МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ

“КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ ІМЕНІ ІГОРЯ СІКОРСЬКОГО”

МОДЕЛЮВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНИХ

СИСТЕМ Конспект лекцій

для студентів спеціальності 152 “Метрологія та інформаційно-вимірювальна техніка ” денної форми навчання

Рекомендовано вченою радою приладобудівного факультету Протокол №4/17 від 25.04. 2017 р.

Київ

НТУУ «КПІ ім. Ігоря Сікорського»

2017

Моделювання інформаційно-вимірювальних систем: Конспект лекцій для студентів спеціальності 152 “Метрологія та інформаційно-вимірювальна техніка ” [Eлектронне видання] / Уклад.: Кравченко І.В. – К.: НТУУ “КПІ”, 2017. – 79с.

Видання призначено для студентів спеціальності 152 «Метрологія та інформаційно-вимірювальна техніка», спеціалізацій «Оптико-електронні інформаційно-вимірювальні системи та технології», «Фотоніка та оптоінформатика». В виданні вміщено матеріал лекційного курса «Моделювання інформаційно-вимірювальних систем»: визначення та класифікація технічних систем, основи теорії моделювання, технологія проведення обчислювального експеримента, спектральні та просторово-часові чисельні моделі системного рівня, застосування імовірнісних моделей та моделей монте-карло.

Н а в ч а л ь н е е л е к т р о н н е м е р е ж н е в и д а н н я

МОДЕЛЮВАННЯ ІНФОРМАЦІЙНО-ВИМІРЮВАЛЬНИХ СИСТЕМ

Конспект лекцій для студентів спеціальності 152 “Метрологія та інформаційно-вимірювальна техніка ” [Eлектронне видання] / Уклад.: Кравченко І.В. – К.: НТУУ “КПІ”,

2017. – 79с. Укладач Кравченко Ігор Володимирович, старший викладач Рецензент Аврутов Вадим Вікторович, канд.техн.наук, доцент Відповідальний редактор Колобродов Валентин Георгійович, д.т.н., проф

За редакцією укладача

Зміст

1. Вступ у теорію моделювання ..........................................................................4 1.1 Поняття системи. Підсистеми та елементи ...............................................5 1.2 Поняття моделі та моделювання ............................................................. 10 1.3 Класифікація моделей .............................................................................. 12 1.3 Характеристики моделей ......................................................................... 23 1.4 Обчислювальний експеримент ................................................................ 28 1.5 Особливості комп’ютерного розв’язання інженерної задачі ................. 30 1.6 Контрольні запитання .............................................................................. 40

2 Моделі системного рівня ................................................................................ 41 2.1 Гармонійний аналіз Фур'є ........................................................................ 42 2.2 Явище Гіббса ............................................................................................ 45 2.3 Дискретні перетворення Фур'є................................................................. 49 2.4 Перетворення Хартлі ............................................................................. 60 2.5 Контрольні питання.................................................................................. 63

3 Імовірнісні моделі ........................................................................................... 64 3.1 Основні положення теорії ймовірностей ................................................ 66 3.2 Основні різновиди розподілу ймовірностей ........................................... 71 3.3 Базові закони теорії ймовірності ............................................................. 73 3.4 Методи моделювання випадкових величин ............................................ 75 3.5 Контрольні запитання .............................................................................. 78

Література ........................................................................................................... 79

1. Вступ у теорію моделювання Узагальнено моделювання можна визначити як метод

опосередкованого пізнання, при якому досліджуваний об'єкт-оригінал знаходиться в деякій відповідності з іншим об'єктом-моделлю, причому модель здатна в тому чи іншому відношенні заміщати оригінал на деяких стадіях пізнавального процесу [2]. Моделювання - це спосіб дослідження будь-яких явищ, процесів або об'єктів шляхом побудови й аналізу їх моделей. У широкому розумінні моделювання є однією з основних категорій теорії пізнання і мало не єдиним науково обґрунтованим методом наукових досліджень систем і процесів будь-якої природи в багатьох сферах людської діяльності.

Стадії пізнання, на яких відбувається така заміна, а також форми відповідності моделі і оригіналу можуть бути різними:

1) моделювання як пізнавальний процес, що містить переробку інформації, яка надходить із зовнішнього середовища, про те, що відбуваються в цих явищах. В результаті у свідомості з'являються образи, відповідні об'єктам;

2) моделювання, яке полягає в побудові деякої системи-моделі (другої системи), пов'язаної певними співвідношеннями подоби з системою-оригіналом (першою системою). В цьому випадку відображення однієї системи в іншу є засобом виявлення залежностей між двома системами, відображеними у співвідношеннях подоби, а не результатом безпосереднього вивчення.

Моделювання являє собою процес заміни системи (об'єкта або фізичного процесу) моделлю, що має такі ж властивості, з метою отримання інформації про цю систему шляхом проведення експериментів з отриманою моделлю.

В основі моделювання систем знаходиться теорія моделювання. Теорія моделювання - це теорія заміщення одних об'єктів (оригіналів) іншими об'єктами (моделями).

1.1 Поняття системи. Підсистеми та елементи Основними поняттями в теорії і практиці моделювання об'єктів,

процесів і явищ є поняття "система" і "модель".

У перекладі з грецької "systema" - це ціле, яке складається з частин; об'єднання. Термін "система" існує вже більш ніж два тисячоліття, проте, різні дослідники визначають його по-різному. На сьогодні існує понад 500 визначень терміна "система". Проте, використовуючи будь-яке з них, насамперед потрібно мати на увазі ті завдання, які ставить перед собою дослідник. Системою може бути один комп'ютер, автоматична лінія або технологічний процес, все підприємство або декілька різних підприємств, що функціонують як єдина система в одній галузі промисловості. Те, що один дослідник визначає як систему, для іншого може бути лише компонентом складнішої системи.

