theory of elasticity - uut · هچخیرات اهتنا زکرمتم راب تحت هرط ریت...

تئوری الاستیسیتهشافعیعرفان دکتر

سازه، گروه مهندسی عمراندانشکده

2

سرفصل مطالب

o ریاضیمقدمه و مبانیoو تعادلتنشo هاکرنشتغییرشکل ها و oشروابط تنش و کرنo تحلیلو روش فرمول بندیoمسائل دوبعدیo قطبیمسائل مختصات

3

منابع و مراجع

تئوری الاستیسیته، مارتین هوارد ساد، ترجمه علی اصغر عطائی. 1

محمود . “و الاس ت ی س ی ت ه ک ارب ردیپ ی ش رف ت ه مصالح م ق اوم ت ”شاکری 2

وای فاه. “ار مصالحتئوری الاستیسیته و مدل سازی رفت”ترجمه محمود یحیاییچن، 3

محمدمهدی . “م ب ان ی ت ئ وری الاس ت ی س ی ت ه ”سعادت پور 4

محمد . “تئوری ارتجاعی”رحیمیان 5

نمره پروژه4+ میان ترم نمره 6+ نمره امتحان پایان ترم 10= نمره نهایی

4

مقدمه

5

مقدمه

:مکانیک جامدات.به بررسی تغییرشکل های ناشی از دسته نیروهای وارده بر جامد می پردازد

:جامدزمانی ر بازهدبه مایعنسبت نیروی برشی بیشتری به ماده ای اطلاق می شود که بتواند

.تحمل کندفرآیند طبیعی یک

:الاستیسیتهرشکل های شاخه ای از مکانیک جامدات بوده که به تعیین توزیع تنش ها، کرنش ها و تغیی

.تحت اثر نیروهای وارده می پردازد( ارتجاعی)یک جسم جامد الاستیک

6

مقدمه

الاستیک

F

D

کاملاً الاستیک

F

D

7

تاریخچه

.Galileo آزمایش خمش تیر طره تحت بار متمرکز انتها-1

.Newton اصل تعادل و قوانین سه گانه مکانیک-2

.Hooke ارتباط کشش با نرخ ازدیاد طول، پایه گذاری الاستیسیته خطی-3

.Bernoulli (قانون هوک)رابطه تنش و کرنش -4

.Navier (f، نیرو C، نرمی uتغییرشکل )لاستیک اتعادل و حرکت جامدات -5

.Poisson (ضریب پواسون)ارتباط تغییرشکل طولی و عرضی -6

.Cauchy یتهبیان تنش و کرنش در فضای سه بعدی، تعمیم قانون هوک، تنسور الاستیس-7

KF

0,,00 iFdt

dvmFdtdvF

0)2( ,

2 ikiki fuuC

ij

E

8

تاریخچه

.Saint 8-Venant-اصل سن ونان، خمش تیر، پیچش میله منشوری با مقطع غیردایره ای

.Kirchhoff تئوری خمش صفحات و پوسته ها-9

.Timoshenko تیر روی بستر الاستیک، تیر تیموشنکو، ارتعاشات الاستیک-10

.Von Karman تغییرشکل های بزرگ، پایداری و کمانش-11

.Rice (رشد ترک)مکانیک شکست -12

.Clough عددی مسائل الاستیسیتهو تحلیل گسسته سازی–13

.Zienkiewicz روش اجزای محدود-14

9

کاربرد

محاسبات سازه ها

شکل بال هواپیما ICتخمین پیوستگی مدار

10

فرضیات پایه

(Continuum)پیوسته

.محیط جسم یک پارچه و فاقد تخلخل باشد

(Homogenous)همگن

.خواص مکانیکی در تمامی نقاط یکسان باشد

(Isotropic)ایزوتروپ

.خواص مکانیکی در تمامی امتدادها یکسان باشد

(Perfectly Elastic)کاملاً الاستیک

.رابطه تنش و کرنش خطی باقی بماند

(Small Deformations)تغییرشکل های کوچک

.اثر تغییرشکل جسم روی توزیع نیروها قابل اغماض باشد

F

K

11

مبانی ریاضی و تحلیلیفصل اول

12

مبانی ریاضی

اسکالر و بردار. 1

نماد اندیسی و قانون جمع. 2

تبدیل مختصات. 3

تنسورها. 4

نماد . دلتای کرونکر5

ضرب . اسکالر، ضرب برداری و ضرب سه گانه6

میدان های . اسکالر و برداری7

13

(vector)و بردار (scalar)اسکالر

:اسکالر.کمیتی که اندازه داشته ولی جهت ندارد

:از جمله اسکالرهادانسیته جرمی. 1

مدول الاستیسیته . (ارتجاعی)2

ضریب پواسون. 3

مدول برشی. 4

:بردار.کمیتی که اندازه و جهت دارد

:از جمله بردارهابردار تغییرمکان. 1

بردار نیرو. 2321

321

eeeF

eeeu

321

321

FFF

uuu

G

E

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

σ

؟=ماتریس تنش

14

(indicial notation)نماد اندیسی

e2

P

y

e1e3

xO

a

z

دستگاه مختصات کارتزین

e1, e2, e3بردارهای یکه

3 ,2 ,1هرکدام دارای مقادیر i, j, kاندیس های

3

2

1

33221

a

a

a

a

aaa

ia

eeea 1

15

(summation convention)قانون جمع

:قاعدهداد اگر اندیسی در یک عبارت دو بار ظاهر شود آنگاه عمل جمع روی آن اندیس به تع

.انجام می شود( سه در مختصات سه بعدی)شمارنده اندیس

332211

3

1

aaaaai

iiii

332211

3

1

bababababa iii

j

jijjij

333323321331

322322221221

3113211211113

1

3

1xxaxxaxxa

xxaxxaxxa

xxaxxaxxa

xxaxxai j

jiijjiij

3

2

1

333231

232221

131211

b

b

b

b

aaa

aaa

aaa

a

i

ij

16

(coordinate transformation)تبدیل مختصات

),cos( ji eeijQ

Qij کسینوس زاویه بین بردارهای یکهej وe'i

e2

y

e1e3

x

z

3332321313

3232221212

3132121111

eeee

eeee

eeee

QQQ

QQQ

QQQ

ijijjiji

jiji

QQ

Q

eeee

ee

17


e2

y

e1e3

x

z

v

332211 eeev vvv vبردار فرضی

332211 eeev vvv

jijijiji vQvvQv ,

100

010

001

0

1

ki

kiQQ ikjkij

ماتریس دوران

(ماتریس واحد)δijنماد دلتای کرونکر

kjkijjiji vQQvQv

v' بیان جدید بردارv

TQQ 1

18


(:1)مثال ت مطلوب اس. در دستگاه کارتزین ذیل مفروض استaبردار

ندازه مؤلفه های این بردار در دستگاه مختصات جدیدی که به ا.دوران یافته استzدرجه حول محور 60زاویه

تشکیل ماتریس دوران: حل

y

x

z

z'

x'

y'

3

100

02123

02321

)0cos()2

cos()2

cos(

)2

cos()3

cos()6

5cos(

)2

cos()6

cos()3

cos(

Q

a

2

4

1

a

19


(:1)ادامه حل مثال 'aمحاسبه بردار تبدیل یافته

:نکته:ت ازماتریس باشد آنگاه تبدیل عبارت اسaاگر

2

232

3221

2

4

1

100

02123

02321

a

T

jqpqippqjqipij QaQaQQa

100

02123

02321

423

220

301

100

02123

02321

423

220

301

aa

20

(tensors)تنسورها

aa (اسکالر)تنسور مرتبه صفر (بردار)تنسور مرتبه اول

pipi aQa

pqjqipij aQQa (ماتریس)تنسور مرتبه دوم

تنسور با مرتبه کلیtpqrmtkrjqipmijk aQQQQa ...... ...

تنسور مرتبه سومpqrkrjqipijk aQQQa

تنسور مرتبه چهارمpqrslskrjqipijkl aQQQQa

21


i

i

eeee

eeeev

i

i

vvvv

vvvv

332211

332211

تفاوت بین مؤلفه های تنسور و خود تنسور

jiij

jiij

A

A

AAA

AAA

AAAA

ee

ee

eeeeee

eeeeee

eeeeee

333323321331

322322221221

311321121111

مؤلفه ها

بردارهای یکه دستگاه مختصات

22


.باشندبا هم برابرند زمانی که مؤلفه های نظیر یکدیگر با هم برابرbو aدو تنسور •

ijij ba

.جمع و تفریق دو تنسور هم مرتبه خود تنسوری با همان مرتبه است•

ijijij bac

.ضرب یک تنسور در یک اسکالر خود تنسوری با همان مرتبه است•

ijij ac

.تنسوری با مرتبه سه استbو تنسور مرتبه دو aمرتبه یک ضرب تنسور •

jkiijk bac

23

Kronecker)نماد دلتای کرونکر delta symbol)

100

010

001

0

1

ji

jiij

jiij

مؤلفه ها

تقارن

3332211 iiجمع

jiijijij aaaa , ضرب در تنسور مرتبه یک

ijikjkikjkij aaaa ,

3, ijijiiijij aa

ضرب در تنسور مرتبه دو

24

بردارهاضرب

iibabababa 332211ba

ab

babababa

ab ba

)cos(),cos(

a

b

ba

ab

321

321

321

bbb

aaa

eee

ba

(scalar product)ضرب اسکالر

(vector product)ضرب برداری

(triple product)ضرب سه گانه

321

321

321

ccc

bbb

aaa

cba

25

(vector field)و میدان برداری (scalar field)میدان اسکالر

),,( 321 xxx

بردار گرادیان میدان

3

3

2

2

1

1

eeeGxxxx

Gi

i

تابع میدان

3

3

2

2

1

1

eeexxx

(گرادیان)عملگر دل

i

i

x

v

x

v

x

v

x

vdiv

3

3

2

2

1

1)(vv (ضرب نقطه ای دل در بردار)دیورژانس

321

321

321

)(

vvv

xxxcurl

eee

vv (ضرب خارجی دل در بردار)کرل

26

تنش و تعادلفصل دوم

27

(equilibrium)تعادل و (stress)تنش

نیروهای حجمی و نیروی سطحی. 1

بردار تنش. 2

تنسور تنش. 3

حالت تنش در یک نقطه. 4

معادلات . تعادل5

تنش های صفحات اصلی. 6

تنش های . (هشت وجهی)اکتاهدرال صفحات 7

تنسور تنش متوسط و انحرافی. 8

28

(external loadings)بارهای خارجی

نیروهای حجمی . 1(body forces)

e1e3

e2

y

x

z

321

0lim

eeef

ff

zyx

V

fff

V

f

V3ef gg

29

(external loadings)بارهای خارجی

نیروهای سطحی . 2(surface tractions)

321

0lim

eeet

tt

zyx

S

ttt

S

t

S

e1e3

e2

y

x

z

30

(stress vector)بردار تنش

e1e3

e2

y

x

z

AAA AAA

τσpp

000limlimlim

p

A

p

A

(نرمال)تنش عمودی

(برشی)تنش مماسی

بردار تنش داخلی τσp

332211 eeeσ

332211 eeeτ

nσ

tτ

n

σ

t

τ

31

(stress tensor)تنسور تنش

تنسور تنش در یک نقطه

e1e3

e2

y

x

z

xxσ

yxτ

zxτ

e1e3

e2

y

x

z

e1e3

e2

y

x

z

yyσ

xyτ

zyτzzσ

yzτ

xzτ

xتنش در صفحه با نرمال yتنش در صفحه با نرمال zتنش در صفحه با نرمال

32

(stress tensor)تنسور تنش

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

σ

x

y

z

نماد تنسور تنش. 1

قرارداد مؤلفه های مثبت. 2

ارتباط بردار تنش و تنسور تنش؟. 3

s yy

s xx

s zz

zy

yx

zx

xy

xz

yz ipp

ijσ

33

x

y

z

s xx

zx

yx

xpyp

zp

p

(stress state at a point)حالت تنش در یک نقطه

المان هرمی شکل در فضای مختصات . کارتزین1

بردار تنش . 2p مایل روی سطح( بردار نرمالn)

