ISSN: 2658–5782

Номер 1 Январь–Март 2019

МНОГОФАЗНЫЕСИСТЕМЫ

mfs.uimech.org

ИМехим. Р.Р.Мавлютова

ISSN 2658–5782 Том 14 (2019), №1, с. 17–26

Многофазные системыhttp://mfs.uimech.org/mfs2019.1.003 Получена: 20.03.2019DOI: 10.21662/mfs2019.1.003 Принята: 24.04.2019УДК 576.5, 51-76, 532.5

К вопросу о механизме клеточной миграции1

Рахимов А.А.∗, Ахметов А.Т.∗,∗∗, Валиев А.А.∗, Данилко К.В.∗∗∗, Саметов С.П.∗∗∗∗, Хисматуллин Д.Б.∗,∗∗∗∗∗

∗Институт механики им. Р.Р. Мавлютова УФИЦ РАН, Уфа∗∗Уфимский государственный нефтяной технический университет, Уфа∗∗∗«Башкирский государственный медицинский университет», Уфа

∗∗∗∗ООО «РН-БашНИПИнефть», Уфа∗∗∗∗∗Тулейнский университет, Новый Орлеан, Луизиана, США

В работе представлены экспериментальные и теоретические аспекты изучения миграции раковых клеток черезузкие микроканалы при взаимодействии с химическим веществом — аттрактантом. Химические агенты вводилисьнепосредственно из соответствующего отдельного резервуара посредством гидростатического напора. Наличиемиграционных каналов разного размера позволило анализировать присущие клеткам миграционные способности.Экспериментальные исследования по миграции раковых клеток клеточных линий проводились с использованиеммикрофлюидной бинарной миграционной ячейки. Она состоит из двух камер глубиной 50 мкм, соединенныхрядом узких микроканалов высотой 10 мкм. Камеры соединены с емкостями, из которых поступают раковыеклетки и активирующие среды. Особенностями модели являются плавные переходы из всех емкостей в микро-каналы для предотвращения скопления микропузырьков и клеток, наличие ограничительного барьера междуемкостью с хемоаттрактантом и питательной средой для уменьшения действия капиллярных сил, герметизацияподводящих каналов и емкостей с клетками при помощи наклеенной сверху стеклянной пластинки. В серииэкспериментов, проведенных в разработанной авторами миграционной микрофлюидной системе, выявленаспособность эпителиоподобных клеток линии метастатического рака предстательной железы DU145 совершатьмиграции. Характер миграции зависит от ширины канала и расположения клеток в момент добавления химиче-ского агента. В более широких каналах клетки медленнее адгезируют и способны совершать катящиеся движения.В более узких каналах клетки распластываются по стеклу. В качестве основы для теоретического исследованияклеточной миграции рассмотрена математическая модель концентрационно-капиллярного движения, котораяпредставляет собой системы уравнений динамики несжимаемой вязкой жидкости, записанные по отдельностидля содержимого клетки и для окружающей ее среды.

Ключевые слова: клеточная миграция, хемотаксис, микрожидкостные системы, моделирование биологическихсистем, рак предстательной железы

1. ВведениеНесмотря на прогресс в разработке новых ле-

карственных средств и методов лечения, метаста-1Работа выполнена при частичной финансовой поддержке

РФФИ (проект №18-01-00779-a) и средств государственногобюджета по госзаданию№0246-2019-0052.

c© Институт механики им. Р.Р. Мавлютова УФИЦ РАНc© Рахимов А.А.c© Ахметов А.Т.c© Валиев А.А.c© Данилко К.В.c© Саметов С.П.c© Хисматуллин Д.Б.

тический рак остается неизлечимой болезнью иодной из основных причин смерти в мире [1]. От-личительной чертой процесса метастазированияявляется способность раковых клеток мигрироватьиз первичной опухоли в отдаленные участки тела.Для многих видов рака эта способность приобре-тается в результате эпителиально-мезенхимногоперехода (ЭМП), когда клетки меняют свой фено-тип с неинвазивного на высокоинвазивный (по-движный). В данный момент эффективных мето-дов для оценки ЭМП и метастатического потенци-ала раковых клеток не существует, что затрудняет

18 Многофазные системы

диагностику агрессивных форм рака [2]. С другойстороны, многие раковые больные пожилого воз-раста (например, больные раком предстательнойжелезы, большинству которых за 60 лет) могут невыдержать агрессивного лечения, включающегохирургическое вмешательство, лучевую терапию ихимиотерапию. Для таких больных важен анализметастатического потенциала для определения со-ответствующих методов лечения — следует приме-нять агрессивное лечение «последней надежды»,более щадящую абляционную терапию или лече-ние вообще не требуется.