Одне з перших визначень системи (1950 рік) належить американському біологові Л. фон Берталанфі, згідно з яким система складається з деякої кількості взаємозв'язаних елементів. Оскільки між елементами системи існують певні взаємозв'язки, то повинні бути структурні відношення. Таким чином, система - це щось більше, ніж сукупність елементів. Аналізуючи систему, потрібно враховувати оцінку системного (синергетичного) ефекту. Властивості системи відмінні від властивостей її елементів, і залежно від властивостей, якими цікавляться дослідники, та ж сама сукупність елементів як може бути системою, так і не бути нею.

Багато дослідників визначають систему як цілеспрямовану множину взаємозв'язаних елементів будь-якої природи. Згідно з цим визначенням система функціонує для досягнення деякої мети. Це визначення цілком правильне для соціологічних і технічних систем, але погано підходить для систем навколишньої природи (наприклад, біологічних), мета функціонування яких не завжди відома.

Для всіх визначень системи спільним є те, що система - цілісний комплекс взаємозв'язаних елементів, який має певну структуру і взаємодіє із зовнішнім середовищем.

Під елементом розуміється неподільна частина системи, що виконує деякі неподільні функції, наприклад, елемент - тригер; підсистема - оперативна пам'ять; система - комп'ютер.

Структура системи - це організована сукупність зв'язків між її елементами. Під таким зв'язком розуміють можливість впливу одного елементу системи на інший.

Середовище - це сукупність елементів зовнішнього світу, які не входять до складу системи, але впливають на її поведінку або властивості. Система є відкритою, якщо існує зовнішнє середовище, яке впливає на систему, і закритою, якщо зовнішнє середовище відсутнє або не враховується, у зв'язку з поставленими цілями досліджень.

Під функцією системи розуміється її властивість, що приводить до досягнення мети. Вивчення системи здійснюється шляхом вивчення її властивостей і функцій.

При дослідженнях великих систем вони розбиваються на ряд самостійних взаімопов'язаних і взаємодіючих підсистем. Кількість підсистем може бути різною. В системі можна виділити дві та більше підсистем. Складні системи розбиваються на десятки і сотні підсистем. В середині кожної підсистеми відбувається перетворення енергії, обмін і поширення інформації між елементами підсистеми. Між підсистемами також наявні зв'язки по яких передаються потоки енергії та розповсюджується інформація. В загальному випадку виділення підсистем, а також формування входів і виходів викликає певні труднощі. Це пов'язано як із складністю задачі, так і з вибраним напрямком моделювання.

Основні особливості системи:

наявність підсистем і великої кількості елементів;

можливість декомпозиції на елементи;

складний характер зв'язків між окремими елементами;

наявність інтегративних властивостей системи, які не властиві елементам;

складність функцій, виконуваних системою;

наявність управління, як правило, складноорганізованого;

високий ступінь автоматизації в системі.

Системи є об'єктом дослідження. При дослідженні технічних систем здійснюється їх аналіз. За результатами аналізу виконується цілеспрямована зміна системи з метою поліпшення її характеристик.

Аналіз системи базується на особливостях її функціонального призначення.

Деякі характерні технічні системи та виконувані ними функції наведені на рис. 1.1.

Рисунок 1.1 - Характерні технічні системи та виконувані ними функції [4]: а - механіко-машинобудівна; б - зварювальна; в — інженерно-фізична; г - електромеханічна; д - іиженерно-хімічна; е – вимірювальна

Кожна система має зовнішні зв'язки, по яких здійснюється обмін інфор-мацією з іншими системами. Ці зв'язки є різноманітними і не завжди визна-ченими. З метою аналізу системи виділяють деякі характерні причиново-наслідкові зв'язки між системою та іншими системами. Вони формуються як входи і виходи системи. Ступінь деталізації входів і виходів визначається за-дачами аналізу системи. Для вищеназваних систем (рис. 1.1) входами і виходами є як окремі параметри, так і їх комплекси.

Будь-який об’єкт проектування характеризується множиною параметрів. Під параметром розуміють величину, яка виражає властивість об’єкта проектування (системи), або його частини чи впливу зовнішнього середовища на об’єкт розроблення (систему). При проектуванні використовують термін “фазова змінна” – величина, яка характеризує енергетичне чи інформаційне наповнення елемента або підсистеми.

Сукупність значень фазових змінних зафіксованих в певний момент часу процесу функціонування називається станом системи.

В системах мають місце різноманітні робочі процеси. Більшість процесів відзначається різноманітністю фізичних явищ та складністю. Наприклад, коливальні процеси, гідродинамічні процеси, процеси на границях (поверхнях поділу), такі як: емісія, теплообмін, поверхневий натяг, процеси переносу текла і речовини в середовищі тощо.

Під процесом розуміють семантичну категорію, яка відображає послідовність зміни стану системи.

При дослідженнях систем розглядаються процеси у вигляді послідовної зміни предметів та явищ, які виникають закономірним чином у відповідності з відомими фізичними законами.

З метою зручності опису системи параметри поділяються на групи (рис. 1.2).

Рисунок 1.2 - Параметри системи

Параметри об’єкта моделювання можна розділити на чотири основні групи: вхідні параметри (Хвх.); зовнішні (Хзов.); внутрішні (Хвн.); вихідні параметри (Хвих.).

Вхідними параметрами об’єкта називають параметри, якими можна керувати або з допомогою яких керуємо об’єктом. В залежності від складності об’єкта проектування, кількість вхідних параметрів може бути різна. Для складних об’єктів кількість може доходити до тисяч, навіть

десятків тисяч. В загальному випадку , n – загальна кількість вхідних параметрів.