تعادل نیرو در جهت محور . 3x

0 dhA3

1fAAAApF nxzzxyyxxxxnxx

dzA3

1dyA

3

1dxA

3

1dhA

3

1zyxn حجم هرم

dx

dy

dz

n

34

n

znz

n

y

ny

n

xnx

A

Aznl

A

Aynl

A

Axnl ),cos(,),cos(,),cos(


nبردار عمود هادیکسینوس های

dhflllp xnzzxnyyxnxxxx3

1

dhflllp

dhflllp

dhflllp

znzzznyyznxxzz

ynzzynyyynxxyy

xnzzxnyyxnxxxx

3

1

3

1

3

1

یک با داشتن مقادیر تنش در سه صفحه متعامد در

در نقطه می توان مقادیر تنش را در هر صفحه مایلی.آن نقطه محاسبه کرد

35

222

zyx pppp


(نرمال)اندازه تنش عمودی

pاندازه بردار تنش

nzznyynxx lplplp

22 p (برشی)اندازه تنش مماسی

aبردار تنش در سطحی با بردار نرمال مطلوب است . استمفروض σتنسور تنش : مثال

436.0

873.0

218.0

,

423

220

301

aσ

603.2

425.4

134.5

144.4

618.2

526.1

p

aσp

36

(stress transformation)تبدیل تنش

zxzzyxyzxxxz

x

z

zxzyyxyyxxxy

x

y

zxzxyxyxxxxx

x

x

lllp

lllp

lllp

x

y

z

dx

dy

dz

x

z

y

و 'xسطح مایل با نرمال 'zو 'yمحورهای مماسی

zz

x

zyz

x

yxz

x

xxz

zy

x

zyy

x

yxy

x

xxy

zx

x

zyx

x

yxx

x

xxx

lplplp

lplplp

lplplp

مؤلفه های بردار تنش روی سطح

تصویر مؤلفه ها روی محورهای جدید

37

'zو 'yبه همین منوال مؤلفه های تنش بر روی صفحات دارای نرمال های

.تصویر می شود'zو 'yو 'xنیز محاسبه شده و بر روی امتدادهای

(stress transformation)تبدیل تنش

ijljkikl ll دیگر رابطه اندیسی تبدیل تنسور تنش از مختصاتی به مختصات

QσQσQσQσفرم ماتریسی تبدیل تنسور تنش TT

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

lll

lll

lll

lll

lll

lll

38

(equilibrium equations)معادلات تعادل

dx

dy

dz

z

x

y

xf

xدر جهت محور نیروی المان تعادل

dxx

xxxx

s xx

yx

dyy

yx

yx

zx

dzz

zxzx

39

0)(

)()(

dxdydzfdxdydzz

dxdzdyy

dydzdxx

xzxzx

zx

yx

yx

yxxxxx

xx


0

0

0

zzzyzxz

y

zyyyxy

xzxyxxx

fzyx

fzyx

fzyx

شرط تعادل تنش های داخلی المان

40


zلنگر المان حول محور تعادل

dx

dy

dz

z

x

y

xf

yx

dyy

yx

yx

dxx

xy

xy

xy

22

2)(

2

2)(

2

dx

x

dy

y

dxdydzdx

x

dxdydz

dydxdzdy

y

dydxdz

xy

xy

yx

yx

xy

xyxy

yx

yxyx

با فرض میل ابعاد المان به سمت صفر

xzzxzyyzxyyx ,,

41

(principal stresses)تنش های صفحات اصلی

x

y

z

المان هرمی شکل در فضای مختصات کارتزین. 1

بردار تنش هم راستای بردار نرمال . 2n با اندازهσn

تنش برشی سطح صفر است. 3.

nzzznyyznxxzz

nzzynyyynxxyy

nzzxnyyxnxxxx

nznz

nyny

nxnx

lllp

lllp

lllp

lp

lp

lp

,

dx

dy

dz

n

xpyp

zp

n

42


0

0)(

0)(

0)(

nzzyzxz

zynyyxy

zxyxnxx

nznzznyyznxxz

nzzynynyynxxy

nzzxnyyxnxnxx

lll

lll

lll

.دترمینان ماتریس ضرایب بایستی صفر گردد

0)2(

)()(

222

22223

xzyzxyxyzzxzyyyzxxzzyyxx

nxzyzxyzzxxzzyyyyxxnzzyyxxn

zyxzyxzyx lllllllll 333322221111 ,,,,,,,,

و بردارهای ویژه امتدادهای اصلی( تنش های اصلی)مقادیر ویژه تنسور تنش

0)( ijnijjijnjij nn

43

.تنش های اصلی و امتدادهای اصلی آنمطلوب است . استمفروض σتنسور تنش : مثال

81.1539.085.3

39.081.1585.3

85.385.322.113

σ

12.152.1652.11306.2780218.380084.144

0

81.1539.085.3

39.081.1585.3

85.385.322.113

23


x

y

z

22.113

85.3

81.15

39.0

85.3

81.15

حل مسئله

44

تعیین امتدادهای تنش های اصلی

0

81.1539.085.3

39.081.1585.3

85.385.322.113

c

b

a

n

n

n

n

nnσ


0.04-0.04-0.99840c 97.71b 0.39 3.85

0c 0.3997.71b 3.85

0.1

52.1131

1

n

a

0.7071-0.70710.00c 0.39a 3.85 0.39

0c 3.85a 97.02- 3.85

0.1

2.162

1

n

b

0.7060.7060.0550b 0.69-a 3.85 0.39

0b 3.85a 98.1- 3.85

0.1

12.153

3

n

c

45


0.7060.7060.055

0.7071-0.70710.0

0.04-0.04-0.9984

Q

12.1500

02.160

0052.113

σQσQT

کنترل صحت تحلیل

81.1539.085.3

39.081.1585.3

85.385.322.113

σQσQT

1n

2n

3n

تبدیل به حالت اصلی

تبدیل به حالت اولیه

46


تنشتنسور (invariants)نامتغیرهای 032

2

1

3 III nnn

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

xxxz

zxzz

zzzy

yzyy

yyxy

yxxx

zzyyxx

II

I

32

1

,

)(

32133132212

3211

,

II

I

نامتغیرها در مختصات اصلی

47

(maximum shear stresses)تنش های برشی حداکثر

22

33

2

22

2

11

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

22

33

2

22

2

11

2

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

333

222

111

nnnnnnn

nnnn

nnnn

n

n

n

llllll

lll

lllp

lp

lp

lp

نسبت به مختصات اصلیnبردار تنش در روی صفحه با نرمال

23

2

232

2

131

2

3

2

2

2

3

2

2

2

1

2

3

2

1

2

2

2

2

1

2

3

2

3

2

2

2

1

)()()()(

10.1

nnnnn

nnnnnn

llll

llllll

.تغییرات آن نسبت به کسینوس های هادی صفحه صفر شود: تنش برشی حداکثر

48

(maximum shear stresses)تنش های برشی حداکثر

21210

21210

0.10

0)()()(2

1

0)()()(2

1

312

321

321

2

232

2

131322

2

2

2

232

2

131311

1

2

nnn

nnn

nnn

nnn

n

n

nnn

n

n

lll

lll

lll

llll

llll

کسینوس های هادی صفحات دارای تنش های برشی حداکثر

ln1 0 0 ±1.0 0 ±1/√2 ±1/√2

ln2 0 ±1.0 0 ±1/√2 0 ±1/√2

ln3 ±1.0 0 0 ±1/√2 ±1/√2 0

49

(octahedral plane stresses)تنش های صفحات اکتاهدرال

شده و این صفحات در دستگاه مختصات اصلی بیاننرمال هر سطح با تمامی. در هشت ناحیه قرار دارند

.محورها زوایای یکسان می سازد

2

2

1

2

31

2

32

2

21

1321

321

623

1

)()()(3

1

3

1)(

3

1

31

II

I

lll

oct

oct

octoctoct

50

(mean and deviator stress tensors)تنسور تنش متوسط و انحرافی

تجزیه تنشور تنش به دو بخش متوسط و انحرافی

)(3

1,

00

00

00

zzyyxxm

mzzyzxz

zymyyxy

zxyxmxx

m

m

m

ijijmij S

33

13

22

12

11

27

33

3

m

m

m

m

m

m

II

II

II

(هیدرواستاتیک)نامتغیرهای تنسور تنش متوسط

نامتغیرهای تنسور تنش انحرافی

2723

3

0

3

12133

2

122

1

IIIII

III

I

d

d

d

51

(Mohr’s circle)دایره موهر

0.1

)(

2

3

2

2

2

1

22

33

2

22

2

11

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

22

33

2

22

2

11

2

nnn

nnnnnnn

nnnn

lll

llllll

lll

مؤلفه های عمودی و برشی بردار تنش روی صفحه مایلدر دستگاه مختصات اصلی

0))((

0))((

0))((

0))((

))((

0))((

))((

0))((

))((

21

2

31

2

32

2

2313

21

22

3

1232

31

22

2

3121

32

22

1

321

nnn

nnn

nnn

nnnn

nnnn

nnnn

l

l

l

52


2

21

2212

2

13

2312

2

32

2322

)(2

1)

2(

)(2

1)

2(

)(2

1)

2(

nn

nn

nn

نشبیان ترسیمی نامساوی های ت

53

تغییرمکان ها و کرنش هافصل سوم

54

(strains)و کرنش ها (displacements)تغییرمکان ها

تغییرشکل های کلی. 1

توصیف هندسی تغییرشکل. 2

تنسور کرنش و تبدیل مختصات. 3

کرنش در صفحات اصلی. 4

نامتغیرهای تنسور کرنش. 5

سازگاری کرنش ها . (معادلات سن ونان)6

55

(general deformations)تغییرشکل های کلی

.تغییرمکان های یک نقطه به صورت توابعی از مختصات مربوطه می باشند

:تغییرمکان یک نقطه تشکیل می شود ازانتقال و دوران جسم صلب. 1

تغییرشکل کرنشی. 2

.در انتقال و دوران جسم صلب فاصله دو نقطه از یک جسم ثابت باقی می ماندی نقاط آن یک جسم الاستیک زمانی دچار تغییرشکل کرنشی می شود که فاصله نسب

. تغییر یابد

),,(

),,(

),,(

32

zyxww

zyxvv

zyxuu

wvu

eeeu 1

56

e1e3

e2

y

x

z

PQ

PQ

wz

vy

ux

P

z

y

x

P


wwzz

vvyy

uuxx

Q

zz

yy

xx

Q

'Pبه Pانتقال نقطه

'Qبه Qانتقال نقطه

...

...