Одним из основных свойств живых клетокявляется их способность мигрировать из однойобласти пространства в другую в ответ на опре-деленные стимулы. Клеточная миграция имеетважное значение для одноклеточных организмов(чтобы найти пищу или избежать опасности), ав многоклеточных организмах она является клю-чевой частью морфогенеза, заживления ран, им-мунного ответа и метастазов рака. Этот тип дви-жения является «активной миграцией», так какона управляется силами, которые генерирует са-ма клетка, что отличается от «пассивной мигра-ции» циркулирующих клеток, вызываемой внеш-ней гидродинамической силой.

Разработка вычислительной модели актив-ной клеточной миграции совместно с микрофлю-идными экспериментами [3] имеет фундамен-тальную научную значимость, в частности, дляисследования механизмов активной миграциираковых клеток.

Ранее был разработан полностью трехмерныйвычислительный алгоритм для опосредованной ре-цептором клеточной адгезии к эндотелию или кподложке, покрытой лигандом, в микрофлюиднойпроточной камере [4,5]. Этот алгоритм, известныйкак VECAM (ViscoElastic Cell Adhesion Model), мо-делирует клетку как вязкоупругую жидкость, со-стоящую из двух фаз: ядра и цитоплазмы. Кро-ме того, VECAM отслеживает координаты каждоймолекулы лиганда (молекулы рецептора распре-делены равномерно по субстрату) и используеткинетику одиночной связи на основе вероятност-ного подхода (метод Монте-Карло) для описаниярецептор-лигандного взаимодействия. Было по-казано, что VECAM реалистично описывает из-менения формы и скорости циркулирующих кле-ток во время их взаимодействия с воспаленнымсосудистым эндотелием.

Задачей настоящей работы является выявле-ние потенциала миграционной активности кле-ток рака предстательной железы с использовани-ем микрожидкостных устройств. В данной работе

представлены особенности разработки работаю-щей миграционной камеры, методика проведенияэксперимента и первые результаты с раковымиклетками линии DU145.

2. Клеточные культурыВ работе использовались клеточные линии

PC-3(полученные из костного метастаза пациен-та с IV стадией аденокарциномы предстательнойжелезы) и DU145 (полученные из метастаза аде-нокарциномы предстательной железы в головноймозг). Обе линии клеток имеют эпителиальнуюморфологию и широко используются исследова-телями. Клетки культивировали в среде DMEM(Sigma, США) и RPMI 1640 (Gibco, США) 1:1 с добав-лением 10% фетальной бычьей сыворотки (Biowest,США) при температуре 37◦C во влажной атмосферев присутствии 5% СО2. Культуральную среду заме-няли 2 раза в неделю. После достижения клетками80% монослоя, клетки снимали с поверхности с по-мощью раствора трипсина 0,25%/ЭДТА 0,02% (Био-лот, Россия), подсчитывали на автоматическомсчетчике клеток TC20 (BioRad, США) и использо-вали для анализа.

Миграционный анализ в камере Бойдена

Для подбора наиболее эффективного хемоат-трактанта для клеток предстательной железы бы-ли использованы рекомбинантные человеческиеинтерлейкин 8 (IL-8) и фактор роста гепатоци-тов (HGF). Клетки линий PC-3 и DU145 однократ-но отмывали от остатков сыворотки фосфатно-солевым буфером (Панэко, Россия), добавляли сре-ду DMEM/RPMI 1640 1:1 до получения суспензиис концентрацией 5х10(5) клеток/мл линий PC-3 иDU145. В 24-луночный планшет помещались встав-ки с нейлоновой мембраной, диаметр пор — 8 мкл(Falcon). В каждую вставку помещали подготов-ленную суспензию клеток объемом 100 мкл, по-сле чего в лунку добавляли 400 мкл культураль-ной среды DMEM / RPMI 1640 1:1 с добавлениемIL-8 (1 нг/мл) либо HGF (20 нг/мл), либо без цито-кина. Клетки мигрировали 24 часа при темпера-туре 37◦С во влажной атмосфере в присутствии5% СO2. После чего среду удаляли, внутреннюючасть нейлоновой мембраны вставки очищали отклеток и помещали вставку в лунку планшета с400мкл раствораМТТ 5мг/мл на 4 часа. Колоримет-рический тест МТТ основан на способности окси-доредуктаз клетки превращать желтый тетразоли-евый краситель — 3-(4,5-диметилтиазол-2-ил)-2,5-дифенил-тетразолиум бромид в нерастворимыйпурпурный формазан. Раствор МТТ заменяли надиметилсульфоксид для растворения образовав-

2019. Т. 14. №1 19

-20

0

20

40

60

80

100

120

140

160

PC-3 DU145

IL8, 1 ng/ml HGF, 20 ng/ml Control, no cytokine

До

ля

ми

гри

ро

ва

вш

их к

ле

ток

отн

оси

тел

ьно

ко

нтр

ол

я, %

Рис. 1. Миграционная активность клеток линий PC-3и DU145 по результатам МТТ-теста в присут-ствии IL-8 (1 нг/мл), HGF (20 нг/мл) и в отсут-ствии стимула

шихся кристаллов формазана. После чего вставкиудаляли и регистрировали оптическую плотностьраствора в каждой лунке при длине волны 530 нми длине волны фонового поглощения 620 нм, ис-пользуя мультипланшетный анализатор Spark 10M(Tecan, Австрия).