Зовнішні параметри описують зовнішнє середовище. До них відносяться такі параметри як: температура оточуючого середовища,

вологість, тиск, вібрації та інші. Відповідний вектор для параметрів

зовнішнього середовища , а у випадку, зазначення

конкретного параметра – . Як правило, при проектуванні будь-якого об’єкта в технічному завданні відведено розділ, в якому задаються граничні значення параметрів оточуючого середовища (кліматичні умови) в яких має функціонувати об’єкт проектування (моделювання).

Внутрішні (ендогенні) параметри системи служать для опису процесів, які в ній протікають. Ці параметри подаються у вигляді векторів проміжних параметрів (станів), що характеризують зв'язки між підсистемами або у вигляді внутрішніх параметрів підсистем. Внутрішні параметри підсистем можуть бути функціями часу або постійними величинами, зокрема випадковими величинами або випадковими процесами, логічними умовами чи деякими співвідношеннями.

Вихідні, ендогенні параметри об’єкта залежать від вхідних, зовнішніх та внутрішніх параметрів, що можна записати вигляді наступної

функціональної залежності , де – деяка функція, яка дає змогу встановити зв’язок між вектором вихідних параметрів та векторами вхідними, внутрішніх і зовнішніх параметрів.

В описах використовуються змінні двох видів: екзогенні та ендогенні. Екзогенні змінні - це незалежні змінні (вхідні дії, дії зовнішнього середовища і внутрішні параметри). Ендогенні змінні - це вихідні (залежні) змінні або характеристики системи або змінні стану.

Функціональні залежності описують поведінку змінних і параметрів в межах компоненти або ж виражають співвідношення між компонентами системи. Ці співвідношення за своєю природою є або детермінованими, або стохастичними, виражаються у вигляді алгоритмів і встановлюють залежність між змінними стану та екзогенними змінними.

Детерміновані співвідношення - це співвідношення, які однозначно описуються вхідними і зовнішніми параметрами системи. Стохастичні співвідношення враховують вплив випадкових факторів. Обмеження являють собою встановлені межі зміни значень змінних. Обмеження можуть вводитися або розробником, або встановлюватися самою системою внаслідок притаманних їй властивостей.

Вхідні та вихідні параметри дають кількісні характеристики входів і ви-ходів системи. Вони звичайно представляють собою векторні функції, які задаються символьними виразами, або умовами чи обмеженнями. Вхідні параметри, як правило, є незалежними функціями часу, а вихідні - залежать від вхідних параметрів і від характеристик системи. В більшості випадків вхідні параметри не можуть бути описані точно, складно дати навіть якісний опис деяких вхідних параметрів.

Для вивчення структури системи і її властивостей використовуються два основні підходи: структурний і функціональний. При структурному підході вивчається склад елементів системи та зв'язки між ними. При функціональному підході вивчаються окремі функції, алгоритми функціонування системи.

Властивості системи оцінюються якісними і кількісними характеристиками її елементів, підсистем або системи в цілому. Для кількісної характеристики вводяться числа, що виражають відносини між її реальним значенням і еталоном. Якісні характеристики системи знаходяться, наприклад, за допомогою експертних оцінок.

1.2 Поняття моделі та моделювання Зміст понять “модель”, ”моделювання” в різних сферах науки та

техніки відрізняються. Але незважаючи на це можна видокремити одну визначальну спільну властивість: модель завжди в тій чи іншій мірі імітує або заміняє оригінал. Певний об'єкт А є моделлю об’єкта В відносно деякої системи характеристик (властивостей), якщо А будується (вибирається) для імітації (заміни) В за цими характеристиками. З цієї точки зору моделювання можна розглядати як процес побудови моделей, процес представлення об'єкта-оригінала адекватною моделлю та проведення дослідження з використанням цієї моделі з метою отримання певної інформації про оригінал (об’єкт проектування).

З філософської точки зору під моделюванням розуміють процес опосередкованого пізнання реальності. Слід відзначити, що в процесі моделювання модель виступає одночасно і як засіб, і як об'єкт досліджень, який знаходиться у певному відношенні подібності до модельованого об'єкту.

Подібність – це взаємно-однозначна відповідність між двома об'єктами, коли відомі функції переходу від параметрів одного об'єкту до параметрів іншого, а математичні описи можуть бути зроблені тотожними.

Отже, модель – це спеціальний об’єкт, який в деякому сенсі та з певною ступінню подібності заміняє оригінал.

Будь-яка модель відображає лише деякі сторони оригіналу (параметри, які цікавлять розробника оригіналу), завдяки чому модель набуває певної ідеалізованої форми. Тому, досить часто для всестороннього вивчення оригіналу доводиться будувати і досліджувати цілу низку моделей. Складність моделювання як процесу полягає у відповідному виборі такої сукупності моделей, які заміняють реальний об’єкт у потрібному відношенні (відображають лише певні характеристики об’єкта моделювання).

Процес моделювання передбачає розв’язання двох задач, а саме: побудову моделі оригіналу (modeling) та процес дослідження параметрів оригіналу з використанням побудованої моделі (simulation).

Модель - сутність / об'єкт, який відображає процеси, що протікають в реальних системах за допомогою математичних або натурних засобів.

Модель - умовне відображення реальної системи. Умовність пов'язана з можливістю формалізації опису процесу і взаємозв'язків його показників.

Модель (лат. modulus - образ, modelium - міра) – існуюча реально, або розроблена теоретично система, яка заміщує об’єкт – оригінал, таким чином, що дає уявлення про властивості об’єкта.

В моделях відображаються процеси у вигляді взаємозв'язків показників процесу і на цій основі здійснюються оцінки характеристик (залежностей) та / або параметрів процесів досліджуваних систем.

При аналізі складних систем розрізняють системний та індуктивний підходи. Індуктивний підхід розглядає систему шляхом переходу від частини до загального, синтезує систему шляхом злиття її компонент, які розроблюються окремо. Системный підход застосовує послідовний перехід від загального до частого, виділяючи характеристики, які описують досліджувані властивості об’єкта.

