMF 00
:برای همه نیروها و گشتاورهای موثر بر یک سازه دو بعدی داریم
000 Ayx MFF
:معادالت تعادل به صورت
.هر نقطه در صفحه سازه می تواند باشدAکه در آن
.مجهول می توان استفاده کرد3سه معادله را برای حداکثر
000 BAx MMF
.ن کرداما میتوان با آنها جایگزی. معادله دیگری را نمی توان به این سه معادله افزود
با . نیز معلومندSو P،Qنیروهای . ابعاد معلوم هستند. از وزن سازه صرف نظر کرده ایم.توجه به اینکه سازه را دو بعدی فرض کرده ایم، بنابراین سه معادله تعادل داریم
عکس العمل های نامعین استاتیکی
.ندمجهوالت بیشتر از معادالت هست .مجهوالت کمتر از معادالت هستند(نا پایدار)مقید ناقص
. دتعداد مجهوالت و معادالت برابر هستن.اما قید بندی سازه نا صحیح است
:مراحل حل مسالهمثال
کیلوگرم برای1000یک جرثقیل ثابت با وزن کیلوگرم 2400بلند کردن یک جعبه به وزن
.مورد استفاده قرار گرفته استو یک غلتک Aاین جرثقیل با یک پین در
مرکز ثقل . نگه داشته شده استBدر .قرار داردGجرثقیل در نقطه
را Bو Aمجموعه نیروهای عکس العملی در .تعیین کنید
.یک دیاگرام آزاد برای جرثقیل رسم کنید•توجه کنید که عکس العمل . را بدست آوریدBعکس العمل نقطع Aبا گشتاورگیری حول نقطه •
.هیچ شرکتی در این معادله ندارندAهای تکیه گاه از شرط جمع نیروها در دو راستای افقی و عمودی Aبرای تعیین عکس العمل های تکیه گاه •
.استفاده کنیدبایستی جمع گشتاور . کنترل کنیدBصحت مقادیر بدست آمده را با گشتاور گیری حول نقطه •
.برابر با صفر باشدBهمه نیروها حول
حل
0m6kN5.23
m2kN81.9m5.1:0
BM A
kN1.107B
0:0 BAF xx kN1.107xA
0kN5.23kN81.9:0 yy AF kN 3.33yA
:مراحل حل مسالهمثال
مسیریکرویبربارکشچرخیککلوزن.استگرفتهقرارشیبدار
کهباشدمی25kNمجموعاًباروچرخدرچرخاین.کندمیاثرGنقطهبر
ارقرکابلیکبوسیلهخودموقعیت.استگرفته
وکابلدرکششتعیینمطلوبست.هاچرخازجفتهرالعملعکس
شیبدار یک دیاگرام آزاد برای چرخ رسم کنید به شکلی که سیستم مختصات هم راستا با مسیر•.قرار گیرد
.یدبا گشتاور گیری نیروها حول نقاط باالی هر محور، نیروهای عکس العمل چرخ ها را حساب کن•.با جمع مولفه های نیروها در راستای موازی مسیر، نیروی کشش کابل را بدست آورید•ست آمده صحت مقادیر بد، (که باید برابر با صفر باشد)با جمع مولفه های نیروهای عمود بر مسیر •
.کنترل کنیدرا
حل
kN 0.51– 25sinkN 25
kN 65.2225coskN 25
y
x
W
W
0mm 1250
mm 150kN 65.22–mm625kN5.10–:0
2
R
M A
kN 82 R
0mm0125–
mm150kN 65.22–mm625kN 5.10:0
1
R
M B
kN 50.21 R
0–kN 65.22:0 TFx
kN 65.22T
:مراحل حل مسالهمثال
یکسقفازقسمتیشدهدادهنشانقابدرکشش.داردمینگهراکوچکساختمان
.است150kNکابلراEثابتانتهایدرالعملعکسنیروهای
.بیابیدحل
.یک دیاگرام آزاد برای قاب و کابل رسم کنید•.حل کنیدEسه معادله تعادل را برای مولفه های نیروی عکس العمل و کوپل در •
0kN1505.7
5.4:0 xx EF kN 0.90xE
0kN1505.7
6kN204:0 yy EF kN 200yE
:0EM
0m5.4kN1505.7
6
m8.1kN20m6.3kN20
m4.5kN20m7.2kN20
EM
mkN0.180 EM
تعادل اجسام دو نیرویی
بایدزیرشرطدواست،گرفتهقرار𝑭𝟐و𝑭𝟏نیرویدواثرتحتکهروبروشکلمانندجسمیکتعادلبرای:باشندبرقرار
𝐹 = 0 𝑀 = 0
نیرویاثراینکهبرای.نداردگشتاوردرتاثیریپسگذرد،میAاز𝑭𝟏نیروی:Aنقطهحولگیریگشتاور𝑭𝟐ازهمنیرواینراستایبایدشودصفرنیزAکندعبور.