Предварительные эксперименты по миграцииклеток линий PC-3 и DU145 рака предстательнойжелезы в присутствии цитокинов IL8 и HGF в каме-ре Бойдена представлены на (рис. 1).

Показано, что более активная миграция кле-ток обеих линий происходит в присутствии HGF вконцентрации 20 нг/мл. Клетки линии PC-3 болееактивно мигрировали в присутствии HGF, в то вре-мя, как миграция клеток линии DU145 оказаласьслабее по сравнению с контролем. IL8 подавляетмиграцию клеток DU145 и слабо стимулирует еедля линии PC-3. HGF был использован для последу-ющих экспериментов с линией DU145. В ходе даль-нейших экспериментов планируется использоватьтакже линию клеток PC-3 в присутствии градиентаконцентрации HGF.

Изучение миграции раковых клеток ли-нии DU145 проводилось в бинарной ячейке сградиентом концентрации хемоаттрактанта,образующимся за счет диффузионного процессав ламинарном потоке.

3. Разработка и изготовление мигра-ционной ячейкиПри изучении биологических клеточных

систем широко используются микрофлюидныеустройства, изготавливаемые методом мягкойфотолитографии [3].

Для изучения миграционной активности ра-ковых клеток была изготовлена бинарная мигра-

хемоаттрактант

1

2

3

4 5

6

раковые клетки

Рис. 2. Схематичное изображение миграционной ка-меры. 1, 2, 3, 4 — входные отверстия для хе-моаттрактанта (1), питательной среды (2,3) ираковых клеток (4); 5, 6 — выходные отверстия

ционная камера по аналогии с микрофлюиднойячейкой для изучения хемотаксической миграцииподвижных клеток, использовавшаяся в работе [6].Схематический вид миграционной ячейки приве-ден на рис. 2, состоит она из двух камер высотой по50 мкм, ряда соединяющих их перемычек высотойпо 10 мкм и цилиндрических отверстий в пластинеиз полидиметилсилоксана (ПДМС) глубиной 5 мми диаметром 3 мм. Во входные отверстия верхнейкамеры подаются питательная среда (отверстия2, 3 на рис. 2) и хемоаттрактант — химическое ве-щество, привлекающее раковые клетки (отверстие1). Отверстия круглой формы — емкости для пода-чи питательной среды и хемоаттрактанта, а такжевходное (4) и выходное (5) отверстия для суспен-зии, содержащей раковые клетки и питательнуюсреду, и выходное накопительное отверстие (6) дляпостоянно вытекающих хемоаттрактанта и среды.

Для изготовления двухуровневой миграцион-ной камеры были разработаны маски фотошаб-лона — векторные рисунки для распечатыванияна принтере высокого разрешения: 1) маска фото-шаблона миграционных каналов толщиной 10 мкм(рис. 3(а)); 2) маска фотошаблона с входным про-точным и нижним непроточным каналом толщи-ной50мкм (рис. 3(б)). На основепервоймаскиизго-товлен фотошаблон на поверхности предметногостекла, затем на него нанесен фоторезист слоем50 мкм; далее, на основе второй маски— оставшая-ся часть фотошаблона ячейки толщиной 50мкм. Набазе двухуровневогофотошаблонаполучена репли-ка в пластине из ПДМС, далее в ПДМС толщиной5 мм сделаны отверстия диаметром 3 мм и он скле-ен с предметным стеклом. Микроячейка готова.

При проведении экспериментов с клетками об-наружился ряд методических трудностей, связан-

20 Многофазные системы

(а)

(б)

(в)

Рис. 3. Изображение масок для изготовления двух-уровневой миграционной камеры: (a) — систе-ма миграционных микроканалов. (6 каналовшириной 50 мкм и симметрично к ним с обе-их сторон еще по 6 каналов шириной 40, 30,20, 15 мкм, у всех длина 300 мкм, расстояниемежду ними по 50 мкм), (б) — подводящиеканалы (ширина 100 мкм, расстояние междуверхней и нижней камерами 200 мкм) и вход-ные отверстия, (в) — маска для подводящихканалов с плавными переходами от входныхи выходного отверстий