...

zz

wy

y

wx

x

ww

zz

vy

y

vx

x

vv

zz

uy

y

ux

x

uu

.کرنش ها مقادیر کوچکی دارند(تغییرات مرتبه دوم قابل صرفنظر است)

کرنش ها مقادیر پیوسته دارند(توابع تغییرمکان مشتق پذیرند)

rz

ry

rx

rl

rl

rl

PQ r

57


zwywxw

zvyvxv

zuyuxu

ux

uji

j

i,

(دپلاسمان)گرادیان تغییرمکان

iiijjii rrrrur ,

2

2

22

)(

)(

)()(

zz

wy

y

wx

x

wz

zz

vy

y

vx

x

vy

zz

uy

y

ux

x

uxrr

2

2

2

2

)1(

)1(

)1()1(

z

wl

y

wl

x

wl

z

vl

y

vl

x

vl

z

ul

y

ul

x

ul

rzryrx

rzryrx

rzryrx

'Qو 'Pبین دو نقطه ( کرنش)تغییر طول نسبی

58


)()()(

1

222

222

y

w

z

vll

x

w

z

ull

x

v

y

ull

z

wl

y

vl

x

ul

lll

rzryrzrxryrxrzryrx

rzryrx

)(2

1

2,)(

2

1

2,)(

2

1

2

,,

y

w

z

v

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

yz

yzxz

xz

xy

xy

zzyyxx

yzrzryxzrzrxxyryrxzzrzyyryxxrx lllllllll 222222

. نظر کرداگر مقادیر تغییرشکل ها کوچک فرض شوند آنگاه می توان از توان های بالاتر مشتق صرف

rکرنش در امتداد

59


222

222

222

)()()(2

1

)()()(2

1

)()()(2

1

z

w

z

v

z

u

z

w

y

w

y

v

y

u

y

v

x

w

x

v

x

u

x

u

zz

yy

xx

.ته می شوداگر مقادیر تغییرشکل ها بزرگ فرض شوند آنگاه صورت کلی کرنش به صورت ذیل نوش

z

w

y

w

z

v

y

v

z

u

y

u

y

w

z

v

z

w

x

w

z

v

x

v

z

u

x

u

x

w

z

u

y

w

x

w

y

v

x

v

y

u

x

u

x

v

y

u

yz

xz

xy

2

1)(

2

1

2

1)(

2

1

2

1)(

2

1

yzrzryxzrzrxxyryrxzzrzyyryxxrx lllllllll 222222 rکرنش در امتداد

60


e1e3

e2

y

x

z

QP

R

تغییر زاویه بین دو امتداد در اثر تغییرشکل

RzRyRx

QzQyQx

RzRyRx

QzQyQx

lllRP

lllQP

lllPR

lllPQ

QP

R

y

xQP

R

QP

R

u

vw

yy

v

)1(

yy

u

yy

w

xx

u

)1(

xx

w

xx

v

x

y

61


تغییر زاویه بین دو امتداد در اثر تغییرشکل

y

y

y

w

x

x

x

w

y

y

y

v

x

x

x

v

y

y

y

u

x

x

x

u

llllll

RPQP

RPQP

RzQzRyQyRxQx

)1()1(

)cos(

)sin()2

sin()cos(2

xyxy

yyxx y

y

x

x

1

1,

1

1

x

v

y

u

y

w

x

w

y

v

x

v

y

u

x

u

x

v

y

u

yyxx

xy

)1)(1(

1sin 1

62

y

x),( yxu

),( yxv dxdy

),( ydxxu

),( dyyxv

dyy

u

dxx

v

y

v

x

u

x

v

x

u

x

u

x

vdx

x

udxxd

dxdxdxxd

yyxx

xxxx

xxxx

,

)()(2121

)()1(

)1(

222

22222

کرنش طولی

تغییرشکل های کوچکتوصیف هندسی 63

کرنش برشی

y

x),( yxu

),( yxv dxdy

),( ydxxu

),( dyyxv

dyy

u

dxx

v

x

v

y

u

dyy

vdy

dyy

u

dxx

udx

dxx

v

xy

xy

xy

)sin()tan(

)sin()tan(

تغییرشکل های کوچکتوصیف هندسی 64

(دوران مختصات)تبدیل کرنش

zzxzxzzzyzyzyzxzxyzzzzyzyyxzxxzz

zyxyxzzyyyyzyyxyxyzyzzyyyyxyxxyy

zxxxxzzxyxyzyxxxxyzxzzyxyyxxxxxx

lllllllll

lllllllll

lllllllll

222

222

222

222

222

222 کرنش های محوری

کرنش های برشی

)()()( zxxyzyxxxzzxyyzyyxyzyxxyyyxxxy

zyzxzzyyyxyyxyxxxxyx

llllllllllll

llllll

)()()( zyxzzzxyxzzyyzzzyyyzyyxzyzxyxy

zzzyzzyzyyyyxzxyxxzy

llllllllllll

llllll

)()()( zxxzzzxxxzzxyzzzyxyzyxxzyzxxxy

zzzxzzyzyxyyxzxxxxzx

llllllllllll

llllll

65

(strain tensor)تنسور کرنش

)(2

1,, ijjiij uu

بیان اندیسی

بیان ماتریسی

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

ij

22

22

22

(تبدیل تنسور)دوران مختصات

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

lll

lll

lll

lll

lll

lll

QεQεQεQε TT

ijljkikl ll

66

(principal strains)اصلی کرنش در صفحات

0

0)det(

32

2

1

3

III nnn

ijnij

.صفحاتی که کرنش برشی صفر بوده و کرنش محوری اکسترمم هست

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

xxxz

zxzz

zzzy

yzyy

yyxy

yxxx

zzyyxx

II

I

32

1

,

)(

32133132212

3211

,

II

I نامتغیرها در مختصات اصلی

67

(octahedral strains)اکتاهدرال کرنش در صفحات

شده و این صفحات در دستگاه مختصات اصلی بیاننرمال هر سطح با تمامی. در هشت ناحیه قرار دارند

.محورها زوایای یکسان می سازد

2

31

2

32

2

21

1321

321

)()()(3

2

3

1)(

3

1

31

oct

oct

octoctoct

I

lll

68

(mean and deviator strain tensors)تنسور کرنش متوسط و انحرافی

ijijkkij e 3

1 تجزیه تنسور کرنش به بخش متوسط و انحرافی

تنسور کرنش متوسط

100

010

001

)(3

1

3

1zzyyxxijkk

تنسور کرنش انحرافی

3)2(

3)2(

3)2(

zzyyxxyzxz

zyzzyyxxxy

zxyxzzyyxx

ije

69

(mean and deviator strain tensors)تنسور کرنش متوسط و انحرافی

(کلّی)نامتغیرهای تنسور کرنش انحرافی

ij

xzyzxyzzyyxx

zzyyxxii

eJ

eeeeeeJ

eeeeJ

3

222222

2

1

)222(2

1

0

(اصلی)نامتغیرهای تنسور کرنش انحرافی

3213

3132212

1 0

eeeJ

eeeeeeJ

J

کرنش برشی صفحات اکتاهدرال2

3

22 Joct

70

معادلات سن ونان–(strain compatibility)سازگاری کرنش

از توابع تغییرمکان پیوسته و دارای مقدار یکتا می توان به کرنش های پیوس. ته و دارای مقدار 1.یکتا رسید ولی بالعکس امکان پذیر نیست

به منظور برقراری شرط پیوستگی میدان تغییرشکل بایستی کرنش ها سا. زگار با یکدیگر 2.به عبارت دیگر در معادلات سازگاری کرنش ها صدق کنند. باشند

71

)(2

)(2

)(2

2

2

2

zyxzyx

zyxyzx

zyxxzy

xyxzyzzz

xyxzyzyy

xyxzyzxx

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

zxzx

yzzy

xyyx

xxzzxz

zzyyyz

yyxxxy


2

3

2

322

2

3

2

2

2

3

2

2

)(,,

,,

xy

v

yx

u

x

v

y

u

yxyxxy

v

xyx

u

y

x

v

y

u

y

v

x

u

xyyyxx

xyyyxx

72


دن به چنانچه جسم همبند ساده باشد، معادلات سازگاری شرط لازم و کافی برای رسیدر . اهند بودبرای تغییر مکان های نسبی از روی تغییر شکل های نسبی خویکتا جوابی

ای نباشد، معادلات سازگاری شرط لازم می باشند ولی برساده همبندصورتی که جسم .یکتا بودن جواب کافی نخواهند بود

73

کرنش-روابط تنش فصل چهارم

74

کرنش الاستیک-روابط تنش

روابط ساختاری مصالح. 1

مشخصه سازی مصالح. 2

مصالح الاستیک خطی. 3

تنسور الاستیسیته. 4

قانون . هوک5

تعبیر فیزیکی سختی. 6

75

(constitutive equations)روابط ساختاری مصالح

ختاری روابطی که خواص فیزیکی یک ماده جامد را بیان می کنند به عنوان معادلات سااز این جمله روابط در بحث مکانیک جامدات می توان به رابطه . نامیده می شوند

. مؤلفه های تنش در یک نقطه از ماده و مؤلفه های کرنش در همان نقطه اشاره کرد

),,,,( Ttf εεσ

تیک یا هدف مباحث تئوری الاستیسیته بررسی روابط ساختاری جامدات کاملاً الاس.است(linear elastic)الاستیک خطی

در یک جامد الاستیک با برداشته شدن بارگذاری های خارجی ماده به حالت اولیهارگذاری همچنین رفتار ماده مستقل از تاریخچه ب. تغییرشکل نیافته خود برمی گردد

(loading history) و همچنین سرعت بارگذاری(loading rate)است..داردنتایج تحلیل الاستیسیته خطی مطابقت مطلوبی با مشاهدات آزمایشگاهی

76

(material characterization)مشخصه سازی مصالح

تجهیزات آزمایش خواص مکانیکی مصالح

دستگاه آزمایش کشش در دمای(high temperature)بالا

(room temperature)دستگاه آزمایش کشش در دمای اتاق

77


نمونه های میله ای و تخت برای آزمایش کشش مصالح

و(load cell)نیروسنج (clip gage)تغییرمکان سنج

A

P

L

L (تغییرشکل های کوچک)تعریف ساده تنش و کرنش

78

http://jwc.hrbu.edu.cn/jpkcjs/cllx/Sy1.asp

http://www.testmart.cn/ProductFile/Html/CN/2004/7/2/b10194a1-636e-49e2-82c7-46f66ee6c1bd.html


کرنش مصالح-انواع منحنی های تنش

تنش حد تناسب (proportional limit)

تنش آستانه حد الاستیک (elastic limit)

حد تسلیم (yield point)

مصالح شکل پذیر (ductile materials)

مصالح ترد یا شکننده (brittle materials)

79

مصالح الاستیک خطی

(مهندسی)رابطه تنش محوری با کرنش محوری E

(کلی)رابطه تنسور تنش با تنسور کرنش εCσ

klijklij C

مولفه های تنش را به Cتنسور الاستیسیته مؤلفه های کرنش مربوط می سازد و واحد هر

.ترم نیرو بر واحد سطح است

ترم های تنسور الاستیسیته ؟

80

تنسور الاستیسیته

تنش ترم دارد که تنسور کرنش در یک دستگاه دلخواه را به تنسور81تنسور الاستیسیته در حالت کلی .در یک دستگاه دلخواه دیگر نظیر می کند

ت تقارن در صورتی که دستگاه های بیان تنسورهای تنش و کرنش یکسان بوده و همچنین از خاصی.مؤلفه کاهش می یابد36تنسورهای کرنش و تنش استفاده شود آنگاه تنسور الاستیسیته به

xz

yz

xy

zz

yy

xx

xz

yz

xy

zz

yy

xx

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

ور برای یک ماده ایزوتروپ مؤلفه های تنسمؤلفه ها با )الاستیسیته مستقل از هم نیستند

و ( ننددوران دستگاه مختصات تغییر نمی کدر کل بر حسب دو مقدار مدول

بیان (v)و ضریب پواسون (E)الاستیسیته . می شوند

ijlkjiklijkl CCC

81

کرنش-روابط تنش

:ر کنند بنابرایناگر دستگاه مختصات دوران یابد به دلیل ایزوتروپ بودن ماده نبایستی مؤلفه ها تغیی

zxzyyxzzyyxxzx

zxzyyxzzyyxxzy

zxzyyxzzyyxxyx

zxzyyxzzyyxxzz

zxzyyxzzyyxxyy

zxzyyxzzyyxxxx

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

به zاگر دستگاه مختصات حول :درجه دوران یابد180اندازه

xzzx

yzzy

xyyx

zzzz

yyyy

xxxx

xzzx

yzzy

xyyx

zzzz

yyyy

xxxx

zyx

,,,

1

0.0

0.0

,

0.0

1

0.0

,

0.0

0.0

1

82


:کرنش دستگاه جدید خواهیم داشت-با جایگذاری مقادیر بدست آمده در معادلات تنش

0.0

0.0

0.0

0.0

64546353

62526151

46453635

26251615

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

CCCC

CCCC

CCCC

CCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

CCCCCC

xzyzxyzzyyxxxz

xzyzxyzzyyxxyz

xzyzxyzzyyxxxy

xzyzxyzzyyxxzz

xzyzxyzzyyxxyy

xzyzxyzzyyxxxx

xzzx

yzzy

xyyx

zzzz

yyyy

xxxx

xzzx

yzzy

yxyx

zzzz

yyyy

xxxx

zyx

,,,

1

0.0

0.0

,

0.0

1

0.0

,

0.0

0.0

1

به xاگر دستگاه مختصات حول :درجه دوران یابد180اندازه

83


:کرنش دستگاه جدید خواهیم داشت-معادلات تنش در جایگذاری مقادیر دوباره با 0.06556434241342414 CCCCCCCC