.باشدمیAنقطههمانندشرایطنیزBنقطهحولگیریگشتاوردر
𝑴 :یعنیدورانیتعادلشرایطبرقراریبرای = 𝟎.باید دو نیرو در یک امتداد باشند
𝑭 :یعنیانتقالیتعادلشرایطبرقراریبرای = 𝟎 ⟶ 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = 𝟎دو نیرو می بایست مساوی و مختلف الجهت باشند
.باشندبرای تعادل کامل جسم دو نیرویی دو نیرو باید مساوی، مختلف الجهت و در یک راستا: نتیجه
تعادل اجسام سه نیرویی
.کنیممیوصل𝑭𝟑اثرنقطهبهDاز.کنندقطعDنقطهدررایکدیگرتادهیممیامتدادرا𝑭𝟐و𝑭𝟏برداردو
𝑀𝐷 = 𝑟 × 𝐹3 = 0 تعادل دورانی
.سه نیرو میبایست متقارب باشند
𝐹 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 = 0 یانتقالتعادل
:برای تعادل کامل جسم سه نیرویی می بایست: نتیجه.سه نیرو متقارب بوده و همچنین شرط تعادل انتقالی نیز برقرار باشد
:مراحل حل مسالهمثالمتر4طولبهکیلوگرمی10تیرکیکمردی
.کندمیبلندطنابکشیدنبارا.بیابیدراAدرالعملعکسوطنابکشش
حل
که این . توجه کنید که تیرک یک جسم سه نیرویی است. یک دیاگرام آزاد برای تیرک رسم کنید•.بر جسم اثر می کنندAسه نیرو بوسیله طناب، وزن تیرک و عکس العمل نقطه
باید از محل Rبنابراین عکس العمل. بنا به شرط تعادل استاتیکی این سه نیرو باید متقارب باشند•را Rراستا و جهت نیروی عکس العمل. تقاطع راستای اثر دو نیروی طناب و وزن تیرک عبور کند
.بیابید.استفاده کنیدRاز مثلث نیروها برای تعیین بزرگی نیروی عکس العمل •
636.1414.1
313.2tan
m 2.313m 515.0828.2
m 515.020tanm 414.1)2045cot(
m 414.1
m828.245cosm445cos
21
AE
CE
BDBFCE
CDBD
AFAECD
ABAF
6.58
38.6sin
N 1.98
110sin4.31sin
RT
N 8.147
N9.81
R
T
مثالهمولفشکلدرشدهدادهنشانخرپایبرایراBوAهایگاهتکیهدرالعملعکسهای
.بیابید
حل
2𝑚2𝑘𝑁
2𝑘𝑁
1.5𝑚
1.5𝑚
𝐴 𝐵
2𝑚2𝑘𝑁
2𝑘𝑁
1.5𝑚
1.5𝑚
𝐴 𝐵
𝐴𝑦
𝐴𝑥
𝐵𝑦
𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝑥 + 2 + 2 = 0
𝐴𝑥 = −4𝑘𝑁
استجهتیمخالفآنجهتکهدهدمینشانمنفیعالمت.ایمکردهفرضماکه
𝑀𝐴 = 0 → 2𝐵𝑦 − 2 × 3 − 2 1.5 = 0
𝐵𝑦 = 4.5𝑘𝑁
𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 = −𝐵𝑦
𝐴𝑦 = −4.5𝑘𝑁
.تندهسمعینالعملهایشعکساستاتیکیلحاظازساختاراین
مثالعکسشکلدرشدهدادهنشانتیربرای
.بیابیدراAگاهتکیههایالعمل
حل
𝐴 𝐵
2000𝑁
3000𝑁.𝑚
3𝑚 2𝑚
𝐴 𝐵
2000𝑁
3000𝑁.𝑚
3𝑚 2𝑚
𝐴𝑥
𝐴𝑦
𝑥
𝑦
𝐹𝑥 = 0 → 𝐴𝑥 = 0
𝐹𝑦 = 0 → 𝐴𝑦 − 2000 = 0 → 𝐴𝑦 = 2000𝑁
𝑀𝐴 = 0 → 2000 × 5 − 3000 + 𝑀 = 0 𝑀 = −7000𝑁.𝑚
تاسبودهنادرستبودیمکردهانتخابماکهاولیهجهتکهدهدمینشانمنفیعالمت(بودهبرعکس)
تعادل جسم صلب در سه بعد
00 FrMF O
000
000
zyx
zyx
MMM
FFF
:تبرای بیان شرایط تعادل یک جسم صلب در سه بعد در حالت کلی نیاز به شش معادله اس
مجهول که معموالً عکس العمل های تکیه گاهی یا نیروی اتصاالت 6این معادالت برای حداکثر .هستند، می توانند استفاده شوند
دست این معادالت اسکالر به راحتی با اعمال شکل برداری آنها برای شرایط تعادل می توانند ب.آیند
سازه های سه بعدینیروهای عکس العملی در تکیه گاهها و اتصاالت برای
:مراحل حل مسالهمثالوزن1200Nهمگنچگالیباتابلویکهکاسوگویاتصالیکبوسیلهودارد
شدهداشتهنگهکابلعدددووAدرای.است
Aدرالعملعکسوطنابهردرکشش.بیابیدرا
حل
. یک دیاگرام آزاد برای تابلو رسم کنید•.شرایط تعادل استاتیکی را اعمال کنید تا عکس العمل های نامعلوم بدست آیند•
دورانXمحورحولتواندمیتابلو.استناقصگذاریقیدوداردوجودتابلودرمجهولنیروی5تنها.باشدداشته
.استتعادلحالدرمساله،ایندرشدهدادهنشانهایبارگذاریباحالاینبااما
kjiT
kjiT
rr
rrTT
BD
BD
BD
BDBDBD
32
31
32
12
848
kjiT
kjiT
rr
rrTT
EC
EC
EC
ECECEC
72
73
76
7
236
0mN144077.08.0:
0514.06.1:
0N 1200m .21
0:
0N 1200:
0:
0N 1200
72
32
73
31
76
32
ECBD
ECBD
ECEBDBA
ECBDz
ECBDy
ECBDx
ECBD
TTk
TTj
jiTrTrM
TTAk
TTAj
TTAi
jTTAF
kjiA
TT ECBD
N 100.1N 448.9N 1502.1
N 1402N 6.450
:کنیممیحلمجهول5برایرامعادله5