Процес синтезу моделі М на основі класичного (індуктивного) підходу наведено на рис. 1.3а. Реальний об'єкт, разбивається на окремі підсистеми, вибіраються вихідні дані Д для моделювання та ставяться цілі Ц, які відображають окремі боки процесу моделювання. Сукупності вихідних даних

Д ставиться ціль моделювання, на базі цієї цілі формується компонента К модели. Сукупність компонент об’єднується в модель М. Розробка моделі М на базі класичного підходу означає сумування окремих компонент в єдину модель, причому кожна з компонент вирішує свої власні задачі та ізольована від інших частин моделі.

Системний підход означає, що кожна система S є інтегрованим цілим навіть тоді, коли складається з окремих підсистем (див. рис.1.3б). На базі вихідних даних Д, обмежень ззовні або виходячи з можливостей реалізації, формулються вимоги Т до моделі системи S. На базі цих вимог формуються підсистеми П, елементи Э та проводиться вибір В складових системи за критеріями КВ.

Рисунок 1.3 –Види моделювання: а- індуктивне , б- системне

1.3 Класифікація моделей Класифікація моделей може здійснюватися за різними критеріями і

носить умовний характер. Моделі поділяються на два великих класи: предметні (матеріальні, експериментальні) та абстрактні (ідеальні, теоретичні).

Предметні моделі утворюються з сукупності матеріальних об’єктів і представляють собою реально існуючі пристрої двох основних типів. Предметні моделі першого типу (фізичні) відтворюють оригінал у спрощеному вигляді, причому природа матеріальних елементів (складових частин) цих моделей може відрізнятися від природи елементів з яких складається об’єкт моделювання. Прикладом предметної фізичної моделі може бути макет. Фізичні моделі створюються на основі теорії подібності, причому подібність здійснюється за тими параметрами, які є суттєвими для дослідника. Так, наприклад, для вивчення опору руху корабля потрібна

модель, зовнішні форми якої подібні до зовнішніх форм оригіналу, а для дослідження міцності цього ж корабля – модель, що імітує його силовий каркас.

Макетні моделі - це реально існуючі моделі, що відтворюють модельовану систему в певному масштабі. Іноді такі моделі називаються масштабними. Параметри моделі і системи відрізняються між собою. Числове значення цієї відмінності називається масштабом моделювання, або коефіцієнтом схожості. Ці моделі розглядаються в рамках теорії схожості, яка в окремих випадках передбачає геометричну схожість оригінала і моделі для відповідних масштабів параметрів. Прості макетні моделі - це пропорційно зменшені копії існуючих систем, які відтворюють основні властивості системи або об'єкта залежно від мети моделювання. Макетні моделі широко використовуються під час вивчення фізичних та аеродинамічних процесів, гідротехнічних споруд і багатьох інших технічних систем.

Іншим видом предметного моделювання є фізичне, яке відрізняється тим, що експеримент проводиться на установках, котрі зберігають природу явищ та мають фізичну подобу відносно досліджуваних параметрів.

Предметні моделі другого типу – моделі на основі методу аналогій – ґрунтуються на тому факті, що різні фізичні явища описуються за допомогою однакового математичного апарату. Наприклад, коливальні процеси в механічних та електричних системах описуються однаковими звичайними диференціальними рівняннями другого порядку. В основу аналогового моделювання покладено збіг математичних описів різних об'єктів. Прикладами аналогових моделей можуть служити електричні і механічні коливання, які з точки зору математики описуються одинако співвідношеннями, але є якісно відмінним фізичними процесами. Прі деяких припущеннях, аналогічними можна вважати процеси розповсюдження тепла в тілі, дифузії домішок і просочування рідини. Це означає, що замість проведення досить складного і дорогого експерименту з механічною системою можна провести простіший експеримент з електричною системою, яка в цьому випадку і буде виступати моделлю.

Переваги предметних моделей: висока адекватність моделі реальній системі; висока точність результатів.

Недоліки: висока вартість створення моделі; великі часові витрати; необхідність доопрацювання окремих вузлів реальної системи для проведення натурних експериментів;

Приклад: дослідження характеристик надійності автомобілів (crash test).

Абстрактні (ідеальні) моделі описують об’єкт дослідження за допомогою певної мови. Абстрактність цих моделей проявляється в тому, що компонентами моделі є поняття (образи, креслення, схеми, графіки, рівняння, алгоритми), а не фізичні елементи. Ці моделі мають форму функціональних залежностей між групами параметрів досліджуваного об’єкту. За ступенем абстрагування математичні моделі знаходяться на найвищому рівні ієрархії. Серед абстрактних моделей розрізняють гносеологічні, інформаційні, сенсуальні моделі. Гносеологічні моделі призначені для дослідження об’єктивних законів природи (наприклад, моделі сонячної системи, біосфери, світового океану тощо). Інформаційні моделі описують поведінку оригіналу, а не імітують його. Сенсуальні моделі – це моделі, що впливають на почуття людини (музика, мистецтво тощо).

При спостереженні за об'єктом - оригіналом в голові дослідника формується якийсь уявний образ об'єкта, його ідеальна модель, яку називають когнітивною (уявною, що сприяє пізнанню).

Подання когнітивної моделі природною мовою називається змістовною моделлю. Когнітивні моделі суб'єктивні, бо формуються «в голові» дослідника на основі його знань і досвіду. Отримати уявлення про когнітивну модель можна тільки описавши її в знаковій формі. Не можна стверджувати, що когнітивні та змістовні моделі еквівалентні, бо перші можуть містити елементи, які дослідник не зможе або не хоче сформулювати.