ных с капиллярными силами, со скоплением мик-ропузырьков около ступенчатых сужений, с прояв-лением эффекта динамического запирания [7, 8]при течении дисперсных сред. Течение через сту-пенчатое сужение суспензии, содержащей раковыеклетки в питательной среде, при переходе из вход-ной емкости (рис. 1) в микроканал приводило кскоплению клеток у входа перед сужением, чтопрактически не позволяло клеткам достигнуть на-копительного участка перед так называемой «ле-сенкой» — системой миграционных каналов. На-блюдаемый микроскопом участок охватывал толь-ко треть «лесенки». Капиллярное давление жид-костей во входных отверстиях для реагентов придиаметре 3 мм значительно превышает гидроста-тическое давление 5 мм водяного столба. Все пе-речисленное поставило авторов перед необходи-мостью несколько изменить первоначальную кон-струкцию миграционной камеры. Для предотвра-щения скопления микропузырьков и раковых кле-ток на входах вмикроканалыцилиндрическиефор-мы емкостей в слое фоторезиста были заменены наемкости с плавным переходами (рис. 3(в)). Длину«лесенки» уменьшили для лучшей визуализации,большего охвата поля зрения микроскопа и полу-чили 3 канала шириной 50 мкм и симметрично кним с обеих сторон еще по 3 каналашириной 25, 15,10 мкм, длину и расстояние между ними оставилитакими же. Изображение изготовленной миграци-онной камеры представлено на рис. 4. В микрожид-костных устройствах стекло и ПДМС с репликойканалов прозрачные, что позволяет использоватьметоды визуализации. Отверстия получены на за-вершающей стадии изготовления миграционнойкамеры, когда прямоугольный «отвердевший» ПД-МС прокалывался специальным дыроколом перед«приклеиванием» к стеклу. Таким образом, высо-та этих емкостей соответствовала толщине слояПДМС, что составляло в среднем около 5 мм.

Для уменьшения влияния капиллярных силпринимались меры, чтобы над отверстиями не об-

Рис. 4. Фотография миграционной камеры, видсверху (в качестве масштаба приведеналинейка)

2019. Т. 14. №1 21

Рис. 5. Фотография бинарной ячейки, заполненнойраковыми клетками, накопительный канал свходным и выходным отверстиями запечатан,емкость с хемоаттрактантом ограждена от ем-костей с питательной средой

разовывались капиллярные мениски. Отверстие(емкость) для подачи хемоаттрактанта отгороженаот остальных ограничительным барьером (рис. 5)для того, чтобы жидкость разлилась по большейплощади с целью уменьшения влияния капилляр-ных сил. После заполнения раковыми клеткаминижней камеры, для предотвращения перетека-ния жидкости между сообщающимися емкостя-ми, емкости с раковыми клетками (рис. 2, отвер-стия 4, 5) герметизировались путем приклеиваниястеклянной пластины.

Методика подготовки миграционной ка-меры к проведению эксперимента по мигра-ции клеток:

1. Буферный раствор шприцем объемом 1 мл по-дается в накопительную емкость (рис. 1) дозаполнения всех цилиндрических емкостей,при этом все микроканалы заполняются жид-костью, весь воздух замещается жидкостью.

2. Жидкость выкачивается дозатором из всехемкостей до выравнивания уровня жидкостив 1 мм.

3. Суспензия из раковых клеток и питательнойсреды дозатором с концентрацией 1 млн кле-ток на 1 мл подается во входное отверстиедля клеток.

4. Две емкости, заполненные раковыми клетка-ми, заклеиваются стеклом.

5. Все емкости заполняются буферным раство-ром и помещаются в инкубатор на 2 часа.

6. Миграционная камера с клеткамипереноситсяна термостолик микроскопа.

7. В открытых емкостях уровень откачиваетсядо 1 мм.

8. Две емкости заполняются питательной сре-дой, а оставшуюся емкость — хемоаттрактан-том. Уровень жидкостей подается таким об-разом, чтобы жидкость разлилась по боль-шей площади с целью уменьшения влияниякапиллярных сил.

Заполненная миграционная ячейка использу-ется для анализа движения раковых клеток в ка-налах сопоставимых с собственными размерами.Раковые клетки DU145 в медленном потоке в неак-тивном состоянии имеют сферическую форму диа-метром 10 мкм. Поток, направленный от нижнихемкостей (рис. 1, входное отверстие для клеток),наполненных суспензией раковых клеток, к осталь-ным резервуарам, приводит к скоплению клетокперед миграционными каналами разной шири-ны. На выходе миграционных каналов («лесенки»)диффундирование хемоаттрактанта в питатель-ную среду в ламинарном потоке приводит к обра-зованию градиента концентрации поперек канала,который должен привести к активизации раковыхклеток. Уникальность разработанной ячейки состо-ит в том, что в конструкции учтены тонкости, свя-занные с методикой ее эксплуатации при работес раковыми клетками и хемоаттрактантом (введе-ны плавные переходы, приняты меры для умень-шения роли капиллярных сил, найдено простоерешение для герметизации подводящих емкостейс раковыми клетками).