ترم ذیل از 3درجه دوران کند آنگاه صرفاً 90و یا 180در صورتی که هرکدام از محورها به اندازه :تنسور الاستیسیته جسم ایزوتروپ باقی خواهد ماند

xz

yz

xy

zz

yy

xx

xz

yz

xy

zz

yy

xx

C

C

C

CCC

CCCCCC

CCCC

00000

00000

00000

000

000

000

665544

322331132112

332211

84


:درجه دوران کند خواهیم داشتθبه اندازه دلخواه zدر صورتی که دستگاه مختصات حول

zxzx

zyzy

yxyx

zzyyxxzz

zzyyxxyy

zzyyxxxx

C

C

C

,

cossin

sincos

2coscossin)(

,2sincossin

2sinsincos

22

22

xzyzzx

xzyzzy

xyxxyyyx

zzzz

xyyyxxyy

xyyyxxxx

cossin

sincos

2coscossin)(

,2sincossin

2sinsincos

22

22

xzyzzx

xzyzzy

xyxxyyyx

zzzz

xyyyxxyy

xyyyxxxx

85

(Hooke’s law)قانون هوک

2)(2

1CC

.ترم کاهش می یابد2ترم تنسور الاستیسیته به 3با ساده سازی معادلات

xz

yz

xy

zz

yy

xx

xz

yz

xy

zz

yy

xx

00000

00000

00000

0002

0002

0002

.در نتیجه تنسور الاستیسیته جسم ایزوتروپ به شکل ذیل ساده می شود

86


ijijkkij 2

.نامیده شده که رابطه تنش کرنش به صورت اندیسی ذیل است(Lame)ثوابت لمی μو λثوابت

2, ijjiijzzyyxxkk

( :Gیا λتعریف مدول برشی )قرار گیرد xyاگر ماده تحت وضعیت برش خالص در صفحه

xyxyxy

xzyzzzyyxx

G

0.0

(:Eتعریف مدول الاستیسیته )قرار گیرد xاگر ماده تحت وضعیت کشش خالص در امتداد

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxxxx

xzyzxyzzyy

G

G

G

)2(0.0

)2(0.0

)2(

0.0

87


xxxxxx EG

GG

)32(

:با ساده سازی معادلات، تعریف مدول الاستیسیته برحسب ثوابت لمی مطابق ذیل است

G

GGE

)32(

:محاسبه می شودبرحسب ثوابت لمی همچنین ضریب پواسون مطابق ذیل

)(2

Gv

xx

zz

xx

yy

.ثوابت لمی برحسب مدول الاستیسیته و ضریب پواسون مطابق ذیل محاسبه می شوند

)21)(1(,

)1(2 vv

Ev

v

EG

88


(:K(Bulk)بالک تعریف مدول )گیرد فشار هیدرواستاتیک قرار اگر ماده تحت وضعیت

vzzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

zzyyxx

xzyzxy

GGp

Gp

Gp

Gp

)32())(32(3

)2(

)2(

)2(

0.0

3

32

GpK

v

.مدول بالک میزان تغییر حجم ماده را برحسب فشار هیدرواستاتیک وارده تعیین می کند

)21(3 v

EK

89


:ته می شوندکرنش برحسب مدول الاستیسیته و ضریب پواسون به صورت ذیل نوش-روابط تنش

xz

yz

xy

zz

yy

xx

xz

yz

xy

zz

yy

xx

v

v

v

vvv

vvv

vvv

vv

E

2)21(00000

02)21(0000

002)21(000

0001

0001

0001

)21)(1(

(:نرمی)تنش برحسب مدول الاستیسیته و ضریب پواسون -روابط کرنش

ijijijijE

v

E

v

1

90

تعبیر فیزیکی سختی

.ودبه مقدار متوسط تنش های محوری در یک نقطه تنش متوسط یا هیدرواستاتیک گقته می ش

)(3

1zzyyxxm

zzyyxxv

zzyyxx

vABC

ABCCBA

V

V

)1()1()1( A

BC

A

BC

مجموع کرنش های محوری= کرنش حجمی = نرخ تغییرحجم المان

v

mmv K

E

v

)21(3

91

روابط بین ثوابت الاستیسیته92

مقادیر ثوابت لاستیسیته برای مصالح93

فرمول بندی و روش تحلیلفصل پنجم

94

تحلیل مسائل الاستیسیته

ترکیب معادلات حاکم. 1

شرایط مرزی و دسته بندی مسائل. 2

فرمول بندی تنش. 3

فرمول بندی تغییرمکان. 4

اصل جمع آثار قوا، اصل سن ونان. 5

تکنیک . الاستیسیتهتحلیل مسائل 6

95

تحلیل مسائل الاستیسیته

اری های در بحث تئوری الاستیسیته توزیع تنش در داخل یک محیط جامد براساس بارگذ.خارجی و شرایط مرزی تعیین می شود

.یدهدف حل مسئله رسیدن از توزیع نیرو به توزیع تنش ها و توزیع تغییرشکل ها رسمرحله اول ساده سازی معادلات حاکم بر مسئله از جمله تعادل تنش، سازگاری کرنش و

.کرنش است-معادلات تنش اری معادلات بدست آمده بایستی شرایط مرزی نیرویی و تغییرمکانی و همچنین سازگ

.تغییرشکل محیط را ارضاء کنندمعادلات تنش . معادله6= کرنش -1معادلات تعادل تنش . معادله3= 2معادلات کرنش . معادله6= تغییرمکان -3معادلات سازگاری کرنش . معادله3= 4

96

یادآوری معادلات حاکم

(معادله3)تعادل تنش

0

0

0

zzzyzxz

y

yzyyxy

xxzxyxx

fzyx

fzyx

fzyx

)(

)(

)(

,

y

w

z

v

x

w

z

u

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

yz

xz

xy

zz

yy

xx

(معادله6)تغییرمکان –کرنش

0, ijij f

)(2

1,, ijjiij uu

97

حاکمیادآوری معادلات

(معادله6)کرنش –تنش

xzxz

yzyz

xyxy

yyxxzzzz

zzxxyyyy

zzyyxxxx

G

G

G

vE

vE

vE

1

1

1

,

)(1

)(1

)(1

(معادله6)سازگاری کرنش (معادله مستقل3)

)(2

)(2

)(2

,

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

22

2

2

2

22

zyxzyx

zyxyzx

zyxxzy

zxzx

yzzy

xyyx

xyxzyzzz

xyxzyzyy

xyxzyzxx

xxzzxz

zzyyyz

yyxxxy

ijkkijijE

v

E

v

1

0,,,, ikjljlikijklklij

98

شرایط مرزی و دسته بندی مسائل

به منظور حل معادلات حاکم و ارائه حل یکتا رایط ش. بایستی شرایط مرزی مسئله معلوم باشد

و شرایط (load)مرزی شامل شرایط نیرویی .می باشد(displacement)تغییرمکانی

در برخی موارد شرایط مرزی به صورت جزئی در نواحی داخل محیط

.استن براساس تقارن محیط قابل تعیی

99


jiji nT

100


),cos(),cos(

),cos(),cos(

ynxnT

ynxnT

yyxy

n

y

xyxx

n

x

مثال دوبعدی

00

0

0

0

00

)1(0

0)1(0,

0

10

pl

xpl

xPT

PT

T

T

pl

xP

P

n

yyy

yxy

yy

xy

yy

xx

yyyyxyy

xyxxx

y

x

AB

(جهت نیروی گسترده به سمت بالا)ABمرز افقی A

B

C

x

y

h

p(x)p0

l

ABn

101

ACمرز مایل مثال دوبعدی


2tan

tan

tan

tan

cossin

cossin,

0

0

cossin

xxlhxyyy

xxlhxyxy

xyyy

xxxy

yy

xx

yyxyy

xyxxx

y

x

AC

PT

PT

T

T

P

P

n

AB

C

x

y

h

p(x)p0

l

ACn

BCمرز قائم

0.0

0.0

lx

lx

v

u

102

(ترکیب معادلات)تنش فرمول بندی

و معادله yمعادله دوم تعادل تنش نسبت به مشتق گیری شده و جمع زده zسوم نسبت به

ظر سپس از معادله اول عبارت متنا. می شوند.جایگذاری می شود

xxxxzxy

zyxzxyzzyyyz

fxzy

z

f

y

f

zyxzyzy

)(2

2

2

2

22

z

f

y

f

x

f

zyxzy

zyxzzyyxxyz

2

2

2

2

2

22

2

.را می توان در معادله دوم سازگاری کرنش جایگذاری کردyzکرنش صفحه -همچنین روابط تنش

)(

1)(

1)1(22

2

2

22

2

2

2

22

yyxxzzzzxxyyyzzzyyyz

vEy

vEzE

v

zyyzzy

)()()1(22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

yyv

zzv

yzzyv

yyxxzzxxzzyyyz

2

2

2

2

2

2

2

22

)1()1(2yz

vyz

vzy

v zzyyyz

zzyyxx

103

(ترکیب معادلات)فرمول بندی تنش

:از ترکیب معادلات بدست آمده معادله ذیل نتیجه می شود

z

f

y

f

x

fvv

x

zyxxx )1()1( 2

2

22

2

2

2

2

2

22

zyx

.به همین منوال معادلات ذیل برای سایر امتدادها بدست می آیند

z

f

x

f

y

fvv

y

zxy

yy )1()1( 2

2

22

y

f

x

f

z

fvv

z

yxzzz )1()1( 2

2

22

(:شکرن–ترکیب تعادل، سازگاری کرنش و تنش )از جمع روابط فوق معادله ذیل حاصل می شود

z

f

y

f

x

f

v

v zyx

)1(

)1(2

104


:در معادلات ماقبل نتیجه می شوندθبا جایگذاری گرادیان مرتبه دوم دسته معادلات اول

z

f

z

f

y

f

x

f

v

v

zv

y

f

z

f

y

f

x

f

v

v

yv

x

f

z

f

y

f

x

f

v

v

xv

zzyxzz

yzyxyy

xzyxxx

211

1

211

1

211

1

2

22

2

22

2

22

:کرنش مربوطه مد نظر قرار گیرد آنگاه-اگر معادله چهارم سازگاری به همراه روابط تنش

xzxzyzyzxyxyzzyyxxxxxx

xyxzyzxx

E

v

E

v

E

vvv

E

zyxxzy

)1(2,

)1(2,

)1(2,)()1(

1

)(22

105


zxyxxzyv

v

zy

zxyxxE

v

zyv

zyv

E

xyxzyzxx

xyxzyzxx

22

2

222

22

2

222

1

)()1(2

)1(2

مشتق گرفته و در رابطه فوق yسوم تعادل نسبت به رابطه و از zاگر رابطه دوم تعادل نسبت به :جایگذاری گردد آنگاه نتیجه می شود

y

f

z

f

yzzyzyyxzx

zyyzyzzzyyxzxy

2

2

2

22222

y

f

z

f

zyv

zy

yz

22

1

1

106


x

f

z

f

zxv

y

f

z

f

zyv

x

f

y

f

yxv

zxxz

zy

yz

yxxy

22

22

22

1

1

1

1

1

1

:مطابق ذیل نتیجه می شونددوم معادلات دسته با این روند نیز

لات با نیروی حجمی اغلب صفر بوده یا ثابت هستند که تمامی معاد:به صورت ذیل بیان می شوندBeltrami-Michellعنوان روابط

0)()1(

0)()1(

0)()1(

,

0)()1(

0)()1(

0)()1(

22

22

22

2

22

2

22

2

22

zzyyxxxz

zzyyxxyz

zzyyxxxy

zzyyxxzz

zzyyxxyy

zzyyxxxx

zxv

zyv

yxv

zv

yv

xv

107

(معادلاتترکیب )تغییرمکان فرمول بندی

)(

)(

)(

,

2)(

2)(

2)(

x

w

z

u

y

w

z

v

x

v

y

u

z

w

z

w

y

v

x

u

y

v

z

w

y

v

x

u

x

u

z

w

y

v

x

u

xz

yz

xy

zz

yy

xx

کرنش را براساس مشتقات -روابط تنش

:تغییرمکان می توان مطابق روبه رو نوشت

ردد اگر روابط فوق در تعادل تنش جایگذاری گکان آنگاه حاصل روابط تعادل برحسب تغییرم

یا Navierبدست خواهد آمد که به روابط Lameمعروف است.