За функціональною ознакою і цілям змістовні моделі підрозділяються на описові, пояснювальні і прогностичні. Описової моделлю можна назвати будь-яке опис об'єкта. Пояснювальна модель дозволяє відповісти на питання, чому щось відбувається. Прогностична модель описує майбутню поведінку об'єкта.

Концептуальною моделлю називають змістовну модель, при формулюванні якої використовуються поняття і терміни предметних областей. Виділяють три види концептуальних моделей: логіко -семіотичні, структурно - функціональні та причинно - наслідкові.

Логіко - семіотична модель є описом об'єкта в термінах відповідних предметних областей знань, що включає всі відомі логічно несуперечливі затвердження і факти.

При побудові структурно - функціональної моделі об'єкт розглядається як цілісна система, яку розчленують на окремі елементи або підсистеми. Частини системи описують зв'язку структурні відношення, підпорядкований, логічну послідовність. Для представлення подібних моделей зручні різного роду схеми, карти та діаграми.

Причинно - наслідкова модель використовується для пояснення та прогнозування поведінки об'єкта. Дані моделі орієнтовані в основному на наступне:

1) виявлення головних взаємозв’язків між складовими елементами досліджуваного об'єкта;

2) визначення того, як зміна одних факторів впливає на стан компонентів моделі;

3) розуміння того, як в цілому буде функціонувати модель і чи буде вона адекватно описувати об’єкт.

Формальна модель є представленням концептуальної моделі за допомогою однієї або декількох формальних мов (наприклад, мов математичних теорій або алгоритмічних мов).

Найбільш значимою формальною моделлю є математична модель.

Математичне моделювання являє собою процес заміни системи математичною моделлю і реалізації цієї моделі на комп'ютері на основі розробленого алгоритму. Основне призначення математичних моделей полягає у формуванні структури (синтезі) систем і у відтворенні процесів функціонування останніх для оцінки їх характеристик, властивостей.

Під математичною моделлю розуміють будь-який математичний опис, що відображає з потрібною точністю структуру та/або процес функціонування деякої реальної системи в реальних умовах.

Математична модель це набір математичних знаків для встановлення зв’язку між вихідними та вхідними і внутрішніми параметрами об’єкта проектування в заданих умовах. Отже, математичний опис полягає у встановленні зв’язків між параметрами процесу та виявлені його граничних і

початкових умов, а також у формалізації цього процесу у вигляді системи математичних співвідношень.

У найпростішому випадку математичний опис (математична модель) об’єкта проектування має вигляд явної функції, що виражає змінну величину (вихідні параметри) через інші змінні, які називаються аргументами (вхідні, внутрішні та параметри зовнішнього середовища), і в загальному випадку може бути записана наступним чином:

,

де – вихідний параметр моделі, – функція перетворення, – множина вхідних, внутрішніх та параметрів зовнішнього середовища.

В більш складному випадку має вигляд рівняння в нормальному або явному вигляді. У складнішому випадку співвідношення математичної моделі можуть бути записані у формі звичайних диференціальних рівнянь

,

які зв’язують незалежну змінну , відомі функції , невідому

функцію та похідні функцій . Прикладом такої моделі може бути диференціальне рівняння другого порядку, що описує зміщення пластини електричного конденсатора під дією зовнішньої сили з врахуванням електростатичної сили між його пластинами

, ,

де – зсув; – механічна сила; – маса пластини; – сумарна прикладена сила; – коефіцієнт пружності пружини; – коефіцієнт демпферування.

Наведені вище співвідношення можна узагальнити використовуючи поняття оператора. Розглянемо деяку систему стан якої в довільний момент часу описується певним набором - величин, які називаються характеристиками стану. Характеристики стану залежать як від власних параметрів системи, так і різних зовнішніх впливів з боку оточуючого середовища. Опис цієї залежності – це і є суть математичної моделі цієї системи. В загальному випадку, характеристики стану, власні параметри та зовнішні фактори є функціями одного і того ж або різних аргументів.

Правила перетворення однієї функції в іншу називають оператором. Тоді математична модель, в найбільш загальному випадку, має наступний операторний вигляд:

,

де через позначено оператор, а під розуміється набір величин, які тим чи іншим способом впливають на характеристики стану. Частковим випадком такого оператора є функціонал, який задає правила перетворення функції в скалярну величину.

Наведене вище тлумачення оператора як правила перетворення функцій можна узагальнити наступним чином. Нехай задано дві множини функцій та і нехай функція є елементом множини , функція - множини , тобто , . Тоді в операторному рівнянні

,

оператор задає відповідність між елементами множин і , а розв’язати операторне рівняння означає знайти при заданих та вигляд оператора .

Для опису технічних систем використовуються аналітичні та імітаційні математичні моделі.

Аналітичні моделі призначені для отримання функціональних залежностей шляхом послідовного застосування математичних формул та правил. В них модель представлена сукупністю аналітичних виразів, які відображають явні функціональні залежності між параметрами реальної системи в процесі її роботи: лінійні і нелінійні рівняння, диференціальні та інтегральні рівняння, імовірнісні залежності.

При використанні аналітичних методів часто виникають труднощі пов’язані з неможливістю отримання розв’язку в аналітичній формі, що значно обмежує сферу їх застосування. В такому випадку проводиться дослідження аналітичних моделей в чисельному вигляді. Дослідження математичних моделей за допомогою чисельних методів полягає в заміні “неперервних” математичних операцій та відношень на відповідні дискретні аналоги: інтегралів на суми, похідних на їх аналоги у формі різницевих співвідношень, нескінченні суми на скінченні і т.д.

Результати отримані в аналітичній формі є універсальними і мають дуже велику цінність, оскільки вони дають змогу перевірити точність інших підходів.

Аналітичні методи при комп’ютерному моделюванні завжди використовують елементи чисельних методів.