4. Экспериментальныерезультатыпомиграции клетокЗа миграцией раковых клеток через микрока-

налы из проточной в непроточную камеры наблю-дали с помощьюмикроскопа Zeiss Axio Observer.D1.Первая серия экспериментов с раковой линиейDU145 и HGF для анализа характера и направлен-ности миграции одиночных клеток в миграцион-ной микрофлюидной системе показала два типаповедения клеток (рис. 6): «медленно прикрепляю-щиеся» со слабым изменением морфологии (рис. 6,К1) и «быстро прикрепляющиеся», которые зна-чительно изменили морфологии в течение 1 часавыдержки в инкубаторе (рис. 6, К2).

Клетки в момент добавления химическогоагента оказались в поперечных каналах близко ккраю со стороны его введения. Активные движенияклеток наблюдались в течение 20 минут с моментадобавления HGF. «Медленно прикрепляющиеся»клетки (рис. 7, К1) в течение первых 15 минут ак-тивно смещались в направлении по градиенту кон-центрацииHGF. В морфологии данных клеток мож-но заметить небольшие неровности их краев. По-сле быстрого движения «медленно прикрепляющи-

22 Многофазные системы

Рис. 6. Фотоизображение правой части миграци-онных каналов (увеличение х200). Черныеокружности выделяют активно подвижныеклетки линии DU145 в канале шириной 50 мкм(К1) и канале шириной 20 мкм (К2)

еся» клетки остановились на расстоянии 110 мкмот входа в поперечные каналы миграционной мик-рофлюидной системы со стороны введения HGF. С20-ой минуты наблюдался процесс адгезии округ-лых клеток кповерхности стекла. «Быстроприкреп-ляющиеся» клетки (рис. 7, К2) в течение 15 минутизменили морфологию, потеряли заметные псев-доподии, приобрели округлую форму и отделилисьот поверхности стекла. В течение следующих 5 ми-нут данные клетки начали активное движение в на-правлении уменьшения градиента HGF и прикре-пились на расстоянии 90 мкм от входа в попереч-ные каналы миграционной микрофлюидной систе-мы со стороны введения градиента химическоговещества и быстро сформировали эпителиоподоб-ную структуру, не выходя из поперечного канала,которая сохранялась с небольшими изменениямиформы клетки до конца наблюдения (наблюдали втечении часа).

Таким образом, в данной серии эксперимен-тов показана способность эпителиоподобных кле-ток линии метастатического рака предстательнойжелезы DU145 совершать миграции в разработан-ной авторами миграционной микрофлюидной си-стеме. Характер миграции зависит от ширины ка-нала и расположения клеток в момент добавленияхимического агента. В болеешироких каналах клет-ки медленнее адгезируются и способны совершатьбыстрые катящиеся движения. В более узких кана-лах клетки быстрее распластываются по стеклу. Всеподвижные клетки совершают активные движениядо момента достижения определенного «положе-ния», что зависит от концентрации HGF, которыйактивно стимулирует миграцию клеток в первые20 минут после введения в систему.

a)

б)

Рис. 7. Фотоизображения каналов К1 (a) и К2 (б) взависимости от времени (время указано в ми-нутах)

5. Математическая модель клеточ-ной миграцииДля выявления механизмов клеточной ми-

грации была рассмотрена задача о дрейфе капливещества, соответствующего содержимому клет-ки, в окружающей ее вязкой жидкости с задан-ным градиентом концентрации поверхностно-активного реагента, имитирующего хемоаттрак-тант или некоторый питательный субстрат.

На основании результатов опытов [9–11] былоустановлено, что, как и в случае термокапилляр-ного дрейфа, концентрационно-капиллярное дви-жение прямо пропорционально радиусу дисперс-ной частицы и градиенту поверхностного натяже-ния. Указанное обстоятельство дало основание дляследующего утверждения — миграция клетки обу-словлена формированием градиента поверхност-ного натяжения на границе с окружающей ее жид-костью: разность значений поверхностного натя-жения вызывает перемещение прилежащего слояжидкости, что и приводит к возникновению дрей-фа частицы. Упомянутые опыты проводились с пу-зырьками воздуха различного диаметра, а рольповерхностно-активного вещества играли мета-нол или этанол. Это существенно упрощает изу-чение дрейфа пузырьков по сравнению с миграци-ей клетки, однако позволяет построить в первомприближении математическую модель движения

2019. Т. 14. №1 23

клетки в поле переменной концентрации хемоат-трактанта, выполняющего в данном случае рольповерхностно-активного вещества.

Движение жидкости под воздействием поверх-ностных сил впервые было рассмотрено итальян-ским ученым Марангони в конце ХIХ века. Появ-ление этих сил обусловлено локальным измене-нием поверхностного натяжения, что связано, восновном, с возникновением неоднородного рас-пределения температуры или концентрации вдольповерхности жидкости. В обычных условиях гради-енты температуры и концентрации на поверхно-сти жидкости пренебрежимо малы по сравнению сболее интенсивными изменениями, происходящи-ми в объемной фазе под действием гравитацион-ных сил. Однако при определенных условиях по-верхностные силы могут преобладать над силамиАрхимеда. Например, необходимые условия могутвозникать вблизи поверхности капель и пузырь-ков газа в жидкости. Эти условия имеют место и вневесомости. С точки зрения описания поведенияклеток в окружающей ее среде нас, прежде всего,интересовало формирование градиентов поверх-ностного натяжения в капле жидкости, находящей-ся в другой вязкой жидкости. Полагаем, что жид-кость, окружающая каплю, содержит некоторое ко-личество вещества, влияющего на поверхностноенатяжение, и распределенного в пространстве поопределенному закону. Это вещество представля-ет собой некоторый питательный субстрат или ат-трактант, в направлении возрастания концентра-ции которого клетка способна перемещаться.