0)()(

0)()(

0)()(

2

2

2

z

y

x

fz

w

y

v

x

u

zw

fz

w

y

v

x

u

vv

fz

w

y

v

x

u

xu

108

(superposition principle)اصل جمع آثار

ستیسیته و الابا فرض تغییرشکل های کوچک و رفتار الاستیک خطی مصالح، تمامی معادلات میدانی اصل در صورتی که تمامی معادلات خطی باشند آنگاه می توان از. هستندروابط شرایط مرزی خطی

.جمع آثار استفاده کرد ها، اگر پاسخ معادلات حاکم برای یک محیط معلوم پیوسته از جمله تنشاصل جمع آثارطبق

همزمانی کرنش ها و تغییرشکل ها برای دو وضعیت بارگذاری دلخواه معلوم باشد آنگاه حل محط تحت.بارگذاری برابر خواهد بود با مجموع پاسخ های جداگانه هرکدامحالت هر دو

109

Saint-Venant’s)اصل سن ونان principle)

ند نیروهای از آنجایی که برآی. فرض کنید میله مطابق ذیل تحت سه نوع بارگذاری متفاوت قرار داردمکان میله ها وارده به هر سه جسم از نظر استاتیکی هم ارز یکدیگرند لذا میدان های تنش، کرنش و تغییر

.در مجاورت تکیه گاه با تقریب مطلوبی یکسان خواهد بوداستاتیکی تحت دو توزیع نیرویطبق اصل سن ونان میدان های تنش، کرنش و تغییرمکان در یک جسم

. در نواحی دورتر از ناحیه بارگذاری تقریباً یکسان استهم ارز

110

تکنیک تحلیل مسائل الاستیسیته

تهدستگاه معادلات محیط پیوسمجهول15معادله، 15

(کرنش6تنش، 6تغییرمکان، 3)

فرمول بندی تنشمجهول6معادله، 6

(کرنش-رابطه تنش 3رابطه تعادل، 3)

فرمول بندی تغییرمکانمجهول3معادله، 3

(انرابطه تعادل بر حسب تغییرمک3)

111


. ده می شوددر این روش با انتگرال گیری مستقیم از معادلات حاکم به پاسخ رسی:روش مستقیم( 1).معمولاً حل معادلات با پیچیدگی هایی همراه است و در نتیجه برای مسائل ساده کاربرد دارد

gzgdzgz

fz

gfff

z

zzzz

zzz

xzyzxyyyxx

zyx

000

0

,0,0

میله الاستیک تحت وزن خود

112

0),(0

),(),,(

),(2

),,(

0

0

0

0

0

2

zyu

xE

gv

x

w

x

w

z

u

x

w

z

u

zyuzxE

gvzyxuz

E

gv

x

u

Cyxwz

E

gzyxwz

E

g

z

w

xz

xx

zz


میله الاستیک تحت وزن خود

113

0),(0

),(),,(

0

0

0

0

zxv

yE

gv

y

w

y

w

z

v

y

w

z

v

zxvzyE

gvzyxvz

E

gv

y

v

yz

yy

zyE

gvzyxv

zxE

gvzyxu

lyxvzE

gzyxwlw

CyxvzE

gzyxw

yx

E

gvyxw

),,(

),,(

)(2

),,(0),0,0(

)(2

),,()22

(),(

2222

22222

0


خش مشخص بوده و ب( میدان تغییرمکان یا تنش)در این روش بخشی از پاسخ :روش معکوس( 2)تفاده از همچنین با اس. دیگر پاسخ براساس انتگرال گیری مستقیم از معادلات حاکم بدست می آید

. ه کردتئوری مقاومت مصالح می توان روابطی جهت سهولت تخمین میدان تنش یا تغییرمکان ارائ.ن کردهمچنین می توان طبق اصل سن ونان شرایط مرزی پیچیده را با حالات معادل ساده تر جایگزی

پیچش میله منشوری

yxwzuxw

xywywzv

xvyu

zw

yv

xu

yxww

xzv

yzu

xz

yz

xy

zz

yy

xx

0

,

0

0

0

),(

00

0

)(

)(

0

,

0

0

0

2

2

2

2

2

wy

w

x

w

fzyx

yxw

xyw

zzzyzxz

xz

yz

xy

zz

yy

xx

114


:سایر روش های تحلیلیسری های توانی . اکم معمولاً برای مسائل دوبعدی کاربرد داشته که و کل دستگاه معادلات ح-1

ن تابع به ای. تبدیل به یک معادله دیفرانسیل شده و در نهایت منجر به ارائه تابع تنش می گردد. صورت سری توانی فرض می شود و ضرائب آن براساس شرایط مرزی تعیین می شود

تبدیل انتگرال. ذف با اعمال این روش بسیاری از معادلات دیفرانسیل حاکم ساده و یا ح-2یل با اعمال شرایط مرزی و تبد. می شود و حل صورت تبدیل یافته معادلات را ساده می سازد

لات می توان به از این تبدی. معکوس معادلات به فضای اولیه بازگشته و پاسخ نهایی بدست می آید.اشاره کردتبدیل لاپلاس، تبدیل فوریه و تبدیل هانکل

متغیرهای مختلط. رهای بسیاری از مسائل از جمله مسائل مسطحه و پیچش به روش متغی-3.مختلط قابل بیان بوده و نتیجه دقیق تری ارائه می دهند

nm

mn yxCyx ),(

115

مسائل دوبعدیفصل ششم

116

(plane strain)روابط کرنش مسطحه

0.0,0.0,2

)()(

2)(

2)(

0.0

0.0

)(2

1

,

0.0

0.0

),(

),(

xzyzxyxy

yyxxyyxxzz

yyyyxxyy

xxyyxxxx

xz

yz

xy

zz

yy

xx

v

x

v

y

u

y

v

x

u

w

yxvv

yxuu

0.0)(

0.0)(

2

2

y

x

fy

v

x

u

yv

fy

v

x

u

xu

0.0

0.0

y

yyxy

x

xyxx

fyx

fyx

0.01

1)(2

y

f

x

f

v

yxyyxx

yxxy

xyyyxx

2

2

2

2

2

2

117

(plane stress)روابط تنش مسطحه

)(2

1

)(2

1

)(2

1

,

0.0

0.0

1

,

)(

)(1

)(1

0.0

0.0

),(

,

0.0

),(

),(

x

w

z

u

y

w

z

v

x

v

y

u

z

w

y

v

x

u

E

v

E

v

vE

vE

yx

yx

yx

xz

yz

xy

zz

yy

xx

xz

yz

xyxy

yyxxzz

xxyyyy

yyxxxx

xz

yz

xyxy

zz

yyyy

xxxx

0.0)1(2

0.0)1(2

2

2

y

x

fy

v

x

u

yv

Ev

fy

v

x

u

xv

Eu

0.0)1()(2

y

f

x

fv

yxyyxx

yxxy

xyyyxx

2

2

2

2

2

2

0.0

0.0

y

yyxy

x

xyxx

fyx

fyx

118

(plane stress)روابط تنش مسطحه

:تناقضات تئوری تنش مسطحهاست، xyاگرچه بارگذاری و شرایط مرزی در صفحه

zدارای تغییراتی در جهت vو uداخل صفحه تغییرشکل های دوبعدی هستند که نشانگر سه بعدی بودن مسئله علیرغم فرض

.آن است که متناقض می باشد

0.0

0.0

0.0)(2

1

0.0)(2

1

z

u

z

v

x

w

z

u

y

w

z

v

xz

yz

z

w

y

v

x

u

v

v

v

v

zz

yyxxzz

)(1

)(1

برحسب روابط zبا مقایسه تعاریف کرنش در جهت ن دریافت کرنش و به صورت دیفرانسیلی می توا-تنش

و وابسته zدارای تغییرات در جهت wکه تغییرشکل است که متناقض با فرض تنشyو xبه مختصات

.استzراستای صفر در

.باشدك بود که جسم به اندازه کافی نازبرخوردار خواهد دقت کافی زمانی از مسطحه فرض تنش

119

generalized)تنش مسطحه تعمیم یافته plane stress)

یط متوسط گیری به منظور رفع تناقضات تنش مسطحه از این تئوری استفاده شده که مقادیر متغیر در ضخامت محwندارند لذا تابع تغییرشکل zاز آنجائی که نیروی های سطحی و حجمی مؤلفه ای در جهت ضخامت . می شوند

.بوده و در نتیجه مقدار متوسط آن صفر خواهد بودzتابع فردی در جهت

)(2

0.0

2

2)(ˆ

2)(ˆ

0.0

),(

),(

2

2ˆyyxxzz

xzyzzz

xyxy

yyyyxxyy

xxyyxxxx

w

yxvv

yxuu

0.0

0.0

y

yyxy

x

xyxx

fyx

fyx

0.0)ˆ(

0.0)ˆ(

)1(2ˆ

2

2

y

x

fy

v

x

u

yv

fy

v

x

u

xu

v

E

0.02ˆ

)ˆ(2)(

2ˆ

)ˆ(21 2

y

f

x

fv

yxyyxx

120

(Airy stress function)تابع تنش ایری

ک مجهول با استفاده از این روش می توان تمامی معادلات حاکم را به یک معادله تبدیل کرد که صرفاً ی.ائه استمعادله بدست آمده به روش های گوناگون قابل حل بوده و لذا حل تحلیلی مسئله قابل ار. دارد

به همراه هدف از فرمول بندی تابع تنش، ارائه تابعی است که وضعیت تعادل تنش را در تمامی نقاط.شرط سازگاری کرنش ها ارضاء کند

y

Vf

x

Vf yx

,

(فرض کلی)جهت بیان نیروهای حجمی Vتابع پتانسیل .با تعریف ذیل معادلات تعادل و سازگاری را ارضاء می کندϕتابع تنش ایری

yx

Vx

Vy

xy

yy

xx

2

2

2

2

2

Vv

v

y

V

x

V

v

v

yyxx

24

2

2

2

2

4

4

22

4

4

4

1

21

1

212

Vvy

V

x

Vv

yyxx

24

2

2

2

2

4

4

22

4

4

4

)1()1(2

هکرنش مسطح

تنش مسطحه

121

تابع تنش چندجمله ای-مسائل مختصات کارتزین

در این بخش مسائل مسطحه بدون نیروی های حجمی در مختصاتاده از کارتزین در نظر گرفته شده و حل معادله حاکم روبه رو با استف

.توابع تنش ایری به شکل چندجمله ای توانی تعیین می گردد

0.024

4

22

4

4

4

yyxx

0 0

),(m n

nm

mn yxAyx

0)1()1)(2()1()1(2)1()1)(2( 2,22,2 nmmnnm AnnnnAnnmmAmmmm

را جهت صدق nو mبا جایگذاری چندجمله ای در معادله حاکم شرط ذیل حاصل می شود که مقادیر .کردن در معادله تعیین می کند

که این از آنجایی که تابع فوق توزیع چندجمله ای برای تنش ارائه می دهد لذا نمی توان انتظار داشتمرزی کلی ولی با استفاده از اصل سن ونان می توان شرایط. توزیع شرایط مرزی را به راحتی ارضاء کند

. گرددمسئله را به صورت چندجمله ای با اثر استاتیکی معادل نوشت تا اینکه حل دقیقی حاصل