Імітаційні методи використовують, коли моделі являють собою змістовний опис об’єктів дослідження у формі алгоритмів. Моделі такого типу називаються імітаційними або алгоритмічними. Вони адекватно відображають як структуру систем, що досягається ототожнюванням елементів системи з відповідними елементами алгоритмів, так і процеси функціонування системи, зображені в логіко-математичній формі. В імітаційних моделях часто знаходять відображення багато деталей структури та функцій складних систем, які вимушено втрачаються або нехтуються в математично суворих моделях.

Імітаційне моделювання - це окремий випадок математичного моделювання. Існує клас об'єктів, для яких з різних причин не розроблені аналітичні моделі, або не розроблені методи розрахунку отриманої моделі. В цьому випадку математична модель замінюється імітатором або імітаційною моделлю. Імітаційне моделювання являє собою чисельний метод проведення обчислювальних експериментів з математичними моделями, що імітують поведінку реальних об'єктів, процесів і систем у часі протягом заданого періоду.

Імітаційне моделювання - це сукупність методів алгоритмізації функціонування об'єктів досліджень, програмної реалізації алгоритмічних описів, організації, планування та виконання на ЕОМ обчислювальних експериментів з математичними моделями.

Переваги імітаційного моделювання: висока адекватність між фізичною суттю описуваного процесу і його моделлю; можливість описати складну систему на досить високому рівні деталізації; значно більше областей дослідження, ніж аналітичне моделювання; відсутність обмежень відображення в моделі залежностей між параметрами моделі; можливість оцінки функціонування системи не тільки в стаціонарних станах, але і в перехідних режимах (процесах) ; одержання значної кількості даних про досліджуваний об'єкт (закон розподілу випадкових величин, числові значення абсолютні та відносні, і багато іншого) ; найбільш раціональне

ставлення «результат - витрати» по відношенню до аналітичного і фізичного моделюванню.

Недоліки імітаційного моделювання: розробка хорошої моделі часто обходиться дорожче, ніж аналітична і вимагає більше часу на створення і налагодження, складно оцінити ступінь точності моделі, її адекватність досліджуваному процесу; відносно високі вимоги до кваліфікації дослідника для написання моделі; спільність застосування та індивідуальність реалізації.

Найчастіше імітаційні моделі потребують проведення статистичного моделювання.

Суть статистичного моделювання полягає в отриманні за допомогою комп’ютера статистичних даних про процеси, які відбуваються в модельованій системі, з наступною обробкою їх методами математичної статистики. До переваг статистичного моделювання слід віднести принципову можливість проведення аналізу систем довільної складності з довільним ступенем деталізації. Негативна сторона – трудомісткість процесу моделювання та частковий характер отриманих результатів, на основі яких важко виявити загальні закономірності.

Імітаційні та аналітичні моделі є реалізаціями знакових семантичних (символічних) моделей.

Розрізняють моделі статичні і динамічні. Статична модель описує явище або ситуацію в припущенні їх завершеності, незмінності (тобто в статиці). Динамічна модель описує, як протікає явище або змінюється ситуація від одного стану до іншого (тобто в динаміці). При використанні динамічних моделей, як правило, задають початковий стан системи, а потім досліджують зміна цього стану в часі.

За характером відтворюваних сторін об'єкта проектування виділяють субстанціональні моделі, які характеризують простір можливих станів об'єкта, приклади: довідники, описи типових проектних рішень, технологічних операцій; функціональні моделі, які характеризують об'єкт тільки в аспекті певних його відносин з середовищем або іншими об'єктами, структурні моделі, які характеризують внутрішню організацію об'єктів; змішані моделі.

Структурні моделі поділяються на топологічні й геометричні.

Топологічні моделі відображають склад і взаємозв’язки між елементами об'єкта. Найчастіше їх застосовують для опису об'єктів, які

складаються з великого числа елементів, при розв’язанні задач прив'язки конструктивних елементів до певних просторових позицій (наприклад, задачі компонування обладнання, розміщення деталей, трасування з'єднань) чи до відносних моментів часу (наприклад, при розробці розкладів руху громадського транспорту, технологічних процесів). Топологічні моделі можуть мати форму графів, таблиць (матриць), списків тощо.

Геометричні моделі відображають геометричні властивості об'єктів, у них додатково до інформації про взаємне розташування елементів містяться дані про форму деталей. Геометричні моделі можуть виражатися сукупністю рівнянь ліній і поверхонь; алгебричних співвідношень, які описують області, що складають тіло об'єкта; графами і списками, що відображають конструкцію з типових конструктивних елементів, тощо. Геометричні моделі застосовують при розв’язанні задач конструювання в машинобудуванні, приладобудуванні, радіоелектроніці, для оформлення конструкторської документації, при задані вихідних даних на розробку технологічних процесів виготовлення деталей.

Функціональні моделі пов'язані з функціональним аспектом проектування систем і відображають закономірності процесів їх функціонування. Ці моделі видаються як систем рівнянь, що описують відповідні процеси: електричні, механічні, теплові, процеси перетворення інформації і т.д.

Залежно від складності модельованої системи в ієрархії функціональних моделей виділяють три рівня - мікрорівень, макрорівень і метарівень.

На мікрорівні використовують математичні моделі, які описують фізичний стан і процеси в суцільних середовищах. Для побудови таких моделей застосовують апарат рівнянь математичної фізики. Наприклад, диференціальні рівняння в часткових похідних (рівняння електродинаміки, теплопровідності, пружності, газової динаміки і_т.д.). В якості залежних змінних на мікрорівні можуть використовуватися фазові змінні, такі як напруженості полів, електричні потенціали, тиску, температури, концентрації частинок, щільності струмів, механічні напруги і деформації.