По аналогии с термокапиллярной конвекци-ей [11] введем характерную величину скоростидрейфа капли:

U =Rµ

∆σ =Rµ

∂σ

∂c∆c,

где R — характерный радиус капли; µ— вязкостьсреды, окружающей каплю; σ— коэффициент по-верхностного натяжения; c — концентрация пита-тельного субстрата и аттрактанта.

Рассмотрим движение клетки в поле с линей-ным изменением концентрации аттрактанта. Па-раметры окружающей клетку жидкости обозначиминдексом «1», а осредненные параметры клетки —индексом «2». Градиент концентрации аттрактантабудем считать постоянным:∇c1 = K.

Далее, учитывая влияние концентрации ат-трактанта на коэффициент поверхностного натя-жения клетки, можно определить тангенциаль-ные напряжения, благодаря которым возника-ет концентрационно-капиллярная конвекция каквнутри клетки, так и снаружи. Именно конвектив-

ные течения и приводят в движение клетку. Разло-жим коэффициент поверхностного натяжения σ вряд, по концентрации сохранив только линейнуючасть этого разложения:

σ(c) = σ(c0)− |dσdc| (c− c0),

где c0 — фоновое значение концентрации.Постановку задачи рассмотрим в осесиммет-

ричном приближении, коэффициенты диффузииDi считаем постоянными, а движение — медлен-ным и установившимся. Скорость клетки обозна-чим через u, а форму клетки будем считать сфери-ческой. Окружающая жидкость считается несжи-маемой и покоящейся вдали от клетки, содержи-мое клетки представляет собой несжимаемую жид-кость, а физико-химическими процессами внутриклетки на данном этапе пренебрежем. Запишем си-стему уравнений Навье–Стокса для расслоенноготечения двух вязких жидкостей:

ρi

[∂~vi∂t

+ (~vi∇)~vi

]= −∇pi + µi∆~vi (i = 1, 2),

где ~vi — вектор скорости жидкости, окружающейкаплю (i = 1) и жидкости, содержащейся в капле(i = 2); ρ— плотность; p — давление.

Условия несжимаемости жидкостей:

∇~vi = 0 (i = 1, 2).

Уравнения полей концентрации несжимаемыхсред:

∂ci∂t

+~vi∇ci = Di∆ci (i = 1, 2).

На удалении от клетки: c1 = Kz, ∆p1 = 0,~v1 = 0.

Итак, невозмущенное движение будет опреде-ляться зависимостью z = ut. Тогда в каждый мо-мент времени в сферической системе координат(~v, θ,ϕ) относительно центра клетки будем иметь:

z = z′ + ut,

~vi(~r, t) = ~vi′(~r ′) + u,

ci(~r, t) = Kut + c′i(~r′) (i = 1, 2),

где r — расстояние от центра до рассматриваемойточки.

Перейдем к безразмерным переменным. Сэтой целью, исходя из соображений размерностии полагая при этом, что невозмущенный радиусклетки сферической формы равен R, введем харак-терные параметры для рассматриваемой задачи:

• длина — L = R, [L] = м;

24 Многофазные системы

• скорость — V =∣∣∣σ

c

∣∣∣ RKµ, [V] = м/c;

• давление — P =∣∣∣σ

c

∣∣∣ K, [P] = Н/м2;

• приращение концентрации аттрактанта намасштабе характерной длины — C0 = RK,[C0] = моль.

Имеем также ввиду, что [σ] = Н/м,[K] = моль/м, [µi] = Па·с.

Считая режим обтекания клетки установив-шимся, получим следующие две системы уравне-ний в безразмерном виде, описывающие поведе-ние каждой из фаз.

Для первой фазы — вне клетки:

Ψ(~ν1∇)~ν1 = −∇p1 + ∆~ν1,

∇~ν1 = 0,

ΦΨ [(~u + ~ν1)∇c1] = ∆c1.

Для второй фазы — внутри клетки:

~ρΨ(~ν2∇)~ν2 = −∇p2 +~ρ~µ∆~ν2,

∇~ν2 = 0,

ΦΨ [(~u + ~ν2)∇c2] = ~D∆c2;

где Ψ =

∣∣∣∣dσdc

∣∣∣∣ KR2

µ21ρ1; ~ρ =

ρ2

ρ1; ~µ =

µ2

µ1; D =

D2

D1;

Φ =µ1

D1.