122

صفحه تحت کشش خالص(: 1)مثال

0)0,(

0),0(,

0),(

0),(,

0),(

),(

xv

yu

cx

yl

cx

Tyl

xy

xy

yy

xx

:ثابت است لذا تابع تنش ایری به شکل ذیل فرض می شودxاز آنجائی که تنش در جهت

00

)(1

)(1

0

00

22

),(

2

2

2

02022

2

2

02

x

v

y

u

Gx

v

y

u

E

T

Ey

v

E

T

Ex

u

yx

VVx

TATVAV

y

yAyx

xy

xy

xxyyyy

yyxxxx

xy

yy

xx

yE

Txvy

E

Tyxv

xE

Tyux

E

Tyxu

)0,(),(

),0(),(

123

خمش تیر دوسر ساده تحت لنگر دو انتها(: 2)مثال

0)0,(

0)0,(

),(

0),(,

0),(

0),(

0),(

lv

lu

Mydyyl

dyyl

cx

cx

yl

c

cxx

c

cxx

yy

xy

xy

ه ب. شرایط مرزی نیرویی به صورت معادل ارضا می شونده عبارت اثر لنگر خمشی متمرکز طبق اصل سن ونان ب

.صورت توزیع تنش لحاظ می شود

خطی تابع تنش ایری درجه سوم توزیع تنش را به صورتیز صفر در ارتفاع بدست داده و برآیند لنگر حاصل از تنش ن

.می شود

0

0

2

3

466

3

303

2

0303

3

03

xy

yy

xx

c

cxx

yc

M

c

MAMdyyAyA

yA

124


0)()(2

30

)(4

3),(

2

3

)(2

3),(

2

3

3

2

33

33

xgyfxEc

M

x

v

y

u

G

xgyEc

Myxvy

Ec

M

y

v

yfxyEc

Myxuy

Ec

M

x

u

xy

xy

xx

xx

کیک متغیرهاتعیین توابع ثابت انتگرال گیری به روش تف

)()(4

3)()(

2

3)()(

2

3 2

333yfxgx

Ec

Myfxgx

Ec

Myfxgx

Ec

M

222

3

3

2

3

2

3

2

3

2

3

4

3),(

2

3),(

4

30)0,(

4

3

4

3),(

4

3)(

0)(0)0,(

lyxEc

Myxv

xyEc

Myxu

lEc

MClv

CxEc

My

Ec

MyxvCx

Ec

Mxg

yflu

125


(:عرض تیر واحد است)مقایسه توزیع تنش حاصل از حل الاستیسیته و حل مقاومت مصالح

222

33

2,

0,0,

3

2

12

8

lxyEI

Mvxy

EI

Mu

yI

M

ccI

xyyyxx

(اویلر-تیر برنولی )حل مقاومت مصالح

Euler-Bernoulli Beam Theory

عد از خمش پی اویلر به مسطح باقی ماندن سطح مقطع ب-با مقایسه روابط می توان به صحت فرض تیر برنولی .ودولی حل الاستیسیته و حل مقاومت مصالح در مورد سایر بارگذاری ها الزاماً برهم منطبق نخواهند ب. برد

126

خمش تیر یک سر گیردار تحت بار گسترده(: 3)مثال

wldyyl

wlydyyl

dyyl

cx

cx

wcx

c

cxy

c

cxx

c

cxx

xy

yy

yy

),(

2),(

0),(

,

0),(

0),(

),(2

.واند باشدتابع تنش ایری انتخابی به شکل ترکیبی از توابع چندجمله ای مرتبه دو الی مرتبه پنج می ت

5

05

4

14

32

23

23

32

4

41

5

505

4

04

3

13

22

22

3

31

4

404

3

03

2

12

2

21

3

303

2

0211

2

202

),(

),(

),(

),(

yAxyAyxAyxAyxAxAyx

yAxyAyxAyxAxAyx

yAxyAyxAxAyx

yAxyAxAyx

هایی از جمع با استفاده از خواص و صورت شرایط مرزی، ترم های مربوطه به تابع تنش حذف شده و تابع تنش ن.توابع فوق بدست خواهد آمد

127


2

2

xyy

نش قائم لذا ت. تنش قائم در پایین تیر صفر و در بالای تیر فشاری است•.خواهد بودxبه بالای 2و مستقل از توان های yتابعی فرد از

2

2

yxx

yعی فردی از به دلیل رفتار خمشی تیر، تنش طولی در ارتفاع تغییرعلامت خواهد داشت و تاب•

.استxاز 2همچنین لنگر خمشی تابع درجه ( yتوان فرد متغیر . )خواهد بود

.با توجه به موارد فوق ترم های ذیل از توابع تنش ایری منتخب حذف می شوند

5

05

32

23

3

03

2

21

2

20

5

05

4

14

32

23

23

32

4

41

5

505

4

04

3

13

22

22

3

31

4

404

3

03

2

12

2

21

3

303

2

0211

2

202

),(

),(

),(

),(

),(

yAyxAyAyxAxAyx

yAxyAyxAyxAyxAxAyx

yAxyAyxAyxAxAyx

yAxyAyxAxAyx

yAxyAxAyx

yxxy

2

xتنش برشی دارای تغییرات خطی در امتداد •

128


.تابع تنش ایری پاسخ معادله حاکم بوده و بایستی صدق کند

501202402 23

0505234

4

22

4

4

4 AAyAyA

yyxx

.لذا صورت تابع تنش اصلاح شده و مؤلفه های تنش نیز به صورت ذیل محاسبه می شوند

2

2321

3

232120

32

2303

52332

23

3

03

2

21

2

20

62

222

)3

2(66

5),(

xyAxA

yAyAA

yyxAyA

yA

yxAyAyxAxAyx

xy

yy

xx

:با اعمال شرایط مرزی مربوط به تنش قائم و برشی در سطوح بالا و پایین تیر خواهیم داشت

3232120

2

2321

3

232120

3

232120

8,

8

3,

4062),(

0222),(

222),(

c

wA

c

wA

wA

xcAxAcx

cAcAAcx

wcAcAAcx

xy

yy

yy

129


.برآیند لنگر انتگرال تنش طولی در محل تکیه گاه برابر با لنگر عکس العمل تکیه گاهی است

c

wA

wlwlwccA

wlydyyl

yylc

wyAyl

c

cxx

xx

202254

2),(

)3

2(

4

36),(

03

2223

03

2

32

303

.رضا می شودبرآیند تنش برشی در محل تکیه گاه برابر با برش عکس العمل تکیه گاهی است که خود به خود ا

wlwlwldyylycc

wlyl

c

cxyxy

),()(

4

3),( 22

3

. ه هر دو صفر هستندبرآیند تنش طولی و تنش برشی در ابتدای تیر برابر با لنگر خمشی و نیروی برشی است ک.لذا توزیع تنش بدست آمده ذیل صحیح است. این دو شرط نیز خود به خود ارضا می شوند

)(4

3,

3

2

34

3,

3

2)

5

2(

4

3 22

3

323

3

322

3ycx

c

wcyc

y

c

wycxy

c

wxyyyxx

130


(:عرض تیر واحد است)مقایسه توزیع تنش طولی حاصل از حل الاستیسیته و حل مقاومت مصالح

yc

wly

I

Mxx 3

2

4

3 (خط چین)حل مقاومت مصالح

(منحنی ممتد)حل تئوری الاستیسیته

2

2

2

2

3

2

3

2

5

21

4

3

l

y

l

cy

c

wlxx

2

3

3

4

wl

cxx

c

y1

c

l

131

خمش تیر دوسر ساده تحت بار گسترده(: 4)مثال

wldyyl

ydyyl

dyyl

cx

wcx

cx

c

cxy

c

cxx

c

cxx

xy

yy

yy

),(

0),(

0),(

,

0),(

),(

0),(

(مراتب دوم، سوم و پنجم)انتخاب تابع تنش ایری اولیه به صورت چندجمله ای ترکیبی

رضا می کنند ترم های با توان دو و سه به دلیل صفر شدن با چهار بار مشتق گیری به طور خودکار معادله حاکم را ا.و ترم های با توان پنج نیز طوری تنظیم شده اند که معادله حاکم برقرار باشد

:طبق روابط مقاومت مصالح

(yاز ، تابع درجه دو به بالا xتابع درجه دو از )تنش خمشی

(y، تابع درجه دو از xتابع خطی از )تنش برشی

52332

23

3

03

2

21

2

205

yA

yxAyAyxAxA

2

2321

3

232120

32

2303

62

222

)3

2(66

xyAxA

yAyAA

yyxAyA

xy

yy

xx

132


3232120

2

2321

3

232120

3

232120

8,

8

3,

4062),(

222),(

0222),(

c

wA

c

wA

wA

xcAxAcx

wcAcAAcx

cAcAAcx

xy

yy

yy

2

3

3

3

32

32

2

4

3

4

3,

44

3

2,)

3

2(

4

3)

5

2(

4

3xy

c

wx

c

wy

c

wy

c

wwyyx

c

wy

c

l

c

wxyyyxx

:با اعمال سه شرط اول مرزی نیرویی خواهیم داشت

)5

2(

8)

5

2(

80),(

)3

2(

4

36

2

222

303

32

303

c

l

c

wcl

c

wAydyyl

yyxc

wyA

c

cxx

xx

:شرایط چهارم و ششم مرزی نیرویی خودبه خود ارضا شده و صرفاً شرط مرزی پنجم نوشته می شود

:لذا توزیع تنش برابر خواهد بود با

133

)(4

3)(

2

0

)(4

3)(

2

3

2

12

8

22

3

22

22

3

22

33

ycxc

wycx

I

w

It

VQ

yxlc

wyxl

I

wy

I

M

ccI

xy

yy

xx

(اویلر-تیر برنولی )حل مقاومت مصالح

Euler-Bernoulli Beam Theory


لی در مقابل و. با مقایسه روابط می توان به یکی بودن تنش برشی حل الاستیسیته و مقاومت مصالح رسیدطی است در توزیع تنش طولی حاصل از الاستیسیته در ارتفاع مقطع غیرخ. تنش های محوری متفادت هستند

غییراتی همچنین تنش محوری قائم غیرصفر بوده و ت. صورتی که در حل مقاومت مصالح خطی فرض می شود.غیرخطی در ارتفاع مقطع دارد که در مقاومت مصالح صرف نظر شده است

(:عرض تیر واحد است)مقایسه توزیع تنش حاصل از حل الاستیسیته و حل مقاومت مصالح

134


تیردر ارتفاع برای نسبت های طول به ارتفاعσxxتوزیع تنش

w

cxx

3

4 3

c

y

135


2

3

32

32

23

3

3

3

32

32

2

4

3

4

3)1(2

)3

2(

4

3)

5

2(

4

3

44

3

2

1)(

1

44

3

2)

3

2(

4

3)

5

2(

4

31)(

1

xyc

wx

c

w

EGx

v

y

u

yyxc

wy

c

l

c

wy

c

wy

c

ww

EEy

v

yc

wy

c

wwyyx

c

wy

c

l

c

w

EEx

u

xy

xy

xxyyyy

yyxxxx

:جهت محاسبه میدان تغییرشکل ابتدا مؤلفه های کرنش مطابق ذیل محاسبه می شوند

:سپس از این معادلات نسبت به متغیر مربوطه انتگرال گرفته می شود

)()56

(2

)()3

2

212(

4

3),(

)()3

2

3()

5

2

3

2()

3(

4

3),(

2242223

224

3

323

233

2

3

xgycyy

xlycycy

Ec

wyxv

yfcycy

xycyxyx

xlEc

wyxu

136


.صفر می شودuبا اعمال شرط مرزی ابتدای تیر مقدار ثابت تغییرشکل E

wlyflu

2)(0)0,(

)()()5

22(

34

3

)(4

3)1(2

222223

2

3

22

3

xgxycyxcyxx

xlEc

w

x

v

y

u

ycxc

w

EGx

v

y

u xy

.قابل تعیین استg(x)مقدار ثابت vو uبا استفاده از رابطه کرنشی برشی و مشتق گیری از تغییرشکل های

:خواهد بودg(x)از تساوی دو رابطه فوق، ساده سازی، انتگرال گیری و اعمال شرط مرزی تابع