На макрорівні математичні моделі описують процеси в окремих елементах: деталях. В якості фазових змінних використовуються електричні напруги, струми, сили, швидкості, температури, витрати і т.п. Функціональні моделі на макрорівні являють собою системи алгебраїчних або

диференційних рівнянь. На метарівні математичні моделі описують інформаційні процеси, що протікають в системах. Для побудови таких моделей використовують теорію автоматичного управління, математичну логіку, теорію кінцевих автоматів, теорію масового обслуговування. Модель концентрує у вигляді математичних співвідношень сукупність наших знань, уявлень та гіпотез про відповідний об’єкт дослідження. Вона завжди описує поведінку реальної системи лише наближено, оскільки наші знання не є абсолютними, а гіпотези та припущення не враховують усі фактори. Такі моделі відносяться до класу гомоморфних моделей (макромодель), під якими розуміють моделі, що відображають лише основні властивості об’єкту дослідження. Між гомоморфною моделлю та оригіналом відсутнє повне, поелементне відображення. В ізоморфних моделях спостерігається повна поелементна відповідність між моделлю та оригіналом (повна модель). В повних моделях фігурують фазові змінні, що характеризують стани всіх наявних між елементних зв'язків (тобто стану всіх елементів проектованого об'єкта).

При побудові моделі дослідник завжди виходить з поставленних цілей, враховує тільки найбільш істотні для дослідження фактори. Тому будь-яка модель нетотожня об'єкту оригіналу і, отже, неповна. Інші фактори, незважаючи на свій відносно малий вплив на поведінку об'єкта в порівнянні з вибраними факторами, в сукупності все ж можуть призводити до значних відмінностей між об'єктом і його моделлю. «Повна» модель, буде повністю тотожна оригіналу. Цю думку висловили Артуро Розенблют і Норберт Вінер: «Найкращою моделлю кота є інший кіт, а ще краще - той же самий кіт».

В залежності від специфіки зв’язку між характеристиками стану та вхідними даними розрізняють детерміновані та стохастичні моделі. В детермінованих моделях у кожний фіксований момент часу характеристики стану системи однозначно визначаються через вхідні дані. Детерміновані моделі будують на основі фундаментальних теоретичних законів, таких як закони збереження енергії, маси, закони термодинаміки, кінетики тощо. Усі величини, які входять до складу детермінованих моделей задають у вигляді конкретних чисел, векторів та функцій. Якщо хоча б один параметр системи (об’єкта моделювання чи проектування) приймає випадкові значення, то таку побудовану математичну модель називають стохастичною або імовірнісною. У цьому випадку під однозначністю визначення характеристик стану системи розуміють однозначність визначення імовірнісного розподілу цих

характеристик за заданими розподілами ймовірностей вхідних даних. Будь-якій реальній системі притаманні в тій чи іншій мірі випадкові флуктуації.

Модель називається лінійною, якщо для оператора моделі виконується принцип суперпозиції. У протилежному випадку модель називається нелінійною. Більшість реальних систем є нелінійними.

В нестаціонарних моделях вихідні параметри (розв’язання задачі) змінюються з часом, в іншому випадку – вихідні параметрі не залежать від змінної часу. Неперевні моделі дають змогу визначити зміну вихідних параметрів в будь-який момент часу (для прикладу, модель, яка дає змогу визначити вихідні параметри аналогового електричний сигналу). Дискретні моделі оперують дискретною інформацією, тобто даними, отриманими в певні відліки часу (наприклад, моделі, що оперують з цифровою формою представлення електричного сигналу).

За призначенням моделі можуть бути цільовими і продуктивними. Цільові моделі покликані в явній формі відображати мета створення, призначення об'єкта проектування. Продуктивні моделі, являють сукупність технічної документації на об'єкт.

За місцем використання в проектному процесі розрізняють факторні та базові макромоделі. Факторні моделі призначені для опису елементів на більш високому рівні. Базові моделі призначені для використання на тому ж рівні, на якому вони розробляються. Ці моделі слугують для скорочення розмірності задач даного рівня заміною фрагментів повної моделі.

За способом використання експериментальних даних моделі поділяються на апріорні (розроблені теоретично) і апостеріорні (отримані в результаті обробки експериментальних даних).

За підходом до опису характерних властивостей об'єкта моделювання розрізняють моделі систем в розподілених параметрах і моделі систем в зо-середжених параметрах.

За типом (напрямом) вирішуваних завдань моделі поділяються на прямі, зворотні, ідентифікаційні.

Найбільш часто вирішують так звані прямі завдання, постановка яких виглядає наступним чином: за даним значенням вхідного даного х при фіксованих значеннях параметрів а потрібно знайти рішення у. Процес розв'язання прямої задачі можна розглядати як математичне моделювання причинно-наслідкового зв'язку, властивого явищу. Тоді вхідний дане х

характеризує "причини" явища, які задаються і варіюються в процесі дослідження, а шукане рішення у - "слідство". Для того щоб математичний опис було застосовується не до одиничного явища, а до широкого кола близьких за природою явищ, насправді будують не одиничну математичну модель, а деякий параметричне сімейство моделей. Вибір конкретної моделі з цього сімейства здійснюється фіксацією значень параметрів моделі а. Наприклад, в ролі таких параметрів можуть виступати деякі з коефіцієнтів, що входять в рівняння. За допомогою вибору параметрів може проводитися вибір типу функціональної залежності між величинами. Якщо використовувані математичні моделі розбиті на класи, то параметром може служити і клас використовуваної моделі.

Велику роль відіграють обернені задачи, які складаються у визначенні вхідного даного х за даним значенням у при обраних параметрах моделі а. Рішення зворотної задачі - це в певному сенсі спроба з'ясувати, які "причини" х привели до відомого "слідству" у. Як правило, зворотні завдання виявляються складніше для вирішення, ніж прямі.