Полученная система уравнений представляетсобой математическую модель механизма генера-ции миграционных сил, в котором хемоаттрактантиграет роль поверхностно-активного вещества.

6. ЗаключениеВ приведенной серии экспериментов показана

способность эпителиоподобных клеток линии ме-тастатического рака предстательнойжелезыDU145совершать миграции в разработанной авторамимиграционной микрофлюидной системе.

Уникальность полученных результатов обу-словлена использованием разработанного ново-го метода, обладающего возможностью изучатьне только миграционные особенности клеток, нои их деформацию, влияющую на перемещения впространственно-стесненных условиях при воз-действии разного типа химических реагентов.

Представленная система уравнений предна-значена для определения условий возникновенияскорости миграции клетки при заданном градиен-те концентрации аттрактанта в окружающей жид-кости и, таким образом, предложен новый меха-низм генерации миграционных сил.

Список литературы[1] World Health Organization. Data and statistics. URL: http://

www.euro.who.int/en/health-topics/noncommunicable-diseases/cancer/data-and-statistics(дата обращения 30.01.2019)

[2] Zavadil J., Haley J., Kalluri R., Muthuswamy S.K., Thompson E.Epithelial-Mesenchymal Transition // Cancer Research. 2008.V. 68, No. 23. Pp. 9574–9577.DOI: 10.1158/0008-5472.can-08-2316

[3] Ахметов А.Т., Рахимов А.А., Валиев А.А., Нигматзянова Р.Р. Те-чение эмульсий и крови вмикроканалах различной конфигу-рации // Труды Института механики им. Р.Р. Мавлютова Уфим-ского научного центра РАН. Уфа: Нефтегазовое дело. 2014.Вып. 10. С. 19–26.DOI: 10.21662/uim2014.1.004

[4] Khismatullin D.B., Truskey G.A. Three-dimensional numericalsimulation of receptor-mediated leukocyte adhesion tosurfaces: Effects of cell deformability and viscoelasticity //Physics of Fluids. 2005. V. 17, No. 3. P. 031505.DOI: 10.1063/1.1862635

[5] Khismatullin D.B., Truskey G.A. Leukocyte rolling on P-selectin: a three-dimensional numerical study of the effect ofcytoplasmic viscosity // Biophysical journal. 2012. V. 102, No. 8.Pp. 1757–1766.DOI: 10.1016/j.bpj.2012.03.018

[6] Paul C.D., Hung W.C., Wirtz D., Konstantopoulos K. Engineeredmodels of confined cell migration // Annual review ofbiomedical engineering. 2016. Vol. 18. Pp. 159–180.DOI: 10.1146/annurev-bioeng-071114-040654

[7] Akhmetov A.T., Mavletov M.V., Sametov S.P., Rakhimov A.A.,Valiev A.A., Akhatov I.Sh. Dispersion Flow In Microchannels //Proceedings of ASME 2012 International MechanicalEngineering Congress & Exposition. IMECE2012. 2012.Houston. 8 p.DOI: 10.1115/IMECE2012-86618

[8] Рахимов А.А., Ахметов А.Т. Экспериментальные исследова-ния гидродинамических эффектов при течении обратныхводоуглеводородных эмульсий в микроканалах // Труды Ин-ститута механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научногоцентра РАН. 2016. Т. 11, № 1. С. 30–37.DOI: 10.21662/uim2016.1.006

[9] Young N.O., Goldstein J.S., Block M.J. The motion of bubbles ina vertical temperature gradient // Journal of Fluid Mechanics.1959. V. 6, No. 3. Pp. 350–356.DOI: 10.1017/S0022112059000684

[10] Братухин Ю.К. Термокапиллярный дрейф капельки вязкойжидкости // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа.1975. № 5. C. 156–161.

[11] Братухин Ю.К., Зуев А.Л. Термокапиллярный дрейф пузырькавоздуха в горизонтальной ячейке Хеле-Шоу // Известия АНСССР. Механика жидкости и газа. 1984. № 3. С. 62–67.

ISSN 2658–5782 14 (2019), 1, 17–26

Multiphase Systemshttp://mfs.uimech.org/mfs2019.1.003 Received: 20.03.2019DOI: 10.21662/mfs2019.1.003 Accepted: 24.04.2019

To the issue of the mechanism of cell migrationRakhimov A.A.∗, Akhmetov A.T.∗,∗∗, Valiev A.A.∗, Danilko K.V.∗∗∗, Sametov S.P.∗∗∗∗, Khismatullin D.B.∗,∗∗∗∗∗

∗Mavlutov Institute of Mechanics, UFRC RAS, Ufa∗∗Ufa State Petroleum Technological University, Ufa