2

2

3

4

2224

3

)25

4(

5

121

48

150)0,(

)5

8(

2124

3)(

l

c

Ec

wlClv

Cclxx

Ec

wxg

137

(حل الاستیسیته)خیز وسط دهانه

رشی تیر بیان با مقایسه روابط فوق، ضریب داخل براکت میزان اصلاح خیز ناشی از خمش را در اثر تغییرشکل بیی که نسبت طول و برای تیرها. برنولی از تغییرشکل برشی تیر صرف نظر می شود-در تئوری تیر اویلر . می کند

.داردبرنولی دقت لازم را-ارتفاع بزرگی دارند مقدار اختلاف خیز از دو روش کم بوده و فرض تیر اویلر


(:عرض تیر واحد است)مقایسه تغییرشکل حاصل از حل الاستیسیته و حل مقاومت مصالح

2

2

3

4

)25

4(

5

121

48

15)0,0(

l

c

Ec

wlv

3

4

max48

15

Ec

wlv (حل مقاومت مصالح)خیز وسط دهانه

)

3

2

3()

5

2

3

2()

3(

4

3),( 32

323

32

3cyc

yxycyxy

xxl

Ec

wyxu

ع بعد از تغییرشکل با توجه به رابطه تغییرشکل طولی تیر می توان دریافت که فرض مسطح باقی ماندن سطح مقط.نادرست بوده و حل الاستیسیته به مراتب دقیق تر از حل مقاومت مصالح است

138

مسائل مختصات قطبیفصل هفتم

139

(مختصات قطبی)تغییرمکان -روابط کرنش 140

eeu

ee

ee

ee

eee

eee

ˆˆ

0ˆˆ

ˆˆ

,ˆˆ

cossinˆ

sincosˆ

21

21

uu

rr

rr

r

rr

r

بردارهای یکه

تغییرمکان-روابط کرنش

11

)()1()()()()(

),(

),(

222222

dr

BA

AB

ABBA

r

u

dr

BA

r

u

r

u

dr

BAdr

r

udr

r

udrBA

drr

uudr

r

uuB

uuA

rrr

rr

rr

r

r

urrr

141

(مختصات قطبی)تغییرمکان -روابط کرنش

(ادامه)تغییرمکان –روابط کرنش

1

1

)(

)()(

),(

),(

)(

22

2

22

2

rd

DA

AD

ADDA

r

u

r

u

r

u

r

ur

rd

DA

r

u

r

ur

r

u

rd

DA

rdr

udurrd

r

uDA

rdr

uurd

r

uuD

uuA

durHA

rdAD

rr

r

r

rr

r

r

uu

rr

1

142

(مختصات قطبی)تغییرمکان -روابط کرنش

(ادامه)تغییرمکان –روابط کرنش

IAIIABHADIABHAD

r

uIAI

r

uHAD

r

uIAB

rr

r

2

.موازی استABبا خط 'A'Iخط .متقاطع در مرکز استABبا خط A'Iخط

r

u

r

u

r

urrr

2

143

(مختصات قطبی)کرنش -تنش روابط


.وردچون ماده ایزوتروپ است لذا دوران مختصات تغییری در رابطه تنش و کرنش در مختصات قطبی بوجود نمی آ

0

0

)()(

2)(

2)(

rz

z

rr

rrrrzz

rr

rrrrrr

کرنش مسطحه

0

0

0

)1(2

)(1

)(

)(1

)(1

zz

rz

z

rr

rrrrzz

rr

rrrr

E

E

E

E

تنش مسطحه

144

(مختصات قطبی)تعادل تنش روابط

روابط تعادل تنش

0

0.1)2

cos(,2

)2

sin(

0)2

cos()(

)2

sin()())((

0

drrdfdrddrdrdrdr

drd

ddd

drrdfd

drdrd

ddrddrrdddrrdr

r

F

rrrr

rr

rrr

r

rrrr

rr

r

.از توان های بالاتر مشتقات صرفنظر می شود

0)(11

rrr

rrr frrr

02

1

f

rrr

rr

145

قطبیدستگاه مختصات ترکیب روابط حاکم در

2

2

22

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

2

22

2

22

2

2

2

2

2

2

1

222

cossin2cos2coscossin

cossin

cos2sin2sinsin

cos

sin2sin2sincos

sin

)(2)(

cos

sin

sin

cos

tan

rrrrrrryx

rrrrrrry

rrrrrrrx

xxxx

r

rrx

r

x

r

rx

xx

r

rx

rr

x

y

rr

y

x

r

y

y

r

r

x

x

r

x

y

yxr

146

ترکیب روابط حاکم در دستگاه مختصات قطبی

Beltrami-Michellرابطه

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2224

11

))((

rrrryx

yxyx

)11

)(11

(2

2

22

2

2

2

22

2224

rrrrrrrr

نش روابط تبدیل تین مختصات کارتزیگرو قطبی به یکد

2

)(

2coscossin)(

2sinsincos

2sinsincos

max

22

22

rr

xyxxyyr

xyxxyy

xyyyxxrr

ϕنش مؤلفه های تنش قطبی برحسب تابع ت

rrrrrrrrrr

2

22

2

2

2

2

11,,

11

yxxyxyyyxx

2

2

2

2

2

,,

22

max

22

22

)2

(

2coscossin)(

2coscossin

2cossincos

xy

yyxx

rrrxy

rrryy

rrrxx

147

(سیستم قطبی)حاکم حل معادله دیفرانسیل

براساس ریشه های معادله مشخصه تعیین bبرای تابع تنش که پارامتر ϕ(r,θ)=f(r)ebθدر صورت انتخاب فرم تفکیک پذیر.حاصل می گرددfبا جایگذاری فرم فوق در معادله دیفرانسیل نتیجه ذیل برای تابع . می شود

dr

dff

r

bbf

r

bf

r

bf

rf

,0

)4(212124

22

3

2

2

2)4(

.و اعمال آن در معادله فوق نتیجه می دهدr=eξبا تبدیل

d

dffbbfbfbff ,0)4(4)24(4 2222)4(

.خواهد بودصورت ذیل به (Michellحل )طبق ریشه های معادله مشخصه فوق، پاسخ تابع تنش معادله اصلی

2

2

43

2

21

2

2

43

2

21

1615

3

1413

12111615

3

1413

1211

2

7

2

654

2

3

2

210

sin)(cos)(

sin)lnln(cos)lnln(

)lnln(lnln

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n nrbrbrbrbnrararara

rrbrbrbr

brrbrbrrarara

r

arrara

rrararaarrararaa

148

حل مسائل مختصات قطبی

ان سعی و خطا در ویژگی استفاده از مختصات قطبی پیدا کردن حل صریح برای مسئله الاستیسیته است که امکا در بیان شرایط همچنین فرم متناوب پاسخ استفاده از روش سری های فوریه ر. انتخاب تابع تنش را از بین می برد.مرزی و حل مسئله آسان می سازد

(axisymmetric)مسائل متقارن محوری

ثابت است که منجر به θمتغیر بوده و در امتداد rدر این نوع مسائل بارگذاری و تمامی شرایط مرزی در امتداد .لذا تابع تنش مسائل متقارن محوری به صورت ذیل ساده می شود. می گرددθاستقلال پاسخ از متغیر

0.0

)ln23(2

)ln21(21

lnln

322

1

2

2

322

1

2

3

2

210

r

rr

raar

a

r

raar

a

rr

rrararaa

CrBAaE

ru

BA

rararraarE

ur

sincos4

cossin

)1(2)1(ln)1(2)1(1

3

2331

149

استوانه تحت فشار داخلی و خارجی-( 1)مثال

22322

2

122

11322

1

111

322

1

)ln21(2

)ln21(2

)ln21(2

praar

aprr

praar

aprr

raar

a

rr

rr

rr

دلیل این . از آنجائی که دو شرط مرزی و سه مجهول در معادلات تنش وجود دارد یک مجهول باقی می ماند. اده استپدیده ناکافی بودن معادلات سازگاری سن ونان جهت رسیدن به جواب یکتا برای اجسام همبند غیرس

.لذا بایستی از شرایط مرزی تغییرمکانی نیز بهره گرفت

CrBAaE

ru

sincos

43

.خواهد بودθمستقل از متغیر uθچون جسم متقارن محوری است لذا تغییرشکل 03 a

150

استوانه تحت فشار داخلی و خارجی-( 1)مثال

)()(1

)()(1

)(2

)(

2

2

2

1

2

2

2

2

21

2

1

2

1

2

2

2

2

2

112

2

2

1

2

2

2

2

21

2

1

2

1

2

2

2

2

2

112

2

2

1

2

2

2

2

21

2

12

2

1

2

2

2

2

2

1121

222

2

1

122

1

1

rr

prpr

rr

rrpp

r

rr

prpr

rr

rrpp

r

rr

prpra

rr

rrppa

par

a

par

a

rr

Cru

rrr

prpr

rr

rrpp

rEu

BActeu

r

r

)1()(

)()1(1

0)(

2

1

2

2

2

2

21

2

1

2

1

2

2

2

2

2

1121p

rr

1p

2,21

2

1

2 r

r

p

p

1r

r

151

فشار داخلیبی نهایت سوارخ دار تحت صفحه -( 2)مثال

2

2

11

2

2

11

2

1

2 0.0

r

rp

r

rp

r

pp

prr

ستوانه تحت فشار در صورتی که فشار وارده خارجی صفر بوده و شعاع بیرونی نیز به سمت بی نهایت میل کند آنگاه مسئله ا.تحل این مسئله نیز به شکل ذیل اس. می شودسوارخ تحت فشار در محیط بی نهایت داخلی و خارجی تبدیل به

r

rp

Eur

2

11)1(

زاویه ای به دلیل صفر بودن تنش در بی نهایت، تنش های شعاعی و.ئله استدر بی نهایت به سمت صفر میل می کنند که مطابق با مس

ر دوردست به تغییرشکل شعاعی نیز به دلیل صفر بودن تنش نیز دل با مشتق ولی به دلیل ارتباط تغییرشک. سمت صفر میل می کند

.کرنش، سرعت میل تغییرشکل کمتر از تنش است

p

rr

p

1r

r

152

ایتصفحه بی نهایت سوارخ دار تحت کشش دو محوره در بی نه-( 3)مثال

)1(

)1(

0

2

2

1

2

2

1

2

1

2

r

rT

r

rT

r

p

Tprr

فر بوده و این مسئله صورت خاصی از استوانه تحت فشار داخلی و خارجی است، فقط با این تفارت که فشار داخلی ص.در این حالت توزیع تنش های شعاعی و زاویه ای به صورت ذیل خواهد بود. استTتنش در بی نهایت کششی و برابر با

p

rr

p

1r

r

برابر تنش 2تنش حداکثر در مجاورت سوراخ بوده و برابر با ثر به که نسبت حداکتمرکز تنشلذا ضریب . استTدوردست

.است2تنش وارده است برای این مسئله برابر با

Trr

21

max

2max T

K

153

صفحه بی نهایت سوارخ دار تحت کشش تک محوره-( 4)مثال

شرایط مرزی . بستگی خواهد داشتθاین مسئله برخلاف حالات قبل به صورت متقارن محوری نبوده و تابع تنش به زاویه :استفاده از تبدیل مختصات کارتزین به مختصات قطبی به صورت ذیل خواهد بودحاکم بر مسئله با

2sin2

),(

)2cos1(2

),(

)2cos1(2

),(

cossincossin),(

sinsin),(

coscos),(

0),(,0),(

22

22

T

T

T

T

T

T

aa

r

rr

xxr

xx

xxrr

rrr

:ل استاگر فرض شود که هیچ سوراخی در محیط نباشد آنگاه حل مسئله به صورت ذی

)2cos1(4

)sin(22

0,0,

222

rT

rT

yT

T xyyyxx

.ودلذا حل متقارن محوری با حل نامتقارن ترکیب می ش. با دور شدن از سوراخ تنش به حالت یکنواخت میل می کند