Крім двох розглянутих типів завдань слід згадати ще один тип - завдання ідентифікації. У широкому сенсі завдання ідентифікації моделі - це завдання вибору серед безлічі всіляких моделей тієї, яка найкращим чином описує досліджуване явище. У такій постановці ця задача виглядає як практично нерозв'язна проблема. Найчастіше задачу ідентифікації розуміють у вузькому сенсі, як завдання вибору із заданого параметричного сімейства моделей конкретної математичної моделі (за допомогою вибору її параметрів а), з тим щоб оптимальним в сенсі деякого критерію чином узгодити слідства з моделі з результатами спостережень.

1.3 Характеристики моделей Складність (або простота), яку оцінюють по загальній кількості

елементів та зв’язків між ними.

Економічність, яка визначається затратами часу, матеріальних та фінансових коштів на розробку та використання моделі.

Цілісність, яка вказує на те, що модель відповідає цілісній системі.

Адаптивність, яка дозволяє пристосовувати модель до різних умов. Адптивність визначається кількістю та складом врахованих в моделі зовнішніх і вихідних параметрів.

Універсальність характеризується областю застосування. Тобто, чим більша множина задач, які можна розв’язувати з використанням моделі, тим модель є більш універсальною.

Керованість моделі, яка витікає з необхідності забезпечити керування з боку експериментатора.

Можливість розвитку моделі для передбачення розширення спектра досліджуваних функцій, кількості підсистем.

Якщо результати моделювання задовольняють дослідника і можуть служити основою для прогнозування поведінки або властивостей досліджуваного об'єкта, то говорять, що модель адекватна об'єкту. При цьому адекватність моделі залежить від цілей моделювання та прийнятих критеріїв. Враховуючи закладену при створенні неповноту моделі, можна стверджувати, що ідеально адекватна модель принципово неможливе можна. Адекватність (відповідність) об’єкту-оригіналу відносно вибраної системи його характеристик є найважливішою характеристикою моделі. Під цим, як правило розуміють: правильний кількісний опис об’єкта за вибраними характеристиками з необхідною точністю в розумних межах. Отже, під адекватністю моделі розуміють можливість відображення заданих властивостей моделі з заданою точністю.

Точність моделі визначається як ступінь співпадіння вихідних параметрів моделі та об’єкту-оригінала.

Оберненою величиною до точності моделі є її похибка.

Похибка моделі не може бути меншою за найбільше значення похибки одного з вихідних параметрів математичної моделі.

Точність моделі залежить від умов функціонування об’єкту-оригіналу в просторі зміни вхідних параметрів. В цьому випадку зручно оперувати поняттям області адекватності моделі (див. рис.1.5), що визначає область в просторі зміни вихідних параметрів, де виконується умова ε < εграничне (εграничне – наперед задане граничне значення похибки).

Рисунок 1.5. Приклад області адекватності моделі

Слід підкреслити відносний характер наведеного поняття адекватності, тобто прив’язку адекватності моделі до характеристик об’єкту дослідження, які прийнято за основні в рамках цього дослідження. Так, наприклад, якщо вивчається реакція об’єкта на зовнішні збурення того чи іншого класу, то модель, адекватна відносно одного класу збурень, може виявитися неадекватною відносно іншого класу збурень.

До певної міри протилежною до вимоги адекватності математичної моделі є вимога її достатньої простоти (економічності) відносно вибраної системи характеристик. Модель є достатньо простою, якщо засоби дослідження (фізичні, математичні, і зокрема, обчислювальні) дають можливість провести економно, але з задовільною точністю кількісний або якісний аналіз вибраних характеристик.

Помилки, які виникають при математичному моделюванні, мають різний характер і величину. Для їх визначення та врахування здійснюється аналіз причин і місця виникнення помилок (рис. 1.6).

Рис. 1.6. Похибки моделювання [4]

Похибки введення вхідних та проміжних параметрів поділяються на грубі (10 % і більше), які виникають від недостатньої інформації про дійсні вхідні параметри моделі, а також на несуттєві похибки, пов'язані із особливостями математичного аналізу вхідних параметрів.

Похибки моделі спричинені, як правило, неточностями, допущеними при виборі стратегії моделювання, а також особливостями алгоритму і обчислювальної процедури. Похибки методу пов’язані з тим, що будь-яка математична модель відтворює об’єкт оригінал наближено. Наприклад, використання нульових, дійсних променів теорії оптичних систем, та диференційних хвильових рівнянь. Додаткові методичні похибки обумовлені застосуванням в математичній моделі чисельного методу. Наприклад, ви-користання методу Рунге-Кутта ІV-го порядку при чисельному інтегруванні диференціальних рівнянь вводить похибку обчислень, що відповідає кроку інтегрування в 4-й степені.

Якщо початкова математична задача сформульована в вигляді системи диференціальних рівнянь, то для чисельного рішення необхідно замінити її системою досить великої кількості лінійних алгебричних рівнянь. Це відбувається в результаті заміни неперервної області незалежної змінної кінцевою множиною дискретних точок, в яких знаходять рішення. В цьому випадку говорять, що проведена дискретизація початкової математичної задачі. Найпростішим прикладом дискретизації є побудова різницевої схеми шляхом заміни диференціальних виразів скінчено-різницевими аналогами. Зрозуміло, що рішення дискретизованої задачі відрізняється від рішення початкової задачі.

Похибки обчислень виникають при виконанні арифметичних операцій, зокрема, це - похибки обмеження та похибки округлення.

Похибки виведення та аналізу результатів моделювання можуть бути досить грубими і привести до помилкових висновків при аналізі результатів моделювання. Серед похибок виведення можна виділити похибку інтерполяції значень вихідного параметра, похибки, які виникають при екстраполяції процесів, похибки апроксимації та згладжування, похибки, що викликаються високочастотними осциляціями вихідних параметрів, та Інші.

Похибки інтерполяції часто виникають при формуванні виходу моделі у вигляді розрахункового масиву