∗∗∗Bashkir State Medical University, Ufa∗∗∗∗LLC ”RN-BashNIPIneft“, Ufa

∗∗∗∗∗Tulane University, New Orleans, Louisiana, USA

The paper presents the experimental and theoretical aspects of studying the migration of cancer cells throughnarrow microchannels when interacting with a chemical substance — an attractant. Chemical agents were injecteddirectly from the respective separate reservoir via hydrostatic head. The presence of migration channels of differentsizes allowed us to analyze the migration abilities inherent in the cells. Experimental studies on the migration ofcancer cell lines were carried out using a microfluidic binary migration cell. It consists of two chambers 50 µm deep,connected by a series of narrow microchannels 10 µm high. The chambers are connected to the tanks from whichcancer cells and activating media come. The model features smooth transitions from all tanks to microchannels toprevent accumulation of microbubbles and cells, the presence of a restrictive barrier between a chemoattractantcontainer and a nutrient medium to reduce the effect of capillary forces, sealing the supply channels and cells withcells using a glass plate glued on top. In a series of experiments, the ability of epithelial-like cells of the metastaticprostate cancer DU145 to migrate in the migration microfluidic system developed by us was revealed. The nature ofmigration depends on the width of the channel and the location of the cells at the time of adding the chemical agent.In wider channels, cells adhere more slowly and are able to perform rolling movements. In narrower channels, thecells are spread over the glass. The mathematical model of concentration-capillary movement, which is a systemof equations of the dynamics of an incompressible viscous fluid, written separately for the cell contents and for itsenvironment, is considered as the basis for a theoretical study of cell migration.

Keywords: cell migration, chemotaxis, microfluidic systems, biological systems modeling, prostate cancer

References[1] World Health Organization. Data and statistics. URL: http://

www.euro.who.int/en/health-topics/noncommunicable-diseases/cancer/data-and-statistics(accessed 30.01.2019)

[2] Zavadil J., Haley J., Kalluri R., Muthuswamy S.K., Thompson E.Epithelial-Mesenchymal Transition // Cancer Research. 2008.V. 68, No. 23. Pp. 9574–9577.DOI: 10.1158/0008-5472.can-08-2316

[3] Akhmetov A.T., Rakhimov A.A., Valiev A.A., Nigmatzyanova R.REmulsion and blood flow in microchannels of differently struc-ture // Proceedings of the Mavlyutov Institute of Mechanics.2014. V. 10. Pp. 19–26 (in Russian).DOI: 10.21662/uim2014.1.004

[4] Khismatullin D.B., Truskey G.A. Three-dimensional numeri-cal simulation of receptor-mediated leukocyte adhesion tosurfaces: Effects of cell deformability and viscoelasticity //Physics of Fluids. 2005. V. 17, No. 3. P. 031505.DOI: 10.1063/1.1862635

[5] Khismatullin D.B., Truskey G.A. Leukocyte rolling on P-selectin:a three-dimensional numerical study of the effect of cyto-plasmic viscosity // Biophysical journal. 2012. V. 102, No. 8.Pp. 1757–1766.DOI: 10.1016/j.bpj.2012.03.018

[6] Paul C.D., Hung W.C., Wirtz D., Konstantopoulos K. Engineeredmodels of confined cell migration // Annual review of biomed-ical engineering. 2016. Vol. 18. Pp. 159–180.DOI: 10.1146/annurev-bioeng-071114-040654

[7] Akhmetov A.T., Mavletov M.V., Sametov S.P., Rakhimov A.A., Va-liev A.A., Akhatov I.Sh. Dispersion Flow In Microchannels // Pro-ceedings of ASME 2012 International Mechanical EngineeringCongress & Exposition. IMECE2012. 2012. Houston. 8 p.DOI: 10.1115/IMECE2012-86618

[8] Rakhimov A.A., Akhmetov A.T. Experimental study of hydrody-namic effects in the inverse water hydrocarbon emulsions flowin microchannels // Proceedings of the Mavlyutov Institute ofMechanics. 2016. V. 11, No. 1. Pp. 30–37 (in Russian).DOI: 10.21662/uim2016.1.006

26 Multiphase Systems

[9] Young N.O., Goldstein J.S., Block M.J. The motion of bubbles ina vertical temperature gradient // Journal of Fluid Mechanics.1959. V. 6, No. 3. Pp. 350–356.DOI: 10.1017/S0022112059000684

[10] Bratukhin Yu.K. [Thermocapillary drift of a viscous liquiddroplet]. Izvestiya AN SSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza. [Newsof the Academy of Sciences of the USSR. Fluid and gas mechan-ics]. 1975. No. 5. Pp. 156–161 (in Russian).

[11] Bratukhin Yu.K., Zuev A.L. [Thermocapillary drift of an airbubble in a horizontal Hele-Show cell]. Izvestiya AN SSSR.Mekhanika zhidkosti i gaza [News of the Academy of Sciencesof the USSR. Fluid and gas mechanics]. 1984. No. 3. Pp. 62–67(in Russian).