154


2cos)(lnln 24

2

23

4

22

2

21

2

3

2

210 ararararrararaa

2sin)26

62(

2cos)6

122(2)ln23(

2cos)46

2(2)ln21(

2

24

4

232

2221

4

234

22212

123

2

24

4

23212

123

r

a

r

araa

r

araa

r

aara

r

a

r

aa

r

aara

r

rr

:لذا تابع تنش مسئله به صورت ذیل قابل انتخاب است

.صفر باشندa22و a3از آنجائی که تنش ها در بی نهایت صفر می شوند بایستی ضرائب

.پنج شرط مرزی مسئله مطابق روابط ذیل اعمال می شوند

22

22

026

2

,046

2

02

2

21

2

24

4

2321

2

24

4

2321

2

12

Ta

Ta

a

a

a

aa

a

a

a

aa

a

aa

2,

4,

4,

4,

2

2

24

4

23212

2

1

Taa

Taa

Ta

Ta

Taa

155


2sin)23

1(2

2cos)3

1(2

)1(2

2cos)43

1(2

)1(2

2

2

4

4

4

4

2

2

2

2

4

4

2

2

r

a

r

aT

r

aT

r

aT

r

a

r

aT

r

aT

r

rr

:ازدر نهایت مؤلفه های قطبی تنش عبارت خواهند بود

T

42 )(

2

3)(

2

11

2 r

a

r

aTxx

.در روابط فوق بدست می آیدθ=π/2در صفحه با جایگذاری σxxتوزیع تنش

3.است3برای تنش های طولی برابر با تمرکز تنشضریب max

T

K xx

156

صفحه بی نهایت سوارخ دار تحت برش خالص-( 5)مثال

حاصل می شود که زاویه yو بارگذاری فشاری در امتداد xاین حالت بارگذاری از جمع آثار بارگذاری کششی در امتداد .درجه دوران یافته است45به اندازه rامتداد محور

با بارگذاری برشیدرجه دوران45

بارگذاری دومحوره کششی و فشاری

بارگذاری کششی(1)در طول

بارگذاری فشاری(2)در عرض

ندازه در نهایت پاسخ بدست آمده به ا. محاسبه شده و سپس با هم ترکیب می شود( 2)و ( 1)توزیع تنش برای هر دو حالت . درجه دوران می یابد45

157

صفحه بی نهایت سوارخ دار تحت برش خالص-( 5)مثال

حل حالت کشش در امتداد طول-( 1)

2sin)23

1(2

,2cos)3

1(2

)1(2

,2cos)43

1(2

)1(2 2

2

4

4)1(

4

4

2

2)1(

2

2

4

4

2

2)1(

r

a

r

aT

r

aT

r

aT

r

a

r

aT

r

aTrrr

حل حالت فشار در امتداد عرض-( 2)

)2

(2sin)23

1(2

,)2

(2cos)3

1(2

)1(2

)2

(2cos)43

1(2

)1(2

2

2

4

4)2(

4

4

2

2)2(

2

2

4

4

2

2)2(

r

a

r

aT

r

aT

r

aT

r

a

r

aT

r

aT

r

rr

(:کشش و فشار دو محوره)برابر است با ( 2)و ( 1)ترکیب حالات

2sin)23

1(,2cos)3

1(

2cos)43

1(

2

2

4

4)2()1(

4

4)2()1(

2

2

4

4)2()1(

r

a

r

aT

r

aT

r

a

r

aT

r

rr

(:برش خالص)درجه دوران می یابد 45در نهایت زاویه

2cos)23

1(,2sin)3

1(

2sin)43

1(

2

2

4

4

4

4

2

2

4

4

r

a

r

aT

r

aT

r

a

r

aT

r

rr

158

(مسائل نیم صفحه)حل مسائل محیط های نیمه بی نهایت

درجه محدود است به مسائل محیط نیمه 180مسائلی که محیط سازه به دو مرز به زاویه های صفر و نش در خاک از جمله این مسائل به توزیع ت. یا مسائل نیم صفحه معروف هستند( نظیر خاک)بی نهایت

.تحت نیروهای متمرکز و گسترده سطحی اشاره کرد

نکته مورد توجه در این نوع مسائل تعادل تنش ها در مرز سطحبا نیروی متمرکز و یا گسترده وارده در محل مبدا Cنیم دایره

نش ها با لذا با دورترشدن از محل اثر نیرو، ت. مختصات قطبی است.کاهش می یابندr/1نسبت

159

محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار متمرکز-( 1)مثال

رابطه r/1متناسب با شعاع آن است لذا این تنش ها با نسبت Cبا توجه به اینکه تنش های داخلی روی سطح .آیدبایستی صفر باشند تا چنین توزیع تنشی بدستa16و a14و a13و a11بنابراین ترم های . خواهد داشت

cossin1

sincos1

sin)2(cos)2(1

1212

1212

15121512

bar

bar

abbar

r

rr

sin)ln(cos)ln(

sin)lnln(cos)lnln(

15121512

1615

3

1413

12111615

3

1413

1211

rbrrbrarra

rrbrbrbr

brrbrbrrarara

r

arrara

0

0

0

0

0.0),()0,(

0.0),()0,(

12

12

rrr b

a

rr

rr

.به دلیل صفر شدن تنش های برشی زاویه ای، به این نوع توزیع تنش شعاعی نیز گرفته می شود

160


.باقی ثوابت تابع تنش براساس تعادل نیروهای خارجی با تنش های داخلی بدست می آید

Xb

Ya

aYrdrY

bXrdrX

rr

rr

15

15

150

150

00sin),(

00cos),(

0.0,sincos2

rrr YXr

:ودبوده و فقط نیروی متمرکز قائم در نظر گرفته شود آنگاه توزیع تنش خواهد بX=0اگر : حالت خاص

222

2

222

32

222

22

)(

2cossin

)(

2sin

)(

2cos

0.0

0.0

sin2

yx

xYy

yx

Yy

yx

yYx

r

Y

rrxy

rryy

rrxx

r

rr

sin

2

r

Yrr

161


222

2

)(

2

yx

yYxxx

222

3

)(

2

yx

Yyyy

222

2

)(

2

yx

xYyxy

یتوزیع تنش افق متوزیع تنش قائ یتوزیع تنش برش

162


.حال با فرض وضعیت تنش مسطحه در محیط روابط تغییرشکل محیط استخراج می گردد

0.0111

sin2

)(11

sin2

)(1

2

2

rr

rrr

rrr

rr

rrr

rE

Y

E

u

rr

u

rE

Y

Er

u

cos2

)1()()()()(0.0

)()(cos)ln(2

)(sinln2

sin2

)(sinln2

E

Ydffrgrrg

r

u

r

u

r

u

rgdfrE

Yufr

E

Y

E

Yu

frE

Yu

r

r

163


cossincos)1()(cos2

)1()()(

)()()(

BAE

YfK

E

Ydff

KCrrgKrgrrg

.ی آیدبا جمع بندی معادلات بدست آمده، میدان تغییرشکل محیط نیمه بی نهایت به صورت ذیل بدست م

KCrBAE

Yr

E

Y

E

Yu

BArE

Y

E

Yur

sincoscos)1(

cosln2

sin)1(

cossinsinln2

cos)1(

صل با اعمال شرایط مرزی ثوابت عبارت فوق حا.می شوند

ییرشکل نکته قابل توجه غیرواقعی بودن میدان تغودن در بی نهایت است که ناشی از لگاریتمی ب

. فرم توابع می باشد

E

YBKCAru

2

)1(,00)

2,(

cos)1(cosln2sin)2

)(1(

sinln2cos)2

)(1(

rE

Yu

rE

Yur

164

محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار گسترده-( 2)مثال

به منظور حل . بررسی می گرددa<x<a–حال وضعیت تنش در محیط نیمه بی نهایت بارگذاری شده در طول پاسخ حاصله را این مسئله می توان از گسسته سازی بار گسترده به بی نهایت بار متمرکز بهره گرفت و در نهایت

.به روش جمع آثار ترکیب کرد

cossin2

cossin

sin2

sin

cossin2

cos

2

32

22

r

Y

r

Y

r

Y

rrxy

rryy

rrxx

cossin2

sin2

cos2

sin

sin)2

cos( 2

2

pd

pd

pd

prdpdxdY

rddxdx

pdxdY

xy

yy

xx

165

محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار گسترده-( 2)مثال محیط نیمه بی نهایت تحت اثر بار گسترده-( 2)مثال

.با انتگرال گیری از روابط دیفرانسیلی مقادیر تنش های داخلی مطابق ذیل محاسبه می شوند

12

1212

1212

2

2

2cos2cos2

)2sin2(sin)(22

)2sin2(sin)(22

cossin2

sin2

cos2

2

1

2

1

2

1

p

p

p

dp

dp

dp

xy

yy

xx

xy

yy

xx

-10-50510

0

2

4

6

8

10

-10-50510

0

2

4

6

8

10

-10-50510

0

2

4

6

8

10

yyxx xy

166

(کشش غیرمستقیم برزیلی)دیسک تحت فشار قطری -( 3)مثال

نده از جمله با استفاده از نتایج بدست آمده می توان به حل مسئله ای پرداخت که در آزمایش مصالح ترد و شکنبه صورت در این آزمایش دو بار متمرکز در طرفین قطر استوانه ای. بتن، سنگ، آسفالت و سرامیک کاربرد دارد

.ددر نتیجه قطر بارگذاری شده در جهت عمودی خود تحت اثر کشش قرار می گیر. فشاری وارد شده است. شودحل این مسئله با استفاده از اصل جمع آثار صورت گرفته و سه حالت بارگذاری در نظر گرفته می

ت محیط نیمه بی نهای( 1)زاز بالا تحت بار متمرک

ت محیط نیمه بی نهای( 2)مرکزاز پایین تحت بار مت

ش دیسک تحت کش( 3)یکنواخت شعاعی

167


با . فاده می شودمطابق شکل ذیل برای دیسک است( از بالا و پایین)برای حل این مسئله از مختصات جدید دوگانه :معادلات ذیل برقرار است( 2)و ( 1)استفاده از نتایج بدست آمده برای حالات

22

2

2

)2(

2

3

2

)2(

2

2

2

2

)2(

11

2

1

)1(

1

3

1

)1(

1

2

1

1

)1(

sincos2

cos2

sincos2

,

sincos2

cos2

sincos2

r

P

r

P

r

P

r

P

r

P

r

P

xy

yy

xx

xy

yy

xx

2

2

)2(

1

1

)1(

2

2

1

1

12

cos2

cos2

1sinsin

2

r

P

r

P

Drr rr

rr

168


Dر حاصل از ترکیب دو نیرو باعث ایجاد تنش شعاعی یکنواختی در محیط دایره ای به قطحل (: 3)حالت

.می شود که اندازه آن از رابطه ذیل بدست می آید

D

P

D

P

D

P

D

P

D

P

r

P

r

PT rrrr

2

)sin2

()cos2

()cos2

()cos2

(

)cos2

()cos2

()cos()cos(

2

1

2

1

2

2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

)2(2

1

)1(

دایره است با توجه به اینکه این تنش به صورت یکنواخت و فشاری بر محیط.ی شودلذا جهت ایجاد حالت تنش نهایی دیسک این تنش از کل پاسخ کسر م

ت شعاعی بدیهی است که وضعیت تنش صفحه تحت کشش یکنواخ:در دو امتداد به شکل مقابل خواهد بود( 3حالت )

0.0,2

2

xyyy

xx

D

P

D

P

169


4

2

2

4

1

2

4

2

3

4

1

3

4

2

2

4

1

2

22

2

2

2

2

2

22

1

1

1

1

1

)2()2(2

1)2()2(2

1)2()2(2

)2(

2cos

sin

,

)2(

2cos

sin

r

xyD

r

xyDP

Dr

yD

r

yDP

Dr

xyD

r

xyDP

yDxr

r

yD

r

x

yDxr

r

yD

r

x

xy

yy

xx

:به صورت ذیل خواهد بود( 3)و ( 2)و ( 1)در نتیجه ترکیب معادلات حالات yyxx

xy

170

22

max )2

( xy

yyxx


(هفوتوالاستیسیت)مقایسه توزیع تنش های برشی تئوری الاستیسیته و نتایج آزمایشگاهی

theory of elasticity - uut · هچخیرات اهتنا زکرمتم راب تحت هرط ریت...

Documents